RESISTENCIA DE MATERIALES

M todo de la seccin transform ada. Transform em os la seccin en m adera:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2015

n EaceroEmadera

200GPa 20 10GPa

Analicem os la viga com o si fuera toda de m adera:

C alculem os c1,c2 ,e I

y A1 y1 A2 y2 400 I 200 12 4.67 c2

A1 A2

400 200

c1 22 4.67 17.33

I ID Ad 2 27200 6002.6722922.67cm24

I200 23

D3

10 2033

27200cm4

Finalmente, calculamos los esfuerzos en la madera y en el acero:

M maxc1

max( )madera,real

3600N 100cm 17.33cm

272.16 N

10

cm2

2721.6

KPa

I22922.67cm4cm2m24

M maxc2

max( )madera, ficticio

3600N 100cm 4.67cm

73.34 N

10

cm2

733.4

KPa

I22922.67cm4cm2m24

Como en la realidad en la parte inferior de la viga no hay madera sino una platina de acero, debemos devolvernos por as decirlo y multiplicar este esfuerzo ficticio por n para obtener el esfuerzo real en el acero:

max()acero,real n max()madera, ficticio 20 747.7KPa 14954KPa

En conclusin hemos encontrado los siguientes esfuerzos mximos en la viga:

Variacin de esfuerzos a travs de la seccin:

La viga entonces, absorber los esfuerzos de la siguiente form a:

Com o se ve, la platina de acero soporta la m ayor parte de los esfuerzos de tensin.

La viga tam bin puede analizarse transform ando toda la seccin en acero. Vem oslo a continuacin.

Resolucin del problem a transform ando la viga en acero

Vam os a transform ar toda la viga en acero. Por lo tanto:

n EmaderaEacero

10GPa200GPa

0.05

Seccin transform ada en acero

Analicem os la seccin transform ada:

y A1 y1 A2 y2 20 1 10 12 4.67 c2

C lculo del m om ento de inercia:

A1 A2

c1 22 4.67 17.33

20 10

I ID Ad 2 1360 302.671146.132

I10 23

D3

0.52033

1360

C lculo de los esfuerzos:

max(C )acero, ficticio

3670 100 17.33

1146.13

5549.20 104

Pa 55492KPa

max(T )acero,real

3670 100 4.67

1146.13

1493.37 104

Pa 14953.7KPa

Esfuerzo m xim o en la m adera:

max(C )madera,real n max(C )acero, ficticio 0.05 55492 2774.6KPa

En resum en:max(T )

max(C )madera,real 2774.6KPa

O bviam ente, los valores son iguales a los que obtuvim os transform ando la seccin en m adera

acero,real 14953.7KPa

PRO BLEM AS PRO PUESTO S

C alcular los esfuerzos norm ales y cortantes m xim os en las siguientes vigas

I

N TEN SE LAS D EFO RM ACIO N ES Y FISU RAS EN LO S EXTREMO S D E LA VIG A

Tal como se ha dicho, un elemento estructural no slo debe ser resistente a la rotura sino que debe tener unas condiciones de rigidez adecuadas de tal manera que se cumplan algunas condiciones mnimas, a saber:

Que se garantice la funcionalidad de la estructura evitando grandes deformaciones que podran afectar su desempeo. (Por ejemplo el alineamiento y nivelacin de equipos).

Que no se afecte la esttica de la estructura con la aparicin de grietas, producto de grandes deformaciones.

N TESE AG RIETAM IEN TO D E LA VIG A EN LA SECC I N D E MOM EN TO N EG ATIVO , PO R FALTA D E REFU ERZO

Adicionalmente como se ha visto, en el caso de vigas estticamente indeterminadas es necesario obtener ecuaciones adicionales basadas en las deformaciones que nos ayuden a levantar la indeterminacin y as poder resolverlas.

De otra parte, en los prximos cursos de ingeniera estructural se requerirn los conocimientos relativos a los mtodos de clculo de deformaciones en vigas para poder afrontar el estudio de estructuras estaticamente indeterminadas (por ejemplo en el mtodo conocido como pendiente- deflexin o slope deflection).

Por estos motivos se hace necesario calcular las deformaciones que se producen en las vigas cuando estn son sometidas a cargas.

Existen varios mtodos para calcular las deformaciones en vigas:

Mtodos matemticos: Mtodo de la doble integracin o de la Ecuacin de la elstica.

Mtodos geomtricos: Basados en la forma de la viga deformada. El mas conocido es el mtodo del rea de momentos o Teoremas de Mohr.

Mtodos derivados de los anteriores: Mtodo de la viga conjugada conocido en algunos textos como Mtodo de los Pesos Elsticos.

Mtodos energticos: Basados en la conservacin de la energa desarrollada por las fuerzas al deformar las vigas. (Teoremas de Maxwell, de Castigliano y otros).

Tipos de deform aciones

Funcionalidad afectada por deformaciones excesivas (se desnivelan los elementos soportados por la viga).

Deformaciones excesivas pueden causar agrietamientos que afectan la esttica de las estructuras.

Deformaciones con concavidades contrarias.

4.1 M TO DODE LA DO BLE IN TEG RACIN

1 MEn la teora de flexin se vi que: EI

En matemticas se tiene que:

d 2 y1dx2

31 dy 2 2dx

Por lo tanto:

d 2 ydx 2M

pero

0

las pendientes en las vigas son muy pequeas

1 dy 2 2EI3

dy

dx

dx

dy 2

Con mayor razn:

0

dx

En conclusin:

d y M

y"

o lo que es lo mismo:EIy"M

dx2EI2

EIy"M

EI:Rigidez a la flexiny :segunda derivada de la ecuacin de la viga deformada o elsticaM:Ecuacin del momento flector en el tramo de viga considerado

Si integramos esta ecuacin obtenemos la ecuacin de la pendiente y:

EIyMdx C1

Si integramos otra vez (doble integracin) obtenemos la ECUACIN DE LA ELSTICA:

ECUACIN DE LA ELSTICAEIy Mdx C1x C 2

Con estas ecuacin podemos calcular la pendiente y o la deformacion y en cualquier punto de la viga.

Las constantes C1 y C2 se calculan estableciendo las condiciones iniciales o de borde que dependen de los apoyos y las caractersticas de la viga y de las cargas como se ver en los ejemplos.

CON DICION ESIN ICIALES EN DIFEREN TESTIPO S DE VIG AS

PRO BLEM A

C alcular la deform acin en el extrem o libre B de la viga en voladizo:

Tal com o se vi en el m todo de doble integracin:

EIy"M

Para poder integrar necesitam os la ecuacin del m om ento flector M . Para encontrarla hacem os un corte a una distancia x del em potram iento A.

M 0

M PL Px 0

Ecuacin del m om ento:M Px PL

Por lo tanto:EIy"Px PL

Integrando una vez:Px 2

EIy

2 PLx C1

Integrando otra vez (doble integracin):

EIy

Px36

PLx 22

C1x C2

Para calcular C1 y C2 debemos establecer las condiciones iniciales. Para esto, observamos el problema fsico, la viga empotrada en A. En el empotramiento (x=0) se estn impidiendo tanto la deformacin (y=0) como el giro (y=0). Recordemos que un empotramiento por definicin es un apoyo que impide el giro.

Entonces:

Condiciones iniciales:

x 0x 0

y 0y0

0000

x 0

y 0

EIy

Px36

PLx 22 C1x C2

por tanto: C2 0

000

x 0

y0

EIy

Px 22 PLx C1

por tanto: C1 0

Al ser las dos constantes iguales a cero, las ecuaciones quedan:

Px3

PLx2

1 Px3

PLx2

y

Ecuacin de la elstica:EI 2

EIy 62

6

Px21 Px 2

Ecuacin de la pendiente:

EIy PLx2

yEI 2

PLx

Clculo de la deformacin en el extremo B:

B yL

B yL

1 Px3PLx2 y EI 62

1 PL3

PL3

PL3B 3EIPL3

B EI

6

2 3EI

Anlisis de deform acin

PL3B 3EI

Influencia de la longitud de la viga L en la deform acin

Vem os que m ientras m ayores sean P y L m ayor ser la deform acin y que m ientras m ayor sea EI, ser m enor.

EI: Rigidez a la flexin. Para un m aterial dado (E), la deform acin depende del m om ento de la inercia.

Influencia del m om ento de inercia en la deform acin

Si duplicam os la longitud de la viga tendrem os:

PL3B 3EI

B

P2L33EI|

8PL33EI

C lculo de la pendiente de la viga en B:

Al duplicar la longitud, la deform acin se hace 8 veces m s grande

1 Px 2

Ecuacin pendiente:

yEI 6

PLx

B yL|

22

1

PL PL2 PL

BEI 22EI

PRO BLEM A

C alcular la deform acin m xim a en la viga, la pendiente en los apoyos A y B y la deform acin en el centro de la luz

M A 0Fy 0

5RB 3500 0RA 500 300 200

RB 300

En este caso la ecuacin de m om entos no es nica para toda la viga: tiene una expresin distinta en cada uno de los 2 tram os. Veam os:

0 x 3

3 x 5

M 200x

M 200x 500x 3

Encontrem os la ecuacin de la elstica para cada tram o:

0 x 33 x 5

EIy"200x

EIy"200x 500x 3

EIy

200x22

C1

EIy

200x22

500x 322

D1

Tenem os 4 constantes. N ecesitam os por tanto 4 condiciones iniciales

EIy

200x36

C1x C2

EIy

200x36

500x 336

D1x D2

C ondiciones iniciales:

x 3x 3

y AC yCB yAC yCB

C es un punto com n de los tram os AC y CB. Por tanto en dicho punto las ordenadas y las pendientes de los 2 tram os son iguales

x 0

y 0

EIy

200x36

C1x C2

x 5

y 0

EIy

200x36

500x 336

D1x D2

x 3

yAC yCB

EIy

200x36

C x C EIy 1

2

200x36

500x 336

D1x D2

x 3

yAC yC B

EIy

200x32

C1 EIy

200x22

500x 322

D1

C2 0

200 530 6

500 263

5D1

C2 0

5C1 5D1 D2

C1 D1

D e estas cuatro ecuaciones obtenem os:

C2 0

D2 0

C1 D1 700

Deformacin mxima: Por observacin vemos que ocurre en el tramo AC de la viga. Adem es en dicho punto la tangente a la elstica horizontal, es decir y=0.

max yeny0

La ecuacin de la pendiente para el tramo AC es:

EIy

200x22

C1

Por tanto:

0 200x2

2

C1

200x2

2

700

x 2.65

En este punto ocurre la deformacin mxima

3

1 200 2.65

700 2.65

1234.68

max

y2.65

EI 6

EI

Pendientes en los apoyos A y B:

1 200x2

1 200 02

700700

Ay0

EI 2

C1

EI 2

EI

1 200x2

500x 32

200 52

5005 32

800

B y5 EI 2 21

D1 EI 22

700EI

Deformacin en el centro de la viga:3

1 200 2.5

700 2.51229.17

centro

y2.5

EI 6

EI

En resum en:

175