Trigonometric Book (Volume 3)

8/20/2019 Trigonometric Book (Volume 3)

1/120

LƯỢ NGGIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ Ứ NG DỤ NGTẬP 3 : TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA

VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH

http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/fullsize/SIL14-V002-07a.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Gnuplot_ellipsoid.svg


2/120

VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH

LƯỢ NG GIÁCMỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ Ứ NG DỤ NG

TẬP 3 : TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT


TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 8 – 2011


3/120

LỜI NÓI ĐẦUCuốn sách “LƯỢ NG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ Ứ NG DỤNG” này đượ c biênsoạn vớ i mục đích cung cấ p, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọcquan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tậ p và làm việc. Trong tập 3 “TÌMGIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT; MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NGGIÁC HÓA” này, chúng tôi sẽ trình bày các k ỹ thuật đại số, giải tích về hai vấn đề trên.Tuy nhiên, chúng tôi sẽ xoáy vào tr ọng tâm là “PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA”,một dạng ứng dụng k ỹ thuật khá hay trong một số bài toán.

Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần :

-

Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết

cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thườ ng gặ p trong quá trìnhlàm bài trên lớ p của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạnđọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót. -

Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợ p tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡ ng, rèn luyện kĩ nănggiải LƯỢ NG GIÁC thành thạo hơn khi gặ p phải những dạng toán này.-

Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lờ i giải gợ i ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểmtra lại đáp số, lờ i giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm.

Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượ ngr ất lớ n các tài liệu có sẵn và tiế p thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dầnhoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bở i tầm hiểu biết và kinhnghiệm còn hạn chế, chúng tôi r ất mong nhận đượ c ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọcgần xa.Chi tiết liên hệ tại : [email protected]

[email protected]

CÁC TÁC GIẢ

VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH.

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


4/120

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấ p tài liệu thamkhảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điềukiện hoàn thành cuốn sách này :

- Tr ần Phong (ĐH Sư Phạm Tp.HCM)-

Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)- Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)

- Trương Tấn Sang (Westminster High School California)-

Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai)- Nguyễn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh)- Nguyễn Đình Thi (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM)

và một số thành viên diễn đàn MathScope.


5/120

MỤC LỤC

TẬP 3 : TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT


CHƯƠNG 8 : TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT

I.

TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT

HÀM LƯỢ NG GIÁC ................................................................................. 1

1.

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LƯỢ NG GIÁC .............................................. 1BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................. 9

2.

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤ NG BẤT BẲ NG THỨC CƠ BẢ N ...................... 11

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................ 19

3. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM HÀM SỐ ..................................................... 24

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................ 35

II.


HÀM LƯỢ NG GIÁC CHỨ A THAM SỐ ................................................ 38

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................. 44

III. TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT

HÀM LƯỢ NG GIÁC TRONG TAM GIÁC ............................................ 46

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................. 53


6/120

CHƯƠNG 9 : PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

I.

TÓM TẮT MỘT SỐ K Ỹ THUẬT THƯỜ NG DÙNG ............................. 57

II.

PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA

TRONG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ ................................... 59

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................. 63

III. PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA

TRONG CHỨ NG MINH BẤT ĐẲNG THỨ C ......................................... 63

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................. 86

IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA

TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ............................................................ 88

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................. 95

V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA

TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ...................................................... 95

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................ 104

VI. PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA

TRONG TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT................ 105

BÀI TẬP TỰ LUYỆ N ................................................................................ 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 114


7/120

Chương 8 : Tìm giá trị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất

1

CHƯƠNG 8


I.

TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT HÀM LƯỢ NG GIÁC

Như vậy, để tìm giá tr ị lớ n nhất (GTLN) và giá tr ị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số hay

một biểu thức lượ ng giác, tùy theo từng loại toán ta có thể dùng một trong các phương pháp sau. Ở đây, chúng ta chỉ đề cập đến các phương pháp đại số, giải tích.

1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LƯỢ NG GIÁC- Dựa vào tính bị chặn của hàm số sin, hàm số cos

|| || - Dùng điều kiện có nghiệm của các phương trình cơ bản

i.

Phương trình bậc hai : có nghiệm khi và chỉ khi ii.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Cho hàm số xác định trên miền .1.

Một số thực M đượ c gọi là giá tr ị lớ n nhất của hàm số nếu :

Kí hiệu : 2.

Một số thực N đượ c gọi là giá tr ị nhỏ nhất của hàm số nếu :

Kí hiệu : Chú ý r ằ ng : Nếu hàm số liên tục trên thì hàm số đó đạt giá tr ị

lớ n nhất và giá tr ị nhỏ nhất trên


8/120


2

iii. Nếu hàm số có dạng

Ta tìm miền xác định của hàm số r ồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình cổ điển . Nếu hàm số chưa đưa về dạng trên thì ta biến đổi để đưa về dạng trên (nếu đượ c).

Giải:

a.

Ta có : Hay

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi √ √ Do đó, √ ( √ ) √ ( √ )

b.

Ta đã chứng minh đượ c Do đó, Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

Bài 1: Tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

www.VNMATH.com


9/120


3

Vậy

c. Ta có :

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

√ √ Do đó

√ √ √

√

Chú ý:

Tương tự

câu a, ta đưa về

bài toán dạng t

ổng quát

√

√ √ √ √


Tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

www.VNMATH.com


10/120


4

Giải:a.

Ta có :

√ √

Vậy

b. Ta có :

Ta xét : || || || || Do đó,

c. Hàm số xác định khi và chỉ khi

Ta có : √ √ √ Vậy (ỏ ề ệ ị) Hơn nữa,

√

√ √

Vậy (ỏ ề ệ ị)

www.VNMATH.com


11/120


5

d. Điều kiện:

Vì chu k ỳ của và là nên ta cần xét trên –]. Do đó Ta có : √ √ Hơn nữa,

√ √ √

√

Suy ra √ √ √ (√) √ Do vậy,

√ Tương tự, ta đượ c

√

Do đó,

√ {

√ √ √

www.VNMATH.com


12/120


6

Giải: a. Ta có : ||

||

Do đó, b. Ta có : Do đó,

c. Ta có : ⏟ ⏟ Do đó,

d.

Ta có :

Do đó,

Bài 3: Tìm giá tr ị lớ n nhất của hàm số

www.VNMATH.com


13/120


7

Giải:a.

Ta có : √ ( √)

(√)

Do đó,

{ √

b. Ta có :

√ √

Do đó,

{ √

Bài 5: Vớ i

là một góc cố định cho trướ c. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số :

Biết r ằng hàm số thỏa các điều kiện xác định cho trướ c.

(√) √

Bài 4: Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

www.VNMATH.com


14/120


8

Giải: Ta có : Do đó, tồn tại khi và chỉ khi

Khi đó, Vậy

Giải: Điều kiện: Ta có :

Do đó,

Giải: Ta có :

Do đó, khi và chỉ khi . Ta chọn

Bài 7: Cho . Tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của biểuthức

Bài 6: Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

(ĐH Giao Thông Vận Tải 1999)

www.VNMATH.com


15/120


9

Hơn nữa, ta thấy luôn luôn tồn tại 2 số giả sử là cùng dấu và ||

||

|| ||

Do đó, khi và chỉ khi và || . Khi đó, ta chọn{

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN

8.1.1. Tìm giá tr ị lớ n nhất, nhỏ nhất của hàm số

√ ố ị ướ 8.1.2. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

ế ằ 8.1.3. Tìm giá tr ị lớ n nhất của biểu thức

www.VNMATH.com


16/120


17/120


11

[

{

8.1.2. Ta biến đổi hàm số đã cho thành 8.1.3. Ta biến đổi biểu thức đã cho thành Để ý r ằng, nếu ta đặt

Ta sẽ đưa biểu thức về dạng biểu thức .2.

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN- Ở phần này, ngoài việc sử dụng các phương pháp đã được đề cậ p ở chương 3,

chúng ta cần phải xác định rõ điều kiện xác định của hàm số hay biểu thức trướ c

khi sử dụng các bất đẳng thức cơ bản.-

Phương pháp này đượ c coi là một phương pháp khó vì đòi hỏi tính sáng tạo và k ỹ thuật cao trong việc sử dụng thành thạo bất đẳng thức và trong việc vừa tìm giá tr ị lớ n nhất vừa tìm giá tr ị nhỏ nhất nên đa phần các bài toán ở dạng này chỉ yêu cầutìm giá tr ị lớ n nhất hoặc giá tr ị nhỏ nhất của hàm số hay biểu thức.

www.VNMATH.com


18/120


12

Giải:

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ √ √

Do đó, √ Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

{

Do đó,

Ta biến đổi hàm số thành

ế ằ


www.VNMATH.com


19/120


13

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

Do đó,

Giải:

Do nhọn nên dương. Ta có : Hơn nữa, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

| | | |

⏟

Bài 2: Cho nhọn. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

www.VNMATH.com


20/120


14

Do đó,

Giải:Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ √

√ (√)

Do đó,

(√) √ √ {

√ √ √ √ √

Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

⏟ ố ạ

⏟ ố ạ

⏟ ố ạ ⏟ ố ạ

Bài 4: Cho

là hai số tự nhiên lớn hơn

. Tìm giá tr ị lớ n nhất của hàm số

(ĐH Bách Khoa Hà Nội 1998)

√ √ Bài 3: Cho

là các số thực thỏa mãn

. Tìm giá tr ị lớ n nhất của

biểu thức

www.VNMATH.com


21/120


15

Do đó,

Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : Hơn nữa, do || || ||. Ta đượ c

|| || Do đó, || khi và chỉ khi

Giải: √ √ √


Bài 5: Cho là ba số thực riêng biệt sao cho hàm số sau có nghĩa

Tìm giá tr ị lớ n nhất của hàm số.

www.VNMATH.com


22/120


16

Tương tự, ta có : √ Ta suy ra √ √ Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

Suy ra Do đó,

Giải: Ta có :

Ta đượ c k ết quả sau :

∑ ∑

Bài 7: Cho các số thực ̅ thỏa mãn điều kiệnTìm giá tr ị lớ n nhất của biểu thức

www.VNMATH.com


23/120


17

{

∑ ∑

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

Do đó,

{

∑ ∑

Từ đó, ta chọn

{

̅

www.VNMATH.com


24/120


18

Giải:

Ta có : √ √


√ √ √ ]

√ √ √

Do đó,

√ Ta lại có :

√ √ Tương tự trên, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

√ √ √ ]

√ Bài 8: Tìm giá tr ị lớ n nhất và nhỏ nhất của hàm số

www.VNMATH.com


25/120


19

√ √ Do đó,

√

-

BÀI TẬP TỰ LUYỆN8.1.4. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số 8.1.5. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

8.1.6. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

8.1.7. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số 8.1.8. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

8.1.9. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

8.1.10. Tìm giá tr ị lớ n nhất của hàm số 8.1.11. Tìm giá tr ị lớ n nhất của hàm số 8.1.12. Tìm giá tr ị lớ n nhất của hàm số

8.1.13. Cho góc thỏa mãn Tìm giá tr ị lớ n nhất của biểu thức

www.VNMATH.com


26/120


20

8.1.14. Cho sao cho . Tìm giá tr ị lớ n nhất của biểu thức 8.1.15. Tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

Vớ i .- GỢ I Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN8.1.4. Ta áp dụng

Suy ra 8.1.5. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Suy ra

8.1.6. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Suy ra 8.1.7. Ta biến đổi

Ta áp dụng

www.VNMATH.com


27/120


21

Suy ra 8.1.8. Ta biến đổi

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Suy ra

√ 8.1.9. Ta biến đổi

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ ( √ ) ( √ ) Suy ra (√)

8.1.10. Ta áp dụng

{

Suy ra

8.1.11. Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ||

www.VNMATH.com


28/120


22

Suy ra 8.1.12. Ta biến đổi

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :


8.1.13. Ta biến đổi || |||| || || ||

|| 8.1.14. Ta biến đổi Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :

√ √ √ √ Suy ra Khi đó,

www.VNMATH.com


29/120


23

Do đó,

8.1.15. Ta biến đổi Ta có :

Do đó, Hơn nữa, vì nên theo bất đẳng thứcBunyakovsky, ta có :

Tương tự vậy, ta có

www.VNMATH.com


30/120


24

Do đó, Vậy

3. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM HÀM SỐ

- Phương pháp này dùng để khảo sát một hàm số lượ ng giác trên một đoạn, ta cũngcó thể tìm đượ c giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó.

- Để việc khảo sát hàm số được đơn giản hơn, ta nên lưu ý việc đổi biến số bằngcách đặt ẩn phụ, nhưng phải biết đượ c giớ i hạn của ẩn số mớ i. Lưu ý rằng khi đặt

ẩn phụ, ta nên tìm miền giá tr ị của ẩn phụ trong khoảng xác định ẩn phụ cho trướ c.

- Tuy việc sử dụng phương pháp này dành cho đối tượ ng là học sinh lớ p 12 và cáchọc sinh chuyên, nhưng chúng tôi vẫn khuyến khích các bạn lớ p 10, 11 khôngchuyên tham khảo thêm nhằm mở r ộng kiến thức.

- Các bướ c giải chung cho loại toán khảo sát hàm số Tìm miền xác định của hàm số. Tính đạo hàm . Giải phương trình , tìm nghiệm . Lậ p bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên ta tìm

.

-

Ở đây, chúng tôi có dùng chữ viết tắt MXĐ, nghĩa là miền xác định.

Giải: MXĐ: Ta có :

[ ( )


www.VNMATH.com


31/120


25

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :


Đặt . Khi đó, ta xét hàm số Do đó, hàm số đồng biến trên .Suy ra,


√ Bài 3: Tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của hàm số


www.VNMATH.com


32/120


26

√ ( )

√


√

ồ ạ

Giải: Vì hàm số tuần hoàn có chu kì là

nên ta chỉ cần khảo sát trên đoạn

.

MXĐ:

√


www.VNMATH.com


33/120


27


√

√


√ √

{

√ √ √ √


√ √


www.VNMATH.com


34/120


28

Giải:

√ √

√ √ Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

√ √


(ĐH Kinh Tế Quốc Dân 2000)

www.VNMATH.com


35/120


29

Giải: Ta có : √ √ ớ ườ ợ ế

√

ặ √ ố ị ế √ ] Khi đó, ta xét hàm số

√

√ √

√ √ ố ị ế √] Suy ra

√

(√) √

ế √

√ √


www.VNMATH.com


36/120


30

ặ √

ố

ồng

ế

√ ]

Khi đó, ta xét hàm số √ √ √ √ ố ồng ế √] Suy ra

(√) √ √ Như vậy, từ các giá tr ị, ta đượ c :

Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :

|| √ ặ ớ ố

√

Bài 8: Cho 3 số thức thỏa mãnTìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

www.VNMATH.com


37/120


31

Dựa vào bảng biến thiên, ta đượ c

|| | | √

Do đó,

√ { √

{

√ √ √ √ √

√ {

√ √ √ √ √

Bài 9: Vớ i . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

www.VNMATH.com


38/120


32

Giải: Ta có :


Giải: Ta có : Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta đượ c

Đặt

. Ta xét hàm số

Bài 10: Tìm giá tr ị lớ n nhất của hàm số

www.VNMATH.com


39/120


33

Dựa vào bảng biến thiên, ta đượ c Do đó,

ệ

Vậy hàm số đã cho không tồn tại giá tr ị lớ n nhất.

Giải: Vì nên Mà

ố ị ế Do đó,

Bài 11: Cho ba số thay đổi trên và thỏa mãn điều kiệnTìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

(ĐH Xây Dựng 2000)

www.VNMATH.com


40/120


34

Tuy nhiên, dấu không thể xảy ra nên đây chưa phải là giá tr ị nhỏ nhất của hàm số.ể ằ ấ ộ ố

ả

ử

ằ

Ta xét hàm số


Ở đây, dấu xảy ra khi và chỉ khi Do đó,

{

www.VNMATH.com


41/120


35

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN8.1.15. Tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của các hàm số sau

√ ||

||

8.1.16. Chứng minh r ằng tổng các giá tr ị lớ n nhất và giá tr ị nhỏ nhất của hàm số

Là một số hữu tỉ.(Đề nghị Olympic 30-4, 2006)

- GỢ I Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN8.1.15.a.

Ta biến đổi Đặt . Ta xét hàm số

Ta đượ c, b.

Để ý r ằngớ || ố

www.VNMATH.com


42/120


43/120


44/120


38

II. TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT HÀM LƯỢ NG GIÁCCHỨ A THAM SỐ

-

Dạng bài tập này đa phần xoay quanh vấn đề biện luận theo tham số tìm giá tr ị lớ nnhất, giá tr ị nhỏ nhất của hàm số, là dạng bài tậ p ít khi xuất hiện trong các bài thi,

nếu có sẽ nằm trong câu nhỏ của bài toán tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất ứngvớ i tham số cho trướ c. Dạng bài này thuộc dạng bài khó, dùng để phân loại thísinh trong các cuộc thi.

-

Phương pháp giải dạng bài này tương tự như dạng trên mà chúng tôi đã đề cập đến,tuy nhiên cái khó của dạng bài này là việc khoanh vùng cho tham số để biện luận.

Giải: Ta có : Đặt || . Ta xét hàm số

Ta có các trườ ng hợ p sau :- . Khi đó hàm số nghịch biến trên

-

Bài 1: Tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của hàm số theo tham số

www.VNMATH.com


45/120


39

Dựa vào bảng biến thiên, ta đượ c Nếu

thì

Nếu thì -

. Khi đó hàm số đồng biến trên

Giải: Ta có :

Đặt √ √ ] và . Ta đưa về hàm số Như vậy, ta đưa bài toán về tìm để vớ i mọi √ √ ]. Hay

√ √ ] Ta xét hàm số

√√]

Bài 2: Cho hàm số Tìm để vớ i mọi .

www.VNMATH.com


46/120


40

√ √

√ √ Dựa vào bảng biến thiên, ta đượ c Hay

Giải: Ta có : Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : Suy ra

Ta xét các trườ ng hợ p sau

- thì - thì . Khi đó

Bài 3: Cho

. Biện luận theo

giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

www.VNMATH.com


47/120


41

- thì . Khi đó

- thì đạt giá tr ị lớ n nhất, nhỏ nhất khi

Ta đượ c,

Giải: Ta có :

| | √ √

Do đó : . Suy ra miền xác định của hàm số .Mặt khác, ta biến đổi

Bài 4: Cho hàm số

Xác định để hàm số có giá tr ị nhỏ nhất là lớ n nhất khi

www.VNMATH.com


48/120


42

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

√ √ Khi đó

{ √ √

Theo yêu cầu bài toán, ta xét hàm số

√ √ Như vậy, rõ ràng hay hàm số đồng biến trên . Khi đó Vậy giá tr ị lớ n nhất của giá tr ị nhỏ nhất hàm số là .

Giải: Tương tự bài trên, miền xác định của hàm số .Ta biến đổi

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi √ √ Khi đó


Tìm để giá tr ị lớ n nhất của hàm số là nhỏ nhất.(ĐHQG Tp.HCM 1997)

www.VNMATH.com


49/120


43

{

√

√

Theo yêu cầu bài toán, ta xét

√ √ ư ậ ị ỏ ấ ủ ị ớ ấ ố √ ỉ

Giải: Ta đặt thì

ớ ì Ta viết lại thành ặ

ố Giá tr ị nhỏ nhất của là giá tr ị nhỏ nhất của . Ta có các trườ ng hợ p sau :

ị ỏ ấ ủ ố


(ĐH Giao Thông Vận Tải 1992)

www.VNMATH.com


50/120


44

ế ố ị ế ế


- BÀI TẬP TỰ LUYỆN8.2.1. Cho hàm số

Tìm để giá tr ị nhỏ nhất của hàm số lớn hơn vớ i mọi .8.2.2. Biện luận theo , tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của hàm số 8.2.3. Cho hàm số Định để vớ i mọi .8.2.4. Cho hàm số

Tìm để vớ i mọi .8.2.5. Cho hàm số Tìm để giá tr ị lớ n nhất của hàm số đạt giá tr ị nhỏ nhất.

www.VNMATH.com


51/120


45

- GỢ I Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

8.2.1. Giá tr ị của cần tìm là ( √ √ ).8.2.2. Ta biến đổi

Đặt || . Ta xét hàm số Ta đượ c,

{

|| ||

||

|| 8.2.3. Giá tr ị của cần tìm là .8.2.4. Ta biến đổi Đặt || . Ta xét hàm số

Ta xét hàm số Ta tìm đượ c giá tr ị cần tìm của 8.2.5. Ở bài toán này, ta cần tính giớ i hạn sau

√ √ Giá tr ị cần tìm là : .

www.VNMATH.com


52/120


46

III. TÌM GIÁ TR Ị LỚ N NHẤT, GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT HÀM LƯỢ NG GIÁCTRONG TAM GIÁC

-

Cũng giống như CỰ C TR Ị HÀM LƯỢ NG GIÁC CHỨ A THAM SỐ, dạng toánnày thườ ng nằm trong những câu phân loại thí sinh của đề thi. Tuy nhiên, chúng ta

ít khi dựa vào những phương pháp giải của CỰ C TR Ị HÀM LƯỢ NG GIÁC mà tathườ ng sử dụng các đẳng thức, bất đẳng thức đã đượ c khái quát ở CHƯƠNG 3 để tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức đã cho.

- Dạng này cũng đượ c coi là thuộc một dạng nhỏ của CHƯƠNG 3.

Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

{

Mà

Do đó, Vậy

Bài 2: Cho tam giác . Tìm giá tr ị lớ n nhất của biểu thức

Bài 1: Cho tam giác . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

(ĐH Mỏ-Địa Chất 1999)

www.VNMATH.com


53/120


47

Giải: Ta có : Mà theo bất đẳng thức cơ bản, ta có :

Do đó, Vậy ều

Giải: Ta có :

Mặt khác, Theo giả thiết :

Do đó,

Bài 3: Cho tam giác có các góc thỏa mãn . Tìm giá tr ị nhỏ nhấtcủa biểu thức

(ĐH Kiến Trúc Hà Nội 1999)

www.VNMATH.com


54/120


48

Suy ra Vậy

ề ạ

Giải: Ta đặt

Không mất tính tổng quát; giả sử . Do đó, }

Nếu } Mà

-

√ thì

√ -

√ thì √ Tóm lại,

} √ Do đó, √ √

Bài 4: Cho tam giác nhọn. Đặt . Tìm giá tr ị lớ n nhất của .

www.VNMATH.com


55/120


49

Nếu

} Ta có 2 trườ ng hợ p

√ √ √ √ √ Tóm lại,

√ √

Giải: Ở bài này, ta sử dụng đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản

√

Do tam giác nhọn nên . Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Mặt khác

(√)

Do đó, Vậy á đề

Bài 5: Cho tam giác nhọn. Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

www.VNMATH.com


56/120


50

Giải: Ở bài này, ta sử dụng đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản

√ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

√

√

Lại theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

(√) Do đó, ề

Giải: Từ giả thiết ta biến đổi

Bài 7: Cho tam giác

thỏa mãn hệ thực

Tìm giá tr ị nhỏ nhất của .(Đề nghị Olympic 30-4, 2006)

Bài 6: Cho tam giác nhọn. Tìm giá tr ị lớ n nhất của biểu thức www.VNMATH.com


57/120


51

Theo định lý hàm số sin, ta đượ c Theo định lý hàm số cos, ta đượ c


√ Do đó,

√ Vậy

√ √

√

Bài 8: Cho tam giác , tìm giá tr ị lớ n nhất của biểu thức

(Đề nghị Olympic 30-4, 2007)

www.VNMATH.com


58/120


52

Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :

√ √ √

√

√

√

(Theo bất đẳng thức Cauchy)

Do đó,

√

Vậy

√

www.VNMATH.com


59/120


53

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN8.3.1. Cho tam giác nhọn, tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

√

8.3.2. Cho tam giác , tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức 8.3.3. Cho tam giác , tìm giá tr ị lớ n nhất của biểu thức

8.3.4. Cho tam giác

, tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

8.3.5. Cho tam giác có diện tích , các cạnh và tam giác có diện tích , các cạnh . Tìm giá tr ị nhỏ nhấtcủa biểu thức 8.3.6. Cho tam giác có các góc thỏa mãn điều kiện . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

8.3.7. Cho tam giác . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức 8.3.8. Cho tam giác . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức

8.3.9. Cho tam giác thỏa điều kiện . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của Từ đó suy ra phương trình sau chỉ có duy nhất một nghiệm√ √ √

www.VNMATH.com


60/120


54

- GỢ I Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN8.3.1. 8.3.2. Ta biến đổi

Ta đượ c, 8.3.3. √ 8.3.4. Ta biến đổi Ta đượ c,

8.3.5. Theo định lý hàm số cos, ta có :

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

Do đó, ồ ạ 8.3.6. Ta biến đổi Theo định lý hàm số sin, ta có :

Không mất tính tổng quát, giả sử Theo định lý hàm số cos và bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √

www.VNMATH.com


61/120


55

Mặt khác,

√

√ Do đó, √ 8.3.7. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Mà

√ Tương tự, ta đượ c

{

√

√

√ √ √ Do đó, 8.3.8. Ta chứng minh bất đẳng thức sau :Cho là các số nguyên dương và các số thực thỏa mãn Thì

Ta đi từ Áp dụng bất đẳng thức trên cho

www.VNMATH.com


62/120


63/120

Chương 9 : Phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số

57

CHƯƠNG 9 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI MỘT

SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ I.

TÓM TẮT MỘT SỐ K Ỹ THUẬT THƯỜ NG DÙNG

ế || ặ ế ặ

ế ặ ế || ặ

ế ặ ế ặ

ế

ị

ộ

ặ

ế ặ

www.VNMATH.com


64/120


58

ế ặ

ế ặ ế ể ứ

ặ

ế ể ứ

[

ặ

ặ

ế ể ứ ặ

ế ể ứ[

ặ

www.VNMATH.com


65/120


66/120


60

Do đó,

Giải: Ta đặt

Khi đó,

Do đó, đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng

Vậy ta có điều phải chứng minh.

| | | | Bài 3: Cho các số thỏa mãn || ||. Chứng minh r ằng

Bài 2: Cho . Chứng minh r ằng

www.VNMATH.com


67/120


61

Giải: Ta xét trườ ng hợ p-

Nếu thì , khi đó đẳng thức cần chứng minh luôn đúng. - Nếu , ta biến đổi đẳng thức cần chứng minh về dạng

Khi đó, ta đặt . Ta đượ c| | | | | | | | Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giải: Ta đặt

Từ giả thiết, ta có :

Ta xét trườ ng hợ p-

Nếu , ta đượ c Điều này mâu thuẫn.

-

Nếu , giả thiết tương đương vớ i

Bài 4: Cho

. Chứng minh r ằng

www.VNMATH.com


68/120


62

Mặt khác, ta có :

{

Thay vào

, ta có được đẳng thức cần chứng minh.

Giải: Từ giả thiết, ta có :

Ta đặt Do đó, Mặt khác, điều cần chứng minh tương đương vớ i


Bài 5: Giả sử là nghiệm của phương trình .Chứng minh r ằng

www.VNMATH.com


69/120


63

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN

9.1.1. Cho . Chứng minh r ằng

9.1.2. Cho . Chứng minh r ằng 9.1.3. Cho . Chứng minh r ằng 9.1.4. Cho . Chứng minh r ằng 9.1.5.

Chứng minh r ằng III.

PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA TRONG CHỨ NG MINH BẤT

ĐẲNG THỨ C-

Ở dạng này, ta cũng sẽ chuyển về dạng bất đẳng thức hàm lượ ng giác. Tuy nhiên,cần chú ý r ằng bất đẳng thức hàm lượ ng giác này sẽ khác đôi chút so vớ i bất đẳngthức hệ thức lượng trong tam giác đã được đề cậ p ở chương 3. Nhưng các bạn vẫn

phải xem lại các bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovsky, Jensen… Ngoài ra, kết hợ pcác phương pháp tìm cực tr ị hàm lượng giác đã nêu ở chương 8 để có thể nhanhchóng tiế p cận phương pháp này.

| |√ | | √ | |√ √

Bài 1: Chứng minh r ằng vớ i mọi

www.VNMATH.com


70/120


64

Giải: Ta đặt

{

Ta có | |

√

√ | |

√ | | Tương tự, ta có :

{| | √ √ | || |√ √ √ | |

Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i

| | | | | |

Mặt khác, | | | | | | | | | | | | | | Do đó, ta có điều phải chứng minh.

Giải: Điều kiện : || . Ta đặt Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i √

√

Bài 2: Chứng minh r ằng

www.VNMATH.com


71/120


65

| | √ || √


Giải: Từ giả thiết, ta đặt Khi đó,

Dấu xảy ra khi và chỉ khi Mặt khác,

Do đó, ta có điều phải chứng minh

Dấu xảy ra khi và chỉ khi


Khi nào dấu đẳng thức xảy ra?

(ĐH Tổng Hợ p Tp.HCM 1996)

www.VNMATH.com


72/120


66

Giải: Ta đặt || Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i


Giải: Ta có

√ Do đó, ta cần chứng minh

√

Ta xét trườ ng hợ p- Nếu thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. - Nếu thì ta đặt

Bài 5: Chứng minh r ằng vớ i mọi

√

Bài 4: Cho || . Chứng minh r ằng www.VNMATH.com


73/120


74/120


68

Giải: Từ điều kiện của bài toán, ta suy ra Do đó, ta có thể chọn 3 góc nhọn sao cho

{

Thay vào giả thiết, ta đượ c Như ta đã chứng minh ở bài 2, phần II. Ta có Như vậy, là 3 góc của tam giác nhọn. Ta biến đổi

{

Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i


Bài 7: Cho các số dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh r ằng :

www.VNMATH.com


75/120


69

Giải: Ta có Ta thấy

{

Do đó, ta đặt

( ) Và

{

Khi đó, Suy ra Hay


Bài 8: Cho thỏa mãn . Chứng minh r ằng www.VNMATH.com


76/120


70

Giải: Ta đặt Ta có : Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i

Dấu xảy ra khi và chỉ khi


Giải: Ta đặt

√ √ √ Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tr ở thành

Bài 10: Cho . Chứng minh r ằng(Đề nghị Olympic 30-4, 2010)

Bài 9: Cho . Chứng minh r ằng www.VNMATH.com


77/120


71

Ta lại có : Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i

Theo bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Jensen, ta có : Khi đó, ta đặt Ta cần chứng minh

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

Dấu xảy ra khi và chỉ khi √ Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giải: Ta có thể giả sử 4 số cho trướ c là . Khi đó tồn tại thỏa mãn ể ạ ằ

Bài 11: Chứng minh r ằng, từ 4 số cho trước ta luôn tìm đượ c 2 số trong 4 số đósao cho

www.VNMATH.com


78/120


72

ạ ả ấ ộ ạ ộ ạ ư ể ọ


Giải: Ta đặt Khi đó, ta cần chứng minh : Và giả thiết tương đương vớ i

Ta thấy : Do đó, Suy ra Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 13:

Cho . Chứng minh r ằng

Bài 12: Cho thỏa mãnChứng minh r ằng :

www.VNMATH.com


79/120


73

Giải: Ta đặt

{

Do

Nên

Do đó, là 3 góc của một tam giác nhọn.Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh thành

Đây là bất đẳng thức cơ bản trong tam giác.


Giải: Tương tự ở các câu trên, vớ i là 3 góc của tam giác , ta đặt

{

Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i

√ √ Bài 14: Cho thỏa mãn . Chứng minh r ằng

www.VNMATH.com


80/120


74

√

√ Ta có :

{

√ Do đó, ta đượ c

√

Dấu xảy ra khi và chỉ khi Thay vào hệ thức , ta đượ c √ Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giải: Ta biến đổi giả thiết tr ở thành Khi đó, vớ i là 3 góc của tam giác ta đặt

{

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i

Bài 15:

Cho thỏ

a mãn . Chứ

ng minh r ằng

www.VNMATH.com


81/120


75

Ta có : Do đó, ta cần chứng minh

Thật vậy, điều đó tương đương vớ i Như vậy, Dấu xảy ra khi và chỉ khi

√

Thay vào hệ thức đã cho, ta đượ c

{ √ √ √


Bài 16: Cho thỏa mãn . Chứng minh r ằng

www.VNMATH.com


82/120


83/120


77

Giải: Vớ i là các số dương. Ta đặt

Khi đó,

{

Ta đưa bài toán về 3 số dương thỏa mãn Do đó, ta có thể coi

là 3 cạnh của tam giác

vớ i góc

.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i Theo định lý hàm số sin, ta có

√

Mặt khác, ta có :

√ Do đó, ta đượ c √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó .Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 18: Cho thỏa mãn . Chứng minh r ằng

www.VNMATH.com


84/120


78

Giải: Tương tự những bài trước, ta đặt

{

Tuy nhiên, do nên là 3 góc của tam giác nhọn .Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh tr ở thành Ta xét hàm số

Do đó, hàm số đồng biến. Theo bất đẳng thức Jensen, ta đượ c Suy ra Dấu

xảy ra khi và chỉ khi tam giác

đều, khi đó

.


Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i

√ Ta đặt


www.VNMATH.com


85/120


79

Mặt khác, ta thấy r ằng

Đều và ta để ý r ằng trong tam giác

nên ta đượ c

{

Vớ i là 3 góc; là 3 cạnh; là nửa chu vi của tam giác .Ta đưa bài toán trở thành

√ Theo định lý hàm số sin, bất đẳng thức trên tương đương vớ i

√

√ Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có :

√

www.VNMATH.com


86/120


80

ụ ấ ẳ ứ ố ồ ế ố ị ế ượ ∑

Do đó, ta có : √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó .Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giải: Vớ i là 3 góc của tam giác , ta đặt

{

Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i √ √

√

Đây chính là bất đẳng thức cơ bản, dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khiđó .Vậy ta có điều phải chứng minh.

√

Bài 20: Cho thỏa mãn . Chứng minh r ằng(Poland 1999)

www.VNMATH.com


87/120


81

Giải: Giả thiết tương đương vớ i Vớ i . Ta đặt

{ √ √ √

Ta đưa giả thiết tr ở thành Như vậy, vớ i là 3 góc của tam giác nhọn . Ta có

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i Đây là bất đẳng thức cơ bản, do đó dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khiđó .Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 22: Cho

thỏa mãn hệ thức

Chứng minh r ằng : √ √ (Iran 1997)

√ √ √

Bài 21: Cho thỏa mãn hệ thứcChứng minh r ằng

www.VNMATH.com


88/120


82

Giải: Vớ i . Ta đặt

Khi đó, giả thiết tương đương vớ i

Và bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i√ √ √ √ √ √ √ Vớ i là 3 góc bất k ỳ thuộc . Ta đặt

{

Đưa giả thiết tr ở thành

Như vậy, là 3 góc của tam giác . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tr ở thành bất đẳng thức cơ bản

Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều, khi đó .Vậy ta có điều phải chứng minh.

www.VNMATH.com


89/120


83

Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vớ i

Không mất tính tổng quát, ta giả sử r ằng . Khi đó, vớ i là 3 góccủa tam giác . Ta đặt

{

Suy ra

Như vậy, ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh tr ở thành

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :

Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có :

Bài 23: Cho . Chứng minh r ằng www.VNMATH.com


90/120


91/120


92/120


86

Suy ra

Ta có thể coi là 3 góc của tam giác nhọn bất k ỳ.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .-

BÀI TẬP TỰ LUYỆN9.2.1. Cho || . Chứng minh r ằng vớ i mọi 9.2.2. Chứng minh r ằng

√ ||

9.2.3. Cho . Chứng minh r ằng|| 9.2.4. Chứng minh r ằng √ 9.2.5. Chứng minh r ằng √ 9.2.6. Chứng minh r ằng vớ i

√ √ 9.2.7. Cho thỏa mãn và . Chứng minh r ằng √ 9.2.8. Chứng minh r ằng √

www.VNMATH.com


93/120


87

9.2.9. Cho || || . Chứng minh r ằng 9.2.10. Cho

là các số dương sao cho

Chứng minh r ằng (√ √ ) 9.2.11. Cho thỏa mãn . Chứng minh r ằng

√ 9.2.12. Cho

thỏa mãn

Chứng minh r ằng

| | √ 9.2.13. Cho thỏa mãn . Chứng minh r ằng √ ( √) ( √) √ 9.2.14. Cho thỏa mãn | | . Chứng minh r ằng 9.2.15. Cho . Chứng minh r ằng tồn tại sao cho

√ √

9.2.16. Đặt và vớ i ̅ sao cho∑ Chứng minh r ằng

∑


www.VNMATH.com


94/120


88

- GỢ I Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN9.2.16. Ta đặt

{

ớ Bất đẳng thức cần chứng minh tr ở thành

∑

∑

ớ ố ị ế Do đó,

∑

∑

∑

IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢ NG GIÁC HÓA TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- Ở dạng này, ta cũng sẽ chuyển về dạng giải phương trình lượ ng giác. Các bạn cần

ôn lại các phương pháp giải phương trình lượ ng giác ở chương 5 để có thể nhanhchóng tiế p cận phương pháp này.

Bài 1: Giải phương trình sau

www.VNMATH.com


95/120


89

Giải: a.

Điều kiện : || . Ta đặt Khi đó, phương trình đượ c chuyển về dạng

⇔

[

[

b. Điều kiện :

||

ặ ươ ươ ươ ớ √ √

√ √

[ √ ⇔ c.

Ta có : Nhận xét r ằng

ộ ệ ủ ươ Đánh giá tương tự, ta suy ra ệ ạ ủ ươ

www.VNMATH.com


96/120


90

Giải: a. Ta xét các trườ ng hợ p

-

, khi đó . Do đó, phương trình vô nghiệm-

, suy ra

. Do đó, phương trình vô

nghiệm- || . Đặt . Khi đó, phương trình trở thành

⇔ } }

b.

Điều kiện : . Ta đặt

Khi đó, phương trình có dạng

√ √ Đặt √ ]. Suy ra

√ √

√ √

Bài 2: Giải phương trình sau

www.VNMATH.com


97/120


91

Khi đó, phương trình trở thành

√ √ √ √

√ ⇔ √ c. Điều kiện : ặ ươ ở

Đặt , √ ]. Suy ra Khi đó phương trình có dạng

√ ⇔

Giải: a.

Điều kiện : ||

ặ

ươ

ạ

√ √ Đặt √ √ ]. Suy ra Khi đó, phương trình tương đương vớ i

Bài 3: Giải các phương trình sau

www.VNMATH.com


98/120


92

√ √ √ √ - Vớ i √

√ ⇔ √ - Vớ i √ √ √ √ ( √ )

√ ( √ ) √

√ √ b. Điều kiện : ặ ươ ạ

⇔

√

c.

Điều kiện : || . Ta đặt . Khi đó √

www.VNMATH.com


99/120


93

√ √

√

√

Giải:

a. Ta đặt √ . Khi đó, ta có hệ phương trình

Như vậy, phương trình đã cho tương đương vớ i

Ta xét hàm số Nếu thì hàm số đồng biến. Do đó, Suy ra phương trình vô nghiệm.

Nếu

thì hàm số

đồng biến. Do đó,

Suy ra phương trình vô nghiệm.Ta xét phương trình trên , đặt Khi đó, phương trình tương đương vớ i

√ √

Bài 4: Giải các phương trình sau

√ √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2006)


www.VNMATH.com


100/120


94

⇔ } } b.

Điều kiện : - Nếu

thì

√ √ .

-

Nếu , ta đặt . Khi đó, √

⇔[

[

c. Điều kiện : . ặ ươ ạ √ √ Đặt √ √ ]. Suy ra Phương trình trở thành

√ √ √ √ Nếu √ thì √

⇔ √

ế

√ √

⇔ √ √

www.VNMATH.com


101/120


95

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN 9.3.1. Giải các phương trình sau

√ √ √ √

√

√ √

√

Trigonometric Book (Volume 3)

Documents

Transcript of Trigonometric Book (Volume 3)