Treap / Structuri de date

Structuri de Date Treap [email protected]

Universitatea

Politehnica

Bucureti

Do you see the young lady? or the old lady?

Exercitii Heap

2 Mai 2015

STRUCTURI DE DATE CURSUL 11 - Treap

Care dintre acestea este un Max-Heap?

Exercitii Heap

3 Mai 2015


Creati un Heap pe baza acestor chei: 10, 12, 1, 14, 8, 6, 5

Exercitii Heap

4 Mai 2015


Eliminati cheia 14 din Heap-ul obtinut in exercitiul precedent

Exercitii Heap

5 Mai 2015


Scrieti o functie care verifica un Heap daca este organizat corect

Exercitii Heap

6 Mai 2015


Care dintre urmatoarele este un Max-Heap valid? a) 25,12,16,13,10,8,14 b) 25,12,16,13,10,8,14 c) 25,14,16,13,10,8,12 d) 25,14,12,13,10,8,16 e) Toate cele de mai sus

Exercitii Heap

7 Mai 2015


Cum va arata vectorul de la exercitiul precedent dupa doua operatii pop?

Exercitii Heap

8 Mai 2015


Se da un heap binar reprezentat cu un array, folosit incepand cu pozitia 1. Pentru un element de indice i, indicele parintelui sau va fi: a) i-1 b) floor(i/2) c) ceil(i/2) d) (i+1)/2

Daca array-yl ar fi folosit incepand cu pozitia 0, care ar fi raspunsul?

Recapitulare BST

9 Mai 2015


Chei stocate n noduri Cheia unui nod este:

mai mare dect cheile nodurilor din subarborele stng mai i dect cheile nodurilor din subarborele drept

Operaii inserare, tergere, gsire maxim, gsire minim O(adncime_arbore)

Aplicatii

10 Mai 2015


Scheduler-ul de Linux kernel folosete arbore rou-negru Jocuri video obiecte din plan care trebuie inserate, terse i

gsite

Probleme BST

11 Mai 2015


Comportament bun pe chei random, dar prost pe input particular

Exemplu: chei sortate

Probleme BST

12 Mai 2015


Standard Template Library nu ajut ntotdeauna Dei exist set, multiset, priority_queue, nu pot oie a k-a

cheie dintr-o ulie de chei

Cum rezolv?

13 Mai 2015


Facem rotaii n arbore (ei proprietatea de arbore de utare)

Cum rezolv?

14 Mai 2015


Rotaie dreapta: Z->left = B; W->right = Z

Rotaie stnga: W->right = B; Z->left = W;

n prati: valori auxiliare pentru interschimbare grij la prite noduri nil pentru nodurile care nu au 2 fii

Echilibrare

15 Mai 2015


Totui, cnd facem rotaiile? i vom asigna fierui nod, la inserare, o prioritate

random

Prioritatea unui nod trebuie s fie mai mare ca prioritatea fiilor si (invariantul de heap)

Vom folosi rotaii ca s asigur pstrarea acestui invariant

Echilibrare

16 Mai 2015


+

Treap

17 Mai 2015


Un treap este un arbore binar care respet doi ivariai Invariantul arborelui de utare pentru chei (tree) Invariantul de heap pentru prioriti (heap)

=> treap

Treap

18 Mai 2015


Operatii Treap: cautare inserare stergere

Treap

19 Mai 2015


template class TreapNode { public: TreapNode *left_son, *right_son, *parent; int prio; ... }

Treap

20 Mai 2015


template class TreapNode { public: T info; TreapNode *left_son, *right_son, *parent; int prio; TreapNode(int (*compare)(T, T), T info) { left_son = right_son = parent = NULL; // Choose a random priority. prio = rand(); } ... }

Treap

21 Mai 2015


template class TreapNode { ... TreapNode* find_info(T x) { if (compare(x, info) == 0) return this; if (compare(x, info) find_info(x); else return NULL; } else { if (right_son != NULL) return right_son->find_info(x); else return NULL; } } ... }

Treap

22 Mai 2015


template class TreapNode { ... TreapNode* insert_info(T x) { int next_son; TreapNode* result; if (compare(x, info)

Treap

23 Mai 2015


template class TreapNode { ... TreapNode* insert_info(T x) { ... if (next_son == 0) { // left son if (left_son == NULL) { left_son = new TreapNode(compare, x); left_son->parent = this; left_son->push_up(); result = left_son; } else result = left_son->insert_info(x); } else { // right son if (right_son == NULL) { right_son = new TreapNode(compare, x); right_son->parent = this; right_son->push_up(); result = right_son; } else result = right_son->insert_info(x); } return result; } ... }

Treap

24 Mai 2015


template class TreapNode { ... void rotate_right() { TreapNode* gparent = parent->parent; TreapNode* rson = right_son; parent->left_son = rson; if (rson != NULL) rson->parent = parent; right_son = parent; parent->parent = this; if (gparent != NULL) { if (gparent->left_son == parent) gparent->left_son = this; else gparent->right_son = this; } parent = gparent; } ... }

Treap

25 Mai 2015


template class TreapNode { ... void rotate_left() { TreapNode* gparent = parent->parent; TreapNode *lson = left_son; parent->right_son = lson; if (lson != NULL) lson->parent = parent; left_son = parent; parent->parent = this; if (gparent != NULL) { if (gparent->left_son == parent) gparent->left_son = this; else gparent->right_son = this; } parent = gparent; } ... }

Treap

26 Mai 2015


template class TreapNode { ... void push_up() { while (parent != NULL) { if (prio > parent->prio) { TreapNode* gparent = parent->parent; if (parent->left_son == this) { rotate_right(); } else { rotate_left(); } } else break; } } ... }

Treap exemplu inserare

27 Mai 2015



28 Mai 2015



29 Mai 2015


Treap

30 Mai 2015


template class TreapNode { ... void remove_self() { TreapNode *p; if (left_son == NULL && right_son == NULL) { if (parent == NULL) { // this == root delete this; } else { if (parent->left_son == this) parent->left_son = NULL; else parent->right_son = NULL;

delete this; } } else { . . . // vezi pagina urmatoare } } ... }

Treap

31 Mai 2015


template class TreapNode { ... // Intoarce 1 daca e stearsa radacina arborelui si 0 altfel. int remove_self() { . . . } else { if (left_son != NULL) { // Gaseste nodul cu cea mai mare val din subarb stang. p = left_son; while (p->right_son != NULL) p = p->right_son; } else { // right_son != NULL // Gaseste nodul cu cea mai mica val din subarb drept. p = right_son; while (p->left_son != NULL) p = p->left_son; } memcpy(&info, &(p->info), sizeof(T)); p->remove_self(); // si putem sa ne oprim aici sau... } } ... }

Treap

32 Mai 2015


template class TreapNode { ... // Intoarce 1 daca e stearsa radacina arborelui si 0 altfel. int remove_self() { . . . } else { if (left_son != NULL) { // Gaseste nodul cu cea mai mare val din subarb stang. p = left_son; while (p->right_son != NULL) p = p->right_son; } else { // right_son != NULL // Gaseste nodul cu cea mai mica val din subarb drept. p = right_son; while (p->left_son != NULL) p = p->left_son; } swap_with(p); p->remove_self(); push_down(); } } ... }

Treap

33 Mai 2015


template class TreapNode { ... void push_down() { while (left_son!=NULL || right_son!=NULL) { // rotim in directia fiului cu prioritate mai mare // pt ca avem un max-heap if (left_son==NULL || left_son.prio < right_son.prio) right_son->rotate_left(); else left_son->rotate_right(); } ... }

Treap exemplu stergere

34 Mai 2015



35 Mai 2015



36 Mai 2015


Treap

37 Mai 2015


template class TreapNode { ... int remove_info(T x) { TreapNode *t = find_info(x); if (t != NULL) return t->remove_self(); else return 0; } ... }

Analiza

38 Mai 2015


Existe: O rotaie eie proprietatea de BST, se folosete pentru

respectarea celei de heap

Unicitate: Nodul cu prioritatea cea mai mare va fi radai mparte n mod unic (dup invariantul de BST) n doi

subarbori

Se apli recursiv

Complexitate

39 Mai 2015


Datorit alegerii random a prioritilor, inserarea i stergerea au loc in O(logN), N urul de noduri din arbore

Nurul ateptat de rotaii ntr-o inserare este O(1) Deostraie:

Depeste scopul cursului :) Dar se poate gsi la

http://www.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/project/scandal/public/papers/treaps-spaa98.pdf

Reading material

40 Mai 2015


1. http://www.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/project/scandal/public/papers/treaps-spaa98.pdf

2. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/teaching/algorithms/notes/10-treaps.pdf

3. http://www.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/academic/class/15451-s07/www/lecture_notes/lect0208.pdf

Alte posibile operatii

41 Mai 2015


Gsire element cheie minima Gsire element cheie axi Gsirea celei de-a k-a cheie, n ordine sortat Split Join

Takeaway

42

- Recapitulare Heap - Recapitulare BST - Rotatii si echilibrare - Treap

- Definitie - Operatii - Implementare - Analiza - Complexitate

Mai 2015


+

Treap / Structuri de date

Documents

Transcript of Treap / Structuri de date