Transportation A Stochastic Model for Inter-terminal Container fileows. This has resulted in ports...
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Memorandum 2032 (December 2013). ISSN 1874-4850. Available from: http://www.math.utwente.nl/publications Department of Applied Mathematics, University of Twente, Enschede, The Netherlands * † ‡ § * † ‡ §
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ENFV i =
M∑
k=1
kP(NFV i = k), i = 0, · · · , 5. ✭✶✮
◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✉♥✉s❡❞ ✈❡❤✐❝❧❡s ❞✉r✐♥❣ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ NC = 1 +NFV 0✳
❆♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ♦❢ t❤❡ ❇✲s②st❡♠✱ ✐s ♠♦r❡ ❡❧❛❜♦r❛t❡ s✐♥❝❡ ♥♦✇ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ✐♥❝❧✉❞❡
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❛ ✈❡❤✐❝❧❡ t❤❛t ✈✐s✐ts t❤❡ ❈❉P ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❞❡♣❛rts ❛❣❛✐♥✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡
♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ♥♦❞❡ i ❜② NBV i✳ ◆❡①t ❝♦♥s✐❞❡r r❡q✉❡sts ✇❛✐t✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧
q✉❡✉❡✳ ❖♥❝❡ ✐♥ ❛ ✇❤✐❧❡✱ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❤✐❝❧❡ r❡t✉r♥s t♦ t❤❡ ❈❉P t♦ ♣✐❝❦ ✉♣ t❤❡ ✇❛✐t✐♥❣
NC ↑
❋
❋✐❣✉r❡ ✺✿ ❉❡♣✐❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞✳
✽
r❡q✉❡sts ❜✉t ❛t ♠♦st c✳ ❚❤❡ t✐♠❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛rr✐✈❛❧s ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s s❡r✈✐❝❡
t✐♠❡s ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ s❡r✈❡r ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❤❛♥❞❧❡ ❜❛t❝❤❡s ♦❢ s✐③❡ c✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛♥❛❧②s✐s ✇❡
❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡s❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡s ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❋♦r ♥♦✇✱ ✇❡ ❛❧s♦ t❛❦❡ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡
❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛s ❦♥♦✇♥✳ ❆t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❝♦♠❡ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡
✐♥t❡r ❛rr✐✈❛❧ t✐♠❡s ♦❢ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s✳
❈♦♥s✐❞❡r ❛ M/GY /1 s②st❡♠ ✇✐t❤ ❜✉❧❦ s❡r✈✐❝❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ s❡r✈❡r ❝❛♥ s❡r✈❡ ✉♣t♦ c
❝✉st♦♠❡rs ❛t ❛ t✐♠❡✳ ❲❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r ❡♥❞s ❛ s❡r✈✐❝❡ ❛♥❞ ❧❡ss t❤❛♥ c ❝✉st♦♠❡rs ❛r❡ ✇❛✐t✐♥❣✱
t❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r st❛rts ❛ s❡r✈✐❝❡ ✇✐t❤ t❤❡s❡ ❝✉st♦♠❡rs ✭❡✈❡♥ ✐❢ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ❝✉st♦♠❡rs ❛t ❛❧❧✮✳
▲❡t S(s) ❜❡ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❙t✐❡❧t❥❡s tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡s✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ③✲tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢
t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝✉st♦♠❡rs t❤❛t ❛rr✐✈❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ nth s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② An✮ s❛t✐s✜❡s
A(z) = E(zA) = S(λ(1− z)) ✭✷✮
✇❤❡r❡✱ λ ✐s t❤❡ ❛rr✐✈❛❧ r❛t❡✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t λES < c ✇❤❡r❡ ES = −S′(0) ✐s t❤❡
❡①♣❡❝t❡❞ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡✳ ▲❡t Ln ❞❡♥♦t❡ t❤❡ q✉❡✉❡ ❧❡♥❣t❤ ❛❢t❡r t❤❡ nth s❡r✈✐❝❡ ❤❛s st❛rt❡❞
t❤❡♥ Ln+1 = max(Ln+An−c, 0)✳ ❋♦r t❤❡ ③✲tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ L
✇❡ ✜♥❞ ✭✸✮ ✉s✐♥❣ ❡①✐st✐♥❣ r❡s✉❧ts ❬s❡❡ ✭❈❤❛✉❞❤r② ✫ ❚❡♠♣❧❡t♦♥ ✶✾✽✸✮ ♦r ✭✈❛♥ ❖♠♠❡r❡♥
✶✾✾✶✮❪
L(z) =
(
c− λES∏c−1
j=1(1− zj)
)(
(1− z)∏c−1
j=1(z − zj)
A(z)− zc
)
. ✭✸✮
✇❤❡r❡✱ t❤❡ zi✱ i = 1, · · · , c − 1 ❛r❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ✇✐t❤✐♥ t❤❡
❝♦♠♣❧❡① ✉♥✐t ❝✐r❝❧❡ ✭|z| < 1✮✳ ◆♦t❡ t❤❛t P(L = 0) = L(0) ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ q✉❡✉❡
❧❡♥❣t❤ ❥✉st ❛❢t❡r t❤❡ ❞❡♣❛rt✉r❡ ♦❢ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ EL = L′(1)✳ ■♥ t❤❡ s❡q✉❡❧✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇
t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ LT ✱ t❤❛t ✐s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ q✉❡✉❡ ❧❡♥❣t❤ ❛t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥t ✐♥ t✐♠❡✳
❇② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t
ELT = EL+1
2λ(1 + c2S)ES, ✭✹✮
✇❤❡r❡ c2S = S′′(0)/S′(0)2 − 1✳
❆t t❤✐s ♣♦✐♥t✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥❛❧②③❡❞ t❤❡ ❋✲s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❇✲s②st❡♠ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞
❛♥❞ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ✭s❡❡ ❋✐❣✉r❡ ✻✮✳ ❚♦ ❝♦♠♣❧❡t❡ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇
t❤❡ ❧❡♥❣t❤s ♦❢ t❤❡s❡ ♣❡r✐♦❞s ❛♥❞ t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ✐s ✉s❡❞✳
❍❡r❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ❇✲♣❡r✐♦❞s ❛♥❞ ❋✲♣❡r✐♦❞s ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❛t
t❤❡② ❜❡❤❛✈❡ ❛s ✐♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s②st❡♠s✳
❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❛②✿ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❧♦s❡❞
✾
s②st❡♠ ✇✐t❤ t❤❡ ❈❉P ❛ s✐♥❣❧❡ s❡r✈❡r ✇✐t❤ r❛t❡ λ✱ ❜✉t ♥♦✇ ✇✐t❤ K ✈❡❤✐❝❧❡s ❛♥❞ ❛♥❛❧②③❡
t❤✐s s②st❡♠ ❜② ▼❉❆✳ ❇② t❤✐s ♠❡t❤♦❞✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s②✱
t❤❛t ✐s P(NKV 0 = 0) ✇❤❡r❡ NK
V 0 ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t t❤❡ ❈❉P✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱
❜② r❡♥❡✇❛❧ t❤❡♦r②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣r❡ss t❤✐s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛❧s♦ ❛s t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ❛❧❧
✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s② ❛♥❞ t❤❡ t✐♠❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❡♣♦❝❤s ❛t ✇❤✐❝❤ ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❜❡❝♦♠❡ ❜✉s②✳
◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t✐♠❡ t❤❛t ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s② ✐s ❥✉st ES✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ s❡r✈✐❝❡
t✐♠❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❥✉st t❤❡ t✐♠❡
❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥ts t❤❛t t❤❡ ✜rst ✈❡❤✐❝❧❡ ❜❡❝♦♠❡s ✐❞❧❡ ✉♥t✐❧ ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s② ❛❣❛✐♥✳
❚♦❣❡t❤❡r t❤✐s ❣✐✈❡s t❤❛t t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ TF ✱ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
ETF =P(NK
V 0 > 0)
P(NKV 0 = 0)
ES. ✭✺✮
❚❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② ✜rst ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ ❜✉s② ♣❡r✐♦❞ ♦❢
t❤❡ s❡r✈❡r ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ t✐♠❡ ❡❧❛♣s❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠♦♠❡♥ts ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡
s❡r✈❡r ❧❡❛✈❡s ❛♥ ❡♠♣t② q✉❡✉❡✱ t❤❛t ✐s L = 0✳ ❉✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢
s❡r✈✐❝❡ st❛rts ❡q✉❛❧s 1/P(L = 0)✱ s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤✐s ❜✉s② ♣❡r✐♦❞ ✐s ETBP =
ES/P(L = 0)✳ ❆ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❡♥❞s ✇❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r ❧❡❛✈❡s ❛♥❞ ♥♦ ♦♥❡ ❡♥t❡rs ❞✉r✐♥❣ t❤❡
❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ♥♦ r❡q✉❡sts ❡♥t❡r ❞✉r✐♥❣ ❛ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s
❣✐✈❡♥ ❜② A(0) = S(λ)✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✉s② ♣❡r✐♦❞s ❞✉r✐♥❣ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧②
❞✐str✐❜✉t❡❞ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② S(λ) s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ TB✱ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛ ❇✲
♣❡r✐♦❞✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
ETB =ETBP
S(λ)=
ES
S(λ)P(L = 0). ✭✻✮
❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② PF t❤❛t t❤❡ s②st❡♠ ✐s ✐♥ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② t✐♠❡ ♣♦✐♥t ✐s ♥♦✇
❣✐✈❡♥ ❜②
PF =ETF
ETF + ETB. ✭✼✮
❚❤❡ ▼❉❆ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♣r♦✈✐❞❡ ✉s ✇✐t❤ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ❡✈❡r② ♥♦❞❡
✭❝❢✳ ❡q✳ ✭✶✮✮✱ ❜♦t❤ ❞✉r✐♥❣ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞✳ ❚♦ ❛♣♣❧② ▲✐tt❧❡✬s ▲❛✇ ❤♦✇❡✈❡r✱
✇❡ ❞♦ ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡q✉❡sts ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✳ ❙✐♥❝❡ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ✐♥
❇ ❋ ❇ ❋ ❇ ❋
❙②st❡♠ ❈②❝❧❡
❋✐❣✉r❡ ✻✿ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❝②❝❧❡✳
✶✵
t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ ❝❛♥ ❝❛rr② ♠♦r❡ ❝♦♥t❛✐♥❡rs✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❝❛♣❛❝✐t② ✉s❡❞ ❜② t❤❡
✈❡❤✐❝❧❡s ✭✇❤✐❝❤ ✐s ❛t ♠♦st ❝✮✳ ❲❡ ✜rst ✜♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ❧❡❛✈❡ ❞✉r✐♥❣
❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❇✲♣❡r✐♦❞✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❡✈❡r② ❛rr✐✈❛❧ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❋✲
♣❡r✐♦❞ ✐s s❡r✈❡❞ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②✱ s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ❞❡♣❛rt ❞✉r✐♥❣ t❤✐s
♣❡r✐♦❞✱ ❡q✉❛❧s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛rr✐✈❛❧s ❞✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ ✇❤✐❝❤ ✐s λETF ✳ ❉✉r✐♥❣
t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❡♣❛rt✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡s ✐s(
S(λ)P(L = 0))−1
✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ✜rst
✈❡❤✐❝❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❝♦✉♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞✳ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧②✱ ♦♥ ❛✈❡r❛❣❡✱
t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✉s❡❞ ❜② ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❡q✉❛❧s
ECV =λ(ETF + ETB)
λETF +(
S(λ)P(L = 0))−1
− 1. ✭✽✮
◆♦✇ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ LP ✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡q✉❡sts ❜❡✐♥❣ ♣r♦❝❡ss❡❞✱
❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❛ r❡q✉❡st ❜② ECV ♦r
ELP =M−1∑
i=1
(
PFENFV i + (1− PF )ENB
V i
)
ECV .
❚❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥s ENFV i ❛♥❞ ENB
V i ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ▼❉❆✳ ❇② ❛♣♣❧②✐♥❣ ▲✐tt❧❡✬s ▲❛✇✱ ✇❡
✜♥❞
EW =ELP + ELT (1− PF )
λ,
✇❤❡r❡ ELT ✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡q✉❡sts ✐♥ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ q✉❡✉❡ ❞✉r✐♥❣ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ ✐s
❣✐✈❡♥ ✐♥ ❡q✳ ✭✹✮
❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ♦t❤❡r ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡ ✉t✐❧✐③❛t✐♦♥
✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ✐s ♥♦t ✐❞❧✐♥❣ ❛t t❤❡ ❈❉P✳ ❉✉r✐♥❣ ❛ ❇✲
♣❡r✐♦❞ ❛❧❧ K ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s②✱ ✇❤❡r❡❛s ✐♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ K − ENC ❛r❡ ❜✉s②✳ ❙♦ t❤❡
✉t✐❧✐③❛t✐♦♥ U ✐s
U = 1− ENC
K· PF . ✭✾✮
❲❡ ✜♥✐s❤ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❜② s♦♠❡ r❡♠❛r❦s ♦♥ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞✉r✐♥❣ t❤❡
❇✲♣❡r✐♦❞✳ ❚❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✐s r❡❛❞✐❧② ❢♦✉♥❞ ❜② t❤❡ ▼❉❆✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t✱ ❤♦✇❡✈❡r✱
✐s ❛❧r❡❛❞② ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ✜♥❞✱ ❧❡t ❛❧♦♥❡ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡
❜② ❞♦✐♥❣ ❛ ❞❡t❛✐❧❡❞ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ♣r♦❞✉❝t ❢♦r♠ ♥❡t✇♦r❦✱ ❜✉t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ♦❢
t✇♦ t❡r♠✐♥❛❧s ❛♥❞ ♦♥❡ str❡❛♠✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ✐s ❛❧r❡❛❞② ❤❛r❞ t♦ ✜♥❞✳ ■♥ t❤❡ s❡q✉❡❧✱
s♦♠❡ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r❡ ❣✐✈❡♥✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✜rst t✇♦ ♠♦♠❡♥ts✳ ❋♦r ♥♦✇✱ ❛ss✉♠❡
t❤❛t ✇❡ ❦♥♦✇ ES ❛♥❞ c2S = var(S)/(ES)2 ≤ 1✳ ❚♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ S(s)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♠❛❦❡
✶✶
s♦♠❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ❲❡ ♥❡①t ♣r❡s❡♥t s❡✈❡r❛❧ ♦♣t✐♦♥s ❢♦r
♠♦❞❡❧✐♥❣ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✳
• ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❛ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ■t
✐s ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ t❤❛t
S(s) =µ
µ+ se−sD, ✭✶✵✮
✇✐t❤ D = ES(1− cS) ❛♥❞ µ−1 = cSES✳
• ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s ❡✐t❤❡r ❝♦♥st❛♥tD ✭✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p✮ ♦r ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠
✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ 1/µ✳ ■t ✐s ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ t❤❛t ✇❡ ♠❛② t❛❦❡ D = 1/µ = ES
❛♥❞ p = (1− c2S)✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s
S(s) = pe−sD + (1− p)µ
µ+ s. ✭✶✶✮
• ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❛♥ ❊r❧❛♥❣✐❛♥(k, ν) r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛♥❞ ❛♥ ❡①♣♦✲
♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ 1/µ✳ ■t ✐s ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ t❤❛t
S(s) =µ
µ+ s
(
ν
ν + s
)k
✭✶✷✮
✇✐t❤ k ≥ 1−c2Sc2S
✱ µ = (αES)−1 ❛♥❞ ν = k((1−α)ES)−1✱ ✇❤❡r❡ α =
√c2Sk2−(1−c2
S)k+1
k+1 ✳
• ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s ❡✐t❤❡r ❛♥ ❊r❧❛♥❣✐❛♥(k, ν) r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p
♦r ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❜♦t❤ ✇✐t❤ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ k/ν = 1/µ = ES✳ ■t ✐s
❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ t❤❛t ✇❡ ♠❛② t❛❦❡
S(s) =µ
µ+ s
(
ν
ν + s
)k
✭✶✸✮
✇✐t❤ k ≥ c−2S ❛♥❞ p =
1−c2S1−1/k ✳
❖✉r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ ♥♦t ✈❡r② s❡♥s✐t✐✈❡ t♦ t❤❡
❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥ ✉s❡✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t ✉s✐♥❣ t❤❡ ♠✐① ♦❢ ❛
❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❛♥❞ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ s❡❡ ❡q✳ ✭✶✶✮ ✇✐t❤ c2S = (1−K−1/2)2✱ ❣✐✈❡s ❛
❣♦♦❞ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳
✶✷
✷✳✸ ▼✉❧t✐✲str❡❛♠ ❝❛s❡
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡ ✇✐t❤ ♠✉❧t✐♣❧❡ t❡r♠✐♥❛❧s ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧❡ str❡❛♠s✳ ❆s
❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ s❡❡ ❋✐❣✉r❡ ✼✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ♥♦t ✐❞❧❡ ✇❤❡♥ ❛ r❡q✉❡st ✐s
❚❡r♠✐♥❛❧ ❆
❚❡r♠✐♥❛❧ ❇
❚❡r♠✐♥❛❧ ❈
❈❡♥tr❛❧❉✇❡❧❧✐♥❣P♦✐♥t
❋✐❣✉r❡ ✼✿ ❚❤❡ ♠✉❧t✐✲str❡❛♠ ❝❛s❡
✇❛✐t✐♥❣✳ ■❢ ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s②✱ ✐♥❝♦♠✐♥❣ r❡q✉❡sts ❛r❡ q✉❡✉❡❞✳ ❲❤❡♥ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ r❡t✉r♥s
t♦ t❤❡ ❈❉P✱ ✐t ✇✐❧❧ ♣✐❝❦ ✉♣ t❤❡ ✜rst r❡q✉❡st ✐♥ t❤❡ q✉❡✉❡ ❛♥❞ ❛❧❧ r❡q✉❡sts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡
❖❉P ✉♣ t♦ ✐ts ❝❛♣❛❝✐t② c✳ ❘❡q✉❡sts ✇✐t❤ ❖❉P i ❛rr✐✈❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛ P♦✐ss♦♥ ♣r♦❝❡ss
✇✐t❤ r❛t❡ λℓ✱ ℓ = 1, · · · ,M ✱ ✇❤❡r❡ M ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❖❉P✬s✳ ❚❤❡ t♦t❛❧ ❛rr✐✈❛❧
r❛t❡ λ =∑M
ℓ=1 λℓ✳ ❆❧❧ ❖❉P r❡q✉❡sts ♦❢ t②♣❡ ℓ ❤❛✈❡ ❛ ✜①❡❞ r♦✉t❡ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦
✭s♦ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s s❡r✈✐❝❡✐♥❣ ❛ t②♣❡ ℓ r❡q✉❡st t♦✮✱ r❡✢❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ r♦✉t✐♥❣ ♠❛tr✐① Rℓ✳ ❆❢t❡r
❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❤❛s ❞❡❧✐✈❡r❡❞ t❤❡ ❝♦♥t❛✐♥❡rs ❛t t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ t❡r♠✐♥❛❧✱ t❤❡ t②♣❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡
❝❤❛♥❣❡s t♦ ✬✵✬✱ ♥♦t s❡r✈✐❝✐♥❣ ❛ r❡q✉❡st✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❜② t❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ t❤❡ ❛rr✐✈❛❧ r❛t❡ ♦❢
t②♣❡ ✵ ✈❡❤✐❝❧❡s ✐s λ0 = λ✳ ❚❤❡ ✈✐s✐t r❛t✐♦s ♦❢ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ♦❢ t②♣❡ ℓ t♦ ❛ ♥♦❞❡ i ✐s Vℓi✳
❋♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s✱ ✇❡ ❛❣❛✐♥ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞s ❛♥❞ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞s✳ ❉✉r✐♥❣ ❛♥
❋✲♣❡r✐♦❞✱ ❡✈❡r② ✐♥❝♦♠✐♥❣ r❡q✉❡sts ✐s ♣r♦❝❡ss❡❞ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②✳ ❚❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤✐s ♣❡r✐♦❞
✐s ❛❣❛✐♥ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ▼❉❆ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✭♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✮ ❜✉t ♥♦✇ ✇✐t❤
❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ❝♦♥t❛✐♥❡r r❡q✉❡sts✱ s♦ ✇✐t❤ ❛♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ r♦✉t✐♥❣ ♠❛tr✐① ✇❤✐❝❤ r❡✢❡❝ts
t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s❀ ♠♦r❡ ❡①♣❧✐❝✐t❡❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr✐❡s ♦❢ R✱ t❤❡ r♦✉t✐♥❣ ♠❛tr✐①
❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❤✐❝❧❡✱ ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜②
Rij =M∑
ℓ=0
pℓiRℓ,ij , ✭✶✹✮
✶✸
✇❤❡r❡ pℓi✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❛t st❛t✐♦♥ i ✐s ♦❢ t②♣❡ ℓ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
pℓi =λℓVℓi
∑Mℓ=0 λℓVℓi
. ✭✶✺✮
❚❤❡ ▼❉❆ ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ NFV i✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ♥♦❞❡ i✱
❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ENFV i ❢♦❧❧♦✇s✳
❖♥❧② ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ q✉❡✉❡✳ ❲❡ ♠♦❞❡❧ t❤❡
s②st❡♠ ✇✐t❤ M = K(K − 1) ❞✐✛❡r❡♥t ❖❉P✬s ❛s M q✉❡✉❡s✱ ♦♥❡ ❢♦r ❡✈❡r② str❡❛♠✳ ❋♦r
✐♥st❛♥❝❡✱ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❋✐❣✉r❡ ✼✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r M = 6 q✉❡✉❡s✱ ❡❛❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛
str❡❛♠✳ ❖♥❝❡ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ r❡t✉r♥s t♦ t❤❡ ❈❉P✱ ✐t ❣♦❡s t♦ t❤❡ q✉❡✉❡ t❤❛t ❤❛s t❤❡ ❡❛r❧✐❡st
❛rr✐✈❡❞ ❝✉st♦♠❡r ✭♦r ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧②✱ t❤❡ ❧♦♥❣❡st ✇❛✐t✐♥❣ ❝✉st♦♠❡r✮ ❛♥❞ t❛❦❡s ❛t ♠♦st c
r❡q✉❡sts ❢r♦♠ t❤✐s q✉❡✉❡✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ♦❢ ❛❧❧ ♥♦♥❡♠♣t② q✉❡✉❡s✱
r❡q✉❡sts ❛r❡ t❛❦❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ q✉❡✉❡ ❜② t❤✐s r❡t✉r♥✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡✱ ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡ ❛rr✐✈❛❧
r❛t❡✳ ▼♦r❡ ❢♦r♠❛❧❧②✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ✇❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r r❡t✉r♥s t♦ t❤❡ ❈❉P✱ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢
q✉❡✉❡s ❛r❡ ♥♦t ❡♠♣t②✳ ▲❡t MNE ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ♥♦♥❡♠♣t② q✉❡✉❡s ✉♣♦♥ ❛rr✐✈❛❧ ♦❢ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡✱
s♦ MNE ⊂ M = {1, · · · ,K}✳ ❆ q✉❡✉❡ m ∈ MNE ✐s s❡r✈❡❞ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② pm = λm/Λ
✇❤❡r❡ Λ =∑
m∈MNEλm✳ ❲✐t❤ t❤❡s❡ r✉❧❡s✱ ❧❡t qm ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t q✉❡✉❡ m
✐s ❡♠♣t② ❛❢t❡r ❛ s❡r✈✐❝❡ ❛♥❞ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤✐s q✉❡✉❡ ✐s ❡♠♣t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢
t❤❡ ♦t❤❡r q✉❡✉❡s✳ ❚❤❡♥
P (MNE) =∏
m∈MNE
(1− qm)∏
m∈MCNE
qm. ✭✶✻✮
❚♦❣❡t❤❡r✱ t❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t q✉❡✉❡ ℓ✱ ❣✐✈❡♥ t❤❛t t❤✐s
q✉❡✉❡ ✐s ♥♦♥ ❡♠♣t②✱ ✐s s❡r✈❡❞
pℓ = λℓ
∑
MNE∈Mℓ
P (MNE)/(1− qℓ)∑
m∈MNEλm
. ✭✶✼✮
■♥ ❡q✳ ✭✶✼✮✱ Mℓ ❞❡♥♦t❡s s❡t ♦❢ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ✇✐t❤ q✉❡✉❡ ℓ ♥♦♥ ❡♠♣t②✳
❚♦ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ q✉❡✉❡s✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❛ ♥♦♥ ❡♠♣t② q✉❡✉❡ i ✐s ❛❧✇❛②s s❡r✈❡❞ ✇❤❡♥
t❤❡ s❡r✈❡r ❣❡ts ❢r❡❡✱ ❜✉t t❤❛t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s❡r✈❡❞ r❡q✉❡sts ✐s ③❡r♦ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②
1− pi✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ ③✲tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡q✉❡sts s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ q✉❡✉❡ i ✐s
✶✹
1− pi(1− zc)✳ ❚❤❡ ③✲tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ q✉❡✉❡ ❧❡♥❣t❤ ❛t q✉❡✉❡ ℓ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✭❝❢✳ ❡q✳ ✭✸✮✮
Lℓ(z) =
(
cpℓ − λℓES∏c−1
j=1(1− zj)
)(
(1− z)∏c−1
j=1(z − zj)
Aℓ(z)((1− pℓ)zc − pℓ)− zc
)
. ✭✶✽✮
✇❤❡r❡ t❤❡ zj ✱ j = 1, · · · , c − 1 ❛r❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ✇✐t❤✐♥ t❤❡
❝♦♠♣❧❡① ✉♥✐t ❝✐r❝❧❡ ❛♥❞ Aℓ(z) = S(λℓ(1 − z))✳ ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡s ❛r❡ ❢♦✉♥❞ ❜② t❤❡
▼❉❆ ✭❛s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✮ ✇❤❡r❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❞✉r✐♥❣ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❛ ❞❡♣❛rt✐♥❣
✈❡❤✐❝❧❡ ✐s ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❛ t②♣❡ i r❡q✉❡st ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧t② λi/λ✳ ❇② t❤✐s ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤❡
r♦✉t✐♥❣ ♠❛tr✐① ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❞❡♣❛rt✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡ ✐s R✱ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❡q✳ ✭✶✺✮✳ ❚❤❡ ▼❉❆
❛❧s♦ ♣r♦✈✐❞❡s ✉s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ NBV i✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ♥♦❞❡ i ✐♥
t❤❡ ❇✲s②st❡♠✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ENBV i ❢♦❧❧♦✇s✳
◆♦t❡ t❤❛t Lℓ(z) ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ pℓ ❛♥❞ pℓ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ qk = Lk(0)Ak(0)✱ k = 1, · · · ,M ✳
❲❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ pℓ ❛♥❞ qℓ t❤❛t s❛t✐s❢② t❤❡s❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② r❡❧❛t✐♦♥s✱ ✉s✐♥❣ ❛♥
✐t❡r❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚❤✐s ✐s ❢♦r♠❛❧❧② st❛t❡❞ ❛s ❛ ❧❡♠♠❛ ❜❡❧♦✇✳
▲❡♠♠❛ ✶✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s✿
✶✳ ❙❡t n = 1 ❛♥❞ p(1)ℓ = 1✱ ℓ = 1, · · · ,M ❀ t❤✐s ❛ss✐❣♥s ❛❧❧ ❝❛♣❛❝✐t② t♦ ❛❧❧ q✉❡✉❡s✳
✷✳ ❈♦♠♣✉t❡ L(n)ℓ (z) ✇✐t❤ p
(n)ℓ ✱ ℓ = 1, · · · ,M ❀
✸✳ ❙❡t n = n+ 1 ❛♥❞ q(n)ℓ = L
(n−1)ℓ (0)Aℓ(0)✱ ℓ = 1, · · · ,M ❀
✹✳ ❯s❡ q(n)ℓ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ p
(n+1)ℓ ❜② ❡q✳ ✭✶✼✮❀
✺✳ ■♥❝r❡❛s❡ ♥ ❛♥❞ ✐t❡r❛t❡ st❡♣ ✷✱ ✸ ❛♥❞ ✹ ✉♥t✐❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳
Pr♦♦❢✳ ❚♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ❛❜♦✈❡ s❝❤❡♠❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s✱ ✇❡ ✜rst ♥♦t❡ t❤❛t ✐❢ p(n−1)ℓ ≥ p
(n)ℓ
t❤❡♥ q(n)ℓ ≥ q
(n+1)ℓ ✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t q
(n−1)ℓ ≥ q
(n)ℓ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t p
(n)ℓ ≥ p
(n+1)ℓ ✱ ✇❡ ❝❛♥
s❡❡ t❤❛t ✇❡ ✇♦✉❧❞ t❤❡♥ ❣❡t ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡s p(n)ℓ ❛♥❞ q
(n+1)ℓ ✱ ❢♦r n = 1, 2 · · · ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡
♥✉♠❜❡rs t❤❛t s❤♦✉❧❞ ❝♦♥✈❡r❣❡✳ ❆s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✼✮✱ pℓ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢
q1, · · · , qM ❀ ❛♥❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♠❛❦❡ t❤✐s ❡①♣❧✐❝✐t✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ✐t ❛s pℓ(q1, · · · , qM )✳ ❋✉rt❤❡r✱ ❧❡t
q∗ℓ ❜❡ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❧❡ss t❤❛♥ qℓ✳ ❲❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t pℓ(q1, · · · , qM ) ≥ pℓ(q∗1, · · · , q∗M )✳
❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ t❤✐s ❢♦r ℓ = 1✳
◆♦✇ ✜rst ❛ss✉♠❡ t❤❛t ♦♥❧② qM ≥ q∗M ✳ ▲❡t MZ ❞❡♥♦t❡ ❛♥② s✉❜s❡t ♦❢ {2, · · · ,M − 1}
✶✺
❛♥❞ P(MZ) =∏
m∈MZ(1− qm)
∏
m∈MCZqm ✇❤❡r❡ MC
Z ⊂ {2, · · · ,M − 1}✳ ❚❤❡♥
p1(q1, · · · , qM ) ✭✶✾✮
= λ1
∑
MZ
P (MZ)
(
qM∑
m∈{1}∪MZλm
+1− qM
λM +∑
m∈{1}∪MZλm
)
✭✷✵✮
≥ λ1
∑
MZ
P (MZ)
(
q∗M∑
m∈{1}∪MZλm
+1− q∗M
λM +∑
m∈{1}∪MZλm
)
✭✷✶✮
= pi(q1, · · · , qM−1, q∗M ). ✭✷✷✮
❲❡ ❝❛♥ r❡♣❡❛t t❤✐s ❛r❣✉♠❡♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t
p1(q1, · · · , qM ) ≥ p1(q1, · · · , q∗M−1, qM ) ≥ p1(q1, · · · , q∗M−1, q∗M ). ✭✷✸✮
❇② r❡♣❡❛t✐♥❣ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛r❣✉♠❡♥t❛t✐♦♥ ✇❡ ❣❡t
p1(q1, · · · , qM ) ≥ p1(q1, q∗2 · · · , q∗M ) = p1(q
∗1, · · · , q∗M ). ✭✷✹✮
❚❤✐s ♣r♦✈❡s t❤❡ ❧❡♠♠❛✳ �
◆♦✇ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ❛♥❛❧②s❡ t❤❡ q✉❡✉❡s ❢♦r t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❖❉P✬s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❣✐✈❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s
❢♦r t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ♠✉❧t✐✲str❡❛♠ ❝❛s❡✳ ▼♦st ♦❢ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛r❡ ❡q✉❛❧
t♦ t❤♦s❡ ✐♥ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ str❡❛♠✱ ❜✉t ❢♦r ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✱ ✇❡ ❛❧s♦ ❣✐✈❡ t❤❡♠ ❤❡r❡✳ ❆❣❛✐♥
✇❡ ✜rst ❣✐✈❡ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ t❤❡♥ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ✉t✐❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢
t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛♥❞ t❤❡ ✉s❡❞ ❝❛♣❛❝✐t② ♣❡r tr✐♣ ♦❢ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡✳ ❋✐♥❛❧❧② ✇❡ ❣✐✈❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞
t❤r♦✉❣❤♣✉t t✐♠❡ ♦❢ ❛ r❡q✉❡st✳ ❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✭s❡❡ ❡q✳ ✭✺✮✮✱
ETF =P(N∗
C > 0)
P(N∗C = 0)
ES. ✭✷✺✮
❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② ✜rst ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ ❜✉s② ♣❡r✐♦❞ ♦❢ t❤❡ s❡r✈❡r
❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ t✐♠❡ ❡❧❛♣s❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠♦♠❡♥ts ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡ s❡r✈❡r ❧❡❛✈❡s
❛❧❧ q✉❡✉❡s ❡♠♣t②✱ t❤❛t ✐s Lm = 0✱ m = 1, · · · ,M ✳ ❉✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞
♥✉♠❜❡r ♦❢ s❡r✈✐❝❡ st❛rts ❡q✉❛❧s 1/∏M
m=1 P(Lm = 0)✱ s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤✐s ❜✉s②
♣❡r✐♦❞ ✐s ETBP = ES/∏M
m=1 P(Lm = 0)✳ ❆ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❡♥❞s ✇❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r ❧❡❛✈❡s ❛♥
❡♠♣t② s②st❡♠ ❛♥❞ ♥♦ ♦♥❡ ❡♥t❡rs ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t
♥♦ r❡q✉❡sts ❡♥t❡r ❞✉r✐♥❣ ❛ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② A(0) = S(λ)✳ ❚❤✉s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢
❜✉s② ♣❡r✐♦❞s ❞✉r✐♥❣ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② S(λ)
✶✻
s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ TB✱ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
ETB =ETBP
S(λ)=
ES
S(λ)∏M
m=1 P(Lm = 0). ✭✷✻✮
❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② PF t❤❛t t❤❡ s②st❡♠ ✐s ✐♥ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② t✐♠❡ ♣♦✐♥t ✐s ♥♦✇
❣✐✈❡♥ ❜② PF = ETF
ETF+ETB✳
❉✉r✐♥❣ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❛❧❧ K ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s②✱ ✇❤❡r❡❛s ✐♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞✱ ♦♥ ❛✈❡r❛❣❡✱
K − ENC ❛r❡ ❜✉s②✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡ ✉t✐❧✐③❛t✐♦♥ U ✐s
U = 1− ENC
KPF . ✭✷✼✮
◆❡①t✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❝❛♣❛❝✐t② ✉s❡❞ ❜② ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❢♦r str❡❛♠ m✱ m =
1, · · · ,M ✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❡✈❡r② ❛rr✐✈❛❧ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ✐s s❡r✈❡❞ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②✱ s♦ t❤❡
❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ❞❡♣❛rt ❞✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ ❝❛rr②✐♥❣ str❡❛♠m ❝♦♥t❛✐♥❡rs✱
❡q✉❛❧s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛rr✐✈❛❧s ♦❢ t②♣❡ m ❞✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ ✇❤✐❝❤ ✐s λmETF ✳
❉✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❡♣❛rt✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡s ✐s(
∏Mm=1 P(Lm = 0)
)−1✱ ✐♥❝❧✉❞✲
✐♥❣ t❤❡ ✜rst ✈❡❤✐❝❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❝♦✉♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞✳ ❊❛❝❤ s✉❝❤ ✈❡❤✐❝❧❡
✐s ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② λm/λ ❝❛rr②✐♥❣ str❡❛♠ m ❝♦♥t❛✐♥❡rs✳ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧②✱ ♦♥ ❛✈❡r❛❣❡✱
t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✉s❡❞ ❜② ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ♦❢ t②♣❡ m ❡q✉❛❧s
ECV =λm(ETF + ETB)
λmETF + (λm/λ)
(
(
∏Mm=1 P(Lm = 0)
)−1− 1
) . ✭✷✽✮
◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ✉s❡❞ ❝❛♣❛❝✐t② ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ t②♣❡✳ ◆♦✇ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡
t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t②♣❡ i r❡q✉❡sts ❜❡✐♥❣ ♣r♦❝❡ss❡❞✱ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞
♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❛ r❡q✉❡st ♦❢ t②♣❡ m ❜② ECV ✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ t✐♠❡ ♦❢
❛ r❡q✉❡st ✐s t❤❡ t✐♠❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♠♦♠❡♥t t❤❛t ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❧❡❛✈❡s t❤❡ ❈❉P ✉♥t✐❧ t❤❡ ❞❡❧✐✈❡r②
♦❢ t❤❡ ❝♦♥t❛✐♥❡r✭s✮✳ ❋r♦♠ t❤❡ ▼❉❆ ♦❢ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ENV i
❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ❛ st❛t✐♦♥ ✭t❤❛t ✐s ❛ t❡r♠✐♥❛❧ ♦r ❛ ❧❛♥❡✮ ✐♥
t❤❡ ♥❡t✇♦r❦✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
ENV i = ENFV iPF + ENB
V i(1− PF ). ✭✷✾✮
❚♦ ✜♥❞ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t②♣❡ i ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t t❤✐s st❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♠✉❧t✐♣❧② ENV i
❜② pim✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧t② t❤❛t ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❛t t❤✐s st❛t✐♦♥ ✐s ♦❢ t②♣❡ m✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐s
✶✼
❣✐✈❡♥ ❜②
pim =λmVmi
∑Mj=0 λjVji
, ✭✸✵✮
✇❤❡r❡ Vji ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✈✐s✐t r❛t✐♦ ♦❢ ❛ t②♣❡ j ✈❡❤✐❝❧❡ t♦ st❛t✐♦♥ i✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❛
✈❡❤✐❝❧❡ ✇✐t❤♦✉t ❛ r❡q✉❡st ✭t❤❛t ✐s tr❛✈❡❧✐♥❣ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ ❈❉P✮✱ ✐s ♦❢ t②♣❡ ✵✳ ❚❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞
t❤r♦✉❣❤♣✉t t✐♠❡ ♦❢ ❛ t②♣❡ m r❡q✉❡st ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
ELTm(1− PF ) +∑K
i=1 pimENV i
λm, ✭✸✶✮
✇❤❡r❡ ELTm✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t②♣❡ m r❡q✉❡sts ✇❛✐t✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ q✉❡✉❡✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
ELT i = ELi +1
2λi(1 + c2S)ES. ✭✸✷✮
✸ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❱❛❧✐❞❛t✐♦♥
❲❡ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❛ ❞❡t❛✐❧❡❞ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❚❚ s②st❡♠ ✉s✐♥❣ ❆✉t♦▼♦❞ ❝© s♦❢t✇❛r❡✳ ❲❡
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✉s✐♥❣ ❛ ♣❛t❤ ♠♦✈❡r s②st❡♠✳ ❚❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ♠♦❞❡❧❡❞ ❛s ❛ ♠✉❧t✐✲tr❛✐❧❡r s②st❡♠✱ ✇❤❡r❡
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Terminal ATerminal B
Terminal C
Vehicle dwell point D
Handling station1.4 km
1.1 km
1.3 km
1.8 km
1.8 km
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V UV E[TN1,CBS ] E[TN1,CD] E[TCBS,N1] E[TCBS,N2] E[TCBS,CD] E[TN2,CBS ] E[TN2,CD] E[TCD,N1] E[TCD,CBS ] E[TCD,N2]
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V UV E[TCD1,ED] E[TCD1,APMV 2] E[TCD1,CR] E[TCD1,CD2] E[TED,CD1] E[TED,CD2] E[TAPMV 2,CD1] E[TAPMV 2,CD2] E[TCR,CD1] E[TCR,CD2] E[TCD2,ED] E[TCD2,APMV 2] E[TCD2,CR] E[TCD2,CD1]
✸✸ ✾✼✳✾✪ ✺✻✷✳✾ ✻✶✸✳✷ ✶✵✵✺✳✸ ✾✼✺✳✵ ✸✼✹✳✽ ✼✷✺✳✼ ✸✻✶✳✹ ✺✽✺✳✹ ✶✶✵✹✳✾ ✻✸✻✳✵ ✶✶✹✶✳✾ ✶✵✻✺✳✼ ✼✻✶✳✾ ✶✷✵✷✳✼
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V UV E[TN3,N4] E[TN4,CD] E[TN3,N4] E[TN3,CD] E[TCD,N4] E[TCD,N3]
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