Transformasi Laplace 5-8
-
Upload
adrian-siie-cheaterss-atlantianss -
Category
Documents
-
view
256 -
download
0
Transcript of Transformasi Laplace 5-8
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
1/16
Matematika Teknik(JTP-304 / 3 SKS)Teknik Pertambangan
DR. Fachrul Razi !.T
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4 $
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
2/16
%uku Re&eren'i%uku Re&eren'i
$. K. (. Stru*. !atematika+ntuk Teknik $,, *.4rlangga.
#. . J. Purcell *an D. arberg.Kalkulu' *an emetri (naliti'*.1 rlangga
3. !. June* Jalil. Diktat!atematika Teknik.
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4 #
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
3/16
Tran'&rma'i 2alaceTran'&rma'i 2alace
Re5ie6Re5ie6
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
1. Definisi; J ikaF(t) suatu fungsidaritygtertentuuntukt> 0makatransformasiLaplacedariF(t) disimbolkansebagai
L{F(t)}
L{F(t)} = estF(t)dt= f(s)0
...(1)
parametersberupabil. Riel, danLmerupakanoperatorLaplace.
2. Bila fungsidaritdinyatakandgnhurufbesar, misalF(t), G(t)danH(t), makatransformasiLaplacenyadituliskandalamhurufkecil.
L{F(t)} = f(s), L{G(t)} =g(s), danL{H(t)} =h(s)
3
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
4/16
Tabel Tran'&rma'iTabel Tran'&rma'i
2alace Fung'i Se*erhana2alace Fung'i Se*erhana
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4 4
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
5/16
%eberaa Si&at Penting%eberaa Si&at Penting
Tran'&rma'i 2alaceTran'&rma'i 2alace
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
1. SifatLinier;
J ikaC1 danC2 suatu konstanta, sedangkanF1(t) danF2 (t)
adalah fungsidengantransformasiLaplacenya masing-masing
f1(s) dan f2 (s) maka:
L{C1F1(t) +C2F2 (t)} =L{C1F1(t)} +L{C2F2 (t)}
=C1 L{F1(t)} +C2 L{F2 (t)}
L{C1F1(t) +C2F2 (t)}= C1 f1(s) +C2 f2 (s)
Contoh: L{5sin2t3cosh4t+ 5e3t+ 4t3}
L{5sin2t} L{3cosh4t}+ L{5e3t}+L{4t3}
5L{sin2t}
3L{cosh 4t}+
5L{e
3t
}+
4L{t
3
}
5. 2
s2 + 43.
s
s2 16+ 5.
1
s+3+ 4.
3!
s+310
s2 + 4
3s
s2 16+
5
s+3+
24
s+3
1
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
6/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
2. SifatTranslasiataupergeseranpertama;
J ikaL{F(t)} = f(s), maka
L{eatF(t)}= f(sa)
Contoh: L{e3t(Sin2t+Cos2t)}?L{Sin2t+Cos2t} =L{Sin2t}+ L{Cos2t}
= 2s2 + 4
+ ss2 + 4
= 2+ ss2 + 4
akaL{e3t(Sin2t+Cos2t)}= 2+ (s3)
(s3)2
+ 4= s1
s
2
6s+13
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
7/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
3. SifatTranslasiataupergeserankedua;
J ikaL{F(t)} = f(s), danG(t) =F(ta), t> a
0 , t< a
akaL{G(t)} =eas f(s)
Contoh: L{Sin3t} = 3
s
2
+ 9
danG(t) =Sin3(t), t>
0 , t20 , t
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
8/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
4. Sifat!engubahanSkala;
J ikaL{F(t)} = f(s),
akaL{F(at)}= 1af( sa
)
Contoh: L{Cost} = ss2 +1
, makaL{Cos2t}= 12
s
2
s
2
2
+1
=14
. s
s2
4 +1
= ss2 + 4
Contoh: L{et} = 1s1
, makaL{e3t} = 13
.1
s
31
= 13 s3( )
3
= 1s3
akaL{G(t)} = e2s.2s5
= 2e2s
s5
9
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
9/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
5. SifatTransformasi Laplacedariturunan;
J ikaL{F(t)} = f(s),
akaL{F (t)}=s. f(s)F(0) ...(Turunankesatu)
L{F"(t)}=s2. f(s) s.F(0) F (0) ...(Turunankedua)
L{F"(t)}=s3. f(s) s2.F(0) s.F (0) F"(0) ...(Turunanketiga) : :
L{Fn(t)}=sn. f(s) sn1.F(0) sn2.F (0) . . . s.F(n2) (0) F(n1) (0) ...(Turunanken)
BilaF(t),F (t), . . . , F(n1) (t) kontinuuntuk 0 t" # #ksponensialberordeuntukt>"
Contoh:HitungL{F
(t)}, $ikaF(t) =cos2tF(0) =1makaL{F(t)}= f(s)
L{cos2t}= ss2 + 4
akaL{F (t)}=s. f(s)F(0) =s. s
s2
+ 41= 4
s2
+ 4Selidiki!F(t) =cos 2t, makaF (t) =2sin2t
makaL{F (t)}= L{2sin2t} = 2L{sin2t} =2. 2s2 + 4
= 4s2 + 4
,
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
10/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
Contoh 2 : J ikaF(t) =e2t(sin3t+ cos3t), tentukanL{F"(t)}
akaL{F"(t)}= s2. f(s) s.F(0) F (0)
L{sin3t+ cos3t} =3
s2 + 9+
s
s2 +9=
3+ s
s2 + 9
akaL{e2t(sin3t+ cos3t)} = 3+ (s2)
(s2)2 + 9, sifat(2).
akaL{e2t(sin3t+ cos3t)} =1+ s
s2 4s+13
J ikaF(t) =e2t
(sin3t+ cos3t), makaF(0) = e0
(sin0+ cos0) =1danF (t) = 2e2t(sin3t+ cos3t)+ (3cos3t3sin3t)e2t
makaF (0) = 2e0 (0 +1)+ (3.13.0)e0 =5
akaL{F"(t)}= s2. f(s) s.F(0) F (0)
= s2. 1+ ss2 4s+13
s.(1)5 = s2
+ s3
s2 4s+13s(s
2
4s+13)s2 4s+13
5(s2
4s+13)s2 4s+13
akaL{F (t)}=s2 + s3 s3 + 4s2 13s5s2 +20s 65
s2 4s+13=
s65
s2 4s+13$%&i'iki! '%ngan caa tnan &angsng! 'im&ai 'ai *ais 2 'i atas!
$0
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
11/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
Sifat 6 : $i+at tans+omasi a-&ac% 'ai int%ga&;
J ikaL{F(t)}= f(s), maka
L{ F(u)du} =1
s0
t
f(s).
Contoh: L{cos3t} = ss2 + 9
,
akaL{ cos 3udu} =1s0
t
. ss2 + 9 = 1s2 + 9selidiki : cos3udu=1
30
t
sin3u0
t
=1
3(sin3t sin0) =1
3sin3t
akaL{ cos 3udu} =130
t
L{sin3t} =13
. 3
s2 + 9= 1s2 + 9
$$
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
12/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
Sifat : $i+at %ka&ian '%ngan tn;
J ikaL{F(t)}= f(s), maka
L{tnF(t)}= (1)ndn
dsnf(s) =(1)n fn(s).
Contoh:Tentukanlah
a. L{(t2 3t+ 2)sin3t}
J a%ab: L{sin3t} =3
s2 + 9, maka
makaL{(t2 3t+ 2)sin3t} =L{t2 sin3t}3L{tsin3t}+ 2L{sin3t}
=(1)2 f"(s)3(1) f (s)+ 2. 3
s2 + 9 ...(a)
f(s)= 3
s2 + 9,atau f(s)= 3(s2 + 9)1, f (s) =3.2s(s2 + 9)2 =
6s
(s2 + 9)2
f"(s)= 6(s2 + 9)2 2(s2 + 9)2s.6s
(s2 + 9)4
=
1/s2 54
(s2 + 9)3
subsitusinilai f (s) dan f"(s) kepers(a)
$#
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
13/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
Contoh:Tentukanlah
a. L{(t2 3t+ 2)sin3t}
=(
1)
2
f"(s)
3(
1)
f
(s)+
2.
3
s2 + 9 ...(a)
f(s) = 3
s2 + 9,atau f(s)= 3(s2 + 9)1, f (s) =3.2s(s2 + 9)2 =
6s
(s2 + 9)2
f"(s) = 6(s2 + 9)2 2(s2 + 9)2s.6s
(s2 + 9)4
=1/s2 54
(s2 + 9)3
subsitusinilai f (s) dan f"(s) kepers(a)
=(1)2 f"(s)3(1) f (s)+ 2. 3
s2 + 9 ...(a)
= 1/s2 54
(s2 + 9)3 1/s
(s2 + 9)2+ 6s2 + 9
= 6s41/s
3+126s
2126s+ 432
(s2 + 9)3
$3
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
14/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
Sifat/. Sifatpembagianoleht.
J ikaL{F(t)}= f(s), makaL F(t)t
= f(u)du
s
asalkanLimt0F(t)
t ada
Contoh; L{sin t} = 1s2 +1
dan &imt0
sint
t=1, maka
L{sint
t}= du
u2 +1s
= arctgus =arctgarctgs= arctg1s
arctg=90, sehinggatg90=Bukti : isalkan&=arctgarctgs & = 90arctgs, atauarctgs= 90& tg(90&) =s
ctg&=s
1
tg&=s, atautg&=1
s
maka&=arctg1s
$4
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
15/16
Sal latihanSal latihan
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4
TentukanlahtransformasiLaplaceberikut!
1. a. L{t2e3t}, b. L{e2tsin4t}
2. a. L{tsinat} b. L{t2 cosat}
3. a. L{5t3} b. L{6sin2t 5cos2t} c. L{(t2 +1)2 }
4. a. L{etsin2 t} b. L{(1 +tet)3
5. L{t2 cost}
$1
-
7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8
16/16
Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4 $