Transformada Wavelet Diádica -...
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Introducción
• TWD representación multirresolución de una señal
• Objetivo Analizar lo que sucede en diferentes instantes Y en diferentes resoluciones A LA VEZ
• Para ello se realiza una discretizaciónparticular del TIEMPO y la ESCALA
Repaso• Transformada wavelet contínua:
• Compara con una base altamente redundante
• Fórmula de reconstrucción
( )*1,( , ) ( ), ( ) ( ) t u
u s ssWf u s f t t f t dtψ ψ
+∞−
−∞= = ∫
�
, 20
2
1( ) ( , ) ( )
( )
u s
dsf t Wf u s t du
C s
C d
ψ
ψ
ψ
ψ ωω
ω
−∞ ∞
−∞
∞
−∞
=
=
∫ ∫
∫
Transformada wavelet discreta• Se computa en valores discretos de la escala
donde K es el soporte de la wavelet• La fórmula se escribe como una convolución:
• Esta no es una representación completa de la señal, ya que se ha truncado en una escala máxima
[ ] 1, 2 j
j jj
n Nn a
a Kaψ ψ = ≤ ≤
[ ] [ ] [ ] [ ]1
* *
0
,N
jj j
m
Wf n a f m m n f n nψ ψ−
=
= − = ⊗ − ∑
TWD: función de escala• Para obtener una representación completa se
necesita la información de bajas frecuencias correspondientes a las escalas mayores
• Esto se logra mediante una función de escala
• A partir de esta se obtienen las componentes de bajas frecuencias como:
( )tφ
[ ]
[ ] [ ] [ ]1
* *
0
1
, [ ]
j jj
Nj
j jm
nn
aa
Lf n a f m m n f n n
φ φ
φ φ−
=
=
= − = ⊗ − ∑
TWD: reconstrucción
• Con la descomposición con la función wavelet y la función de escala, se obtiene una representación completa
• La formula de reconstrucción es:
[ ] [ ]
[ ]
1
1 0
1
0
log 1,
1,
J Nje
jjj m
Nj
jjm
af n Wf m a n m
C a
Lf m a n mC a
ψ
ψ
ψ
φ
−
= =
−
=
= −
+ −
∑ ∑
∑
Función Wavelet y de Escala
0 5 10 15
0
0.5
1
Scaling function phi
0 5 10 15
-1
-0.5
0
0.5
1Wavelet function psi
0 2 4 6 8 10 12 14
-0.5
0
0.5
Decomposition low -pass filter
0 2 4 6 8 10 12 14
-0.5
0
0.5
Reconstruction low -pass filter
0 2 4 6 8 10 12 14
-0.5
0
0.5
Decomposition high-pass filter
0 2 4 6 8 10 12 14
-0.5
0
0.5
Reconstruction high-pass filter
Transformada Wavelet Discreta
• Hasta aquí sólo se ha discretizado la escala• Esto genera altisima redundancia• Se suele tambien discretizar el dominio temporal• Para esto la wavelet se modifica como sigue:
• Esto genera un muestreo en intervalos
[ ] 0,
1 j
j k jj
n ka un
aaψ ψ −=
0ja u
Transformada wavelet discreta• Con esto se logra una representación menos
redundante• Desventaja: se pierde la Invarianza ante
desplazamientos temporales!!!• Esto quiere decir que la TWD calculada así
para una señal que haya sido desplazada dará valores DIFERENTES
• Para resolverlo se recurre a la TW diádica con a=2 y muestreo en el tiempo en intervalos de 2j
ANALISIS MULTIRRESOLUCIÓN
Análisis multirresolución• Una secuencia de subespacios es una
“aproximación multirresolución” si:{ }j jV
∈�
{ }
( )
1
1
2
, , ( ) ( 2 )
,
, ( )2
lim 0
lim
jj j
j j
j j
j jj
j
j jj
j
j k f t V f t k V
j V V
tj Z f t V f V
V V
V Clausura V L
+
+
∞
→+∞=−∞
∞
→−∞=−∞
∀ ∈ ∈ ⇔ − ∈
∀ ∈ ⊂
∀ ∈ ∈ ⇔ ∈
= =
= =
�
�
�
∩
∪
Análisis multirresolución• Además, existe una función tal que
es una base para
• Utilizando ésta se construye una base para cada :
θ
{ }( )n
t nθ∈
−� 0V
jV� ( )
� ( )� ( )
( )
22
,
2
1 2
22
k
j
j n jj
k
t nt
θ ωφ ω
θ ω π
φ φ
∞
=−∞
= +
−=
∑
( ){ }, es una base para j n jnt Vφ
∈⇒
�
Ej. de Aproximación multirresolución: • Compuesto por funciones constantes por
tramo
• V j es el conjunto de todas las g(t) en L2 que son constantes en el intervalo [n2j,(n+1)2j) con n entero
• La aproximación de f(t) en escala 2j
(resolución 2-j) es la función continua por trozos en intervalos 2j más cercana a ella.
Proyección en Vj• Usando la base calculada, la proyección de f en
V j se puede obtener como:
• Se define la aproximaciónen escala 2j como:
• Asociado con la función de escala se define un filtro conjugado espejocomo:
, ,,jV j n j n
n
P f f φ φ+∞
=−∞
= ∑
,[ ] ,j j na n f φ=
( )1[ ] ,
22
th n t nφ φ = −
Proyecciones en subespacios
• Como se vio, • Sea el complemento ortogonal de Vj tal que:
• Entonces se puede escribir:
• Para poder calcular esto se necesita calcular la proyección sobre el complemento ortogonal
• Y para esto, se necesita una BASE para Wj
1j jV V −⊂
1j j jV V W− = ⊕
1j j jV V WP f P f P f−
= +
Base para Wj• Dada una función wavelet cuya TF es:
con
• Se obtienen “atomos tiempo-escala” por escalado y desplazamiento:
• El conjunto es una BASE para Wj
� ( ) �1
2 22g
ω ωψ ω φ =
� � ( )*
2ig e hωω ω π− = +
( ),
1 2
22
j
j n jj
t ntψ ψ −=
{ },j n nψ
∈�
Filtro g• En forma similar a la función de escala, la
función wavelet tiene asociado un filtro conjugado espejo
• Sus coeficientes se pueden calcular a partir de los del h asociado a la función de escala
( )1[ ] ,
22
tg n t nψ ψ = −
( ) ( )1[ ] 1 1
ng n h n
−= − −
Proyección en Wj - Detalle
• Usando la base para Wj se puede escribir la proyección de una f como:
• Se define el detalleen la escala 2j como:
, ,,jW j n j n
n
P f f ψ ψ∞
=−∞
= ∑
,[ ] , j nd n f ψ=
Algoritmo para la TW diadica
• A partir de los filtros h y g se pueden verificar las siguientes ecuaciones:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1
1
1 1
2
2
y para la reconstrucción
2 2
j jn
j jn
j j jn n
a p h n p a n
d p g n p a n
a p h p n a n g p n d n
∞
+=−∞
∞
+=−∞
∞ ∞
+ +=−∞ =−∞
= −
= −
= − + −
∑
∑
∑ ∑
Cuadrícula tiempo-frecuencia
Tiempo
<−
−−
− F
recu
enci
a
Particion tiempo−frecuencia de DWT hasta escala 4
Ej.: Denoising
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1sin(2*pi*5*t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1rand(size(x))
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1
2x+y
tiempo
Ej.: Denoising
50
100
150
200
250
Transformada Discreta, coeficientes absolutos.
j=lo
g2(s
) (s
=2j )
Tiempo100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1
2
3
4
5
6
Ej.: Denoising
-1
-0.5
0
0.5
1
Umbralado con umbral 0.01 del maximo
j=lo
g2(s
) (s
=2j )
Tiempo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
3
4
5
6
Ej.: Denoising
-1
-0.5
0
0.5
1
Umbralado con umbral 0.03 del maximo
j=lo
g2(s
) (s
=2j )
Tiempo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
3
4
5
6
Ej.: Denoising
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5z reconstruida
tiempo
Ej.: Denoising
-1
-0.5
0
0.5
1
Umbralado con umbral 0.05 del maximo
j=lo
g2(s
) (s
=2j )
Tiempo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
3
4
5
6
Ej.: Denoising
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5z reconstruida
tiempo
Ej.: Denoising
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Umbralado con umbral 0.07 del maximo
j=lo
g2(s
) (s
=2j )
Tiempo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
3
4
5
6
Ej.: Denoising
50
100
150
200
250
Transformada Discreta, coeficientes absolutos.
j=lo
g2(s
) (s
=2j )
Tiempo100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1
2
3
4
5
6