UNIVERSIDA TECNOLGICA ISRAEL

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

ANALISIS MATEMATICO III

FAC. DE INGENIERIA UNSM-TLIC. LUIS GALVEZ MONCADA

Qu es la transformada de Laplace?La Transformada de Laplace es una tcnica Matemtica que forma parte de ciertastransformadas integralescomo la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.

Estas transformadas estn definidas por medio de una integral impropia ycambian una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable.

Para qu sirve la transformada de Laplace?La transformada de Laplace puede ser usada para resolver:Ecuaciones DiferencialesLinealesEcuaciones Integrales

Aunque se pueden resolver algn tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes.

DefinicinSeafuna funcin definida para, latransformada de Laplacedef(t)se define como:

cuando tal integral converge

NotasLa letrasrepresenta una nueva variable, que para el proceso de integracin se considera constanteLa transformada de Laplace convierte una funcin enten una funcin en la variablesCondiciones para la existencia de la transformada de una funcin:De orden exponencialContinua a trozos

Definicin de la Transformada InversaLa Transformada inversa de una funcin ens, digamosF(s)es una funcin detcuya transformada es precisamenteF(s), es decir:

Si es que acaso:

Esta definicin obliga a que se cumpla:

Existencia de la TransformadaCondiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace parade una funcin cualquiera:Estar definida yser continua a pedazosen el intervalo[0,+]Ser deorden exponencial

Propiedades de la TransformadaEn las siguientes propiedades se asume que las funcionesf(t)yg(t)con funciones que poseen transformada de Laplace.

Linealidad

La transformada de Laplace sedistribuyesobre las sumas o restas ysacaconstantes que multiplican

Primer Teorema de Traslacin

La transformada de Laplace seconvierteun factor exponencial en unatraslacinen la variables.

Teorema de la transformada de la derivada

La transformada de Laplacecancelala derivadamultiplicandopor la variables

Teorema de la transformada de la integral

Teorema de la integral de la transformada

Teorema de la derivada de la transformada

Tcnicas para la Transformada InversaSeparacin de Fracciones.Primer Teorema de Traslacin.Fracciones Parciales.Segundo Teorema de TraslacinConvolucin

Pierre Simon Marquz de Laplace (1749-1827) Matemtico y astrnomo francs tan famoso en su tiempo que se le conoca como el Newton de Francia. Sus principales campos de inters fueron la Mecnica Celeste, o movimiento planetario, la teora de probabilidades, y el progreso personal

Bibliografahttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm