República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

I.U.P. Santiago MariñoMatemática IV

Realizado por:Aguilar Mairym

C.I.: 19.177.723

Maracaibo, Diciembre de 2013

La transformada de Laplace es una transformación integral de una función f(t) del dominio temporal al dominio de la frecuencia complejo, lo que da por resultado F(s).

Recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que lapresentó dentro de su teoría de la probabilidad en 1779.

La definición matemática de la transformada de Laplace es:

Sea una función f(t) dependiente del tiempo, la transformada de Laplace la convierteen una función F(x) dependiente de la variable compleja s = σ + j ω de la siguienteforma.

(ec.1)

Siendo:• f(t): es la función que se desea transformar y que está expresada en el dominio deltiempo t, tal que f(t) = 0 para t<0.• s: variable compleja sobre la que opera la función transformada dada por s = σ + j ω .• L: símbolo operativo de la transformada de Laplace.• F(s): es la transformada de Laplace de f(t).

La transformada de Laplace en algunas ocasiones se la denomina transformadaunilateral de Laplace, pues la integración se evalúa desde 0 hasta ά. Esto significaque toda la información contenida en f(t) anterior a t(0) se ignora o se consideraigual a cero. Esto no supone ningún problema para los sistemas lineales, puestoque cuando se aplica una entrada a un sistema físico cuando t = 0, la respuesta noempieza antes de t = 0, ya que la respuesta no puede ser anterior a la señal deentrada.

Las propiedades de la Transformada de Laplace ayudan a obtener paresde transformadas sin utilizar directamente la ecuación principal (ec. 1).A medida que se deduzcan cada una de estas propiedades, se debe tenerpresente la definición de la transformada de Laplace de la ecuaciónprincipal (ec. 1)

Las propiedades son:-Linealidad.-Escalamiento.-Desplazamiento en el Tiempo.-Desplazamiento de Frecuencia.-Diferenciación en el Tiempo.-Integración en el Tiempo.-Diferenciación en Frecuencia.-Periodicidad en el Tiempo.-Valor Inicial- Valor Final- Consolación

A continuación, se explicaran algunas de las Propiedades mas usadas

Si F1 (s) y F2 (s) son, respectivamente, la Transformada de Laplace de f1 (t) y F2 (t), entonces,

(ec. 2)

Donde:a1 y a2 son constantes.

Esta ecuación (ec. 2) expresa la propiedad de linealidad de la transformada de Laplacey se deduce de inmediato de la definición de la transformada de Laplace de la ecuación principal (ec. 1).Por ejemplo: Obtenga la transformada de Laplace de:

Por la propiedad de Linealidad tenemos:

La propiedad de escalamiento se da con la siguiente ecuación,

(ec.3)

Donde a es una constante y a> 0.

Por ejemplo: Obtenga la Transformada de Laplace de:

Aplicando la propiedad de escalamiento tenemos que,

La propiedad de desplazamiento en el tiempo se da con la ecuación

(ec.4)

Si una función se retarda en el tiempo por a , el resultado en el dominio s es la multiplicación de la transformada de Laplace de la función (sin el retraso) por Esto se llama retraso en el tiempo o propiedad de desplazamiento en el tiempo de la Transformada de Laplace.

Ejemplo: Obtenga la Transformada de Laplace de:

Utilizando la propiedad de desplazamiento en el tiempo (ec.4.), tenemos que

La propiedad de desplazamiento de Frecuencia se da con la ecuación

(ec.5)

La transformada de Laplace de puede obtenerse de la transformada de f(t), sise reemplaza cada s por s+ a . Esto se conoce como desplazamiento de frecuencia otraslación de frecuencia.

Por ejemplo: Obtenga la Transformada de Laplace de:

y

Si se utiliza la propiedad de desplazamiento (ec. 5), se obtiene la transformada de Laplace de las funciones seno amortiguado y del coseno amortiguado, como

La propiedad de diferenciación en Frecuencia se da con la ecuación

(ec.6)

Ejemplo: Obtenga la Transformada de Laplace de:

Utilizando la propiedad de Diferenciación en Frecuencia (ec.6), se obtiene

La Transformada de Laplace es importante por varias Razones:

• Puede aplicarse a una variedad amplia de entradas que el análisis de frecuencia.1

• Permite resolver ecuaciones diferenciales y lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas, con lo cual se facilita su estudio.2

• Es capaz de proporcionar, en una sola operación, la respuesta total del circuito que comprende las respuestas naturales y forzadas3

• Una de las ventajas más significativas radica en que la integración yderivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma lasecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho másfáciles de resolver.

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Es una herramienta muy poderosa para la resolución de circuitos RCL. Laecuación diferencial que esta en el dominio del tiempo mediante laTransformada de Laplace pasan al dominio en campo s, dominio de Laplace.Una vez resuelto, efectuando las respectivas operaciones algebraicas, seaplica la Transformada Inversa de Laplace para obtener la respuesta en eldominodel tiempo.

Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico conresistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones diferencialescon coeficientes constantes y valores iniciales.

La transformada de Laplace también se aplica para resolver ecuacionesdiferenciales que modelan el movimiento en sistemas masa-resorte, carga ocorriente en un circuito eléctrico y la deflexión de una viga.