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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Calcul scientifique/Math/Cnam(sur la base du cours de Ph. Destuynder [1])
decembre 2004
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Bande annonce
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Lisser ... mais sans detruire
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Restaurer pour renover
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Exercices
Le probleme de base
J(u) = minv∈H1
0J(v)
avec J(v) = 12
∫Ω|v − f |2dΩ + 1
2
∫Ω|∇v |2dΩ.
Rappel de cours :
equivalent au probleme faible (form. var.) : Exo
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
equivalent au probleme fort : Exo −ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω
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Exercices
Le probleme de base
J(u) = minv∈H1
0J(v)
avec J(v) = 12
∫Ω|v − f |2dΩ + 1
2
∫Ω|∇v |2dΩ.
Rappel de cours :
equivalent au probleme faible (form. var.) : Exo
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
equivalent au probleme fort : Exo −ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω
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Exercices
Le probleme de base
J(u) = minv∈H1
0J(v)
avec J(v) = 12
∫Ω|v − f |2dΩ + 1
2
∫Ω|∇v |2dΩ.
Rappel de cours :
equivalent au probleme faible (form. var.) : Exo
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
equivalent au probleme fort : Exo −ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω
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Exercices
Le probleme de base
J(u) = minv∈H1
0J(v)
avec J(v) = 12
∫Ω|v − f |2dΩ + 1
2
∫Ω|∇v |2dΩ.
Rappel de cours :
equivalent au probleme faible (form. var.) : Exo
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
equivalent au probleme fort : Exo −ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω
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Exercices
Lissage isotrope ”Fourier”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de la methode deFourier :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω(1)
Exercices :
une base de Fourier Exo
le calcul de la solution ”Fourier” Exo
la troncature de la serie ”Fourier” Exo
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Exercices
Lissage isotrope ”Fourier”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de la methode deFourier :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω(1)
Exercices :
une base de Fourier Exo
le calcul de la solution ”Fourier” Exo
la troncature de la serie ”Fourier” Exo
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Exercices
Lissage isotrope ”Fourier”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de la methode deFourier :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω(1)
Exercices :
une base de Fourier Exo
le calcul de la solution ”Fourier” Exo
la troncature de la serie ”Fourier” Exo
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Exercices
Lissage isotrope ”Fourier”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de la methode deFourier :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω(1)
Exercices :
une base de Fourier Exo
le calcul de la solution ”Fourier” Exo
la troncature de la serie ”Fourier” Exo
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Exercices
Lissage isotrope ”Fourier”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de la methode deFourier :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur ∂Ω(1)
Exercices :
une base de Fourier Exo
le calcul de la solution ”Fourier” Exo
la troncature de la serie ”Fourier” Exo
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Exercices
Application numerique ”Fourier”
Prob. : la condition limite !
Sol. partielle : Chevauchement des sous images, ...ou DCT avec u = f au bord, ...
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Exercices
Application numerique ”Fourier”
Prob. : la condition limite !
Sol. partielle : Chevauchement des sous images, ...ou DCT avec u = f au bord, ...
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Exercices
Application numerique ”Fourier”
Prob. : la condition limite !
Sol. partielle : Chevauchement des sous images, ...ou DCT avec u = f au bord, ...
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Application numerique ”Fourier”
Prob. : la condition limite !
Sol. partielle : Chevauchement des sous images, ...ou DCT avec u = f au bord, ...
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Exercices
Application numerique ”Fourier”
Prob. : la condition limite !
Sol. partielle :
Chevauchement des sous images, ...ou DCT avec u = f au bord, ...
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Exercices
Application numerique ”Fourier”
Prob. : la condition limite !
Sol. partielle : Chevauchement des sous images, ...
ou DCT avec u = f au bord, ...
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Exercices
Application numerique ”Fourier”
Prob. : la condition limite !
Sol. partielle : Chevauchement des sous images, ...ou DCT avec u = f au bord, ...
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Exercices
Lissage isotrope ”Differences Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de l’approximation pardifferences finies :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = f sur ΓDirichlet∂u∂n = 0 sur ΓNeumann
(2)
Exercices :
une ecriture matricielle ”DF” Exo
la condition limite de Dirichlet ”DF” Exo
la condition limite de Neumann ”DF” Exo
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Exercices
Lissage isotrope ”Differences Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de l’approximation pardifferences finies :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = f sur ΓDirichlet∂u∂n = 0 sur ΓNeumann
(2)
Exercices :
une ecriture matricielle ”DF” Exo
la condition limite de Dirichlet ”DF” Exo
la condition limite de Neumann ”DF” Exo
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Exercices
Lissage isotrope ”Differences Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de l’approximation pardifferences finies :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = f sur ΓDirichlet∂u∂n = 0 sur ΓNeumann
(2)
Exercices :
une ecriture matricielle ”DF” Exo
la condition limite de Dirichlet ”DF” Exo
la condition limite de Neumann ”DF” Exo
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Exercices
Lissage isotrope ”Differences Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de l’approximation pardifferences finies :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = f sur ΓDirichlet∂u∂n = 0 sur ΓNeumann
(2)
Exercices :
une ecriture matricielle ”DF” Exo
la condition limite de Dirichlet ”DF” Exo
la condition limite de Neumann ”DF” Exo
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Exercices
Lissage isotrope ”Differences Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant a l’aide de l’approximation pardifferences finies :
−ε∆u + u = f dans Ω
u = f sur ΓDirichlet∂u∂n = 0 sur ΓNeumann
(2)
Exercices :
une ecriture matricielle ”DF” Exo
la condition limite de Dirichlet ”DF” Exo
la condition limite de Neumann ”DF” Exo
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O. Wilk
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Exercices
Application numerique ”DF”
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Exercices
Application numerique ”DF”
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Application numerique ”DF”
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Application numerique ”DF”
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Lissage isotrope ”Elements Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme faible (formulation variationnelle) al’aide de la methode des elements finis :
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
Rappel de cours et exercices :
Interpolation Exo
Assemblage Exo
Resolution Exo
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
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Exercices
Lissage isotrope ”Elements Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme faible (formulation variationnelle) al’aide de la methode des elements finis :
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
Rappel de cours et exercices :
Interpolation Exo
Assemblage Exo
Resolution Exo
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
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Exercices
Lissage isotrope ”Elements Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme faible (formulation variationnelle) al’aide de la methode des elements finis :
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
Rappel de cours et exercices :
Interpolation Exo
Assemblage Exo
Resolution Exo
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partie 1
O. Wilk
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Exercices
Lissage isotrope ”Elements Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme faible (formulation variationnelle) al’aide de la methode des elements finis :
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
Rappel de cours et exercices :
Interpolation Exo
Assemblage Exo
Resolution Exo
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
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Exercices
Lissage isotrope ”Elements Finies”
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme faible (formulation variationnelle) al’aide de la methode des elements finis :
∀v ∈ H10 (Ω),
∫Ω
uv dΩ + ε
∫Ω
∇u.∇v dΩ =
∫Ω
fv dΩ.
Rappel de cours et exercices :
Interpolation Exo
Assemblage Exo
Resolution Exo
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Application numerique ”EF”
...
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Lissage non lineaire
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
p1 + a× |∇v |2dΩ.
Probleme equivalent a : −εdiv(ϕ′(|∇u|2)∇u) + u = f dans Ω
u = f sur ∂Ω(3)
avec ϕ(t) =√
1 + a× t (a ∈ lR∗).
Exercices :
Deriver la fonctionnelle Exo
Decomposition de l’operateur Exo
Resolution Exo
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
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Exercices
Lissage non lineaire
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
p1 + a× |∇v |2dΩ.
Probleme equivalent a : −εdiv(ϕ′(|∇u|2)∇u) + u = f dans Ω
u = f sur ∂Ω(3)
avec ϕ(t) =√
1 + a× t (a ∈ lR∗).
Exercices :
Deriver la fonctionnelle Exo
Decomposition de l’operateur Exo
Resolution Exo
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Lissage non lineaire
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
p1 + a× |∇v |2dΩ.
Probleme equivalent a : −εdiv(ϕ′(|∇u|2)∇u) + u = f dans Ω
u = f sur ∂Ω(3)
avec ϕ(t) =√
1 + a× t (a ∈ lR∗).
Exercices :
Deriver la fonctionnelle Exo
Decomposition de l’operateur Exo
Resolution Exo
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partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Lissage non lineaire
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
p1 + a× |∇v |2dΩ.
Probleme equivalent a : −εdiv(ϕ′(|∇u|2)∇u) + u = f dans Ω
u = f sur ∂Ω(3)
avec ϕ(t) =√
1 + a× t (a ∈ lR∗).
Exercices :
Deriver la fonctionnelle Exo
Decomposition de l’operateur Exo
Resolution Exo
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partie 1
O. Wilk
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Exercices
Lissage non lineaire
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
p1 + a× |∇v |2dΩ.
Probleme equivalent a : −εdiv(ϕ′(|∇u|2)∇u) + u = f dans Ω
u = f sur ∂Ω(3)
avec ϕ(t) =√
1 + a× t (a ∈ lR∗).
Exercices :
Deriver la fonctionnelle Exo
Decomposition de l’operateur Exo
Resolution Exo
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partie 1
O. Wilk
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Exercices
Applications numeriques ”non lineaire”
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Applications numeriques ”non lineaire”
h = 0.1
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
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Exercices
Lissage tixotrope
minv1
2
ZΩ
|v − f |2dΩ +ε
2
ZΩ
|∇v |2dΩ + g
ZΩ
|∇(v − f )|dΩ.
...
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
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Exercices
Restauration
minv1
2
ZB
|v − f |2dΩ +ε
2
ZB∪ω
|∇v |2dΩ.
Resolvons le probleme suivant :
−ε∆u + ξBu = ξB f dans Bavec ξB = 1 dans B et 0 dans ω+ C.L.
(4)
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Traitement de l’image(applications et exercices)
partie 1
O. Wilk
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Exercices
Application numerique ”Restauration”
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Traitement de l’image(applications et exercices)
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O. Wilk
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Exercices
Bibliographie
Philippe Destuynder - Analyse, traitement et synthese d’images numeriques -
Collection des cours 2003-2004 - Calcul Scientifique - Cnam/Medias.
Mail de l’auteurPage web de l’auteur
Ce document a ete cree en utilisant LaTeX avec le package Beamer (aide pratique).
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Traitement de l’image(applications et exercices)
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O. Wilk
Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact
Exercices
Exercices
...