Trabajo Final de LaTeX

Matematica Aplicada

S. Andy1 B. Jhimmy2

1Universidad Nacional de IngenierıaPregrado Ingenierıa de Telecomunicaciones

2Centro de Tecnologıas de Informacion y ComunicacionesProfesor CTIC UNI

Diciembre 20, 2017

S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 1 / 65

Indice1 Introduccion

ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”

2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja

Ecuaciones de Cauchy - Riemann

3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy

4 Transformada de Laplace5 Conclusion


“Dedicado a la mala escritura”Al Dr. John Smith, quien compartiosus conocimientos.


Resumen

El siguiente trabajo consta de 4 capitulos del curso de Matematica V, dic-tado por la Facultad de Ingenierıa Electrica y Electronica de la UniversidadNacional de Ingenierıa. El primer capıtulo es un repaso de los conocimientosprevios que necesita el estudiante para llevar el curso. El segundo capıtuloconsta del concepto sobre que es una Funcion Compleja. El tercer capıtulotrata del desarrollo de una Integracion Compleja. Finalmente el ultimocapıtulo nos muestra una tablas de Transformadas de Laplace, ya sean di-rectas e inversas. Todos los capıtulos contiene graficos y ejemplos para sermas didactico la ensenanza.


Introduccion








Introduccion

IntroduccionRepaso

Figura: Plano complejo


Introduccion Complejos









ComplejosRepaso

Forma Polar.

Z = r cosθ + i · r sinθ

Forma Rectangular.

Z = x+ i · y

(x: Parte real) + (y: Parte imaginaria)

Z = r (cosθ + isinθ)︸︷︷︸Z = r · eiθ – Forma exponencial



ComplejosArgumento de “Z”

Argumento de “Z”

Arg(Z) = θ

Donde por convencion: −π 6 θ 6 π

tanθ =yx⇒ −π 0 π

Funcion Armonica

θ(x;y) = arctan(yx)

∗ ∇2φ = 0 (Ecuacion de Lapace) → φ : Funcion Armonica



ComplejosPartes Real – Imaginaria

Partes Real – Imaginaria

Re(Z) = x Im(Z) = y

Nota

x = Re(Z)≤ |Z| y = Im(Z)≤ |Z|

∗ x≤√

x2 + y2

∗ y≤√

x2 + y2



ComplejosConjugado del numero complejo “Z”

Conjugado del numero complejo “Z”

Z = x+ i · y → Z = x+ i · y = x− i · y

|Z|= |Z|

• Z1±Z2 = Z1± Z2

• Z1 ·Z2 = Z1 · Z2

•(

Z1

Z2

)=

Z1

Z2; Z2 6= 0

• Z · Z = (x+ iy) · (x− iy) = x2 + y2 = |Z|2

⇒ Z.Z = |Z|2




Nota

Z + Z = 2xZ− Z = 2iy

x =

Z + Z2

y =Z− Z

2i

∗ Re(Z) = Z+Z2

∗ Im(Z) = Z−Z2i




Ejemplo

Demuestre que: |Z1 +Z2| ≤ |Z1|+ |Z2|

Solucion

|Z1 +Z2|2 = (Z1 +Z2) · (Z1 +Z2)

= (Z1 +Z2) · (Z1 + Z2)

= Z1 · Z1 +Z2 · Z1 +Z1 · Z2 +Z2 · Z2

= Z1 · Z1 +2Re(Z1 · Z2)+Z2 · Z2

|Z1 +Z2|2 = |Z1|2 +2Re(Z1 · Z2)+ |Z2|2




Solucion

|Z1 +Z2|2 = |Z1|2 +2Re(Z1 · Z2)+ |Z2|2+

2Re(Z1 · Z2) ≤ 2|Z1 · Z2|

��2Re(Z1 · Z2)+ |Z1 +Z2|2 ≤ |Z1|2 +��2Re(Z1 · Z2)+ |Z2|2 +2|Z1 · Z2|

|Z1 +Z2|2 ≤ |Z1|2 +2|Z1 · Z2|+ |Z2|2

≤ |Z1|2 +2|Z1| · |Z2|+ |Z2|2

≤ (|Z1|+ |Z2|)2

⇒ |Z1 +Z2| ≤ |Z1|+ |Z2|

Rpta.



ComplejosDesigualdad triangular

Definicion

|Z1 +Z2 + · · ·+Zn| ≤ |Z1|+ |Z2|+ · · ·+ |Zn|

Ejemplo

Halle√

i

Solucion

a = b ⇒ 2a2 = 1⇒ a =± 1√2

a =−b ⇒ /0{ √i = a+bi ;a,b ∈ R

0+ i = a2−b2 +2abi

a2−b2 = 02ab = 1

{a2 = b2

a = ±b

⇒√

i =1√2+ i

1√2

⇒√

i =− 1√2− i

1√2

Rpta.



ComplejosDesigualdad triangular

Ejemplo

Ecuacion de la recta: y = mx+b; y = Z−Z2i ; x = Z+Z

2

Solucion

(Z− Z

2i) = m(

Z + Z2

)+b

⇒ Z− iZ = m(Z− Z)+ζ

Rpta.


Funcion Compleja








Funcion Compleja

Funcion ComplejaCapıtulo II

Definicion

Ejemplo

Sea: f : C→ C/ W︸︷︷︸u+i·v=(x+y·i)2

= f (Z) = Z2

Solucion

u+ i · v = (x+ i · y)2

= x2 +2xy · i+ i2 · y2

= (x2− y2)+(2xy) · i⇒ u+ i · v = (x2− y2)+(2xy) · i

Rpta.


Funcion Compleja


Transformacion

T =

{u(x,y) = x2− y2

v(x,y) = 2xy

Figura: Transformacion


Funcion Compleja


Ejemplo

Sea: f : C→ C/W = f (Z) = 1Z ;Z 6= 0

Solucion

W = f (Z) =Z

Z · Z

=x− i · yx2 + y2

=x

x2 + y2 − i · yx2 + y2

Transformacion⇒ T =

{u = x

x2+y2

v = −yx2+y2

Rpta.


Funcion Compleja Lımite de una Funcion Compleja









Funcion ComplejaLımite de una Funcion Compleja

Sea: f : C→ C/W = f (Z)

Figura: Planos Z y WS. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 22 / 65


Funcion ComplejaLımite de una Funcion Compleja

Entonces el lımite de f cuando Z se aproxima a Z0, se denota por:

Definicion

limZ→Z0

⇔∀ε > 0,∃δ > 0/|f (Z)−L|< ε;0 < |Z−Z0|< δ ;ε = f (δ )

Z0: Punto de acumulacion del dominio de fL: Numero complejo.


Funcion Compleja Continuidad de una Funcion Compleja








Funcion Compleja Continuidad de una Funcion Compleja

Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion Compleja

Sea f : C→ C/W = f (Z), f es contınua en Z = Z0 (Z0 ∈ Domf ). Si:

A) f (Z0) existe o esta definida.

B) limZ→Z0 f (Z) existe.

C) limZ→Z0 f (Z0).


Funcion Compleja Derivada de una Funcion Compleja









Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja

Figura: Derivada de una Funcion ComplejaS. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 27 / 65



Sea f : C→ C/W = f (Z), f es continua en Z = Z0 (Z0 ∈ Domf ). Si:

Definicion

f ′(Z) = lim∆Z→0

[f (Z +∆Z)− f (Z)

∆Z],si el lımite existe

Ademas: f ′(Z) = f (Z) = df (Z)dZ

# Para un punto Z = Z0

f es derivable o tiene derivada enZ = Z0 ∈ Df .

Si∃ lim∆Z→0

f (Z0 +∆Z)− f (Z0)

∆Z




⇒ f ′(Z0) = f (Z) =f (Z0)

dZ= lim

∆Z→0

f (Z0 +∆Z)− f (Z0)

∆Z

Ejemplo

Sea f : C→ C/W = f (Z) = Z, ¿En que puntos del plano Z es fderivable?

f ′(Z) = lim∆Z→0

f (Z +∆Z)− f (Z)∆Z

= lim∆Z→0

Z +∆Z− Z∆x+ i ·∆y

= lim∆Z→0

Z +∆Z− Z∆x+ i ·∆y




= lim∆Z→0

∆x− i ·∆y∆x+ i ·∆y

Z = x+ i · y→ Z = x− i · y→ ∆Z = ∆x+ i ·∆y

Nota

L1 6= L2

∆x = 0 → lim∆y→0

−i·∆yi·∆y = −1︸︷︷︸

L1

∆y = 0 → lim∆x→0∆x∆x = 1︸︷︷︸

L2

f no es derivable en ningun punto del plano Z.(Condiciones necesarias)



Derivada de una Funcion ComplejaEcuaciones de Cauchy - Riemann

Sea: f : C→ C/ W︸︷︷︸u+i·v=f (Z)

= f (Z)

u(x;y)+ i · v(x;y) = f (Z)

⇒ f ′(Z) = lim∆x→0∆y→0

[u(x0+∆x;y0+∆y)+ i · v(x0+∆x;y0+∆y)−u(x0;y0)

− i · v(x0;y0)

∆x+ i ·∆y]

Reacomodamos parte real y parte imaginaria.

f ′(Z) = lim∆x→0∆y→0

[u(x0+∆x;y0+∆y)−u(x0;y0)

∆x+ i ·∆y]

+ lim∆x→0∆y→0

[v(x0+∆x;y0+∆y)− v(x0;y0)

∆x+ i ·∆y]



Derivada de una Funcion ComplejaEcuaciones de Cauchy - Riemann

→ Luego ∆y = 0

C : z(t) = x(t)+ i.y(t)

# Tarea1Escribir las condiciones de Cauchy-Riemann, en coordenadas polares,si:

x = r cosθ

y = r sinθ

# Tarea2Sea f : C→ C/w = f (z) = z2Z, demuestre que f ′(Z) no existe enningun punto del plano Z.


Integracion Compleja









Integracion ComplejaCapıtulo III

(Integral de lınea)

Figura: Integracion compleja




Z(t) = x(t)+ i · y(t)

‖P‖︸︷︷︸n→∞

zi− zi−1 = ∆zi

Dada una particion se forma la siguiente suma: Sn = f (ε1)(z1− z0)+f (ε2)(z2− z1)+ . . .+ f (εi)(zi− zi−1)+ . . .+ f (εn)(zn− zn−1)

Sn =n

∑i=1

f (εi)∆zi, ∀i = 0,1,2, . . . ,n−→ limn→∞‖P‖→0

Sn




Nota

limn→∞‖P‖→0

n

∑i=1

f (εi)∆zi =∫C

f (z)dz =∫C

(u+ iv)(dx+ idy) =∫C

(udx− vdy)+ i∫C

(vdx+udy)


Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Simple









Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Simple

Dominio Simplemente Conexo.

Sea f : C→ C/ω = f (z) es Analıtica dentro de una region (Dominiosimplemente conexo) y en la frontera (una curva suave simplecerrada), entonces:

∮C

f (z)dz = 0




Es decir: ζ debe estar contenida en D (Abierto), siendo el interiorde ζ (R), es un dominio simplemente conexo.

Demostracion

→ Recuerde el T. de Green:

∮C

Pdx+Qdy =∫∫

C

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dA

De:∮C f (z)dz =

∫C (udx+(−vdy))+ i

∫(vdx+udy).




Demostracion

Por el teorema de Green en el plano (Mate III):∮C

f (z)dz =∫∫

D

(−∂v

∂x− ∂u

∂y

)dA+ i

∫∫D

(∂u∂x− ∂v

∂y

)dA = 0

Por condicion Cauchy-Riemann, debido a que son analıticas:

∂u∂x

=∂v∂y

;∂u∂y

=−∂v∂x

(Ya que son analıticas)

=⇒∮

Cf (z)dz = 0




⇒ Recuerde: (Nocion para calcular en un dominio multiplementeconexo)

Figura: Dominio Conexo




Dominio Conexo.

¿Que sucede si el dominio no es conexo?

‖z− z0‖︸︷︷︸z

= ε

z = ε.eiθ + z0

dz = ε.i.eiθ + z0

∮C

f (z)z− z0

dz =∫ 2π

0

f (ε.eiθ + z0)ε.i.eiθ

ε.eiθ dθ = i∫ 2π

0f (ε.eiθ + z0)dθ

⇒ lim∮C

f (z)z− z0

dz = limε→0

i∫ 2π


∮C

f (z)z− z0

dz = i∫ 2π

0limε→0

f (ε.eiθ + z0)dθ = i∫ 2π

0f (z0)dθ = f (z0).i.

∫ 2π

0dθ

→∮C

f (z)z− z0

dz = (2π.i)f (z0)

Esto solo funciona para este caso, la expresion del primer miembro puedecambiar.


Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Multiple









Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Multiple

Dominio Multiplemente Conexo.

Sea R un dominio que no es simplemente conexo, lo convertimos enun R* que sea simplemente conexo.

Figura: Dominio no Simplemente Conexo



Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Multiple

Entonces:∫C∪C

f (z)dz =∫

ABf (z)dz+

∫BMNB

f (z)dz+∫

BAf (z)dz+

∫AEFA

f (z)dz = 0

=−∮

Cf (z)dz+

∮C

f (z)dz = 0

Definicion

=⇒∮

Cf (z)dz =

∮C

f (z)dz


Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy









Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy

Definicion

Sea f : C→ C/ω = f (z), analıtica dentro de la curva suave (C) y enla curva excepto en algunos puntos como z = z0(Interior a la curva ζ ).

⇒ f (z0) =1

2πi∮

ζ

f (z)z−z0

dz ⇒∮

ζ

f (z)z−z0

dz = 2π.i.f (z0)




Demostracion

‖z− z0‖︸︷︷︸z

= ε

z = ε.eiθ + z0

dz = ε.i.eiθ + z0

0≤ θ ≤ 2π

⇒∮C

f (z)z− z0

dz =∫ 2π

0

f (ε.eiθ + z0)ε.i.eiθ

ε.eiθ dθ = i∫ 2π


⇒ lim∮C

f (z)z− z0

dz = limε→0

i∫ 2π


∮C

f (z)z− z0

dz = i∫ 2π

0limε→0

f (ε.eiθ + z0)dθ = i∫ 2π

0f (z0)dθ = f (z0).i.

∫ 2π

0dθ

→∮C

f (z)z− z0

dz = (2π.i)f (z0)




Ejemplo

Halle el valor de la integral de g(z) a lo largo de la circunferencia|z− i|= 2 en sentido positivo.

Si g(z) = 1z2+4

Si g(z) = 1(z2+4)

2

Soluciona)

|z− i|= 2−→ |x+ yi− i|= 2−→ x2 +(y−1)2 = 4

=⇒ a)∮C

dzz2 +4

=∮C

dz(z+2i)(z−2i)

=∮C

1z+2i

z−2idz =

∮C

f (z)z− z0

dz




Solucion

=⇒∮C

1z+2i

z−2idz = 2π.i.

1(2i)+2i

=π

2

Rpta.




Solucionb) ∮

C

f (z)z− z0

dz = 2π.i.f (z0)

Sea:

f (z0) =1

2π.i

∮C

f (z)z− z0

dz; g(z)no es analtica en z0.

Derivando n veces respecto a z0:

f ′(z0) =1

2π.i

∮C

(z− z0)0− f (z)(−1)z− z0

dz

=1

2π.i

∮C

f (z)(z− z0)2 dz

f ′′(z0) =1

2π.i

∮C

(z− z0)20− f (z)2(z− z0)(−1)

(z− z0)4 dz




Solucion

=1.22π.i

∮C

f (z)(z− z0)3 dz

f ′′′(z0) =1.2.32π.i

∮C

f (z)(z− z0)4 dz

... =...

f (n)(z0) =n!

2π.i

∮C

f (z)(z− z0)n+1 dz =⇒

∮C

f (z)(z− z0)n+1 dz =

2π.i.f (n)(z0)

n!

Rpta.




Ejemplo

Sea f : C→ C/ω = f (z) = Re(z2), calcule∫C

f (z)dz, siendo C la curva

mostrada en la figura.




Solucion

ω = f (z) = Re(z2) = x2− y2

∮C

f (z)dz =∮C1

(x2− y2)dz+∫C2

(x2− y2)dz+∫C3

(x2− y2)(dz) dz = dx+ idy

En C1 se da que:

x=x→dx=dxy=0→dy=0

∮C1

(x2− y2)(dx+ idy) =∮C1

x2dx =x3

3

∣∣∣10=

13

En C2 se da que:

x=cosθ→dx=−senθdθy=senθ→dy=cosθdθ

∮C2

(x2− y2)(dx+ idy) =∮C2

(cos2θ − sen2

θ)(−senθdθ + icosθdθ)




Solucion

=

π

4∫0

(cos2θ − sen2

θ)(−senθdθ)+ i

π

4∫0

(cos2θ − sen2

θ)(cosθdθ) =13−√

23

+ i

√2

3

En C3 se da que:

x=ydx=dy

∮C3

(x2− y2)(dx+ idy) =∫(0)(dz) = 0

=⇒∮C

f (z)dz =2−√

23

+ i

√2

3


Transformada de Laplace









Transformada de LaplaceCapıtulo IV

Tabla: Transformadas elementales

TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALESf (t) F(s)

1 C Cs ,s > 0

2 t 1s2 ,s > 0

3 tn n!sn+1 ,s > 0

4 ea·t 1s−a s > a

5 sin(a · t) as2+a2 ,s > 0

6 cos(a · t) ss2+a2 ,s > 0

7 sinh(a · t) as2−a2 ,s > |a|

8 cosh(a · t) ss2−a2 ,s > |a|




TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALESf (t) F(s)

9 tn · ea·t n!(s−a)n+1

10 eb·t · sin(a · t) a(s−b)2+a2

11 eb·t · cos(a · t) s−b(s−b)2+a2

12 eb·t · sinh(a · t) a(s−b)2−a2

13 eb·t · cosh(a · t) s−b(s−b)2−a2




Tabla: Transformadas inversas elementales

TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS ELEMENTALESF(s) f (t)

1 Cs C

2 1s2 t

3 n!sn+1

tnn!

4 1s−a ea·t

5 1s2+a2

sin(a·t)a

6 ss2+a2 cos(a · t)

7 1s2−a2

sinh(a·t)a

8 ss2−a2 cosh(a · t)




Tabla: Transformadas inversas elementales

TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS ELEMENTALESF(s) f (t)

9 1(s−a)n+1

tn·ea·t

n!

10 1(s−b

2+a2 eb·t·sin(a·t)

a

11 s−b(s−b)2+a2 eb·t cos(a · t)

12 1(s−b)2−a2

eb·t sinh(a·t)a

13 s−b(s−b)2−a2 eb·t cosh(a · t)


Conclusion








Conclusion

Conclusion

Las curiosidades matematicas, que se encuenrtran en el desarrollo dela matematica pura, si bien es cierto no se pueden exponer con todoel rigor matematico, pueden ser utilizadas a un nivel intuitivo por eleducador para despertar el interes de los estudiantes por aprendermatematica y mas aun para desarrollar el pensamiento abtracto.

Para estudiar matematicas hay que investigar sobre el tema que noentendemos y ası tratar de resolver ejercicios por nosotros mismoshasta que hayamos comprendido.Una tambien de las maneras para estudiar matematicas es elaborarun esquema o resumen, desarrollando que significa cada letra yexpresion.


Conclusion

ANEXO

2

1

3

4

Capıtulo I Un repaso breve de conceptosnecesarios para introducirse a lasmatematicas aplicadas.

Capıtulo II Una explicacion clara del desar-rollo de la Funcion Compleja.

Capıtulo III Una explicacion clara del desar-rollo de la Integracion Compleja.

Capıtulo IV Nos muestra una tablas de Trans-formadas de Laplace, ya sean di-rectas e inversas


Conclusion

ANEXOPlano Cartesiano - Polar

sinα

cosα−1 −12

1

−1

−12

12

1


Conclusion

Bibliografıa

Kopka, Helmut; Daly, Patrick W.Guide to LATEX. 4th ed.Pearson Education, Inc., 2004.

Cabanes Martinez, Raul.Series de Fourier. 7th ed.Garcia Maroto, Inc., 2008.

Cordero Gracias, Mariola; Cabanes Martinez, Raul.Ampliacion de Matematicas. 6th ed.Garcia Moroto, Inc., 2009.


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