TPE tema 1
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Tema 1. Introduccin
Curso 2015/16
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Qu es una serie temporal (ST)?
Es una secuencia de datos (valores, observaciones, etc) observados a lo largo deltiempo.
En general, los datos se obtienen a intervalos regulares de tiempo.
A diferencia de lo que ocurre con los datos de corte transversal, los datos vienendados en un determinado orden temporal. (Y
t: t T)
Dependencia temporal. La mayora de series temporales (y tambin la mayora delas series econmicas) estn relacionadas con su pasado, por lo que raramente sepodr suponer que las observaciones son temporalmente independientes.
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El estudio de una ST puede realizarse a travs de diferentes mtodos.
El anlisis de una ST pretende, entre otros objetivos,
Extraer informacin relevante sobre la dinmica de la misma.
Predecir su comportamiento.
Las ST exhiben una gran variedad de comportamientos diferentes.
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La naturaleza de los datos econmicos
Ejemplos de series temporales: el Producto Interior Bruto, el precio de lasacciones, la compra de viviendas, la oferta monetaria, el ndice de precios alconsumo, los ingresos por turismo, etc.
Frecuencia de los datos. En Economa las ms habituales son las frecuenciasdiarias, mensuales, trimestrales y anuales.
Las siguientes diapositivas muestran la evolucin temporal de diferentes seriestemporales de naturaleza econmica. En ellas podremos observar diferentesevoluciones a lo largo del tiempo.
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Algunas series temporales muestran una evolucin creciente en eltiempo (o viceversa).
100,000
125,000
150,000
175,000
200,000
225,000
250,000
275,000
300,000
1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
PIBPC
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Otras series temporales tienen una tendencia positiva interrumpida porcadas muy marcadas, seguidas de nuevo por una tendencia positiva. O
viceversa
4
6
8
10
12
14
16
90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
tipo interes preferencial aplicado por las entidades de credito
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Otras series tienen un comportamiento que se repite de maneraregular(peridica) y que puede ser observada cuando los datostienen una frecuencia inferior al ao.
0
1,000,000
2,000,000
3,000,000
4,000,000
5,000,000
6,000,000
96 98 00 02 04 06 08 10
TURISMOING
ingresos por turismo
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Algunas series temporales en economa tienden a deambulara lo largo deltiempo.
Grficos: unidades monetarias por Euro
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08
DOLAR
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08
LIBRA_ESTERLINA0
1.45
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08
FRANCO_SUIZO01
80
100
120
140
160
180
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08
YEN
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La volatilidad de determinadas series temporales no es constante a lo largodel tiempo: anlisis de formas dinmicas de heterocedasticidad
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
96 98 00 02 04 06 08 10 12
INDICE_IBEX_35_BASE_1989
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Existen algunas similitudes entre las series anteriores? Hay evidentes diferencias
entre ellas?
Cmo podemos describir adecuadamente cada una de estas series?
Muestran comportamientos sistemticos? Son, por el contrario, completamentealeatorias?
Cules son los mtodos o tcnicas ms habituales para analizar el comportamientode una ST?
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Prediccin estocstica y prediccin determinista
Uno de los principales objetivos en el contexto de las series temporales es laprediccin. Es decir, dados Y1,Y2,...,YT queremos estimar YT+h.
Dos tipos de modelos:
Modelos deterministas
Modelos estocsticos
Un modelo determinista es un modelo que no est basado en la teora de laprobabilidad. (ver anexo)
Modelo estocstico. Las series temporales econmicas satisfacen el requisito de ser elresultados de variables aleatorias. Desconocemos cuanto crecer el PIB en el aoprximo, o en que nivel cerrar el ndice de la Bolsa de Madrid maana. Puesto quedesconocemos su valor de antemano, deben ser consideradas como variables
aleatorias.
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Componentes de una Serie Temporal
Los componentes de una serie temporal Yt son:
Tendencia (T)
Ciclo (C)
Componente estacional (S)
Componente irregular (I)
Podemos escribir Yt como una funcin de esos componentes:
Yt = (Tt, Ct, St, It)
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Tendencia: movimiento creciente (o decreciente) a largo plazo de la serie. Estgeneralmente asociada a los determinantes del crecimiento econmico (progresotcnico, stock capital fsico, fuerza de trabajo)
Ciclo: oscilaciones repetidas perocon periodo y amplitud variables, en torno a latendencia. No siempre es fcil separarlo de la tendencia. Se entiende que el perodode cada ciclo es superior al ao (en general, al menos dos aos). Est vinculado alos cambios en la actividad econmica.
Estacionalidad: Proceso que se repite de manera regular (peridica), en series conperiodicidad inferior al ao. Se debe a factores tales como clima, sociales,institucionales (ej. Vacaciones, horarios comerciales).
Componente irregular: no sigue un patrn determinado, y si un comportamientoerrtico. Describe influencias aleatorias.
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Anlisis clsico de Series Temporales
Estos componentes pueden estar presente en una serie temporal siguiendo diversasestructuras. Las mas habituales son:
El modelo aditivo es mas apropiado si la magnitud de las fluctuaciones estacionaleso de las variaciones en torno al ciclo-tendencia no vara con el nivel (tendencia) de laserie.
Por el contrario, si la variacin en el componente estacional o en el ciclo-tendenciaes proporcional al nivel (tendencia) de la serie el modelo apropiado es el
multiplicativo. Es el modelo ms habitual en economa.
Una alternativa al modelo multiplicativo es
: aditivo
: multiplicativo
: mixto
t t t t t
t t t t t
t t t t t
Y T C S I
Y T C S I
Y T C S I
log(Yt) log(Tt) log(Ct) log(St) log(It)
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En una serie concreta no tienen por qu estar presentes los cuatro componentes
La idea es identificar cada uno de los componentes de una ST con el objeto deseparar el componente aleatorio del resto.
El modelo subyacente (aislado el componente irregular) puede ser, a su vez,descompuesto en cada uno de sus componentes.
En este tema I, se estudiar la descomposicin clsica de una serie temporal.
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Descomposicin de una Serie Temporal
La descomposicin de una ST es un mtodo para aislar los distintos componentesde la misma. En el enfoque clsico, el proceso de descomposicin de una serie serealiza mediante un proceso secuencial de identificacin y separacin decomponentes.
El orden habitual de identificacin de componentes depende del mtodo elegido ola estructura de los componentes. El ms habitual es el siguiente:
- Estacionalidad- Tendencia-ciclo- componente irregular
Antes de analizar cada uno de estos componentes, estudiaremos brevemente el mtodode las medias mviles, puesto que esta tcnica se puede utilizar tanto para aislar
el componente estacional como la tendencia
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MTODO DE LAS MEDIAS MVILES
El mtodo de las medias mviles es una tcnica para suavizar una serie temporal.Es decir, permite suavizar las irregularidades y fluctuaciones de una serie.
Idea general: Cada observacin es reemplazada por la media de esta observacin ylas de su entorno temporal.
La media mvil es una media aritmtica de un orden (longitud) determinado (p < nobservaciones). Es importante determinar el orden apropiado,
Cuanto mayor es la longitud, mejor se eliminarn las irregularidades de la serie.A mayor p ms suavizada estar la serie.
Si la longitud es pequea, la media mvil refleja con mayor rapidez los cambiosen la serie.
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Medias mviles simples y medias mviles centradas.
Las medias mviles simple corresponden a un pimpar. El valor de la media
mvil se asigna al punto central del intervalo.
Si pes par, el punto central no corresponde a ninguna observacin. Se calculauna nueva media mvil de orden 2. En notacin: 2*4 MA.
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mviles.mediaslasunequelnealaestendenciaLa:
as.consecutivmvilesmediasdoscadaentremvilesmediasnuevasobtienensedespusy
,y
,y
,y
ordendemvilesmediasdeseriesiguientelaformaseparesSi
,y
,y
,y
ordendemvilesmediasdeseriesiguientelaformaseimparesSi
2113221
2113221
Nota
p
yy
p
yy
p
yy
pp
p
yy
p
yy
p
yy
pp
ppp
ppp
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Ingresos por turismo (miles de Euros). Serie original, ajuste media mvil 5 y 12
Perodo: 1990.01-2008.04
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Ajuste estacional
Con frecuencia el componente estacional de una serie enmascara al resto de loscomponentes impidiendo captar el verdadero movimiento subyacente de laserie, as como otras caractersticas no estacionales de inters para el analista.
Si no estamos interesados en este componente, se suele desestacionalizar laST, que pasa a denominarse serie ajustada de estacionalidad o simplementeserie desestacionalizada.
Cuando hay estacionalidad en una ST no es correcto hacer comparacionesentre meses consecutivos.
Antes de desestacionalizar (ajuste estacional) la ST se debe analizar si hayefecto Pascua y/o nmero de das laborables cada mes diferentes. Sedenominan series corregidas de calendario.
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Supongamos que somos capaces de identificar de forma separada los componentesde una ST. En este caso, es posible eliminar el componente estacional de la ST.
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Si la descomposicin es aditiva, la serie ajustada de estacionalidad, Z es
Si la descomposicin es multiplicativa, la se
t
t t t t t t Z Y S T C I
rie ajustada de estacionalidad, Z es
t
tt t t t
t
YZ T C I
S
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Por tanto, el Ajuste estacional ( y efecto calendario):
Aisla y elimina el componente estacional de una ST , lo que posibilitadetectar mejor las caractersticas no estacionales de la misma.
Permite la comparacin entre meses consecutivos.
Proporciona ndices estacionales.
Si una ST presenta un clara tendencia o un fuerte componente irregular es difcil
identificar y aislar la estacionalidad si esta es dbil. En estos casos puede resultarinapropiado el ajuste estacional que, adems puede introducir un elementoestacional artificial.
Hay diversas formas de eliminar el componente estacional. Los ms frecuentesson:
Diferencias sobre la media mvil (modelo aditivo). Ratios sobre la media mvil (modelo multiplicativo).
Mtodo X-11/X-12-ARIMA.
Mtodo de variables binarias.
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Diferencias sobre la media mvil (aditivo)
Sea Yt la serie a estudiar. Los pasos a seguir para obtener una nueva seriemensual (p=12) sin componente estacional son:
1. Se calcula la media mvil centrada de Yt, (2*12 MA)
2. Se calcula
3. Se obtienen los ndices estacionales (im). Para datos mensuales elndice para un mes concreto, m, es la media de los valores de la seriediferencia (dt) obtenida en el paso 2, usando nicamente lasobservaciones de ese mes.
12
5.0......5.0 655612 ttttttyyyyy
MMx
ttt xyd
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4. Se ajustan los ndices estacionales para que sumen cero:
5. La serie ajustada se obtiene restando el factor estacional Sm de la serie Yt
nota: este mtodo asume que los factores estacionales son constantes
: es la media de todos los ndices estacionales
factor de escala.
interpretacin:
la serie es mayor en el perodo en relacin
con la serie ajustada.
m m
m
m
s i i
donde i
s
y s m
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Ratio sobre la media mvil (multiplicativo)
Pasos.
1. idem paso 1 en diferencias sobre la media mvil
2. Se calcula el ratio
3. Se obtienen los ndices estacionales. Para datos mensuales elndice, im, para un mes concreto, m, es la media de los valores de la serie ratio,obtenida en el paso 2, usando nicamente las observaciones de ese mes.
t
tt
x
yr
12
5.0......5.0 655612 tttttt
yyyyyMMx
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4. Se ajustan estos ndices para que su producto sea la unidad.
5. La serie ajustada se obtiene dividiendo cada valor de la serie originalpor el correspondiente factor de escala.
121 2 12
: factor de escala.
interpretacin: la serie es por ciento ms alta en el perodo
en relacin con la serie ajustada
m
m
m
m
i
s i i i
s
y s m
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Mtodo X-11
Aplicacin iterativa de varios filtros a la serie original. En el primer paso se
obtiene una estimacin del componente tendencia-ciclo mediante la aplicacinde una media mvil a la serie original. Despus se obtiene una estimacin delcomponente estacional y del componente irregular. Se aplica un nuevo filtro demedia mvil para eliminar el componente irregular y se obtiene una estimacindel componente estacional y finalmente se obtiene la serie desestacionalizada.
Dos opciones: modelos aditivos y multiplicativos.
Los factores estacionales pueden cambiar de ao a ao.
Frecuencia mensual o trimestral.
Se requiere un mnimo de cuatro aos completos y un mximo de 20 aos paraseries mensuales y 30 aos para series trimestrales.
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0
000000
000000
000000
000000
000000
000000
90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
mtodo multiplicativomtodo aditivox-11 multiplicativo
X-11 aditivoINGTURISMO
000000
000000
0
000000
000000
90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
ESTAC ESTAC1
estac: m. multiplicativo. estac1: x-11 multiplicativo
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30
100,000
125,000
150,000
175,000
200,000
225,000
250,000
275,000
300,000
1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
PIB PIB_SA
-
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Mtodo variables binarias
Se construyen m variables (m es la frecuencia estacional) tal que
Se realiza una regresin incluyendo como variables explicativas
m-1 variables binarias y la constante, o
m variables binarias y se excluye la constante
Los residuos de la regresin sern los valores de la serie desestacionalizada.
1 en el mes j.0 en otro caso
jtS
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Tendencia
Existen diversos mtodos para extraer la tendencia de una serie temporal.
Ajustes de funciones de tiempo.
Son modelos deterministas, en el sentido que dados los parmetros ,,yun valor de t se obtiene un valor perfectamente determinado de yt, por lo quese aade un trmino aleatorio de error t y se estiman los parmetros
desconocidos (MCO, MCNL, MV). La serie ajustada nos da el componentetendencial, y los residuos del modelo la serie sin tendencia.
2
2 3
: modelo de nivel constante
: lineal. La serie aumenta (o disminuye) a un ritmo constante
: cuadrtica. Suele tener slo un mximo o un mnimo
: tendencia po
t
t
t
t
y
y t
y t t
y t t t
linmica.
exp : exponencial. La serie aumenta (o disminuye) a intervalos cada vez mayores
log : los datos aumentan (o disminuyen) rpidamente y despus la serie se estabiliza
t
t
y t
y t
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2 3
t 1 2 3 4Modelo de tendencia polinmica : y ...t t t
0
5
10
15
20
25
20 40 60 80 100 120 140
Y
y = 2.5 + 0.5*@trend - 0.003*(@trend)^2
-
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modelo de tendencia exponencial,bta
t ey
, btayt )log(
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
96 97 98 99 00 01 02 03
EXP(0.3+.002*t)
0
20
40
60
80
100
96 97 98 99 00 01 02 03
EXP(0.3+.02*t)
-
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36
0
1
2
3
4
5
20 40 60 80 100 120 140
W
w = log(2.5 + 0.5*t)
Modelo de tendencia logartmica
-
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500000
000000
500000
000000
500000
000000
500000
000000
90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
x-11 multipl icativo INGTURISA3ADJ
ingresos por turismo
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Ciclo-tendencia
No siempre resulta sencillo separar la tendencia del ciclo, por lo que a veces seobtienen de forma conjunta, eliminando el componente irregular de una seriedesestacionalizada, y que se denomina serie ciclo-tendencia.
Para ello se obtiene una media mvil de orden bajo (2,3, ) a la serie sin componenteestacional.
Cuando ajustamos una funcin tomando el tiempo como variable explicativa,obtenemos una representacin explcita de la tendencia. Mediante medias mvilesobtenemos una funcin suavizada de una serie, ya que al promediar varios valores seelimina una parte de los movimientos irregulares.
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El componente irregular, It, se obtiene como sigue
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Si la descomposicin es aditiva,
Si la descomposicin es multiplicativa,
t t t t
tt
t t
I Y S TC
YIS TC
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Obtencin del ciclo-tendencia con datos estacionales. Descomposicinclsica.
Si la descomposicin es aditiva:
Se estima el componente ciclo-tendencia (TC) mediante una media mvil de ordenapropiado.
Tenemos por tanto una serie sin el componente ciclo-tendencia : Yt - TCt = St It
Se asume que la variacin estacional es constante de un ao a otro. Por tanto, se puedeestimar el componente estacional , calculando la media de la serie sin ciclo-tendencia paracada mes (o trimestre, o etc) . As se obtienen los ndices estacionales, que se ajustan paraque sumen cero. El componente estacional se obtiene enlazando todos los ndicesestacionales. Una vez obtenido St , se calcula el componente irregular: It = Yt - TCt - St .
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Si la descomposicin es multiplicativa
Se estima el componente ciclo-tendencia (TC) mediante una media mvil de ordenapropiado. Esto permite eliminar las fluctuaciones a corto plazo, de tal forma que seidentifica de forma ms clara el componentente ciclo-tendencia.
Tenemos por tanto una nueva serie: Yt / TCt = St * It
Se obtiene la serie desestacionalizada con una media mvil de orden apropiado.
Se asume que la variacin estacional es constante de un ao a otro. Por tanto, se puedeestimar el componente estacional , calculando la media de la serie sin ciclo-tendencia para
cada mes (o trimestre, o etc).
El clculo del componente estacional se obtiene dividiendo a la serie original entre la serieya sin CT ni componente estacional.
Los ndices estacionales se obtienen calculando la media de todos los componentesestacionales de los mismos periodos.
El ciclo se puede obtener tras regresar la serie media mvil sobre el tiempo, guardar losvalores estimados. Finalmente, el factor cclico se obtiene dividiendo la serie centrada entrelos valores estimados de la regresin anterior.
41
Supongamos que disponemos de una serie estacional con frecuencia trimestral (s =
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Supongamos que disponemos de una serie estacional con frecuencia trimestral (s =4). Primero se obtiene una media mvil de orden 4 a la serie original y acontinuacin una media mvil de orden 2 a la serie transformada (2*4-MA), Tt.
La serie final obtenida tendr poca o ninguna variacin estacional.
La descomposicin clsica asume que el componente estacional se repite ao a ao.Este supuesto es muy restrictivo, y en general no es razonable en series largas. Losmtodos de descomposicin clsica no puede capturar los cambios estacionales.
El mtodo clsico es, adems, un mtodo poco robusto ante valores inusuales de laserie (ej: huelgas, etc)
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OTROS MTODOS PARA SUAVIZAR SERIES
1. Alisado exponencial
1.1 Alisado simple: Series sin tendencia ni componente estacional1.2 Alisado doble: series con tendencia y sin componente estacional
2. Mtodo Holt-Winters
2.1 Multiplicativo: series con tendencia (lineal) y estacionalidadmultiplicativa
2.2 Aditivo: series con tendencia (lineal) y estacionalidad aditiva.
3. Filtro de Hodrick-Prescott.
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Alisado exponencial
Tienen estructura recursiva las predicciones se revisan de formaautomtica a medida que se dispone de nueva informacin.
Fciles de aplicar
No tienen una base estadstica terica
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Alisado simple:
Para series que se mueven aleatoriamente en torno a una media constante. La
nueva serie se calcula de forma recursiva,
T.departiraconstantessonesprediccionlasdecir,Es0.kpara,paraorelegir val
deinicialesnesobservaciolasdemediala
opcionesdos:parainicialvalor
tiempo.elcondisminuyennesponderacioLaspasados.
valoreslosdeponderadamedialaesserienuevaladenesobservacioLa
)1(
como,anteriorexpresinlareescribirpodemosnte,repetidamedosustituyen
serie.ladeoalisamientmenos,espequeomsCuantoalisado.deecoeficient:
.10donde
)1(
11
1
0
1
TkT
t
st
t
s
s
t
ttt
yy
yy
y
y
yy
yyy
-
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4646
Alisado doble.Se aplica el alisado simple dos veces, usando el mismo parmetro. Es un mtodo
apropiado para series con tendencia.
recursivo.procesoel
iniciasedeydeobtienensequevaloreslosdepartirApendiente.
ladeyinterceptodelesestimacionobtienenseyMCOporestimaSe:nota
1:pendiente
2:intercepto
12
11
12
:Prediccin
10donde
alisadodoble:)1(
simplealisado:)1(
1
1
tt
tT
tt
tTttttkT
ttt
ttt
DS
DS
DS
kDSDSDk
Sk
y
DSD
SyS
-
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4747
Mtodo Holt-Winters
Multiplicativo. Es un mtodo apropiado para series con tendencia lineal y una
variacin estacional multiplicativa.
es.estacional
escoeficientlosdeinicialesvalorescomousarpuedensetivomultiplica
modelodelpartiraobtenidosestacionalvariacindendicesLos
nalizada.desestacioserielaarectaunaajustandoobtenerpuedensey
tivomultiplicaestacionalfactor:
rectaladependiente:
o)(interceptpermanentecomponente:
donde,
ba
c
b
a
cbkay ktkt
-
7/25/2019 TPE tema 1
48/51
4848
t1 1
t
1 1
t
recursivamente se obtienen (y por este orden):
y 1c
1
y1
0 , , 1
: frecuencia estacional
las predicciones se calculan como sigue
t t t
t s
t t t t
t tt t s
t
t k
a a b
b a a b
c ca
donde
s
y
T k sa T b T k c
Aditivo
-
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4949
Aditivo.
Mtodo adecuado para series con tendencia lineal y variaciones estacionales aditivas
1 1
1 1
donde,
: componente permanente (intercepto)
: tendencia
: factor estacional aditivo
recursivamente se obtienen:
1
1
1
t k t k
t tt t s t t
t t t t
t tt t
y a bk c
a
b
c
a y c a b
b a a b
c y a
0 , , 1 y : frecuencia estacional
las predicciones se calculan como sigue
t t s
t k T k s
c
donde s
y a T b T k c
Filtro Hodrick-Prescott
-
7/25/2019 TPE tema 1
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5050
Filtro Hodrick-Prescott
Es un mtodo muy utilizado en macroeconoma para obtener una estimacin suavizadadel componente tendencial a L.P de una serie.
Se basa en minimizar la varianza de y en torno a s, siendo s la serie suavizada. Estefiltro elige por tanto el st que minimiza,
mensualesdatospara14400
lestrimestradatospara1600
anualesdatospara100
.resultanteserielaser
suavizadamses,mayorCuantoserie.laden'suavizaci'lacontrolaparmetroel
1
2
2
11
1
2
T
t
tttt
T
t
tt sssssy
-
7/25/2019 TPE tema 1
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Para obtener el componente cclico utilizando este mtodo se procede como sigue:
Sea Yt la ST original, y sea Tt la serie suavizada obtenida anteriormente.
Sea CIt = Yt Tt .
Como CIt contiene todava al componente irregular, para obtener el componentecclio hay que filtrar a la serie CIt
La nueva serie suavizada, Ct es el componente cclico.
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