Topologia texto u.n

G. RUBIA

NOTopologıa general

[un primer curso]

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G. RUBIA

NOTopologıa general

[un primer curso]

Gustavo N. Rubiano O.Profesor titular

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Sede Bogota

G. RUBIA

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vi, 284 p. : 3 il. 00ISBN 978-958-719-442-5

1. Topologıa generalGustavo N. Rubiano O.

Topologıa general, 3a. edicionUniversidad Nacional de Colombia, Sede BogotaFacultad de Ciencias, 2010

Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.

c© Edicion en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano OrtegonUniversidad Nacional de Colombia.

Diagramacion y diseno interior en LATEX: Gustavo Rubiano

Tercera edicion, 2010

Impresion:Editorial UNBogota, D. C.Colombia

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Contenido

Prologo IX

1. Conjuntos con topologıa 1

1.1. Los reales —una inspiracion— . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Abiertos basicos (generacion de topologıas) . . . . . . . . 8

1.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . 22

2. Espacios metricos 28

2.1. Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1. Caracterizacion de los espacios euclidianos . . . . . 42

2.3. Topologıa para una metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.1. Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Bases y numerabilidad 57

3.1. 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Funciones —comunicaciones entre espacios— 64

4.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2. La categorıa Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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vi CONTENIDO

5. Filtros, convergencia y continuidad 74

5.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.1. Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6. Homeomorfismos –o geometrıa del caucho– 89

6.1. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2. Invariantes topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7. Espacios de identificacion –cociente– 102

7.1. Topologıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.1.1. Descomposicion canonica por una funcion . . . . . 105

8. La topologıa producto 112

8.1. Definicion sintetica de producto entre conjuntos . . . . . . 112

8.2. La topologıa producto –caso finito– . . . . . . . . . . . . . 113

8.3. La topologıa producto —caso infinito— . . . . . . . . . . 115

8.4. Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.5. La topologıa producto —en los metricos— . . . . . . . . . 123

8.6. Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.7. Topologıas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.7.1. La topologıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.7.2. La topologıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9. Posicion de un punto respecto a un conjunto 133

9.1. Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1.1. Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.1.2. La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . 140

9.2. Puntos de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

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CONTENIDO vii

9.2.1. Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.3. Interior – exterior – frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.4. Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.Compacidad 156

10.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . 163

10.2.1. Compacidad vıa cerrados . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2.2. Compacidad vıa filtros . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.2.3. Compacidad vıa ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . 166

10.3. Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.4. Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.5. Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

10.6. Compacidad para metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.7. Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.8. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.8.1. Compactacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.Espacios metricos y sucesiones —completez— 196

11.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

11.1.1. Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.2. Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.3. Completez de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . 204

11.4. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

12.Los axiomas de separacion 210

12.1. T0, T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

12.2. Regulares, T3, Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.2.1. Inmersion en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

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viii CONTENIDO

12.3. Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . 227

12.5. Tietze o extension de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 232

13.Conexidad 238

13.1. La conexidad como invariante topologico . . . . . . . . . . 238

13.2. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . 246

13.3. El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

13.4. Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

13.5. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Bibliografıa 264

Indice alfabetico 266

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Prologo

El tema central de esta tercera edicion es presentar un texto quesirva como guıa para un primer curso formal en topologıa general o deconjuntos. Se han hecho cambios importantes que justifican que se tratede una nueva edicion y no de una simple reimpresion de la anterior.

La mayorıa de las herramientas y conceptos utilizados en el estudiode la topologıa se agrupan en dos categorıas: invariantes topologicos yconstrucciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.

En la parte de invariantes, el enfasis en los espacios 1-contable o es-pacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espaciospara los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topologıa,justifica la introduccion del concepto de filtro como una adecuada no-cion de convergencia, que resulte conveniente para describir la topologıaen espacios mas generales; de paso, este concepto nos proporciona unamanera comoda para llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible encualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de con-strucciones.

Nuevos capıtulos, secciones, demostraciones, graficos y referenciashistoricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentarde manera activa una de las areas mas prolıficas de la matematica y laciencia.

Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte delautor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de variosclasicos sobre el tema o la introduccion de algunos ejemplos nuevos.

Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional deColombia, Sede Bogota, el darme ese tiempo extra que siempre necesi-tamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.

Gustavo N. Rubiano O.

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x CONTENIDO

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NO1 Conjuntos con topologıa

1.1. Los reales —una inspiracion—

No hay nada mas familiar a un estudiante de matematicas que elconjunto R de los numeros reales y las funciones f : R −→ R. Si unica-mente tuvieramos en cuenta la definicion usual de funcion de R en R,es decir, una coleccion de pares ordenados (x, y) ∈ R × R donde cadaelemento de R es la primera componente de una y de solo una parejaordenada, estarıamos desperdiciando el concepto de intervalo que cono-cemos para los numeros reales y, aun mas, el hecho de que en R podemosdecir quienes son los vecinos de un punto x ∈ R.

En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que unε > 0 son todos los y ∈ R tales que |x − y| < ε; es decir, el intervalo(x−ε, x+ε) es la vecindad basica de x con radio ε. Cuando a una funcionde R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindadbasica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definicion ε, δ decontinuidad empleada en el calculo.

Revisemos esta definicion de continuidad. La funcion f : R −→ R sedice continua en el punto c ∈ R si:

“Para cada numero positivo ε, existe un numero positivo δ tal que|f(x)− f(c)| < ε siempre que |x− c| < δ”.

Pero |f(x)−f(c)| < ε significa f(x) ∈ (f(c)−ε, f(c)+ε); ası mismo,|x − c| < δ significa x ∈ (c − δ, c + δ); luego la definicion entre comillasla podemos reescribir como

“Dado ε > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar δ > 0 tal quesi x ∈ (c− δ, c+ δ) entonces f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε)”.

Hablando en terminos de los intervalos abiertos como las vecindades

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2 Conjuntos con topologıa

f(c)

c2!

2" g(c)

c

Figura 1.1: La continuidad en R.

basicas, esta definicion es:

“Dada una vecindad basica de radio ε alrededor de f(c), podemosencontrar una vecindad basica de c y con radio δ tal que

si x ∈ (c− δ, c+ δ) entonces f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε)”.

Lo que de nuevo reescribimos como: “Dada una vecindad de f(c)podemos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagenpor f de esta ultima se encuentra dentro de la vecindad de f(c)”.

Informalmente decimos que:

Un cambio ‘pequeno’ en c produce un cambio ‘pequeno’ en f(c).K

Hemos visto entonces que el concepto de continuidad en R esta liga-do esencialmente a la definicion que podamos hacer de ‘vecindad’ paraun punto y la relacion entre las imagenes de las vecindades. Luego, siquisieramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos queno sean nuestros numeros reales usuales, debemos remitirnos a obtenerde alguna manera —pero con sentido— el concepto de ‘vecindad’ paraestos conjuntos.

Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es unionde intervalos abiertos —nuestras vecindades basicas— es facil verificarque:

1. ∅ es abierto —la union de una familia vacıa—.

2. R es abierto.

3. La union de una coleccion de abiertos es un abierto.

4. La interseccion de un numero finito de abiertos es un abierto.

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1.1 Los reales —una inspiracion— 3

Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definicion.

Definicion 1.1. Una topologıa1 para un conjunto X es una familia

T = Ui : i ∈ I, Ui ⊆ X

tal que:

1. ∅ ∈ T, X ∈ T.

2.⋂i∈F Ui ∈ T para cada F subconjunto finito de I —F b I—.

3.⋃i∈J Ui ∈ T para cada J ⊆ I.

Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto parala union arbitraria como para la interseccion finita. La condicion 1 esconsecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ındices I = ∅.

Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X,T) es por defini-cion un espacio topologico. Brevemente lo notamos X cuando no esnecesario decir quien es T. Los elementos de X son los puntos del espa-cio. Las condiciones en la definicion anterior se llaman los axiomas deuna estructura topologica.

A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra

espacio significara espacio topologico. Los complementos de los conjuntosabiertos se llaman conjuntos cerrados.

EJEMPLO 1.1

Ru. En R definimos una topologıa T conocida como la usual (el espacioes notado Ru) definiendo U ∈ T si U es union de intervalos abiertos.O de manera equivalente, U ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ Uexiste un intervalo (a, b) que contiene a x y esta contenido en U .

1Se le acuna la invencion de la palabra topologıa al matematico aleman de ascen-dencia checa Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestrode escuela Muller.

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EJEMPLO 1.2

Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X quesea linealmente —totalmente— ordenado por una relacion ≤. DefinimosT≤ la topologıa del orden o la topologıa intervalo sobre (X,≤)tomando como abiertos todos los U ⊆ X que se pueden expresar comounion de intervalos de la forma

1. (x, y) := t : x < t < y —intervalos abiertos acotados—.

2. (x,→) := t : x < t —colas a derecha abiertas—.

3. (←, y) := t : t < y —colas a izquierda abiertas—.

En el caso en que X no posea elementos maximo y mınimo, basta con-

siderar tan solo los intervalos acotados (x, y) —¿por que?—.

EJEMPLO 1.3

Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X —partes de X o℘(X)—. Esta es la topologıa discreta de X —permite que todo seaabierto—. Es la topologıa sobre X con la mayor cantidad posible deabiertos.

Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T =∅, X, conocida como la topologıa grosera de X —practicamente nopermite la presencia de abiertos—. Es la topologıa con la menor cantidadposible de abiertos.

Notese que toda topologıa T para X se encuentra entre la topologıagrosera y la topologıa discreta, i. e., ∅, X ⊆ T ⊆ 2X .

EJEMPLO 1.4

Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimosla topologıa punto incluido Ip como U ∈ Ip si p ∈ U , o, U = ∅.

La definicion de esta topologıa se puede extender a cualquier A ⊆ X yla notamos como IA.

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EJEMPLO 1.5

Extension cerrada de (X,T). La anterior topologıa permite la siguientegeneralizacion. Dado un espacio (X,T) y p /∈ X, definimos la extensionX∗ = X ∪ p y T∗ = V ∪ p : V ∈ T ∪ ∅. (X∗,T∗) es un espacio ylos cerrados de X∗ coinciden con los de X.

El ejemplo 1.4 es la extension Y ∗ para el caso (Y = X − p, 2Y ).

EJEMPLO 1.6

Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimosla topologıa punto excluido Ep como U ∈ Ep si U = X, o, p /∈ U .

EJEMPLO 1.7

Sierpinski. En X = 0, 1 construimos todas las posibles topologıas:

1. J1 = ∅, X,2. J2 = ∅, X, 0,3. J3 = ∅, X, 1,4. J4 = ∅, X, 0, 1, 0, 1.

•

•

•

•

J2

J1

J3

J4

El diagrama muestra como es la contenencia entre estas cuatro topologıas,ası que J2 y J3 no son comparables. J2 = ∅, X, 0 se conoce como latopologıa de Sierpinski2. Es el espacio mas pequeno que no es trivialni discreto.

2En honor al matematico polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920,Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz,fundaron una influyente revista matematica, Fundamenta Mathematica, especializadaen trabajos sobre teorıa de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabajo sobretodo en teorıa de conjuntos, pero tambien en topologıa de conjuntos y funciones deuna variable real. Tambien trabajo en lo que se conoce actualmente como la curva deSierpinski.

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EJEMPLO 1.8

Complementos finitosa. Dado un conjunto X, definimos la topologıa(T, cofinitos) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es fini-to, o U = ∅. En este ejemplo —como en cada ejemplo donde los abiertosse definan en terminos de cardinalidad— es interesante tener en cuen-ta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, oinfinito no contable.

aTambien conocida como la topologıa de Zariski en honor al matematico bielorrusoOscar Zariski (1899-1986).

EJEMPLO 1.9

Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topolo-gıa (T, coenumerables) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c esenumerable o contable —finito o infinito—, ademas del ∅, por supuesto.

EJEMPLO 1.10

Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. DefinimosU ∈ Eωp si U c es finito, o p /∈ U .

La coleccion Top(X) de todas las topologıas sobre un conjunto X es unconjunto parcialmente ordenado por la relacion de inclusion: T1 ≤ T2

si T1 ⊆ T2, caso en el cual decimos que T2 es mas fina que T1. Portanto, sobre Top(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptosrelativos a conjuntos ordenados.

Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) elconjunto de topologıas definibles sobre X. Una pregunta natural y for-mulada desde el inicio de la topologıa es: ¿cuantas topologıas existensobre X? o ¿quien es el cardinal |T(n)|? La pregunta es difıcil de con-testar y por ello se trata de un problema abierto; mas aun, para esteproblema de conteo no existe —a la fecha— ninguna formula cerrada nirecursiva que de una solucion. Tampoco existe un algoritmo eficiente decomputacion que calcule el total de T(n) para cada n ∈ N.

Para valores pequenos de n el calculo de |T(n)| puede hacerse a mano;por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimientode T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, ex-isten 261492535743634374805066126901117203 posibles topologıas para

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n Numero de topologıas en T(n)1 12 43 294 3555 6.9426 209.5277 9.535.2418 642.779.3549 63.260.289.42310 8.977.053.873.04311 181684603873619212 51935557106577402113 20788139365666895304114 11561705197705426780746015 8873626911858624449248512116 9341111341171003956521049409517 13413795009333788067232186872584618 261492535743634374805066126901117203

Cuadro 1.1: Numero de topologıas para un conjunto de n elementos.

un conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es elmayor para el cual el numero de topologıas es conocido.

Ejercicios 1.1

1. ¿Como son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteri-ores?

2. Construya todas las topologıas para X = a, b, c.3. Muestre que, para un conjunto X, la interseccion de topologıas

sobre X es de nuevo una topologıa.

4. Muestre que la union de dos topologıas sobre un conjunto X nonecesariamente es una topologıa.

5. En cada uno de los ejemplos dados en esta seccion, revise la per-tinencia de la cardinalidad del conjunto X.

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•• • •• • •• •

•• • •• • •• •

•• •

6. Muestre que (Top(X),⊆) es un retıculo completo. En particular,para el caso de dos topologıas T, I el sup ∨T, I esta formado portodas las posibles uniones de conjuntos de la forma

U ∩ V : U ∈ T, V ∈ I.

7. Revise el ejemplo 1.10 en terminos del ejercicio anterior.

1.2. Abiertos basicos (generacion de topologıas)

Entre los abiertos de un espacio, algunas veces —casi siempre— es im-portante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o de-scriben a los demas, i. e., toda la estructura topologica puede ser recu-perada a partir de una parte de ella.

Definicion 1.2. Si (X,T) es un espacio, una base para T es una sub-familia B ⊆ T con la propiedad que: dados un abierto U y un puntox ∈ U , existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U .

Cada abierto en T es union de elementos en B.

EJEMPLO 1.11

Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topologıa enRu. Revise la definicion de la topologıa del orden.

Por supuesto, para un espacio (X,T), T en sı misma es una base demanera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades

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1.2 Abiertos basicos (generacion de topologıas) 9

mas importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muygrande —espacio 2–contable—.

¿Como reconocer que una coleccion B de subconjuntos de X puedaser base para alguna topologıa?

K

Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B ⊆ ℘(X) es base de una topologıapara X si y solo si se cumple que

1. X =⋃B : B ∈ B, i. e., B es un cubrimiento de X.

2. Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B conx ∈ B ⊆ U ∩ V . Esto es, U ∩ V es union de elementos de B paratodo par U, V de B.

Notese que, en particular, un cubrimiento B ⊆ ℘(X) cerrado paraintersecciones finitas es una base.

Demostracion. ⇒) 1) Supongamos que B es base para una topologıa T

de X. Veamos que X =⋃B : B ∈ B; en efecto, dado x ∈ X existe

U ∈ T tal que x ∈ U , y como B es base, existe B con x ∈ B ⊆ U —laotra inclusion es obvia—. 2) Si U, V ∈ B entonces, dado x ∈ U ∩ V , porser B una base, existe B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V —U, V estan en T, ypor tanto U ∩ V ∈ T—.

⇐) Construyamos una topologıa T para la cual B es una base. Defin-imos U ∈ T si U es union de elementos de B. Por supuesto tanto X como∅ estan en T —∅ por ser la union de la familia vacıa—. Si tomamos launion de una familia en T, ella finalmente es union de elementos de B.Ahora veamos que B es base de T. Si U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V , por ladefinicion de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidos enU y V respectivamente; por la condicion 2 sobre B, existe B tal quex ∈ B ⊆ (BU ∩BV ) ⊆ U ∩ V .

La topologıa dada por el teorema anterior se conoce como la topologıagenerada por la base B y la notamos T = 〈B〉3.

EJEMPLO 1.12

Si X es un conjunto y p ∈ X, una base de la topologıa Ip del puntoincluido es B = x, p : x ∈ X.

3Una misma topologıa puede ser generada por bases diferentes.

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EJEMPLO 1.13

Particion. Dada una particion R sobre un conjunto X —o lo que es igualuna relacion de equivalencia R—, la coleccion R junto con el conjunto ∅ esuna base para una topologıa sobre X. Un subconjunto de X es entoncesabierto si es union de subconjuntos pertenecientes a la particion.

EJEMPLO 1.14

Lınea de Khalinsky. En Z definimos la base

B = 2n− 1, 2n, 2n+ 1 : n ∈ Z⋃2n+ 1 : n ∈ Z.

En la topologıa generada, cada entero impar es abierto y cada enteropar es cerrado.

EJEMPLO 1.15

Topologıa a derecha. Para un conjunto (X,≤) parcialmente ordenado, elconjunto de las colas a derecha y cerradas

x ↑ := [x,→) := t : x ≤ t,

es una base para una topologıa ya que

[x,→) ∩ [y,→) =⋃z

[z,→) para z ∈ [x,→) ∩ [y,→).

La topologıa generada se nota Td y se conoce como la topologıa aderecha —dualmente existe la topologıa a izquierda—.

La anterior topologıa es saturada o de Alexandroff4 en el sentidoque la interseccion arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. Noteseque las colas abiertas son tambien abiertos para esta topologıa.

(a,→) =⋃b>a

[b,→).

4En general una topologıa se dice de Alexandroff o A–topologıa si las intersec-ciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadasinicialmente por P. S. Alexandroff en 1937. Notese que toda topologıa finita es deAlexandroff.

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NO


EJEMPLO 1.16

Una topologıa puede tener diferentes bases. En R2 definamos dos basesB1,B2 que nos conducen a una misma topologıa: la usual.

B1: U ∈ B1 si U = (x, y) :((x− u)2 + (y − v)2

)1/2< ε para algun

ε > 0 y algun (u, v) en R2. U se acostumbra denotar como Bε((u, v))—U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio ε—.

B2: V ∈ B2 si V = (x, y) : |x − u| + |y − v| < ε para algun ε > 0 yalgun (u, v) en R2 —V es el interior de un rombo en R2 con centro en(u, v)—.

Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como union deelementos de B1, lo puedo expresar tambiencomo union de elementos de

B2, con lo cual las dos topologıas generadas coinciden.

EJEMPLO 1.17

De manera mas general, en Rn definimos una base B de la manera si-guiente:

B = Bε(x) : ε > 0, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rndonde,

Bε(x) =

(y1, . . . , yn) ∈ Rn

∣∣∣∣(

n∑i=1

(xi − yi)2

)1/2

< ε

.

Bε(x) es la bola abierta de centro en x con radio ε. La topologıa gen-erada por esta base se conoce como topologıa usual de Rn y notamosRnu.

No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamenteestas bases satisfacen la condicion para serlo, y hacer los graficos respec-tivos para las bolas abiertas en Ru y R2

u.

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NO


Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias departes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser basepara alguna topologıa. Cuando dos bases generen una misma topologıalas vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de ‘igualdad’acomodado por nosotros para nuestros intereses. En otras palabras,definimos una relacion de equivalencia y lo que llamamos equivalentees esa ‘igualdad’ acomodada.

Definicion 1.4. Sean X un conjunto y B1, B2 dos bases como en ladefinicion 1.2. Decimos que B1 ≡ B2 —son dos bases equivalentes—si las topologıas generadas son iguales, i. e., 〈B1〉 = 〈B2〉.Proposicion 1.5. B1 ≡ B2 si y solo si dados B1 ∈ B1 y x ∈ B1 existeB2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1, con lo cual 〈B1〉 ⊆ 〈B2〉 y viceversa.

Demostracion. Ejercicio.

El lector debe verificar que esta relacion es de equivalencia sobre elconjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo. Ası que,dada una topologıa sobre X podemos escoger, de la clase de equivalenciaque representa esta topologıa, el elemento base que mejor se acomode anuestro interes —canonico—.

Dado un cubrimiento D de X, es posible crear la menor topologıa sobreX que tenga entre sus abiertos la coleccion D. Para ello, creamos apartir de esta coleccion una base y luego generamos la topologıa.

K

Teorema 1.6. Dado un cubrimiento D de X, existe una unica topologıaT para la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topologıaH que contenga a D es mas fina que T, esto es, T ⊆ H.

Demostracion. Definimos la coleccion B como el conjunto de todas lasintersecciones finitas de elementos de D, es decir B ∈ B si B =

⋂ni=1Di

para Di ∈ D; B es una base de topologıa y D ⊆ B.

Sea T = 〈B〉. En otras palabras, un elemento U de T es aquel quepodemos expresar como una reunion de intersecciones finitas de ele-mentos de D. Si H es una topologıa para X tal que D ⊆ H , es claroque todo elemento de T tambien es elemento de H por la definicion detopologıa.

En general definimos una subbase de la manera siguiente.

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NO


Definicion 1.7. Sea (X,T) un espacio. Una subbase para la topologıaT es una subcoleccion D ⊆ T con la propiedad que la familia formadapor las intersecciones finitas de elementos de D es una base para T.

EJEMPLO 1.18

Los intervalos de la forma (a,→), (←, b) con a, b ∈ R forman una subbasepara la topologıa usual. Generalice a la topologıa del orden.

EJEMPLO 1.19

Para un conjunto X la coleccion D = X−x : x ∈ X es una subbasepara la topologıa de los cofinitos.

Ejercicios 1.2

1. (R2, verticales). Por cada x ∈ R sea Bx = (x, y) : y ∈ R.Muestre que B = Bx : x ∈ R es base de una topologıa paraR2 ¿Como son los abiertos?

2. (R2, triangulares). Dados a, b, c ∈ R, con a > 0, definimos laregion comprendida entre dos rectas

Da,b,c = (x, y) : y ≥ ax+ b y y ≥ −ax+ c ⊆ R2.

Sea D = Da,b,c : a > 0, b, c ∈ R. D es una coleccion de regionestriangulares infinitas. Muestre que D es base para una topologıa.

3. Cuando tenemos un conjunto (X,≤) totalmente ordenado y sinelementos maximo ni mınimo, es posible definir otras topologıasdiferentes de la usual para el orden. Consideremos las siguientesfamilias de subconjuntos y verifiquemos que efectivamente se tratade bases para nuevas topologıas:

a) Bd = x ↑= [x,→) : x ∈ X genera la topologıa Td de lascolas a derecha y cerradas, o topologıa a derecha (ver ejemplo1.15).

b) Bi = x ↓= (←, x] : x ∈ X genera la topologıa Ti de lascolas a izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, estatopologıa es de Alexandroff. Tambien se dice que la topologıa

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NO


b •

c •

Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2.

es generada por los inferiores x ↓ de cada elemento. En estosdos casos no es necesario que el orden sea total, basta teneruna relacion de orden parcial en X.

Bi tambien genera los intervalos de la forma

(←, a) =⋃b<a

(←, b],

con lo cual es inmediato ver que Tai ≤ Ti.

c) Bad = (x,→) : x ∈ X genera la topologıa Tad de las colas aderecha y abiertas. En este caso es necesaria la no existenciadel mınimo.

d) Bai = (←, x) : x ∈ X genera la topologıa Tai de las colasa izquierda y abiertas. Necesitamos de la no existencia demaximos.

e) B+ = [x, y) : x, y ∈ X genera la topologıa T+ de los in-tervalos semiabiertos a derecha. En el caso X = R, T+ es

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NO


llamada topologıa de Sorgenfrey o del lımite inferior5.

B+ genera: (a, b) =⋃t>a

[t, b),

[a,→) =⋃a<b

[a, b),

(a,→) =⋃a<b

(a, b),

(←, b) =⋃a<b

(a, b).

5Introducida por R. H. Sorgenfrey (1915-1996) en 1947 para los numeros reales,es una fuente de utiles contraejemplos.

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NO


f ) B− = (x, y] : x, y ∈ X genera la topologıa T− de los inter-valos semiabiertos a izquierda.

B− genera: (a, b) =⋃x<b

(a, x],

(←, a] =⋃b<a

(b, a],

(a,→) =⋃b<a

(a, b),

(←, b) =⋃a<b

(a, b).

Verifique el diagrama 1.3, el cual muestra la relacion de con-tenencia entre estas topologıas y dice quienes no son compa-rables.

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Ji

J!

2X

J0

Jai Jad

J+

Jd

Figura 1.3: Contenencia entre topologıas.

4. Sea B ⊆ ℘(X) un cubrimiento de X cerrado para las interseccionesfinitas —propiedad de la interseccion finita PIF—. Muestre que B

es base para una topologıa en X.

5. Dado el intervalo unidad I = [0, 1] ⊆ R, consideremos el conjunto

X = Mor(I, I) = f | f : I −→ I.Por cada S ⊆ I, definimos

BS = f ∈ X : f(x) = 0, para cada x ∈ S.La coleccion B = BSS⊆I es base para una topologıa en X.

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NO

1.3 Vecindades 17

1.3. Vecindades

En la motivacion de este capıtulo utilizamos el termino ‘vecindad’ enel contexto de los numeros reales; hagamos la generalizacion a espaciostopologicos de acuerdo con la siguiente definicion.

Definicion 1.8. Sea (X,T) un espacio. Decimos que V ⊆ X es vecin-dad6 de x ∈ X —la notamos Vx— si existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx.Al conjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x).

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Vx

x•y

U

•

Figura 1.4: Propiedad 4 de la axiomatizacion de vecindad.

Proposicion 1.9. Sean (X, T) un espacio y x ∈ X. El sistema V(x)de vecindades de x ∈ X posee las siguientes propiedades:

1. Si V ∈ V(x) entonces x ∈ V .

2. Si V ∈ V(x) y V ⊆W entonces W ∈ V(x).

3. Si V,W ∈ V(x) entonces V ∩W ∈ V(x).

4. Para cada V ∈ V(x) existe U ∈ V(x) con U ⊆ V tal que V ∈ V(y)para todo y ∈ U .

Demostracion. La demostracion se deja como ejercicio.

6Fue el matematico aleman Felix Hausdorff quien en 1.914 introdujo la nocionde espacio topologico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co., 1914,partiendo de una axiomatizacion del concepto de vecindad. Tambien trabajo en teorıade conjuntos e introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado.

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NO


En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es unfiltro para cada x ∈ X —el concepto de filtro se define en el capıtulo 5,pag. 81—. Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que

Una vecindad de un punto x es tambien vecindad de los puntos sufi-cientemente cercanos a x.

El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomati-zacion de Hausdorff con la dada por N. Bourbaki7 un cuarto de siglomas tarde, la cual es nuestra definicion inicial de topologıa.

Felix Hausdorff

Teorema 1.10. Sea X un conjunto. Supongamos que a cada x ∈ X sele asigna un conjunto V(x) no vacıo de subconjuntos de X que cumple1, 2, 3 y 4 de la proposicion 1.9; entonces existe una unica topologıa T

para X tal que para cada x ∈ X la coleccion V(x) es precisamente elsistema de vecindades de x en el espacio (X,T).

Demostracion. Definimos U ∈ T si para cada x ∈ U se tiene que U ∈V(x) —U es vecindad de cada uno de sus puntos—. Veamos que en efectoT es una topologıa. Por vacuidad, vacıo esta en T. Por hipotesis, V(x) es

7Un grupo de matematicos, en su mayorıa franceses, quienes bajo este seudonimocomenzaron a reunirse en 1930 con la intencion de escribir de una manera unificadala matematica existente.

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NO

1.3 Vecindades 19

diferente de vacıo para x ∈ X, y por tanto X ∈ V(x). Dado x ∈ U ∩ Vdonde U, V ∈ T, tenemos U ∩ V ∈ V(x) ya que U, V ∈ V(x). Dada Ui,(i ∈ I) una familia en T y x ∈ U =

⋃Ui : i ∈ I, existe i ∈ I tal quex ∈ Ui, y como Ui ∈ V(x), por la propiedad 2 tenemos U ∈ V(x).

Veamos ahora que V(x) =W(x) donde W(x) es el sistema de vecin-dades de x en (X,T). Si Vx es una vecindad de x, existe U ∈ T tal quex ∈ U ⊆ Vx. Como U ∈ T, significa que U ∈ V(x) y ası Vx ∈ V(x).

Mostremos finalmente que V(x) ⊆ W(x). Dada V ∈ V(x), definimosU = y ∈ V : V ∈ V(y); claramente x ∈ U ⊆ V , ası que solo restamirar que U ∈ T. Por definicion, si y ∈ U entonces V ∈ V(y) y por4 existe W en V(y) tal que V ∈ V(z) para cada z ∈ W , con lo cualW ⊆ U , y por 2, U esta en V(y), pero como esto se tiene para caday ∈ U , entonces U ∈ T por la definicion de T.

Es un ejercicio verificar que la topologıa T es unica.

Definicion 1.11. En un espacio (X,T) un SFV sistema fundamentalde vecindades para un punto x ∈ X, es una familia W = Wiide vecindades de x, tal que para cada vecindad Vx existe una Wi conWi ⊆ Vx.

Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentrode cada vecindad.

Definicion 1.12. Un espacio (X,T) se dice T1 si dado cualquier par depuntos x, y ∈ X existen Vx, Vy tales que y /∈ Vx y x /∈ Vy.Definicion 1.13. Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff,T2, o separado, si dado cualquier par de puntos x, y ∈ X existen vecin-dades Vx, Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Es decir, podemos separar los puntos pormedio de vecindades disyuntas.

El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho dehaber sido F. Hausdorff8 quien la introdujo como un axioma adicionala los de la proposicion 1.9.

8F. Hausdorff (1868-1962) crecio en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduo dela Universidad de Leipzig y fue docente allı hasta 1910. Comenzo su carrera de genialmatematico como un astronomo. Por su inmenso aporte es considerado como uno delos padres de la topologıa. Tambien escribio poesıa y filosofıa. En 1942 prefirio cometersuicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentracionnazi.

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NO


EJEMPLO 1.20

En (X, discreta) el conjunto W(x) = x es un SFV de x. En Ru elconjunto W(x) = (x− 1

n , x+ 1n)n∈N es un SFV de x ∈ R.

Ejercicios 1.3

1. Muestre que en un espacio X, U ⊆ X es abierto si y solo si esvecindad de cada uno de sus puntos.

2. Muestre que en un espacio T1 los conjuntos unitarios x son cer-rados.

3. ¿Cuales espacios de los que hemos definido son T1?

4. ¿Cuales de los espacios topologicos que hemos definido son Haus-dorff?

5. B = (a, b) : b− a ≤ 1 es base para la topologıa usual de R.

6. ¿En (R2, verticales) quienes forman a V((0, 0))?

7. Muestre la unicidad en el teorema 1.10.

8. Sea (X,T) un espacio. Muestre que la topologıa T es de Alexandroffo A–topologıa si y solo si cada punto x ∈ X posee una vecindadAx mınima, i. e., Ax esta contenida en cualquier otra Vx.

9. Muestre que toda topologıa finita es de Alexandroff.

10. Lexicografico. En R2 definamos el orden lexicografico de la man-era siguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = ctenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) eneste espacio, resultan ser rectangulos infinitos hacia arriba y haciaabajo, con parte de los lados verticales incluidos, segun sea el caso(ver figura).

Luego un abierto para la topologıa generada sera todo lo que logre-mos expresar como union de estos elementos basicos. Notese queesta definicion puede extenderse a Rn y coincide con la maneracomo ordenamos un diccionario.

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1.3 Vecindades 21

a c

b

d

a) Dibuje al menos tres vecindades delpunto (0, 0) para la topologıa in-ducida por este orden.

b) ¿Como es geometricamente el in-tervalo ((0, 0), (2, 3))?

c) ¿Que relacion existe entre la topo-logıa usual y la topologıa de ordenasociada al lexicografico?

d) ¿Como puede usted generalizar es-ta topologıa a cualquier conjuntoordenado?

e) Trate de observar como es esta topo-logıa si el conjunto X es el cuadra-do unidad I × I.

11. Muestre que B = ((a, b), (a, c)) : b < c es tambien una base parala topologıa del orden lexicografico.

12. La topologıa del orden para N es la topologıa discreta.

13. La topologıa del orden para N×N con el orden lexicografico no esla topologıa discreta.

14. La topologıa del orden para Z× Z con el orden lexicografico es latopologıa discreta.

15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos paracada x ∈ X un conjunto V(x). ¿En que casos la coleccion de lasV(x) constituye un sistema de vecindades? ¿Cual es la topologıagenerada por este sistema?

a) V(x) = A ⊆ X : x ∈ A.b) V(x) = x.c) V(x) = X.d) Sea X = N ∪ ω donde ω /∈ N. Por cada n ∈ N definamos

1) V(n) = A ⊆ X : n ∈ A,2) V(ω) = A ⊆ X : ω ∈ A y Ac es finito.

e) Sea X = (N×N) ∪ ω donde ω /∈ N×N. Por cada (m,n) ∈N× N definamos:

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NO


1) V((m,n)) = A ⊆ X : (m,n) ∈ A,2) V(ω) = A ⊆ X : ω ∈ A, donde A contiene casi todos los

puntos de casi todas las filas.En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitosnumeros, y solo a un numero finito de filas le pueden faltarinfinitos numeros. La fila k-esima es por definicion el subcon-junto N×k la cual notamos Nk. A ∈ V(ω) si ω ∈ A y existem ∈ N tal que Nk −A es finito para todo m < k.La topologıa generada es la de Arens-Fort9: un abierto con-tiene a ω si unicamente un numero finito de filas contienen‘huecos significativos’. Revise el ejemplo 1.10.

1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio

Esta seccion presenta una ‘maquina’ de construccion para nuevosespacios a partir de espacios ya conocidos.

Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X, A hereda una estructura topologi-ca TA de manera natural con respecto a T.

Proposicion 1.14. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. La coleccion

TA := U ∩A | U ∈ T

es una topologıa sobre A.

TA se llama la topologıa de subespacio inducida sobre A o latopologıa asociada al subespacio A.

Demostracion. Claramente ∅ = ∅∩A y A = X∩A son elementos de TA.Si M,N ∈ TA entonces M = U ∩ A, N = V ∩ A para U, V ∈ T, con locual (U ∩A)∩ (V ∩A) = (U ∩ V )∩A, y como U ∩ V ∈ T, tenemos queM ∩ N ∈ TA. Por induccion esto es valido para cualquier interseccionfinita de elementos de TA.

Si Mi, (i ∈ I) es una familia de elementos de TA, cada Mi = Vi∩Apara un Vi ∈ T. Ası que M = ∪i∈IMi = ∪i∈I(Vi ∩A) = A ∩ (∪i∈IVi), ycomo ∪i∈IVi ∈ T, tenemos M ∈ TA.

9Marion K. Fort, Jr. (1921-1964) matematico estadounidense. Los espacios Fort yArens-Fort son llamados en su honor.

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1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 23

Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A.

EJEMPLO 1.21

1. Sea X = R2u. Entonces cualquier subconjunto del plano puede ser

visto como un espacio topologico. En particular las figuras de lageometrıa, como circunferencias, discos, polıgonos, etc., pueden serahora vistas como espacios.

Examinemos el caso de la recta real R = (x, 0) : x ∈ R ⊆ R2.La topologıa de subespacio es la topologıa usual de R. En efecto,dado M abierto de R, M = R ∩ V para V abierto de R2. LuegoV = ∪i∈IBi, donde cada Bi es una bola abierta; entonces

M = R ∩ (∪i∈IBi) = ∪i∈I(R ∩Bi)

y cada R ∩ Bi es un intervalo abierto o el ∅, luego M es reunionde intervalos abiertos, i. e., M es abierto de la topologıa usual.

2. Lo mismo sucede en R3 y Rn con la topologıa usual, cuando consid-eramos alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, al dar topologıaa las esferas Sn.

La siguiente proposicion dice como obtener una base para la topologıainducida sobre A ⊆ X a partir de una base para la topologıa en X.

Proposicion 1.15. Si B = Bii∈I es una base para (X,T) entoncesD = Bi ∩A : Bi ∈ B es una base de TA.

Demostracion. Veamos que tenemos un cubrimiento. Si x ∈ A entoncesx ∈ Bi para algun i y por tanto x ∈ Bi ∩ A. De otra parte, si x ∈(Bi ∩A) ∩ (Bj ∩A), existe Bk ⊆ Bi ∩Bj lo que implica x ∈ (Bk ∩A) ⊆(Bi ∩A) ∩ (Bj ∩A).

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Un subconjunto abierto en (A,TA) no tiene por que serlo en (X,T).

Un subespacio A ⊆ X cuya topologıa de subespacio es la discreta sellama subespacio discreto de X. Esto es equivalente a decir que paracada punto a ∈ A existe un subconjunto abierto en X cuya interseccioncon A es solo el punto a.

EJEMPLO 1.22

En Ru, la topologıa inducida sobre los enteros es la discreta; n esahora abierto en Z, pero no lo era en R. Por tanto, debemos tener ciertadiscrecion cuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios osubespacios.Ası, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera quetambien lo es ya que entre cada par de racionales existe un numeroirracional; sin embargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplode un espacio con propiedades interesantes.

EJEMPLO 1.23

Sea A = [0, 2] ∪ [3, 7) subconjunto de R y consideremos la topologıainducida de Ru. El subconjunto [3, 7) es abierto en TA pero no lo es enRu.

EJEMPLO 1.24

Si B = 1n : n ≥ 1, la topologıa inducida de Ru es la discreta. Si

agregamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta.

EJEMPLO 1.25

En R3u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig.

1.6). Dados a > b, dos reales positivos, T esta formado por todas lastriplas de la forma

((a+ b · cosφ)cosθ, (a+ b · cosφ)senθ, b · senφ)

cuando φ, θ varıan en el intervalo [0, 2π].

Notese que la parte

(a+ b · cosφ, b · senφ) = (x(φ), y(φ))

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NO


parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida loque hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de laecuacion (x(φ)cosθ, x(φ)senθ, y(φ)), la cual da una vuelta de radio x(φ)para cada φ. Los elementos de la base para la topologıa de T inducidapor la usual de R3, seran las intersecciones de las esferas sin borde deR3 con T (ver fig. 1.6).

Figura 1.5: Parametrizaciones interrumpidas para θ y para φ respectivamente.

Figura 1.6: Un abierto basico del toro.

EJEMPLO 1.26

Sea M3×3 o M3(R) el conjunto de todas las matrices reales de tamano3×3. Usando las 9 entradas (ai,j) en cada matriz como coordenadas paraun vector, podemos identificarM3×3 con R9. El subconjunto GL(3,R) ⊆R9 de las matrices invertibles es un espacio con la topologıa de subespacio(ver ejemplo 2.7).

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NO


EJEMPLO 1.27

Aunque en R la topologıa inducida por el orden usual coincide con latopologıa usual, esto no sucede para los subespacios.

El conjunto A = (5, 7) ∪ [8, 10) tiene el orden ≤ usual de los numerosy la topologıa T≤ inducida por este orden es diferente a la topologıa‘usual’ TA inducida del orden usual de R. Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9)∩Aes un abierto en la ‘usual’, pero no lo es en la inducida por el ordende A porque no corresponde a ningun ‘intervalo’ de A, pues no existe8 ∈ (a, b) ⊆ [8, 9).

EJEMPLO 1.28

Sobre el cuadrado A = I × I = [0, 1] × [0, 1] podemos considerar ycomparar tres topologıas:

La topologıa TI×I inducida por la usual de R2.

La topologıa T inducida por su orden lexicografico.

La topologıa TI×I inducida del espacio (R2,T) donde T es la

inducida por el orden lexicografico de R2.

(a) (b)

p•

p•

Figura 1.7: (a) un abierto en TI×I , (b) un abierto en T.

Estudie la contenencia entre estas tres topologıas (ver fig. 1.7).

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NO


Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: ¿cuando losabiertos de un subespacio son tambien abiertos para el espacio?

Proposicion 1.16. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Entonces TA ⊆ T

si y solo si A es abierto.

Demostracion. Sea M ∈ TA es decir M = V ∩ A donde V ∈ T. ComoA ∈ T tenemos V ∩A ∈ T.

Ejercicios 1.4

1. ¿Como es la topologıa de subespacio para S1 ⊆ R2?

2. En (R2, verticales), pag. 13 ej. 1, ¿como son las topologıas induci-das sobre R× 0 y 0 × R?

3. En Ru ¿como son las topologıas heredadas para Q y para A =1/n | n ∈ N ∪ 0?

4. En (R2, lexicografico) ¿como es la topologıa inducida sobre la rectareal y sobre I × I?

5. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Muestre que F ⊆ A es cerradoen (A,TA) si y solo si F es la interseccion de A con un subconjuntocerrado de X.

6. En X = 1, 2 × N con el lexicografico, todo unitario es abiertoexcepto uno; ¿de que punto se trata?

7. Y ⊆ (X,≤) se dice convexo si para todo a, b ∈ Y con a < b elintervalo (a, b) ⊆ Y . Muestre que en este caso las topologıas T

Y y

TY coinciden (ver ejemplo 1.28).

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NO2 Espacios metricos

En este capıtulo vemos los espacios metricos como una clase par-ticular de espacios topologicos. Por supuesto que los espacios metri-cos, en sı mismos, son extremadamente importantes y dentro de lamatematica merecen su propio espacio y por supuesto su propio tex-to. La presentacion que aquı hacemos es con la finalidad de prepararnos—motivarnos, dar ejemplos— para las futuras definiciones en topologıaconcernientes a las nociones de cercanıa y lımite, pero no pretendemoshacer una exposicion tan siquiera incompleta.

Estos espacios —el concepto— fueron introducidos por el matematicofrances Maurice Rene Frechet (1878–1973) en 1906 y constituyeron unode los pasos decisivos en la creacion de la Topologıa general. Se tratabade definir el concepto de ‘distancia’ de la manera mas general posiblepara objetos matematicos de naturaleza no especıfica —no necesaria-mente puntos de Rn, curvas o funciones—. Con tan pocas condiciones(ver siguiente definicion) Frechet pudo introducir de nuevo todas lasnociones topologicas introducidas hasta ese entonces para Rn, esto es,lımites, continuidad, vecindades para un punto, conjuntos abiertos, con-juntos cerrados, puntos de acumulacion, compacidad, conexidad, etc.

2.1. Metrica

Definicion 2.1. Una metrica d para un conjunto X es una funciond : X × X −→ R≥0 = [0,∞) —toma valores en los numeros realespositivos— que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z ∈ X:

1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y,

2. d(x, y) = d(y, x),

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2.1 Metrica 29

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

El numero d(x, y) se llama la distancia entre x y y. El par (X, d) se llamaun espacio metrico.

La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos re-cuerda el hecho de que la distancia mas corta entre dos puntos es laque se toma directamente entre ellos —claro que el sentido del terminodistancia es algo que nosotros hemos definido por medio de d, a nuestroantojo—.

Una consecuencia inmediata de 3 es

|d(x, y)− d(z, y)| ≤ d(x, z) (2.1)

puesto que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z)e, intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y)− d(x, y) ≤d(z, x), con lo cual

−d(x, z) ≤ d(x, y)− d(z, y) ≤ d(x, z). (2.2)

Dados (X, d), x ∈ X y ε > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < εlo llamamos la bola abierta Bε(x). (Ver definicion 2.8).

EJEMPLO 2.1

El conjunto R de los numeros reales, con la funcion d(x, y) = |x− y| esun espacio metrico. Este ejemplo incluye su curso de calculo I en estetexto.La desigualdad triangular es en este caso |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|.Al reemplazar a = x − z, b = z − y tenemos la clasica desigualdad|a+ b| ≤ |a|+ |b|.

EJEMPLO 2.2

Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimosd(x, y) como la longitud del camino mas corto entre todas las rutas quecomunican a x con y, tenemos que d es una metrica.

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30 Espacios metricos

EJEMPLO 2.3

Metrica discreta. Si X es un conjunto cualquiera, la metrica discretase define como: para x, y ∈ X

d(x, y) :=

1 si x 6= y,

0 si x = y.

EJEMPLO 2.4

Dados x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) dos puntos en Rn defin-imos

d2(x,y) = |x−y| = ((x1−y1)2 +(x2−y2)2 + · · ·+(xn−yn)2)1/2. (2.3)

Esta metrica se llama distancia euclidiana —la manera de medir usu-al—. Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigual-dades de:

Minkowski,(n∑i=1

(xi + yi)2

) 12

≤(

n∑i=1

xi2

) 12

+

(n∑i=1

yi2

) 12

(2.4)

Bunjakovski-Cauchy-Schwartz,

n∑i=1

|xiyi| ≤(

n∑i=1

xi2

) 12(

n∑i=1

yi2

) 12

(2.5)

Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad deMinkowski:

d(x,y) + d(y, z) = |x− y|+ |y − z|≥ |(x− y) + (y − z)| = |x− z|= d(x, z).

Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una metrica dp en Rn

para cada numero real p ≥ 1 —no necesariamente p = 2, i. e., tenemosuna coleccion infinita de metricas— (ver fig. 2.4).

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2.1 Metrica 31

dp(x,y) :=

(n∑i=1

|xi − yi|p) 1

p

, p ≥ 1, (x,y ∈ Rn).

El espacio metrico resultante es notado por algunos autores como lnp ,de suerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir enRn, notamos ln2 .

EJEMPLO 2.5

El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas. Sea l∞ el conjuntode todas las sucesiones acotadas de numeros reales, i. e., las sucesionesx = (x1, x2, ...) = (xn) tales que supn |xn| <∞. Si x = (xn), y = (yn) ∈l∞, definimos la metrica

d∞(x,y) = supn|xn − yn|.

Verifiquemos la desigualdad triangular. Si z = (zn) ∈ l∞, entonces

|xn − yn| ≤ |xn − zn|+ |zn − yn|≤ sup

n|xn − zn|+ sup

n|zn − yn|

= d∞(x,y) + d∞(y, z).

Por tanto,

d∞(x,y) = supn|xn − yn| ≤ d∞(x, z) + d∞(z,y).

EJEMPLO 2.6

Sea C([0, 1],R) el conjunto de todas las funciones continuas de [0, 1] enR, y definamos la metrica d2 como

d2(f, g) =(∫ 1

0(f(x)− g(x))2dx

) 12

.

Si tomamos el conjunto de todas las funciones, no necesariamente con-tinuas, la formula anterior no define una metrica ¿por que?. K

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EJEMPLO 2.7

Grupo lineal general GLn o GL(n, R). Denotemos por Mn(R) el con-junto de las matrices de tamano n × n con entradas en R (ver ejemplo1.26).Si cada matriz A = (aij) se identifica con el punto

(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann) ∈ Rn2

entonces GL(n,R) queda identificado con Rn2y por tanto lo podemos

ver como un espacio metrico.

Una matriz A es invertible (multiplicacion) si existe una matriz Btal que AB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de maneraequivalente Det(A) 6= 0 (determinante distinto de cero).

En Mn(R) se distingue el subconjunto GL(n,R) o GLn(R) de lasmatrices invertibles. Por su sigla lo llamamos grupo lineal general.

Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas deAt son las columnas de A, esto es, (At)ij = Aji. Cada matriz define unafuncion A : Rn → Rn como A(x) = Ax.

Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A−1 = At, i.e., AAt = I.

EJEMPLO 2.8

On o O(n, R). El subconjunto On ⊆ GLn de las matrices ortogonales,se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones linealesde Rn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalentea las isometrıas de Rn que fijan el origen.Si A ∈ On, entonces det(A) ∈ 1,−1 puesto que

det(A)2 = det(A)det(At) = det(AAt) = det(I) = 1.

EJEMPLO 2.9

El subconjunto SOn ⊆ On de las matrices A ∈ On con det(A) = 1se llama grupo ortogonal especial y corresponde a las matrices quetienen determinante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Estesubconjunto coincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen.

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2.1 Metrica 33

Para el caso 2–dimensional n = 2 tenemos SO2. Dado un angulo θdefinimos las matrices

Rθ =(

cos θ −sen θsen θ cos θ

)Sθ =

(cos θ sen θsen θ −cos θ

).

Estas matrices son ortogonales y det(Rθ) = 1, det(Sθ) = −1. Portanto Rθ ∈ SO2 y Sθ ∈ O2 − SO2. Pero mucho mas, cualquier matrizA ∈ SO2 es de la forma Rθ para algun θ y cualquier matriz A ∈ O2−SO2

es de la forma Sθ para algun θ.

Rθ representa una rotacion de medida θ en sentido contrario a lasmanecillas del reloj.

Sθ representa una reflexion por la lınea que pasa por el origen enangulo θ/2 con respecto al eje x.

Una isometrıa de Rn es una funcion f : Rn → Rn de la formaf(x) = Ax+ a para alguna matriz ortogonal A ∈ On y algun vector a ∈Rn. Denotamos por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indicasu nombre, una isometrıa f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) =d(x, y) para todo x, y ∈ Rn. De manera recıproca, para cualquier funcionf : Rn → Rn que preserva distancias existen A ∈ On y a ∈ Rn tal quef(x) = Ax+ a para todo x ∈ Rn.

Ejercicios 2.1

1. Dados (X, d),(Y,m) dos espacios metricos muestre que parax = (x1, y1), y = (x2, y2) con x, y ∈ X × Y las siguientes fun-ciones definen metricas sobre X × Y :

a)d2(x, y) := (d(x1, x2)2 +m(y1, y2)2)

12 . (2.6)

Sugerencia: para la desigualdad triangular apoyese en la sigu-iente desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son numeros reales no neg-ativos con a ≤ b + c, x ≤ y + z, entonces (a2 + x2)1/2 ≤(b2 + y2)1/2 + (c2 + z2)1/2.

b)d∞(x, y) := max d(x1, x2),m(y1, y2). (2.7)

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c)d(x, y) := d(x1, x2) +m(y1, y2). (2.8)

2. Generalice las metricas del ejemplo anterior para un producto fini-to de espacios metricos.

3. La metrica del mensajero. En el espacio euclidiano R2, defini-mos la metrica m del mensajero como m(p, q) := d2(0, p)+d2(0, q)donde 0 = (0, 0), p, q ∈ R2. Si p = q definimos m(p, q) = 0.

El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nueva-mente a repartir en q (figura 2.1). ¿Como es B1(p), i.e., que puntospertenecen a esta bola?

p

q

•

•

•

Figura 2.1: La metrica del mensajero.

4. Sea X un conjunto no vacıo. En XN definimos d, la metricaprimeriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x1, x2, . . .),y = (y1, y2, . . .) en X,

d(x,y) := 1/k, si xn = yn para todo n < k y xk 6= yk.

Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos suce-siones difieren. Si xn = yn para todo n ∈ N, definimos d(x,y) = 0.Muestre que (XN, d) es un espacio metrico.

En el caso en que X = N obtenemos la coleccion de todas las sucesionesde numeros naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y,como curiosidad, este espacio no es mas que otra manera de describiral conjunto de los numeros irracionales vıa ‘fracciones continuas’.

5. De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto 0, 1N de todas lascuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto 0, 1 es un

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2.1 Metrica 35

espacio metrico. La distancia esta dada en terminos de la longitudk del primer prefijo que comparten.

Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto 0, 1N la

distancia d(x,y) :=12k.

Veamos la desigualdad triangular para esta nueva metrica. Seana, b, c sucesiones y mostremos que

d(a, b) ≤ maxd(a, c), d(c, b).Sea k la longitud del mayor prefijo comun entre a y c, y sea m lalongitud del mayor prefijo comun entre c y b. Si n = mınk,m,sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primerasn letras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con lasprimeras n letras de b. Ası, las primeras n letras de a coincidencon las primeras n letras de b. Luego, el prefijo comun entre a yb tiene longitud al menos n.

Por tanto,

d(a, b) ≤ (1/2)n = (1/2)mınk,m (2.9)= max(1/2)k, (1/2)m (2.10)= maxd(a, c), d(c, b). (2.11)

Esta ultima ultra–desigualdad implica la desigualdad triangular yaque

maxd(a, c), d(c, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).

6. Un espacio ultrametrico X es un espacio metrico (X, d) en elcual la metrica d satisface la ultra-desigualdad triangular:

d(x, z) ≤ maxd(x, y), d(y, z).a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de es-

pacios ultrametricos.

b) En un espacio ultrametrico cualquier punto de una bola (verdefinicion 2.8) puede ser su centro, i. e., si y ∈ Bε(x) entoncesBε(x) = Bε(y). Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntasson comparables por la inclusion.

c) Una bola cerrada es un conjunto abierto. K

d) Una bola abierta es un conjunto cerrado.

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7. Sean (X, d) un espacio metrico y A ⊆ X. Muestre que la funciond restringida a A × A define una metrica dA para A. Al espacio(A, dA) lo llamamos subespacio metrico.

8. En X = ℘(N) defina d(A,B) = 0 si A = B, de lo contrario defina

d(A,B) =1k

donde k = mınn : n ∈ (A ∪B)− (A ∩B).

Sugerencia: d(A,B) <1m

si y solo si A ∩ [1,m] = B ∩ [1,m].

2.2. Espacios unitarios o euclidianos

Recordemos que los espacios euclidianos Rn con la suma usual devectores y el producto por escalar no son mas que elementos canonicosde espacios vectoriales normados de dimension finita.

Definicion 2.2. Un espacio vectorial —lineal— real es un conjuntoV no vacıo —los elementos de V se llaman vectores— sobre el cualesta definida una operacion binaria + llamada la adicion de vectores, yuna multiplicacion escalar —multiplicacion de un vector por un numeroreal— que satisfacen las siguientes propiedades: para x, y, z ∈ V y α, β ∈R tenemos

1. x+ y = y + x.

2. x+ (y + z) = (x+ y) + z

3. Existe un unico 0 ∈ V —llamado el elemento cero— tal que x+0 =x para todo x.

4. A cada x corresponde un unico elemento −x ∈ V —llamado elinverso aditivo de x— tal que x+ (−x) = 0.

Hasta aquı, de 1, 2, 3 y 4 tenemos una estructura de grupo.

5. α(βx) = (αβ)x.

6. (α+ β)x = αx+ βx.

7. α(x+ y) = αx+ αy.

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2.2 Espacios unitarios o euclidianos 37

8. 1x = x.

Definicion 2.3. Sea X un espacio vectorial real. Una norma para X esuna funcion ‖ ‖ : X −→ [0,∞) que a cada vector x le asocia el numeroreal positivo ‖x‖ con las siguientes propiedades:

1. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0 —el vector modulo—.

2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖, para todo x ∈ X, λ ∈ R —homogeneidad absoluta–.

3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, para x, y ∈ X —subaditiva o triangular—.

Al par (X, ‖ ‖) lo llamamos espacio —vectorial— normado.

Como consecuencia de la subaditividad 3 tenemos∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣ ≤ ‖x− y‖,al tomar

‖x‖ = ‖x− y + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖‖y‖ = ‖y − x+ x‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x‖

con lo cual

−‖x− y‖ ≤ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖.

Teorema 2.4. Si (X, ‖ ‖) es un espacio vectorial normado, la formula

d(x, y) := ‖y − x‖

define una metrica para X.

Demostracion. 1, 2 y 3 de la definicion de metrica son inmediatas. Parala desigualdad triangular notemos que

d(x, y) + d(y, z) = ‖y − x‖+ ‖z − y‖≥ ‖(y − x) + (z − y)‖ = ‖z − x‖ = d(x, z).

Decimos que la metrica es inducida por una norma.

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Cada espacio normado es de manera intrınseca un espacio metrico.

Esta metrica es invariante por traslaciones, i. e.,

d(x, y) = d(a+ a, y + a) para todo vector x, y, a.

Por geometrıa, los vectores de Rn tambien poseen un producto escalaro punto; es decir, no son mas que ejemplos de espacios vectoriales conproducto interior.

Definicion 2.5. Un producto interior —o un producto escalar— paraun espacio vectorial real X es una funcion 〈 , 〉 : X × X −→ R que acada par (x, y) le asocia el numero real 〈x, y〉 y satisface:

1. 〈x, x〉 ≥ 0, y 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0 —definido positivo—.

2. 〈x, y〉 = 〈y, x〉 —simetrıa—.

3. 〈λx+ µy, z〉 = λ〈x, z〉+ µ〈y, z〉, para x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R.

Al par (X, 〈 , 〉) lo llamamos espacio unitario o euclidiano o espaciopre-Hilbert.

Teorema 2.6. Sea (X, 〈 , 〉) un espacio unitario. La formula

‖x‖ :=√〈x, x〉

define una norma para X.

Demostracion. Para la demostracion basta verificar las siguientes dosdesigualdades clasicas (Bunjakovski-Cauchy-Schwartz)

|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉, (2.12)|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖. (2.13)

Decimos en este caso que la norma es inducida por el producto interior.

EJEMPLO 2.10

En Rn veamos las siguientes normas y sus respectivas metricas inducidas:

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1. La metrica d1 conocida como metrica del taxista y definida por

d1(x,y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ · · ·+ |xn − yn|;

la norma en este caso es

‖x‖1 = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|.

2. La metrica euclidiana d2 inducida por la norma

‖x‖2 = (x21 + x2

2 + · · ·x2n)1/2,

la cual proviene del producto interior

〈x,y〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn,

con lo cual

d2(x,y) = ((x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2)1/2.

3. Los subındices 1, 2 de las anteriores metricas d1, d2 no son en man-era alguna fortuitos, son casos particulares de la siguiente defini-cion mas general. Para cada numero real p ≥ 1 definimos

‖x‖p := (|x1|p + · · ·+ |xn|p)1/p.

Esta norma nos induce la metrica dp definida por (ver definicionde la pag. 31)

dp(x,y) :=

(n∑i=1

|xi − yi|p) 1

p

, (x,y ∈ Rn).

4. La metrica d∞ del sup definida como —¿por que el sımbolo ∞?—

d∞(x,y) = max|x1 − y1|, |x2 − y2|, . . . , |xn − yn|

la cual es a su vez inducida por la norma

‖x‖∞ := max|x1|, |x2|, . . . , |xn|.

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NO


EJEMPLO 2.11

El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas (ejemplo 2.5) es unespacio vectorial con la suma usual (xn)n + (yn)n = (xn + yn)n y multi-plicacion por escalar α(xn)n = (αxn)n. Si para x ∈ l∞ definimos

‖x‖ = supn|xn|

entonces la metrica d∞ es inducida por esta norma.

El siguiente espacio metrico es un clasico de la topologıa y del analisisfuncional; por esto, lo discutimos de manera amplia y reiterada.

EJEMPLO 2.12

El espacio de Hilbert H, tambien notado como l2:

Si en RN —el espacio vectorial formado por el conjunto de todas lassucesiones en R con las operaciones usuales de suma de sucesiones ymultiplicacion por escalar— quisieramos definir una metrica modelandola metrica euclidiana para el caso finito Rn, tendrıamos que dadas dossucesiones x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .), la suma infinita( ∞∑

i=1

(xi − yi)2

) 12

(2.14)

debe ser un numero real y, por tanto, debemos restringirnos a un sub-conjunto H de RN.

El espacio de Hilbert1 H esta formado por el conjunto de todaslas sucesiones x = (xn) de numeros reales tales que

∑∞n=1 x

2n < ∞.

H provisto de la adicion y del producto escalar para sucesiones es unespacio vectorial real de dimension infinita —subespacio de RN—.

1El nombre dado a estos espacios es en honor al matematico aleman David Hilbert(1862, Konigsbergl-1943, Gottingen, Alemania), quien los utilizo en su estudio delas ecuaciones integrales. Hilbert invito a Einstein a Gottingen para que impartierauna semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y suteorıa de la gravedad en desarrollo. El intercambio de ideas llevo a la forma final delas ecuaciones de campo de la Relatividad General. Aunque Einstein y Hilbert nollegaron nunca a una disputa publica sobre prioridad, ha habido discusion sobre aquien corresponde el merito del descubrimiento de las ecuaciones de campo.

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NO


La funcion 〈 , 〉 : H×H −→ R definida para x = (xn),y = (yn) ∈ Hcomo

(x,y) 7→ 〈x,y〉 =∞∑k=1

xkyk (2.15)

es simetrica, bilineal y definida positivamente, luego es un producto inte-rior sobreH. Para verificar la buena definicion, esto es, que efectivamentela serie correspondiente a 〈x, y〉 es un numero, basta tomar lımites enla desigualdad (2.4) para los espacios Rn y obtenemos la siguiente de-sigualdad, la cual asegura que la serie converge absolutamente

〈x,y〉 ≤∞∑k=1

|xk||yk| ≤( ∞∑k=1

x2k

)1/2( ∞∑k=1

y2k

)1/2

. (2.16)

Por tanto, el par (H, 〈 , 〉) es un espacio euclidiano de dimension infinita—sera de Hilbert cuando demostremos que es completo—.

De otra parte, tenemos canonicamente asociada a este espacio unametrica d inducida por la norma asociada a este producto interior

d(x,y) = ‖x− y‖ =

( ∞∑k=1

(xk − yk)2

)1/2

(2.17)

Hablamos de el espacio de Hilbert —un espacio euclidiano, completo,separable y de dimension infinita— en honor a David Hilbert; la uni-cidad por cuanto este espacio es unico salvo isomorfismo. Este ultimohecho no es trivial, pues aunque todo espacio euclidiano n-dimensionalsiempre es isomorfo a Rn, no es verdad que todo par de espacios eu-clidianos infinito-dimensionales lo sea.

Por ejemplo, el espacio (C2([0, 1],R),m) con m definida como

m(f, g) :=(∫ 1

0[f(t)− g(t)]2dt

) 12

no es isomorfo a l2 pues el primero no es completo mientras que elsegundo sı lo es.

G. RUBIA

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.......................................f ! g

f + g

Figura 2.2: La ley del paralelogramo.

2.2.1. Caracterizacion de los espacios euclidianos

Dado V un espacio vectorial —lineal— real y normado, miremos bajoque circunstancias V es euclidiano —posee un producto escalar—. Enotras palabras, buscamos condiciones adicionales sobre la norma de Vque nos garanticen que dicha norma es inducida por cierto productoescalar definido en V .

Teorema 2.7. Una condicion necesaria y suficiente para que un espaciolineal normado V sea euclidiano es que

‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 2 (‖f‖2 + ‖g‖2) (2.18)

para cada f, g ∈ V .

Demostracion. Si pensamos en f + g y f − g como las diagonales delparalelogramo en V con lados f y g la igualdad (2.18) puede ser inter-pretada como el analogo de la familiar propiedad del paralelogramo en elplano: ‘la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramoes igual a la suma de los cuadrados de sus lados’.

La necesidad de (2.18) es clara, ya que si V es euclidiano entonces

‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 〈f + g, f + g〉+ 〈f − g, f − g〉= 〈f, f〉+ 2〈f, g〉+ 〈g, g〉+ 〈f, f〉 − 2〈f, g〉+ 〈g, g〉= 2 (‖f‖2 + ‖g‖2). (2.19)

Para probar que (2.18) es suficiente, definamos

〈f, g〉 =14(‖f + g‖2 − ‖f − g‖2) (2.20)

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NO


y mostremos que si (2.18) se tiene, entonces (2.20) posee las propiedadesde un producto escalar —la igualdad en (2.20) se tiene en todo espaciocon producto interior y expresa el producto en terminos de la norma—.

Por (2.20) tenemos

〈f, f〉 =14(‖2f‖2 + ‖f − f‖2) = ‖f‖2 (2.21)

lo cual muestra que este producto escalar efectivamente genera la norma.

De (2.20) y (2.21) tenemos que

1. 〈f, f〉 ≥ 0 donde 〈f, f〉 = 0 si y solo si f = 0,

2. 〈f, g〉 = 〈g, f〉.

La demostracion de las propiedades de linealidad

〈f + g, h〉 = 〈f, h〉+ 〈g, h〉

〈αf, g〉 = α〈f, g〉requiere de mas trabajo y se deja como ejercicio de consulta.

EJEMPLO 2.13

En C([0, 1],R) definimos la distancia d∞ entre dos funciones f, g por

d∞(f, g) = sup |f(x)− g(x)| : x ∈ I.

Lo que es equivalente a definir en C(I) la norma

‖f‖∞ = sup|f(x)| : x ∈ I.

d∞ es conocida como la distancia uniforme.

La desigualdad triangular

d∞(f, h) ≤ d∞(f, g) + d∞(g, h) (2.22)

se sigue del hecho que para cada x ∈ I se tiene

|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)| (2.23)

G. RUBIA

NO


y por tanto,

supx|f(x)− h(x)| ≤ sup

x|f(x)− g(x)|+ sup

x|g(x)− h(x)| (2.24)

ya que sup(A+B) ≤ supA+ supB.

EJEMPLO 2.14

C([0, π/2],R) con la norma ‖ ‖∞ no es euclidiano. Consideremos el parde funciones f(t) = cos(t) y g(t) = sen(t). Entonces

‖f‖∞ = ‖g‖∞ = 1,

‖f + g‖∞ = max0≤t≤π/2 : cos(t) + sen(t) :=√

2,

‖f − g‖∞ = max0≤t≤π/2 : cos(t)− sen(t) :=√

1,

con lo cual

‖f + g‖2∞ + ‖f − g‖2∞ 6= 2(‖f‖2∞ + ‖g‖2∞).

Por lo tanto, la norma no puede ser generada por ningun producto es-calar. Lo mismo es cierto para el espacio (C[a, b],R) para cada a < b.

EJEMPLO 2.15

De manera mas general: sean (Y, d) un espacio metrico con una metricaacotada d y J un conjunto cualquiera no vacıo. Sobre el conjunto Y J =Hom(X,Y ) =

∏j∈J Y de todas las funciones de J en Y definimos la

metrica uniforme d∞(f, g) = supd(f(j), g(j)) : j ∈ J.

Ejercicios 2.2

1. Un segmento de recta ab en R2 puede ser descrito como

x : d2(a, x) + d2(x, b) = d2(a, b).¿Como luce esta definicion, i. e. este conjunto, si la metrica involu-crada es d1? Haga la misma reflexion con la definicion de circun-ferencia, elipse, parabola, etc.

2. Muestre que una metrica d en un espacio vectorial real X provienede una norma si y solo si es compatible con la estructura lineal delespacio, esto es, si se satisface:

G. RUBIA

NO

2.3 Topologıa para una metrica 45

a) d(x + a, y + a) = d(x, y), para todo a, x, y ∈ X (invarianzapor traslacion).

b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) para λ ∈ R, x, y ∈ X (homogeneidad).

Sugerencia: Defina ‖x‖ = d(x, 0). Por supuesto no toda metricaen un espacio vectorial proviene de una norma; ¿por que?

Por lo anterior, dado un espacio vectorial, entre las normas ar-bitrarias y los espacios metricos homogeneos e invariantes portraslacion, existe una correspondencia biunıvoca natural.

3. Rnp o lnp no es euclidiano si p 6= 2 —la norma no puede ser generada

por un producto escalar—.

Sugerencia: considere el par de vectores u = (1, 1, 0, . . . , 0) y v =(1,−1, 0, . . . , 0).

4. El siguiente ejercicio generaliza los ejemplos 2.5 y 2.13. Sea Xconjunto. La coleccion

E = f | f : X −→ R, acotadaes un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma defunciones y multiplicacion por escalar. Para cada f ∈ E definimos

‖f‖ = supx∈X|f(x)|. (2.25)

Muestre que en efecto se trata de una norma y de una genera-lizacion.

5. Hilbert generalizado. Para cada p ≥ 1 definimos el conjunto lp detodas las sucesiones de numeros reales, x = (x1, x2, ...) = (xn)ntales que la serie

∑∞n=1 |xn|p < ∞. Si x,y ∈ lp, muestre que

x− y ∈ lp y que la funcion dp es una metrica en lp, donde

dp(x,y) =

( ∞∑n=1

|xn − yn|p) 1

p

.

2.3. Topologıa para una metrica

Dado un espacio metrico (X, d), existen unos subconjuntos relevantesde el, capaces de describir a los vecinos de un punto controlando la

G. RUBIA

NO


distancia —grado de cercanıa— y que ademas seran los encargados dedefinirnos la topologıa inherente a la metrica.

Definicion 2.8. Sean x ∈ (X, d) y ε > 0 un numero real. Los conjuntos

Bε(x) = y : d(x, y) < ε, (2.26)Bε(x) = y : d(x, y) ≤ ε, (2.27)Sε(x) = y : d(x, y) = ε (2.28)

son respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera decentro en x y de radio ε en el espacio (X, d).

• • •

Figura 2.3: Bola abierta, bola cerrada y esfera en R2.

Figura 2.4: B1((0, 0)) para p = 1, 2, 7 en R3p.

EJEMPLO 2.16

En R32 una bola tiene efectivamente la forma de una ‘bola usual’; pero

esto esta bien lejos de suceder cuando utilizamos en R2 otras metricasdiferentes a la usual, como en R3

1 y R37 (fig. 2.4) donde una bola puede

tener otras formas, pero al fin bolas.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 2.17

En el espacio (C([0, 1]), d∞) (ejemplo 2.13) las bolas abiertas tomanuna forma muy especial (fig. 2.5), son franjas abiertas llenas de todoslos segmentos continuos imaginables —no se alza la mano del papel altrazarlos— i. e., dados ε > 0 y f ∈ C(I,R), la bola Bε(f) consistede todas las funciones que permanecen estrictamente dentro del areaacotada por las funciones f − ε, f + ε.

f + !

f ! !

f

Figura 2.5: Bola abierta en la metrica d∞ para C([0, 1],R).

Contrario al caso anterior, para la metrica

d1(f, g) =∫ 1

0|f(x)− g(x)|dx (2.29)

sobre [0, 1], las bolas son muy difıciles de imaginar.

Teorema 2.9. Si (X, d) es un espacio metrico, entonces el conjunto

B = Bδ(x) : x ∈ X, δ > 0 (2.30)

de todas las bolas abiertas es base para una topologıa en X.

Demostracion. Sean Bδ(x), Bε(y) dos bolas y p ∈ Bδ(x) ∩ Bε(y). Sir > 0 es tal que r < m, donde m = mınδ− d(p, x), ε− d(p, y), la bolaBr(p) esta contenida en la interseccion de las dos bolas dadas (fig. 2.6).En efecto, veamos primero que Br(p) ⊆ Bδ(x); a partir de la desigualdadtriangular tenemos que si d(t, p) < r entonces

d(t, x) ≤ d(t, p) + d(p, x)< r + d(p, x)≤ δ − d(p, x) + d(p, x) ≤ δ.

G. RUBIA

NO


••

•!x

p•

"y

!

Figura 2.6: Las bolas en un espacio metrico forman una base.

De manera similar se muestra la otra contenencia.

Definicion 2.10. La topologıa T asociada a la base formada por la to-talidad de las bolas abiertas se llama topologıa inducida o generadapor la metrica d, y la notamos T = 〈d〉.

La definicion anterior nos permite crear una clase muy especial deespacios topologicos. Cuando un espacio topologico (X,T) tiene unatopologıa tal que T = 〈d〉 para alguna metrica d, decimos que el espacio(X,T) es metrizable, o que su topologıa proviene de una metrica.

Las preguntas obligadas son:

1. ¿Todo espacio topologico es metrizable?

2. ¿Pueden metricas diferentes inducir la misma topologıa?

3. ¿Como saber cuando un espacio es metrizable?

2.3.1. Metricas equivalentes

Una metrica induce una base, ası que la pregunta 2 puesta en termi-nos de bases nos conduce a la siguiente definicion.

Definicion 2.11. Dos metricas d,m en un conjunto X se dicen topolo-

G. RUBIA

NO


gicamente equivalentes —notamos d ≡ m— si generan la mismatopologıa; esto es, 〈d〉 = 〈m〉.

La primera contenencia 〈d〉 ⊆ 〈m〉 de la igualdad 〈d〉 = 〈m〉 implicaque cada bola en d se puede expresar como una union de bolas en m, ylo recıproco para la otra contenencia.

!y

x

En terminos mas explıcitos, dada Bdε (x)

—una bola ‘cuadrada’ en d— y un punto ycon y ∈ Bd

ε (x), es posible encontrar una bolaBmδ (y) —‘redonda’ en m y de centro en y—

de tal manera que

y ∈ Bmδ (y) ⊆ Bd

ε (x).

Tambien debemos tener lo recıproco para la otra contenencia. ¿Porque podemos escoger la bola Bm

δ (y) de suerte que resulte centrada en y?Mas aun, para la equivalencia topologica entre dos metricas nos pode-mos reducir a la respectiva contenencia de bolas centradas en el mismopunto; esto es, para cada x ∈ X dada Bd

ε (x) existe Bmδ (x) ⊆ Bd

ε (x) yviceversa.

Definicion 2.12. Un espacio metrico (X, d) es acotado si la funciond es acotada. De manera mas general, dado A ⊆ (X, d) definimos eldiametro de A como

diam(A) := supd(x, y) : x, y ∈ A.

En caso que diam(A) <∞ decimos que A es acotado.

El diametro de A es la distancia entre los puntos mas distantes en A(si tales puntos existen). Por ejemplo, en R si A = [0, 1) su diametro es1 sin que tales puntos de A existan.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 2.18

Dado el espacio metrico (X, d), definimos dos nuevas metricas:

1. e(x, y) := mın1, d(x, y).

2. f(x, y) :=d(x, y)

1 + d(x, y).

Tanto e como f son metricas acotadas por 1, y lo que es aun mas intere-sante, d ≡ e y d ≡ f . En efecto, dada la metrica d y la metrica asociadae = mın1, d tenemos que para la bola Bd

r (x) —radio r en la metricad— al tomar s = mın1, r se satisface Be

s(x) ⊆ Bdr (x). La otra inclusion

es obvia. Para el caso f =d

1 + des facil verificar que

Bfr

1+r(x) ⊆ Bd

r (x) y Bdr

1−r(x) ⊆ Bf

r (x), r < 1.

Por tanto, toda metrica es topologicamente equivalente a unametrica acotada.

El ejemplo anterior muestra que el espacio topologico asociado a Xpor medio de las metricas d y e es el mismo. Luego la propiedad de aco-tamiento es exclusivamente metrica, que la perdemos cuando pasamos aestructuras mas generales, como es el caso de la topologica.

Definicion 2.13. Decimos que dos metricas d,m para un mismo conjun-to X, son metricamente equivalentes o fuertemente equivalentes(ver teorema 2.14) si existen dos numeros reales positivos s, t tales quepara todo par de puntos x, y ∈ X se satisface

d(x, y) ≤ sm(x, y) , m(x, y) ≤ t d(x, y). (2.31)

Teorema 2.14. Ser metricamente equivalentes implica ser topologica-mente equivalentes.

Demostracion. Sean d,m dos metricas que son metricamente equiva-lentes; por lo tanto, existen dos numeros s, t que satisfacen la definici-on 2.13. Dada la bola abierta Bd

ε (x) tenemos que Bmε/s(x) ⊆ Bd

ε (x) locual muestra 〈d〉 ⊆ 〈m〉. Similarmente Bd

ε/t(x) ⊆ Bmε (x) y por tanto

〈m〉 ⊆ 〈d〉.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 2.19

El recıproco del teorema anterior no es cierto. Sabemos que toda metri-ca d es topologicamente equivalente a la metrica e = mın1, d; peroclaramente d, e no tienen por que serlo metricamente. Por ejemplo, en elcaso de Rn

u no es posible encontrar s > 0 que satisfaga d(x, y) ≤ se(x, y)para todo par de puntos x, y ∈ Rn

u. Sin embargo, la metrica e es metrica-

mente equivalente a la metrica f =d

1 + dpues tenemos la desigualdad

f ≤ e ≤ 2f .

Normas equivalentes. Para el caso de un espacio vectorial normado,decimos que dos normas ‖ ‖1, ‖ ‖2 son topologicamente o metricamente K

equivalentes si las respectivas metricas asociadas lo son. De otra parte,decimos que ellas son equivalentes si existen s, t ∈ R>0 tales que,

‖ ‖1 ≤ s‖ ‖2 y ‖ ‖2 ≤ t‖ ‖1 —las notamos ‖ ‖1 ≡ ‖ ‖2—.

En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distin-guir, como pasaba en los espacios metricos, entre distintas formas deequivalencia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales,con lo cual podemos utilizar simplemente el adjetivo normas equiv-alentes. Mas aun, es posible demostrar que en un espacio vectorialnormado de dimension finita, todas las normas son equivalentes.

EJEMPLO 2.20

Las metricas ln1 , ln2 y ln∞ son topologicamente equivalentes. Para esto,basta mostrar la desigualdad

B∞r/√

2(x) ⊆ B1

r (x) ⊆ B2r (x) ⊆ B∞r (x).

Para el caso del plano, al graficar las bolas B1((0, 0)) para cada una delas metricas dp, obtenemos la figura 2.7 donde, en la medida en que pcrece, obtenemos una deformacion continua del rombo de d1 al cuadradode d∞, en que la circunferencia en d2 no es mas que un paso en elcamino.

La justificacion de la notacion d∞ para la metrica del sup la obtenemosdel siguiente lema.

G. RUBIA

NO


-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.7: B1((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R2p.

Lema 2.15. Para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se tiene que

lımp→∞ ‖x‖p = max|x1|, . . . , |xn| = ‖x‖∞.

Demostracion. Es claro que

‖x‖p∞ ≤ |x1|p + · · ·+ |xn|p ≤ n‖x‖p∞. (2.32)

Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos

‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n1/p‖x‖∞. (2.33)

Como n1/p → 1 cuando p→∞, tenemos nuestro lımite. Notemos que ladesigualdad en 2.33 muestra que para cada p la norma ‖ ‖p es equivalentea ‖ ‖∞, con lo cual todas las ‖ ‖p son equivalentes en Rn, esto es, inducenla misma topologıa.

En la definicion de la metrica dp para los espacios Rn (ver recuadropag. 30) la condicion p ≥ 1 no debe pasar desapercibida, puesto que enel caso p < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos unametrica. Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangularno se verifica en el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0)pues d(x, y) = 4 mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 2.21

Una maquina para construir metricas equivalentes. Dados un espaciometrico (X, d) y una funcion f : R+ → R+ estrictamente creciente, conf(0) = 0 y f(u+ v) ≤ f(u) + f(v), la compuesta f d es una metrica. Siademas f es continua en 0, las dos metricas f y f d son topologicamenteequivalentes.Verifiquemos, antes de todo, que m = f d definida como m(x, y) =f(d(x, y)) es una metrica.

1. m(x, y) es positiva por la definicion de f . Por ser f creciente ten-emos que f(d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y.Para la recıproca de esta afirmacion recordemos que f(0) = 0.

2. La simetrıa en m es consecuencia de la simetrıa en d.

3. La desigualdad triangular,

m(x, z) = f(d(x, z)) ≤ f(d(x, y) + d(y, z))≤ f(d(x, y)) + f(d(y, z))= m(x, y) +m(y, z)).

Para verificar que las dos metricas nos llevan a la misma topologıa,debemos tener las contenencias entre las respectivas bolas.Como f es continua en 0, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x < δ implicaf(x) < ε. Por tanto d(x, y) < δ implica m(x, y) = f(d(x, y)) < ε, lo cualno es mas que contenencia entre bolas.Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f(d(x, y)) < f(ε) entoncesd(x, y) < ε, con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas.

A manera de ejemplo, notemos que las funciones

αu (para α > 0),u

1 + u, log(1 + u), mın1, u, arctanu

satisfacen las condiciones para f . ¿Que metricas son inducidas por estasfunciones?

G. RUBIA

NO


1

x y

Para el caso X = R con la metri-ca usual del valor absoluto, y la fun-cion f(u) = arctanu tenemos que sucompuesta produce la metrica

f(d(x, y)) = | arctanx− arctan y|.

Esta nueva metrica mide el angulo(medido en radianes) entre las rec-tas descritas por la figura —en estecaso se restan, pero si x y y tienen

diferente signo entonces se suman—. Es una metrica acotada por π, yademas resulta ser topologicamente equivalente con la usual ya que lafuncion f es continua en 0.

En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta ultima sec-cion, obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de laTopologıa: dado un espacio topologico (X, T) ¿existe una metrica d paraX tal que la topologıa T sea inducida por d? El estudio de la metriz-abilidad, es decir, la busqueda de condiciones necesarias y/o suficientespara que una topologıa provenga de una metrica, es un capıtulo abiertoa la investigacion con sus propios teoremas, algunos de ellos clasicos enla literatura matematica.

Ningun espacio topologico (X,T) donde X es un conjunto finito y T noes la discreta, es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es metricocon X finito, siempre tenemos que 〈d〉 = discreta.

Ejercicios 2.3

1. Muestre que la relacion de equivalencia topologica para las metri-cas es en efecto una relacion de equivalencia.

2. ¿Como son las bolas en la metrica del mensajero? —ver pag. 34—.

3. A partir de la definicion de elipse en la metrica usual, ¿como es unaelipse, una circunferencia, una recta para la metrica del taxista?

4. Dados dos espacios metricos (X,m), (Y, n) muestre que las metri-cas d1, d2, d∞ (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes.

G. RUBIA

NO


Sugerencia: para todo par de puntos x, y ∈ X × Y se verifica

d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ 2d∞(x, y).

5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquierade espacios metricos.

6. Muestre que toda metrica sobre un conjunto finito genera la topologıadiscreta.

7. De un ejemplo de una metrica sobre un conjunto enumerable queno genera la topologıa discreta.

8. Ya hemos definido la metrica d∞ del sup para el conjunto de lasfunciones continuas C([0, 1],R). Pero la notacion nos lleva a con-jeturar la existencia de toda la gama de metricas dp para p ≥ 1—notamos Cp[0, 1] = ((C[0, 1],R), dp)— que mide la distancia en-tre dos funciones f, g asignandoles el numero

dp(f, g) :=(∫ 1

0|f(x)− g(x)|p

) 1p

.

El estudio de estas metricas se sale de las pretensiones de estetexto. Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectiva-mente se trata de metricas y que

a) 〈d∞〉 * 〈d2〉.b) 〈d2〉 ⊆ 〈d∞〉.c) 〈d1〉 * 〈d∞〉.d) 〈d∞〉 * 〈d1〉.

Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 apoyeseen la desigualdad de Schwartz(∫ b

af(t)g(t)dt

)2

≤∫ b

af2(t)dt

∫ b

ag2(t)dt.

Para negar la contenencia considere la sucesion de funciones con-tinuas gn —figura 1.5— definidas como

gn(x) =

1− nx si 0 ≤ x ≤ 1

n

0 si 1n ≤ x ≤ 1

G. RUBIA

NO


1n

14

13

12

1

1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

x

y

Figura 2.8: Las funciones gn.

Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vezmas largo. Es facil ver que

d2(0, gn) =

√1

3n

mientras que d∞(0, gn) = 1. Luego la bola B1/2(0) en d∞ de centrola funcion nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn, con locual, no existe en d2 alguna bola centrada en la funcion nula, quepueda estar contenida en B1/2(0) ya que 1/3n→ 0 cuando n→∞.

Sugerencia caso c: tome δ = ε.

Sugerencia caso d : considere la sucesion de funciones continuasgn definidas como

gn(x) =

−4nx+ 4 si 0 ≤ x ≤ 1

2n

2 si 12n ≤ x ≤ 1.

Para la funcion constante f(x) = 2 verifique que cada gn ∈ B11n

(f)

y gn /∈ B∞1 (f).

Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar fun-ciones g tales que su integral (area bajo la curva) sea tan pequenacomo queramos y sin embargo tengan una ‘punta’ tan larga comoqueramos.

G. RUBIA

NO3 Bases y numerabilidad

Un espacio (X,T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor detodas la misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinal-idad de las bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombresresponden mas a un caracter historico que descriptivo.

3.1. 2-contable

Definicion 3.1. Un espacio (X,T) se dice 2-contable si entre sus basesexiste alguna con un numero enumerable —finito o infinito— de elemen-tos.

Esta condicion impone una cota al numero de abiertos en la topologıa(ver ejercicio 12 de la pag. 63). Tambien nos dice que la topologıapuede ser descrita en terminos de un numero contable de piezas deinformacion.

EJEMPLO 3.1

Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los intervalosabiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamiliaenumerable

B = (p, q) : p < q, p, q ∈ Q.Esta subfamilia es de nuevo una base —verifıquelo!— y es enumerableya que su cardinal es el mismo de Q×Q.

EJEMPLO 3.2

(R, cofinitos) no es 2-contable.

57

G. RUBIA

NO

58 Bases y numerabilidad

Supongamos que existiera una base enumerable B = B1, B2, . . .. Ca-da Bn es un abierto y por tanto Bc

n es finito, con lo cual⋃i=1B

cn =

(⋂i=1Bn)c es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y ∈⋂n=1Bn y como R − y es un abierto, debe existir un j ∈ N para el

cual Bj esta contenido en el, pero esto es imposible ya que para todon ∈ N se tiene y ∈ Bn.

EJEMPLO 3.3

X = (RN, primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la pag. 34).

Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamientoinicial de las sucesiones, a diferencia de lo ‘usual’ en sucesiones, dondeimporta el comportamiento final. Si existiera una base B = B1, B2, . . .,por cada n ∈ N tomamos un elemento (i. e., una sucesion) tn = (tnk)∞k=1 ∈Bn. Ası, la sucesion tn1∞n=1 esta formada por la primera coordenada decada sucesion tn.Construimos ahora una sucesion q = (qn) en la cual q1 6= tn1 para cada n,con lo que la primera componente de q es diferente de la primera com-ponente de cada una de las sucesiones tn, lo que implica tn /∈ B1/2(q)para todo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, yaestan lo mas lejanas posible, esto es d(q, tn) = 1. Ası que ninguna Bnde la base puede estar contenida en B1/2(q).

EJEMPLO 3.4

El espacio H de Hilbert es 2-contable.

Definimos una base B enumerable de la manera siguiente.

Sea D =⋃Dn, (n ∈ N) donde

Dn := (xn) ∈ H, xn ∈ Q : si k > n entonces xk = 0.

D esta constituido de todas las sucesiones en H formadas por numerosracionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos

B := Br(d) : d ∈ D, r ∈ Q.

B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos quecualquier abierto U ⊆ H es reunion de bolas en B. En efecto, dado

G. RUBIA

NO

3.2 1-contable 59

t = (tk) ∈ U existe una bola Bε(t) ⊆ U . Ahora veamos que podemosencontrar una bola Br(q) (q ∈ D, r ∈ Q) con la propiedad que t ∈Br(q) ⊆ Bε(t). Como t ∈ H, sabemos que

∑k=1 t

2k es convergente y por

tanto existe un termino xN en la sucesion, a partir del cual la suma dela serie es menor que ε2/9, esto es∑

k=N+1

t2k < ε2/9.

De otra parte, para cada k = 1, 2, . . . , N existe qk ∈ Q tal que

|qk − tk| < ε2

9N,

y por tanto q = q1, q2, . . . , qN , 0, 0, 0, . . . verifica que d(q, t) < ε/3.

Notese que t ∈ B2ε/3(q) ⊆ Bε(t). Sea r ∈ Q con ε/3 < r < 2ε/3,entonces t ∈ Br(q) ⊆ Bε(t), pues si d(z, q) < r entonces

d(z, t) ≤ d(z, q) + d(q, t) ≤ 2ε/3 + ε/3 = ε.

3.2. 1-contable

El concepto de base para un espacio lo podemos localizar en un punto—tener una definicion local— de la manera siguiente.

Definicion 3.2. Sean (X,T) un espacio y x ∈ X. Decimos que Bx ⊆ T

es una base local para x si dado U ∈ T con x ∈ U , existe B ∈ Bx tal quex ∈ B ⊆ U .

Los conceptos de base y base local estan relacionados por la siguienteproposicion.

Proposicion 3.3. Sea (X,T) un espacio. B ⊆ T es una base si y solosi para cada x ∈ X el conjunto Bx = B ∈ B : x ∈ B es base local enx.

Demostracion. ⇒) Sea U ⊆ X un conjunto abierto con x ∈ U . Por ladefinicion de base, existe B ∈ B con x ∈ B ⊆ U , pero por la definicionde Bx tenemos B ∈ Bx.

⇐) B =⋃x∈X Bx es una base.

G. RUBIA

NO


La clase de espacios topologicos que a continuacion definimos es masamplia que la de los espacios metricos, y tendra un comportamientoideal cuando hagamos referencia a conceptos topologicos en los cualesintervenga la nocion de convergencia de sucesiones.

Y lo que es mas, en esta clase de espacios 1-contables las sucesionesresultan ser adecuadas para describir la topologıa.

Definicion 3.4. Un espacio (X,T) se dice 1-contable —o que satisfaceel primer axioma de enumerabilidad1— si cada punto del espacio poseeuna base local enumerable.

EJEMPLO 3.5

Todo espacio metrico es 1-contable. Dado x ∈ X, la familia de las bolasabiertas

Bx = B 1n

(x) : n ∈ N,es una base local en el punto x.

EJEMPLO 3.6

Todo espacio 2-contable es 1-contable. Si B ⊆ T es una base enumerablepara un espacio (X,T) y p ∈ X, el conjunto Bx = B ∈ B : p ∈ B esuna base local y enumerable en p.

EJEMPLO 3.7

El espacio de Sorgenfrey (R, [a, b)) es 1-contable. Dado x ∈ R el conjuntoBx = [x, q) : q ∈ Q, q > x es una base local enumerable. Muestre queno es 2-contable.

EJEMPLO 3.8

El espacio Tpω del ejemplo 1.11 puede ser generado por una base consti-

tuida por dos clases de elementos: cualquier conjunto unitario diferentede p, o el complemento de cualquier conjunto finito de puntos. Esteespacio falla en ser 1-contable tan solo por uno de sus puntos. Sea X unconjunto no contable y p un elemento elegido en X. Esta topologıa paraX no admite una base local enumerable en el punto p —pruebelo—.

1Esta clasificacion se debe al matematico estadounidense Robert L. Moore (Dallas,Texas 1882 -1974 Austin, Texas) en 1916 en su intento por dar fundamento a latopologıa en una serie de axiomas. Moore es reconocido por su manera inusual deensenar con un metodo llamado hoy por su nombre.

G. RUBIA

NO

3.2 1-contable 61

Definicion 3.5. Dados un espacio (X,T) y un cubrimiento abierto U ⊆T, decimos que D ⊆ U es un subcubrimiento para U si D es de nuevo uncubrimiento abierto de X. —Podemos descartar elementos en U—.

Teorema 3.6 (Lindelof2). Sea (X,T) un espacio 2-contable. De cadacubrimiento abierto U de X podemos extraer un subcubrimiento contable.

Demostracion. Sea B = B1, B2, . . . una base para X. En B consider-amos el siguiente subconjunto de ındices:

S = n : Bn ⊆ U, algun U ∈ U.

Sabemos que la coleccion enumerable C = Bn : n ∈ S cubre a X, puesdado x ∈ X, existe U ∈ U con x ∈ U . Como B es base, existe Bk ∈ B

con x ∈ Bk ⊆ U , luego k ∈ S y por tanto Bk ∈ C y ası x ∈ ⋃ C.Por cada n ∈ S elegimos Un ∈ U tal que Bn ⊆ Un. Definimos D

—el subcubrimiento contable— como D := Un : n ∈ S. Claramente⋃ C ⊆ ⋃D y por tanto D es un cubrimiento de X y D ⊆ U .

Demos nombre a la propiedad anterior.

Definicion 3.7. Un espacio (X,T) se dice de Lindelof o w-compactosi cada cubrimiento abierto de X se puede reducir a uno enumerable.

EJEMPLO 3.9

(R, coenumerables) es de Lindelof y no es 2-contable.

EJEMPLO 3.10

(R, [a, b)) es de Lindelof y no es 2-contable. Dado un intervalo [q, s) conq irracional, solo otro intervalo de la forma q ∈ [q, a) con a < s puedecontener al punto q y estar contenido en [q, s). por tanto, toda base debetener un cardinal mayor o igual al cardinal de los numeros irracionales.

!2 4

2Ernst Leonard Lindelof (1870-1946), matematico finlandes, nacido en Helsinki.

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NO


Corolario 3.8. Si el espacio (X,T) es 2-contable, entonces es de Lin-deloff.

Corolario 3.9. Sea (X,T) un espacio 2-contable. Entonces cualquierbase Q = Qi : i ∈ I se puede reducir a una base enumerable. Esto es,no tan solo existe una base enumerable en el espacio, sino que cualquierase puede reducir a una enumerable.

Demostracion. Sea B = B1, B2, . . . una base para X. Por ser Q unabase, cada elemento Bn ∈ B se puede escribir como Bn =

⋃i∈I Qi, (Qi ∈

Q) y esta coleccion se puede reducir a una contable para cada Bn, puesdado x ∈ Bn existe Qx ∈ Q tal que x ∈ Bx ⊆ Qx ⊆ Bn. Bx ∈ B y lacoleccion Bx : x ∈ Bn es claramente contable y por tanto tambien loes la coleccion Qn = Qx : Bx ⊆ Qx. Al variar n en Bn, obtenemos unacoleccion enumerable de enumerables Qn, la cual es una base.

Ejercicios 3.2

1. Muestre que Rnu es 2-contable.

2. Dada Bx = B1, B2, . . . una base local en x. Muestre que podemosconstruir B∗1 , B∗2 , . . . base local en x, tal que B∗1 ⊇ B∗2 ⊇ · · · , estoes, existe una base local encajada.

3. Muestre que (R, [a, b)) no es 2-contable.

4. Sean T1,T2 dos topologıas para X tales que T1 ⊆ T2. Si T2 es2-contable (Lindeloff) ¿puede inferirse que T1 lo sea?

5. Muestre que la topologıa (X, cofinitos) en cualquier espacio metri-co (X, d) es menos fina que la topologıa inducida por la metrica.

6. Muestre que la topologıa (X, cofinitos) es la topologıa menos finaque es T1.

7. ¿(R2, lexicografico) es 2-contable?

8. (I × I, lexicografico) es 1-contable y no es 2-contable.

9. ¿(R, cofinitos) es 1-contable?

10. ¿(N, cofinitos) es 2-contable?

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NO

3.2 1-contable 63

11. ¿Cuales de los espacios considerados en los ejercicios 8, 9, 10 sonde Lindelof?

12. Si (X,T) es 2-contable entonces |T| ≤ |R| = 2ℵ0 .

13. Si (X,T) es 2-contable y T0 entonces |X| ≤ |R| = 2ℵ0 .

14. Muestre que si el espacio (X,T) es 1-contable y |X| = ℵ0 entoncesel espacio es 2-contable.

15. El espacio de Arens-Fort (pag. 22, ejercicio 15 de 1.3) no es 1-contable ya que no es 2-contable. Pruebelo!

16. Muestre que las propiedades 2-contable y 1-contable son heredi-tarias.

17. Muestre que en espacio metrico (X, d) las propiedades de 2-contabley Lindelof son equivalentes.

Sugerencia: para cada n ∈ N, considere el cubrimiento abierto con-sistente en todas las bolas de radio 1/n. La propiedad de Lindelofdice que lo podemos reducir a uno enumerable Bn. Muestre queB = ∪nBn es una base enumerable.

18. Muestre que si un espacio tiene un subespacio discreto no contableentonces no es 2-contable. Utilice este resultado para mostrar que(I × I, lexicografico) no es 2-contable.

Sugerencia: considere A = (x, y) : y = 1/2.

G. RUBIA

NO4 Funciones —comunicaciones entre

espacios—

Hasta aquı hemos definido y tenemos lo que podrıamos llamar losobjetos de nuestra teorıa, es decir, ası como en la teorıa de conjuntoslos objetos principales son los conjuntos, no basta el que ellos existanpara que la teorıa sea valorada: necesitamos contar con un medio o unamanera de relacionar los conjuntos entre sı, esto es, requerimos las flechasde las funciones, para que ası podamos llegar a conceptos como los decardinalidad, infinito, isomorfismo, producto cartesiano, etc.

Por tanto necesitamos de flechas o medios de comunicacion entrenuestros espacios topologicos. Como ellos primariamente son conjuntos,nuestras flechas, en su base, seran funciones entre estos conjuntos. Perodebemos enriquecerlas en el sentido que tengan en cuenta la estructuratopologica adicional que hay en cada espacio; por eso, requerimos fun-ciones con un adjetivo como lo da la siguiente definicion.

4.1. Funciones continuas

Definicion 4.1. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcion entre espacios.Dado a ∈ X decimos que f es continua en a si dada una vecindad Vf(a)

en Y existe una vecindad Ua en X tal que f(Ua) ⊆ Vf(a).

Si f es continua en cada punto de X, decimos que f es continua.

EJEMPLO 4.1

La definicion de continuidad del calculo coincide con esta definicioncuando a los numeros reales les damos la topologıa usual.

64

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NO

4.1 Funciones continuas 65

La anterior definicion —puntual— de continuidad es equivalente a lasiguiente definicion dada exclusivamente en terminos de abiertos.

Teorema 4.2. f : (X,T) −→ (Y,H) es continua si y solo si para cadaV ∈ H se tiene que f−1(V ) ∈ T, i. e., f−1(H) ⊆ T.

Demostracion. ⇒) Sea f continua y V un elemento de H; para verque f−1(V ) es abierto, lo expresaremos como una union de abiertos.Sea x ∈ f−1(V ), por ser f continua existe Ux abierto tal que f(Ux)esta contenido en V , luego Ux ⊆ f−1(V ) y ası

f−1(V ) =⋃Ux | x ∈ f−1(V ).

⇐) Sean x ∈ X y V ∈ H tales que f(x) ∈ V . Como x ∈ f−1(V ) ∈T y f(f−1(V )) ⊆ V , tenemos que f es continua en x, y como x fuecualquiera, f es continua.

Para verificar la anterior caracterizacion de continuidad es suficienteque verifiquemos la condicion f−1(B) ⊆ T para una base B cualquiera¿por que?; mas aun, f−1(S) ⊆ T de una subbase S cualquiera.

K

Por supuesto la continuidad no es algo que dependa exclusivamentede la funcion en sı; las topologıas son determinantes como lo muestranlos siguientes ejemplos.

EJEMPLO 4.2

1. Cualquier funcion f : (X, 2X) −→ (Y,H) es continua.

2. Cualquier funcion f : (X,T) −→ (Y, ∅, X) es continua.

3. La funcion identica id : R −→ R, donde las topologıas respecti-vas son la usual y la de complementarios finitos es una funcioncontinua, pero no lo es si invertimos las topologıas.

4. La funcion identica idX : (X,T) −→ (X,H) es continua si y solosi T es mas fina que H.

5. Toda funcion constante es continua.

6. La funcion f(x) = −x es continua para Ru pero no para (R, [a, b)).

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NO

66 Funciones —comunicaciones entre espacios—

Para el caso de los espacios metricos la definicion de continuidad adoptala siguiente forma, mas familiar en terminos de distancias.

Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. f : X −→ Y es continuaen el punto a de X si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que,si x ∈ X satisface d(a, x) < δ entonces m(f(a), f(x)) < ε. En otraspalabras,

x ∈ Bdδ (a) implica f(x) ∈ Bm

ε (f(a)).

Un tipo de continuidad mas fuerte que la usual se define para losespacios metricos de la manera siguiente.

Definicion 4.3. Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. Una funcionf : X −→ Y se llama uniformemente continua si para cada ε > 0,existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces m(f(x), f(y)) < ε.

En otras palabras, dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 —δ dependi-endo unicamente de ε, con lo que δ es uniforme para todos los puntos

x ∈ X a diferencia de la continuidad usual— tal que para cualquierx ∈ X, f(Bδ(x)) ⊆ Bε(f(x)).

EJEMPLO 4.3

Sean (X, d), (Y,m) dos espacios metricos. f : (X, d) −→ (Y,m) se lla-ma Lipschitziana con factor de contraccion k si para todo par depuntos x, y ∈ X se tiene

m(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) con k > 0.

f es uniformemente continua. Dado ε > 0 tomemos δ = ε/k. Parad(x, y) < δ se tiene que m(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) < kδ < ε. Si k = 1,esto es, m(f(x), f(y)) = d(x, y) decimos que f es una isometrıa —escontinua e inyectiva—. Si f es sobreyectiva entonces f−1 es una isometrıacon lo que los espacios resultan homeomorfos.

EJEMPLO 4.4

Por supuesto toda funcion uniformemente continua es continua. Pero locontrario no se tiene:

Una funcion tan simple como f : Ru −→ Ru definida por f(x) = x2 escontinua pero no lo es uniformemente. En efecto, para ε = 1 no existe

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NO


δ tal que |x − y| < δ implique |x2 − y2| < 1 para todo par x, y; por

ejemplo para x =1δ

+δ

2, y =

1δ

. Pero si x2 es restringida a un intervalo

cerrado y acotado [−A,A] entonces sı es uniformemente continua, pues|x− y| < ε

2A+ 1implica

|x2 − y2| = |x+ y||x− y| ≤ 2Aε

2A+ 1< ε

para x, y ∈ [−A,A]. Contrario a la anterior funcion, las funciones x 7→x+ 1 y x 7→ x

1 + x2de R en R sı lo son.

La propiedad de ser uniformemente continua es metrica —no topolo-gica— en el sentido de que cambiando la metrica d sobre el espacio(X, d) por una metrica d∗ topologicamente equivalente, podemos hacerque una funcion continua f sea o no uniformemente continua.

De acuerdo con el ejercicio 9 de la pagina 88, desde un punto de vistaestrictamente topologico, todas las funciones continuas entre espaciosmetricos resultan ser en un sentido uniformemente continuas. Aunqueparezca extrano, podemos cambiar la metrica del espacio en el dominiopor una equivalente que nos produzca la uniformidad.

EJEMPLO 4.5

Sea A ⊆ (X, d). Dado x ∈ X, definimos la distancia d(x,A) de x a Acomo

d(x,A) := ınfd(x, a) : a ∈ A.La funcion f : X −→ R definida como f(x) = d(x,A) es uniformementecontinua.

En efecto, dado ε > 0 encontremos δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces|d(x,A)− d(y,A)| < ε. Para esto es suficiente probar que para cada parde puntos x, y ∈ X se tiene |d(x,A) − d(y,A)| ≤ d(x, y), con lo cualδ = ε satisface la condicion —tenemos una contraccion—.

d(x,A) = ınfd(x, a) | a ∈ A≤ ınfd(x, y) + d(y, a) | a ∈ A= d(x, y) + ınfd(y, a) | a ∈ A= d(x, y) + d(y,A),

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NO


invirtiendo los papeles de x y y obtenemos d(y,A) ≤ d(x, y) + d(x,A)con lo cual

d(x,A)− d(y,A) ≤ d(x, y) y d(y,A)− d(x,A) ≤ d(x, y)

lo que implica |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y).

EJEMPLO 4.6

Dado (X, d), la funcion d : X × X −→ R es uniformemente continuacuando a X ×X lo dotamos de la metrica

d∞(x, y) = maxd(x1, y1), d(x2, y2)

para x = (x1, x2), y = (y1, y2).

En efecto, dado ε > 0 tomemos δ = ε/2. Si d∞(x, y) < δ esto implicaque d(x1, y1) < δ, d(x2, y2) < δ. Como d(x1, x2) ≤ d(x1, y1) +d(y1, y2) +d(y2, x2) entonces

d(x1, x2)− d(y1, y2) ≤ d(x1, y1) + d(x2, y2) < 2d∞(x, y) < 2δ = ε.

Similarmente d(y1, y2)− d(x1, x2) < ε, con lo cual,

|d(x1, x2)− d(y1, y2)| < ε.

EJEMPLO 4.7

En (C(I,R), sup) la funcion∫I : C(I,R) −→ R definida por

∫I(f) =∫ 1

0 f(t)dt es uniformemente continua. En efecto, basta verificar la sigu-iente desigualdad que muestra que tenemos una contraccion,∣∣∣∣∫

If −

∫Ig

∣∣∣∣ ≤ ∫I|f − g| ≤

∫I‖f − g‖∞ = ‖f − g‖∞.

EJEMPLO 4.8

La funcion

f : (R, (a, b]) −→ (R, usual)

descrita en la figura es continua. Si en eldominio tuvieramos la topologıa usual,ella es un clasico de no continuidad enun punto.

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EJEMPLO 4.9

Metricas exoticas para R. Sean X un conjunto y (Y,m) un espaciometrico. Dada una funcion inyectiva f : X −→ Y , definimos una metricad∗ llamada la metrica inducida por la funcion f como

d∗(x, y) := m(f(x), f(y)),

la cual hace de f una isometrıa; si f es sobre entonces tanto f como f−1

resultan ser continuas.Para el caso X = Y = R y m = usual, obtenemos metricas exoticassegun consideremos a f . Por ejemplo, d∗(x, y) =| arctag(x)− arctg(y) |,| ex − ey |, o en el caso de considerar R>0 obtenemos | 1/x− 1/y |.

Pero ¿cuales de estas metricas resultan equivalentes a la usual?

Si f : (X, d) −→ (Y,m) es un homeo-morfismo —f es biyectiva y tanto f comof−1 son continuas— entonces la metricad∗(x, y) := m(f(x), f(y)) es equivalente ala metrica d. Para ello basta ver que la fun-cion identidad idX : (X, d) −→ (X, d∗) esun homeomorfismo —ejercicio 4 pag. 69—.

(X, d) (Y,m)

(X, d∗)

-f

@@@@@R

idX

?

f−1

En el caso de la funcion tan : (−π/2, π/2) −→ R y su inversaarctan, obtenemos que la metrica usual es equivalente a la metricad∗(x, y) = | arctan(x) − arctan(y) | (ver pagina 54). De manera simi-lar para | ex − ey |.

Ejercicios 4.1

1. La compuesta de funciones continuas es continua.

2. Muestre que f : (X,T) −→ (Y,H) es continua si f−1(B) ⊆ T parauna base B ⊆ H.

3. En Ru muestre la continuidad de f : R −→ R, f(x) = x2 obser-vando como es f−1((a, b)).

4. Sean (X, d), (X,m) dos espacios metricos. Muestre que d y m sontopologicamente equivalentes si y solo si las funciones identidadidX : (X, d) −→ (X,m) y idX : (X,m) −→ (X, d) son continuas.

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NO


5. Si X,Y tienen la topologıa de los cofinitos, f : X −→ Y no con-stante es continua si y solo si f tiene fibras finitas.

6. Si X,Y tienen la topologıa del punto incluido, f : X −→ Y escontinua si y solo si f preserva los puntos incluidos.

7. Sea (X,J ) un espacio para el cual toda f : (X,J ) −→ Ru escontinua. Muestre que J es la discreta.

8. Decimos que una funcion f : X −→ Y entre espacios es abierta(cerrada) si la imagen de un subconjunto abierto (cerrado) esun abierto (cerrado) en Y . De ejemplos de funciones abiertas queno sean continuas, de funciones continuas que no sean abiertas,de funciones continuas y abiertas, de funciones ni continuas niabiertas.

Sugerencia: considere las proyecciones de R2u en Ru.

9. Sean X,Y conjuntos linealmente ordenados. Toda f : X −→ Yestrictamente creciente —x < y implica f(x) < f(y)— y sobreyec-tiva es continua.

4.2. La categorıa Top

Las definiciones de espacio topologico y funcion continua satisfacenlos siguientes numerales:

1. Se definio una clase de objetos Top, llamada los espacios topologi-cos.

2. A cada par de objetos —espacios topologicos— le hemos definidoun conjunto

Mor(X,Y ) = f | f : (X,T) −→ (Y,H) es continua llamado el conjunto de las flechas o el conjunto de los morfismosde X en Y .

3. Dados X,Y,W en Top existe una ley de composicion

Mor(X,Y )×Mor(Y,W ) −→Mor(X,W ) definida por (f, g) 7→ gf.Ademas 1, 2 y 3 satisfacen:

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NO

4.2 La categorıa Top 71

4. h (g f) = (h g) f —asociatividad—.

5. Dado X en Top, existe la funcion identica idX ∈ Mor(X,X) lacual es una flecha y satisface f idX = f, idX g = g cada vezque las composiciones sean posibles.

Estas propiedades las podemos generalizar para llegar al concepto decategorıa.

Definicion 4.4. Una categorıa (O,M)consiste en una coleccion O K

llamada los objetos de la categorıa, y de una coleccion M de conjuntoscuyos elementos se llaman los morfismos o las flechas de la categorıa, conla propiedad que para cada par de objetos A,B ∈ O existe un conjuntoMor(A,B) ∈M que satisface:

1. Para cada trıo A,B,C de objetos existe la composicion de mor-fismos denotada por tal que si f ∈ Mor(A,B), g ∈ Mor(B,C)entonces g f ∈Mor(A,C).

2. Dados los morfismos f, g, h entonces h (g f) = (h g) f cadavez que la composicion este definida.

3. Para cada objeto A ∈ O existe un morfismo identidad idA ∈Mor(A,A) con la propiedad que es neutro para la operacion decomposicion.

EJEMPLO 4.10

1. La clase de todos los conjuntos y las funciones entre conjuntos esuna categorıa.

2. La clase de todos los grupos y los homomorfismos de grupos esuna categorıa.

3. Dado un conjunto X y un orden parcial ≺ sobre X, si tomamoscomo objetos los elementos de X y como morfismos Mor(x, y) elconjunto unitario, o el conjunto vacıo, segun sea que x este o norelacionado con y, obtenemos una categorıa.

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NO


El concepto de categorıa puede ser visto como una abstraccion a laspropiedades compartidas por una gran variedad de sistemas en matematicas.Ha llegado a ser tambien un area de las matematicas puras con supropio interes. Brevemente, una ‘categorıa’ es un campo del discursomatematico, caracterizado de una manera muy general y por lo tantosu teorıa puede ser utilizada como un conjunto de herramientas quepueden atravesar un espectro muy amplio de la vida matematica.

4.3. Propiedades heredables

Cuando una propiedad del espacio tambien pasa a los subespacios,decimos que la propiedad es hereditaria; por ejemplo, la propiedad deposeer una base enumerable es hereditaria, al igual que poseer una baseenumerable en un punto. Otro ejemplo de una propiedad que se heredaa los subespacios es la metrizabilidad.

Proposicion 4.5. Si (X,T) es un espacio metrizable, entonces paracada A ⊆ X la topologıa TA de subespacio es de nuevo metrizable.

Demostracion. Sea d : X×X −→ R una metrica que genera la topologıaT; la restriccion d|A×A de d al subconjunto A×A es una metrica. Paraver que la topologıa generada por d|A×A coincide con la topologıa TA desubespacio, basta notar que un abierto V de TA es de la forma V = U∩Adonde U es un abierto de T, esto es, U =

⋃i∈I Bi donde cada Bi es una

bola para la metrica d, con lo cual

U ∩A = (∪i∈IBi) ∩A = ∪i∈I(Bi ∩A).

Dado x ∈ Bε(y) ∩ A tomando δ = mınd(x, y), ε − d(x, y) tenemosBd|A×A

δ (x) ⊆ Bε(y)∩A; luego las bolas abiertas en d|A×A son base parala topologıa inducida TA.

EJEMPLO 4.11

SiX es un espacio discreto —grosero— entonces cualquier A ⊆ X heredala discreta —grosera— como la topologıa de subespacio, pues dado a ∈ Ael conjunto a = A ∩ a es un abierto de la topologıa inducida.

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NO

4.3 Propiedades heredables 73

EJEMPLO 4.12

Sea (X,T) un espacio y (A,TA) un subespacio de X. La funcion inclusioni : A → X con i(x) = x es una funcion continua, pues claramente si Ues abierto de X, i−1(U) = U ∩ A que es la forma como hemos definidolos abiertos.

Nota. Parece que la topologıa de subespacio de A fuese expresamentedefinida para hacer la funcion inclusion contınua de la mejor manera K

—¿por que?—.

Ejercicios 4.3

1. ¿Cuales de las siguientes propiedades son hereditarias: discreto,1-contable, 2-contable, T1, Hausdorff, convergencia trivial, conver-gencia unica, Alexandroff?

2. Teorema del pegamiento. Sean (X,T) y A, B cerrados en X. Sif : A −→ Y , g : B −→ Y son funciones continuas tales quef |A∩B = g |A∩B entonces h : A ∪B −→ Y es continua.

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NO5 Filtros, convergencia y continuidad

Los conceptos de filtro1 y ultrafiltro aparecen en un espectro ampliode ramas de la matematica: teorıa de modelos, topologıa, algebra com-binatoria, teorıa de conjuntos, logica, etc. En esta seccion estudiamos surelacion con la topologıa y en especial con el concepto de convergencia.

5.1. Filtros

Recordemos que el conjunto V(x) de las vecindades de un punto xen un espacio (X,T) satisface las propiedades: 1) La interseccion de dosvecindades es una vecindad —cerrado para intersecciones finitas— 2) SiVx es una vecindad de x entonces cualquier conjunto W tal que Vx ⊆Wes de nuevo una vecindad —cerrado para superconjuntos—.

La siguiente definicion, que se debe a H. Cartan en 1937, es dada enel espıritu de estas dos propiedades.

Definicion 5.1. Dado un conjunto X, un filtro F para X es una colec-cion, no vacıa, de subconjuntos, no vacıos, de X tal que:

1. Si F1, F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F ,

2. Si F ∈ F y F ⊆ G entonces G ∈ F .

Si permitimos que ∅ ∈ F obtenemos ℘(X) o el filtro impropio.

1Para el estudio de la convergencia en los espacios topologicos en general, lassucesiones ordinarias (i. e., funciones definidas sobre los numeros naturales) son de-masiado restrictivas. Hoy en dıa existen dos generalizaciones, una es el concepto defiltro, introducido por Henri Cartan, la otra es el concepto de red, introducido porMoore y Smith. Las dos teorıas son equivalentes, pero si uno aprende la de filtros,estoy seguro que todo mundo estara de acuerdo que esta es de lejos la manera masnatural y elegante de hacer las cosas.

74

G. RUBIA

NO

5.1 Filtros 75

EJEMPLO 5.1

Dados un espacio (X,T) y un punto x ∈ X, el conjunto V(x) de lasvecindades de x es un filtro para X.

5.1.1. Base de filtro

Definicion 5.2. Dado un filtro F decimos que B ⊂ F es una base defiltro para F si dado F ∈ F existe B ∈ B tal que B ⊆ F .

Usualmente los filtros se definen dando tan solo algunos de sus ele-mentos, a partir de los cuales los demas pueden obtenerse por la con-tenencia de la propiedad 2 de la definicion 5.1, i. e., los elementos delfiltro son los superconjuntos de los elementos de la base.

La definicion de base de filtro no es puntual, como en el caso de ladefinicion de base para una topologıa.

Teorema 5.3. B ⊆ 2X es una base para un unico filtro F de X si ysolo si satisface:

1. ∅ /∈ B y B 6= ∅,2. Si B1, B2 ∈ B entonces existe B3 ∈ B con B3 ⊆ B1 ∩B2.

Al filtro F lo denotamos como F = 〈B〉 y lo llamamos el filtro gener-ado por B. Es el filtro mas pequeno que contiene a B.

Demostracion. Definimos

F := F ⊆ X | B ⊆ F para algun B ∈ B = 〈B 〉.

F es el conjunto de todos los superconjuntos de los elementos en B. QueF es un filtro es inmediato. Si G tambien tiene como base a B, entonceses claro que G esta contenido en F . Para la otra contenencia notemosque B ⊆ G. Luego dado F ∈ F sabemos que existe B ∈ B ⊆ G tal queB ∈ F con lo cual F ∈ G por ser G un filtro.

La condicion 2 garantiza que la coleccion B cumple: la interseccionfinita de elementos de la familia nunca es vacıa —propiedad de la inter-seccion finita PIF—. Inversamente, cualquier familia S de subconjuntos

G. RUBIA

NO

76 Filtros, convergencia y continuidad

de X que satisface la PIF es por definicion una subbase para un filtroF en el sentido que la familia S junto con todas las intersecciones finitasde sus miembros forma una base de filtro.

Esta condicion dice tambien que una base de filtro con la relacion ⊇es un conjunto dirigido2.

EJEMPLO 5.2

1. Sea A ⊆ X. B = A es una base de filtro. El filtro generadoF〈A〉 = 〈A 〉 se llama filtro principal asociado a A. El caso enque A = a —un conjunto unitario— es un ejemplo interesante.

2. Para un punto x en un espacio, el conjunto de las vecindades abier-tas es una base de filtro para el filtro V(x). Notese que V(x) ⊆ 〈x〉.

3. Sea B ⊆ 2N el conjunto de las colas de N, esto es

B := Sn | n ∈ N con Sn := n, n+ 1, . . ..

El filtro generado se llama filtro de Frechet.

4. En un conjunto infinito X, Fc = A ⊆ X | Ac es finito es el filtrode los complementos finitos.

5. En R la coleccion de las colas a derecha abiertas tiene la PIF.

Nota. Analogo a como sucede con las bases en los espacios topologicos,es de esperarse que existan bases de filtro que generen un mismo filtro;en tal caso, tambien es util definir una relacion de equivalencia.

Definicion 5.4. Sean X 6= ∅ y B1, B2 dos bases de filtro en X. Decimosque son equivalentes si 〈B1〉 = 〈B2〉 —las notamos B1 ≡ B2—.

El ejemplo siguiente nos muestra que a cada filtro corresponde un espaciotopologico el cual no puede ser de Hausdorff —¿por que?—.

2Un conjunto dirigido (D, 6) es un conjunto parcialmente ordenado con lapropiedad adicional que para cada par de puntos a, b ∈ D existe un elemento c ∈ Dque los supera, i. e., a 6 c y b 6 c. En particular, todo conjunto totalmente ordenadoes un conjunto dirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es, el conjuntode las vecindades de un punto x en un espacio topologico, dotado de la relacion deinclusion ⊇ donde un conjunto se dira ’mayor´ que otro si esta incluido en el.

Los conjuntos dirigidos son importantes, entre otras cosas, porque dan origen alconcepto de red, una generalizacion al concepto de sucesion.

G. RUBIA

NO

5.2 Ultrafiltros 77

EJEMPLO 5.3

Dado un filtro F en X, T = F ∪ ∅ es una topologıa —filtrosa—.

En general, si F ,G son dos filtros sobre X tales que F ⊆ G, decimosque G es mas fino que F —este concepto corresponde al de subsucesion.Esta relacion define un orden parcial sobre el conjunto Fil(X) de todoslos filtros sobre X, y por supuesto tendremos derecho de hablar detodas las definiciones conexas a un orden.

En particular Fil(X) es inductivo, esto es, toda cadena tiene unacota superior —¿por que?— luego sera posible ‘zornificar’ como enel teorema 5.6. Si admitimos el filtro impropio ℘(X) (a los demasfiltros los llamamos propios) entonces Fil(X) resulta ser un retıculocompleto.

5.2. Ultrafiltros

Definicion 5.5. Dado un conjunto X, un ultrafiltro U para X es unelemento maximal de Fil(X); esto es, ningun filtro es mas fino que U.

Teorema 5.6. Dado un filtro F en X, existe un ultrafiltro U en X talque F ⊆ U.

Demostracion. (Usaremos el lema de Zorn: ‘Si (P,≺) es un conjuntoparcialmente ordenado, con la propiedad que cada cadena —una cadenaes un subconjunto de P que sea totalmente ordenado por ≺— tiene unacota superior en P , entonces P tiene un elemento maximal’). Sea

M = G | F ⊆ G y G un filtro en X.

M se ordena por la inclusion. Sea H una cadena en M. Si definimosH =

⋃M, i. e., H es la reunion de todos los filtros que estan en M,vemos que H es un filtro y es cota superior para M; luego, aplicandoel lema de Zorn, existe un elemento maximal U en M, es decir U esmaximal en el conjunto de los filtros que contienen a F , por tanto es unultrafiltro.

G. RUBIA

NO


Si A ⊆ X con A = a, el filtro generado por A es un ultrafiltrollamado principal o fijo (los otros ultrafiltros se llaman no princi-pales o libres). Fuera de este ejemplo no conocemos mas ultrafiltros demanera concreta; los demas tendran la garantıa de existir pero no losconoceremos.

¿Como podemos reconocer si un filtro dado es un ultrafiltro?

Proposicion 5.7. Un filtro U en X es un ultrafiltro si y solo si dadoA ⊆ X entonces A ∈ U o Ac ∈ U .

Demostracion. ⇐) Si F es un filtro tal que U ⊆ F , debemos mostrarque U = F . Si existiera F ∈ F tal que F /∈ U entonces F c ∈ U y portanto F c ∈ F , lo cual implica que ∅ ∈ F .

⇒) Supongamos que existe A tal que A /∈ U y Ac /∈ U . La coleccion

B := F ∩A | F ∈ U

es una base de filtro en X, pues se tiene la PIF y si F ∩ A = ∅ paraalgun F esto implica F ⊆ Ac y por tanto Ac ∈ U . El filtro G = 〈B〉contiene a U y es mas fino ya que A ∈ G, lo cual contradice que U es unultrafiltro.

Proposicion 5.8. Sean U un ultrafiltro en X y A,B ⊆ X. Si A∪B ∈ Uentonces A ∈ U o B ∈ U .

Demostracion. Si B ∈ U hemos terminado. Supongamos entonces queB /∈ U y veamos que necesariamente A ∈ U . Si sucede que A /∈ U ,entonces

F := M ⊆ X | A ∪M ∈ Ues un filtro en X mas fino que U y estrictamente mas fino ya que B ∈F .

La anterior demostracion nos indica una manera de crear nuevosfiltros a partir de uno ya conocido y, de paso, refinarlo al tomar unK

elemento que no este en el.

EJEMPLO 5.4

El filtro de Frechet en N no es un ultrafiltro, pues N = P∪ I —los paresunidos con los impares— y tanto P como I no estan en Frechet.

G. RUBIA

NO

5.2 Ultrafiltros 79

Proposicion 5.9. Un filtro F en X es la interseccion de todos los ul-trafiltros en X que lo contienen.

Demostracion. Sea D la coleccion de todos los ultrafiltros que contienena F . Dado A ∈ ∩D veamos que A ∈ F . Si A /∈ F entonces Ac ∩ F 6= ∅para todo F ∈ F , luego existe un ultrafiltro D para el cual Ac ∈ D conlo que A /∈ D, y esto contradice que A ∈ ∩D.

Si un ultrafiltro U contiene al filtro Fc de los cofinitos entonces U esno principal o libre. Lo interesante es anotar que este es el unico tipode ultrafiltro libre.

Teorema 5.10. Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto infinito X. En-tonces Fc ⊆ U o U es principal.

Demostracion. Si no se tiene la contenencia, existe A /∈ U con A ∈ Fc.Como Ac es finito y Ac ∈ U existe x ∈ Ac con x ∈ U y ası U esprincipal.

Si U no es principal, para todo x ∈ X tenemos xc ∈ U. DadoA ∈ Fc, la interseccion finita A =

⋂xc : x ∈ Ac esta en U.

Ejercicios 5.2

1. Muestre que un filtro F sobre X es una familia de subconjuntosno vacıos de X que satisface la condicion

A ∩B ∈ F ⇔ A ∈ F y B ∈ F .

2. Dado un conjunto ordenado (X,≺) las colas x ↑= y : x y sonuna base de filtro en X.

3. Dado un conjunto infinito X, sea X+ = X ∪ω con ω /∈ X. Dadoun filtro F sobre X muestre que

a) T(F) := 2X ∪ F ∪ ω | F ∈ F es una topologıa para X+.

b) ¿Quien es V(x) para cada x ∈ X?

c) ¿Quien es V(ω)?

d) Muestre que si F1 ⊆ F2 entonces T(F1) ⊆ T(F2).

G. RUBIA

NO


4. ¿Tiene la anterior construccion alguna relacion con el espacio deArens-Fort? (Pag. 29).

5. Dados un conjunto X y p ∈ X, muestre que para cada ultrafiltroU en X la siguiente familia de subconjuntos define una topologıa

G(p,U) := 2X−p ∪ U .

6. Sea F un filtro sobre X y A ⊆ X. Muestre que la traza de X sobreA, esto es,

F ∩A := F ∩A | F ∈ Fes una base de filtro en A si y solo si cada F ∩ A 6= ∅. ¿Comoes la relacion de contenencia entre estos filtros? (creando nuevosfiltros).

7. * Sea U un ultrafiltro en un conjunto X. Si T ⊆ X y T ∩ S 6= ∅para todo S ∈ U entonces T ∈ U.

8. Sea U un ultrafiltro en X. Si un miembro de U es particionado enfinitas partes entonces una de las partes pertenece a U.

9. * Muestre que U ⊆ 2X es un ultrafiltro en un conjunto X si y solosi U es maximal en (2X ,⊆) con respecto a la PIF.

10. * Muestre que si un ultrafiltro posee un conjunto finito, entonceses principal.

11. Encuentre —construya— un filtro en N mas fino que el filtro deFrechet.

12. * Consulte una demostracion de la afirmacion: existe un numerono contable de ultrafiltros mas finos que el filtro de Frechet en N.

13. Muestre que la interseccion de filtros es un filtro.

14. Sea f : X −→ Y una funcion sobreyectiva y F un filtro sobre Y .Muestre que

f∗(F) := f−1(A) : A ∈ Fes un filtro sobre X.

G. RUBIA

NO

5.3 Sucesiones 81

5.3. Sucesiones

Recordemos que una funcion f : N −→ X se llama una sucesion enX y la denotamos por (xn) donde xn = f(n).

Definicion 5.11. Sean X un espacio y (xn) una sucesion en X. Lasucesion converge a un punto x ∈ X, i. e., xn → x si dada cualquiervecindad Vx, existe k ∈ N tal que si m ≥ k entonces xm ∈ Vx —a la largao finalmente todos los terminos de la sucesion estan en la vecindad—.

Si una sucesion converge a un punto x, cualquier vecindad del puntoes un superconjunto para alguna cola de la sucesion. Es como si lascolas fuesen una base para un filtro mas fino que las vecindades de x.

EJEMPLO 5.5

En R con la topologıa cofinita casi todas las sucesiones convergen, lasunicas sucesiones no convergentes son las sucesiones en las cuales existemas de un punto que se repite de manera infinita —existe mas de unasubsucesion constante—.

EJEMPLO 5.6

En (R2, lexi) la sucesion ( 1n ,

1n2 ) no converge al punto (0, 0). Para que una

sucesion converja a (0, 0), debe hacerlo a lo largo de una recta verticalque pase por (0, 0).

EJEMPLO 5.7

El espacio del disco tangente, plano de Moore o semiplano deNiemytzki, se debe a Niemytzki, 1928 (ver fig. 5.1).

Sea P = (x, y) | y > 0 ⊆ R2 dotado de la topologıa T de subespacio.Denotemos por L = (x, 0) | x ∈ R al eje real. Definimos una topologıaT∗ para X = P ∪ L anadiendo a T los conjuntos de la forma a ∪ Ddonde a ∈ L y D es un disco abierto en P , el cual es tangente a Ljustamente en el punto a. Notemos que (X,usual) ⊆ (X,T∗) donde lausual es la de subespacio de R2.La sucesion yn = ( 1

n , 0), que en R2u es convergente al punto (0, 0) no lo

es en el semiplano de Niemytzki. Una sucesion para poder converger a(0, 0) debe ‘aproximarse’ por ‘dentro’ de un disco.

G. RUBIA

NO


•

Figura 5.1: La topologıa del disco tangente.

Definicion 5.12. Decimos que el espacio X es de convergencia unicasi dada cualquier sucesion (xn) que converge, ella lo hace a un unicopunto.

Proposicion 5.13. Si X es un espacio de Hausdorff entonces X es deconvergencia unica.

Demostracion. Si (xn) converge tanto a x como a y para x, y ∈ X, porser X de Hausdorff existen Vx, Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Pero de otra parte,casi toda (xn) esta en Vx y casi toda (xn) esta en Vy, y esto no puedesuceder a menos que x = y.

El recıproco de la proposicion anterior no se tiene —¿puede dar unejemplo?— a menos que el espacio sea 1-contable.

Proposicion 5.14. Sea X un espacio 1-contable. Si X es de conver-gencia unica entonces X es de Hausdorff.

Demostracion. Si X no es de Hausdorff existen x, y ∈ X tales que paratodo par Vx, Vy tenemos Vx∩Vy 6= ∅. En particular para las bases localesenumerables Bx = Bx

1 , Bx2 , . . ., By = By

1 , By2 , . . . tenemos Bx

n ∩Byn 6=

∅ para cada n. Por cada n ∈ N elegimos xn ∈ Bxn∩By

n (podemos suponerque cada una de estas dos bases locales esta encajada —¿por que?—) locual nos produce una sucesion (xn) que converge tanto a x como a y, ynos contradice la convergencia unica.

Definicion 5.15. Un espacio (X,T) se dice de convergencia trivialsi las unicas sucesiones convergentes son las sucesiones a la larga con-stantes; es decir, no convergen sino las inevitables.

G. RUBIA

NO

5.3 Sucesiones 83

EJEMPLO 5.8

Un espacio discreto es de convergencia trivial.

EJEMPLO 5.9

El espacio de Arens-Fort X = (N×N) ∪ w (pag. 22) es un espacio deconvergencia trivial:

1. Ninguna sucesion puede converger a un punto de N × N a menosque a la larga sea constante, ya que para estos puntos los conjuntosunitarios son abiertos.

2. Ninguna sucesion puede converger a w. Si xn → w entonces cadafila contendra, a lo mas, finitos terminos de la sucesion. Excluyendoestos terminos en cada una de las filas, obtenemos un conjuntoabierto que contiene a w y no contiene los terminos de la sucesion.

Por supuesto, este espacio no es discreto y ademas no es 1-contableprecisamente en el punto w, pues de existir una base local Bw =B1, B2, . . ., por cada i ∈ N existe xi = (mi, ni) ∈ Bi con mi, ni > i;esto es, cada elemento de la base posee un punto tan arriba y tan ala derecha de la diagonal como queramos. Luego el conjunto Uw =(X − xi | i ∈ N) ∪ w es un abierto y por supuesto ningun Bnsatisface Bn ⊆ Uw.

Las funciones continuas tienen la propiedad que respetan la convergenciaen el sentido de la siguiente proposicion.

Proposicion 5.16. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcion continuaentre espacios. Si xn → x entonces f(xn)→ f(x).

Demostracion. Si (f(xn)) no converge a f(x), existe Vf(x) tal que parainfinitos n ∈ N, f(xn) /∈ Vf(x); luego no existirıa Vx tal que f(Vx) ⊆Vf(x), puesto que cada Vx contiene a partir de algun xk todos los demasterminos de la sucesion.

Cuando una funcion f satisface la propiedad de la proposicion anteri-or se llama secuencialmente continua o continua por sucesiones.Para los espacios metricos tenemos la siguiente caracterizacion de lacontinuidad.

G. RUBIA

NO


Teorema 5.17. Una funcion f : (X, d) −→ (Y,m) entre espacios metri-cos es continua si y solo si dada xn → x entonces f(xn)→ f(x).

Demostracion. Por el teorema anterior basta probar que si la condicionse tiene para f entonces f es continua. Si f no fuera continua, existirıaun punto x ∈ X y una vecindad Vf(x) de f(x) para la cual no existeVx con f(Vx) ⊆ Vf(x). En otras palabras, ninguna bola Bε(x) satisfaceque f(Bε(x)) ⊆ Vf(x), luego para cada n ∈ N existe un elemento xn deX tal que xn ∈ B1/n(x) y f(xn) /∈ Vf(x). Claramente, para la sucesionası definida tenemos que xn → x, y de otra parte Vf(x) no contiene aningun f(xn), lo que niega la propiedad.

En la demostracion anterior lo realmente basico para esta caracteri-zacion de continuidad es el hecho de que en (X, d) existe una base localcontable en cada punto, i.e., 1-contable; luego podemos generalizar elteorema anterior.

Teorema 5.18. Para los espacios 1-contable, la continuidad secuenciales equivalente a la continuidad en general.

Demostracion. Como el espacio de dominio de la funcion es 1-contable,por cada x ∈ X existe Bx = B1, B2, . . ., base local encajada para elpunto x. Para ella razonamos como en el teorema anterior y extraemosla sucesion (xn) conveniente.

EJEMPLO 5.10

La identidad idR : (R, coenumerables) −→ (R, usual) es secuencial-mente continua pero no es continua. ¿Que sucesiones convergen en(R, coenumerables)?

La siguiente definicion extiende la nocion de convergencia hasta elconcepto de filtro.

Definicion 5.19. Sea F un filtro en (X,T). Decimos que F convergeal punto x ∈ X si F es mas fino que el filtro de vecindades de x. Lonotamos F → x.

G. RUBIA

NO

5.3 Sucesiones 85

EJEMPLO 5.11

1. Si X es un espacio y x ∈ X, el filtro principal Fx → x. Si X tienela topologıa discreta, Fx converge no solo a x sino a cualquier otropunto.

2. En Ru el filtro Fcofinitos no converge, pues todo punto tiene vecin-dades que no pertenecen al filtro.

Nota. En un espacio metrico (X, d) la topologıa generada por la metricapuede describirse completamente en terminos de la convergencia de suce-siones; esto es, un subconjunto A ⊆ X es cerrado si y solo si, dada (xn) K

una sucesion de puntos en A con xn → x, entonces debemos tener quex ∈ A. Este resultado no se generaliza a espacios topologicos arbitrarios.Por ejemplo el conjunto A = (0, 1) no es cerrado en (R, coenumerables)y sin embargo satisface la propiedad, i. e., toda sucesion en A que esconvergente lo hace a un punto en A —solo convergen las sucesionesconstantes—.

En los espacios topologicos, en general, no podemos caracterizar elser de Hausdorff —al menos sobre los que no son 1-contable— en termi-nos de la convergencia usual de sucesiones. Necesitamos entonces de unmecanismo de convergencia no en terminos de sucesiones. Veremos quelos filtros nos proporcionan este mecanismo.

La razon por la cual las sucesiones no son adecuadas es que, al tomarun punto xU por cada vecindad U de x, estamos en general forzadosa hacer un numero no contable de escogencias. Esto no serıa necesariosi el espacio fuera 1-contable. Es decir, en los espacios 1-contable lassucesiones son adecuadas para describir la topologıa, en particular paralos espacios metricos. Pero para espacios mas generales necesitamoscambiar la palabra sucesion por filtro.

Sea x un punto en un espacio X. Por Conv(x) notamos el conjunto detodos los filtros F convergentes a x. Todos los filtros en Conv(x) sonmas finos que V(x) el filtro de vecindades de x, y como V(x) ∈ Conv(x),tenemos que V(x) =

⋂F Conv(x). Esto significa que la topologıa de un

espacio puede ser determinada por la convergencia de los filtros.

A cada sucesion en un espacio se le asocia de manera canonica unfiltro de la manera siguiente.

Definicion 5.20. Sea (xn) una sucesion en el espacio X y para cada

G. RUBIA

NO


n ∈ N consideremos la cola Xn = xn, xn+1, . . .. Definimos F(xn) elfiltro asociado a la sucesion como

F(xn) := A ⊆ X | Xn ⊆ A para algun n ∈ N.

F(xn) esta constituido por todos los subconjuntos de X que contienena casi toda la sucesion.

Teorema 5.21. Sean X un espacio y (xn) una sucesion en X. xn → xsi y solo si F(xn)→ x.

Demostracion. ⇒) Si xn → x entonces dada Vx tenemos por la definicionde convergencia de sucesiones que Vx esta en el filtro asociado.

⇐) Si cada vecindad esta contenida en el filtro asociado a la sucesion,entonces dada una Vx existe una cola Xn tal que Xn ⊆ Vx.

El hecho que el concepto de filtro sea mas general que las propiedadesde vecindad tiene reflejos en la continuidad entre los espacios topologi-cos, ya que esta continuidad se puede caracterizar en terminos de filtros,ası como la caracterizamos en terminos de convergencia de sucesiones.

Proposicion 5.22. Sea f : X −→ Y una funcion entre conjuntos. Dadoun filtro F en X, la coleccion

f(F) := f(F ) | F ∈ F

es una base para un filtro en Y notado f∗(F). Si f es sobre f(F) =f∗(F). Ademas f∗ preserva el orden –la contenencia– entre filtros.

Demostracion. Es claro que cada elemento de f(F) es no vacıo. DadosG1, G2 elementos de f(F), existen F1, F2 ∈ F con f(F1) = G1, f(F2) =G2. Como F1 ∩ F2 ∈ F tenemos f(F1 ∩ F2) ⊆ f(F1) ∩ f(F2).

Si f es sobre, veamos que f(F) es un filtro. Supongamos que H ⊆ Yes tal que G ⊆ H para algun G ∈ f(F). Existe F ∈ F para el cualf(F ) = G. Luego F ⊆ f−1(G) y f−1(G) ∈ F , ası pues, F ⊆ f−1(H)y por tanto f−1(H) ∈ F . Pero f(f−1(H)) = H por ser f sobre y estomuestra que H ∈ f(F).

Para mostrar que f∗ es monotona, es suficiente mostrar que paratodo filtro F se tiene A ∈ f∗(F) si y solo si f−1(A) ∈ F . (Ejercicio)

G. RUBIA

NO

5.3 Sucesiones 87

Teorema 5.23. f : (X,T) −→ (Y,H) es continua en el punto x ∈ X siy solo si para cada filtro F de X tal que F → x el filtro 〈f(F)〉 → f(x).

Demostracion. ⇒) Supongamos que f es continua y que F → x. DadaVf(x) vecindad de f(x), existe Vx con f(Vx) ⊆ Vf(x). Como Vx ∈ F ,tenemos que Vf(x) ∈ 〈f(F)〉.⇐) Si f no fuera continua en el punto x existirıa Vf(x) para la cual

ninguna vecindad Vx satisface f(Vx) ⊆ Vf(x). Claramente el filtro V(x)de las vecindades de x converge a x; luego, 〈f(F)〉 deberıa converger af(x) y esto no puede suceder ya que Vf(x) /∈ 〈f(V(x))〉.

Ejercicios 5.3

1. Un espacio X es de Hausdorff si y solo si todo filtro F que convergees de convergencia unica.

2. Muestre que (R, coenumerables) y (R, discreta) tienen el mismotipo de convergencia de sucesiones.

3. Muestre que si (X,T) es de convergencia trivial entonces es T1. ¿Setiene el recıproco?

4. Muestre que si (X,T) es mas fino que (X, coenumerables) entonceses de convergencia trivial.

5. Muestre que (X,Tp) —punto elegido— es de convergencia unicaexcepto para la sucesion constante a p.

6. Sea (X,) un conjunto linealmente ordenado y considere la topologıaTad. Si X tiene un elemento mınimo, entonces todo filtro es con-vergente.

7. Muestre que en (R, cofinitos) todo ultrafiltro es convergente.

8. Sea F un ultrafiltro en N mas fino que el filtro de Frechet. En elconjunto RN de todas las sucesiones en R, definimos la siguienterelacion: (an) ≡ (bn) si y solo si n | an = bn ∈ F . Muestreque ≡ es de equivalencia. El conjunto R∗ := RN/ ≡ de las clasesde equivalencia es un modelo de los numeros reales no estandar.Demuestre que esta relacion es consistente con las operaciones de

G. RUBIA

NO


suma, multiplicacion y orden asociado a las sucesiones. R∗ es unmodelo de un cuerpo ordenado no completo.

9. Sea f : (X, d) −→ (Y,m) una funcion continua entre espaciosmetricos. Si definimos

d∗(x, y) := d(x, y) +m(f(x), f(y))

muestre que d, d∗ son topologicamente equivalentes y, ademas,d∗ hace de f una funcion uniformemente continua. Sugerencia:muestre que d, d∗ son equivalentes si

xn → x en (X, d) si y solo si xn → x en (X, d∗).

G. RUBIA

NO6 Homeomorfismos –o geometrıa del

caucho–

En teorıa de conjuntos, dos conjuntos A,B se definen equivalentes—iguales en algun sentido y el sentido es precisamente la definicion dela relacion de equivalencia— si ellos tienen el mismo cardinal, es decir,si existe una biyeccion f : A −→ B. Que f sea una biyeccion tambiense puede expresar diciendo que existe g tal que f g = 1B y g f = 1A.

Al querer generalizar este concepto a los espacios topologicos, amas de la cardinalidad, parte inherente a los conjuntos, debemos pediruna relacion entre las topologıas de los dos espacios. En una categorıacualquiera D dados dos objetos A,B decimos que son equivalentes iso-morfos si existen f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,A) tales que f g = 1By g f = 1A. Modelando esta definicion para el caso de los espaciostopologicos obtenemos la siguiente definicion.

6.1. Homeomorfismos

Definicion 6.1. Dados dos espacios (X,T), (Y,H) decimos que X eshomeomorfo a Y —o que X es topologicamente equivalente a Yy notamos X ≈ Y— si existe una biyeccion f : X −→ Y con f y f−1

continuas.

La funcion f se llama un homeomorfismo y

U ∈ T ⇐⇒ f(U) ∈ H.

Un homeomorfismo f no es tan solo una relacion biunıvoca entre loselementos de los espacios, sino que tambien lo es entre los elementosabiertos de las topologıas respectivas.

89

G. RUBIA

NO

90 Homeomorfismos –o geometrıa del caucho–

Por tanto, cualquier afirmacion sobre un espacio que se exprese soloen terminos de conjuntos abiertos, junto con las relaciones y operaciones

entre estos, es cierta para (X,T) si y solo si lo es para (Y,H).

La relacion de homeomorfismo definida en la clase de todos los espa-cios topologicos es de equivalencia —demuestrelo—. Y el gran objetivode la topologıa es determinar que espacios pertenecen a una misma clasede equivalencia. A cambio de estudiar cada espacio de manera individ-ual, estudiamos su clase de equivalencia.

EJEMPLO 6.1

La redondez —es una sensacion— no afec-ta para nada el hecho que dos subespaciostopologicos de Rn sean homeomorfos. Dadoel segmento de recta L y el arco de circunfer-encia S, ellos son homeomorfos y el homeo-morfismo f es definido como en el dibujo quemuestra la proyeccion desde p.

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.

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......................................................................................................................................................................................................................................... ...................p• L S

EJEMPLO 6.2

El tamano —es subjetivo— no interesa en topologıa, por ejemplo elintervalo (−1, 1) y R, cada uno con la topologıa usual, son homeomorfosmediante f : R −→ (−1, 1) definida como f(x) =

x

1 + |x| , la cual es

un homeomorfismo. Note que f tiene como inversa a g : (−1, 1) −→ Rdonde g(x) =

x

1− |x| .

Los dos ejemplos anteriores se pueden combinar en el siguiente.

EJEMPLO 6.3

La proyeccion estereografica de S2−p en R2, donde el punto p =(0, 0, 1) es el polo norte.

La funcion F es un homeomorfismo de S2−p en R2,

F (x, y, z) =(

x

1− z ,y

1− z , 0).

G. RUBIA

NO

6.1 Homeomorfismos 91

F tiene como inversa a

G(u, v, 0) =(

2uu2 + v2 + 1

,2v

u2 + v2 + 1,u2 + v2 − 1u2 + v2 + 1

).

La proyeccion estereografica envıa a una circunferencia ‘paralela’ alecuador en una circunferencia del plano y si la circunferencia es cadavez mas cercana al polo su imagen sera cada vez mas grande en el plano.Un meridiano se envıa en una lınea recta.

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....................................

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..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

....

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....................

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......................

....................

.....................

....................

.....................

.....................

...........

..........................................................................................................................

..................................................................

!p

F (x, y, z)

R2

(x, y, z)

!

S2

!

••

!

...................................................

...............................................................

Figura 6.1: La proyeccion estereografica

Hay que estar atentos a los espacios involucrados. La funcionf : [0, 1) −→ S1 que ‘dobla’ al intervalo sobre la circunferencia —como sifuesen de alambre— f(x) = (cos 2πx, sin 2πx) es biyecctiva y continuapero no un homeomorfismo: la imagen de [0, 1

2) no es un abierto en S1.

G. RUBIA

NO


Las deformaciones realizadas sobre una estructura de goma o cauchoen el sentido de poder moldearla y darle una forma arbitraria con tal deno perforarla, ni cortar de ella pedazos para suprimirlos o trasladarlosde lugar, son tan solo una manera vulgar —en el sentido de vulgo— decomo construir espacios homeomorfos a partir de uno dado. El sentidode homeomorfismo es mucho mas amplio y formal.

Por ejemplo, esta figura como sube-spacio de R3 es homeomorfa al toro sinque sea posible deformar la una en la otra—a la manera del caucho—. Se trata sim-plemente de un Toro enredado como unamanguera —no nos importa el numero devueltas— donde la unica manera de de-senredarlo serıa cortando, lo que es inter-pretado como un paso no continuo.

Otro ejemplo es pensar en la cinta de Mobius1, una tira de papeldonde los bordes mas pequenos se pegan —identifican— despues de darun giro de media vuelta. (Ver ejemplo 7.2).

Figura 6.2: Cinta de Mobius.

Dos cintas de Mobius (ver fig. 6.3) son homeomorfas si ambas tienenun numero impar de giros. Ellas son homeomorfas aunque en este mundoreal —de tres dimensiones— nos sea imposible deformar la una en la otraa menos de romperlas. Si el numero de giros es par, obtenemos un espaciono homeomorfo a la cinta de Mobius; se trata en efecto de un cilindro.

1August Ferdinand Mobius (1790-1868), matematico y astronomo aleman. Hizo eldescubrimiento de esta superficie cuando era profesor en la Universidad de Leipzig. Elnombre de Mobius esta ligado con muchos objetos matematicos importantes, como lafuncion de Mobius, que introdujo en su artıculo de 1831 Uber eine besondere Art vonUmkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series), y la formulade inversion de Mobius.

G. RUBIA

NO


Figura 6.3: Cintas de Mobius homeomorfas con diferente numero de giros.

Claro que la posibilidad o no de deformacion manual en estos ejem-plos tiene relacion directa con la dimension del espacio en que los hemosconstruido y el espacio 3-dimensional en que actuamos.

Figura 6.4: Anillos homeomorfos.

Ası como un nudo no se puede desatar en dos dimensiones sin romper-lo, es por ello que su representacion sobre una hoja de papel necesari-amente da el sentido de autointerseccion, mientras que en tres dimen-siones sı lo podemos desatar o su representacion no se intercepta, se-guramente en un mundo de cuatro dimensiones podrıamos desdoblar lacinta de Mobius sin romperla para deformar una de tres giros a una detan solo un giro. Algunas veces los autores prefieren eliminar este prob-lema de la dimension y la realizacion, suponiendo que en un modelo 3-dimensional la autointerseccion no existe, por ejemplo la representacionde una botella de Klein (ver fig. 6.5). Es como si el grosor no existiese;en efecto, son verdaderas superficies de espesor igual a cero y, la botellapudiera pasar a traves de sı misma.

Por esto no es nada nuevo que, al pintar un nudo en dos dimensiones,su interseccion la representamos como pasar por encima un trazo de lıneasobre el otro —uno de los dos es interrumpido—.

G. RUBIA

NO


Figura 6.5: Botella de Klein.

Una de las construcciones mas famosas en cuatro dimensiones es elhipercubo —algo como un cubo de cubos— el cual fue imaginado en tresdimensiones —desdoblado— y utilizado por Salvador Dalı en su pinturadel ano 1954 Hipercubo de Cristo (figura 6.6).

EJEMPLO 6.4

La circunferencia se deforma en un cuadrado. Sean la circunferenciaS1 = (x1, x2) : x2

1 +x22 = 1 y el rombo R = (x1, x2) | |x1|+ |x2| = 1.

Definimos f : S1 −→ R como f((x1, x2)) =(

x1

|x1|+ |x2| ,x2

|x1|+ |x2|)

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..........................

....................................................................................................................................................................................................................

f

la cual es una biyeccion continua, coninversa tambien continuaf−1((x1, x2)) =(

x1

(x12 + x2

2)1/2,

x2

(x12 + x2

2)1/2

).

Verifique que las compuestas de estasdos funciones corresponden a la identidad respectiva.

G. RUBIA

NO


Figura 6.6: Hipercubo de Cristo.

EJEMPLO 6.5

El plano punteado se deforma en un cilindro infinito.

Sean el plano punteado X = R2 − (0, 0) y el cilindro infinitoY = (x1, x2, x3) | x1

2 + x22 = 1.

Definimos h : X −→ Y como

h((x1, x2)) =(

x1

(x12 + x2

2)1/2,

x2

(x12 + x2

2)1/2,

12log(x1

2 + x22))

donde

h−1((x1, x2, x3)) = (x1ex3 , x2e

x3) .

G. RUBIA

NO


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.

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.............................................. ................h

................................

.............................

......................................

...............................................

.........................................................

...............................................

......................................

.............................

...................

...................

................................................................................................................................................ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........

........ ........................

........

........ ........................

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...... ........

Figura 6.7: Del plano punteado al cilindro infinito.

Ejercicios 6.1

1. En un espacio la funcion identica es un homeomorfismo.

2. La composicion de homeomorfismos es un homeomorfismo.

3. Una biyeccion f : X −→ Y entre espacios es un homeomorfismo siy solo si

a) Para cada x ∈ X, f transforma la coleccion V(x) exactamenteen la coleccion V(f(x)).

b) f envıa la coleccion de todos los conjuntos abiertos de Xexactamente en la coleccion de todos los conjuntos abiertosen Y .

c) Si B es una base para la topologıa en X entonces

f(B) := f(B) | B ∈ B

es una base para el espacio Y .

4. Muestre que toda isometrıa f —d(x, y) = m(f(x), f(y))— de unespacio metrico sobre otro es un homeomorfismo para las topologıasinducidas por las respectivas metricas.

5. Considere las veintinueve topologıas posibles para X = a, b, c.¿Cuantas clases de equivalencia existen en Top(X)? (ver pag. 8).

6. Para X = 0, 1, 2, 3 considere las topologıas

a) U = X, ∅, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 1

G. RUBIA

NO

6.2 Invariantes topologicos 97

b) V = X, ∅, 0, 0, 1, 0, 1, 2.La funcion idX : (X,U) −→ (X,V) es biyectiva, continua, pero noes un homeomorfismo.

7. Muestre que dos espacios discretos son homeomorfos si y solo sitienen la misma cardinalidad.

8. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) un homeomorfismo y sea (A,TA) unsubespacio de X. Muestre que la restriccion

f |A : (A,TA) −→ (f(A),Hf(A))

es un homeomorfismo.

9. Sean (X,≤), (Y,E) espacios totalmente ordenados. Una biyeccionf : (X,T≤) −→ (Y,TE) es un homeomorfismo si y solo si f esestrictamente creciente.

6.2. Invariantes topologicos

Algunos autores definen la topologıa como el estudio de las propiedadesdel espacio que permanecen invariables cuando el espacio se somete ahomeomorfismos. Llamamos a estas propiedades invariantes topologicos.

Por ejemplo, la propiedad que tiene la circunferencia de dividir elplano en dos regiones —teorema de Jordan2— es un invariante topologi-co; si transformamos la circunferencia en una elipse, o en el perımetrode un triangulo, etc., esta propiedad se mantiene.

Por el contrario, la propiedad que tiene la circunferencia de poseeren cada punto una unica recta tangente no es una propiedad topologica,pues el triangulo no la posee en cualquiera de sus puntos vertices, apesar de poderse obtener como una imagen homeomorfa del cırculo.

Definicion 6.2. Una propiedad P del espacio X se llama un invariantetopologico si todo espacio Y ≈ X tambien satisface a P .

2Camille Jordan (Lyon 1838-Parıs 1922), matematico frances, conjeturo ycreyo haber demostrado el teorema que llevarıa su nombre, pero dicha demostracionera incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Murio sin haberlo demostrado rig-urosamente. La primera demostracion satisfactoria del teorema de Jordan debio es-perar hasta 1905, y se debe a O. Veblen. Mas tarde surgieron generalizaciones paran dimensiones con E. J. Brower, demostradas por J. W. Alexander en 1922.

G. RUBIA

NO


Cualquier propiedad que sea definida en terminos de los miembros delespacio y de la topologıa sera automaticamente un invariante topologi-co. Formalmente, la topologıa es el estudio de los invariantes topologi-cos.

EJEMPLO 6.6

La propiedad de ser 2-contable es un invariante topologico.

En efecto, sean (X,T), (Y,H) espacios homeomorfos y X 2-contable; sih : X −→ Y es un homeomorfismo y B = B1, B2, . . . es una base paraX, veamos que h(B) = h(B1), h(B2), . . . es una base para Y . SeanV un abierto de Y y y ∈ V , entonces existe U tal que h−1(y) ∈ U yh(U) ⊆ V . Por ser B una base, existe Bi tal que h−1(y) ∈ Bi ⊆ U .Luego y ∈ h(Bi) ⊆ h(U) ⊆ V .

Nota. La propiedad de ser Lindeloff es un invariante topologico, peroaun mas: tan solo utilizamos la continuidad de h para demostrar lainvarianza topologica —es decir, la imagen continua de un espacio deLindeloff es de nuevo de Lindeloff —. Sin embargo, este no siempre es elcaso, es decir, existen propiedades donde no es suficiente la continuidaden un solo sentido; por ejemplo

idR : Ru −→ (R, grosera)

es continua, mientras que el primer espacio es de Hausdorff y el segundono. Demuestre que sin embargo ser Hausdorff es un invariante topologico.

La utilidad de los invariantes topologicos es obvia en el sentidoque, si pretendemos saber cuando dos espacios topologicos son equiva-lentes, basta encontrar una propiedad que sea invariante y uno de losdos espacios la posea mientras que el otro no, lo cual establece que nopertenecen a una misma clase.

Las siguientes son algunas de las preguntas elementales con respectoa las propiedades que son invariantes:

¿Cuando los subespacios heredan la propiedad?

¿Como se comportan las funciones continuas con respecto a lapropiedad?

G. RUBIA

NO


¿La propiedad se comporta de manera especial en los espaciosmetricos?

¿La propiedad es productiva? —comportamiento en el productode espacios—.

El hecho de que un espacio sea metrizable obliga a que todos susespacios equivalentes tambien lo sean.

Teorema 6.3. Sean (X,T), (Y,H) espacios homeomorfos y h : X −→ Yun homeomorfismo. Si X es metrizable entonces Y es metrizable.

Demostracion. Sea d una metrica en X que genera la topologıa T. Defin-imos

d∗ : Y × Y −→ R, como d∗(y1, y2) := d(h−1(y1), h−1(y2)).

d∗ es una metrica, ¡demuestrelo!. Veamos que si W = 〈d∗〉 entoncesW = H. Primero verifiquemos que H ⊆ W, i. e., que si V ∈ entonces Vse puede expresar como reunion de bolas en d. Sean V ∈ H y y ∈ V ; comoh−1(y) ∈ h−1(V ) ∈ T, existe Bd

ε

(h−1(y)

) ⊆ h−1(V ) —una bola segund— y para este ε se tiene que Bd∗

ε (y) ⊆ V , pues dado z ∈ Bd∗ε (y) —lo

que es igual a decir que d∗(y, z) < ε— tenemos d(h−1(z), h−1(y)) < ε,lo que implica h−1(z) ∈ Bd

ε (h−1(y)) ⊆ h−1(V ), es decir z ∈ V .

Para ver que W ⊆ H tomemos W ∈ W y z ∈ W . Existe Bd∗ε (y) con

z ∈ Bd∗ε (y). Como h−1(z) ∈ Bd

ε

(h−1(y)

)tenemos z ∈ h (Bd

ε (h−1(y))).

Pero Bdε (h−1(y)) ∈ T implica h(Bd

ε (h−1(y))) ∈ H pues h es homeo-morfismo y ademas h(Bd

ε (h−1(y)) esta contenido en Bd∗ε (y); por tanto,

Bd∗ε (y) es union de elementos de H y esto implica que W tambien es

union de elementos de H.

La siguiente definicion da una propiedad invariante bajo homeomor-fismo, la cual es tema central de muchos y diversos topicos en matematicas.

Definicion 6.4. Un espacio X tiene la propiedad del punto fijo PPF sicada funcion continua f : X −→ X deja al menos un punto fijo; esto es,existe un x ∈ X tal que f(x) = x.

Encontrar una condicion necesaria y suficiente para que un espacio Xtenga la PPF no es facil; en cambio, esta propiedad nos ayuda a decidiren algunos casos no triviales si dos espacios son equivalentes o no.

G. RUBIA

NO


Teorema 6.5. La PPF es un invariante topologico.

Demostracion. Sea h : X −→ Y un homeomorfismo entre espacios. Si Xtiene la PPF, veamos que Y tambien la tiene. Dada la funcion continuaf : Y −→ Y queremos encontrar un y ∈ Y tal que f(y) = y. La funcionh−1 f h de X en X es continua y por tanto tiene un punto fijo a,(h−1 f h)(a) = a, con lo que f(h(a)) = h(a); tomando y = h(a)obtenemos el punto fijo para f .

EJEMPLO 6.7

El intervalo unidad I = [0, 1] con la topologıa de subespacio de losreales tiene la PPF.

En efecto, dada f : I −→ I continua, definimos g : [0, 1] −→ R comog(x) = f(x) − x; lo que g hace es medir la distancia entre (x, x) y(x, f(x)). Luego necesitamos ver que g(x) es igual a cero en algun puntode [0, 1]. Si f(0) = 0 o f(1) = 1 ya lo hemos encontrado. Si f(0) > 0 yf(1) < 1, tenemos que g(0) > 0 y g(1) < 0. Como g es continua, por elteorema de Bolzano del calculo elemental, existe x tal que g(x) = 0.

EJEMPLO 6.8

Los subespacios [0, 1] y (0, 1) de R no son homeomorfos, ya que el se-gundo no posee la PPF —¿por que?—.

Uno de los teoremas del folklore de la teorıa de puntos fijos —su de-mostracion usual utiliza tecnicas de la topologıa algebraica— conocidocomo el teorema del punto fijo de Brower asegura que un disco cerrado—homeomorfo al cuadrado [0, 1] × [0, 1]— tiene la PPF. Una manerafısica de interpretar este teorema es la siguiente: tome una taza decafe, revuelva suavemente el contenido y espere hasta que el cafe de-je de moverse. Cada partıcula de cafe tiene una posicion inicial y unafinal. Como el movimiento fue suave, los puntos de la superficie, home-omorfa a I×I, permanecen superficiales, de tal suerte que debe existirun punto que regresa a la posicion inicial, esto es, su cafe no quedo bienrevuelto.

G. RUBIA

NO


Ejercicios 6.2

1. ¿S1 y (0, 1) con la topologıa usual son homeomorfos?

2. Muestre que Sn no tiene la PPF para cada n ∈ N.

3. Sea X un espacio discreto (resp. indiscreto) y sea Y un espacio.Demuestre que Y ≈ X si y solo si Y es discreto (resp. indiscreta)y X y Y tienen el mismo cardinal.

4. Muestre que en R, Tx ≈ Ty para todo x, y ∈ R.

5. Muestre que (R, [a,→)) y (R,Tx) no son homeomorfos.

6. * Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una biyeccion. Muestre que f es unhomeomorfismo si y solo si H es la topologıa mas grande sobre Yde las que hacen continua a f .

7. Considere en el producto N× [0, 1) el orden del diccionario o lexi-cografico y en R≥0 la topologıa inducida por la usual de R. Pruebeque estos espacios son homeomorfos.

G. RUBIA

NO7 Espacios de identificacion –cociente–

En un curso de algebra se encuentran los conceptos de grupo cocienteo anillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura algebraica alconjunto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos (basadosen una relacion de equivalencia) dan una estructura algebraica a unaparticion del grupo o del anillo.

En lo concerniente a la topologıa, el concepto equivalente es el de es-pacio cociente al dar una topologıa a una particion del espacio dondelos elementos seran ahora las clases de equivalencia inherentes a la par-ticion.

Si R es una relacion de equivalencia en el espacio X, ¿como dar unatopologıa al conjunto cociente X/R (de las clases de equivalencia oelementos de la particion) a partir de la topologıa de X?

7.1. Topologıa cociente

Dados un espacio (X,T) y una relacion R de equivalencia en el con-junto X, queremos ante todo que la funcion cociente

q : X −→ X/R definida por x 7−→ [x]

sea por supuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera queX/R tenga la mayor cantidad posible de abiertos y q sea continua.

Definicion 7.1. Dados un espacio (X,T) y una relacion R definimos latopologıa cociente T/R para X/R como

T/R := V ⊆ X/R : q−1(V ) es un abierto de X.

102

G. RUBIA

NO

7.1 Topologıa cociente 103

Un subconjunto de X que es union de elementos de una particionse llama saturado. El conjunto saturado mas pequeno que contiene aA ⊆ X se llama la saturacion de A. A es saturado si q−1(q(A)) = A, i.e., A es igual a su saturacion.

V ⊆ X/R es abierto si y solo si V = q(A) con A ⊆ X abierto ysaturado.

EJEMPLO 7.1

En el intervalo [0, 1] identificamos 0 ≡ 1. [0, 1]0≡1 ≈ S1. Tenemos que laparticion es 0, 1⋃a : a ∈ (0, 1).

Figura 7.1: Esquema para la construccion de S1.

EJEMPLO 7.2

Cinta de Mobiusa. Muchos espacios se construyen a traves de otro iden-tificando algunos puntos; por ejemplo, M la cinta de Mobius.

aEsta superficie fue encontrada en 1858 por el matematico y astronomo aleman,August Mobius (1790-1868). Mobius fue estudiante y profesor de la Universidad deLeipzig. Curiosamente, el escrito que Mobius presento a la ‘Academie des Sciences’ enel cual discutıa las propiedades de una superficie de una sola cara solo fue encontradodespues de su muerte.

Figura 7.2: Esquema para la construccion de una cinta de Mobius.

A partir del rectangulo X = [0, 3] × [0, 1] con la topologıa T de sube-spacio de R2 hacemos la identificacion R esquematizada por la figura

G. RUBIA

NO

104 Espacios de identificacion –cociente–

7.2 (observe la orientacion de las flechas) donde (0, y)R(3, 1 − y) y losdemas puntos solo se relacionan con sı mismos.

(0, y)

(3, 1! y)

Figura 7.3: La imagen inversa de un abierto en la cinta de Mobius.

La preimagen de un disco abierto en la cin-ta es, o bien el conjunto formado por losdos semidiscos abiertos, o un disco abier-to interior al rectangulo. En todo caso setrata de un abierto en X/R pues su preim-agen por q corresponde a un abierto en latopologıa del rectangulo (fig. 7.3).

La construccion anterior, hecha sobre una relacion de equivalencia,puede ser tambien descrita en terminos de la particion.

Definicion 7.2. Sea (X,T) un espacio y sea R = Ai una particiono descomposicion de X. Formamos un nuevo espacio Y , llamado el es-pacio identificacion o cociente, como sigue. Los puntos de Y sonlos miembros de R y si q : X −→ Y es la funcion cociente q(x) 7→ Aisi x ∈ Ai, la topologıa para Y es la mas grande para la cual q es con-tinua, es decir, U ⊆ Y es abierto si y solo si q−1(U) es abierto en X.Esta topologıa se llama identificacion o cociente para la particion Ry notamos T/R:

T/R := U ⊆ Y : q−1(U) es un abierto de X.

Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identifica-dos a un solo punto por medio de R. Como cada particion R genera unarelacion de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Ytambien es notado como Y = X/R. De suerte que

U es abierto en X/R si y solo si q−1(U) =⋃

[x]∈U [x] ∈ T.

G. RUBIA

NO


La continuidad para estos espacios identificacion esta determinadapor la continuidad desde el espacio inicial, como afirma el siguiente teo-rema de gran utilidad en topologıa.

Teorema 7.3. Sean X/R un espacio identifi-cacion, Z un espacio y f : X/R −→ Z. f escontinua si y solo si f q es continua –dondeq : X −→ X/R. (Si el domino es un cociente lopodemos remplazar por el espacio).

X X/R

Z

-q

@@@@R

fq?

f

Demostracion. Si f es continua claramente f q tambien lo es. En el otrosentido, asumamos que f q es continua y sea U ⊆ Z con U ∈ T. Paraver que f−1(U) es un abierto de X/R debemos tener que q−1(f−1(U))sea abierto de X, es decir, (f q)−1(U) lo sea.

7.1.1. Descomposicion canonica por una funcion

Dada una funcion sobreyectiva f : X −→ Y entre conjuntos, lacoleccion de las fibras Rf := f−1(y)y∈Y determina una particion enX.

La funcion cociente q : X −→ X/Rfsatis-

face q(x) = [x] = f−1(f(x)); luego la funcionhf : X/Rf −→ Y dada por hf ([x]) := f(x)o hf (f−1(y)) = y esta bien definida y es unabiyeccion.

X X/Rf

Y

-q

@@@@R

f

?

hf

Teorema 7.4. Si X,Y son espacios y f : X −→ Y es continua, entonceshf : X/Rf −→ Y es continua. (Como f = hfq decimos que el diagramarepresenta la descomposicion canonica de f).

Demostracion. Dado U un abierto de Y , tenemos h−1f (U) = q(f−1(U)),

con lo cual

q−1(h−1f (U)) = q−1(q(f−1(U)) = f−1(U),

y como f−1(U) es abierto en X, tenemos que h−1f (U) es abierto en X/Rf

por la definicion de la topologıa cociente.

G. RUBIA

NO


Podemos ahora preguntarnos que tanto se identifica, i. e., ¿cuandohf es un homeomorfismo? (teorema 7.5), esto es, ¿cuando h−1

f (y) =f−1(y) es continua?

Teorema 7.5. Sean X,Y dos espacios y f : X → Y continua y so-breyectiva. Si f es abierta o cerrada entonces hf : X/Rf

−→ Y es unhomeomorfismo.

Demostracion. Supongamos que f es abierta y veamos que hf tambien loes. Sea U un subconjunto abierto en X/Rf

, entonces hf (U) = f(q−1(U))el cual es un abierto. En caso que f sea cerrada, la demostracion se dejacomo ejercicio.

La siguiente clase de funciones generaliza a las funciones cocienteq : X −→ X/R.

Definicion 7.6. Sean (X,T) un espacio, Y un conjunto y f : X −→ Yuna funcion sobreyectiva. La topologıa cociente o identificacion sobreY es la coleccion

TfY = V ⊆ Y | f−1(V ) ∈ T.

La topologıa cociente algunas veces se llama la topologıa final con re-specto a la funcion f .

La topologıa TYf es mucho mas que requerir la continuidad, pues larequiere de la ‘mejor’ manera (la mas fina sobre Y que hace que fsea continua), por eso algunas veces se conoce como topologıa decontinuidad fuerte. El siguiente teorema es la razon por la cual losespacios de identificacion son tambien llamados cociente.

El siguiente teorema generaliza al teorema 7.3.

Teorema 7.7. Supongamos que Y tienela topologıa cociente T

fY para la funcion

f : (X,T) −→ Y . Entonces

1. f : X −→ Y es continua, y

2. Una funcion g : Y −→ Z es continua si ysolo si g f lo es.

X Y

Z

-f

@@@@R

gf?

g

La topologıa cociente es la unica topologıa sobre Y con estas dos propiedades.

G. RUBIA

NO


Demostracion. Por la definicion de TfY la continuidad de f es inmediata

pues f−1(TfY ) ⊆ T (teorema 4.2).

Si g es continua entonces lo es la compuesta g f . En el otro sentido,supongamos que g f es continua y tomemos un abierto U ⊆ Z, entonces(gf)−1(U) = f−1(g−1(U)) es abierto pues gf es continua, con lo cualg−1(U) es abierto por definicion de la topologıa identificacion.

Finalmente, notese que la funcion identica idY : (Y,TfY ) −→ (Y,H)es un homeomorfismo si Y esta equipado de una topologıa H con estaspropiedades.

Definicion 7.8. Una funcion sobreyectiva f : (X,T) −→ Y es unafuncion cociente si la topologıa sobre Y es la topologıa cociente.

Esto significa que una funcion sobreyectiva f : (X,T) −→ Y es unafuncion cociente si y solo si para todo V ⊆ Y . K

f−1(V ) es abierto en X si y solo si V es abierto en Y.

En este caso decimos que Y es un espacio de identificacion —larazon para este nombre es que Y puede ser mirado como un espaciocociente, teorema 7.9—.

Teorema 7.9. Sean X,Y espacios y f : X −→ Y una funcion cociente.Entonces Y ≈ X/Rf —Y es homeomorfo a identificar puntos en X—.

Demostracion. Veamos que hf es abierta, estoes, h−1

f es continua. Sea U un subconjunto abier-to de X/Rf . Como f es una funcion cociente,basta mostrar que f−1(hf (U)) es abierto en X.Pero f−1(hf (U)) = q−1(U) y como q es contin-ua, tenemos que q−1(U) es abierto. Si observa-mos que hf q = f obtenemos que h−1

f f = qes continua y como f es una cociente, por elteorema anterior h−1

f es continua.

X X/Rf

Y

-q

@@@@R

f

?

≈hf

¿Como podemos reconocer las funciones cociente? i. e., ¿bajo que condi-ciones una topologıa dada proviene de una funcion cociente? Parte dela respuesta la da el siguiente teorema.

G. RUBIA

NO


Teorema 7.10. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y sobre. Si ademasf es abierta o cerrada, entonces f es una funcion cociente, i. e., H=TYf .

Demostracion. Debemos ver que H = TfY . Claramente H ⊆ T

fY por la

definicion de TfY .

Para la contenencia TfY ⊆ H tomemos U ∈ T

fY ; como f−1(U) es

abierto entonces U = f(f−1(U)) es un abierto en H, puesto que lafuncion f es abierta y sobreyectiva.

Si f es cerrada, el mismo argumento se aplica cambiando ‘abierto’por ‘cerrado’.

Corolario 7.11. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y sobre. Si ademasX es compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una funcion cociente.

Demostracion. El concepto de compacto se define en el capıtulo 7 dondeademas se muestra que con la hipotesis del corolario 7.11 f es cerrada.

EJEMPLO 7.3

Sean X = [0, 2π] y Y = S1. f : X −→ Y definida como f(x) :=(cos(x), sen(x)) es una identificacion, con lo cual S1 ≈ [0, 2π]/R dondeR identifica los extremos, i. e., a 0 con 2π.

EJEMPLO 7.4

El toro. Sea X = [0, 1] × [0, 1] con la topologıa de subespacio usual deR2. Particionamos a X en cuatro clases mediante la siguiente relacionR (ver figura 7.4).

1. (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1): las esquinas se identifican.

2. (x, 0), (x, 1) para cada x ∈ (0, 1): ‘pegamos’ el borde inferior conel borde superior.

3. (0, y), (1, y) para cada y ∈ (0, 1): ‘pegamos’ los lados.

4. (x, y) para x ∈ (0, 1) y y ∈ (0, 1): el interior no cambia.

G. RUBIA

NO


Figura 7.4: Una particion sobre I × I que conduce al Toro

El espacio T asociado a esta particion es el toro, tambien descritocomo T = S1 × S1, el producto de dos circunferencias.

Estas dos descripciones coinciden. Definimos

f : [0, 1]× [0, 1]→ S1 × S1

como f(x, y) =(e2πix, e2πiy

)donde e2πix := (cos 2πx, sin 2πx) y e2πiy :=

(cos 2πy, sin 2πy). La relacion Rf en [0, 1]× [0, 1] definida por la funcionf , es decir

Rf = f−1(a) : a ∈ T

es exactamente la particion inicial R; luego, por el corolario 7.11

[0, 1]× [0, 1]/Rf ≈ S1 × S1

ya que como [0, 1] × [0, 1] es compacto y S1 × S1 es de Hausdorff, fresulta ser una identificacion.

Figura 7.5: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 7.5

Nuevamente en X = [0, 2π] × [0, 2π] —nuestra hoja de papel— consid-eramos una relacion definida como en el esquema de la figura 7.6, dondelos lados verticales nos producen el cilindro y los lados horizontales iden-tifican la base de la botella con su boca pero en sentido contrario —comolo habıamos hecho en la cinta de Mobius— y es aquı donde surge la im-posibilidad de realizacion en tres dimensiones; y hablamos de botella yaque esta construccion se conoce como botella de Klein

Figura 7.6: Botella de Klein.

Curiosamente, si una botella de Klein sufriera una caıda que pro-dujera una rotura en dos partes y a lo largo, ¡obtendrıamos dos cintasde Mobius! Esto es, la botella de Klein es obtenible vıa sutura para losdos bordes de dos cintas de Mobius, pero el coser estos dos bordes esimposible en nuestro universo tridimensional, aunque cada borde no seamas que una circunferencia —¡intentelo!—

Ejercicios 7.1

1. Muestre que la topologıa cociente es en efecto una topologıa y quees la mas fina para la cual la funcion proyeccion es continua.

2. Muestre que un subconjunto es cerrado para la topologıa cocientesi es la imagen de un conjunto saturado y cerrado.

G. RUBIA

NO


Figura 7.7: Botella de Klein partida por la mitad.

3. Sean ≡, ∼ relaciones de equivalencia sobre los espacios X,Y re-spectivamente. Dada una funcion continua f : X −→ Y tal quea ≡ b implica f(a) ∼ f(b) entonces f : X/≡ −→ Y/∼ definida porf([x]) = [f(x)] es una funcion bien definida y continua.

4. Sea f : X −→ Y una funcion cociente. Decimos que A ⊆ X esf-saturado o f -inverso si f−1(f(A)) = A.

a) Muestre que A es f–saturado si existe B tal que A = f−1(B).

b) ¿Como caracterizar los abiertos en una funcion cociente? Losabiertos de Y son precisamente las imagenes por f de lossubconjuntos abiertos f -saturados de X.

c) ¿Puede caracterizar los cerrados en una funcion cociente?

5. ¿Es la composicion de funciones cociente una funcion cociente?

6. Sea f : X −→ Y sobreyectiva. Muestre que f es una funcioncociente si para todo V ⊆ Y se tiene

f−1(V ) es cerrado en X si y solo si V es cerrado en Y.

7. Muestre que una biyeccion continua es una funcion cociente si ysolo si es un homeomorfismo.

8. Muestre que la topologıa TfY es la mejor —mas fina— que hace a

f continua.

G. RUBIA

NO8 La topologıa producto

Dados dos conjuntos X,Y , una construc-cion familiar es su producto cartesiano,el cual se define —de manera analıtica—como X × Y := (x, y) | x ∈ X, y ∈ Y .

Visto X × Y de otra manera — sinteticay no analıtica— tenemos lo siguiente.

C

X Y

X × Y

f H

HHHjg

?

[f,g]

HHHYp

X*p

Y

8.1. Definicion sintetica de producto entre conjuntos

Si tomamos a X,Y como objetos en la categorıa de los conjuntos,este producto cartesiano es un objeto que tiene asociadas de maneranatural dos flechas o morfismos, las proyecciones pX : X × Y −→ X ypY : X×Y −→ Y . La propiedad fundamental de este objeto X×Y y delas flechas pX , pY que ademas lo caracteriza es: si existe otro conjuntoC con dos funciones f : C −→ X, g : C −→ Y entonces estas funcioneslas podemos factorizar por medio de pX , pY . En otras palabras, existeuna unica funcion [f, g] : C −→ X × Y tal que el diagrama conmuta, i.e., f = pX [f, g] y g = pY [f, g].

Posiblemente para el lector no sea familiar esta propiedad del pro-K

ducto cartesiano. Su valor consiste en que no hace referencia a la parteintrınseca del conjunto, sino a las propiedades que este objeto y susflechas tienen dentro de la categorıa de los conjuntos —factoriza tantoa f como a g— lo cual nos da una vision sintetica del concepto.

Otro ejemplo en esta lınea de pensamiento —no analıtico— es elde las funciones inyectivas y sobreyectivas. Dados dos conjuntos A,Buna funcion f : A −→ B notada como f ∈ Mor(A,B) es inyectiva si

112

G. RUBIA

NO

8.2 La topologıa producto –caso finito– 113

dados cualquier conjunto C y cualquier par de flechas m,n que satisfacenf m = f n podemos concluir m = n (cancelacion a izquierda).

La ventaja de mirar estos conceptos en terminos de flechas y dia-gramas consiste en que los podemos generalizar a categorıas donde elconcepto no depende de la definicion puntual —por elementos— de unconjunto.

8.2. La topologıa producto –caso finito–

Una tarea importante en topologıa es construir nuevos espacios apartir de los ya conocidos. La seccion anterior motiva la definicion deproducto para dos espacios topologicos, donde ademas de mirar la parteconjuntista debemos hacer intervenir la estructura topologica; es decir,dados (X,T), (Y,H) dos espacios topologicos, el producto X × Y de losdos espacios debe tener una topologıa que haga que las dos proyeccionessean morfismos topologicos, es decir, las dos funciones pX : X×Y −→ Xy pY : X × Y −→ Y ‘deben’ ser continuas.

Como pX debe ser continua, dado un abierto U ⊆ X, p−1X (U) = U×Y

debe ser abierto en X×Y ; similarmente p−1Y (V ) = X×V debe ser abierto

si V lo es en Y . Ası que tanto U × Y como X × V deben ser abiertos,y puesto que queremos una topologıa en X × Y la interseccion de losabiertos tendra que ser un abierto, i. e., (U × Y ) ∩ (X × V ) = U × Vdebe ser un abierto de X × Y .

Proposicion 8.1. Dados (X,T), (Y,H) espacios, la coleccion

B = U × V : U ∈ T, V ∈ H

es base para una topologıa en X × Y .

Demostracion. Claramente B es un cubrimiento. Sean B1, B2 en B conB1 = U1 × V1, B2 = U2 × V2. Dado (m,n) ∈ B1 ∩ B2 existe B3 =(U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2) tal que (m,n) ∈ B3 ⊆ B1 ∩B2 con B3 ∈ B.

La topologıa de la proposicion anterior se llama topologıa produc-to en X × Y para los espacios (X,T), (Y,H).

G. RUBIA

NO

114 La topologıa producto

La topologıa producto es la ‘mejor’, la que posee la menor cantidadposible de abiertos de tal manera que las proyecciones sean continuas,o en otras palabras, la topologıa producto es la interseccion de todaslas topologıas en X × Y que hacen las proyecciones continuas.

Definimos la topologıa producto para un numero finito de espaciostopologicos X1, . . . , Xn como la topologıa generada por la subbase S

formada por la coleccion de las imagenes inversas de abiertos por mediode las proyecciones

S = p−1i (Ui) : Ui abierto de Xi, i = 1, . . . , n.

Los conjuntos

p−1i (Ui) = X1 ×X2 × · · · × Ui × · · · ×Xn = Ui ×

∏j 6=i

Xj

se denominan cilindros abiertos. De suerte que los elementos de labase generada (llamados cajas abiertas) son de la forma

B = U1 × U2 × · · · × Un. (8.1)

Ejercicios 8.2

1. ¿Es el producto de dos espacios groseros un espacio grosero?

2. ¿Como es la topologıa para el producto de dos espacios, uno conla topologıa discreta y el otro con la topologıa grosera?

3. Sean (X,T), (Y,H) dos espacios topologicos. Muestre que si BX ,BY son bases para X, Y respectivamente, entonces

BX ×BY = BX ×BY : BX ∈ BX , BY ∈ BY

es una base para el espacio producto.

4. ¿Se puede localizar el anterior ejercicio para obtener una base localen el punto (x, y) ∈ X × Y a partir de bases locales para x y yrespectivamente?

5. Muestre que el producto finito de espacios 2–contable es un espacio2–contable.

G. RUBIA

NO

8.3 La topologıa producto —caso infinito— 115

6. Muestre que si A es cerrado en X y B es cerrado en Y entoncesA×B es cerrado en X × Y . ¿Se tiene la recıproca?, i. e., ¿es todocerrado un producto de cerrados?

Sugerencia: (X × Y )/(A×B) = ((X/A)× Y ) ∪ (X × (Y/B)).

7. Muestre que X × Y es ‘canonicamente’ isomorfo a Y ×X.

8. Muestre que (R, usual)× (R, usual) = (R2, usual).

9. ¿Es pX : X×Y −→ X una funcion abierta? ¿Una funcion cerrada?

10. * Sean (X,<), (Y,<) dos conjuntos ordenados linealmente. Muestreque si Y no tiene maximo ni mınimo entonces la topologıa del or-den (X × Y )< es igual a la producto Xd × Y< donde Xd es X conla topologıa discreta y Y< es Y con la del orden. Esta topologıa(X × Y )< es mas fina que la producto X< × Y<.

Sugerencia: muestre que

(←, (a, b)) =

(⋃x<a

x × Y) ⋃

(a × (←, b)) .

11. Cuando (X,<), (Y,<) son dos conjuntos ordenados linealmentetenemos dos topologıas para (X × Y ), la producto X< × Y< yla del orden para el producto (X × Y )<, donde Y< es Y con ladel orden. Estas topologıas en general no son iguales, mas aun, nisiquiera comparables.

Considere el caso de N con el orden usual.

8.3. La topologıa producto —caso infinito—

Recordemos que para una familia indizada de conjuntos Xi, (i ∈ I)su producto cartesiano

∏Xi, (i ∈ I) se define como el conjunto de las

funciones x : I −→

⋃i∈I

Xi

∣∣∣ x(i) ∈ Xi

donde normalmente escribimos xi a cambio de x(i) y la llamamos lacoordenada i -esima de x = (xi)i∈I . El axioma de eleccion nos dice queeste conjunto producto es no vacıo si cada factor Xi no lo es.

G. RUBIA

NO


Este concepto conjuntista del producto se puede caracterizar en termi-nos sinteticos por medio de las funciones proyeccion ‘que seleccionanuna coordenada especıfica de cada (xi)’.

pj :∏i∈I

Xi −→ Xj , pj((xi)) = xj para cada j ∈ I.

De manera analoga al caso finito, la topologıa producto para una fa-milia (Xi,Ti), (i ∈ I) de espacios topologicos debe garantizar que lasproyecciones sean continuas; es decir, dados i ∈ I y cualquier Ui abiertode Xi el subconjunto p−1

i (Ui) debe ser abierto en∏i∈I Xi.

Ası que definimos como topologıa producto la generada por lasubbase S conformada por los cilindros abiertos p−1

i (Ui), exactamente

S = p−1i (Ui) | Ui ∈ Ti, i ∈ I.

De suerte que los abiertos U que conforman la base son las cajasabiertas formadas por la interseccion de finitos cilindros, i. e., U =⋂nk=1 p

−1ik

(Uik) o, de manera equivalente,

U = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×∏i∈I

Xi, i 6= i1, i2, . . . , in.

Esto es, U es un producto donde todos los espacios coordenados sonlos Xi salvo para un numero finito de ındices ik donde tenemos abiertospropios de cada uno de los espacios indizados. Finalmente, un abiertode la topologıa producto algunas veces llamada topologıa producto deTychonoff1, sera todo lo que podamos expresar como union de cajasabiertas.

Una manera practica de visualizar los elementos de la subbase espresentar cada espacio Xi como un segmento de recta —¿mirarlo delado?— y observar que p−1

i (Ui) consiste de todas las funciones (xi) enel producto que asignan a cada ındice j 6= i un punto cualquiera de Xj

pero a la coordenada i le debe asignar un punto dentro del abierto Ui;esto es, tenemos todas las funciones que pasan a traves del intervalo Uiubicado en la recta vertical que representa al espacio coordenado Xi.(Ver fig. 8.2).

1Andrey Nikolayevich Tychonoff (1906-1993), matematico ruso, celebre por intro-ducir esta topologıa en 1929 y demostrar el teorema que lleva su nombre, el cualtambien esta asociado a una clase de espacios.

G. RUBIA

NO

8.3 La topologıa producto —caso infinito— 117

Figura 8.1: Andrei N. Tychonoff y Pavel S. Alexandroff.

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!

!

X1 X2 X3 Xi

· · · · · ·

Figura 8.2: Un elemento en la subbase de la topologıa producto de Tychonoff.

EJEMPLO 8.1

Topologıa caja. Para el caso infinito el producto arbitrario de abiertos—cajas infinitas— no tiene por que ser un abierto en la topologıa pro-ducto de Tychonoff, pues solo para finitos ındices estos factores abiertospueden ser diferentes del espacio. Si tomamos como base para una nuevatopologıa los conjuntos que sean producto arbitrario de abiertos, esto es,definimos ×Ui una caja, como

×Ui :=∏i∈I

Ui, con Ui abierto en Xi

G. RUBIA

NO


obtenemos la llamada topologıa caja2, la cual posee mas abiertos quenuestra topologıa producto y por tanto la contiene. Por supuesto, en elcaso de un numero finito de ındices, la topologıa caja coincide con latopologıa producto.

A menos que se especifique otra cosa, cuando hablemos del espacioproducto

∏i∈I Xi entendemos que la topologıa involucrada es la produc-

to de Tychonoff. Y la hemos preferido ya que la topologıa caja adolecede ciertos defectos como:

Posee demasiados abiertos si lo que queremos es hacer a las proyec-ciones continuas.

No siempre el producto de espacios compactos es compacto.

No siempre el producto de espacios conexos es conexo.

La continuidad de una funcion que llega a un espacio productono puede ser caracterizada en terminos de la continuidad de lasfunciones coordenadas.

Aun en el caso de productos enumerables no se garantiza que elproducto de espacios 1-contable es 1-contable.

La siguiente proposicion realza las propiedades de las funciones proyec-cion.

Proposicion 8.2. Si∏i∈I Xi es un espacio producto, para cada i ∈ I

la proyeccion pi :∏i∈I Xi −→ Xi es continua, abierta y sobreyectiva.

Demostracion. Por la definicion de producto cartesiano es inmediatoque cada proyeccion es sobre. La continuidad se sigue de la definicion dela topologıa producto. Para mostrar que cada proyeccion pi es abiertabasta considerar los abiertos basicos de X, puesto que para toda funcionla imagen de la union de una familia es la union de la familia de lasimagenes. Sea

U = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×∏

Xi, i 6= i1, i2, . . . , in

un abierto basico; si i = ik entonces pi(U) = Uik ; si i 6= i1, i2, · · · , inentonces pi(U) = Xi. En cualquier caso pi(U) es abierto en Xi.

2Introducida por H. Tietze en Beitrage zur allgemeinen topologie I, Math. Ann.88, 280-312, (1923), e historicamente anterior a la introducida por Tychonoff.

G. RUBIA

NO

8.4 Propiedades productivas 119

8.4. Propiedades productivas

Las propiedades topologicas poseıdas por un espacio producto de-penden, por supuesto y en gran medida, de las propiedades poseıdas porlos espacios factores.

Definicion 8.3. Una propiedad P de un espacio se dice productivasi un espacio producto X =

∏i∈I Xi tiene a P cuando cada espacio

coordenado Xi tiene a P.

A continuacion veremos varios teoremas concernientes a propiedadesproductivas.

Teorema 8.4. Un espacio producto∏i∈I Xi satisface la propiedad Tk

de separacion (k = 0, 1, 2) si y solo si cada factor Xi es un espacio Tk.

Demostracion. ⇒) Supongamos que Xj no es un espacio Tk para algunj ∈ I. Existe entonces un par de puntos aj , bj ∈ Xj para los cualesel axioma Tk no se tiene. Por cada ındice i 6= j escojamos un puntoxi = ai = bi ∈ Xi, con lo que los puntos a = (ai), b = (bi) son identicosexcepto por la coordenada j–esima. La propiedad Tk falla entonces parael par de puntos a, b del producto ya que no los podemos separar.

⇐) Si a = (ai), b = (bi) son dos puntos diferentes existe al menosun ındice j ∈ J tal que aj 6= bj . Si Xj es T2 existen vecindades Vaj , Vbjabiertas y disyuntas. Los abiertos Ua = p−1

j (Vaj ) y Ub = p−1j (Vbj ) son

disyuntos en el producto y ademas a ∈ Ua, b ∈ Ub; por tanto,∏i∈I Xi

es de Hausdorff. Si lo que tenemos en cada espacio factor es la propiedadT0 o T1, procedemos de manera similar.

Si el conjunto de ındices I es enumerable —finito o infinito—, lapropiedad 1–contable es productiva.

Teorema 8.5. Un espacio producto X =∏i∈I Xi es 1-contable si y solo

si cada factor Xi es 1-contable y, a excepcion de un numero contable deındices, todos los espacios tienen la topologıa grosera.

Anadir a un producto de espacios, nuevos factores con la topologıagrosera, es como anadir nada.

G. RUBIA

NO


Demostracion. ⇒) Cada espacio factor Xi es 1-contable, ya que estapropiedad se transmite por funciones continuas, abiertas y sobreyectivas,como es el caso de las proyecciones.

Supongamos que existe J ⊆ I, J no enumerable para el cual latopologıa en cada Xj (j ∈ J) no es la grosera, i. e., existe una vecindadabierta no trivial Vj 6= Xj . Definimos x = (xi) con la condicion quepara las coordenadas j ∈ J , xj ∈ Vj . Como X es 1–contable, existe unaBx base local enumerable, y por cada Bn ∈ Bx tenemos pi(Bn) = Xi

excepto para finitos ındices i, ya que Bn contiene a un elemento de labase de la topologıa.

Al variar n en los Bn, la union enumerable de estos finitos ındiceses enumerable, y como J no es enumerable, existe un ındice j ∈ J parael cual pj(Bn) = Xj para todo Bn ∈ Bx. Pero para este j sabemos queexiste Vj 6= Xj , luego p−1

j (Vj) es una vecindad abierta de x para la cualno existe algun Bn ⊆ p−1

j (Vj) y esto contradice a Bx como base local.

⇐) Supongamos que cada espacio factor Xi es 1–enumerable y queademas existe K ⊆ I subconjunto enumerable tal que si i ∈ I − Kentonces Xi es grosero. Dado x = (xi) ∈ X veamos que existe una baselocal enumerable Bx de x. Por cada xi sea Bxi una base local enumerableen Xi —claramente Bxi = Xi si i ∈ I −K—. Sea

B = p−1i (U) | i ∈ I, U ∈ Bxi

la coleccion de las preimagenes de todas las bases locales que hemosconsiderado. B es enumerable ya que para i ∈ I −K tenemos p−1

i (U) =X. Definimos Bx como la familia de todas las intersecciones finitas deelementos de B con lo cual Bx es enumerable y es base local en x.

Cuando en un producto∏i∈I Xi todos los factores Xi son iguales a un

mismo espacio A, i. e., Xi = A para todo I ∈ I, notamos

AI =∏i∈I

Xi = f | f : I −→ A =⋃i∈I

Xi.

G. RUBIA

NO

8.4 Propiedades productivas 121

EJEMPLO 8.2

El conjunto de las sucesiones de numeros reales con la topologıa caja.

X = (RN, caja) =

(∏i∈N

Ri, caja

)donde cada Ri = (R, usual).

Cada factor Ri es 1–contable pero el espacio producto X no lo es. Puesde existir una base local B0 = B1, B2, . . . en el punto 0 = (0)n —lasucesion constante a cero— con cada Bn =

∏i∈N(ani , b

ni ), se tiene que

para la vecindad

V0 =∏n∈N

(ann2,bnn2

)no existe Bn ⊆ V0.

El siguiente espacio producto —conjunto de las sucesiones digitales—es toda una fuente de contraejemplos.

EJEMPLO 8.3

El producto infinito de espacios discretos no necesariamente es discreto.

Sean (0, 1, discreta) y X = 0, 1N. Veamos que el conjunto unitarioB cuyo unico elemento es la sucesion constante a cero B = 0 = (0)nno es un abierto en la topologıa producto.Como B es un conjunto unitario lo podemos expresar comoB =

∏n∈NBn, con Bn = 0 para cada n. Pero por otra parte, si

B fuese de la base, los Bn podrıan ser unitarios unicamente para unnumero finito de naturales.

EJEMPLO 8.4

El cubo X = [0, 1][0,1] no es 1-contable.

Dado y ∈ X, supongamos que tenemos una base local contable B1, B2, . . .en el punto y. Como cada Bm es un abierto, pi(Bm) = I excepto para unnumero finito de ındices i ∈ I, digamos im1 , . . . , imk

; cuando m varıa enlos enteros positivos, obtenemos una coleccion enumerable de conjuntosenumerables de numeros y como I no es enumerable, existe io tal quepio(Bm) = I para todo m. Ası, si U es una vecindad abierta de yio —la

G. RUBIA

NO


coordenada io de y— con U 6= I, p−1io

(U) es una vecindad abierta de y,la cual no puede contener a ningun Bm puesto que en la coordenada io,Bm tiene a I mientras que p−1

io(U) tiene a U .

Ejercicios 8.4

1. Muestre que la topologıa producto es en efecto ‘la mejor’ que hacelas funciones proyeccion continuas.

2. Muestre que la imagen por una funcion continua y abierta de unespacio 1–contable es un espacio 1–contable.

3. Muestre que la imagen por una funcion continua y abierta de unespacio 2–contable es un espacio 2–contable.

4. ¿Es el producto de espacios groseros un espacio grosero?

5. Muestre que el producto de espacios discretos es discreto si y solosi el numero de factores es finito.

6. Muestre que el producto de subespacios es un subespacio del es-pacio producto.

Sugerencia: considere el espacio∏i(Xi,Ti). SiAi ⊆ Xi (i ∈ I) exis-

ten dos maneras de dar topologıa a∏iAi. Una como la inducida de

la topologıa producto en∏iXi y otra al tomar la topologıa produc-

to de todas las topologıas Ti|Ai . Muestre que estas dos topologıascoinciden.

7. SeaX =∏i∈I Xi un espacio producto. EntoncesX es 2–contable si

y solo si cada factor Xi es 2–contable y, a excepcion de un numerocontable de ındices, todos los espacios tienen la topologıa grosera.

Sugerencia: muestre que si Bi = Binn es una base enumerableen Xi (para cada i), entonces las cajas de la forma

Ui1n1 × Ui2n2 × · · · × Uiknk×∏i∈I

Xi, i 6= i1, i2, . . . , in

son una base enumerable en el espacio producto.

G. RUBIA

NO

8.5 La topologıa producto —en los metricos— 123

8. Sean (Xi,Ti), (i ∈ I) una coleccion de espacios topologicos y F unfiltro en el conjunto de ındices I. Muestre que el conjunto de todaslas cajas ×Ui tales que i | Ui = Xi ∈ F forman una base parauna topologıa en

∏i∈I Xi llamada F-topologıa (depende de F).

a) Si F = 2I es el filtro trivial entonces la F-topologıa es latopologıa caja.

b) Si F es el filtro de los cofinitos para I, la F-topologıa es latopologıa producto de Tychonoff.

c) Si F, G son filtros con F ⊆ G entonces la F-topologıa esta con-tenida en la G-topologıa.

d) La U-topologıa en el caso de un ultrafiltro U es una ultra-topologıa en el sentido que solo es superada por la discreta.

8.5. La topologıa producto —en los metricos—

La topologıa usual de los espacios euclidianos Rn es precisamente latopologıa producto cuando cada espacio coordenado es Ru.

Teorema 8.6. Sea H la topologıa usual de Rn y sea T la topologıaproducto para

∏ni=1 Ri, Ri = Ru para cada i. Entonces H = T.

Demostracion. Veamos que H ⊆ T. Sea U ∈ H un elemento de la base,U = Bd

ε (x) donde x = (x1, x2, . . . , xn) y d es la metrica usual. Por cadacoordenada xi tomemos

Ui =y ∈ R : |xi − y| < ε√

n

= Bε/

√n(xi) ⊆ R.

Es claro que x ∈ U1×U2×· · ·×Un y ademas U1×U2×· · ·×Un ⊆ Bdε (x)

pues u = (u1, u2, . . . , un) ∈ U1 × U2 × · · · × Un implica

d(x, u) =

(n∑i=1

(xi − ui)2

)1/2

<

(n

(ε√n

)2)1/2

= ε.

Para verificar T ⊆ H tomemos U1×U2×· · ·×Un un elemento de la basede la topologıa producto y x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ U1 × U2 × · · · × Un.Para cada xi existe Bεi(xi) ⊆ Ui donde Bεi(xi) es una bola de la metrica

G. RUBIA

NO


usual de Ri = R. Si ε = mınε1, ε2, . . . , εn, veamos que Bdε (x) ⊆ U1 ×

U2 × · · · × Un. En efecto, si y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Bdε (x) entonces para

cada coordenada i tenemos

|xi − yi| ≤(

n∑i=1

|xi − yi|2)1/2

< ε ≤ εi,

y por tanto cada yi ∈ Bdε (x) ⊆ Ui, es decir y ∈ U1 × U2 × · · · × Un.

El siguiente teorema muestra que el producto finito de espacios metri-cos es de nuevo un espacio metrico.

Teorema 8.7. Sean (X1, d1), (X2, d2), . . . , (Xn, dn) espacios metricos.Entonces la topologıa producto proviene de una metrica en X =

∏ni=1Xi.

Demostracion. Consideremos la metrica d :∏ni=1Xi ×

∏ni=1Xi −→ R

d(x, y) =

(n∑i=1

di(xi, yi)2

)1/2

donde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn). Procediendo como en el teore-ma anterior se tiene el resultado.

En general la metrizabilidad no es una propiedad productiva, i. e.,el producto de una familia infinita de espacios metricos no necesaria-mente es metrizable, lo cual implica que en la categorıa de los espaciosmetricos con las funciones continuas como morfismos, no siempre elproducto es de nuevo un objeto de la categorıa; pero cuando el con-junto de ındices es enumerable, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 8.8. Sea (Xi, di), (i ∈ N) una familia enumerable de es-pacios metricos. Entonces el espacio producto X =

∏i=1Xi con la

topologıa producto es metrizable.

Demostracion. Recordemos que dos metricas equivalentes generan lamisma topologıa; ası que, podemos reemplazar cada metrica di por lametrica acotada d∗i (x, y) = mın1, di(x, y).

Definimos la funcion d :∏i=1Xi ×

∏i=1Xi −→ R como

d(x, y) =∞∑i=1

d∗i (xi, yi)2i

G. RUBIA

NO

8.5 La topologıa producto —en los metricos— 125

donde x = (xn), y = (yn). Veamos que d es una metrica:

1. Por cada i ∈ N tenemos

2−i mın1, di(xi, yi) = 2−i mın1, di(yi, xi) ≥ 0,

luegod(x, y) = d(y, x) ≥ 0.

2. d(x, y) = 0 si y solo si 2−i mın1, di(xi, yi) = 0 para cada i ∈ N,esto es, para cada i se tiene di(xi, yi) = 0 lo cual sucede si y solosi xi = yi por cada i. En otras palabras, x = y.

3. Por cada i ∈ N tenemos

d∗i (xi, zi) ≤ d∗i (xi, yi) + d∗i (zi, yi),

luego2−id∗i (xi, zi) ≤ 2−id∗i (xi, yi) + 2−id∗i (zi, yi),

lo que implicad(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Notemos ademas que d es una metrica acotada

d(x, y) ≤∞∑i=0

12i

= 2.

Veamos ahora que la topologıa generada por esta metrica es la topolo-gıa producto. Primero veamos que la topologıa generada esta contenidaen la producto. Sea Bd

ε (x) un elemento de la base. Escojamos p ≥ 1 losuficientemente grande para satisfacer

∑∞i=p 2−i < ε/2. Para cada i ∈ N

definimos una bola abierta Bεi(xi) ⊆ Xi de la siguiente manera: si i ∈0, 1, 2, . . . , p− 1 entonces εi = ε/4; y si i ≥ p, tomamos Bεi(xi) = Xi.El conjunto

V = Bε0(x0)×Bε1(x1)× · · · ×Bεp−1(xp−1)×Xp ×Xp+1 × · · ·

es un abierto de la topologıa producto que contiene al punto x. Ademas

G. RUBIA

NO


V ⊆ Bdε (x) pues dado y ∈ V

d(x, y) =∑i≥0

2−idi(xi, yi)

≤p−1∑i=0

2−idi(xi, yi) +∑i≥p

2−i

<

p−1∑i=0

2−iε

4+∑i≥p

2−i

≤ 2(ε

4

)+∑i≥p

2−i <ε

2+ε

2= ε.

Para la otra inclusion, consideremos un abierto basico de la topologıaproducto U =

∏n∈N Un y un punto x ∈ U . Un = Xn excepto para finitos

ındices n1, n2, . . . , nk donde

Uni = Bd∗niεi (xni) ⊆ Xni .

Para ε = mınε1/2, . . . , εk/2k la bola Bdε (x) ⊆ U , pues si y es tal que

d(y, x) < ε entonces

d∗i (xi, yi) < 2iε ≤ εi para cada i = 1, 2, . . . , k

y esto implica yni ∈ Bd∗niεi (xni) para cada i = 1, · · · , k; luego y ∈ U .

Corolario 8.9. Para cada n ∈ N sea In = [0, 1]. El producto∏n∈N In =

IN —llamado el cubo de Hilbert— es metrizable. Otra presentaciondel cubo de Hilbert es mostrarlo como el producto de intervalos cerrados

∏n∈N

[1n,− 1

n

].

EJEMPLO 8.5

Para Xi = (0, 1, discreta), (i ∈ R) el espacio∏i∈RXi no es metrizable.

Muestre que este espacio producto no es 1–contable, verificando que noexiste una base local contable en 0 = (xi), donde xi = 0 para cada i.

G. RUBIA

NO

8.6 Continuidad para el producto 127

8.6. Continuidad para el producto

Dada una funcion f : X −→∏i∈I Yi, usualmente f se nota f = (fi)

por medio de las funciones coordenadas fi = pi f : X −→∏i∈I Yi −→

Yi. La estrecha relacion entre la continuidad de f y la de las fi resultade la siguiente proposicion.

Proposicion 8.10. f : X −→ ∏i∈I Yi es continua si y solo si las

aplicaciones coordenadas fi son continuas.

Demostracion. ⇒) Si f es continua, claramente lo son las fi = pi fpara cada i ∈ I.

⇐) Si cada fi es continua, dado un abierto basico V =∏i∈I Vi =⋂

i∈I p−1i (Vi) ⊆ Y tenemos que cada f−1

i (Vi) es un abierto en X y portanto, f−1(V ) = f−1(

⋂i∈I p

−1i (Vi)) =

⋂i∈I f

−1i (Vi) es tambien un abier-

to —notese que casi todos los f−1i (Vi) son iguales a X excepto para fini-

tos ındices i—. Como es suficiente este criterio sobre los abiertos basicos,tenemos que f es continua.

Los espacios coordenados heredan en general muchas propiedadesdel espacio producto. Por el teorema 8.2, heredan cualquier propiedadque sea invariante bajo sobreyecciones que sean continuas y abiertas.Un problema mas difıcil e importante es deducir informacion acerca delespacio producto a partir de los espacios coordenados, como hemos vistoen los teoremas anteriores.

La siguiente proposicion nos dice aun mas: cada espacio factor se puedesumergir en el espacio producto sin alterar su topologıa, de suerte quecualquier propiedad que se hereda a los subespacios de un espacio, tam-bien se hereda a los espacios coordenados cuando el espacio productola posea.

Proposicion 8.11. Sea X =∏i∈I Xi un espacio producto. Dados a =

(ai) ∈ X y un ındice i ∈ I, existe un subespacio Xai ⊆ X tal que a ∈ Xa

i

con Xai homeomorfo a Xi.

Demostracion. Definimos Xai := (xi) : xj = aj , si j 6= i. Conside-

remos la funcion restriccion pi|Xai

: Xai −→ Xi. Esta funcion es continua

y biyectiva. Resta ver que es abierta —ejercicio—.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 8.6

Podemos identificar a R con el subespacio R× 0 de R2, etc.

Ejercicios 8.6

1. Sean Xii∈I y Yii∈I familias de espacios y fi : Xi → Yi unafuncion continua para cada i. Entonces la funcion

f =∏

fi :∏

Xi →∏

Yi

definida por f((xi)) = (fi(xi)) es continua.

2. Si Xi ≈ Yi para cada i ∈ I (homeomorfos) entonces∏Xi ≈

∏Yi.

3. Muestre el teorema 8.8 utilizando la metrica

d((xn), (yn)) = sup 1nd∗n(xn, yn)

4. Muestre que la proposicion 8.10 junto con el hecho que las proyec-ciones son continuas caracteriza a la topologıa producto.

8.7. Topologıas al inicio y al final

En esta seccion generalizamos la construccion de las topologıas pro-ducto y cociente respectivamente.

8.7.1. La topologıa inicial

Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X, la topologıa de subespacio paraA se puede definir como la mejor topologıa —con menos abiertos— quehace de la inclusion i : A → X una funcion continua. Similarmente, dadauna familia de espacios topologicos Xi, (i ∈ I), la topologıa productopara el conjunto

∏i∈I Xi fue definida como la mejor —la solucion mas

eficiente— que hace cada una de las funciones proyeccion pi continua.

Si generalizamos el parrafo anterior, queremos que dada una familiade espacios (Xi,Ti)i∈I y un conjunto X junto con una coleccion de fun-ciones G = fi : X −→ Xii∈I , se pueda encontrar la ‘mejor’ topologıa

G. RUBIA

NO

8.7 Topologıas al inicio y al final 129

X X1

X2

X3

X4

Xi

f1

f2

fi

...

Figura 8.3: Objeto inicial.

inicial para X que haga continuas las funciones fi (la topologıa discretaes una solucion, pero no es la mejor); esto es, la topologıa menos finao mas gruesa —como se trata del dominio sera la menor en el ordende inclusion, la que menos abiertos posea—. Lo que entonces queremoses que cada f−1

i (Vi) sea abierto cuando Vi lo sea en Xi; esta topologıainicial TG (notada T si no hacemos referencia a la familia) es la generadapor la subbase

B = f−1i (Vi) | Vi ∈ Ti, i ∈ I.

TG tambien es conocida como la topologıa debil, inducida por la colec-cion de funciones G.

La topologıa inicial nos sirve para caracterizar las funciones con-tinuas que llegan a X; en efecto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 8.12. Sea (X,T) un espacio donde T es la topologıa inicial —debil— inducida por la familia G = fi : X → Xi | i ∈ I. Una funciong : Y → X donde Y es un espacio, es continua si y solo si la compuestafi g : Y → X → Yi es continua para cada i ∈ I.

Demostracion. ⇒) Si g es continua claramente tambien lo son las fun-ciones compuestas fi g.

⇐) Sea U un abierto en X; podemos asumir que U sea un abierto dela subbase, esto es, U = f−1

i (Vi) para algun i ∈ I con Vi abierto en Xi.Ası g−1(U) = g−1(f−1

i (Vi)) = (fi g)−1(Vi) es abierto por hipotesis.

G. RUBIA

NO


La anterior propiedad de la topologıa inicial de ninguna manera escircunstancial; por el contrario, se llama universal en el sentido quecaracteriza la topologıa inicial.

Proposicion 8.13. Sea X un conjunto y G = fi : X −→ (Xi,Ti)i∈Iuna coleccion de funciones continuas. Una topologıa H para X es iguala la topologıa inicial T = TG si y solo si H satisface las condiciones delteorema anterior —propiedad universal—.

Demostracion. ⇒) Ya hemos demostrado que T satisface la propiedaduniversal.

⇐) Supongamos entonces que H tambien satisface la propiedad uni-versal y veamos que H = T. Al aplicar la propiedad de H para idX :(X,H) −→ (X,T) tenemos que fi es una funcion continua fi = fi idX : (X,H) −→ (X,T) −→ (Xi,Ti); luego, si cada fi es continua,T ⊆ H por definicion de T. Para la otra contenencia tomemos la funcionidX : (X,T) −→ (X,H). Como cada fi idX = fi es continua, por lapropiedad de H tenemos que idX es continua, luego H ⊆ T.

EJEMPLO 8.7

Sean (X, d) un espacio metrico y f : Y −→ X una biyeccion. Latopologıa inicial para Y inducida por f se puede caracterizar como latopologıa inducida por la metrica df : Y × Y −→ R donde df (m,n) :=d(f(m), f(n)). Para la demostracion revise el teorema que muestra lametrizabilidad como un invariante topologico. df es conocida como lametrica inducida por f.

Ejercicios 8.7

1. Sea X un conjunto y G = fi : X −→ (Xi,Ti)i∈I una coleccionde funciones continuas.

a) Muestre que TG —de la definicion de topologıa debil— hacecada fi continua y que en efecto es la ‘mejor’.

b) Una sucesion (xn)n → x en X si y solo si (fi(xn))n → fi(x)para cada i.

c) Muestre que F → x si y solo si el filtro 〈fi(F)〉 → fi(x).

G. RUBIA

NO

8.7 Topologıas al inicio y al final 131

2. Muestre que f : (X, J) −→ (Y,H) es continua si y solo si TG ⊆ J.

3. Dados (X, d) y a ∈ X, la funcion da : X −→ R definida comoda(x) = d(a, x) es continua. Muestre que la topologıa inicial so-bre X inducida por la coleccion (da), (a ∈ X) es la topologıainducida por d.

4. Dada una coleccion (X,Ti)i∈I de topologıas, ¿como se puedeexpresar el ınf de estas topologıas en terminos de la topologıainicial?

5. Para la funcion f : R −→ Ru, f(x) = x2, ¿como es la topologıainicial?

Sugerencia. Los abiertos seran los abiertos en el sentido usual queademas son simetricos con respecto al origen.

8.7.2. La topologıa final

XX1

X2

X3

X4

Xi

f1

f2

fi

...

Figura 8.4: Objeto final.

De manera dual a la subseccion anterior, queremos que dado unconjunto X junto con una coleccion de funciones G = fi : (Xi,Ti) −→Xi∈I , se pueda encontrar la ‘mejor’ topologıa final para X (la topologıaindiscreta ∅, X es una solucion, pero no es la mejor); esto es, latopologıa mas fina o menos gruesa —como se trata del codominio sera lamayor en el orden de inclusion, la que mas abiertos posea— que garanticela continuidad de cada fi; lo que queremos entonces es que el conjuntoU sea abierto en X si para cada i se tiene que f−1

i (U) es abierto en Xi.

G. RUBIA

NO


Esta topologıa final TG se define como

TG = U ⊆ X : f−1i (U) ∈ Ti, para cada i ∈ I.

TG se conoce como la topologıa final inducida por la coleccion G.

La topologıa final nos sirve para caracterizar las funciones continuasque salen de X; en efecto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 8.14. Sea (X,T) un espacio donde T = TG es la topologıa finalinducida por G = fi : Xi −→ Xi∈I . Una funcion g : (X,T) −→ (Y,H)es continua si y solo si gfi : (Xi,Ti) −→ (X,TG) −→ (Y,H) es continuapara cada i ∈ I.

Demostracion. ⇒) Si g es continua claramente tambien lo son las fun-ciones compuestas g fi ya que TG hace cada fi continua.

⇐) Sea U un abierto en Y . Como f−1i (g−1

i (U)) = (g fi)−1(U) esabierto para cada i, entonces g−1(U) es un abierto en X.

Ejercicios 8.7

1. Dado un conjunto X junto con una coleccion de funciones G =fi : (Xi,Ti) −→ Xi∈I , muestre que:

a) TG es una topologıa sobre X.

b) TG es la topologıa mas fina sobre X que hace continua a cadauna de las fi : Xi −→ X.

c) Caracterice los cerrados en TG en terminos de la coleccion G.

2. Enuncie una proposicion para las topologıas finales que sea dual ala proposicion 8.13.

G. RUBIA

NO9 Posicion de un punto respecto a un

conjunto

Con conceptos relativamente simples como los de abierto y continui-dad, hemos podido crear una gran variedad de espacios topologicos y, apartir de estos, otros espacios teniendo en mente algunas construccionesconjuntistas. Para continuar desarrollando nuevos espacios y poderlosanalizar, es necesario que tengamos mas herramientas. En esta secciondiscutiremos otras maneras de dotar de una topologıa a un conjunto,entre ellas el operador de adherencia en el sentido de K. Kuratowski.Tambien se podrıan usar otros operadores como interior, exterior, fron-tera o derivado dado que cualquiera de ellos determina completamentela topologıa sobre el conjunto.

9.1. Conjuntos cerrados y adherencia

Definicion 9.1. Sean (X,T) un espacio y F ⊆ X. F se llama cerradosi su complemento F c es abierto.

EJEMPLO 9.1

En Ru los intervalos cerrados [a, b] son conjuntos cerrados.

Por supuesto un conjunto no tiene por que ser abierto o cerrado, porejemplo, el subconjunto N en (R, cofinitos). Tampoco estos adjetivosson excluyentes, pues en un espacio discreto todo conjunto es simultanea-mente abierto y cerrado, i. e., aberrado. En (R, Sorgenfrey) los miem-bros de la base [a, b) son aberrados.

133

G. RUBIA

NO

134 Posicion de un punto respecto a un conjunto

EJEMPLO 9.2

En un espacio (X,T), a partir de las leyes de De Morgan podemos inferir:

1. ∅ y X son cerrados.

2. Si Aii∈I es una coleccion de cerrados entonces⋂iAi es cerrado.

3. Si Ajj∈J —J finito— es una coleccion de cerrados entonces⋃j Aj es cerrado.

El concepto de topologıa se puede introducir a partir del concepto decerrado. Dado un conjunto X y una familia C de subconjuntos cerradapara intersecciones arbitrarias y uniones finitas, definimos la topologıaT como la coleccion de todos los Ac con A ∈ C.

Las funciones continuas se pueden caracterizar en terminos de losconjuntos cerrados.

Proposicion 9.2. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y . f escontinua si y solo si la imagen inversa por f de un subconjunto cerradode Y es un subconjunto cerrado de X.

Demostracion. Es inmediata, si recordamos que para cualquier U sub-conjunto de Y se tiene f−1(U c) = (f−1(U))c.

EJEMPLO 9.3

Los cerrados del subespacio A son las intersecciones de los cerrados deX con A. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X donde A hereda la topologıade subespacio. Un M ⊆ A es cerrado en A si M = F c para un F abiertode A, esto es M = F c = (A ∩ U)c donde U es abierto de X; luego,M = Ac ∪ U c y por tanto M ∩A = (Ac ∪ U c) ∩A = U c ∩A con lo cualM = N ∩A donde N = U c es cerrado de X.

Definicion 9.3. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ Xes un punto adherente o adherido a A, si b no puede ser separadodel conjunto A por ninguna de sus vecindades. Esto es, para toda Vb setiene Vb ∩A 6= ∅ —efectivamente b esta adherido a A—.

El conjunto de todos los puntos adherentes a A lo notamos A y lollamamos adherencia de A, i. e.,

A = x : x es adherente a A.

G. RUBIA

NO

9.1 Conjuntos cerrados y adherencia 135

Teorema 9.4. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A es el menor cerradoque contiene a A, i. e.,

A =⋂F : F es cerrado y A ⊆ F.

Demostracion. Sea x ∈ ⋂F : F es cerrado y A ⊆ F y veamos quex ∈ A. Dada Vx vecindad de x existe U abierto con x ∈ U ⊆ Vx. SiVx ∩A = ∅ entonces U ∩A = ∅ luego A ⊆ U c, ası que U c es un cerradoque contiene a A y por hipotesis x ∈ U c, lo cual es una contradiccion.Ası que Vx ∩A 6= ∅ para toda Vx.

En el otro sentido, sea x ∈ A. Si x /∈ ⋂F | F es cerrado y A ⊆ Fexiste F cerrado tal que A ⊆ F y x /∈ F . Luego x ∈ F c con F c abiertoy ademas F c ∩A = ∅ lo cual contradice que x ∈ A.

Corolario 9.5. Sean (X,T) un espacio y A,B ⊆ X. Entonces

1. ∅ = ∅.2. A ⊆ A, para cada A ⊆ X.

3. A es cerrado.

4. A = A si y solo si A es cerrado.

5. A = A.

6. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B.

7. A ∪B = A ∪B.

8. A ∩B ⊆ A ∩B.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

EJEMPLO 9.4

La propiedad 7 del corolario 9.5 no es verdad mas alla del caso finito,aun en el caso de una union enumerable. Por ejemplo, si cada An = 1

nentonces

1n

: n ∈ N

=⋃n

An 6=⋃n

An = 0⋃

1n

: n ∈ N,

pues en R con la usual A = 1n : n ∈ N tiene como punto adherente, a

mas de los del propio A, el punto 0.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 9.5

Si X es un espacio infinito con la topologıa de los cofinitos y A ⊆ Xentonces A = X si A es infinito.

EJEMPLO 9.6

La topologıa para R determina la adherencia de [0, 1]. Por ejemplo,cofinitos o coenumerables satisfacen [0, 1] = R.

EJEMPLO 9.7

En (I × I, lexi), la lınea A sobre el x-eje, i. e.,

A = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, y = 0,

tiene como puntos adherentes, a mas del propio A, los que estan en lalınea de la parte superior del cuadrado excepto la esquina (1, 1), esto es,A = A ∪ (x, y) : 0 ≤ x < 1, y = 1.

Figura 9.1: Adherencia en la topologıa del orden lexicografico.

EJEMPLO 9.8

Sean T1, T2 dos topologıas sobre un conjunto X con T1 ⊆ T2. ParaA ⊆ X notemos por Ai la clausura de A con respecto a Ti. EntoncesA

2 ⊆ A1.En T1 hay menos abiertos y por tanto menos cerrados que en T2. Poresta razon, la interseccion de todos los cerrados en T1 que contienen aA no puede ser mas pequena que la interseccion de todos los cerradosen T2 que contienen a A.

G. RUBIA

NO


En los espacios metricos el concepto de punto adherente se puede car-acterizar en terminos de la distancia.

Proposicion 9.6. Sean (X, d) un espacio metrico y A ⊆ X. Para x ∈X, x ∈ A si y solo si d(x,A) = 0.

Demostracion. ⇒) Si x ∈ A entonces B1/n(x)∩A 6= ∅ para cada n ∈ N.Luego d(x,A) < 1/n para cada n, i. e., d(x,A) = 0.

⇐) Sea d(x,A) = 0 Si existe Vx con Vx ∩ A = ∅, entonces existen ∈ N tal que B1/n(x) ⊆ Vx –estas bolas forman una base local– yası B1/n(x) ∩A = ∅, lo cual contradice d(x,A) = 0.

Si el espacio es 1-contable, las sucesiones caracterizan la adherencia.

Proposicion 9.7 (Lema de las sucesiones). Sean (X,T) un espacio 1–contable y A ⊆ (X,T). x ∈ A si y solo si existe una sucesion (xn),(n ∈ N) con xn ∈ A tal que xn → x.

Demostracion. ⇒) Si x ∈ A por cada n ∈ N tomamos xn con xn ∈Bn(x) ∩ A para B1, B2, . . . una base local en x —¡encajada! Es claroque la sucesion ası definida satisface xn → x.

⇐) Si existe una sucesion (xn) en A con xn → x, entonces dadacualquier vecindad Vx tenemos Vx ∩ A 6= ∅ pues por la convergenciaexisten infinitos xn elementos de A con xn ∈ Vx ∩A.

EJEMPLO 9.9

Si el espacio no es 1-contable, la anterior caracterizacion de la adherenciano siempre es cierta. Este es el caso para los numeros irracionales I siconsideramos a (R, coenumerables) —no es 1-contable— I = R pero noexiste una sucesion (xn) en I con xn → 2.

El siguiente ejemplo muestra la utilidad de la proposicion 9.7.

EJEMPLO 9.10

(RN, caja) no es metrizable ya que no se tiene el lema de las sucesiones.

En efecto, sea A = (xn) : xn > 0, n ∈ N el conjunto de las sucesionesde terminos positivos. El punto 0 = (0) —la sucesion constante a cero—

G. RUBIA

NO


pertenece a A, pero no existe una sucesion —de sucesiones— (xn) conxn = (xmn )∞m=i convergente a 0. El producto de intervalos

U = (−x11, x

11)× (−x2

2, x22)× (−x3

3, x33)× · · ·

es una vecindad abierta del punto 0 pero no contiene ningun elementode la sucesion.

9.1.1. Operadores de clausura

En 1922 el matematico polaco K. Kuratowski1 reconocio las propie-K

dades que tenıa la adherencia y las resumio en el siguiente operadorllamado de clausura. Para un conjunto X la adherencia es una funcionK : 2X −→ 2X tal que para cada A ⊆ X, K(A) := A con las siguientespropiedades:

1. K(∅) = ∅.

2. A ⊆ K(A) —expansion—.

3. K(A ∪B) = K(A) ∪ K(B).

4. K(K(A)) = K(A) —idempotente—.

Teorema 9.8. Cualquier funcion K : 2X −→ 2X que satisfaga 1, 2, 3,4 del parrafo anterior se llama un operador de clausura y determinauna unica topologıa sobre X, en la cual los conjuntos cerrados son losconjuntos para los cuales K(A) = A —puntos fijos del operador—.

Demostracion. Definimos la coleccion

T = U ⊆ X | K(U c) = U c.

Verifiquemos que T es topologıa. Por 1, 2 tenemos ∅, X ∈ T.

1Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 1896-1980), matematico y logico polaco. Lainvestigacion de Kuratowski se baso en estructuras abstractas topologicas y metricas.Junto con Alfred Tarski y Waclaw Sierpinski, construyo casi toda la teorıa de losespacios polacos, ası llamados en honor a estos tres matematicos. En teorıa de grafos,hizo la caracterizacion de los grafos planares llamada teorema de Kuratowski.

G. RUBIA

NO


Dada Vi, (i ∈ I) con Vi ∈ T, veamos que⋃i∈I Vi esta en T. Notese

que A ⊆ B implica K(A) ⊆ K(B) y por tanto

K((⋃

i∈IVi

)c)= K

(⋂i∈I

V ci

)⊆ V c

i para cada i,

con lo cual K (⋂i∈I Vci

) ⊆ ⋂i∈I K(V ci ) ⊆ ⋂i∈I V

ci y esto junto con la

contenencia en 2 nos dice que K ((⋃i∈I Vi)c) = (

⋃i∈I Vi)

c.

Si U, V ∈ T, veamos que su interseccion es un abierto, es decir, sucomplemento es un punto fijo.

K ((U ∩ V )c) = K(U c ∪ V c) = K(U c) ∪ K(V c) = U c ∪ V c = (U ∩ V )c.

La unicidad de T es clara, pues la definicion determina la unicidad delos cerrados, que son aquellos para los cuales F = K(F ).

EJEMPLO 9.11

Sea X un conjunto con mas de un elemento. Dado p ∈ X definimosK(A) = A∪p, K(∅) = ∅. K satisface los axiomas del teorema anterior.¿Como es la topologıa generada?

El siguiente teorema nos muestra que la continuidad se puede caracteri-zar en terminos de la adherencia.

Teorema 9.9. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y . f es con-tinua si y solo si para cada A ⊆ X se tiene f(A) ⊆ f(A).

‘Si x es arbitrariamente cercano a A entonces f(x) lo es a f(A)’.

Demostracion. ⇒) Sean A ⊆ X, y ∈ f(A). Tomemos x ∈ A tal quey = f(x). Dada cualquier Vy, existe Vx tal que f(Vx) ⊆ Vy —por lacontinuidad—. Como x ∈ A, sea p ∈ Vx ∩A, con lo cual

f(p) ∈ f(Vx ∩A) ⊆ f(Vx) ∩ f(A) ⊆ V y ∩ f(A)

y por tanto y ∈ f(A).

⇐) Consideremos un cerrado C de Y y veamos que f−1(C) es uncerrado. Como f

(f−1(C)

)⊆ f(f−1(C)) ⊆ C, al aplicar f−1 obtenemosf−1(C) ⊆ f−1(C) y como C = C tenemos f−1(C) ⊆ f−1(C), luego porlas propiedades de la adherencia f−1(C) = f−1(C), con lo cual f−1(C)es un cerrado, es decir f es continua.

G. RUBIA

NO


9.1.2. La adherencia es productiva

Teorema 9.10. Sean (Xi,Ti)i∈I una coleccion de espacios topologicosy Ai ⊆ Xi, Ai 6= ∅ para cada i. Entonces∏

i∈IAi =

∏i∈I

Ai

Demostracion. Veamos que∏i∈I Ai ⊆

∏i∈I Ai. Sea x ∈ ∏i∈I Ai y Vx

una vecindad abierta del punto x = (xi). Existe un abierto∏i∈I Ui de

la base de la topologıa producto con x ∈ ∏i∈I Ui ⊆ Vx. Como xi ∈ Aitenemos Ui ∩Ai 6= ∅ para cada i y ası

Vx ∩∏i∈I

Ai ⊇(∏i∈I

Ui

)∩(∏i∈I

Ai

)=∏i∈I

(Ui ∩Ai) 6= ∅,

luego x ∈∏i∈I Ai.

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p1(A)

p2(A)

A

Figura 9.2: A ⊆∏i∈I pi(A).

Recıprocamente, como cada proyeccion pi es continua,

pi

(∏i∈I

Ai

)⊆ pi

(∏i∈I

Ai

)= Ai

para cada i, luego∏i∈I Ai ⊆

∏i∈I Ai pues si A ⊆ ∏

i∈I Xi entoncesA ⊆∏i∈I pi(A) (ver fig. 9.2).

G. RUBIA

NO


Corolario 9.11. Sean (Xi,Ti)i∈I una coleccion de espacios topologi-cos y Ai ⊆ Xi, Ai 6= ∅ para cada i. Entonces∏

i∈IAi es cerrado si y solo si cada Ai es cerrado. (9.1)

Demostracion. ⇒) Sea∏i∈I Ai un cerrado en el espacio producto. Como∏

i∈IAi =

∏i∈I

Ai =∏i∈I

Ai (9.2)

tenemos Ai = Ai para cada i.

⇐) Como cada Ai = Ai entonces,∏i∈I

Ai =∏i∈I

Ai =∏i∈I

Ai. (9.3)

Ejercicios 9.1

1. Dada Bε(x) en Rnu, ¿quien es su adherencia?

2. Dada Bε(x) en un espacio metrico, muestre que su adherencia nosiempre coincide con la bola cerrada.

3. La adherencia se comporta respecto a los subespacios de la sigu-iente manera. Si A ⊆ B ⊆ X entonces A como subespacio de B esigual a la interseccion de A —como subespacio de X— con B, esdecir

AB = AX ∩B.

4. Sean (R2, verticales) y A = (x, y) : x2 + y2 = 1, x ≤ 0, y ≤ 0—ver ejercicio 2 de 1.2— Calcule:

a) A con respecto a S1.

b) A con respecto a R2.

¿Que relacion existe entre estos dos conjuntos?

G. RUBIA

NO


5. Muestre que en un espacio cualquiera el conjunto de puntos lımitesde una sucesion es cerrado.

6. * Sean X un espacio y A ⊆ X. Muestre que x ∈ A si y solo siexiste un filtro F en el espacio X con A ∈ F y F → x.

7. Una funcion f : X −→ Y entre espacios topologicos es continua siy solo si para cada B ⊆ Y se tiene f−1(B) ⊆ f−1

(B).

8. Una funcion f : X −→ Y entre espacios topologicos es cerrada siy solo si para todo A ⊆ X se tiene f(A) ⊆ f (A).

9. Una funcion inyectiva f : X −→ Y entre espacios es un homeo-morfismo si y solo si para cada A ⊆ X se tiene f

(A)

= f(A).

9.2. Puntos de acumulacion

Si A ⊆ (X,T) es claro que todo punto que esta en A es un puntoadherido a A. Pero ¿como caracterizar aquellos puntos que estan ad-heridos a A no solo por el hecho de pertenecer al conjunto? Estos sonpuntos donde el conjunto A se acumula en el sentido de la siguientedefinicion.

Definicion 9.12. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ Xes un punto de acumulacion de A (A se acumula en b) o que bes un punto lımite del conjunto A, si para cualquier Vb se tiene(Vb − b) ∩A 6= ∅. Es decir, cada vecindad del punto b contiene puntosde A diferentes de b mismo, i. e., b ∈ A− b.

El conjunto de puntos de acumulacion de A lo notamos Aa y lollamamos derivado de A,

Aa = x | x es un punto de acumulacion de A.

Claramente todo punto de acumulacion de un conjunto es un puntoadherente del conjunto.

Teorema 9.13. Si (X,T) es un espacio y A ⊆ X entonces

A = A ∪Aa.

G. RUBIA

NO

9.2 Puntos de acumulacion 143

Demostracion. Veamos que A ∪ Aa ⊆ A. Si x /∈ A, existe Vx tal queVx ∩A = ∅, es decir x /∈ A y x /∈ Aa.

Para la otra contenencia sea x tal que x /∈ A ∪ Aa; luego existe Vxcon (Vx−x)∩A = ∅, y como x /∈ A podemos concluir que Vx∩A = ∅,con lo cual x /∈ A.

Corolario 9.14. Sean (X,T) un espacio A ⊆ X. A es cerrado si y solosi Aa ⊆ A.

Demostracion. A = A = A ∪Aa, lo que implica Aa ⊆ A.

EJEMPLO 9.12

1. En el subespacio A = (0, 2]∪3 ⊆ Ru se tiene que 3 /∈ Aa aunqueeste en A, mientras 0 ∈ Aa aunque no este en A.

2. En el ejemplo anterior 3 ∈ A − Aa es un punto ‘aislado’ de sucomunidad.

3. En (X, 2X) se tiene Xa = ∅.4. En un espacio X el conjunto a es abierto si y solo si a /∈ Xa.

5. En general Aa no es conjunto cerrado. Para X = x, y, z, T =∅, X, x, y, z y A = x tenemos Aa = y.

Aunque Aa no siempre es cerrado, en los espacios de Hausdorff si lopodemos garantizar.

Proposicion 9.15. Si (X,T) es un espacio de Hausdorff, entonces Aa

es cerrado para todo A subconjunto de X.

Demostracion. De acuerdo con el corolario 9.14 veamos que (Aa)a ⊆ Aa.Sean x ∈ (Aa)a y Vx vecindad de x. No hay perdida de generalidad sitomamos Vx como abierta, ya que si no lo es, existe Ux abierto conUx ⊆ Vx y trabajamos con este Ux. Sea y ∈ (Vx−x)∩Aa, luego y 6= xcon y ∈ Aa. Por tanto, Vx que es vecindad tanto de x como de y satisface(Vx − y) ∩A 6= ∅ por estar y ∈ Aa.

De otra parte, Uy = (Vx − x) es un abierto que contiene a y —puesto que x es cerrado—. Luego ((Vx − x) − y) ∩ A 6= ∅, y portanto podemos tomar z ∈ (Ux−y)∩A; claramente z ∈ (Vx−x)∩Acon lo que x ∈ Aa.

G. RUBIA

NO


Las funciones continuas e inyectivas respetan los puntos de acumulacion.

Proposicion 9.16. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y con-tinua e inyectiva. Si A ⊆ X y x ∈ Aa entonces f(x) ∈ f(A)a —f(Aa) ⊆ f(A)a—.

Demostracion. Sea x ∈ Aa y veamos que f(x) ∈ f(A)a. Como f escontinua, dada Vf(x) existe un abierto Ux con f(Ux) ⊆ Vf(x). Luegof(Ux − x) ⊆ Vf(x) − f(x) ya que f es 1-1 y no puede existir otropunto distinto de x cuya imagen sea f(x). Por tanto

∅ 6= f((Ux − x) ∩A) ⊆ f(Ux − x) ∩ f(A) ⊆ (Vf(x) − f(x)) ∩ f(A)

con lo cual f(x) ∈ f(A)a.

9.2.1. Puntos aislados

Como Aa ⊆ A, ¿que podemos decir de los puntos en el otro espectro,es decir, los puntos que estan en A−Aa? Estos son puntos x de A paralos cuales existe una Vx que no contiene puntos de A diferentes de xmismo —puntos aislados—.

Definicion 9.17. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ Xes un punto aislado de A si existe una vecindad Vb en X para la cualVb ∩A ⊆ b. Es decir, existe una vecindad del punto b que no contienepuntos de A diferentes de b mismo.

EJEMPLO 9.13

En Ru consideremos:

1. El subconjunto Z. Si n ∈ Z entonces

n = Z ∩ (n− 12, n+

12

).

Por tanto la topologıa de subespacio para Z es la discreta.

2. Los subconjuntos P = 1/n | n ∈ N y P ∗ = P ∪ 0. Comocada punto en P es aislado, el subespacio es discreto; mientrasque, al agregarle un punto y obtener P ∗, el nuevo subespacio tieneal punto 0 como punto de acumulacion, con lo cual deja de ser unespacio discreto.

G. RUBIA

NO

9.2 Puntos de acumulacion 145

Proposicion 9.18. Dado (X,T) un espacio y A ⊆ X. (A,TA) es dis-creto si y solo si cada punto de A es aislado.

Demostracion. En el subespacio (A,TA) un punto a ∈ A es aislado si ysolo si a es abierto en la topologıa del subespacio.

Ejercicios 9.2

1. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X, muestre que el conjunto deriva-do posee las siguientes propiedades:

a) Si A ⊆ B entonces Aa ⊆ Ba.

b) (A)a = Aa para A ⊆ X.

c) (A ∪B)a = Aa ∪Ba para A,B ⊆ X.

d)⋃i∈I A

ai ⊆ (

⋃i∈I Ai)

a, Ai ⊆ X.

2. En contraposicion a la clausura, el segundo conjunto derivado notiene por que ser igual al original. De un ejemplo donde Aaa * Aa.

3. Demuestre el teorema 9.15 con la condicion que el espacio sea T1

a cambio de T2.

4. Sea R con la topologıa generada por la base formada por las colas(a,→). Muestre que 0a no es cerrado.

5. Sea f : X −→ Y una funcion uno a uno entre espacios topologicos;f es continua si y solo si f(Aa) ⊆ f(A)a para todo A ⊆ X.

6. Sea f : X −→ Y una funcion entre espacios. f es un homeomor-fismo si y solo si f(Aa) = f(A)a para todo A ⊆ X.

7. Muestre que el conjunto de puntos de acumulacion de una union deconjuntos no es necesariamente la union de puntos de acumulacionde cada uno de los conjuntos.

8. Sean (X,T) un espacio de Hausdorff y A ⊆ X. x ∈ Aa si y solo sicada Vx contiene infinitos puntos de A.

9. Sean A ⊆ (X,T) y Ais(A) su conjunto de puntos aislados. Se tieneentonces que:

G. RUBIA

NO


a) Ais(A) ∩Aa = ∅.b) Ais(A) ∪Aa = A.c) Ais

(A) ⊆ Ais(A).

d) Ais(A) = ∅ si y solo si A ⊆ Aa.10. * El filtro de las vecindades Vx es un ultrafiltro si y solo si el punto

x es un punto aislado de X.

9.3. Interior – exterior – frontera

Definicion 9.19. Sean (X,T) un espacio yA ⊆ X. Decimos que b ∈ X es un puntointerior de A si existe U ⊆ X abierto talque b ∈ U ⊆ A. Al conjunto de puntos inte-riores de A lo llamamos el interior de A ylo notamos A

A = x : x es interior a A.

Proposicion 9.20. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A es el mayorabierto contenido en A.

Demostracion. Veamos que A =⋃A donde la familia

A = Ui ⊆ X : Ui ⊆ A y Ui es abierto.

Si x ∈ A, existe un abierto Ux con x ∈ Ux ⊆ A con lo cual Ux ∈ Ay ası x ∈ ⋃A.

Si x ∈ ⋃A existe i para el cual x ∈ Ui ⊆ A y por tanto x ∈ A.Corolario 9.21. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A ⊆ X es abierto siy solo si A = A.

Demostracion. Es equivalente a decir que A es abierto si y solo si A esvecindad de cada uno de sus puntos.

Las propiedades del interior se describen en la siguiente proposicion,la cual resume lo que llamamos un operador de interior.

G. RUBIA

NO

9.3 Interior – exterior – frontera 147

Proposicion 9.22. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X entonces

1. A ⊆ A.

2. (A ∩B) = A ∩B.3. (A) = A.

4. X = X.

5. A ∪B ⊆ (A ∪B).

Demostracion. Se deja como ejercicio.

Cualquier operador I : 2X −→ 2X que satisface las propiedades dela anterior proposicion genera una topologıa G sobre X definida por

G = A ⊆ X : I(A) = Ay para esta topologıa I(A) = A.

Dual al concepto de punto interior esta el concepto de punto exterior.

Definicion 9.23. Sean (X,T) un espacio, A ⊆ X y b ∈ X. Decimos queb es un punto exterior a A si existe una vecindad Vb tal que Vb ⊆ Ac.

El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A ylo notamos Ext(A):

Ext(A) = x | x es exterior a A.

Notese que Ext(A) es el interior de Ac. Un punto que no perteneceal interior ni al exterior de un conjunto se llama punto frontera.

Definicion 9.24. Dados A ⊆ (X,T) y b ∈ Xdecimos que b es un punto frontera de A sipara toda Vb se tiene Vb ∩A 6= ∅ 6= Vb ∩Ac.El conjunto de los puntos frontera de A lonotamos Fr(A):

Fr(A) := x | x es un punto frontera para A.

Un subconjunto A de un espacio genera una particion sobre el espaciode la siguiente manera.

G. RUBIA

NO


Proposicion 9.25. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. X es la uniondisyunta

X = A ∪ Fr(A) ∪ Ext(A).

Demostracion. Las definiciones son excluyentes.

EJEMPLO 9.14

Para Q como subconjunto de Ru se tiene Q = ∅, Ext(Q) = ∅, Fr(Q) =R. ¿Como es la particion si tomamos a (R, cofinitos)?

Ejercicios 9.3

1. Continuidad en terminos del interior. Una funcion f : X −→ Y escontinua si y solo si f−1 (B) ⊆ (f−1(B)) para cada B ⊆ Y .

2. Muestre que:

a) A = Ext(A)c.

b) A = (X −M).

c) A = X − (X −A).

d) Fr(A) = A ∩Ac.e) Fr(A) = Fr(Ac).

f ) Fr(A) ⊆ Fr(A).

g) Fr(A) ⊆ Fr(A).

h) Fr(A ∪B) ⊆ Fr(A) ∪ Fr(B).

i) Fr(A) = x | x /∈ A y x /∈ (Ac) =(A ∪ (Ac)

)c.3. Muestre que:

a) A es abierto si y solo si A ∩ Fr(A) = ∅.b) A es cerrado si y solo si Fr(A) ⊆ A.

c) A es aberrado si y solo si Fr(A) = ∅.4. Continuidad en terminos de la frontera. La funcion f : X −→ Y es

continua si y solo si Fr(f−1(B)) ⊆ f−1(Fr(B)) para cada B ⊆ Y .

G. RUBIA

NO

9.4 Subconjuntos densos 149

5. Para (R2, verticales) y (R2, lexicografico) ¿como es la adherencia,interior, frontera y exterior de los siguientes conjuntos?

a) (0, 0).b) (x, y) : x2 + y2 < 1.c) S1.d) (x, y) | y > 0.e) (x, y) | x > 0.f ) (0, y) | y > 0.g) R× 0.h) 0 × R.

6. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X entonces A×B = (A×B).¿Que sucede si el conjunto de ındices es arbitrario?

7. Muestre que Cl Int Cl Int A = Cl Int A, i. e.,(A) =A.

8. Problema de Kuratowski, 1922. Dado un subconjunto A deun espacio, existen a lo mas 14 conjuntos diferentes que puedenser construidos aplicando cualquier permutacion de la clausura, elinterior y el complemento sobre A.

Sugerencia: recurra a la literatura. Muestre que en Ru el conjuntoA = [0, 1] ∪ (2, 3) ∪ [(4, 5) ∩ Q] ∪ [(6, 8) − 7] ∪ 9 satisface elproblema.

9. Si (X,T) es un espacio y A ⊆ X, muestre que la funcion carac-terıstica Ξ|A : X −→ Ru es continua en el punto x si y solo six /∈ Fr(A).

9.4. Subconjuntos densos

Un subconjunto A que esta por todas partes del espacio (X,T) mereceun nombre especial.

Definicion 9.26. Sean (X,T) un espacio y A,B ⊆ X. A se llama densoen B si B ⊆ A. Si A es denso en X, i. e., A = X, lo llamamos densoen toda parte o simplemente denso —no hacemos referencia a ningunsubconjunto—. En otras palabras, A es denso si para cualquier Vx decualquier x ∈ X tenemos Vx ∩A 6= ∅.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 9.15

Los numeros irracionales I son densos en R con la topologıa usual.

EJEMPLO 9.16

Un espacio X es discreto si y solo si tiene un unico subconjunto denso.

⇒) Si el espacio es discreto, cada subconjunto es cerrado y por tanto elunico denso es X.⇐) Si X no fuera discreto, existe un punto x tal que x no es abierto,y por tanto X − x es denso.

Si el conjunto denso no es muy grande, el espacio merece un adjetivo.

Definicion 9.27. Sea (X,T) un espacio. Decimos que X es separablesi existe A ⊆ X enumerable y denso.

EJEMPLO 9.17

Cada Rn es separable —basta considerar a Qn—.

Proposicion 9.28. Si X es 2-contable entonces X es separable.

Demostracion. Sea B = B1, B2, . . . una base enumerable. Por cada Bntomamos un xn ∈ Bn y formamos el conjunto D = x1, x2, . . .. D esdenso, pues dado cualquier abierto U , por ser B una base, existe Bi conxi ∈ Bi ⊆ U .

El recıproco de la proposicion anterior no es cierto en general como semuestra en el siguiente ejemplo; pero en el caso de los espacios metricossı se tiene la equivalencia entre los conceptos 2–contable y separable.

EJEMPLO 9.18

(R, cofinitos) es un espacio separable pues N = R, pero ya sabemosque (R, cofinitos) no es 2-contable.

(R, coenumerables) no es separable. Si D ⊆ R fuera denso y enumerable,entonces R−D es abierto, y por tanto para x ∈ R−D se tiene que x /∈ D.

G. RUBIA

NO


Proposicion 9.29. Si (X, d) es un espacio metrico y separable, entonceses 2-contable.

Demostracion. Sea D = d1, d2, . . . un subconjunto denso en X. Lacoleccion B = B 1

n(dm) : m,n ∈ N es una base enumerable para la

topologıa generada por d. Dado un abierto U y x ∈ U existe Bε(x) ⊆ U .Sea dm ∈ D con dm ∈ B ε

4(x). La bola B ε

2(dm) satisface

x ∈ B ε2(dm) ⊆ Bε(x) ⊆ U

pues si t ∈ B ε2(dm) entonces d(t, x) ≤ d(t, dm) + d(dm, x) ≤ ε

2 + ε4 .

La utilidad de la equivalencia de estos dos conceptos en los espaciosmetrizables se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 9.19

(R, [a, b)) no es metrizable, ya que es separable pero no es 2-contable.

EJEMPLO 9.20

La propiedad de separabilidad no es hereditaria (no se hereda a lossubespacios); por ejemplo, en R2 la siguiente coleccion B de ‘cuadradossemiabiertos’ forma una base

B = [a, b)× [c, d) | a < b, c < d, a, b, c, d ∈ R.

Un abierto basico para la topologıa generada tiene la forma descrita porla figura 9.3. Esta topologıa, conocida como topologıa de Sorgenfrey,es separable pues Q×Q = R× R.El subconjunto formado por la recta diagonal

L = (x,−x) : x ∈ R

es un subconjunto cerrado pues su complemento es abierto. La topologıade subespacio es la discreta y, por lo tanto, L no es separable. Notemosque el cubrimiento abierto de R2

R2 − L⋃[−a, 1)× [a, 1) : a ∈ R

no se puede reducir a uno enumerable y por tanto el espacio no es deLindeloff.

G. RUBIA

NO


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x

y!

!.....

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Figura 9.3: Un abierto en la topologıa de Sorgenfrey.

En caso que el subespacio sea abierto la separabilidad sı se hereda.

Proposicion 9.30. Sean (X,T) un espacio separable y A ⊆ X con Aabierto. El subespacio (A,TA) es separable.

Demostracion. Si D es denso y contable en X, D ∩A lo es en TA.

La propiedad de separabilidad es productiva para una cantidad enu-merable de factores.

Teorema 9.31. Si (Xn,Tn), (n ∈ N) es una coleccion de espaciosseparables, el espacio producto

∏n∈NXn es separable.

Demostracion. Sea Dn un subconjunto denso en Xn, Dn = xn0 , xn1 , . . ..Consideremos el conjuntoM de todos los subconjuntos finitos de N.Mes un conjunto contable. Para cada K ∈M definimos

SK = f | f : K −→ N.

SK es enumerable y por tanto F :=⋃K∈M SK es tambien enumerable.

Dada f ∈ F definimos xf ∈∏n∈NXn como

xf (n) =

xnf(n), si n esta en el dominio de f,

xf (n) = xno si n no esta en el dominio de f .

G. RUBIA

NO


SeaU = Un1 × · · · × Unj ×

∏i 6=nj

Xn

un abierto basico. Por cada ni escogemos mi tal que xnimi∈ Uni (densidad

de Dni). Para f definida como f(ni) = mi, (i = 1, . . . , k) se tiene quexf ∈ U . Luego D := xf : f ∈ F es denso.

EJEMPLO 9.21

El producto arbitrario de espacios separables no siempre es separable.

Para cada i sea Xi = (0, 1, discreta) donde I = 2R es el conjunto deındices. Veamos que el producto

X = 0, 12R=∏i∈I

Xi

con la topologıa producto no es separable.

Supongamos que existe D ⊆ X denso y enumerable. Por cada ındicei ∈ I consideramos el subconjunto Di := D ∩ p−1

i (1). Para cada i 6= jse verifica que Di 6= Dj . Esto define una funcion inyectiva h : I −→ 2D

dada por h(i) := Di; con lo cual el cardinal de I resulta menor o igualque el cardinal de 2D.

Por supuesto, la separabilidad es un invariante topologico.

Teorema 9.32. La separabilidad es un invariante topologico.

Demostracion. Sean f : (X,T) −→ (Y,H) un homeomorfismo, D ⊆ Xdenso y enumerable; veamos que f(D) es denso en Y . Dado V ∈ H, paraf−1(V ) existe d ∈ D con d ∈ f−1(V ) y ası f(d) ∈ V —solo utilizamosque f es continua y sobre—.

Concluimos esta seccion con un teorema de unicidad, en el sentidoque solo hay una manera de extender una funcion continua a todo elespacio una vez este definida sobre un subconjunto denso.

Teorema 9.33. Sean f, g : (X,T) −→ (Y,H) continuas, donde Y es deHausdorff. Si f(x) = g(x) para cada x ∈ D, D denso en X, entoncesf = g.

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NO


Demostracion. Si f 6= g sea z ∈ X para el cual f(z) 6= g(z). Tomamosdos abiertos disyuntos U, V vecindades de f(z) y g(z) respectivamente.Como z ∈ f−1(U) ∩ g−1(V ), que es un abierto que no corta a D, ten-drıamos que z /∈ D, lo cual contradice la densidad de D.

EJEMPLO 9.22

Ser 2–contable tiene consecuencias interesantes.

Por ejemplo, si (X,T) es 2–contable y de Hausdorff, la cantidad deabiertos en X puede ser acotada; en efecto, el cardinal de T es alo mas el cardinal del continuo 2ℵ0 . Como cada U ∈ T es union deelementos de la base, hay tantos abiertos como uniones de elementos enla base enumerable; esto es, tantos como subconjuntos de un conjuntoenumerable.

Tambien podemos acotar el numero de elementos en X. Como X es deHausdorff, la funcion f : X −→ T con f(x) := X−p es inyectiva y portanto el cardinal del dominio es menor o igual al cardinal del codominio.

EJEMPLO 9.23

Si debilitamos aun mas las hipotesis sobre los espacios del ejemploanterior, es decir, exigimos que (X,T) sea 1–contable, separable yHausdorff, 2ℵ0 = 2ω es todavıa una cota para la cardinalidad de X.

Como X es separable, sea S un subconjunto denso y contable de X.Como X es 1-contable, para cada p ∈ X construimos una sucesion (sp)en S que converge a p. Entonces, para p 6= q, el ser de Hausdorff implica(sp) 6= (sq). El numero de tales sucesiones es a lo mas SN = ωω = 2ω,con lo cual #(X) ≤ 2ω.

El argumento anterior muestra que en un espacio X de Hausdorff, 1-contable y con un subconjunto denso de cardinalidad menor o igual a2ω, el conjunto X tiene cardinalidad menor o igual a 2ω puesto que#(cN) = c.

Dado que #(X) ≤ 2ω y X es 1–contable, X tiene una base —launion de todas las bases locales— de cardinalidad menor o igual a

N · 2ω = #(N) · c = c = 2ω.

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NO


Luego el numero de conjuntos abiertos en X es a lo mas 22ω. Ademas,

22ωes la mejor cota sobre el numero de conjuntos abiertos para estos

espacios. Por ejemplo R2 con la topologıa de Sorgenfrey (ver ej. 9.20).

Si solo asumimos que (X,T) es un espacio de Hausdorff y separable,la mejor cota para la cardinalidad de X es 22ω

y la mejor cota para elnumero de abiertos en X es 222ω

.

De otra parte, 2ω es una cota para el numero de funciones continuasde X en R. En efecto, sea S un subconjunto denso y contable de X.El numero de funciones de S en R es a lo mas (2ω)ω = 2ω. Si f, g sonfunciones continuas de X en R, que coinciden sobre S, entonces f = g.El hecho de que X sea de Hausdorff no se usa en este argumento.

Ejercicios 9.4

1. Muestre que A ⊆ X es denso si y solo si A intercepta a todo abiertono vacıo de X.

2. Sean A,B subconjuntos densos en X,Y respectivamente. Muestreque A×B es denso en X × Y .

3. Muestre que C([0, 1]) con la topologıa 〈d∞〉 del sup es separable.

Sugerencia: Teorema de aproximacion de Weierstrass 1.885. Lospolinomios con coeficientes racionales forman un conjunto denso.

4. Muestre que en el espacio X+ = X ∪ ω generalizado de Arens-Fort —ejercicio 4 de 5.3 pag. 94— X es denso en X+.

5. Para el caso de R+ = R∪ω con el filtro de Frechet, este espaciono es separable pero sı es de Lindeloff.

6. Muestre que en (X,Tp) cada abierto no vacıo es denso.

7. ¿En (X,Tp) que subconjuntos son densos?

8. Dado un espacio (X,T), decimos que M ⊆ X es diseminado odenso en ninguna parte si (M) = ∅.

a) Muestre que Z es diseminado en (R, usual). ¿En (R, cofinitos)?b) M es diseminado si y solo si (M)c es denso.

9. Muestre que (I × I, lexi) no es separable.

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NO10 Compacidad

Iniciamos este capıtulo recordando el celebre teorema del calculoconocido con el nombre de Heine-Borel-Lebesgue1 el cual resalta unapropiedad importante (si no la mas) de los intervalos cerrados y acotadosde R que permite restringir el estudio de los cubrimientos abiertos deestos intervalos a cubrimientos finitos; esto es, tenemos una condicionsobre el cardinal.

Definicion 10.1. Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X decimos que unacoleccion U = Uii∈I de abiertos (cerrados) de X es un cubrimientoabierto (cerrado) de A si

A ⊆⋃U =

⋃i∈I

Ui.

Si existe J ⊆ I tal que Uj, (j ∈ J) es tambien cubrimiento de A, a lafamilia Ujj∈J la llamamos un subcubrimiento de U .

Teorema 10.2 (Heine-Borel-Lebesgue). Un intervalo [a, b] ⊆ R tiene lapropiedad que cada cubrimiento abierto U de [a, b] admite un subcubrim-iento finito.

Demostracion. Consideremos a [a, b] con la topologıa usual inducida deR y sea U un cubrimiento abierto de [a, b]. Definimos

M = x ≤ b : [a, x] esta contenido en un subcubrimiento finito de U.1Introducido por el matematico aleman Heinrich Heine (Berlın 1821-Halle 1881)

en 1872 (quien tambien formulo el concepto de la continuidad uniforme), modificadopor el matematico y polıtico frances Felix Borel (Saint-Affrique 1871-Parıs 1956) en1894 y por Henri Leon Lebesgue (Beauvais 1875-Parıs 1941), matematico frances queformulo la teorıa de la medida en 1910.

156

G. RUBIA

NO

10.1 Espacios compactos 157

M es no vacıo y esta acotado superiormente por b. Ası, M admite unamınima cota superior s. Veamos que s ∈M y s = b. Sea U un elementode U que contiene a s. Como U es abierto, existe ε > 0 tal que (s−ε, s] ⊆U si s = b o para s < b tendrıamos (s − ε, s + ε) ⊆ U y por ser s unsup existe δ > 0 tal que δ < ε y s− δ ∈M . Luego el intervalo [a, s− δ]esta contenido en la union de un subcubrimiento finito de U , llamemosloM. Por tanto M ∪ U es un recubrimiento finito de [a, s], es decirs ∈M . Si s fuese menor que b entonces (∪M)∪U contendrıa a [a, s+ ε]y contradice que s es sup de M .

Esta propiedad de los intervalos cerrados y acotados de R la gene-ralizamos a los espacios topologicos y con la siguiente definicion2 ledamos nombre.

10.1. Espacios compactos

Definicion 10.3. Un espacio (X,T) se dice compacto si cada cubrim-iento abierto de X admite un subcubrimiento finito.

A ⊆ X es compacto si A como subespacio de X es compacto; i. e.,dado un cubrimiento abierto A ⊆ ⋃i∈I Vi —A =

⋃i∈I(Vi∩A) es reunion

de abiertos del subespacio—, existe una subfamilia finita Vi1 , Vi2 , . . . , Viktal que A ⊆ ⋃k

i=1 Vik ; esto implica A =⋃nk=1(Vik ∩A).

La siguiente visualizacion de la compacidad s debe a John D. Baum:

Supongamos que una gran multitud de personas —posible-mente infinitas— estan afuera bajo la lluvia, y que cadauna de estas personas usa su sombrilla, claramente ellas per-maneceran sin mojarse. Pero por supuesto es posible queellas esten juntas de manera tan compacta, que no sea nece-sario sino que un numero finito de ellas abran sus sombrillasy todavıa permanezcan sin mojarse. En este caso pensamosque ellas forman una especie de espacio compacto.

2Fue introducida en 1923 con el nombre inicial de bicompacto y de manera inde-pendiente por el gran topologo ruso Pavel Alexandroff (1896-1982 Moscu) y por elmatematico ucraniano Pavel Urysohn (Odessa, Ucrania 1898–Francia 1924).

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NO

158 Compacidad

EJEMPLO 10.1

1. Si X es un conjunto finito toda topologıa es compacta.

2. (R, cofinitos) es compacto pues dado un cubrimiento abierto U ,tomemos U ∈ U ; como U c es finito necesitamos adjuntarle a Utan solo finitos miembros de U para obtener un subcubrimientoabierto.

3. Ru no es compacto pues el cubrimiento abierto formado por lacoleccion (n − 1, n + 1) para n ∈ Z no tiene un subcubrimientofinito.

4. Para un conjunto infinito X y a ∈ X, (X,Ta) es compacta mientras(X,Ta) no lo es.

EJEMPLO 10.2

La compacidad no se hereda.Por ejemplo, el intervalo (0, 1) ⊆ [0, 1] no es compacto pues (0, 1 −1/n)n∈N es un cubrimiento abierto de (0, 1) que no se puede reducir aun subcubrimiento finito.

En caso que el subespacio sea cerrado, la compacidad si es hereditaria.K

Teorema 10.4. Sean (X,T) un espacio compacto y A ⊆ X un cerrado,entonces A es compacto.

Demostracion. Sea U una familia de abiertos de X tal que A ⊆ ⋃U . Sianadimos a U el conjunto Ac obtenemos un cubrimiento abierto de X.Luego existen U1, . . . , Un en U tales que X = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un ∪ Ac ypor tanto A ⊆ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un.

EJEMPLO 10.3

En (R, [a, b)) el subespacio [0, 1] no es compacto, pues [0, 1) no lo es yes un cerrado en [0, 1].

La compacidad es un invariante topologico; mas aun, es preservada porlas funciones continuas y esta es otra manera de mostrar si un espacioes compacto: viendolo como una imagen continua de un compacto.

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NO


Teorema 10.5. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) sobre y continua. Si X escompacto entonces Y es compacto.

Demostracion. Sea U un cubrimiento abierto de Y . La familia

f−1(U) = f−1(U) : U ∈ U

es un cubrimiento abierto de X. Como X es compacto, existe un sub-cubrimiento f−1(U1), . . . , f−1(Un) de f−1(U) y por ser f sobre ten-emos f(f−1(Uk)) = Uk para 1 ≤ k ≤ n. Ası, Y = f(X) = U1 ∪ . . . ∪ Uny por tanto U admite un subcubrimiento finito.

Corolario 10.6. No existe f : [0, 1] −→ (0, 1) continua que sea so-breyectiva. Por tanto estos espacios no pueden ser homeomorfos.

Los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff tienen pro-piedades deseables, que pueden faltarles a los espacios compactos engeneral. Esta es una razon para que algunos autores llamen ‘compacto’a lo que nosotros hemos definido, exigiendo ademas que el espacio seade Hausdorff —bicompactos para la antigua escuela rusa y aun parala escuela Bourbaki—.

Una de estas propiedades es que ellos se pueden ‘separar’ de lospuntos que no contienen.

............................................................

...............................................................................................................................................................................................................

..........................

..........................................

.......................

•x

a•

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................

................................................................

........................................ ........ ........ ........ ........

................................

................

................................................ ........ ........ ......

..........

A

Uxa

Uax

Figura 10.1: Los compactos en un espacio de Hausdorff son cerrados.

Teorema 10.7. Sean (X,T) un espacio de Hausdorff y A un subespaciocompacto de X. Dado x ∈ X con x /∈ A, existen vecindades disyuntasVx, VA de x y de A respectivamente. —En particular esto implica que Aes cerrado—.

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160 Compacidad

Demostracion. Sea a ∈ A. Como X es de Hausdorff, existen abiertosdisyuntos Uxa , Uax de a, x respectivamente. Cuando a varıa en A, obten-emos un cubrimiento de A dado por U = Uxa | a ∈ A y de el extrae-mos un subcubrimiento finito Uxa1

, . . . , Uxan. Si Ux =

⋂ni=1 U

aix entonces

Ux ∩ (⋃ni=1 U

xai

) = ∅ y ademas A ⊆ ⋃ni=1 U

xai

.

El hecho de que una funcion continua f sea una biyeccion asegurala existencia de su inversa, pero no la continuidad de esta ultima, i.e., no podemos tener la certeza de que f sea una funcion abierta. Elteorema 10.8 muestra que bajo ciertas circunstancias, como en el casode los espacios compactos, todas las biyecciones continuas son funcionesabiertas.

En general compacidad y Hausdorff son una buena combinacion, dehecho forman una propiedad optima (realmente minimal, ejercicio 18).Una topologıa que es mas fina que una topologıa de Hausdorff es deHausdorff, mientras que una topologıa que es mas gruesa que unatopologıa compacta es a su vez compacta.

Teorema 10.8. Sean (X,T), (Y,H) espacios con X compacto y Y deHausdorff. Si f : X −→ Y es una biyeccion continua entonces f es unhomeomorfismo.

Demostracion. Solo nos resta verificar que f−1 es continua, i. e., f escerrada. Si C en un cerrado de X entonces C es compacto y por tantof(C) es compacto en Y , y como Y es Hausdorff, f(C) es ademas cerrado.

EJEMPLO 10.4

Un camino sobreyectivo f : [0, 1] −→ [0, 1]× [0, 1].

Estos caminos existen3 aunque la intuicion nos falle y se construyenmediante un proceso iterativo como en la figura 10.2— no puede serinyectivo, i.e., el camino pasa dos veces por el mismo punto, pues de locontrario serıa una biyeccion y por el teorema anterior un homeomorfis-mo, y ya sabemos que estos espacios no son homeomorfos.K

3Fue el matematico italiano Giuseppe Peano (Spinetta 1858–Turın 1932) el primeroen descubrir una de ellas, y se llaman desde entonces curvas de Peano. La famosa curvade Peano que llena el espacio aparecio en 1890 como un contraejemplo que uso paramostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una region arbitrariamentepequena. Este fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.

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NO


Figura 10.2: Construccion de una curva de Peano.

Ejercicios 10.1

1. Sean (X,T), (Y,H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff. Sif : X −→ Y es continua entonces f(A) = f(A) para todo A ⊆ X.

2. ¿Es la interseccion de espacios compactos un compacto?

Sugerencia: considere el espacio producto

X = (R, usual)× (0, 1, grosera).

Grafique los subespacios

a) A = [a, b]× 0 ⋃ (a, b)× 1,b) B = (a, b)× 0 ⋃ [a, b]× 1.

Como cada abierto que contiene al punto (a, 0) contiene al punto(a, 1), entonces A y B son compactos. Pero A∩B = (a, b)×0, 1no es un compacto ya que el intervalo (a, b) no lo es.

3. ¿Es la union de espacios compactos un compacto?

4. Muestre que ([0, 1), usual) no es compacto.

5. Considere a (0, 1) con la base (0, 1/n)n∈N. ¿Quien es la adheren-cia de (0, 1/2)? ¿Es (0, 1/2) compacto?

6. Muestre que en un espacio de Hausdorff, A es compacta si A lo es.

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162 Compacidad

7. Sea (X,T) un espacio 1-contable. X es de Hausdorff si y solo sicada subconjunto compacto es cerrado.

8. Sea X = ([0, 1), usual). Muestre que la funcion e : X −→ S1

definida por e(t) = (cos 2πt, sen 2πt) —la restriccion de la funcionexponencial— es una biyeccion continua que no es un homeomor-fismo.

9. Muestre que el conjunto [0, 1]×[0, 1] como subespacio de (R2, lexico)no es compacto.

10. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado con un primer ele-mento y dotado con la topologıa de colas ↑ x a derecha (filtros deorden principales). Muestre que X es compacto.

11. Sea (X,≤) un conjunto totalmente ordenado. La topologıa del or-den es compacta si y solo si X es un retıculo completo. Revise lademostracion del teorema 10.2.

12. Muestre que un espacio discreto es compacto si y solo si es finito.

13. Sean T1, T2 dos topologıas para X. Muestre que si T1 es compactay T2 ⊆ T1 entonces T2 es compacta.

14. Regularidad–compacidad local. Muestre que en un espacio Haus-dorff y compacto, dado x ∈ X y cualquier vecindad Vx, existe unavecindad abierta Ux tal que Ux ⊆ Ux ⊆ Vx.

15. No abundan los compactos. Si (X,T) es de Hausdorff y todos lossubconjuntos deX son compactos entonces la topologıa es discreta.

16. Sea (X,T) un espacio. La familia

Gcompacto := U ∈ G : U c es compacto ∪ ∅es una topologıa compacta para X.

17. Muestre que en un espacio metrico todo subconjunto compacto escerrado y acotado. ¿Se tiene la recıproca?

18. Muestre que compacto–Hausdorff es una propiedad minimal: siX es compacto y de Hausdorff con respecto a una topologıa T,entonces cualquier otra topologıa que sea estrictamente mas finaque T es de Hausdorff pero no compacta, mientras que toda otratopologıa mas gruesa que T es compacta pero no de Hausdorff.

Sugerencia: aplique el teorema 10.8 a la funcion identica de X.

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10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad 163

10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad

10.2.1. Compacidad vıa cerrados

Sean X un conjunto y A = Aii∈I , una familia de subconjuntos deX. A tiene la propiedad de la interseccion finita PIF si la intersec-cion de cualquier subfamilia finita de A es no vacıa, i. e., si para todoJ ⊆ I finito se tiene

⋂j∈J Aj 6= ∅. El siguiente teorema da una caracter-

izacion de la compacidad en terminos de los subconjuntos cerrados delespacio.

Teorema 10.9. Un espacio (X,T) es compacto si y solo si cada colec-cion C = Cii∈I de cerrados que posee la PIF satisface que ∩C 6= ∅.

Demostracion. ⇒) Para cada i ∈ I, sea Ui = X − Ci. Si⋂i∈I Ci = ∅

entonces⋃i∈I Ui = X y por tanto Uii∈I es un cubrimiento abierto de

X. ComoX es compacto existe Ui1 , Ui2 , . . . , Uin un subcubrimiento finito⋃nk=1 Uik = X y al tomar complementos en esta igualdad se contradice

la PIF para C.⇐) Si X no es compacto existe Uii∈I cubrimiento abierto que no se

puede reducir a uno finito. Sea Ci = X−Ui para cada i ∈ I. ClaramenteC = Cii∈I tiene la PIF pero ∩C = ∅, lo que contradice la hipotesis.

Corolario 10.10 (Encaje de Cantor). Sea (X,T) un espacio compacto.Si C = Ci, (i ∈ I) es una cadena descendente —encaje— de cerradosno vacıos entonces ∩C 6= ∅.

Demostracion. C satisface la PIF.

EJEMPLO 10.5

Ru no es compacto, ya que la familia de cerrados [z,∞)z∈R tiene laPIF, y sin embargo la interseccion de todos los elementos de esta familiaes vacıa.

La siguiente proposicion generaliza el clasico teorema de B. Bolzano4

dado en 1830 en el contexto de los numeros reales: cada subconjuntoinfinito y acotado de numeros reales tiene un punto de acumulacion.

4Matematico checo (1781 Praga-1848 Praga). Bolzano libero de manera exitosaal calculo del concepto de infinitesimal. Tambien dio ejemplos de funciones 1-1 entreelementos de un conjunto infinito y elementos de un subconjunto propio. Se adelanto a

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164 Compacidad

Proposicion 10.11 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto infinitode un espacio compacto X tiene un punto de acumulacion.

Demostracion. Si A es un subconjunto de X que no tiene puntos deacumulacion, veamos que A es finito. Como A no tiene puntos de acu-mulacion, entonces para todo x ∈ X existe Vx tal que Vx ∩ A = ∅o Vx ∩A = x en el caso que x ∈ A. La coleccion Vx, (x ∈ X) formaun cubrimiento abierto de X (compacto) el cual admite un subcubrim-iento finito Vx1 , . . . , Vx2 . Claramente A ⊆ ⋃n

i=1 Vxi = X y por tanto Atiene a lo mas x1, x2, . . . , xn puntos.

En un espacio compacto todo subconjunto que no tenga puntos deacumulacion es finito, i. e., todo se acumula excepto lo finito.

Si el espacio compacto es ademas de Hausdorff, el siguiente teoremada condiciones para su cardinalidad.

Teorema 10.12. Sea X un espacio compacto y de Hausdorff, con lapropiedad que cada uno de sus puntos es de acumulacion, i. e., no poseepuntos aislados. Entonces X es incontable.

Demostracion. Dado A = a1, a2, . . . ⊆ X mostremos que existe x ∈ Xtal que x /∈ A. Para encontrar tal x construiremos un encaje de cerradosno vacıos C1 ⊇ C2 ⊇ C3 ⊇ · · · con la propiedad que an /∈ Cn y como Xes compacto existe x ∈ ⋂∞n=1Cn.

Para la construccion de Cnn utilizamos de manera inductiva elsiguiente hecho: dados un abierto U 6= ∅ y b ∈ X, existe una vecindadW contenida en U y tal que b /∈W (b puede estar o no en U). En efecto,sea y ∈ U con y 6= b (si b ∈ U utilizamos que b es de acumulacion, sib /∈ U tomamos y ∈ U pues U 6= ∅). Como el espacio es de Hausdorff,existen vecindades V y

b ∩ V by = ∅; luego, Wy = V b

y ∩ U satisface b /∈W .

La construccion: sea X el primer abierto y escojamos W1 ⊆ X cona1 /∈ W1. Hagamos C1 = W1. Sea W2 ⊆ W1 con a2 /∈ W2 y C2 = W2.

los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de funcion continua yen la demostracion de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, yen la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado susescritos de analisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros cientıficos, o porpermanecer ineditos, como su importante Teorıa de Funciones, que aparecio en 1930,la influencia de sus ideas fue escasa. Definio lo que hoy se conoce como sucesiones decauchy.

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10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad 165

Continuamos este proceso escogiendo Wn+1 ⊆ Wn con an+1 /∈ Wn+1 yhacemos y Cn+1 = Wn+1. La interseccion

⋂∞n=1Cn nos proporciona el

punto x /∈ A.

Corolario 10.13. R es incontable.

10.2.2. Compacidad vıa filtros

Definicion 10.14. Sea F un filtro en el espacio (X,T). Un punto x ∈ Xes adherente al filtro si para toda Vx y todo F ∈ F se tiene Vx∩F 6= ∅.Es decir, V(x) ∩ F es una base de filtro.

Definimos F la adherencia del filtro como el conjunto de puntosque son adherentes al filtro; en particular

F =⋂F | F ∈ F.

Teorema 10.15. Un espacio X es compacto si y solo si cada filtro enX tiene un punto adherente.

Demostracion. ⇒) Sean X compacto, F un filtro en X y veamos que⋂F | F ∈ F 6= ∅. La coleccion C := F | F ∈ F posee la PIF, puesdada F1, F2, . . . , Fn una subfamilia finita de C

n⋂i=1

Fi ⊆n⋂i=1

Fi

y como F es un filtro tenemos⋂ni=1 Fi 6= ∅, con lo cual

⋂ni=1 Fi 6= ∅. Por

tanto ∩C 6= ∅ y ası F = ∩C 6= ∅.⇐) Para verificar que X es compacto tomemos una familia C de

cerrados con la PIF. C es una subbase de un filtro F pues el conjuntoM de todas las intersecciones finitas de elementos de C es una base defiltro ya que

1. La interseccion no vacıa de dos elementos de M contiene a unelemento de M.

2. M es no vacıo y el conjunto vacıo no es un elemento de M.

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166 Compacidad

Sea F el filtro generado por M, i. e.,

F := 〈M〉 = F ⊆ X : M ⊆ F, algun M ∈M.

Sabemos que F 6= ∅ y por tanto existe x ∈ X con x ∈ ⋂F | F ∈ F ycomo C ⊆ F tenemos⋂

F : F ∈ F ⊆⋂C : C ∈ C =

⋂C : C ∈ C,

pues cada C es cerrado. De tal manera que x ∈ ⋂C : C ∈ C.

EJEMPLO 10.6

(R, cofinitos) es compacto (vıa los filtros).

Sea F un filtro en R y supongamos que a ∈ R satisface que a /∈ F , i. e.,existen Va y F ∈ F para los cuales Va ∩ F = ∅. Luego F ⊆ X − Va ycomo la topologıa es la de los cofinitos F es un conjunto finito, digamosF = x1, x2, . . . , xn.Afirmamos que existe un ındice i ∈ 1, 2, . . . , n para el cual se satisfaceque el punto xi esta en todos los elementos del filtro, pues en caso con-trario existen F1, . . . , Fn ∈ F (uno por cada ındice) tales que xk /∈ Fk,(k = 1, . . . , n) y ası F ∩ (F1 ∩ . . . ∩ Fn) = ∅ lo cual no puede suceder.Para este ındice i se tiene entonces que xi ∈ F .

10.2.3. Compacidad vıa ultrafiltros

La compacidad tiene una definicion en terminos de los ultrafiltros.K

Teorema 10.16. Un espacio (X,T) es compacto si y solo si cada ultra-filtro en X es convergente.

Demostracion. ⇒) Sea U un ultrafiltro en X y supongamos que U no esconvergente; para cada x ∈ X existe Vx abierta tal que Vx /∈ U , y comoU es un ultrafiltro entonces V c

x ∈ U . Por supuesto Vx, (x ∈ X) es uncubrimiento abierto de X y por la compacidad lo podemos reducir a unsubcubrimiento finito Vx1 , Vx2 , · · · , Vxn . Ası, (

⋃ni=1 Vxi)

c =⋂ni=1 V

cxi

= ∅,con lo cual ∅ estarıa en U y esto no puede suceder.

⇐) Consideremos una familia C = Cii∈I de cerrados en X con laPIF y veamos que ∩C 6= ∅. C es una subbase de filtro, en el sentido que

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10.3 Producto de dos compactos 167

la coleccion de las intersecciones finitas de elementos de C forman unabase de filtro.

Sea U un ultrafiltro que contiene al filtro generado por esta subbase,〈C〉 ⊆ U . Como U es convergente, sea p ∈ X tal que U → p. Tenemosque p ∈ ∩C pues de lo contrario existe C ∈ C con p ∈ Cc, luego Cc ∈ Upor ser vecindad de p y tendrıamos que tanto C como Cc estan en U , locual no puede suceder.

EJEMPLO 10.7

(R, cofinitos) es compacto (vıa los ultrafiltros).

Sea U un ultrafiltro en R y veamos que el es convergente. Si U es principalentonces claramente es convergente. Si no es principal todos sus elemen-tos son infinitos, y por tanto dado un x y una vecindad Vx cualquiera setiene que Vx ∈ U pues de lo contrario V c

x ∈ U , pero sabemos que U nola admite por ser finita. Por tanto U converge a todo punto.

10.3. Producto de dos compactos

Teorema 10.17. Sean (X,T), (Y,H) dos espacios. La topologıa pro-ducto para X × Y es compacta si y solo si X y Y son compactos.

Demostracion. ⇒) Si X × Y es compacto, las proyecciones nos garanti-zan que tanto X como Y tambien son compactos.

G. RUBIA

NO

168 Compacidad

⇐) Sea O = Oi, (i ∈ I) un cubrimiento abierto de X × Y . Porcada (x, y) ∈ X×Y existen abiertos V y

x ⊆ X, V xy ⊆ Y tales que (x, y) ∈

V yx × V x

y ⊆ Oi para cada Oi que contenga a (x, y). Luego es suficientemostrar que los rectangulos basicos V y

x ×V xy construidos de esta manera

contienen una subfamilia finita que recubre a X × Y , ya que para cadaelemento de esta subfamilia tomamos uno de los Oi que lo contiene.

Dado y ∈ Y , consideremos la familia V yx x∈X , la cual es un cubrim-

iento abierto deX y por tanto existe un subcubrimiento V yx1 , V

yx2 , . . . , V

yxm

—m(y) es un entero que depende de y—. Por cada i = 1, . . . ,m(y) con-sideremos el respectivo V xi

y y construyamos Qy =⋂m(y)i=1 V xi

y una vecin-dad abierta de y. Notese que

V yx1×Qy, V y

x2×Qy, . . . , V y

xm(y)×Qy

es un cubrimiento abierto de X × Qy. Como este Qy fue construidopara un y dado, la familia Qyy∈Y es cubrimiento abierto de Y . SeaQy1 , . . . , Qyn un subcubrimiento finito; luego la familia

V ytxk×Qytt=1,2,...,n

k=1,2,...,m(yt)

es un cubrimiento abierto y finito de X × Y . Como Qy ⊆ V xky la familia

V yx × V x

y (x,y), (x, y) ∈ X × Y

admite un subcubrimiento finito.

¿Como caracterizar los subespacios en Rnu que son compactos?

Teorema 10.18. A ⊆ Rnu es compacto si y solo si A es cerrado y aco-

tado.

Demostracion. ⇒) Si A es compacto entonces A es cerrado. Para verque es acotado notemos que Bn(0), (n ∈ N) con 0 = (0, 0, . . . , 0) esun cubrimiento abierto de A. Como A es compacto, esta contenido en launion de un numero finito de estas bolas, pero esta union es precisamentela bola de radio m para m el mayor de los radios.

⇐) SiA es acotado lo podemos colocar dentro de un cubo n–dimensional,i. e., existe un t ∈ N tal que

A ⊆ [−t, t]× [−t, t]× · · · × [−t, t] —n copias de [−t, t]—y como cada [−t, t] es compacto, tenemos que A es un cerrado contenidoen un compacto, luego A es compacto.

G. RUBIA

NO

10.3 Producto de dos compactos 169

EJEMPLO 10.8

Los subconjuntos de matrices On y SOn (ejemplo 2.8) son compactospor ser subconjuntos cerrados y acotados de Rn2

, mientras que GLn nolo es pues se trata de un subconjunto abierto; tampoco es conexo porcuanto es la union disyunta de los abiertos formados por las matricescon determinante positivo y negativo respectivamente.

EJEMPLO 10.9

El toro T y la cinta de Mobius son compactos por ser cerrados y aco-tados. Note que T tiene una representacion en R3 que equivale a pegaren cada punto de S1 al mismo S1 algo mas reducido, luego lo podemosver como el producto S1 × S1 de dos compactos.

EJEMPLO 10.10

Una funcion numerica y continua sobre un espacio compacto es acotaday tiene valores tanto maximo como mınimo.

En otras palabras, si X es compacto y f : X −→ Ru es continua, en-tonces existen a, b ∈ X tales que f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) para todo x ∈ X.Esto es consecuencia directa del hecho que el conjunto f(X) ⊆ R escerrado y acotado.

Proposicion 10.19. Sean (X,T), (Y,H) espacios topologicos con Ycompacto. Si M ⊆ X × Y es un cerrado entonces la proyeccion pX(M)es un cerrado en X —la funcion proyeccion pX es cerrada—.

Demostracion. Veamos que el complemento de pX(M) es un conjuntoabierto. Si a /∈ PX(M) entonces a × Y ⊆ M c. Por cada (a, y) existeun abierto basico V y

a ×V ay ⊆M c. La coleccion V a

y , (y ∈ Y ) cubre a Yy la reducimos a una finita V a

yini=1; entonces Va =

⋂ni=1 V yi

a satisfaceVa ∩ PX(M) = ∅ y ası Va ⊆ PX(M)c.

EJEMPLO 10.11

En la proposicion 10.19, si Y no es compacto pX(M) no necesariamentees cerrado; por ejemplo, si M = grafo(f) ⊆ R2

u y f(x) = 1/x.

G. RUBIA

NO

170 Compacidad

Proposicion 10.20 (Wallace). Sea A × B un subespacio compacto deun espacio producto X × Y . El conjunto

V1 × V2 : V1 ∈ V(A), V2 ∈ V(B)es un sistema fundamental de vecindades del conjunto A×B.

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!! !

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A"BW

U " V

B

A" y

A

V

U

Demostracion. Sea W un abierto con A × B ⊆ W . Por cada (x, y) ∈A×B existe Uyx×V x

y ⊆W . La coleccion Uyx, (x ∈ A) es un cubrimientode A × y el cual reducimos a uno finito Uyxini=1; consideremos lavecindad Vy =

⋂ni=1 V

xiy .

Para los abiertos Uy =⋃ni=1 U

yxi y Vy tenemos que A×y ⊆ Uy×Vy,

luego la coleccion Vy, (y ∈ B) es un cubrimiento abierto de B el cualpodemos reducir a uno finito Vy1 , . . . , Vym ; de suerte que U =

⋂ni=1 V

yi ,V =

⋃ni=1 Vyi satisfacen A×B ⊆ U × V ⊆W .

EJEMPLO 10.12

Si A, o B no son compactos, laproposicion 10.20 deja de ser ver-dad; por ejemplo, en (R2, usual)considere el subconjunto [1,∞) ×[1, 2]. El abierto W es asintotico aA × B y por tanto no podemos en-contrar U × V ⊆W .

G. RUBIA

NO

10.4 Teorema de Tychonoff 171

Corolario 10.21 (Teorema del tubo). Considere el espacio productoX × Y , donde Y es compacto. Si W es un abierto que contiene a lafibra x0 × Y entonces W contiene un tubo Vx0 × Y .

Demostracion. x0 × Y es un compacto en el espacio X × Y .

Ejercicios 10.3

1. Muestre que la caracterizacion en el teorema 10.18 no se puedeextender a los espacios metricos en general.

2. La distancia o metrica de Hausdorff mide cuan lejos estan unode otro dos subconjuntos compactos de un espacio metrico.

Sea (X, d) un espacio metrico. En

H = A ⊆ X | A es compactodefinimos la distancia entre dos conjuntos como

dH(A,B) := maxd(A,B), d(B,A)donde

d(a,B) := ınfd(a, b) : b ∈ Bd(A,B) := maxd(a,B) : a ∈ A.

Muestre que dH es una metrica para H conocida como metricao distancia de Hausdorff . En general d(A,B) 6= d(B,A) —en

R2u considere dos discos, fig. 10.3—. Es la maxima distancia de un

conjunto al punto mas cercano en el otro conjunto.

3. Sean X,Y espacios de Hausdorff con Y compacto. f : X −→ Y escontinua si y solo si grafo(f) es cerrado en X × Y .

10.4. Teorema de Tychonoff

Los siguientes parrafos estan encaminados a demostrar el resultadoque A. Tychonoff presento en 1930, el cual ha sido descrito algunas veces

G. RUBIA

NO

172 Compacidad

A B

d(B, A)

d(A, B)

Figura 10.3: Distancias d(A,B) 6= d(B,A) entre dos discos A y B.

como el resultado —individualmente— mas importante de la topologıageneral. Lo que sı es cierto sin ninguna duda, es que es uno de los mediosmas poderosos para garantizar la compacidad de ciertos espacios clasicosdel Analisis, ya que asegura la compacidad para el producto arbitrariode espacios compactos5.

Figura 10.4: ....

5J. L. Kelley mostro en 1950 que el teorema de Tychonoff es equivalente al axiomade eleccion; no es de extranar ası que toda demostracion de este teorema involucre alLema de Zorn o alguna otra forma equivalente al axioma de eleccion.

G. RUBIA

NO

10.4 Teorema de Tychonoff 173

Ya vimos como caracterizar la convergencia de una sucesion en unespacio producto en terminos de la convergencia de las proyecciones.Veamos ahora como caracterizar la convergencia para los filtros.

Lema 10.22. Sean X =∏i∈I Xi un espacio con la topologıa producto,

x = (xi) un punto en X y F un filtro en X. F → x si y solo si paracada i ∈ I el filtro —dado por la proyeccion— pi(F)→ xi en Xi.

Demostracion. ⇒) Como pi es continua y F → x entonces pi(F)→ xi.

⇐) Consideremos Vx ⊆ X una vecindad de x. No perdemos general-idad si suponemos que Vx es un abierto basico:

Vx = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×∏

Xi, i 6= i1, . . . , in.

Luego pik(Vx) = Uik es una vecindad de xik puesto que las proyeccionesson abiertas. Como pik(F) → xik , pik(Vx) ∈ pik(F), y por tanto existeF ∈ F tal que pik(F ) ⊆ pik(Vx), luego F ⊆ Uik ×

∏i 6=ik Xi. Por ser F

un filtro tenemos que Uik ×∏i 6=ik Xi esta en F para cada k = 1, . . . , n.

Por tanto, la interseccion finita

n⋂k=1

(Uik ×∏i 6=ik

Xi) = Vx ∈ F

lo que significa F → x.

Teorema 10.23 (Tychonoff 6). Sea X =∏i∈I Xi un espacio con la

topologıa producto. Entonces X es compacto si y solo si cada espaciocoordenado Xi es compacto.

Demostracion. ⇒) Si X es compacto, por ser cada proyeccion pi con-tinua tenemos que cada Xi es compacto.

⇐) Veamos que cada ultrafiltro U de X es convergente. Ya que lasproyecciones son sobreyectivas, por cada i ∈ I, pi(U) es un ultrafiltroen Xi y como cada Xi es compacto, pi(U)→ xi para algun xi ∈ Xi. Porel lema 10.22, U converge al punto x = (xi), (i ∈ I) de X.

6El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien en 1930 lodemostro para el producto del intervalo unidad [0, 1] y en 1935 lo enuncio de maneramas general pero anotando que la demostracion en este caso discurrıa como en el casoanterior. La primera demostracion publicada se debe a Eduard Cech en un artıculode 1937.

G. RUBIA

NO

174 Compacidad

La prueba del teorema de Tychonoff que hemos presentado es, porsupuesto, diferente a la original, la cual en su tiempo no contaba conlas herramientas de los filtros —concepto que fue introducido paraestudiar la convergencia—, lo que hoy la hace tan sencilla.

Es posible encontrar al menos otras diez demostraciones diferentes deeste teorema, una de ellas en terminos de subbases, Lema de Alexander,y otra en terminos de la teorıa de convergencia de redes. Parece queel teorema de Tychonoff marchara en contra del sentido comun, puescompacidad es una propiedad de ‘finitud’ (cubrimientos abiertos finitos)y no se esperarıa que una construccion involucrando infinitud de espacioscompactos fuese de nuevo compacta.

EJEMPLO 10.13

El cubo IN =∏i∈N[0, 1]i es compacto si lo dotamos de la topologıa

producto.

EJEMPLO 10.14

Sean (0, 1, Sierpinski) y (X,T) un espacio topologico cualquiera.Consideremos el espacio producto

σ(X) =∏U∈T

0, 1U con 0, 1U = 0, 1 para cada U ∈ T.

σ(X) con la topologıa producto es compacto. Ahora definamos la funcion : X −→ σ(X) como x 7→ x(U), donde x(U) = 0 si x ∈ U o x(U) = 1si x /∈ U . Claramente es continua ya que ası lo son las funcionesproyeccion

(pU )−1(0) = x ∈ X : x(U) = 0 = x : x ∈ U = U ;

o mas aun, ya que X tiene la topologıa inicial dada por . Ademas esabierta pues

U = x : x ∈ U = x : xU = 0 = p−1U (0) ∩ X.

En caso que X sea T0 tenemos que es inyectiva y por tanto un home-omorfismo sobre X, i. e.,

X ≈ X ⊆∏U∈T

0, 1U .

G. RUBIA

NO

10.5 Compacidad y sucesiones 175

10.5. Compacidad y sucesiones

Historicamente la primera nocion de ‘compacidad’ se dio en terminosde la convergencia de sucesiones. Esta propiedad no implica ni es impli-cada por la nocion de compacidad que hemos definido en terminos decubrimientos abiertos. Veremos que esta nocion de compacidad es masfuerte que la compacidad contable pero resultan ser equivalentes en laclase de los espacios 1-contable.

Definicion 10.24. Un espacio (X,T) se dice compacto por suce-siones si cada sucesion en X contiene una subsucesion convergente.

EJEMPLO 10.15

1. Todo subconjunto finito de un espacio es compacto por sucesiones(la topologıa de subespacio).

2. Ru no es compacto por sucesiones y tampoco lo es el espacio(R, coenumerables). En ambos casos la sucesion (xn) = N no ad-mite ninguna subsucesion convergente.

Los conceptos de compacto y compacto por sucesiones no son equiva-lentes. En general existen espacios compactos que no son compactos porsucesiones y viceversa, aunque como veremos unas lıneas adelante, losejemplos son mas bien esotericos. Claro esta que en el contexto de losespacios metricos estos conceptos son equivalentes (seccion 10.6).

La compacidad por sucesiones es preservada por la continuidad; deaquı que sea un invariante topologico.

Proposicion 10.25. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcion continua ysobre. Si X es compacto por sucesiones, tambien lo es Y .

Demostracion. Sea (yn) una sucesion en f(X). Definimos (xn) en Xtomando xn ∈ f−1(yn). Como X es compacto por sucesiones, existe unasubsucesion (xnk

) y x0 ∈ X tal que xnk→ x0. Por ser f continua, en

particular es secuencialmente continua y ası yn → f(x0).

G. RUBIA

NO

176 Compacidad

Una forma de compacidad mas debil que la compacidad usual y la com-pacidad por sucesiones es exigir tan solo que los cubrimientos abiertosque deben tener subcubrimientos finitos sean los cubrimientos con-tables. Esta compacidad contable posee muchas de las propiedadestopologicas que posee la compacidad; mas aun, en el contexto de losespacios metrizables o aun en espacios de Lindeloff ellas son equiva-lentes.

Definicion 10.26. Un espacio (X,T) se dice compacto contable-mente o ω–compacto si cada cubrimiento abierto y enumerable de Xadmite un subcubrimiento finito.

Si recordamos que un espacio es de Lindelof si cada cubrimientoabierto admite un subcubrimiento enumerable, entonces los espacioscompactos son los que son tanto de Lindelof como ω–compacto

La diferencia entre compacidad secuencial y compacidad contable estan fina que practicamente se necesita la opinion de un experto. Veamosla implicacion de una de ellas sobre la otra y posteriormente en 10.16un refinado contraejemplo para la otra implicacion.

El corolario 10.32 muestra que en el marco de los espacios 1–contable los dos conceptos son equivalentes.

Teorema 10.27. Si (X,T) es un espacio compacto por sucesiones en-tonces X es compacto contablemente.

Demostracion. Si X no es contablemente compacto existe un cubrim-iento abierto U = U1, U2, . . . con la propiedad que no se puede reducira un subcubrimiento finito, i. e., para cada n ∈ N existe xn ∈ (

⋃ni=1 Ui)

c.Sea (xnk

) una subsucesion convergente de (xn) y sea x el punto de con-vergencia. Tomemos Uj ∈ U tal que x ∈ Uj . Para m > j sabemosque xm ∈ (

⋃mi=1 Ui)

c =⋂mi=1 U

ci luego xm ∈ U cj . Ası que, para todos

los elementos xnkcon nk > j se tiene xnk

/∈ Uj , lo cual contradice laconvergencia de la subsucesion.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 10.16

El cubo X = [0, 1][0,1] es un espacio compacto y por tanto contablementecompacto, pero no es compacto por sucesiones.

X no es compacto por sucesiones —miramos a X como el conjunto detodas las funciones de I = [0, 1] en I—. Definimos una sucesion de fun-ciones (αn)n∈N con αn ∈ X de la manera siguiente: dado x ∈ I, αn(x) esel n-esimo dıgito en la expansion binaria de x. (αn)n∈N no tiene ningunasubsucesion convergente; en efecto, si (αnk

)nk∈N es una subsucesion queconverge al punto α ∈ X, entonces para cada x ∈ I, αnk

(x) → α(x)—recordemos que la convergencia en la topologıa producto para X espuntual—. Sea t ∈ I con la propiedad que αnk

(t) = 0 si nk es impar,αnk

(t) = 1 si nk es par. La sucesion (αnk(t)) = 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . no

puede converger.En el ejemplo 8.4 mostramos que no es 1-contable.

EJEMPLO 10.17

(R, cofinitos) es contablemente compacto y ademas compacto por suce-siones.

EJEMPLO 10.18

(R, coenumerables) no es compacto por sucesiones.

El siguiente ejemplo muestra que en general, la propiedad de ser con-tablemente compacto no se hereda a los subespacios.

EJEMPLO 10.19

[0, 1] con la topologıa usual es compacto; luego en particular es contable-mente compacto. Pero (0, 1) ⊆ [0, 1] no es contablemente compacto, yaque el cubrimiento abierto (0, 1 − 1/2n), (n ∈ N) no admite algunsubcubrimiento finito.

En caso que el subespacio sea cerrado, el lector debe verificar que lapropiedad sı se hereda.Tambien se debe mostrar que ser contablemente K

compacto es un invariante por medio de las funciones continuas.

Con la ayuda del siguiente concepto, mas debil que el concepto depunto lımite, podemos obtener una forma equivalente a la definicion decompacidad contable; ver teorema 10.29.

G. RUBIA

NO

178 Compacidad

Definicion 10.28. Sean (X,T) un espacio y (xn) una sucesion en X.Decimos que x ∈ X es un punto adherido, de adherencia o de acu-mulacion de la sucesion (xn)n∈N si toda Vx tiene infinitos terminosde la sucesion.

Si una sucesion (xn) tiene una subsucesion convergente entonces tieneun punto adherido. Pero el hecho de que la sucesion posea un puntode clausura no significa que posea una subsucesion convergente, comolo muestra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 10.20

El espacio X = (N×N)∪(0, 0) de Arens-Fort posee una sucesion quetiene un punto de clausura y no tiene una subsucesion convergente.

Observemos que el conjunto X−(0, 0) es enumerable, i. e., existe unabiyeccion f : N −→ X−(0, 0). f es una sucesion que tiene a (0, 0) comopunto de clausura ya que toda vecindad de este punto tiene infinitosterminos de la sucesion, pero ninguna subsucesion es convergente a (0, 0)pues ya hemos visto que este espacio es de convergencia trivial.

Por supuesto que en los espacios metricos no tendrıamos este proble-ma. Mas aun, en los espacios 1–contables tampoco lo tenemos; si x es unpunto de acumulacion de (xn) y B1, B2, . . . es una base local encajadapara x, por cada k ∈ N podemos encontrar nk ≥ k tal que xnk

∈ Bk yla subsucesion xnk

→ x.

EJEMPLO 10.21

Dados (X,T) un espacio y una sucesion (xn) en X, un punto x es unpunto de clausura para la sucesion si y solo si x es adherente al filtroasociado a la sucesion.

EJEMPLO 10.22

En Ru, 0 es un punto de clausura para la sucesion 0, 1, 0, 1 . . ..

Teorema 10.29. (X,T) es un espacio contablemente compacto si y solosi cada sucesion tiene un punto adherido en X.

Demostracion. ⇒) Sea (an) una sucesion en X que no tiene un puntode adherencia, es decir, para cada x ∈ X existen una vecindad abierta

G. RUBIA

NO


Wx y un N ∈ N tales que Wx ∩ aN+1, aN+2, . . . = ∅. Por cada n ∈ Ndefinimos

Un =⋃Wx : Wx ∩ an+1, an+2, . . . = ∅, x ∈ X.

Cada Un es un conjunto abierto y la coleccion Un, (n ∈ N) es uncubrimiento abierto de X que no admite un subcubrimientro finito, o delo contrario para X = Ui1 ∪ . . . ∪ Uim y m = maxi1, . . . , im se tieneque Um solamente puede tener finitos terminos de la sucesion que estenantes de am+1 y ası am+2 no pertenece al subcubrimiento finito; luegoX no serıa contablemente compacto.

⇐) Si X no fuera contablemente compacto, existe un cubrimientoabierto Un, (n ∈ N) que no admite un subcubrimiento finito. Por cadan ∈ N, el conjunto X − ⋃n

i=1 Ui 6= ∅. Sea x1 ∈ X − U1. Definimos Un1

como el primer Ui donde x1 esta. Ahora tomemos x2 ∈ X − ⋃n1i=1 Ui.

Supongamos que xk ha sido escogido y xk ∈ Unk; escogemos xk+1 ∈

X−⋃nki=1 Ui. Con estas definiciones, la sucesion (xk) de infinitos terminos

diferentes debe poseer un punto x adherente a la sucesion y ademasx ∈ Un para algun n ∈ N. Pero si N ∈ N es suficientemente grande,digamos N > n, tenemos que xk /∈ Un para k > N . Luego Un ∈ V(x)y contiene tan solo finitos terminos de la sucesion, es decir, x no es unpunto de clausura.

La siguiente nocion de punto de ω-acumulacion para un subconjuntoA —una clase particular de punto de acumulacion— fue introducida porHausdorff.

Definicion 10.30. Dado A ⊆ (X,T), decimos que a ∈ X es un puntode ω-acumulacion para A y notamos Aaω si para toda vecindad Va setiene que Va ∩A es un conjunto infinito. Notese que Aaω ⊆ Aa.

EJEMPLO 10.23

En un espacio compacto X todo subconjunto infinito A ⊆ X posee almenos un punto de ω-acumulacion. Pues de lo contrario, por cada x ∈ Xpodemos encontrar una Vx abierta con Vx ∩ A finito; esta coleccion devecindades forma un recubrimiento abierto el cual reducimos a uno finitoVx1 . . . Vxn . Por tanto

A = A ∩X = A ∩ (∪nk=1Vxk) = ∪nk=1(A ∩ Vxk

)

serıa finito.

G. RUBIA

NO

180 Compacidad

Corolario 10.31. Un espacio (X,T) es compacto contablemente si ysolo si para cada A subconjunto infinito se tiene Aaω 6= ∅.

Demostracion. ⇒) Sea A ⊆ X infinito que no admite un punto de ω-acumulacion. Una sucesion (an) en A de terminos diferentes, no tieneun punto adherido o de lo contrario A lo tendrıa.

⇐) Aplicamos literalmente el teorema 10.29.

EJEMPLO 10.24

En N consideremos la topologıa generada por la base

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . ..

En este espacio todo A ⊆ N posee un punto de acumulacion; pero,por ejemplo, los numeros pares no poseen un punto de ω-acumulacion.Note que este espacio no es compacto por sucesiones, ya que la sucesion1, 2, 3, 4, . . . no contiene ninguna subsucesion convergente y tampocoadmite un punto de clausura. Finalmente este espacio no es contable-mente compacto, pues la base misma es un cubrimiento abierto que noadmite un subcubrimiento finito.

Corolario 10.32. En un espacio 1-contable, los conceptos de compaci-dad contable y compacidad por sucesiones coinciden.

Demostracion. ⇒) Sea (xn) una sucesion en X. Si A = xn : n ∈ N esfinito existe una subsucesion constante convergente. Si A es infinito, porel corolario 10.31 existe un punto a de ω-acumulacion, y al consideraruna base encajada obtenemos una subsucesion convergente al punto a.

⇐) Como en el teorema 10.29.

Ejercicios 10.5

1. Muestre que la compacidad por sucesiones es cerrada-hereditaria,i. e., se hereda a los subespacios cerrados.

2. Si un espacio 1–contable es compacto, entonces es compacto porsucesiones.

G. RUBIA

NO

10.6 Compacidad para metricos 181

3. Muestre que la compacidad contable se hereda a los subespacioscerrados.

4. Muestre que el producto de dos espacios compactos por sucesioneses de nuevo compacto por sucesiones.

5. Muestre que la compacidad contable es un invariante topologico.

6. De un ejemplo donde Aaω = Aa.

7. Muestre que en un espacio 2-contable los conceptos de compacidad,compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes.

8. Estudie los conceptos de compacidad para la lınea de Khalinskydel ejemplo 1.14 (pagina 10).

10.6. Compacidad para metricos

El estudio de la compacidad en los espacios metricos se facilita dadoel gran numero de formas equivalentes a las cuales se puede recurrir yque no se dan para los espacios en general. No olvidemos que el conceptoprimario de compacidad viene del estudio de espacios de funciones desubespacios de Rn en Rm.

El proposito principal de esta seccion es mostrar que en los espaciosmetricos los conceptos de compacidad, compacidad contable, compaci-dad por sucesiones y la propiedad B-W son equivalentes.

Definicion 10.33. Un espacio metrico (X, d) se dice totalmente aco-tado si dado ε > 0 existe un subconjunto finito F = x1, x2, . . . , xn—dependiendo de ε— llamado ε-red tal que X =

⋃ni=1Bε(xi), (xi ∈ F ).

Lo de ε-red se justifica porque dado x ∈ X tenemos d(x, F ) < ε; esto es,una bola de radio ε no pasa sin tocar a F .

Como el concepto de totalmente acotado depende de la funcion me-trica, es de esperarse que no sea una propiedad topologica. En efecto(0, 1) y (1,→) son homeomorfos por medio de f(x) := 1/x, pero elsegundo espacio no es totalmente acotado. ¿por que?

El concepto de totalmente acotado implica el de acotado para losespacios metricos en general; pero no todo espacio metrico acotado esnecesariamente totalmente acotado.

G. RUBIA

NO

182 Compacidad

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(1, 1)

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Figura 10.5: Un disco es totalmente acotado.

EJEMPLO 10.25

R con la metrica d′(x, y) = ınf1, |x − y| no admite una ε-red finitapara ε < 1. En el caso de (Rn, usual) estos dos conceptos coinciden.

La compacidad por sucesiones en los espacios metricos, se relaciona conla propiedad de totalmente acotado de acuerdo con el siguiente teorema.

Teorema 10.34. Todo espacio metrico (X, d) compacto por sucesioneses totalmente acotado.

Demostracion. Si X no es totalmente acotado, existe un ε > 0 para elcual no existe ninguna ε-red finita. Construimos de manera inductiva unasucesion que no admite una subsucesion convergente. Sea x1 ∈ X, comox1 no es ε-red, existe x2 con d(x1, x2) ≥ ε. Supongamos que hemosconstruido x1, x2, . . . , xn en X con la propiedad que d(xi, xj) ≥ ε paratodo i, j ≤ n, (i 6= j). Como x1, x2, . . . , xn no es una ε-red existe xn+1

con d(xi, xn+1) ≥ ε, (i = 1, . . . , n). Es claro que la sucesion (xn) noadmite una subsucesion convergente.

Corolario 10.35. Todo espacio metrico (X, d) compacto por sucesioneses 2-contable y separable.

Demostracion. Como X es totalmente acotado, para cada n existe unafamilia de bolas abiertas B1/n(xn1), . . . , B1/n(xnk

) que cubre a X, dondeFn = xn1 , . . . , xnk

es una 1n–red. La coleccion de todas estas bolas nos

G. RUBIA

NO

10.6 Compacidad para metricos 183

produce una base enumerable para X y la reunion D :=⋃n=1 Fn nos da

un subconjunto enumerable y denso en (X, d).

Para el caso de los espacios metricos ya tenıamos otra manera decaracterizar la compacidad contable.

Corolario 10.36. Sea (X, d) un espacio metrico. X es contablementecompacto si y solo si es compacto por sucesiones.

Demostracion. Por el corolario 10.32.

Teorema 10.37. Todo espacio metrico (X, d) compacto es 2-contable.

Demostracion. Para cada (n ∈ N) la coleccion Bn = B1/n(x) : x ∈ Xes un cubrimiento abierto el cual se puede reducir a uno finito An ⊆Bn. La coleccion A :=

⋃n=1An es contable. Dado un abierto U y x ∈

U tomemos Bε(x) ⊆ U y consideremos n tal que 1/n < ε/4. ExisteB1/n(y) ∈ An con x ∈ B1/n(y). Veamos que B1/n(y) ⊆ Bε(x). Si t ∈B1/n(y) entonces

d(t, x) ≤ d(t, y) + d(y, x) ≤ 1/n+ 1/n < ε/4 + ε/4 = ε.

Numero de Lebesgue

Dado un cubrimiento abierto Uαα de un espacio metrico, el numerode Lebesgue para este cubrimiento es un numero ε > 0 tal que cadabola Bε(x) en X esta contenida en al menos un conjunto Uα del cubrim-iento. Este numero depende del cubrimiento que se tome y nos informaque un cubrimiento no puede tener todos sus elementos por debajo decierto diametro.

El siguiente teorema nos garantiza la existencia del numero de Lebesguepara los espacios metricos compactos.

Teorema 10.38. Sea U un cubrimiento abierto del espacio metrico(X, d) donde X es compacto por sucesiones. Entonces existe un δ > 0—δ es el numero de Lebesgue— tal que para cada x ∈ X existeU ∈ U con la propiedad que Bδ(x) ⊆ U . Decimos que el cubrimientoBδ(x)x∈X es mas fino que U .

G. RUBIA

NO

184 Compacidad

Demostracion. Razonando por contradiccion, supongamos que para Uno existe tal numero; es decir, por cada n ∈ N existe xn tal que B1/n(xn)no esta contenida en ningun miembro de U . Como X es compacto porsucesiones, la sucesion (xn) tiene un punto adherido x. Sea U ∈ U conx ∈ U . Tomemos r = d(x, U c), ası r > 0 y escogemos N ∈ N el cualsatisfaga simultaneamente que d(xN , x) < r/2 y 4/N < r. Con estascondiciones B1/N (xN ) ⊆ U ya que si d(y, xN ) < 1/N entonces y ∈ Upuesto que

d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y) ≤ r/2 + 1/N < r/2 + r/4 < r

y esto finalmente contradice la manera como escogimos a xN .

Con el anterior teorema podemos probar la equivalencia entre lasdiferentes definiciones de compacidad, cuando nos restringimos a la cat-egorıa de los espacios metricos.

Corolario 10.39. Sea (X, d) un espacio metrico. X es compacto si ysolo si X es compacto por sucesiones.

Demostracion. ⇒) Si X es compacto, entonces lo es contablemente com-pacto y ası, es compacto por sucesiones.

⇐) Si X es compacto por sucesiones, dado un cubrimiento U abier-to de X, sea δ el numero de Lebesgue. Al ser X totalmente acotadotomamos una δ-red =x1, x2, . . . , xn y por cada Bδ(xi) escogemos unUi ∈ U tal que Bδ(xi) ⊆ Ui. Luego U1, U2, . . . , Un es un subcubrim-iento finito de U .

Corolario 10.40 (Continuidad para compactos). Una funcion continuaf : (X, d) −→ (Y,m) de un espacio metrico compacto X a un espaciometrico Y es continua uniformemente.

Demostracion. Dado ε > 0, la coleccion Bε/2(y)y∈Y es un cubrimien-to abierto de Y y por tanto f−1(Bε/2(y))y∈Y lo es para X. Si δ esel numero de Lebesgue asociado a este cubrimiento, cada bola Bδ(x)satisface f(Bδ(x)) ⊆ Bε/2(y) para alguna bola Bε/2(y). Por tanto, sid(x, a) < δ entonces

m(f(x), f(a)) ≤ m(f(x), y) +m(y, f(a)) < ε/2 + ε/2 = ε.

G. RUBIA

NO

10.7 Ordinales como ejemplo 185

Ejercicios 10.6

1. Muestre que en un espacio metrico los conceptos de compacidad,compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes.

2. Muestre que en un espacio metrico los conceptos de separable,2-contable y Lindeloff son equivalentes.

3. Muestre que un espacio metrico compacto es Lindeloff y por tantoes 2-contable y separable.

4. Muestre que todo cerrado de un espacio Lindeloff es de nuevoLindeloff.

5. Muestre que un espacio metrico (X, d) es separable si y solo si dadoε > 0 existe D ⊆ X, D contable tal que X =

⋃Bε(d), (d ∈ D).

6. Sea (X,T) un espacio compacto. Dada una sucesion (xn) con ununico punto de clausura, muestre que ella converge a este punto.

7. Sea A ⊂ (X, d). A es totalmente acotado si y solo si A lo es.

8. Si U es un cubrimiento abierto del espacio metrico (X, d), el numeroδ de Lebesgue para U satisface: para cada A ⊆ X con diam(A) < δexiste un elemento del cubrimiento que contiene a A.

9. Muestre que toda funcion continua de un espacio compacto en unespacio metrico es acotada.

10.7. Ordinales como ejemplo

Los numeros ordinales son la consecuencia inmediata al conceptode conjunto bien ordenado —conjuntos totalmente ordenados en loscuales cada subconjunto no vacıo tiene un primer elemento— adjudican-do a cada conjunto bien ordenado un numero ordinal; dos conjuntosA,B bien ordenados tienen el mismo numero ordinal, i. e., son equiva-lentes, si son isomorficamente ordenados, es decir, existe un isomorfismof en su categorıa: f : A −→ B biyectiva y a ≤ b si y solo si f(a) ≤ f(b).

Usualmente se utilizan las letras griegas minusculas α, β, γ, . . . paradenotar los numeros ordinales y la letra O para denotar la coleccion

G. RUBIA

NO

186 Compacidad

Figura 10.6: Numeros ordinales.

total. Introducimos un orden en O de la manera siguiente. Sean α, βnumeros ordinales y A,B conjuntos bien ordenados que los representan;escribimos α β si A es isomorfo con un ideal7 I en B. Este ordensobre O es total y ademas cualquier subconjunto de O es bien ordenado.

El conjunto de los numeros ordinales es util en la construccion deejemplos en topologıa. O es no contable y bien ordenado por . Elconjunto (O,) contiene un elemento Ω con la siguiente propiedad: siα ∈ O y α ≺ Ω entonces β | β α es contable. Ω se llama primerordinal no contable. Por ω denotamos el primer elemento en O conla propiedad que el conjunto α | α ≺ ω es contable pero no finito; ωes llamado primer ordinal infinito.

Los numeros ordinales pueden representarse como

O = 0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, . . . , 3ω, . . .

. . . , ω2, ω2 + 1, . . . , ω3, . . . , ω4, . . . , ωω, ωω + 1, . . . ,Ω, . . .7Recordemos que I ⊆ B es un ideal si dados x, y ∈ B con x ∈ I, y ≤ x implica

y ∈ I; es decir, para cualquier elemento y ∈ I se tiene ↓ y ⊆ I (todos los precedentesa el tambien pertenecen a I).

G. RUBIA

NO


Las notaciones se deben a G. Cantor pues fue el quien nos enseno acontar.

Note que ω, ω + 1 son ordinales contables —es decir, su cardinalidades la misma de N—; ademas ω = 0, 1, 2, . . . es diferente de

ω + 1 = ω ∪ ω = 0, 1, 2, . . . , ω

ya que el primero no tiene un ultimo elemento, mientrasque el segundosı.

En general llamamos a un numero ordinal un ordinal lımite sino tiene un predecesor8 inmediato. ω es el primer ordinal lımite, el se-gundo ordinal lımite es 2ω = 0, 1, . . . , ω, ω + 1, . . . Ası tambien lo son3ω, . . . , ω2, . . . , ω3, .. y llegamos a ωω donde su cardinal no es NN=c, ¡eltodavıa es un ordinal contable —insomnio—! Si un numero ordinal no

es lımite lo llamamos ordinal sucesor.

Existe un significado natural para ωωω, . . . y al final de esta hilera

arribamos a un ordinal el cual Cantor llamo ξ. ¡Este es todavıa un ordinalcontable! Ahora aparece Ω, el primer ordinal no contable.

Finalmente, y como curiosidad, sea

R = x | x es un numero ordinal.R es un numero ordinal y R no es un conjunto; de paso, R es el uniconumero ordinal que no es un conjunto.

La siguiente propiedad de los numeros ordinales nos sera util. K

Proposicion 10.41. Si A ⊆ O es contable y Ω /∈ A entoncessupA ≺ Ω.

Demostracion. Sea X = β | β α, para algun α ∈ A; es decir, Xesta formado por los elementos de A o cualquier elemento de O quepreceda alguno de A. X es contable ya que por cada α ∈ A el conjuntode sus predecesores es contable. Como O es bien ordenado, existe unprimer elemento µ de Xc. Ası µ es una cota superior para X y ademases la menor de las cotas superiores. Por otra parte, δ | δ µ escontable ya que si δ µ entonces δ ∈ X. Por tanto µ no puede ser Ω;es decir, supA ≺ µ ≺ Ω.

8Una justificacion para este nombre es que un ordinal lımite es en efecto un lımiteen el sentido topologico de todos sus ordinales mas pequenos (respecto a la topologıadel orden).

G. RUBIA

NO

188 Compacidad

En lo que sigue, los conjuntos Ω = [0,Ω) y Ω+1 = [0,Ω] son dotadosde la topologıa del orden para la relacion de orden inducida.

Proposicion 10.42. [0,Ω] es compacto.

Demostracion. Esto es consecuencia de que [0,Ω] es completo, es decir,cada subconjunto no vacıo posee tanto sup como inf —completez—. Enefecto, dado U un cubrimiento abierto de [0,Ω], sea A el subconjuntoformado por todos los t tales que [0, t) puede ser cubierto por un sub-cubrimiento finito de U . Sean α = sup A y U ∈ U tal que α ∈ U , portanto U ⊆ A —¿por que?—. Luego existe (η, ζ) ⊆ U tal que α ∈ (η, ζ) (amenos que α = Ω), pero como α es el sup de A, tenemos que (α, ζ) = ∅,luego ζ ∈ A, pero esto no puede suceder, con lo cual A = [0,Ω].

Note que cada subespacio cerrado [0, β] ⊆ [0,Ω] es ahora compacto.

Proposicion 10.43. [0,Ω] no es 1-contable.

Demostracion. Por la proposicion 10.41 el punto Ω no posee una baselocal contable, pues si (αn,Ω], (n ∈ N) es una base local, entonces paraβ = supαn tenemos β ≺ Ω, luego no existirıa ningun elemento de labase contenido en (β + 1,Ω].

Proposicion 10.44. [0,Ω) es 1-contable.

Demostracion. Basta verificar que el unico punto en [0,Ω] que no poseeuna base local contable es Ω.

Proposicion 10.45. [0,Ω) y [0,Ω] no son separables.

Demostracion. Demostremos que [0,Ω) no lo es. Dado un subconjuntoA contable, sea α = supA. Por 10.41, α ≺ Ω y por tanto existe unintervalo (α+ 1,Ω) ⊆ Ac, con lo cual A no puede ser denso.

Proposicion 10.46. [0,Ω) no es compacto ni de Lindeloff.

Demostracion. Sea U = [0, ζ) : ζ ≺ Ω. U es un cubrimiento abiertodonde cada elemento del cubrimiento es contable y U no admite unsubcubrimiento finito o contable, pues si C ⊆ U es contable entonces ∪Ces contable y no puede contener a [0,Ω).

G. RUBIA

NO


Corolario 10.47. [0,Ω) no es compacto pero sı es contablemente com-pacto y compacto por sucesiones.

Demostracion. Si no es contablemente compacto, existe U = U1, U2, . . .un cubrimiento abierto para el cual no existe un subcubrimiento finito;por tanto, para cada n existe xn /∈ U1∪ . . .∪Un. Si α = supn αn entoncespor el teorema 10.41, α ∈ [0,Ω) y ninguna subcoleccion finita de U cubreal compacto [0,Ω].

Como es 1-contable y de Hausdorff, es compacto por sucesiones.

Ejercicios 10.7

1. Revise el argumento en la demostracion de la proposicion 10.42 yel utilizado en el teor. 10.2 para mostrar que [0, 1] es compacto.

2. Sea (X,≺) un conjunto bien ordenado con la topologıa del orden.Muestre que X es compacto si y solo si contiene un elemento max-imal.

3. Muestre que los ordinales finitos y ω son espacios discretos, yningun ordinal mayor que ellos es discreto.

4. Muestre que el conjunto de puntos de acumulacion (o puntos lımite)de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales lımitemenores que α.

5. El espacio [0, ω) es precisamente N con la topologıa discreta, mien-tras que [0, ω] es el compactado de Alexandroff de N.

6. Muestre que [0,Ω] coincide con N ∪ w donde la topologıa es

T(F) = 2N ∪ F ∪ w : F ∈ Fpara F el filtro de Frechet en N.

7. Muestre que los ordinales sucesores (y el cero) menores que α sonpuntos aislados en α.

8. Muestre que el ordinal α es compacto como espacio si y solo si αes un ordinal sucesor.

9. Muestre que cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjuntoabierto de cualquier ordinal mayor.

G. RUBIA

NO

190 Compacidad

10.8. Compacidad local

Aunque el espacio no sea compacto, el concepto de compacidad lopodemos localizar en un punto.

Definicion 10.48. (i) Un espacio (X,T) es localmente compacto si cadapunto del espacio posee una vecindad compacta, i. e., si cada x ∈ Xesta en el interior de un subconjunto compacto.

EJEMPLO 10.26

1. Todo espacio compacto es localmente compacto.

2. (Rn, usual) es localmente compacto, pues las cajas cerradas soncompactas.

3. Si X es infinito, la topologıa discreta es localmente compacta (paracada x, x es una vecindad compacta) pero no es compacta.

4. Para X infinito, la topologıa Ix del punto incluido es localmentecompacta (pero no compacta).

5. (R, (a,→)) no es localmente compacto.

Es comun en la literatura de este tema encontrar la siguiente definicionde compacidad local, diferente a la def. 10.48.

Definicion 10.49. (ii) Dados un espacio (X,T) y x ∈ X, decimos queX es localmente compacto en x si dada una vecindad abierta Uxexiste otra vecindad Vx abierta con V compacta que satisface

x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ Ux.

Esta definicion exige que para el punto x exista un sistema fundamentalde vecindades cerradas y compactas. Si X es localmente compacto encada punto decimos que es localmente compacto.

EJEMPLO 10.27

(R, cofinitos) es localmente compacto segun (i) pero no lo es segun (ii)pues la adherencia de una vecindad de un punto es todo R.

G. RUBIA

NO

10.8 Compacidad local 191

Sobre los espacios de Hausdorff estas dos definiciones coinciden; es de-cir, la existencia de una sola vecindad compacta para el punto, asegurala existencia de todo un sistema fundamental de vecindades compactaspara el punto.

EJEMPLO 10.28

Sea X un espacio de Hausdorff. X es localmente compacto si, y solo si,todo filtro convergente en X tiene un miembro compacto.

⇒) Si X es localmente compacto y F es un filtro en Xconvergente ax, por definicion toda vecindad de x pertence a F. Pero entonces bastatomar una vecindad compacta de X (que existe porque X es localmentecompacto) y se concluye que F contiene un miembro compacto.

⇐) Sea x un punto cualquiera de X. Como la coleccion de todas lasvecindades de x es un filtro que converge a x, por hipotesis debe conteneralgun miembro compacto, ası que x posee una vecindad compacta Vx.

EJEMPLO 10.29

La topologıa de intervalos encajados. Para X = (0, 1) ⊆ R definimosT = (0, 1− 1

n)n (n = 2, 3, 4, . . .) y por supuesto anadimos el ∅ y X.

Esto nos da un ejemplo de un espacio que satisface la definicion 10.48pero no la definicion 10.49 puesto que la adherencia de cualquier vecin-dad es todo el espacio el cual no es compacto. Muestre que en esteespacio el unico subespacio cerrado que es compacto es el vacıo y quetodo subespacio abierto es compacto, excepto X mismo.

Proposicion 10.50. El espacio de Hilbert H no es localmente compacto.

Demostracion. Dados x ∈ H y ε > 0 veamos que la bola cerrada Bε(x)no es compacta. Sea x = (x1, x2, . . .) y por cada n ∈ N definimos

yn = (x1, x2, . . . , xn−1, xn + ε, xn+1, . . .).

yn ∈ Bε(x) y ademas d(yi, yj) =√

2ε para todo i, j ∈ N. Ası, la suce-sion (yn) no admite una subsucesion convergente; es decir, Bε(x) no escompacta por sucesiones, lo que es equivalente en este espacio metricoa decir que no es compacta.

G. RUBIA

NO

192 Compacidad

EJEMPLO 10.30

La compacidad local en general no es hereditaria. Q con la topologıa desubespacio de Ru no es localmente compacto en el punto 0 pues ningunavecindad de 0 es compacta. En efecto, dado un intervalo [p, q] en Qque contenga a 0, podemos obtener un cubrimiento abierto de [p, q] noreducible a uno finito; basta tomar t ∈ R−Q con p < t < q y considerarla coleccion [p, t−1/n)∪ (t+1/n, q], (n ∈ N) trazada con Q —algunasintersecciones pueden resultar vacıas—.

Claro que esto no sucede en caso que los subespacios sean abiertos o cer-rados, es decir, la compacidad local es hereditaria–cerrada (¡demuestre-lo!).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1

-0.5

0.5

1

Figura 10.7: Grafo de f(x) = sen(1/x).

EJEMPLO 10.31

Sea D el grafo de la funcion f(x) = sen(1/x) para 0 < x ≤ 1/π. Elconjunto D∗ = D ∪ (0, 0) dotado de la topologıa de subespacio de R2

u

no es localmente compacto en el punto (0, 0) ya que cualquier vecindadV de este punto contiene una sucesion de puntos —sobre una rectaparalela al x–eje que no posee un punto de acumulacion en V , i. e., Vno es cerrada.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 10.32

La compacidad local no se preserva por funciones continuas en gener-al. La funcion idQ : (Q, discreta) −→ (Q, usual) es continua pero nopreserva la compacidad local. Pero si f ademas de continua es abiertası se preserva.

10.8.1. Compactacion

La esfera S2 es una compactacion del plano R2 ya que la proyeccion K

estereografica identifica al plano con la esfera punteada (el polo norte esremovido).

Hemos identificado un espacio no compacto con uno que sı lo es alanadirle un punto —S2 es compacto—.

Definicion 10.51. Sea (X,T) un espacio. Un espacio (Y,H) compactose llama un compactado de X si existe una funcion f : X −→ Ycontinua e inyectiva tal que f : X −→ f(X) ⊆ Y es un homeomorfismocon f(X) denso en Y .

En particular decimos que f realiza la compactacion de X. Siademas Y − f(X) se reduce a un conjunto unitario, decimos que Yes un compactado de Alexandroff o compactado por un punto.

La siguiente construccion es un metodo general de construir desdeX un espacio compacto X∗ = X ∪ ∞ que tenga a X como un espacioinmerso.

Proposicion 10.52. Sean (X,T) un espacio y un punto ∞ /∈ X. ParaX∗ = X ∪∞ definimos la topologıa T∗ que tiene tanto a T como a losW ⊆ X∗ tales que ∞ ∈W y W c es un cerrado y compacto en X.

El par (X∗,T∗) se llama compactado (por un punto) de Alexan-droff de X.

Demostracion. Claramente ∅ y X∗ estan en T∗ pues ∅ es trivialmentecompacto. Veamos que T∗ es cerrada para la interseccion finita. Si U, V ∈T∗ y ambos estan en T entonces U ∩ V ∈ T∗; si U ∈ T y ∞ ∈ V , V c escerrado y compacto en T luego V ∩ X es abierto en X y ası U ∩ V ∈T ⊆ T∗. Si ∞ esta tanto en U como en V entonces U c, V c son cerradosy compactos en X, luego (U ∩ V )c = U c ∪ V c tambien es cerrado ycompacto en X por ser union de dos compactos, con lo que U ∩V ∈ T∗.

G. RUBIA

NO

194 Compacidad

Ahora examinemos la union de una familia V = Vii ⊆ T∗. Si ∞ /∈⋃V entonces⋃V ∈ T ⊆ T∗. Pero si ∞ ∈ Vi ∈ V entonces (

⋃V)c ⊆ V ci ;

como (⋃V)c es cerrado y V c

i es compacto tenemos que (⋃V)c es cerrado

y compacto, esto es⋃V ∈ T∗.

Proposicion 10.53. El espacio (X∗,T∗) es compacto.

Demostracion. Sea U un cubrimiento abierto de X∗. Existe U0 ∈ U con∞ ∈ U0 y U c0 compacto. Claramente U es tambien cubrimiento abiertode U c0 , luego lo podemos reducir a un subcubrimiento finito U1, . . . , Uny ası X∗ ⊆ ⋃n

i=0 Ui.

Proposicion 10.54. X es denso en X∗ si y solo si X no es compacto.

Demostracion. ⇒) Si X = X∗ entonces X no es compacto, pues de locontrario X serıa cerrado y compacto con lo cual ∞ serıa un abiertoy ∞ ∩X = ∅, negando que ∞ ∈ X.

⇐) Basta ver que ∞ ∈ X. Sea V∞ una vecindad de ∞ en T∗. En-tonces V c∞ es un subconjunto cerrado y compacto de X, con lo cual V c∞no puede ser todo X, ası que V∞ ∩X 6= ∅, y por tanto ∞ ∈ X, lo queimplica X = X∗ en T∗.

En el caso de partir en la construccion desde un espacio de Hausdorff,tenemos el siguiente teorema.

Teorema 10.55. (X,T) es Hausdorff y localmente compacto si y solosi (X∗,T∗) es Hausdorff.

Demostracion. ⇒) Sea X localmente compacto y de Hausdorff. Dadosx, y ∈ X∗ veamos que los podemos separar. Si x, y ∈ X no hay nadaque demostrar puesto que X es T2. Si x = ∞, como X es localmentecompacto y Hausdorff, existe Vy compacta y por tanto cerrada, luego∞ ∈ (X∗ − Vy) ∈ T∗ y (X∗ − Vy) ∩ Vy = ∅.⇐) Supongamos que (X∗,T∗) es Hausdorff. X como subespacio de

X∗ es de nuevo Hausdorff. Veamos que X es localmente compacto. Seax ∈ X y encontremos una vecindad compacta. Existen Vx, V∞ abiertasen T∗ con Vx ∩ V∞ = ∅, esto es, X∗/V∞ es un subconjunto cerrado ycompacto de X con Vx ⊆ X∗ − V∞; luego Vx ⊆ X∗ − V∞ y por ser Vxun cerrado dentro de un compacto, es compacta.

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Corolario 10.56. Cada espacio localmente compacto y Hausdorff eshomeomorfo a un subespacio de un espacio compacto y de Hausdorff.

Demostracion. Basta considerar la inclusion i : X → X∗. Dado U ⊆ X,U es abierto en x si y solo si lo es en X∗. Luego G∗ induce la topologıaoriginal G de X. (X,T) no se pierde en (X∗,T∗).

En resumen, hemos demostrado el siguiente teorema.

Teorema 10.57. Sea X un espacio localmente compacto y no compacto.Entonces i : X → X∗ —la inyeccion canonica— es una compactacionde Alexandroff para X.

Ejercicios 10.8

1. Muestre que en los espacios de Hausdorff la compacidad local sehereda a los subconjuntos cerrados o abiertos.

2. Muestre que la compacidad local es un invariante topologico.

3. Muestre que un espacio producto de espacios es localmente com-pacto si y solo si cada espacio coordenado es localmente compactoy todos excepto un numero finito de espacios coordenados soncompactos.

4. Sea X = Ru. Muestre que X∗ (la compactacion de Alexandroff)es homeomorfo a S1 con la topologıa usual.

Sugerencia: la funcion f : X∗ −→ S1 es un homeomorfismo si esdefinida por

f(x) =

(

1− x2

1 + x2,

2x1 + x2

), x ∈ X

(−1, 0) x =∞.

5. Sea (X,T) un espacio Hausdorff y localmente compacto. Si A ⊆ Xy x /∈ A, existen vecindades disyuntas de A y x —podemos separarpuntos de cerrados—.

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NO11 Espacios metricos y sucesiones

—completez—

Una manera clasica de presentar al espacio Ru es la siguiente: es elmenor espacio metrico completo que contiene a Q como subespacio. Elsentido de ‘completo’ y su generalizacion es lo que estudiamos en estecapıtulo. Intuitivamente un espacio metrico es completo si cada sucesionque ‘quiere’ converger realmente tiene a donde hacerlo.

11.1. Sucesiones de Cauchy

Definicion 11.1. Sea (X, d) un espacio metrico. Una sucesion (xn) en Xse dice sucesion de Cauchy si dado un ε > 0 existe un entero positivoN (depende de ε) tal que si m,n ≥ N entonces d(xm, xn) < ε —podemoscontrolar la distancia entre los puntos a partir de un momento dado ycontrolarla tanto como queramos—.

Definicion 11.2. Un espacio metrico (X, d) es completo si cada suce-sion de Cauchy en X es convergente a algun punto de X. (Las sucesionesque quieren converger encuentran a quien hacerlo).

Proposicion 11.3. En un espacio metrico (X, d) una sucesion de Cauchyes un conjunto acotado.

Demostracion. Existe N1 tal que para m,n ≥ N1, d(xm, xn) ≤ 1. Enparticular para todo n ≥ N1 tenemos d(xn, xN1) ≤ 1, y tomando para losterminos que estan anteriores a xN1 el maximoM = maxk≤N1 d(xk, xN1),tenemos que todo xn satisface d(xn, xN1) ≤ maxM, 1.Proposicion 11.4. Si una sucesion de Cauchy en un espacio metrico(X, d) tiene una subsucesion convergente entonces la sucesion converge.

196

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11.1 Sucesiones de Cauchy 197

Demostracion. Sea (xn) una sucesion de Cauchy para la cual existe unasubsucesion xnk

→ l ∈ X. Para ε > 0 existen Nε y kε en N tales quepara todo m,n ≥ Nε, d(xm, xn) < ε

2 y para todo k ≥ kε, d(xnk, l) < ε

2 .

Si M = maxNε, nkε entonces para n ≥M tenemos

d(xn, l) ≤ d(xn, xnkε) + d(xnkε

, l) ≤ ε, y ası xn → l.

Las proposiciones 11.3, 11.4 implican que los espacios metricos que soncompactos son completos. Pero esto no significa que haya escasez deespacios metricos completos que no sean compactos, por ejemplo Ru.

Desafortunadamente la propiedad de completez no es un invariantetopologico. Por ejemplo Ru ≈ (0, 1) pero el segundo no es completo.

Como la definicion de sucesion de Cauchy no es una cualidad topologi-ca sino que depende de la metrica usada en particular, podemos tenerla misma topologıa proveniente en un caso de un espacio completo yen otro de un espacio no completo —la nocion de sucesion de Cauchyno es topologica—.

Por ejemplo, si sobre R definimos la metrica

d(x, y) =∣∣∣∣ x

1 + |x| −y

1 + |y|∣∣∣∣ ,

tenemos que (R, d) es homeomorfo a Ru —metricas exoticas— pero lasucesion (n)n∈N es de Cauchy en la metrica d y no lo es en la usual.

Esta situacion, mas bien estresante, puede ser remediada de manera K

parcial con la introduccion del concepto de completez topologica.

Definicion 11.5. Un espacio metrico (X, d) es completo topologica-mente si existe una metrica m equivalente a d y (X,m) es completo.

Por supuesto, los espacios metricos completos son completos topologica-mente. La pregunta es si todo espacio metrico puede tener una metricaequivalente que lo haga completo topologicamente. Aunque la respues-ta es no, por ejemplo Q, veremos en la seccion 11.3 como completarcualquier espacio metrico.

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198 Espacios metricos y sucesiones —completez—

EJEMPLO 11.1

(RN, d) con d la metrica primeriza o de Baire (ver pag. 34) es completo.

Si x = (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy en R con xn = (xkn)k ydonde xkn es la k-esima coordenada del termino n-esimo de la sucesionx— entonces, por la definicion de la metrica de Baire, para cada k lasucesion (xkn)n es a la larga constante, digamos a xk, pues dado ε > 0existe 1

N con d(xn, xm) < 1N para n,m > N , lo que implica que las

dos sucesiones se igualan a partir del ındice N en adelante. Claramentexn → (xk).Esta es una metrica que harıa de Q∩(0, 1) un espacio completo al tomarcada racional en su expansion decimal.

11.1.1. Filtros de Cauchy

Ası como para las sucesiones en un espacio metrico, tambien existeuna version de Cauchy para los filtros.

Definicion 11.6. Sea (X, d) un espacio metrico y F un filtro en X. Sedice que F es de Cauchy en X si para cada ε > 0 existe un F ∈ F talque

F × F ⊆ (x, y) ∈ X ×X : d(x, y) < ε.El filtro posee elementos con diametro tan pequeno como queramos.

Proposicion 11.7. Si una sucesion (xn)n∈N es de Cauchy, entonces elfiltro asociado tambien es de Cauchy.

Demostracion. Para abreviar, diremos que F ⊆ X es ε–pequeno si sat-isface la condicion del enunciado, a saber

F × F ⊆ (x, y) ∈ X ×X : d(x, y) < ε.

El filtro asociado F(xn) tiene como base a las colas Sk = xn : n ≥k. Fijado ε > 0, como (xn) es de Cauchy existe r ∈ N tal que si n,m ≥ rtenemos d(xn, xm) < ε. Ası pues la seccion Sr (y todas las Sk, con k < r)son ε–pequenas y por tanto F es de Cauchy.

Proposicion 11.8. Si F es un filtro de Cauchy en (X, d) entonces F

converge a cada uno de sus puntos adheridos.

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11.1 Sucesiones de Cauchy 199

Demostracion. Sean F un filtro de Cauchy en X y x un punto adherentede F, es decir, x ∈ F para cada F ∈ F. Para ver la convergencia essuficiente mostrar que las bolas abiertas Bε(x) pertenecen al filtro. Peroesto se tiene ya que dada Bε(x) existe F ∈ F que es ε/2–pequeno y estoimplica F ⊆ Bε(x). En efecto, dado y ∈ F tomemos z ∈ Bε/2(x) ∩ F ycomo F es ε/2–pequeno, tenemos d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) < ε.

En los espacios metricos completos los filtros de Cauchy caracterizana los filtros convergentes.

Proposicion 11.9. Sea (X, d) un espacio metrico completo. Un filtroF es convergente si y solo si es de Cauchy.

Demostracion. ⇒) Supongamos que F converge a x. Entonces Bε/2(x) ∈F y ademas Bε/2(x) es ε–pequena.

⇐) Sea F de Cauchy. Construyamos una sucesion (xn) de Cauchyy mostremos que F converge al punto que converge tal sucesion. Dadon tomamos Fn que sea 1

n–pequeno y elegimos xn ∈ F1 ∩ · · · ∩ Fn. Lasucesion (xn) ası definida es la que necesitamos.

EJEMPLO 11.2

La completez no es hereditaria. R es completo ya que toda sucesion deCauchy al ser acotada esta contenida dentro de un subespacio compactoy por lo tanto compacto por sucesiones, con lo cual se admite una sub-sucesion convergente y por 11.4 tenemos la completez.En Q con la topologıa de subespacio usual de R la sucesion(1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, . . .) es de Cauchy y no converge —quiere con-verger a

√2 que no esta en Q—.

Teorema 11.10. En un espacio metrico completo (X, d), los subespaciosque son completos son los cerrados.

Demostracion. ⇒) Sea A un subespacio de X. Si A es cerrado, dada (xn)de Cauchy en (A, dA), ella tambien lo es en (X, d) y su lımite pertenecea A ya que A es cerrado.

⇐) Si (A, dA) es completo, todo punto b adherente a A admite unasucesion (xn) en A que es convergente a b, pero como (xn) es de Cauchyy A es completo, b ∈ A.

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La propiedad de completez es mas debil que la de compacidad; una ev-idencia de esto son los espacios metricos Rn. Algo mas interesante aunes que, tomando separadamente la completez y la propiedad de total-mente acotado, ellas no son propiedades topologicas, pero al tomarlassimultaneamente dan un invariante topologico que es la compacidad(teorema 11.11). Ya vimos en la pagina 197 que la compacidad en unespacio metrico implica su completez. El siguiente teorema da condi-ciones para garantizar la inversa.

Teorema 11.11. Sea (X, d) un espacio metrico. X es compacto si ysolo si X es completo y totalmente acotado.

Demostracion. ⇒) Proposiciones 11.3, 11.4.

⇐) Sea (xn) en X. Si un termino se repite un numero infinito deveces, ella contiene una subsucesion convergente —constante—. Si esteno es el caso, veamos que de todas formas existe una subsucesion con-vergente, lo cual muestra que X es compacto por sucesiones; lo que paranuestro caso metrico es equivalente a compacidad.

Dado un ε > 0 existe una ε-red finita y por tanto un cubrimiento Bε

—finito— por bolas de radio ε. Ası, para cada ε existe una bola Bε(tε) enBε —algun tε— que contiene infinitos terminos de la sucesion (xn). Seaxn1 el primer termino de la sucesion contenido en B1(t1). Similarmenteescogemos a xnj como el primer elemento de xk : k > nj−1 contenidoen B1/j(t1/j). La subsucesion (xnj ) es de Cauchy y como X es completoella converge a algun x ∈ X.

La siguiente es una propiedad importante de los espacios metricoscompletos. Es una generalizacion de la propiedad de Cantor en Rn.

Teorema 11.12 (Encaje de Cantor). Sea (X, d) un espacio metricocompleto. Si A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . es un encaje decreciente de subcon-juntos cerrados de X con lım(diam(An)) = 0 (el lımite de los diametroses cero) entonces

⋂n∈NAn = x para algun x ∈ X.

Demostracion. Por cada entero positivo n seleccionamos un xn ∈ An.Veamos que (xn) es de Cauchy y que su lımite es el punto en

⋂n∈NAn.

Dado ε > 0, existe un entero positivo N tal que diam(AN ) < ε. Comola sucesion Ann es decreciente, para xm, xn con m,n > N tenemosd(xm, xn) < ε, con lo cual (xn) es de Cauchy y convergente digamos

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11.2 Espacios de Baire 201

al punto x. Para cada j ∈ N, la sucesion (xj+i), (i = 1, 2, . . .) es unasucesion en Aj con xj+i → x; ası, x ∈ Aj para cada j pues Aj es cerrado.Si existiera otro punto y ∈ ⋂n∈NAn entonces diam(An) ≥ d(x, y) >0.

11.2. Espacios de Baire

El siguiente teorema fue introducido por B. Baire1 en 1889 para losnumeros reales y por F. Hausdorff en 1914 para los espacios metricoscompletos.

Teorema 11.13. Supongamos que (X, d) es un espacio metrico com-pleto y sea Dnn∈N una coleccion enumerable de conjuntos abiertos ydensos en X. Entonces

⋂n∈NDn es densa en X.

Demostracion. Veamos que para cualquier abierto U se tiene

U ∩(⋂n∈N

Dn

)6= ∅.

Como U ∩D1 6= ∅ entonces existe una bola abierta B1 con B1 ⊆ U ∩D1

y diam(B1) ≤ 1. De manera inductiva se puede construir una sucesion(Bn)n∈N de bolas abiertas con la siguiente propiedad:

Bn ⊆ (Bn−1) ∩Dn y diam(Bn) ≤ 1/n, (n ∈ N).

Entonces ⋂n∈N

Bn ⊆ U ∩(⋂n∈N

Dn

),

y como las Bn forman un encaje que satisface las condiciones del teorema11.12 tenemos

⋂n∈NBn 6= ∅ lo que implica U

⋂(⋂n∈NDn

) 6= ∅.La anterior propiedad no es exclusiva de los espacios metricos comple-tos, mas aun, puede ser poseıda por espacios topologicos no metriz-ables. Los espacios que comparten esta propiedad se conocen comoespacios de Baire.

1Rene-Louis Baire (Parıs, 1874-Chambery, 1932) matematico frances, notable porsus trabajos sobre continuidad de funciones, los numeros irracionales y el concepto delımite. Su libro Lecons sur les theories generales de l’analyse (1908) se convirtio enun clasico de la didactica del analisis matematico.

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Definicion 11.14. Un espacio (X,T) se dice espacio de Baire si dadauna familia enumerable Dnn∈N de abiertos densos en X su intersecciones densa en X.

Proposicion 11.15. Sea (X,T) un espacio de Baire. Si Cnn∈N esun cubrimiento por cerrados de X, entonces al menos uno de los Cncontiene un conjunto abierto (tiene interior no vacıo).

Demostracion. Es una aplicacion de las leyes de De Morgan. Si X =⋃n∈NCn tomando complementos se tiene

⋂n∈NCn

c = ∅ y como el es-pacio es de Baire, alguno de los Cn c no es denso, i.e., Cn contiene unabierto.

En un espacio topologico se puede pensar que los conjuntos cerra-dos con interior vacıo son como ‘puntos’ en el espacio (son demasiadodelgados para contener ‘algo’). Ignorando los espacios con puntos ais-lados, que son su propio interior, un espacio de Baire es grande en elsentido que no puede construirse como una union enumerable de estosconjuntos ‘delgados’.

Por ejemplo en R2u cualquier coleccion enumerable de lıneas, sin

importar que lıneas escojamos, no pueden cubrir al espacio.

Los conjuntos del parrafo anterior reciben un nombre especial.

Definicion 11.16. Sean (X,T) un espacio y M ⊆ X. Se dice que M es

magro, delgado o diseminado en X siM= ∅

EJEMPLO 11.3

Los subconjuntos finitos y Z son diseminados en Ru. Q no lo es.

Ejercicios 11.2

1. Muestre que (xn) es sucesion de Cauchy si

d(xn, xm)→ 0 cuando n,m→∞.

2. Muestre que la definicion de sucesion de Cauchy es equivalente adecir que el filtro F generado por la sucesion (xn) satisface que,

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11.2 Espacios de Baire 203

dado ε > 0, existe F ∈ F tal que el diametro de F sea menor queε; esto es,

diam(F ) = sup d(F × F ) = supd(x, y) : x, y ∈ F < ε.

3. Muestre que en Rn una sucesion converge si y solo si es de Cauchy.Este ejercicio muestra que la clase de las sucesiones de Cauchyes la misma que la de las sucesiones convergentes. Pero en generalesto no es ası para los espacios metricos, y da origen a la definicionde completez.

4. Muestre que el recıproco del teorema 11.12 es cierto; es decir, sitenemos la propiedad para cada encaje es porque el espacio escompleto.

5. Sea (xn) una sucesion en el espacio metrico (X, d). Muestre que(xn) es de Cauchy si y solo si lımn→∞ diam(Xn) = 0 donde Xn =xn, xn+1, . . ..

6. Muestre que H —el espacio de Hilbert— es completo.

Sugerencia: si (qm) es una sucesion de Cauchy en H con

qm = qm1 , qm2 , . . . , qmn , . . .,muestre que

a) Para cada j, (qmj )m∈N es una sucesion de Cauchy en losreales. Luego existe su lımite zj .

b) z = (z1, z2, . . .) ∈ H.

c) qm → z.

7. Muestre que un espacio (X,T) de Hausdorff y localmente compactoes de Baire.

8. Si (X,T) es un espacio de Baire entonces

a) La union de cualquier familia numerable de subconjuntos dis-eminados o densos en ninguna parte tiene interior vacıo.

b) X no se puede expresar como una union enumerable de con-juntos densos en ninguna parte.

c) Toda union enumerable de subconjuntos cerrados con interiorvacıo, tiene interior vacıo.

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9. Si (X,T) es Hausdorff y compacto entonces X es de Baire.

10. Si M es diseminado en (X,T) tambien lo es M .

11. Si M es diseminado en (X,T) entonces ext(M) es denso en X.

11.3. Completez de un espacio metrico

Uno de los metodos —introducido por Hausdorff en 1914— de con-struir los numeros reales es a partir de los numeros racionales, us-ando clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en los numerosracionales.

Por supuesto, existen otros metodos como el propuesto por Dedekindutilizando sus llamadas cortaduras y luego extendido por MacNeillepara conjuntos parcialmente ordenados.

Lo que haremos en esta seccion no es mas que resaltar la bellezade la tecnica utilizada por Hausdorff, para mostrar una de las formasclasicas de abstraer en matematicas y de paso ‘completar’ un espaciometrico cualquiera.

Recordemos que una isometrıa es una clase particular de funcioncontinua f : (X, d) −→ (Y,m) entre espacios metricos que, como sunombre lo indica, no cambia la medida, esto es m(f(x), f(y)) = d(x, y)para todo x, y ∈ X. Por ejemplo, R esta isometricamente inmerso en R2

a traves del eje ordenado x, precisamente f : R −→ R2 con f(x) = (x, 0).

En general decimos —cuando existe una isometrıa— que el espaciometrico X esta inmerso isometricamente en Y por medio de f . Lo quemostraremos en estos parrafos es: si nuestro espacio metrico (X, d) no escompleto podemos obtener un espacio metrico X∗ de tal modo que X∗

es completo y X esta inmerso en X∗ de una manera representativa; estoes, la copia de X por medio de la isometrıa es un subconjunto denso enX∗.

Teorema 11.17. Sea (X, d) un espacio metrico. Existe un espacio metri-co (X∗, d∗) completo y una isometrıa f : X −→ X∗ tal que f(X) esdenso en X∗. El par (f, (X∗, d∗)) se llama un completado del espacio(X, d).

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11.3 Completez de un espacio metrico 205

Demostracion. Notemos por S el conjunto de todas las sucesiones deCauchy en X. Sobre S definimos la siguiente relacion:

(xi) ≈ (yi), si y solo si lımid(xi, yi) = 0, (i ∈ N).

Es inmediato ver que ≈ es de equivalencia. Sea X∗ = S/ ≈ el conjuntode todas las clases [(xi)] de equivalencia. Definimos una metrica sobreX∗ como

d∗([(xi)], [(yi)]) = lımid(xi, yi), (i ∈ N).

Para ver que d∗ es una metrica basta notar que si (xi), (yi) ∈ S entonces(d(xi, yi)) es de Cauchy en R, por lo cual su lımite existe.

Cada elemento x ∈ X lo identificamos en X∗ con la sucesion x = (x)constante al punto x, con lo cual f : (X, d) −→ (X∗, d∗) definida porf(x) = x = [(x)] es una isometrıa con X := f(X).

Para verificar que X = f(X) es denso en X∗ consideremos (xn) ∈ Sy veamos que [(xn)] ∈X. Dado ε > 0, sea [xi] = [(xi, xi, . . .)] para cadai —note que [xi] = f(xi) pertenece a f(X)—. Como (x1, x2, · · · ) es deCauchy, existe un entero N tal que d(xi, xj) < ε para cada i, j ≥ N .Luego

d([(xn)], f(xN ) = limnd(xn, xN ) < ε,

ası, [(xn)] es un punto adherente a X (f(xN ) es un punto en f(X)),luego X = f(X) es denso en X∗.

Finalmente revisemos la completez. Sea (xn) una sucesion de Cauchyen X∗ donde xn = [(xn1 , x

n2 , x

n3 , . . .)]. Podemos asumir que el diametro

del conjunto xni | i ∈ N es menor que 1/n ya que para algun K,d(xni , x

nj ) < 1/n, para i, j ≥ K y ası (xn1 , x

n2 , . . .) es equivalente a

(xnk , xnk+1, . . .) con lo cual (xn) puede ser representada por esta ultima

sucesion.

Veamos que x = (x11, x

22, x

33, . . . ) es una sucesion de Cauchy. Dado

ε > 0 existe N tal que d(xm,xn) = lımk d(xkn, xkm) < ε para m,n > N .

Luego para algun K fijo K ≥ N , tenemos d(xKn , xKm) < ε/3 para m,n >

N . Escojamos M tal que 1/M < ε/3. Entonces para m,n ≥ N tenemos

d(xmm, xnn) ≤ d(xmm, x

Km) + d(xKm, x

Kn ) + d(xKn , x

nn) < 3ε/3 = ε.

Como d(xm, [x]) = lımK d(xKn , xKK) < ε/3 para n ≥ N entonces (xn)→

[x], es decir X∗ es completo.

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Corolario 11.18. Un espacio metrico X es completo si y solo si X ≈X∗ —homeomorfos—.

Demostracion. ⇒) Si X ≈ X∗ entonces X es completo.

⇐) Si X es completo, dado x ∈ X∗ con x representado por lasucesion de Cauchy (x1, x2, . . .) entonces (x1, x2, . . .) → x, (x ∈ X) yası (x1, x2, . . .) es equivalente a (x, x, . . .), con lo cual x puede represen-tarse por (x, x, . . .) y por tanto x ∈ X.

11.4. Espacios de funciones

Recordemos que si X es un conjunto y (Y, d) es un espacio metri-co, sobre el conjunto B(X,Y ) de todas las funciones acotadas de X enY , definimos la metrica d∞(f, g) = supx∈Xd(f(x), g(x)). Esta metricagenera la topologıa del sup o topologıa de la convergencia uni-forme.

Definicion 11.19. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio metrico y(fn)n∈N una sucesion de funciones fn : (X,T) −→ (Y, d). Supongamosque para cada x ∈ X el lımn(fn(x)) existe. Si definimos f(x) como elvalor de este lımite, entonces f(x) define una f : (X,T) −→ (Y, d). Eneste caso decimos que (fn) converge puntualmente a f .

Si suponemos en la definicion anterior que cada fn es continua, engeneral no podemos esperar que f tambien sea continua. Necesitamos

entonces un tipo de convergencia mas fuerte para una sucesion de fun-ciones —evoquemos lo que es la continuidad uniforme para una funcionf— de tal manera que la funcion lımite pueda heredar la continuidad apartir de las fn.

Definicion 11.20. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio metrico y(fn) una sucesion de funciones con fn : (X,T) −→ (Y, d). Decimos que(fn)n converge uniformemente a una funcion f si para cada ε > 0existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces d(fn(x), f(x)) < ε para cadax ∈ X.

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11.4 Espacios de funciones 207

Si (fn) → f uniformemente, en particular lo hace puntualmente; es-to es, la continuidad uniforme de funciones implica la convergenciapuntual, pues el N de la definicion de convergencia uniforme dependeunicamente de ε mientras que en la puntual tambien debe dependerdel punto x.

Teorema 11.21. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio metrico y(fn) con fn : (X,T) −→ (Y, d) una sucesion de funciones continuas. Sifn → f uniformemente entonces f es continua.

Demostracion. Dados a ∈ X y ε > 0 veamos que existe una Va tal quepara cada x ∈ Va se tiene d(f(x), f(a)) < ε. Como fn → f , existe N ∈ Ntal que d(fN (x), f(x)) < ε/3 para todo x ∈ X. De otra parte,

d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fN (x)) + d((fN (x), f(N (a)) + d(fN (a), f(a))< d(fN (x), fN (a)) + 2ε/3

y como fN es continua, existe Va tal que para x ∈ Va, d(fN (x), fN (a)) <ε/3, con lo cual se satisface que, x ∈ Va implica d(f(x), f(a)) < ε.

La siguiente es la razon por la cual la metrica d∞ sobre B(X,Y ) sellama la distancia de la convergencia uniforme.

Teorema 11.22. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio metrico y(fn) una sucesion en B(X,Y ). En (B(X,Y ), d∞), fn → f si y solo sila convergencia es uniforme.

Demostracion. ⇒) Como fn → f en la topologıa del sup, dado ε > 0existe N ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d∞(f, fn) < ε. Luego enparticular para cada x ∈ X tenemos que

d(f(x), fn(x)) ≤ supxd(fn(x), f(x)) = d∞(fn, f) < ε.

⇐) Dado ε > 0 existeN ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d(fn(x), f(x)) <ε/2 para cada x ∈ X. Luego si n > N entonces supxd(fn(x), f(x)) ≤ε/2 < ε con lo cual d∞(f, fn) < ε para n > N .

Proposicion 11.23. Sean (X,T) un espacio y (Y, d) un espacio metricocompleto. El espacio B(X,Y ) de las funciones acotadas con la metricad∞ de la convergencia uniforme es completo.

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Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en B(X,Y ), i. e.,dado ε > 0, existe Nε ∈ N tal que para m,n ≥ Nε se tiene

supx∈X

d(fn(x), fm(x)) ≤ ε.

En particular para un x fijo, la sucesion (fn(x))n es de Cauchy en elespacio completo (Y, d) y por tanto existe su lımite, el cual notamoscomo f(x) = lımn(fn(x)).

Hemos definido ası f : X −→ Y . Veamos que ella es acotada. ExisteN1 ∈ N tal que d∞(fN1 , fn) ≤ 1 para todo n ≥ N1. Sea a ∈ Y y notemospor a la funcion a : X → Y constante a a. Para todo x ∈ X y n ≥ N1,

d(a, fn(x)) ≤ d(a, fN1(x)) + 1 ≤ d∞(a, fN1) + 1.

Fijando x y tomando el lımite cuando n→∞ obtenemos

d(a, f(x)) ≤ d∞(a, fN1) + 1

y como esto es independiente de x, tenemos que f ∈ B(X,Y ).

Veamos por ultimo que efectivamente fn → f . Para ε > 0 y x ∈ Xtenemos la desigualdad d(fn(x), fm(x)) ≤ ε si m,n ≥ Nε. Tomando ellımite cuando m→∞ y fijando a x obtenemos d(fn(x), f(x)) ≤ ε paratodo x y n ≥ Nε. Como Nε no depende de x, tenemos d∞(fn, f) ≤ ε.Por tanto, lımn→∞ d∞(fn, f) = 0 y ası fn → f .

Corolario 11.24. Sean (X,T) un espacio y (Y, d) un espacio metricocompleto. El espacio CB(X,Y ) de las funciones continuas y acotadascon la metrica d∞ de la convergencia uniforme es completo.

Figura 11.1: La convergencia uniforme.

Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en CB(X,Y ). Solonos falta verificar que f de la demostracion del teorema 11.23 es continua.

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11.4 Espacios de funciones 209

Sea a ∈ X y veamos que f es continua en a. Dado ε > 0 existe un enteroN tal que d(fn(x), f(x)) < ε/3 para n ≥ N y cada x ∈ X. Como fn escontinua existe una vecindad abierta Ua de a, tal que para cada x ∈ Ua,d(fn(x), fn(a)) < ε/3. Luego

d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fn(x))+d(fn(x), fn(a))+d(fn(a), f(a)) < 3ε

3= ε.

Ası, f es continua en a. En particular, CB(X,Y ) es un subconjuntocerrado de B(X,Y ).

Corolario 11.25. Sean (X,T) un espacio compacto y (Y, d) un espaciometrico completo. El espacio C(X,Y ) de las funciones continuas con lametrica d∞ de la convergencia uniforme es completo.

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NO12 Los axiomas de separacion

La definicion de espacio topologico es en sı muy general: una colec-cion de subconjuntos con dos propiedades de clausura, una para la uniony otra para la interseccion; por tanto, no muchos teoremas pueden de-mostrarse a menos que limitemos las clases de espacios a considerar.Para obtener estas clases especıficas, debemos imponer condiciones desuerte que, a mas condiciones, mas especıfica sea la clase y entonces masteoremas —propiedades— puedan ser demostrados.

Hemos visto como algunas propiedades topologicas de un espacio(X,T) dependen directamente de condiciones impuestas sobre la cardi-nalidad de T o mas precisamente de la cardinalidad de sus bases, porejemplo 2-contable, 1-contable, ejerciendo a su turno un control sobre lacantidad de abiertos involucrados en el espacio.

Esta cardinalidad tambien afecta a la continuidad, en el sentido deque, a mayor cantidad de abiertos para el espacio en el dominio, la posibi-lidad de continuidad aumenta, o disminuye para el caso del codominio.

12.1. T0, T1 y T2 o de Hausdorff

Otras condiciones que interesan y comenzamos a estudiar son la man-era como los abiertos estan ‘distribuidos’ sobre el espacio. Estas separa-ciones fueron estudiadas por Alexandroff y Hopf1, bajo la denominacionde axiomas Tk, k = 0, 1, 2, 3, 4, los cuales nos muestran basicamente elgrado en que puntos y conjuntos pueden mantenerse aparte, o separarsepor medio de conjuntos abiertos.

Este estudio surge en relacion con los problemas de seudometrizacion

1En un excelente libro sobre Topologıa del ano 1932.

210

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12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff 211

y metrizacion de un espacio topologico. Pretendıan encontrar una condi-cion de separacion, bajo la cual los espacios topologicos resultaran metriz-ables o bien seudometrizables.

Figura 12.1: P. Alexandroff y H. Hopf, Zurich, 1931.

Al hablar de separacion en un espacio topologico nos referimos a la sep-aracion que podemos inducir entre los puntos del espacio valiendonosde los conjuntos abiertos. En un espacio indiscreto, por ejemplo, estaseparacion es nula pues para cualesquiera dos puntos es imposible hal-lar un abierto que contenga a uno de ellos sin contener al otro. Nuestroestudio se limitara a los axiomas Tk mencionados, aunque no dejan deexistir esfuerzos en crear cada dıa otro Tk, k -racional, donde podrıapensarse que la separacion optima la poseen los espacios metricos.

El axioma de separacion mas primitivo afirma que, dados dos puntosdel espacio, al menos uno de ellos se puede separar del otro por mediode un abierto2.

Definicion 12.1. Un espacio (X,T) es T0 o de Kolmogoroff3 si, dadosx, y ∈ X con x 6= y, existe una vecindad abierta Ux de x que no contiene

2En 1935 se publico el libro Topologie I de Pavel S. Alexandroff y Heinz Hopf.En este se indica que el axioma de separacion mas debil fue introducido por AndreiKolmogoroff.

3Andrei Kolmogoroff (Tambov 1903-Moscu 1987), matematico ruso que hizo pro-gresos importantes en los campos de la teorıa de probabilidad y de la topologıa. Enparticular, desarrollo una base axiomatica que supone el pilar basico de la teorıa delas probabilidades a partir de la teorıa de conjuntos. Trabajo al principio de su carreraen logica constructivista y en la serie de Fourier. Fue el fundador de la teorıa de lacomplejidad algorıtmica.

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212 Los axiomas de separacion

a y o existe una vecindad abierta Uy de y que no contiene a x.

EJEMPLO 12.1

El espacio de Sierpinsky 0, 1 (pag. 13) es T0.

EJEMPLO 12.2

Dado un conjunto parcialmente ordenado (X,≤), el espacio (X,Td) conla topologıa generada por las colas a derecha cerradas es T0.

Ser T0 es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones:

1. Dados x 6= y, x /∈ y o y /∈ x.

2. Si x y y son puntos distintos de X entonces x 6= y.

EJEMPLO 12.3

1. El espacio del ejemplo 10.29 —intervalos encajados— no es T0 puestodo abierto no vacıo contiene simultaneamente a los puntos 1

10 ,18 .

2. Dado un conjunto X y a, b ∈ X definimos

G := A ⊆ X : a, b ⊆ A ∪ ∅.

En este espacio los puntos a, b no se pueden “distinguir” topologi-camente.

3. Si (X,T) un espacio T0 y 2-contable, la cardinalidad del conjuntoX queda acotada por |X| ≤ 2ω. Si B := B1, B2, . . . es una basela funcion f : X −→ 2B definida por f(x) = B ∈ B : x ∈ B esinyectiva y por tanto |X| ≤ 2B ≤ 2ω.

Definicion 12.2. Un espacio (X,T) es T1 o accesible4 si, dados x, y ∈X con x 6= y, existen vecindades abiertas Ux, Uy tales que y /∈ Ux yx /∈ Uy. Este axioma algunas veces es referido como de Frechet o axiomade separacion de Riesz.

4En 1907 Friedrich Riesz introdujo el axioma de separacion T1.

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EJEMPLO 12.4

(R, cofinitos) es un espacio T1.

Nota. La definicion de T1 es equivalente a que cada conjunto unitarioa del espacio sea cerrado. En efecto, el complemento de a es unconjunto abierto, pues por cada x 6= a tomamos una vecindad abiertaV ax de x tal que a /∈ V a

x , y ası ac =⋃x 6=a V

ax .

El axioma de separacion mas conocido fue introducido por Haus-dorff5 y es el que nosotros hemos exigido en la definicion de un espaciode Hausdorff o T2. Algunas veces este espacio se llama ‘separado’, queno debe confundirse con separable, lo cual tiene un significado comple-tamente diferente.

Ya hemos visto que esta es una propiedad heredable y productiva, lacual resulta de un valor apreciable cuando se trata de espacios com-pactos. En los espacios de Hausdorff la convergencia de una sucesion ode un filtro, en caso de existir, es unica, lo que es uno de los requisitosmınimos para desarrollar una teorıa de convergencia.

EJEMPLO 12.5

1. Todo espacio metrico es de Hausdorff.

2. (R, cofinitos) es T1 pero no es T2.

3. Muchos otros ejemplos de espacios que no son de Hausdorff puedenser construidos, pero ellos de alguna manera son no ‘naturales’.

4. Por supuesto tenemos la implicacion T2 → T1 → T0.

Ejercicios 12.1

1. Muestre que, en un espacio T0, la relacion x ≤ y si x ∈ y es deorden en el conjunto X.

K

2. Muestre que, un espacio (X,T) es T0 si y solo si para todo parx, y ∈ X con x 6= y se tiene x 6= y.

5El 1914 Felix Hausdorff introdujo el axioma de separacion T2 en su famoso libroGrundzAuge der Mengenlehre.

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3. Muestre que, en un espacio (X,T), ser T1 es equivalente a cadauna de las siguientes afirmaciones:

a) Todos los conjuntos unitarios son cerrados.

b) Todos los subconjuntos finitos son cerrados.

c) Para cada A ⊆ X la interseccion de todos los abiertos UA quecontienen a A es el propio A.

d) Para cada a ∈ X la interseccion de todos los abiertos Ua quecontienen al punto a es a.

e) Cada subconjunto de X es union de subconjuntos cerrados.

f ) Cada subconjunto no vacıo contiene algun subconjunto ce-rrado no vacıo.

g) Para cada x ∈ X el conjunto xa = ∅.h) Para cada A ⊆ X, Aa = Aaω (definicion 10.30).

4. Un espacio (X,T) es TD si y solo si para todo x ∈ X el conjuntoxa es cerrado. Muestre que T1 implica TD.

5. Muestre que si (X,T) es T1 entonces Aa es cerrado para cadaA ⊆ X.

6. Muestre que todo espacio finito que es T1 necesariamente es dis-creto.

7. Muestre que la definicion de un espacio (X,T) de Hausdorff esequivalente a:

a) Para cada a ∈ X la interseccion de todas las vecindades cer-radas del punto a es el conjunto a.

b) La diagonal∆X = (x, x) : x ∈ X

es cerrada en el espacio producto X ×X.

c) La convergencia de filtros es unica.

8. Muestre que la propiedad de ser T2 no es equivalente a la propiedadde la convergencia unica por sucesiones.

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9. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y (Y,H) un espacio T2. En-tonces el grafo de f ,

Gf := (x, f(x)) | x ∈ X,

es cerrado en el espacio producto X × Y .

Sugerencia: considere la funcion

h = (f, idY ) : X × Y −→ Y × Y, (x, y) 7→ (f(x), y).

Entonces

h−1(∆Y ) = h−1 ((y, y) | y ∈ Y )= (x, y) | f(x) = y, x ∈ X= (x, f(x)) | x ∈ X = Gf .

10. Sean f, g : (X,T) −→ (Y,H) continuas y (Y,H) un espacio T2.Entonces el subconjunto de coincidencia

C(f, g) = x ∈ X : f(x) = g(x)

donde f y g coinciden, es cerrado.

Sugerencia: considere la funcion (f, g) : X −→ Y × Y .

11. ¿Las propiedades T0, T1, T2 son hereditarias?

12. Muestre que T0, T1, T2 son invariantes topologicos.

13. Muestre que T0, T1, T2 son productivas, i. e., el espacio producto∏i∈I(Xi,Ti) es T0, T1, T2 si y solo si cada espacio factor lo es.

14. Muestre que si f : (X,T) −→ (Y,H) es una funcion inyectiva ycontinua con (Y,H) de Hausdorff entonces X es de Hausdorff.

15. (R, co-compacto). En R definimos C ⊆ R cerrado si C es cerradoy acotado en el sentido usual. Muestre que este espacio es T1 perono es T2.

16. (X,T) es T2 12

o de Urysohn, si todo par de puntos puede serseparado por vecindades cerradas. Un espacio T2 1

2es de Hausdorff.

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12.2. Regulares, T3, Tychonoff

En esta seccion vemos la separacion entre puntos y conjuntos, conun axioma introducido por Vietoris6 en 1921.

Definicion 12.3. Un espacio (X,T) es regular si, dados x ∈ X yun cerrado F ⊆ X con x /∈ F , existen abiertos Vx, VF disyuntos quecontienen a x y a F respectivamente.

Algunos autores prefieren llamar a estos espacios T3.

EJEMPLO 12.6

Un espacio que es T2 pero no es regular.

En R definimos una subbase anadiendo a la topologıa usual el conjuntoQ. La topologıa generada T es T2, pues esta subbase es mas fina que lausual. Notese que hemos agregado los intervalos que constan unicamentede numeros racionales o union de los intervalos usuales con los intervalosformados exclusivamente por racionales. El conjunto I de los numerosirracionales es cerrado en (R,T) pero no lo podemos separar del puntox = 0, pues cualquier vecindad VI necesariamente tiene que ser igual aR.

EJEMPLO 12.7

En R consideremos el conjunto A = 1/n | n ∈ N. Definimos unatopologıa T para R ası: V ∈ T si y solo si V = U ∩Bc donde U es abiertode la topologıa usual de R y B ⊆ A.Esto es, los elementos de la topologıa son los abiertos de la usual, conel derecho a extraerles cualquier cantidad de numeros de la forma 1/n.Note que la usual esta contenida en T y por lo tanto T es Hausdorff. Sinembargo, este espacio no es regular pues el punto 0 y el conjunto cerradoA (A es cerrado ya que Ac = R ∩ Ac es abierto) no pueden separarse.¿Por que?

6Leopoldo Vietoris (1891 Radkersburg, Austria–Innsbruck, Austria 2002).Vivio 110 anos (de hecho casi 111, murio menos de dos meses antes) entres siglos diferentes. Es conocido principalmente por sus estudios en topologıa,rama de las matematicas de la que se le considera uno de los fundadores e impulsores.Tambien se intereso por la historia de las matematicas, la filosofıa y fue un granalpinista y esquiador. Durante toda su vida publico 80 trabajos en diversos campos,el ultimo de ellos a los 104 anos.

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12.2 Regulares, T3, Tychonoff 217

La siguiente es una caracterizacion local de los espacios regulares y esquizas la forma mas util de presentar este axioma.

Teorema 12.4. Un espacio (X,T) es regular si y solo si para cadasubconjunto abierto U y para cada x ∈ U existe un abierto Vx tal que

x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ U.

Un espacio (X,T) es regular si para cada x ∈ X las vecindades cerradasde x forman un sistema fundamental de vecindades de x; i. e., cadavecindad de x contiene una vecindad cerrada.

Demostracion. ⇒) Sean U abierto y x ∈ U . Como U c es cerrado existenvecindades disyuntas abiertas V,W de x y U c respectivamente. Ası, x ∈V ⊆ W c y como W c ⊆ U tenemos x ∈ V ⊆ V ⊆ U ya que W c escerrado.

⇐) Dado un F cerrado y x /∈ F , el conjunto F c es una vecindadabierta de x. Ası que existe Vx tal que Vx ⊆ Vx ⊆ F c. Si tomamosU =

(Vx)c entonces F ⊆ U y ademas Vx ∩ U = ∅.

EJEMPLO 12.8

Bajo la anterior caracterizacion es claro que la topologıa de los comple-mentos finitos en R no es regular, ya que ninguna vecindad de un puntoes cerrada.

No siempre es el caso que cada espacio regular implique los demas ax-iomas de separacion T0, T1, T2. Por ejemplo (X, grosera) es regular pero

no necesariamente es T2 pues un punto no necesita ser un conjunto cerra-do. Es por ello que a los espacios regulares los reforzamos en la siguientedefinicion para que ası Ti implique Ti−1.

Definicion 12.5. Un espacio (X,T) que es regular y ademas T1 se llamaun espacio T3. Esto es, ademas de poder separar puntos de conjuntoscerrados, exigimos que los conjuntos unitarios sean cerrados.

Proposicion 12.6. La propiedad de ser T3 es hereditaria.

Demostracion. Sea A ⊆ (X,T) donde X es T3. Basta notar que, parax ∈ A, si V(x) es un sistema fundamental de vecindades cerradas de xen (X,T) entonces

VA(x) = V ∩A : V ∈ V(x)

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es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (A,TA).

Proposicion 12.7. Un espacio producto X =∏i∈I Xi con la topologıa

producto es regular si y solo si cada Xi es regular.

Demostracion. ⇒) Supongamos que para algun ındice i0, Xi0 no es reg-ular y veamos que entonces X tampoco lo es. Luego existen xi0 ∈ Xi0

y un cerrado Ai0 ⊆ Xi0 que no contiene a xi0 , los cuales no puedensepararse. Definimos un punto x = (xi) ∈ X tomando a xi0 en la com-ponente i0 y en las otras i–ordenadas elegimos un punto cualquiera xipara cada i. Sea A = p−1

i0(Ai0) =

∏i 6=i0 Xi×Ai0 —el cilindro—; consid-

eremos Ux =∏Uxi , (i ∈ I) una vecindad cualquiera de x y UA cualquier

vecindad abierta de A. Entonces

UAi0:= yi0 | y = (yj) ∈ UA y yi = xi para cada i 6= i0

—hemos elegido las coordenadas i–esimas de estos puntos y = (yi)— es

un abierto en Xi0 con Ai0 ⊆ UAi0, con lo cual Uxi0

y UAi0tambien se

interceptan. Por tanto Ux y UA se interceptan, es decir, x no puede serseparado de A.

⇐) Supongamos que Xi es regular para cada i. Sea Ux =∏Uxi ,

(i ∈ I) un abierto de x en X —no perdemos generalidad si lo suponemosbasico—. Si Uxi = Xi definimos Vi = Xi. Si Uxi $ Xi escogemos Viabierto tal que x ∈ Vi ⊆ Vi ⊆ Uxi . Entonces V =

∏Vi, (i ∈ I) es abierto

y∏Vi, (i ∈ I) es un cerrado con x ∈ V ⊆ V ⊆ Ux, es decir X es

regular.

Corolario 12.8. El espacio X =∏Xi, (i ∈ I) con la topologıa producto

es T3 (regular y T1) si y solo si cada Xi es T3.

Demostracion. Muestre que un espacio producto es Ti, (i = 0, 1) si ysolo si cada espacio factor lo es (ejercicos 7.1).

EJEMPLO 12.9

Sorgenfrey (R,J+) es T3. Dados U abierto y x ∈ U existe [a, b) tal quex ∈ [a, b) ⊆ U . Recordemos que esta topologıa es mas fina que la usual;ası, los intervalos abiertos tambien son abiertos de esta topologıa, con locual los elementos [a, b) de la topologıa son simultaneamente abiertos ycerrados. Por el teorema 12.4 tenemos la regularidad. Solo resta verificarque el espacio es T1.

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12.2 Regulares, T3, Tychonoff 219

De manera mas general tenemos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 12.10

Sea (X,≤) un espacio totalmente ordenado. Entonces las topologıasJ0, J+, J− son T3 (pag. 23).

1. J0. Un sistema fundamental de vecindades de x es V(x) = (a, b) :a < x < b. Es suficiente mostrar que todo elemento en V(x)contiene una vecindad de x que es cerrada. Sea (a, b) ∈ V(x):

a) Si existen t, t′ tales que a < t < x y x < t′ < b entoncesx ∈ (t, t′) ⊆ [t, t′] ⊆ (a, b).

b) Si no existe t tal que a < t < x entonces: o bien existe t′ conx < t′ < b, con lo cual x ∈ (a, t′) ⊆ [a, t′] ⊆ (a, b), o bien noexiste t′ con x < t′ < b, con lo cual (a, b) = x es vecindadcerrada de x.

c) Si no existe t′ tal que x < t′ < b, razonamos como en (b).

2. T+. Sabemos que es T2 y recordemos que los abiertos [x, y) sonigualmente cerrados pues

[x, y)c =⋃a<x

[a, x)⋃ ⋃

y<b

[y, b).

3. T−. Como en (2).

12.2.1. Inmersion en cubos

La siguiente clase de espacios asegura la existencia de funciones –sobreel espacio– continuas y no constantes con valores en los numeros reales.

Definicion 12.9. Un espacio (X,T) se dice completamente regularsi para cada cerrado F ⊆ X y cada x /∈ F existe una funcion continuaf : X −→ [0, 1] tal que f(x) = 0 y f(F ) = 1 —se dice que f distinguepuntos de cerrados—.

La razon del nombre para estos espacios es que son mas que regu-lares; en efecto, los conjuntos f−1([0, 1/2)) y f−1((1/2, 1]) son vecindadesdisyuntas de x y F respectivamente.

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Definicion 12.10. Un espacio (X,T) completamente regular y T1 sellama espacio de Tychonoff o T31

2—estos espacios estan entre los T3

y T4—. Fue Tychonoff quien en 1930 dio un ejemplo de un espacio T3

que no es completamente regular.

Recordemos que los productos de la forma [0, 1]I =∏i∈I [0, 1]i –donde

cada [0, 1]i es el intervalo unidad con la topologıa usual– con la topologıaproducto de Tychonoff son llamados cubos I-dimensionales. En par-ticular, el cubo Iℵ0 se llama cubo de Hilbert.

Si (X,T) es un espacio de Hausdorff y F = f | f : X −→ [0, 1] esla familia de todas las funciones continuas, la funcion evaluacion

e : X −→∏f∈F

[0, 1]f

definida por e(x) := (f(x))f∈F es una funcion continua (ver teorema8.10). e es inyectiva si y solo si la familia F es capaz de distinguir puntos;en otras palabras, para cada par de puntos x, y ∈ X existe f ∈ F conf(x) 6= f(y).

Si F distingue puntos de cerrados o X es completamente regularentonces e es una funcion abierta de X en e(X). En efecto, dado unabierto U ⊆ X veamos que e(U) es abierto en e(X). Sean q ∈ e(U) yp ∈ U con e(p) = q. Como X − U es cerrado y p /∈ X − U existe g ∈ Fcon g(p) /∈ g(X − U) —la adherencia tomada en g(X)—. El conjunto

V = y ∈∏f∈F

[0, 1]f : g(y) /∈ g(X − U),

es un abierto basico de la topologıa producto con lo que V ∩ e(X) esun abierto basico en e(X) para el cual q = g(p) ∈ V ∩ e(X) ⊆ e(U) yası e(U) es abierto en e(X). Por tanto X ≈ e(X) ⊆∏f∈F [0, 1]f . Hemosdemostrado el siguiente teorema.

Teorema 12.11. Cada espacio de Tychonoff puede ser inmerso en uncubo.

Como e(X) es determinado completamente por la familia F , podemosafirmar que las funciones continuas son adecuadas para describir latopologıa en X.

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12.3 Normales, T4 221

Ejercicios 12.2

1. Sea (X,T) un espacio T3. Muestre que para cada F cerrado, F ⊆ Xtenemos F =

⋂V | V ∈ V(F ).

2. ¿Es la regularidad un invariante continuo?

3. Demuestre que regular, completamente regular y Tychonoff sonpropiedades hereditarias.

4. En R considere la topologıa J definida como el sup de la usual ycoenumerables. ¿Es (R,J ) un espacio T3?

Sugerencia: muestre que U es un abierto en J si y solo si U =V − A donde V es un abierto de la usual y A es un subconjuntoenumerable.

5. Muestre que (X,T) es completamente regular si y solo si T es latopologıa inicial para la familia de funciones continuas

F = f | f : X −→ [0, 1].

6. Muestre que (X,T) es completamente regular si y solo si para cadaX ∈ X y cada Vx existe una funcion continua f : X −→ [0, 1] talque f(x) = 0 y f(X − Vx) = 1.

12.3. Normales, T4

La normalidad fue introducida por Tietze en 1923; veremos que enalgunos aspectos se comporta muy diferente a los otros axiomas deseparacion, ya que no es una propiedad hereditaria ni pasa al producto;mas no por ello es menos importante.

Definicion 12.12. Un espacio (X,T) se dice normal si cada par desubconjuntos cerrados y disyuntos F,G pueden separarse por abiertos;es decir, existen abiertos disyuntos UF , UG conteniendo a F y G respec-tivamente.

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EJEMPLO 12.11

Sean X = a, b, c, d, e y T = X, ∅, a, b, c, d, a, b, c, b, c, d, e,b, c, d, b, c, b, b, d, e, b, d, d, e, d. (X,T) es normal, perono es regular ya que a, d, e es un cerrado que no puede ser separadodel punto c, c /∈ a, d, e.

Lo anterior no se puede dar en el caso que los conjuntos unitarios seancerrados.

Definicion 12.13. Un espacio (X,T) que es normal y T1 se dice T4.

Proposicion 12.14. Si (X,T) es T4 entonces es T3.

Demostracion. Si X es T1, el conjunto x es cerrado para cada x ∈ X,y ser regular es un caso particular de ser normal.

Teorema 12.15. Un espacio (X,T) es normal si y solo si para cadaabierto U y para cada cerrado F ⊆ U existe un abierto V tal que

F ⊆ V ⊆ V ⊆ U.

Demostracion. Como F y U c son cerrados disyuntos, por ser X normalexisten abiertos disyuntos M,N que los contienen respectivamente, yası F ⊆M ⊆M ⊆ N c ⊆ U . Para verificar la normalidad tomemos F,Gcerrados disyuntos; como F ⊆ Gc, existe una vecindad VF de F conF ⊆ V ⊆ V ⊆ Gc y por tanto F ⊆ V y G ⊆ X − V .

El siguiente ejemplo muestra que los espacios normales son abun-dantes.

EJEMPLO 12.12

Todo espacio metrico (X, d) es normal. En efecto, dados dos cerradosF,G disyuntos, por cada g ∈ G tomamos εg > 0 tal que Bεg(g) ∩ F = ∅—recuerde que d(g, F ) > 0 puesto que g no es adherente a F—. Entonces⋃Bεg/2(g), (g ∈ G) es un abierto que contiene a G y no intercepta a F .

De manera similar construimos un abierto para F que no corte a G.Muestre que realmente estos abiertos no se cortan.

Por supuesto existen espacios normales que no son metrizables.

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EJEMPLO 12.13

Sea R con la topologıa T definida como: U ∈ T si U c es contable o 0 /∈ U .

La topologıa T es de Hausdorff, pues dados x 6= y, uno de los dos,digamos x, es diferente de 0; por tanto x y R− x son abiertos.

Para ver que (R,T) es normal tomemos F,G cerrados disyuntos novacıos; uno de los dos no contiene al punto 0, digamos F , luego F esabierto y F c es tambien un abierto conteniendo a G.

De otra parte, no existe una base local enumerable para el punto 0ya que si existiera B1, B2, . . . tenemos que

⋂n=1Bn = 0 y de otra

parte⋃n=1B

cn deberıa ser contable puesto que 0 ∈ Bn para cada n, y

como cada Bn es abierto, solo puede serlo si Bcn es contable.

¿Puede ver usted el filtro involucrado en este ejemplo y la construc-cion en general?

EJEMPLO 12.14

El semiplano de Niemytzki del ejemplo 5.7 es un espacio que muestraque ser T4 no es consecuencia de ser T1 y regular. Veamos a continuacionsus principales propiedades:

Para ver que (X,T∗) es regular utilicemos la caracterizacion local; esdecir, dado un abierto U y b ∈ U , existe Vb abierta tal que Vb ⊆ V b ⊆ U .Sean U ∈ T∗ y b ∈ U . Si b ∈ P , como U es abierto existe una Bε(b) ⊆ U ,luego para Vb = Bε/2(b) tenemos la condicion. Si b ∈ L, existe D undisco tal que b ∪D ⊆ U , esto es (Bε((b, x)) ∪ b) ⊆ U —algun x—.Ası Bε/2((b, x/2)) satisface la condicion.

Ahora mostremos que no es normal. En efecto, construyamos dossubconjuntos cerrados que no se pueden separar. Dado A ⊆ L, Ac esabierto en T∗ con lo cual cada A ⊆ L es cerrado —diferente a decirque todo A ⊆ L es abierto, pues el complemento se toma en todo X—.Por tanto, los subconjuntos Q = (x, 0) | x es racional, I = (x, 0) |x es irracional son cerrados, y veremos que Q, I no pueden separarsepor abiertos.

Sean VQ, VI abiertos disyuntos separando a Q, I. Por cada (x, 0) ∈I ⊆ VI existe un disco Dx ⊆ VI de radio rx y tangente a L en el punto(x, 0). Sea Sn = (x, 0) ∈ I | rx > 1/n. Ası, Sn ⊆ Sn+1 y la coleccionSn junto con los puntos de Q forman un cubrimiento contable de L.

G. RUBIA

NO


Veamos que en R sucede lo siguiente:

Si R es una union contable de los subconjuntos Sn entonces por lomenos uno de ellos contiene un intervalo abierto.

Supongamos que cada Sn tiene interior vacıo, esto es, dado cualquierintervalo I ⊆ L, existe un subintervalo J ⊆ I tal que Sn ∩ J = ∅(recuerde que Sn es cerrado y esto es equivalente a decir que el interiorde la adherencia de cada Sn es vacıo, es decir Sn es denso en ningunaparte).

Como los racionales son enumerables, sea q1, q2, . . . una enumeracionde ellos. Para n = 1 tomamos un intervalo I1 tal que q1 /∈ I1; ası, existeJ1 ⊆ I1 tal que J1∩S1 = ∅. Si q2 ∈ J1, tomamos un subintervalo I2 ⊆ J1

tal que q2 /∈ I2 y de este extraemos J2 tal que J2 ∩ S2 = ∅ ; si q2 /∈ J1

tomamos un I2 ⊆ J1 tal que I2 ∩ S2 = ∅. De esta manera, construimosinductivamente una sucesion de intervalos cerrados In tal que In+1 ⊆ Incon qn /∈ In y In ∩Sn = ∅. Por el principio de Cantor para los intervalosencajados, existe un numero t tal que t ∈ ⋂n∈NIn . Claramente t no es unnumero racional y para algun n suficientemente grande tenemos t ∈ Sn,pero esto contradice que In ∩ Sn = ∅.

Luego para algun numero natural n se debe tener que existe unintervalo I de la recta real tal que cada subintervalo de I corta a Sn.Ası que cada punto de I es un punto de acumulacion de Sn; en particularexiste un racional r con r ∈ San. Sea Bδ((r, 0)) ⊆ VQ. Para x1 ∈ Snsuficientemente cercano a r, existe un disco Bε((x1, 0)) con Bδ((r, 0)) ∩Bε((x1, 0)) 6= ∅, y esto contradice que VQ, VI son disyuntos.

En un espacio las propiedades de ser Hausdorff, normal y compacto serelacionan de acuerdo con el siguiente teorema.

Teorema 12.16. Si (X,T) es un espacio de Hausdorff y compacto en-tonces X es normal.

Demostracion. Si F,G son dos cerrados disyuntos, como el espacio es deHausdorff y es compacto ellos son compactos. Dado g ∈ G, lo podemosseparar de cada punto f ∈ F por medio de vecindades disyuntas V f

g , V gf

de g y f respectivamente.

La coleccion V gf | f ∈ F es un cubrimiento abierto de F , el cual

lo podemos reducir a un subcubrimiento finito V gfi, (i = 1, 2, . . . , n).

Definimos Vg =⋂ni=1 V

fig —la interseccion de las vecindades de g corre-

G. RUBIA

NO


spondientes a estos fi— y definimos UgF =⋃ni=1 V

gfi

. Ası F ⊆ UgF . Repi-tiendo el anterior proceso para cada g ∈ G, obtenemos un cubrimientoVg | g ∈ G de G el cual lo reducimos a uno finito Vg1 , Vg2 , . . . , Vgm .

Finamente M :=⋃mi=1 Vgi y N :=

⋂mi=1 U

gi

F son vecindades abiertasdisyuntas de G y F respectivamente.

EJEMPLO 12.15

Tablon de Tychonoff . Sea X = [0, ω]× [0,Ω]; cada factor es un espaciocompacto, pues cada una de sus topologıas provienen de un orden com-pleto. X es normal de acuerdo con el teorema 12.16. Definimos W eltablon de Tychonoff como el espacio X menos el punto (ω,Ω), i. e.,

W = X − (ω,Ω) = [0, ω]× [0,Ω]− (ω,Ω).

Probemos que el tablon no es normal con la topologıa de subespacio,negando ası que la normalidad sea hereditaria.

0 1 2 3 4 !01234

!

!

••••

A

••••

• • •

• B

••••

•••••

••

•••

•

•

· · ·...

· · ·· · ·

· · ·· · ·

...

•

••

!

•••

•••

• • • • •

• • • • • •

(!,!)......................................................................................

.

.................................................................................................................................................

Figura 12.2: El tablon de Tychonoff.

Para ello construyamos dos cerrados disyuntos A, B en W y mostre-mos que es imposible separarlos. A = (x,Ω) | x ∈ [0, ω) la ultima filasuperior, B = (ω, y) | y ∈ [0,Ω) la ultima columna a la derecha. Soncerrados en la topologıa de subespacio de W ya que sus complementosen W son claramente abiertos.

G. RUBIA

NO


Supongamos que existen UA, UB abiertos que separan. Entonces porcada α ∈ [0, ω) sea βα el menor elemento en [0,Ω] tal que (α, β) ∈ UApara β > βα. La coleccion S = βα, (α ∈ [0, ω)) es contable, luegoso = supS < Ω (proposicion 10.41) y por tanto (α, β) | α < ω, β >so ⊆ UA. Notemos que para β con so < β < Ω se tiene que el punto(ω, β) ∈ UB, luego puntos ‘cercanos’ a el, estan tanto en UA como enUB.

Ejercicios 12.3

1. Muestre que el producto de espacios normales no necesariamentees normal, aun en el caso de un numero finito de factores.

Sugerencia: considere el espacio —ejemplo 9.20— con la topologıade los cuadrados semiabiertos de Sorgenfrey y considere los subcon-juntos F , G en la diagonal, dados por los puntos con componentesracionales y los puntos con componentes irracionales respectiva-mente.

Este ejemplo muestra tambien que T3 no implica T4.

2. El espacio de Sierpinski es un ejemplo de un espacio normal queno es regular.

3. Muestre que la normalidad se respeta por homeomorfismos, perono es un invariante bajo continuidad. ¿Que sucede si f es continua,cerrada y sobre?

4. Muestre que en el ejemplo 12.14, X es separable pero el subespacioL no lo es.

5. Muestre que si un espacio producto es normal, entonces cada es-pacio factor es normal.

6. Si (X,T) es regular y de Lindelof entonces es normal.

7. Si (X,T) es regular y 2-contable entonces es normal.

8. Revise el ejemplo 12.13 y generalıcelo para cualquier filtro encualquier conjunto X.

G. RUBIA

NO

12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones 227

12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones

El objeto de esta seccion es resaltar la relacion entre la normalidad enel espacio X y la existencia de funciones f : X −→ Ru continuas y noconstantes.

Definicion 12.17. Dados (X,T) y A,B ⊆ X, decimos que A,B sonseparados por funciones continuas si existe f : X −→ R con f(A) = 0,f(B) = 1.

Notese que si esto sucede entonces A y B son disyuntos pues el con-junto cerrado f−1(1) contiene a A y por tanto contiene a A. Lo mismosucede para f−1(0) y B. Podemos preguntarnos: si A,B son subconjun-tos cerrados disyuntos, ¿existira f que los separe?

Para los espacios metricos la respuesta es afirmativa.

B

A

B

!" 0

!" 1

A

Figura 12.3: Una funcion que separa.

Proposicion 12.18. Si A,B son dos cerrados disyuntos no vacıos deun espacio metrico (X, d) entonces existe f : X −→ [0, 1] continua y talque f(A) = 0, f(B) = 1.

Demostracion. Definimos f como f(x) :=d(x,A)

d(x,A) + d(x,B).

Lo que veremos ahora es que esta propiedad —creacion de funcionescontinuas— puede usarse para caracterizar la normalidad. Tenemos elsiguiente lema —el cual es un teorema—.

Teorema 12.19 (Lema de Urysohn). Un espacio (X,T) es normal si ysolo si dado un par de subconjuntos A,B cerrados, disyuntos y no vacıosde X, existe u : X −→ [0, 1] continua y tal que u(A) = 0, u(B) = 1.

G. RUBIA

NO


Figura 12.4: Construccion en el lema de Urysohn.

Demostracion. La ‘idea’ en la demostracion es brillante pero no por esocomplicada; la funcion u es obtenida como la ultima (el lımite) de unasucesion de funciones escalonadas que al ir definiendolas en una regionque se expande entre A y Bc (figura 12.4) crecen gradualmente desdeu(A) = 0 hasta u(B) = 1. Estas funciones en cada paso incrementan elnumero de escalones a fin de dejar una funcion definida de manera con-tinua con rango en [0, 1]. El numero de escalones en cada paso esta dadopor una cadena enumerable de subconjuntos entre A y Bc:

A = A0 ⊆ A1 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . . ⊆ Bc

y la funcion escalonada se define involucrando los ındices de cada Ai.Como queremos que Ai−1 nunca toque la frontera de Ai a fin de garan-tizar la construccion de los escalones, debemos garantizar entonces que

Ai−1 ⊆Ai y es aquı donde de manera inductiva aplicamos la normalidad

del espacio.

En [0, 1] tomamos los numeros racionales de la formap

2n, 0 < p < 2n

donde p, n son enteros positivos. Este conjunto de numeros se llamafracciones diadicas —fracciones cuyo denominador es una potenciade 2— y lo denotamos por D.

D =

12,14,34,18,38,58,78,

116, . . . ,

1516, . . .

es denso en [0, 1], pues se obtiene de dividir sucesivamente de dos endos el intervalo [0, 1]; efectivamente, dado (a − δ, a + δ) para a ∈ [0, 1]

veamos que existe d ∈ D con d ∈ (a− δ, a+ δ). Como12n→ 0 existe una

G. RUBIA

NO


Figura 12.5: Un paso no permitido en la construccion de las funciones escalon-adas.

potencia q = 2N tal que 0 < 1/q < δ. Ya que

[0, 1] =[1,

1q

]∪[

1q,2q

]∪[

2q,3q

]∪ . . . ∪

[q − 2q − 1

,q − 1q

]∪[q − 1q

, 1]

existe m con a ∈[mq ,

m+1q

], luego m

q ≤ a ≤ m+1q y como 1/q < δ

entonces a− δ < mq ≤ a < a+ δ.

A continuacion definimos una coleccion de abiertos Ud | d ∈ D conla propiedad que si d1 < d2 entonces

A ⊆ Ud1 ⊆ Ud1 ⊆ Ud2 ⊆ Ud2 ⊆ Bc.

Ademas utilizamos sistematicamente la siguiente propiedad: en un espa-cio normal, dado un cerrado A y un abierto U conteniendo a A, existeun abierto V tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U .

Luego existe un abierto llamemoslo U1/2 con A ⊆ U1/2 ⊆ U1/2 ⊆ Bc.Al aplicar de nuevo la propiedad obtenemos abiertos U1/4, U3/4 tales que

A ⊆ U1/4 ⊆ U1/4 ⊆ U1/2 ⊆ U1/2 ⊆ U3/4 ⊆ U3/4 ⊆ Bc.

A partir del paso anterior ya podemos inducir como es el siguiente ennuestra construccion de la coleccion Ud; a manera de ejemplo, el pasosiguiente nos darıa todos los Ud para d = 1/8, 2/8, 3/8, . . . , 7/8 caso enel cual solo hemos agregado los U1/8, U3/8, U5/8, U7/8. Esto es, del paso

G. RUBIA

NO


Uk/2n al paso Uk/2n+1 unicamente resta por agregar los abiertos Uk/2n+1

para los k = 2i+ 1 impares. Para un tal k = 2i+ 1 existe un abierto Ucon la propiedad

U2i/2n+1 ⊆ U ⊆ U ⊆ U2i+1/2n+1 ⊆ Bc

y es a este U al que llamamos U2i+1/2n+1 , con lo cual tenemos la manerainductiva de crear a D.

Notemos que la coleccion Ud, (d ∈ D) es un encaje para el ordennatural en D.

Definimos la funcion u : X −→ [0, 1] como

u(x) =

0, si x ∈ Ud para todo dsupd : x /∈ Ud, en caso contrario

—tomamos el ındice del conjunto Ud mas grande que no contiene a x—.

Por la definicion tenemos u(A) = 0 pues si x ∈ A entonces x esta entodos los Ud. Por otra parte, u(B) = 1 pues x ∈ B implica que x noesta en Ud para todo d, con lo cual el sup es 1.

Para ver que u es continua en el punto x, basta ver que u−1([0, a))y u−1([a, 1)) son abiertos para todo 0 < a < 1 ya que los intervalos dela forma [0, a), (a, 1] son una subbase cuando 0 < a < 1.

En efecto, verifiquemos que

u−1([0, a)) = x | u(x) < a =⋃d<a

Ud

lo cual muestra que se trata de un abierto: dado x ∈ u−1([0, a)) tenemosu(x) ∈ [0, a), o lo que es igual, 0 ≤ u(x) < a; existe entonces dx ∈ D talque u(x) < dx < a, lo que significa u(x) = supd | x /∈ Ud < dx < ay esto implica x ∈ Udx y por tanto x ∈ ⋃d<a Ud y ası u−1([0, a)) ⊆⋃d<a Ud.

De otra parte, dado y ∈ ⋃d<a Ud existe dy ∈ D tal que dy < ay y ∈ Udy . Luego u(y) = supd | y /∈ Ud ≤ dy < a y por tantoy ∈ u−1([0, a)), con lo cual

⋃d<a Ud ⊆ u−1([0, a)).

De manera similar,

u−1([a, 1)) = x | u(x) > a =⋃d>a

Udc

G. RUBIA

NO


es un abierto ya que u(x) > a si y solo si x /∈ Ud para algun d > a. Parala recıproca es suficiente considerar a u−1([0, 1/2)) y u−1((1/2, 1]).

El lema anterior no depende de la forma de D, tan solo de la propiedadtopologica de denso. Tampoco nos garantiza que u(x) = 0 unicamen-te para x ∈ A, o que u(x) = 1 unicamente para x ∈ B, es decirA = u−1(0), B = u−1(1). Para que una funcion ası exista —u esllamada de Urysohn— debemos exigir ademas que los conjuntos A,Bsean Gδ.

La notacion Gδ proviene del idioma aleman: G simboliza la palabraGebiet ‘region’ y δ la palabra durchschniff ‘interseccion’. Un Gδ es unconjunto que puede expresarse como una interseccion enumerable deabiertos.

EJEMPLO 12.16

Trivialmente, todo subconjunto abierto es un Gδ.

En un espacio metrico los conjuntos cerrados son Gδ pues si A ⊆ (X, d)es un cerrado, entonces A =

⋂n∈N S1/n(A), donde

S1/n(A) = x : d(x,A) < 1/n

y por tanto es un abierto.

La necesaria generalizacion del Lema de Urysohn a intervalos cerradoscualesquiera es inmediata.

Corolario 12.20. Sea (X,T) un espacio. X es normal si y solo si dadosA,B subconjuntos cerrados, disyuntos y no vacıos, existe g : X −→ [a, b]continua con g(A) = a, g(B) = b.

Demostracion. Recordemos que la funcion h : [0, 1] −→ [a, b] definidapor h(x) = (b − a)x + a para cada x ∈ [0, 1] es un homeomorfismocon h(0) = a y h(1) = b. Si u es una funcion con las propiedades dellema de Urysohn entonces g = h u satisface las condiciones de nuestrocorolario.

G. RUBIA

NO


12.5. Tietze o extension de funciones

Definicion 12.21. Dados A ⊆ X y una funcion f : A −→ Y , decimosque la funcion F : X −→ Y es una extension de f si para cada a ∈ A,f(a) = F (a).

De la anterior definicion, el lema de Urysohn puede interpretarsecomo un teorema que garantiza la existencia de la extension de unafuncion; dados A,B dos subconjuntos cerrados disyuntos del espacio(X,T) la funcion f : A ∪ B −→ [0, 1] definida como f(x) = 0 six ∈ A, f(x) = 1 si x ∈ B —es una funcion continua definida sobre elsubespacio A ∪B pues A,B son simultaneamente abiertos y cerradosen este subespacio— admite a la funcion u : X −→ [0, 1] dada por ellema de Urysohn como una extension.

Por supuesto el problema de garantizar la existencia de extensionesde funciones no es trivial y en general no es posible encontrar talesextensiones. Por ejemplo, para f : (0, 1] −→ R dada por f(x) = sen( 1

x)—la curva seno del topologo— es imposible 13.7 encontrar una extensioncontinua para el espacio [0, 1], pues, no importa el valor que le asignemosa f(0) siempre es posible encontrar una sucesion convergente a 0 y cuyaimagen no es convergente a f(0) —tomar lıneas paralelas al eje x—.

El siguiente teorema garantiza una solucion al problema cuando delos espacios normales se trata. Fue demostrado por Urysohn, pero lleva elnombre de Tietze, ya que fue este ultimo quien antes lo habıa demostradopara los espacios metricos.

Teorema 12.22 (Extension de Tietze). Sea (X,T) un espacio normal.Dada f : L −→ [a, b] una funcion continua de un subespacio cerradoL ⊆ X, existe una extension F de f con F : X −→ [a, b].

Demostracion. Sea f : L −→ [−1, 1] continua. Tomamos a [−1, 1] enlugar de [a, b] y esto no es perdida de generalidad ya que [a, b] y [−1, 1]son homeomorfos. A continuacion definimos una sucesion de funcionesg1, g2, . . . definidas sobre todo X, la cual nos definira a nuestra extensionF de acuerdo con la formula F (x) =

∑∞n=1 gn(x) —F (x) es por definicion

el lımite de la sucesion infinita de sumas parciales (sn(x)) con sn(x) =∑ni=1 gi(x)—.

G. RUBIA

NO

12.5 Tietze o extension de funciones 233

Sean

A0 =x ∈ L : f(x) ≤ −1/3 = f−1([−1,−1/3])

B0 =x ∈ L : f(x) ≥ 1/3 = f−1([1/3, 1]).

A0, B0 son cerrados y disyuntos.

Por el lema de Urysohn existe g1 : X −→ [−13 ,

13 ] continua y tal que

g1(A0) = −13 , g1(B0) = 1

3 ; luego para cada x ∈ L, | f(x) − g1(x) |≤ 23

—notese que los puntos −13 y 1

3 dividen el intervalo [−1, 1] en tres partesiguales de longitud 2

3—. Definimos f1 := f − g1 la cual es una funcioncontinua con

f1 : L −→[−2

3,23

].

Sean

A1 = f−11 ([−2

3,−1

3(23

)]), B1 = f−11 ([

13

(23

),23

).

Nuevamente, y como antes, existe

g2 : X −→[−1

3

(23

),13

(23

)],

con g2(A1) = −13(2

3), g2(B1) = 13(2

3) y ademas

| f1(x)− g2(x) |≤(

23

)2

,

para x ∈ L; esto es, | f(x)− (g1(x) + g2(x)) |≤ (23)2.

Supongamos que g1, g2, . . . , gn han sido definidas sobreX con la propiedad

| gi(x) |≤ 13

(23

)i−1

| f(x)−n∑i=1

gi(x) |≤(

23

)npara x ∈ L.

De manera inductiva definimos

fn(x) = f(x)−n∑i=1

gi(x).

G. RUBIA

NO


Ası obtenemos dos conjuntos disyuntos An, Bn definidos como

An =f−1n

([(−2

3

)n,−1

3

(23

)n])Bn =f−1

n

([13

(23

)n,

(23

)n])con lo cual el lema de Urysohn asegura la existencia de

gn+1 : X −→[−1

3

(23

)n,13

(23

)n]con | gn+1(x) | ≤ 1

3

(23

)ny ademas ∣∣∣∣∣f(x)−

n+1∑i=1

gi(x)

∣∣∣∣∣ ≤(

23

)n+1

para x ∈ L.

La sucesion g1, g2, . . . es una sucesion de funciones continuas sobre Xtal que

| gn(x) |≤ 13

(23

)n−1

, x ∈ X (12.1)

∣∣∣∣∣f(x)−n∑i=1

gi(x)

∣∣∣∣∣ ≤(

23

)n, x ∈ L. (12.2)

Luego

‖gn‖ = sup|gn(x)| : x ∈ X ≤ 13

(23

)n−1

y como∑∞

i=0(12)(2

3)n = 1 tenemos que∑∞

i=1 gi es uniformemente con-vergente y converge a la funcion F definida como F (x) =

∑∞i=1 gi(x).

F es continua ya que es el lımite uniforme de la sucesion de funcionescontinuas sn con sn(x) =

∑ni=1 gi(x). Finalmente, por la desigualdad en

12.2 tenemos que para x ∈ L, F (x) = f(x).

Corolario 12.23. Si un espacio (X,T) tiene la propiedad de extenderfunciones como en el teorema anterior, entonces es normal.

Demostracion. Es suficiente ver que un espacio con esta propiedad satis-face las condiciones en el lema de Urysohn y este ultimo asegura entoncesque X es normal.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 12.17

El disco unitario cerrado D ⊆ R2 es un espacio metrico y por tanto esnormal. Entonces para cada funcion continua f : S1 → [0, 1] existe unaextension continua al disco D.

Como una curiosa consecuencia de este ejemplo, tenemos la siguiente:tomamos la temperatura como una funcion continua. Supongamos quetenemos una moneda, y la consideramos como el disco unidad D. Pode-mos afirmar que dada una temperatura en el borde de la moneda, esposible repartir calor en toda la moneda de forma que la temperaturaen el borde coincida con la dada en su borde.

Si en el teorema 12.22 omitimos la condicion de cerrado para L,entonces el teorema no se tiene. Por ejemplo para X = [0, 1], L = (0, 1]y f(x) = sen(1/x), 0 < x ≤ 1; ya hemos visto que f no puede serextendida de manera continua.

Nota. Cuando un espacio Y se comporta como el espacio R para elteorema de Tietze 12.22, lo llamamos un RA o retracto absoluto.

Definicion 12.24. El espacio (Y,H) es un RA si para cada espacio(X,T) normal y para cada L ⊆ X cerrado, dada f : L −→ Y continua,existe una extension continua F : X −→ Y .

EJEMPLO 12.18

Los espacios Rnu y los cubos de dimension finita (In, usual) son retractos

absolutos. Para ver que Rn es un retracto absoluto consideremos f :L −→ Rn continua. Si pi es la proyeccion i-esima entonces fi = pi fes continua como funcion de L en R y sea Fi su extension a todo X. Sidefinimos F : L −→ Rn como F (X) = (F1(x), . . . , Fn(x)), F es continuay ademas es extension de f .

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 12.19

Existencia de homotopıas. Sean (X,T) normal y A ⊆ X cerrado. Dadaf : A −→ Rn existe F : X −→ Rn extension de f ; en efecto, para cadafuncion coordenada fi = pif existe una extension continua Fi : A −→ Ry por tanto la funcion F = (Fi)1=1,2,...,n es continua.El espacio (I × I, usual) es normal y el subconjunto A formado por loslados superior e inferior del cuadrado unidad es cerrado, i. e.,

A = (x, y) : y = 1 ∪ (x, y) : y = 0.

Si f : A −→ R2 es continua, existe una extension continua

F : (I × I, usual) −→ R2

llamada homotopıa.

Ejercicios 12.5

1. Decimos que (X,T) es un espacio completamente normal si lapropiedad es hereditaria, i.e., cada subespacio de X es normal.

Muestre que (X,T) es completamente normal si y solo si todo parde conjuntos separados pueden ser separados por vecindades.

2. (X,T) es un espacio T5, o un espacio completamente T4, si escompletamente normal y Hausdorff, o, equivalentemente, si cadasubespacio de X es T4.

(X,T) es un espacio perfectamente normal si cada par de con-juntos cerrados disjuntos pueden ser separados exactamentemediante una funcion continua f : X → [0, 1], i.e., ellos son lasimagenes inversas de 0 y 1 respectivamente.

3. Muestre que el teorema de Extension de Tietze sigue siendo vali-do para funciones continuas f : L −→ R; es decir, no tenemosnecesidad de restringirnos en el codominio a intervalos cerrados.

4. Sea Y = R−0 con la topologıa de subespacio usual de R. Consid-eremos A = [−1,−1/2] ∪ [1/2, 1], iA : A → Y . Muestre que iA escontinua y no admite una extension a todo R. ¿Ve la importanciadel codominio?

G. RUBIA

NO


5. De manera analoga a la definicion de los conjuntos Gδ, decimosque A ⊆ X es un conjunto Fσ si A se puede representar como unaunion enumerable de cerrados. Muestre que A es Gδ si y solo si Ac

es Fσ.

G. RUBIA

NO13 Conexidad

Algunos espacios topologicos, como el intervalo unidad, la recta real,el toro (con las topologıas usuales), parece que estan formados de unasola pieza o literalmente sus partes constituyentes no estan desconec-tadas, como sucede en contraste con ciertos subespacios en R2, entreellos:

1. El constituido por dos segmentos de lınea que no se interceptan.

2. El complemento de una circunferencia en el plano, el cual resultaser union disyunta de dos subespacios abiertos.

Figura 13.1: Dos globos en R3 constituyen un subespacio no conexo.

A continuacion precisamos este concepto de conexidad y veremos queresulta ser de valor topologico; es decir, es un invariante.

13.1. La conexidad como invariante topologico

Definicion 13.1. Dado un espacio (X,T), una separacion para X laconstituye un par A,B de subconjuntos no vacıos, abiertos y tales que

238

G. RUBIA

NO

13.1 La conexidad como invariante topologico 239

A ∪B = X y A ∩B = ∅.

Notese que en la definicion anterior los conjuntos A y B son comple-mentarios entre sı; esto es equivalente a requerir que A y B sean amboscerrados a cambio de abiertos, o que exista A ⊆ X no vacıo, abierto ycerrado, i. e., aberrado.

Ademas, no es suficiente con exigir que A y B sean disyuntos, puestodo espacio con mas de un punto serıa trivialmente no-conexo. Quere-mos que realmente A y B sean dos piezas separadas; esto es, que no hayapuntos de A adherentes a B o viceversa. Luego A debe estar contenidaen Bc, A ⊆ Bc, y como A = Bc, concluimos que A y B deben de serambos cerrados o equivalentemente ambos abiertos.

Definicion 13.2. Un espacio (X,T) es conexo si no existe una sepa-racion para X.

Por supuesto un subespacio sera conexo si visto como espacio esconexo; claramente, la posible conexidad del subespacio solo depende deel y no del espacio que lo contiene.

EJEMPLO 13.1

La figura 13.2(a) es una region circular conexa y 13.2(b) es el subespaciode R2 formado por las circunferencias de centro el origen y radio 1−1/n,(n ∈ N) atadas por el segmento de recta [1/2, 1), junto con S1.

Teorema 13.3. Ru es un espacio conexo.

Demostracion. Supongamos que existe una separacion A,B para R.Veamos que algun punto de A es un punto de acumulacion de B oviceversa, lo cual muestra que ambos no pueden ser cerrados simultanea-mente.

Sean a ∈ A, b ∈ B con a < b. Definimos M := x ∈ A | a < x < b.M es acotado y sea m = supM . Supongamos que m ∈ A, con lo cualm < b, y entonces todos los puntos que estan entre m y b estan en B ypor tanto m es un punto de acumulacion de B, con lo cual B no serıacerrado. De otra parte, si m /∈ A entonces m ∈ B y en este caso mserıa un punto de acumulacion de A, lo cual contradice la manera comohemos elegido a A.

G. RUBIA

NO

240 Conexidad

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(a)

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(b)

Figura 13.2: (a) es conexo; aunque menos obvio, (b) tambien es conexo.

El siguiente teorema caracteriza los subconjuntos de R que puedenser conexos.

Teorema 13.4. Un subconjunto A no vacıo de Ru es conexo si y solosi A es un intervalo.

Demostracion. ⇒) Si A es conexo y no es un intervalo, existen a, b ∈ A yun punto p /∈ A tal que a < p < b. Sean U = (←, p)∩A, V = (p,→)∩A;claramente U, V son una separacion para el subespacio A.

⇐) Si A es un intervalo, para verificar su conexidad la demostraciondel teorema anterior se adapta facilmente.

EJEMPLO 13.2

(R, cofinitos) es conexo. Lo mismo sucede para todo subespacio infinitode este espacio.

La lınea de Sorgenfrey (R, [a, b)) no es conexa pues [7,∞) es aberrado.

EJEMPLO 13.3

Todo espacio no unitario con la topologıa discreta es no-conexo, mientrasque todo espacio con la topologıa grosera es conexo.

La siguiente caracterizacion para la conexidad en terminos de funcionescontinuas, aunque aparentemente no nos exprese directamente el con-cepto intuitivo de la conexidad, es util y facil de aplicar.

G. RUBIA

NO


Teorema 13.5. Un espacio (X,T) es conexo si y solo si toda funcioncontinua f : X −→ 0, 1 —0, 1 con la discreta— es constante.

Demostracion. ⇒) Si X es conexo y existe f : X −→ 0, 1 continua ysobre, los conjuntos f−1(0), f−1(1) forman una separacion para X.

⇐) Si X es no conexo, existe una separacion A,B para X. Si defin-imos f : X −→ 0, 1 como f(x) = 0 para x ∈ A y f(x) = 1 parax ∈ B, tenemos que f es continua y sobre, lo cual contradice nuestrahipotesis.

EJEMPLO 13.4

Por el anterior teorema, no existen funciones continuas sobreyectivasde un espacio conexo en uno no conexo. Por ejemplo, no existe unasobreyeccion continua R −→ R− 0.

1. La n–esfera Sn es conexa si n > 0, ya que podemos definir unasobreyeccion continua f : Rn+1 − 0 −→ Sn por f(x) = x

‖x‖ (elcorolario 13.11 muestra que Rn+1 − 0 es conexo).

2. El espacio GL(3,R) no es conexo, ya que R − 0 no lo es y existeuna funcion det continua y sobreyectiva

det : GL(3,R) −→ R− 0

definida por M 7→ det(M) —determinante de M—. Es sobreyectiva:para t ∈ R− 0 la matriz

(t 0 00 1 00 0 1

)es invertible y tiene determinante t.

Es intuitivo que si a un subespacio conexo le agregamos parte de suspuntos adherentes seguimos teniendo conexidad (ver figura 13.2 dondeagregamos S1). Este es el tema del siguiente teorema.

Teorema 13.6. Sea A un subconjunto conexo de un espacio topologico(X,T). Si B es tal que A ⊆ B ⊆ A entonces B es conexo.

Demostracion. Sea f : B −→ 0, 1 continua. Sabemos que f(A) esun conjunto unitario puesto que la restriccion f |A es continua y A esconexo, luego f(B) ⊆ f(A) ⊆ f(A) es tambien unitario y ası f no essobreyectiva.

G. RUBIA

NO

242 Conexidad

Proposicion 13.7. Sea (X,T) un espacio y A,B una separacion de X.Si C es un subespacio conexo de X entonces C ⊆ A o C ⊆ B.

Demostracion. Si se diera simultaneamente A ∩ C 6= ∅ y B ∩ C 6= ∅,entonces estos dos conjuntos formarıan una separacion para C.

Veamos ahora que la conexidad es respetada por las funciones con-tinuas y por tanto es un invariante topologico.

Teorema 13.8. Sean (X,T), (Y,H) espacios. Si X es conexo yf : X −→ Y es continua entonces f(X) es conexo.

Demostracion. Si f(X) es no conexo, existe g : f(X) −→ 0, 1 continuay sobre. Por tanto g f es continua y sobre, lo cual contradice que sudominio X es conexo.

El siguiente corolario nos explica por que algunas veces al tener unafuncion f : R −→ R decimos que es continua, si al dibujar su grafo nohay necesidad de levantar el lapiz del papel; es decir, su grafo es unsolo trazo, con lo cual es conexo.

Corolario 13.9. Sean (X,T), (Y,H) dos espacios. Si X es conexo yf : X −→ Y es una funcion continua entonces

Gf := (x, f(x)) | x ∈ X ⊆ X × Y—el grafo de f— es un subespacio conexo.

Demostracion. La funcion g : X −→ X × Y definida como g(x) =(x, f(x)) es continua ya que sus proyecciones son la funcion idX y f .

Nota. Tenemos aun mas de lo que dice el anterior corolario. El espacioX es homeomorfo a Gf ; esto es, X es homeomorfo a su ‘imagen’ dadapor f en X × Y .

Consideremos la biyeccion h : X −→ Gf dada por h(x) = (x, f(x)).La funcion h es continua ya que sobre la base Gf ∩ (U × V ) : U ∈T, V ∈ H tenemos h−1(Gf ∩ (U × V )) = U ∩ f−1(V ).

De otra parte, para U ∈ T, h(U) = (x, f(x)) | x ∈ U=Gf∩(U×V )tambien es un abierto en Gf , con lo que h−1 es continua.

Moraleja: Dada f : R −→ R continua, no importa lo que hagamoscon R, el grafico de la funcion es ‘de nuevo’ R.

G. RUBIA

NO


Conexidad en el producto

Aunque la interseccion de dos espacios conexos no necesariamente esconexa —¿por que?—, sı lo es su producto cartesiano.

Teorema 13.10. Si (X,T), (Y,H) son espacios conexos entonces elespacio producto X × Y con la topologıa producto es conexo.

a1 b1

a2

b2

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...............Y

X

•

•g

h

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Figura 13.3: Conexidad en el producto.

Demostracion. Si X×Y no es conexo, existe f : X×Y −→ 0, 1 contin-ua y sobre. Sean a = (a1, a2), b = (b1, b2) tales que f(a) = 0, f(b) = 1.Definimos las funciones (fig. 13.3) g : X −→ 0, 1, h : Y −→ 0, 1como g(x) := f(x, b2) y h(y) := f(a1, y). g, h son continuas —lo sonsus proyecciones— con lo cual g(X) y h(Y ) son conjuntos unitarios.Por ser g(b1) = f(b1, b2) = 1 tenemos g(a1) = 1. Por otra parte, co-mo h(a2) = f(a1, a2) = 0 tenemos h(b2) = 0, de donde obtenemosf(a1, b2) = g(a1) = 1 6= 0 = h(b2) = f(a1, b2), lo cual contradice ladefinicion de funcion de f . Ası que X × Y debe ser conexo.

Corolario 13.11. Rnu es conexo.

Lema 13.12. Sea (X,T) un espacio. Si Cii∈I es una familia de sub-conjuntos conexos de X con la propiedad que existe un ındice j ∈ I talque para cada i ∈ I tenemos que Ci ∩ Cj 6= ∅, entonces C =

⋃i∈I Ci es

conexo.

G. RUBIA

NO

244 Conexidad

Demostracion. Si A,B es una separacionde C entonces para cada Ci tenemos queCi ⊆ A o Ci ⊆ B. Si suponemos queCj ⊆ A entonces, para ningun ındice i,Ci esta contenido en B puesto que Cj noes disyunto de algun Ci. Ası, todos los Ciestarıan en A obligando a queB sea el con-junto vacıo, lo cual contradice que A,B esuna separacion.

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Veamos que en el teorema 13.10 no es relevante la cardinalidad en elnumero de factores.

Teorema 13.13 (La conexidad es productiva). Sea X =∏i∈I Xi un

espacio producto con la topologıa producto. Si cada espacio coordenadoXi es conexo entonces X es conexo.

Demostracion. Sea a = (ai)i∈I un elemento arbitrario pero fijo de X.Sea Ca la union de todos los conjuntos conexos en X que contienen alpunto a —Ca es la componente conexa de a—. Como el conjunto unitarioa es conexo, por la proposicion anterior tenemos que Ca es conexo.

Ahora veamos que Ca es un subconjunto denso en X, lo cual muestraque X es conexo por ser la adherencia de un conexo. Para cada J , J ⊆ Iy finito, el subespacio

AJ =∏i∈J

Xi ×∏i/∈Jai

es conexo ya que es homeomorfo a∏i∈J Xi —un producto finito— y

ademas contiene al punto a. Por tanto, AJ esta contenido en Ca paracada J finito. Dado un abierto basico U cualquiera

U = Ui1 × · · · × Uin ×∏i 6=ik

Xi, en este caso J = i1, · · · , in

AJ corta a U , i. e., Ca corta a U , con lo cual Ca es denso.

Ejercicios 13.1

1. En R2u es: ¿Q×Q conexo? ¿(R×Q) ∪ (Q× R)? (No, sı.)

G. RUBIA

NO


2. Si Aa, (a ∈ L) es una coleccion de subespacios conexos de unespacio X y para cada par a, b ∈ L tenemos que Aa ∩ Ab 6= ∅entonces

⋃a∈LAa es conexo.

3. De un argumento envolviendo la conexidad para mostrar que (0, 1)y S1 no son homeomorfos.

4. Pruebe el teorema del calculo conocido como teorema del val-or intermedio para funciones utilizando argumentos de estaseccion.

5. Muestre que Rn − 0 es conexo para n > 1.

6. Muestre que la esfera Sn ⊆ Rn+1 es conexa para n ≥ 1.

7. Muestre que el espacio de Sorgenfrey (R,J+) no es conexo.

8. Muestre que un espacio (X,T) es conexo si y solo si para todoA ⊆ X, A 6= ∅ se tiene que Fr(A) 6= ∅.

9. Dados un espacio (X,T) y A,B ⊆ X con A un subespacio conexo,muestre que si A ∩ B 6= ∅ 6= A ∩ Bc entonces A ∩ Fr(B) 6= ∅.Esta propiedad se conoce con el nombre de teorema del paso deaduana.

10. Revise el corolario 13.9 y de topologıas para R de tal manera queexista una funcion f continua y su grafo no sea un solo trazo.

11. Sea (X,T) conexo y R una relacion de equivalencia en X. Muestreque el espacio identificacion X/R es conexo.

12. Muestre que si n > 1 entonces Rn no es homeomorfo a R.

13. Toda topologıa por debajo de una conexa es conexa. Si(X,T) es conexo y H ≤ T entonces (X,H) es conexo.

14. Los espacios finitos (no unitarios) conexos y T1 no existen.Muestre que si (X,T) es conexo y T1 entonces X es infinito ounitario.

G. RUBIA

NO

246 Conexidad

13.2. Subespacios conexos maximales

Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios conexos,y entre estos vamos a analizar aquellos que son maximales con respecto ala relacion de inclusion, lo cual nos brinda una manera natural de definiruna particion del espacio, haciendo uso del concepto de conexidad. Enotras palabras, vamos a definir una relacion de equivalencia.

Definicion 13.14. Sean (X,T) un espacio y A un subespacio de X.Decimos que A es una componente conexa de X o un conexo max-imal en X si A es conexo y no es subconjunto propio de algun otrosubespacio conexo de X.

Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa (teorema 13.6)las componentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada puntox ∈ X pertenece a una unica componente: exactamente a la unionde todos los subespacios conexos que contienen el punto x. Ası, elconjunto de las componentes conexas de un espacio X determina unaparticion de X.

Si las componentes son unicamente conjuntos unitarios tenemos lasiguiente definicion.

Definicion 13.15. Un espacio (X,T) se llama desconectado total-mente si las componentes conexas son los conjuntos unitarios x.

EJEMPLO 13.5

Cada espacio discreto es desconectado totalmente; pero existen espaciosdesconectados totalmente que no son discretos, por ejemplo X=0 ∪ 1/n | n ∈ N, o X = Q (como subespacios de (R, usual)).

Por supuesto todo espacio desconectado totalmente es T1. Mas aun, cual-quier subespacio contable de un espacio metrico es totalmente desconec-tado, y algunos no contables, como los irracionales I ⊆ Ru.

Ejercicios 13.2

1. Muestre que (R, [a, b)) es totalmente desconectado.

G. RUBIA

NO

13.3 El conjunto C de Cantor 247

2. Muestre que las componentes conexas en un espacio X son con-juntos disyuntos no vacıos cuya reunion es X.

3. Sea (X,T) un espacio. La relacion x ≡ y si y solo si x, y pertenecena la misma componente conexa es una relacion de equivalencia.

4. Sea (X,T) un espacio. Muestre que si X tiene finitas componentesconexas entonces, para cada x, la componente conexa que contienea x es un aberrado.

5. Muestre que un espacio es conexo si y solo si posee una unicacomponente conexa.

6. Sea (Xi,Ti), (i ∈ I) una familia de espacios topologicos. Dado unpunto x = (xi) en el espacio producto de esta familia, muestreque la componente conexa del punto x es igual al producto de lascomponentes conexas de cada xi.

7. Muestre que el numero de componentes es un invariante topologi-co.

8. Muestre que si A ⊆ (X,T) es un subespacio conexo y ademasaberrado entonces A es una componente conexa de X.

9. Si (X,T) es un espacio con la propiedad que: dado cualquier parde elementos x, y ∈ X existe un subespacio conexo de X que loscontiene entonces X es conexo.

13.3. El conjunto C de Cantor

El siguiente espacio totalmente desconectado es uno de los espaciosmas patologicos e interesantes que ha acompanado a la topologıa desdesus inicios.

Fue introducido independientemente por G. Cantor1 y por H. J.Smith en 1875; Cantor lo construyo para resolver de manera afirma-tiva un problema que se habıa planteado en el marco de la naciente

1Georg Cantor (San Petersburgo, 1845-Halle, 1918), matematico aleman, inventorcon Dedekind y Frege de la teorıa de conjuntos, que es la base de las matematicasmodernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fueel primero capaz de formalizar la nocion de infinito bajo la forma de los numerostransfinitos (cardinales y ordinales). Murio en una clınica psiquiatrica de monjas,aquejado de una enfermedad manıaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad).

G. RUBIA

NO

248 Conexidad

topologıa, a saber, si existıa o no un subconjunto compacto no vacıo deR que fuera totalmente desconectado y denso en sı mismo. Posterior-mente se demostro que todos los conjuntos con estas caracterısticas sontopologicamente equivalentes —homeomomorfos—. Hoy se conoce comoel conjunto C de Cantor.C es un subconjunto no contable del inter-valo [0, 1]; exactamente consiste de todoslos numeros reales x que pueden ser repre-sentados de la forma

x =∞∑i=1

αn3−n,

donde αn ∈ 0, 2 para cada n ∈ N. Aunquehablamos del conjunto de Cantor, el llevaintrınsecamente la topologıa de subespaciode (R, usual). La definicion anterior haceque algunas veces se le llame conjuntotriadico o ternario de Cantor.

En otras palabras, C es el conjunto de todos los numeros x ∈ [0, 1]cuya expansion x = 0.x1x2 . . . xn . . . en la base 3 no utiliza el dıgito1, esto es xi 6= 1 para todo i con lo que xi ∈ 0, 2. Debido a estadescripcion un punto x ∈ C es en la practica un elemento x ∈ 0, 2N,x : N −→ 0, 2 lo cual nos hace pensar en un producto cartesiano.

Geometricamente puede describirse formando los siguientes subcon-juntos An cerrados en [0, 1]:

A0 =[0, 1]A1 =[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]A2 =[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]A3 =[0, 1/27] ∪ [2/27, 1/9] ∪ [2/9, 7/27] ∪ [8/27, 1/3] ∪ [2/3, 19/27]∪

[20/27, 7/9] ∪ [8/9, 25/27] ∪ [26/27, 1]. . .

etc.; en general Ai+1 se obtiene de Ai removiendo la tercera parte en elmedio de cada una de las componentes de Ai, con lo que

C =⋂i∈N

Ai.

G. RUBIA

NO


Notese que cada punto en los extremos de las componentes de los Aipertenece a C.

0 19

29

13

23

79

89 1

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A0

A1

A2

A3

. . . . . .

Figura 13.4: Conjunto de Cantor.

Tenemos ası dos definiciones para C, una en terminos de sucesiones yotra de manera constructiva.

No es difıcil ver la relacion entre estas dos definiciones si notamos queal construir A1, cuando retiramos el intervalo (1/3, 2/3) lo que hacemosprecisamente es eliminar todos los numeros reales en [0, 1] que requierenx1 = 1 en su desarrollo en base tres, i. e., los numeros que empiezan por0,1 (menos el 1/3 que tambien se puede escribir 0, 02222222222 . . . enbase tres).

Como segundo paso, en A2 retiramos los intervalos intermedios de[0, 1/3] y [2/3, 1] —los numeros reales en [0, 1] que requieren x2 = 1 ensu desarrollo triadico— eliminando ası el intervalo (1/3, 2/3) que corre-sponde a los numeros que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que tambiense puede escribir 0, 02222... en base tres) y el intervalo (1/9, 2/9) quecorresponde a los numeros que empiezan por 0,01 y ası sucesivamente.Por ejemplo 1

4 = ,020202 . . ., 23 = ,2000 . . ., 1 = ,222 . . .

Las dos presentaciones anteriores motivan la siguiente proposicion.

Proposicion 13.16. El conjunto C de Cantor es homeomorfo al espacioproducto X =

∏i∈NXi, donde Xi = (0, 2, discreta) para cada i. Este

espacio se llama discontinuo de Cantor.

Demostracion. Sea x ∈ X, con x = (x1, x2, . . .) donde xn ∈ 0, 2.

G. RUBIA

NO

250 Conexidad

Definimos

f :∏i∈N

Xi −→ C como f(x) :=∞∑i=1

xn3−n

con lo cual f es una funcion biyectiva. Para verificar la continuidad def tomemos un x ∈ X y por cada n ∈ N consideremos

Vx(n) := q ∈ X : qi = xi para i ≤ n—los que coinciden con x en las primeras n-componentes—. Dado ε > 0,existe N ∈ N tal que la serie

∞∑n=N+1

(23

)n< ε

y por tanto si q ∈ Vx(N) entonces

| f(x)− f(q) |=∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

xi − qi3n

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=N+1

(23

)n< ε

esto es, f es continua. Como X es compacto y C es de Hausdorff, entoncesf−1 tambien es continua.

Por construccion C es cerrado y es compacto, pues es la interseccionde subconjuntos cerrados del espacio compacto [0, 1]. Luego es unespacio metrico completo y por tanto satisface todos los axiomasTi de separacion.

Si µ es la funcion de medida —longitud— en R, entonces C tiene“medida” 0 pues la medida de su complemento con respecto a [0, 1]es la medida de la union de las terceras partes medias, esto es

µ(Cc) = 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + · · · =∞∑i=1

2i−1

3i=

12

∞∑i=1

2i

3i= 1.

Pero como [0, 1] tiene tambien medida 1, entonces C tiene medidacero. Ası que “el todo no es mayor que cada una de sus partes”.

C no tiene puntos aislados, es decir C ⊆ Ca, todo punto es de acu-mulacion de C mismo. Dado x ∈ C, x es un punto de acumulacionde C − x pues dado p ∈ C cualquier abierto Up ⊆ C contienepuntos de C distintos de p; por tanto, C es denso en sı mismo —Xes denso en Y si Y ⊂ X—.

G. RUBIA

NO


Pero de otra parte C es denso en ninguna parte con respecto a [0, 1]pues dados x, y ∈ C con x < y, existe un intervalo J = (a, b) ⊆ Cctal que x < a < b < y —mire la expansion binaria de los puntosx, y—, esto es, (C) = C = ∅.

C es tambien totalmente desconectado —dados x, y ∈ X existe unaseparacion A,B de X tal que x ∈ A, y ∈ B— pues las componentesconexas de cada punto se reducen al propio punto.

[0, 1] es una imagen continua de C. La funcion f : C −→ [0, 1]definida por

f(x) =∞∑i=1

(12xn

)2−n para x =

∞∑i=1

xn3−n

es continua y sobreyectiva. Esto muestra que C no es contable.

En general cualquier espacio metrico que sea compacto, totalmentedesconectado, denso en sı mismo —todo punto sea de acumu-lacion—, es homeomorfo al conjunto de Cantor. Ası que las ante-riores propiedades topologicas son una carta de presentacion paraC, excepto por la forma disfrazada con que se presente el espaciohomeomorfo. Pero en topologıa el color no nos concierne.

C es homeomorfo a C×C. Considere a f : C → C×C definida comof((a1, a2, a3, ...), (b1, b2, b3, ...)) := (a1, b1, a2, b2, a3, b3, ...).

Figura 13.5: Variacion fractal en el conjunto de Cantor.

G. RUBIA

NO

252 Conexidad

Como un ultimo comentario, si al lector le incomoda la base 3, defina elconjunto de Cantor como los puntos de [0, 1] que tienen en su expansion K

decimal tan solo 0 o 9. ¿Como sera su representacion grafica? ¡Intentelo!

En una frase final, C tiene una infinidad no enumerable de puntos peroningun intervalo cabe en el, es denso en sı mismo pero tambien densoen ninguna parte y contiene muchos mas puntos que los extremos delos intervalos en el proceso de construccion.

13.4. Conexidad local

Casi de igual manera a como fue ‘localizado’ el concepto de compaci-dad podemos localizar la conexidad en un punto.

Definicion 13.17. Un espacio (X,T) es localmente conexo en elpunto x ∈ X si dada cualquier vecindad Ux existe una vecindad abiertay conexa Vx tal que x ∈ Vx ⊆ Ux. Si X es localmente conexo en cadapunto decimos que es localmente conexo —cada punto posee un sistemafundamental de vecindades conexas—.

EJEMPLO 13.6

El siguiente espacio no es conexo local-mente. Por cada entero positivo n defi-namos el segmento de recta An ⊆ R2 comoAn = (x, 1

n) : 0 ≤ x ≤ 1 y A0 = (x, 0) :0 ≤ x ≤ 1. Sea X = A0 ∪ (∪n=1An).Las componentes conexas de X son A0, A1,A2, . . . Sabemos que A0 es cerrada, peroclaramente no es abierta en X. Esto nosproduce un ejemplo de un espacio cuyascomponentes no necesitan ser abiertas.

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El siguiente teorema muestra que para los espacios localmente co-nexos no se tiene la consecuencia del ejemplo 13.6. ¿Podra ser esta unajustificacion para haberlos definido?

Teorema 13.18 (Caracterizacion). Un espacio (X,T) es localmenteconexo si y solo si las componentes de cada subespacio abierto de Xson abiertas.

G. RUBIA

NO

13.4 Conexidad local 253

Demostracion. Supongamos que X es localmente conexo y que C esuna componente de un subconjunto U abierto. Dado c ∈ C existe unaVc conexa y abierta —segun X— tal que Vc ⊆ U ; ası Vc ⊆ C, pues C esmaximal y por tanto C es abierta.

En el otro sentido, dados x ∈ X y Ux vecindad abierta de x, lacomponente conexa Vx de Ux que contiene a x es abierta y x ∈ Vx ⊆ Ux.Luego X es localmente conexo.

Corolario 13.19. Cualquier componente en un espacio localmente co-nexo es abierta y cerrada —aberrada—.

Demostracion. Considere a X como un subconjunto abierto de sı.

EJEMPLO 13.7

La curva seno del topologo. Es definida como launion A∪B en R2 del grafo A de la funcion sen

(1x

),

(0 < x ≤ 1π ) con el segmento B de recta en el eje

Y dado por los puntos (0, y) | −1 < y < 1 yun arco de circunferencia que une los extremos dela curva y la recta (ver figura 8.4). Este espacio esconexo pero no localmente conexo en cada uno delos puntos del segmento (0, y) | −1 < y < 1. Noteque A = A ∪B.

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La imagen por una funcion continua de un espacio localmente conexono es en general localmente conexa; de lo contrario, todo espacio (X,T)serıa localmente conexo, puesto que es imagen del espacio (X, discreta)por medio de la funcion identica. El siguiente teorema nos da las condi-ciones necesarias (en particular muestra que la conexidad local es uninvariante topologico).

Teorema 13.20. Sean (X,T), (Y,H) espacios con X localmente conexoy f : (X,T) −→ (Y,H) una funcion continua, cerrada (abierta) y sobre.Entonces Y es localmente conexo.

Demostracion. Sea U ∈ H y sea C una componente conexa de U . Por elteorema 13.18 debemos ver que C es abierta. Por cada x ∈ f−1(C) seaCx la componente conexa de x en f−1(U). Sabemos que Cx es abierta

G. RUBIA

NO

254 Conexidad

y como f(x) ∈ C el conjunto conexo f(Cx) debe estar contenido en C.Ası,

f−1(C) =⋃Cx : x ∈ f−1(C)

con lo que f−1(C) es abierto. Como f es cerrada y sobre f(f−1(C)c) =Cc, con lo cual Cc es cerrado ya que f−1(C)c es un cerrado; esto de-muestra que C es abierta.

Es un ejercicio demostrar el teorema con la hipotesis de f abierta acambio de cerrada.

EJEMPLO 13.8

Sean X = 0, 1, 2, . . ., Y = 0, 1, 1/2, 1/3, . . . con la topologıa de sube-spacios de (R, usual). La funcion f : X −→ Y definida por f(0) = 0,f(n) = 1/n es una biyeccion continua; pero X es localmente conexomientras que Y no lo es, pues en el punto 0 se acumula el espacio, im-pidiendo ası tener vecindades conexas.

Teorema 13.21. El producto finito de espacios localmente conexos eslocalmente conexo.

Demostracion. Sean X1, . . . , Xn espacios localmente conexos y X =∏Xi, (i = 1, . . . , n) el espacio producto. Sean x = (x1, . . . , xn) ∈ X y U

un abierto en X tal que x ∈ U . Existe un abierto basico U1×. . .×Un ⊆ Uconteniendo a x, y como cada Xi es localmente conexo, tomemos porcada i un Vi abierto y conexo tal que xi ∈ Vi ⊆ Ui. Entonces V =V1× . . .×Vn es un abierto y conexo contenido en U y que tiene a x.

Ejercicios 13.4

1. Muestre el teorema 13.20 suponiendo que f es abierta a cambio decerrada.

2. ¿Es necesaria en el teorema 13.21 la condicion sobre el cardinalpara el numero de factores?

3. Sean X = a, b, c, d, T = ∅, a, a, b, a, b, c, X. ¿Es (X,T)un espacio conexo? ¿Localmente conexo?

4. Muestre que todo espacio finito es localmente conexo.

G. RUBIA

NO

13.5 Conexidad por caminos 255

5. Muestre que ser localmente conexo no es una propiedad here-ditaria.

6. Muestre que todo subespacio abierto de un espacio localmenteconexo es localmente conexo.

7. Muestre que si un espacio tiene un numero finito de componentesentonces cada componente es aberrada.

13.5. Conexidad por caminos

La primera nocion de ‘conexidad’ fue dada por K. Weierstrass2, la cualen el contexto de R2 intuitivamente significa lo siguiente: un subcon-junto M ⊆ R2 es conexo si dos puntos cualesquiera de M pueden serconectados por un camino que no se sale de M .

EJEMPLO 13.9

La figura (un disco con una circunferencia exteri-or) es no conexa segun este criterio ya que todo‘camino’ que vaya de la circunferencia al disco, tieneque pasar por ‘fuera’ de las dos regiones —la re-gion comprendida entre ellas—. Claro que en esteejemplo el criterio de conexidad de Wierstrass y elque vimos en la seccion anterior coinciden, pero nosiempre es el caso.

Definicion 13.22. Un camino en un espacio X es una funcion continuaf : [0, 1] −→ X. Si f(0) = a, f(1) = b, decimos que el camino tiene puntoinicial en a y punto final en b. f conecta a con b.

El concepto de camino es mucho mas sutil de lo que aparenta. En lamayorıa de los casos al camino lo identificamos con f([0, 1]) y es en estasituacion cuando nos sorprende lo que pueda llegar a ser un camino.Jordan en 1877 y Peano en 1890 anunciaban la existencia de curvascapaces de llenar un cuadrado. ¿Se trataba de ‘monstruos’ desprovistosde utilidad? En un comienzo se creyo ası, pero poco a poco se apropiaron,con justa razon y valor, de su propio derecho a existir y hoy en dıa

G. RUBIA

NO

256 Conexidad

los podrıamos ubicar como pioneros de la teorıa de los “fractales” deMandelbrot. Cerremos este comentario evocando las palabras de Cantora Dedekind, 20 junio de 1877: (ver figura 10.2 de la pagina 161)

“ ... lo veo pero no puedo creerlo... se trata de mostrar quelas superficies, los volumenes e incluso las variedades con-tinuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondenciaunıvoca con curvas continuas, o sea con variedades de unasola dimension, y que por consiguiente las superficies, losvolumenes y las variedades de n dimensiones tienen tambienla misma potencia que las curvas...”.

Definicion 13.23. Un espacio (X,T) es conexo por caminos si dadosx, y ∈ X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final en y.Cada par de puntos en X puede ser unido por un camino.

EJEMPLO 13.10

1. Para cada n ∈ N, Rnu es conexo por caminos.

2. Para cada n ∈ N, la esfera Sn es conexa por caminos.

3. S = 0, 1 con la topologıa de Sierpinski es conexo por caminos.f : [0, 1] −→ S definida por f(t) = 0 si t ∈ [0, 1) y f(1) = 1 escontinua.

El concepto de conexidad por caminos es mas fuerte que el de conexidad.

Teorema 13.24. Si (X,T) es conexo por caminos entonces es conexo.

Demostracion. Sea a ∈ X. Para cada x ∈ X existe un camino αx :[0, 1] −→ X que conecta a con x. αx([0, 1]) ⊆ X es conexo para cadax ∈ X; ademas, αx(0) = a = ∩xαx([0, 1]) y por el lema 13.12 estoimplica que X = ∪xαx([0, 1]) es conexo.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 13.11

X = [0, 1] × [0, 1] con el orden lexicografico es conexo pero no conexopor caminos.

Si existe α : [0; 1] −→ X con α(0) = (0, 0), α(1) = (1, 1), α tiene quepasar por todos los valores intermedios, esto es Im(α) = X. Entoncespara cada intervalo vertical Ux en X, Ux = ((x, 0), (x, 1)), α−1(Ux) es unabierto no vacıo y podemos encontrar un intervalo abierto Ix ⊆ [0, 1] talque α(Ix) ⊆ Ux. Como los Ix son disjuntos, tenemos que [0, 1] contienea una union no numerable de intervalos disjuntos y esto es imposible.

Producto de caminos

En el conjunto C([0, 1], X) de los caminos sobre X —subconjunto deXI— introducimos una operacion interna .

Definicion 13.25 (multiplicacion de caminos). Dados un espacio X, ydos caminos f, g con f(1) = g(0), definimos un nuevo camino f g:

f g(t) :=

f(2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2g(2t− 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.

(13.1)

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0 12

1

0 1

f

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1

•

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Figura 13.6: En f g los caminos f, g se recorren a doble velocidad.

G. RUBIA

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258 Conexidad

Basicamente, f g consiste en poner un camino a continuacion del otro,pero para no gastar mas tiempo en el recorrido (el tiempo es [0, 1])cada uno de los caminos se recorre ahora a doble velocidad como enla ecuacion 13.1 (f(2t) y g(2t− 1)).

f g es una funcion continua, puesto que f(2t) y g(2t − 1) estandefinidas sobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1] y el conjunto dondecoinciden es 1/2, que es la interseccion de los dos intervalos cerrados(para t = 1/2 tenemos f(2 · 1

2) = f(1) = g(0) = g(2 · 12 − 1)). La

demostracion se basa en el siguiente hecho bien conocido de extender lacontinuidad.

Teorema 13.26 (Teorema del pegamiento de funciones). Si A, B sonsubconjuntos cerrados del espacio X y existen funciones continuasf : A→ Y , g : B → Y sobre un espacio Y tales que f y g coinciden sobrela interseccion A ∩ B, entonces podemos extender la continuidad a unafuncion H : A ∪ B → Y definida de manera natural como h(x) = f(x)si x ∈ A o h(x) = g(x) si x ∈ B.

Si f es un camino desde a hasta b en X, entonces existe el caminoinverso fr (el reverso de f) desde b hasta a dado por fr(t) = f(1 −t); notese que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su direccion es lacontraria.

fr f es entonces un camino cerrado —el punto inicial coincide conel punto final—. Por comodidad tambien notaremos fr = f r.

EJEMPLO 13.12

Un espacio que es conexo, pero no conexo por caminos es la curva senodel topologo (pag. 253) puesto que no existe un camino que una alpunto ( 1

π , 0) con (0, 0).

Si existe un camino α : [0, 1] −→ X con α(0) = ( 1π , 0) y α(1) = (0, 0),

al ser α([0, 1]) conexo tenemos α([0, 1]) = X —¿por que?—. Selec-cionamos en [0, 1] una sucesion de puntos x1 < x2 < . . . con xn → 0y ademas α(xn) teniendo como segunda componente a 1 o −1 segunque n sea par o impar. Por tanto α(xn) no converge y α no serıa continua.

Este ejemplo muestra que, contrario a la conexidad, la conexidad porcaminos no pasa a la adherencia.

G. RUBIA

NO


Para obtener una condicion, la cual garantice que los espacios conexostambien sean conexos por caminos, debemos hacer local nuestra defini-cion.

Definicion 13.27. Un espacio (X,T) es localmente conexo por caminossi dados x ∈ X y un abierto Ux existe un abierto V conexo por caminos—V considerado como subespacio— tal que x ∈ V ⊆ Ux.

Teorema 13.28. Si (X,T) es un espacio conexo y localmente conexopor caminos entonces X es conexo por caminos.

Demostracion. Sea x ∈ X y considere el conjunto

A = z ∈ X | existe un camino de x a z.

A es no vacıo y veamos que A es aberrado en X. Dado z ∈ A, por serX localmente conexo por caminos existe Vz ⊆ X, Vz abierto y conexopor caminos; luego Vz esta contenida en A y, ası, A es abierto. Para verque Ac es abierto tomemos z ∈ Ac y sea Wz una vecindad de z conexapor caminos. Si A ∩Wz 6= ∅, existe un punto w en la interseccion de talmanera que x se puede conectar por un camino con z, lo que contradiceque z ∈ Ac. Ası Wz ⊆ Ac, es decir Ac es abierto. Como X es conexoA = X, esto es, cada punto en X se puede conectar por medio de uncamino con x, lo que implica que X es conexo por caminos.

Corolario 13.29. Los subconjuntos conexos y abiertos de Rnu son conex-

os por caminos.

Demostracion. Cada bola abierta es una vecindad conexa, lo cual pro-duce un sistema fundamental de vecindades conexas.

Definicion 13.30. Un espacio (X,T) compacto, conexo y Hausdorff esllamado un continuo.

EJEMPLO 13.13

Cada subconjunto cerrado, acotado y conexo de Rn es un continuo.

EJEMPLO 13.14

La union de dos continuos que se interceptan es un continuo.

G. RUBIA

NO

260 Conexidad

Por la definicion misma, ser continuo es un invariante topologico.

Definicion 13.31. Un espacio metrico (X, d) continuo y localmenteconexo se llama un continuo de Peano.

Definicion 13.32. Un arco en un espacio (X,T) es una inmersion f :[0, 1] −→ X con I ≈ f(X) homeomorfos.

Esta definicion, de sencillez aparente, esconde formas inimaginables;H. Mazurkiewicz demostro en 1913 que todo continuo de Peano esuna imagen continua del arco I = [0, 1]. Por tanto, existe una funcioncontinua y sobreyectiva de I en el cubo n-dimensional o, aun masasombroso, de I sobre el cubo de Hilbert. El descubrimiento hechopor Peano en 1890 de que I podıa ser enviado de manera continuasobre todo el cuadrado unidad creo (como ya dijimos pero insistimosen repetir) un estremecimiento en el mundo matematico de la epoca—en otros mundos nadie dijo nada—. Aunque no demostraremos estehecho, a cambio damos un ejemplo universal, motivo de la portada deeste texto.

Figura 13.7: La curva universal o esponja de Menger.

G. RUBIA

NO


EJEMPLO 13.15

La curva universal o esponja de Menger. Este es un continuo de Peanode dimension uno con la propiedad que cada continuo 1-dimensionalpuede ser inmerso en ella. La construccion se basa en el procedimientode Cantor o en las llamadas carpetas de Sierpinski.

Comenzamos con el cubo unidad, dividimos cada una de sus caras ennueve cuadrados iguales; hacemos un agujero a traves del interior de loscuadrados centrales y extraemos hacia el interior del cubo (ver figura13.7). Esta extraccion nos produce a M1 formado por 20 nuevos cubos.En cada uno de ellos, procedemos como en el paso anterior y obtenemosa M2 formando 400 nuevos cubos, etc. En la sexta iteracion M6 tenemos64.000.000 cubos. La esponja es quien esta al final del proceso, i. e., esel objeto lımite dado por la interseccion

⋂nMn.

Figura 13.8: Dentro de M .

Ejercicios 13.5

G. RUBIA

NO

262 Conexidad

1. Muestre que la conexidad por caminos es preservada por las fun-ciones continuas.

2. De un ejemplo en R2 que muestre la necesidad de ser abierto enlas hipotesis del corolario anterior.

3. Muestre que el producto finito de espacios es conexo por caminossi y solo si cada factor lo es. ¿Es necesario que el producto seafinito?

4. En oposicion al concepto de conexidad, de un ejemplo de un A ⊆R2 que sea conexo por caminos pero su adherencia no lo sea.

G. RUBIA

NO


com

pact

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w-c

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cto

com

pact

o

com

pact

o+H

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l

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2-co

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T1

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zabl

e

+m

etri

zabl

e

+m

etri

zabl

e+

1-co

ntab

le+

T1

Figura 13.9: Relaciones entre espacios.

G. RUBIA

NO

Bibliografıa

[1] Armstrong, M. A., Basic Topology, UTM Series, SpringerVerlag, BerlinHeidelberg New York, 1997.

[2] Crossley, M. D., Essential Topology, Series: Springer Undergraduate Math-ematics Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 2005.

Uno de los tıtulos mas recientes como texto introductorio.

[3] Christenson, C., Voxman W., Aspects of Topology Series: Pure and appliedMathematics, M. Dekker, New York, 1977.

Un texto con material para dos semestres con una coleccion excelente deejercicios. Se puede leer una y otra vez... Una primera parte en topologıa deconjuntos y una segunda en topologıa algebraica con un tratamiento especialen teorıa simplicial y sistemas inversos.

[4] Dugundji, J., Topology, Allyn and Bacon, Boston, 1966.

“... Dugundji’s book is short, modern, and impeccable. It covers every topican undergraduate should know and even more. It is still useful for me afteryears of use. It exposes all important concepts of set topology and gives ashort but focused introduction to algebraic topology...”.

[5] Gamelin, T. W., Greene, R. E., Introduction to Topology, second edition,Dover Publ., Inc., Mineola, NY, 1999.

[6] Garcıa Marrero, M., Topologıa, Alhambra, Madrid, 5 vols. 1975.

Un esfuerzo enciclopedico que consta de cinco volumenes.

[7] Janich, K., Topology. Springer, 1984.

¡Este hermoso libro debe ser leıdo ya! Contenido: Introduction - FundamentalConcepts - Topological Vector Spaces - The Quotient Topology - Comple-tion of Metric Spaces - Homotopy - The Two Countability Axioms - CW-Complexes - Construction of Continuous Functions on Topological Spaces -Covering Spaces - The Theorem of Tychonoff - Set Theory (by T. Br—cker)- References - Table of Symbols -Index.

264

G. RUBIA

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BIBLIOGRAFIA 265

[8] Hrbacek, K., Jech, T., Introduction to set theory, Monographs and Text-books in Pure and Applied Series, vol. 220, Marcel Dekker, New York,NY, 1999.

Este es uno de los pocos libros solidos en la moderna teorıa de conjuntos. Cu-riosamente su primer intento de publicacion, por parte de sus autores checos,fue fallido.

[9] Komjath, P., Totik, V., Ultrafilters, American Mathematical Monthly, 115(2008), 33-44.

Una excelente introduccion ludica al concepto de ultrafiltro.

[10] Lefschetz, S., Topology, AMS Coll. Publ. 12, Providence, RI, 1930.

Como dice el autor, “se trata de un libro-texto de caracter introductorio, sinpretensiones de ser una obra de referencia”.

[11] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ MacTutor History of Math-ematics Archive, donde han sido consultadas varias referencias historicas.

[12] Munkres, James R., Topology: a first course, second edition, Prentice Hall,Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1999.

514 M966top 21. Deberıa ser el texto guıa en muchos cursos.

Como material introductorio a la topologıa general es mi favorito.

[13] Steen, L. A., Seebach, J. A., Counterexamples in Topology, Dover Publ.Inc., Mineola, NY, 1995.

Una referencia obligada.

[14] Vassiliev, V. A., Introduction to Topology (Student Mathematical Library,V. 14), A. Sossinski (translator), American Mathematical Society, Provi-dence, RI, 2001.

[15] Viro, O. et alt., Elementary Topology, a first course, 2005.

Puede y debe consultarse en: http://www.math.uu.se/~oleg/2topoman.pdf

[16] Prasolov, V., Intuitive Topology, American Mathematical Society 1995.

[17] http://es.wikipedia.org/ Donde han sido consultadas varias refer-encias historicas.

G. RUBIA

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Indice alfabetico

T4, 222T3 1

2, 220

GLn, 32F-topologıa, 123PIF, 76

metrizable, 48

aberrado, 239acotado, 49adherente

al filtro, 165arco, 260Axioma de

Riesz, 212

base, 8de filtro, 75

bolaabierta, 46

botella de Klein, 110

camino, 255categorıa, 71cerrados, 3cinta de Moebius, 103compactado, 193compacto, 157

por sucesiones, 175completo

topologicamente, 197conexo, 239

localmente por caminos, 259

por caminos, 256conjunto

Gδ, 231de Cantor, 248cerrado, 134

continua, 64continuo, 259

de Peano, 260convergencia

puntual, 206trivial, 82

cubos, 220cubrimiento abierto, 156

descomposicioncanonica, 105

discontinuo de Cantor, 249distancia

uniforme, 43distinguir puntos, 220

encaje de Cantor, 163Espacio

T3, 217Frechet, 212Kolmogoroff, 211Sierpinsky, 212

espacioT4, 222accesible, 212completamente regular, 219completo, 197

266

G. RUBIA

NO

INDICE ALFABETICO 267

de Baire, 202de Hausdorff, 213de identificacion, 107de Sorgenfrey, 226identificacion, 104metrico, 29normal, 221, 222regular, 216totalmente acotado, 181Tychonoff, 220ultrametrico, 35

exterior, 147

filtroasociado, 85de Frechet, 76generado, 75principal, 76

fracciones diadicas, 228frontera, 147funcion

cociente, 107de Urysohn, 231evaluacion, 220

grupolineal general, 32ortogonal, 32

Heine-Borel-Lebesgue, 156hereditaria, 72Hilbert

cubo, 220cubo de, 126

invariante topologico, 97isometrıa, 33

metrica, 28de Hausdorff, 171inducida, 130

magro, 202

numerode Lebesgue, 183

numero ordinal, 185Niemytzki, 81

operador, 138orden

lexicografico, 20ordinal lımite, 187ordinales, 185ortogonal, 32

PIF, 16, 163PPF, 100producto cartesiano, 112punto

adherente, 134aislado, 144de acumulacion, 142exterior, 147interior, 146

punto frontera, 147

retracto absoluto, 235

saturado, 103seno del topologo, 253SFV, 19subbase, 13sucesion

de Cauchy, 196, 197

Tablon de Tykonoff, 225teorema

de Tychonoff, 171del paso de aduana, 245

topologıa, 3caja, 118cociente, 102–104, 106

G. RUBIA

NO

268 INDICE ALFABETICO

coenumerables, 6cofinitos, 6de Arens-Fort, 22de Sorgenfrey, 151de subespacio, 22discreta, 4final, 132grosera, 4identificacion, 104inicial, 129producto, 113, 116punto excluido, 5punto incluido, 4

topologıacociente, 102

toro, 24, 108

ultrafiltro, 77

Vecindadsistema fundamental, 217

vecindad, 17

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