TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô...
Transcript of TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô...
![Page 2: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/2.jpg)
Đồ thị
b
da
k
e
h
g
c
![Page 3: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
Định nghĩa đồ thị
Định nghĩa 1. Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm:
i) V là tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó gọilà đỉnh (vertex) của G.
ii) E là đa tập hợp gồm các cặp không sắp thứ tự củahai đỉnh. Mỗi phần tử của E được gọi là một cạnh(edge) của G. Ký hiệu uv.
3
![Page 4: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/4.jpg)
4
b
da
k
e
h
g
c
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 5: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/5.jpg)
Ta nói cạnh uv nối u với v, cạnh uv kề với u,v.
Nếu uv∈E thì ta nói đỉnh u kề đỉnh v.
Hai cạnh nối cùng một cặp đỉnh gọi là hai cạnh song
song.
Cạnh uu có hai đầu mút trùng nhau gọi là một khuyên.
Chú ý
5
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 6: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/6.jpg)
6
![Page 7: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/7.jpg)
Định nghĩa 2. Đồ thị vô hướng không có cạnhsong song và không có khuyên gọi là đơn đồ thịvô hướng.Định nghĩa 3. Đồ thị vô hướng cho phép có cạnhsong song nhưng không có khuyên gọi là đa đồthị vô hướng.Định nghĩa 4. Đồ thị vô hướng cho phép có cạnhsong song và có khuyên gọi là giả đồ thị
7
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 8: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/8.jpg)
8
b
da
k
e
h
g
c
a
b
cd
b
c
a
d
![Page 9: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/9.jpg)
9
San Francisco
Denver
Los Angeles
New York
Chicago
Washington
Detroit
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 10: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/10.jpg)
10
San Francisco
Denver
Los Angeles
New York
Chicago
Washington
Detroit
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 11: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/11.jpg)
11
San Francisco
Denver
Los Angeles
New York
Chicago
Washington
Detroit
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 12: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/12.jpg)
Định nghĩa 5
12
Đa đồ thị có hướng G =(V,E) gồm:
i) V là tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó gọi làđỉnh của G.
ii) E là đa tập hợp gồm các cặp có sắp thứ tự của hai đỉnh.Mỗi phần tử của E được gọi là một cung (cạnh) của G. Kýhiệu uv.
Ta nói cung uv đi từ u đến v, cung uv kề với u,v
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 13: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/13.jpg)
13
b
c
a
d
a
b
cd
![Page 14: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/14.jpg)
Nếu uv là một cung thì ta nói:Đỉnh u và v kề nhau.Đỉnh u gọi là đỉnh đầu (gốc), đỉnh v là đỉnh cuối (ngọn)của cung uv. Đỉnh v là đỉnh sau của đỉnh u.
Hai cung có cùng gốc và ngọn gọi là cung song song.
Cung có điểm gốc và ngọn trùng nhau gọi là khuyên.
14
Chú ý
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 15: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/15.jpg)
15
![Page 16: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/16.jpg)
Những khái niệm và tính chất cơ bản
Định nghĩa 6. Đa đồ thị có hướng không chứa các cạnh songsong gọi là đồ thị có hướng
16
![Page 17: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/17.jpg)
San Francisco
Denver
Los Angeles
New YorkChicago
Washington
Detroit
![Page 18: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/18.jpg)
San Francisco
Denver
Los Angeles
New YorkChicago
Washington
Detroit
![Page 19: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/19.jpg)
Cho đồ thị vô hướng G = (V,E). Bậc của đỉnh v, ký hiệudeg(v), là số cạnh kề với v, trong đó một khuyên tại mộtđỉnh được đếm hai lần cho bậc của đỉnh ấy.
19
Những khái niệm và tính chất cơ bản
Bậc của đỉnh
![Page 20: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/20.jpg)
20
c
a
b
d
Bậc đỉnh a: deg(a) = 2
Bậc đỉnh b: deg(b) = 5
Bậc đỉnh c: deg(c) = 3
Bậc đỉnh d: deg(d) = 2
![Page 21: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/21.jpg)
21
a b
dc
f
e
Bậc của các đỉnh?
![Page 22: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/22.jpg)
1) deg-(v):= số cung có đỉnh cuối là v, gọi là bậc vào của v.
2) deg +(v):= số cung có đỉnh đầu là v,gọi là bậc ra của v
3) deg(v):= deg- (v) + deg+(v)
Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo
22
Cho đồ thị có hướng G = (V, E), v∈V
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 23: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/23.jpg)
23
![Page 24: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/24.jpg)
24
a b
dc
f
e
Bậc đỉnh a:
Bậc đỉnh b:
Bậc đỉnh c:
Bậc đỉnh d:
Bậc đỉnh e:
Bậc đỉnh f:
deg-(a)= 1 ; deg+(a)=1
deg-(b)= 1 ; deg+(b)=3
deg-(c)= 1 ; deg+(c)=2
deg-(d)= 0 ; deg+(d)=0
deg-(e)= 1 ; deg+(e)=0
deg-(f)= 2 ; deg+(f)=0
![Page 25: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/25.jpg)
Cho đồ thị G = (V,E), m là số cạnh (cung)
2 deg( )v V
m v∈
= ∑
25
Định lí
1)
2) Nếu G có hướng thì:
deg ( ) deg ( )m v vv V v V
− += =∑ ∑∈ ∈
3) Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị là số chẵn
1. Những khái niệm và tính chất cơ bản
![Page 26: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/26.jpg)
Ta sử dụng ma trận kề.
Cho G = (V,E) với V={1,2,…,n}.Ma trận kề của G là ma trận A = (aij)n xác định như sau:
aij = số cạnh (số cung) đi từ đỉnh i đến đỉnh j
26
2. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận
![Page 27: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/27.jpg)
27
c
a
b
d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0 1 1 01 0 1 11 1 0 10 1 1 0
ba c d
a
b
c
d
Tìm ma trận kề
2. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận
![Page 28: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/28.jpg)
28
a b
dc
f
e
0 2 1 0 0 02 0 1 0 1 11 1 0 0 0 10 0 0 0 0 00 1 0 0 2 00 1 1 0 0 0
a b c d e fabcdef
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Tìm ma trận kề
2. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận
![Page 29: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/29.jpg)
Định nghĩaCho hai đơn đồ thị G = (V,E) và G’= (V’,E’). Ta nói rằng G đẳngcấu G’, ký hiệu G ≅ G’, nếu tồn tại song ánh f :V→ V’sao cho:
uv là cạnh của G ⇔ f(u)f(v) là cạnh của G’
29
3. Đẳng cấu
![Page 30: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/30.jpg)
Chú ý
30
Nếu G và G’ là các đơn đồ thị vô hướng đẳng cấu quaánh xạ f thì chúng có:
Cùng số đỉnh
Cùng số cạnh
Cùng số đỉnh với bậc cho sẵn (vd: số đỉnh bậc 2 củaG và G’ bằng nhau)
deg v = deg f(v)
3. Đẳng cấu
![Page 31: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/31.jpg)
31
3. Đẳng cấu
![Page 32: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/32.jpg)
a
b
c
de
a
b
c
de
deg(e) = 1Không có đỉnh bậc 1
Không đẳng cấu
32
Ví dụ
![Page 33: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/33.jpg)
ab
cd
ef
1
2
3
654
33
Đẳng cấu
![Page 34: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/34.jpg)
ab
4
d
e
12
3c
5
34
Không đẳng cấu
![Page 35: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Đẳng cấu không?
ab
c
d
e
![Page 36: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/36.jpg)
Định nghĩa. Cho đồ thị vô hướng G = (V,E). Trên V ta địnhnghĩa quan hệ tương đương như sau:
u~v ⇔ u ≡ v hay có một đường đi từ u đến v
a) Nếu u~v thì ta nói hai đỉnh u và v liên thông với nhau
b) Mỗi lớp tương đương được gọi là một thành phần liênthông của G
c) Nếu G chỉ có một thành phần liên thông thì G gọi là liênthông
36
4. Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông:
![Page 37: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/37.jpg)
37
![Page 38: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/38.jpg)
Định nghĩa. Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng liên thông
a) Đỉnh v được gọi là đỉnh khớp nếu G – v không liên thông(G – v là đồ thị con của G có được bằng cách xoá v và cáccạnh kề với v)
b) Cạnh e được gọi là cầu nếu G- e không liên thông (G-elà đồ thị con của G có được bằng cách xoá cạnh e).
38
4. Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông:
![Page 39: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/39.jpg)
39
![Page 40: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/40.jpg)
Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng u,v∈V
a) Đường đi (dây chuyền) có chiều dài k nối hai đỉnh u,vlà dãy đỉnh và cạnh liên tiếp nhau
v0e1v1e2…vk-1ekvk sao cho:
v 0=u ,v k = v, e i=v i-1v i , i=1,2,…,k
40
4. Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông:
![Page 41: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/41.jpg)
a) Đường đi không có cạnh nào xuất hiện quá một lần gọi làđường đi đơn
b) Đường đi không có đỉnh nào xuất hiện quá một lần gọi làđường đi sơ cấp
c) Đường đi được gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúctại cùng một đỉnh
d) Đường đi được gọi là chu trình sơ cấp nếu nó bắt đầu vàkết thúc tại cùng một đỉnh và không có đỉnh nào xuất hiệnquá một lần
41
4. Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông:
![Page 42: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/42.jpg)
42
(a,e1,b,e2,c,e3,d,e4,b ) là đường đi từ đỉnh a tới đỉnh b cóchiều dài là 4.
Tuy nhiên, trong trường hợp này, đồ thị của chúng ta là đơnđồ thị, do vậy có thể gọi đường đi này bằng 1 cách ngắn gọnnhư sau: (a,b,c,d,b)
Chu trình sơ cấp: (b,c,d,b) (b,f,e,b)
Chu trình sơ cấp nàokhông?
![Page 43: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/43.jpg)
Euler
Đường đi Euler
43
![Page 44: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/44.jpg)
Bài toán. Thị trấn Königsberg chia thành 4 phần bởi các nhánh của dòng sông Pregel
Bốn phần này được nối kết bởi 7 cây cầu
44
Đường đi Euler
![Page 45: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Đường đi Euler
![Page 46: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/46.jpg)
Câu hỏi. Có thể đi qua bảy cây cầu mà không có cây cầu nào đi quá 1 lần
46
Đường đi Euler
![Page 47: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/47.jpg)
A
B
C
D
A
B
C
D
47
![Page 48: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/48.jpg)
Định nghĩa.
1. Đường đi Euler là đường đi qua tất cả các cạnh mỗi cạnh
(cung) đúng một lần. Chu trình Euler là chu trình đi qua tất cả
các cạnh của đồ thị mỗi cạnh đúng một lần.
2. Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler
48
Đường đi Euler
Đường đi Euler
![Page 49: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/49.jpg)
Điều kiện cần và đủ.Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng liên thông. G là đồ thị
Euler ⇔ Mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn.
Nếu G có hai đỉnh bậc lẻ còn mọi đỉnh khác đều có bậcchẵn thì G có đường đi Euler
49
Đường đi Euler
Nhận xét. - Nếu đồ thị G có 2 đỉnh bậc lẻ thì G có 1 đường đi Euler
- Nếu đồ thị G có 2k đỉnh bậc lẻ thì ta có thể vẽ đồ thị bằngk nét
![Page 50: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/50.jpg)
Bắt đầu từ một đỉnh bất kỳ của G và tuân theo
qui tắc sau:
1. Mỗi khi đi qua một cạnh nào đó thì xoá nó đi, sau đó xoá đỉnh cô lập nếu có.
2. Không bao giờ đi qua một cầu trừ phi không còn cách đi nào khác.
50
Thuật toán Fleury để tìm chu trình Euler.
Đường đi Euler
![Page 51: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/51.jpg)
a b c d
efgh
abcfdcefghbga
51
Đường đi Euler
![Page 52: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/52.jpg)
Bài toán đường đi ngắn nhất
1. Đồ thị G = (V,E) gọi là đồ thị có trọng số (hay chiều dài,trọng lượng) nếu mỗi cạnh(cung) e được gán với một sốthực w(e).Ta gọi w(e) là trọng lượng của e.
2. Độ dài của đường đi từ u đến v bằng tổng độ dài các cạnhmà đường đi qua
3. Khoảng cách giữa 2 đỉnh u,v là độ dài ngắn nhất của cácđường đi từ u đến v.
52
Đồ thị có trọng số
![Page 53: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/53.jpg)
Cho G = (V, E), V = {v1,v2,…,vn} là đơn đồ thị có trọng số. Matrận khoảng cách của G là ma trận D= (dij) xác định như sau:
0( )ij i j i j
i j
khi i jd w v v khi v v E
khi v v E
⎧ =⎪
= ∈⎨⎪∞ ∉⎩
53
Ma trận khoảng cách (trọng số)
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 54: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/54.jpg)
54
0 5 31 400 27 7326 0 8 49 25 38
0 1670 0 9
23 0 1210 0
D
∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ∞ ∞ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟∞⎜ ⎟
= ∞ ∞ ∞ ∞ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟∞ ∞ ∞ ∞⎜ ⎟∞ ∞ ∞ ∞⎜ ⎟
⎜ ⎟∞ ∞ ∞ ∞ ∞⎝ ⎠
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 55: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/55.jpg)
Company Logo
Bài toán đường đi ngắn nhất
Các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất
- Vét cạn
- Dijkstra
- Ford – Bellman
- Floyd
![Page 56: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Thuật toán Dijkstra
Bài toán đường đi ngắn nhất
Bài toán.Cho G = (V, E) đơn, liên thông, có trọng số dương (w(uv) > 0
với mọi u khác v). Tìm đường đi ngắn nhất từ u0 đến v và
tính khoảng cách d(u 0,v).
![Page 57: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Bài toán đường đi ngắn nhất
Phương pháp
Xác định tuần tự các đỉnh có khoảng cách đến u0 từ nhỏ đếnlớn.
1. Trước tiên đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất đến u0 là u0.
2. Trong V\{u0} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ nhất(đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u0) giả sử đó làu1
![Page 58: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/58.jpg)
3. Trong V\{u0,u1} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏnhất (đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u0hoặc u1 ) giả sử đó là u2
4. Tiếp tục như trên cho đến bao giờ tìm được khoảngcách từ u0 đến mọi đỉnh .
Nếu G có n đỉnh thì:0 = d(u0,u0) < d(u0,u1) ≤ d(u0,u2) ≤…≤ d(u0,un-1)
58
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 59: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/59.jpg)
Bước1. i:=0, S:=V\{u0}, L(u0):=0, L(v):= ∞ với mọi v ∈S vàđánh dấu đỉnh v bởi (∞,-). Nếu n=1 thì xuất d(u0,u0)=0=L(u0)
Bước 2. Với mọi v ∈S và kề với ui (nếu đồ thị có hướng thì vlà đỉnh sau của ui), đặt L(v):=min{L(v),L(ui)+w(ui v)}.Xác định k =minL(v) ,v∈S.Nếu k=L(vj) thì xuất d(u0,vj)=k và đánh dấu vj bởi (L(vj);ui). ui+1:=vj
S:=S\{ui+1}Bước3. i:=i+1Nếu i = n-1 thì kết thúcNếu không thì quay lại Bước 2
59
Thuật toán Dijkstra
![Page 60: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/60.jpg)
Bài tập 1. Tìm đường đi ngắn nhất từ u đến cácđỉnh còn lại
4
71
3
53
12
33
1
4
u
rs
x
wzy
t
60
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 61: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/61.jpg)
61
7 s
4
1
3
53
12
33
1
4
u
r
x
wzy
t
u r s t x y z w0* (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)
![Page 62: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/62.jpg)
62
7 s
4
1
3
53
12
33
1
4
u
r
x
wzy
t
u0 r s t x y z w0* (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)- (4,u0) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (1,u0)* (∞,-) (∞,-)
![Page 63: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/63.jpg)
63
s7
4
1
3
53
12
33
1
4
u
r
x
wzy
t
u0 r s t x y z w0* (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)- (4,u0) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (1u0)* (∞,-) (∞,-) - (3,y)* (∞,-) (∞,-) (∞,-) - (4,y) (∞,-)
![Page 64: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/64.jpg)
u0 r s t x y z w0* (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)- (4,u0) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (1u0)* (∞,-) (∞,-) - (3,y)* (∞,-) (∞,-) (∞,-) - (4,y) (∞,-)- - (10,r) (6,r) (∞,-) - (4,y)* (∞,-)- - (10,r) (6,r)* (∞,-) - - (9,z)- - (9,t) - (7,t)* - - (9,z)- - (8,x)* - - - - (9,z)- - - - - - - (9,z)*
64
7
4
1
3
53
1
2
33
1
4
u
r
x
wzy
t
![Page 65: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/65.jpg)
Cây đường đi
u
y zw
r
tx
s
1
2
31
1
3 5
65
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 66: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Bài toán đường đi ngắn nhất
Cho đồ thị có trọng số G = (V, E) ,V = { v1, v2, v3, v4, v5, v6 , v7} xác định bởi ma trận trọng số D.Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ v1 đếncác đỉnh v2,v3,v 4, v5, v6,v7
![Page 67: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/67.jpg)
0 5 31 400 27 7326 0 8 49 25 38
0 1670 0 9
23 0 1210 0
D
∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ∞ ∞ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟∞⎜ ⎟
= ∞ ∞ ∞ ∞ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟∞ ∞ ∞ ∞⎜ ⎟
∞ ∞ ∞ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟∞ ∞ ∞ ∞ ∞⎝ ⎠
67
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 68: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 69: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/69.jpg)
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
0* (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)- (5,v1)* (31,v1) (40,v1) (∞,-) (∞,-) (∞,-)- - (31,v1)* (40,v1) (78,v2) (∞,-) (∞,-)- - - (39,v3)* (78,v2) (56,v3) (69,v3)
- - - - (78,v2) (55,v4)* (69,v3)
- - - - (78,v2) - (67,v6)*
- - - - (77,v7) - -
69
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 70: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 71: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/71.jpg)
Dùng thuật toán Dijsktra để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến đỉnh z và chiều dài của nó trong đồ thị vô hướng có trọng lượng sau:
e
2 2
3
b 5
c 6
d f
z
54
7
a
45
3 1
g71
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 72: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/72.jpg)
a b c d e f g z
0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)
0 (4.a) (3.a)* (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)
0 (4.a)* - (6.c) (9.c) (∞,-) (∞,-) (∞,-)
0 - - (6.c)* (9.c) (∞,-) (∞,-) (∞,-)
0 - - - (7.d)* (11.d) (∞,-) (∞,-)
0 - - - - (11.d)* (12,e ) (∞,-)
0 - - - - - (12,e )* (18,f )
0 - - - - - - (16,g )
72
![Page 73: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/73.jpg)
Tìm đường đi ngắn nhất từ u0 đến các đỉnh hoặc chỉ ra đồ thịcó mạch âm.
Bước 1. L0(u0) =0 và L0(v) = ∞ ∀v ≠u0.Đánh dấu đỉnh vbằng (∞ ,-) ; k=1.
Bước 2. Lk(u0) = 0 vàLk(v) =min{Lk-1(u)+w(uv)/u là đỉnh trước của v}
Nếu Lk(v)=Lk-1(y)+w(yv)thì đánh dấu đỉnh v bởi (Lk(v),y)
73
Thuật toán Ford – Bellman
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 74: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/74.jpg)
Bước 3. Nếu Lk(v) =Lk-1(v) với mọi v, tức Lk(v)ổn định thì dừng. Ngược lại đến bước 4.
Bước 4. Nếu k = n thì dừng. G có mạch âm. Nếuk ≤ n-1 thì trở về bước 2 với k:=k+1
74
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 75: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/75.jpg)
BT1.
1
2 3
6
4 5
7
42
1
8
2 2 -6
3
2
75
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 76: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/76.jpg)
k 1 2 3 4 5 60 0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)
76
1
2 3
6
4 5
7
42
1
8
2 2 -6
3
2
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 77: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/77.jpg)
k 1 2 3 4 5 60 0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)1 0 (7,1) (∞,-) (8,1) (∞,-) (∞,-)
77
1
2 3
6
4 5
7
42
1
8
2 2 -6
3
2
![Page 78: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/78.jpg)
k 1 2 3 4 5 60 0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)1 0 (7,1) (∞,-) (8,1) (∞,-) (∞,-)2 0 (7,1) (11,2) (8,1) (9,2) (8,2)
78
1
2 3
6
4 5
7
42
1
8
2 2 -6
3
2
![Page 79: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/79.jpg)
k 1 2 3 4 5 60 0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)1 0 (7,1) (∞,-) (8,1) (∞,-) (∞,-)2 0 (7,1) (11,2) (8,1) (9,2) (8,2)3 0 (7,1) (10,6) (2,6) (9,2) (8,2)
79
1
2 3
6
4 5
7
42
1
8
2 2 -6
3
2
![Page 80: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/80.jpg)
k 1 2 3 4 5 60 0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)1 0 (7,1) (∞,-) (8,1) (∞,-) (∞,-)2 0 (7,1) (11,2) (8,1) (9,2) (8,2)3 0 (7,1) (10,6) (2,6) (9,2) (8,2)4 0 (4,4) (10,6) (2,6) (4,4) (8,2)
80
1
2 3
6
4 5
74
21
8
2 2 -6
3
2
![Page 81: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/81.jpg)
k 1 2 3 4 5 60 0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)1 0 (7,1) (∞,-) (8,1) (∞,-) (∞,-)2 0 (7,1) (11,2) (8,1) (9,2) (8,2)3 0 (7,1) (10,6) (2,6) (9,2) (8,2)4 0 (4,4) (10,6) (2,6) (4,4) (8,2)5 0 (4,4) (8,2) (2,6) (4,4) (5,2)
81
1
2 36
4 5
74
21
8
2 2 -63
2
![Page 82: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/82.jpg)
k 1 2 3 4 5 60 0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)1 0 (7,1) (∞,-) (8,1) (∞,-) (∞,-)2 0 (7,1) (11,2) (8,1) (9,2) (8,2)3 0 (7,1) (10,6) (2,6) (9,2) (8,2)4 0 (4,4) (10,6) (2,6) (4,4) (8,2)5 0 (4,4) (8,2) (2,6) (4,4) (5,2)6 0 (4,4) (7,6) (-1,6) (4,4) (5,2)
82
12 3
6
4 5
74 21
8
2 2 -63
2
![Page 83: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/83.jpg)
k = n = 6 . Lk(i) chưa ổn định nên đồ thị có mạchâm. Chẳng hạn:
4→2→6→4 có độ dài -3
83
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 84: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/84.jpg)
k = n = 6 . Lk(i) chưa ổn định nên đồ thị có mạchâm. Chẳng hạn:
4→2→6→4 có độ dài -3
84
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 85: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/85.jpg)
BT2.
1
2 3
6
4 5
7
42
1
8
2 2 -2
3
2
85
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 86: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/86.jpg)
k 1 2 3 4 5 60 0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)1 0 (7,1) (∞,-) (8,1) (∞,-) (∞,-)2 0 (7,1) (11,2) (8,1) (9,2) (8,2)3 0 (7,1) (10,6) (6,6) (9,2) (8,2)4 0 (7,1) (10,6) (6,6) (8,4) (8,2)5 0 (7,1) (10,6) (6,6) (8,4) (8,2)
86
Bài toán đường đi ngắn nhất
![Page 87: TOÁN RỜI RẠC - math.hcmus.edu.vnptbao/TRR/TRR_KHTN_ch5.pdf · Định nghĩa2.Đồthịvô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọilàđơn đồthị](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062505/5dd0fbc2d6be591ccb63a6e1/html5/thumbnails/87.jpg)
1
2 3
6
4 5
72
1
-2
2
87
Bài toán đường đi ngắn nhất