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M. LAMQUIN 1 SET : Electromagnétisme et Télécommunications

Table des matières

Chapitre 2 : Transmission numérique avec modulation

2.1 Introduction

2.2 Analyse spectrale

2.3 Principales Modulations

2.4 Performances en présence de bruit

Télécommunications Numériques

2.3.1 Modulations ASK

2.3.2 Modulations PSK

2.3.3 Modulations QAM

2.3.4 Modulations FSK

2.4.1 Représentation vectorielle des signaux

2.4.2 Démodulation optimum en présence de bruit additif gaussien

2.5 Comparaison des performances des différentes modulations


Principe

2.1 Introduction

Décodage

de canal

{d'j} {a'i} {d'j}

{dj} Codage de

canal

{dj} {ai}

p(t)

C A N A L

uR(t) Régénérateur

{a'i}

H(f)

Puits

Source

i

BEiE ituatu )()(

Démodulateur

Modulateur

m(t)

m'(t)

)2cos()( cccc tfUtu

Une modulation est un procédé qui consiste à transposer l'information portée par un signal à spectre passe-bas uE(t)

(signal modulant) vers un signal à spectre passe-bande m(t) (signal modulé) pour s'adapter aux contraintes du canal.

Pour ce faire, uE(t) modifie les caractéristiques d'un signal auxiliaire uc(t) (porteuse).

On distingue : - les modulations d'amplitude ASK (Amplitude Shift Keying)

- les modulations de phase PSK (Phase Shift Keying)

- les modulations de fréquence FSK (Frequency Shift Keying)

- les modulations conjointes d'amplitude et de phase QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

Signal en bande de base E(f)

fmax f

-fmax

f

Signal à spectre passe-bande |m(f)| Filtre

-fc fc

Filtre H(f)


Table des matières


2.1 Introduction













Signal à spectre passe-bande (1)


Tout signal réel m(t) à spectre passe-bande peut se représenter, de manière équivalente, sous une des formes suivantes :

tfj

cc

c

cetg

tftytftx

ttftrtm

2)(Re

)2(sin)()2(cos)(

))(2cos()()(

M(f)

0 -f3 -f4 -fc

f

f3 f4 fc

|G(f)| |G*(-f)|

|G(f-fc)| |G*(-f-fc)|

))(sin()()(

))(cos()()(

)()()()( )(

ttrty

ttrtx

etrtyjtxtgavec tj

g(t) = l'enveloppe complexe de m(t)

r(t) = l'enveloppe réelle de m(t)

r(t), (t), x(t), y(t) et g(t) sont des signaux en bande de base

Spectre :

A tout signal m(t) à spectre passe-bande, on peut donc associer un signal en bande de base g(t) qui porte la même

information que m(t) et tel que M(f) résulte d'une translation de G(f) le long de l'axe fréquentiel.

Re

Im g(t)

x(t)

y(t)

(t) r(t)

Représentation de g(t)

dans le plan complexe

)()(2

1)( *

cc ffGffGfM

tfjtfjtfj ccc etgetgetgtm 22*2

)(Re)()(2

1)(




Schéma de principe d’un modulateur

Toute modulation peut donc être décomposée en 2 étapes :

• création de l'enveloppe complexe g(t) à partir du signal modulant uE(t).

La relation (linéaire ou non linéaire) entre g(t) et uE(t) est fonction du type de la modulation envisagée.

• création du signal modulé m(t) à partir de l'enveloppe complexe g(t).

La relation entre m(t) et g(t) correspond à une translation fréquentielle indépendante de la modulation considérée.

Remarque

Lorsque le signal modulant uE(t) est un signal numérique créé à partir de symboles à N niveaux, la représentation, dans

le plan complexe, des N valeurs possibles de g(t) est appelée la constellation associée à cette modulation.

Modulateur

de phase

x

cos(2fct+(t))

cos(2fct)

(t)

r(t)

uE (t)

m(t) Circuits RF Circuits

bande

de base

uE(t)g(t)

))(2cos()()( ttftrtm c

x

x

-90°

y(t)

x(t)

uE(t)

m(t) +

-

cos(2fct) sin(2fct)

Circuits RF Circuits

bande

de base

uE(t) g(t)

)2(sin)()2(cos)()( tftytftxtm cc




Si on dispose, au récepteur, d’un signal local uL(t) = cos(2fct) synchrone (en fréquence et en phase) de la porteuse,

la démodulation de m(t) est possible par une multiplication suivie d’un filtrage passe-bas.

x

x

+90°

m(t)

cos(2fct)

-sin(2fct)

Circuits RF

y(t)

x(t)

uE(t)

Circuits

bande

de base

g(t) uE(t)

Filtre

passe-bas

Filtre

passe-bas

)22sin(2

1).()]22cos(1[

2

1).(

)2cos().2sin().()2(cos).()2cos().(

)2sin().()2cos().()(

2

tftytftx

tftftytftxtftm

tftytftxtm

cc

cccc

cc

après filtrage passe-bas : )(2

1)( txtm

)]22cos(1[2

1).()22sin(

2

1).(

)2(sin).()2sin().2cos().()2sin().( 2

tftytftx

tftytftftxtftm

cc

cccc

après filtrage passe-bas : )(2

1)( tytm

Démodulation par multiplication (démodulation cohérente)

Dans certains cas particuliers, une démodulation sans récupération de la porteuse est possible.

Démodulation non cohérente




Si g(t) est un processus aléatoire stationnaire au sens large et si c est une variable aléatoire indépendante de g(t) et

uniformément répartie sur l'intervalle (0,2), le processus réel m(t) est stationnaire au sens large :

})({Re)()2( cc tfj

ett

gm

Démonstration

0][0]}[)]([{Re]})([{Re)]([22

ccccc jjtfjjtfjeEcareEetEeetEtE

ggm- Moyenne :

- Autocorrélation :

}).(Re{2

1)()]()([

:)],().([)(0][:

})].().([Re{2

1]}[.)].().([Re{

2

1)]()([

:},Re{2

1}Re{

2

1}Re{}.Re{:'

]})({Re})({[Re)]()([

2

2

22)2(2

2*12121

)(22

c

c

ccc

cccc

fjgm

gj

fjjtfj

tfjtfj

eRRttE

aonttEReteEqueSachant

ettEeEettEttE

aonccccccidentitéldepartirA

etetEttE

mm

gg

ggggmm

ggmm

*

*

Le processus m(t) est donc un processus stationnaire au sens large. On peut donc écrire :

Généralisation – Processus aléatoires

])()([4

1)( cgcgm fffff

])()([4

1)(

2*2 cc fjg

fjgm eReRR

Densité spectrale de m(t) : m(f) est déterminée si g(f) est connue.


Table des matières


2.1 Introduction













Modulation OOK


… … … t

m(t)

Uc

-Uc

0

t

uE(t)

0

1

= T {ai} 0 1 1 0 1 0

Tc

Modulation

La modulation ASK la plus simple est la modulation "tout ou rien" connue sous le nom OOK (On-Off-Keying).

Si uE(t) est un signal en bande de base NRZ unipolaire, le signal modulé m(t) s'exprime par la relation :

)2cos()()( tfUtutm ccE

)()()( )( tuUetrtg Ectj

Constellation

Modulation OOK

Re

Im g(t)

Uc 0

2

2

c

t

UP

g(t) est un signal réel NRZ unipolaire

La modulation OOK utilise donc 2 symboles de durée = T : }1,0{)1()2(cos)( iccii aititfUatm


Analyse spectrale d'un signal OOK


)()(

)(sin)(

)(

)(sin

4)()(

4

1)(

)(sin

)(sin

4)()()(

22

222

cc

cc

c

ctcgcgm

tc

gEc

ffTff

TffTff

Tff

TffT

Pfffff

fTf

TfTPf

Tf

TfT

UftuUtg

Analyse spectrale

Bande passante (modulation à double bande) : Bm = 2/T = 2/ = ½

Avec un filtrage idéal de Nyquist ( = 0) : Bm = 1/T = 1/ = 1

g(f)/T

m(f)/T

1/T 2/T -2/T -1/T 0 fc+1/T fc+2/T fc-2/T fc-1/T fc -fc+1/T -fc+2/T -fc-2/T -fc-1/T -fc

Bm=2/T=2/

f

Pt/4

2

2

c

t

UP

Pt

1/T=1/


Démodulation d'un signal OOK


Démodulation

PLL

d(t)

p(t) 0 , R

m(t) uR(t)

fc R

RE C

0 , R

m(t) uR(t)

fc R c

E

fCR

R 2

1

)(2

)(

)4cos()()(2

)2cos()2cos()()(

)2cos()(

tuUU

tu

tftutuUU

tfUtfUtutd

tfUtp

ELc

R

cEELc

cLccE

cL

• Démodulation cohérente (démodulation par multiplication) : la démodulation par multiplication implique la

reconstitution, au récepteur, de la porteuse en fréquence et en phase (PLL).

• Démodulation non cohérente (démodulation par détection d'enveloppe)

Remarque : L'analyse des performances en présence de bruit montrera que la probabilité d'erreurs la plus faible sera

obtenue par la démodulation cohérente en remplaçant le filtre passe-bas par un corrélateur.


Table des matières


2.1 Introduction













Modulations MPSK


Dans une modulation par déplacement de phase MPSK, le signal modulé peut se mettre sous la forme :

))(.2cos()( tuDtfUtm Epcc

Dans cette relation : - uE(t) est un signal polaire en bande de base à M niveaux

- Dp = 180°/M

Enveloppe complexe : constante)()()()()()( c

tujDc

tj UtgtreUetrtg Ep

Constellations

(pour différentes valeurs de M)

Dp = 22,5°

uE(t) = (7,5,3,1,-1,-3,-5,-7)

1 symbole = 3 bits

(=3T)

MPSK (M=8)

(011)

(111) (110)

(010)

(000)

(100) (101)

(001)

Uc Re

Im

Une modulation MPSK est une modulation d'angle qui utilise M symboles de durée = mT (M = 2m) :

)}1(,...,3,1{,...,1)1().2(cos)( MaMiitiaDtfUtm iipcci

Dp = 45°

uE(t) = (3,1,-1,-3)

1 symbole = 2 bits

(=2T)

MPSK (M=4) QPSK

Uc Re

Im

(1,0)

(0,0)

(1,1)

(0,1)

Dp = 90°

uE(t) = (1,-1)

1 symbole = 1 bit

(=T)

Re

Im

MPSK (M=2) BPSK

Uc

1

0


Modulation BPSK


Modulation

t)fπ((t)uU

t)fπ((t))u(Ut)fπ((t))u(U

tuDavectuDtfUtm

cEc

cEccEc

EpEpcc

2sin

2sin90sin2cos90cos

(1,-1) polaire NRZ signal)(,90))(2(cos)(

)(

)()(

)(90

)(

tuUjeU

etrtg

Ectuj

c

tj

E

Constellations

Modulation BPSK

g(t) = signal NRZ polaire

Re

Im

Uc

2

2c

t

UP

t

uE(t)

1

= T {ai} -1 1 1 -1 1 -1

t

m(t)

Uc

-Uc

0

Tc

-1

… … … … … …

La modulation BPSK est équivalente à une modulation d'amplitude avec un signal modulant NRZ polaire.

Re

Im

0

Remarque : 0 0

))(90(

0

0)(

))(902(cos)(

tujc

Ecc

EeUtg

tutfUtm


Analyse spectrale d'un signal BPSK


22

22

2

)(

)(sin

)(

)(sin

2)()(

4

1)(

sin2

sin)()()(

Tff

TffT

Tff

TffT

Pfffff

Tf

TfTP

Tf

TfTUftujUtg

c

c

c

ctcgcgm

tcgEc

Analyse spectrale

Bande passante (modulation à double bande) : Bm = 2/T = 2/ = ½

Avec un filtrage idéal de Nyquist ( = 0) : Bm = 1/T = 1/ = 1

g(f)/T

m(f)/T

1/T 2/T -2/T -1/T 0 fc+1/T fc+2/T fc-2/T fc-1/T fc -fc+1/T -fc+2/T -fc-2/T -fc-1/T -fc

Bm=2/T=2/

f

Pt/2

2

2c

t

UP

2Pt

1/T=1/


Démodulation d'un signal BPSK (1)


Démodulation

0 , R

m(t) uR(t)

fc R

PLL 2 ( )2

Limiteur

UL sin(ct)

La démodulation d'un signal BPSK doit être réalisée par multiplication (démodulation cohérente). Ce schéma appelle

quelques remarques :

• Le signal BPSK ne contient pas de raie à la fréquence fc. Une solution pour récupérer la porteuse consiste à

construire le signal m2(t) (au moyen d'un circuit non linéaire), à récupérer par filtrage (PLL) l'harmonique deux de

la porteuse ainsi généré et à diviser par deux la fréquence du signal obtenu.

Malheureusement, cette opération introduit une ambiguïté de 180° sur la phase de la porteuse reconstituée. Une telle

ambiguïté de 180° est équivalente à un changement de polarité en transmission en bande de base. On peut donc la

contourner si un code différentiel (exemple NRZI) est employé pour uE(t). Dans ces conditions, on dit que le signal

BPSK est codé différentiellement. L'information binaire di est portée par la présence ou l'absence d'un déphasage

entre deux moments successifs.

)]4(cos1[2

)2(sin)(2

222 tfU

tfUtm cc

cc

2fc -2fc 0

Uc2/2

f




t

t

x(t)

y(t)

{ai} -1 1 -1

fc

x(t) y(t) Compa

rateur

LIMITEUR

0 , R

m(t) uR(t)

fc R

PLL 2 ( )2

Limiteur

UL sin(ct)

• Un signal BPSK est un signal à amplitude constante. Le passage de ce signal dans le canal de transmission et dans

le filtre passe-bande présent à l'entrée du démodulateur entraîne une modulation parasite d'amplitude du signal

modulé. Pour éviter que cette modulation parasite ne perturbe la démodulation, un limiteur est généralement inséré

dans la chaîne avant la multiplication. Un limiteur idéal est un circuit non linéaire qui peut être assimilé à un

comparateur avec un niveau de référence nul, suivi d'un filtre passe-bande centré sur la fréquence fc




Délai

0 , R

m(t) uR(t)

fc R

• Si le signal BPSK est codé différentiellement, il est possible de démoduler m(t) par une technique partiellement

cohérente qui n'exige pas la récupération de la porteuse en fréquence et en phase. Dans ce schéma, le signal reçu

dans un intervalle quelconque est comparé en phase avec le signal reçu dans l'intervalle précédent.

Si les deux signaux sont en phase, le signal de sortie est positif. Dans le cas contraire, uR(t) est négatif.

Lorsqu'un signal BPSK codé différentiellement est démodulé de cette manière, on parle de modulation

DPSK (Differential Phase Shift Keying).

2)()]4(cos1[

2)2(sin)(.)(

2)()]4(cos1[

2)2(sin)(.)(

)2(sin)(

2222

11

2222

11

cRc

ccciiii

cRc

ccciiii

ccii

Ututf

UtfUtmtmaasi

Ututf

UtfUtmtmaasi

tfUatm

Dans un intervalle , m(t) peut s'écrire :


Modulation QPSK (1)


Modulation

)()()(g(t)

)(3,1,-1,-3niveaux 4 à polaire signal)(,45))(2(cos)(

tujDc

tj

EpEpcc

EpeUetr

tuDavectuDtfUtm

cos(2fct+(t))

cos(2fct)

Modulateur

de phase

x

(t)

r(t)

uE (t)

m(t) Circuits RF Circuits

bande

de base

uE(t)g(t)

r(t)=Uc

t

uE(t)

1

= 2T {ai} 1 -3 3 -1 -1 1

-1

3

-3

2

2c

t

UP

t

m(t) Uc

-Uc

0

Tc

… … … … … …

180° -90° 180° 0° 90°

{dj} 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Q I

Q I ai

1 0 3

1 1 1

0 1 -1

0 0 -3

I : In-Phase

Q : Quadrature

Uc

Re

Im

(1,1)

(0,1)

(1,0)

(0,0)

(Q,I)

Constellation QPSK

Modulateur QPSK


Modulation QPSK (2)


polaires. NRZsignaux dessont et )()(g(t))2(sin)()2(cos)()( y(t)x(t)tyjtxavectftytftxtm cc

Q I ai

1 0 3

1 1 1

0 1 -1

0 0 -3

I : In-Phase

Q : Quadrature

Un signal QPSK est donc la somme de 2 signaux BPSK (modulation de 2 porteuses en quadrature)

Uc

Re

Im

(1,1)

(0,1)

(1,0)

(0,0)

(Q,I)

Constellation QPSK

Q I

2

2c

t

UP

t

m(t) Uc

-Uc

0

… … … … … …

180° -90° 180° 0° 90°

{dj} 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

= 2T

t

x(t) 2/cU

2/cU

t

y(t) 2/cU

2/cU

Tc

x

-90°

x

m(t) +

-

cos(2fct)

sin(2fct)

Circuits RF

fc

y(t)

x(t) NRZ

polaire

NRZ

polaire

I

Q {dj}

2/0

2/1

c

c

U

U

Modulateur QPSK

Canal I

Canal Q

Filtrage

de Nyquist

Filtrage

de Nyquist


Table des matières


2.1 Introduction













Modulations QAM (1)

2.3.3 Modulation QAM

Re

Im

Constellation 16-QAM

1111 1101 1100 1110

0111 0101 0100 0110

0011 0001 0000 0010

1011 1001 1000 1010

(Q2 Q1 I2 I1)

x -90° x

-

cos(2fct) sin(2fct)

fc

{dj}

I1 Q1 I2 Q2

Codage à

4 niveaux

Codage à

4 niveaux

+

x(t) y(t)

signe niveau signe

niveau

Q1 ai

1 1 3

0 1 1

0 0 -1

1 0 -3

Q2

Canal Q

t

y(t)

1

=4T

-1

3

-3

I1 ai

1 1 3

0 1 1

0 0 -1

1 0 -3

I2

Canal I

t

x(t)

1

=4T

-1

3

-3

1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1

20 Mbit/s (T = 50 ns)

m(t)

Circuits RF

5 Mbaud ( = 200 ns)

Modulation

)()(g(t)

)2(sin)()2(cos)()(

tyjtxavec

tftytftxtm cc

Une modulation QAM (Quadrature Amplitude Modulation) est une modulation conjointe d'amplitude et de phase.

Elle est définie par sa constellation. Le signal modulé m(t) s'écrit sous la forme générale :

La constellation ci-dessous correspond à

une modulation 16-QAM.

Les points de la constellation ne sont plus

contraints d'être situés sur un cercle de

rayon constant = Uc

Modulateur QAM

Q2Q1I2I1

Filtrage

de Nyquist

Filtrage

de Nyquist


Modulations QAM (2)


)()(g(t)

)2(sin)()2(cos)()(

tyjtxavec

tftytftxtm cc

{dj} 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0

2

2c

t

UP

m(t)

Uc

-Uc

0 t … … … … … …

x(t)

t

9,0cU

9,0cU

= 4T

y(t)

t 9,0cU

9,0cU

Re

Im

Constellation 16-QAM

1111 1101 1100 1110

0111 0101 0100 0110

0011 0001 0000 0010

1011 1001 1000 1010

(Q2 Q1 I2 I1)

Uc

)5

3;;

5( cc

c UUU


Analyse spectrale d'un signal MPSK ou M-QAM (1)


Re

Im

si

si+1

Ai

Soit un signal modulé (MPSK ou M-QAM) caractérisé par une constellation de M=2m points.

Si si et si+1 (2 symboles symétriques par rapport à l'origine) étaient les seuls

symboles utilisés dans la constellation, le signal modulé serait équivalent à un

signal BPSK avec =mT. On peut donc écrire :

2

21

sin)|(

f

fAsousf iiig

En considérant toutes les paires de points possibles dans la constellation, on

obtient :

)()|()( 1

)(1

1

ii

M

impairii

iigg sousPsousff

Si tous les symboles sont équiprobables, P(si ou si+1) = 2/M. On a donc :

M

impairii

i

M

impairii

ig AMf

f

f

fA

Mf

)(1

2

22

)(1

2 2sinsin2)(

En introduisant la puissance moyenne du signal modulé, on trouve :

2

1

2 sin2)(

2

1

f

fPf

A

MP tg

M

i

it


Analyse spectrale d'un signal MPSK ou M-QAM (2)


222

)(

)(sin

)(

)(sin

2)()(

4

1)(

sin2)(

c

c

c

ctcgcgmtg

ff

ff

ff

ffPfffff

f

fPf

Bande passante :

g(f)/

m(f)/

1/ 2/ -2/ -1/ 0 fc+1/ fc+2/ fc-2/ fc-1/ fc -fc+1/ -fc+2/ -fc-2/ -fc-1/ -fc

Bm=2/=2/mT

f

Pt/2

2Pt

1/=1/mT

2

log

2/2

/122 2 Mm

mT

T

B

D

mTBm

Avec un filtrage idéal de Nyquist (=0) :

MmmT

T

B

D

mTBm 2log

/1

/111

Conclusion :

• pour un même débit (D=1/T), la bande passante diminue si M augmente;

• pour une même bande passante, le débit augmente si M augmente.

Exemple : Bm = 10 MHz R = 5 Mbauds = 200 ns

2 bits/symbole T = 200/2 ns D = 10 Mbit/s

6 bits/symbole T = 200/6 ns D = 30 Mbit/s 64-QAM

QPSK Bm = 10 MHz


Démodulation d'un signal MPSK ou M-QAM


)2(sin)()2(cos)()( tftytftxtm cc

Une modulation MPSK ou M-QAM est équivalente à la somme de 2 porteuses en quadrature modulées en amplitude :

La démodulation exige donc une démodulation cohérente pour récupérer les 2 signaux en bande de base x(t) et y(t).

Remarque : en l'absence de raie à la fréquence fc, la récupération de la porteuse est soumise au même problème que

celui évoqué dans le cas de la modulation BPSK.

)22sin(2

1).()]22cos(1[

2

1).()2cos().2sin().()2(cos).()2cos().( 2 tftytftxtftftytftxtftm cccccc

)]22cos(1[2

1).()22sin(

2

1).()2(sin).()2sin().2cos().()2sin().( 2 tftytftxtftytftftxtftm cccccc

0 , R

x(t)

y(t)

Régénérateur

Régénérateur

{ai}

{ai}

Décodage

de canal

{dj}

0 , R

x

90°

m(t)

cos(2fct)

-sin(2fct)

Récupération

de la porteuse

x

fc R

Filtrage

de Nyquist

Filtrage

de Nyquist


Table des matières


2.1 Introduction













Modulations MFSK


Une modulation par déplacement de fréquence MFSK est une modulation d'angle dans laquelle l'information est portée

par la valeur de la fréquence instantanée dans l'intervalle .

La modulation MFSK utilise donc M symboles de durée = mT (M=2m) :

)}1(,...,3,1{.

)1()2(cos)(

Mafaff

ititfUtm

iici

iici

Les fréquences fi sont uniformément réparties autour de fc. La distance entre 2 fréquences voisines est égale à 2f.

Si les phases à l'origine i sont différentes, la modulation MFSK est non cohérente.

Le signal m(t) peut être créé par commutation entre des oscillateurs indépendants.

Exemple : Modulation BFSK non cohérente

On observe des discontinuités de phase aux frontières des symboles.

t

Uc

-Uc

0

m(t)

f1 f2 f2 f2 f1 f1 f1 )2(cos 11 tfUc

)2(cos 22 tfUc

m(t)

{ai}

Multi-

plexeur

1

-1

On définit l'indice de modulation h par la relation : h = 2 f . = 2 f / R


MFSK non cohérentes - Analyse spectrale


m(f)/

fc+f fc-f fc -(fc+f)

Bm = 2 (f + B)

f

Pt /8

2

2c

t

UP

B=R/2

-(fc-f) -fc

2f B=R B=R

t

Uc

-Uc

0 OOK1

t

Uc

-Uc

0 OOK2

t

Uc

-Uc

0 m(t)

Une modulation MFSK (non) cohérente peut être considérée comme la somme de M signaux OOK indépendants. La

densité spectrale m(f) du signal modulé est donc la somme des densités spectrales de ces M signaux OOK.

Bande passante

BfMBm 22)1(

Bande passante minimale : f = B

M

m

mTM

T

B

D

MRBhRBsi m

2/2

/1

22min

Si filtrage de Nyquist : B = R/2

M

mMRBh m 1min

M 2 4 16

0,5 0,5 0,25

Conclusion :

• pour un même débit (D=1/T), la bande passante augmente si M augmente;

• pour une même bande passante, le débit diminue si M augmente.


MFSK non cohérentes - Démodulation cohérente


La démodulation cohérente implique la récupération, en fréquence et en phase, des M porteuses : UL cos (2fit+i)

t OOK1

t OOK2

t

Uc

-Uc

0

Uc

-Uc

0

Uc

-Uc

0 m(t)

m(f)/

fc+f fc-f fc

f

2f R R

fc + f R

fc - f R

m' (t) 0,R

0,R

uR(t) UL cos (2(fc+f)t)

UL cos (2(fc-f)t)

Déci-

sion

{ai}

Exemple 1: Démodulation d'un signal BFSK non cohérent

Exemple 2: Démodulation optimale

m' (t) UL cos (2f1t)

UL cos (2f2t)

Déci-

sion

{ai}

)1()(

r

rdt

)1()(

r

rdt

Corrélateur

Corrélateur

Le principe de la démodulation optimale sera justifié

dans le paragraphe suivant


MFSK non cohérentes - Démodulation non cohérente


La démodulation non cohérente est obtenue sans récupération des M porteuses :

• avantage : simplicité

• inconvénient : performances non optimales

t OOK1

t OOK2

t

Uc

-Uc

0

Uc

-Uc

0

Uc

-Uc

0 m(t)

m(f)/

fc+f fc-f fc

f

2f R R

Exemple 1: Démodulation d'un signal BFSK non cohérent

Exemple 2: Utilisation d'un discriminateur FM

fc + f R

fc - f R

m' (t) 0,R

0,R

uR(t) Déci-

sion

{ai}

RE C

RE C

uR(t) Filtre

Comparateur

de phase

VCO

m'(t)

PLL

FSK

uR (t)

fc-f fc+f

t

t

m' (t) uR(t)

Déci-

sion

{ai}

Limiteur Discrimi-

nateur

Conversion de la variation de fréquence en

variation d'amplitude

Exemple de discriminateur FM


Modulations MFSK cohérentes


Si les phases à l'origine i sont identiques, la modulation MFSK est cohérente.

Le signal m(t) peut être créé par commutation entre les sorties d'un synthétiseur générant les différents symboles

Exemple : Modulation BFSK cohérente

Une condition supplémentaire est indispensable pour éviter les discontinuités de phase aux frontières des symboles :

rfnrfrfnfrf

entiernavecfnffrfUrmrfUrm

rrr

rrrcrrcr

222)2(22

2.)2cos()()2cos()(

1

111

La suppression des discontinuités de phase dans le signal modulé m(t) conduit à une réduction de l'étalement

spectral (lobes latéraux). Les modulations à phase continue sont donc importantes.

)2(cos 1 tfUc

)2(cos 2 tfUc

m(t)

{ai}

Multi-

plexeur

1

-1

Synthétiseur

2 f = k/ ou h = k avec k entier

= 0

a) f1 = 2/ f2 = 1/ 2f = 1/

b) f1 = 9/4 f2 = 6/4 2f = 3/4

t

Uc

-Uc

0

m(t)

f1 f2 f2 f2 f1 f1 f1

b)

t

Uc

-Uc

0

m(t) f1 f2 f2 f2 f1 f1 f1

a)

r (r-1) (r+1)

En effet :

La phase est donc continue en t = r si : 2 f . = k avec k entier


Modulations CPFSK


Modulation MFSK à phase continue (CPFSK : Continuous Phase Frequency Shift Keying)

Un signal MFSK à phase continue peut être créé à partir d'un VCO. Il a pour expression générale :

)/()()}1(,...,3,1{)()())(22(cos)(

trecttuMaituatuduftfUtm BEi

i

BEiE

t

Ecc

)()(

)(22

)(2)(2)(

1

1

rtah

rtahah

rtafaf

diuafduft

rrr

r

i

i

r

r

i

i

t

i

BEi

t

E

On obtient, par intégration, la phase (t) dans l'intervalle r t (r+1) :

avec h = 2 f . = 2 f / R

Exemple : BFSK

uE(t) m(t) VCO

uBE(t)

t 1

0

uE(t)

ar-2 ar+1

ar-1 ar t

(r-2) (r-1) r (r+1) (r+2) t

-1

1

0

Dans l'intervalle r t (r+1) : - r (phase en t= r) = contribution des symboles antérieurs (modulation à mémoire)

- (t) varie de h ar

- la fréquence instantanée est fc + f . ar

))(2(cos))2

(2(cos))(

2(cos)( rrccrrccrrcc ptaffUptah

fUrt

ahtfUtm

25,3

5,15,1

2

75,2

21 ff

hf

fc

t

Uc

-Uc

0

m(t)

f1 f2 f2 f2 f1


Modulation MSK


Modulation MSK (Minimum Shift Keying) ( M = 2 ; h = 0,5 2 f = 1/2 = R/2 )

La modulation MSK est une modulation CPFSK (amplitude constante, phase continue) dont la distance 2 f entre les

fréquences est l'écart minimum permettant d'obtenir des signaux orthogonaux (voir paragraphe suivant).

Dans l'intervalle r t (r+1), on a :

1))4

(2(cos))(

22(cos)(

rr

rccrrcc apt

afU

rtatfUtm

t

2 3 4 5 6

-2

-3/2

-

-/2

0

/2

3/2

2 (t)

+1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

Porteuse : Uc cos(ct) fc = 1,25/ 2f = 0,5/

m(t) - MSK

t

t

2 3 4 0

uE(t)

t

a0= -1 a1= 1 a2= 1 a3= -1

12f

00 p

5,11f

2p

5,11f

1p

12f

03 p

- /2 /2 - /2 /2

00 2

1

02

23


Modulations CPFSK - Analyse spectrale


Pour une modulation CPFSK, l'enveloppe complexe g(t) = Uc e j(t) est une fonction non linéaire de uE(t). L'évaluation de

la densité spectrale de m(t) est difficile.

Une expression générale est donnée dans : "Digital Communications (Third Edition)", J.G. PROAKIS, 1995

Modulation MSK (M = 2 ; h = 0,5)

)()(4

1)(

)4(1

)2cos(32)(

2

22

cgcgm

tg

fffff

Tf

fTTPf

g(f) (dB)

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T

f

MSK

QPSK

3/4T m(f)/

fc+1/T fc-1/T fc -(fc+1/T)

Bm = 1,5/T

f

Pt

2

2c

t

UP

-(fc-1/T) -fc

Pt /2

fc-f fc+f

Tf

4

1

- le spectre est concentré autour de fc, les lobes latéraux

s'atténuent très rapidement;

- la bande passante (zéro-zéro) : Bm=1,5/T = 0,67


Table des matières


2.1 Introduction













Nidtttssdtttsdtttsdtttsts i

b

a

ii

N

j

b

a

jji

b

a

i

b

a

N

j

jj ,...,1)()()()()()(0)()()( **

1

**

1

Décomposition en série de fonctions orthonormales


Fonctions orthogonales - orthonormales

Les fonctions {i (t) ; i=1,2,…,N} sont orthogonales sur un intervalle a < t < b si :

)( de énergie )(si0

si 2* tEdttkji

jikdttt ii

b

a iii

j

b

a i

Si les fonctions i (t) sont normalisées (Ei = 1), on dit que les fonctions i (t) sont orthonormales sur l'intervalle (a,b).

Décomposition en série de fonctions orthonormales

Une fonction s(t), éventuellement complexe, à énergie finie peut être représentée dans l'intervalle (a,b) par la relation:

N

i

ii

N

i

ii tststetsts11

)()()(erreur une avec)()(

Dans cette relation, les coefficients si sont calculés pour minimiser l'énergie Ee de e(t) : dttstsE

b

a

N

i

iie

2

1

)()(

Ee est minimum si e(t) est orthogonale aux fonctions i (t) :

Les coefficients si sont les projections de s(t) sur chaque fonction i (t).

Si Ee=0, on dit que l'ensemble {i (t) ; i=1,2,…,N} est un ensemble complet et on a :

N

i

ii tsts1

)()(


Représentation vectorielle des signaux numériques


Dans une transmission numérique, à chaque valeur d'un symbole est associé un signal unique mi(t) de durée .

Si un symbole peut prendre M valeurs, il existe donc M signaux différents : {m1(t), m2(t), … , mM(t)}.

On peut montrer facilement que tout ensemble fini de M signaux physiquement réalisables de durée , peut s'exprimer

sous la forme d'une combinaison linéaire de N fonctions orthonormales {i(t), i=1,…,N} de durée avec N M.

NjetMidtttmmavectmtm jiijj

N

j

iji ,...,1,...,10

1

Chaque signal mi(t) est donc représenté par un vecteur dans un espace à N dimensions défini par les j(t) .

L'information est associée, pour chaque symbole, aux projections mij du vecteur correspondant sur les axes de l'espace :

2(t)

mi2

mi1

1(t)

3(t)

mi3

m1

Exemple : N = 3

),...,,( 21 iNiii mmmm

Mimmmm

dtttmmdttmtm

dttmdttmE

iii

N

j

ij

kjik

N

j

N

k

ij

N

k

kik

N

j

jij

N

j

jijimi

,...1.2

1

2

01 111

0

2

01

2

0

L'énergie Emi de mi(t) dans l'intervalle (0,) est égale au carré

de la longueur du vecteur mi


Modulations d'amplitude et/ou de phase (1)


QPSK

Uc Re

Im MPSK (M=8)

(011)

(111) (110)

(010)

(000)

(100) (101)

(001)

Uc Re

Im

Re

Im BPSK

Uc Re

Im OOK

Uc

1110 1111

Re

Im

16-QAM

1101 1100

0111 0101 0100 0110

0011 0001 0000 0010

1011 1001 1000 1010

Constellations : g(t) = x(t) + j y(t)

)2(sin)2(cos)(:)2(sin)()2(cos)()( tfytfxtmsymbolesMtftytftxtm ciciicc

Représentation vectorielle :

22

)2(sin2

)()2(cos2

)()()()(

21

212211

iiii

cciii

ymxmavec

tftettftavectmtmtm

1(t) et 2(t) sont deux fonctions orthonormales. En effet :

0

222

000 0

2211

21

4

0

4

0000

21

1)(1)4(cos1

12

)4(cos12)2(cos

2)(E

,conditions mêmes les Sous

122

124 si esorthogonalsont (t)ψet(t)ψ

4

)4cos(1

4

cos

4

sin1)4(sin

1)2(sin)2(cos

2)()(

dttEdttfdttf

dttfdtt

fsiouT

nf

nnf

f

f

f

xdx

f

xdttfdttftfdttt

cc

c

cc

cc

c

c

f

c

f

cccc

cc




MPSK (M=8)

(011)

(111) (110)

(010)

(000)

(100) (101)

(001)

Uc Re

Im

1(t)

2(t)

sin2 Ed

m1

m2 m3

m4

m8

m7 m6

m5

E

bEmE

M

/

Re

Im BPSK

Uc 2(t) m2

bEbE

m1

bEd 2

bEE

d = distance minimale entre 2 vecteurs

Re

Im OOK

Uc m1 1(t)

m2

bE2

bEd 2

0

bbmmb EkEmEmd 22)2

sin(2

sin.2

Modulation MPSK

bEkd 2.

BPSK k = 1

QPSK k = 1

MPSK (8) k = 0,66

MPSK (16) k = 0,39

Conclusion : A même valeur de Eb, pour une modulation

MPSK, la distance d diminue si M augmente dès que M 4

22)()()( 212211

iiiiiii ymxmavectmtmtm

g(t) m(t) g(t) m(t)

bc

ci EEU

Um 222

1

2

1

QPSK

Uc Re

Im

1(t)

2(t)

m1 m2

m4 m3 bE

Ed

2

2

E

bEE 2

4/




1110 1111

Re

Im

16-QAM

1101 1100

0111 0101 0100 0110

0011 0001 0000 0010

1011 1001 1000 1010

1(t)

2(t)

m1 m2 m4 m3

m5 m8

d

1

2

3

218

210

22

3

2

1

dr

dr

dr

bbb

M

i

mi

EEdEdE

dddd

EM

E

263,025

24

2

5

2

5

2184

2108

224

16

11

2

2

1

222

Conclusion : A même valeur de Eb

• pour une modulation M-QAM, la distance d diminue si M augmente;

• si on compare les modulations MPSK et M-QAM à M constant : dQAM > dMPSK

d = distance minimale entre 2 vecteurs 22

)()()( 212211

iiiiiii ymxmavectmtmtm

On peut facilement généraliser ces résultats pour des

constellations carrées.

OOK k = 0,71

BPSK k = 1

QPSK k = 1

MPSK (8) k = 0,66

MPSK (16) k = 0,39

16-QAM k = 0,63

bEkd 2.

MPSK (64) k = 0,12

64-QAM k = 0,38

bEM

md 2

)1(2

3


122 min

hnfhn

fff ji

)cohérentes(MSK continueest phase la pair,est n si

)(2/12

22

2 min MSKhn

fhn

fff ji

Modulations de fréquence (1)


Dans une modulation de fréquence MFSK, chaque symbole mi(t), de durée , est associé à une fréquence fi différente :

MitfUtm iici ,...,1)2(cos)(

Représentation vectorielle : )(,...,1)2(cos2

)()()(1

MNMitftavectmtm jjj

M

j

jiji

Chaque vecteur coïncide donc avec un axe de l'espace vectoriel dont la dimension est égale à M.

Conditions d'orthogonalité des fonctions j(t) :

0

0)()( jisidttt ji

)(2

][sin])(2[sin

)(2

][sin])(2[sin

}])(2cos[])(2{cos[1

)2cos()2cos(2

)()(000

ji

jijiji

ji

jijiji

jijijijijjiiji

ff

ff

ff

ff

dttfftffdttftfdttt

Le deuxième terme est nul si fi+fj = n/ et négligeable si fi+fj >> 1.

Si i - j = n , les fonctions j(t) sont orthonormales si :

Si i - j ≠ n , les fonctions j(t) sont orthonormales si :


bbb EkEm

mEEd 222

22

Modulations de fréquence (2)


M m k

2 1 0,71

4 2 1

8 3 1,22

16 4 1,41

Exemples :

)(,...,1)2(cos2

)()()(1

MNMitftavectmtm jjj

M

j

jiji

Conclusion : à puissance constante (même Eb), la distance d augmente avec M

M = N = 2

m1 = ( E,0)

m2 = (0, E)

E = Eb

Ed 2

2(t)

1(t)

m2

m1

E

E m1 = ( E,0,0)

m2 = (0, E,0)

m3 = (0,0, E)

E = m Eb

Ed 2

2(t)

1(t)

3(t)

m3

m2

m1

M = N = 3

Ed 2

Ed 2


Table des matières


2.1 Introduction













Hypothèses

2.4.2 Démodulation optimum

L'étude du récepteur optimum sera effectuée sous les hypothèses suivantes :

Canal de transmission : - bande passante infinie

- atténuation : ( = 1, sans perte de généralité)

- délai de propagation : t0

m'(t) = m ( t - t0 )

Perturbations : les perturbation sont modélisées par un bruit additif blanc gaussien

(AWGN : Additive White Gaussian Noise)

r(t) = m'(t) + n(t)

Récepteur : - démodulation optimale (récupération parfaite de la porteuse en fréquence et en phase)

- récupération parfaite de l'horloge

)(})(Re{)(})(Re{)()()(

})(Re{)(

22

0

)(2

00

2

00 tneettgtnettgtnttmtr

etgtm

tfjtfjttfj

tfj

ccc

c

)()()( tntmtr Moyennant les hypothèses, on peut simplifier cette relation :

Dans chaque intervalle , le récepteur détermine le symbole émis. La décision est prise de manière à minimiser la

probabilité d'erreurs.

r(t)=m(t)+n(t)

Récepteur optimum Canal

m(t)


Principe de la démodulation optimale

Considérons une modulation à M symboles mi(t) représentés au moyen de N fonctions orthonormales j(t) :

NjetMidtttmmavectmtm jiijj

N

j

iji ,...,1,...,10

1

Chaque symbole mi(t) correspond à un vecteur dans un espace à N dimensions défini par les j(t).

L'information est donc portée par les projections mij du vecteur sur les axes de l'espace et non par les fonctions

j(t) qui sont identiques pour tous les symboles.

Dans ces conditions, dans chaque intervalle , le récepteur optimum calcule les coordonnées du vecteur reçu grâce à N

corrélateurs associés aux fonctions j(t). Sur base des coordonnées mesurées, un mécanisme de décision détermine la

valeur la plus probable du symbole émis.

0

dt

0

dt

0

dt

1(t)

N(t)

2(t)

r1

r2

rN

mi Décision

r(t)

x

x

x

ijjijj mdtttmdtttrr

00

Si r(t) = mi(t), le signal de sortie du jème corrélateur vaut :

Cette figure généralise le concept de démodulation cohérente.



Démodulation optimale – Démodulation cohérente

x(t) x

90°

m(t)

cos(2fct)

-sin(2fct)

Récupération

de la porteuse

x

fc R

0 , R

y(t)

Régénérateur

Régénérateur

{ai}

{ai}

Décodage

de canal

{dj}

0 , R

Exemple : Modulation MPSK (M>2) ou M-QAM

0

dtr2

0

dtr1

1(t)

2(t)

mi {dj} Décision

r(t) x

x )2(sin

2)(

)2(cos2

)(

2

1

tft

tft

c

c

Démodulation cohérente

Démodulation optimale



Influence du bruit

m3

m1

1(t)

2(t)

r

m2

m4

mi

1(t)

2(t)

r

n

mi1 r1

r2

mi2

n1

pn1

pn2 n2

Le signal reçu r(t) dépend du symbole émis et du bruit : r(t) = mi (t) + n(t)

Si les symboles mi(t) sont représentés au moyen de N fonctions orthonormales, on peut écrire :

dtttnnetdtttmmavectntntmtr jjjiijj

N

j

jj

N

j

ij

00

11

)('

0

dt

0

dt

0

dt

1(t)

N(t)

2(t)

r1

r2

rN

mi Décision

r(t)

x

x

x

Les nj sont les projections de n(t) sur les axes j(t).

La composante n'(t) est donc orthogonale aux j(t) et le démodulateur optimum est

insensible à n'(t).

tnmtrtr jj

N

j

ijj

N

j

j )(11

Dans l'espace à N dimensions, le signal reçu r(t) est représenté par un vecteur :

nmr i


r1 = mi1 + n1

r2 = mi2 + n2


Caractéristiques du bruit

mi

1(t)

2(t)

r

n

mi1 r1

r2

mi2

n1

pn1

pn2 n2


Bruit blanc Gaussien

• processus gaussien : les variables aléatoires n(t) sont individuellement gaussiennes

• bruit blanc à valeur moyenne nulle

kjsi

kjsiN

dtttN

dtdttttntnE

dtttndtttnEnnE

kj

kj

kjkj

0

2)()(2

)()()]()([

])()()()([][

0

0 1110

20 121210

22201110

n(f)

f

N0/2 Caractéristiques des variables aléatoires nj : dtttnn jj

0

• Valeur moyenne : 0][][0

dtttnEnE jj

• Autocovariance :

)]()([)()()(22

)(0)]([ 00 tntnECRNN

ftnE nnn

Les variables nj sont non corrélées : 2

][ 022 NnE jj

• Les variables nj sont gaussiennes (fonctions linéaires de n(t))

Conclusion : les variables nj sont des variables indépendantes et gaussiennes

22

1)()()...()(),...,,( 022/

2121

22 Nenfavecnfnfnfnnnf in

iNN


Décision optimale (1)

m3

m1

1(t)

2(t)

r

m2

m4

0

dt

0

dt

0

dt

1(t)

N(t)

2(t)

r1

r2

rN

mi Décision

r(t)

x

x

x

Problème : comment choisir le vecteur mi le plus probable (de manière à minimiser la probabilité d'erreur)?

Le démodulateur optimum calcule les coordonnées du vecteur r reçu.


Solution : on choisit le vecteur mi le plus proche du vecteur r reçu.

(règle exacte si les symboles sont équiprobables et si le bruit est blanc et gaussien)

on calcule la distance entre le vecteur r et tous les symboles mi possibles et on minimise :

ou, de manière équivalente, on maximise la quantité :

222 ||||2|||||||| iii mmrrmr

imiii Emrmmr2

1||||

2

1 2


Décision optimale (2)


imiii Emrmmr2

1||||

2

1 2

1

2EmM

1

2 1Em

1

2 2Em

0

dt

0

dt

0

dt

1(t)

N(t)

2(t)

r1

r2

rN

mi r(t)

x

x

x

+

+

+

choix de

la valeur

la plus

élevée

décision optimale

m1 r .

m2 r .

mM r .

Calcul de

pour

i=1,...M

mi r .

Démodulateur optimal

Exemple : QPSK

)2(sin2

)(

)2(cos2

)(

2

1

tft

tft

c

c

0

dt

0

dt

1(t)

2(t)

r1

r2

mi r(t)

x

x

m4 r .

choix de

la valeur

la plus

élevée

décision optimale

Calcul de

pour

i=1,...4

mi r . m3 r .

m2 r .

m1 r .

m3

m1

1(t)

2(t)

r

m2

m4


Calcul de la probabilité d'erreurs


Décision optimale : on choisit le vecteur mi le plus proche du vecteur r reçu.

Principe du calcul

2(t)

d

d

Ri

1(t)

16-QAM

mi

BPSK

On divise, géométriquement, l'espace à N dimensions en M régions Ri, mutuellement exclusives, contenant chacune un

vecteur particulier mi. Les régions Ri sont telles que si le vecteur r appartient à Ri, le vecteur mi est choisi.

Pour N 2, les régions Ri sont construites en traçant les médiatrices des segments joignant les extrémités des vecteurs mi.

Exemples :

Probabilité d'erreurs sur un symbole : ))|(1()()|()()(11

M

i

iii

M

i

iii mRrPmPmRrPmPSP

m2

2d

R1 R2

2d

1(t) m1

0

m2

2d

R1 R2

2d

1(t)

BPSK

m1

0


Modulations OOK et BPSK


Modulation OOK

Modulation BPSK

bEd 2

bEd 2

Si les symboles sont équiprobables et en fonction de la symétrie :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

10-0

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

OOK

BPSK 3 dB

)(0

dBN

Eb

Si m2 est émis, r1=m21+ n1

Pour un même , OOK exige un rapport Eb/N0 de 3 dB supérieur à celui de BPSK (pénalité) (cf NRZ polaire/unipolaire)

Eb/N0

(dB)

OOK

BPSK

10-5

12,6

9,6

10-9

15,6

12,6

)2

()2

/2

()2

()(0

01

N

EQ

NdQ

dnPSP b

)()2

/2

()2

()(

)|()|(2

1)|(

2

1)(

0

01

222211

N

EQ

NdQ

dnPSP

mRrPmRrPmRrPSP

b

1(t)

d/2

pn1 )

2/

2()

2( 0

1

NdQ

dnP

2

02 N

m21=0

m2

R1 R2

d

1(t) m1

0

m2

2d

R1 R2

2d

1(t) m1

0


Modulation QPSK


1)()2

/2

(2)2

/2

(2

11)

2/

2(2

)2

/2

(11)2

()2

(1

)|(1))|(1()()(

000

2

021

11

4

1

SPsiNd

QNd

QNd

Q

NdQn

dPn

dP

mRrPmRrPmPSPi

iii

Si un codage de Gray est utilisé, : )2

()2

/2

(2

)(

0

0

N

EQ

NdQ

SP b

Pour un donné, la modulation QPSK exige le même rapport Eb/N0 que la modulation BPSK.

bEEd 22

Si m1 est émis : r1 = m11 + n1

r2 = m12 + n2


m2

1(t)

2(t)

m1

m3 m4

R1

d

m11

m12

r2

r1

n1

n2

r

m11

1(t)

d/2

pn1 )2

/2

( 0NdQ

2

02 N


Modulations MPSK


Eb/N0

(dB)

BPSK

QPSK

10-5

9,6

9,6

10-9

12,6

12,6

MPSK-8 13,0 16,0

MPSK-16 17,4 20,6

MPSK-32 22,3 25,5

MPSK-64 27,5 30,7

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

10-0

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

BPSK

QPSK

)(0

dBN

Eb

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

MPSK

(M=8)

MPSK

(M=16)

MPSK

(M=64)

MPSK

(M=32)

3,4 4,4 4,9 5,2

Une augmentation de M entraîne une augmentation de Eb/N0 pour maintenir le même (pénalité)

[1] "Digital Modulation Techniques", F. XIONG, Artech House, 2000


Mmkavec

Ekd b

sin

2

L'évaluation de cette probabilité n'a pas de solution simple pour M > 4. Une borne supérieure est proposée dans [1] :

)2

(2

)2

/2

(2

0

0

N

EkQ

m

NdQ

m

b

BPSK k = 1

QPSK k = 1

MPSK-8 k = 0,66

MPSK-16 k = 0,39

MPSK-32 k = 0,22

MPSK-64 k = 0,12

)()(

)|()( Graydecodagesim

SPmRrPSP ii

m2

1(t)

2(t)

m1

m3

m4

m8

m7 m6

m5

R1


Modulation 16-QAM


On distingue 3 types de fenêtres

Fenêtre 1

Fenêtre 2

Fenêtre 3

)2

/2

(3

3)4816(16

11)]21(4)31(8)41(4[

16

11)(

0NdQ

pppppSP

bEd 25

2

16-QAM

1(t)

2(t)

d

d

Ri

mi

0

1(t)

-d/2

pn1 )

2/

2( 0Nd

Qp 2

02 N

)2

/2

( 0NdQp

d/2

)5

4(

4

3)

2/

2(

4

3

4

)(

0

0

N

EQ

NdQ

SP bSi codage de Gray :

ppd

nd

Pd

nd

PmRrP ii 41)21()22

()22

()|( 221

pppd

nd

Pnd

PmRrP ii 31)21)(1()22

()2

()|( 21

ppnd

Pnd

PmRrP ii 21)1()2

()2

()|( 221

F1 F2

F3

16

1

16

1

)|()(1))|(1()()(i

iii

i

iii mRrPmPmRrPmPSP


Modulation M-QAM


10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

10-0

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

16

)(0

dBN

Eb

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

4 64 256 QPSK

M-QAM

MPSK

16 16 64

Eb/N0

(dB)

QPSK

16-QAM

10-5

9,6

13,4

10-9

12,6

16,5

64-QAM 17,8 20,9

256-QAM 22,5 25,6

MPSK-16 17,4 20,6

MPSK-64 27,5 30,7


On peut facilement généraliser le calcul au cas des modulations M-QAM à constellation carrée. On trouve [1] :

)1

3(

)1(41

)2

/2

()1(41

0

0

N

E

M

mQ

M

M

m

NdQ

M

M

m

b

bEkd 2.

QPSK k = 1

16-QAM k = 0,63

64-QAM k = 0,38

256-QAM k = 0,22

MPSK-16 k = 0,39

MPSK-64 k = 0,12

Conclusions : pour un même

• Eb/N0 augmente avec M pour une modulation M-QAM

• pour une même valeur de M, Eb/N0 pour une M-QAM < Eb/N0 pour une MPSK

• la pénalité entre 2 modulations est fixée par le rapport des distances correspondantes

Exemple : pénalité 16-QAM/256-QAM 20 log10 (0,63/0,22) = 9,1 dB


)(2

1,1)(

2)

2/

2(

2)(

1

2/)(

12

21

0

01

SPMsiN

mEQ

MNdQ

MSP

M

MSPm

m

bm

m

Modulations MFSK (1)



M = 2

bEd 22(t)

1(t)

m2

m1

bE

R1

R2

bE

M > 2

L'évaluation analytique de P(S) n'est pas possible. Si P(S) 10-3 et si les symboles sont équiprobables, une borne

supérieure est proposée dans [1] :

bb E

mdcar

N

mEQM

NdQMSP 2

2)()1()

2/

2()1()(

0

0

Tous les symboles sont équidistants. En cas d'erreur, chaque voisin du symbole émis a la même probabilité d'être choisi.

m

km

m

mm

k

mk

1

1

12

2

12

1

)!(!

!

kmk

m

k

m

avec = nombre de possibilités d'observer k erreurs sur m bits

Nombre moyen d'erreurs par symbole :

Relation - P(S)


)()2

/2

()(

)|()|(2

1)|(

2

1)(

0

0

222211

N

EQ

NdQSP

mRrPmRrPmRrPSP

b


)(2 0N

mEQ

M b

Modulations MFSK (2)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

10-0

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

2

5

)(0

dBN

Eb

MFSK

2

4 8 16

32

64

Eb/N0

(dB)

2FSK

4FSK

10-5

12,6

9,9

10-9

15,6

12,7

8FSK 8,4 11,1

16FSK 7,4 10

32FSK 6,7 9,2

64FSK 6,2 8,5

2FSK k = 0,71

4FSK k = 1

8FSK k = 1,22

16FSK k = 1,41

32FSK k = 1,58

64FSK k = 1,73

bEkd 2.

Conclusion : pour un même , Eb/N0 diminue lorsque M augmente.


Table des matières


2.1 Introduction













Conclusion

L'augmentation du nombre de symboles M peut être exploitée pour :

• minimiser la bande passante utilisée (région à bande passante limitée)

Pour un débit fixé, lorsque M augmente, la bande passante des modulations MPSK et MQAM diminue.

Pour maintenir une qualité constante, il est cependant nécessaire d'augmenter la puissance du signal utile.

• limiter la puissance des signaux utiles (région à puissance limitée)

Pour un débit fixé, lorsque M augmente, la puissance nécessaire pour une qualité donnée diminue pour une modulation

MFSK. Cet avantage est obtenu au prix d'une augmentation de la bande passante.

Synthèse des résultats

2.5 Comparaison des modulations

Bande passante (filtrage idéal de Nyquist =0) : M = 2m

• OOK : = 1

• MPSK – MQAM : = m

• MFSK (non) cohérentes : = m/M

Taux d'erreurs binaire

)/(2

:)2(

)/(:

)1

3(

)1(41:

)/(sin)/2(2

:)4(

)/2(:

)/(:

0

0

0

0

0

0

NEQM

MMFSK

NEQBFSK

N

E

M

mQ

M

M

mQAMM

MmkavecNEkQm

MMPSK

NEQQPSKBPSK

NEQOOK

b

b

b

b

b

b

Bande

passante

limitée

-10 0 10 20 30 40

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

16

= D/B (bit/s /Hz)

)(0

dBN

Eb

D = C

Limite de

Shannon

-1,59 dB

MPSK

OOK

MQAM

MFSK

= 10-5

Filtrage idéal de Nyquist (=0)

Systèmes réels

64 32

16

8

4

2

64 256

16

4

8

16

32

64

Puissance

limitée

2

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