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N° d’ordre 2009-ISAL-0111 Thèse Modèle de formation d’image et estimation vectorielle de vitesses en imagerie ultrasonore haute fréquence avec un système à balayage mécanique Model of image formation and 2D velocity estimation with a high frequency swept scan ultrasound imaging system Présentée devant L’institut National des Sciences Appliquées de Lyon Pour obtenir le grade de docteur École doctorale Mécanique Energétique Génie civil Acoustique (MEGA) Spécialité Acoustique Traitement du signal et d e l’image Par Yang Liu Li (MSc Chongqing University) Jury MM. Directeur de thèse D. Vray Professeur, INSA de Lyon Rapporteur D. Kouamé Professeur, Université Paul Sabatier, Toulouse Rapporteur M. Lethiecq Professeur, Université F.Rabelais, Tours Examinateurs R. Goutte Professeur Emérite, INSA de Lyon Examinateurs I. Magnin DR Inserm, INSA de Lyon Examinateurs B. Nicolas Chargée de Recherche CNRS, Gipsa-Lab, Grenoble Laboratoire CREATIS, CNRS UMR 5220, INSERM U630, INSA de Lyon.
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N° d’ordre 2009-ISAL-0111
Thèse
Modèle de formation d’image et estimation
vectorielle de vitesses en imagerie
ultrasonore haute fréquence avec un
système à balayage mécanique
Model of image formation and 2D velocity
estimation with a high frequency swept
scan ultrasound imaging system
Présentée devant
L’institut National des Sciences Appliquées de Lyon
Pour obtenir
le grade de docteur
École doctorale
Mécanique Energétique Génie civil Acoustique (MEGA)
Spécialité
Acoustique Traitement du signal et de l’image
Par
Yang Liu Li (MSc Chongqing University)
Jury MM.
Directeur de thèse D. Vray Professeur, INSA de Lyon
Rapporteur D. Kouamé Professeur, Université Paul Sabatier, Toulouse
Rapporteur M. Lethiecq Professeur, Université F.Rabelais, Tours
Examinateurs R. Goutte Professeur Emérite, INSA de Lyon
Examinateurs I. Magnin DR Inserm, INSA de Lyon
Examinateurs B. Nicolas Chargée de Recherche CNRS, Gipsa-Lab, Grenoble
Laboratoire CREATIS, CNRS UMR 5220, INSERM U630, INSA de Lyon.
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Titre: Modèle de formation d’image et estimation vectorielle de vitesses en imagerie
ultrasonore haute fréquence avec un système à balayage mécanique.
Résumé
Un système ultrasonore à balayage mécanique acquiert une image pendant que le transducteur
unique est en mouvement. Ce type de système appelé ―swept scan system‖ permet d‘utiliser
des transducteurs haute fréquence (20-50MHz) pour réaliser des images haute résolution.
Toutefois, ces systèmes présentent des limitations pour estimer les vitesses des flux car les
techniques Doppler conventionnelles ne peuvent pas être utilisées directement lorsque le
capteur est continument en mouvement. Pour réaliser en même temps des images haute
résolution et une cartographie des vitesses de flux, il est nécessaire de développer des
méthodes spécifiques d‘estimation du mouvement.
Dans ce travail, nous développons un modèle de formation de l‘image ultrasonore pour un
système ultrasonore haute fréquence, large bande à balayage mécanique. A partir de ce
modèle, nous proposons 2 estimateurs de vitesse basés d‘une part sur l‘analyse temps-
fréquence du signal d‘ouverture dans le domaine espace-fréquence et d‘autre part sur
l‘analyse de la Transformée de Fourier (TF) 2D spatiale (espace k).
L‘analyse temps-fréquence du signal Chirplet est réalisée avec la distribution de Wigner-Ville
(DWV). Le signal « Chirplet » est le signal latéral correspondant à la fréquence d‘émission
dans le domaine espace-fréquence obtenu après une TF 1D le long de l‘axe des temps (axe de
propagation des ondes ultrasonores). L‘analyse temps-fréquence du signal chirplet montre
clairement la modulation non linéaire de ce signal en fonction de la vitesse du capteur, de la
vitesse cible et de l'ouverture du transducteur. En supposant que la vitesse du capteur soit
fixée, l'analyse de la DWV du signal chirplet montre que la fréquence centrale est directement
liée à la vitesse axiale cible, et la compression de la largeur de bande axiale de WVD dépend
de la vitesse latérale de la cible.
L‘analyse de la TF2D de l‘image ou d‘une région de l‘image US montre clairement que la
fréquence centrale latérale est directement liée à la vitesse axiale de la cible, et que la
compression de la largeur de bande latérale dépend de la vitesse latérale par rapport à la cible.
L‘estimation de ces caractéristiques spectrales permet alors de remonter aux vitesses axiale et
latérale de la cible.
Des simulations de différentes situations correspondant aux paramètres du système réel ont
été réalisées. Les résultats sont donnés pour un transducteur à 20MHz se déplaçant à la vitesse
de 100 mm/s. Les vitesses moyennes des écoulements vont de 10 à 40 mm/s et les angles
d'orientation des flux sont entre 0 ° et 90 °. Des séquences d‘images avec des profils
paraboliques de flux ont été également simulées. La comparaison des profils théoriques avec
les profils estimés des flux est basée sur le calcul de la moyenne et de l‘écart-type de l'erreur.
L‘estimation 2D de vitesse est en accord avec les valeurs attendues. Notre estimateur permet
donc la cartographie des flux avec une seule image pour des orientations de flux et des
vitesses où les techniques Doppler sont limitées.
Mots-Clés: imagerie ultrasonore, ultrasons, haute fréquence, speckle, modélisation, formation
de l‘image, Wigner-Ville distribution, estimation de vitesse, quantification de flux.
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Model of image formation and 2D velocity estimation with a high frequency swept scan
ultrasound imaging system.
Abstract:
In swept-scan ultrasonic imaging system, the single-element transducer continuously moves
during emission and reception. It realizes high-frequency (20-50MHz) real-time ultrasound
imaging with high spatial resolution. Meanwhile, real-time flow mapping is still under study
by researchers since conventional Color-Doppler ultrasound techniques present limitations
when the imaging transducer moves continuously. To realize both real-time flow mapping
and high-frequency imaging, it is necessary to consider estimating the blood flow 2D velocity
with the data of a single image, acquired with a swept-scan transducer. In this thesis, we
propose a model of image formation for an ultrasonic broad-band, high frequency, swept-scan
transducer system. In a second part, we develope two velocity estimators based firstly on the
time-frequency analysis of the ―Chirplet signal‖ in the space-frequency domain and secondly
on the 2D Fourier spatial frequency (2DFT) of the system‘s PSF.
Time-frequency analysis of the ―Chirplet signal‖ is realized with Wigner-Ville Distribution
(WVD). The ―Chirplet signal‖ Sf0(u) is the lateral spatial signal chirp signal filtered with the
aperture, where u is scan direction and f0 is the centre frequency of the emitting transducer.
This model shows clearly the non linear modulation of this signal as a function of transducer
velocity, target velocity and transducer aperture. Assuming that the transducer velocity is
fixed, the analysis of Chirplet‘s WVD shows that the centre frequency is directly related to
target‘s axial velocity, and the compression of the axial bandwidth of WVD depends on
target‘s lateral relative velocity.
2D Fourier Transform (2DFT) of the system‘s PSF shows clearly that the lateral centre
frequency is directly related to target‘s axial velocity, and the compression of the lateral
bandwidth of the system‘s 2DFT depends on target‘s lateral relative velocity
Simulations of various situations corresponding to real system parameters show the validity of
both models. Results are given for a 20MHz transducer moving at the speed of 100mm/s.
Mean flow velocity range from 10 to 40mm/s and flow orientation angle range between 0°
and 90°. 2D velocity estimation of target gives good agreement with expected values.
Parabolic flow profiles are also investigated. Results compare theoretical with estimated flow
profiles. Mean and standard deviation of the mean error are presented and show a good
agreement. As the flow mapping is estimated with a single image, we show sequence of
images after regularization of the flow along time.
Keywords:
swept-scan, ultrasound imaging, high frequency, speckle, model of image formation, 2D
velocity estimation, Wigner-Ville Distribution, blood flow.
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SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE
CHIMIE CHIMIE DE LYON
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M. Jean Marc LANCELIN Université Claude Bernard Lyon 1
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ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE
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E2M2 EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION http://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2 M. Jean-Pierre FLANDROIS
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M. Jean-Pierre FLANDROIS CNRS UMR 5558 Université Claude Bernard Lyon 1 Bât G. Mendel
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M.Pascal KOIRAN
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CIVIL, ACOUSTIQUE
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Secrétariat : M. LABOUNE PM : 71.70 –Fax : 87.12
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25 bis avenue Jean Capelle 69621 VILLEURBANNE Cedex Tél :04.72.18.71.70 Fax : 04 72 18 87 12
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L’ENVIRONNEMENT ET DU DROIT
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Insa : J.Y. TOUSSAINT
Mme Claude-Isabelle BRELOT Université Lyon 2
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5
Table des matières
RESUME ................................................................................................................... 2
ABSTRACT ................................................................................................................ 3
TABLE DES MATIÈRES ............................................................................................... 5
LIST OF NOTATIONS ................................................................................................. 7
LIST OF ABREVIATIONS ........................................................................................... 9
INTRODUCTION....................................................................................................... 10
1. ETAT DE L‘ART ........................................................................................... 14
1.1 Mesure de flux ............................................................................................................ 14 1.1.1 Mesure quantitative des flux .................................................................................................. 14
Mécanique des fluides .................................................................................................................... 14 Rhéologie ........................................................................................................................................ 14
1.1.2 Microcirculation ..................................................................................................................... 15 1.1.3 Mesure du flux sanguin par imagerie de la micro circulation ................................................ 16
1.2 Imagerie ultrasonore .................................................................................................. 17 1.2.1 Champ ultrasonore ................................................................................................................. 17 1.2.2 Transducteurs à ultrasons ....................................................................................................... 19
Effet piézoélectrique ...................................................................................................................... 19 Transducteurs à ultrasons .............................................................................................................. 19
1.2.3 Système Monotransducteur .................................................................................................... 19 Système à balayage ........................................................................................................................ 20 Transducteur haute fréquence ....................................................................................................... 20
1.2.4 Antennes ou réseau de transducteurs ...................................................................................... 20 Antennes linéaires .......................................................................................................................... 20
1.2.5 Imagerie Doppler .................................................................................................................... 22 1.2.6 Imagerie ultrasonore à haute fréquence .................................................................................. 22
1.3 Estimation de la vitesse du flux sanguin .................................................................... 23 1.3.1 Estimation de la vitesse axiale ................................................................................................ 23
Effet Doppler .................................................................................................................................. 23 Méthode auto corrélation 1D (bande étroite) ............................................................................... 24 Méthode d’auto corrélation 2D (large bande) ............................................................................... 25 Méthode d’intercorrélation temporelle ......................................................................................... 27
1.3.2 Estimation de la vitesse 2D .................................................................................................... 28 Approche faisceaux multiples ........................................................................................................ 28 Approche par modulation transverse ............................................................................................ 29 Approche “Speckle Tracking” ......................................................................................................... 30 Approche par estimation de l’élargissement spectral .................................................................... 31 Approche dans de domaine de Fourier 2D, espace des k (k-space) ............................................... 32
1.4 Conclusion .................................................................................................................. 34
2. AZIMUTH-FREQUENCY APPROACH AND 2D FT APPROACH TO ESTIMATE 2D
VELOCITY IN SWEPT-SCAN SYSTEM ........................................................................ 36
2.1 System model .............................................................................................................. 36 2.1.1 Angular response of transducer .............................................................................................. 38 2.1.2 Spatial impulse response ........................................................................................................ 40 2.1.3 Image Formation .................................................................................................................... 42 2.1.4 Resolution of images .............................................................................................................. 42
2.2 Imaging a stationary point target with swept-scan system ....................................... 43 2.2.1 Frequency domain analysis of the system. Fourier Transform of system‘s PSF respect to
t : the space-frequency domain. ....................................................................................................... 43 Lateral spatial Chirp and Chirplet signal Hf0(u) and Sf0(u) ............................................................... 46
6
Instantaneous-frequency analysis of the “Chirp signal” Hf0(u)....................................................... 46 Wigner-Ville distribution of the “Chirplet signal” Sf0(u) ................................................................. 48
2.2.2 Analysis of the system in the 2D Fourier Transform domain, or k-space domain ................. 53 2DFT analysis of the aperture function .......................................................................................... 53 2DFT analysis of the system’s spatial impulse response ................................................................ 53
2.3 Imaging a moving point target with swept-scan system ............................................. 56 2.3.1 Frequency domain analysis of the dynamic system, the space-frequency domain. ............... 59
Lateral spatial Chirp Hmf0(u) and Chirplet signal Smf0(u) .................................................................. 60 Instantaneous-frequency analysis of the Chirp signal Hmf0(u) ........................................................ 61 Wigner-Ville distribution of the Chirplet signal Smf0(u) ................................................................... 63
2.3.2 Analysis of system in 2D Frequency domain (k-space) ......................................................... 66 2DFT analysis of the aperture function .......................................................................................... 66 2DFT analysis of the system’s spatial impulse response ................................................................ 67
2.4 Velocity estimation in 2D-frequency and time-frequency domains ........................... 70 2.4.1 Discussion concerning target velocity compared to transducer velocity ............................... 70 2.4.2 Velocity estimation: 2DFT approach ..................................................................................... 71 2.4.3 Velocity estimation by Wigner-Ville approach ...................................................................... 72 2.4.4 Maximum available velocity .................................................................................................. 74 2.4.5 Velocity resolution ................................................................................................................. 75
2.5 Conclusion .................................................................................................................. 75
3. VELOCITY ESTIMATION: A 2DFT APPROACH ................................................... 78
3.1 A single target in motion ............................................................................................ 79 3.1.1 Axial velocity estimation........................................................................................................ 80 3.1.2 Lateral velocity estimation ..................................................................................................... 80 3.1.3 Spatial resolution of dynamic system ..................................................................................... 83
3.2 Image simulation of a distribution of targets in motion with constant velocity ......... 83 3.3 Imaging scatterers moving with non steady spatial distribution of velocity .............. 86
3.3.1 Displacement model simulation ............................................................................................. 86 3.3.2 Window Size .......................................................................................................................... 89
4. VELOCITY ESTIMATION: A WIGNER-VILLE APPROACH ............................... 94
4.1 A single target in motion ............................................................................................ 94 4.1.1 Axial velocity estimation........................................................................................................ 94 4.1.2 Lateral velocity estimation ..................................................................................................... 94
4.2 Image simulation of a distribution of targets in motion with constant velocity ......... 97 4.3 Imaging scatterers moving with non steady spatial distribution of velocity ............ 100
CONCLUSION ......................................................................................................... 103
BIBLIOGRAPHY ...................................................................................................... 105
APPENDIX ............................................................................................................. 109
7
LIST of NOTATIONS
t Temporal convolution
u Cross-range convolution
x y Two-dimensional spatial convolution respect to the location of targets
α Angular response of transducer
c Ultrasonic celerity
λc Ultrasonic wavelength
Emission reception angle (between r and z direction)
Angle between moving direction of target and z direction
t Fast time
u Lateral direction, transducer displacement direction
r Range distance between transducer and target
r0 Initial range distance between transducer and target
Δu Lateral resolution
Δr Axial resolution
( x, z ) Target coordinates
( x0 , z0 ) Target‘s initial coordinates
aR(u,t) Angular response of reception aperture aR (x) in space-time domain
aT(u,t) Angular response of transmission aperture aT (x) in space-time domain
du Lateral sampling interval
dr Axial sampling interval
e(t) Emitted pulse signal
f(x,z) Targets (or scatterers) distribution
f0 Centre frequency of the emitting signal
fr Spatial frequency along range
fr0 Spatial centre frequency
h(u,t) Spatial impulse response in space-range domain
hgeo(u,t) Geometrical impulse response in space-range domain
s(u,t) System‘s PSF in space-range domain
g(u) Sampling function of synthetic aperture along u of swept-scan system
l Transducer‘s size
pri Pulse repetition interval noted also T
vobj Target‘s Velocity
vaxial Target‘s lateral velocity
vlateral Target‘s axial velocity
vscan Transducer‘s Velocity
8
vx Lateral relative velocity
vz Axial relative velocity
A Transducer aperture in frequency domain
H Spatial impulse response in frequency domain
S System‘s PSF in frequency domain
L Width of image
N Emitted pulse length
WVD Wigner-Ville Distribution
9
LIST of ABREVIATIONS
2DFT 2 Dimension Fourier Transform
FWHM Full Width at Half Maximum
IRM Imagerie par Résonance Magnétique
LDF Laser Doppler Flowmetry
PIV Particule Image Velocimetry
PRF Pulse Repetition Frequency
PRI Pulse Repetition Interval
PSF Point Spread Function
PVDF PolyFluorure de Vinylidène ( ?)
PZT Titano-Zirconate de Plomb
RF Radio-Frequency
SAD Sum of Absolute Differences
TFR Time Frequency Representation
WVD Wigner Ville Distribution
10
11
INTRODUCTION
Les informations quantitatives du flux sanguin sont d'une importance fondamentale pour
l'étude de la morphologie et de l'hémodynamique vasculaire. Par exemple, une anomalie
vasculaire due à une pathologie qui de développe peut être détectée par l‘analyse des
variations locales de vitesses du sang dans les vaisseaux. À l'heure actuelle, il existe de
nombreux types de dispositifs qui permettent d‘estimer la vitesse du sang dans les vaisseaux,
comme l‘IRM, la mesure optique de flux Doppler et l‘imagerie ultrasonore. Pour identifier
des anomalies très localisées pour des flux de très faibles valeurs ou pour faire des mesures
quantitatives fiables, les systèmes existants peuvent cependant manquer de fiabilité, de
flexibilité et/ou de résolution spatiale. Par exemple la mesure optique de flux Doppler satisfait
aux conditions de haute résolution et de faible flux sanguin, mais elle ne peut permettre
d‘estimer des vitesses que dans la direction axiale. L‘imagerie ultrasonore possède de très
nombreux avantages : les radiations sont non ionisantes, l‘imagerie est non invasive et d‘une
grande flexibilité, et de plus cette modalité permet d‘assurer une surveillance en temps réel, à
un prix relativement bas. L‘imagerie Doppler ultrasonore tend d‘ailleurs à devenir la méthode
principale de mesure des flux sanguins.
Toutefois, la mesure ultrasonore des flux de faibles valeurs que l‘on souhaite connaître avec
une excellente résolution spatiale repose sur des dispositifs toujours en cours de
développement. Parmi ces équipements, la plupart utilisent un capteur unique en déplacement
pour former des images à haute résolution spatiale. En effet, il est très difficile techniquement
de produire des antennes fonctionnant à des fréquences supérieures à 30MHz et seules
quelques sociétés proposent de tels appareils. Le present travail va s‘intéresser aux systèmes
qui réalisent des images grâce à un balayage mécanique du transducteur ultrasonore (swept
scan ultrasound imaging system). Au cours de ce balayage, le capteur est en mouvement
continu tandis qu‘il transmet des signaux à intervalles de temps constant et reçoit les échos
correspondants. Pour résoudre le problème d‘estimation des flux avec ce système, la solution
retenue est le plus souvent d‘arrêter le capteur pour qu‘il réalise 4 à 16 tirs dans chaque
position, mais cette technique (step scan imaging system) ralentit la cadence d‘image et le
système perd alors sa principale qualité d‘imager en temps réel. L‘objectif de ce travail est
donc de proposer une méthodologie pour mesurer les vitesses comme le ferait un système
Doppler mais en gardant le transducteur en mouvement pour l‘imagerie à une cadence de
plusieurs dizaine d‘images par seconde. Un second objectif est d‘estimer les 2 composantes
du vecteur vitesse en chaque point de l‘image ultrasonore acquise.
Les méthodes Doppler conventionnelles d'estimation de la vitesse mesurent seulement la
projection de la vitesse sur l‘axe d‘émission ultrasonore. Les médecins doivent estimer
empiriquement l‘angle Doppler, ce qui ne permet pas de satisfaire les exigences de précision.
Pour estimer les 2 composantes du vecteur vitesse du flux sanguin, il existe plusieurs
approches comme l‘approche par faisceaux multiples, l‘approche par modulation transverse,
l‘approche par estimation de déplacement du speckle (Speckle Tracking) ou l‘approche
reposant sur l‘analyse de l‘espace transformée de Fourier 2D. Dans le cadre de ce travail, et
compte tenu du système de balayage du capteur haute fréquence, nous avons choisi de nous
intéresser à la dernière approche qui consiste à travailler dans le domaine des fréquences
12
spatiales 2D ou espace des k (k-space). Cette approche a permis de grandes avancées en
imagerie IRM et nous pensons que l‘analyse du domaine transformée des fréquences spatiales
permettra de regrouper les informations spatiales et de vitesse qui sont séparées lorsqu‘on
s‘intéresse aux images ultrasonores elles-mêmes. A partir de l‘espace transformée d‘une seule
image de signaux RF ultrasonores, nous allons montrer que les informations à estimer
« déforment » les composantes spectrales, c‘est le problème direct que nous allons modéliser.
Dans un deuxième temps, nous estimerons les valeurs des paramètres de vitesses à partir de
l‘analyse de l‘espace des fréquences spatiales 2D.
Dans le premier chapitre, nous allons d‘abord présenter les aspects liés à la formation d‘une
séquence d‘images ultrasonores. Nous reviendrons sur les grandeurs physiques nécessaires à
la compréhension de l‘imagerie ultrasonore. Ces aspects sont importants et doivent être pris
en compte dans le développement des méthodes. Nous nous attarderons par la suite à faire une
revue des méthodes spécifiques à l‘imagerie ultrasonore, telles que les méthodes Doppler qui
sont largement utilisées en applications cliniques.
L‘approche méthodologique que nous avons développée sera détaillée dans le deuxième
chapitre. Nous proposerons tout d‘abord un modèle simple de formation de l‘image
ultrasonore avec un système d‘imagerie à transducteur à balayage mécanique (swept scan
imaging system). Le modèle sera étendu au domaine espace-fréquence (space-frequency)
après une première transformée de Fourier le long de la profondeur. Nous montrerons que les
signaux correspondant à une fréquence donnée (fréquence d‘émission par exemple) le long du
déplacement du transducteur contiennent à la fois les informations de localisation et de vitesse
en 2D des cibles en mouvement imagées par le système. Ces signaux que nous avons appelés
« Chirplet » seront analysés avec la distribution de Wigner-Ville, une représentation temps-
fréquence qui permet de montrer la contribution de chacun des paramètres des cibles en
mouvement.
Le modèle sera étendu au domaine des fréquences spatiales 2D après une seconde transformée
de Fourier le long de la direction de déplacement du transducteur. Nous montrerons dans ce
domaine des fréquences spatiales 2D (k-space), l‘influence des paramètres de mouvement et
de position des cibles en mouvement.
Le troisième chapitre sera dédié à la présentation des images RF simulées utilisées pour la
validation des méthodes ainsi que les résultats d‘estimation de vitesse à partir de l‘analyse du
domaine des fréquences spatiales 2D (k-space). Le chapitre 4 présentera les résultats
d‘estimation de vitesse 2D à partir de l‘analyse par la distribution de Wigner-Ville. Nous
conclurons ensuite ce manuscrit de thèse et nous développerons les perspectives envisagées à
ces travaux de recherche.
13
1État de l’art
14
1. ETAT DE L’ART
1.1 MESURE DE FLUX
1.1.1 Mesure quantitative des flux
Mécanique des fluides
La mécanique des fluides est l'étude de la circulation des fluides et de la façon dont les forces
intérieures et extérieures s‘exercent sur eux. La mécanique des fluides peut être divisée en
statique et dynamique. La dynamique des fluides en particulier, est un domaine actif de
recherche comportant de nombreux problèmes non résolus. Les problèmes de mécanique des
fluides peuvent être mathématiquement complexes et nécessitent l‘utilisation de méthodes
numériques ainsi que de méthodes expérimentales. Une discipline moderne, appelée
Computational Fluid Dynamics (CFD) est consacrée à cette approche. Dans ce domaine, la
méthode PIV ou « Particule Image Velocimetry », est une méthode expérimentale pour la
visualisation et l'analyse des écoulements exploitant plus particulièrement la nature visuelle
du comportement des fluides. L'hémodynamique, sous-discipline de la dynamique des fluides,
est une application en biologie et concerne l‘étude des propriétés de la circulation et du flux
sanguin.
Rhéologie
La rhéologie est l'étude de la déformation et du flux des matières [White, 2003]. Dans le but
d'étudier les forces induites par la déformation, la rhéologie utilise des expériences théoriques
et la simulation qui sont deux moyens d‘approche complémentaires. Des expériences utilisant
une variété de rhéomètre, comme par exemple le rhéomètre capillaire, permettent de mesurer
l'effet des différents cisaillements, de la viscosité, des taux de modification des écoulements,
etc., ainsi que l‘analyse de la matière, son poids moléculaire et d'autres propriétés
importantes. L‘examen médical couramment utilisé lors de la mesure du flux sanguin relève
de cette approche.
La bio rhéologie est une branche de la rhéologie consacrée à l'étude des caractéristiques
spécifiques du débit des systèmes biologiques. En bio rhéologie les déformations n‘obéissent
pas à la loi de Newton de la viscosité, et les déformations ne satisfont pas la loi de Hooke. La
bio rhéologie est un outil indispensable à l'étude du vivant [Fung, 1981]. Le sang est un fluide
Non-Newtonien, sa mobilité ou sa viscosité changent non seulement avec ses composants,
mais aussi avec la pression et la géométrie des vaisseaux sanguins. Par conséquent, la
mobilité et la viscosité sanguine sont deux caractéristiques fondamentales du sang qui
reflètent la fonction physiologique normale et le changement de la pathologique du cœur et
des vaisseaux (le volume et la vitesse d‘écoulement sont deux paramètres importants de
l'étude du sang).
La micro fluidique est la science et la technologie des systèmes manipulant des fluides et
dont au moins une des dimensions caractéristiques est de l'ordre du micromètre. Elle englobe
l'étude de la physique des fluides à l'échelle micrométrique et elle comporte également une
dimension applicative [Herold, 2009]. Son champ d'application, comprend les gaz et les
liquides. La micro fluidique est une combinaison de la théorie de la mécanique des fluides et
de la technologie moderne de micro-usinage. La micro fluidique est une approche nouvelle
interdisciplinaire qui est élaborée sur la base de la microélectronique, des micro-machines, de
la bio-ingénierie, des nanotechnologies et d'autres disciplines.
Les micro-capteurs de flux relèvent de la technologie de la micro fluidique. Au cours de ces
dernières années, grâce à la recherche et aux progrès des micro-systèmes électromécaniques
(MEMS), le capteur de flux s‘est développé vers un haut niveau d'intégration, une
15
miniaturisation poussée, une haute précision et une fiabilité élevée. Le micro capteur de flux
est ainsi devenu l'un des éléments essentiels de la micro fluidique.
Ces quelques exemples montrent qu‘au moyen de modèles théoriques et d‘études
expérimentales, de nombreux travaux contribuent actuellement à estimer la vitesse des flux
biologiques, y compris lorsque les vitesses des flux sont très faibles et/ou lorsque les tailles
des vaisseaux sont microscopiques.
1.1.2 Microcirculation
La microcirculation est la circulation sanguine entre les artérioles et les veinules. La
fonction fondamentale de la circulation sanguine est d'effectuer des échanges des nutriments,
de l'oxygène, et des produits métaboliques entre le sang et les tissus compartimentaux [Berne,
1997], [Arthur, 1991]. Le réseau de capillaires caractérisant la microcirculation est composé
d‘artérioles, de méta artérioles, de sphincters pré-capillaires, de capillaires, de canaux
préférentiels, d‘anastomoses artério-veineuses et de veinules. Une vue globale de la
microcirculation est représentée dans Fig. 1.1 [Goertz, 2003].
Fig. 1.1 De la circulation à la microcirculation [Goertz 2003]
Le rôle de la microcirculation.
Il y a trois voies de micro circulation permettant au sang de passer de l‘artériole à la veinule.
(1) Les canaux, via le capillaire vrai
Le sang rentre dans la micro circulation par l‘artériole, passe dans le sphincter près
précapillaire, le capillaire vrai et afflue à la veinule. Des échanges matériels (par exemple les
nutriments, l'oxygène, les produits métaboliques) entre le sang et les histiocytes sont réalisés.
Par conséquent, cette voie est également connue sous le nom de "voie de nutrition".
(2) Les canaux directs
C‘est une voie du sang qui passe par l‘artériole, la méta artériole et le canal préférentiel et
afflue à la veinule. Cette voie ne participe pas aux échanges matériels. Effectivement, le rôle
de cette voie est de permettre le transfert rapide d'une partie du sang qui passe par la micro
circulation et qui afflue à la veine, pour répondre au besoin du reflux cardiaque de la veine
dans la circulation corporelle.
16
(3) Court-circuit de l‘artériole à la veinule.
Le sang passe par l‘anastomose artério-veineuse et afflue directement à la veinule. La paroi de
l‘anastomose artério-veineuse est épaisse et possède des muscles lisses, pouvant réaliser une
activité de relaxation, mais ceci sans échanges matériels. Dans la micro circulation de la peau,
le nombre d‘anastomoses joue un rôle important dans la thermorégulation.
Il existe différents facteurs qui influencent la nature du flux sanguin dans la microcirculation :
le diamètre des vaisseaux, la consistance du sang et le degré de vascularisation. Le flux
sanguin dépend aussi de la morphologie du tissu en question et de la concentration des
globules rouges.
Le tableau 1.1 donne les principales valeurs des diamètres et les vaisseaux à différents
niveaux du système micro circulatoire pour du sang humain en situation de repos.
Vaisseaux Diamètre (mm) Vitesse moyenne (mm/s)
Artérioles 0.01-0.1 2-10
Veinules 0.01-0.2 2-10
Capillaires 0.004-0.008 0.2-1.5
Tab. 1.1 Vitesse du sang en fonction du diamètre des vaisseaux dans la
microcirculation [Goertz, 2003]
1.1.3 Mesure du flux sanguin par imagerie de la micro circulation
Des informations quantitatives sur la morphologie micro vasculaire et l‘hémodynamique sont
d'une importance fondamentale pour l'étude du développement des tissus normaux et de leurs
fonctions, ainsi que pour les examens des processus pathologiques, comme le cancer,
l‘athérosclérose et le diabète [Goertz, 2003]. Par exemple, dans le cas du cancer, la
vascularisation de la tumeur est fondamentalement différente de celle du tissu vasculaire de
l'hôte d'origine, en termes de morphologie, d‘hémodynamique et de fonctionnalité. Les
organisations de flux sanguins sont spatialement et temporellement chaotiques, ce qui
contribue à un microenvironnement complexe et hétérogène de la tumeur. Ces caractéristiques
sont importantes et peuvent induire des implications généralement négatives pour la
délivrance des médicaments et l'efficacité de la radiothérapie ou de l‘hyperthermie [Jain, 1988]
et [Jain, 1994].
La tomographie par émission de positons (TEP) fournit in vivo une mesure quantitative de
la FBC (Full Blood Count) et a déjà été utilisée depuis plusieurs années pour étudier
l'hémodynamique cérébrale. Après injection de produits radioactifs, la neuro-imagerie TEP
est basée sur l'hypothèse que les zones de forte radioactivité sont associées à l'activité
cérébrale. Cependant, cette technique souffre de limitations importantes [Young, 1999]. Il
existe un certain nombre de causes de faux positifs et de faux négatifs qui peuvent conduire à
une mauvaise interprétation de l‘examen. Une autre contrainte d‘utilisation de la TEP est due
à la courte demie durée de vie des isotopes radioactifs qui nécessite donc la présence d‘un
cyclotron à proximité du centre d‘examen.
IRM paramétrique: Cette méthode consiste à mesurer en imagerie par résonance
magnétique (IRM) des paramètres hémodynamiques ou de perméabilité des vaisseaux
17
capillaires, dont les calculs dérivent d'un modèle mathématique appliqué aux données
d'imagerie obtenues dans des conditions particulières. En général il s'agit de séquences dites
dynamiques obtenues avec une résolution temporelle élevée, permettant de suivre l'évolution
de l'intensité de signal après injection d'un produit de contraste paramagnétique. Cette
méthode permet de calculer le flux et le volume sanguin d'un tissu, et la perméabilité des
capillaires (micro vaisseaux) de ce tissu.
La mesure de flux par Laser Doppler (Laser Doppler Flowmetry LDF) est une méthode
non-invasive de mesure en continu de la microcirculation, qui est maintenant de plus en plus
utilisée dans de nombreux programmes expérimentaux et cliniques pour évaluer le flux
sanguin cérébral local. Cette technique est basée sur les valeurs de l'effet Doppler optique,
correspondant à des structures statiques et en mouvement, engendrées par des particules de
tissus éclairées avec un laser de faible puissance. La technique du Laser Doppler Flowmetry
est réalisée principalement avec deux appareils disponibles dans le commerce, le Laserflo de
perfusion sanguine et le Vasamedics de surveillance. Le module optique est constitué d'une
diode laser qui génère un faisceau laser monochromatique collimaté (longueur d'onde de 780
nm). La lumière laser est transmise au tissu par une fibre optique. La lumière est partiellement
absorbée par le les globules rouges en déplacement (hématies) et les structures statiques des
tissus. La diffusion par la matrice statique du tissu n'aura pas d'influence sur la fréquence des
photons, alors que la diffusion par les globules rouges provoque un décalage de fréquence
Doppler. [Ralf, 2002]
Le LDF affiche uniquement des valeurs moyennes de perfusion sanguine alors que les
techniques récentes de FDL montrent des images en deux dimensions, qui reflètent le flux
sanguin de la région micro vasculaire. Les valeurs du flux sanguin peuvent être quantifiées
pour chaque point du volume concerné. Les avantages de la LDF sont la résolution spatiale au
niveau du micron, une échelle de vitesse de l‘ordre du mm/s, son caractère non invasif,
l‘absence de contact et de dommages causés par les radiations. Les inconvénients résultent de
la méconnaissance de l‘angle entre la sonde et les vaisseaux sanguins, car ainsi seulement la
mesure de la vitesse axiale est précise. Une méthode précise et non invasive des valeurs du
flux sanguin cérébral peut donc être un outil utile pour étudier le cerveau normal et
éventuellement diagnostiquer ou évaluer l'étendue de troubles divers.
1.2 IMAGERIE ULTRASONORE
L‘imagerie ultrasonore est la technique d'imagerie utilisant le phénomène de réflexion et de
diffusion des ondes ultrasonores par le milieu à analyser. Un faisceau ultrasonore, émis par
une sonde pénètre dans l'organisme où il subit de nombreuses réflexions et est diffusé par les
micro inhomogénéités locales du milieu. Les ondes réfléchies sont recueillies par cette même
sonde puis numérisées, traitées et affichées sur un moniteur. L‘imagerie médicale ultrasonore
est une modalité d‘imagerie non invasive, simple à mettre en œuvre et de faible coût.
Contrairement à l‘échographie clinique (fréquence des ondes ultrasonores entre 5 et 15 MHz),
l‘imagerie ultrasonore haute fréquence (entre 20 et 60MHz) permet des résolutions spatiales
plus élevées autorisant d‘imager des structures de la taille de la dizaine de microns, donc de
l‘ordre de ce qui doit être observé dans la microcirculation. Nous allons rappeler le principe
de formation des données échographiques ultrasonores et nous nous intéresserons ensuite à la
spécificité des données fournies par cette modalité.
1.2.1 Champ ultrasonore
Une perception du champ sonore, à un instant donné, peut être obtenue en employant le
18
principe d‘Huygens selon lequel chaque point de la surface de rayonnement est à l'origine
d'une onde sphérique. Le front d‘onde de chacune de ces ondes sphériques impulsionnelles
sortantes peut être modélisé par [Stepanishen, 1970], [Jensen, 1996]:
1 2
1,s
r r rp r t t t
c c (1.1)
Où 1r indique un point de l'espace, 2r un point de la surface du capteur et t le temps. La
réponse impulsionnelle spatiale résulte de l‘évolution, en fonction du temps, de la pression
des ondes sphériques passant à une position fixe dans l'espace (point d‘observation) et de leur
synthèse.
Supposons que la propagation s‘effectue dans un milieu homogène, linéaire, sans atténuation,
sans diffusion ou réflexions multiples. L‘ouverture radiative ayant une surface S, la pression
du champ générée par l'ouverture est alors donnée par l'intégrale de Rayleigh [Kinsler, 1982],
[Jensen, 1996] :
1 2
11 2
10 0
1
1 2 1 2
( , )
( , )
,2 2
n
n
S S
r rv r tr r ca r t
c tp r t dS dSr r r r
(1.2)
où na est l‘accélération, vn est la vitesse normale à la surface de capteur, c est la célérité du son
et ρ0 est la densité du milieu de propagation.
Afin de faciliter la compréhension, et de simplifier la formule ci-dessus, nous introduisons la
vitesse potentielle
1 2
2
1
1 2
( , )
,2
n
S
r rv r t
cr t dSr r
(1.3)
Supposons que la vitesse soit uniforme sur la surface de l'ouverture et indépendante de 2r , la
vitesse potentielle peut être écrite suivant l‘équation suivante:
1 1, * ,nr t v t h r t (1.4)
où * désigne la convolution dans le domaine temporel.
1 2
1
1 2
( )
,2S
r rt
ch r t dSr r
(1.5)
et 1,h r test appelée la réponse impulsionnelle spatiale. En réception, nous supposons qu‘un
point possède une diffusion efficace de la section transversale et une masse effective. Cette
diffusion agit comme une source secondaire, sans atténuation de l'accélération, située dans le
même milieu (dont la densité est également ρ0) [Walker, 1994]. La réponse impulsionnelle
19
spatiale (comprenant l'émission et la réception) est:
1 2 2 1
1
1 2 2 1
( )
,2S
r r r rt
c ch r t dSr r r r
(1.6)
La pression en tout point de l‘espace r1 s‘écrit alors :
1 10, * ,nv t
p r t h r tt
(1.7)
pour tout type de vibration.
1.2.2 Transducteurs à ultrasons
Effet piézoélectrique
Certains cristaux, céramiques ou polymères possèdent la propriété de produire une charge
électrique quand un contrainte mécanique est appliquée (la substance est compressée ou
étirée). Ces comportements sont dus à l‘effet piézoélectrique direct. Au contraire, lorsqu‘un
champ électrique est appliqué, une déformation mécanique (compression ou extension) est
engendrée. Ces comportements correspondent à l‘effet piézoélectrique inverse. L‘effet
piézoélectrique est dit longitudinal lorsque la direction de la déformation se superpose à la
direction du champ électrique et transversal lorsque la déformation est perpendiculaire au
champ électrique. Des cristaux naturels présentent des propriétés de piézoélectricité, mais
aujourd'hui, la plupart des matériaux utilisés sont des céramiques poly cristallines
ferroélectriques, telles que, par exemple le PZT (Titano-Zirconate de Plomb), qui possède des
propriétés piézoélectriques élevées [Feng, 1999] et [Shung, 1996].
Transducteurs à ultrasons
Les transducteurs à ultrasons couvrent un large éventail de possibilités pour émettre et
recevoir des ondes ultrasonores. Ils sont classés selon la voie d‘émission ou de réception,
selon le schéma de balayage, selon l'application clinique. Sur la base du nombre d‘éléments
on les divise en deux catégories: les systèmes monotransducteur possèdent un élément unique
et les antennes (linéaires ou matricielles) possèdent plusieurs éléments.
1.2.3 Système Monotransducteur
Le système le plus simple est constitué d‘un seul élément transducteur piston qui est utilisé en
appareil de diagnostic. Il est réalisé à partir d‘un élément piézoélectrique planaire ou incurvé
monté sur un bloc de soutien qui va permettre une émission ultrasonore vers le milieu libre
(Fig. 1.2 (a)). Le composant le plus important est l'élément piézoélectrique. Un certain
nombre de facteurs sont impliqués dans le choix de ce matériau pour la transmission et / ou la
réception de l'onde ultrasonore. Divers circuits équivalents sophistiqués existent pour
modéliser le comportement du transducteur. Le mono transducteur peut être de type focalisé,
non focalisé, mono ou multi- fréquences [Feng, 1999]. Le type non focalisé est réalisé à partir
d‘un élément piézoélectrique planaire. Le mode de vibration est en épaisseur et la pression
acoustique maximale apparaît à la distance a2/ de la surface de rayonnement où a est le
rayon de la surface de rayonnement et est la longueur d‘onde correspondant à la fréquence
émise. Le type focalisé utilise des éléments piézo-électriques en coquilles sphériques, des
lentilles acoustiques, ou des éléments piézoélectriques en forme d‘anneaux concentriques.
20
(a) (b)
Fig. 1.2 (a) Schéma de principe d’un mono transducteur (www.olympus-ims.com).
(b) système à balayage mécanique avec un transducteur haute fréquence
Système à balayage
Le système à balayage permet de réaliser des images ultrasonores avec un mono transducteur
en déplacement. Il est appelé « swept scan system » en anglais. Les principaux composants du
système à balayage mécanique sont le transducteur piézoélectrique et le dispositif mécanique
de déplacement rapide du capteur (Fig. 1.2 (b)). L‘élément transducteur peut être de forme
concave pour permettre une focalisation à une profondeur fixée.
Transducteur haute fréquence
La résolution spatiale des images ultrasonores est directement liée à la fréquence d‘émission
du transducteur. Plus la fréquence est élevée et meilleure est la résolution spatiale. Pour
atteindre des fréquences d‘émission très élevées, c'est-à-dire entre 40 et 100MHz, on utilise
exclusivement des transducteurs ultrasonores mono-élément. Les matériaux piézoélectriques
utilisés pour fabriquer ce type transducteur dans la gamme de 40-100MHz sont
principalement le PZT (Titano-Zirconate de Plomb) et surtout le PolyFluorure de Vinylidène
(PVDF) [Shung, 2008]. Le transducteur est alors placé dans un système à balayage pour
réaliser des images dite haute résolution (résolution de l‘ordre de quelques dizaines de Hz)
1.2.4 Antennes ou réseau de transducteurs
Les antennes ultrasonores couvrent un large éventail de tailles, de formes, de fréquences, et de
nombre d'éléments. Ces antennes sont constituées d‘un ensemble d‘éléments piézoélectriques
qui vont être excités électriquement de manière synchronisée pour focaliser le faisceau et/ou
l‘orienter spatialement.
Antennes linéaires
Ce type d‘antenne est actuellement le plus utilisé en imagerie ultrasonore. Les tailles et les
formes sont différentes selon l'application clinique. Il existe une variété de fréquences entre
1MHz et 15MHz en fonction des besoins cliniques (Fig. 1.3 et Fig. 1.4). L‘antenne linéaire a
des avantages significatifs par rapport au transducteur à un seul élément ou l‘antenne
30mm
21
annulaire car il permet de former une image de coupe en utilisant le balayage électronique au
lieu du balayage mécanique. Par conséquent, le taux d‘image peut être plus élevé et les
émissions de faisceaux ultrasonores peuvent être dirigées et focalisées. Les développements
actuels pour les antennes linéaires concernent l‘augmentation du nombre d‘éléments de
l‘antenne, l‘amélioration de la directivité de la sonde, l‘amélioration de la qualité de l'image.
Il existe également des antennes 2D, qui peuvent fournir plus de possibilités de couplage des
éléments du transducteur pour orienter le faisceau dans l‘espace (Fig. 1.4).
Fig. 1.3 Les antennes linéaires de différentes formes
Toutefois, les antennes commerciales ne sont pas encore disponibles à des fréquences
supérieures à 20-30 MHz en raison des limitations technologiques dans leur fabrication, la
complexité des équipements annexes et un manque de fiabilité des matériaux à haute
fréquence. Des développements sont en cours pour trouver des matériaux piézoélectriques qui
permettront de répondre plus largement aux applications médicales. Les CMUT ou Capacitive
Micromachined Ultrasonic Transducer, font partie de ces développements qui vont faire
évoluer l‘imagerie ultrasonore durant les prochaines années.
Fig. 1.4 Les antennes acoustiques : 1. Antenne linéaire, 2. Antenne annulaire 3a.
Réseau 2D à géométrie rectangulaire, 3b. Réseau 2D à géométrie circulaire.
L‘antenne annulaire est un modèle permettant d‘améliorer la focalisation en plaçant de
manière concentrique plusieurs transducteurs en forme de couronne (Fig. 1.4 (2)).
22
1.2.5 Imagerie Doppler
Deux modes Doppler sont principalement utilisés aujourd‘hui en pratique clinique : le
Doppler pulsé et le Doppler couleur. Le mode Doppler continu quant à lui utilise des capteurs
ultrasonores spécifiques et n‘est habituellement pas disponible sur les échographes. Le mode
Doppler pulsé utilise le capteur d‘imagerie pour émettre et recevoir les signaux dédiés au
Doppler [Feng, 1999]. Grâce à l‘analyse des signaux rétrodiffusés à une profondeur choisie, la
distribution de vitesse est estimée dans ce volume échantillon. L'information d‘un flux
profond peut ainsi être caractérisée. La combinaison avec le mode B d‘imagerie permet alors
de visualiser l'anatomie des organes et l‘information locale de vitesse. La direction du
faisceau et l'emplacement du volume échantillon sont superposés à l‘image mode B. (Fig. 1.5
(a)). Aujourd‘hui, avec des barrettes d‘imagerie ultrasonore, la combinaison du mode
d‘imagerie avec le mode Doppler ralentit sensiblement la cadence d‘image ce qui convient
toutefois encore dans la plupart des applications.
Le mode Doppler couleur estime la vitesse en chaque point de la région d‘intérêt choisie par
l‘opérateur. Le temps de calcul est donc plus important que pour le mode pulsé et est
proportionnel à la taille de la région d‘intérêt. La vitesse est codée suivant une palette de
couleur et est superposée à l‘image mode B (Fig. 1.5 (b)). La cadence d‘image est encore
ralentie par rapport au mode Doppler pulsé. On comprend donc que ce mode est pratiquement
impossible avec un système à déplacement mécanique si l‘organe à imager est en mouvement.
(a) (b)
Fig. 1.5 (a) Mode Doppler pulsé et image ModeB. (b) Mode Doppler couleur et image
mode B
1.2.6 Imagerie ultrasonore à haute fréquence
Rappelons tout d‘abord que l‘image ultrasonore peut également être réalisée avec un
transducteur unique en déplacement mécanique. C‘était le cas il y a plusieurs décennies pour
l‘imagerie clinique. Ce principe est encore utilisé actuellement pour l‘imagerie ultrasonore
haute fréquence, haute résolution. Dans ce dernier cas, le transducteur mécanique est déplacé
pour réalisé l‘image de mode B, puis, pour faire les mesures Doppler, le capteur est arrêté
dans une position déterminée. L‘inconvénient majeur du balayage mécanique réside donc
dans le fait que la mesure Doppler et l‘imagerie de mode B ne peuvent pas être simultanées.
Le Doppler ne peut être visualisé que sur l‘image figée du mode B. Dans la suite de ce
manuscrit, nous verrons que ce travail de thèse apporte une contribution pour lever cette
limitation.
23
L‘évaluation de la distribution spatiale du flux sanguin dans la micro circulation est un
problème particulièrement difficile avec les technologies d'imagerie actuelles [Goertz, 2003].
Bien que la technologie de l'imagerie ultrasonore dans la gamme des 2 à 15 MHz ait fait
beaucoup de progrès, les facteurs de résolutions limitent encore sa capacité à régler les
problèmes dans la détection et l'imagerie de petits vaisseaux. Une autre approche pour
améliorer la capacité de l‘imagerie de flux sanguin ultrasonore est d'augmenter la fréquence
de fonctionnement au-dessus de 20 MHz. Le coût de cette amélioration de la résolution est la
limitation de la profondeur de pénétration. Toutefois, pour les yeux, la peau ou les petits
animaux de laboratoire, l'imagerie ultrasonore à haute fréquence est un outil potentiellement
important pour l'évaluation de l‘anatomie et du flux sanguin dans les réseaux vasculaires des
tissus superficiels [Lockwood, 1996].
1.3 ESTIMATION DE LA VITESSE DU FLUX SANGUIN
1.3.1 Estimation de la vitesse axiale
Effet Doppler
L‘effet Doppler est un phénomène physique commun aux ondes électromagnétiques et
acoustiques, qui se traduit par un changement de longueur d‘onde résultant du mouvement
relatif de la source et de la cible. En acoustique, par exemple, l‘effet Doppler se produit
lorsque le son est réfléchi par un obstacle en déplacement.
Soit f0 la fréquence d‘émission, c la célérité de l‘onde et la longueur d‘onde. Si la source et
l'observateur sont immobiles, la fréquence reçue est égale à la fréquence d‘émission. Par
contre, si la source est à l'arrêt et que l'observateur se déplace à la vitesse vobj, ou si
l'observateur est à l'arrêt et que la source se déplace à la vitesse vobj alors, apparait un
décalage de fréquence fd appelé effet Doppler :
2 cosobj o
d
v ff
c (1.8)
étant l‘angle entre la direction de la cible et le faisceau ultrasonore
La fréquence Doppler est positive lorsque la cible se rapproche du transducteur, et négative
lorsque la cible s‘en éloigne. La vitesse du son c, est considéré comme constante et prise égale
à 1540 m / s dans les tissus biologiques.
Pratiquement, l‘estimation de la fréquence Doppler qui permet de remonter à la vitesse est
réalisée en mode Doppler pulsé. De 4 à 64 signaux émis successivement à la fréquence de
répétition PRF (Pulse Repetion Frequency) sont analysés à la réception (Fig. 1.6). On désigne
par PRI (Pulse Repetion Interval) l‘inverse de PRF. Si on est capable d‘estimer t, le décalage
temporel entre 2 signaux reçus successivement, alors la vitesse peut être déduite à partir de
l‘équation suivante :
cos2
obj
c tv
PRI (1.9)
24
Fig. 1.6 Signaux acquis en Doppler pulsé et signal Doppler correspondant [Jensen,
1996]
En combinant ces deux équations, le décalage de fréquence peut être exprimé par :
0d
f tf
PRI (1.10)
Ou bien:
dfPRI
(1.11)
où est le décalage de phase entre les deux signaux consécutifs reçus. On fait alors
l‘hypothèse que les signaux sont à bande étroite. L‘analyse spectrale du signal Doppler (Fig.
1.6) permet l‘estimation de . Plusieurs approches sont possibles.
Méthode auto corrélation 1D (bande étroite)
Dans les systèmes d'imagerie du flux sanguin, la méthode d‘auto corrélation 1D est largement
utilisée pour estimer la vitesse moyenne du flux sanguin. Cette méthode à été publiée par
Kasai et al en 1985 [Kasai, 1985]. Nous la présentons brièvement dans le paragraphe suivant.
Le transducteur est supposé transmettre le type d‘impulsions suivant:
0Rej t
e t z t e (1.12)
où z(t) est l'enveloppe complexe du signal e(t). Si S( )est le spectre de puissance de z(t), la
fréquence moyenne angulaire Doppler de S( ) est exprimée par la valeur moyenne du
spectre :
S d
S d
(1.13)
PRI PRI
25
La mesure de la variabilité du flux sanguin peut par ailleurs être déduite de la variance 2 du
spectre.
2
2S d
S d
(1.14)
L‘idée majeure de Kasai a été de proposer d‘utiliser l‘auto corrélation 1D du signal Doppler
pour estimer la fréquence angulaire moyenne et la variance. En désignant par R(τ) la fonction
d'auto corrélation du signal Doppler, la relation entre R(τ) et S( ) est obtenue à partir du
théorème de Wiener-Khintchine:
1
2
jR S e d (1.15)
De ces trois équations, nous déduisons l'équation suivante:
0
0
Rj
R (1.16)
2
20 0
0 0
R R
R R (1.17)
où ( )R et ( )R expriment respectivement la dérivée première et seconde de R(τ) par rapport à τ.
Lorsque la fonction d'auto corrélation est écrite sous la forme :
jR R e (1.18)
l‘approximation devient:
0T
T (1.19)
2
2
11
0
R T
T R (1.20)
expression dans laquelle T désigne l'intervalle de répétition (PRI).
Cet estimateur est basé sur l‘hypothèse de bande étroite pour les signaux ultrasonores. On dit
que c‘est une méthode basée sur la phase du signal Doppler. Cet estimateur est également
utilisé en Doppler pulsé multi portes lorsque plusieurs volumes échantillons sont choisis sur le
même signal. Ce même estimateur est encore utilisé pour le Doppler Couleur lorsque
l‘estimation de vitesse est réalisée en chaque point de la région d‘intérêt choisie par
l‘opérateur
Méthode d’auto corrélation 2D (large bande)
En 1995, Loupas et al ont publié un article présentant une approche basée sur l‘auto
corrélation 2D pour estimer efficacement la carte de distribution des vitesses en imagerie
mode B [Loupas, 1995]. On sait que la Transformée de Fourier de la fonction
26
d‘autocorrélation 2D est la densité spectrale d‘énergie en 2D. Dans le plan de Fourier 2D, on
cherche à estimer la fréquence Doppler, comme avec l‘autocorrélation 1D, mais également la
fréquence centrale du signal reçu. L‘hypothèse bande étroite du signal d‘émission n‘est plus
nécessaire et le changement éventuel de fréquence dû à l‘atténuation durant la propagation des
ondes ultrasonores peut être prise en compte. La densité spectrale d‘énergie 2D peut
également être calculée grâce à la transformée de Fourier des signaux échos successifs, qui
ont été organisés comme un ensemble de données 2D r(m,n), avec m signaux successifs
(temps rapide, signaux RF suivant la profondeur) et n échantillons sur chaque signal (temps
lent, axe Doppler). Les fréquences correspondant aux axes du temps rapide et du temps lent
sont respectivement fRF et fD quand elles sont exprimées en valeur absolue, ou par f et F,
quand elles sont normalisées en fonction du taux d'échantillonnage du temps rapide ou lent.
C'est-à-dire, f= fRF .ts et F= fD .Ts, où est ts l'intervalle d'échantillonnage le long de la
profondeur et Ts la période de répétition des impulsions. Le signal analytique ˆ( , )r m n de ( , )r m n est défini comme suit:
ˆ( , ) ( , ) ( , )r m n r m n jr m n (1.21)
où ( , )r m n désigne la transformation 1D de Hilbert discrète le long de la colonne.
1( , ) ( , )r m n r m n
n (1.22)
ˆ( , )R f F est la transformée de Fourier du signal analytique ˆ( , )r m n . Le centre de masse est
situé au point ,f F , qui est le centroïde fréquentiel du quadrant non nul du spectre 2D
2ˆˆ , ( , )f F R f F .Comme pour l‘estimateur de Kasai, en 2D, f et F peuvent être estimés
directement dans le domaine temporel par l‘évaluation de la phase de la fonction d'auto
corrélation ˆ ( , )m n du signal analytique ˆ( , )r m n
1 1
0 0
ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , )M m N n
m n
m n r m n r m m n n (1.23)
Les premiers échantillons de la phase, 1, 0m n et 0, 1m n conduisent à :
1
1
ˆIm (1,0)1tan
ˆ2 Re (1,0)
ˆIm (0,1)1tan
ˆ2 Re (0,1)
f
F
(1.24)
L‘estimation de la vitesse moyenne v peut ensuite être évaluées à partir de :
1
1
ˆIm (1,0)1tan
ˆ2 Re (1,0)
ˆ2 2Im (0,1)1tan
ˆ2 Re (0,1)
sD
RF
s
T Fc cv
f
t
(1.25)
27
Cette méthode est classée comme une technique large bande basée sur l‘estimation 2D de
phase.
Méthode d’intercorrélation temporelle
L'estimation de la vitesse peut également être faite en déterminant directement le décalage
temporel entre deux signaux RF. Les données reçues sont divisées en segments, comme
indiqué sur Fig. 1.7. La vitesse dans chaque segment est estimée par corrélation croisée avec
les données échos sur les segments des signaux adjacents [Jensen, 1996].
Fig. 1.7 Illustration de la méthode d’intercorrélation temporelle [Jensen, 1996]
Le signal reçu peut s‘écrire r(t) = p(t) * s(t), où p (t) est l‘impulsion émise et s (t) est la
réponse de diffusion du milieu. La corrélation croisée entre deux signaux reçus donne alors:
12 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )pp ss sR E r t r t R R t (1.26)
où Rpp est l'auto corrélation de l'impulsion émise et Rss est l'auto corrélation de la réponse de
diffusion du milieu. Compte tenu de la nature aléatoire de la distribution des diffuseurs, Rss
peut être modélisée par un Dirac de poids 2
s qui correspond à sa puissance. La corrélation
croisée peut donc être écrite comme suit:
2
12( ) ( )s pp sR R t (1.27)
La vitesse est alors donnée par:
ˆ2
s
s
ctv
T (1.28)
où st est le décalage temporel estimé entre les signaux RF et sT est la période de répétition
des impulsions. Le principal avantage de la technique de décalage temporel est son immunité
vis-à-vis du recouvrement spectral puisque c‘est une méthode exclusivement temporelle. En
outre, cette technique, ainsi que l‘auto corrélation 2D peuvent être considérées comme une
approche large bande. La bande passante des impulsions transmises est donc autorisée à être
Numéro de
segment
Pulse
d’émission
28
aussi large que celle utilisée dans l‘imagerie en mode B.
1.3.2 Estimation de la vitesse 2D
Les méthodes que nous venons de présenter sont des méthodes d‘estimation 1D de la vitesse.
Ces méthodes permettent d‘estimer la projection de la vitesse sur l‘axe d‘émission
ultrasonore. Nous allons présenter maintenant plusieurs méthodes qui ont pour objectif
d‘estimer les 2 composantes du vecteur vitesse dans le plan d‘imagerie. On dit que ce sont des
méthodes vectorielles d‘estimation de la vitesse, ou en anglais « vector velocity estimation
methods ». Notons que ces méthodes estiment la vitesse apparente, c'est-à-dire la projection
de la vitesse réelle sur le plan d‘imagerie. A notre connaissance, il n‘existe pas de méthodes
permettant d‘estimer les 3 composantes de l‘espace de la vitesse au moyen d‘une barrette
ultrasonore. Notons tout de même la méthode proposée par Aoudi et al. [Aoudi, 2006] qui
permet d‘estimer le module du vecteur vitesse 3D.
Approche faisceaux multiples
L‘approche faisceaux multiples est en fait une extension de la méthode Doppler avec
plusieurs transducteurs. Avec cette méthode, deux ou plusieurs transducteurs forment des
faisceaux ultrasonores, qui s‘entrecroisent les uns les autres avec un angle donné. Tous les
transducteurs émettent et reçoivent des impulsions en même temps, On estime la vitesse dans
les différente directions par la méthode Doppler classique. Selon l'angle donné entre les
faisceaux des transducteurs, l'angle Doppler et le vecteur de vitesse du flux sanguin peuvent
être calculés. [Jensen, 1996]
Fig. 1.8 Approche faisceaux multiples
En supposant qu'il existe deux transducteurs, le premier émet des impulsions le long de la
direction axiale. L'angle entre la direction axiale du premier faiscceau et la direction du
déplacement de la cible est indiqué par 1 . 2 indique l'angle entre la direction du deuxième
faisceau et la direction de déplacement de la cible. est l'angle entre les deux faisceaux (Fig.
1.8). Ils satisfont la relation :
1 2＝ ＋ et 2 1 1cos cos cos sin sin＝ ＋ (1.29)
Selon le principe de décalage Doppler
11 0
2 cosvf f
c＝ et 2
2 0
2 cosvf f
c＝ (1.30)
où f0 est la fréquence centrale des impulsions transmises. f1 désigne le décalage de fréquence
transducteur1
transducteur2
Vitesse du sang
2
1
29
Doppler le long de la première direction de faisceau et f2 désigne le décalage de fréquence
Doppler le long de la seconde direction de faisceau. Par combinaison de ces trois équations, la
vitesse moyenne axiale zv et la vitesse latérale xv peuvent être écrites comme suit:
11
2
cos2
z
fcv v
f＝ et 2 1
1
0
cossin
2 sinx
f fcv v
f＝ (1.31)
Le principal inconvénient de la méthode des faisceaux multiples est la complexité des
systèmes, et également le fait qu‘une petite imprécision dans f1 ou f2 peut entraîner de grosses
erreurs dans la vitesse latérale. De plus, pour obtenir l'estimation précise du vecteur vitesse,
les angles entre les faisceaux doivent être suffisamment grands, ce qui rend cette méthode
difficile à mettre en œuvre dans les applications médicales.
Approche par modulation transverse
Cette approche bénéficie également du principe Doppler. Le mouvement d‘un objet dans la
direction de vibration acoustique change la fréquence des ondes réfléchies. Pour l‘estimateur
Doppler traditionnel, la base du mécanisme qui rend l'estimation de vitesse longitudinale
possible, est l‘oscillation dans la direction d'émission. L'idée de base de cette méthode est de
générer un signal de modulation transversale le long de la direction latérale. Une approche de
ce type a été suggérée par [Munk, 1996] et [Jensen, 1998]. Une autre approche similaire a été
également proposée, plus tard, par Jensen [Jensen, 2000], (Fig. 1.9). Le signal reçu peut être
modélisé par:
2( ) cos(2 ) x prff iT
D prfs i f iT e (1.32)
La fréquence de la modulation transversale estx x xf v d , où vx est la vitesse transversale et
dx est la période de modulation. En prenant la transformation de Hilbert sH du signal reçu s,
on obtient:
2( ) sin(2 ) x prff iT
H D prfs i f iT e (1.33)
Deux nouveaux signaux sont ensuite formés :
2 ( )
1( ) ( ) ( ) prf x DiT f f
Hs i s i js i eet
2 ( )
2( ) ( ) ( ) prf x DiT f f
Hs i s i js i e (1.34)
La somme et la soustraction des fréquences des deux signaux peuvent être exprimées comme:
1 2 2 2 xprf x prf
x
vf f T f T
d et 1 2 0
22 2 z
prf D prf
vf f T f T f
c (1.35)
où 1f indique la fréquence de s1 et 2f la fréquence de s2. En conséquence, les vitesses
longitudinales et transversales sont :
1 2( )
2
xx
prf
f f dv
T et 1 2
0
( )
4z
prf
f f cv
T f (1.36)
30
Fig. 1.9 Estimation axiale et latérale de la vitesse par une modulation axiale et
transverse [Jensen, 1999]
Une modulation latérale peut être générée par la combinaison de deux fonctions appropriées
apodisées dans l'ensemble de l'ouverture. Il est nécessaire que la réception soit effectuée en
parallèle. Cela conduit à une diminution de la résolution spatiale en raison de l‘apodisation
imposée à l'ouverture. En outre, avant de procéder à l'estimation de la vitesse transversale, il
est essentiel d'aligner les signaux reçus en fonction de l'estimation de la vitesse longitudinale.
Par conséquent, tout désalignement peut conduire à une erreur d'estimation de la vitesse
transversale.
Approche “Speckle Tracking”
Nous venons de voir que les méthodes Doppler ont des limitations liées principalement à la
dépendance par rapport à l'angle d‘émission et aussi au recouvrement spectral dû à
l‘échantillonnage du signal Doppler. Nous introduisons maintenant une méthode appelée
speckle tracking, qui permet de surmonter ces limitations et d‘obtenir un estimateur du
vecteur vitesse du flux. Cette méthode peut être vue comme une extension en 2D de la
méthode de corrélation croisée 1D. Cette approche a été largement étudiée dans de
nombreuses applications ultrasonores, comme l'estimation des déformations [O‖Donnell,
1994] et l‘estimation des flux [Bohs, 1995] et [Bohs, 1998]. La méthode du speckle tracking
traite le plus souvent des couples d‘images mode B en utilisant un algorithme de mesure de
similarité basée sur la corrélation ou plus efficacement basée sur la somme des différences
absolues [Bohs, 1995] (Fig. 1.10) :
x
z
45
Antenne linéaire
Faisceau transversal
Profil de la vitesse
Vaisseau sanguin
31
Fig. 1.10 Approche Speckle tracking. Dans la seconde image, on recherche la
position la plus ressemblante de la région d’intérêt sélectionnée dans la première
image.
Le premier algorithme utilise la corrélation comme mesure de similarité entre les blocs
d‘image. La région d‘intérêt de la première image que l‘on va rechercher dans la deuxième
image est nommée noyau (kernel) :
0 0 1 1
1 1
2 2
0 0 1 1
1 1 1 1
[ ( , ) ][ ( , ) ]
( , )
[ ( , ) ] [ ( , ) ]
l k
i j
l k l k
i j i j
X i j X X i j X
X i j X X i j X
(1.37)
où X0 et X1 sont respectivement le noyau et la région de recherche, l et k sont les dimensions
longitudinales et transversales du noyau, α et β sont les coordonnées de la région mise en
correspondance dans X1. 0X et 1X
sont les moyennes spatiales des valeurs des pixels de
chaque région.
Un autre algorithme utilise plus efficacement la somme des différences absolues (Sum
Absolute Differences, SAD):
0 1
1 1
( , ) [ ( , ) ( , ) ]l k
i j
X i j X i j (1.38)
L‘algorithme SAD est beaucoup plus simple que la corrélation car il nécessite qu‘une somme
et des différences. Le principal inconvénient des méthodes speckle tracking est la complexité
du calcul. Basarab et al. ont proposé récemment [Basarab, 2008] un estimateur rapide de
speckle tracking sur des images RF, ce qui pourrait lever cette limitation.
Approche par estimation de l’élargissement spectral
La vitesse transversale peut être estimée en mesurant la bande passante du spectre. L‘effet du
temps de transit et l'élargissement spectral [Newhouse, 1980] sont dus au fait que lorsqu‘un
diffuseur traverse le volume échantillon limité par le champ ultrasonore, il y reste un certain
temps dit "temps de transit". Le temps de transit de la cible est inversement proportionnel à la
vitesse transversale de son déplacement, la bande passante transversale est donc
Zone de recherche
dans la seconde image
32
proportionnelle à la vitesse transversale [Newhouse, 1980]. Cette méthode est adaptée aux
ultrasons à haute fréquence car elle utilise un seul élément transducteur. Toutefois, il subsiste
toujours un problème avec le balayage dans l‘application de ce système car, dans ce cas, le
mouvement du transducteur influence également la largeur de bande transversale. En outre, en
raison des contraintes inhérentes au bruit dans les signaux, il est difficile de rendre cette
méthode opérationnelle.
Approche dans de domaine de Fourier 2D, espace des k (k-space)
L‘espace des k est largement utilisé en imagerie par résonance magnétique (IRM). En
acoustique, même si une bonne partie de l'information concernant la performance d'un filtre
temporel est souvent tirée de sa réponse en fréquence, le domaine d‘utilisation de l‘espace des
k pour l‘analyse des systèmes d'imagerie ultrasonore est encore rare [Walker, 1994], [Walker,
1998]. L‘espace des k est un domaine de fréquence 2D utilisé pour la description des systèmes
d'imagerie et pour mieux comprendre la formation des images. La première introduction de
l‘espace des k dans le domaine ultrasonore a été proposée pour l'analyse des expériences
concernant la diffusion anisotropique et la conception des systèmes de tomographie
acoustique. La réponse dans l‘espace des k d'un système d'imagerie ultrasonore est
généralement calculée en prenant la transformée de Fourier à deux dimensions de la réponse
impulsionnelle 2D (Point Spread Function, PSF). Pour un système d'imagerie fonctionnant à
la fréquence fz, c‘est à dire à la fréquence spatiale de cfz / 2 en transmission et réception, la
représentation du système dans l‘espace des k est donnée par [Walker, 1998].
2( , , 2 ) ( , , ) ( 2 , 2) ( 2 , 2)
x xx z f x z f T f x z z R f x z z
f fz
GP f f z c F x f z A z f f cf A z f f cf
f (1.39)
où P(fx, fz, 2zf /c) est la représentation de l‘espace des k de l'ensemble du système de
fréquences spatiales fx et fz, respectivement transversales et longitudinales. (x, fz, zf) est un
terme de phase, G est un facteur d‘échelle résultant de la réflectivité de la cible, x est la
dimension transversale, Fx () est la transformation de Fourier prise en fonction de x, *fx
représente la convolution dans le domaine des fréquences spatiales transversales et c est la
célérité acoustique.
En 2006, P.C. Li et al. [Jeng, 2006] ont proposé un estimateur de la vitesse 2D du flux
sanguin, en utilisant les techniques d‘imagerie avec transducteur à balayage (swept-scan
imaging) et l‘approche dans l‘espace des k [Jeng, 2006]. La technique de balayage est illustrée
schématiquement sur la Fig. 1.11. Le transducteur est déplacé continument à la vitesse vscan.
La distance entre deux lignes de balayage est Δx = vscanPRI. PRI est l‘intervalle de répétition
des impulsions. L'axe x est la direction latérale, et l'axe z est la direction axiale.
33
(a) (b)
Fig. 1.11 (a) Déplacement du transducteur pour l’imagerie d’une cible en
mouvement (b) Représentation de la TF 2D ou espace des k [Jeng, 2006]
En considérant une cible se déplaçant à une vitesse vobj avec l‘angle entre la direction de la
cible et le faisceau ultrasonore (Fig. 1.11), la représentation de la réponse impulsionnelle pour
une cible en mouvement et de l‘espace des k correspondant peuvent s‘écrire [Jeng, 2006]:
( , ) 1 sin , cosmotionp x z p v x z xv (1.40)
et
cos1( , ) ,
1 sin 1 sin
x zmotion x z z
f f vP f f P f
v v (1.41)
où ν = vobj / vscan, et p (x, z) est la PSF d'une cible stationnaire.
L‘expression (1.41) indique que le spectre spatial transversal (selon l‘axe fx) est décalé d‘une
valeur proportionnelle au produit de la vitesse longitudinale (vobj cosθ). La largeur de bande
du spectre spatial transversal est également dépendante de la vitesse transversale (vobj sinθ).
Cette méthode montre son efficacité grâce à l'utilisation d'une seule image pour l'estimation
du vecteur vitesse. Sa faisabilité pour l'imagerie à haute fréquence résulte du fait qu‘un seul
élément transducteur de balayage est utilisé. Toutefois, cette méthode pose des difficultés
pour sa mise en œuvre et nous pensons qu‘il est important de mieux comprendre l‘influence
des paramètres du système et ceux de la cible en mouvement sur les transformations
observées dans l‘espace des k. C‘est un des objectifs de ce travail.
bandwidth 1 sinv
coszf vzf
xf
pente 1 cosvobjv
scanv
34
1.4 CONCLUSION
Ce chapitre a permis de faire le point sur les méthodes d‘estimation de vitesse en imagerie
ultrasonore. Le présent travail a pour objectif de proposer une méthode permettant de
cartographier le vecteur vitesse en tout point d‘une région d‘intérêt d‘une image mode B
acquise avec un système utilisant un transducteur en déplacement. Nous concluons de cet état
de l‘art que les méthodes Doppler couleur ne sont pas adaptées à ce type de système
d‘imagerie ultrasonore car elles ne sont pas compatibles avec un transducteur en déplacement.
Les méthodes de traitement des séquences d‘image comme le speckle tracking pourraient sans
doute être adaptées mais le temps de calcul qui peut prendre plusieurs minutes pour une seule
image est rédhibitoire actuellement. Dans ce travail de thèse, nous allons proposer une
approche basée sur un modèle de formation d'image à la fois dans le domaine spatial et dans
le domaine de l‘espace de Fourier 2D en s‘appuyant sur les travaux dits de l‘espace des k. En
outre, nous allons aussi introduire un autre estimateur de vitesse 2D en temps fréquence, à
partir de la représentation de la distribution de Wigner Ville. Ce modèle montrera clairement
la non-linéarité du signal de modulation en fonction de la vitesse du capteur. Le centre de
décalage de fréquence, la pente et la largeur de bande estimée par la transformation de
Wigner-Ville seront directement liés à la vitesse axiale et la vitesse transversale de la cible.
35
2 Azimuth-frequency approach and 2D FT
approach to Estimate 2D Velocity in swept-scan system
36
2. AZIMUTH-FREQUENCY APPROACH AND 2D FT APPROACH TO
ESTIMATE 2D VELOCITY IN SWEPT-SCAN SYSTEM
2.1 SYSTEM MODEL
Firstly, we introduce a model of image formation for the swept-scan imaging system. Figure
2.1, shows a single-transducer element moving continuously at the speed vscan along the
horizontal direction u. It emits and receives ultrasonic signals every ∆tpri time interval. This
displacement refers to ―cross range‖ or ―slow-time range‖ along lateral or azimuth direction.
We suppose that the transducer is a circular piston of diameter l which emits signals e(t) . The
emitted signal is modelized by a sine function at the frequency f0 with a Gaussian envelope.
The signal emission axis t is called ―fast-time‖ range. It refers to the distance r between the
transducer and a target giving an echo. The geometrical position of a target is at the
coordinate (x,z). So, x and u refer to the same horizontal axis. z refers to the vertical direction
or target depth. In the following, depending on the circumstances, we will consider either a
single target or a distribution of targets f(x,z). denotes the angle between the vertical (z-axis)
and the target position. It is then important to distinguish between the target coordinate
system (x,z) and the image coordinate system (u,r) or (u,t). Figure 2.1 presents the different
systems of coordinates.
x
z
targets
lateral
axia
l
u
z
transducer
lateral
,u x
,t r
image
lateral
dis
tan
ce
(a) (b) (c)
Fig.2.1 (a) target system of coordinates, (b) transducer system of coordinates,
(c) the system of coordinates of resulting image
The position of the transducer varies continuously with ―fast-time‖ range t, and satisfies the
relation u(t)=t.vscan. In addition, the transducer emits pulse signals at the pulse repetition
interval ∆tpri. The distance between two successive emissions of transducer is then
u =vscan . ∆tpri. Figure 2.2 shows a schematic view of the geometry of the swept scan
imaging system.
37
Fig.2.2 Swept scan imaging system model
Taking into account the geometry of acquisition presented above, the imaging system is
generally modeled by the following convolution equation [Burdic, 1984], [Walker, 1998],
[Rastello, 1998] :
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )geo T Ru t t t x z
s u t g u h u t e t a u t a u t f x z (2.1)
( , )s u t System‘s impulse response in space-time domain
( )e t Emitted signal
( , )Ta u t Angular response of transmission aperture
( , )Ra u t Angular response of reception aperture
( , )geoh u t Geometrical impulse response in the space-time domain
g u Sampling function of synthetic aperture along u of swept-scan system
( , )f x z Target distribution function
x z Two-dimensional spatial convolution respect to the location of targets
t Temporal convolution
u Lateral spatial convolution
Considering specific properties of our imaging system, this model can be simplified. Firstly,
as we know, the lateral sampling function g(u) and the geometrical impulse response hgeo(u,t)
scanv
,u x
z
r
( , )x z
( ,0)u
0
Transducer
Target
38
build up the 2D spatial ( or space-time) impulse response function noted by h(u,t).
( , ) ( ) ( , )geou
h u t g u h u t (2.2)
We suppose also that the transducer reception response is same than the transmission one:
( , ) ( , ) ( , )T Ra u t a u t a u t
Thus, the system‘s impulse response corresponding to a single target can be simplified as
follow:
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )t t t
s u t e t a u t a u t h u t (2.3)
Finally, the system‘s impulse response mainly depends on the spatial impulse response, the
angular response of the transducer and the emitted signal.
2.1.1 Angular response of transducer
Directivity is defined as the ratio of the radiation intensity of an antenna in a given direction
to the radiation intensity averaged over all directions. The transducer‘s directivity in emission
or reception changes with the corresponding azimuth angle. So, the intensity of the signals
detected by the transducer from the target varies with the change of target position in the
sonic field. Because the whole system is studied in 2D plane, the aperture of the transducer is
correspondingly simplified as a line. If the transducer‘s aperture is a constant over the length l
and zero elsewhere, the function of aperture can be written in normalized form as [Burdic,
1984 pp:326-336]:
1( )
xa x rect
l l (2.4)
where the aperture is aligned with the x'-axis, and rect(·) is a rectangular function. The
rectangular aperture function and a plane wave incident signal arriving with direction of
arrival are presented in figure 2.3
z
X’0 l/2-l/2
2
l
2
l
x
sinx
z
X’
Fig.2.3 Rectangular aperture function and plane wave incident signal arriving at
orientation angle
The angular response of transducer aperture can be expressed as:
sin1, ,
x uxa u t a u t rect t dx
l l c (2.5)
39
Using the properties of Dirac function:
1ax x
a and 0 0f x x x dx f x
The angular response of aperture can be written as:
,sin sin
sin sin
c x cta u t rect x dx
l u l u
c ctrect
l u l u
(2.6)
As we know, the Fourier Transform of a rectangular function is a sinc function. Actually, the
directivity function is the Fourier transform of the angular response a(u,t) respect to Equ.2.6 .
The directivity function corresponding to a target at position (x,z) as a function of the
transducer position at (u,0) is :
2 2
, sin sin sint tt
lf lf x uA u f c u c
c c x u z
(2.7)
Side lobe
Θ-3: sound pressure
half angle1
l
1
l
0.707
Fig.2.4 Two representations of the directivity function of the transducer, in
rectangular coordinate or polar coordinate
The half angle (Fig. 2.4) is used to define the width of main lobe of the transmit-only process.
(θ-3=2λ/l). For transmit-receive process, the width of main lobe is half that of the transmit-
only. (θ-3=λ/l). (See figure 2.5). With l the transducer size, λ=c/f0 the ultrasonic wavelength,
and f0 the centre frequency of the emitted signal.
40
(a) (b)
Fig.2.5. a) Transmit-only directivity function. b) transmit-receive directivity function
In addition, from the definition, we can see that the width of the main-lobe is inversely
proportional to the transducer size.
Indeed, for a circular single-element transducer (piston transducer), the directivity function is
expressed as the Fourier transform of a disc which is a Bessel function of the first order.
Otherwise, for a rectangular transducer, the field is expressed as the Fourier transform of a
rectangle which is the product of two sinc functions. Note that the sinc function and the
Bessel function are respectively the zero order and the first order of the first kind Bessel
function [Nicolas, 2008]. Fig. 2.6 shows the square of these 2 functions after normalization to
the maximum value. The main lobes of both functions present similar shape but the the Bessel
function (dashed line) is slightly broader than the sinc function (solid line). The first zero of
the sinc is at x=pi=3.14 and the first zero of the Bessel function is at 3.83. Considering the
similarity of these two functions, the sinc function will be used in the following to model the
directivity of transducer in order to easily calculate the transformations between time/space
and frequency domain. We hypothesize that this choice will not influence the results.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sinc²(x)
Bessel : (J1(x)/x)²
x=3.14
x=3.83
Fig.2.6. Relative amplitude of the directivity function according to the angle. The
Bessel function is slightly broader than the sinc function
2.1.2 Spatial impulse response
Firstly, we suppose that the transducer is a point source, emitting spherical wave without
directivity. In other word, the transducer can ―see‖ the target in all direction (Fig. 2.7). Based
on Equ.2.2, the spatial system‘s impulse response for a point target at coordinate (x,z) can be
expressed as follow:
2 22, ( ) ,
i
iu
u
x u zh u t u u u t
c (2.8)
41
with ( )i
i
u
g u u u Sampling function
and
2 22( , ) ,geo
x u zh u t u t
c Geometrical impulse response
u Transducer position
c Velocity of ultrasound in the medium
x, z Target coordinates
We suppose now that in the lateral range domain, the transducer position u is a continuous
function of time, so the sampling function g(u) is no more a Dirac comb. The discrete sum of
Equ.2.8 becomes an integral along u and the spatial system‘s impulse response can be
expressed as:
2 22 2( , )
x u z rh u t t t
c c (2.9)
Note that, during one transmit-receive process, the signal travels twice the distance between
transducer and target (2r). Relation between fast-time t and distance r is t=2r/c. Because the
ultrasonic velocity c is far faster than transducer‘s speed vscan, we can ignore the lateral spatial
shift during one transmit-receive process, and simply consider that the distance r depends
only on transducer‘s position (u, 0) and target‘s position (x, z) : 2 2r x u z
(a) (b)
Fig.2.7 (a) geometry of the imaging system without aperture (b) spatial impulse
response h of the system.
scanv
,u x
z
r
( , )x z
( ,0)u
0
Transducer
Target
r
,u x
42
2.1.3 Image Formation
In fact, the transducer has a limited aperture that yields directional properties. The PSF of the
system with aperture is given in figure 2.8.
(a) (b)
Fig.2.8 (a) schematic drawing of the system with aperture. (b) is an image of the
system’s point spread function (PSF) of the system with aperture.
2.1.4 Resolution of images
Axial resolution Δr
Axial resolution can be defined as the minimum distance between two interfaces located in a
direction parallel to the beam and that can be separated on the image acquired by the imaging
system. Axial resolution is directly proportional to pulse length. Suppose that the emitted
pulse is a sine wave with a Gaussian envelope, the axial resolution can be improved by
increasing the central frequency f0 of the sine wave and increasing the bandwidth B of the
system in order to reduce the envelope duration Δt.
2 2
c c tr
B (2.10)
For high resolution ultrasound system, axial resolution is close to the wavelength λ=c/ f0. For
example, the axial resolution of a 40MHz ultrasound system is close to 30µm.
Lateral resolution Δu
Lateral resolution can be defined as the minimum distance to separate 2 targets located in a
plane perpendicular the emission beam. The lateral resolution is limited by the angular
aperture of the transducer (Fig. 2.4). We have shown previously that the angular aperture for a
transmitting-receiving process is -3=λ/l. The lateral resolution depends directly on the
aperture length l, the distance r between transducer and targets and the wavelength λ:
3u r rl
(2.11)
,u x
r
scanv
,u x
z
r
( , )x z
( ,0)u
0
Transducer
Target
43
Higher the frequency is, better is the resolution. Also, the lateral resolution is inversely
proportional to the size of aperture l. Figure 2.9 shows the response of the transducer for a
series of target at different depths and illustrates the change of lateral resolution with depth.
Fig.2.9 Point spread function (PSF) with aperture for a series of point targets at
different depth. The size of the transducer is 1mm.
2.2 IMAGING A STATIONARY POINT TARGET WITH SWEPT-SCAN SYSTEM
For a single stationary point target located at (x0, z0) as presented in Fig.2.7 (a), we have seen
that the received signal by the swept-scan imaging system can be written as a convolution
between the signal and system impulse response in time domain:
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )t t t
s u t e t a u t a u t h u t
Though the system and signal analysis are intuitive, the effects of filtering or convolution are
not clear enough in time domain. However, the signal analysis is more often performed in
frequency domain. The frequency domain analysis allows a better understanding of the image
formation.
2.2.1 Frequency domain analysis of the system. Fourier Transform of system’s PSF
respect to t : the space-frequency domain.
To be convenient for understanding the properties of the swept-scan system; we perform a
Fourier transform of the system‘s PSF along time t. The PSF in space-frequency domain is
given by:
2, , ,t t t tu f E f A u f H u fS (2.12)
S(u, ft) represents the Fourier transform of system‘s PSF s(u,t) respect to t, t=2r/c.
r is the range distance between transducer and target : 2 2( )r x u z .
44
fr is the spatial frequency along the range : ft=cfr/2
In the space-frequency domain the system‘s PSF can be written as follows:
2, / 2 / 2 , / 2 , / 2r r r ru cf E cf A u cf H u cfS (2.13)
A(u, cfr/2) is the transducer aperture introduced in the section 2.1. Squared form suggests that
the emitting and receiving processes are considered.
22 / 2, sin2
sinrrlf
u cA ucf (2.14)
H(u, cfr/2) is the spatial system‘s impulse response in the space-frequency domain :
2 2, / 2 exp( 2 ( ) )r rH u cf j f x u z (2.15)
So the system can be also expressed as
2 2 2, / 2 / 2 sin sin exp 2 ( )2
rr r r
lfu cf E cf c u j f x u zS (2.16)
Figure 2.10 presents both H(u, cfr/2) and S(u, cfr/2).
45
Fig.2.10 Space-range domain and Space-frequency domain representations of
spatial system’s impulse response h (Left column) and system’s PSF s (right
column).
Fourier Transform along t
Space range domain
Space frequency domain
46
Lateral spatial Chirp and Chirplet signal Hf0(u) and Sf0(u)
Let‘s now consider the space-frequency domain at a given frequency f0, which is the
transducer center frequency: Hf0(u) is called lateral spatial chirp signal:
00/2
, / 2r
f rcf f
H u H u cf
Hf0(u) is a signal whose spatial frequency changes along lateral direction u:
0
2 2
0
2exp( 2 ( ) )fH u j f x u z
c (2.17)
Fig.2.11 Representation of the lateral spatial chirp signal
Similarly, Sf0(u) is called lateral spatial chirplet signal which is the ―chirp signal‖ filtered
with the aperture that acts as a spatial band pass filter.
0
2 2 0sin sinf
lfA u c u
c (2.18)
0
2 2 20 00
2sin sin exp 2 ( )f
lf fS u E f c u j x u z
c c (2.19)
Fig.2.12 Representation of the lateral spatial chirplet signal
Instantaneous-frequency analysis of the “Chirp signal” Hf0(u)
In this section, we discuss the instantaneous-frequency property of the chirp signal Hf0(u)
because we want to show that the frequency evolution is directly related to the system
characteristics and to the target velocity when motion of target will be considered.
47
The instantaneous-frequency of the lateral spatial chirp signal Hf0(u) is noted by finst(u), and is
defined as the derivation of the phase component.
2 20 0 0inst
2 2
2 2 ( ) 212 ( ) sin
2 ( )
f f x u ff u x u z u
u c cc x u z
(2.20)
where u is limited to the image width : u = [-L / 2, L / 2].
Fig.2.13 Instantaneous frequency of the geometrical impulse response of the system
Hf0(u)
Let‘s now consider the influence of aperture function Afu2(u) on the instantaneous frequency.
We consider that the width of the main lobe of the aperture is given by the angular distance
between the first zeros of the sinc function: u = [-cz0/lf0, cz0/lf0]. Then the chirplet signal Sf0(u)
is limited to that range. Correspondingly, its instantaneous-frequency function is also limited
in the same range, see Fig.2.14.
Fig.2.14 From top to bottom: Aperture function, lateral spatial chirplet signal,
instantaneous frequency representation
48
The bandwidthBHf0 of Hf0(u) limited to the aperture is then (see the calculation in Appendix I):
0
0
0 0 00 0
20 0
200
0
2
sin , sin .Hf r r r
cz
cz cz lfB f f f
lf lfcz
zlf
(2.21)
Where fr0=2*f0/c. As lfro>>1, the bandwidth can be approximated as:
0
0
2
0
4 4
4
rHf
r
fB
llf
(2.22)
Wigner-Ville distribution of the “Chirplet signal” Sf0(u)
To be able to consider the enlargement of the bandwidth brought by aperture or also by the
motion of target, it is necessary to use another time frequency representation of the chirplet
signal instead of instantaneous frequency. In this part, we will use the Wigner-Ville
distribution of the chirplet signal Sf0(u). This time-frequency distribution satisfies a large
number of desirable mathematical properties. In particular, the Wigner-Ville distribution is
always real-valued, it preserves time and frequency shifts and satisfies the marginal
properties: [Flandrin, 1985] [Flandrin, 1987]
* 2( , )2 2
j fW t f x t x t e d (2.23)
Above all, the Wigner-Ville distribution ideally concentrates the linear chirp signals in the
time-frequency plane and this is the main reason why it is well adapted to the analysis of
chirp and chirplet signals Hf0(u) and Sf0(u) which will be noted WHf0(u, fU) and WSf0(u, fU)
hereafter:
0
2
2 2
0 0
2 2exp 2 ( ) exp 2
2f
x uH u j f x u z j f z
c c z(2.24)
where
2
2 2( )2
x ux u z z
z since (x-u)<<z when aperture is limited.
Fig.2.15 Chirp signal Hf0(u),
49
0 0 0
0
00
, / 2 / 2 exp 2
2exp 2 exp 2
22
Hf U f f U
U
U U
W u f H u U H u U j f U dU
x u Uj f j f U dU
c z
x u x uff f f u
c z c z
(2.25)
Equ.2.25 shows that the Wigner-Ville distribution is effectively concentrated on a straight line
of slope equals to:
02U
ff uslopeW
u cz (2.26)
It confirms that the slope of the Time Frequency Representation (TFR) is inversely
proportional to the target‘s depth.
Fig.2.16 (a) and (b) are the Wigner-Ville distributions of the Chirp signal for 2 different
positions of the target.
(a) (b)
Fig.2.16 (a) Wigner-Ville distribution of lateral spatial chirp signal when the depth of
target is 5mm, (b) depth of target is 7mm
We discuss now the Wigner-Ville distribution WA2f0(u, fU) of aperture function Af02(u).
Actually, the aperture angle of the transducer is limited, and we can suppose:
sin (u)≈(x-u)/z. Therefore, aperture function (2.18) can be written as follows:
0
02 2sinf
fx u
c
lA u c
z (2.27)
The Wigner-Ville distribution of aperture function is then:
50
20 00
0 0
0 0
2 2, / 2 / 2 e 2
, ,
xp
U
U f f UA f
U U
f
f ftri u
W u f A u U A
tri u
u U j f U dU
lf
cz
lf
cz
(2.28)
Fig.2.17 (a) and (b) confirm that the TFR of the aperture is centered on null frequency
spectrum and that the local bandwidth along u depends on target position. The bandwidth
BWA2f0 of aperture function Afu2(u) is the sum of bandwidth of two triangular functions:
20
0
0
22
WA f
lfB
cz (2.29)
(a) (b)
Fig 2.17 (a) Wigner-Ville distribution of the aperture function for a target at 5mm
(b) For target at the depth of 7 mm, the main-lobe width is larger, the bandwidth is
narrower.
The Wigner-Ville distribution WHf0(u, fU) of the chirp signal Hf0(u) is also limited by the
aperture in lateral direction u (refer to Fig 2.18). In other words, when u [-cz0/lf0 , cz0/lf0],
WHf0(u, fU) ≠0. Based on Equ.2.25, the bandwidth BWHf0 of the chirp signal Hf0(u) can be
calculated easily:
0
0 0
0
0
0
0
0 02 2 4WHf
x xcz cz
l lf ff fB
c z c z l
(2.30)
Noted that (x-cz0/lf0)<<z when aperture is limited.
51
Fig.2.18 Wigner-Ville distribution of the lateral spatial chirp signal is windowed by
the aperture in lateral direction
Consequentially, the WVD WSf0(u, fU) of the chirplet signal Sf0(u) can be considered as the
convolution of the WVD respect to fU at each lateral spatial position u, between the aperture
and the system‘s spatial impulse response. At each lateral spatial position u, the center of the
corresponding frequency spectrum is located at fU = f0(x-u)/cz, and its bandwidth is 2lf0 / cz0,
as shown in Fig.2.19 (a) and (b).
0 0 0
*
00
0 0
00
, / 2 / 2 exp
2,
2
,2
,U U
Sf U f f
Ur
U
U
Uf f
W u f u U u U j f U d
f ftri u tri u
U
x uu f f
lf f
z
l z
c cz
S S
(2.31)
To summarize, the bandwidth BWSf0 of the chirplet signal Sf0(u) is the sum of the bandwidth
BWHf0 of system‘s spatial impulse response and the bandwidth BWA2f0 due to the aperture.
20 0 0
0
0
44WSf WHf WA f
lfB B B
l cz (2.32)
Windowed by the main lobe of aperture in lateral direction
52
(a) (b)
Fig.2.19 Wigner-Ville distribution of the chirplet signal. a) target depth is 5mm, b)
target depth is 7mm
Now, we pay attention to the influence of the transducer‘s size l to the two bandwidth terms in
Equ. 2.32. When the size l reduces, its aperture‘s lateral width increases. Then the frequency
component BwHf0 of the system‘s spatial impulse response, limited by the aperture, increases
and aperture‘s bandwidth BwA2f0 decreases, see Fig. 2.20 (a), (b) and (c) and Fig. 2.21 (a), (b)
and (c). Thus, the aperture angle guided by the transducer‘s size l plays an important role in
the study of the velocities estimation in this work.
(a) l=0.3mm (b) l=1mm (c) l=2mm
Fig.2.20 Wigner-Ville distribution of the chirplet signal for different sizes of the
transducer. Image simulation of a single stationary target acquired with a swept
scan system.
(a) l=0.3mm (b) l=1mm (c) l=2mm
Fig.2.21 Schematic representation of Wigner-Ville distribution of the chirplet signal
for different aperture
BWHf0
BWA2f0
BWHf0 BWA2f0
BWHf0
BWA2f0 WVD
0 BWHf0
BWA2f0
WVD
0 BWHf0 BWA2f0
WVD
0
53
2.2.2 Analysis of the system in the 2D Fourier Transform domain, or k-space domain
In the last section, the Fourier Transform of the system‘s PSF along the range direction t or r
was discussed. In this part, the 2D Fourier transformation (2DFT) of the system‘s PSF will be
studied. The 2DFT of the system‘s PSF is the Fourier Transform along the lateral range
direction u of the system‘s PSF in space-frequency domain.
2DFT analysis of the aperture function
The 2DFT of the aperture function is noted by A2 (fu, cfr/2) where squared expression
indicates the emission-reception processing.
By definition, the 2DFT of the aperture is (see Appendix 1):
2 0
0
2, / 2
2
uu r
rr
z fA f cf tri
lflf
z
(2.33)
Thus the lateral bandwidth of A2 (fu, cfr/2) is
2
0u
r
A fB
z
lf (2.34)
Note that the transducer scans continuously at a speed of vscan. Considering that the transducer
has moved a distance d=vscan2r/c≈ vscan2z0/c (where 0r z ) between pulse emission and
reception of echoes from the target at depth z0, a spectral shift of the lateral frequency should
have to be considered. However, the spectral shift is at least four orders of magnitude smaller
than the lateral bandwidth. Therefore, we can ignore this spectral shift [Jeng, 2006].
2DFT analysis of the system’s spatial impulse response
Based on the method of stationary phase [Soumekh, 1999], the Fourier transforms H (fu, cfr/2)
of the system‘s spatial impulse response in space-frequency domain H (u, cfr/2) along the
lateral range u is expressed as:
2 2, / 2 exp 2 2u r r u uH f cf j f f z j f x (2.35)
The lateral bandwidth BHfu of the system‘s spatial impulse response is then (see Appendix A2)
as previously calculated with the time frequency analysis of the system:
4uHfB
l (2.36)
Like the bandwidth calculated with the Wigner-Ville distribution analysis, the lateral
bandwidth of system‘s PSF also consists in two parts, the bandwidth BHfu of system‘s spatial
impulse responses and the bandwidth BA2fu of the aperture:
2
0 0
24 4u u u
trSf Hf A f
lflfB B B
l z l cz (2.37)
The 2DFT of system‘s PSF is:
54
, / 2 / 2 , / 2 , / 2 , / 2u u
u r r u r u r u rf f
f cf E cf H f cf A f cf A f cfS (2.38)
The figure 2.22 shows the influence of aperture on 2D FT of S and H. The lateral bandwidth
of H is limited by the image width (u [-L/2, +L/2]). The lateral bandwidth of S is limited by
the aperture angle u [x0 +cz0/lfr, x0 -cz0/lfr]
Figure 2.22 2DFT domain analysis of system’s impulse response (H) and system’s
PSF (S) of the swept-scan system
The system‘s lateral bandwidths with different transducer sizes are respectively shown in
Fig.2.23 (a) (b) and (c).
.
(a) size of transducer : l=0.3mm
(b) size of transducer : l=1mm
(c) size of transducer : l=2mm
Fig.2.23 2DFT of the system’s PSF with different size of the transducer
2u u u
Sf Hf A fB B B 2
u u uSf Hf A f
B B B 2u u u
Sf Hf A fB B B
,u tS f f,u tH f f
, / 2 , / 2u u
u r u rf f
A f cf A f cf
55
According to our model, we can see that the lateral bandwidth of the aperture BA is
much larger than that of system’s spatial impulse response BH, which then can be
ignored. Note that in the work of Pai-Chi Li [Jeng 2006], the system’s lateral bandwidth
BS approximately equals the one of aperture BA. Although the increasing of the
transducer size can improve the imaging lateral spatial resolution, unfortunately, it
increases also the bandwidth BA and this will reduce the accuracy of velocity estimation.
This will be discussed in the section 2.4.
Note that the team of Pai-Chi Li in Taiwan [Jeng, 2006], who works in the field of 2D
velocities estimation of blood flow with swept-scan system choose the following values for
systems parameter: - transducer‘s size 6mm, - transducer focus of 12mm, - center frequency
of 40MHz.
Fig.2.24 finally presents the system‘s PSF respectively in space-range domain, in space-
frequency domain (1DFT) and in 2D spatial frequency domain (2DFT).
Fig.2.24 Space-range domain, Space-frequency domain and 2D Spatial frequency
domain representations of the system’s PSF s (S).
Fourier Transform along t
Space range domain
Space-frequency domain
Fourier Transform
along u
2D Spatial frequency domain
(K-space domain)
2D Fourier Transform
56
2.3 IMAGING A MOVING POINT TARGET WITH SWEPT-SCAN SYSTEM
We suppose now that the swept scan system is used to image a moving target. Firstly, a single
target moves at the speed of vobj. According to our notation, the lateral and axial relative speed
rates of the target are vx and vz :
sin
cos
obj
x
scan
obj
z
scan
vv
v
vv
v
(2.39)
where φ is the Doppler angle between the direction of target motion and the direction
perpendicular to transducer surface, and vscan is the scan speed of transducer (see Fig. 2.25).
Fig.2.25 Geometry of the swept-scan system imaging a moving target.
(x(t), z(t)) is the instantaneous position of the target, and u(t) is the instantaneous position of
the transducer, which satisfy the following relationship:
0
0
2
2
x
z
Lx t x v u t
Lz t z v u t
(2.40)
When t=0, (x0, z0) is the initial position of target, where x0=x(0), z0=z(0); and (u0,0) is the
initial position of transducer u(0)=-L/2.
The objective of the following paragraphs is to model the transformations of the space-
range domain, space-frequency domain and spatial frequency domain when the target is
moving. Firstly, we will propose an expression for the relative distance between
transducer and target when the transducer and the target are moving. This is
comparable to what has been proposed by Mehrdad Soumekh for synthetic aperture
radar [Soumekh, 1999].
The distance r(x(t)-u(t), z(t)) between the transducer and the target that are both moving is:
scanv
,u x
z
r
0
Target
objv
Transducer
57
2 2( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )r x t u t z t x t u t z t
It is called the moving target system (for short ―dynamic system‖) compared to the stationary
target system (for short ―stationary system‖) when the target is stationary. By reporting the
value of x(t) and z(t) of Equ.2.40 in ( ) ( ), ( )r x t u t z t , we obtain:
0
2 2
0 0
2
2 2 2
00
2 2
2 1 (12
)2 2
x z
x z x z
L Lr u t x v u t u t z v u t
r v v u t v v uz tL L L
x
(2.41)
with 2
0 0
2
0( (0)) 2r x zr u L the initial distance when the transducer start in
u(0)=-L/2. From Equ.2.40 and 2.41, we can see that x(t), z(t) and r(t) can be denoted by only
one spatial variable u(t). In order to simplify the equations, we take independent variable u to
replace u(t). Then, the distance variable r(u) can be rewritten as:
0
2
2
0
2 2
02
2 12
1 ( )2
x z x zrL L L
x zu r v v u v v u (2.42)
To distinguish stationary system‘s PSF and dynamic system‘s PSF, the subscript m (for
motion) is added to indicate the dynamic system:
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )m m m mt t t
s u t e t a u t a u t h u t (2.43)
Considering target‘s motion, the dynamic system‘s spatial impulse response can be written as:
2( , ) ,m
r uh u t u t
c (2.44)
(a) (b)
Fig.2.26 (a) schematic drawing of the geometry of the imaging system without
aperture (b) spatial impulse response of the dynamic system.
scanv
,u x
z
r
0 0( , )x z
0
Transducer
Target
objv
r
,u x
58
(a) (b)
Fig.2.27 (a) schematic drawing of geometry of the imaging system with aperture.
(b) PSF of the dynamic system
Note that in Equ.2.42, the target‘s motion trajectory can be uniquely identified via three
parameters:
0r ,
0 02
1 x zx zvL
v
2 2(1 )x zv v
That we will be identified hereafter with the relationships:
2
2 2 2
0 0 0
0 0
2 2
2
12
1
x z
x z
Lr X Z x z
LX v x v z
v v
(2.45)
where α is noted the relative coefficient.
The distance r(u) is then similar to that in the stationary system (see p. 39):
2
2
2
Lr u X u Z (2.46)
Note that (X, Z) is a linear transformation of the target initial position (x0, z0). Note also that X
,u x
r
scanv
,u x
z
r
( ,0)u
0
Transducer
Target 0 0( , )x z
objv
59
and Z are constant when the target‘s velocity components (vx and vz) are defined. This will be
helpful for spatial frequency and time-frequency analysis.
0
0
1
21
x z
xz
v vL
xX
Z vvz
and 0 0
0 0
12
12
x z
x z
Lv x v z
X
Lv z v x
Z
(2.47)
2.3.1 Frequency domain analysis of the dynamic system, the space-frequency domain.
From the experience of the 1DFT of the stationary system, and according to Equ.2.12 and
2.13, we can directly write out the dynamic system‘s PSF in the space-frequency domain:
2( , / 2) ( / 2) , / 2 ( , / 2)m r r m r m ru cf E cf A u cf u cfS H (2.48)
— the dynamic system‘s spatial impulse response:
2
2( , / 2) exp 22
m r r
LH u cf j f X u Z (2.49)
— the dynamic system‘s transducer aperture:
, s nn i/ 2 si2
rr
m
fA u c u
lcf (2.50)
— where indicates the aperture angle such as :
0
2
0
2
0
1
1
2 2sin
2 2 2
x
x z
L Lx u
u
L L Lx u z u
v
v v
(2.51)
The aperture angle of transducer is still limited, so Equ.2.51 and 2.50 can be rewritten as
follows:
02
0
0
21
1 1 2sin
2 1
xx
x x x
z x
x v Lv u
v v x v Lu u
z u Zv L v
(2.52)
2
0/ 2 sin1 2
,2 1
x xr
x
rm
v x v LfA u u
l
Zc c
vf (2.53)
Fig.2.28 presents the space-range domain and the space frequency domain in the case of a
moving target imaged with a swept scan system.
60
Fig.2.28 Space-range domain and Space-frequency domain representations of
system’s spatial impulse response h and system’s PSF s.
Lateral spatial Chirp Hmf0(u) and Chirplet signal Smf0(u)
In the dynamic system, like the stationary system in the section 2.2.2, we consider the space-
frequency domain at a given frequency f0 which is the transducer center frequency: Hmf0(u) is
called lateral spatial chirp signal:
00/ 2
, / 2r
mf m rcf f
H u H u cf
Hmf0(u) is a signal whose spatial frequency changes along lateral direction u:
0
2
202( ) exp 2
2mf
f LH u j X u Z
c (2.54)
Fourier Transform along t
Space range domain
Space frequency domain
61
Fig.2.29 Representation of the chirp signal Hmf0(u) in the dynamic system
Similarly, Smf0(u) is called lateral spatial chirplet signal, which is the chirp signal Hmf0(u)
filtered with the aperture acting as a spatial band pass filter.
0
2
2
02 01
sin2
1
x
mfx
x
v x v Lu
Z v
lfA u c
c (2.55)
0 0 00
2( ) ( ) ( )mf mf mfAu E f u uS H (2.56)
Fig.2.30 Representation of the lateral spatial chirplet signal in the dynamic system
Instantaneous-frequency analysis of the Chirp signal Hmf0(u)
We will discuss the instantaneous-frequency property of the Chirp signal Hmf0(u) because we
ant to show that the frequency evolution is directly related to the system characteristics and to
the target velocity when motion of target is considered.
The instantaneous frequency of dynamic system is denoted by finstm(u), which is the
differential of the phase component of the lateral spatial chirp signal Hmf0(u), Equ.2.54,
02
20
2
2
0
2
2212
2 2
2
2sin
instm
instm XZ
f LX u
cf Lf u X u Z
u c LX u Z
ff u u
c
(2.57)
where u [-L / 2, L / 2] with L the width of image. Equ.2.57 shows that the instantaneous
62
frequency of the Chirp Signal for a moving target results in a complex transformation of that
of the stationary system Equ.2.20.
Therefore,
0 0
2 2 2 2
2 2 ( ),
( )instm
f fX X Lf u
c cX Z X L Z
Note that when u+L/2=X/α, finstm(u)=0 means that the transducer is exactly above target.
Fig.2.31 Instantaneous frequency of the lateral spatial chirp signal Hf0(u)
Like for the stationary system (2.2.1.2), let‘s now consider the influence of aperture function
Afu2(u) on the instantaneous frequency. We consider that the width of the main lobe of the
aperture is given by the angular distance between the first zeros ua, ub of the sinc function:
0
2
0
2
1 1
xa
x x
x v L c Zu
v lf v
and 0
2
0
2
1 1
xb
x x
x v L c Zu
v lf v
Then the chirplet signal Smf0(u) is limited to that range. Correspondingly, its instantaneous
frequency function is also limited in the same range, see Fig.2.32. The corresponding
bandwidth of the chirp signal is:
0
0 02 2sin sinHmf XZ XZ
f fB a b
c c
In this work, we suppose that the lateral relative velocity is much larger than the axial relative
velocity. It means that the transducer moves much faster than the target (lateral and axial
velocity). Then we have (1-vx)2
vz2 or (1-vx)≈α
Since f0 is about tenth of MHz, we have then l•2f0/c• (1-vx)>>1. The bandwidth of chirp signal
is then:
0
0
20
2
0
24
24 1
41
Hmf
x
Hmf x
f
cBf
l vc
B vl
(2.58)
63
Fig.2.32 From top to bottom: Aperture function, lateral spatial chirplet signal,
instantaneous frequency representation
Wigner-Ville distribution of the Chirplet signal Smf0(u)
To be able to consider the enlargement of the bandwidth brought by aperture or also by
motion of target, it is necessary to use Wigner-Ville Distribution (WVD) analysis of Chirplet
signal Smf0(u) instead of instantaneous frequency estimator.
Hereafter, we will study the WVD of chirp and chirplet signal Hmf0(u) and Smf0(u), noted
respectively WmHf0(u, fU) and WmSf0(u, fU) in dynamic system, to show that, the analysis of
WVD can provide a 2D velocities estimator [Liu, 2009].
0
2
2
2
0 0
22 2exp 2 exp 2
2 2mf
LX u
LH u j f X u Z j f Z
c c Z
(2.59)
where
2
2
2 2
2 2
LX u
LX u Z Z
Z
since (X- α (u+L/2))<<Z when aperture is limited.
Based on the definition formula (Equ.2.23), the WVD WmHf0 (u, fU) of chirp signal Hmf0(u) in
dynamic system is given by Equ.2.60. The corresponding instantaneous frequency that is
approximately linear is given by:
64
0
2
00
2 22 2,mHf U U U
L LX u u X
fW u f f f f u
c Z c Z
(2.60)
(a) (b)
Fig 2.33 (a) WVD for a moving target at initial depth of 5mm without aperture
(b) WVD for a moving target at initial depth of 7mm without aperture
(a) (b)
Fig 2.34 (a) WVD of aperture (target depth is 5mm) (b) WVD of aperture (target
depth is 7mm)
Like in the stationary system, the WVD WmSf0(u, fU) of the chirplet signal Smf0(u) can be
considered as the convolution of the WVD respect to fU at each lateral spatial position u,
between the aperture and the system‘s spatial impulse response. At each lateral spatial
position u, the center of the corresponding frequency spectrum is located at fU(u)=(2f0/c)•[-
α(X-α(u+L/2))]/ Z, and its bandwidth is (2lf0/c)• (1-vx)2/αZ, , as shown in Fig.2.35 (a) and (b).
So the WVD of the chirplet signal Smf0(u) can be calculated as follows:
65
0 2 2
0
0
01 1
22, , , ,
u u
U UmSf U U
fx
fx
LX u
f f fW u f tri u tri u u f
c Zl lv vf f
c Z c Z
(2.61)
Considering always the same conditions between velocities of transducer and target, Equ.2.61
can be simplified as follows:
0
0
0
0
0 0
22,
1
, , ,
1u u
U UmSf U
x x
Uf ff f
v vcz cz
LX u
f f fW u f tri u tri u u f
l l c Z
(2.62)
The slope of WVD of the dynamic system is inversely proportional to the target‘s depth, and
is approximately (1-vx)2 time than that of the stationary system.
220 0
0
2 21
U
m x
f u f fslopeW v
u Z c cz (2.63)
(a) (b)
Fig 2.35 (a) WVD for a moving target at initial depth of 5mm (b) WVD for a
moving target at initial depth of 7mm
Quantitative velocity information can be deduced from the WVD analysis. The position of the
maximum amplitude of aperture corresponds to the frequency center fUshift of the WVD of
Chirplet signal Smf0(u):
00
22
1zU zs ift
x
h
ff f
c cv v
v (2.64)
The bandwidth of aperture term can be directly obtained:
20
0
0
2 12
xmWA f
l
cz
fB v (2.65)
Considering the limits due to aperture applied to WVD WmHf0(u) of the chirp signal Hmf0(u),
66
the bandwidth of WmHf0(u) is then:
0
2 2
0 02 2 42 2, 1mWHf x
L La X b X
f fB v
c Z c Z l
(2.66)
The bandwidth BmWSf0 of the WVD of the chirplet signal SmWf0(u) is the sum of BmWHf0 and
BmWA2f0.
0 00
0
2
0
0 1
1
44mWSf mWHf
WSf
xmWA f
x
lfB B
z
v
cB
l
B
v (2.67)
From above equation, we can summarize that, under the condition of (1-vx) 2
vz2, the
bandwidth of the system WVD is compressed by a factor (1-vx) compared to the bandwidth of
the stationary system‘s WVD, and the center frequency of dynamic‘s WVD shifts from zero
to fUshift=2vzf0/c, and the slope of dynamic‘s WVD is approximately (1-vx)2 time that of the
stationary system. Fig. 2.36 shows WVD for a stationary object (clear blue) and WVD for a
moving target (dark blue).
In conclusion, the centre frequency of WVD is directly related to target’s axial relative
velocity and the modulation slope and the bandwidth of WVD depends on the lateral
relative velocity.
Fig. 2.36 WVD for a stationary object (clear blue) and for a moving target (dark
blue). vx and vz are respectively the lateral relative velocity and the axial relative
velocity
2.3.2 Analysis of system in 2D Frequency domain (k-space)
In this part, we will discuss the 2D Fourier transform (2DFT) of the dynamic system‘s PSF in
order to find the relationship with the velocity parameters.
2DFT analysis of the aperture function
The 2DFT of the aperture function is noted by Am2 (fu, cfr/2) where squared expression
,u x
Uf
zshift v
1 xbandwidth v
21 xslope v
The stationary system
The dynamic system
67
indicates the emission-reception processing.
From Equ.2.53, the 2DFT Am2
(fu, cfr/2) of the aperture is obtained by definition as follows:
2 2
2 2, / 2
1 1
2
um u r
r rx x
fA f cf tri
Z
l v lf
Z
f v (2.68)
Under the condition of (1-vx) 2
vz2, the lateral bandwidth of A
2 (fu, cfr/2) is
2
0
1u
rxmA f
fB
z
lv (2.69)
2DFT analysis of the system’s spatial impulse response
Based on the method of stationary phase, the 2DFT H(fu, cfr/2) of the system‘s spatial
impulse response Hm(u, cfr/2) is:
22
22
exp / 4 1, / 2 exp 2 / 2 /
2 /m u r r u u
r u
jH f cf j f f Z j f X
f f
(2.70)
For simplifying, we only discuss the frequency term:
22, / 2 exp 2 / 2 /m u r r u uH f cf j f f Z j f X (2.71)
The lateral bandwidth BmHfu of the dynamic system‘s spatial impulse response is then (see
Appendix A2) as previously calculated with the time frequency analysis of the system:
41
umHf xB vl
(2.72)
Considering the definition of the dynamic system‘s PSF (Equ.2.48 and 2.49), its 2DFT is:
22, / 2 / 2 exp 2 / 2 / , / 2 , / 2u u
m u r r r u u m u r m u rf f
f cf E cf j f f Z j f X A f cf A f cfS
The lateral bandwidth BmSfu of dynamic system is the sum of the bandwidth BmHfu of system‘s
spatial impulse responses and the bandwidth BmA2fu of the aperture
2
0
14
u u umSf mHf mA f
rx
lB B B
l
fv
z (2.73)
The centre of lateral band is approximately located at u=(2x0+vxL)/2(1-vx), Am (u, cfr/2)=1
68
02
2 1ucm um
x
x
i r z
x v L
vf f f v (2.74)
Fig. 2.37 presents the 2DFT of the image of a moving target with the swept scan system. It
shows the filtering of the system aperture and the lateral shift of the spectrum pattern due to
target motion.
In conclusion, the relationship between stationary system and dynamic system can be
expressed as follows in the space-range domain:
( , ) (1 , )m xs u r s v u r (2.75)
Or in the 2D spatial frequency domain:
1( , / 2) ( , / 2)
1 1
u r zm u r r
x x
f f vS f cf S cf
v v (2.76)
Fig 2.37 left: 2DFT of the dynamic system’s spatial impulse response, right: 2DFT of
the dynamic system’s PSF, including aperture.
Fig.2.38 finally presents the dynamic system‘s PSF respectively in space-range domain, in
space-frequency domain (1DFT) and in 2D spatial frequency domain (2DFT).
,m u tS f f,m u tH f f
, / 2 , / 2u u
m u r m u rf f
A f cf A f cf
69
Fig 2.38 Space-range domain, Space-frequency domain and 2D Spatial frequency
domain representations of the system’s PSF s.
Fourier Transform along t
Space range domain
Space frequency domain
Fourier Transform
along u
Spatial frequency domain
(K-space domain)
2D Fourier Transform
70
2.4 VELOCITY ESTIMATION IN 2D-FREQUENCY AND TIME-FREQUENCY DOMAINS
2.4.1 Discussion concerning target velocity compared to transducer velocity
To be able to estimate the velocity of the target in the 2D-frequency or time-frequency
domain, it is necessary to discuss the different cases of relative velocity between the target
and the transducer. We recall that vx=vobj*sin /vscan is the relative lateral target velocity and
vz=vobj*cos /vscan is the relative axial target velocity. α=((1-vx)2+vz
2)1/2
is a coefficient that
gives the relationship between (1-vx) and vz. There are two extreme cases that will be
discussed hereafter.
(1-vx)2
vz2 or (α 1-vx) : with this hypothesis, the lateral difference velocity |vscan -vobjsin |
(or lateral velocity difference between the transducer and the target) is much larger than the
axial velocity |vobjcos | of the target. Based on the models developed in the previous
paragraphs, we have seen that the transformations in the 2D-frequency and time-frequency
domains are important to permit the estimation of both axial and lateral target velocities. This
hypothesis corresponds mainly to the situation when the transducer‘s speed is much higher
than the lateral speed of the target, like the case for swept scan imaging system devoted to
blood flow velocity. There is another situation corresponding to this hypothesis when the
target lateral velocity is much faster than that of transducer (vx>1). This situation appears not
often in practice. Both situations are presented on Fig.2.39.
1 xv
zv
2 21 x zv v
2 21 x zv v
Do
pp
ler
me
tho
d
K-space method
①②
③
④
1xv 1xv
1xv1xv
① ②
③ ④
2 21 x zv v2 21 x zv v
2 21 x zv v2 21 x zv v
objvobjv
objv objv
scanvscanv
scanvscanv
Fig.2.39 Schematic presentation of various situations concerning the relative
velocity between target and transducer which conducts to k-space or Doppler
methods for velocity estimation.
(1-vx)2
vz2, or (α vz) : with this hypothesis, the lateral velocity difference between the
transducer and the target is much lower than the target‘s axial velocity. In this case, the
transducer is almost stationary to the target along the lateral direction. The k-space and
Wigner-Ville methods can only estimate the axial velocity. The Doppler method can be
applied in this situation with a stationary transducer and the estimation of axial velocity only.
71
2.4.2 Velocity estimation: 2DFT approach
Fig. 2.40 presents the deformation and frequency shift observed in the PSF in both space-
range domain and in 2D spatial frequency domain (k-space domain) when a moving target is
imaged.
Fig.2.40 Stationary system and dynamic system in space-range and 2D Spatial
frequency domain.
Estimation of vx: From Equ.2.37 and Fig.2.22, we recall that for the stationary system, the
lateral bandwidth BSfu is centered at 0 sample/m and is composed of two main parts: the
bandwidth BHfu of the system‘s spatial impulse response and the bandwidth BA2fu of the
aperture. For the dynamic system, the lateral bandwidth BmSfu will be compressed by a factor
(1-vx) compared to that of the stationary system, see Fig.2.41.
2 1u u uu
mSf mHf SfmA f xB B B vB (2.77)
Estimation of vz: Equ.2.74 has shown that the shift of lateral center frequency is proportional
to the relative axial velocity vz compared to lateral center frequency of the stationary system
see Fig.2.41. :
2ucm r z t zf f v f v
c
Stationary target Moving target
k-Space deformation
PSF deformation
( , ) (1 , )m x zs u r s v u r uv
1( , / 2) ( , / 2)
1 1
u r zm u r r
x x
f f vS f cf S cf
v v
2D-FFT 2D-FFT
2D FFT
72
Fig.2.41 Dynamic system in 2D Spatial frequency domain
We can conclude that the relative lateral and axial velocities (vx and vz) can be efficiently
estimated. Then, the target‘s velocity vobj and the Doppler angle can be calculated via the
relationships: 2 2
obj scan x zv v v v and arctan( )x
z
v
v.
2.4.3 Velocity estimation by Wigner-Ville approach
The Wigner-Ville approach can also achieve the velocity estimation via the shift of center
frequency and estimation of the bandwidth.
For the stationary system, like the 2DFT approach, the bandwidth of the WVD of the chirplet
signal, which is fixed on center frequency f0, is also comprised of two main parts: the
bandwidth of WVD of the system‘s spatial impulse response BWHf0 and the bandwidth of
WVD of aperture function BWA2f0.
Always for the stationary system, we recall that the WVD of the chirplet signal is a straight
line with slope as follows:
02U
ff uslopeW
u cz
In addition, the centre value (or peak value) of the spectral is situated at the 0 sample/m.
zshift v
1uSf m xB v
Central emission
frequency f0
ft
fu
73
Fig 2.42 Stationary system and dynamic system in space-range, space-frequency
domain and Wigner-Ville distribution of the chirplet signal.
Estimation of vx: for dynamic system, Equ.2.66 has shown that the bandwidth BmWSf0 will be
compressed by a factor (1-vx) compared to that of the stationary system BWSf0, see Fig.2.43:
20 0 00
1mWSf mWHf WSfmWA f xB vB B B (2.78)
From another point of view the slope of WVD in the dynamic system can be expressed as:
2 20mov st
0
2Slope 1 1 Slopex x
fv v
cz
where Slopest is the slope of stationary system. The relative lateral velocity vx can be then
estimated with bandwidth or slope estimation of the WVD of chirplet signal.
Estimation of vz: like the 2DFT approach, the shift of center frequency of WVD is also
proportional to vz the relative axial velocity compared to center frequency of the stationary
system (see Equ.2.64):
02Ushift
zff
c
v
For stationary target system, vobj=vx=vz=0 and fUshift=0.
Fig.2.43 presents the deformation of the WVD (center frequency shift, slope and scaling
factor) of dynamic system.
The stationary target system
Wigner-Ville deformation
deformation PSF deformation
Wigner-Ville distribution
The moving target system
Wigner-Ville
distribution
1D axial
FT
1D axial
FT
74
Fig.2.43 Wigner-Ville distribution of chirplet signal for a moving target
Based on above mention, we can conclude that the relative lateral and axial velocities (vx and
vz) can be efficiently estimated from WVD analysis of chirplet signal.
2.4.4 Maximum available velocity
In the conventional Doppler systems, the transducer is fixed and the maximum available
Doppler shift fDmax (Hz) is half of the pulse repetition frequency, PRF (Hz). The lateral
velocity cannot be estimated and the maximum axial velocity is limited to:
max
max
0
2
4
D
PRFf
c PRFv
f
(2.79)
In the swept-scan imaging system, the time t is separated into two parts: the fast time along
axial direction and the slow time along lateral direction. Then the PRF in swept scan acts also
on the slow time, since the transducer is continuously in motion along lateral direction u. So
there is a relationship between the lateral frequency shift fumc (sample/m) and the Doppler shift
fD (Hz):
Dumc
scan
ff
v (2. 80)
The maximum measurable lateral frequency shift fumcmax (sample/m) can be expressed as
follows:
max
1
2 scan
umc
PR
vf
F (2.81)
Combining with Equ 2.79, the maximum measurable lateral velocity vlateralmax can be
obtained:
BandWidth Center
frequency shift
slope
75
maxmax
0 02 4
ucmlateral scan
fc c PRFv v
f f (2.82)
We can then conclude that the swept scan system permits the estimation of both axial and
lateral velocities with limitations in relation with PRF and vscan.
2.4.5 Velocity resolution
For the Doppler method, we know that the axial velocity of the target is determined by the
Doppler shift fD .The velocity resolution is influenced by the bandwidth of emitting frequency
spectrum. A narrow bandwidth is needed for increasing the velocity resolution. That is why
narrowband signals are used in the conventional Doppler systems. Note that on the contrary,
increasing axial spatial resolution needs broadband emitting signals.
With the 2DFT methods in the swept-scan system, both axial and lateral velocity resolutions
have to be considered.
In the swept-scan system, the axial velocity resolution is the same as the conventional
Doppler system that we discussed above.
The lateral velocity resolution is determined by the lateral bandwidth of spatial frequency
spectrum. Lateral velocity resolution is better when lateral bandwidth is narrower, that is to
say when aperture is wider (smaller size of transducer) and when transducer moves at higher
scan speed. Note that on the contrary, increasing lateral spatial resolution needs narrower
aperture (larger transducer size).
2.5 CONCLUSION
In this chapter, we proposed a model of image formation for swept scan imaging system. This
convolution model takes into account the continuous motion of the transducer and 2D motion
of target. Two methods were proposed to estimate both axial and lateral velocity of the target.
These methods are based on the analysis of space-frequency domain with the WVD of the
chirplet signal and the 2D spatial frequency domain with the 2DFT. The next chapter presents
results obtained with these estimation methods from simulation data.
76
77
3 Velocity Estimation:
a 2DFT approach
78
3. VELOCITY ESTIMATION: A 2DFT APPROACH
Equ.3.1 recalls Equ.2.78 which gives the relationship between stationary system S and
dynamic system Sm of the PSF in the 2D spatial frequency domain for the swept-scan imaging
system.
1( , / 2) ( , / 2)
1 1
u r zm u r r
x x
f f vS f cf S cf
v v (3.1)
Fig.3.1 shows the corresponding deformation of the 2D spatial frequency domain. This
representation indicates one more time that the lateral center frequency shift and the lateral
bandwidth are related to the axial and lateral velocities respectively. Accordingly, a procedure
for estimating the 2D flow velocity is proposed in the section 3.1, 3.2 and 3.3.
Figure 3.1 Stationary and dynamic system in 2D Spatial frequency domain
Firstly, we introduce the simulation parameters of the imaging system on which our results
are based (see Tab.3.1). The simulated system is a trade-off between 2 high frequency swept-
scan imaging systems such as Pai-Chi Li system [Jeng 2006] and Dermscan system
[Grégoire, 2002]. Note that our simulated system is not focused in order to use the full
aperture of the transducer.
Table 3.1 Simulation Parameters.
Parameter Value
Sound velocity (c) 1540 m/s
Center frequency 20 MHz
Transducer diameter (l) 1mm
Scanning speed (vscan) 100 mm/s
Pulse repetition interval (PRI) 100 μs
Emitted pulse length (N) 4-cycle sinusoid
Lateral sampling interval (du) 10μm
Axial sampling interval (dr) 5.13 μm
,u x
uf
r zshift f v
1 xbandwidth v
1
z
slopev
The stationary system
The dynamic system
rf
uSfBumSfB
79
3.1 A SINGLE TARGET IN MOTION
Parameters
of target Target PSF 2DFT of PSF
(a)
A stationary
target
(b)
vobj=30mm/s
=0º
(c)
vobj =30mm/s
=30º
(d)
vobj =30mm/s
=60º
(e)
vobj =30mm/s
=90º
Figure 3.2 PSF of the dynamic system in space-range domain and in 2D spatial
frequency domain.
Firstly, we made the simulation of an image acquired with the swept scan system on a single
80
point target in motion. Fig.3.2 presents 5 different velocities and Doppler angles, showing the
influence of these values on the images and on the corresponding 2DFT.
3.1.1 Axial velocity estimation
From Equ.3.1 and Fig.3.1, we can see that lateral frequency shift is proportional to vz and the
slope is inversely proportional to vz. The estimation of axial velocity then consists in
estimating the centroïd of the 2D spectrum. Practically, we find that the centroïd of the 2D
power spectral density is located at the frequency corresponding to the emitting center
frequency. So the axial velocity can be directly calculated from the estimation of fumc, the
lateral center frequency corresponding to the emitting center frequency fr0 :
0
umcaxial z scan scan
r
fv v v v
f (3.2)
Where vaxial = vobjcos , vobj and are the target‘s velocity and its Doppler angle; vscan is the
transducer‘s velocity.
3.1.2 Lateral velocity estimation
Figure 3.3 Centroïd position and region of interest corresponding to the emitting
frequency for the calculation of lateral bandwidth
The lateral bandwidth of the dynamic system is compressed by a factor (1–vx) compared to
that of the stationary system. We make the realistic hypothesis that the 2D spectrum is
modeled as a 2D Gaussian function (see Fig. 3.3). The lateral bandwidth is estimated as the
full width at half maximum (FWHM) of power spectrum distribution corresponding to
emitting center frequency. The standard deviation inside the region of interest is first
calculated and then the bandwidth is calculated:
2 2ln 2 2.35umSfB FWHM (3.3)
Knowing the bandwidth of the stationary system, the scaling factor between stationary and
dynamic system permits the estimation of lateral velocity:
1 u
u
mSf
lateral x scan scan
Sf
Bv v v v
B (3.4)
When the geometry of the transducer is simple as a piston of diameter l operating at frequency
Center
emitting
frequency f0
intercept
81
f0, the lateral velocity of a target at depth z can directly be estimated:
2
0
14 2
umSf
lateral x scan scan
B lczv v v v
cz l f (3.5)
where vlateral = vobjsin
The speed rate and Doppler angle are calculated via the classical relationship:
2 2
arctan( )
obj axial lateral
lateral
axial
v v v
v
v
(3.6)
To validate the proposed 2DFT approach for the estimation of 2D velocity estimation, several
images of a single object moving at velocities from 10mm/s to 40mm/s with a step of 5mm/s
were simulated. Doppler angles from 0° to 90° with a step of 10° were also investigated.
Fig. 3.5 shows the results obtained with the proposed method. Note that a single image is
needed for the 2D velocity estimation.
Fig. 3.5 presents the theoretical values of vaxial and vlateral when Doppler angle changes.
(a) Theoretical lateral velocity (b) Theoretical axial velocity
Figure 3.5 Theoretical axial and lateral velocity when Doppler angle changes
82
(a) Lateral velocity estimation (b) Axial velocity estimation
(c) Velocity estimation (d) Angle estimation
Figure 3.6 Results of 2D velocity estimation using the 2DFT approach
Fig.3.6 (a) and (b) presents the lateral and axial velocity estimation. We clearly see that the
axial velocities estimates are close to theoretical values. On the other side, the lateral velocity
is more difficult to estimate but is still the order of magnitude of the expected values.
Fig.3.6 (c) and (d) compare the theoretical values (x-axis) and the estimated values (y-axis).
On Fig.3.6 (c), each point is a mean value of estimated velocity for all of the angles.
Fig.3.6(c) shows that, when the target‘s velocity increases, the estimated velocity is closer to
the ideal value (red dash line). The difference is mainly due to the difficulty to estimate lateral
velocity. Meanwhile, results are improving when velocity increases because it is easier to
estimate lateral velocity. Indeed, when lateral velocity increases its value is closer to
transducer velocity (vx tends towards 1) and then the lateral bandwidth narrows and is easier
to estimate. Fig.3.6 (d) compares theoretical angle with estimated angle. It shows that when
Doppler angle increases, the error on the estimation of Doppler angle decreases. The Doppler
angle is calculated with the ratio vlateral over vaxial. When Doppler angle is close to 0, the
lateral velocity is close to 0 and an error of estimation of the lateral velocity induces directly
an error on the angle. When the angle is close to 90°, the axial velocity tends to 0 and lateral
velocity increases. Then, the ration increases and due to the non linearity of atan function, the
relative error decreases.
83
3.1.3 Spatial resolution of dynamic system
From Chapter 2, (Equ.2.10 and 2.11), we know the spatial axial and lateral resolution for the
stationary system. For the dynamic system, both lateral and axial resolution of the image
decreases compared to that of stationary system due to the target‘s motion. If the target‘s
velocity is fixed, the increasing of Doppler angle will result in the increasing of the lateral
relative velocity and the widening of the PSF in space range domain. This means a decrease
of spatial resolution. The lateral spatial resolution of dynamic system can be written as:
(1 )m
x
u zl v
(3.7)
where z is the distance between transducer and target. When vx=0 and/or Doppler angle =0º,
Equ.3.7 satisfy the case of the stationary system.
Accordingly, the axial resolution is also changed due to the existence of axial velocity. It is
composed of two aspects (see Equ.3.8): the resolution caused by the length of emitting signal
(the stationary system‗s resolution) and the increment brought by target‘s motion.
2 (1 ) 2 (1 )
z zm
x x
v vc t Nr z z
l v l v (3.8)
where N is the number of sine periods, Δt=N/f0 and λ=c/ f0. When vz=0 and/or Doppler angle
=90º, Equ.3.8 satisfies the case of stationary system.
3.2 IMAGE SIMULATION OF A DISTRIBUTION OF TARGETS IN MOTION WITH CONSTANT
VELOCITY
It is necessary to simulate images obtained with a swept-scan system for validation of the
2DFT method of 2D velocity estimation. The simulation is based on the convolution model of
Meunier and Bertrand [Meunier, 1995]. The medium to be imaged is modeled by a set of 3D
moving scatterers. The positions of the scatterers are randomly distributed, and their
amplitudes follow a Gaussian distribution. In order to take into account both instantaneous
velocity of transducer and scatterers, the positions of scatterers are calculated before the
simulation of each RF line. The successive positions of the transducer, corresponding to each
RF lines, are calculated with a constant velocity displacement. The transducer is modeled
with a rectangular aperture, corresponding to a sinc function beamwidth. The pulse wave is a
Gaussian modulated by a cosine function in the propagation direction. Tab.3.2 recalls the
values of the main parameters of the simulation; other parameters are the same as indicated in
Tab.3.1.
84
Table 3.2 Simulation Parameters, moving set of scatterers
Parameter Value
Number of scatterers 3x1014
Number of RF lines 512
Lateral interval between RF lines 10μm
Pulse repetition interval 100 μs
Center frequency 20 MHz
Emitted pulse length 4-cycle sinusoid
Image width size 5.12mm
Image depth size 10 mm
Fig. 3.7 gives an example of image simulated of a medium containing a distribution of targets
moving at a constant velocity.
Parameter Motion direction Image
Vobj=30mm/s
Doppler angle=60º
Figure 3.7 Simulation of an image of a distribution of targets moving at constant
velocity
We choose a region of interest of 4mm centered at 8mm depth. For the estimation of velocity,
the 2DFT is achieved on the windowed region according to the different cases presented
Fig.3.8.
85
Parameter Motion
direction PSF 2DFT of PSF
(a) Vobj=
30mm/s
Doppler angle
=0º
(b)
Vobj=30mm/s
Doppler angle
=30º
(c)
Vobj=30mm/s
Doppler angle
=60º
(d)
Vobj=30mm/s
Doppler angle
=90º
Figure 3.8 Images simulated with different Doppler angles and corresponding 2D
Spatial frequency domain
Fig.3.8 presents four images with target velocity distribution equals to vobj=30mm/s. The
velocity is estimated at depth z=8mm for different Doppler angles: (a) =0º, (b) =30º, (c)
=60º, (d) =90º. The fourth column of Fig.3.8 presents the 2DFT domain on which is
86
calculated the velocities presented on Fig.3.9.
(a) lateral velocity estimation (b) axial velocity estimation
(c) velocity estimation (d) Doppler angle estimation
Figure 3.9 Results of 2D velocity simulation using the 2DFT approach
Fig.3.9 (a) and (b) show respectively the lateral and the axial velocity estimation. The x-axis
is corresponding to different Doppler angles, the y-axis of (a) is the lateral and the y-axis of
(b) is the axial velocity estimate. We observe that the average values of the axial velocity
estimation are closer to the theoretical values (red dashed line) compared to the results
obtained for lateral velocity estimation. The standard deviations are also much smaller for
axial velocity. Fig.3.9 (c) and (d) show the estimations of the velocity and Doppler angle
respectively. We can easily see that when Doppler angle is small, such as 0º or 30º, the
estimated values of velocities are better with lower variability. On the contrary, when Doppler
angle is larger, for example 60ºor 90º, the estimated values of Doppler angles are better with
lower variability.
3.3 IMAGING SCATTERERS MOVING WITH NON STEADY SPATIAL DISTRIBUTION OF
VELOCITY
3.3.1 Displacement model simulation
The image simulation model previously presented requires successive 3D positions of
scatterers to simulate sequences of images. Successive positions of the scatterers are provided
by a displacement model related to each specific application. Here, we propose to use the
convolution model of Meunier and Bertrand [Meunier, 1995] improved recently by Marion
87
and Vray [Marion, 2009a] for flow imaging. In this section, we present the parameters of the
flow simulation to simulate fluid motion in a vessel, see Tab.3.3.
Table 3.3 Flow parameters
Parameters of the flow simulation
Radius of the vessel R
Orientation within the imaging plane 1
Orientation outside the imaging plane 2
Mean velocity vmean
An example of an oriented cylindrical vessel with 1=30º and 2=5º is presented in Fig.3.10.
Only scatterers located inside the vessel are moving. Their displacements depend on the
distance from the axis of the vessel and the delay between two successive images (1/Ft). In a
laminar flow, the theoretical velocity profile is parabolic, as described in Equ.3.9: 2
max 2( ) 1
rv r v
R (3.9)
Fig. 3.10 Cylindrical vessel model with 1=30º and 2=5º
with r the distance from the center and R the radius of the vessel. The mean velocity is
calculated by integrating v(r) from −R to R and is given in Equ.3.10:
max
2
3meanv v (3.10)
Consequently, the displacement model must provide the three displacement components for
each scatterer. Fig. 3.11 illustrates the methodology used to calculate the displacement of a
scatterer [Marion 2009b].
88
Fig. 3.11 Calculation of the distance between a scatterer and the axis of the vessel
Modeling of the moving scatterers is explained in six steps:
1. Definition of the rotation center O;
2. Computation of the vector OM where M is a scatterer position;
3. Definition of the direction vector u of the rotation axis u = [cos 1cos 2, −sin 1,
cos 1sin 2];
4. Computation of the distance d between the scatterer M and the vessel axis
u OMd
u
where ^ is the cross-product;
5. Retaining the scatterers whose distance d is less than the radius R of the vessel;
6. Computation of the 3 components of the velocity vector
2
max 1 22
2
max 12
2
max 1 22
1 cos cos
1 sin
1 cos sin
x
y
z
dv v
R
dv v
R
dv v
R
Fig.3.12 shows an example of image simulating a laminar flow in an oriented cylindrical
vessel presented in Fig.3.10 imaged with a swept scan system.
89
Fig. 3.12 Simulation of a laminar flow in a vessel imaged with a swept scan system.
3.3.2 Window Size
After selection of the region of interest in the image, it is necessary to choose the size of
processing window prior to 2-D Fourier transform. It is desirable to use a window that is large
enough to contain the entire PSF. Since the PSF broadens with depth, the lateral size of the
window can be directly determined by the beam width:
( 1)L L m
zw N dx u
l (3.11)
Moreover, we have seen that the relative lateral velocity vx influences the size of the PSF (see
Equ.2.40 and Fig.2.27). A larger window is needed to estimate non null lateral velocity. The
theoretical size of the lateral window should be:
1( 1)
(1 )L L m
x
zw N dx u
l v (3.12)
where NL is the number of emitting signals along lateral direction in the window. dx is the
distance between two emissions of the transducer. z is the mean depth of targets. l the
diameter of the transducer
On the other hand, the required axial window size is determined by the axial spatial
resolution. Based on the size of the PSF, the required axial window size is derived
theoretically by:
( 1)
2A A m
Nw N dr r (3.13)
One more time, the relative axial velocity influences the size of the PSF (see Equ.2.40 and
Fig.2.27). Then a larger window is needed:
( 1)2 (1 )
zA A m
x
vN zw N dr r
l v (3.14)
90
where dr denotes the sampling interval along the axial direction and NA is the required
number of axial sampling points. Based on the system‘s parameters given in Tables 3.1 and
3.2, the pulse number N is chosen equals to 4. For example, in order to detect velocities in the
range 0 to 30 mm/s with = 30° at the depth z=8mm, the required window size should be at
least 9.4λ (lateral)×4.4λ (axial). In practice, the window should be slightly larger to take into
account local velocity variations. Note also that the window size must not be too large in
order to have a sufficient spatial resolution to separate local velocity variations.
Figure 3.13 shows the schematic drawing of a vessel and a corresponding ultrasound image.
(a) (b)
Figure 3.13 (a) Schematic drawing of a vessel with parabolic flow (b) Ultrasound
image of the corresponding vessel imaged with a swept scan imaging system
We simulated 2 different situations corresponding to a Doppler angle equals to 0º and 90º.
Fig.3.14 (a) shows a vessel with a flow oriented with a Doppler angle equals to 0º. The
maximum velocity simulated at the center of the vessel is 30 mm/s. An image corresponding
to the chosen region of interest is presented Fig.3.14 (b). Based on previous discussions about
the window size around the depth z=8mm, we chose a window of size 12λ (lateral)×5λ (axial).
2DFT is then calculated on each successive window inside the region of interest. Then,
centroïd and lateral frequency bandwidth are calculated to deduce axial and lateral velocity
for each window. After that, spatial smoothing is achieved to present the results. Fig. 3.14 (c)
presents the axial velocity profile of the flow which is close to the theoretical profile which is
superimposed and calculated according to parabolic flow (Equ.3.9).
Constant velocity
Axia
l dis
tance
r
objv
Blood flow
Tissue
Tissue
Lateral distance u or x
Constant velocity
91
Figure 3.14 (a) Velocity profile of a flow with Doppler angle equals to 0º, (b)
simulation of the corresponding image with swept scan imaging system, (c) axial
velocities profile with theoretical profile.
We simulated a second situation when the Doppler angle equals to 90º. Considering the
region of interest around 4mm depth, we intercept a small rectangular window. Note that the
window size widens when depth increases. 2DFT is then calculated on each successive
window inside the region of interest. Then, the centroïd and the lateral frequency bandwidth
are calculated to deduce axial and lateral velocity for each window. After that, spatial
smoothing is achieved to present the results. Fig.3.15 (c) presents the axial profile of lateral
velocity that is close to the theoretical profile superimposed and calculated according to
parabolic flow (Equ.3.9). Fig.3.15 (d) presents the axial profile of axial velocity which should
be around 0 since the simulated flow is only along lateral direction. Fig.3.15 (e) presents an
estimation of the Doppler angle which should be close to 90°.
Based on the analysis of 2D spatial frequency transform of image simulated with a swept scan
imaging system, we have proposed in this chapter to estimate both axial (like Doppler) and
lateral velocity. The estimation is based on the calculation of the centroïd and lateral
frequency bandwidth. After the discussions concerning the simulation of images and the
choice of window size, the results show the potentials of the proposed method in various
situations when the Doppler methods are or are not applicable.
(b)
(c)
objv
Blood flow
Tissue Tissue
Lateral distance u or x
(a)
Axia
l dis
tan
ce
r
Vessel
92
Figure 3.15 (a) Velocity profile of a flow with Doppler angle equals to 90º, (b)
simulation of the corresponding image with swept scan imaging system, (c) lateral
velocity profile, (d) axial velocity estimation, (e) Doppler angle estimation.
(b) (a)
objvBlood flow
Tissue
Tissue
Lateral distance u or x
Axia
l dis
tance
r
Vessel
(c)
(d) (e)
93
4 Velocity Estimation:
a Wigner-Ville approach
94
4. VELOCITY ESTIMATION: A WIGNER-VILLE APPROACH
Fig. 4.1 shows intuitively the corresponding deformation of WVD of the chirplet signal
between stationary system WSf0 and dynamic system WmSf0. It indicates that the axial center
frequency shift and the axial bandwidth (including the aperture bandwidth BWA2f0 and the
spatial impulse response BWHf0) are related to the axial and lateral velocities respectively.
Accordingly, a procedure for estimating the 2D flow velocity is proposed in the section 4.1,
4.2 and 4.3.
Figure 4.1 Stationary and dynamic system of WVD
4.1 A SINGLE TARGET IN MOTION
4.1.1 Axial velocity estimation
From Fig.4.1, we can see that for the dynamic system, the centroïd of the WVD moves
downward by –fr0vz over the position corresponding to stationary system. From the property
of convolution, we know that the power spectral density at the center position of aperture is
maximum, so we propose to estimate the axial velocity by calculating the displacement fUshift
of the maximum value of the WVD:
0
Ushift
axial z scan scan
r
fv v v v
f (4.1)
Where fr0 is the spatial sampling frequency corresponding to the emitting center frequency f0,
fr0=2f0/c, and fUshift is the axial center frequency.
4.1.2 Lateral velocity estimation
As we know, the axial bandwidth of the WVD of the chirplet signal in dynamic system is
compressed by a factor (1–vx) compared to that in stationary system.
We make the realistic hypothesis that the sum of the axial spectrum of the WVD is modeled
as a Gaussian function. The axial bandwidth BmWSf0 of dynamic system is estimated as the
FWHM of spectrum distribution.
,u x
Uf
0r zshift f v
1 xbandwidth v
21 xslope v
The stationary system
The dynamic system
95
Figure 4.2 Mean profile of the axial spectrum of the WVD for the calculation of axial
bandwidth
Knowing the bandwidth BWSf0 of the stationary system, the scaling factor between stationary
and dynamic system permits the estimation of lateral velocity:
0
0
1mWSf
lateral x scan scan
WSf
Bv v v v
B (4.2)
When the geometry of the transducer is simple such a piston of diameter l operating at
frequency f0, the lateral velocity of a target at depth z can directly be estimated:
2
0
14( )
umWSf
lateral x scan scan
B lczv v v v
cz l f (4.3)
where vlateral = vobjsin . The mean velocity and Doppler angle can be calculated via the
classical relationship in Equ.3.6.
To validate the proposed Wigner-Ville approach for 2D velocity estimation, several images of
a single object moving at velocities from 10mm/s to 40mm/s with a step of 5mm/s were
simulated. Doppler angles from 0° to 90° with a step of 10° were investigated. Fig. 4.3
shows the results obtained with the proposed method. Note that a single image is needed for
the 2D velocity estimation.
The simulation parameters are the same as reported previously in Table 3.1, chapter 3.
Standard deviation σ
96
Parameters
of target Target PSF WVD of PSF
(a)
A stationary
target
(b)
Vobj=30mm/s
Doppler
Angle =0º
(c)
Vobj=30mm/s
Doppler
Angle
=30º
(d)
Vobj=30mm/s
Doppler
Angle
=60º
(e)
Vobj=30mm/s
Doppler
Angle
=90º
Figure 4.3 Dynamic system. WVD of chirplet signal corresponding to the central
emitting frequency in space-frequency domain
97
(a) Lateral velocity estimation (b) Axial velocity estimation
(c) Velocity estimation (d) Angle estimation
Figure 4.4 Results of 2D velocity estimation of a single target in motion using the
WVD approach
Fig.4.4 (a) and (b) present the lateral and axial velocity estimation. Results have to be
compared to theoretical velocities reported on Fig.3.5. We can see that axial velocities are
close to theoretical values, like for the 2DFT approach. On the other side, lateral velocity is
still difficult to estimate.
Fig.4.4 (c) and (d) compare the theoretical values (x-axis) and the estimated values (y-axis).
On Fig.4.4(c), each point is a mean value of estimated velocity for all of the angles. Fig.4.4(c)
shows that there is a constant bias between actual and estimated velocity. This is one more
time due to the difficulty to estimate lateral velocity which is undersestimated. Variability of
the results tends to increase when velocity increases. Fig. 4.4 (d) compares theoretical angle
with estimated angle. Results show good agreement with theoretical data and variability
decreases when Doppler angle increases.
4.2 IMAGE SIMULATION OF A DISTRIBUTION OF TARGETS IN MOTION WITH CONSTANT
VELOCITY
Data simulated and processed in this section are the same as in section 3.2, Tab.3.1 and
Tab.3.2. We choose a region of interest of 4mm centered at 8mm depth to perform the
velocity estimation of with the WVD approach. 4 different situations are presented Fig.4.5.
98
Parameter targets PSF WVD of PSF
(a)
Vobj=30mm/s
Doppler angle
=0º
(b)
Vobj=30mm/s
Doppler angle
=30º
(c)
Vobj=30mm/s
Doppler angle
=60º
(d)
Vobj=30mm/s
Doppler angle
=90º
Figure 4.5 Images simulated with different Doppler angles and corresponding WVD
of chirplet signal at central frequency
After windowing the images at the depth of 8mm, we perform the Wigner-Ville distribution
of the selected regions successively. Fig.4.6 presents four images with target velocity
distribution equals to vobj=30mm/s. The velocity is estimated for different Doppler angles: (a)
=0º, (b) =30º, (c) =60º, (d) =90º. The fourth column of Fig.4.6 presents the WVD on
which is calculated the velocities presented on Fig.4.7.
99
(a) lateral velocity estimation (b) axial velocity estimation
(c) velocity estimation (d) Doppler angle estimation
Figure 4.6 Results of 2D velocity simulation using the WVD approach
Fig.4.6 (a) and (b) show the lateral velocity estimation and the axial velocity estimation. The
x-axis is corresponding to different Doppler angles, the y-axis of (a) is the lateral and that of
(b) is the axial velocity estimate. We observe a large variability of the lateral velocity even
though the evolution follows the theoretical values (red dashed line). The standard deviation
is also much smaller for axial velocity. Fig.4.6 (c) and (d) show the estimations of the velocity
and Doppler angle respectively. Results are in the range of expected values but always show a
large variability.
100
4.3 IMAGING SCATTERERS MOVING WITH NON STEADY SPATIAL DISTRIBUTION OF
VELOCITY
In this part, we also use the displacement model introduced in section 3.3.1 to simulate the
flow imaging with non steady spatial distribution of velocity. An example of the image
simulation obtained with the swept-scan system is shown in Fig.3.13 (b). Considering the
window size previously discussed, the required lateral and axial window size is determined by
the lateral and axial spatial resolution that is influenced by the velocities and depths of the
targets (see Equ.3.12 and Fig.3.14). We simulated 2 different situations corresponding to a
Doppler angle equals to 0º and 90º.
Fig.4.7 (a) shows a vessel with a flow oriented with a Doppler angle equals to 0º. The
maximum velocity simulated at the center of the vessel is 30 mm/s. An image corresponding
to the chosen region of interest is presented Fig.4.7 (b). Based on previous discussions about
the window size around the depth z=8mm, we chose a window of size 12λ (lateral)×5λ (axial).
The WVD is then calculated on each successive window included inside the region of
interest. The centroïd and the axial frequency bandwidth are then calculated to deduce axial
and lateral velocity for each window. After that, spatial smoothing is achieved to present the
results. Fig. 4.7 (c) presents the axial velocity profile of the flow that is close to the theoretical
profile superimposed and calculated according to parabolic flow Equ.4.1.
Figure 4.7 (a) Velocity profile of a flow with Doppler angle equals to 0º, (b)
simulation of the corresponding image with swept scan imaging system, (c) axial
velocities profile with theoretical profile.
(b) Image with swept-scan transducer
(c) Velocity estimation
objv
Blood flow
Tissue Tissue
Lateral distance u or x
(a)
Axia
l dis
tan
ce
r
Vessel
101
We simulated a second situation when the Doppler angle equals to 90º. Considering the
region of interest of 4mm around 8mm depth, we intercept a small chart with a rectangular
rim. Note that the window size widens when depth increases. WVD is then calculated on each
successive window included inside the region of interest. Then, the centroïd and the lateral
frequency bandwidth are calculated to deduce axial and lateral velocity for each window.
After that, spatial smoothing is achieved to present the results. Fig.4.8 (c) presents the axial
profile of lateral velocity with the theoretical profile superimposed and calculated according
to parabolic flow Equ.4.2 and Equ.4.3. Fig.4.8 (d) presents the profile of axial velocity that
should be around 0 since the simulated flow is only along lateral direction. Fig.4.8 (e)
presents an estimation of the Doppler angle which should be close to 90°.
Figure 4.8 (a) Velocity profile of a flow with Doppler angle equals to 90º, (b)
simulation of the corresponding image with swept scan imaging system, (c) lateral
velocity profile, (d) axial velocity estimation, (e) Doppler angle estimation.
(b) (a)
objvBlood flow
Tissue
Tissue
Lateral distance u or x
Axia
l dis
tance
r
Vessel
(c)
(d) (e)
102
Based on the analysis of WVD of the chirplet signal obtained with the image simulation with
a swept scan imaging system, we have proposed in this chapter to estimate both axial and
lateral velocity. The estimation is based on the calculation of the centroïd, axial frequency
bandwidth and modulation slope of the time frequency representation. We have shown that it
is also possible to estimate the Doppler angle, which is difficult or impossible to estimate with
other methods. Results show that the use of a single image to estimate vector velocity is
feasible. Meanwhile, results show a large variability that could be limited by using a series of
images on which the proposed method is applied.
103
CONCLUSION
Dans cette thèse, nous avons proposé un modèle de formation de l‘image pour un système
ultrasonore haute fréquence large bande, fonctionnant avec un capteur à balayage. Après une
transformée de Fourier 1D le long de la direction de propagation, de l‘image acquise sur des
cibles ou les tissus en mouvement, nous avons pu élaborer un modèle dans le domaine espace
fréquence. Ce modèle fait apparaitre l‘influence de la position et de la vitesse locale des
diffuseurs sur les données acquises. Grâce à une analyse par la distribution de Wigner-Ville
du signal « chirplet » correspondant à une fréquence donnée (fréquence d‘émission) le long
du déplacement du transducteur, une estimation 2D de la vitesse du flux sanguin a été
proposée. Ensuite, par une seconde transformée de Fourier le long le long de la direction de
déplacement du transducteur, nous avons à nouveau mis en évidence l‘influence des
paramètres de mouvement et de position des tissus dans ce domaine des fréquences spatiales
2D (k-space). Nous avons montré comment estimer à partir de la TF 2D d‘une unique image
RF, les 2 composantes locales du vecteur vitesse. Cette dernière approche s‘est révélée plus
performante pour estimer à la fois la vitesse axiale (correspondant au Doppler) et la vitesse
latérale. Dans chacune des situations, nous avons souligné les conditions dans lesquelles les
deux approches sont valides en fonction de la vitesse de déplacement du transducteur, de la
vitesse et de l‘orientation du mouvement des cibles. En particulier, la vitesse relative latérale
|vscan-vobjsinφ| doit être plus grande que la vitesse axiale de la cible |vobjcosφ|, et la vitesse
de déplacement du transducteur plus élevée que la vitesse latérale des cibles
(vscan>vobjsinφ). Ces conditions originales sont résumées par la relation : (1-vx)2
vz2 et
(vx<1).
Avec la méthode 2DFT, nous avons pu montrer que l‘utilisation d‘un capteur à balayage,
engendre un élargissement spectral additionnel, proportionnel à la vitesse relative latérale du
transducteur par rapport à la cible, et un décalage spectral latéral proportionnel à la vitesse
axiale. En fait, la méthode 2DFT pour le système à balayage peut être vue comme une
combinaison de la technique d‘élargissement spectral conventionnelle et de la technique
Doppler dans le domaine des fréquences spatiales. La simulation, réalisée au chapitre 3 a pour
conséquence de démontrer que l'estimateur de vitesse proposé peut non seulement corriger le
biais dû au balayage, mais peut également permettre de surpasser les performances des
techniques à bande étroite conventionnelles d'estimation utilisant seulement la fréquence
centrale de l'excitation. En outre, l'estimateur de vitesse proposé, possède des propriétés
meilleures que celles de la technique d‘élargissement spectral conventionnelle et de celle de la
technique Doppler, en termes de nombre d‘images utiles par seconde.
L'approche de Wigner-Ville est basée sur l'analyse, dans le plan espace-fréquence, du signal
« Chirplet ». Le signal Chirplet est généralement centré sur la fréquence centrale du capteur
d‘émission. Le modèle montre clairement l‘effet de la modulation non linéaire de ce signal en
fonction de la vitesse de déplacement du capteur, de son ouverture et de la vitesse de la cible.
Avec les paramètres du système conventionnel à balayage, les modulations spatiales peuvent
être approximées à des chirps spatiaux linéaires. On a également montré, dans cette méthode
d'évaluation, que la fréquence centrale est directement liée à la vitesse axiale de la cible et que
la largeur de bande dépend de la vitesse relative latérale. Les simulations de diverses
situations correspondant à des paramètres réels ainsi que les résultats obtenus aux chapitres 3
et 4, montrent l‘intérêt de l'approche originale de Wigner-Ville dans ce travail.
104
Actuellement, bien que la méthode 2DFT (k-space) soit généralement la plus citée pour tenter
de dépasser les limitations de l‘estimation Doppler bande étroite, la méthode de Wigner-Ville,
certainement perfectible, peut apporter des compléments d‘information pertinents.
Des travaux futurs peuvent être envisagés afin de prendre en compte le mouvement sectoriel à
pas variable du transducteur, afin d‘améliorer la précision de l‘évaluation de la vitesse 2D par
l'intermédiaire d‘un post traitement des signaux. Des investigations expérimentales
permettront des évaluations qualitatives et quantitatives des vitesses 2D pour les applications
en microcirculation sanguine, animales et humaines.
105
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109
APPENDIX A1
Calculation of 2DFT of aperture function
________________________________________________________
The 2DFT of the aperture function is noted by A2 (fu, cfr/2) where squared expression
indicates the emission-reception processing. Consider that the aperture angle of transducer
is limited, and the single target is fixed on the point (x0, z0), we can suppose: sin (u)≈(x0-u)/
z0. Therefore, aperture function (2.14) can be written as follows:
2
0
2
0
/ 2 s, ( )2
in rr
flf cA u c x u
z
Base on the properties of the sinc function, as we know, when u=x0, A2 (u, cfr/2) =1, and
When (x0-u) = -cz0/lfr or cz0/lfr, in the other word, the target is at the boundary of the aperture
main lobe, A2 (u, cfr/2) =0.
As we knew that, the Fourier transformation of a sinc function is a rectangular function and
the bandwidth of rectangular function is a. The square of a sinc function and a triangular
function is a Fourier transformation pair, and the bandwidth of triangular function is 2a.
1sin FT xf
c a x recta a
and 2 1sin FT xfc a x tri
a a
By definition, the 2DFT of the aperture is:
0 0/ 22 2
,u
r r
r uf rectl l
z zA f c f
f f and
0
0
2, / 2 , / 2
2
u
uu r u r
frr
z fA f cf A f cf tri
lflf
z
Figure A1 the lateral frequency spectrum of aperture
, / 2ru cfA f , / 2 , / 2uu r f u rA f cf A f cf
0 0
,2 2
r ru
l lf ff
z z0 0
,4 4
r ru
l lf ff
z z
110
APPENDIX A2
Calculation of lateral bandwidth of system‘s spatial impulse
response
________________________________________________________
Based on the method of stationary phase [Soumekh, 1999], the Fourier transforms H (fu, cfr/2)
of the system‘s spatial impulse response in space-frequency domain H (u, cfr/2) along the
lateral range u is:
2 2, / 2 exp 2 2u r r u uH f cf j f f z j f x
where fu=fr sin (u)
The lateral bandwidth BHfu of the system‘s spatial impulse response theoretically equals the
bandwidth of its instantaneous-frequency. Based on the analysis of time-frequency
characteristic of system, the limit of the aperture angle compresses the lateral bandwidth
BHfu. Assume that the target is located at (x0, z0) in stationary system, and u [-2z0/lfr, 2z0/lfr],
then the lateral bandwidth BHfu of system‘s spatial impulse responses H (fu, cfr/2) can be
obtained as:
0
0 0
2
200
2
2 2sin , sin 2 .
2u
rHf r r r
r r
r
z
z z lfB f f f
lf lfz
zlf
As lfr>>1, the bandwidth can be approximated as:
0
0
2
42
u
rHf r
z
lfB f
z l
In dynamic system, the system‘s spatial impulse response in spatial frequency domain is:
22, / 2 exp 2 / 2 /m u r r u uH f cf j f f Z j f X
where fu=αfr sin XZ (u) and
2
2
2sin
2
XZ
LX u
u
LX u Z
.
Based on the statement in section 2.3, (X, Z) is the linear transformation of coordinates (x, z)
111
via the factors: the lateral speed rates vx, the axial relative speed rates vz, and the relative
coefficient α. Accordingly, the dynamic aperture angle XZ is affected not only by the
transducer velocity but also by the target 2D vector velocity. In short, u [ua, ub], where
0
2
2 2
1 1
xa
x r x
x v L Zu
v lf v
and 0
2
2 2
1 1
xb
x r x
x v L Zu
v lf v
.
Since (X- α (u+L/2)) <<Z when aperture is limited, sin XZ (u) can be simplified as:
2sin XZ
LX u
uZ
Then the lateral bandwidth BHmfu of dynamic system‘s spatial impulse responses Hm (fu, cfr/2)
can be obtained as:
2
2
sin sin
4
1
uHmf r XZ a r XZ b
a b
r r
r x
B f u f u
u uf f
Z lf v
Considering the condition of (1-vx)2
vz2 or (α 1-vx), the lateral bandwidth BHmfu can
calculated easily by:
41
uHmf xB vl
112
APPENDIX A3
Calculation of Wigner-Ville Distribution of dynamic system’s
spatial impulse response
________________________________________________________
Based on the definition of WVD (Equ.2.23) and the expression of Chirp signal Hmf0(u) in
dynamic system (Equ.2.59), the WVD WmHf0(u, fU) of Chirp signal can be calculated as
follows:
0 0 0
2 2
0
0
, / 2 / 2 exp 2
2 2 2 22exp 2 exp 2
2
22exp 2
mHf u mf mf u
u
W u f H u U H u U j f U dU
U L U LX u X u
j f j f U dUc Z
LX u
j f Uc Z
0
0
exp( 2 )
22exp 2
22
u
u
u
j f U dU
LX u
j f f U dUc Z
LX u
f fc Z
