Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER7- The Method Trial...

36
7. The method of trial functions Introduction It is evident from the development of energy principles in structural analysis and the examples presented in chapter 6 that these methods can be very powerful in developing solutions to practical situations in structural mechanics. The applicability of the methods, however, depends on having available information, such as the variation in the de¯ection or of the moment of the beam or the frame being ana- lysed. In many practical circumstances the precise variation of these parameters is not available, but it would be very valuable if the energy methods could still be applied. In this chapter we shall show how this can be achieved. It is appreciated that the solutions obtained by the use of approx- imate methods are themselves approximations to the exact situation of deformation or forces in the structural model; but in any case in engineering the prediction of structural behaviour will always be approximate to some extent since knowledge on material properties, loading and construction dimensions is never exact and, conse- quently, precisely represented in the mathematical model. Therefore, provided we have some exact solutions available, usually related to idealised structural forms and loading, with which to calibrate and validate the approximate methods, the use of energy methods with approximate variations in de¯ections and internal forces is a very powerful approach that underlies current structural engineering practice. This practice makes considerable use of approximate energy methods, usually in the form of the ®nite element method, that are available in commercially produced computer programs. The present chapter outlines the method of trial functions, outlines how suitable trial functions may be identi®ed and will enable the reader to understand how the ®nite element method is eectively an automated way of incorporating special trial functions in structural analysis.

Transcript of Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER7- The Method Trial...

�� ��� ���� � �� �� ����� ��

������������ �� ������ �� ��� ������� �� � ����� ��������� � ����������������� �� ��� ��� ���� �������� � ������� � ���� ����� �������� �� ���� ������� � ��������� �������� �� ��������� ���������� ���������� �������� ��� ������������� � ��� ������� �������������� � ����� ��������� ��� ����� ���� �� ��� �������� ���� �������� �� � ��� � �� � ��� ��� �� ��� �� � ���� ��������� � �� ��������� ����� ������ ��� ������� �������� � ��������� ����� �� �� ���������� ��� �� ����� �� ���� �������� � �������� ������ ����� ����� �� �������� � ���� ������� �� ����� ������� ���� �� �� ����������� �� ����������� ���� ��� �������� ������� �� ��� ��� � �������

� ��� ������ ��� ��� ������ ������� ����� �� ��� ����� ��������� ���� ���� �� ����� � ��� ���������� ����� ��� � �� ���� ��������� ��� ��������� � ���������� ��������� ���� ������ ��������� ��� �� �� � ����� ���� ������� � ������� ����������������� �� ���������� �� ����� �� ���� ����� ��� �����!������ ��������� ���������� � ��� ���� ������ ����� ����������������� �� ���� �� � ����� �������� ���������� ������� ������� ����������� ���������� �� � �� ������� ���� ����� �� ��������� ���������� ��� ������� ��� ������� ��� ��� � ����� ������ ����������� ��� ��������� � ��������� �� ������ ����� �� � ����������� �������� ���� �������� ������ ���������� ����������������� ���� �������� � �� ����������� ��� � ������� �������� ������� ������� � ��� �� � ��� "��� ��� �� ���������� ��� ��������� � �� �������� �������� �� ����� ������ ����� ������ ������� ������� ��� ����� � ����� ������� ���������� �������� ����� ������ �� �� �����"�� �� ���� ����� ��������� �� �������� ��� ��� "��� ��� �� ����� �� �#�������� ����� ���� ��� � ����������� ������� ����� ������ � ������������������

�� ��� ���� �� ��� ������ �� ���� �������$�� ��� ������ �� ��� �� ����� ���� ��� ����� � ����� ������ ��� ������� ��� �������� ���� ������ ������� �� ����� ������������ ��� ������� � �� ���� ���������� �� ��������� ������ ����� ������ ������� �� ��� ��������� � ��� ���������� ���� �� ���������� ��� ������ � ������� ���� �� ��� �� ���� ��� ���� ����������� � ��� ������� �����%� �� �� ���� ����� ���� ����� ����� � ��� ������ � ������� ������

����� �� � ���������� ���� ��� ����� �� � ��� &������� ���� ��� ��� � ���� �� � ������������ �� ��� ���� � ��� ��������� � ������ ������ ���������� ���� � ������� ���� �� ��� ����� ������������ ���� �� !���� ����������� �� � �������� ���� � ����� '��� ���� ��� � ������� (� ��� ������ ��������� �� ��� �������� ��"��� � � ������ ��� ���� ������ ����� ���#��� ��� �� ������� ����� ����������� ��#������� �!����� )(�(*+�,������� ��� � ��� �� ��� ���� � ����� �� ��� �� �� � ��� ���

��������� � �������� ��� ����� ������ �� �������� ���� ��� ���� �����-����� �� � ����������� ���� ����� ��� ����� � ����� �� ������� ��� �� ���� ��� � ������ (�� ���� �� ��� ��� �� � ��#���� �� ����� �������� �!������ �!����� )(�.�+� ���� �� �� ���� ������ ��

�/

��/

�������

�/�������/

�� ���� �0�1�

��� ������� � ���� �!����� ���� �� �� ��������� �� � ����������� ����� ��� �� ��� ��� ���� �� �!����� )(�((+� �� ��� ������������ � ������� � ������ �� �� �������� ������� � ��� �������������������� � ��� ������ �������� �)�+ �� ��� ������ �� �������� � ��� ������ ���� �� �� ������������� ��� ���� ���� �� ��� ���� ������� ����������� ��� �������� ��

����������� � ������� ��� ����� � �������� '� ��� ������ ���� ������� �� ��� ������� �� ������� ������� ��� �������� �� �� ���� ��� � ������ ����������� � ��� �������� � ��������� ������ ����� �������� ������ ���� ����� ��� ������� ��� �������� ����� ������ � ������� �!�������� � ���� � ������ ���������� � ����������� � ��������� �������� ����� �� ��� �� ���� �� �!������)��/+ �� )��*+ �� ������� ����� �� � �� ��� � ����� ������� �������������� �� ��������� ��������� ����� ����� �� ���������� � ������ ������������ � ���

� �� !������ ���� ��� ��� ���� �� �������� ��� ����� ������������� �������� � ������ ���� !������ �� ��� �������� �� "��� ���� ��������� �� ��� ��� ���� 2��� �� � ����� ������� ��� !�������� ���� ������ � � � ��� �� ���������� ���������

��� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

� ����� �� ������ ��� ������ ��� �� ������� ��� �� ��� ������������ ������� ������� � ������� ( �� �������� � $��� (�13� 4���� ���� ��� ����� ������� �� ���� ������ �� ���� �� �!����� )(�51+

����� ��

/(�����( � /�* � *��

�� �� � ����������� ����� ��� ���������� ��� ��"������� ��!�������� � ���� ��� �� ���� �� ��������� � ��� � � ��� ������������� ����� �������� ����

������ � 3 �0�/������ ��� �������� ���������� �������� �� �!����� )��/+� �� ���� ��

����� �1

/

3

������/� ���

3

��� �� �0�*�

���� ��������� �� ������� � ������� )���� � ����� � � �����+ ���� ������� �������� �� ����� � ��� ���� � ��� ��� � � ������� ������� ����� ������ � ��� �������� � ���������� ��� ������� � �!������ )0�/+ ����� ���� �� �� ��� 6���� �!����� � ��� ���� ����� ����!����� )(�(*+� �������� ���� ��� ������� ��������

�� � 3 �� � � 3 �� � � �0�(���� � �����

��� � 3 �� � � 3 �� � � �0�5�

,������� ��� �� �� � ���� ���� ����� �� �������� � �� ��� ��������� ���� ���������� ���� ����� �� �!������ )(�(*+� )0�(+ �� )0�5+� ����� ����� ����� �� ����� ��� ��� �������� ��������� � ��� ��������� �� � ��� � ���-����� �� ������� ������ �� ����� � ���������������� �� ����� ���� ����� ��� �� � ����� �������� �� "���� ���������� ������� �� �������� �� ����������� ��� ����� �������� �� "��������� � �!����� )0�*+� � ����� �� �� �� �������� ��� ����� �������� ��"��� ��� ������ ��� ��� ������� ������� �������� � �!�����)0�(+� 4� �� � ����� ���� ������ � �� ��� �������� �� "��� ����� ����"�� � ����� ��� �� � � �������� �� ��� ���

��� � � ����

� ��0���

�� �� ���� � $��� 0�1�%���������� ��� ����� ������ �!����� )0��+� ��� ��� ��������

����� ������ �!����� )0�*+� �� ����

������ ��

3

1

/��� � ��

��

� �� ���/���

3

�� ����

� ��� �0�0�

� � ��� �� �� ���� ��������� ���

���� ������� �������� � ���� � ������ �� ���"����� � ��� �������

�� ���� ����� ��� � ��� �� �� ��� ����� ���� ���� � ���� �� � ������ � ��� �� ������������ �� ���� �������� ��� �������� �� ��� ����� � ��� � ������ ������

���� ��� ���� ��� ������� � �!�������� )�!����� )0�/++ �� �������"�� �� �� ���� � �� ��� ����� ������ ��� � ������������ ��� ������� � ��� ����� � ��� ���� ���� �� ���� �� � ������������ ��� ��� � ����� �� ��������� ��������� ��� �� ���������� �!����� �� �!�������� � �!����� )0�/+����� � ��� ������ ���� �� ����

���� � 1

/

3

��� � ����

� �� ���/���

3

�� ����

� ���

�� 1

/

3

����/ �

(

(��/

��

� ����

3

�� ����

� ���

� �(

(*����

/ � /�

�� �0�.�

�� ��� ������� � �!�������� � �!����� )0�/+� ������

�������

� 3 � � (�(

����5

�0�7�

���� ����������� ��"�� ��� ����� � ��� ���� ���� � � ��� � ���� ������� ���� �� ��� ��� ����� �� ������� ������� ���� ������ ��� ��� �� �� ��� � ������� � ��� ����� �������� �� "��� ����

q

aA B

l

uy* = a sin πzl

���� ���

��� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

4� ���� ���� ������� ��� ������� � ��� ������ ������� � ��������� �� ��� �������� � �������� �� ������ ��#������� �!��������8 ������� �� ��� ���� � �� ���� ���� �� ��� � ������� ���

������� �� ��� ���������� ���� � ��� ��� � ������������ �� ������� ����������� ���� �������� $�� ��� ���� � �� �� ���� ����������� �������� �� ��� ����� � ��� ��� ������� �� ��� ���������� ����� ����� �� ��� ����� �������� ���� �� �!����� )(�51+ ��� � �/� �� ����

����/� � 3�31*3/3.�(

���)����� �������+

�����/� � 3�31*3011�(

���)����� �����+

�0�13�

���� �� ��� ������� ����� ����� �������� � �������� �� ��� ������� ��� ��� ���� � ����� � �3�*79 �� ����� �� ��� ����� ������4��� ������ �� ��� ����� � �� �� �����

��/� � ����������/� � 3�3/5333�/

���/� � �����������/� � 3�3/5.31�/

�0�13��

���� ��� ��� ������� ��� ����� �������� ���� ��� ��� � � ��� ���� � ����� � �*�/9� 8 ������ ���� �� � ���� �� ������ ��� �� � ������� ����� ��� �� ��� ��� ���� ��� ����� �������!����� )0��+� ������ �� "� ��� ����� �������� �� "��� ���� ���� ���� �� �������� � ���� ������� :�������� ������� ������� ����� ������������ ���� � ���� ������� �� �������� ��� �������� ����� � ������� ����� ���� ���� ����� � ����� ��������� ��� ��� ������ ���������� ���� ������� �� � �������� ����� �� ;�������< � ���������������� ����� �� ��� ����� ����� ��������� ������ ,������� �������� �� �� �� ������ �� �� ������� � ��� ������ � ����� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� ��� ��� ������� ���������� �� �� ��������� � ���� ���� � ������� �� ��� ��������� ���� �� �������� � ���������� �������

��� ��� ������ �� ������������ ��� �������� ������ �� ���� �� � � "��� �������� �� ��� ����� ������ ����� �� ��� ������� � ��� ������ � ������� �!�������� ���� ���� � � �� ��� ��������� ��� �4� �� ��������� ��� ����� ���������� � ��� �� ��������� ��������� ���� �� �� ����������� ��� �� ��� ���� ��������� �����= ���� �� ������ � � ��� �� ��

� � ��� �� �� ���� ��������� ��

!����� "!����1�/ %����� 0�1 ��� ���� ���� ��� ���� � ��� ����� ������ ������ ������� � �� ���� ��� �� ������ � � ������������� ��!����� � ���������� ����� �� �� ����� �� � ��#��������� ������� �� ��� �� ������ � � ������ ����� �� �������� �� ��� � ��� ����� ����������� �� ����� �� � ��������� ������ �'�������� �� ������� ��� ���� ��� ������ �� ����� ��� ��� �������� ������������ >�������?>��@ ��������� ������� � ��� ������� �����

)�+ 4���� ��� ������� � � ��� ����� �������� ����� � �������� �

)+ A����� � ����� ����� �� ��� �������� �� "���� ��� ����� ��� ������ ��� ��� ������� ������� �������� )� ��� ����� � ��� ����� �������� �� �������� �� �����+ ��� �� �� �� �� �� ������ ��� �������� ������� �������� )������������ � �� �� �����+� ���� ����� ����� ��� ��������� � � "��� � ��� � ���� ����� �1� � � � � ���

)�+ ����� ��� ����� ����� � ��� �������� ����� ������� ��� �������� ���� ��� �� ���� � ��� ����������

)�+ B�� ��� ��� ������� ����� ���1� � � � � ��� ���� ������� ����� ���� ����� �1� � � � � ��� 4� �� ���� � ����� ����� � ��!������ � ��� � � ��� �1� � � � � �� ���� ��

����1

� � �����

� 3

)�+ ��� ������� � ���� ����� � �!������ ��"�� ��� ����������� � ��� ����� ����� �� ���������� ��� ������� ���������� � ��� ������ � ������� �!�������� �� ����

'�������� ��� ������� ��������� �������� ��� ����� � ��� ��� ���������� ���� � ��� �������� ������� ���� ��� ��#����� ���� �� ���� ���� � ����� ����� ������� � ������� ���� ����� �� ��������� �������� ���� ��� �� ���������� ��������������� ��������� ������� ����� �� ��� ���"�� �� �� ��� ���� � �

��� �������C �� �� �� �� �� ��� ��������� �� ��� ������ ������ � $��� 0�/� 4� ������� ���� ��� ���-����� �� � ��������������� � � ������ ������ ����� ���� ����� �� �� �� ���� ��� ����������� �� ��� >�������?>��@ ����� ���� ��� ����� ������� � ��� �����

1 D��� >������� )%������ E��4����� + )D����� :����� 6����� 1.(/ ? 4���� � 6�����1717+� 6����� ����������/ >��@� 4������ )%��� F������ 1.0. ? :�G ������ 1737+� %���� ����������

��# ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

$�� ��� �� � � ������� � ����������� �� ���� ������� ���� �� ����������� ��� ��!���� �������� ������

)�+ ��� ������� � ��� ����� �������� ����� � ��� ����� ��

����� �1

/

3

������/� ���

3

���� �0�11�

)+ %����� � ����� ����� ���� ������� ������� � ����� � �� ��� ���� �� ������ ���� "�� ��������� � ��� ����

��� � �3 � �1 ��

���

�� 1 ���

���

� �/ ��

�/��

�� / ���

�/��

��0�1/�

����� ��� ��������� ��� �3� �1� 1� �/� /����� ����� ����� ��� ������ ��� ��� ������� ������� �����

���� �� $ �� % � $��� 0�/� ����

�� � 3 �� ���� � 3 �� � � 3 �0�1*������ � 3 �� � � �0�1(�

'� �� ����

���� � �1

���

���

�� 1

��

���

� �//�

���

�/��

�� /

/�

��

�/��

��0�15�

��� ��� ������� �������� )0�1*+ �� )0�1(+ ���� �� ��� �����

����3� � �3 � 1 � / � 3

����� � �3 � 1 � / � 3

������3� � ��1 � /�/ � 3

��� �0�1��

q

A Bl

���� ���

� � ��� �� �� ���� ��������� ��&

���� ����� ������ ��� �� ��� ���� �� ������� �3� �1 �� 1 �� ������� �/ �� / �� �� ��� ��� ���� � ����� ����� ���� �� ��"�� �� ����������� ������� � ����� ���� ���� ��

�� � � /

�1 � �/�/ �0�10� 1 � 3

�� ����!����� ��� �������� ����� ����� ��

��� � /

����

�/��

�� 1

�� �/

���

�/��

�� / ��

���

���0�1.�

)�+ 4� ���������� ��� ����� ������ �!����� )0�1.+� ��� ��� ������������� �!����� )0�11+ �� �������� ���� ��� ����� � ������

������ �1

/

3

��������/ ���

3

��� ��

� 1

/

3

���

/

�(�/

/���

�/��

��

��/

�(�/

/��

�/��

�� /�/

/��

���

���/

��

��

3

/

����

�/��

�� 1

� �/

���

�/��

�� / ��

���

����� �0�17�

�������� ��� ��� ��� ���� ������ ��������� ���� ��� ����� ���

���/� /� �5���5

�(�// �(���*

�( // �1����**

�*�/ / �(�

��/ � � /

�0�/3�4� ���� �������� ���� ������� ��� ������� �� � ��� ���������!����� )0�17+ �� ��� ������� ���� ����� � ��� ��� ���� ������/ �� /� ���� � �!����� )0�/3+�

��' ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

)� + 4� �� ��� ��� ������� ����� � �/� /� � ���� ������� �� ������� ����� �/ �� /� ������ ��� ����� �����

����/

� 13���*

�(�/ �1����**

�* / �(�

�� 3

��� /

� 1����**

�*�/ �.���*

�( / � � � 3

�0�/1�

���� ����� � ��� �� �������� ��������� �!������ �� ���� �� ������� ����� �� � ��

13 1��*�

1��*� .

� ��/

/

� �� �(

�(���

(��

1

� �

)�+ ��� ������� � ��� ����� � �!������ )0�/1+ ������ ��� ������ ���� ���� ����� �/ �� /

�/ �1

����*

15�(

1�� (5�/�0�//�

/ ��(

����/

� 1/

1��/ � (5�(� (5

1/.� *�3�/

� ��0�/*�

&�� ����������� ��� ������� � �!������ )0�//+ �� )0�/*+ � ��� ����������� �!����� )0�1.+ �� ���� ��� ��������� �� ��� ������� ���������� � ��� ������ � ��� ������� �!�������� �� ��� ��� ���� � $��� 0�/��� �� ���������� �� �� ���� ��� ������ � ��� ��������� � ��� �����

�� � ��� ����� � �� �� ��� ����� � ��� ��� ������� �� ������ ��� ����� ������ �!����� )0�1.+� ���� ����� ������� �� �������� �������� ��� �!����� )5�/+� 4��� ������ �� ��� �������� ����� ������ �� ����

����/� � 3�335/3.*�(

���)����� �������+

�����/� � 3�33(*(�.�(

���)����� �����+

�0�/(�

���� �� ��� ����� ����� ������� ���� ��� �������� ���� � ����� ��1��59� >������� ��� ����� �� ����

���/� � ������/� � �3�335/3.* �*

���)����� �������+

�����/� � �������/� � �3�330377. �*

���)����� �����+

�0�/5�

� � ��� �� �� ���� ��������� ���

���� ��� ��� ����� ����� ��������� ���� ��� ����� �� ��� ������ ����� �������� ����� � �*��*9� $������ ���� ������ �� ��� ����� � �� �� ����

��/� � ����������/� � 3�3�/5333�/ )����� �������+

���/� � �����������/� � 3�3�*(7..�/ )����� �����+

�0�/��

������ ���� ��� ����� ����� �������� � ���� ���� ��� �� ��� � �� �� ������ �� ��� � ����� � �1��9��� �� ����� ���� ����� ������� ��� ��� ���� �� ���� � ������ � �����

����� ���� "�� ������� � ����� � �� ���� ������� � �������� ��� �������� ���� �� 1���9 ������ ���� ��� ����� ��� ����� � ����������� ������ �� ��� � ����� � 3�*79 ���� � ����� ����� ������� �� ������ � ����� � B�������� � ��� ��� ��� ���� �������� ������� ���� �� ��� ����� �� ��� ����� ��� ���� �� ��� ��������� �� ��� ������� ���� �� ��� ����� � �� �� �� ������ �������� �� ��� �������� �� ��� ������ ���� ����������� � ��� ������ ��������� � ��� ������� ��� ������� �� ��� �� ��� ���������� � ������������� ����� ����� ����� �� "� ��� ����� ������� �� ��� ������������� ���� ������ � ��� ����� �������� ��� � ��� ������ � ����������� ���� ������� ���� �����!��� � ���������� ������� �� ������ ��������� �� ��� ������ � ��� ��� �������

��� ��� ������ �� ��� ���� ������%� �� �� ���� �������� ��� ������� ������� �� ��� ��� ���� �$��� 0�/ �� ��� � ��� ����� ����� ��������� � �!����� )0�1/+ ��� ������ �� ��� ����� ������� ���� �� ��� ��������� )�!�����)5�/++� � ����� �� � � �� � �� ��� ����������� ����� ��� !������� ��� ������� ������� �� ��� >�������?>��@ ������ ��� �� �� � ��������� ������ ����� ������ ��� ���� � ��� ����

��� � �3 � �1 ��

���

�� 1 ���

���

�� � �� ��

����

� � ���

����

��0�/0�

�� �� ������ �� ������ ���� ��� !������ � ��� ������� ���� ������ ������� ���� ���� ��� � ��� � ������� � ����� ���� ������������ ��� � �� �� ������� � �� ����� ������� ���������� �� ��������� �� ��� ��� ��!���� ��� �� ��� �� � ����� ���������� �� ���� ���� ���������� �� ���� � � ���� ������� � �����

��( ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

����� ������ ����

��� � �3 � �1 ��

���

�� 1 ���

���

�� �/ ��

�/��

� / ���

�/��

�� �* ��

�*��

�� * ���

�*��

��0�/.�

$������� ������� ��� �� � ��������� � ��� �������� ������ �� ������� �� ���� � ����� 0�1� ��� ������ � ��� ��������� ����� �� ������ � �� �� ��� ����� � ��� ��� � ��� ��� � $��� 0�/� ��������� ����� ��� ������ �� ������ � ��� ������� � ��� )�� � /�� 1� � ������� � ����� ���� �� ������ ��� ����� ����������� ��� ���� ��� ����� ��� ����� ��������� ������� ����/�� ����/������/�� $�� ��� �� � � �� ������� ����� 0�1 �� �� ���� ���������� ��� � � ��������� ��#������ ������ ��� ������� ��� ���������� ����� ����� ����������� �� ���� � ����� 0�/������ 0�/ ������ �� �� � � �� � ��������� ������������ �����

��� !������ � ��� ������� ����� ����������� �� ��� ��#���������� � )� $���� � ���� ��� �� "� ��� ������� � ��� ��������� ��������� ���� �� �� ��� ������ ��� ��� ������� � ����� ������� � ������ ������� ���� �� ��� ����� ������ ,������� �� �� ����������� ������ ������ � ���� ����� ����� ��� ������� ���� ������� ��� � ��� ���� � ��� �� ��� ��������� ��� � ��� "��� ������������ �� � ������ ��� � ����� ������ � ����� ����� �����H4� �� �������� ������� ���� � ��� >�������?>��@ ����� �

�-�� ���� �� ������ �� ��� ����� � ��� ����� ����� ������ � ��������� �� ���� ��� �� ��� ����� �������� ��� !������ � ��� ���������������� ���� ���� �� �� ����������� ��� ���� � � ��� � ��� �������� � ����� �

��� ���

) �����/� ����/� ����/�

5 3�33(*(0� (���� �3�330133� *���� 3�3�*(77� /

0 3�335370� (���� �3�33(011� *���� 3�35771(� /

����� 3�335/3.� (���� �3�335/3.� *���� 3�3�/533� /

��� ���

) ����� � ���9 ����� � ���9 ���� ���9

5 �1��5(9 �*��*/9 �1��390 �/�1*9 �7�5(9 �(�1(9

� � ��� �� �� ���� ��������� ��*

%������� ��� �� ������� ��� ��������� ��#������ ������� �� �������� � ��� ,��� ��� �������� �� !���� ��#���� ������� ��������� ��� � ��� � ������� � ����� ���� �� ���� �� � ������ �������� ����� &� ��� � � ����� ����� ���� "�� ������� � ����� ������ � ����� � 1��39 ���� ����� �� ��� � � ����� ����� �������� ������� � ����� ��� ����� ������ ��� �� �������� � ��������� ����� �� (�1(9� ���� ��������� �� �� ������ �������� �� ���������� ��� ���� ��� ����� ����� �����"�� ��� ��� ������� ������� ��������� �� �� �������� ��� � ����� �� ��� ����� ������� ���� ������������ � ��� ���������� � ���� ������� ���� �� ��� ������������ ����� )���� ����� ������� ��� ������ �����+� ���� �� �������� � ��� ����� ������ � ��� ����������� � ��� ��������������� ����� ������ �� ���� � $��� 0�*� �� �� ���� ����� ������

����� �� �� ��#�� ���� ��� �� ��� ����� ����� � �������� �������� �������� �� ��#�� ����"����� �� ��� ����� �� �� ��������'� � ����!���� � ���� ��������� �� ��� �� ������ ��� ����

������ ������ � ����� �� ��������� �� ��� �������� ������� ���������� ���� �� ��� �������� ������� �� ��� ����� �� ��� ���������� ����� � �������� ������� ���� ��� ����� � >�������?>��@ ���� ����!���� ��� ������� � ��� �������� ������� ���������� ��� ���� �� ���� ���� ��� &������� ���� � ��� ��� � ����� ���

������ ������ ��� ����������� � ��� �������� �� "��� � ��� ��� ����� $�� ��� ���� �� �� �� ��� ���� ����� ��� � ��� ����� ����������� �!����� )0�/0+ �������� ��� �������� ������� �� � 3�� %� '�������� �� �������� � �����

������� �� ��� ����� ����������

� �!����� )0�/0+ �� �� @��� �� � � �� � ������ ��� � ������ � ������� ����� �3� �1� 1� � � � � ��� �� ,������� �� ����� ��� �� ������ ���

y

z

b

a

y0

da (y0)dz

db (y0)dz

���� ��

�(� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

�������� �������� �������� ���� ��� ��� ������� ���� ��������������� ������ ������ � � ������ ������� ���� ��� �� ��� ������ �������� ��������� ��� � ,������� �� �� ��� ���� �� ���� ���� �� ������������ ��� ������ ����� �� ���������� ���� ����� ��� �� �� ��� �� �!����� )0�1/+

�� � ���� ��� ��!���� �� � ���������� � ��� �������� �������

� � ��������� � 3 �� � � �0�/7�

�� ���� �� ��� ��� ����� ��!���� ��� � �!������ )0�1*+ �� )0�1(+�I�� �� ���� ��� ������� ����� � ��� �!������ � ��� "�� ����� ����� �3� �1� 1� �/� /

����3� � �3 � 1 � / � 3����� � �3 � 1 � / � 3����

��3� � ��1 � /�/ � 3����

���� � 1 � ( / � 3

�����

�0�*3�

����� �� �� ������ � ��� � � �3� �1� 1� /� ����� �� ���

�3 � 3

�1 � �/�/ 1 � 3

/ � 3

�0�*1�

'� � ����!����� ��� ����� ����� ���� ��

��� � �/

���

�/��

�� / ��

���

���0�*/�

� �� ���������� �!����� )0�*/+ � �������� ����� �������� �!������ )0�11+ �� ��������� �� ������ ���� ��� ����� � ��� ��� � �������

���/� �5����

(

*�// �

(�

��/ �0�**�

�� ������ �� ���� ���� �� � ����� � ��������� �������� ���� ��� � �� ��!���� ��� ������ ������ � ����� ��� ��� ������������ �� ��� ����������� � ��� ������� ���� ������ �!����� )0�*/+���� ��� ����� �������� �!����� )0�11+ ������� � � ����� ��� ���� ���� ����� �/�4� �� ��� ��� ����� � �/� � ���� ������� �� ��� ���� ���� �/�

�� ���

��

��/� 13����

(

*�/ �

(�

�� 3 �0�*(�

� � ��� �� �� ���� ��������� �(�

����� ����� ��� ����� � ��� ���� ���� �/ ��

�/ � � /�(

5����5

�0�*5�

$������ ��� ����������� ��� ������ � �!����� )0�*5+ � ��� ����������� �!����� )0�*/+ �� ���� ��� ������� ����������� �� �������� � ����� ��� ��� ��� ������� �� �������� ������� ����������� �����"���,������� � �� �� � ��� ������ �� �� ������ ��� ������ � ���

��������� ����� �� ����� � �� �� ��� ����� � ��� ���� ������ �� �������� ���� ��� ������� ����� �������� ����

�����/� � 3�33/�1(/�(

����0�*��

����/� � 3�33./1/.�*

����0�*0�

���/� � �����������/� � 3�3/5.31/�/ �0�*.�

������ � ������ � �(7�.9� �50�09 �� �5.�09� ��������������� �� ����� ���� ����� ������� ��� �� ����� ��� ����� � ��� ���� �

������ ���� ��� �� � ����� ������ ��� ��� ������� ������� ��������� ���� ��� ��"�����6�� � ���� �� � �� ���� ���� )���� �� ���� ���� �� ��� �� ������� �

����� +� ����������� �� ��� �� �������� ���� ��� ����� ��� �� �������� � ��� ����� ����� �� �������� ���� ��� �� ���� ���������� ��� ������� ��������� ����� �� �� �� ����������� ���� ������ ����� �������� ���� ��� �������� ������� �������� ������ ������ ������� �� ����� ���� � ����� ���� �����"�� ��� ��� �������� ������� �������� ��� ��� �� �������� ����� � ����� �� �������� ����������� �������� �� ���� ������ �� � ��� ����� � ����� ������

�� ���� �� ��� ������ ��� ������ ���� ����� ���� �� ���� ��������� ��� ��� � ��� ���� � ��� �������� ���� ����� ���� ���������� 6�� ��� �� �� �������� ���� ��� ������� ���� �� ���������� ������� ���� ��� ����� �������� I������������ ��� ���� �������� � ����� ����� ����� ��� ����� �������� � !��� ������������� �� ���������� ������ � ���� �� �� ���� �� ��� ����� �������� ��� ��"�� ������� ,������� �� �� ������ ���� �� ����� ���������� � � ����� ���� �������� ����� �� ������� �� ����� ��������� � ����� ������� ���� �� ��� ���-��� � ������� 0�5 �� 0���� ����� � ���� ���� �������� �� ��������� �� ��� � ��� ������� � ��������� �������

�(� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

��� ������ �!��"��# ��� ������ �� ���� ��������""��� �� � �����$�� %�� ������� $����� ��"��

2� �� �� ��� ����������� ���� ��� ������� ���� ��� � ��������� ����� ������� �� ������� ���������� ���� �� �� �������� ��� ��� �4� �� �� ��� �� � ��� ��� � ��� ���� � �!�����)0�1+ �� ����� � ���� �� ���������� ��� ���������� � ��� ����� ����� ����� �� ������� � �� ������ ���� �� ��� �������� � � ������������ � ����� ��� ����� � ��� ������ ������ ������� ���� ��� ��������� ��������� ������� �� ���� ��� ��� �������� � ������ (��� ������ ��� ��� ����� � ����� ������� ���� ����� �� ���� ���� � �� �������� ���� ������ ������ �� ��� �������� ,������� �� �� ���� ������� �������� � ��� ��������� �� ��� ���� ����� �� �� ������ ������������ �� ��� ������� ��� �� ������� �������������������� ��� �� �� ������ � ������ ��� ������� � ��� ��� ����

��� ������� ����� ���� ��� ����� � ����� ������ $����� � �������� � ����� ����� �� �����4� ������ ���� ��� ������ ������� �������� ��� ���� �� ���

�!������ )(�7�+ �� )(�131+� ����

�� � 3 �� � � ������

� 3 �� � � 3

� ��� � � ��� ���� ������ �������� � � ��� � �� ������ ������ ����� ����� ���� �����"�� ����� �������� ��

������ � �1

�1� ���

���

/

���0�*7�

����� �1 � ����1� �� ��� �������� � ��� ��� � ��� ��������� ��� ���� ������� ����� ����� � ��� ��� ��

� ��

3

������/

��/�������/

�/�� �

�1

3

������/*

��/�������/

�/�� �0�(3�

�� ��� ���� ���� ��� ������� ���#��� ������ ��� �� ������������ ��� ������� ��� ���� �� ���� ��� ��� ���#��� ������ ������� ��� �$�� �!������ )(�./+ �� )(�.*+ �� �� ����� ��� ����� � �� �

���� �� ��� ��� ��

�� �� �*11/

�1� � 1� ��� *� ��� 1� � 1� ��� * �0�(1�

����� ��� �� ��� ����� � �� � ���� ����������� �� ��� ������������ ��� ���� � ��� ��������� �� ��� ������� �� �� � �/��1�

� � ��� �� �� ���� ��������� �(

��� ����� ����� � ������ �� �� �� ������ ��

� � � ���/*

�1

3

1� � 1� ��� *��/��

��/

��� �0�(/�

%���������� ��� ����� ����� � ��� ����� ����� �����

� � � ���/*

�/

1/.��/ � 1/��1� � / � *�

� *

1���/�1� � � /�1� *� � ��1� �

��/1 �0�(*�

��� ����� �������� ����� � � ��� ���� ���� � ��� ��������� �� ������� ��� ����� ����� ��� �� ��� ������ � ��� ��� �� ��� ���� ��������� � ��� ���� + ������� �� ��� ��� � ��� ���������� ����

� � � � ����� � � � ��1 �0�((���� �!�������� ������� �� ������� �� ��� ��������� ����� � ����������� ����� ���� ������� �� ��� ������ � ����� �1� ���� ��

��

��1� 3 �0�(5�

����� ��� ������� � ����������� � ��� �������� ����� �����

� ���*

�/

1/.��/ � 1/��1� � / � *�

� *

1���/�1� � � /�1� *� � ��1� �

��1 � � � 3

)0�(�+

%���������� ��� ������� ����� �� �� � ���������� ��� ��� ���� ����� �!�������� �!����� ������ ��� ����� �� ��� �������� �� ��� ��� ���� ��������� �� ��� ����� � ��� �������� ���� ��� ����� � ������ � 6�� ��� ������ ���

� 1 ���1� ��*

*�3/��1

� 3�5 ���1� ��*

1�75��1

� 3 ���1� ��*

1�*1��1

�0�(0�

�(# ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

�� �� �� ��� ���� � �� ������ ���� ��� ����� ������� ��������� ��� ������� � ��� ��#������� �!������ ��� �������� �� ������ � � ��������� ���� ���� ����� � � 1� ������� �� ��� ���� ����� ����� �������� � ���� ���� ������� ��� ���� �� ��� ������ �� ������� ��� ������� �� ��� ������� ��� ����� ��������� ��� ����� ������ ���� �� ���� ����������� � $��� 0�( �������� ����� �� ��� ��� �������� �� ��� �� ������ � ����� ���������� �� �� ����� �� ��� ����� ������ �� ����������� ������� ���� ������� ���� �� ���������� ���� �� ����� 59� �� �� � ����� �

� 3�5�'���� �� �� ��� �� � ����� ��� �������� � ��� ������ �� ���

������� ��� ����� �� �������� ��� � ��� � ������� � ����� � ��� ����� ������ ���� ������ ������� ���������� �� ��� ����� ������� "� ��� ����� �������� ����� � ��� ���������� ��� ������� ������������ ���� �� ���� � ��� ������ � ����� ����� ������ ����

������ � �1

�1� ���

���

/

��� �/ 1� ���

�*��

/

����0�(.�

����� �1 �� �/ ��� ��� ������� � ����� � �� ���������� ����������� ��� ����� ������ ��� ������ � ��� ������ ����������� ������� ���������� ��� ���� � $��� 0�5����� ����� �� ����������� � ��� ����� �������� ����� �������

� �� ��� �!�������� �!������ ��� �������� �� ������ �� ���

���� ��#

� � ��� �� �� ���� ��������� �(&

��������� ������� � ��� �������� ������ � ���� ���� ��� �!��������� ������� �� ��� ��������

����1

� 3�����/

� 3 �0�(7�

��� �!�������� �!������ �� �� ��������� � ����� ������ ��

�1�� �/���*�� �(��

� ��1

�/

� �� �*

/� ���

1

1

� �� 3 �0�53�

����� �1��� � � � � �(�� ��� ������ ��� � ��� �������� ������������ ������ � ����� � ��� ��� � ����� ������ ���

�1�� � *1��

/�1� � / � *� � *( �1� *� */ � *�

� 1�(�

(�1� � / � *��/�� � 1*5

�( �/�1� � /

*/ � /

**� � /0

( �1� *� */ � *��*�� � 1*5

�( �/�1� � /

*/ � /

**� � /0

( �1� *� */ � *��(�� � /0

1��/�1� � / � *� � 7

( �*� � / � **�� .1

�(�(�1� � / � *� �0�51�

[1 – cos πζ/2]

2·0

1·5

1·0

0·5

00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0

ζ

[1 – cos 3πζ/2]

���� ��&

�(' ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

��� ������ �� ��� ���������� ���������� � ��� ����� ����� ����� ��� ���������� ����

�1 ��*

/��1

�1� �/���1��

�/ ��*

/��1

��*�� � �1��

�/���*�� � �(���1��� �0�5/�

�� ��� �������� �� ��� ��� � ��� ��������� �� ������� ��

���1� � �1 � �/ �0�5*�$����� 0�� ����� ��� �#��� � ������� ��� ������� � ����� �

��� ����� ������ ��� ����� �� �� ����� 59 � ��� ����� ����� ����� �������� �� ��� ��� � ��� ��������� �� ������ � ��� ����3�/ 1�� ������� �������� ��� ��!����� ������ ��� ��� ���� � ��� �����

���� �� ����� �� �������� �� �������� ��� � ���� � ������� ������ � ��� ����� ������ 8 ������� �� ������� ���� ���� ��������� �� �� ��� ������ � ������� �������� ��������� �� ������� ���� ��������

��& ��� �������� ����� ��� � ���� ������8 ��� ����� � ���� �� ���� ������ � ��� �������� ������� � ������������ �� ������ �� ����� ���� � ������ ��� � �� "� � ����� �������� � ��� "��� ������� � ����� � ���� -���� ��� ��������� �� �

Exact solution

Two degrees of freedom

One degree of freedom

2·5

2·0

1·5

1·0

0·5

00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0

α

u y(1

)

���� ��'

� � ��� �� �� ���� ��������� �(�

����������� � ��� �������� ���� � ��� ������ � :�������� �������� ������� ���� �������� � ���� ;���< �� ��� �������� ������ ������������ ,������� �� �� ����� � ����� �� � ����� ���� ��� �"��� ���� � ����� ��� ��� � ��������� � ���� ����� ������ ������� �� ��� ����� ������� ���� ���� ��� ������� � ���� ��� � ������� � ����� �� � ��� ��������������� ����� �� ���� ��� ���������� ���� �� � !���� �� ��������

����� �� ���� �� ������� � ��� ����� � �� ��� ���� �������� ����� ���� ��� �� ����������� 4� ���� �� ��� ����� ���� � ����� ����������� �� � �������� � ��������� �� ��� ����� ������ � ���"��� ������ �� ��� ���� ���� � ������� ��� � ������� ���� �������� ���� � �� ���������� ��������������� ��������� ������ �� ��� ������������� �� ��� �������

����������

� ���� �� �����"�� ��� ��� ������� ������� ��������� �� �� �� ��� ��� ��� �1� �/� � � � � �� ��� ������� ��������� �� �� ������� � � ��� ������ � �� �� ������ "� � �������

� ���� ����� �1 �1 � �/ �/ � � �� �� ����� ��#������������ �� � ������ ������� �"����� ������ �� ��

2��� ������ ���� ������ �� �� �������� �� �� ������� ���� ��� ���������� � � ��� � ��������� ������ ����� ��� ��������� ���� >�������?>��@ ������� ���� �� ��� ����� ������� � ��� �� ���,������� �� �� ����� ���� �� � "��� � ��� � ��������� ��������� �� ������ � ������ ���� ���� ������ �������� ���� ��� �������B�������� �� � �������� ���� � ����� �� ��� ���� �� ������������ �� �� ����� ����������� ������� )���� ����H+ ��� �� � ������� ������� ���� ������ ���� ��� �� ��������� �������:��� ��� �� ��� ��� ���� �������� ������ �� ����� ���� �� ��

������� ���� �� ��� ��� ���� � $��� 0�1 �� ����� ���� ��� ���������� �� ��� ����� ������� � ��� ������� ��� �����

������ �����1

�� ��

����

������ � �� ��� �0�5(�

���� �� ��

����

���0�55�

�� � ��� � ��������� ������� 6��� � ��� ��� � � ��� ������� �!������ )0�5(+ ��"�� ��� ��� ������� ������� �������� �����"�� ��!����� )0�(+� 8 ��� ����� ���� ���� ������ �� ��� ��� ���� �$��� 0�/ ��� ������ � ��� ������� ��� ����� ��������� � �!�����

�(( ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

)0�/0+� ����

��� � �3 � �1 ��

���

�� 1 ���

���

�� � �� ��

����

� � ���

����

��0�5��

�� �� ���������� �� � ��� � ��������� ������� � ���� �� ��� ��� ��� � ���������� �����"�� ��� ��� ������� ������� ��������� �����"�� � �!������ )0�1*+ �� )0�1(+�

��' (������ ������� ��������� �� ����� ������ �� ��� ������� ��� ���� �� ������� ���� ���>�������?>��@ �����!�� ���� �� �� ��� �� �������� ���� ���� �������� ��� � ��������� ���������� �������� I������������ ��� ����� ���� ����� ���� ����� �� ��� ������ �� � ���� ���� ��������������� ������ ������� ��� ����� ������� ��� ����� � ����� ���

����� �� ������� �� ��� �� �� ���������� �� ��� ������ ������������ ��� ��������� �������� � ��� �������� ����� � ������������� �� �� ��� �� �������� ��� �������� ����� � ��� � ����� ������� � ������� �� ������ �������� �� � ���� ������ � ���������� ��� �������� �� ��������� ���� �� ��� ������� !����� "!��������!��� ��� �� �� �� ��� ���������� �� ��� ��������� � ���"��� ��� �� ������%������ �� ���������� � ��� ��� � � ��� � ������� ��� ��

����� � ����� ������ ��� ������ ����� �� ��� � ����� ��!������������ ��� ��� � �� ���� � $��� 0�0�I��� �� ������� � ����� ����� ������ � �� � ����� ����� �� ��

���� � $��� 0�.���� ����� ����� ��� ��� ������� ����������

� ��� �������� �� ��� �� @��� �������� �� ��� ����� ����� @��� ����� �� ��� �����

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

l

region 2 node 5

���� ���

� � ��� �� �� ���� ��������� �(*

��� ������� �� �� ���"�� � �� ������ � ����� ��������� ����� ����� ����� � ������ ���� � ��� � �� ���� � $��� 0�.� ��� �������������� ��

3 � ���1 � ��1 3 � �� � � �0�50���� ���������� �� ������ �� ���"�� � �� ���� ���� ������������ ��������� ����� �� ��"��

���1 ����1

��1

�� �� ����

�0�5.�

����� ��� ��������� ����� �� )�� ���� � $��� 0�7+

3 � ���1 � 1 �� 3 � �� � 1 �0�57���� ����� ����� ������ ���� � � 1 �� � �� ������� ���� ���������� ������� �������� ���� ����� ��� ����� ����� ��� � ������

z

y

fi

zi–1 zi

i–2 i–1 i i+2i+1

1

li–1 li

���� ��(

z

y

ζi–1 ζi

i–1 i i+1

Element i–1

ui–1 ui

0 0

���� ��*

�*� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

� ����� �� ��� � �� ������ ����� ���

���1����1� � 3 �� ���1 � 3

���1����1� � 1 �� ���1 � 1

����1����1�����1

� 3 �� ���1 � 3 �� 1

�0��3�

' �� ��� ����� ��� ����� �������� ����� ��!���� ��� ��

���1����1� � �*�/��1 � /�*��1� �0��1���� ����� ����� �� ������ ���� � �� �J1 �� ������� � ��� �� ����� �� ��� ����������� ����� ��� ����� ��

������ � 1� *�/� � /�*� �0��/����� �����"�� ��� ��!���� ���

������ � 1 �� �� � 3

������ � 3 �� �� � 1

����������

� 3 �� �� � 3 �� 1

�0��*�

4��� ���� ����� ����� ��� �������� � ��� ��� �� ������� �� ���������� ��� ����� ����� �� ��� ��������� ���� �� ��� � �� ���� �$��� 0�7��� �� ����� � ��� "���� ���� ��� �������� � ��� ��� � ��� �����

������ ���� � � 1 �� � �� ������� ��� �� ��� ������ � ��� ���������� �� ����� ��������� ����� ������ ��� ���� �� ������ � ������ �� ��� ��������

����� �� ��� �� � � 1 �� �� ������� �� �� ���� �!������)0��1+ �� )0��/+� ����

���1� ��1� � ����1�1� *�/��1 � /�*��1� � ����*�/��1 � /�*��1� �0��(�

��� ������� ����� ����� � ���� ��� �� � ��� ��� ��

���1 ����/

��� 1

3

��/���1

� ����1���/��1

�/����1

� ���/*��1

�1

3

��/���1

� ����1���/��1

�/����1

� ���/*��1

1/������1 � ����/ �0��5�

� � ��� �� �� ���� ��������� �*�

��� �������� �� ���� ���� ���� �������� �� �� ������ �������� ��� �� ��� ��� �� � �� � ������� ����� ����� ���� ��������� ��� ����� � ��� ��� �� �� ��� ��������� �� ��� ���� ��������� ��� ��� 4� �� ��� ���� ��� ���������� � ���� �������� ������ ��� ��� ���� � $��� 0�13� ����� �� �������� ��� ��� �������� ��� ��� �!������� ����� ����� � ��� ����� ��� ��

� � ���

/��(�* 1/�����1 � ��/�/ � ����/ � ��*�/

� ����* � ��(�/ � ����( � ��5�/ �0������ ��� �������� ����� � � ������ � ��� ���������� ���� + �� ������ ��

� � � � ���* �0��0�I��� ��� ������� �������� �� ��� �� ��� ��������� ��� ���

��1 � 3 �� ��5 � 3 �0��.�,��� ��� �������� ����� � ��� ��� � ����� ��� � ��

� � *.(���*

���// � ����/ � ��*�/ � ����* � ��(�/ � ����(�/ � ���*

�0��7���� �!�������� �������� ������ �� ��� ��������� ����� � ��� ������������� ������ ���� ��

�����/

� 3������*

� 3������(

� 3 �0�03�

l

P

1 2 3 4

1 2 3 4 5

Elements

Nodes

���� ����

�*� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

,��� ��� �!�������� �������� �� �� ��� � ����� �� ��

/ �1 3

�1 / �13 �1 /

���

���

��/

��*

��(

���

���� �*

0�.���

3

1

3

���

��� � 3 �0�01�

$�� ���� �� ����� ��� �������

��* ��*

0�.����� ��/ � ��( �

��*/

�0�0/�

�� �� ������ ���� ���� ����� �� ��� �������� �� ��� �������� � ������ �� !���� ��#���� �� ��� ����� ��������� ������� � 6����<��!����� � ��� ���� ����� ����

����/� ��*

(.���0�0*�

'� ���� ���� � �� ���� �� � ����� ��� �������� � ��� �������������� � ��� �������� �� ���� � ������� �� �� ������

� ������� ��� �� ������� � ��� �� ���� ����� ������ ��������������� ��� ������� � ����� �� ��� ���� ��� � ��� ���� ���� ��

� ������� ��� �� ������� � ��� ����� ������ �� ��� � ��� �������� � ����� ����� ���� ��� ���

D�� �� �� � ��� "��� ��������� �� �� ������ ���� � �� ������ ���� ��� � ��� ��� � ��� ��� � �� ���� � $��� 0�11� ��� �!�������� �������� ���

/ �1 3 3 3 3 3

�1 / �1 3 3 3 3

3 �1 / �1 3 3 3

3 3 �1 / �1 3 3

3 3 3 �1 / �1 3

3 3 3 3 �1 / �13 3 3 3 3 �1 /

����������������

����������������

��/

��*

��(

��5

���

��0

��.

����������������

����������������

� �*

15*����

3

3

3

1

3

3

3

����������������

����������������

� 3

)0�0(+

� � ��� �� �� ���� ��������� �*

��� ������ �� ���� ��� �������� �� ������ ��

��5 ��*

0�.�����

��/ � ��. ���5(� ��* � ��0 �

��5/� ��( � ��� �

*��5(

�0�05�

����� ���� �� ��#�� �� �!����� )0�0/+� �� �� �������� ����� �������� �������� �� �� ���� ������� ��� ����� ���� � ��� ��� ���� ��������� � ��� ��������� ����� ����� ��� ���� �� �� �� ����� �� ��������� �� ��� ����� �� � ������ � ��� ����� � ��� ������� ����������!������ )0��3+ �� )0��*+� � ����� ������ ��� ������������ � ����������� � �� ��� ��� �������������� ��������#����'� ������ ������ ��� ���������� �������� �� � ����� ��� �����

���� � ��� ��������� ����� �� �� ������� ��� �� ������� � ��� ���������� ����� � ��� ��� ����� �� �� ����� ��� ����� ������� � ��� �� � ��� ����� � ��� ��� �� ������ ��� ������� � ������ �� ���� ���� ����� ������� � ����� ������ �� ��� �������� ����� ��� �� ���� �� ��� ����� �� ���� ���� ����$������� ��� �������� ���� ����� �� ��� ��������� � ��� �����

����� �� ��� ��������� ��� ����� �� ��� ����� ����� �� ��� ������� ��� � �� ���� � $��� 0�1/���� ����������� ������� �������� ���

���1����1� � 3 �� ���1 � 3� 1

����1����1�����1

� 3 �� ���1 � 3

� � ���1����1�����1

� 1 �� ���1 � 1

�0�0��

l

P

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Elements

Nodes

1 2 3 4 5 6 7 8

���� ����

�*# ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

������ � 3 �� �� � 3� 1

� ����������

� 1 �� �� � 3

����������

� 3 �� �� � 1

�0�0�� ����

��� �� ����� ����� ��� ���������� ���� "� ����� ������� ��������� ���

���1����1� � ��/��1 � �*��1�

������ � ���� � /�/� � �*� ��0�00�

��� �������� ����� ���� � ���������� ��� �� �� �� � ����� � ������������ �� ������ �� ��� ���� ������ ��� ��� ��� ����� ����� �� � � 1� ������ �� ���� � � 1 �� �� �� ����� �� �� �����!������ )0��1+ �� )0�00+ )����� ���� �� � � ��������� � �1���� ���� ������� � ��� ���������� �� ��"� ��� � ���+

���1� ����1� � ����1�1� *�/��1 � /�*��1�

� ����1�����1 � /�/��1 � �*��1�

� ����*�/��1 � /�*��1� � �����/��1 � �*��1� �0�0.�

z

y

gi

ζi–1 ζi

i–2 i–1 i i+2i+1

1

g (ζi–1) g (ζi)

���� ����

� � ��� �� �� ���� ��������� �*&

'� ������ ��� ������� ����� ����� ���1 �� ���� ��� �� ��

���1 ����/*��1

�1

3

��/���1

� ����1���/��1

�/����1

� ���/*��1

�1/��/��1 � 1/����1����1 � 1/����1

��� � ( ��/��1

� 1/��� ����1 � ( ����1��� � 1/��/� � 1/��� ��� � ( ��/

� �� �� ����� ������ ���� ��� ������� �� ��������� ��� ������� ������������ � ��� ����� ����� ���� ������� �� ��� ������� � ����� ����1�����1� ��� �� ���� � ����� ������ ���

����1

�����1

����1

� ����1

����1

��������1

� ���

�������������

�������������

� ���/*��1

/( �1/ �/( �1/�1/ . 1/ (

�/( 1/ /( 1/

�1/ ( 1/ .

�����

�����

����1

����1

������

�����

����� �0�07�

6��������� ���� �� ��� ����� �� ��� ���#��� ����� �� � ������� ���� ��� � ��� ������� � ��� �� ��� ��������� ��� � ���� ��� ���������� ������� � ��� ����� ������ �� �� �������� ��������� ���� � ����������� � ��� ��� ��� ��� ��� ������� �� ���� � $��� 0�1*���� ����� �������� ����� ��

� � � � ���/ �0�.3��� ����� ��� ��� ������� �������� �� ��� �� ��� ������������ � ���� ��1 � 3 �� ��* � 3� ���� ��� � ������ ��� �!��������

l

P

1 2 3

Elements

Nodes

1 2

���� ���

�*' ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

�������� ������ �� ��� ��������� ����� � ��� ����� �������������� ���� ��

��� ��1

� 3������/

� 3���� ��/

� 3���� ��*

� 3 �0�.1�

� ����� �� ��� ������ ���� "� �� ���� �� ��"� ���� �� ����

. 1/ ( 3

1/ (. 3 �1/( 3 1� (

3 �1/ ( .

�����

�����

��1

��/��/��*

�����

������ �*

(���

3

1

3

3

�����

����� � 3 �0�./�

��� ������� � ���� ����� �!����� ��

��1

��/��/��*

�����

����� � �*

(���

�3�1/53�3.***

3

3�1/5

�����

�����

�� ��� �������� �� ������ ��

��/ ��*

(.����0�.*�

���� ���������� ������� ���� ��� ������ �� ��� ��������� ������� �6����<� ��� ���� ���� �!������ ��� ����� ������� ���� ������������ ��� ��� ���� ���� �� �� ��������� �� � ����� ����� �� �� ��� ��������� ����� ������ ���� ���� ������ ����� ��� ��� ��������� �� �� ����� ���� ���� � ������ ���� �� �������� ���

���� ���� � ��� ��������� �� ������ � ������� ��� ������������� �������� ���� ��� ����������� � ��� ����� ������������� ��� ��� ��!������ � ��� ���� �� ��� �� ����� ���� ���"��� ������ ��� ������� � �!����� )0�.1+ ��

/( �1/ /( �1/ 3 3

�1/ . 1/ ( 3 3

�/( 1/ (. 3 �/( �1/�1/ ( 3 1� 1/ (

3 3 �/( 1/ /( 1/

3 3 �1/ ( 1/ .

����������

����������

��1��1

��/��/

��*��*

����������

����������� �*

(���

3

3

1

3

3

3

����������

����������� 3

�0�.(�

� � ��� �� �� ���� ��������� �*�

�� ��� ������ ��1 � 3 �� ��* � 3 �� ��� ����� ��� ���� ������ � ������� �� ��1 �� ��*� ����� ����� ��� ����� ���� ��!����� )0�./+�� ���� ��� ��� �� ������ �� ���� ������ �� ��-����� �� �����

��� ������� � ��� ���� ����� ������� �������� ��� �� ������������� ���� �� �� ��� ���"�� ���� ������ �� � ��������� ��� ��������C �� ��� 1 �� ����� � ���������� ���� + �� ��� *� ���$��� 0�1(���� ������ ������� �������� ���

��1 � 3 �� ��1 � 3 �� ��� 1 �0�.5������ �� �� �� ��� ��� ���� ��� "��� ��� ���� �� ���� � �� ��� ����� )0�.(+ �� ��� ��� ���������� � ��� ���� � �� ��� *� ��� �!��������� �!������ ���

(. 3 �/( �1/3 1� 1/ (

�/( 1/ /( 1/

�1/ ( 1/ .

�����

�����

��/��/

��*��*

�����

������ �*

(���

3

3

1

3

�����

����� � 3 �0�.��

�� ��� ������ �� ���� ����� �!����� ��

��* ��*

*����0�.0�

�� �� ��� �� ��� ���� ���� � �������� ������ � ��� ����� ���������� ���� ��� ��� ��� ��� ���� �������� � ��������� ������ ��������� ��� ����� ����� �� ��� �������� � ��� ��������� �� ��� �������������� � � �� ��� ��������� ��� � ,������� ������� ��� ���� �������� �� ��� ���� ���� ����� ��� �������� ����� �� ������ ���� �������������� �� ���������� ��� ������� ������� �������� ����� ���������� �� �� ���� ���������� � ��� ��������� >�������?>��@

l

P

1 2 3

Elements

Nodes

1 2

���� ���#

�*( ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

������ ���� ��� ������ �� �� �� ������ �� �� �� ������ �� ����� ���� � ���� ��� �� ������� �� � ����� ������� � ����� � ������������ A������ 11 � ���� ��� ��������� �� ���� ��� "��� ��� �� ����� ����� �������� ������� �� ��� ��������� ����� ����� ���������� �� ������� �������� �����

��� ������ �!��"��# �""����� �� �������������� ���� ������� �� ��� ������� �� � �����

���� ��� ��� ����������� ��� ���������� � ��� ����� � ��������� ����������� �� ��� ������� � ��� �� � ���� ���������� ��� ��� ����������� ��� A��������?A��������� ������ � ��� ������ ��5� ��� �� � ��������� ��� � � ��� � ������ ��� �� ���� �� ��� ������� � ������0��� ��������� ������ ��� �������� �� ����� ���������� ������ �� � �� �� ������� ���� �� ���� � $��� 0�15� 6���

��� �� �� ���������� ��� ��� ������� �� ��� ���� ���� � �!��������� ���� � � �/���� �� ���� �� ������� � �� �� � ��� ������ � ���� �������

�� ������ ��� � ��� � ������� � ����� � '���� �� ������� ������ ��� �� �� ������� ����� �����4� ������ �� �!����� )0�07+ ���� �� � ������� ��� �� ��� �������

����������� �������� �� ��� ����� ������ ����� ���� �� ��� ��"���� �

A

B C

l/2

l/2

l/2

Region 2

Region 1

Region 3

Symmetry

Node 1

Node 2

Node 3

Node 4

I1

I2I2

l = 5 m

I =I1

I2= 2·68

P

���� ���&

� � ��� �� �� ���� ��������� �**

��� ���#��� ������ �� �� ������ ��

��� � ���/*�

/( �1/ �/( �1/�1/ . 1/ (

�/( 1/ /( 1/

�1/ ( 1/ .

�����

�����

����1

����1

������

�����

�����

����� ��� �� ��� �������� �� ��� ��� � �� �� �� ��� ���� � ��� ��� ���� ��� �� ��� ����� � ����� �� ���� ������� -����� � ��� ������ 1 �� / �� ��� / �� ���� ���� ��� ����

��� ���� �� � ������ � �������� �� ����� � ������ ���-����� � ��� �������� �� ����@���� � ���� �� % �� ���� ���� ����������� � ����� / �� ��� * �� @��� �� ��� ����� � ����� �������� / �� * �� �� � �� ��� *� ���� �� ���� ��� ���#��� ������� � ��� ����� ������ �� ������� ��� ��������� ������� ����� ����� ����� � ��� ������ �� �

� �� � (��/*

/( �1/ �/( �1/ 3 3 3

�1/ . 1/ ( 3 3 3

�/( 1/ (. 3 �1/ 3 3

�1/ ( 3 1� ( 3 3

3 3 �1/ ( .�1� �� 1/� (�

3 3 3 3 1/� /(� 1/�

3 3 3 3 (� 1/� .�

����������������

����������������

��1

��1

��/

��/

��*

��(

��(

����������������

����������������

����� � � �1��/���� ������� �������� ���

��1 � ��1 � 3 �� �� ��* � 3 �� � �� ��( � 3 �� �

'������ ����� ������� �������� �� �� �� ��� ������ ��� ��� �������� �� ��� �������� � ��� �������� ���� + ��� ������� � �!��������� � �� ��� � ��� �� ����� �� � ��

(��/*

(. 3 �1/ 3

3 1� ( 3

�1/ ( .�1� �� 1/�

3 3 1/� /(�

�����

�����

��/��/��*

��(

�����

������ �

/

3

3

3

1

�����

����� � 3

��� ����� �!����� �� �� ������ �� ���� ��� �������� ����� �� ��������� �� � ����������� �� ������� ������ � ,�

��� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

'� � ��� ���� ��� ����� � � � 3�3331 �� ������� �� ��� ������!����� ����� ��� �������

��( �1

171�70

�*

��1

���� ����� � , � ����� ���� ��� ������� ���#��� � ��� ����@���� � ��� � ��� �� � �� ���� ��� ���� ��� ���� � ��� �������� � ����� ���� ��� ����@���� � ��� ������ ����� �� ��� ����������� ��� ���� �� � �� ���� � ��� ���� �������C �� ���� ���� I��� ���� ������ � � � 3 ����� ����� ��� ����� �!����� ����������� ��������� �� ������ �� ��� �������� �� ������ �� ���� �

��� ��

��( �1

17/

�*

��1

���� ��� ������� �� ����� ����� ������� ���� ��� ��������� �� �������� ���� �� ������� ��� ��������� ������� ����� ��������� ���������� ���� ����� � ��� � ���� � ��� �� � �� � ����� ����� ������� ����� ����� �������� �� ���� � ����� ����� ��� �� ���������� ������� �����"�� ��� ��!���� ���A������ �� ��� ������� � ��� ������ �� � ���� � $��� ��5�

����� ��� ��� ���� � ������ ��5 �� ���� � � /��.� 4� ���� ��������� �� ��� ����� ������� ��

��/��/��*

��(

�����

����� � �*

.��/

�3�31*(3�31*(

�3�35*(3�3(/*

�����

�����

,��� ��� �������� ��( �� ������ � ��� ����@���� � ���� �� ������ � � �(�0 I� ��

��( � 3�3(/*�*

.��/

� 3�3(/*� ��(0� 13( � 5333*

.� /�1� 135 � 1�51� 130� 1*�(7

���� �� ����� ������� ���� ����������� ����� ���������� ���� ���A��������?A��������� ������ ���� ����� �� ��� ������ �� �� ���������� ���� ��� ��������� �

��� � ��� �� �� ���� ����� � ���� ������ ����������� ���

� � ��� �� �� ���� ��������� ���

��������� � � ��� �� �� ������� ��

� �/��

��/�� �/

��/�����1�1� *�/ � /�*� � ����1��� � /�/ � �*�

� ����*�/ � /�*� � �����/ � �*� �������1���� 1/�� � ����1�(� ���

� ������ 1/�� � ����/� ��� ��� ��������� � � ��� %- ��

� �/��

��/�� 1

/�

�/��

��/

�� (

/���*���� 1/�� � ��*�(� ���

� ��(��� 1/�� � ��(�/� ��� �����

� � 3 �� ��� *� � � 1 �� ��� ( �� ���� ��* � ��( � 3�

��� ������ �� ��� ������� �� � � /��. ����� ��� ��������� �� - ��

� �/��

��/� � �

/��/�/�3�35*(� � ��3�3(/*� � �

1*��35��/

��� ����� �� ��� ����� ��� � ��� � ��� %- �� ���� - ��

�� ���(0� 13( � 5333� 11/

1*��35� /�1� 135 � 1�51� 130� 3�.(� 13�*

���� �� ����� ������� ���� ��� ����������� ����� �� ���A��������?A��������� �������� ��� ������ ��5��� �� ������ ���� ��� ����� � ����� ������ �� �� ������ �������

�� ��� ������� � �� ��� ' ��� �����"� �� � ����������� �������� �� �� �� �� �������� � ������� 7� ���� �� ����� � ��� ������ �������� � 6����<� �!����� �� ��� ���� ���� �� �� ��� ����� ������ ������� ���� � ���������� �������� ��������� ,������� ����� ���� ����� ������� ���� �� ��� �� ����� � ��� �� � ����� ����������� ���� ���� ����� �� ������� ��� ����� �� � �������� � ���� ��������� ��� ����� � ��������� ����� ������� ���� ��� "��� ��� �� ������ �� �� ���� �� ������� �������� �������� �� ��� ������ ������ ����� � ��� �� ��

��� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����

)�������� �!���� "�������1� $����� 0�1� ����� � ��� ���� � ���� ������� ���#��� � �,

�� ������� �� ���� ���� ��� ��� �� ���-����� �� � ���� ������������� ���� � �K��� ������ 2�� ��� ����� � ����� ������� ������ � ��������� �� ��� �������� ����� �� ��� ����� ���� �������� �� �� ��������� A� ���� ��� ������ ����������� ��� ����� ��� �� ��� ��������� ������� � 6����<� �!������ �� ��� ���� �����L'�= ����� ����� �� � �(�*73�� � '�������� ����� �� ��(�*.(�� M

/� ��� ��� ���� � $��� 0�10 ��� � ������� ���#��� � �, �� ������ ����� �� /�, �� ��� ����� ���� ��� ��� �� ���-����� �� ����� �� ����������� ���� �� 2�� ��� ����� � ����� �������� ������� � ��������� �� ��� �������� �� ��������� '������� ����� � ��������� ����� ������ �� ������� � �� ������������ �� ��� ���������L'�= 8� ��� ����� ������� � �(�1��1�� � ��������� ����� ������ ���� ��� ��� ��� ���� ��� ��� � �� � �(�/��*�� � �������������� ����� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ��� � �� � �(�1��3�� M

*� ��� ��� ���� � $��� 0�1. �� ���-����� �� � ����������� ����������� �� .K��� ����� �� ��� �� $ ����� �� �� ��� ����������� �� 3 �� ��� �� % ����� �� �������� ��� ��� ��� � ����

A B

q

l

EI

���� ���'

q

l l

EI2EI

���� ����

� � ��� �� �� ���� ��������� ��

������� ���#��� 6�� 2�� ��� ����� � ����� ������ �� ������������ �������� � ��� ��� �� ������� A��� ��� ����� ������ ���� ��� �� ��������� ����� ����� �����L'�= �� ��� ����� ������ �� � �(�*77�3�� � ��� ��� ����������� ����� ������ �� � �(�*(0�.�� M

AB

Q

l

EI

���� ���(

��# ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����