Thermodynamisch_formules_du
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FBM
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chni
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The
rmod
ynam
ik
FormelsammlungTechnische ThermodynamikWärmeübertragung
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
University ofApplied Sciences
HOCHSCHULE ZITTAU/GÖRLITZ (FH) - University of Applied Sciences
FACHBEREICH MASCHINENWESEN Fachgebiet Technische Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Formelsammlung Technische Thermodynamik Wärmeübertragung Seite
Internationales Einheitensystem "SI" Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481) Größen 1/1 Thermische Zustandsgrößen 2/1 Energetische Zustandsgrößen 3/1 Entropie 4/1 Exergie 5/1 Ermittlung von Zustandsgrößen 6/1 Zustandsdiagramme 6/3 Massebilanz 7/1 Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik 8/1 Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik 9/1 Exergiebilanz 10/1 Einfache technische Prozesse 11/1 Wärmeleitung 12/1 Wärmedurchgang 13/1 Konvektiver Wärmeübergang 14/1 Wärmestrahlung 15/1 Wärmeübertrager 16/1 Instationäre Wärmeleitung 17/1
Internationales Einheitensystem “SI“
Größe SI - Einheit empfohlene Einheit
Länge z 1 m 1 m
Zeit τ 1 s 1 s
Masse m 1 kg 1 kg
Molmenge n 1 mol 1 kmol = 1000 mol
Thermodynamische Temperatur T 1K 1K
Kraft F 2kg m1 N 1
s⋅
= 1 kN = 1000 N
Druck p 2
5
N1Pa 1m
1bar 1 10 Pa1bar 100 kPa 0,1MPa
∗
∗
=
= ⋅= =
2
kN1 kPa 1m
1 kPa 0,01 bar∗=
=
Enthalpie H Innere Energie U Exergie E Wärme Q Arbeit W
1 J = 1 Nm
1 kJ = 1 kNm
spezifische Enthalpie h spezifische innere Energie u spezifische Exergie e spezifische Wärme q spezifische Arbeit w
2
2J Nm m1 1 1
kg kg s= =
2
2kJ m1 1000kg s
=
Enthalpiestrom H Exergiestrom E Wärmestrom Q Arbeitsleistung =P W
= =J Nm1 W 1 1s s
kJ kNm1 kW 1 1s s
= =
Spezif. Wärmekapazitäten cp, cv Spezifische Entropie s Spezifische Gaskonstante R
J Nm1 1kg K kg K
=⋅ ⋅
kJ kNm1 1kg K kg K
=⋅ ⋅
Entropiestrom S Wärmekapazitätsstrom C
W J Nm1 1 1K s K s K
= =⋅ ⋅
kW kJ kNm1 1 1K s K s K
= =⋅ ⋅
* in der Technik oft verwendete Einheit bar für Druck
KühlturmWärmever-brauchermit Heizflächen
KernreaktorBrennkammer für Gase
Drosselventil(Druckminder- ventil)
Turbine mitGenerator- Dampfturbine- Gasturbine- Wasserturbine
Pumpe allgemein
Verdichterallgemein
KondensatorMischwärme-übertrager
Kühlmedium
Verdampfer (Kessel)mit Überhitzer
Verdampfer(Kessel)
Wärmeüber-trager alsRekuperatorallgemein(Wärme-tauscher)
Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)
Schaltbilder für weitere Bauelemente (DIN 2481)
Absorber Austreiber (Kocher) Gekoppelte Rektifiziersäule
Rohrleitungen für Schaltungen der Energietechnik (DIN 2481)
Wasser
Luft
Verbrennungsgase
Dampf
Feste Brennstoffe
Brenngase
Heizöl
1/1
Größen Umrechnung Beispiele
spezifische Größe Z: (massebezogen)
Zz =m
pv, u, h, s, c , q, w
Zeitbezogene Größe Z (Strom):
=τ
dZZd Z m z= ⋅
m, n, V, H, Q, W P=
Volumenbezogene Größe Z: ZzV
= z z= ρ ⋅ m, q ρ =
Molare Größe Z: Zz
n= z M z= ⋅ v, h, s, q, w
Flächenbezogene Größe Z: ZzA
= q
Stromdichte: ZzA
= ˆ ˆq , m
Temperatur Maßeinheit Umrechnung Thermodyn. (KELVIN)-Temp.: T T K=
CELSIUS-Temp.: t t C=° t T 273,15C K
= −°
FAHRENHEIT-Temp.: ϑF ϑF F=° F 9 T 459,67F 5 K
ϑ= ⋅ −
°
RANKINE-Temp.: ϑR ϑR R=° R 9 TR 5 K
ϑ= ⋅
°
Temperaturdifferenz: ∆T ∆ ∆T t K= = ∆ ∆T t=
Druck
p d A p= = =d F
1 kPa 0,01 barn ,
Überdruck: ∆p p puüb = - pu - barometrischer Druck der Umgebung
Unterdruck: ∆p p pun u= -
Vakuum: un
u
pVa
p∆
=
1/2
Statischer Druck einer Flüssigkeitssäule
∆ ∆p g zFl FL= ⋅ ⋅ρ ρFl → Dichte der Flüssigkeit
∆z Fl → Höhe der Flüssigkeitssäule
Auftriebskraft
F = g V ( - )A ver ver⋅ ⋅ ρ ρ
Vverρ ver
ρ
FA
g
Vver → Volumen des verdrängenden Körpers (Fluids)
ρver → Dichte des verdrängenden Fluids
ρ → Dichte des Fluids in Umgebung
Normzustand n
pn = 101,325 kPa = 1,01325 bar Tn = 273,15 K
n n nn
1v bei p , T=ρ
des Fluids
2/1
Thermische Zustandsgrößen Spezifisches Volumen v und Dichte ρ
Dichte: ρ =1v
Reales Fluid
v = f (p,T)technische Formulierung
= f (p,T)⎫→⎬
ρ ⎭
z.B. WDT, Stoffwerte
p = f (T,v) → physikalische Formulierung
Realgasfaktor realp vzR T⋅
=⋅
Differenz für Zustandsänderung �
( ) ( )2 1 2 2 1 1v v v p ,T v p ,T− = − v(p,T) z.B. WDT, Stoffwerte
Ideales Gas Zustandsgleichung des idealen Gases:
TRmVp ⋅⋅=⋅
TRvp ⋅=⋅ TRvp ⋅=⋅ TRMvp ⋅⋅=⋅ TRnVp ⋅⋅=⋅
Spezifisches Volumen: pTR=vig ⋅
Dichte: TR
p=ig⋅
ρ Spezifische Gaskonstante eines Stoffes:
MRR=
M Molare Masse des Stoffes→ =mMn
R, M Stoffwerte
Strömendes ideales Gas: TRmVp ⋅⋅=⋅
Differenz für Zustandsänderung �
2 1
2 12 1
T Tv v Rp p⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟⎝ ⎠
2/2
Inkompressible (ideale) Flüssigkeiten und Festkörper
v f Tif nur= ( ) )T(
1)T(vif
if
ρ=
� Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung �
( ) ( )1if
2if
12 TvTvvv −=−
v Tif ( ) Stoffwerte
Näherung
ifv v '(T)=
)T('v � z.B. WDT
Differenz für Zustandsänderung �
( ) ( )1212 T'vT'vvv −=−
)T('v � Stoffwerte
Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten
if
o p ov (T) v 1 (T T )⋅⎡ ⎤= + α −⎣ ⎦
)=( oeff.sdehnungsk VolumenauIsobarer pp βα→α � Stoffwerte (Mittelwert im Temp.-Bereich To ... T)
Berechnung mit Längenausdehnungskoeffizienten
für Länge L >> Querschnitt bei Festkörpern
o lin oL(T) L 1 (T T )= + α ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦
lin Längenausdehnungskoeffizient(Mittelwert im Temp.-Bereich T ... T)o
α →
3/1Energetische Zustandsgrößen Isochore Wärmekapazität Cv Isobare Wärmekapazität Cp
m
Cc v
v = Definition mC
c pp =
v
v Tu:c ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= pp
hc :T∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
Reales Fluid cv = f (T,p) , cv = f (T,v) pc = f (T,p) , cp = f (T,v) z. B. WDT
Ideales Gas
ig 3v 2c R= ⋅ Einatomige Gase ig 5
p 2c R= ⋅
Mehratomige Gase
)T( fcnurig
v = Rcc igv
igp +=
nurigpc f (T)=
Stoffwerte
Berechnung mit Isentropenexponenten κ
Temperaturunabhängige Festwerte als Näherung
Einatomige ideale Gase Zweiatomige ideale Gase Dreiatomige ideale Gase
61,66=κκ =1,4κ =1,3
(exakt) (gute Näherung) z.B. Luft (grobe Näherung)
R1
1cigv ⋅
−κ=
igv
igp cc ⋅κ= R
1cig
p ⋅−κκ
=
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper
)T( fcnurif
v = )T( fcnurif
p = Stoffwerte
Näherung
)T(c'c pifp ≈
z. B. WDT
3/2
Innere Energie U Enthalpie H
Definition
U → Energiegehalt eines Systems Vp+U:H ⋅=
mUu = , umU ⋅= m
Hh = , hmH ⋅=
Reales Fluid
u = f(p,T) , u = f(T,v) h = f (p,T) , h = f(T,v) z. B. WDT
vphu ⋅−=
Differenz für Zustandsänderung
( ) ( )
( ) ( )2 1 2 2 1 1
2 2 2 1 1 1
u u h p ,T h p ,Tp v p ,T p v p ,T
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦⎡ ⎤− ⋅ − ⋅⎣ ⎦
( ) ( )2 1 2 2 1 1h h h p ,T h p ,T− = −
v, h(p,T) z. B. WDT h(p,T) z. B. WDT
3/3
Innere Energie U Enthalpie H
Ideales Gas
uig = f (T) (T)f=hnurig
ig igu h R T= − ⋅
Stoffwerte
igh (T) Stoffwerte
∫+=T
T
igv
igo
ig
o
dT )T(cuu ∫+=T
T
igp
igo
ig
o
dT )T(chh
Differenz für Zustandsänderung
2
1
Tig
2 1 vT
u u c (T)dT− = ∫ 2
1
Tig
2 1 pT
h h c (T)dT− = ∫
( ) ( ) ( )ig ig2 1 2 1 2 1u u h T h T R T T− = − − ⋅ − ( ) ( )ig ig
2 1 2 1h h h T h T− = −
hig (T) Stoffwerte hig (T) Stoffwerte
mit Mittelwerten c bzw. cvmig
pmig = const
O
Tig ig ig
o v oT
u u c (T T )= + − O
Tig ig ig
o p oT
h h c (T T )= + −
O O
T Tig igv p o
T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T
o o
T Tig igv p
T Tc c R= −
o o
T ig igTig ig op p
o oT T
h h1c c (T)dTT T T T
−= ⋅ =
− −∫
Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung
( )ig2 1 vm 2 1u u c T T− = ⋅ − ( )ig
2 1 pm 2 1h h c T T− = ⋅ −
Rcc igpm
igvm −=
2 1
2o o
1
T Tig igp 2 o p 1 oT
T Tig igpm p
2 1T
c (T T ) c (T T )
c = c(T T )
⋅ − − ⋅ −
=−
o
Tigp
Tc Stoffwerte
Näherung für kleine Differenz ( )12 TT − :
( ) ( )2
1
Tig ig ig igpm p p 1 p 2
T
1c = c c T c T2
⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦
cpig (T) Stoffwerte
3/4 Innere Energie U Enthalpie H
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper )T(fh
nurif = Stoffwerte
= + ∫o
Tif if if
o vT
u u c (T) dT = + ∫o
Tif if if
o pT
h h c (T) dT
u h T p v Tif if if= − ⋅( ) ( ) hif
T vif
T( ), ( ) Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung
2
1
Tif
2 1 vT
u u c (T)dT− = ∫ 2
1
Tif
2 1 pT
h h c (T)dT− = ∫
( ) ( )if if
2 1 2 1if if
2 2 1 1
u u h T h T
(p v (T ) p v (T ))
− = −
− ⋅ − ⋅
( ) ( )if if2 1 2 1h h h T h T− = −
hif (T) Stoffwerte
hif
T vif
T( ), ( ) Stoffwerte
mit Mittelwerten ifpm
ifvm c bzw. c = const
O
Tif if if
o v oT
u u c (T T )= + − O
Tif if if
o p oT
h h c (T T )= + −
O O
T Tif ifv p o
T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T
o o
T Tif ifv p
T Tc c R= −
o o
TT if ifif if op p
o oT T
1 h hc c (T)dTT T T T
−= ⋅ =
− −∫
Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung ( )if
2 1 vm 2 1u u c T T− = ⋅ − ( )if2 1 pm 2 1h h c T T− = ⋅ −
2 1
2o o
1
T Tif ifp 2 o p 1 oT
T Tif ifpm p
2 1T
c (T T ) c (T T )
c = c(T T )
⋅ − − ⋅ −
=−
o
Tifp
Tc Stoffwerte
Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :
( ) ( )2
1
Tif if if ifpm p p 1 p 2
T
1c = c c T c T2
⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦ ifpc (T) Stoffwerte
Näherungen
)T('vp)T('huif ⋅−= ifh h'(T)= v',h' z. B. WDT h' z. B. WDT
Differenz für Zustandsänderung
( ) ( )( ) ( )
2 1 2 1
2 2 1 1
u u h' T h' Tp v' T p v' T
− = −⎡ ⎤− ⋅ − ⋅⎣ ⎦
( ) ( )2 1 2 1h h h' T h' T− = −
v',h'(T) z. B. WDT h'(T) z. B. WDT
4/1
Entropie S
spez. Entropie s Sm
= Entropiestrom S m s= ⋅
Reales Fluid ( )s f p T= , z. B. WDT bzw. ( )s f T v= , Differenz für Zustandsänderung
( ) ( )s s s p T s p T2 1 2 2 1 1− = −, ,
( )s f p T= , z. B. WDT
Ideales Gas s f T pig = ( , ) igs f(T,v)=
igTpig ig
ooTo
c (T) ps s dT R lnT p
⎛ ⎞= + − ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
T igig ig v
ooTo
c (T) vs s dT R lnT v
⎛ ⎞= + + ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
igigT
o
ps s R lnp
⎛ ⎞= − ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ mit dT
T)T(c
ssT
T
igpig
oigT
o
∫+=
( )s f TTig = Stoffwerte, berechnet für: K 273,15=T bei 0s o
igo =
Ausnahmen - Wasserdampf: Kkg
kJ 1562,9sigo ⋅=
- Luft: igo
kJs 0,16189 kg K
=⋅
Differenz für Zustandsänderung
( ) ( )s s s T s T RppT
igTig
2 1 2 12
1− = − − ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln
( )s TTig Stoffwerte
mit Mittelwerten igvm
igpm cbzw. c = const:
T
ig ig igo p
o oTo
T ps s c ln R ln T p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tig ig ig
o vo oTo
T vs s c ln R ln T v
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Differenz für Zustandsänderung
s s cTT
Rpppm
ig2 1
2
1
2
1− = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln ln s s c
TT
Rvvvm
ig2 1
2
1
2
1− = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln ln
Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :
⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦
T2ig ig ig igpm p p 1 p 2
T1
1c = c c (T ) c (T )2
c c Rvmig
pmig= −
cpig (T) Stoffwerte
4/2
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper ( )if ifes gilt: v f(T) , h f(T)= =
)p,T( fsif =
( )ififT
pif ifo o
To
dv (T)c (T)s s dT p p
T dT= + − ⋅ −∫ mit dT
T)T(c
ssT
T
ifpif
oifT
o
∫+=
Näherung:
( )if
if ifT o
dv (T)s s p p
dT= − ⋅ −
( )ifs
dv'(T)s s'(T) p p (T)dT
= − ⋅ −
p (T) s'(T), v'(T)s , z. B. WDT
( )s f TTif = Stoffwerte, Tab. 4 für Wasser, berechnet für K 273,15=T bei 0s o
ifo =
( )v f Tif = Stoffwerte Tab. 4 für Wasser
Differenz für Zustandsänderung
( ) ( ) ( ) ( ) ( )if if
2 1if if2 1 T 2 T 1 2 1
2 1
v T v Ts s s T s T p p
T T−
− = − − ⋅ −−
( ) ( )s T v TTif if, Stoffwerte
Näherung:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 2 1 2 1
2 1
v' T v' Ts s s' T s' T p p
T T−
− = − − ⋅ −−
( ) ( )s T v T' , ' z.B. WDT
mit Mittelwert ifpmc = const:
( )⎛ ⎞= + ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
ifTif if if
o p ooTo
dv (T)Ts s c ln p pT dT
Differenz für Zustandsänderung
( )if if
2 1if 22 1 pm 2 1
1 2 1
v (T ) v (T )Ts s c ln p pT T T
−⎛ ⎞− = ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ −⎝ ⎠
ifv (T) Stoffwerte
Näherung für kleine Differenz ( )T T2 1− :
T2if if if if
pm p p 1 p 2T1
1c = c c (T ) c (T )2
⎡ ⎤≈ ⋅ +⎣ ⎦
( )c Tpif Stoffwerte
Sonderfall T=const
( )if if
2 1 2 1v (T T) v (T T)
s s p p(T T) (T T)+ δ − − δ
− = − ⋅ −+ δ − − δ
mit δT = 0,1...1K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
5/1
Exergie E
spezifische Exergie mEe = Exergiestrom E m e= ⋅
Spezifische Exergie (der Enthalpie) bei offenen Systemen:
( ) ( )u uu)h( ssThh:ee −⋅−−=≡
uuuu T,p bei Fluidsenbetreffenddes s,h Differenz für Zustandsänderung ⌫
( ) ( )12 u1212 ssThhee −⋅−−=− Exergie im Stoffstrom - Technische Arbeitsfähigkeit:
( )st 2 st12E m e c g z m e= + + ⋅ = ⋅
mit st 21
2e e c g z= + + ⋅
Spezifische Exergie der inneren Energie e(u) bei geschlossenen Systemen:
( ) ( ) ( )u uu uu)u( vvpssTuu:e −⋅+−⋅−−=
uuuuu T,p bei Fluids enbetreffenddes v,s,u Differenz für Zustandsänderung ⌫
( ) ( )12u12u121)u(2)u( vvpssTuuee −⋅+−⋅−−=−
6/1
Ermittlung von Zustandsgrößen aus Stoffwerttabellen (Wasserdampftafel)
Bezugszustand der Wasserdampftafel: Tripelzustand auf der Siedelinie (tr’)
ooo o o o
u 0s 0 beih u p v 0
=== + ⋅ ≈
oo
3 1o
T 273,16 Kp 0,6112 kPav 0,0010002 m kg−
=== ⋅
Fluide Einphasengebiete (Flüssigkeit, überhitzter Dampf)
p1 p2 p3
0°C . . . t . . . . 800°C
.
. (Flüss.) . . . (überh. Dampf) . .
.
.
. (Flüss.). . . (überh.Dampf).
.
.
.
.
.
. (über- krit. Fluid) .
Werte für v, h, s, cp,
λ, η
⇒ p1
p2
p3
p
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
kr
tr
t (p )s 1 t (p )s 2 t
Trennstrich in Tabelle
überkrit. Fluid
überh. Dampf
Dampfdruck-kurveFlüss.
aus Tabelle für Nassdampfgebiet
Phasengrenzkurven
p ts = f(p) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(p) und cp’, cp’’, λ’, λ’’, η’, η’’ = f(p)
.
.
.
.
.
.
.
.
. sowie
t ps = f(t) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(t) und cp’, cp’’, λ’, λ’’, η’, η’’ = f(t)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
T
T (p)s
s
h
s
h"
h'
s' s"
p
v"
x=0 v'
kr x=1
T (p)s
kr v" p
h"
x=1x=0 v'h'
p
s' s"
6/2
Zustandsgrößen des Zweiphasengemisches Nassdampf Siededruck (Dampfdruck, Sättigungsdruck):Siedetemperatur (Sättigungstemperatur): für beide Phasensp f T
T f ps
==
⎫⎬⎭
( )( )
Anteil siedender Flüssigkeit: m', V' v'=V'm'
→
Anteil trocken gesättigten Dampfes: m", V" v"=V"m"
→
Nassdampfgemisch: m m' m"= +
V V Vx = +' " x
xVv m
→ =
Dampfanteil m" m"xm m' m"
= =+
Dampfvolumenanteil x
V" V"yV V' V"
= =+
xv"vxy ⋅=
spezifisches Volumen: xv v' x (v" v ')= + ⋅ − ρxxv
=1
v' v" f T, ( )= oder = f (p) ↗ z.B. WDT
spezifische Enthalpie: xh h' x (h" h')= + ⋅ − h h r f T' , " , ( )= oder = f (p) ↗z.B. WDT
Verdampfungsenthalpie vr h h'' h'≡ ∆ = − spezifische innere Energie: u h p vx x s x= − ⋅
p f Ts = ( ) ↗ z.B. WDT
spezifische Entropie: xs s' x (s" s')= + ⋅ − s s f (T) oder' , "= = f (p) ↗ z.B. WDT spezifische Exergie: x x u u x ue (h h ) T (s s )= − − ⋅ −
( )h s f p Tu u u u, ,= ↗ z.B. WDT
6/3
c
t Tripel-zustand
p
pc22,064 MPa
kritischer Punkt
überkritisches Fluid
feste Phase Feststoff
Sublimationsdruckkurve psub(T)
Dampfdruckkurve ps(T)
ideales Gas
Tt 273,16 K
Tc 647,096 K
pt0,6117 kPa
T
Schmelzdruckkurven
Wasser
andere Fluide
pmelt(T)
flüssige Phase Flüssigkeit
reales Fluid
Werte von Wasser T
ps(T)
inkom-pressible
Flüssigkeit Gasphase
überhitzter Dampf
p,T-Diagramm mit Berechnungsbereichen
TT
max
T
Zweiphasengemisch flüssig - gasförmig
Flüssigkeit
p,v-Diagramm für Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien
Siedelinie x=0 - Zustand siedender Flüssigkeit
(Zeiger ')
Taulinie x=1 - Zustand trocken gesättigten
Dampfes (Zeiger '')
6/4
T,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
Mollier h,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
T
s
inkompressibleFlüssigkeit
Ts (p)
s'(p) s"(p)
Tc
sc
h' (p)
p max
Ttst' st"
h"(p)
reales Fluid
c
ideales Gas
Tmax
überhitzter Dampfx = 1
x = 0
v = const
v = const
x = 0,
2
p = const
x =
0,4 x = 0,6
x = 0,8
h = const
v chc
pc
h = const
v t"p t
v"(p
)p
= co
nst
p =
cons
t
v =
cons
t
p =
cons
tv
= co
nst
t"t'
Flüssigkeit
NassdampfZweiphasengemisch
flüssig-gasförmig
kritischer Punkt
inkompressibleFlüssigkeit
h
hc
sc s"(p)s'(p)
h"(p)
h'(p)
st' st"
p,T s(p)
v t"
T = const
ideales Gas
NassdampfZweiphasengebietflüssig-gasförmig
c
ht'
p t ,T t
Ts (p)
p = co
nst
überhitzter DampfT c
v = co
nst
p c
Tmax
pmax
v"(p
)
x = 1
x = 0,8
x = 0,
4
v = const
p t ,Tt
x = 0
t'
t"Tt
ht"
in Bild 8.7
Flüssigkeit
kritischer Punkt
7/1
Massebilanz
Instationär: m m dmdzu ab− =∑∑ τ
Sonderfall: ,m m constzu ab = im Zeitraum ∆τ
( )m m m mzu ab− ⋅ = −∑∑ ∆τ 2 1
mit ∆τ = τ2 - τ1
Stationär: m mzu ab= ∑∑ (m = const im System)
Massestrom: m V= ⋅ρ , ρ =1v
Volumenstrom: V c Aq= ⋅ Aq → durchströmte Querschnittsfläche c → mittlere Strömungsgeschwindigkeit über Querschnittsfläche Einfache Mischung von Massen: m m m mzu ab− = −∑∑ 2 1
8/1
Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik
Energiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationäre Energiebilanz: Q WdUd
+ =τ
mit: δ=
τQQ
d, WW P
dδ
≡ =τ
Differentielle Formen
dUWWQ dissV =δ+δ+δ r dissQ V dp W W dHδ + ⋅ + δ + δ = Zustandsänderung von Zeitpunkt bis Form mit innerer Energie Form mit Enthalpie
1212diss12V12 UUWWQ −=++ 2
1
p
12 r12 diss12 2 1p
Q V dp W W H H+ ⋅ + + = −∫
Dissipierte Arbeiten: W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Volumenänderungsarbeit: Zustandsänderung von Zeitpunkt bis
2
1
V
V12 r12V
W p dV W= − ⋅ +∫ V rW p dV Wδ = − ⋅ + δ
Äußere Kolben - Nutzarbeit: (bei pu=const)
( )N12 V12 u 2 1W W p V V= + ⋅ −
pu → barom. Druck in Umgebung d. Kolbens
z2
N1 2 Kz1
W F (z) dz= ∫
FK(z) - Äußere Kolbenkraft in Abhängigkeit von z (positiv in Richtung Volumenverringerung)
z - Ortskoordinate in Richtung Volumenverringerung Sonderfall: Adiabate Mischung 012Q = bei V = const bei p = const
21 UU =∑ 21 HH =∑
8/2
Energiebilanz bei offenen Systemen
Instationäre Energiebilanz: Q W H HdUd
stzust
abst+ + − =∑ ∑ τ
Stationäre Energiebilanz vom Eintritt bis Austritt :
Q P W H Htst
dissst st
12 12 12 2 1+ + = −∑ ∑ Gesamtenthalpieströme:
Eintritt ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12H m h c g z m h= ⋅ + + ⋅ = ⋅
Austritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22H m h c g z m h= ⋅ + + ⋅ = ⋅
Technische Nutzleistung des Fluidstroms:
P W m wtst
tst
tst
12 12 12= = ⋅
Spezifische technische Arbeit des Fluidstroms: ( ) ( )
2
1
pst 2 21
r12 2 1 2 1t12 2p
w v dp w c c g z z= ⋅ + + − + ⋅ −∫
Spezifische innere technische Arbeit: = ⋅ +∫
2
1
p
r12t12p
w v dp w
Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 - stationärer Fließprozeß
( ) ( ) ( )st 2 2112 diss12 2 1 2 1 2 1t12 2Q P W m h h c c g z z⎡ ⎤+ + = ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Differentielle Form: st
t dissq w w dh c dc g dzδ + δ + δ = + ⋅ + ⋅
mit stt rw v dp w c dc g dzδ = ⋅ + δ + ⋅ + ⋅
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen st
2st1 HH =∑
9/1
Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik Definition der Entropie:
Form mit U: dU p dVdS
T+ ⋅
=
Form mit H: dH V dpdS
T− ⋅
=
Entropiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationäre Entropiebilanz: τ
=+ddSSS irr
Q
Differentielle Form: dSSTQ irr =δ+δ
Quasistatische Zustandsänderung vom Zeitpunkt bis :
S S S SQirr
12 12 2 1+ = −
SQTQ12
1
2= ∫
δ → Entropie der Wärme
Sirr12 → Entropieproduktion im System
1 12 2
S m sS m s
= ⋅= ⋅ → Entropie im Fluid
Sonderfall: Adiabate Mischung
irr12 2 1S S S= −∑
9/2
Entropiebilanz bei offenen Systemen
Instationäre Entropiebilanz: S S S SdSdQ zu ab
irr+ − + =∑ ∑ τ
Stationäre Entropiebilanz vom Eintritt zum Austritt :
S S S SQirr
12 12 2 1+ = −∑ ∑
SQTQ12
1
2= ∫
δ → Entropie des Wärmestroms
irr12S → Entropieproduktionsstrom im System
S m s1 1 1= ⋅ → Entropiestrom im Fluidstrom S m s2 2 2= ⋅ Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 stationärer Fließprozeß
( )12irr1212Q ss mSS −⋅=+
Differentielle Form: dssTq irr
2
1=δ+
δ∫
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen
∑−= 12irr12 SSS
10/1
Exergiebilanz Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen Form mit Exergie der inneren Energie:
E W W E E EQ N diss V u u12 12 12 12 2 1+ + − = −( ) ( )
ET T
TQQ
u12
1
2=
−∫ δ
→ Exergie der Wärme
( )12u12V12N VVpWW −⋅+= → Nutzarbeit
2
1
V
V12 r12V
W pdV W= − +∫
→ Volumenänderungsarbeit
W W Wdiss el W12 12 12= + + ... → Dissipierte Arbeiten
irr12u12v STE ⋅=
→ Exergieverlust im System
E m eu u( ) ( )= ⋅ → Stoffgebundene Exergie der inneren Energie
Form mit Exergie der Enthalpie:
2
1
P
Q12 r12 diss12 v12 2 1P
E V dp W W E E E+ ⋅ + + − = −∫
E m e= ⋅ → Stoffgebundene Exergie (der Enthalpie)
10/2
Exergiebilanz bei offenen Systemen
Stationäre Exergiebilanz vom Eintritt bis Austritt :
∑∑ −=−++ st1
st212v12diss
st12t12Q EEEWPE
mit ET T
TQQ
u12
1
2=
−∫ δ → Exergie des Wärmestroms
irr12u12v STE ⋅= → Exergieverluststrom im System
( )st 2 st1
1 1 1 1 1 1 12E m e c g z m e= ⋅ + + ⋅ = ⋅ → Exergie im Stoffstrom am Eintritt
( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22E m e c g z m e= ⋅ + + ⋅ = ⋅ → Exergie im Stoffstrom am Austritt
Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( )m m m= =1 2 stationärer Fließprozeß
( ) ( ) ( )st 2 21Q12 diss12 v12 2 1 1 2 1t12 22E P W E m e e c c g z z⎡ ⎤+ + − = ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Exergetischer Wirkungsgrad: Nutzen
exAufwand
EE
η = ∑∑
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen
∑−=− st1
st212v EEE
10/3
Energieformen als reine Exergie Spez. Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen:
( )12u12vNN vvpwwe −⋅+==
Spez. Technische Arbeit bei offenen Systemen: 2
1
p
t t r12p
e w v dp w= = ⋅ +∫
Spez. Elektrische Arbeit: elel we = Spez. Wellenarbeit: WW we = Spez. kinetische Energie: 21
kin 2e c=
Spez. potentielle Energie: e g zpot = ⋅ Energieformen mit Exergie und Anergie Spez. Exergie (der Enthalpie): - bei offenen Systemen
( ) ( )uuu ssThhe −⋅−−=
Spez. Exergie der inneren Energie: - bei geschlossenen Systemen
( ) ( ) ( )uuuuu)u( vvpssTuue −⋅+−⋅−−=
Spez. Exergie der Wärme: ∫ δ−
=2
1
uq q
TTTe
Energieformen als reine Anergie Spez. Enthalpie bei Umgebungszustand: ( )h f p T hu u u= =, , 0eu = Spez. Innere Energie bei Umgebungszustand: ( )u f p T uu u u= =, , 0e u)u( = Spez. übertragene Wärme bei T=Tu: ( )q T s su12 2 1= ⋅ − , 0)T(e uq = Spez. Volumenänderungsarbeit bei p=pu: ( )w p v vV u12 2 1= ⋅ − , Vw ue (p ) 0=
11/1
Einfache technische Prozesse Drosselentspannung - Näherung: adiabat
constm =
1p1 , T1c1 , z1
p < p2 1
2, T2
c2 , z2
H Hst st2 1=
( )irr2 112S m s s= ⋅ −
( )v12 U 2 1E m T s s= ⋅ ⋅ − , st1
st2
exEE
=η
Sonderfall: c c z z2 1 2 1≈ ≈,
h h2 1=
h = const
h
p p1 2
s s s1 2
h = h2 11 2
v v1 2
Reale Fluide: T2 < T1 falls innerhalb Inversionskurve
T2 > T1 falls außerhalb Inversionskurve
( ) ( )11212 T,psh,p = sss −− z.B. WDT wobei )T,p(fh 11= z.B. WDT
Ideales Gas: T T T2 1= =
s s Rpp
Rvv2 1
2
1
2
1− = − ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ln ln
Ideale Flüss.: T T T2 1= = und v v vif2 1= =
( )if
2 1 2 1dv (T)s s p p
dT− = − ⋅ − wobei
if if ifdv (T) v (T T) v (T T)dT (T T) (T T)
+ δ − − δ≈
+ δ − − δ
mit δT = 0,1...1 K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
mit vifif=1ρ
wobei ρif f T= ( ) Stoffwerte
gute Näherung v v Tif = ' ( ) z.B. WDT
11/2
Verdichtung (Kompression) - Näherung: Verdichter, Pumpe - adiabat
( ) ( ) ( )
( )
st 2 21t12 2 1 2 1 2 12
2 1 2s 1sV
P m h h c c g z z1mit h h h h
⎡ ⎤= ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦= + ⋅ −
η
2 2
mFlüssigkeit Gas
Dampf
Pt12st
adiabat
M M
1 1
Pumpe Verdichter(Kompressor)
m
p2>p1
ηsV Pt12st
1 1 1 2s 2 1Für realesFluid : h = f(p ,T ) , h = f(p ,s ) WDT
( )
( ) ( )
igpm
ig2 1 pm 2 1
2 1 2s 1sV
1
22s 1
1if
2s 1 m 2 1
Für ideales Gas mit c , const :
h h c (T T )1T T (T T )
pmit T Tp
Für ideale Flüss : h h v p p
κ−κ
κ =
− = ⋅ −
= + ⋅ −η
⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠− = ⋅ −
h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte
( )
( )
irr2 112
v12 u 2 1
S m s s
E m T s s
= ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
h p
s s
p
h
hh
s
w w
2
1 2
1
1
2
2s
t12s t12
1
s12irr
2s2
Isentroper Verdichtergütegrad (innerer Wirkungsgrad)
ηsVt s
t
sww
h hh h
= =−
−12
12
2 1
2 1
Sonderfälle: Für Ideales Gas mit c constpmig =
oder Ideale Flüss. mit c constpm
if = :
ηsVsT T
T T=
−−
2 1
2 1
Näherung: adiabate reversible Verdichtung → s=const
→ 2 = 2s
→
ηsV
t t s sw w h h== = −1
12 12 2 1
11/3
Turbinenentspannung (-expansion) - Näherung: Turbine adiabat Gasturbine Dampfturbine Wasserturbine
( ) ( ) ( )( )
⎡ ⎤= ⋅ − + − + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦= + η ⋅ −
st 2 21t12 2 1 2 1 2 12
2 1 sT 2s 1
P m h h c c g z z
mit h h h h
1
2adiabat
G
-Pt12st
ηsT
m
Für reales Fluid h f p T h f p ss: ( , ), ( , )1 1 1 2 2 1= = WDT
( )
( ) ( )
1
igpm
ig2 1 pm 2 1
2 1 sT 2s 1
22s 1
1
if2s 1 m 2 1
Für ideales Gas mit c , const :
h h c (T T)T T (T T)
pmit T Tp
Für ideale Flüss: h h v p p
κ−κ
κ =
− = ⋅ −= + η ⋅ −
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
− = ⋅ −
h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte
( )
( )
irr2 112
v12 u 2 1
S m s s
E m T s s
= ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
s s s1 2
p1 p2
h
hh
h1
2
2s
-wt12
2
1
2s
-wt12s
s12irr
Isentroper Turbinengütegrad (innerer Turbinenwirkungsgrad)
2 1t12sT
t12s 2s 1
h hww h h
−η = =
−
Sonderfälle: Für Ideales Gas mit c constpmig =
oder
Ideale Flüss. mit c constpmif = :
ηsTs
T TT T
=−−
2 1
2 1
Näherung: adiabate reversible Entspannung → s=const
→ 2 = 2s
→
ηsT
t t s sw w h h== = −1
12 12 2 1
11/4
Reversible Zustandsänderungen idealer Gase von nach für cp, cv, κ = const
p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v⋅ = ⋅ =−
⋅ =−
⋅ = ⋅ = +, , , ,κ
κ κκ
11
1
vv2
1=
pp
2
1=
TT
2
1= u u2 1− = h h2 1− = s s2 1− =
Isochore v constpT
const=
=
vv2
11= p
pTT
2
1
2
1=
TT
pp
2
1
2
1=
( )u u c T Tv2 1 2 1− = −
( )h h c T Tp2 1 2 1− = −
s s c
TTv2 12
1− = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln
Isobare p constvT
const=
=vv
TT
2
1
2
1=
pp
2
11=
TT
vv
2
1
2
1=
( )u u c T Tv2 1 2 1− = −
( )h h c T Tp2 1 2 1− = −
s s c
TTp2 12
1− = ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ln
Isotherme T const
p v const=
⋅ =vv
pp
2
1
1
2=
pp
vv
2
1
1
2=
TT2
11= u u2 1 0− = h h2 1 0− =
s s Rpp
s s Rvv
2 12
1
2 12
1
− = − ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− = ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ln
ln
Isentrope s const
p v const=
⋅ =κvv
pp
vv
TT
2
1
1
2
1
2
1
1
2
11
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
κ
κ
pp
TT
pp
vv
2
1
2
1
1
2
1
1
2
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−κκ
κ
TT
pp
TT
vv
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
−
κκ
κ
( )u u c T Tv2 1 2 1− = −
( )h h c T Tp2 1 2 1− = −
s s2 1 0− =
Polytrope
p v constn⋅ = vv
pp
vv
TT
n
n
2
1
1
2
1
2
1
1
2
11
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
pp
TT
pp
vv
nn
n
2
1
2
1
1
2
1
1
2
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
TT
pp
TT
vv
nn
n
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
−
( )u u c T Tv2 1 2 1− = −
( )h h c T Tp2 1 2 1− = −
2 1
2v
1
s s
Tn c lnn 1 T
− =
⎛ ⎞− κ= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
11/5
Reversible Prozesse idealer Gase von nach für cp, cv, κ = const
p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v⋅ = ⋅ =−
⋅ =−
⋅ = ⋅ = +, , , ,κ
κ κκ
11
1
q12 = wv12 = (bei geschl. Systemen) wt12 = (bei stat. off. Systemen) Isochore
v const pT const= =, ( )q c T Tv12 2 1= −
w v12 0= ( ) ( )w v p p R T Tt12 2 1 2 1= − = −
Isobare p const v
T const= =,
( )q c T Tp12 2 1= −
( ) ( )w p v v R T Tv12 2 1 2 1= − − = − − w t12 0=
Isotherme T const
p v const=
⋅ =q w wv t12 12 12= − = − w w q R T v
vR T p
pp v p vv t12 12 12
2
1
2
11 1 2 2= = − = − ⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ ⋅ = ⋅ln ln mit: R T =
Isentrope s const
p v const=
⋅ =κq12 0= ( ) ( )w c T T R T Tv v12 2 1 2 11
= − =−
−κ
11 2
v121
R T pw 1
1 p
κ−κ
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⎢ ⎥
= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟κ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
wR T v
vv121 1
2
1
11=
⋅
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−
κ
κ
mit: R⋅ = ⋅T p v1 1 1
w wv t12 121
=κ
( ) ( )w c T T R T Tt p12 2 1 2 11= − = ⋅
−−
κκ
12
t12 11
pw R T 1
1 p
κ−κ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥κ
= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟κ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
w R Tvvt12 1
1
2
1
11=
−⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−κ
κ
κ
mit: R⋅ = ⋅T p v1 1 1
w wt v12 12= ⋅κ
Polytrope p v constn⋅ =
( )( )
( )
q c T T w
q c T T w
q nn
R T T
v v
p t
12 2 1 12
12 2 1 12
12 2 11 1
= − −
= − −
=−
− −⋅ ⋅ −
( )( )( )
κκ
n 1n1 2
v121
R T pw 1
n 1 p
−⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⎢ ⎥
= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
wR Tn
vvv
n
121 1
2
1
11=
⋅
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−
mit: R T p v⋅ = ⋅1 1 1
( )wR
nT T w
nwv v t12 2 1 12 121
1=
- − =
n 1n2
t12 11
pnw R T 1n 1 p
−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥
= ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
wn
nR T
vvt
n
12 11
2
1
11=
−⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−
mit: R T p v⋅ = ⋅1 1 1
( )w R nn
w n wt t v12 12 121= ⋅
−− = ⋅T T2 1
12/1
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen (λ=const) Gleichung des Temperaturfeldes: divgrad t = 0
Wärmestromdichte: (Betrag)
q grad t= − λ ⋅ AQq =
Wärmestrom durch Wand:
tQRλ
λλ
∆= wi wat t tλ∆ = −
Wärmeleit- widerstand: R
Amλ
δλ
=⋅
δ - Wanddicke - mittlere vom Wärmestrom
durchdrungene FlächeAm
Ebene Wand:
=dtgrad tdx
xi xax
t δ
λ
Q
Q
A
Ai
twi
twitwatwa
t x)Eb(
a
δ = −x xa i
Temperaturverlauf (linear)
( ) ( )t x) t t t
x xEbwi wi wa
i( = − − ⋅−δ
Ebm i aA a b A A A const= ⋅ = = = =
(a, b – Abmessungen der Wand)
→ Näherung für wandartige Gebilde
Zylinderwand:
RohrwandHohlzylindermit Länge l
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=dtgrad tdr
rir
t δ
λQ
Q
A
Ai a
twi
twitwatwa
i
a
ra
t rZyl( )
( )1a i a i2r r d dδ = − = −
Temperaturverlauf (logarithmisch)
( )t r t t t
rrrr
Zylwi wi wa
i
ai
( )ln
ln= − − ⋅
⎛⎝⎜⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( )− −= π ⋅ ⋅ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a iZyl a im
a ai i
d d A AA ld Aln lnd A
→Näherung für kanalartige Gebilde bei AA
a
i< 3
Kugelwand:
=dtgrad tdr
i aλ
δ
Kug t(r)
ri r
t
ra
twi twa
twa twi
Ai
Aa Q
Q
( )1a i a i2r r d dδ = − = −
Temperaturverlauf (hyperbolisch)
( )t r t t tr r
r r
Kugwi wi wa
i
i a
( ) = − − ⋅−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1
1 1
( )Kug a im a i
i a
d dA A A
1 1d d
−= π = ⋅
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
→Näherung für geschlossene Gefäße bei AA
a
i< 3
(logarith-misches Mittel)
(geomet-risches Mittel)
13/1
Eindimensionaler stationärer Wärmedurchgang (λ , α = const)
x = x1
t
λ
Q
A , A
i a
i ax2
αa
k
, α i
Aλ
Bλ
C
tFtW
tW
Am Am Am
i x3 x = x4a
t F
tW = tW
2
3
B CA
a 4
a
itW = t Wi 1
x
Sonderfall: Ebene Wand A A A A consti m aj
= = = = (j = A, B, C)
Wärmestrom:
k
kk R
tQ ∆= k F Fi at t t∆ = −
Wärmedurchgangswiderstand R R R Rk
ji j a
= + +∑α λ α (j = A,B,C)
iiaak Ak
1Ak
1R⋅
=⋅
=
ka - Wärmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Fläche Aa ki - Wärmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Fläche Ai
Wärmeübergangswiderstände RAi i i
α α=
⋅1
RAa a a
α α=
⋅1
α - Wärmeüber-
gangskoeffizient
Wärmeleitwiderstand der Schicht j (j = A, B, C) R
Aj
j
j m jλ
δ
λ=
⋅
Kontinuitätsgleichung des stationären Wärmestroms:
Q Q Q Q Qk i j a= = = =α λ α
i j akk i j a
k i j a
t t ttQ , Q , Q , QR R R R
α λ αα λ α
α λ α
∆ ∆ ∆∆= = = =
13/2
Verallgemeinerung:
thRtQ ∆
= Rth - thermischer Widerstand zwischen den Temperaturen von ∆t
Berechnung des thermischen Widerstandes:
α
i a
a
F
αi
λ1
λ6
λ2
λ3
λ4
λ5
t Fit
aQ.
Näherung für Vernachlässigung der W-Ströme quer:
R R R R R Rth i a= + + + +
−α λ λ λ α1 2 5 6 (Reihenschaltung)
1 1 1 1 1
2 5 2 3 4 5R R R R Rλ λ λ λ λ−
= + + +
(Parallelschaltung) Wärmedurchgang bei aneinander vorbeifließenden Fluiden (durch Wand getrennt)
aGl
i
Geg0
A
k
ia
am.
m.
Q.
m.
Gl - Fluide im Gleichstrom Geg - Fluide im Gegenstrom
Temperaturschaubild
k
i
Weg
t
Wand Glk∆t
Gegk∆t
Glk∆t
Gegk∆t
00 A
A
A0
i
a
m.
aGegm
.aGlm
.
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen mi und ma von 0 bis A :
A
0
A0
k
k
kkmk
tt
ln
ttt
∆
∆
∆−∆=∆ ai0 FFk ttt −=∆
0
aiA FFk ttt −=∆ A
Hinweis: Unterschied ob Gleich- oder Gegenströmer
Wärmestrom k
mk
k RtQ ∆
=
14/1
Konvektiver Wärmeübergang Wärmestrom (NEWTONsches Wärmeübergangsgesetz)
αα ∆⋅⋅α= tAQ
F W F W1 2
F W1
F W2
t t t tt
t tln
t t
α− − −
∆ =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
tF ändert sich von tF1 auf tF2,
bei Mittelwert tW
mF Wt t tα∆ = − bei Mittelwerten für Fluidtemperatur m
Ft und Wandtemperatur tW
Wärmeüber- gangskoeffizient: α
λ= ⋅Nu
lchar
λ bei tst
Nu - Nußelt-Zahl lchar - charakteristische Länge für jeweilige Geometrie
Fluid
Reynolds -Zahl: Re =⋅c lcharν
ν bei tst
λ - Wärmeleitkoeffizient c - Geschwindigkeit
ν - kinematische Viskosität νηρ
=
η - dynamische Zähigkeit
Prandtl -Zahl: Pr = =⋅ν η
λacp
η, cp, λ bei tst
ρ - Dichte ρ =1v
a - Temperaturleitkoeff. acp
=⋅λ
ρ
Grashof -Zahl: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∆⋅⋅⋅β
ν= αtlg1Gr 3
char2
ν, β bei tst
β - isobarer Volumenausdehnungskoeffizient
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
α=β
β
toffwerteS
Flüss. für )T(
Gase ideale für T1=
stpst
Stoffwerte bei Stoffwert- Temperatur tst Korrekturfaktor für Temperatur-Abhängigkeit der Stoffwerte – falls in Nu-Glg. angegeben Gase: KT =
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10 14
Flüssigkeiten KTW
:,
ηη
ηη
−−
Dyn. Zähigkeit des Fluids bei Stoffwerttemp. tDyn. Zähigkeit des Fluids bei Wandtemp. t
st
WW
g - Erdbeschleunigung
14/2
Freie Konvektion ⇒ Nu = f (Gr,Pr) Platten, Zylinder, Kugeln F WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −
Nu Gr Gr KT= ⋅ ⋅ + ⋅⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥⋅011
13 0 1, ( Pr) ( Pr) ,
( )t t tst F W= +12
gültig für Pr , , ( Pr)> ≤ ⋅ ≤−0 5 10 107 12Gr lchar = Höhe bei senkrechten Wänden und Rohren lchar = Außendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln lchar = kleinere Seitenlänge bei waagerechter Platte Enge Spalte
2 1W WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −
Nuk Grm Gr
n= +
⋅ ⋅+ ⋅
1( Pr)
( Pr) ( )t t tst W W= +0 51 2
,
gültig für Pr , , ( Pr)> ≤ ⋅ ≤0 5 1700 108Gr
Nu = 1 für (Gr Pr) <1700⋅
t tW W1 2, - Temperaturen der
Spaltoberflächen
k
m
n t W1
t W2
δ
qδ
q
t W1 t W2
δq
t W1 t W2
q t W1
t W2
δ
q
A B
CD
E
A B C D E
0,07 0,0236 0,119 0,025 0,043
3200 10100 14500 13000 4100
1,333 1,393 1,27 1,36 1,36
lchar = δ (Spaltbreite)
14/3
Erzwungene Konvektion ⇒ Nu = f (Re,Pr)
Strömung in Rohren α− − −
= α ⋅ ⋅⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
F W F W1 2
F W1
F W2
t t t tQ A
t tln
t t
bzw. mF WQ A t tα = α ⋅ ⋅ −
A - durchströmteQuerschnittsfläche
U - benetzter Umfangq
q
Sonderfall: Kreisrohr d dgl i=
tW - mittlere Wandtemperatur tF1 - Eintrittstemperatur Fluid tF2 - Austrittstemperatur Fluid L - Rohrlänge
Laminare Strömung bei Re < 2300
Nu
dL
dL
K
gl
glT= +
⋅ ⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⋅ ⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
⋅3 660 0677
1 01
133
0,83,, Re Pr
, Pr Re
,
( )= +
=
1st F F1 22
mst F
t t t
bzw. t t (Mittelwert)
gültig für: 6,0Pr,32
Lgld
PrRe >>⋅⋅ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Turbulente Strömung bei Re 2300≥
( ) ( )NudL
KglT= − ⋅ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅ −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅0 0235 230 1 18 0 80,8 0,3
23
, Re , Pr , ( )1 2
1st F F2
mst F
t t t
bzw. t t (Mittelwert)
= +
=
gültig für: L 6 31 , 2300 Re 10 , 0,6 Pr 10
dgl> ≤ < < <
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Strömung entlang ebener Wände (Platten) F1 WQ A t tα = α ⋅ ⋅ − lchar - Länge der Wand (Platte) in Strömungsrichtung tF1 - Anströmtemperatur des Fluids, tW – mittlere Wandtemperatur
Laminare Grenzschicht bei Re < 3,5 10 5⋅
Nu KT= ⋅ ⋅ ⋅0 66412
13, Re Pr
( )F1 W1
st 2t t t= +
gültig für: Pr > 0,6
Turbulente Grenzschicht bei Re 3,5 105≥ ⋅
Nu KT= ⋅ ⋅ ⋅0 037 0 8 0 43, Re Pr, ,
1Fst tt =
gültig für: 0,6 ≤ Pr ≤ 100
glchar dl = dA
Uglq
q=
4 mFt - mittlere Fluidtemperatur
15/1
Wärmestrahlung
Strahlungskoeffizient: C Cs= ⋅ε
ε = a ε - Emissionsverhältnis a - Absorptionskoeffizient
8
s s 2 4WC 10 5,67051
m K= σ ⋅ =
⋅ - Strahlungskoeffizient des Schwarzen Strahlers
Emittierter Energiestrom: E C AT
= ⋅ ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
100
4
Wärmestrom durch Strahlung
Q C AT T
12 12 11
42
4
100 100= ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
a) Sich umhüllende Körper ( innerer Körper)
⇒1 2Q12
1
C
CAA C Cs
12
1
1
2 2
11 1 1
=
+ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
b) unendlich großer Raum
Q12
21
bei: A2 >> ⇒ =AAA1
1
20
C C12 1=
c) und unendlich große parallele Wände
⇒Q12
21
bei: A2 ≈ ⇒ =AAA1
1
21
falls Abstand viel kleiner als Abmessungen der Wände
s21
12
C1
C1
C1
1C−+
=
15/2
d) Berechnung mit Einstrahlzahl
.1
2Q12
⎟⎟⎠
⎞−⎜⎜
⎝
⎛⋅+
⋅ϕ+−
=
s22
1
s12s1 C1
C1
AA
C1
C1
C1
1C12
ϕ12 −Einstrahlzahl Diagramme für bestimmte Geometrien
Reziprozitätsbeziehung: ϕ ϕ12 1 21 2⋅ = ⋅A A Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung
1 U2Q12
αStr C
T T
T T= ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
12
14
24
1 2
100 100( )
Strahlungsschirm Strahlungs-
schirm (Sch)
3 1
Sch12Q
3
sch12 13 32Q Q Q= =
4 4
Sch 1 212
1 13 3 32
T T1Q 1 1 100 100A C A C
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⎣ ⎦⋅ ⋅
T C AT
C AT
C A C A3
4 13 11
4
32 32
4
13 1 32 3100100 100⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⋅ ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ + ⋅
16/1
Rekuperatoren (Wärmetauscher)
Festlegungen:
H - Heizmedium → gibt Wärme ab K - Kühlmedium → nimmt Wärme auf
1 - jeweils Eintritt von H und K 2 - jeweils Austritt von H und K
0 - Eintritt Heizmedium (a = 0) A - Austritt Heizmedium (a = A)
a - laufende Heizfläche (a = 0 ... A) A – Heizfläche des Wärmeübertragers
Wärmekapazitätsstrom: pC m c= ⋅
Q k A tj j HKm= ⋅ ⋅ ∆
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen Heiz- und Kühlmedium:
0 A
m HK HKHK 0
HKAHK
t tt
tln
t
∆ − ∆∆ =
⎛ ⎞∆⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠
Gleichstrom: 1K1H0HK ttt −=∆
2K2HAHK ttt −=∆
Gegenstrom: 2K1H0HK ttt −=∆
∆t t tHKA
H K= −2 1
Sonderfall bei Gegenstrom und KH CC = :
m 0 AHK HK HKt t t∆ = ∆ = ∆
Q C tH H= ⋅ ∆ ∆t t t C m cH H H H H pH= − = ⋅1 2 , , H2 H1
o o
t t
pH H2 o pH H1 ot tH2 H1
pHH2 H1 H2 H1
c (t t ) c (t t )h hct t (t t )
⋅ − − ⋅ −−
= =− −
to – Bezugstemperatur für Enthalpie
Näherung: 1pH p H1 p H22c c (t ) c (t )⎡ ⎤≈ +⎣ ⎦ Stoffwerte
Q C tK K= ⋅ ∆ ∆t t t C m cK K K K K pK= − = ⋅2 1 , , K2 K1
o o
t t
pK K2 o pK K1 ot tK2 K1
pKK2 K1 K2 K1
c (t t ) c (t t )h hct t (t t )
⋅ − − ⋅ −−
= =− −
to – Bezugstemperatur für Enthalpie
Näherung: 1pK p K1 p K22c c (t ) c (t )⎡ ⎤≈ +⎣ ⎦ Stoffwerte
j – Flächenbezug j = i – Innenfläche j = a - Außenfläche
16/2
( )H H1 K1Q C t t= Φ ⋅ ⋅ −
( )Betriebscharakteristik t
tH
H1Φ
∆:=
− tK1
j j H
H K
k A Cf ;C C⋅⎛ ⎞
Φ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
mit k A
Ct
t
CC
tt
j j
H
H
HKm
H
K
K
H
⋅= =;
∆
∆
∆∆
Sonderfall: Verdampfer → ∆tK = 0
( )1K2KK hhmQ −⋅= , CC
H
K= 0
Sonderfall: Kondensator → ∆tH = 0
( )2H1HH hhmQ −⋅= , K
H
C 0C
=
( ) Φ⋅−⋅= 1K1HK ttCQ , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⋅=Φ 0
CC;
CAk
fH
K
K
jj , ( )1K1H
Ktt
t:−∆
=Φ
j – Flächenbezug j = i – Innenfläche j = a - Außenfläche
Diagramme für - Gleichströmer - Gegenströmer - Kreuzströmer
17/1
Instationäre Wärmeleitung
Zu- bzw. abgeführte Wärme
[ ]omp t)(tcV)(Q −τ⋅⋅⋅ρ=τ
tm(τ) - Mitteltemperatur des Körpers nach Zeit τ Quasistatische instationäre Wärmeleitung Näherung für langsame Erwärmung bzw. Abkühlung von kleinen Körpern mit guten Wärmeleiteigenschaften
Mitteltemperatur tm im gesamten Körper gleich groß
Anfangstemperatur tim gesamten Körpergleich
o
Eintauchen in Fluid zur Zeit τ = 0
α
Mittlere Temperatur im Körperverändert sich mit Zeit τ
t = f (τ)m
Körper mit- Masse m- Oberfäche A
p- c
Fluid mit Temperatur t = constF
o
Definition: Normierte Mitteltemperatur
Fo
Fmm tt
tt−−
=ϑ
Normierte Mitteltemperatur als Funktion der Zeit: m
p
A( ) expm c
⎧ ⎫α ⋅⎪ ⎪ϑ τ = − ⋅ τ⎨ ⎬⋅⎪ ⎪⎩ ⎭
17/2
Analytische Lösung nach Gröber für symmetrische Bedingungen
Anfangstemperatur tim gesamten Körpergleich
o
Eintauchen in Fluid zur Zeit τ = 0
α
Temperatur im Kern t = f (τ)K
Körper mit
- geometrische Länge L
Fluid mit Temperatur t = constF
geo
Temperatur an Oberfläche t = f (τ)W
Mitteltemperatur t = f (τ)m
p- m, c ,λ
o
Funktionaler Zusammenhang
Temperatur Zeit Stoffwerte
Fo
FKK tt
tt−−
=ϑ
Fo
FWW tt
tt−−
=ϑ
Fo
Fmm tt
tt−−
=ϑ
Normierte Temperatur
2geo
aFoL
= τ ⋅
Fourier-Zahl
mit: acp
=⋅λ
ρ
λ⋅α= geoL
Bi
Biot-Zahl
bei tW bekannt: Bi = ∞ und Berechnung für tF = tW
im Diagramm für
• Unendliche ebene Wand (Platte) Lgeo =δ2
; δ - Wanddicke
• Unendlich langer Zylinder Ld
geo =2
; d - Durchmesser
• Vollkugel Ld
geo =2
; d - Durchmesser
17/3
Näherungen für weitere Geometrien:
Plattenähnliche Gebilde LVAgeo ≈
Zylinderähnliche Gebilde LVAgeo ≈ ⋅2
V - Volumen A - Oberfläche
Kugelähnliche Gebilde LVAgeo ≈ ⋅3
Superpositionsprinzip
ϑ ϑ ϑ ϑ= ⋅ ⋅x y z Beispiel: Endlicher Zylinder als Überlagerung von:
unendlich große Platte
(Pl) unendlich
langer Zylinder (Zyl)
d
δ
δ
Temperatur an Stelle : ϑ = ϑ ϑKPl
KZyl⋅
: ϑ = ϑ ϑKPl
WZyl⋅
: ϑ = ϑ ϑWPl
WZyl⋅
: ϑ = ϑ ϑWPl
KZyl⋅