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AIDE-MMOIRE DE THERMODYNAMIQUErappels de cours et exercices

Didier Descamps

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Didier

Descam

p.

AIDE-MMOIRE DETHERMODYNAMIQUE

Arts et Mtiers ParisTech ENSAM centre de LilleDidier Descamps [email protected]

25 fvrier 2009

1 Introduction 51.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Systme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Variable thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Diffrents tats de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Thermomtrie 82.1 Principe zro de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Systme deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Systme trois corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Choix dun thermomtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Quelques thermomtres industriels . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Calorimtrie 11

4 volutions et travaux 134.1 Quelques dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.1 Transformation isobare . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.1.2 Transformation isochore . . . . . . . . . . . . . . . . 134.1.3 Transformation isotherme . . . . . . . . . . . . . . . 134.1.4 Transformation adiabatique . . . . . . . . . . . . . . 134.1.5 Transformations rversible et irrversible . . . . . . .144.1.6 Cycle thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Systme ferm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

4.2.1 Travail en vase clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.2 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Systme ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3.1 Cas dune volution rversible . . . . . . . . . . . . . 164.3.2 Cas dune volution irrversible . . . . . . . . . . . . 184.3.3 Rpartition des travaux dans une machine . . . . . . . 184.3.4 quations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Premier principe 205.1 Systme en vase clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Systme ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Deuxime principe 246.1 noncs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.3 chelle thermodynamique des tempratures . . . . . . . . . . 27

6.3.1 Cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3.2 chelle thermodynamique et rendement de Carnot . . 28

7 Entropie 307.1 Cycle de Carnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2 Dnition de lentropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.2.1 Transformation rversible . . . . . . . . . . . . . . . 317.2.2 Transformation irrversible . . . . . . . . . . . . . . . 327.2.3 Troisime principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2.4 quations de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8 Gaz parfaits 348.1 Loi dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Limites du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.3 Cfcients calorimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.4 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9 Transformations des gaz parfaits 389.1 Isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.2 Isobare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.3 Isochore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.4 Isenthalpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.5 Adiabatique rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.6 Polytropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

9.6.1 Compression rversible refroidie . . . . . . . . . . . . 42

D. Descamps, ENSAM Lille 2 A IDE-MMOIRE DE THERMODYNAMIQUE

9.6.2 Compression irrversible . . . . . . . . . . . . . . . . 439.6.3 Dtente irrversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9.7 Adiabatique avec transfert de masse . . . . . . . . . . . . . . 439.7.1 Temprature totale, enthalpie totale . . . . . . . . . . 449.7.2 Pression totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10 Gaz parfaits et diagrammes 4610.1 Diagramme de Clapeyron(p,v) . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10.1.1 Reprsentation des principales transformations . .. . 4710.1.2 Reprsentation des travaux . . . . . . . . . . . . . . . 47

10.2 Diagramme entropique (T ;s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.3 Compressions dans (T ;s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10.3.1 Isotherme rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.3.2 Adiabatique rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.3.3 Polytropique rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.3.4 Polytropique irrversible . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.3.5 Compressions tages . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10.4 Dtentes dans (T ;s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.4.1 Dtente rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.4.2 Dtente irrversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.5 Quelques autres diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11 Fluides rels 5911.1 Espace(T,v,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.2 Diagramme entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6111.3 Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.3.1 Tables de vapeur sature . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.3.2 Tables de vapeur surchauffe . . . . . . . . . . . . . . 64

11.4 Chaleurs massiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12 Rendements 6512.1 Compressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12.1.1 Compressions refroidies . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.1.2 Compressions adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . 66

12.2 Dtentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.3 Cycles de conversion dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

12.3.1 Moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.3.2 Thermopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


13 Exergie et anergie 6913.1 Prsentation gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7013.2 Cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7013.3 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7113.4 Reprsentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.5 Rendements exergtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.5.1 Compressions et dtentes . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.5.2 changes de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.5.3 Cycles de conversion dnergie . . . . . . . . . . . . 75

14 Mlanges de uides 7714.1 Mlanges de gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7714.2 Air humide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

14.2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7814.2.2 Compressions et dtentes de lair humide . . . . . . . 79

15 Exemples et exercices 8115.1 Thermomtrie & calorimtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

15.1.1 Chaleur massique dun mtal . . . . . . . . . . . . . . 8115.1.2 Frein hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.2 Premier et deuxime principes . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.2.1 changes de chaleur et entropie . . . . . . . . . . . . 82

15.3 Gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.3.1 Constantes de lair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.3.2 volution en vase clos . . . . . . . . . . . . . . . . . 8415.3.3 Compression adiabatique rversible . . . . . . . . . . 8515.3.4 coulements grande vitesse. . . . . . . . . . . . . . 86

15.4 Fluides rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8715.4.1 tude dune chaudire . . . . . . . . . . . . . . . . . 8715.4.2 Dtente de vapeur deau . . . . . . . . . . . . . . . . 8715.4.3 Compressions dun uide frigorigne . . . . . . . . . 8915.4.4 Dtente par laminage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

15.5 Exergie et anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9115.5.1 Compression polytropique rversible . . . . . . . . . 9115.5.2 Compression polytropique irrversible . . . . . . . . . 9315.5.3 Chauffage dun uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

16 Bibliographie sommaire 95


1 Introduction

Lune de raison pour laquelle la vie est complexe, est quelle a une

partie relle, et une partie imaginaire.

Andrew Koenig.

1.1 Gnralits

Ce papier na pas pour ambition de remplacer un cours, mais simplementdaider le lecteur se rafrachir la mmoire aprs ou longtemps aprs le cours.La bibliographie est abondante et on ne lit jamais assez1.

La thermodynamique, tymologiquement la force du feu , est ne avecla rvolution industrielle et la machine vapeur au dbut duXIX mesicle. cette poque, utiliser la puissance du feu pour remplacer le travail musculairede lhomme ou de lanimal tait et juste titre considr comme un progrstechnique fondamental2. Elle est devenue une des bases de la physique et dela mcanique, elle a apport sa contribution au dveloppement de la physiquemoderne (mcanique quantique, astrophysique, cosmologie,. . . ), et continueelle-mme se dvelopper3.

La thermodynamique a pour objet essentiel ltude des diffrents tats dela matire, et des changes de travail et de chaleur entre corps. Elle est donc encontinuit avec la mcanique des uides et ltude des transferts thermiques.Dans ce sens restrictif elle aurait pu tout aussi bien tre appele thermom-canique . La thermodynamique prcise le sens des changes nergtiques.Avec elle apparat dans la physique la che du temps inconnue de la m-canique rationnelle.

Il existe une approchemicroscopiquede la thermodynamique qui inter-prte les diffrentes variables dun corps (temprature, pression, viscosit,. . . )comme le rsultat statistique du comportement des atomes oumolcules con-stituant ce corps (chocs sur les parois, entre particules, vitesses moyennes,. . . ).Cette approchecintiquene sera pas aborde ici. Nous nous bornerons unetudemacroscopiquede la thermodynamique qui considre les corps commedes milieux continus. Ce point de vue est adapt une utilisation industrielle

1. On trouvera une bibliographie de base en page 95.2. Sadi Carnot publie en 1824 son clbre ouvrageRexions sur la puissance du feu et les

machines propres dvelopper cette puissancequi apporte une thorie pour des machines quifonctionnaient dj fort bien lpoque sur des bases empiriques. Un fac-simil est disponible surhttp ://gallica.bnf.fr/

3. Voir [ROS68] et [PER97]. La thermodynamique fait-elle partie de la physique, ou bien enest-elle un pralable ? Je laisse cette question dpistmologie au philosophe.


1 INTRODUCTION

et fournit un outil indispensable ltude des machines assurant des changesdnergie comme les moteurs, compresseurs, turbines, turboracteurs, etc.

Lesprit de ce papier est donc celui de lingnieur mcanicien qui sin-tresse aux machines thermiques, et non celui du physicien,et encore moinscelui du chimiste.

1.2 Systme thermodynamique

Un systme thermodynamiqueest une quantit de matire isole du reste dumonde par la pense. La notion de frontire avec lextrieurest insparable decelle de systme. Un systme thermodynamique peut tre, parexemple, leaucontenue dans une bouteille, ou bien la bouteille elle-mme, ou bien lensembledes deux. Sans parler du bouchon. . .

On distingue deux types de systmes : Les systmes fermsqui sont constitus dune masse xe changeant

du travail et de la chaleur avec lextrieur, mais sans renouvellementde matire. Leau de la bouteille bouche ou lair dans le cylindre duncompresseur, tant que les clapets sont ferms, sont des exemples de telssystmes ferms.

Les systmes ouvertsqui changent du travail et de la chaleur avec lex-trieur, mais galement de la matire. Leau contenue dans une pompecentrifuge en fonctionnement est un exemple dun tel systme. La fron-tire est alors constitue de lenveloppe de la pompe (tanche la matireeau), mais aussi des sections des brides dentre et de sortie qui sonttraverses par le uide en mouvement. Les situations industrielles songnralement de ce type.

1.3 Variable thermodynamique

On distingue les variables selon quelles sont microscopiques ou macro-scopiques. Lapproche microscopique de la thermodynamique utilise par ex-emple la rpartition des vitesses des molcules, les distances entre molcules,etc. Ces variables sont dites microscopiques. Lapproche macroscopique quiseule nous intresse ici permet la description globale dunsystme. Parmi cesvariables macroscopiques, on distingue :

les variables intensives,ne dpendant pas de la masse du systme, comme lapressionp, la tempratureT , le volume massiquev. La norme reprsenteces variables intensives par des caractres minuscules, exception faite dela temprature quand elle est exprime en kelvin.


1.4 Diffrents tats de la matire

les variables extensives,additives et proportionnelles la masse comme lepoids, le volume. Elles sont notes en majuscules.La plupart des raison-nements thermodynamiques se basent sur les variables intensives.

On fait galement une distinction entre les variables qui sont desgrandeursdtatet celles qui ne le sont pas. La forme diffrentielle dune grandeur dtatest mathmatiquement une diffrentielle totale exacte. Cela signie physique-ment que ltat du systme uninstant donnsuft la caractriser, et que savariation est indpendante du chemin parcouru pour arriver cet tat. Lapression, le volume massique, la temprature sont des exemples de grandeursdtat. Le travail et la chaleur changs ne sont pas en gnral des grandeursdtat ; elles ne sont pas des diffrentielles totales exactes, elles dpendent dumode dchange de travail et de chaleur, donc du chemin parcouru.

1.4 Diffrents tats de la matire

Presque tous les corps purs peuvent se rencontrer selon diffrents tats ouphases comme ltat solide, ltat liquide ou ltat gazeux. On rencontre gale-ment des intermdiaires comme les tats pteux, ou exotiques comme les plas-mas. La thermodynamique industrielle expose ici sintresse presque exclu-sivement aux phases liquide et gazeuse4.

La variance est le nombre de variables intensives ncessaire et sufsant la description dun systme.

La rgle de Gibbsrelie cette varianceV au nombreC de constituantschimiques diffrents du systme et au nombre de phases simultanment enprsence. Elle scrit

V 2 = C (1)

Exemples :

1. un corps pur sous forme uniquement gazeuse.C = = 1 )V = 2La connaissance de deux variables (T et p par exemple) permet de cal-culer toutes les autres (v, h, etc.).

2. un corps pur sous deux phases (butane liqu dans sa bouteille, parexemple).V = 1 et la seule mesure deT suft connatre p, v, . . .

3. un corps pur sous trois phases.V = 0 . Ce sont les fameux points triples,uniques pour chaque corps5 et pour lesquels toutes les variables sontdtermines. Par exemple, on trouve pour leau au point tripleT3 = 273;16K soit 0;01C, etp3 = 611 Pa

4. Une tude plus complte des changements de phase sera effectue au chapitre 115. sauf lhlium. voir [PER97].


2 THERMOMTRIE

2 Thermomtrie

Les grandes personnes ne comprennent jamais rien toutes seules,et cest fatigant, pour les enfants, de toujours et toujoursleur don-ner des explications.

A. de Saint-Exupery "Le Petit Prince"

2.1 Principe zro de la thermodynamique

Comme tout principe de physique, le principe zro ne se dmontre pas. Onse borne constater quil nest jamais en contradiction avec lexprience. Il enest de mme des rgles comme celle de Gibbs.

2.1.1 Systme deux corps

Soit un systme constitu de deux uides A et B, spars lun de lautrepar une paroi tanche et conductrice de la chaleur, et spars de lextrieur parune paroi adiabatique, cest dire idalement non conductrice (gure 1(1)).Comme toutes les parois sont indformables les uides ne peuvent changerde travail ni entre eux, ni avec lextrieur6. Seul lchange de chaleur entrecompartiments est possible.

A B

A

B

C

parois conductrices(1) (2)

parois adiabatiques

Figure 1 le principe zro

Quels que soient leurs tats initiaux, les uides A et B tendent vers un tatcommun dquilibre o lchange de chaleur cesse. Le temps ncessaire pour

6. Pour changer du travail, un uide doit agir sur lesparties mobilesdun solide, comme unpiston, ou laubage dune turbomachine.


2.2 Choix dun thermomtre

atteindre cet tat dpend des masses de uide et de la conductivit de la paroi,mais lquilibre nal est indpendant de la nature de cette paroi. Ce quelquechose de commun ces deux uides est tout simplement latemprature7.

lquilibre on a TA = TB

Remarque: La thorie cintique nous fournit une reprsentation simplede la temprature. La relation (2) sapplique aux gaz monoatomiques et lie latemprature absolueT la masse molaireM , la constante universelle desgaz parfaitsR, et la vitesse moyenne des molcules~c

T =M3R

~c2 (2)

Cette relation montre que la tempture est proportionnelle lnergie cintiquedes particules du gaz.

2.1.2 Systme trois corps

Soit le systme suivant o A est en quilibre avec B et B avec C (gure1(2)). Il est vident que dans ces conditions A est en quilibre avec C : si deuxcorps sont en quilibre avec un mme troisime, ils sont en quilibre entre eux.Encore une fois la grandeur commune est la temprature.

2.2 Choix dun thermomtre

Les sensations de chaud ou de froid du corps humain sont videntes maissubjectives. Elles subissent de nombreuses grandeurs dinuence comme lhu-midit ou la sant de la personne, et des variations dun individu lautre. Dole besoin dun thermomtre, cest dire dune grandeurg(t) qui ait toutes lesqualits requises pour la mesure. Parmi ces qualits on trouve la dlit, lasensibilit, la linarit, la biunivocit, etc. . .

Cest prcisment la linarit qui est proccupante : la vrier supposequon dispose au pralable dune chelle de temprature et le choix dune tellechelle ne peut se faire de faon arbitraire.

Lexemple absurde suivant montre la difcult de la chose.On veut utiliser comme thermomtre la proprit de dilatation des mtaux selonla temprature. Soient deux barres A et B de mtaux diffrents et de mmelongueur 0C (glace fondante). 100C (eau bouillante sous 1 bar), la barre A montre une augmentation de

7. Si la paroi tait inniment dformable mais adiabatique,ce quelque chose serait la pres-sion.


2 THERMOMTRIE

longueur de 10 mm et la barre B sallonge de 20 mm. une mme temprature intermdiaire, A sallonge de 5 mm et Bde 12 mm.Si on choisit arbitrairement A comme rfrence cette temprature est 50C etla dilatation de B est non linaire. Si on choisit B, la temprature est 60C etla dilatation de A est non linaire. Et peut-tre ni A ni B ne sont linaires,compars une troisime rfrence.

Dans des conditions de faible masse volumique, les gaz montrent pourla plupart un bon accord entre eux. Ils ont pendant longtempsconstitu larfrence commune. Si deux gaz diffrents sont initialement la mme pres-sion et la mme temprature, ils garderont une pression commune si la tem-prature varie sous un volume constant, ou un volume commun si la tempra-ture varie pression constante.

Un thermomtre peut tre fabriqu en mesurant la pression dun gaz main-tenu volume constant. Soit lexemple suivant :un gaz monoatomique est 1 bar 0C et 1,3663 bar 100C.On suppose la relation linairep = a: + b .On en dduit quea = 3 ;663:10 3 bar/C et queb = 1 barPourp = 0 on a = 273C.

En effectuant un changement dorigine

p = a b = a

ba

= aT (3)

on retrouve lchelle Kelvin ou absolue8 des tempratures, puisqueb=a= 273.

2.3 Quelques thermomtres industriels

Il nest pas possible de recenser ici tous les procds industriels de mesuredes tempratures. Le lecteur se rapportera au trs bon livrede Asch & al.[ASC83],ainsi qu [PER97] et [BRU68]. Peuvent tre cits en vrac :

les thermomtres dilatation de liquide, thermomtres variation de rsistance lectrique (PT100par exemple). les thermocouples. les thermomtres optiques. les thermomtres variation de la frquence de rsonance dun quartz

ou dune cramique.

8. Lchelle du thermomtre gaz se confond en trs bonne approximation avec lchelle ther-modynamique des tempratures base sur le cycle de Carnot. (page 29.)


3 Calorimtrie

Qui prte rire nest pas sr dtre rembours. Raymond Devos.

Les notions de temprature et de quantit de chaleur sont bien diffrentes.Pour faire passer une massem dun corps dune tempraturet1 une tempra-ture t2 plus leve, il faut apporter une quantit de chaleurQ. Cette quantitest proportionnelle m et t2 t1, mais elle dpend aussi de la transformationet de la nature du corps :Q est une forme de lnergie et sexprime en joules9.

C = mc est la capacit thermique du corps (J/K ou J/C).csappelle la capacit thermique massique, plus courammentappele chaleur

massique. Elle peut varier avec la temprature et elle a pourunit S.I. le joulepar kilogramme et par kelvin (J kg 1 K 1).

Commec = f (t), on connat en gnral une valeur dec moyenne entret1et t2

cmoyen =q2 q1t2 t1

(4)

et la tempraturet on a

c(t) = limt 2 ! t

q2 qt2 t

=dqdt

(5)

Remarque : certaines units de quantits de chaleur maintenant interditesont pourtant la vie dure. Cest le cas de la calorie10 que mdecins, ditticienset chauffagistes ne sont pas prts dabandonner ! Il faut donc encore se souvenirque :

1 calorie est la quantit de chaleur ncessaire pour faire passer 1 grammedeau de 14,5C 15,5C.

1 calorie = 4,185 joules 1 thermie = 1 mgacalorie =4185;106kjoules 1 frigorie = - 4185 joules, soit une kilocalorie ngative. Cette unit trange

est encore utilise, comme son nom lindique, par certains frigoristes. Le kilowattheure est dusage lgal :1 kWh = 3 ;6 MJ

9. Jusquau milieu du XIX sicle, on pensait que la chaleur tait un uide particulier, le calorique . Daprs le Premier Principe de la Thermodynamique, travail et quantits de chaleursont deux formes de lnergie et ont donc la mme unit. suivre . . .

10. Le systme S.I. est le seul lgal en France depuis le 1er janvier 1962, lusage de la calorieest interdit depuis le 31 dcembre 1977.Je serais personnellement plutt favorable lutilisation du terme calorie, mais titre de vocabu-laire exclusivement, pour remplacer laffreuse expression "quantit de chaleur".


3 CALORIMTRIE

solide

solide liquide

liquide

+liquide

vapeur+

vapeur

gazou

temps

T

Tf

Tv

Figure 2 Chaleurs latentes de fusion et de vaporisation.

Des quantits de chaleur peuvent tre aussi changes entreun corps etlextrieur sans que ce corps ne subisse de variations de temprature. Cest lecas des changements de phase. Il faut apporter des quantitsde chaleur pourfaire fondre un glaon deau passant de ltat solide, 0C ltat liquide, 0C.Il faut galement en apporter pour passer de ltat liquide 100C ltat vapeur100C. Ces quantits de chaleur sont appelles chaleurs latentes de fusion et devaporisation.

En chauffant pression constante et puissance constante dq/dt un corpsinitialement solide, on observe deux paliers qui correspondent aux tempra-tures de fusionTf et de vaporisationTv et aux chaleurs latentes associescomme le montre la gure 2. Pendant ces paliers il y a deux phases simul-tanment en prsence.11 (rappel : on ne peut observer trois phases en prsence la mme temprature quau point triple.)

11. Certains corps, comme le CO2 , ont une pression de point triple suprieure la pressionatmosphrique. Aux pressions ordinaires ils passent directement de ltat solide ltat de vapeuret on nobserve quun palier. Ce phnomne est appell lasublimation


4 volutions et travaux

Lorsque lon ne travaillera plus les lendemains des jours derepos,la fatigue sera vaincue.

Alphonse Allais.

4.1 Quelques dnitions

4.1.1 Transformation isobare

Une transformation isobare est une transformation o la pression est main-tenue constante. Le passage dun uide dans un changeur de chaleur ou unechaudire est un exemple de transformation isobare tant quon peut ngligerles pertes de charge et les variations dnergie cintique.

4.1.2 Transformation isochore

Une transformation isochore ou isovolume est une transformation durantlaquelle le volume est maintenu constant. Comme les liquides sont en gnraldes uides quasiment incompressibles, toutes leurs transformations peuventtre considres comme isochores. Le volume tant une variable extensive,cest le volume massique qui est constant dans le cas dune transformationisochore ouverte.

4.1.3 Transformation isotherme

Une transformation isotherme est une transformation au long de laquelle latemprature est constante. Le changement de phase isobare dun corps pur estgalement isotherme.

4.1.4 Transformation adiabatique

Une transformation adiabatique est une transformation au long de laque-lle il ny a pas dchange de chaleur avec lextrieur. Les transformationsadiabatiques tout comme les transformations avec changes de chaleur nesont videment pas ncessairement isothermes. Par exempleune compression,mme refroidie, saccompagne en gnral dune lvation detemprature. Cettelvation est toutefois moins grande que celle dune compression adiabatiqueentre le mme tat initial et la mme pression nale.


4 VOLUTIONS ET TRAVAUX

4.1.5 Transformations rversible et irrversible

Tout en ce bas monde est sige dirrversibilits. Nous verrons avec le pre-mier principe (PPT) quil y a quivalence entre le travail etla chaleur, et avecle deuxime principe (DPT) que cette quivalence nest pas totale. Ds quily a mouvement ou transfert, il y a galement frottement. Ce frottement corre-spond du travail qui se dgrade en chaleur et ce processus est videmmentirrversible. Une transformation rversible est une transformationidale, sansfrottements, dans laquelle une variation inniment petitedune condition per-mettrait dinverser le sens de lchange. Prenons comme exemple le transfertde chaleur : pour quun uide se rchauffe au contact dun solide, il faut quilexiste une diffrence de temprature non nulle entre le uide et le solide. Sicette diffrence pouvait devenir inniment petite, une inme diminution de latemprature permettrait au uide de se refroidir et donc au sens de lchangede sinverser.

Si on veut les regarder nement, toutes les volutions ont uncaractre ir-rversible. Cependant on considre frquemment en thermodynamique indus-trielle des volutions rversibles dans la mesure o cela amne des simpli-cations acceptables, et moyennant souvent un terme supplmentaire dans lesquations.

4.1.6 Cycle thermodynamique

Le cycle thermodynamique dun uide est une succession de transforma-tions (au minimum trois, souvent quatre) qui ramnent ce uide son tatinitial pour un nouveau tour (pas forcment gratuit !). Cette rptition dvne-ments est la condition indispensable une production continue de travail ou dechaleur. Les cycles jouent donc un rle essentiel dans le principe de fonction-nement des machines thermiques. Les cycles idaux sont composs unique-ment de transformations rversibles. Ils permettent de btir un raisonnementou de dterminer les limites vers lesquelles peuvent tendreles cycles rels danslesquels les transformations sont irrversibles. Un exemple historique de cycleidal est celui de Carnot que nous verrons plus loin.

On distingue galement les cycles ferms o la mme matire subit in-dniment le mme cycle (par exemple le uide frigorigne dans un rfrigra-teur ou leau dans une centrale lectrique) et les cycles ouverts o la matirese renouvelle (comme les gaz frais remplacent les gaz brlsdans un moteurdautomobile).


4.2 Systme ferm

4.2 Systme ferm

4.2.1 Travail en vase clos

dl

dV

FeV,p

Figure 3 compression en vase clos

Prenons lexemple dune massem de gaz la pressionp, enferme dans uncylindre de volumeV ferm par un piston mobile de surfaceS, comme dansla gure 3. Le piston se dplace dune distance lmentaire dl , et le volumeVdiminue de la valeur dv. La force effective du piston sur le gaz scrit

~Fe = p~ndS (6)

avec~n la normale extrieure la masse de gaz.We est le travail lmentairecommuniqu au gaz :

W e = ~Fe:d~l = p S (~n d~l ) = pdV (7)

Soit, en divisant parm,w e = pdv (8)

et pour une transformation nie

we1 2 =Z 2

1 pdv (9)

ov reprsente le volume massique [m3kg 1].we est appel letravail massique dvolution en vase clos.Convention-

nellement, ce travail est compt positivement sil est reupar le systme (ici



le gaz) et ngativement sil est cd par le systme. Il en estde mme desquantits de chaleur ; cette convention de signe respecte lanorme NFX 02-104(attention, cette norme nest pas respecte dans tous les ouvrages de thermo-dynamique, notamment anglo-saxons).

4.2.2 Thorme de lnergie cintique

Le thorme de lnergie cintique traduit la conservationde lnergie m-canique. Il stipule que la variation dnergie cintique dun systme est gale la somme algbrique de tous les travaux intrieurs et extrieurs effectus sur lesystme. Il scrit

wc = we + wf i (10)

avec

wc = la variation dnergie cintique, we = le travail des forces extrieures,

wf i = le travail des forces intrieures.

Comme cas particulier, frquent en systme ferm, la variation dnergie cin-tique est ngligeable et

wf i 1 2 = +Z 2

1pdv (11)

Sil existe un travailwf non ngligeable des forces de frottement, ce qui traduitune volution irrversible, alors

wf i 1 2 = wf 1 2 +Z 2

1pdv (12)

4.3 Systme ouvert

4.3.1 Cas dune volution rversible

Soit une machine idale (par exemple un compresseur dair) qui changegrce ses parois mobiles (pistons ou aubages) un travail massique indiquwiavec le uide quil transvase. Cela de faon adiabatique et en rgime permanent(sans variations dans le temps) comme sur la gure 4.

Les variables12 du uide en entre de machine sontv1, p1, t1, c1 , z1 et ensortiev2, p2; etc.

12. la vitesse du uide est notec. Ce symbole est normalement rserv une clrit des ondes(sonores ou lumineuses) et les normes imposent les notations u;v ou w. Mais il y aurait risque deconfusion avec lnergie interne, le volume massique ou un travail.


4.3 Systme ouvert

Le thorme de lnergie cintique scrit

c22 c21

2= p2v2 + p1v1 g(z2 z1) + wi

| {z }forces extrieures

+Z 2

1pdv

| {z }forces intrieures

(13)

avec (c22 c21)=2 = la variation dnergie cintique,

p2v2 + p1v1 = le travail des forces de pression amont-aval, g(z2 z1) = le travail des forces de pesanteur,

wi = le travail fourni par les parties mobiles de la machine,Z 2

1pdv = le travail des forces intrieures.

z2 z1

wi

p2

p1

qm

Figure 4 machine de transvasement.

Comme

p2v2 p1v1 =Z 2

1d(pv) =

Z 2

1p dv +

Z 2

1v dp (14)

il vient

wi 1 2 =Z 2

1v dp +

c22 c21

2+ g(z2 z1) (15)

Le termewt =Z 2

1v dp est appel letravail massique de transvasement.



Le termewi est appel letravail massique indiqu.

4.3.2 Cas dune volution irrversible

Dans ce cas, une partiewf du travailwi chang entre le uide et les par-ties mobiles de la machine est dgrade par les effets des frottements ettransforme en chaleur, et

wi 1 2 + wf 1 2 = wn 1 2 =Z 2

1v dp +

c22 c21

2+ g(z2 z1) (16)

wf , toujours ngatif, engendre les quantits de chaleurqf , toujours posi-tives et incorpores au uide.

qf = wf (17)

4.3.3 Rpartition des travaux dans une machine

Pour une machine gnratricecomme une pompe ou un compresseur, onpeut rpartir les diffrents travaux massiques comme lindique lquation (18).

wa =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

wo

wi =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

qf = wf

wn =

8>>>>>>>>>>>>>:

wt =Z 2

1v dp

wc =c22 c

21

2

wz = g(z2 z1)

(18)

avec wa le travail sur larbre,wo le travail organique perdu par les frottements entre solides,wn le travail net rellement rcupr par le uide,wi le travail fourni par les parties mobiles de la machine,wf le travail perdu par les frottements dans le uide.

Le travail organique perdu est provoqu par les frottementsdes partiessolides entre elles, comme les joints et les paliers. On peuty ajouter le travailperdu par les fuites internes ou externes.

wi et wn sont toujours positifs,wt et wc galement en gnral.


4.3 Systme ouvert

Pour une machine motrice, comme une turbine ou un moteur,

wt =Z 2

1v dp

wc =c22 c

21

2wz = g(z2 z1)

9>>>=

>>>;

= wn =

8 0) dune source chaude et

rendQ0f r (< 0) une source froide. Le deuxime est une machine de Carnot(rversible) recevantQch et rendantQf r aux mmes sources (voir la gure10).

En inversant le cycle de Carnot, on le transforme en machine frigoriqueet on change les signes deQch et deQf r , comme sur la gure 10. Dans cesconditions, lensemble des deux machines nchange pas de travail avec lex-trieur, mais seulement de la chaleur avec les sources.

Pour respecter le DPT selon Clausius, il faut queQ0ch j Qchj > 0, et

donc que le rendement de la machine relle, =jW jQ0ch

soit plus petit que celui

18. Dmonstration pour un moteur, le lecteur gnralisera facilement au cas dune pompe chaleur.


6.3 chelle thermodynamique des tempratures

de Carnot c =jW jQch

Machine de Carnot

Source Froide

Source chaude

Qch

Qfr

Qch

W

Qfr

Moteur rel

Figure 10 Thorme de Carnot

Le rendement thermique de Carnot c ne dpend donc que des tempraturesT1 et T2 des sources et reprsente un maximum, do le deuxime nonc dumme thorme : Toutes les machines dithermes cycliques rversibles fonc-tionnant entre les mmes sources ont mme rendement.

En posantT1 et T2 tels que

c = 1 Q1jQ2j

= 1 T1T2

(40)

on dispose dune chelle universelle des tempratures et dune dnition dukelvin19 : Le kelvin est la fraction1=273;16 de la temprature du point triplede leau. Le degr Celsius est gal au kelvin, de telle faon que0C = 273;15K (le point triple de leau est +0 ;01C).

Remarque: le rapportT2=T1 na de sens que parce quil sagit de tempra-tures absolues. criret2=t1 avect2 et t1 en Celcius na aucune signication.

19. Et non pas le degr Kelvin comme on le lit encore parfois. Le degr centigrade nexiste pas davantage. Voir les dnitions du kelvin dans [BRU68]et [TRO94].


7 ENTROPIE

7 Entropie

Si quelquun a compris quoi que ce soit ce que je viens de dire, cestque je me suis mal exprim. Alan Greenspan.

Le concept dentropie, par son cot mystrieux, a fait rverdes gnra-tions de philosophes et de scientiques . . . , jusquau suicide de certains commeBoltzman, trop en avance sur son temps ! Lentropie montre des liens avec lesnotions dordre et de dsordre, et avec celle dinformation. Nous en resteronsici des applications tout fait industrielles et pratiques. Louvragevolutionet applications du concept dentropie, de Chambadal [CHA63] est une lecturefortement recommande pour qui voudrait exorciser les dmons (de Maxwell)tout en gardant les pieds sur terre.

7.1 Cycle de Carnot (encore !)

Soit un cycle de Carnot (donc compos de transformations rversibles) par-couru dans le sens horaire (a;b;c;d) comme sur la gure (11) :

a

c

d

bT1

T2

p

v

Q1

Q2

Figure 11 Entropie et cycle de Carnot


7.2 Dnition de lentropie

Par dnition de la temprature thermodynamiqueT , on a

jQ2jQ1

=T2T1

(41)

sur lvolutiona bon aT = T1 = cte, soitZ b

a

QT

=Q1T1

> 0 (42)

surb c comme surd a on aQ = 0surc d on aT = T2 = cte, soit

Z d

c

QT

=Q2T2

< 0 (43)

et sur lensemble du cycle, on aI

abcd

QT

=Q1T1

+Q2T2

=Q1T1

jQ2jT2

= 0 (44)

Si le cycle, toujours form de deux isothermes et de deux adiabatiques, estmaintenantirrversible, alors

th = 1 jQ2jQ1

< c = 1 T2T1

(45)

soit IQT

=Q1T1

jQ2jT2

< 0 (46)

Il est facile de gnraliser un cycle quelconque qui peut toujours tredcompos en une somme de cycles de Carnot lmentaires.


7.2.1 Transformation rversible

On pose comme dnition de lEntropieS la relation suivante valable lelong dune transformation rversible20,

dS =QT

(47)

20. qui na de sens que siT est une temptarure absolue, exprime en kelvins


7 ENTROPIE

S est une grandeur dtat : Deux chemins rversibles diffrents pour passerdun tat arbitrairea un tatbpermettent de dnir un cycle rversible o

IQT

=Z b

a

QT

+Z a

b

QT

(48)

Dans un cycle de Carnot rversible lentropie prleve la source chaudeest gale lentropie cde la source froide. Il est facilede gnraliser uncycle quelconque pourvu quil soit rversible, cest direcompos uniquementde transformations rversibles.

7.2.2 Transformation irrversible

Le long dune transformation rversible, on a par dnition

dS =Q eT

(49)

Le long dune transformation irrversible on a recours un tour de passe-passe en assimilant la chaleur gnre par les frottements un apport de lex-trieurQ f . On pose

dS =Q eT

+Q fT

= d Se + d Sf (50)

avecdQf > 0 =) dSf > 0 (51)

Dans un cycle rel (cest dire irrversible) lentropie cde la sourcefroide est plus grande que lentropie prleve la source chaude : il y a uneformation dentropie. Toute transformation relle est, sion y regarde dassezprs, irrversible et gnratrice dentropie mais certaines volutions sont enpratique trs proches de lvolution rversible idale.remarques:

1. Lunit de lentropieS est le Joule par kelvin [JK 1]. Celle de lentropiemassiques, beaucoup plus utilise, est donc le Joule par kilogramme etpar kelvin [Jkg 1K 1].

2. Comme lnergie interne et lenthalpie, lentropie nest dnie qu uneconstante additive prs.

3. Une transformation la fois adiabatique et rversible est dite isentropique.Par contre une volution isentropique peut tre ni adiabatique ni rversible.On trouvera toujoursQf > 0, mais si le refroidissement par lextrieurest juste gal la production de chaleur par les frottements, alors

dQe = dQf =) dSe + d Sf = d S = 0 (52)



7.2.3 Troisime principe

Ou Postulat de Nernst-Plank (pour mmoire). Lorsque la temprature ab-solueT sapproche de zro, lentropie massique de tout corps cristallis etchimiquement homogne tend vers zro. Lorigine de lchelle de lentropieest ainsi xe. Ce postulat a des consquences importantes dans la physiquedes trs basses tempratures mais, en thermodynamique industrielle appliqueaux machines, seules importent les diffrences dentropie.

7.2.4 quations de lnergie

Ce sont celles quon a vues avec le premier principe et le thorme delnergie cintique, mais dans lesquelles la notion dentropie est introduite.

Pour une transformation lmentaire en vase closles variations dnergiecintique et potentielle sont en gnral ngligeables. Lquation

w e + qe = d u (53)

o le membre de gauche reprsente lapport (algbrique) de lextrieur au u-ide et le membre de droite la variation dnergie interne correspondante dansle uide, se dcompose en

w e + qe = Tds pdv avec Tds = qe + q f (54)

et on retrouve que le travailw e apport par les parties mobiles dune machinese dcompose en une partie utilew e = pdv et une partie dgradeq f ,toujours positive.

Pour une transformation avec transvasement en systme ouvert, les vari-ations dnergie cintique et potentielle ne sont pas ngligeables en gnral, etlquation 33 de la page 22 o le membre de gauche reprsente lapport ex-trieur dnergie au uide et le membre de droite les formes correspondantesde la variation dnergie dans le uide, se dcompose en

w i + qe =

8>>>>>>>:

dh =

8 0, soitds > 0

Dans ce cas le coefcientk de la polytropique est plus grand que . Le tra-vail fournir et la temprature nale sont plus grands que dans la compressionadiabatique rversible qui constitue alors le modle vers lequel tendre.

9.6.3 Dtente irrversible

Dans une machine de dtente les changes de chaleur sont presque toujoursngligeables, les turbines tant calorifuges. Le modle de la polytropique ir-rversible sapplique avec1 < k

9.7 Adiabatique avec transfert de masse

Nous avons nglig dans tout ce chapitre lnergie potentielle (cas gnraldes gaz faible masse volumique) et lnergie cintique (comme dans les ma-chines volumtriques o les vitesses sont faibles). Il fautvidemment vrier

24. et plus vident encore aprs ltude des diagrammes, chapitre 10.


9 TRANSFORMATIONS DES GAZ PARFAITS

au cas par cas la validit de ces hypothses simplicatrices, comme dans lagure 13.

Figure 13 lnergie cintique dun gaz

Dans les turbomachines les vitesses sont grandes, souvent proches de laclrit des ondes25, et lnergie cintique nest pas ngligeable en gnral.

9.7.1 Temprature totale, enthalpie totale

Soit un coulement vitessec, pressionp et tempratureT . La pression etla temprature sont idalement mesures avec des capteurs se dplacant lavitesse de lcoulement. On les appelle doncpression statiqueet tempraturestatique.

Soit un obstacle dans lcoulement sur lequel la vitesse estnulle. On vrieexprimentalement que sur lepoint darrtque constitue lobstacle la tempra-tureTt est plus leve queT . On appelletemprature darrtcette tempratureTt .

Entre un point dans lcoulement (immdiatement devant lobstacle) et lepoint darrt lenthalpie totale, somme de lenthalpie et de lnergie cintiqueet noteht se conserve, et

wi = 0 et qe = 0 ) ht =

h +c2

2

= 0 (110)

donc

cpT +c2

2= cpTt (111)

et

Tt = T +c2

2cp(112)

25. communment nomme vitesse du son.


9.7 Adiabatique avec transfert de masse

Soient deux points diffrents loigns dans un coulement pur (sans changede travail) et adiabatique, la temprature totale se conserve entre ces deuxpoints.

Remarque : dans la pratique il est difcile de mesurer la temprature sta-tique, un thermomtre xe constitue un point darrt dans lcoulement etmesure en fait la temprature totale.

9.7.2 Pression totale

Soit un obstacle dans lcoulement. On vrie exprimentalement que surle point darrt la pressionpt est plus grande que la pression statiquep. Onappellepression darrtcette pressionpt .

On a vu quentre un point dans lcoulement (immdiatement devant lob-stacle) et le point darrt lenthalpie totale et la temprature totale se conser-vent. Si de plus lcoulement estrversibleentre ces deux points (le frottementest ngligeable) alors lentropie est constante et

pt = p

TtT

1

(113)

On observe exprimentalement que cette condition de rversibilit est re-specte dans un coulement subsonique, et quelle ne lest pas si lcoulementest supersonique. Dans ce deuxime cas uneonde de chocirrversible se formedevant lobstacle.

Entre deux points diffrents (1) et (2) dans un coulement pur, adiabatiqueet rversible, lentropie est constante,

cp lnT2T1

r lnp2p1

= cp lnTt 2Tt 1

r lnpt 2pt 1

= 0 (114)

et donc la pression totale se conserve.Contrairement la temprature totale on peut mesurer facilement les pres-

sions totale et statique dans un coulement subsonique, avec un tube de Pitotdouble par exemple.

On trouvera une prsentation plus complte de ces problmesdcoule-ments sub et supersoniques dans [KOD71], et des exemples dapplication enpage 86.


10 GAZ PARFAITS ET DIAGRAMMES

10 Gaz parfaits et diagrammes

Il ny a rien dextraordinaire cela. il ny a qu appuyer sur la bonnetouche au bon moment, et linstrument joue tout seul. J.S.Bach

Le calcul analytique des tats et des transformations des uides rels estdifcile. Dans la pratique industrielle on a recours des valeurs tabules ou des lectures de diagrammes. On tudie dans ce chapitre le comportementdes gaz parfaits pour lesquels les calculs sont simples, mais pour lesquelsles diagrammes sont cependant utiles puisquils permettent une reprsentationgraphique des phnomnes physiques. Ils constituent essentiellement un sup-port et une aide aux raisonnement. Les diagrammes les plus utiliss sont le di-agramme de Clapeyron(p;v), le diagramme entropique (T ;s), et le diagrammeenthalpique(h;s)

10.1 Diagramme de Clapeyron(p,v)

Dans ce diagramme la pression est reprsente en fonction duvolume mas-sique :p = f (v).

v

p

k > s1 < k <

T

v

p

Figure 14 diagramme de Clapeyron.


10.1 Diagramme de Clapeyron(p,v)

10.1.1 Reprsentation des principales transformations

Transformation isotherme dT = 0 , le produitpv est donc constant et lesisothermes sont reprsentes par un rseau dhyperboles quilatres. La pentelocale dune courbe est

dpdv

= pv

= p2

rT(115)

Transformation isobare dp = 0 , les isobares sont videment des droiteshorizontales.

Transformation isochore dv = 0 , les isochores sont des droites verticales.

Transformation adiabatique rversible ou isentropique Lentropie mas-siques est constante et lvolution obit la relationpv = cteLes isentropes sont reprsentes par un rseau de courbes dont la pente est

dpdv

= pv

= p2

rT(116)

Une isentrope prsente en chaque point une pente plus grande-en valeur absolue-que celle de lisotherme dans un rapport

Transformations polytropiques Les polytropiques(pvk = cte) sont reprsen-tes des courbes dont la pente est

dpdv

= kpv

= kp2

rT(117)

Une polytropique prsente en chaque point une pente k fois plus grande quecelle de lisotherme.

La gure 14 rassemble ces rsultats dans le planp = f (v)

10.1.2 Reprsentation des travaux

Soit une volution quelconque entre un tat1 et un tat2.

Le travail dvolution en vase clos est gal we =Z 2

1 pdv et il est

graphiquement reprsent par laire(a;1;2;b) de la gure 15)Il est ngatif sil est dcrit dans le sens horaire(a;1;2;b) odv est positif

(comme dans une dtente), et inversement.



1

2

vba

d

c

p

Figure 15 les travaux dans(p;v).

Le travail de transvasement de la mme volution 1-2 est graphiquementreprsent par laire(c;1;2;d) de la mme gure puisquil est gal

wt =Z 2

1v dp (118)

Commewe, wt est ngatif sil est dcrit dans le sens horaire(c;1;2;d) o dpest ngatif et inversement.

On retrouve dans le plan(p;v) les rsultats de ltude du diagramme en-tropique : le travail de transvasement est ici reprsent par laire comprise en-tre la courbe, laxe des pressions et les deux isobares. La gure 16 met envidence le fait que le travail de transvasement augmente avec le cfcient kde la polytropique.

10.2 Diagramme entropique (T;s)

Dans ce diagramme la tempratureT est reprsente en fonction de len-tropie massiques.

Transformation isotherme T = cte, les isothermes sont videment desdroites horizontales.


10.2 Diagramme entropique (T ;s)

p

vp1

p2

sk >

1 < k <

Figure 16 compression dans(p;v).

Transformation adiabatique rversible s = cte, ces transformations sontreprsentes par des droites verticales.

Transformation isobare p = cte. On a vu quen combinant lquation delnergie et la loi dtat des GP, on peut crire lexpression de lentropie mas-sique,

ds = cpdTT

rdpp

(119)

Le long dune isobare, odp = 0 , la pente locale de la courbe est gale

dTds

=Tcp

(120)

Les isobares sont donc reprsentes par un rseau de courbesexponen-tielles, dcales horizontalement les unes des autres dune constante gale

s = r lnp2p1

comme sur la gure 17 dans laquellep2 > p 1

Transformation isochore v = cte, On a vu quon peut crire aussi

ds = cvdTT

+ rdvv

(121)



T p2

p1

s

s

s

Figure 17 isobares dans (T ;s).

Le long dune isochore odv = 0 , la pente locale de la courbe est gale

dTds

=Tcv

(122)

Cette pente est plus grande ce celle de lisobare passant parle mme point,puisquecp > c v .Les isochores sont galement reprsentes par un rseau de courbes exponen-tielles dcales horizontalement les unes des autres duneconstante gale s = r ln

v2v1

Transformations polytropiques On cherche la pentedT=ds dune poly-tropique dans le repre (T ;s). Comme on a vu en (9.6), il y a proportionnalitentre les quantits de chaleur et lenthalpie,

T ds = qe + q f = dh (123)

avec constant.dhds

=cp dT

ds=

T

(124)


10.3 Compressions dans (T ;s)

T = exp

sc p

+ cte

(125)

Dans un repre (T ;s) toutes les volutions polytropiques sont reprsentespar des exponentielles. Ce rsultat est en accord avec les prcdents concernantles cas particuliers de polytropique que sont lisotherme,lisentrope, lisobareet lisochore.

La gure 18 rassemble ces rsultats.

T

s

v

s

T

p1 < k <

k >

Figure 18 isovaleurs dans (T ;s).

10.3 Compressions dans (T;s)

Remarque pralable : les volutions relles ne sont en gnral ni tout fait adiabatiques, ni tout fait rversibles. Si on ngligeqe devantqf ou r-ciproquementqf devantqe, ce ne sont que des hypothses simplicatrices, trsacceptables dans la plupart des cas.



T

scb d

p1p2

2ir

2

2r

2s

1

a

Figure 19 compressions dans (T ;s).

10.3.1 Isotherme rversible

Rversible :q f = 0 ; isotherme :T = cte.

T ds = qe ) qe =Z 2

1T ds (126)

Dans une volution lmentaire ods < 0, qe est ngatif. Cette quantit dechaleur est reprsente par laire(a;1;2 ;b) de la gure 19.Commewt = we = qe, ces travaux sont positifs et reprsents par la mmeaire.

10.3.2 Adiabatique rversible

Le long de1 2s sur la gure 19, on a

qe = q f = 0 ) ds =qe + q f

T= 0 (127)

w i = d h = T ds + v dp = w t ) w i = h2s h1 (128)

Le long de lisobare2s 2 , on aw t = v dp = 0Le long de lisotherme1 2 on adh = cp dT , donch1 = h2



Par consquent,wi est nalement reprsent par laire du polygone curviligne(a;2s ;2 ;b) dans la gure 19. (Sil faut considrer le travail en vase clos, lemme raisonnement peut tre construit le long dune isochore.)

La temprature naleT2s est videment plus leve que la tempratureinitiale T1. Laire (1;2s;2 ) reprsente le travail supplmentaire fournir danscette compression, par rapport lisotherme rversible. Il est vident que lisothermerversible reprsente la compression (idale) la plus conomique.

10.3.3 Polytropique rversible

La compression isotherme est la compression qui demande le travail le plusfaible. Dans une compression relle, on essayera autant quepossible de se rap-procher de lvolution isotherme en refroidissant le uidependant la compres-sion. On peut ngligerqf devantqe et crire

qe < 0 et qf = 0 soit d s < 0 (129)

Lvolution relle peut tre dcrite en bonne approximation par une poly-tropique rversible (ou refroidissement prpondrant ) comme dans lvo-lution 1 2r de la gure 19. La temprature nale est comprise entre cellede lisentrope et la temprature initiale. En utilisant lesmmes relations pourcelles de lisentrope, on trouve que

qe = T ds ) qe =Z 2r

1T ds (130)

donc laire(a;1;2r ;c) reprsente qe.

wi + qe = h2r h1 = h2r h2 (131)

Lensemblewi + qe est reprsent (algbriquement) par laire(c;2r ;2 ;b). Pardiffrence,wi est reprsent par laire totale(a;1;2r ;2 ;b). Le triangle curviligne(1;2r ;2 ) reprsente le travail supplmentaire fournir par rapport lisothermerversible, mais plus faible que dans le cas de lisentrope.

10.3.4 Polytropique irrversible

La compression est adiabatique mais les irrversibilits dues aux frotte-ments et les apports de chaleur qui leur correspondent ne sont pas ngligeables.On en dduit que

qe = 0 et qf > 0 soit ds > 0 (132)



qf = Tds est reprsent par laire(a;1;2ir ;d) dans la gure 19.wi = h2ir h1 = h2ir h2 est reprsent par laire(b;2 ;2ir ;d).Laire (a;1;2ir ;d) reprsente lexcdent de travail par rapport lisentropique,wt = wi + wf = wi qf est reprsent par laire(b;2 ;2ir ;1;a)

Laire du triangle(1;2s;2ir ) est dnommechaleur de rchauffage. Ellereprsente la part de travail supplmentaire cause par laugmentation de vol-ume massique pendant la compression, consquence indirecte des irrversibil-its. La temprature nale est, bien entendu, plus leve que celle de lisen-trope.

10.3.5 Compressions tages

2

2

34

4"

4 3 1

T

s

p1

p3p4 p2

ab

Figure 20 compression multi-tage refroidie.

La compression isotherme est la plus conomique. Si on ne peut pas laraliser en pratique, on peut sen approcher par une compression relle tage(polytropique refroidissement prpondrant sur la gure20, mais le raison-nement est le mme pour une polytropique irrversible). Chaque compressionpartielle est suivie dun refroidissement isobare, travers un changeur dechaleur dans lequel on nglige les pertes. Le travail indiqu ( fournir) est



reprsent par laire(a;1;2;20;3;30;4;40;b). Il est videment infrieur celuidune compression mono tage le long de la mme polytropique, cest direlaire (a;1;400;40;b). En faisant tendre le nombre dtages vers linni, on pour-rait thoriquement sapprocher dune compression isotherme.

Les tempratures de sortie des diffrents changeurs sont en gnral galesentre elles parce quelles sont xes par la temprature de la "source froide"disponible (air ou eau) et par lefcacit des changeurs :T20 = T30 = T40.

Il y a deux principaux cas considrer : la compression peut tre rversibleet refroidie, ou irrversible et adiabatique.

Compressions rversibles et refroidiesDans ce cas on admet que toutes lescompressions sont reprsentes par la mme polytropique (mme coefcientk, aveck < ), le travail absorb par deux tages successifs est alors

wi =kr

k 1(T2 T1 + T3 T20) (133)

Pour simplier lcriture, on pose la constante =k 1

ket commeT20 = T1,

wi =r

"

T1

p2p1

1

!

+ T20

p3p2

1

!#

=r

T1

" p2p1

+

p3p2

2

#

(134)

La valeur optimale dep2 est celle qui annule@wi@p2

@@p2

p2p1

+

p3p2

!

= 0 ) p 1 p 12 = p

3 p

12 (135)

et, en dnitive,

p22 = p3 p1 soitp3p2

=p2p1

(136)

Il est facile de gnraliser un plus grand nombre dtages de compression.

Conclusion : siT20 = T30 = T40 : : :, le travail dune compression tageest minimal condition que les taux de compression (rapportde la pression



de sortie sur la pression dentre) de chaque tage soient identiques. Dans cecas, les travaux indiqus de chaque tage sont gaux entre eux, ainsi que lestempratures en n de compression :wi 1 = wi 2 = wi 3 = et T2 = T3 =T4 =

Compressions adiabatiques et irrversiblesSi les compressions sont adia-batiques et irrversibles, le travail absorb par deux tages successifs est

wi =r

1(T2 T1 + T3 T20) (137)

En posant =rcp

= 1

, on arrive aux mmes conclusions que dans le cas

dune compression rversible refroidie : le travail dune compression tageest minimal condition que les taux de compression de chaquetage soientidentiques.

Dans la pratique industrielle, on limite le taux de compression pn +1 =pn dechaque tage un maximum de 5 6.

Un autre avantage de la compression tage est quen limitant la tempra-ture maximale, elle permet une lubrication plus facile deshauts de cylindreset vite la dcomposition des huiles.

10.4 Dtentes dans (T;s)

Dans lnergtique industrielle les dtentes sont pratiquement toujours adi-abatiques. Il ny a donc que deux cas considrer.

10.4.1 Dtente rversible

Cest lvolution idale dans une machine de dtente dans laquelle les ir-rversibilits seraient ngliges. Les relations sont identiques celles de lacompression adiabatique rversible, les conclusions galement :

w i s = d h = T ds + v dp = w t ) wi s = h2s h1 (138)

Le travail indiquwi s est ngatif. Il est reprsent par laire du polygonecurviligne(a;1;1s;b) de la gure 21.

10.4.2 Dtente irrversible

Les irrversibilits ne sont plus ici ngliges, et la production de chaleurentrane une gnration dentropie. La tempratureT2ir en n de dtente est


10.5 Quelques autres diagrammes

T

s

1

p1 p2

cab d

2s

2ir1ir

1s

Figure 21 dtentes dans (T ;s).

plus leve que celle de la dtente rversible correspondante, T2s . Le travailindiqu, rcuprable par lutilisateur aux pertes mcaniques prs, est gale-ment plus petit en valeur absolue. Dans la gure 21 on a

jwi j = jcp(T2ir T1)j < jwi s j = jcp(T2s T1)j (139)

wi est reprsent par laire(c;2ir ;1;1ir ;d) . Les quantits de chaleurqf gnrespar les frottements sont incorpores au uide au cours de la dtente et com-pensent partiellement les pertes de travail indiqu par laugmentation de vol-ume massique qui en rsulte,

w i = d h = T ds + v dp (140)

avecw i < 0, vdp > 0, et jdpj > jdpjsCest une des raisons pour lesquelles les turbines ont en gnral de meilleurs

rendements que les compresseurs correspondants.

10.5 Quelques autres diagrammes

On rencontre en pratique dautres reprsentations que celles des plans(p;v)et (T ;s). Pour mmoire, voici les plus courants :



Diagramme enthalpique Cest le diagramme (dit de Mollier) qui dcrit leuide dans le plan(h;s). Il est employ dans les cas o il permet une lectureplus prcise quavec le diagramme entropique, puisque ce sont les variationsde lenthalpie qui donnent des informations directes sur les nergies mises enjeu dans les transformations avec transvasement. Cest donc surtout quand onmanipule des uides rels quil peut tre utile. Le raisonnement se fait sur le di-agramme entropique, les lectures sur le diagramme enthalpique (mais attentionaux origines des chelles, ventuellement diffrentes).

Diagramme dAmagat Diagramme dans le plan(pv;v). Intressant pour il-lustrer les carts entre le modle du GP et la ralit. On rencontre galement leplan(pv=rT ;T) Voir [PER97]

Diagrammes des uides frigorignes Comme leur nom lindique, ils sontutiliss dans la pratique des installations frigoriques,des pompes chaleur,de la climatisation. Ils prsentent le plus souvent en abscisse lenthalpie, et enordonne la pression sous une chelle logarithmique. Les uides frigorignessont dans la plupart des cas des uides rels qui subissent des changements dephase au cours des cycles. Leur tude relve donc des chapitres suivants.

Diagramme de Watt Cest un diagramme dans le plan(p;V). On le ren-contre surtout dans ltude des machines volumtriques, ole volumeV estproportionnel au dplacement du piston. Nous lavons dj utilis (voir page23) pour illustrer lenthalpie. Cest historiquement le plus ancien diagramme.


11 Fluides rels

Parturiunt montes, nascetur ridiculus mus.

On a vu que le modle du Gaz Parfait nest souvent quune approxima-tion, et de plus en plus mauvaise mesure quon sapproche dela courbe desaturation, cest dire des conditions de changement de phase (voir gure 12en page 35). Mais beaucoup de transformations industrielles utilisent prcis-ment ces changements de phase et les chaleurs latentes qui enrsultent. Cestle cas gnral des centrales de production lectrique, quelles soient conven-tionnelles ou nuclaires, mais aussi celui de la productionde froid industrielou domestique.

Dans ces conditions le calcul analytique des transformations est trs mal-commode. On prfre donc souvent se rfrer des donnes exprimentalesprsentes sous forme de diagrammes ou de tables. Ces dernires se prtenttout particulirement au traitements informatiques.

11.1 Espace(T,v,p)

Figure 22 uide rel dans(T ;v;p).


11 FLUIDES RELS

Les gures 22 et 23, extraites de [BOR84], illustrent la loi dtat de la plu-part des corps avec les diffrentes phases ou mlanges de phases quils peuventprsenter. Cest une surface dans lespace(T ;v;p). La gure 22 est reprsenta-tive de la plupart des corps qui voient en gnral leur volumemassique dimin-uer pendant la solidication.

Le point triple est reprsent par le pointT dans le plan(p;T) et par lesegmentxyz dans la surface(p;v;T). Lautre point remarquable est le pointcritiqueK , au sommet de la courbe de saturation. Au-del de ce point (cest dire siT > T c ou sip > pc) il ny a plus de distinction entre les phases liquideet vapeur. Ce phnomne remarquable est bien dcrit par [BAI71]. La gure

Figure 23 leau dans(T ;v;p).

23 est propre leau et quelques autres corps pour lesquels la solidicationsaccompagne dune augmentation de volume.

Dan le plan(p;T) les trois zones solide, liquide et vapeur apparaissent ;mais pas les zones multiphasiques. On peut reprsenter dansce plan les deuxvolutions types permettant le passage de ltat liquide celui de vapeur.

On peut obtenir cette transformation en augmentant la temprature : cestla classique bullition observe au pointE de la gure 24. (Remarquons au


11.2 Diagramme entropique

vapeur

liquide

C

E

solide

p

T

k

t

Figure 24 leau dans(p;T).

passage que la temprature dbullition augmente avec la pression. Cest leprincipe de la cocotte minute qui permet de cuire les aliments plus rapi-dement grce une pression suprieure la pression atmosphrique.) On peutaussi obtenir cette transformation en baissant la pression temprature con-stante (pointC). On utilise cette proprit dans le domaine agro-alimentairepour deshydrater temprature modre. Mais cest aussi lacavitation sou-vent observe dans les pompes, turbines ou vannes, phnomne trs gnantparce quil peut provoquer bruits et vibration, baisses desperformances desmachines, et dtrioration rapide du matriel par rosion.

11.2 Diagramme entropique

On retrouve dans le plan(T ;s), schmatis sur la gure 25 en page 62, leszones de liquide, de vapeur et de mlange liquide+vapeur. Les rgions o serencontre la phase solide ne sont pas usuellement reprsentes dans les dia-grammes industriels, car sans grand intrt nergtique.

La courbe de liquide satur (ou courbe dbullition) spareles zones deliquide pur et de mlange. La courbe de vapeur sature (ou courbe de rose)


11 FLUIDES RELS

vapeur

liqui

de

vapeur sature

liquide saturk

xs

h

hx

p

liquide + vapeur

vp

hh

T

Figure 25 uide rel dans(T ;s).

spare les zones de mlange et de vapeur pure. Ces deux courbes de saturationse rejoignent sur la mme tangente horizontale au point critiquek.

On peut dcrire les transformations types dans ce diagramme. Les isother-mes sont videmment des droites horizontales, et les isentropes des verticales.

Un exemple disobare est reprsent (courbep). Dans la zone liquide, liso-bare est presque confondue avec la courbe de liquide satur,puisque les liq-uides sont quasiment incompressibles (la distance entre les deux courbes esttrs exagre sur la gure, pour une reprsentation plus commode). Dans lazone de mlange, lisobare se confond avec une isotherme, conformment laloi des phases de Gibbs. Dans la zone de vapeur, lisobare retrouve une alluredexponentielle, dautant plus quon sloigne de la courbe de vapeur satureet quon sapproche du domaine du gaz parfait.

Sur la mme gure est reprsent un exemple disochore (courbev), quiprsente en tout point une pente suprieure celle de lisobare.

Dans la zone sature la proportion massique de vapeur est appele le titrede vapeur. Elle est notex.

x =masse de vapeur

masse totale (liquide+vapeur)(141)


11.3 Tables

videmment x = 1 sur la courbe de vapeur sature, etx = 0 sur la courbe deliquide satur. Les points de mme titre forment un rseau decourbes isotitres(courbesx). Ces courbes se rejoignent au point critique. Lentropie tant unevariable additive, les isotitres coupent chaque segment isobare en segmentsproportionnels au titre.

Les courbes isenthalpes sont galement reprsentes dans ce diagramme.Elles tendent vers des droites horizontales rgulirementespaces les unes desautres quand on sloigne de la courbe de saturation et que lemodle du gazparfait devient plus convenable. Elles ne prsentent pas depoint anguleux aupassage de la courbe de vapeur sature, mais peuvent en montrer un lentredans le domaine liquide.

11.3 Tables

On trouve dans les tables les mmes renseignements que dans les dia-grammes, mais avec une meilleure prcision. Les valeurs sont donnes de faondiscrte et on a recours des interpolations. Les tables se prtent donc bien des utilisations informatiques. La prsentation de ces tables peut varier selonlditeur, mais on distingue toujours la zone sature (liquide + solide) et la zonesurchauffe. Des exemples de tables et dutilisations se trouvent en 15.4.3 etsuivants.

11.3.1 Tables de vapeur sature

On trouve dans ces tables les valeurs des diffrentes variables massiquessur chacune des deux courbes de saturation, cot liquide et cot vapeur. Cesvariables sont donnes en fonction de la temprature ou de lapression, ce quirevient au mme puisque la rgle des phases de Gibbs indique une variancenulle dans cette zone diphasique. Lusage veut que le cot liquide (x = 0)soit repr () et le cot vapeur (x=1) soit repr (). Ces donnes permettentde dterminer toutes les caractristiques de la zone de mlange, puisque cesgrandeurs sont additives.

En raisonnant sur une masse unitaire (m=1 kg) de mlange et surE unevariable dtat extensive quelconque, la masse de liquide est 1 x, et on aE 0 = (1 x)e0

De mme la masse de vapeur estx et on aE 00= xe00

Au total, puisquem=1, e = E/m = E+EOn dispose donc de la relation

e = (1 x)e0+ xe00 (142)


11 FLUIDES RELS

oe est remplacer parv, u, h, ous, selon la variable dterminer.Par exemple, pour lenthalpie,h = (1 x)h0+ xh00

11.3.2 Tables de vapeur surchauffe

T

Ts

p

p

Sch

T

s

Figure 26 vapeur surchauffe.

Il y a en gnral une table par variable massique,u, v, h et s. La valeurest donne dans un tableau double entre, en fonction de la temprature saturationTs et de la surchauffeSc le long dune isobare. La temprature saturation est la temprature de la vapeur sature la pression considre, et lasurchauffe est la diffrence entre la temprature de la vapeur sche et la tem-prature saturation, comme dans la gure 26.

11.4 Chaleurs massiques

Les notions de chaleurs massiques dnies au chapitre 8 pourles gaz par-faits peuvent tre gnralises aux uides rels. On a toujours

cp =

@q@T

pet cv =

@q@T

v(143)

et leur rapport devient

=cpcv

= vp

@p@v

s(144)

Bien entendu,cp, cv et ne sont plus des constantes.


12 Rendements

Perdons notre temps, cest toujours a de gagn. B. Lubat

De nombreuses dnitions de rendements sont utilises en thermodyna-mique industrielle. Ce sonttoujoursdes nombres sans dimension, rapports dedeuxnergiesou de deuxpuissances26. La mme machine peut tre qualiepar des rendements diffrents, avec des valeurs numriquesdiffrentes. Unevaleur de rendement na donc de sens que si elle est accompagne de sa dni-tion.

Cependant, lesprit de ces diverses dnitions est toujours le mme, cestle rapport dun effet obtenu (puissance sur larbre pour un moteur, par ex-emple) par une dpense consentie pour obtenir cet effet.

On tudiera successivement les rendements dvolutions simples-compres-sions et dtentes- dans une machine simple ou un lment de machine, et lesrendements dunemachine complexe-rceptrice ou motrice- dans laquelle leuide dcrit uncycle.

Ltude des rendements exergtiques est reporte au chapitre 13.

12.1 Compressions

Les rendements sont ici le rapport du travail minimal quun lment demachine idale dpenserait sur le travail consomm par llment rel, les deuxvolutions se produisant entre les deux mmes pressions.

12.1.1 Compressions refroidies

Dans un compresseur volumtrique les vitesses des uides sont faibles.Cela leur permet de se refroidir par contact avec les partiesxes ou mobiles dela machine, et on a vu que cela permet de diminuer le travail dpenser. Lesirrversibilits sont galement faibles et on peut considrer en bonne approxi-mation une compression rversible et refroidie.

Cette compression peut tremodlisepar une loi polytropique de typepvk = cte, dans laquelle1 < k < et ds < 0 , condition que le uide soitun gaz parfait.

Rendement Isotherme La machine idale qui permet une comparaison estcelle o la compression serait isotherme, cest dire une polytropique aveck = 1 .

26. contrairement lagriculture ou la nance. . .


12 RENDEMENTS

On dnit donc le rendement isotherme27 par

=ww

(145)

avec, comme on a vu au chapitre 9,

w = rT lnp2p1

et wi = wt =Z 2

1v dp (146)

Le rendement isotherme et dni sur la gure 19 (page 52) comme le rap-port de laire(a;1;2 ;b) qui reprsentew sur laire(a;1;2r ;2 ;b) qui reprsentew.

12.1.2 Compressions adiabatiques

Dans les machines o les vitesses sont importantes, le refroidissement duuide au contact de la machine est ngligeable devant le travail dgrad par lesfrottements. Cest le cas gnral des turbomachines. La compression est doncadiabatique et irrversible.

Lusage a consacr lutilisation de deux dnitions de rendements :

Rendement isentropique La machine idale qui permet une comparaisonest celle o la compression serait adiabatique mais aussi rversible, cest direune polytropique aveck = .

On dnit dans un cas gnral le rendement isentropique28 par

s =wi swi

=h2s h1h2 h1

(147)

et, seulement si le gaz est parfait, par

s =T2s T1T2 T1

avec T2s = T1

p2p1

1

(148)

Sur la gure 19 le rendement isentropique et dni comme le rapport delaire (a;2s ;2 ;b) qui reprsentewi s sur laire(d;2ir ;2 ;b) qui reprsentewi .

27. Les puristes diraient rendementpar rapport lisotherme . Le racourci est pass dans lelangage courant.

28. rendementpar rapport lisentropique . . .


12.2 Dtentes

Rendement polytropique Le rendement polytropique29 na de sens que dansle cas dun gaz parfait. La compression peut alorsz tremodlisepar une loipolytropique de typepvk = cte, ok > et ds>0.

Lchange de travail peut scrire

wi = qf +Z

v dp + c2

2| {z }

wu

(149)

avecwi le travail fourni,wu le travail utile rellement rcupr par le uide, etqf le travail dgrad par les irreversibilits.

On dnit le rendement polytropique par

k =wuwi

quon dveloppe : k =kr

k 1 (T2 T1)

cp(T2 T1)(150)

et, aprs simplication, par

k =k=(k 1)= ( 1)

(151)

remarque :Si lnergie cintique nest pas ngligeable, et cest le cas gnral dans lesturbomachines, on en tient compte en considrant les enthalpies totales, lespressions darrt isentropique et les tempratures darrt30 dans les quations147, 148 et 150.

12.2 Dtentes

Dans la pratique industrielle, les dtendes sont toujours quasiment adiaba-tiques. La comparaison avec une volution isotherme na donc pas lieu.

Dautre part les travaux indiqus rels et ideaux sont ngatifs, pour re-specter la norme NFX 02-104.

Commejwi j < jwi s j , le rendement isentropiquedevient

s =wiwi s

=h2 h1h2s h1

(152)

29. rendementde lapolytropique . . .30. voir 9.7, page 43


12 RENDEMENTS

et, si le gaz est parfait,

s =T2 T1T2s T1

avec T2s = T1

p2p1

1

(153)

Comme les quantits de chaleurs produites par les irrversibilits sont tou-jours positives, lerendement polytropiquedevient

k =wiwu

== ( 1)k=(k 1)

(154)

12.3 Cycles de conversion dnergie

12.3.1 Moteur

la fonction dun moteur thermique est dassurer la conversion de la chaleuren travail. un schma de principe est reprsent en gure 8 gauche (page 26).

Le deuxime principe dit que la conversion ne peut tre totale, quune partiede la chaleur prleve la source chaude (SC) doit tre rejete la source froide(SF)

Le premier principe nous dit que la somme algbrique de toutes les ner-gies -chaleur ou travail- changes par le systme est nulleen fonctionnementstationnaire.

La machine idale de Carnot dont le cycle est compos de quatre transfor-mations rversibles, deux isothermes et deux adiabatiques, a unrendement deCarnotgal

c =w

qch= 1

qf rqch

1 Tf rTch

(155)

Ce rendement est un maximum, fonction seulement des tempratures des sources.Le signe provient de la dnition mme de lchelle Kelvin.

Dune manire gnrale on dnit pour une machine rellelerendementthermiquecomme le rapport de ce qui a t obtenu (travail) sur ce qui a tdpens (chaleur).

th =w

qch(156)

bien entendu, c > th pour les mmes tempratures.Par exemple un cycle de machine vapeur destin produire dellectric-

it,

th =jwturbinej wpompe

qchaudire(157)


12.3.2 Thermopompe

la fonction dune thermopompe est de faire remonter des quantits de chaleurde la SF vers la SC. un schma de principe est reprsent en gure 8 droite.

Si le but est de refroidir la SF, il sagit dune machine frigorique. Si lebut est de rchauffer la SC, il sagit dune pompe chaleur. Le principe defonctionnement et la technologie des deux types de machinessont les mmes.

Machine Frigorique On dnit uncfcient deffet frigorique 31 commele rapport de ce qui a t obtenu (chaleur extraite la SF) surce qui a tdpens (travail),

" f =qSFw

(158)

Dans une machine relle, ce cfcient est plus petit que le cfcient deCarnot de la machine rversible fontionnant entre les mmessources.

" fc =TSF

TSC TSF(159)

Pompe Chaleur On dnit uncfcient de performance32 comme le rap-port de ce qui a t obtenu (chaleur apport la SC) sur ce qui at dpens(travail),

"p =jqSC j

w(160)

Le cfcient de la machine relle est plus petit que le cfcient de Carnotde la machine rversible correspondante.

"pc =TSC

TSC TSF= 1c (161)

c tant le rendement de Carnot du moteur qui fonctionnerait entre les mmessources.

13 Exergie et anergie33

Un gentleman, cest quelquun qui sait jouer de la cornemuseet qui nenjoue pas.

Pierre Desproges

31. en gnral, ce cfcient est plus grand que lunit. raison pour laquelle on ne lappelle pas rendement , mais lesprit de la dnition est bien celui dun rendement thermique.

32. toujours plus grand que un.33. On retrouvera dans ce chapitre des extraits du poly Exergie de F. Routaboul, E.N.S.A.M.

Bordeaux.


13 EXERGIE ET ANERGIE

13.1 Prsentation gnrale

La thermodynamique classique a pour origine la volont de transformerau mieux la chaleur en travail. Le premier principe tablit lquivalence entretravail et chaleur, le deuxime tablit une hirarchie entre ces deux formesde lnergie. Les nergies mcaniques et celles qui peuventintgralement seconvertir en travail, comme llectricit, sont considres comme nobles .Ces formes sont appeles de lexergie34. La chaleur est une forme dgradednergie qui contient une part dexergie transformable entravail et une partdanergienon transformable.

Prenons lexemple dune centrale thermique o pour fabriquer 1 joule lec-trique il faut fournir 3 joules sous forme chimique (combustion) ou nuclaire.Dans les deux cas il sagit de quantits de chaleur. Les deux autres joules sontrejets dans lenvironnement, mer, air ou rivire et lerendement thermiquedelinstallation est 33%. Si on suppose que ce rendement est lemaximum pos-sible compte tenu de lenvironnement, lnergie contenue dans le combustibleest compose 66% danergie et 33% dexergie.

Les notions dexergie(Ex ) et danergie(An ) permettent une nouvelleprsentation des premier et deuxime principes, dans laquelle toutes les grandeurssont homognes des nergies. Elles permettent de prciserplus clairement lessources des irrversibilits.

Lexergie et lanergie sont des variables extensives. Leurunit est le joule.Lexergie massique(ex) et lanergie massique(an) sexpriment en joule parkilogramme.

13.2 Cycle de Carnot (toujours !)

On a vu prcdemment que cest dans un cycle idal de Carnot quon extraitle maximum possible de travail dune quantit de chaleurqch disponible latempratureTch dune source chaude, et quon rejette le minimum de chaleur la source froide.

En termes massiques, ce travail maximal a pour valeur

w maxi = qch

1

Tf rTch

(162)

et le rendement thermique du cycle est gal au rendement de Carnot,

maxi = c = 1 Tf rTch

(163)

34. Availability en anglo-amricain. Gouy a introduit en1889 la notion dnergie utilis-able , mais lusage du mot exergie ne se dveloppe en Europe que vers 1960. Ici encore leconcept a largement prcd le terme.


13.3 Dnitions

On a galement vu que dans ces conditions idales lentropieprleve laSC est gale lentropie rejete la SF et quil ny a donc pasde gnrationdentropie. Tout le travail rcuprable tant rcupr, ilny a pas de gnrationdanergie ni de perte dexergie.

Dans un processus rel de conversion dnergie il y a des pertes supplmen-taires qui saccompagnent dune augmentation de lentropie et de lanergie,et dune diminution de lexergie. Frottement, irrversibilits, travail dgrad,cration dentropie et conversion dexergie en anergie sont diffrentes expres-sions dun mme phnomne.

Loptimum que reprsente le cycle de Carnot dpend des tempratures,lexergie et lanergie sont donc dnies par rapport une temprature de rfrencequi est celle de la Source Froide35. Cette temprature est dite "temprature am-biante"Ta . Il ny a pas de norme etTa est xe en fonction de lenvironnement(On prendra celle de la mer ou de latmosphre par exemple). On dit que lex-ergie et lanergie sont des variables dtatextrinsques.

13.3 Dnitions

Dans une transformation rversible avec transvasement le uide est latemprature instantaneT et reoit (algbriquement) un travailw i et unequantit de chaleurqe. Le travail peut tre intgralement rcupr sous formemcanique, il est donc de lexergie pure. La chaleur se dcompose en deuxparts,

qe =

8>>>>>:

qe

1

TaT

= qe Ta ds rcuprable en travail

TaT

qe = Ta ds dnitivement dgrade

(164)

La part de chaleur non convertible est gale lanergie, le travail totalrcuprable est gal lexergie,

ex =Z

w i +Z

1 TaT

qe = wi + qe Ta(s sa) (165)

avecsa lentropie massique du uide dans ltat dambiance.En utilisant le premier principe, et en posant arbitrairement :

exa = ana = 0 , on trouve les dnitions

ex = h ha +c2 c2a

2+ g(z za) Ta(s sa) (166)

35. sauf dans ltude des machines frigoriques.



etan = Ta(s sa) (167)

Les quations de lnergie vues en 7.2.4 peuvent scrire sous forme dif-frentielle,

w i + qe =

dhz }| {

pdv +

T dsz }| {qe + q f + cdc + gdz Tads| {z }

dex

+ Tads| {z }dan

(168)

Lenthalpie et lentropie ne sont dnies qu une constante additive prs.Les calculs peuvent donc se simplier en posant arbitrairementha = 0 , sa = 0 ,za = 0 et ca = 0 .

Pour une volution nie entre deux tats quelconques 1 et 2, on a

wi + qe = h2 h1 +c22 c

21

2+ g(z2 z1) Ta(s2 s1)

| {z }ex 2 ex 1

+ Ta(s2 s1)| {z }

an 2 an 1(169)

remarque :Dans le cas dune volution en vase clos o les nergies cintiques et poten-tielles sont gnralement ngligeables, les mmes raisonnements amnent auxdnitions

ex = u ua Ta(s sa) et an = Ta(s sa) (170)

et aux relations

w e + qe = pdv + ( T Ta) ds| {z }dex

+ Ta ds| {z }dan

(171)

etwe + qe = u2 u1 Ta (s2 s1)| {z }

ex 2 ex 1

+ Ta(s2 s1)| {z }an 2 an 1

(172)

13.4 Reprsentations graphiques

On pose arbitrairement pour ltat ambianta

ha = exa = ana = 0 (173)


13.5 Rendements exergtiques

Si on accepte de ne pas prendre en compte les nergies potentielle et cin-tique, alors lenthalpie dun uide dans un tat 1 est gale la somme de sonexergie et de son anergie. Pour un gaz parfait (gure 27 gauche), lenthalpiedu point 1 est reprsente par laire (c,1,f,e). Lanergie est reprsente par laire(a,b,c,d). Par diffrence, laire (d,a,b,1,f,e) reprsente lexergie.

ab

cde

f

1

s

1

d

f

a

cb

T

an

e

an

ex

ex

Tp1

pa

Ta

T1

s

p1

Ta

Figure 27 gaz parfait (gauche), uide rel (droite).

Pour un uide rel condensable (gure 27 droite), le point ambiant estplac temprature ambiante bien sr, et en phase liquide36. Lenthalpie dupoint 1 est reprsente par laire (c,1,e,f,a,b). Lanergie est reprsente parlaire (a,b,c,d). Par diffrence, laire (d,1,e,f,a) reprsente lexergie.

13.5 Rendements exergtiques

Un des grands avantages du concept dexergie est quil amnedes d-nitions de rendements sans ambigut. Cela permet de dtailler au mieux lessources des irrversibilits.

13.5.1 Compressions et dtentes

Le rendement exergtique se dnit, pour une compression avec transva-sement, par

ex = exwi

(174)

36. Le choix de la phase liquide est arbitraire mais gnral dans la litrature.



ou, plus pratiquement, par

ex =wi an

wi

et, pour une dtente avec transvasement, par

ex =wi

ex=

wiwi an

(175)

13.5.2 changes de chaleur

Un changeur contre courant37 peut tre schmatis par deux conduitesco-axiales o un uide se rchauffe et un autre se refroidit (gure 28).

1 2

34

Figure 28 changeur minimal

Si on suppose que lchangeur est parfaitement calorifug,il ny a pasdchanges avec lextrieur et la puissance thermique perdue par le uide re-froidi est gale la puissance gagne par celui qui se rchauffe,

qt 1 2(T2 T1) + qt 3 4(T4 T3) = 0 (176)

avec pour chacun des uides le dbit thermiqueqt = qm c et c la chaleurmassique du uide.

En toute section de lchangeur il existe entre les deux uides une dif-frence non nulle de temprature38, comme illustr en gure 29. Cette dif-frence est ncessaire lchange, mais rend videment cetchange irrversible.Il y a donc une gnration dentropie et une dgradation dexergie en anergie.Le uide chauff (1-2 sur la gure 29) voit son exergie augmenter, mais celledu uide qui se refroidit (3-4) voit sa sienne diminuer davantage.

37. Un modle trs rpandu. On montre que lchangeur contre courant a lefcacit maxi-male.

38. cette diffrence nest pas nsessairement constante, cela dpend du type dchangeur et durapport des dbits thermiques.


13.5 Rendements exergtique

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