The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα...

Νικηφόρος Θεοτόκης

Η διδασκαλία του Πυθαγορείου θεωρήματος στην τουρκοκρατούμενη Ελλάδα του 18ου αι

342013 Δρ Μαρία Δ Χάλκου mchalkougmailcom

1

Η Γεωμετρία του Νικηφόρου Θεοτόκη

bull Ὁ κώδικας τοῦ ὁποίου ὁ τίτλος εἶναι umlΜαθηματάριονuml φέρει τὴ σφραγίδα τῆς Σχολῆς τῆς Δημητσάνας καὶ ἀποτελεῖ πνευματικὴ δημιουργία τοῦ Νικηφόρου Θεοτόκη Τὸ πρῶτο μέρος του δηλαδὴ αὐτὸ τῆς Γεωμετρίας περιέχει ὕλη ἐπιπεδομετρίας καὶ στερεομετρίας


2

Επιπεδομετρία

bull 1ο βιβλίο Βασικοὶ γεωμετρικοὶ ὁρισμοί (σημείου εὐθείας γωνίας κύκλου τριγώνου παραλληλογράμμου κ ἄ) Ἀποδεικνύονται 48 προτάσεις

bull 2ο βιβλίο Παραλληλόγραμμα Ἀποδεικνύονται 14 προτάσεις καὶ ἐπιλύονται 3 προβλήματα

bull 3ο βιβλίο Κύκλος

bull Ἀποδεικνύονται 37 προτάσεις


3

bull 4ο βιβλίο Ἐγγεγραμμένα καὶ περιγεγραμμένα σὲ κύκλο πολύγωνα

Ἀποδεικνύονται 17 προτάσεις

bull 5ο βιβλίο Λόγοι καὶ ἀναλογίες

Ἀποδεικνύονται 25 προτάσεις καὶ 7 θεωρήματα

bull 6ο βιβλίο Ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα



4

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

bull Τὸ Πυθαγόρειο θεώρημα ἐντάσσεται στὸ 1ο βιβλίο (προτάσεις 47 48) καὶ στὸ 6ο

(πρόταση 31) ἀποδεικνύεται δὲ χωρὶς νὰ ἔχει δοθεῖ σὲ αὐτὸ κάποια ὀνομασία ἀπὸ τὸν

συγγραφέα

bull Παρατίθενται οι προτάσεις ὅπως ἐμφανίζονται στὸ χειρόγραφο καὶ στὴ

συνέχεια ὁ μαθηματικὸς σχολιασμός τους

342013

Δρ Μαρία Δ Χάλκου mchalkougmailcom

5

bull Πρότασις 47η

bull Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις

bull Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ αβγ ὀρθὴν ἔχον τὴν βαγ γωνίαν Λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς βγ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν βα αγ τετραγώνοις (σχ 78)


6


7

bull Κατασκευή bull Ἀναγεγράφθω ἀπὸ μὲν τῆς βγ τὸ βε τετράγωνον ἀπὸ δὲ τῶν βα αγ τὰ ηβ θγ(4) καὶ διὰ τοῦ α ὁποτέρᾳ τῶν βδ γε ἤχθω

παράλληλος ἡ αλ(5) καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αδ γζ

bull Δεῖξις bull (28β) ἡ αβζ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ γβδ(6) κοινὴ προσκείσθω ἡ αβγ ἡ ἄρα ζβγ ἴση τῇ αβδ(7) Ἐν τοῖς τριγώνοις οὖν ζβγ αβδ ἡ μὲν ζβ

ἴση τῇ βα ἡ δὲ βγ τῇ βδ(8) καὶ γωνία ἡ ζγβ τῇ αβδ Τὸ τρίγωνον ἄρα ζβγ ἴσον τῷ αβδ(9) καὶ ἔστι τοῦ μὲν ζβγ τριγώνου διπλάσιον τὸ βη παραλληλόγραμμον(10) βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ζβ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσὶ παραλλήλοις ταῖς ζβ ηγ Τοῦ δὲ αβδ τριγώνου διπλάσιον τὸ βλ παραλληλόγραμμον βάσιν τε γὰρ ἔχουσι τὴν αὐτὴν τὴν βδ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσὶ παραλλήλοις ταῖς βδ αλ Ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ βη τῷ βλ(11) Διὰ τὰ αὐτὰ δεὶ ἐπιτευχθεισῶν τῶν βκ αε δειχθήσω τὸ γθ ἴσον τῷ γλ Ὅλον ἄρα τὸ βε ἴσον τοῖς βη γθ Ἀλλὰ τὸ μὲν βε ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς βγ τετράγωνον τὸ δὲ βη τὸ ἀπὸ τῆς βα τὸ δὲ γθ τὸ ἀπὸ τῆς αγ Τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς βγ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν βα αγ τετραγώνοις

bull Ἀναφορές

bull 4 Κατὰ τὴν 46ην Ἐδῶ ἀλλὰ καὶ στὶς ὑποσημειώσεις ποὺ ἀκολουθοῦν φαίνεται πὼς αἰτιολογεῖ λεπτομερῶς τὰ βήματα τῶν ἀποδείξεων δηλαδὴ παραπέμπει σὲ προτάσεις ἀξιώματα κλπ ποὺ ἔχει ἤδη ἀναφέρει Βλ Μαρία Χάλκου Ἡ Διδασκαλία τῶν Μαθηματικῶν στὴν Ἑλλάδα κατὰ τὰ τελευταῖα χρόνια τῆς τουρκοκρατίας Εἰσαγωγή Ἔκδοση καὶ Σχόλια ἐκδ Μ Χάλκου Ἀθήνα 2009

bull 5 Κατὰ τὴν 31ην bull 6 Ἐκ τῆς κατασκευῆς bull 7 Κατὰ τὸ 2ον ἀξίωμα bull 8 Ἐκ τῆς κατασκευῆς bull 9 Κατὰ τὴν 4ην bull 10 Κατὰ τὴν 41ην bull 11 Κατὰ τὸ 6ον ἀξίωμα


8

Ερμηνεύοντας σε απλά ελληνικά (αλλά με πολυτονικό)hellip

bull Πρόταση 47 bull Ἂν κατασκευαστοῦν τετράγωνα μὲ πλευρὲς τὶς

πλευρὲς τυχόντος ὀρθογωνίου τριγώνου τότε τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ποὺ κατασκευάζεται μὲ πλευρὰ τὴν ὑποτείνουσα τοῦ ὀρθογωνίου θὰ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων ποὺ κατασκευάζονται μὲ πλευρὲς τὶς κάθετες πλευρὲς τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου

bull Θεωρεῖ τὸ ὀρθογώνιο τρίγ ΑΒΓ μὲ γων ΒΑΓ=1 ὀρθή Τότε τὸ τετράγωνο μὲ πλευρὰ τὴν ΒΓ θὰ ἔχει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων μὲ πλευρὲς τὶς ΒΑ καὶ ΑΓ


9


10

bull Κατασκευή bull Κατασκευάζει τὰ τρία τετράγωνα Ἀπὸ τὸ Α φέρει ΑΛ παράλληλη πρὸς τὶς ΒΔ

καὶ ΓΕ Φέρει ἐπίσης τὶς ΑΔ καὶ ΓΖ

bull Ἀπόδειξη bull Γων ΑΒΖ=γων ΓΒΔ=1 ὀρθή Ἂν σ αὐτὲς προστεθεῖ ἡ γων ΑΒΓ τότε γων

ΖΒΓ=γων ΑΒΔ Τὰ τρίγωνα ΖΒΓ καὶ ΑΒΔ εἶναι ἴσα γιατὶ ἔχουν ΖΒ=ΒΑ ΒΓ=ΒΔ καὶ γων ΖΒΓ=γων ΑΒΔ Τὸ τετράγωνο μὲ διαγώνιο ΒΗ ἔχει ἐμβαδὸν διπλάσιο τοῦ τριγ ΖΒΓ διότι ἔχουν βάση τὴν ΖΒ καὶ εὑρίσκονται μεταξὺ τῶν ἰδίων παραλλήλων ΖΒ καὶ ΗΓ Προφανῶς ἐννοεῖ ὅτι ἔχουν ἴσα ὕψη δηλαδὴ ΓΝ=ΑΒ ὅπου ΓΝperpΖΒ ὁπότε (ΑΒΖΗ)=ΒΖΑΒ=ΒΖΓΝ=2(ΖΒΓ)

bull Ὁμοίως τὸ παραλληλόγραμμο μὲ διαγώνιο ΒΛ ἔχει διπλάσιο ἐμβαδὸν τοῦ τριγ ΑΒΔ γιατὶ ἔχουν κοινὴ βάση τὴν ΒΔ καὶ εὑρίσκονται μεταξὺ τῶν ἰδίων παραλλήλων ΒΔ καὶ ΑΛ Ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ΒΗ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ΒΛ Μὲ τὸν ἴδιο τρόπο ἀποδεικνύει ὅτι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου μὲ διαγώνιο ΓΘ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου μὲ διαγώνιο ΓΛ Ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου μὲ διαγώνιο ΒΕ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων μὲ διαγωνίους ΒΗ καὶ ΓΘ

342013 Δρ Μαρία Δ Χάλκου mchalkougmailcom 11

Πρότασις 48η

bull Ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθὴ ἐστί

bull Τριγώνου τοῦ αβγ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς βγ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν βα αγ πλευρῶν τετρα(29α)γώνοις Λέγω ὅτι ὀρθὴ ἐστὶν ἡ βαγ γωνία

bull Κατασκευή

bull Ἤχθω ἡ αδ πρὸς ὀρθὰς τῇ αγ(12) καὶ ἴση τῇ αβ(13) καὶ ἐπετεύχθω ἡ δγ (σχ 79)

12 Κατὰ τὴν 11ην


342013


12


13

bull Δεῖξις bull Τὸ ἀπὸ τῆς βα τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς αδ(14) κοινὸν

προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς αγ Τὸ ἄρα ἀπὸ τῶν βα αγ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν αδ αγ(15) ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν βα αγ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς βγ(16) τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν αδ αγ τὸ ἀπὸ τῆς δγ(17) τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς βγ τετράγωνον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς δγ τετραγώνῳ καὶ ἡ βγ ἄρα ἴση τῇ δγ Ἐν τοῖς τριγώνοις οὖν γαβ γαδ ἡ μὲν βα ἴση τῇ αδ ἡ δὲ βγ τῇ δγ ἡ δὲ γα κοινή καὶ γωνία ἄρα ἡ βαγ ἴση τῇ δαγ(18) Ἀλλrsquo ἡ δαγ ὀρθή(19) καὶ ἡ βαγ ἄρα ὀρθὴ ἐστίν ὅπερ ἔδει δεῖξαι

bull Τέλος τοῦ 1ου βιβλίου bull 14 Ἴση γὰρ ἡ βα τῇ αδ 15 Κατὰ τὸ 2ον ἀξίωμα 16 Ἐξ ὑποθέσεως 17 Κατὰ τὴν 47ην 18 Κατὰ τὴν 8ην 19 Ἐκ τῆς κατασκευῆς


14


bull Πρόταση 48 (σχ 79) bull Ἐὰν τὸ τετράγωνο ποὺ σχηματίζεται μὲ πλευρὰ μία πλευρὰ

τριγώνου ἔχει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων ποὺ σχηματίζονται μὲ πλευρὲς τὶς ἄλλες δύο πλευρὲς τοῦ ἰδίου τριγώνου τότε ἡ γωνία ποὺ σχηματίζεται ἀπὸ τὶς τελευταῖες δύο πλευρὲς θὰ εἶναι ὀρθή

bull Θεωρεῖ τὸ τρίγωνο ΑΒΓ καὶ ὅτι τὸ τετράγωνο μὲ πλευρὰ τὴν ΒΓ ἔχει ἐμβαδὸν ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων ποὺ ἔχουν πλευρὲς τὶς ΑΒ καὶ ΑΓ ἀντίστοιχα

bull Κατασκευή bull Φέρει ΑΔ κάθετη πρὸς τὴν ΑΓ μὲ ΑΔ=ΑΒ

342013


15

bull Ἀπόδειξη (σχ 79)

bull Τὰ τετράγωνα ποὺ κατασκευάζονται μὲ πλευρὲς τὶς ΑΔ καὶ ΑΒ εἶναι ἰσεμβαδικά Ἄρα τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων μὲ πλευρὲς τὶς ΑΒ καὶ ΑΓ εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν τετραγώνων μὲ πλευρὲς τὶς ΑΔ καὶ ΑΓ δηλαδὴ ἴσο μὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ΒΓ ἢ ΔΓ Ἄρα ΒΓ=ΔΓ Συνεπῶς στὰ τρίγωνα ΓΑΒ καὶ ΓΑΔ ἡ ΑΓ εἶναι κοινὴ πλευρά ἡ ΒΑ=ΑΔ ἀπὸ κατασκευή καὶ ΒΓ=ΔΓ ἀφοῦ εἶναι πλευρὲς ἰσεμβαδικῶν τετραγώνων Ἄρα τὰ τρίγωνα εἶναι ἴσα ὁπότε καὶ γων ΒΑΓ=γων ΔΑΓ=1 ὀρθή

342013


16


bull Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν (107α) γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις

bull Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ΒΑΓ γωνίαν Λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοίς τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις τουτέστιν ὅτι ρ=ξ+χ (σχ 37)

342013

Δρ Μαρία Δ Χάλκου mchalkougmailcom 17


18


bull Ἤχθω ἡ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ΒΓ

bull Δεῖξις

bull Ὡς ΓΒΒΑΑΒΒΔ ἡ ἄρα ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ Ἀλλὰ καὶ τὸ ρ πρὸς τὸ ξ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ Ὡς ἄρα ρξΓΒΒΔ Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ρχΓΒΓΔ Ἄρα καὶ ὡς ρξ+χΓΒΒΔ+ΓΔ Ἀλλrsquo ἡ ΓΒ=ΒΔ+ΓΔ ἄρα καὶ τὸ ρ=ξ+χ ὅπερ ἔδει δεῖξαι

342013


19


bull Πρόταση 31 (σχ 37) Θεωρεῖ ὀρθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ μὲ γων ΒΑΓ=1 ὀρθή Τότε τὸ ἀπὸ

τῆς ΓΒ εἶδος εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν εἰδῶν τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ τῶν ὁμοίων καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένων Δηλαδὴ ρ=ξ+χ

bull Κατασκευή bull Φέρει τὴν ΑΔ κάθετο στὴν ΒΓ bull Ἀπόδειξη bull Τὰ τρίγωνα ΑΒΓ ΔΒΑ ΔΑΓ εἶναι ὅμοια (τρ ΑΒΓasympτρ ΔΒΑ γιατὶ εἶναι

ὀρθογώνια μὲ γων Β κοινή τρ ΑΒΓasympτρ ΔΑΓ γιατὶ εἶναι ὀρθογώνια μὲ γων Γ κοινή) ἄρα ΓΒΒΑ=ΑΒΒΔ (1) ἄρα ΒΓΒΔ=ΑΒsup2ΒΔsup2 (2) Ἀπὸ τὴ σχέση (1) ΑΒsup2=ΒΓΒΔ ἄρα ΑΒ4=ΒΓsup2ΒΔsup2 ὁπότε ἡ σχέση (2) γίνεται ΒΓΒΔ=(ΑΒsup2ΒΓsup2ΒΔsup2)(ΒΔsup2ΑΒ4)=ΒΓsup2ΑΒsup2

bull Ὅμως καὶ ὁ λόγος τοῦ ρ πρὸς τὸ ξ εἶναι ἴσος μὲ τὸ τετράγωνο τοῦ λόγου τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΒΑ ἄρα ρξ=ΒΓΒΔ Ὁμοίως ρχ=ΒΓΓΔ ἄρα ρ(ξ+χ)=ΒΓ(ΒΔ+ΓΔ) καὶ ἐπειδὴ ΒΔ+ΓΔ=ΒΓ τότε καὶ ρ=ξ+χ


20

Το υλικό της παρουσίασης είναι από το άρθρο

΄΄Το Πυθαγόρειο Θεώρημα και οι εφαρμογές του σύμφωνα με δύο ελληνικά χειρόγραφα του 15ου και του 18ου αι΄΄ Ευκλείδης γ της ΕΜΕ 77 (2012) σελ 62-85

Και από την έκδοση του χειρογράφου που έγινε το 2009 με τίτλο

΄΄Η διδασκαλία των μαθηματικών στην Ελλάδα κατά τα τελευταία χρόνια της τουρκοκρατίας΄΄

342013


21

Η έκδοση του 2009 χαρακτηρίστηκε διεθνώς ΕΡΓΟ ΠΗΓΗ (httphollisharvardedu με όρο αναζήτησης Chalkou Maria)


22

Η Γεωμετρία του Νικηφόρου Θεοτόκη

bull Ὁ κώδικας τοῦ ὁποίου ὁ τίτλος εἶναι umlΜαθηματάριονuml φέρει τὴ σφραγίδα τῆς Σχολῆς τῆς Δημητσάνας καὶ ἀποτελεῖ πνευματικὴ δημιουργία τοῦ Νικηφόρου Θεοτόκη Τὸ πρῶτο μέρος του δηλαδὴ αὐτὸ τῆς Γεωμετρίας περιέχει ὕλη ἐπιπεδομετρίας καὶ στερεομετρίας


2







3








4




συγγραφέα



342013


5





6


7









8






9


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22







3








4




συγγραφέα



342013


5





6


7









8






9


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22








4




συγγραφέα



342013


5





6


7









8






9


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22




συγγραφέα



342013


5





6


7









8






9


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22





6


7









8






9


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22


7









8






9


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22









8






9


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22






9


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22


10














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22














342013


12


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22


13





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22





14






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22






342013


15



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22



342013


16




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22




342013



18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22


18



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22



bull Δεῖξις


342013


19








20





342013


21



22








20





342013


21



22





342013


21



22



22

The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα...

Education

Transcript of The Pythagorean Theorem in Greece at 18th century - Το Πυθαγόρειο Θεώρημα...