The power of research in the history

7/28/2019 The power of research in the history

1/15

L

2

- i n d u c e d N o r m s a n d F r e q u e n c y - g a i n s o f S a m p l e d - d a t a

S e n s i t i v i t y O p e r a t o r s .

J . H . B r a s l a v s k y

y

, R . H . M i d d l e t o n

z

a n d J . S . F r e u d e n b e r g

x

D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g

T h e U n i v e r s i t y o f N e w c a s t l e , N S W 2 3 0 8 A u s t r a l i a

T e c h n i c a l R e p o r t E E 9 5 3 1

J u n e 1 9 9 5

A b s t r a c t

T h i s p a p e r d e v e l o p s e x a c t , c o m p u t a b l e f o r m u l a s f o r t h e f r e q u e n c y - g a i n a n d L

2

- i n d u c e d

n o r m o f t h e s e n s i t i v i t y o p e r a t o r i n a s a m p l e d - d a t a c o n t r o l s y s t e m . W i t h s a m p l e d - d a t a , w e

r e f e r t o a s y s t e m t h a t c o m b i n e s b o t h c o n t i n u o u s - t i m e a n d d i s c r e t e - t i m e s i g n a l s , a n d w h i c h

i s s t u d i e d i n c o n t i n u o u s - t i m e . T h e e x p r e s s i o n s a r e o b t a i n e d u s i n g l i f t i n g t e c h n i q u e s i n t h e

f r e q u e n c y - d o m a i n , a n d h a v e a p p l i c a t i o n i n p e r f o r m a n c e a n d s t a b i l i t y r o b u s t n e s s a n a l y s i s

t a k i n g i n a c c o u n t f u l l i n t e r s a m p l e i n f o r m a t i o n .

K e y w o r d s : S a m p l e d - d a t a s y s t e m s , L

2

- i n d u c e d n o r m s , F r e q u e n c y r e s p o n s e , S e n s i t i v i t y a n a l -

y s i s , G e n e r a l i z e d s a m p l e d - d a t a h o l d s .

1 I n t r o d u c t i o n .

T h i s p a p e r s t u d i e s t h e c o m p u t a t i o n o f t h e L

2

- i n d u c e d n o r m o f t h e s e n s i t i v i t y o p e r a t o r i n a

s a m p l e d - d a t a ( S D ) c o n t r o l s y s t e m . T h e t e r m S D i n d i c a t e s t h a t w e a p p r o a c h t h e s y s t e m i n

c o n t i n u o u s - t i m e , i . e . , c o n s i d e r i n g f u l l i n t e r s a m p l e i n f o r m a t i o n . T h e L

2

- i n d u c e d n o r m i s t h e o p -

e r a t o r n o r m w h e n i n p u t s a n d o u t p u t s b e l o n g t o t h e s p a c e o f s q u a r e - i n t e g r a b l e s i g n a l s L

2

, a n d

i t i s l i n k e d t o i m p o r t a n t c o n t r o l p r o b l e m s . I n d e e d , f o r l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t ( L T I ) s y s t e m s , t h e

L

2

- i n d u c e d n o r m o f a s y s t e m o p e r a t o r i s t h e H

1

- n o r m o f i t s t r a n s f e r m a t r i x , w h i c h r e p r e s e n t s a

v e r y u s e f u l m e a s u r e i n m a n y a p p l i c a t i o n s o f m o d e r n c o n t r o l t h e o r y ( e . g . , F r a n c i s 1 9 9 1 ) .

T h e c o n c e p t s a n d m e t h o d s a s s o c i a t e d w i t h L T I H

1

c o n t r o l b e a r n o i m m e d i a t e e x t e n s i o n t o

S D s y s t e m s s i n c e , w h e n i n t e r s a m p l e b e h a v i o r i s t a k e n i n a c c o u n t , t h e o p e r a t o r s a r e t i m e - v a r y i n g

a n d n o t r a n s f e r f u n c t i o n s a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e m . I n v i e w o f t h i s , c o n s i d e r a b l e r e s e a r c h d u r i n g

t h e l a s t y e a r s h a s f o c u s e d o n t h e s t u d y o f L

2

- n o r m s a n d H

1

r e l a t e d p r o b l e m s f o r S D s y s t e m s .

E a r l y w o r k s a d d r e s s i n g t h e c o m p u t a t i o n o f L

2

- i n d u c e d n o r m s o f S D s y s t e m s i n c l u d e T h o m p s o n ,

S t e i n & A t h a n s ( 1 9 8 3 ) , T h o m p s o n , D a i l y & D o y l e ( 1 9 8 6 ) , C h e n & F r a n c i s ( 1 9 9 0 ) , a n d L e u n g , P e r r y

& F r a n c i s ( 1 9 9 1 ) . T h o m p s o n e t a l . ( 1 9 8 3 ) , T h o m p s o n e t a l . ( 1 9 8 6 ) , a n d C h e n & F r a n c i s ( 1 9 9 0 )

c o n s i d e r e d s i m p l e o p e n - l o o p c o n n e c t i o n s i n v o l v i n g a s a m p l e r a n d a z e r o o r d e r h o l d ( Z O H ) . A

f o r m u l a f o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e L

2

- i n d u c e d n o r m i n a f e e d b a c k s e t u p w a s g i v e n i n L e u n g

T o a p p e a r I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l .

y

N o w w i t h t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , S a n t a B a r b a r a

C A 9 3 1 0 6 - 9 5 6 0 , U S A , j u l i o @ s e i d e l . e c e . u c s b . e d u

z

r i c k @ e e . n e w c a s t l e . e d u . a u

x

J . S . F r e u d e n b e r g i s w i t h t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i t y o f M i c h i -

g a n , U S A , j f r @ e e c s . u m i c h . e d u

1


2/15

E E 9 5 3 1 : L

2

- i n d u c e d N o r m s a n d F r e q u e n c y - g a i n s 2

e t a l . ( 1 9 9 1 ) u n d e r t h e a s s u m p t i o n s o f b a n d - l i m i t e d i n p u t s i g n a l s . I n p a r t i c u l a r , t h e n u m e r i c a l

i m p l e m e n t a t i o n o f o u r r e s u l t s r e l i e s o n t h e s a m e t o o l s u s e d i n t h e l a t t e r p a p e r f o r t h e c a s e o f Z O H .

M o r e g e n e r a l r e s u l t s o n t h e c o m p u t a t i o n o f L

2

- i n d u c e d n o r m s a n d t h e r s t s o l u t i o n s t o S D

H

1

o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m s w e r e o b t a i n e d u s i n g d i e r e n t t i m e - d o m a i n f r a m e w o r k s . O n e o f

t h e s e f r a m e w o r k s i s t h e s o - c a l l e d l i f t i n g t e c h n i q u e ( Y a m a m o t o 1 9 9 0 , B a m i e h , P e a r s o n , F r a n -

c i s & T a n n e n b a u m 1 9 9 1 , B a m i e h & P e a r s o n 1 9 9 2 , T o i v o n e n 1 9 9 2 , Y a m a m o t o 1 9 9 3 , D u l l e r u d &

G l o v e r 1 9 9 3 , Y a m a m o t o 1 9 9 4 ) . T i m e - d o m a i n a p p r o a c h e s t h a t d i s p e n s e w i t h t h e u s e o f l i f t i n g

t e c h n i q u e s i n c l u d e T a d m o r ( 1 9 9 2 ) , K a b a m b a & H a r a ( 1 9 9 3 ) , S u n , N a g p a l & K h a r g o n e k a r ( 1 9 9 3 ) ,

a n d S i v a s h a n k a r & K h a r g o n e k a r ( 1 9 9 4 ) . I n p a r t i c u l a r , S u n e t a l . ( 1 9 9 3 ) a p p l i e d t e c h n i q u e s b a s e d

o n l i n e a r s y s t e m s w i t h j u m p s t o t h e s y n t h e s i s o f H

1

c o n t r o l l e r s f o r S D s y s t e m s . A n i n t e r e s t i n g

c o n c l u s i o n f r o m ( S u n e t a l . 1 9 9 3 ) i s t h a t , i f o n e d o e s n o t a s s u m e a Z O H , t h e n t h e o p t i m a l s o l u t i o n

i n v o l v e s t h e u s e o f a g e n e r a l i z e d S D h o l d f u n c t i o n ( G S H F ) a l a K a b a m b a ( 1 9 8 7 ) .

A r e c e n t l y i n t r o d u c e d c o n c e p t , w h i c h i s c l o s e l y r e l a t e d t o L

2

- i n d u c e d n o r m s , i s t h a t o f t h e

f r e q u e n c y - g a i n o f a S D o p e r a t o r . T h i s c o n c e p t e x t e n d s t h e L T I n o t i o n o f f r e q u e n c y r e s p o n s e t o

S D s y s t e m s , i n t h e s e n s e t h a t t h e m a x i m u m m a g n i t u d e o f t h e f r e q u e n c y - g a i n o f a S D o p e r a t o r i s

i t s L

2

- i n d u c e d n o r m ( Y a m a m o t o & K h a r g o n e k a r 1 9 9 3 , H a g i w a r a , I t o & A r a k i 1 9 9 5 , Y a m a m o t o &

A r a k i 1 9 9 4 , C h e n & F r a n c i s 1 9 9 5 ) . Y a m a m o t o & K h a r g o n e k a r ( 1 9 9 3 ) u s e d l i f t i n g t e c h n i q u e s t o

c o m p u t e t h e f r e q u e n c y - g a i n o f a g e n e r a l S D s y s t e m , w h i l e H a g i w a r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) o b t a i n e d s i m i l a r

r e s u l t s f o r t h e c l a s s o f S D c o m p a c t o p e r a t o r s b a s e d o n t h e f r e q u e n c y - d o m a i n f r a m e w o r k d e v e l o p e d

i n A r a k i , I t o & H a g i w a r a ( 1 9 9 3 ) . R e l a t i o n s b e t w e e n b o t h a p p r o a c h e s h a v e b e e n d i s c u s s e d i n

Y a m a m o t o & A r a k i ( 1 9 9 4 ) . A l t h o u g h m o r e g e n e r a l , t h e p r o c e d u r e s p r o p o s e d i n Y a m a m o t o &

K h a r g o n e k a r ( 1 9 9 3 ) d o n o t s e e m t o h a v e a n e a s y n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n . O n t h e o t h e r h a n d ,

t h e f o r m u l a s p r o v i d e d b y H a g i w a r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) a r e r e a d i l y n u m e r i c a l l y i m p l e m e n t a b l e i n a r e l i a b l e

f a s h i o n . A n i t e r a t i v e p r o c e d u r e w a s a l s o s u g g e s t e d i n H a g i w a r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) t o c o m p u t e t h e

f r e q u e n c y - g a i n o f o p e r a t o r s s u c h a s t h e s e n s i t i v i t y o p e r a t o r , w h i c h , a s i t t u r n s o u t , i s n o t c o m p a c t .

I n t h i s n o t e w e a p p l y a f r e q u e n c y - d o m a i n l i f t i n g t e c h n i q u e t o o b t a i n e x a c t f o r m u l a s f o r t h e

c o m p u t a t i o n o f t h e f r e q u e n c y - g a i n o f t h e S D s e n s i t i v i t y o p e r a t o r . T h e L

2

- i n d u c e d n o r m i s t h e n

o b t a i n e d f r o m t h e f r e q u e n c y - g a i n b y p e r f o r m i n g a s i m p l e s e a r c h o f m a x i m u m o v e r a n i t e i n t e r v a l

o f f r e q u e n c i e s . T h e s e e x p r e s s i o n s h a v e d i r e c t a p p l i c a t i o n i n p e r f o r m a n c e a n d s t a b i l i t y r o b u s t n e s s

a n a l y s e s o f S D s y s t e m s . I n p a r t i c u l a r , o u r r e s u l t s a r e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f G S H F s , t h u s a l l o w i n g

t h e a n a l y s i s o f d e s i g n t e c h n i q u e s u s i n g D / A d e v i c e s o t h e r t h a n t h e Z O H ( e . g . , K a b a m b a 1 9 8 7 , S u n

e t a l . 1 9 9 3 , Y a n g & K a b a m b a 1 9 9 4 ) .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . x 2 d e n e s n o t a t i o n a n d i n t r o d u c e s t h e s y s t e m u n d e r s t u d y .

x 3 r e v i e w s t h e f r e q u e n c y - d o m a i n l i f t i n g f o r m a l i s m t h a t w i l l b e u s e d t o s t a t e a n d p r o v e o u r r e s u l t s ,

w h i c h a p p e a r i n x 4 . E x p r e s s i o n s f o r t h e n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e r e s u l t s a n d a n i l l u s t r a t i v e

e x a m p l e a r e g i v e n i n x 5 . x 6 h a s s o m e c o n c l u d i n g r e m a r k s .

2 P r e l i m i n a r i e s .

W e c o n s i d e r t h e m u l t i v a r i a b l e S D f e e d b a c k s y s t e m s h o w n i n F i g u r e 1 , w h e r e P a n d F a r e t h e

t r a n s f e r f u n c t i o n s o f t h e p l a n t a n d a n t i - a l i a s i n g l t e r , C

d

i s t h e d i g i t a l c o n t r o l l e r , a n d r , d a n d

n a r e t h e c o m m a n d , d i s t u r b a n c e a n d n o i s e i n p u t s t o t h e s y s t e m . T h e s y s t e m o u t p u t i s y , a n d u

a n d f u

k

g a r e t h e a n a l o g a n d d i s c r e t e c o n t r o l i n p u t s . T h e p l a n t a n d c o n t r o l l e r a r e a s s u m e d t o b e

p r o p e r , a n d t h e l t e r s t r i c t l y p r o p e r a n d s t a b l e ,

1

a n d t h e y a r e a l l f r e e o f u n s t a b l e h i d d e n m o d e s .

W e d e n o t e t h e s a m p l i n g p e r i o d b y T , a n d t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y b y !

s

, 2 = T . T h e N y q u i s t

f r e q u e n c y r a n g e i s d e n e d a s t h e i n t e r v a l

N

, - !

s

= 2 ; !

s

= 2 ] . I f v i s a c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l ,

w e d e n e t h e s a m p l i n g o p e r a t i o n w i t h p e r i o d T b y

S

T

v = f v

k

g

1

k = - 1

;

1

T h e a s s u m p t i o n t h a t t h e l t e r i s s t r i c t l y p r o p e r i s s t a n d a r d a n d g u a r a n t e e s t h a t t h e s a m p l i n g o p e r a t i o n i s

w e l l - d e n e d ( e . g . , S i v a s h a n k a r & K h a r g o n e k a r 1 9 9 3 , D u l l e r u d & G l o v e r 1 9 9 3 ) . T h e a s s u m p t i o n o f s t a b i l i t y i s o n l y

m a d e f o r s i m p l i c i t y o f e x p o s i t i o n a n d m a y b e r e m o v e d .


3/15

E E 9 5 3 1 : L

2


i

b

q

i

b

b

bb i b- - -

-

-

f u

k

g

?

?

-

. . .

-

. . . . . . . .

6

+

+

+

+

-

+

d

y

n

S

T

r u

H

F

P

C

d

F i g u r e 1 : S D c o n t r o l s y s t e m .

w h e r e t h e s e q u e n c e f v

k

g

1

k = - 1

r e p r e s e n t s t h e s a m p l e d s i g n a l , w i t h v

k

= v ( k T ) f o r a n y i n t e g e r k .

T h e z - t r a n s f o r m o p e r a t o r i s d e n o t e d b y Z , i . e . , Z f u

k

g ,

P

1

k = - 1

u

k

z

- k

, a n d t h e L a p l a c e t r a n s f o r m

o p e r a t o r i s d e n o t e d b y L , L u = U .

T h e h o l d d e v i c e H i s a G S H F ( K a b a m b a 1 9 8 7 ) , d e n e d b y

u ( t ) = h ( t - k T ) u

k

; k T t


4/15

E E 9 5 3 1 : L

2


A s s o c i a t e d w i t h G a n d F , w e i n t r o d u c e n o w t w o d i s c r e t e t r a n s f e r m a t r i c e s t h a t w i l l b e r e q u i r e d

t o f o r m u l a t e o u r r e s u l t s ,

G

d

( e

j ! T

) ,

1

X

k = - 1

G

k

( j ! ) G

k

( j ! ) ; a n d ( 4 )

F

d

( e

j ! T

) ,

1

X

k = - 1

F

k

( j ! ) F

k

( j ! ) ; ( 5 )

w h e r e F

d e n o t e s t h e c o n j u g a t e d t r a n s p o s e o f F . N o t e t h a t i f y , n , a n d d a r e v a l u e d i n R

m

, t h e n

G

d

( e

j ! T

) a n d F

d

( e

j ! T

) a r e m m d i s c r e t e t r a n s f e r m a t r i c e s .

A c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e o f S D s y s t e m s i s e v i d e n t f r o m ( 2 ) , n a m e l y , t h e r e s p o n s e o f t h e d i s -

c r e t i z e d p l a n t a t a f r e q u e n c y ! 2

N

d e p e n d s u p o n t h e r e s p o n s e o f t h e a n a l o g p l a n t , p r e l t e r , a n d

h o l d f u n c t i o n a t a n i n n i t e n u m b e r o f f r e q u e n c i e s . I n d e e d , i t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e s t e a d y - s t a t e

r e s p o n s e o f a s t a b l e S D s y s t e m t o a s i n u s o i d a l i n p u t c o n s i s t s o f a f u n d a m e n t a l c o m p o n e n t a n d

i n n i t e l y m a n y a l i a s e s s h i f t e d b y m u l t i p l e s o f t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y . A n a l o g o u s e x p r e s s i o n s a r e

o b t a i n e d f o r t h e r e s p o n s e t o m o r e g e n e r a l i n p u t s , s u c h a s n o i s e n a n d o u t p u t d i s t u r b a n c e d ( c f .

G o o d w i n & S a l g a d o 1 9 9 4 , A r a k i , I t o & H a g i w a r a 1 9 9 3 , F r e u d e n b e r g e t a l . 1 9 9 4 ) . I n p a r t i c u l a r , i f

n i s i n L

2

( 0 ; 1 ) a n d N i s i t s L a p l a c e t r a n s f o r m , t h e n w e h a v e t h a t t h e s y s t e m r e s p o n s e i s g i v e n

b y

Y ( j ! ) = - P ( j ! ) H ( j ! ) S

d

( e

j ! T

) C

d

( e

j ! T

)

1

T

1

X

k = - 1

F

k

( j ! ) N

k

( j ! ) : ( 6 )

S i m i l a r l y , f o r t h e r e s p o n s e t o a d i s t u r b a n c e d i n L

2

( 0 ; 1 ) , w e h a v e t h a t

Y ( j ! ) = D ( j ! ) - P ( j ! ) H ( j ! ) S

d

( e

j ! T

) C

d

( e

j ! T

)

1

T

1

X

k = - 1

F

k

( j ! ) D

k

( j ! ) : ( 7 )

A l t h o u g h a S D s y s t e m i s t i m e - v a r y i n g , i t s i n t r i n s i c p e r i o d i c n a t u r e a l l o w s t h e u s e o f m o d e l

t r a n s f o r m a t i o n t e c h n i q u e s t h a t y i e l d t i m e - i n v a r i a n t c h a r a c t e r i z a t i o n s . T h e f o l l o w i n g s e c t i o n d e a l s

w i t h o n e o f t h e m .

3 F r e q u e n c y - d o m a i n l i f t i n g .

S e v e r a l f r a m e w o r k s a r e a v a i l a b l e f o r t h e t r e a t m e n t o f S D s y s t e m s e m b o d y i n g i n t e r s a m p l e i n f o r -

m a t i o n i n t h e m o d e l . A m o n g t h e m , w e h a v e t i m e - d o m a i n a p p r o a c h e s , a s t h e l i f t i n g t e c h n i q u e

o f , e . g . , Y a m a m o t o ( 1 9 9 0 ) , B a m i e h & P e a r s o n ( 1 9 9 2 ) , Y a m a m o t o & K h a r g o n e k a r ( 1 9 9 3 ) ; a n d

f r e q u e n c y - d o m a i n a p p r o a c h e s , a s t h e F R - o p e r a t o r s i n t r o d u c e d i n A r a k i , I t o & H a g i w a r a ( 1 9 9 3 ) .

W e s h a l l u s e h e r e a f r e q u e n c y d o m a i n s e t t i n g t h a t w e r e f e r t o a s a | f r e q u e n c y - d o m a i n | l i f t i n g

t e c h n i q u e . T h e t r a n s f o r m a t i o n i n v o l v e d i n t h i s a p p r o a c h m a y b e v i e w e d a s a g e n e r a l i z a t i o n o f

t h e F o u r i e r t r a n s f o r m i n t h e F R - o p e r a t o r s f r a m e w o r k o f A r a k i , I t o & H a g i w a r a ( 1 9 9 3 ) . T h e i d e a

o f l i f t i n g i n f r e q u e n c y - d o m a i n i s n o t n e w ; i t w a s d e v e l o p e d i n t h e s i g n a l p r o c e s s i n g l i t e r a t u r e f o r

l i n e a r d i s c r e t e - t i m e p e r i o d i c s y s t e m s . S e e f o r e x a m p l e S h e n o y , B u r n s i d e & P a r k s ( 1 9 9 4 ) .

L e t y b e a s i g n a l i n t h e s p a c e L

2

( 0 ; 1 ) . T h e n , i t i s a f a c t t h a t i t s F o u r i e r t r a n s f o r m Y ( j ! )

b e l o n g s t o L

2

( - 1 ; 1 ) . N o w , f r o m Y ( j ! ) c o n s t r u c t t h e s e q u e n c e o f f u n c t i o n s

f Y

k

( j ! ) g

k

= f Y ( j ( ! + k !

s

) ) g

k

; ( 8 )

f o r ! i n t h e N y q u i s t r a n g e

N

a n d k i n t e g e r . A r r a n g e t h i s s e q u e n c e i n a n i n n i t e v e c t o r , w h i c h


5/15

E E 9 5 3 1 : L

2


w e d e n o t e b y

y ( ! ) ,

2

6

6

6

6

6

6

4

.

.

.

Y

1

( j ! )

Y

0

( j ! )

Y

- 1

( j ! )

.

.

.

3

7

7

7

7

7

7

5

: ( 9 )

W e s a y t h a t t h e i n n i t e - d i m e n s i o n a l v e c t o r y i s t h e l i f t i n g o f Y , a n d w e d e n o t e t h e l i f t i n g o p e r a t i o n

a s y = F Y . A s a f u n c t i o n , y i s d e n e d a t a l m o s t e v e r y

2

! i n

N

, a n d t a k e s v a l u e s i n

2

. M o r e o v e r ,

t h e s e

2

- v a l u e d f u n c t i o n s f o r m a H i l b e r t s p a c e ( B a l a k r i s h n a n 1 9 8 1 ) u n d e r t h e n o r m a n d i n n e r

p r o d u c t

k y k ,

Z

N

k y ( ! ) k

2

2

d !

1 = 2

; h y ; x i ,

Z

N

h y ( ! ) ; x ( ! ) i

2

d ! :

W e d e n o t e t h i s s p a c e b y L

2

(

N

;

2

) . S i n c e t h e e l e m e n t s o f L

2

(

N

;

2

) a r e e s s e n t i a l l y r e a r r a n g e -

m e n t s o f t h o s e o f L

2

( - 1 ; 1 ) , i t i s n o t d i c u l t t o s e e t h a t b o t h s p a c e s a r e i n f a c t i s o m o r p h i c w i t h

p r e s e r v a t i o n o f n o r m , a s s t a t e d i n t h e f o l l o w i n g l e m m a ( S e e a l s o Y a m a m o t o & A r a k i 1 9 9 4 ) .

L e m m a 3 . 1 T h e s p a c e L

2

(

N

;

2

) i s i s o m e t r i c a l l y i s o m o r p h i c t o L

2

( - 1 ; 1 ) .

P r o o f : S e e A p p e n d i x .

A k e y p o i n t o f t h e l i f t i n g i s t h a t , i n t h e n e w s p a c e , o p e r a t o r s o f t h e S D s y s t e m a r e r e p r e s e n t e d

a s m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r s d e s c r i b e d b y i n n i t e - d i m e n s i o n a l \ t r a n s f e r m a t r i c e s " . I n o t h e r w o r d s ,

i f M i s a b o u n d e d o p e r a t o r i n L

2

, a n d F M F

- 1

i s t h e c o r r e s p o n d i n g o p e r a t o r i n L

2

(

N

;

2

) , t h e n i t s

a c t i o n c a n b e d e s c r i b e d a s ( F M F

- 1

y ) ( ! ) = M ( ! ) y ( ! ) . A n i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f t h e s e f a c t s i s

t h a t t h e L

2

- i n d u c e d n o r m o f t h e o p e r a t o r c a n t h e n b e c o m p u t e d a s ( B a m i e h e t a l . 1 9 9 1 , Y a m a m o t o

& A r a k i 1 9 9 4 )

k M k = s u p

! 2

N

k M ( ! ) k ; ( 1 0 )

w h e r e t h e s u p r e m u m i s u n d e r s t o o d a s t h e e s s e n t i a l s u p r e m u m i n

N

, a n d k M ( ! ) k i s t h e

2

-

i n d u c e d o p e r a t o r n o r m o f M ( ! ) . T h e s c a l a r - v a l u e d f u n c t i o n k M k :

N

! R

+

0

i s t h e s o - c a l l e d

f r e q u e n c y - g a i n o f t h e S D o p e r a t o r M ( Y a m a m o t o & K h a r g o n e k a r 1 9 9 3 , H a g i w a r a e t a l . 1 9 9 5 ) .

N o t i c e t h e s i m i l a r i t y o f ( 1 0 ) t o t h e f a m i l i a r e x p r e s s i o n o f t h e L

2

- i n d u c e d n o r m o f a n o p e r a t o r

i n a L T I s y s t e m , i . e . , t h e H

1

- n o r m o f a t r a n s f e r m a t r i x .

4 L

2

- i n d u c e d n o r m s o f S e n s i t i v i t y O p e r a t o r s .

W e c o n c e n t r a t e o n t h e s e n s i t i v i t y a n d c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y o p e r a t o r s i n t h e S D s y s t e m o f

F i g u r e 1 . T h e s e o p e r a t o r s a r e d e n e d a s t h e m a p p i n g s r e l a t i n g o u t p u t d i s t u r b a n c e d a n d n o i s e n

t o t h e o u t p u t y , a n d a r e r e s p e c t i v e l y d e n o t e d b y

S : L

2

! L

2

S d 7! y

a n d

T : L

2

! L

2

T n 7! y :

U n d e r t h e a s s u m p t i o n s o f c l o s e d - l o o p L

2

- s t a b i l i t y , S a n d T a r e b o u n d e d o p e r a t o r s o n L

2

.

T h e a c t i o n s o f t h e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y a n d s e n s i t i v i t y o p e r a t o r s a r e r e s p e c t i v e l y d e n e d

i n f r e q u e n c y - d o m a i n b y t h e s t e a d y - s t a t e r e s p o n s e s ( 6 ) a n d ( 7 ) . U s i n g t h e f r e q u e n c y - d o m a i n l i f t i n g

o f x 3 , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o a l t e r n a t i v e l y w r i t e ( 6 ) a n d ( 7 ) a s

y = - T n a n d y = S d : ( 1 1 )

2

W i t h r e s p e c t t o t h e s t a n d a r d L e b e s g u e m e a s u r e .


6/15

E E 9 5 3 1 : L

2


H e r e , T ( ! ) i s t h e f o l l o w i n g i n n i t e - d i m e n s i o n a l t r a n s f e r m a t r i x d e n e d o n

N

( c f . A r a k i , H a g i -

w a r a & I t o 1 9 9 3 , Y a m a m o t o & A r a k i 1 9 9 4 )

T =

2

6

6

6

6

4

.

.

.

.

.

.

.

.

.

G

k

F

k

G

k

F

k - 1

G

k - 1

F

k

G

k - 1

F

k - 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

3

7

7

7

7

5

; ( 1 2 )

w h e r e F i s t h e t r a n s f e r m a t r i x o f t h e p r e l t e r , a n d G i s t h e f u n c t i o n i n t r o d u c e d i n ( 3 ) . O b v i o u s l y ,

t h e c o r r e s p o n d i n g m a t r i x f o r S i s g i v e n b y S = I - T , w h e r e I r e p r e s e n t s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r o n

2

.

O p e r a t o r s T a n d S a r e i n n i t e - d i m e n s i o n a l t r a n s f e r m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e S D c o m -

p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y a n d s e n s i t i v i t y o p e r a t o r s T a n d S ( A r a k i & I t o 1 9 9 3 , A r a k i , H a g i w a r a &

I t o 1 9 9 3 ) . W e a r e i n t e r e s t e d i n t h e c o m p u t a t i o n o f t h e i r f r e q u e n c y - g a i n s k T ( ! ) k a n d k S ( ! ) k .

T h e c o r r e s p o n d i n g L

2

- i n d u c e d n o r m s a r e t h e n o b t a i n e d , f r o m ( 1 0 ) , b y s e a r c h i n g f o r s u p r e m a o v e r

t h e n i t e i n t e r v a l

N

.

A n i m p o r t a n t f a c t a b o u t t h e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y o p e r a t o r T i s t h a t i t h a s n i t e r a n k

( a n d t h e r e f o r e i s c o m p a c t ) . W e s h o w t h i s i n t h e f o l l o w i n g l e m m a .

L e m m a 4 . 1 I f t h e i n p u t s t o t h e s y s t e m i n F i g u r e 1 a r e v a l u e d i n R

m

, t h e n T h a s a t m o s t

r a n k m .

P r o o f : P a r t i t i o n F ( j ! ) b y r o w s , a n d G ( j ! ) b y c o l u m n s , i . e . , F = f

1

; f

2

; : : : ; f

m

]

, a n d G =

g

1

; g

2

; : : : ; g

m

] . I n t r o d u c e t h e l i f t i n g s f o r F

a n d G , d e n o t e d f = F F

, a n d g = F G , w h i c h c a n

t h e n b e w r i t t e n f = f

1

; f

2

; : : : ; f

m

] , a n d g = g

1

; g

2

; : : : ; g

m

] . E a c h c o l u m n f

i

= F f

i

i n f , a n d

g

i

= F g

i

i n g , c e r t a i n l y i s a v e c t o r i n L

2

(

N

;

2

) , s i n c e F a n d G a r e b o t h s t a b l e a n d s t r i c t l y

p r o p e r f r o m o u r a s s u m p t i o n s i n x 2 . U s i n g t h i s n o t a t i o n , t h e a c t i o n o f T c a n b e a l t e r n a t i v e l y

w r i t t e n a s

T n =

m

X

i = 1

g

i

h n ; f

i

i

2

; ( 1 3 )

w h e r e , h n ; f

i

i

2

i s a s c a l a r - v a l u e d f u n c t i o n d e n e d a . e . o n

N

. E q u a t i o n ( 1 3 ) s h o w s t h a t T i s t h e

s u m o f m r a n k - o n e o p e r a t o r s o n L

2

(

N

;

2

) ; h e n c e i t h a s a t m o s t r a n k m , a n d s o d o e s T .

S i n c e T i s c o m p a c t , t h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f t h e n o r m o f T m a y b e a p p r o x i m a t e d b y

t r u n c a t i n g T b e t w e e n h a r m o n i c s - n a n d n , s a y , a n d e v a l u a t i n g t h e m a x i m u m s i n g u l a r v a l u e o f

t h e n i t e d i m e n s i o n a l t r a n s f e r m a t r i x s o o b t a i n e d , a s s u g g e s t e d i n A r a k i , H a g i w a r a & I t o ( 1 9 9 3 ) .

T h e c o n v e r g e n c e o f t h i s s e q u e n c e o f c o m p u t a t i o n s c o u l d b e s l o w , t h o u g h , s i n c e i n g e n e r a l G ( j ! )

a n d F ( j ! ) d e c a y a s 1 = !

p

, f o r s o m e i n t e g e r p d e p e n d i n g o n t h e r e l a t i v e d e g r e e s o f t h e t r a n s f e r

m a t r i c e s i n v o l v e d .

I n f a c t , s i n c e T i s n i t e - r a n k , m o r e e c i e n t w a y s o f c o m p u t i n g k T ( ! ) k a r e p o s s i b l e . I n

H a g i w a r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) , t h e a u t h o r s h a v e s h o w n f o r t h i s c a s e t h a t t h e f r e q u e n c y - g a i n i s g i v e n

a s t h e m a x i m u m e i g e n v a l u e o f a n a s s o c i a t e d n i t e - d i m e n s i o n a l d i s c r e t e t r a n s f e r m a t r i x e v a l u a t e d

o n t h e u n i t c i r c l e . F o r t h e c a s e o f Z O H , t h e y s h o w h o w t o i m p l e m e n t t h e i r p r o c e d u r e s i n a

n u m e r i c a l l y r e l i a b l e f a s h i o n .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m i s a n a l o g o u s t o t h e r e s u l t o f H a g i w a r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) . T h e p a t t e r n o f o u r

p r o o f i s q u i t e d i e r e n t t h o u g h , a n d w e i n c l u d e i t h e r e b e c a u s e t h e s a m e p a t t e r n w i l l b e u s e d f o r

t h e c a s e o f t h e S D s e n s i t i v i t y o p e r a t o r . D e n o t e b y

m a x

M ] t h e m a x i m u m e i g e n v a l u e o f a s q u a r e

m a t r i x M . R e c a l l i n g t h e f u n c t i o n s G

d

a n d F

d

d e n e d b y ( 4 ) a n d ( 5 ) , w e t h e n h a v e t h e f o l l o w i n g

r e s u l t .

T h e o r e m 4 . 2 ( L

2

- i n d u c e d N o r m o f T ) I f t h e S D s y s t e m o f F i g u r e 1 i s L

2

- i n p u t - o u t p u t s t a b l e ,

t h e n

k T k = s u p

! 2

N

k T ( ! ) k ; ( 1 4 )


7/15

E E 9 5 3 1 : L

2


w h e r e

k T ( ! ) k

2

=

m a x

G

d

( e

j ! T

) F

d

( e

j ! T

)

: ( 1 5 )

P r o o f : F r o m ( 1 0 ) w e h a v e t h a t k T k = s u p

! 2

N

k T ( ! ) k . F i x ! i n

N

. S i n c e T i s a n i t e - r a n k

o p e r a t o r i n

2

, f r o m ( 1 3 ) w e c a n w r i t e a s a d y a d i c p r o d u c t T = g f

. W e c a n t h e n d e c o m p o s e

2

i n t o

2

=

}

F

}

?

F

, w h e r e

}

F

i s t h e s u b s p a c e o f

2

s p a n n e d b y t h e r a n g e o f f , a n d

}

?

F

i t s o r t h o g o n a l

c o m p l e m e n t . H e n c e , i f v i s a v e c t o r i n

}

?

F

t h e n T v = 0 , a n d w e c a n w r i t e

k T k = s u p

v 2

2

v 6= 0

k T v k

2

k v k

2

= s u p

v 2

}

F

v 6= 0

k T v k

2

k v k

2

:

S i n c e v e c t o r s o f

2

i n

}

F

c a n b e n i t e l y p a r a m e t e r i z e d a s v = f , w h e r e b e l o n g s t o C

m

, w i t h m

t h e n u m b e r o f i n p u t s o f F , w e t h e n h a v e t h a t

k T k

2

= s u p

f 6= 0

f

f g

g f

f

f

f

=

m a x

h

( f

f )

1 = 2

( g

g ) ( f

f )

1 = 2

i

: ( 1 6 )

N o t i c e t h a t ( g

g ) ( ! ) = G

d

( e

j ! T

) a n d ( f

f ) ( ! ) = F

d

( e

j ! T

) a r e t h e d i s c r e t e t r a n s f e r m a t r i c e s

d e n e d i n ( 4 ) a n d ( 5 ) . M o r e o v e r , t h e y a r e n i t e m m m a t r i c e s a n d , p a r t i c u l a r l y , f

f i s n o n -

s i n g u l a r s i n c e F w a s a s s u m e d f u l l c o l u m n r a n k .

F i n a l l y , s i n c e e i g e n v a l u e s a r e i n v a r i a n t u n d e r s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s , ( 1 5 ) f o l l o w s f r o m ( 1 6 ) ,

c o m p l e t i n g t h e p r o o f .

T h e c a s e o f S h a s t o b e c o n s i d e r e d m o r e c a r e f u l l y , s i n c e t h i s i s a n o n - c o m p a c t o p e r a t o r , a n d

a s s u c h , i t m a y n o t b e i n p r i n c i p l e a p p r o x i m a b l e b y s e q u e n c e s o f n i t e - r a n k o p e r a t o r s , m e a n i n g

t h a t t h e n o r m s o f p r o g r e s s i v e t r u n c a t i o n s o f S m a y n o t n e c e s s a r i l y c o n v e r g e t o t h e n o r m o f t h e

o p e r a t o r .

F r e q u e n c y - g a i n s o f p o s s i b l y n o n - c o m p a c t S D o p e r a t o r s h a v e b e e n d i s c u s s e d i n Y a m a m o t o &

K h a r g o n e k a r ( 1 9 9 3 ) , b u t , a s p o i n t e d o u t i n H a g i w a r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) , t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e s e e m s

i n g e n e r a l h a r d t o i m p l e m e n t n u m e r i c a l l y . I n H a g i w a r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) , a n u m e r i c a l l y r e l i a b l e m e t h o d

i s s u g g e s t e d f o r t h e c a s e o f o p e r a t o r s l i k e t h e s e n s i t i v i t y , i . e . , t h e s u m o f a c o m p a c t a n d a c o n s t a n t

o p e r a t o r . Y e t , t o c o m p u t e t h e f r e q u e n c y g a i n k S k , t h i s l a s t m e t h o d s t i l l r e q u i r e s a - i t e r a t i o n a t

e a c h f r e q u e n c y ! 2

N

.

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m g i v e s a n e x a c t , c o m p u t a b l e f o r m u l a f o r t h e f r e q u e n c y - g a i n a n d L

2

-

i n d u c e d n o r m o f t h e S D s e n s i t i v i t y o p e r a t o r S . O u r r e s u l t r e l i e s o n t h e f a c t t h a t S v e r i e s

t h e c o m p l e m e n t a r i t y r e l a t i o n S = I - T , a n d s i n c e T i s o f n i t e r a n k , i t t u r n s o u t t h a t t h e

c o m p u t a t i o n o f t h e f r e q u e n c y - g a i n o f S a l s o r e d u c e s t o a n i t e - d i m e n s i o n a l e i g e n v a l u e p r o b l e m .

A s f o r T h e o r e m 4 . 2 , t h e s e r e s u l t s a d m i t a s i m p l e a n d r e l i a b l e n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n .

T h e o r e m 4 . 3 ( L

2

- i n d u c e d N o r m o f S ) I f t h e S D s y s t e m o f F i g u r e 1 i s L

2

- i n p u t - o u t p u t s t a b l e ,

t h e n

k S k = s u p

! 2

N

k S ( ! ) k ; ( 1 7 )

w h e r e

k S ( ! ) k

2

= 1 +

m a x

"

F

d

( e

j ! T

) G

d

( e

j ! T

) - T

d

( e

j ! T

) - F

d

( e

j ! T

)

T

d

( e

j ! T

) G

d

( e

j ! T

) - G

d

( e

j ! T

) - T

d

( e

j ! T

)

#

;

G

d

, F

d

a r e t h e f u n c t i o n s g i v e n b y ( 4 ) a n d ( 5 ) , a n d T

d

i s t h e d i s c r e t e c o m p l e m e n t a r y s e n s i -

t i v i t y f u n c t i o n d e n e d i n ( 1 ) .


8/15

E E 9 5 3 1 : L

2


P r o o f : T h e s a m e i d e a f o r t h e p r o o f o f T h e o r e m 4 . 2 w o r k s h e r e . A g a i n , f o r a x e d ! i n

N

,

d e c o m p o s e

2

i n t o

2

=

}

( F ; G )

}

?

( F ; G )

, w h e r e

}

( F ; G )

d e n o t e s t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y b o t h f a n d

g , a n d

}

?

( F ; G )

i t s o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t . S i n c e S i s b l o c k d i a g o n a l i n t h e s e s p a c e s , w e h a v e , t h a t

k S k = m a x

8

>

>

>

:

s u p

v 2

}

( F G )

v 6= 0

k S v k

2

k v k

2

; s u p

v 2

}

?

( F G )

v 6= 0

k S v k

2

k v k

2

9

>

>

=

>

>

;

= m a x

8

>

:

s u p

v 2

}

( F G )

v 6= 0

k S v k

2

k v k

2

; 1

9

>

=

>

;

: ( 1 8 )

N o w , a n y v e c t o r v i n

}

( F ; G )

c a n b e n i t e l y p a r a m e t e r i z e d a s

v = f + g

= f ; g ] ; ( 1 9 )

w i t h i n C

2 m

. D e n o t e h , f ; g ] , a n d M , h

h . N o t i c e t h a t M i s a n i t e - d i m e n s i o n a l , p o s i t i v e

s e m i - d e n i t e H e r m i t i a n m a t r i x . U s i n g t h e n o t a t i o n i n t r o d u c e d i n ( 4 ) a n d ( 5 ) , a n d n o t i c i n g t h a t

t h e d i s c r e t e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y i n ( 1 ) m a y b e e x p r e s s e d a s T

d

= f

g , w e c a n w r i t e M a s

M =

F

d

T

d

T

d

G

d

:

I n t r o d u c i n g t h e m a t r i x N ,

N ,

G

d

- I

- I 0

;

i t t h e n f o l l o w s t h a t h

S

S h = h

( I - f g

) ( I - g f

) h = ( I + M N ) M , a n d h e n c e , w e o b t a i n f r o m ( 1 9 )

t h a t

s u p

v 2

}

( F G )

v 6= 0

k S v k

2

2

k v k

2

2

= s u p

2 C

2 m

M +

M N M

M

= 1 +

m a x

h

M

1 = 2

N M

1 = 2

i

( 2 0 )

= 1 +

m a x

M N ] : ( 2 1 )

S i n c e i n ( 2 1 ) t h e p r o d u c t M N i s

M N =

F

d

G

d

- T

d

- F

d

T

d

G

d

- G

d

- T

d

;

f r o m ( 1 8 ) a n d ( 2 1 ) w e s e e t h a t i t o n l y r e m a i n s t o s h o w t h a t

m a x

M N ] i s n o n n e g a t i v e t o c o m p l e t e

t h e p r o o f . B u t t h i s f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e f a c t t h a t M 0 . I n d e e d , s u p p o s e r s t t h a t M i s

p o s i t i v e d e n i t e , i . e . , M > 0 . T h e n ,

=

F

d

T

d

T

d

G

d

- 1 = 2

I

0

;

g i v e s

M

1 = 2

N M

1 = 2

= G

d

0 , a n d t h u s

m a x

i n ( 2 0 ) i s n o n n e g a t i v e . O t h e r w i s e , i f M i s n o t

p o s i t i v e d e n i t e , i t i s t h e n n e c e s s a r i l y s i n g u l a r , w h i c h m e a n s t h a t 0 m u s t b e i n t h e s p e c t r u m o f

M

1 = 2

N M

1 = 2

, a n d t h e r e f o r e s h o w s t h a t

m a x

M N ] 0 . T h e p r o o f i s n o w c o m p l e t e .


9/15

E E 9 5 3 1 : L

2


T h e c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s g i v e n b y T h e o r e m s 4 . 2 a n d 1 7 c a n b e u s e d f o r p e r f o r m a n c e a n d

s t a b i l i t y r o b u s t n e s s a n a l y s i s o f S D s y s t e m s ( c f . S i v a s h a n k a r & K h a r g o n e k a r 1 9 9 3 , D u l l e r u d &

G l o v e r 1 9 9 3 , H a g i w a r a & A r a k i 1 9 9 5 ) .

I n t h e p a r t i c u l a r c a s e o f S I S O s y s t e m s , t h e s e f o r m u l a s s i m p l i f y a n d s h o w s o m e i n t e r e s t i n g

c o n n e c t i o n s . I n t h i s c a s e , t h e o p e r a t o r T i s t h e n o f r a n k o n e , a n d s o t h e f r e q u e n c y - g a i n s a r e g i v e n

b y t h e m a g n i t u d e o f t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f s c a l a r d i s c r e t e t r a n s f e r f u n c t i o n s .

C o r o l l a r y 4 . 4 I f t h e S D s y s t e m o f F i g u r e 1 i s S I S O , t h e n

k T k =

d

j T

d

j ; a n d ( 2 2 )

k S k =

1

2

q

(

2

d

- 1 ) j T

d

j

2

+ ( j S

d

j + 1 )

2

+

q

(

2

d

- 1 ) j T

d

j

2

+ ( j S

d

j - 1 )

2

; ( 2 3 )

w h e r e S

d

a n d T

d

a r e t h e d i s c r e t e s e n s i t i v i t y a n d c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y f u n c t i o n s , e v a l -

u a t e d a t z = e

j ! T

, a n d

2

d

( e

j ! T

) =

?

P

1

k = - 1

j F

k

( j ! ) j

2

?

P

1

k = - 1

j P

k

( j ! ) H

k

( j ! ) j

2

j ( F P H )

d

( e

j ! T

) j

2

: ( 2 4 )

P r o o f : T h e p r o o f o f ( 2 2 ) f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m T h e o r e m 4 . 2 . F o r m u l a ( 2 3 ) m a y b e c h e c k e d

b y c o m p u t i n g

m a x

i n ( 1 7 ) a n d a f t e r s o m e s t r a i g h t f o r w a r d b u t t e d i o u s a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n .

T h e e x p r e s s i o n s g i v e n i n C o r o l l a r y 4 . 4 s h o w a d i r e c t c o n n e c t i o n t o t h e d i s c r e t e s e n s i t i v i t y

f u n c t i o n s S

d

a n d T

d

. I n f a c t , t h e m a g n i t u d e s o f t h e i r f r e q u e n c y r e s p o n s e s a r e c o r r e s p o n d i n g l y

l o w e r b o u n d s o n t h e f r e q u e n c y - g a i n s o f S a n d T , a s w e s e e i n t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y .

C o r o l l a r y 4 . 5 U n d e r t h e a s s u m p t i o n s o f C o r o l l a r y 4 . 4 ,

k T ( ! ) k j T

d

( e

j ! T

) j ; a n d ( 2 5 )

k S ( ! ) k m a x f j S

d

( e

j ! T

) j ; 1 g ; ( 2 6 )

a t a l l f r e q u e n c i e s ! i n

N

.

P r o o f : F i r s t n o t i c e f r o m ( 2 4 ) t h a t

d

i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 1 a t a n y ! i n

N

, s i n c e b y

C a u c h y - S c h w a r z

j ( F P H )

d

( e

j ! T

) j

2

=

1

T

1

X

k = - 1

F

k

( j ! ) P

k

( j ! ) H

k

( j ! )

2

1

X

k = - 1

j F

k

( j ! ) j

2

!

1

T

2

1

X

k = - 1

j P

k

( j ! ) H

k

( j ! ) j

2

!

:

H e n c e , ( 2 5 ) f o l l o w s i m m e d i a t e l y . F o r ( 2 6 ) , w e h a v e f r o m ( 2 3 ) t h a t

k S k

j j S

d

j - 1 j + j S

d

j + 1

2

; ( 2 7 )

s i n c e

d

1 . T h e r e f o r e , f r o m ( 2 7 ) , i f j S

d

j > 1 t h e n k S k j S

d

j , a n d o t h e r w i s e k S k 1 , w h i c h

c o m p l e t e s t h e p r o o f .

U n s u r p r i s i n g l y , i t t h e n f o l l o w s f r o m C o r o l l a r y 4 . 5 t h a t t h e L

2

- i n d u c e d n o r m s o f t h e d i s c r e t i z e d

s y s t e m a l s o g i v e l o w e r b o u n d s f o r t h e L

2

- i n d u c e d n o r m s o f t h e S D s y s t e m . T h e g a p i n n o r m s ,

t h e n , i s d u e t o t h e i n t e r s a m p l e i n f o r m a t i o n m i s s i n g i n t h e d i s c r e t e d e s c r i p t i o n o f t h e s y s t e m . N o t e

t h a t , i n t h i s s e n s e , s u p

! 2

N

d

m a y b e i n t e r p r e t e d a s a \ d e l i t y i n d e x " , i n d e p e n d e n t o f t h e

c o n t r o l l e r , t h a t q u a n t i e s h o w c l o s e w e c a n e x p e c t t o b e t h e d i s c r e t e a n d S D p e r f o r m a n c e s .


10/15

E E 9 5 3 1 : L

2

- i n d u c e d N o r m s a n d F r e q u e n c y - g a i n s 1 0

5 N u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n .

T h e e x p r e s s i o n s f o r t h e f r e q u e n c y - g a i n s a n d L

2

- i n d u c e d n o r m s o b t a i n e d i n t h e l a s t s e c t i o n c a n b e

r e a d i l y n u m e r i c a l l y i m p l e m e n t e d b y c o m p u t i n g G

d

a n d F

d

f r o m ( 4 ) a n d ( 5 ) . T h e s e c o m p u t a t i o n s

c a n b e a p p r o a c h e d a s \ s p e c i a l d i s c r e t i z a t i o n s " b y c o n s i d e r i n g r e l a t i o n s s i m i l a r t o ( 2 ) . I n t h i s w a y ,

t h e a r g u m e n t s o f s u p

! 2

N

i n ( 1 4 ) a n d ( 1 7 ) a r e e x p r e s s e d b y t w o r a t i o n a l t r a n s f e r f u n c t i o n s i n

z = e

j ! T

| t h e f r e q u e n c y - g a i n s o f t h e S D s e n s i t i v i t y o p e r a t o r s . T h e i n d u c e d n o r m s c a n t h e n b e

c o m p u t e d b y a s t r a i g h t f o r w a r d s e a r c h o f m a x i m a o v e r t h e n i t e i n t e r v a l

N

. S i m i l a r f o r m u l a s

h a v e b e e n d e r i v e d f o r t h e c a s e o f Z O H i n ( L e u n g e t a l . 1 9 9 1 , T h e o r e m 3 ) .

5 . 1 C o m p u t a t i o n o f F

d

( e

j ! T

)

C o n s i d e r F

d

= T Z S

T

L

- 1

( F

~

F ) , w h e r e

~

F ( s ) , F ( - s )

t

, a n d t h e s u p e r s c r i p t \ t " d e n o t e s t r a n s p o s e .

S i n c e F i s s t r i c t l y p r o p e r , t h e n t h e s a m p l i n g o f t h e o u t p u t o f F

~

F i s w e l l - d e n e d . I f f a ; b ; c ; 0 g i s a

m i n i m a l s t a t e - s p a c e r e a l i z a t i o n f o r F , t h e n , a m i n i m a l r e a l i z a t i o n f o r F

~

F i s g i v e n b y

A =

a b b

t

0 - a

t

; B =

0

- c

t

; C =

c 0

;

a n d i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s e e t h a t t h e f u n c t i o n F

d

( e

j ! T

) i s t h e n c o m p u t e d a s F

d

( e

j ! T

) =

T C ( e

j ! T

I - e

A T

)

- 1

B .

5 . 2 C o m p u t a t i o n o f G

d

( e

j ! T

)

T h e c a s e o f G

d

i s s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d t h a n t h e p r e v i o u s o n e , b u t c a n b e a p p r o a c h e d i n a

s i m i l a r f a s h i o n . F r o m ( 4 ) w e c a n w r i t e G

d

=

1

T

C

d

S

d

E

d

S

d

C

d

, w h e r e

E

d

,

1

T

1

X

k = - 1

H

k

P

k

P

k

H

k

: ( 2 8 )

H e n c e , t o c o m p u t e G

d

w e n e e d t o e v a l u a t e E

d

( e

j ! T

) . T h i s i s d o n e b y d i s c r e t i z i n g t h e c a s c a d e o f

t h e h o l d

~

H , t h e s y s t e m P

~

P , a n d t h e h o l d H . S i n c e H i s p r o p e r b y d e n i t i o n , s o i s t h e c a s c a d e , a n d

t h e r e f o r e t h e s a m p l i n g o p e r a t i o n i s a g a i n w e l l - d e n e d . I f t h e p l a n t P h a s a m i n i m a l r e a l i z a t i o n

f a ; b ; c ; d g , t h e n a m i n i m a l r e a l i z a t i o n f o r

~

P P i s g i v e n b y

A =

a 0

c

t

c - a

t

; B =

b

c

t

d

; C =

d

t

c - b

t

; D =

d

t

d

:

S u p p o s e t h a t t h e h o l d i s a s d e n e d i n x 2 . T h e n , f o l l o w i n g M i d d l e t o n & F r e u d e n b e r g ( 1 9 9 5 ) , i t s

p u l s e r e s p o n s e c a n b e d e s c r i b e d a s

h ( t ) =

K e

L ( T - t )

M i f t 2 0 ; T )

0 o t h e r w i s e

; ( 2 9 )

f o r m a t r i c e s K , L , a n d M o f a p p r o p r i a t e d i m e n s i o n s . U s i n g t h e s e d a t a , i t m a y b e c h e c k e d t h a t

t h e f u n c t i o n E

d

( e

j ! T

) i n ( 2 8 ) i s g i v e n b y E

d

( e

j ! T

) = C

d

( e

j ! T

I - A

d

) B

d

+ D

d

, w h e r e A

d

= e

A T

,

B

d

=

R

T

0

e

A

B K e

L

M d , a n d

C

d

=

Z

T

0

M

t

e

L

t

( T - )

K

t

C e

A

d

D

d

=

Z

T

0

M

t

e

L

t

K

t

D K e

L

M d +

Z

T

0

M

t

e

L

t

( T - )

K

t

C

Z

0

e

A ( - )

B K e

L ( T - )

M d d


11/15

E E 9 5 3 1 : L

2


M a t r i c e s B

d

; C

d

a n d D

d

i n t h e a b o v e e x p r e s s i o n s c a n b e e a s i l y n u m e r i c a l l y e v a l u a t e d u s i n g m a t r i x

e x p o n e n t i a l f o r m u l a s s u g g e s t e d b y V a n L o a n ( 1 9 7 8 ) , w h i c h y i e l d

B

d

= e

A T

0 ] e x p

- A B K

0 L

T

0

M

;

C

d

= M

t

0 ] e x p

L

t

K

t

C

0 A

T

0

I

;

D

d

= M

t

e

L

t

T

0 ] e x p

- L

t

K

t

D K

0 L

T

0

M

+ M

t

0 ] e x p

8


12/15


13/15

E E 9 5 3 1 : L

2


C h e n , T . & F r a n c i s , B . ( 1 9 9 1 ) , ` I n p u t - o u t p u t s t a b i l i t y o f s a m p l e d - d a t a s y s t e m s ' , I E E E T r a n s .

o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 3 6 ( 1 ) , 5 0 { 5 8 .

C h e n , T . & F r a n c i s , B . ( 1 9 9 5 ) , O p t i m a l s a m p l e d - d a t a c o n t r o l s y s t e m s , S p r i n g e r - V e r l a g .

D u l l e r u d , G . & G l o v e r , K . ( 1 9 9 3 ) , ` R o b u s t s t a b i l i z a t i o n o f s a m p l e d - d a t a s y s t e m s t o s t r u c t u r e d

L T I p e r t u r b a t i o n s ' , I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 3 8 ( 1 0 ) , 1 4 9 7 { 1 5 0 8 .

F r a n c i s , B . ( 1 9 9 1 ) , L e c t u r e s o n H

1

c o n t r o l a n d s a m p l e d - d a t a s y s t e m s , i n C . F o i a s , E . M o s c a &

L . P a n d o l , e d s , ` H

1

- c o n t r o l t h e o r y : l e c t u r e s g i v e n a t t h e 2 n d . s e s s i o n o f t h e C I M E ' , L e c t u r e

n o t e s i n m a t h e m a t i c s , S p r i n g e r - V e r l a g , p p . 3 7 { 1 0 5 .

F r a n c i s , B . & G e o r g i o u , T . ( 1 9 8 8 ) , ` S t a b i l i t y t h e o r y f o r l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t p l a n t s w i t h p e r i o d i c

d i g i t a l c o n t r o l l e r s ' , I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 3 3 ( 9 ) , 8 2 0 { 8 3 2 .

F r e u d e n b e r g , J . , M i d d l e t o n , R . & B r a s l a v s k y , J . ( 1 9 9 4 ) , I n h e r e n t d e s i g n l i m i t a t i o n s f o r l i n e a r

s a m p l e d - d a t a f e e d b a c k s y s t e m s , i n ` P r o c e e d i n g s o f t h e A C C ' , p p . 3 2 2 7 { 3 2 3 1 . A l s o I n t . J . o f

C o n t r o l , v o l . 6 1 ( 6 ) , p p . 1 3 8 7 - 1 4 2 1 , 1 9 9 5 .

G o o d w i n , G . & S a l g a d o , M . ( 1 9 9 4 ) , ` F r e q u e n c y d o m a i n s e n s i t i v i t y f u n c t i o n s f o r c o n t i n u o u s t i m e

s y s t e m s u n d e r s a m p l e d d a t a c o n t r o l ' , A u t o m a t i c a 3 0 ( 8 ) , 1 2 6 3 .

H a g i w a r a , T . & A r a k i , M . ( 1 9 9 5 ) , R o b u s t s t a b i l i t y o f s a m p l e d - d a t a s y s t e m s u n d e r p o s s i b l y u n s t a -

b l e a d d i t i v e / m u l t i p l i c a t i v e p e r t u r b a t i o n s , i n ` P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 5 A C C ' , p p . 3 8 9 3 { 3 8 9 8 .

H a g i w a r a , T . , I t o , Y . & A r a k i , M . ( 1 9 9 5 ) , ` C o m p u t a t i o n o f t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e g a i n s a n d

H

1

- n o r m o f a s a m p l e d - d a t a s y s t e m ' , S y s t e m s a n d C o n t r o l L e t t e r s 2 5 , 2 8 1 { 2 8 8 .

K a b a m b a , P . ( 1 9 8 7 ) , ` C o n t r o l o f l i n e a r s y s t e m s u s i n g g e n e r a l i z e d s a m p l e d - d a t a h o l d f u n c t i o n s ' ,

I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l p p . 7 7 2 { 7 8 3 .

K a b a m b a , P . & H a r a , S . ( 1 9 9 3 ) , ` W o r s t - c a s e a n a l y s i s a n d d e s i g n o f s a m p l e d - d a t a c o n t r o l s y s t e m s ' ,

I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l 3 8 , 1 3 3 7 { 1 3 5 7 .

L e u n g , G . , P e r r y , T . & F r a n c i s , B . ( 1 9 9 1 ) , ` P e r f o r m a n c e a n a l y s i s o f s a m p l e d d a t a c o n t r o l s y s t e m s ' ,

A u t o m a t i c a 2 7 ( 4 ) , 6 9 9 { 7 0 4 .

M i d d l e t o n , R . & F r e u d e n b e r g , J . ( 1 9 9 5 ) , ` N o n - p a t h o l o g i c a l s a m p l i n g f o r g e n e r a l i s e d s a m p l e d - d a t a

h o l d f u n c t i o n s ' , A u t o m a t i c a 3 1 ( 2 ) .

M i d d l e t o n , R . & X i e , J . ( 1 9 9 5 ) , N o n - p a t h o l o g i c a l s a m p l i n g f o r h i g h o r d e r g e n e r a l i s e d s a m p l e d - d a t a

h o l d f u n c t i o n s , i n ` P r o c e e d i n g s o f t h e A C C ' , S e a t t l e , W A .

R i e s z , F . & S z . - N a g y , B . ( 1 9 5 5 ) , F u n c t i o n a l A n a l y s i s , F r e d e r i c k U n g a r P u b l i s h i n g C o .

S h e n o y , R . , B u r n s i d e , D . & P a r k s , T . ( 1 9 9 4 ) , ` L i n e a r p e r i o d i c s y s t e m s a n d m u l t i r a t e l t e r d e s i g n ' ,

I E E E T r a n s . o n S i g n a l P r o c e s s i n g 4 2 ( 9 ) , 2 2 4 2 { 2 2 5 6 .

S i v a s h a n k a r , N . & K h a r g o n e k a r , P . ( 1 9 9 3 ) , ` R o b u s t s t a b i l i t y a n d p e r f o r m a n c e a n a l y s i s f o r s a m p l e d -

d a t a s y s t e m s ' , I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l 3 9 ( 1 ) , 5 8 { 6 9 .

S i v a s h a n k a r , N . & K h a r g o n e k a r , P . ( 1 9 9 4 ) , ` C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e L

2

- i n d u c e d n o r m f o r l i n e a r

s y s t e m s w i t h j u m p s w i t h a p p l i c a t i o n s t o s a m p l e d - d a t a s y s t e m s ' , S I A M J . C o n t r o l a n d

O p t i m i z a t i o n 3 2 ( 4 ) , 1 1 2 8 { 1 1 5 0 .

S u n , W . , N a g p a l , K . & K h a r g o n e k a r , P . ( 1 9 9 3 ) , ` H

1

c o n t r o l a n d l t e r i n g f o r s a m p l e d - d a t a s y s -

t e m s ' , I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 3 8 ( 8 ) , 1 1 6 2 { 1 1 7 5 .

T a d m o r , G . ( 1 9 9 2 ) , ` H

1

o p t i m a l s a m p l e d d a t a c o n t r o l i n c o n t i n u o u s t i m e s y s t e m s ' , I n t . J . o f

C o n t r o l 5 6 ( 1 ) , 9 9 .


14/15

E E 9 5 3 1 : L

2


T h o m p s o n , P . , D a i l y , R . & D o y l e , J . ( 1 9 8 6 ) , ` N e w c o n i c s e c t o r s f o r s a m p l e d - d a t a f e e d b a c k s y s t e m s ' ,

S y s t e m s a n d C o n t r o l L e t t e r s 7 , 3 9 5 { 4 0 4 .

T h o m p s o n , P . , S t e i n , G . & A t h a n s , M . ( 1 9 8 3 ) , ` C o n i c s e c t o r s f o r s a m p l e d - d a t a f e e d b a c k s y s t e m s ' ,

S y s t e m s a n d C o n t r o l L e t t e r s 3 , 7 7 { 8 2 .

T o i v o n e n , H . ( 1 9 9 2 ) , ` S a m p l e d - d a t a c o n t r o l o f c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s w i t h a n H

1

o p t i m a l i t y

c r i t e r i o n ' , A u t o m a t i c a 2 8 ( 1 ) , 4 5 { 5 4 .

V a n L o a n , C . ( 1 9 7 8 ) , ` C o m p u t i n g i n t e g r a l s i n v o l v i n g t h e m a t r i x e x p o n e n t i a l ' , I E E E T r a n s . o n

A u t o m a t i c C o n t r o l A C - 2 3 ( 3 ) , 3 9 5 { 4 0 4 .

Y a m a m o t o , Y . ( 1 9 9 0 ) , N e w a p p r o a c h t o s a m p l e d - d a t a s y s t e m s : a f u n c t i o n s p a c e m e t h o d , i n

` P r o c e e d i n g s o f t h e 2 9 t h C D C ' , p p . 1 8 8 2 { 1 8 8 7 .

Y a m a m o t o , Y . ( 1 9 9 3 ) , ` O n t h e s t a t e s p a c e a n d f r e q u e n c y d o m a i n c h a r a c t e r i z a t i o n o f H

1

- n o r m o f

s a m p l e d - d a t a s y s t e m s ' , S y s t e m s a n d C o n t r o l L e t t e r s 2 1 , 1 6 3 { 1 7 2 .

Y a m a m o t o , Y . ( 1 9 9 4 ) , ` A f u n c t i o n s p a c e a p p r o a c h t o s a m p l e d d a t a c o n t r o l s y s t e m s a n d t r a c k i n g

p r o b l e m s ' , I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l 3 9 ( 4 ) , 7 0 3 { 7 1 3 .

Y a m a m o t o , Y . & A r a k i , M . ( 1 9 9 4 ) , ` F r e q u e n c y r e s p o n s e s f o r s a m p l e d - d a t a s y s t e m s - T h e i r e q u i v -

a l e n c e a n d r e l a t i o n s h i p s ' , L i n e a r A l g e b r a a n d i t s A p p l i c a t i o n s 2 0 6 , 1 3 1 9 { 1 3 3 9 .

Y a m a m o t o , Y . & K h a r g o n e k a r , P . ( 1 9 9 3 ) , F r e q u e n c y r e s p o n s e o f s a m p l e d - d a t a s y s t e m s , i n ` P r o -

c e e d i n g s o f t h e 3 2 n d C D C ' , p p . 7 9 9 { 8 0 4 . A l s o I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l , v o l .

3 9 , p p . 1 6 6 - 1 7 6 , F e b r u a r y 1 9 9 6 .

Y a n g , C . & K a b a m b a , P . ( 1 9 9 4 ) , ` M u l t i - c h a n n e l o u t p u t g a i n m a r g i n i m p r o v e m e n t u s i n g g e n e r a l i z e d

s a m p l e d - d a t a h o l d f u n c t i o n s ' , I E E E T r a n s . o n A u t o m a t i c C o n t r o l 3 9 ( 3 ) , 6 5 7 { 6 6 1 .

A p p e n d i x : P r o o f o f L e m m a 3 . 1

L e t Y ( j ! ) b e i n L

2

. T h e n w e h a v e t h a t

k Y k

2

=

Z

1

- 1

j Y ( j ! ) j

2

d ! ( 3 0 )

=

1

X

k = - 1

Z

( 2 k + 1 ) !

N

( 2 k - 1 ) !

N

j Y ( j ! ) j

2

d !

=

1

X

- 1

Z

!

N

- !

N

j Y ( j ( ! + k !

s

) ) j

2

d ! : ( 3 1 )

A s k Y k

2

i s n i t e b y a s s u m p t i o n , t h e s e r i e s

P

R

j Y

k

( j ! ) j

2

d ! i s c o n v e r g e n t . T h e n , b y L e v i ' s

T h e o r e m ( R i e s z & S z . - N a g y 1 9 5 5 ) , w e c a n i n t e r c h a n g e s u m m a t i o n a n d i n t e g r a t i o n i n ( 3 1 ) , a n d

u s i n g ( 8 ) w e h a v e t h a t

1

X

- 1

Z

!

N

- !

N

j Y

k

( j ! ) j

2

d ! =

Z

!

N

- !

N

1

X

- 1

j Y

k

( j ! ) j

2

d ! ( 3 2 )

= k y k

2

( 3 3 )

F r o m ( 3 0 ) - ( 3 3 ) i t f o l l o w s t h a t t h e r e i s a n i s o m e t r y b e t w e e n L

2

( - 1 ; 1 ) a n d L

2

(

N

;

2

) . T o s e e t h a t

t h e i s o m e t r y i s i s o m o r p h i c , w e h a v e t o s h o w t h a t i t i s o n t o , t h a t i s , e a c h f u n c t i o n i n L

2

(

N

;

2

) i s

t h e i m a g e o f a f u n c t i o n i n L

2

( -

1;

1) . I t w i l l s u c e t o s h o w t h a t t h i s i s t h e c a s e f o r e a c h e l e m e n t

i n a b a s i s f o r L

2

(

N

;

2

) .


15/15

E E 9 5 3 1 : L

2


L e t f

k

g

1

k = - 1

b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r

2

, a n d f

k

( ! ) g

1

k = - 1

a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r

L

2

(

N

) . I t c a n b e p r o v e d t h a t t h e s e q u e n c e

f

n

( ! )

m

g

1

n ; m = - 1

i s a n o r t h o n o r m a l b a s e o n L

2

(

N

;

2

) . N o w , t a k e f o r e x a m p l e

n

( ! )

m

, f o r x e d i n t e g e r s n , m .

T h i s e l e m e n t o f L

2

(

N

;

2

) i s p r e c i s e l y

2

6

6

6

6

6

6

4

.

.

.

0

n

( ! )

0

.

.

.

3

7

7

7

7

7

7

5

.

.

.

m + 1

m

m - 1

.

.

.

; ( 3 4 )

w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e f u n c t i o n

( ! ) =

n

( ! ) i f ! 2 - !

N

+ m !

s

; !

N

+ m !

s

]

0 o t h e r w i s e

: ( 3 5 )

B u t ( ! ) i s i n L

2

( - 1 ; 1 ) , a s i t i s a f u n c t i o n o f n i t e s u p p o r t a n d i n t e g r a b l e t h e r e . T h e r e f o r e ,

e v e r y e l e m e n t i n L

2

(

N

;

2

) i s t h e i m a g e o f a n e l e m e n t i n L

2

( - 1 ; 1 ) a n d t h e p r o o f i s c o m p l e t e d .

The power of research in the history

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