The Classical Schrodinger's Equation

8/14/2019 The Classical Schrodinger's Equation

1/19

quant-

ph/9510022

23Oct1995

T h e C l a s s i c a l S c h r o d i n g e r ' s e q u a t i o n

B o g d a n M i e l n i k

a b

a n d

M a r c o A . R e y e s

a

a

D e p a r t a m e n t o d e F s i c a

C e n t r o d e I n v e s t i g a c i o n y E s t u d i o s A v a n z a d o s d e l I P N

A p d o . P o s t a l 1 4 - 7 4 0 , M e x i c o D . F . 0 7 0 0 0 , M e x i c o

b

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s

W a r s a w U n i v e r s i t y , W a r s a w , P o l l a n d

C I N V E S T A V

M e x i c o , A u g u s t 1 9 9 5


2/19

T h e C l a s s i c a l S c h r o d i n g e r ' s E q u a t i o n

B o g d a n M i e l n i k

a b

a n d

M a r c o A . R e y e s

a

a

D e p a r t a m e n t o d e F s i c a

C e n t r o d e I n v e s t i g a c i o n y E s t u d i o s A v a n z a d o s d e l I P N

A p d o . P o s t a l 1 4 - 7 4 0 , M e x i c o D . F . 0 7 0 0 0 , M e x i c o

b

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s

W a r s a w U n i v e r s i t y , W a r s a w , P o l l a n d

A b s t r a c t

A n o n p e r t u r b a t i v e n u m e r i c a l m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g t h e d i s c r e t e s p e c t r a i s d e -

d u c e d f r o m t h e c l a s s i c a l a n a l o g u e o f t h e S c h r o d i n g e r ' s e q u a t i o n . T h e e n e r g y e i g e n v a l u e s

c o i n c i d e w i t h t h e b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r s f o r t h e c l a s s i c a l o r b i t s .

1 I n t r o d u c t i o n

O n e o f k n o w n c u r i o s i t i e s o f t h e o n e { d i m e n s i o n a l S c h r o d i n g e r ' s e q u a t i o n i s i t s r e d u c i b l i t y

t o t h e 1 { s t o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n o f R i c c a t i . G i v e n t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r t h e

S c h r o d i n g e r ' s w a v e p a c k e t ( x ) :

1

2

d

2

d x

2

( x ) + V ( x ) E ( x ) = 0 ( 1 )

( w h e r e m = h = 1 ) , t h e f o r m a l s u b s t i t u t i o n :

( x ) = e

( x )

( 2 )

l e a d s t o t h e c l a s s i c a l R i c c a t i e q u a t i o n f o r f ( x ) =

0

( x ) :

f

0

( x ) + f ( x )

2

= 2 V ( x ) E ] ( 3 )

D e s p i t e i t s a p p a r e n t s i m p l i c i t y , ( 3 ) i s o n e o f n o n { t r i v i a l a n d p e r s i s t e n t l y r e t u r n i n g p r o b -

l e m s i n m a t h e m a t i c a l p h y s i c s . I n f a c t , e v e n t h e e l d e q u a t i o n s o f t h e G e n e r a l R e l a t i v i t y

m i g h t b e v i e w e d a s a ` s p i r i t u a l a n a l o g u e ' o f t h e R i c c a t i e q . ( s e e e . g . 1 ] ) . A n o b v i o u s i d e a

w o u l d b e t o r e p l a c e c o m p l e t e l y t h e s p e c t r a l p r o b l e m ( 1 ) b y i t s 1 { s t o r d e r e q u i v a l e n t ( 3 ) .

T h e d i c u l t i e s , t h o u g h , a r e f o r m i d a b l e . I n t h e r s t p l a c e , t h e a n s a t z ( 2 ) i s i m p r a c t i c a l i f

( x ) i s a r e a l s i g n c h a n g i n g f u n c t i o n . M o r e o v e r , ( 3 ) h a s a t e n d e n c y t o c r e a t e s i n g u l a r i t i e s

o f f ( x ) , w h i c h a p p e a r e v e n f o r V ( x ) = c o n s t , a n d c o r r e s p o n d t o t h e n o d a l p o i n t s o f ( x )

1


3/19

V ( x ) V

0

) f ( x ) = k t a n ( k x ) , w h e r e k =

p

2 ( E V

0

) ] . T h e s u b t l e r a n s a t z o f

A h a r o n o v a n d A u 2 ] l i q u i d a t e s o n l y a p a r t o f t h i s d i c u l t y .

A d i e r e n t c h a p t e r i n t h e s e a t t e m p t s w a s o p e n b y t h e a n g u l a r a n a l o g o f t h e R i c c a t i e q . ( 3 )

f o u n d b y D r u k a r e v 3 ] a n d F r a n c h e t t i 4 ] . Y e t , t h e i r w o r k s a p p e a r e d i n w r o n g t i m e ( w r o n g

p l a c e ? ) a n d d i d n o t r e c e i v e t h e a t t e n t i o n w h i c h t h e y d e s e r v e d . D r u k a r e v a n d F r a n c h e t t i

t h e m s e l v e s , a p p a r e n t l y , h a v e f o r m u l a t e d t h e i r e q u a t i o n s j u s t t o f a c i l i t a t e t h e c a l c u l a t i o n o f

t h e p h a s e s h i f t s ( w h i c h t h e y d i d , b u t t h e a c h i e v e m e n t l a t e r f a d e d t o g e t h e r w i t h t h e w h o l e

\ p h a s e s h i f t t r e n d " ) . A s a r e s u l t , t h e m u l t i p l e f o r m s o f t h e R i c c a t i e q . r e m a i n a k i n d

o f s o p h i s t i c a t e d c u r i o u s m , b a s i c a l l y k n o w n b u t s c a r s e l y a p p l i e d . N o t a b l e e x c e p t i o n s a r e

t h e t e c h n i q u e s o f e v a l u a t i n g t h e n u m b e r o f e n e r g y l e v e l s f o r o n e d i m e n s i o n a l S c h r o d i n g e r ' s

o p e r a t o r d e v e l o p e d i n 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ] , a n d s p e c i a l l y w o r k s o f C a l o g e r o 9 , 1 0 ] . Y e t , t h e

c a p a c i t i e s o f t h e m e t h o d t o d e t e r m i n e t h e e n e r g y s p e c t r a a r e f a r f r o m e x p l o r e d . O u r p u r p o s e

h e r e i s t o c o m p l e t e t h e s t o r y , b y s t u d y i n g t h e e x a c t n u m e r i c a l c o n s e q u e n c i e s o f t h e a n g u l a r

e q u a t i o n s 3 , 4 ] . W e s h a l l s h o w , t h a t t h e i r n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i s , m o s t l i k e l y , o n e o f t h e

m o s t p o w e r f u l a p p r o x i m a t e m e t h o d s t o d e t e r m i n e t h e e i g e n v a l u e s o f o n e { d i m e n s i o n a l ( o r

s p h e r i c a l ) s p e c t r a l p r o b l e m s , w h i c h m i g h t r e d u c e t h e t r a d i t i o n a l p e r t u r b a t i o n c a l c u l u s , a t

l e a s t f o r 1 { d i m e n s i o n a l e i g e n v a l u e p r o b l e m s , i n t o a k i n d o f m u s e a l r e l i c t .

2 T h e c l a s s i c a l m o d e l o f t h e S c h r o d i n g e r ' s e q u a t i o n .

C u r i o u s l y , t h e m e a n i n g o f o u r a l g o r i t h m i s b e s t s e e n b y f o r g e t t i n g c o m p l e t e l y a b o u t t h e

q u a n t u m m e c h a n i c a l s e n s e o f t h e S c h r o d i n g e r ' s e q u a t i o n a n d s t i c k i n g t o i t s c l a s s i c a l e q u i v a -

l e n t . T h i s p o i n t o f v i e w , t h o u g h s e l d o m a p p l i e d , h a s s o m e n o t a b l e t r a d i t i o n s ( s e e , e . g . 1 1 ] ) .

I t s m o s t p r o v o c a t i v e e x p r e s s i o n w a s t h e d e s c r i p t i o n o f t h e S a t u r n r i n g s a s t h e b a n d s p e c t r u m

o f t h e S c h r o d i n g e r ' s o p e r a t o r 1 2 ] .

T o p e r c e i v e t h e c l a s s i c a l s e n s e o f ( 1 ) d e n o t e t h e v a r i a b l e x b y t a n d c a l l i t t i m e ; p u t a l s o

q = ( t ) , p =

0

( t ) . E q u a t i o n ( 1 ) t h e n b e c o m e s :

d q

d t

= p ;

d p

d t

= 2 V ( t ) E ] q ( 4 )

N o t e , t h a t ( 4 ) c o i n c i d e w i t h t h e c a n o n i c a l e q u a t i o n s f o r t h e p a i r o f c l a s s i c a l v a r i a b l e s q , p

d e n e d b y a t i m e d e p e n d e n t H a m i l t o n i a n :

H ( t ) =

p

2

2

+ E V ( t ) q

2

( 5 )

r e p r e s e n t i n g t h e c l a s s i c a l o s c i l l a t o r w i t h a t i m e d e p e n d e n t q u a d r a t i c p o t e n t i a l V ( q ; t ) =

E V ( t ) q

2

. T h e c l a s s i c a l p h a s e s p a c e t r a j e c t o r y o f ( 4 - 5 ) :

q ( t ) =

q ( t )

p ( t )

( t 2 R ) ( 6 )

` p a i n t s ' a d e t a i l e d i m a g e o f t h e S c h r o d i n g e r ' s w a v e f u n c t i o n ( x ) a n d i t s r s t d e r i v a t i v e

0

( x )

T h i s f a c t h a s b e e n d e c i s i v e t o r e p r e s e n t t h e s p e c t r a l b a n d s o f t h e S c h r o d i n g e r ' s o p e r a t o r a s

t h e s t a b i l i t y b a n d s o f a c l a s s i c a l s y s t e m ( t h e S a t u r n ' s r i n g s ! 1 2 ] ) . I t w i l l b e a s d e c i s i v e i n

o u r d e s c r i p t i o n o f p o i n t s p e c t r a .

2


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3 T h e b i f u r c a t i o n s .

A s s u m e f o r s i m p l i c i t y , t h a t n o n e o f E , V ( t ) i s p o s i t i v e , a n d V ( t ) v a n i s h e s o u t s i d e o f a

n i t e i n t e r v a l a ; b 2 R ( V ( t ) = 0 f o r t < a a n d t > b ) . T h e e q u a t i o n s ( 4 - 6 ) t h u s d e s c r i b e a

c l a s s i c a l p o i n t m o v i n g u n d e r t h e i n u e n c e o f a c o n s t a n t r e p u l s i v e p o t e n t i a l E q

2

, c o r r e c t e d b y

a n a t t r a c t i v e t e r m V ( t ) q

2

. F o r E


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e i g e n v a l u e s e i g e n v e c t o r s

+

= +

p

2 E e

+

=

1

+

p

2 E

=

p

2 E e

=

1

p

2 E

( 1 3 )

H e n c e f o r t h , f o r t 2 ( i . e . i n a b s e n c e o f V ( t ) ) t h e m o t i o n o n t h e p h a s e p l a n e P p r e s e r v e s

t h e d i r e c t i o n s e

p r o d u c i n g a c o n t i n u o u s s q u e e z i n g : t h e d i r e c t i o n e

+

e x p a n d s w h i l e e

e x p o n e n t i a l l y s h r i n k s a s t ! + 1 ( i n v e r s e l y f o r t ! 1 ) . ( T h e s q u e e z i n g i s t y p i c a l l y

g e n e r a t e d b y t h e h a m i l t o n i a n s o f r e p u l s i v e o s c i l l a t o r s , w h i l e t h e a t t r a c t i v e o n e s g e n e r a t e t h e

p h a s e s p a c e r o t a t i o n s ) .

T h e p h a s e t r a j e c t o r y ( 6 - 7 ) , i n g e n e r a l , d i v e r g e s i n b o t h + 1 a n d 1 . H o w e v e r , e x c e p -

t i o n s e x i s t . I f t h e i n i t i a l p h a s e v e c t o r q ( a ) i s p r o p o r t i o n a l t o e

+

, t h e n i n a g r e e m e n t w i t h

( 1 1 ) q ( t ) v a n i s h e s a s e x p ( t a )

p

2 E ] f o r t ! 1 . I n t u r n , i f q ( b ) i s p r o p o r t i o n a l t o e

,

t h e n q ( t ) v a n i s h e s a s e x p ( t b )

p

2 E ] f o r t ! + 1 . A n u m b e r E


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t h e v a l u e s o f E f o r w h i c h t h e c l a s s i c a l o r b i t s p r o d u c e b i f u r c a t i o n s ) A n i d e a a r i s e s , t h a t t h e

d i s c r e t e s p e c t r u m o f ( 1 ) c o u l d b e s i m p l y d e n e d i n t e r m s o f b i f u r c a t i o n s . S u c h d e n i t i o n

w o u l d n o t r e q u i r e l i n e a r i t y , a n d s o , c o u l d b e e a s i l y e x t e n d e d t o t h e n o n - l i n e a r S c h r o d i n g e r ' s

o p e r a t o r s ( s e e t h e d i s c u s s i o n s i n 1 4 , 1 5 ] ] .

-0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06I+

- I+ I-

- I-

P+

P+

P-

P-

q

p

eigenvector

eigenvector

F i g u r e 1 . T h e m e t a m o r p h o s i s o f t h e c l a s s i c a l t r a j e c t o r y ( 4 { 5 ) f o r v a r y i n g E

a n d x e d V ( t ) ( q u a l i t a t i v e p i c t u r e ) . A s E r a i s e s t o z e r o f r o m b e l o w , t h e d e f o r -

m a t i o n d u e t o t h e r o t a t i n g t e r m V ( t ) q

2

e x p a n d s c l o c k w i s e l y a r o u n d t h e p h a s e

s p a c e o r i g i n , c r o s s i n g s e v e r a l t i m e s t h e \ s h r i n k i n g a x i s " e ( E ) . A t e a c h n e w

i n t e r s e c t i o n a b i f u r c a t i o n o c c u r s , p r o d u c i n g a n e w c l o s e d o r b i t i n t e r p r e t a b l e a s

a n e i g e n v e c t o r o f t h e S c h r o d i n g e r ' s e q u a t i o n ( 1 ) . T h e t r a j e c t o r y t r a n s f o r m a -

t i o n s a r e p i c t u r e d i n t h e m o v i n g f r a m e o f t h e ` s q u e e z i n g a x i s ' a n d r e p r e s e n t a s

w e l l t h e b i f u r c a t i o n s w h i c h m u s t o c c u r f o r a x e d E


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q = c o s ; p = s i n ( 1 5 )

T h e c a n o n i c a l e q u a t i o n s b e c o m e :

_ c o s _ s i n = s i n ( 1 6 )

_ s i n + _ c o s = 2 V ( t ) E c o s ( 1 7 )

w h e r e _ a n d _ m e a n t h e t i m e d e r i v a t i v e s . C u r i o u s l y , t h e e q u a t i o n f o r t h e a n g u l a r v a r i a b l e

s e p a r a t e s . M u l t i p l y i n g ( 1 6 ) b y s i n , ( 1 7 ) b y c o s ( o r v i c e v e r s a ) a n d a d d i n g o n e g e t s t h e

1 { s t o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r a l o n e :

_ = 2 V ( t ) E ] c o s

2

s i n

2

( 1 8 )

a n d s i m u l t a n e o u s l y :

_ = = V ( t ) E + 1 = 2 ] s i n 2 ( 1 9 )

T h e e q u a t i o n ( 1 8 ) w a s r s t d e r i v e d b y D r u k a r e v 3 ] a n d F r a n c h e t t i 4 ] ( b y u s i n g p u r e l y

a l g e b r a i c a r g u m e n t s ) . I t s l i n k t o t h e o r i g i n a l R i c a t t i i d e a i s i m m e d i a t e . I n f a c t , ( 1 8 ) i m p l i e s :

d

d t

t a n + t a n

2

= 2 V ( t ) E ] ( 2 0 )

T h e a d v a n t a g e s o f t h e D r u k a r e v - F r a n c h e t t i f o r m o v e r t h e t r a d i t i o n a l R i c c a t i e q u a t i o n

( 3 ) , h o w e v e r , a r e t h a t : 1 ) t h e e q . ( 1 8 ) c a n b e s o l v e d f o r a r b i t r a r y ' s w i t h o u t l e a d i n g t o

s i n g u l a r i t i e s ; 2 ) i t o e r s a c l e a r g e o m e t r i c i d e a o f t h e s p e c t r a l c o n d i t i o n , a n d 3 ) i t l e a d s t o

a n e a s y n u m e r i c a l a l g o r i t h m . I n d e e d , n o t i c e , t h a t t h e p h a s e v e c t o r s e

d e n e t h e a n g l e s :

( E ) = a r c t a n

p

2 E ( 2 1 )

( E ) =

+

( E )

( E ) = 2 a r c t a n

p

2 E ( 2 2 )

I n a g r e e m e n t w i t h ( 1 1 ) , t h e t r a j e c t o r y t e n d s t o z e r o i n 1 i ( a ) =

+

+ k , a n d i t

t e n d s t o z e r o i n + 1 i ( b ) =

+ m . T h e t r a j e c t o r y t e n d s t o z e r o f o r b o t h t ! 1

i t h e t i m e e v o l u t i o n ( 1 8 ) c o n v e r t s t h e i n i t i a l a n g l e ( a ) =

+

i n t o ( b ) =

n

T h u s , t o c h e c k w h e t h e r a n u m b e r E


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9/19

w i t h ( c ) <

0

( c ) c o n t r a d i c t i n g t h e u n i q u e n e s s o f t h e s o l u t i o n s o f ( 1 8 ) ] ; ( 2 ) I f

1

( t ) a n d

2

( t )

a r e s o l u t i o n s o f t w o e q u a t i o n s o f f o r m ( 1 8 ) w i t h t w o d i e r e n t p a r a m e t e r s E = E

1

a n d E = E

2

r e s p e c t i v e l y , t h e n

1

( a ) =

2

( a ) , a n d E

1

> E

2

( a n d )

1

( a ) <

2

( a ) t h e p r o o f i n v o l v e s o n l y

t h e e l e m e n t a r y a n a l y s i s o f t h e C a u c h y e q . ( 1 8 ) ] . T h e o b s e r v a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) i m p l y n o w t h a t

( b ; E ) f o r a n a n g u l a r t r a j e c t o r y s t a r t i n g i n ( a ) =

+

( E ) i s a m o n o t o n i c a l l y d e c r e a s i n g

f u n c t i o n o f E , a n d t h e p r o o f i s c o m p l e t e d b y n o t i c i n g t h a t

( E ) i s i n c r e a s i n g .

-4 -2 2 4

2

4

6

8

E0=0.4999999918

E1=1.4999997005

E2=2.4999947649

E3=3.4999415863

E4=4.4995302860

E5=5.4970678267

E6=6.4848289173

E7=7.4282518163

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

E0=0.4970174893

E1=1.4541180113

( a )

( b )

F i g u r e 2 . T h e d e f e c t a n g l e ( E ) = ( a E ) f o r t w o c a s e s o f t r u n c a t e d

o s c i l l a t o r s : ( a ) b = a = 2 a n d ( b ) b = a = 4 . T h e i n t e r s e c t i o n s o f t h e

\ s t e p p i n g " f u n c t i o n s ( E ) w i t h t h e l i n e s n g i v e t h e e i g e n v a l u e s o f t h e

S c h r o d i n g e r p r o b l e m .

A s a n i l l u s t r a t i o n , w e h a v e u s e d ( 2 5 ) t o d e t e r m i n e t h e e n e r g y l e v e l s f o r t h e t r u n c a t e d

1 { d i m e n s i o n a l o s c i l l a t o r p o t e n t i a l :

V ( x ) =

8


10/19

T h e l i m i t i n g a n g l e s a r e

= a r c t a n

p

w

2

a

2

2 E . W e h a v e d e t e r m i n e d t h e a n g u l a r

f u n c t i o n ( E ) ; 0 < E < V ( a ) , f o r w = 1 ; a = 2 , a n d f o r a = 4 , b y i n t e g r a t i n g n u m e r i c a l l y

t h e a n g u l a r e q u a t i o n ( 1 8 ) ( s e e F i g . 2 ) . I t y i e l d s t h e 2 e n e r g y l e v e l s f o r t h e o s c i l l a t o r t r u n c a t e d

a t a = 2 , a n d 8 e n e r g y l e v e l s f o r t h e o s c i l l a t o r t r u n c a t e d a t a = 4 , a l l c a l c u l a t e d w i t h a c c u r a c y

u p t o 1 0

1 0

. C u r i o u s l y , t h e o b t a i n e d e i g e n v a l u e s a r e v e r y c l o s e t o t h e r s t 2 a n d 8 l e v e l s

o f t h e e x a c t o s c i l l a t o r , r e s p e c t i v e l y , E

n

= n +

1

2

( i n d e e d , e v e n t h e l a s t e i g e n v a l u e s o f t h e

t r u n c a t e d p o t e n t i a l ( 3 1 ) d i e r r a t h e r l i t t l e f r o m t h e o r t h o d o x E

1

= 1 5 , a n d E

7

= 7 5 )

C o m p a r i n g t o R i t z m e t h o d , a b a s i c a d v a n t a g e o f o u r a l g o r i t h m i s i t s e s s e n t i a l s i m p l i c i t y ( n o

n e e d t o w a s t e s k i l l s i n v e n t i n g a n a d e q u a t e c l a s s o f t h e t e s t f u n c t i o n s ) . A n o t a b l e a d v a n t a g e

i s t h a t t h e s p e c t r a l f u n c t i o n ( E ) i s u n s t a b l e a n d c h a n g e s v e r y q u i c k l y w h e n c r o s s i n g t h e

s e q u e n c e o f c r i t i c a l v a l u e s = n ( n = 1 ; 2 ; . . . ) ( s e e F i g . 2 ) . T h u s , e v e n a v e r y l i t t l e e r r o r

i n E i n t h e v e c i n i t y o f a n e i g e n v a l u e , t r a d u c e s i t s e l f i n t o a v i s i b l e e e c t i n , s i g n i c a n t l y

i m p r o v i n g t h e a c c u r a c y ( c o m p a r e C a l o g e r o 1 6 , p 2 7 4 ] ) . T h i s i n s t a b i l i t y i s c a u s e d b y t h e

f a c t t h a t t h e e n e r g y e i g e n v a l u e s c o r r e s p o n d t o t h e b i f u r c a t i o n s o f t h e o r b i t s a n d t h e n a l

p o i n t ( b ) d e e c t s v e r y f a s t w h e n E c r o s s e s t h e b i f u r c a t i o n v a l u e . I n l i m i t b = + 1 ; ( b ; E )

w o u l d b e d i s c o n t i n u o u s a n d ( E ) w o u l d b e a n e x a c t s t e p f u n c t i o n !

6 T h e \

1

2

e i g e n p r o b l e m " .

O u r m e t h o d , t i l l n o w , c o n c e r n s o n l y t h e p o t e n t i a l s c o n s t a n t o u t s i d e o f n i t e i n t e r v a l s ( l i m -

i t e d , n o n { s i n g u l a r w e l l s ) . C o u l d i t t e l l s o m e t h i n g a b o u t m o r e g e n e r a l V ( t ) ? C o n s i d e r a n y

c o n t i n u o u s V : R ! R s u c h t h a t :

V

= l i m i n f

t ! 1

V ( t ) > 1 ( 3 2 )

I n t h e t r a d i t i o n a l a p p r o a c h t o t h e s p e c t r a l p r o b l e m , t h e m a i n e o r t i s t o n d t h e n o n {

t r i v i a l s o l u t i o n s o f ( 1 ) v a n i s h i n g o n b o t h e x t r e m e s t ! 1 ( w h i c h e x i s t s o n l y a s a n e x c e p -

t i o n ! ) F o l l o w i n g t h e o b s e r v a t i o n s o f S e c . 5 w e p r o p o s e t o r e d u c e t h e s o l u t i o n t o t w o m i n o r

s t e p s , e a c h o n e i n t e r p r e t a b l e a s \

1

2

s p e c t r a l p r o b l e m " : 1 ) f o r a n y E n d t h e s p e c i a l s o l u t i o n s

o f ( 1 ) w h i c h v a n i s h f o r t ! 1 ( t h e \ l e f t e i g e n v e c t o r s " ) ; 2 ) n d t h e s o l u t i o n s o f ( 1 ) w h i c h

v a n i s h f o r t ! + 1 ( t h e \ r i g h t e i g e n v e c t o r s " ) .

W h i l e t h e d i c u l t y o f s o l v i n g t h e c o m p l e t e s p e c t r a l p r o b l e m i s f o r m i d a b l e , o n e s e l d o m

p a y s a t t e n t i o n t o t h e f a c t , t h a t e v e r y \ h a l f o f i t " h a s a s o l u t i o n a l w a y s , d e n i n g s o m e l e f t

( r i g h t ) d e c a y i n g b r a n c h e s f o r ( 1 ) f o r a n y E < V

( E < V

+

) . F o r b i g t t h e y p r o v i d e t h e

a s i m p t o t i c c u e s e

( t ; E ) a n d a s i m p t o t i c a n g l e s

( t ; E ) a d e q u a t e t o r e p l a c e t h e x e d v e c t o r s

e

( E ) ( 1 3 ) a n d a n g l e s

( E ) i n t h e a l g o r i t h m o f S e c . 5 . I n d e e d , o n e h a s :

L e m m a L e t : R ! R b e a c o n t i n u o u s r e a l f u n c t i o n w i t h :

l i m i n f

t ! + 1

( t ) >

2

> 0 ( 3 3 )

T h e n t h e 2 { d i m e n s i o n a l s o l u t i o n s p a c e o f t h e 2 n d { o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n :

d

2

q

d t

2

= ( t ) q ( t ) ( 3 4 )

9


11/19

h a s a 1 { d i m e n s i o n a l s u b s p a c e

o f s o l u t i o n s w h i c h v a n i s h f o r t ! + 1 a n d a r e s q u a r e

i n t e g r a b l e i n 0 ; + 1 )

P r o o f . L e t N b e a n u m b e r s u c h t h a t ( t ) >

2

f o r t N . F o r t N , t h e m a t e r i a l p o i n t

q ( t ) m o v e s u n d e r t h e i n u e n c e o f t h e r e p u l s i v e e l l a s t i c f o r c e

q

2

q ( 3 5 )

C o n s i d e r n o w a n i n t e g r a l t r a j e c t o r y o f ( 3 3 ) w h i c h s a t i s e s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n : q ( N ) =

C > 0 , _q ( N ) = C > 0 . U s i n g ( 3 5 ) o n e e a s i l y s h o w s t h a t q ( t ) i s p o s i t i v e , m o n o t o n i c a l l y

i n c r e a s i n g a n d :

q ( t ) q ( N ) e

( t N )

= K e

t

( 3 6 )

T h e m e t h o d o f v a r i a t i o n o f c o n s t a n t t h e n p r o v i d e s a n e w , l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s o l u t i o n :

q

( t ) = q ( t )

Z

+ 1

t

d

q ( )

2

q ( t )

Z

+ 1

t

d

q ( t ) q ( )

=

Z

+ 1

t

d

q ( )

e

t

C

( 3 7 )

w h i c h s p a n s t h e d e s i r e d s u b s p a c e

2

A n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e i s :

T h e o r e m 2 . L e t V ( t ) b e a c o n t i n u o u s p o t e n t i a l i n t h e 1 { d i m e n s i o n a l S c h r o d i n g e r ' s

e q u a t i o n ( 1 ) a n d a s s u m e ( 3 2 ) h o l d s . T h e n f o r e v e r y E < V

, t h e 2 { d i m e n s i o n a l s o l u t i o n s p a c e

o f ( 1 ) c o n t a i n s a 1 { d i m e n s i o n a l s u b s p a c e

+

( E ) o f s o l u t i o n s v a n i s h i n g f o r t ! 1 , s q u a r e

i n t e g r a b l e i n ( 1 ; 0 ] , w h i l e f o r a n y E < V

+

i t c o n t a i n s a 1 { d i m e n s i o n a l s u b s p a c e

( E ) o f

s o l u t i o n s v a n i s h i n g f o r t ! + 1 , s q u a r e i n t e g r a b l e i n 0 ; + 1 ) . A n u m b e r E 0 a n d t h e a s i m p t o t i c

c u e e x p r e s s i o n s b e v a l i d f o r t a a n d t b ;

i i ) o n e u s e s t h e \ v a n i s h i n g c u e s " q

( t ; E ) t o d e n e t w o s p e c i a l a n g l e s :

( a ; E ) = a r c t a n p

( a ; E ) = q

( a ; E ) ] ( 3 8 )

+

( b ; E ) = a r c t a n p

+

( b ; E ) = q

+

( b ; E ) ] ( 3 9 )

1 0


12/19


13/19

-4 -3 -2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

E0=0.339309660629

E1=0.996678885237

E2=1.667399152170

F i g u r e 3 . T h e h y b r i d o s c i l l a t o r p o t e n t i a l . T h e d a s h e d l i n e s r e p r e s e n t t h e

s t a n d a r d e n e r g y e i g e n v a l u e s f o r e a c h s e p a r a t e d o s c i l l a t o r , a n d t h e s o l i d l i n e s

r e p r e s e n t t h e a c t u a l e i g e n v a l u e s f o r t h i s p o t e n t i a l .

7 S i n g u l a r a n d r a d i a l w e l l s .

T h e p h y s i c a l l y i m p o r t a n t w e l l s n o t o n l y e x t e n d t o i n n i t y , b u t c a n h a v e s i n g u l a r i t i e s i n t h e

n i t e r e g i o n . T h e t y p i c a l c a s e i s t h e 1 { d i m e n s i o n a l e q s . ( 1 ) o b t a i n e d a f t e r t h e s e p a r a t i o n o f

t h e a n g u l a r v a r i a b l e s i n t h e S c h r o d i n g e r ' s e q . i n R

3

w i t h a r a d i a l p o t e n t i a l ( r ) . B y d e n o t i n g

( x ) = R ( r ) Y ( ; ) a n d a s s u m i n g Y ( ; ) t o b e a n e i g e n f u n c t i o n o f t h e s q u a r e a n g u l a r

m o m e n t u m L

2

, o n e e n d s u p w i t h t h e 1 { d i m e n s i o n a l e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r u ( t ) = t R ( t ) :

d

2

u

d t

2

+ 2 V ( t ) +

l ( l + 1 )

t

2

2 E u = 0 ( 4 3 )

w h o s e e i g e n v e c t o r s a r e t h e t r a j e c t o r i e s v a n i s h i n g f o r t ! 0

+

a n d s q u a r e i n t e g r a b l e i n a n y

b ; + 1 ) ( b > 0 ) . S i m i l a r l y a s b e f o r e , e a c h o f t h e a s i m p t o t i c a l c o n d i t i o n s , t y p i c a l l y , c a n b e

s a t i s e d b y s o l u t i o n s o f ( 1 ) f o r a n y E . T h e e x i s t e n c e o f t h e r i g h t c u e s ( s o l u t i o n s v a n i s h i n g

f o r t ! + 1 ) i s a s s u r e d b y T h e o r e m 2 . I n t u r n , t h e e x i s t e n c e o f t h e z e r o - c u e s ( s o l u t i o n s

v a n i s h i n g a t 0

+

) i s t h e c o n s e q u e n c e o f t h e f o l l o w i n g e l e m e n t a r y t h e o r e m :

T h e o r e m 3 . L e t ( t ) b e a c o n t i n u o u s r e a l f u n c t i o n i n ( 0 ; + 1 ) , s a t i s f y i n g :

0 6= ( t ) k ( t ) ( 4 4 )

i n a c e r t a i n s u b i n t e r v a l ( 0 ; > 0 ) , w h e r e k : ( 0 ; ) ! R f u l l l s :

k ( t ) 0 a n d

Z

0

Z

t

0

k ( t

0

) d t

0


14/19


15/19

E

0

= - 0 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

E

1

= - 0 . 1 2 5 0 0 0 0 0 0 0

E

2

= - 0 . 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5

E

3

= - 0 . 0 3 1 2 4 9 9 9 9 9

E

4

= - 0 . 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

E

5

= - 0 . 0 1 3 8 8 8 8 8 8 8

E

6

= - 0 . 0 1 0 2 0 4 0 8 1 6

E

7

= - 0 . 0 0 7 8 1 2 5 0 0 0

E

8

= - 0 . 0 0 6 1 7 2 8 3 9 5

E

9

= - 0 . 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0

O n c e t h e a s i m p t o t i c e x p r e s s i o n s w e r e c r o s s { e x a m i n e d , w e h a v e u s e d t h e a l r e a d y t e s t e d

r i g h t c u e s o f t h e o s c i l l a t o r a n d t h e 0

+

c u e s o f t h e C o u l o m b s i n g u l a r i t y t o n d t h e p r i n c i p a l

s e r i e s o f e n e r g y l e v e l s f o r t h e \ h y b r i d w e l l " :

V ( r ) =

1

r

+

1

2

w

2

r

2

( 5 4 )

s o m e t i m e s c o n s i d e r e d a s a c a n d i d a t e t o d e s c r i b e t h e q u a r k c o n n e m e n t 1 9 ] . T a k i n g w

2

=

0 0 0 0 0 5 w e c o u l d o b s e r v e , t h a t a v e r y w e a k o s c i l l a t o r p o t e n t i a l c a n c e l s t h e c o n d e n s a t i o n

o f t h e h y d r o g e n e n e r g y l e v e l s f o r E ! 0

, p r o v i d i n g a c o n t i n u o u s t r a n s i t i o n t o a n e q u a l l y

s p a c e d s p e c t r u m f o r E > 0 0 1 ( s e e F i g . 4 ) . L e t u s a l s o n o t i c e t h a t a c l o s e r e l a t i v e o f o u r

m e t h o d h a s b e e n s u c c e s f u l l y u s e d t o s t u d y t h e l o g a r i t h m i c w e l l s 2 0 ] .

10 20 30 40

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

E0=-0.4992519947

E1=-0.1152167704

E2=-0.0187218536

E3= 0.0452921445

E4= 0.1011291432

E5= 0.1535226330

E6= 0.2040474721

E7= 0.2534060693

E8= 0.3019701340

F i g u r e 4 . A h y b r i d w e l l : t h e k i n d w h i c h c o u l d r e s e m b l e t h e q u a r k c o n n e m e n t .

W e a r e t e m p t e d t o p r e d i c t t h a t i n n o t s o f a r f u t u r e , t h e p e r t u r b a t i v e m e t h o d s o f d e -

t e r m i n i n g s p e c t r a ( a t l e a s t f o r t h e 1 { d i m e n s i o n a l S c h r o d i n g e r ' s o p e r a t o r ) w i l l b e a l m o s t

f o r g o t t e n a n d a p a r t o f p a c i e n c e n o w a d a y s d e v o t e d t o s p e c i a l f u n c t i o n s ( p e r m i t t i n g t o s o l v e

o n l y e x c e p t i o n a l p r o b l e m s ! ) w i l l b e i n v e s t e d i n t o b u i l d i n g u p a b a n k o f d a t a a b o u t t h e

a s i m p t o t i c b e h a v i o u r s a n d \ v a n i s h i n g c u e s " . O n c e t h e s e d a t a w i l l b e p r e c i s e e n o u g h , t h e

t a s k o f d e t e r m i n i n g t h e s p e c t r a o f a r b i t r a r y p o t e n t i a l s o f k n o w n a s i m p t o t i c t y p e s w i l l b e c o m e

a q u e s t i o n f o r t h e p o c k e t c a l c u l a t o r s .

1 4


16/19

A c k n o w l e d g e m e n t s

T h e a u t h o r s a r e g r a t e f u l t o t h e i r C o l l e a g u e s i n D e p t o . d e F s i c a , M e x i c o , i n t h e I n t .

C e n t e r o f C o m p u t e r M o d e l i n g , W a r s a w , a n d i n t h e I n s t i t u t e o f T h e o r e t i c a l P h y s i c s , W a r s a w ,

f o r h e l p f u l d i s c u s s i o n s . T h a n k s a r e a l s o d u e t o t h e o r g a n i z e r s o f t h e 4 t h I n t . C o n f . o f

S q u e e z e d S t a t e s a n d U n c e r t a i n t y R e l a t i o n s i n S h a n x i , J u n e 1 9 9 5 , f o r t h e i r i n t e r e s t i n t h e

s u b j e c t a n d h e l p f u l c o m m e n t s . T h e s u p p o r t o f C O N A C Y T , M e x i c o , i s a c k n o w l e d g e d .

A p p e n d i x : T h e e v a l u a t i o n o f t h e v a n i s h i n g c u e s

B e l o w , w e l o o k s t r a i g h t f o r w a r d l y f o r f = t a n d e n e d b y t h e R i c c a t i e q u a t i o n ( 3 ) a n d

y i e l d i n g q ( t ) = e

R

f ( t ) d t

w h i c h v a n i s h e i t h e r f o r t ! 1 o r t ! 0

+

A H a r m o n i c o s c i l l a t o r

T h e s o l u t i o n t o t h e R i c c a t i e q u a t i o n

_

f + f

2

= w

2

t

2

2 E

w h i c h y i e l d s q ( t ) ! 0 f o r t ! 1 , c a n b e f o u n d i n f o r m o f a n i n n i t e s e r i e s :

f ( t ) = w t +

+ 1

X

i = 0

a

i

t

i

w h e r e

a

0

= a

2 s

= 0 ; a

1

=

E

w

1

2

;

a

s + 1

=

1

2 w

(

( s 1 ) a

s 1

+

s

X

j = 1

a

j

a

s j

)

( s 2 )

E x p l i c i t e l y :

f ( t ) = w t +

E

w

1

2

1

t

+

1

2 w

E

w

1

2

E

w

3

2

1

t

3

+

1

2 w

2

E

w

1

2

E

w

3

2

E

w

2

1

t

5

+ . . .

T h e a s i m p t o t i c f o r m o f t h e \

1

2

{ e i g e n v e c t o r s " f o r t ! 1 i s :

q

' e

1

2

w t

2

t

(

E

w

1

2

)

e

2

(

E

w

3

2

)

1

t

2

4

(

E

w

3

2

) (

E

w

2

)

1

t

4

T h e c o n s i s t e n c y w i t h t h e t e x t b o o k s e x p r e s s i o n s f o r ( t ) i n t e r m s o f t h e c o n u e n t h y p e r g e o -

m e t r i c f u n c t i o n i s e a s i l y v e r i e d .

1 5


17/19

B T h e C o u l o m b p o t e n t i a l

T h e s e r i e s s o l u t i o n f o r

_

f + f

2

=

2

t

+

l ( l + 1 )

t

2

2 E

y i e l d i n g q

0

( t ) ! 0 w h e n t ! 0

+

] t u r n s o u t t o b e

f

0

=

l + 1

t

+

+ 1

X

i = 0

a

i

t

i

E x p l i c i t e l y

f

0

=

l + 1

t

1

l + 1

2 E ( l + 1 )

2

+ 1

( 2 l + 3 ) ( l + 1 )

2

t + . . .

H e n c e f o r t h , t h e \

1

2

{ e i g e n v e c t o r " v a n i s h i n g f o r t ! 0

+

i s :

q

0

' t

l + 1

e

1

+ 1

t

2 E + 1 )

2

+ 1

2 2 + 3 ) ( + 1 )

2

t

2

+ . . .

c o n s i s t e n t l y w i t h t h e w e l l k n o w n e x p r e s s i o n s i n t e r m s o f t h e c o n u e n t h y p e r g e o m e t r i c s e r i e s .

F o r t ! + 1 , b y s i m i l a r a r g u m e n t s , f h a s t h e f o r m

f

=

p

2 E +

1

p

2 E

1

t

2 l ( l + 1 ) E +

p

2 E 1

4 E

p

2 E

1

t

2

+ . . .

y i e l d i n g t h e \

1

2

{ e i g e n v e c t o r "

q

' e

p

2 E t

t

1

p

2 E

e

h ( 1 = t )

w h e r e h ( ) h a s t h e f o r m o f a n a n l y t i c s e r i e s v a n i s h i n g a t = 0 . H o w e v e r , w e h a v e f o u n d

t h a t i f t h e i n t e g r a t i o n i n t e r v a l i s w i d e e n o u g h , a s i m p l e r a s i m p t o t i c e x p r e s s i o n g i v e s g o o d

r e s u l t s :

f

=

r

2 E

2

t

+

l ( l + 1 )

t

2

a n d t h e o n l y p r o b l e m w e h a v e i s t o i n t e g r a t e t h e a n g u l a r e q u a t i o n ( 1 8 ) i n a s u c i e n t l y l o n g

r a n g e , t o h a v e t h e c u e w i t h o u t n o d a l p o i n t s . T h e i n t e g r a t i o n c a n b e s i m p l i e d b y c h a n g i n g

v a r i a b l e s f r o m t t o x = t = ( 1 + t )

C T h e Y u k a w a p o t e n t i a l

T h i s c a s e i s v e r y s i m i l a r t o t h e p r e c e d i n g o n e , t h o u g h n o l o n g e r t r e a t a b l e i n t e r m s o f h y p e r -

g e o m e t r i c s e r i e s . T h e R i c c a t i e q u a t i o n f o r f ( t ) = t a n ( t ) r e a d s

_

f + f

2

=

2

t

e

t

+

l ( l + 1 )

t

2

2 E

1 6


18/19

O u r T h e o r e m 3 a s s u r e s t h e e x i s t e n c e o f t h e s o l u t i o n o f ( 1 ) v a n i s h i n g a t z e r o , o f t h e f o r m

0

( t ) = e x p f f

0

( t ) g w h e r e :

f

0

=

l + 1

t

+

+ 1

X

i = 0

a

i

t

i

A f t e r c a l c u l a t i o n s

a

0

=

1

l + 1

; a

1

=

2 ( E ) ( l + 1 )

2

1

( 2 l + 3 ) ( l + 1 )

2

a

s + 1

=

1

2 l + s + 3

(

2 ( )

s + 1

( s + 1 ) !

s

X

r = 0

a

r

a

s r

)

( s 1 )

H e n c e f o r t h , t h e v a n i s h i n g c u e q

0

( t ) i s :

q

0

( t ) ' t

l + 1

e

1

+ 1

t +

2 E ) + 1 )

2

1

2 2 + 3 ) ( + 1 )

2

t

2

+ . . .

( n o l o n g e r r e p r e s e n t a b l e i n t e r m s o f t h e c o n u e n t h y p e r g e o m e t r i c s e r i e s ! )

F o r t ! + 1 , w e h a v e u s e d a n i t e a p p r o x i m a n t :

f

=

r

l ( l + 1 )

t

2

2 E

2

t

e

t

c h a n g i n g s i m u l t a n e o u s l y t h e i n t e g r a t i o n v a r i a b l e t o x = t = ( 1 + t )

D A h y b r i d \ q u a r k p o t e n t i a l "

T h e R i c c a t i e q u a t i o n ( 3 ) f o r t h e e e c t i v e p o t e n t i a l

V ( t ) =

1

t

+

1

2

w

2

t

2

l ( l + 1 )

2 t

2

y i e l d s t h e f o l l o w i n g f

0

( t ) f o r t ! 0

+

:

f

0

=

l + 1

t

1

l + 1

2 E ( l + 1 )

2

+ 1

( 2 l + 3 ) ( l + 1 )

2

t

2 E ( l + 1 )

2

+ 1

( 2 l + 3 ) ( l + 1 )

3

( l + 2 )

t

2

+

1

2 l + 5

(

w

2

4 E ( l + 1 )

2

+ 2

( 2 l + 3 ) ( l + 1 )

4

( l + 2 )

( 2 E ( l + 1 )

2

+ 1 )

2

( 2 l + 3 )

2

( l + 1 )

4

)

t

3

+ . . .

T h e v a n i s h i n g c u e

q

0

= t

l + 1

e

1

+ 1

t + g ( t )

w h e r e g ( t ) h a s t h e f o r m o f a n a n a l y t i c a l s e r i e s .

M e a n w h i l e , t h e s o l u t i o n v a n i s h i n g a t t ! + 1 c o r r e s p o n d s t o f

( t ) i n t h e f o r m

f

= w t +

E

w

1

2

1

t

+

1

w

1

t

2

+

1

2 w

E

w

1

2

E

w

3

2

l ( l + 1 )

1

t

3

+ . . .

T h e v a n i s h i n g c u e i s

q

' e

1

2

w t

2

t

(

E

w

1

2

)

e

k ( 1 = t )

w h e r e k ( ) i s a n a n a l y t i c s e r i e s v a n i s h i n g a t = 0

1 7


19/19

R e f e r e n c e s

1 ] J . P l e b a n s k i , J . M a t h . P h y s . 1 8 , 2 5 1 1 ( 1 9 7 7 ) .

2 ] Y . A h a r o n o v a n d C . K . A u , P h y s . R e v . L e t t . 4 2 , 1 5 8 2 ( 1 9 7 9 ) .

3 ] G . F . D r u k a r e v , J . E k s p . T h e o r . P h y s . 1 9 , 2 4 7 ( 1 9 4 9 ) .

4 ] S . F r a n c h e t t i , N u o v o C i m . 6 , 6 0 1 ( 1 9 5 7 ) .

5 ] R . J o s t a n d A . P a i s , P h y s . R e v . 8 2 , 8 4 0 ( 1 9 5 1 ) .

6 ] R . J o s t a n d W . K h o n , P h y s . R e v . 8 7 , 9 7 7 ( 1 9 5 2 ) .

7 ] V . B a r g m a n n , P r o c . N a t . A c a d . S c i . U S A 3 8 , 9 6 1 ( 1 9 5 2 ) .

8 ] J . S c h w i n g e r , P r o c . N a t . A c a d . S c i . U S A 4 7 , 1 2 2 ( 1 9 6 1 ) .

9 ] F . C a l o g e r o , J . M a t h . P h y s . 6 , 1 6 1 ( 1 9 6 5 ) .

1 0 ] F . C a l o g e r o , C o m m u n . M a t h . P h y s . 1 , 8 0 ( 1 9 6 5 ) .

1 1 ] I . A . M a l k i n a n d V . I . M a n ' k o , S o v . P h y s . J E T P 3 1 , 3 8 6 ( 1 9 7 0 ) .

1 2 ] J . E . A v r o n a n d B . S i m o n , P h y s . R e v . L e t t . 4 6 , 1 1 6 6 ( 1 9 8 1 ) .

1 3 ] B . M i e l n i k a n d M . A . R e y e s , \ C l a s s i c a l T r a j e c t o r i e s a n d Q u a n t u m S p e c t r a " , T a l k a t I V

I C S S U R , S h a n x i , C h i n a , J u n e 1 9 9 5 .

1 4 ] M . C z a c h o r , \ E l e m e n t s o f N o n - l i n e a r Q u a n t u m M e c h a n i c s " ( p r e p r i n t , 1 9 9 4 ) .

1 5 ] P . G r o c h o w s k i , W . K a n i o w s k i a n d B . M i e l n i k ( i n p r e p a r a t i o n ) .

1 6 ] F . C a l o g e r o , N u o v . C i m . 2 7 , 2 6 1 ( 1 9 6 3 ) .

1 7 ] R . G . N e w t o n , J . M a t h . P h y s . 1 , 3 1 9 ( 1 9 6 0 ) .

1 8 ] M . A . R e y e s , \ L a e c u a c i o n a n g u l a r d e R i c c a t i y e l p r o b l e m a e s p e c t r a l u n i d i m e n s i o n a l " ,

M a s t e r T h e s i s , C I N V E S T A V , M e x i c o ( 1 9 9 2 ) .

1 9 ] G a b r i e l L o p e z C . , p r i v a t e d i s c u s s i o n , M a r c h 1 9 9 5 .

2 0 ] K . E v e k e r , D . G r o w , B . J o s t , C . E . M o n f o r t I I I , K . W . N e l s o n , C . S t r o h a n d R . C . W i t t ,

A m . J . P h y s . 5 8 , 1 1 8 3 ( 1 9 9 0 ) .

The Classical Schrodinger's Equation

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Transcript of The Classical Schrodinger's Equation