CINEMATICABERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de AntioquiaInstituto de Fsica2007ndice general1. Cinemtica 11.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Concepto de partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Descripcin de la cinemtica de una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1. Vector posicin (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. Vector desplazamiento (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3. Vector velocidad (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.4. Vector velocidad media ( v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.5. Vector velocidad instantnea (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.6. Vector aceleracin (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.7. Vector aceleracin media ( a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.8. Vector aceleracin instantnea (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Movimiento rectilneo de una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1. Velocidad en el movimiento rectilneo (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. Movimiento rectilneo uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3. Aceleracin en el movimiento rectilneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.4. Movimiento acelerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.5. Movimiento rectilneo desacelerado o retardado. . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.6. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) . . . . . . . . . . . 161.6. Movimiento curvilneo en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.1. Movimiento curvilneo bajo aceleracin constante . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7. Movimiento general en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.1. Vector posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.2. Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.3. Vector aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8. Movimento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8.1. Vector posicin (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8.2. Vector velocidad (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8.3. Vector aceleracin(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8.4. Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8.5. Movimiento circular uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.8.6. Vector velocidad angular y vector aceleracin angular . . . . . . . . . . . . . 341.9. Velocidades altas y velocidades bajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Captulo 1CinemticaObjetivosEn esta unidad se buscaIdenticar y denir las cantidades fsi-cas relacionadas con el movimiento de loscuerpos.Analizar el modelo fsico-matemtico, quepermite obtener las herramientas nece-sarias para describir el movimiento de loscuerpos tratados bajo el modelo de partcu-la.Aplicar losconceptosdelacinemticaasituaciones fsicas particulares.CONCEPTOS BASICOSEn esta unidad de cinemtica, se denirn lossiguientes conceptos que son bsicos en el es-tudio del movimiento de los cuerpos: Sistemade referencia, partcula, vector posicin ( r), vec-tor desplazamiento ( r), vector velocidad (v),vector aceleracin ( a), vector velocidad angu-lar (), vector aceleracin angular ().1.1. IntroduccinLa parte de la fsica que analiza el movimien-to de los cuerpos, se conoce con el nombre demecnica. La mecnica, a su vez, se divide encinemtica y dinmica. En esta unidad, se bus-ca analizar los mtodos matemticos que des-criben el movimiento de los cuerpos, los cualescorresponden a la cinemtica. El estudio de ladinmica, se inicia en la segunda unidad.1.2. Sistemas de referenciaLa frase traer el cuerpo A que se encuentra a unadistancia de 2 m, es una frase incompleta, porquecomoseilustraenlagura1.1, puedehabermuchos cuerpos a una distancia de 2 m entre s.Esto lleva a la pregunta: 2 m a partir de qu orespecto a quin? Lo anterior muestra la necesi-dad de especicar un punto u observador de re-ferencia respecto al cual se miden los 2 m. Porelloesmscorrectodecir: "Traerel cuerpoAque se encuentra a una distancia de 2 m respec-to al observador B".2m2m2m2mFigura 1.1: Cuerpos separados entre s por una dis-tancia de 2 m.La frase anterior, aunque es menos ambigua,tampoco est completa ya que hay un conjuntomuy grande de puntos ubicados a una distan-cia de 2 m respecto al observador B. Al unir esteconjunto de puntos se obtiene una esfera de ra-dio 2 m en el espacio tridimensional, y una cir-cunferencia de radio 2 m en el plano como semuestra en la gura 1.2 para el caso bidimen-sional.Para denir con toda claridad la posicin delcuerpo, sepuedehacerlaarmacin: Traerel2 CAPTULO 1. CINEMTICABFigura 1.2: Cuerpos a una distancia de 2 m respectoa B.cuerpo A que se encuentra a una distancia de 2 mrespecto a un observador B, de tal manera que la rec-ta que une a B con A forma un ngulo con el eje x,tomado horizontalmente. Esto equivale a decir quese ha adicionado un sistema de coordenadas alobservador B, como se muestra en la gura 1.3,dondeloquerealmentesehadenidoesunsistema de referencia, que consiste en un obser-vador al que se le ha asignado o ligado un sis-tema de coordenadas.BxyAq2mFigura 1.3: Posicin de A respecto a B.Enlagura1.3, debequedar claroquesepuedeemplearbienseaelsistemadecoorde-nadascartesianas xyoel sistemadecoorde-nadas polares r, , teniendo en cuenta las rela-ciones existentes entre ellas, como se vi en launidad de vectores.Porloanterior, sepuedeconcluirqueparaconocerconcertezalaposicindeuncuerpoesindispensabledenirunpuntodereferen-cia, esto es, un sistema de referencia, ya que delo contrario no tendra sentido la ubicacin delcuerpoenconsideracin.Comoseindicamsadelante, para dar una descripcin completa delmovimiento de un cuerpo, se debe disponer deun cronmetro o reloj con el n de poder cono-cer los instantes de tiempo en los que ocupa lasdiferentes posiciones.Lo discutido anteriormente slo es vlidopara el observador B, ya que si se cambia de ob-servador, o lo que es equivalente, de sistema dereferencia, necesariamente la posicin del cuer-po sera completamente diferente.De esta forma, el movimiento de un cuerpopuededenirsecomouncambiocontinuodesu posicin respecto a otro cuerpo, es decir, elmovimiento de un cuerpo dado slo puede ex-presarseenfuncindeunsistemadereferen-cia. Adems, el movimiento del cuerpo A, res-pecto al cuerpo B, puede ser muy diferente almovimiento del cuerpo A respecto a otro cuer-po C.MovimientoACBxyFigura 1.4: A y C se mueven respecto a B.Suponga que un auto y su conductor, en re-poso entre s, se mueven sobre una pista rectahacia la derecha. Esta situacin real, se mode-lar de tal forma que en la gura 1.4, el conduc-tor es el cuerpo A, el auto el cuerpo C y un postejo al lado de la va es el cuerpo B.LoscuerposAyCenreposounorespectoalotro, se encuentranenmovimientohacialaderecha respecto al cuerpo B, como en la gu-ra1.4. Perounasituacindiferentesepresen-ta cuando se toma un sistema de referencia conorigen en el cuerpo C, como se indica en la gu-ra 1.5.En este caso, el cuerpo A est en reposo res-pecto al cuerpo C y el cuerpo B en movimientohacia la izquierda respecto al cuerpo C.De acuerdo con lo anterior, cuando se quiereanalizar el estado cinemtico de un cuerpo, se1.2. SISTEMAS DE REFERENCIA 3MovimientoACx'y'BFigura 1.5: B se mueve respecto a C, A no se mueverespecto a C.hace necesario denir con toda claridad cul esel sistema de referencia a utilizar, ya que comoen la situacin de la gura 1.4, el movimientode A y C es hacia la derecha respecto al cuer-po B, mientras que para la situacin de la gura1.5, A est en reposo y B en movimiento hacia laizquierda respecto al cuerpo C.Paraobtenerinformacincompletasobrelaformacomocambialaposicindeuncuerporespecto aotro, esnecesariomedirtiempos,osea, que el observador debe disponer de un relojocronmetro, ademsdel sistemadecoorde-nadas.Delasituacinanterior tambinsepuedeconcluir que reposo y movimiento son concep-tosrelativos,yaqueambosdependendelsis-tema de referencia en consideracin. Si un cuer-po est en movimiento respecto a algunos sis-temas de referencia, simultneamente puede es-tar en reposo respecto a otros sistemas de refe-rencia, esto es, el movimiento es relativo.En lo que sigue, se supone que se tiene un sis-tema de referencia bien denido. Los sistemasde referencia que se emplearn en adelante, sesuponequeestnenreposorespectoalatie-rra; estos sistemas recibenel nombredesis-temas de referencia inerciales. En la unidad 2,se dene de forma ms general este tipo de sis-temas de referencia, donde tambin se incluyenciertos sistemas de referencia, que aunque estnen movimiento respecto a la tierra, cumplen lacondicin de ser inerciales.Lo expuesto anteriormente tambin es vlidoen el caso de dos y tres dimensiones.Pregunta :Por la ventana de un autobs, enmovimientorespectoaunavarecta, unpasajerodejacaeruncuerpo. Culserel camino seguido por el cuerpo, respectoal pasajero? Cul ser el camino seguidopor el cuerpo, respecto a una persona quese encuentra sobre la va?A diario se observan cuerpos en movimien-to, bien sobre la supercie de la tierra o a deter-minada altura respecto ella. El movimiento deestos cuerpos ocurre dentro de un gran mar deaire llamado atmsfera. El aire, el ms comnde los gases de la tierra, es una mezcla de gasesconocidos, tales como: nitrgeno, oxgeno, bi-xido de carbono, hidrgeno, etc.Cuando se analiza el movimiento de un cuer-po, respecto a la supercie de la tierra, se ob-tienen los mismos resultados si este anlisis selleva a cabo respecto a un globo esttico a deter-minada altura respecto a la tierra.La igualdad en los resultados, al tomarcualquieradelossistemasdereferenciaante-riores, se debe a que la atmsfera terrestre es-testticarespectoalatierra, esdecir,quelagran masa de aire es arrastrada por la tierra ensu movimiento de rotacin. O sea, que cuandoun cuerpo se eleva en el aire sigue sin separar-se de la tierra ya que se mantiene ligado a sucapa gaseosa la cual tambin toma parte en elmovimientoderotacindelatierraalrededorde su eje.Debido a que el sistema tierra-aire gira comoun todo, hace que arrastre consigo todo lo queenl seencuentra: lasnubes, losaeroplanos,las aves en vuelo, etc. Si esto no ocurriera, loscuerpos en todo momento estaran sometidos afuertes vientos. Situacin que se puede presen-tar pero por razones fsicas muy diferentes.Necesariamente, cuando un cuerpo se mueverespecto a la tierra, bien sea sobre ella o a una al-tura determinada dentro de la atmsfera, estarsometido a los efectos del aire. Esta situacin sepercibe cuando se viaja en un auto con las ven-tanillas abiertas o cuando se deja caer vertical-menteunahojadepapel. Enamboscasosloscuerpos tienen un movimiento respecto al sis-tema aire.En esta unidad, no se consideran los efectosdel aire sobre el movimiento de los cuerpos. El4 CAPTULO 1. CINEMTICAanlisis de esta situacin se hace en la unidad 2.1.3. Concepto de partculaSe considera la siguiente situacin: Un bloquese desliza o traslada sobre una supercie hori-zontalsincambiarsuorientacinnisuformageomtrica, es decir, se mueve como un todo deuna posicin a otra. En este caso, como se indicaen la gura 1.6, los puntos A y B, pertenecientesal bloque, se mueven la misma distancia d.ABxxABxxddFigura 1.6: Traslacin pura de un cuerpo.Aunque slo se han considerado los puntos Ay B, es cierto que todos los puntos del bloque semueven la misma distancia d.Esto permite analizar el movimiento de soloun punto del bloque, ya que el comportamientode l es idntico al comportamiento de todos losdems puntos. Cuando es posible hacer la sim-plicacin anterior, se dice que el cuerpo se hareducido al modelo de una partcula. Posterior-mente, se dar una denicin ms completa delconcepto partcula.En esta unidad se considera slo elmovimiento de traslacin de los cuerpos,bienseaenlnea rectaoa lolargode unacurva; por ello el movimiento de los cuerpos sedescribe mediante el modelo de partcula.1.4. Descripcin de la cinemticade una partcula1.4.1. Vector posicin (r)Parael casodedos dimensiones, uncuerpotratado bajo el modelo de partcula, se muevea lo largo de un camino, tambin conocido co-mo trayectoria, respecto al sistema de referen-cia mostrado en la gura 1.7. La posicin de lapartcula, en un instante determinado y respec-toalsistemadereferenciaempleado, estda-da por el vector posicin r trazado desde el ori-gen del sistema de referencia hasta la posicindonde se encuentre la partcula.xyOijr() tA( , ) x yTrayectoriaqFigura 1.7: Vector posicin r de la partcula.Si el vector posicin en componentes rectan-gulares est dado por r = x i + yj , se tiene quesu magnitud y direccin estn dadas, respecti-vamente, porr =_x2+ y2y = tan1 yx. (1.1)La forma de las expresiones dadas por laecuacin (1.1) son vlidas, en general, paraobtenerlamagnitudydireccindecualquiervector, si se conocen sus componentes rectangu-lares.En la gura 1.7 se observa que el vector posi-cin r vara con el tiempo tanto en magnitud co-mo en direccin, mientras la partcula se muevea lo largo de su trayectoria.Ejemplo 1.1.El vectorposicindeunapartculaquesemueveenel planoxy, estdadoporr(t)=(t 3)i (t215)j , donde r estdado en m y t en s. Cuando tA = 2.50 s lapartcula pasa por el punto A. Determine:a)Lascoordenadasdelapartculaenelpunto A. b) La magnitud y direccin delvector posicin en dicho instante.Solucina) Reemplazando tA=2.50 s en la expre-sin dada, se encuentra que el vector posi-cin en componentes rectangulares, cuan-do la partcula pasa por el punto A, estdado porrA = ( 0.50 m)i + (8.75 m)j.1.4. DESCRIPCIN DE LA CINEMTICA DE UNA PARTCULA 5Como en el plano el vector posicin en ge-neral se expresa en la forma r = xi + yj, alcomparar con la igualdad anterior se tienequexA = 0.50 m y yA = 8.75 m,quesonlascoordenadasdelapartculacuando pasa por el punto A.b) Utilizandolasecuaciones(1.1), seencuentra que la magnitud y direccin delvector posicin estn dadas porrA = 8.76 m y A = 86.73o.As, el vector posicin se puede expresaren la formarA= 8.76m 86.73oEl siguiente diagrama es una represen-tacin grca de los resultados obtenidos.Ax (m)y (m)ijrA8.75-0.50OqAEjercicio 1.1.El vectorposicindeunapartculaquesemueveenel planoxy, estdadoporr(t) = (t 3)i (t215)j donde r est da-do en m y t en s. Encuentre: a) La ecuacinde la trayectoria seguida por la partcula.De acuerdo con su resultado, qu trayec-toriadescribelapartcula?b)Elinstanteen que la partcula pasa por el ejexy elinstante en que pasa por el eje y . c) El vec-tor posicin de la partcula en el instantet = 0.Ejercicio 1.2.El vectorposicindeunapartculaquesemueveenel planoxy, estdadoporr = (2t21)i (t3+ 2)j donde r est da-do en m y t en s. Cuando tA=2.50 s lapartcula pasa por el punto A. Determine:a)Lascoordenadasdelapartculaenelpunto A. b) La magnitud y direccin delvector posicin en dicho instante.1.4.2. Vector desplazamiento (r)Como se indica en la gura 1.8, se considera unapartcula que en el instante tA pasa por el puntoA, denido por el vector posicin rA . Si en uncierto tiempo posterior tB (tB> tA ) la partculapasa por el punto B, denido mediante el vectorposicin rB, el vector desplazamiento que describeel cambio de posicin de la partcula conformese mueve de A a B es dado porr = rBrA = (xBxA)i + (yByA)j. (1.2)xyOijA( , ) x yA AB( , ) x yB BDrrBrAFigura 1.8: Vector desplazamiento r entre A y B.Ejemplo 1.2.Unapartculacuyovector posicinestdadoporr(t) =(t 3)i (t2 15)jseencuentraenelpuntoAentA=2.50 s.Si enel tiempotB=4.00 spasaporelpunto B, calcule la magnitud y direccindel vector desplazamiento entre A y B.SolucinAlreemplazartA=2.50 sytB=4.00 sen la expresin dada, se encuentra que losvectores posicin de la partcula, en com-ponentes rectangulares, respectivamenteestn dados porrA= ( 0.50 m)i + (8.75 m)j,rB= (1.00 m)i (1.00 m)j.Ahora, utilizandolaecuacin(1.2), paraeste caso se tiene que el vector desplaza-6 CAPTULO 1. CINEMTICAmiento, entre A y B, en componentes rec-tangulares est dado porr = (1.50 m)i (9.75 m)j.Por ltimo, utilizando las ecuaciones.(1.1),se encuentra que la magnitud y direccindel vector desplazamiento estn dadasporr = 9.86m y = 81.25o,Es decirrA= 9.86m 81.25oEneldiagramasiguientesemuestra,tanto el vector desplazamiento como el n-gulo que forma con la horizontal.xyObrArBDrEjercicio 1.3.Unapartculacuyovector posicinestdado por r = (2t21)i (t3+ 2)j , donder est dado en m y t en s, se encuentra enel punto A en tA = 2.50 s . Si en el tiempotB= 4.00 s pasa por el punto B, calcule lamagnitud y direccin del vector desplaza-miento entre A y B.1.4.3. Vector velocidad (v)Cuando la posicin de una partcula cambia conrespecto al tiempo, se dice que la partcula haadquirido una velocidad. En general, la veloci-daddeunapartculasedenecomolarapi-dez con que cambia de posicin al transcurrirel tiempo.1.4.4. Vector velocidad media ( v)De acuerdo con la gura 1.9, se considera unapartcula que en el instante tA pasa por el pun-to A, determinado por el vector posicin rA. Sien un tiempo posterior tB (tB> tA ) la partculapasa por el punto B, determinado por el vectorposicin rB, la velocidad media durante el inter-valo de tiempo t =tB tA, se dene comoel desplazamiento dividido entre el intervalo detiempo correspondiente, es decir v rt=rBrAtBtA=(xBxA)i + (yByA)jtBtA= vxi + vyj.(1.3)xyOijA( , ) x yA AB( , ) x yB BvrArBD rFigura 1.9: Vector velocidad media entre A y B.Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDeacuerdoconlaecuacin(1.3), lasdimen-siones del vector velocidad media y en generalde la velocidad, son LT1. Por consiguiente, lasunidades son m.s1en el sistema SI, cm.s1enel sistema gaussiano, p.s1en el sistema Ingls;y en general, cualquier unidadde longituddivididaporunaunidaddetiempo, talcomokm.h1.De acuerdo con la denicin (1.3), la veloci-dad media, v , es un vector ya que se obtienealdividirelvectorrentreelescalart, porlotanto, lavelocidadmediaincluyetantodi-reccin como magnitud. Su direccin est dadapor la direccin del vector desplazamiento r ysu magnitud por |r/t| . Esta cantidad es unavelocidad media, ya que la expresin no dice c-mo fue el movimiento entre A y B. La trayecto-ria pudo haber sido curva o recta, el movimien-to pudo haber sido continuo o variable.La siguiente es una situacin en la que el vec-tor velocidad media es nulo. En la gura 1.10,1.4. DESCRIPCIN DE LA CINEMTICA DE UNA PARTCULA 7unautopartedel puntoAypasandoporelpunto B regresa al punto A, luego de un tiem-po t . En este caso, la velocidad media es ceroya que el desplazamiento de la partcula es cero,aunqueladistanciarecorridaesdiferentedecero.xyOABFigura 1.10: Vector desplazamiento nulo.Ejemplo 1.3.Unapartculacuyovector posicinestdadoporr(t) =(t 3)i (t2 15)j, seencuentra en el punto A en tA = 2.50 s . Sien el tiempo tB = 4.00 s pasa por el puntoB,determinelamagnitudydireccindela velocidad media entre A y B.SolucinObteniendoel vectordesplazamientorysabiendoquet =1.5 s, mediantelaecuacin (1.3), se encuentra que la veloci-dad media en componentes rectangularesest dada por v = (1.00 m s1)i (6.5 m s1)j.Mediante las ecuaciones (1.1), para este ca-so se encuentra que la magnitud y direc-cindel vectorvelocidadmedia, corres-pondientes, son v = 6.58 m s1y = 81.25o,o sea que es la misma direccin del vectorv=6.58ms-181.25odesplazamiento r , como se esperaba.Ejercicio 1.4.Unapartculacuyovector posicinestdado por r(t) = (t 3)i (t215)j, se en-cuentra en el punto A en el instante tA. SieneltiempotBpasaporelpuntoB,de-muestre que la velocidad media cuando lapartcula pasa del punto A al punto B, estdada por v = i (tB + tA)j.Ejercicio 1.5.Unapartculacuyovector posicinestdado por r=(2t21)i (t3+ 2)j, se en-cuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Si enel tiempo tB= 4.00 s pasa por el punto B,calcule la magnitud y direccin del vectordesplazamiento entre A y B.Ejemplo1.4.La velocidad media cuando una partculapasadel puntoAal puntoB, estdadapor v=i (tB + tA)j . Obtenga la mag-nitud ydireccin delavelocidad media,cuando la partcula se mueve durantelos intervalos de tiempo mostrados en latercera columna de la tabla 1.1.SolucinEnlatabla1.1semuestranlos valoresobtenidosparalamagnitud( v)yladi-reccin () del vector velocidad media, endiferentes intervalos de tiempo (t) contB = 3.00 s.tA(s) tB(s) t(s) v(m/s) (o)2.980000 3.0 0.020000 6.060000 80.500002.990000 3.0 0.010000 6.070000 80.520002.995000 3.0 0.005000 6.078000 80.530002.998000 3.0 0.002000 6.081000 80.534002.999000 3.0 0.001000 6.082000 80.536002.999500 3.0 0.000500 6.082300 80.536902.999800 3.0 0.000200 6.082600 80.537402.999900 3.0 0.000100 6.082700 80.537502.999990 3.0 0.000010 6.082750 80.537662.999995 3.0 0.000005 6.082758 80.53767PreguntaQu puede concluir al observar los valo-res de las tres ltimas columnas de la tabla1.1?Ejercicio 1.6.Paraunapartcula, elvectorposicinen8 CAPTULO 1. CINEMTICAfuncindel tiempoestdadopor r =(2t2 1)i (t3+ 2)j , donde r est dadoen m y t en s. a) Si la partcula pasa por elpunto A en el instante tAy por el puntoB en el instante tB , halle el vector veloci-dad media en sus componentes rectangu-lares. b) Obtenga la magnitud y direccinde la velocidad media, cuando la partculase mueve durante los intervalos de tiem-po mostrados en la tercera columna de latabla 1.1.1.4.5. Vector velocidad instantnea (v)Es la velocidad de una partcula en un instan-te dado cualquiera. La velocidad, respecto a deter-minado sistema de referencia, puede variar bien seaporque cambia slo su magnitud slo su direccin simultneamente cambian tanto su magnitud comosu direccin.Para el movimiento de una partcula, repre-sentado en la gura 1.11, cmo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?xyOijABvB'B''Dr''Dr'DrrArBFigura 1.11: Vector desplazamiento nulo.Al considerar las posiciones intermedias de lapartcula ent,2, t,,2, t,,,2, determinadas por losvectores posicin r,2 , r,,2 , r,,,2 , se observa que losvectores desplazamiento r,,r,,, r,,,, cambiantanto en magnitud como en direccin, o sea quela velocidad media vara tanto en magnitud co-mo en direccin al tener en cuenta los puntosentre A y B.Igualmente, los intervalos de tiempo corres-pondientes t =t2 t1, t,=t,2 t,1, t,,=t,,2 t,,1, t,,,=t,,,2 t,,,1 , cada vez se hacen mspequeos.Si se contina este proceso haciendo que B seaproxime al punto A, el vector desplazamientose hace cada vez ms pequeo hasta que tiendea una direccin lmite, que corresponde a la dela tangente a la trayectoria de la partcula en elpunto A. Este valor lmite de r/t se conocecomo velocidad instantnea en el punto A, o sea,lavelocidaddelapartculaenel instantedetiempo tA .Si r es el desplazamiento en un pequeo in-tervalo de tiempo t , a partir de un tiempo to,la velocidad en un tiempo posterior t , es el va-lor al que tiende r/t cuando tanto r comot, tienden a cero, es decir,v =lmt0rt. (1.4)La ecuacin (1.4) no es ms que la denicin dederivada, esto esv =drdt. (1.5)Por laecuacin(1.5), seconcluyequelave-locidad instantnea es tangente a la trayectoriaseguida por la partcula. La magnitud de la ve-locidad se llama rapidez y es igual av = |v| =drdt.Como r = xi + yj , se tiene que en componentesrectangularesv =drdt=dxdt i + dydt j= vxi + vyj.Si en la gura 1.12, se conocen las componentesrectangulares, se tiene que su magnitud y direc-cin estn dadas porv =_v2x + v2yy = tan1vyvx.De acuerdo con la denicin del vector velocidad in-stantnea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.En adelante, siempre que se hable de veloci-dad, sehacereferenciaalavelocidadinstan-tnea.1.4. DESCRIPCIN DE LA CINEMTICA DE UNA PARTCULA 9xyOijr( ) tqvyvxvFigura 1.12: Componentes rectangulares del vectorvelocidad.Partiendo de la denicin del vector veloci-dad, esposibleconocerel vectorposicindeuna partcula si se conoce la forma como varael vector velocidad con el tiempo.De la ecuacin (1.5) se obtiene quer = ro +t_tov(t)dt. (1.6)Mientras no se conozca la forma como vara elvector velocidad (v(t)) con el tiempo, no es posi-ble resolver la integral de la ecuacin (1.6).Un caso particular se presenta cuando el vec-torvelocidadpermanececonstanteenmagni-tud y direccin. Cuando ello ocurre, la ecuacin(1.6) se transforma enr = ro + v(t to). (1.7)La ecuacin (1.7) corresponde a un movimien-toconocidocomomovimientorectilneouni-forme, ya que al no cambiar la direccin de lavelocidad, latrayectoriaesrectilneayal nocambiar la magnitud de la velocidad su rapidezes constante. Este caso particular de movimien-to se considerar ms adelante.Ejemplo1.5.El vectorposicindeunapartculaquesemueveenel planoxy, estdadoporr(t) =(t 3)i (t2 15)j, donderestdado en m y t en s. Determine la velocidadde la partcula, magnitud y direccin, enel instante t = 3 s.SolucinEmpleando la ecuacin (1.5) se tiene que lavelocidad en cualquier instante de tiempot est dada porr = v 2tj.Reemplazandot = 3 s enlaexpresinpara v, se tiene que el vector velocidad encomponentes rectangulares est dado porv = (1 m s1)i (6 m s1)j.As quesumagnitudydireccinestndadas respectivamente porv = 6.083 m s1y = 80.54o,es decirv=6.083m.s-180.54oPreguntaCompare este resultado con los valores dela tabla 1.1 en el ejemplo 1.4. Qu puedeconcluir?Ejercicio 1.7.El vectorposicindeunapartculaquesemueveenel planoxy, estdadoporr = (2t21)i (t3+2)j donde r est dadoen m y t en s. Determine la velocidad de lapartcula, magnitud y direccin, en el ins-tante t = 3 s . Compare el resultado con loobtenido en el ejercicio 1.6.Ejemplo 1.6.Si la velocidad de una partcula est dadaporv=i 2tj, halleelvectorposicinde la partcula en el instante de tiempo t,sabiendo que parti de una posicin en lacual ro = (3.0 m)i + (15 m)j en to = 0.SolucinReemplazandolosvectoresroyvenlaecuacin(1.6), seencuentraqueal inte-grar, evaluar y simplicar, el vector posi-cin de partcula est dado porr = (t 3)i (t215)j,que es el mismo vector posicin conside-rado en el ejemplo 1.1. De este resultado,se puede concluir que si se conoce el vec-tor posicin de una partcula, en funcin10 CAPTULO 1. CINEMTICAdel tiempo, es posible conocer el vector ve-locidad y si se conoce el vector velocidad,en funcin del tiempo, se puede conocerel vector posicin de la partcula (recuerdeque la integracin es la operacin inversade la derivacin).Ejercicio 1.8.Si la velocidad de una partcula est dadaporv=4ti 3t2j,halleelvectorposi-cin de la partcula en el instante de tiem-po t, sabiendo que parti de una posicinen la cual en ro= (1.00 m)i (2.00 m)jento=0. Comparesuresultadoconelvector posicin dado en el ejercicio 1.2.1.4.6. Vector aceleracin (a)A menudo, la velocidad de un cuerpo cambiaenmagnitudy/odireccin, al encontrarseenmovimiento. Cuando esto ocurre se dice que elcuerpo tiene una aceleracin. La aceleracin de uncuerpo se dene como la rapidez con que cambia suvector velocidad al transcurrir el tiempo.1.4.7. Vector aceleracin media ( a)De la gura 1.13, en el tiempo tA una partculase encuentra en el punto A y tiene una veloci-dad vA y en el instante posterior tB ( tB> tA) seencuentra en el punto B y tiene una velocidadvB, la aceleracin media a durante el movimientode A a B se dene como el cambio de velocidad di-vidido entre el intervalo de tiempo correspondiente,es decir a vt=vBvAtBtA, (1.8) aesunvector yaqueseobtienedividiendoel vectorvconel escalart , osea, quesecaracteriza por sumagnitudydireccin. Sudireccinesladevysumagnitudesdadapor |v/t| . a es una aceleracin media ya quenosehadicholaformacomovarael vectorvelocidad con el tiempo durante el intervalo detiempo t . Si durante este intervalo de tiempono hay cambio en el vector velocidad, esto es,si el vector velocidad permanece constante, enmagnitudyendireccin, entoncesentodoelintervalodetiempov =0ylaaceleracinxyOijABvBDvvAvB-vAFigura 1.13: Vector aceleracin media.sera cero.Dimensionesyunidadesdel vector acelera-cin mediaDeacuerdoconlaecuacin(1.8), lasdimen-siones del vector aceleracin son LT2. Por con-siguiente, las unidades son m. s2en el sistemaSI, cm.s2en el sistema gaussiano, p.s2en elsistema ingls; y en general, cualquier unidadde longitud dividida por una unidad de tiempoal cuadrado, tal como km.h2.Ejemplo 1.7.UnapartculapasaporelpuntoAenelinstante tA y por el punto B en el instantetB . Determine el vector aceleracin mediade la partcula entre estos dos puntos,sabiendo que su vector velocidad estdado por v=i 2tj, donde v est dadoen m.s1y t en s.SolucinEn este caso, la velocidad de la partculaen el punto A est dada por vA = i 2tAjy en el punto B por vB = i 2tBj , o sea queel cambio en la velocidad es v = 2(tBtA)j. Reemplazando v y t = tBtA enla ecuacin (1.8), se encuentra que el vec-tor aceleracin media es dado por a = (2 m s2)j.Por el resultado obtenido, se tiene que lavelocidadnocambiaenladireccindelejexyporellonoaparececomponentedeaceleracinendichadireccin, mien-tras que se presenta un cambio de veloci-dad en la direccin del eje ylo que haceque se presente una componente de acele-racin en esta direccin.1.4. DESCRIPCIN DE LA CINEMTICA DE UNA PARTCULA 11Ejercicio .9.UnapartculapasaporelpuntoAenelinstante tA y por el punto B en el instantetB. Determine el vector aceleracin mediade la partcula entre estos dos puntos, sa-biendo que su vector velocidad est dadopor v=4ti 3t2j, donde v est dado enm.s1y t en s.1.4.8. Vector aceleracin instantnea (a)Si unapartculaseestmoviendodetal ma-nera que su aceleracin media, medida en va-rios intervalos de tiempo diferentes no resultaconstante, se dice que se tiene una aceleracinvariable.Laaceleracinpuedevariarenmag-nitud y/o direccin. En tales casos, se trata dedeterminar la aceleracin de la partcula en uninstante dado cualquiera, llamada aceleracin in-stantnea a y denida pora =lmt0vt=dvdt=d2rdt2. (1.9)Si el vector velocidad en componentes rectan-gulares est dado por v = vxi + vyj, entonces elvector aceleracin se expresa en la formaa =dvxdti + dvydtj = axi + ayj. (1.10)Deestemodosumagnitudydireccinestndadas, respectivamente, pora =_a2x + a2yy = tan1 axay.xyijOaax iay jqFigura 1.14: Componentes rectangulares del vectoraceleracin.Como se muestra en la gura 1.14, el vectoraceleracin siempre apunta hacia la concavidadde la trayectoria y en general no es tangente niperpendicular a ella.Las dimensiones y unidades del vector aceleracininstantnea, o simplemente aceleracin, son lasmismas que las del vector aceleracin media.De la denicin de aceleracin, ecuacin(1.9), se encuentra quev = vo +t_toa(t)dt. (1.11)Esta integral se puede resolver slo si se conocela forma como vara la aceleracin con el tiem-po.Enel casoparticularqueel vectoracelera-cin permanezca constante, en magnitud y di-reccin, entoncesv = vo + a(t to). (1.12)Reemplazando la ecuacin (1.12) en la ecuacin(1.6), luego de integrar y evaluar se llega ar = ro + vo(t to) +12a(t to)2. (1.13)Expresinquenicamenteesvlidasielvec-tor aceleracin permanece constante mientras lapartcula est en movimiento.Ejemplo 1.8.Halle la aceleracin, en funcin del tiem-po, de una partcula cuya velocidad estdada por v = i 2tj.SolucinDerivandolaexpresinanteriorrespectoal tiempo, se encuentra que la aceleracinest dada pora = ( 2 m s2)j.Este resultado muestra que la aceleracinde la partcula es una constante a lo largodeladirecciny, loqueseesperabayaque coinciden la aceleracin media (ejem-plo 1.7) y la aceleracin instantnea.12 CAPTULO 1. CINEMTICAEjercicio 1.10.Halle la aceleracin, en funcin del tiem-po, de una partcula cuya velocidad estdada por v = 4ti 3t2j.Ejemplo 1.9.Halle, en funcin de t , la velocidad de unapartculacuyaaceleracinestdadapora=( 2 m s2)j, si vo=(1.0 m s1)ien to = 0.SolucinLuego de reemplazar a y vo en la ecuacin(1.11), al integrar y evaluar se llega a la ex-presinv = i 2tj,que es un resultado idntico a la expresindada en el ejemplo 1.8, como se esperaba.Ejercicio 1.11.Halle, en funcin de t , la velocidad de unapartculacuyaaceleracinestdadapora = 4i 6tj, si vo = 0 en to = 0. Comparecon la expresin dada para v en el ejercicio1.9.1.5. Movimiento rectilneo de unapartculaHasta este momento se han denido, de mane-ra general, las cantidades cinemticas que per-miten describir el movimiento de los cuerpos,mediante el modelode partcula. Enloquesigue, se consideran casos particulares de las ex-presiones consideradas anteriormente.Se iniciaconel casodel movimientomssimplequepuedepresentarsecomoesel deuncuerpocuyatrayectoriaes unalnearec-ta, la cual se hace coincidir, generalmente, conuno de los ejes de coordenadas (x y ). Luegode analizar este movimiento, se analizan otrosmovimientos ms generales enel plano, loscuales se representan por medio de sus proyec-ciones sobre los ejes de coordenadas o utilizan-do coordenadas polares.Aunque el desplazamiento por denicin esuna cantidad vectorial, se considera en primerlugarlasituacinenlacualslounacompo-nente del desplazamiento es diferente de cero,MovimientoiOxFigura 1.15: Movimiento rectilneo de una partcu-la.ya que en la mayora de los casos se hace coin-cidir unodelos ejes decoordenadas conlatrayectoriarectilneadescritaporlapartcula.La trayectoria en lnea recta puede ser vertical,horizontal uoblicua, comolamostradaenlagura 1.15.Sienlagura1.15, elejexcoincideconlatrayectoria descrita por una partcula, se tieneque el vector posicin, el vector velocidad y elvector aceleracin de la partcula estn dados,respectivamente, porr = xi, v = vi, a = ai.Ahora, comoalhacercoincidirelejexconlatrayectoria de la partcula, ya queda denida ladireccin del movimiento, es posible escribir lascantidades anteriores en forma escalar, es decirr = x, v =dxdt , a =dvdt. (1.14)O sea, las deniciones y conceptos de la seccinanterior siguen siendo vlidos, ecuaciones (1.1)a (1.13), siempre y cuando se tenga presente quesolo aparece una componente encada uno delos vectores, si la trayectoria coincide con el ejeutilizado.A B OxFigura 1.16: Desplazamiento y distancia recorrida.Es preciso recordar que no se debe confundirdesplazamientocondistanciarecorrida, comoseilustra en la gura 1.16, donde una partcula vadel origen de coordenadas O al punto A y luegoregresa, pasando por O, hasta llegar al punto B.1.5. MOVIMIENTO RECTILNEO DE UNA PARTCULA 13As, enestecaso, el vectordesplazamientodelapartculatieneunamagnituddadaporx =OB, apuntandohacialaderecha; estocorrespondeal vectorquevadel puntoOalpunto B, mientras que la distancia recorrida esd = 2OA+ OB.Ejercicio 1.12.Unapartcula, cuyaecuacincinemticadeposicinestdadaporx(t) =3t34t2t + 5, donde x se da en m y t en s, semueve en lnea recta a lo largo del eje x . a)Determine la velocidad y la aceleracin dela partcula en funcin del tiempo. b) Cal-cule la posicin, la velocidad y la acelera-cin de la partcula en el instante t = 2.5 s.c) Cules son las dimensiones de los co-ecientesnumricos, encadaunodelostrminos de las ecuaciones cinemticas deposicin, velocidad y aceleracin?1.5.1. Velocidad en el movimiento rectil-neo (v)Cuandolatrayectoriarectilneadelapartcu-laestal queestacoincideconel ejedecoor-denadas, la velocidad es un vector cuya mag-nitudestdadapor lasegundadelasecua-ciones(1.14.)ycuyadireccincoincideconladel movimiento. As, la velocidad v estar di-rigida enel sentidodel vector unitarioi sidx_dt > 0yenel sentidoopuestodei sidx_dt 0vvB), sobre una pistarecta, en carriles paralelos y en el mismosentido. Inicialmente, losautosestnse-parados una distancia d. a) Haga un dia-grama ilustrativo de la situacin plantea-da,dondesemuestreelsistemaderefe-rencia a emplear. b) Teniendo en cuenta elsistema de referencia elegido, plantee lasecuacionescinemticasdeposicinparacada auto. c) Determine el tiempoquedemoranlos autos enpasar unofrenteal otro. d) Halleel valordelacantidadobtenida en el numeral anterior, si vA=60 m s1, vB=144 km h1y d=50 m,e) Qu se puede armar respecto al tiem-po, cuandolasvelocidadesdelosautosson iguales?1.5.3. Aceleracin en el movimiento rec-tilneoDeacuerdoconladenicindeaceleracinypara el caso de movimiento rectilneo, con el ejede coordenadas coincidente con la trayectoria,un cuerpo posee aceleracin si cambia la mag-nituddelavelocidadconeltiempo, esdecir,siv=v (t). La aceleracin es un vector cuyamagnitud est dada por la tercera de las ecua-ciones (1.14) y cuya direccin coincide con la delmovimiento o con la opuesta, dependiendo desi la magnitud de la velocidad aumenta o dis-minuye con el tiempo. Igual que para la veloci-dad, el signo de la aceleracin lo da el sistemade referencia.1.5.4. Movimiento aceleradoSi la magnitud de la velocidad aumenta con eltiempo, se tiene movimiento acelerado, y en estecaso la velocidad y la aceleracin tienen el mis-mo sentido, como se ilustra en la gura 1.20. Es-ta situacin se presenta cuando en un auto seaplica el acelerador.OOiixxv>0v0v