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Integración numérica de sistemas lineales perturbados. José Antonio Reyes Perales

Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant.2003

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UNIVERSIDAD DE ALICANTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

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Integración numéricade sistemas lineales

perturbados

José Antonio Reyes Perales

Alicante - 2003

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UNIVERSIDAD DE ALICANTEDepartamento de Matemática Aplicada

Integración numérica desistemas lineales perturbados

N15

Memoria que presenta :Don José Antonio Reyes Peralespara optar al grado deDoctor en Ciencias(Sección Matemáticas)



A mis padres, que me enseñaron queel fruto del trabajo, es el mejor de losplaceres .



El presente trabajo ha sido dirigido por los Doctores : DonJosé Manuel Ferrándiz Leal, Catedrático, Jefe del Departamentode Matemática Aplicada de la Escuela Politécnica Superior deAlicante y Don Jesús Vigo Aguiar, Profesor Titular deUniversidad del Departamento de Matemática Pura y Aplicada dela Universidad de Salamanca, a quienes debo agradecer lapropuesta del tema así como' su constante ayuda durante laelaboración del mismo.

Quiero hacer patente también mi agradecimiento, a todosmis compañeros del Departamento de Matemática Aplicada de laE.P.S .A., por su apoyo y colaboración .

A mi esposa Auxiliadora e hijas, 1VP Auxiliadora y MaVictoria, por su comprensión y confianza durante estos años .

Finalmente, quiero manifestar mi agradecimiento a todasaquellas personas que, con su constante aliento, han hecho posibleesta Memoria .



Índice General

1

1.4.4

Mediante el procedimiento de eliminacion lineal de Richardson

17

1.5

Notas a los métodos de cálculo de 9-funciones . . . . . . . . . . . . .

28

1.6

Las G-funciones de Scheifele como método de integración numérica . .

29

31

34

37

i

Prólogo

Las funciones g de Scheifele

v

1

1 .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 .2 9-funciones para sistemas lineales perturbados . . . . . . . . . . . . . 4

1 .3 Desarrollos finitos y desarrollos en 9-funciones . . . . . . . . . . . . . lo

1 .3.1 Error de truncación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 .4 Métodos de cálculo de las 9-funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 .4.1 Mediante una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 .4.2 Mediante desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 .4.3 Mediante la ley de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.1 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 .6.2 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 .6.3 Notas a los ejemplos del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . .



1 .7

Figuras capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.7.1

Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.7.2

Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2 Métodos numéricos multipaso variable para la integración de siste-

mas lineales perturbados

41

2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2

Método explícito de p pasos E.I.pE para sistemas lineales perturbados

43

2.2.1

Estableciendo el método multipaso explícito . . . . . . . . . .

48

2.3

Método implícito de p pasos E.I.pI para sistemas lineales perturbados

52

2.3.1

Estableciendo el método multipaso implícito . . . . . . . . . .

55

2.4

Método predictor corrector E.I.pPC para sistemas lineales perturbados

58

3 Implementación de los métodos multipaso variable para la integra-

ción de sistemas lineales perturbados

61

61

63

69

70

74

77

77

79

82

3 .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Polinomios Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 .3 Cálculo recurrente de las matrices Ap t y Bp t .. . . . . . . . . . . . .

3.3 .1 Cálculo recurrente de Apt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Cálculo recurrente de Bpt .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Redefinición de los métodos: E.I.pE, E.I.pI y E.I.pPC . . . . . . . . .

3.4.1 Método E.I.pE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Método E.I.pI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3 Método E.I.pPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



iu

3.5 Códigos para los métodos: E.I.pE y E.I.pPC . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.1 Código para E.I.pE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.2 Código para E.I.pPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6 Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3 .6.1 Problemas stiff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.2 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3 .6.3 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.6.4 Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.6.5 Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.6.6 Ejemplo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.7 Ejemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.7 Figuras capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.7.1 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.7.2 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.7.3 Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.7.4 Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.7.5 Ejemplo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.7.6 Ejemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Anexo I 117

Anexo II 119

Anexo 111 121



Anexo IV

Anexo V

Anexo VI

Bibliografía



Prólogo

Muchos problemas físicos adoptan la forma de un sistema lineal perturbado, bien de

forma directa o bien efectuando una transformación adecuada de variables .

Para la resolución de la ecuación no lineal del movimiento newtoniano correspon-

diente al problema de dos cuerpos, se han empleado métodos refinados de cálculo de

órbitas. En general se sustituye la ecuación de Newton por unas nuevas ecuaciones

mejor acondicionadas para la integración numérica, como los metodos introducidos

por Encke [71], las variables universales de Battin [2] o las transformaciones que re-

gularizan las ecuaciones del movimiento entre las que destacan las KS [82] y las BF

[221,[231 .

En mecánica celeste, las transformaciones que permiten escribir las ecuaciones

del movimiento mediante ecuaciones diferenciales lineales se denominan linealizacio-

nes. No hay que confundir esta terminología con la que significa desarrollar en serie

de Taylor y conserva sólo la parte lineal, pues las transformaciones anteriores, son

exactas, y reducen las ecuaciones del movimiento a osciladores armónicos. Suelen

conseguirse efectuando un cambio de variable independiente, que produce una regu-

larización analítica del tamaño del paso de integración, asociada o no con cambios de

v



vi

variables dependientes . Con el fin de regularizar el movimiento de una partícula se

pueden ensayar distintos métodos: como transformaciones clásicas válidas cuando el

movimiento se realiza en el plano, encontramos la dada en 1895 por Thiele, la de Bir-

khoff en 1915 o la de Levi-Civita en 1906, esta última permite una linealización, una

integración más fácil y una teoría de perturbaciones sencilla. Todas ellas se aplicaron

al problema de tres cuerpos. [83] .

La linealización más extendida es la KS de Kunstaanheimo - Stiefel, introducida

en 1964, que generaliza a espacios de dimensión tres la transformación de Levi - Ci-

vita, permitiendo la reducción de las ecuaciones del movimiento a cuatro osciladores

armónicos perturbados, al tomar como variable independiente la anomalía excéntri-

ca. Cuando se emplea la anomalía verdadera como variable independiente, obtenemos

otra linealización importante, la BF, de Burdet - Ferrándiz, que compitiendo venta-

josamente con los reputados métodos KS, es especialmente valiosa en la integración

numérica de órbitas altamente excéntricas ; sin embargo, la integración de la ecuación

del tiempo asociado a la anomalía verdadera produce grandes errores en la determi-

nación del tiempo físico, por lo que éste debe calcularse por un método alternativo

[271,[30],[31],[32] .

Para predecir la órbita de un satélite artificial, es necesario elaborar un determina-

do modelo que la describa, pudiéndose encontrar serios inconvenientes en predicciones

a largo plazo, o, en el caso de órbitas muy excéntricas, dado que la velocidad del sa

télite en el perigeo es grande y esta circunstancia, unida a la fuerte curvatura de la

trayectoria, puede provocar pérdida de precisión en la integración numérica aunque

se utilicen modelos sencillos [86] . Para mejorar la precisión en el cálculo de órbitas



vil

existen diversas vías, que a veces resultan complementarias una de las más modernas

y eficientes se obtiene en dos pasos: el primero consiste, como ya, se ha señalado,

en la elección de ecuaciones bien planeadas para la integración numérica,, el segundo

en la implementación de métodos numéricos no standar adaptados a la ecuación del

movimiento.

Los orígenes de estas últimas técnicas pueden situarse en los trabajos de Gautschi

de 1961 [39], que desarrollan la teoría básica y algoritmos capaces de integrar sin

error de truncación osciladores con una frecuencia . El desarrollo de los métodos

clásicos en diferencias finitas para, la integración numérica y las técnicas para su

aplicación, se presentan en la bibliografía sobre métodos numéricos de ecuaciones

diferenciales [43],[44],[50],[64] . Un primer método es dado por Cowell [82] . En 1969

Stiefel y Bettis introdujeron cambios en el método de Cowell de orden superior a

dos para lograr la integración exacta de las funciones circulares seno y coseno con

una misma frecuencia . En 1970 Bettis [3] propuso modificaciones a los métodos

clásicos de diferencias de Adams - Moulton y Adams - Bashforth para ecuaciones de

primer orden, y de Stórmer y Cowell en el caso de ecuaciones de orden dos, dando de

ellos una formulación unificada, pero no explícita, de los coeficientes de los métodos

anteriormente mencionados. La formulación era de paso constante y válida para orden

arbitrario .

Siguiendo la línea abierta por Gautschi se encuentran trabajos como los de Neta

y Ford en 1984 [63], en los que se da una familia de métodos para integrar ecuaciones

diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, estos métodos pueden ser refinados

con un conocimiento, a priori, del usuario, en la localización de frecuencias que son



vill

dominantes en la solución exacta; con esta información el error de truncación queda

considerablemente reducido en magnitud, por lo que estos métodos suponen una

modificación de los métodos de Milne - Simpson; o en una vía diferente los de Scheifele

que en 1971 [74], obtuvo un refinamiento del método de Taylor basado en sus funciones

Jgk, que se utilizan para definir series que permiten construir un método de integración

numérica, con la propiedad de que si los términos de perturbación son eliminados,

entonces el método numérico integra exactamente el correspondiente problema no

perturbado; los de Van Dooren en 1984 [84], Cash en 1981 [5], Franco, Correas y

Petriz, en 1991 haciendo especial hincapié en la construcción de esquemas del tipo

de Stármer - Cowell [37] y Vigo en 1993 [86],[88],[90] . Los algoritmos citados se

caracterizan por la dependencia de sus coeficientes respecto del producto del paso

por la frecuencia. La extensión de parte de la teoría clásica de métodos multipaso

lineales [44] al caso de coeficientes dependientes del paso puede verse en Lyche en 1972

[53], donde además encontramos un lema que nos permite obtener métodos adaptados

a exponenciales complejas o reales . Algunos métodos que permiten integrar productos

de polinomios ordinarios y exponenciales reales sin error de truncamiento, basados en

este lema, pueden verse en Raptis o Simos [72], [73], entre otros .

Recientemente se han utilizado métodos que emplean productos matriz - vector

con la exponencial o una, función relacionada con el j acobiano para la integración

numérica de sistemas altamente stiff de ecuaciones diferenciales [47] . Estos proble

mas pueden ser aproximados por los métodos de subespacios de Krylov [7],[47], que

convergen mas rápidamente que las soluciones propuestas por métodos standar de

integración de problemas stiff. Estos métodos exponenciales presentan propiedades



lx

favorables para la integración de ecuaciones diferenciales cuyo jacobiano tiene auto-

valores imaginarios grandes . Se utilizan en experimentos con problemas de reacción

- difusión y en la ecuación de Schr6dinger dependiente del tiempo .

En lo que sigue nos proponemos desarrollar métodos numéricos para. la resolución

de problemas perturbados del tipo : x" = Ax + Ef(x,t) con x(0) = xo , llamados

sistemas lineales perturbados . El pequeño parámetro e indica que los términos de

la perturbación son pequeños con respecto al resto de los términos . Construiremos

métodos en los que si los términos de perturbación son eliminados, el método numérico

integra exactamente el correspondiente sistema homogéneo. Para ello, nos basamos en

el método de las 9-funciones de Scheifele que poseen esa propiedad, y construiremos

a partir de él, métodos multipaso con esta propiedad, de implementación más sencilla

que el de Scheifele, cuando el problema, sea perturbado estos métodos darán lugar a

expresiones del error que tienen al parámetro s como factor .

El trabajo desarrollado en esta memoria se ha dividido en tres capítulos.

En el Capítulo 1, se describe el método original de Scheifele y sus propiedades,

completándose la exposición con ejemplos numéricos comparados con el método LSO-

DE, efectuando sobre estos problemas los acondicionamientos necesarios para su inte

gración. Como idea nueva, se exponen diversos procedimientos para el cálculo de las

9-funciones de Scheifele, destacando los basados en la extrapolación de Ràchardson .

La construcción de un método multipaso de paso variable para la integración de

sistemas lineales perturbados, se realiza en el Capítulo 2, basándose en el método de

Scheifele, y presentando ventajas, frente a otros que también se fundamentan en el

método de Scheifele, como el SMF [56], [57] . Entre estas ventajas se puede citar que



x

el cálculo de sus coeficientes es fácilmente computable, al aproximar las derivadas que

aparecen en las fórmulas que definen el método, por diferencias divididas y la, de ser

un método de paso variable .

Se tratan en el Capítulo 3, los métodos EIpE ( Integrador Exponencial de p pasos

Explícito ), EIpI ( Integrador Exponencial de p pasos Implícito ) y EIpPE ( Inte-

grador Exponencial de p pasos Predictor-Corrector ), descritos anteriormente pero

con sus coeficientes matriciales expresados en forma recurrente, lo que facilita su im-

plementación en un computador y supone una ventaja frente a otros métodos; se

exponen, a continuación, los códigos de estos algoritmos implementados en MAPLE

V. La memoria se completa con varios ejemplos numéricos en los que se utilizan los

nuevos algoritmos y se comparan con códigos bien conocidos como LSODE, GEAR

y MGEAR. En estos últimos se emplean las implementaciones de Maple V para ase-

gurar que los resultados no quedan distorsionados por una mala programación que

favorezca a nuestros códigos.

El beneficio producido por el uso de los nuevos algoritmos resulta patente en los

ejemplos, cuando se aplican a los problemas para los que han sido diseñados .



Capítulo 1

Las funciones 9 de Scheifele

1.1 Introducción

En este capítulo se va a desarrollar un método nlunérico adaptado a la solución de

problemas de perturbación del tipo :

x = Ax + ef(x, t)

,x(0)= xo,

donde A es una matriz regular de orden n, e es un pequeño parámetro de perturbación

y el vector x tiene por componentes a las funciones xz (t) con i = 1 . . . n. El campo

vectorial de perturbación f (x, t) tiene de componentes fí(x, t) con i = 1 . . . n y es

continuo, con derivadas continuas hasta un cierto orden que satisfaga las condiciones

de existencia y unicidad de las soluciones . A este tipo de sistema se le llama sistema

lineal perturbado.

El procedimiento más básico para la integración numérica de sistemas lineales

perturbados mediante métodos de un paso es aproximar la solución mediante un

1



2

desarrollo de Taylor , [94],[43] . Este desarrollo se trunca y los coeficientes del polinomio

resultante se evalúan en cada paso de integración.

Los métodos de tipo Runge-Kutta [18],[50],[56],[62],[64] tienen la gran ventaja

de no necesitar información acerca de las derivadas de la función de perturbación,

la desventaja de que adolecen es la dificultad, o más bien, el trabajo que requiere

la construcción de un método de Runge-Kutta de orden mayor que cuatro y el gran

número de evaluaciones que precisa su implementación con el consiguiente incremento

de coste computacional.

Otra forma de evitar el cálculo de las derivadas de la función de perturbación

es representar sus campos componentes fj(x, t) con i = 1 . . . n mediante expresiones

sencillas con fórmulas de recurrencia para los coeficientes aje de los desarrollos en

series de potencias del tipo :

x2(t) = ajo -!- alit -I- ai2t2 -F . . .

donde xj son las componentes de la solución x del sistema. La técnica para establecer

estas fórmulas de recurrencia fue desarrollada por Steffensen [77],[78],[79] . La des-

ventaja de este método directo de series de potencias es el tiempo de computación

de estas recurrencias, que puede ser alto si f(x, t) posee una dependencia funcional

complicada .

Es deseable que los métodos numéricos que se utilicen en la resolución de sistemas

lineales perturbados verifiquen la siguiente propiedad, [82] : si los términos de pertur-

bación desaparecen en un instante arbitrario de la variable independiente t (o de s),

entonces el método numérico debería integrar sin error de discretización el sistema no



perturbado.

Un ejemplo clásico de la física se presenta en la ecuación de Newton:

así corno en las ecuaciones regularizadas :

2x+ s x=P con k2 =G(M+m)

r

ui + h u = -10 (Ilull 2 V) + Ilull2 (LP)2

4áu

2

que se expresan, en términos de sus componentes :

2

ú, + h

u. - - 1ó(Ilull 2 V) +

-lull

(L'P) j

j = 1, 2, 3 , 4.2

'4óuj

2

h' = - Ilull2 át - 2 (u', LtP)

con

t' = IIUI12

obteniéndose un sistema lineal perturbado con tal que los términos que contengan

a V y a P sean considerados como términos de perturbación, [82] . Las ecuaciones

newtonianas se integran a menudo por las fórmulas clásicas de Runge-Kutta o por

métodos de diferencias finitas, pero estos procedimientos no verifican la propiedad

anteriormente expuesta . Esta condición tampoco la satisface el método de Encke,

[86], que se caracteriza por el cálculo de la desviación de las coordenadas perturbadas

con respecto a un movimiento osculatriz adoptado inicialmente .

En este capítulo, presentamos el método de integración numérica descrito por

Scheifele, [88], [56], [57], [74],[82], para integrar sistemas lineales perturbados, ilustrán-

dolo con ejemplos numéricos y comparándolo con otros métodos. El método de Sche

feile está basado en un refinamiento de las series de potencias de Taylor, y consiste

en definir una sucesión de funciones GJ que sirven como base para construir la so-

lución como combinación lineal de ellas, calculándose sus coeficientes por fórmulas



4

de recurrencia. Dicha solución se utilizará para construir un método de integración

numérica.

El método de las G - funciones de Scheifele presenta la ventaja de verificar, no sólo

la propiedad anteriormente expresada, sino que además integra, con sólo el primer

término, el problema homogéneo.

1.2

G-funciones para sistemas lineales perturbados

Para desarrollar la idea básica de este capítulo, consideremos el PVI anterior . Supon-

gamos que la función de perturbación g(t) = f(x, t) admite un desarrollo en serie de

la forma:tk

f(x,t) -~ kt ck+1k=o

con lo que el problema de valores iniciales se puede escribir como:

= Ax + E E - Ck+1

1

x(0) = xo,k=0

La solución del PVI, expresado de esta última forma, puede obtenerse del modo

usual, construyendo la solución general del sistema homogéneo con la condición inicial

dada y añadiendo una solución del problema completo con la condición inicial nula .

La solución del problema completo con la condición inicial nula se puede obtener

resolviendo los siguientes PVI individuales :

tk

x~

=

A

k + ekt~

t

j = 0,1,2, . . . k=1,2, . . .,n



donde:

xjk

E

A4 (n, l ; IL8)

k)ek

=

(0, . . ., 1, . . ., 0)t

Xj = (x~, x~ 7 . . . I !j')

con

j

evidentemente, estas matrices son soluciones del siguiente PVI:

Xj=AXj + -I , Xj 0 =j.

9j+i (t) = Xj (t) I .7 = 01 1, . . .

Proposición 1.1 Las 9-funciones de Scheifele cumplen:

gj (t) = g7-1 (t)

j = 2,3, . . .

Aunque la notación no lo indica explícitamente, estas funciones dependen de A .

y combinándolos de forma adecuada con los coeficientes s y ck .

Con el fin de simplificar la notación introducimos las matrices cuadradas de orden

n cuyas columnas son las matrices x~, es decir:

donde Xj es una función real con valores en el anilloM(n,R) de las matrices cuadradas

de orden n, siendo I y 0 , respectivamente, los elementos unidad y neutro de este anillo .

Definición 1 .1 Las soluciones de estos problemas son las 9-funciones de Scheifele

[741 y se denotarán como:



6

D/.

Bastará probar que verifican el mismo P V I. En efecto, Gj (t) satisface la ecuación

siguiente:

y derivando la expresión anterior se obtiene:

y además:

Por tanto:

Gj (t) = AG; (t) + (jtj 1) I

'

9' (0) = 0

' j = 2, 3, . . .

(9; (t)) , = AG3 (t) +

2) o

tj-2

I =gj-1(t)

j = 2,3, . . .(j -

es decir : Gj. (t) es solución de la ecuación:

Xj_2 (t) = AX;- 2 (t) + (.7t~ 2)!I

9,7 (0) = AG; (0) + 0 = AO = 0

desde

j =2,3, . ..E

Definición 1.2 Completando la ley de diferenciación dada en (proposición n° 1 .1),

definirnos:

Go (t) = Gi (t)

Corolario 1.1 Las 9-funciones de Scheifele, verifican la siguiente relación de recu-

rrencia:

t3Gj (t) = AG;+i (t) + ¡I

,

j = 0, 1,j .

. . .

Corolario 1.2 La función Go es solución del siguiente PVL

x = Ax

,x(0)= I

X;_2 (0) = 0

, j = 2, 3, . . .



Veamos que la función Go, se puede expresar mediante un desarrollo en serie .

Desarrollando analíticamente la función GCo,tenemos :

derivando la expresión anterior resulta :

Por (corolario n° 1.2)

90 (t) =

identificando, obtenemos que :

y de aquí :

Luego:

00 tk

00 tk

00 tk5 -Hk+1 = A1

Hk =~ tAHk ,k=0

k=0

k= o

Hk+1=AHk k=o,1, . . .

Hk=AkHo 7 k=0,1, . . .

Del (corolario n° 1 .2) y de evaluar Go (t) en t = 0, se deduce que:

Proposición 1 .2 Las 9-funciones de Sclzeifele se pueden expresar mediante desarro-

llos en serie :

00 kHk, donde Hk E .M (n, R)

k=o

00 tk_1

00 tk

Y (k _ 1)I Hk =E k~ Hk+1 .k=1

k=0

Ho =I

Hk =Ak k=1,-

00 tkAk.= etA

k`0 k .

tk+j

(k+j)!HkHk EM(n,R)



Como:

Proposición 1 .3 Una solución del problema :

es

Evidentemente se verifica para j = 0; supongamos cierto que:

queda demostrado por aplicación del método de inducción completa.*

Los desarrollos anteriores nos llevan a las siguientes fórmulas explícitas para las

-funciones:

D/ . Como:

XP =

90 (t)

91(t)

92(t)

!93 (t)

x' = AX+E

0o tk+i

E (k + i)!Hkk=0

°o tk+i+11 gi(t)dt=~l (1£+i+1)!Hkk-0

=

eAt

=

A-1(e

At _I)

A-2(e

At _I)_ tA-1

2-A-3(eAt _ I) _ tA-2 _

t A-12!

w tky7 - Ck+l

00

XP = E T~ .g~k(t)Ckk=1

9k(t)Ck = 6 Y, yk-1(t)Ck = E

X(0) = 0

Gk(t)Ck+l



y además :

con

Axp + E

se verifica la proposición . 4

adopta la forma:

Ck+l

Teorema 1 .1 La solución del PVI.

A E~gk(t)Ck x+ ~~

' t

-

k=1

k=0 !00

tk

E ~7 CA~Jk+1(t) + k~ I~ Ck+1

k-o00

EE 9k(t) Ck+1k=o

00

xr (0) = EE gk(0)Ck = 0k=1

x' = Ax + Ef (x, t)

,

x(0) = xo

X(t) = J90(t)x0 + E

, !gk(t)Ck

00

x~ - Ax = (Go (t) - AGO (t))xo + EE (G~ (t) - AGk(t))Ckk=1

de, (definición n°1.2) y de (corolario n° 1 .1 y 1 .2) se deduce que:

por consiguiente :

Además:

00

00 tk_1

= Qx0 + EE (JCk_1 (t) - Agk(t))Ck = E ~7 Tk-

Ckk=1

k=1

x - Ax =E

x(0) =90(t)xo + E ) , J9k(O)Ck = Ixo + 0 = Ixo = x0A

°° tk

Ck+1kI

k=o

Ck+1 =



10

1 .3

Desarrollos finitos y desarrollos en G-funciones

Desarrollando en serie de Taylor y truncando una solución x(t) del PVI:

obtenemos una aproximación de la solución, de la forma:

'rri tkxm(t) => ~' C! ak

con

ak = xk) (0) E R'k=0

Al sustituir en la expresión anterior la relación de recurrencia (corolario n° 1 .1) y

teniendo en cuenta que las matrices Gk (t) y A conmutan., obtenemos:

rn

el desarrollo anterior se reduce a:

x = Ax + Ef(x, t)

,

x(0) = xo

1: (!9k (t) - A!gk+l (t))ak =k=0

m-1

g0(t)ao+ Y. ! k+l (t) (ak+l - Aak ) - ! m+l (t)Aamk=0

Definiendo una nueva sucesión de coeficientes, como :

bo = ao,

bk+l = ak+1 - Aak,

xm(t) _~ !9k (t) bk - !9m+ 1 (t) Aamk=0

eliminando el último término, obtenemos una aproximación diferente :

mXm (t) =E 9k (t) bk

k=o

que proporciona mayor precisión que xm(t) _~ k; ak, como vamos a ver .k=0

Para demostrar esto, nos restringimos al caso especial en el que f depende so-

lamente de t, pero citaremos después algunos resultados correspondientes al caso

general . En este caso especial :



m

7nLos coeficientes de xr�,(t) =E 1;ak y Xm(t) _~ Gk (t) bk para el PVI:k=0

k=0

vendrán dados por:

ya que, si :

Sustituyendo

X, (t) =

en el PVI resulta :

x'(t)

= Ax(t) + ef(t)

,

x(0) = xo

ao _ xo,

bo = xo,

es la solución del PVI, tenemos

°° tkak+1,

k=0

f(t) =

X(t) =

x(0) = xo = ao .

X(t) =k=0

tk fk) (0)

ak+1 = Aak + Sfk ) (0)

bk+1 = Sfk) (0) = ECk+1

°° tkakkik=0

tky

f(t) =

00

0u`0 tkY

- ak+i = A

A

~ak + e

fk) (0)k=0

k=0 k=0

e identificando coeficientes, obtenemos la relación :

ak+1 = Aak + efk)(0)



12

y

Trivialmente:

entonces :

bk+1 =

Insertando esto, en el sistema lineal perturbado, obtenemos el residuo:

R, (t)

=

ef(t) - (X,,, (t) - AX,, (t» =

bo = xo

ak+1 - Aak = Aak + efk)(0) - Aak = efk ) (0) = eck+1

Xm(t) = go (t) xo + e '~-'yk (t) fk-1) (0)

e

k!fk) (0) - (~ g

k (t) bk - A Y7 gk (t) bk) _k=0 k=0

k=0

e

~ fk)(0)-

lgk (t) bk - Aak (t))bk =

k=o k=100 tk

m tk- 1E -fk) (0)_ E

bk =k=0

!k=1(k -1)I

00 tk

M-1tk

=

e (~_fk) (0)_ E _f

k) (0)

_k=0 k=o

Por otro lado, teniendo en cuenta que:

m-1

x~,,(t) - Axm (t) =E (Gk (t) - AGk+1 (t))(ak+1 - Aak ) - (Gm (t) - AGm+1 (t))Aamk=o

00_fk)

(0)k=m

y (corolario n° 1 .1), el residuo correspondiente a xm(t) viene dado por :

1 m (t)

=

ef(t) - (xm (t) - Ax,, (t)) _

00 tk

m-1 tk

tm-fk) (0) -

1: -(ak+1 - Aak) - -Ak=O k!

(k=O k!

m!



bajo las hipótesis :

y

0o tk

m_1 tk

tm_fk)(0) _ E~

t fk)(0) + -Ak=o

k=o°° tk

tm

E -fk) (0) -f-m!Aám

k=m

De las expresiones de r,(t) y R,n,(t) se obtienen importantes conclusiones . En

R�,,(t) el parámetro de perturbación s es factor del residuo, por tanto Rr�,(t) es pe-

queño con E. En cambio, el residuo r,,(t) no contiene este factor y en general no

es pequeño con E . Si s = 0 el método de series de potencias produce un error de

truncación y sin embargo el método de las 9-funciones de Scheífele, [56],[74] con sólo

el primer término, integra exactamente el sistema de ecuaciones diferenciales .

Volviendo al caso general:

X = AX + Ef (X, t)

,

X(O) = Xp

" La solución x(t) es holomórfica en [-T, T] con T > 0

xm(t) y�ti,,) en [-T,T] .

Entonces los residuos :

R,(t) = sf(X,,(t),t) - (X;,z(t) - AX,(t))

13

" Todas las derivadas parciales de f(x, t) incluída la m-ésima son continuas en

un dominio cerrado, del espacio de las variables (x, t), que contiene a todos los

valores de la solución exacta x(t), ademas de las aproximaciones consideradas

r ..( t) = sf(X,(t), t) - (xm(t) - Ax,,, (t))



14

correspondientes, respectivamente, al método de las G-funciones y al método de des-

arrollos de Taylor satisfacen para t ---> 0 las leyes asintóticas :

es decir:

mRI. (t)

fm> (0)mi

mrm(t)

^'

(s f')(0) +Aam) t

lim R,(t)

= sfm) (0)

t-0 tm

ml

hm r

(t)

=

afm) (0) + Aa,mt,0

tm

m I

Es importante notar [74] que esto es irrelevante si la derivada en las expresiones

anteriores se calcula mediante la inserción en f de la solución exacta x(t) o de una

de las soluciones aproximadas xm(t) y Xm(t) .

1 .3 .1

Error de truncación

Desarrollando en serie de potencias la solución exacta del PVI:

y dado que:

se tiene:

X(t) =

X(t) =°" tk

kI akk=o

ak+1 = Aak + efk)(0)

j~ (Aak_1 + sfk-1)(0))k=0



El error de truncación para:

es :

el error de truncación para:

es :

em = X(t) - X.(t) =

Xm (t) =m tk-k!k=0

°° tk tm+1

l~! ak

(m -I- 1)1 (``la.�,, + ef'') (0)) +O (t_

__+1)

k=m+1

Por otra parte, expresando la solución del PVI, en términos de G-funciones:

X(t) _ ~J- 0(t)XO + e

yk(t)Ckk=1

Xm(t)

!9k (t) bkk=0

00

Em = X(t) - Xm(t) = e

E

Gk (t) fk-1) (0)k=m+1

Si E = 0 el método de series de potencias produce un error de truncación y sin

embargo el método de las 9-funciones de Scheifele, no genera error de truncación.

1 .4

Métodos de cálculo de las 9-funciones

1.4.1

Mediante una ecuación diferencial

15

El cálculo de las 9-funciones de Scheifele para j>1, se puede realizar resolviendo

numéricamente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales :

Gj (0)=0

,j=1,2, . . .



16

Notamos Gj (t) = (gi,k) con j =1, 2, . . . y A = (a i ,k ) . Si sustituímos en la fórmula

anterior resulta:

y de ahí:

jgi,k

l=1

Para cada j = 1, 2, . . . obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales que se

puede resolver por metodos numéricos, tales como : rkf45, deverk78, gear, mgear,

lsode, etc [1],[6],[36],[40],[43],[64],[66] . Quedaría pendiente sólo el cálculo de Go (t) .

1 .4.2

Mediante desarrollos en serie

Teniendo en cuenta que:

podemos escribir :

1(gi,k) , = A(gi,k) +

(~tá 1)!I

tj_1ai,lglk +

6i,k(j - 1)t

tk+jAk, donde A E .til (n, R)

,

(92,k(0)) = 0

i,k=1,2, . . .,n ;

w tk+j

°° ti

°° tiGj (t)

(k+ j)! A_

k =Gj (t) =E -AZ-j = A-iE tt A' =

k-0

i-j

i=j°° ta

7- 1 ti

j-1 ti=

A '

1: -AZ-E -AZ

= A-'

,o (t) -E -A'

j = 1, 2, . . .ti=o a t.

i-o a .)

i=o a!.

Este procedimiento, tiene el inconveniente de necesitar el cálculo de las matrices

inversas A-1 , A-2 , . . . además del cálculo de Go (t) .



1 .4.3

Mediante la ley de recurrencia

Por la fórmula de recurrencia (corolario n° 1.1) resulta que:

obteniéndose en particular :

A-1 ~g; (t) - -I)

91 (t)

=

A-1 (go (t) - I)

92 (t)

=

A-1 (91 (t) - tI)

chardson

Aplicado sólo al cálculo de la función go

17

de tal forma que una vez calculada Go (t) = eAt, podemos conocer por aplicación de la

recurrencia las 9-funciones de Scheifele que precisemos . El problema queda reducido

al cálculo de Go (t) .

Este método presenta la ventaja respecto al anterior de que sólo hay que calcular

A-1 , reduciendo así los errores de cálculo.

1 .4.4

Mediante el procedimiento de eliminacion lineal de Ri-

Abordaremos el cálculo de Go (t) = e`, basándonos en los resultados expuestos por

Walz [92],[93], cuyo método es una aplicación del llamado método de eliminación para

el caso matricial, que ya era conocido para el caso escalar [58],[59] .



18

Definición 1 .3 Sea pl, P2 , . . . una sucesión de números complejos tales que 0 <

Rep, < Re P2 < . . .Sea I un intervalo real o un dominio complejo y S = {an(x)}ne1,4

una sucesión de funciones definidas en I. Se dice que S posee una expansión asintótica

(logarítmica) de orden m (m E N ó m = oo), si existen funciones f(x) y cP,(x) con ¡í

= 1, . . . , m , todas ellas independientes de n, tal que para todo x E I se verifica la

siguiente ecuación:

m

o-,(X) = f(x)+ 1: cñ(i ) + O(n-Rep�, +i) para n --->p=1

Obviamente : lim un(x) = f(x) y podemos usar 47n(X) como una aproximaciónn~oo

de f (x) en I.

Esta aproximación presenta el problema de la lentitud de la convergencia de Un (x)

(el orden de convergencia es n-P1), que hace poco eficiente este método de aproxima-

ción ; para paliar esta dificultad emplearemos el procedimiento de eliminación lineal

de Richardson .

Lema 1.1 Si o,n(x) posee una expansión asintótica, del tipo anterior; escogiendo un

número

definimos :

kmax E N

con

kmax < m

o _yç ) (x)

-

U2i x

,

2 = 0, . . ., kmax

y(k)(x)

=

y(+11)(x) +

1

(k

1) (x) -

(k

1) (x)~2Pk - 1

con k = l, . . ., km,,x , i = 0, . . ., krnax - k entonces las sucesiones



poseen la expansión asintótica:

luego :

rrIy~k) (x) - f (x)+_

c(k)x) - 2

-ZPw + O(2-zReP-+1)

ju=k+1

siendo 2-iPk+1 el orden de convergencia de y¡k).

Por regla general se elige el número yookmax)

(x) como una aproximación de f (x) .

En [92],[93] se encuentran numerosos ejemplos, que muestran la eficiencia de este

algoritmo en el caso escalar .

Proposición 1.4 La sucesión o-n (x) = (1 + ñ)n tiene una expansión asintótica f (x) _

D/.

Dado que :

entonces :

De

.x

x

(-1)~ n w+1ln(1-- n ) = -+E-p + 1

n

x no.n(x)

_

(1 + -~

= ex+S(n,x) -n

ex

(_1)A . x/1+1

p + 1

n r1

1+~

00

(S(n, x))a

A=1°° x

=

ex+E

, . (S(n, x))'A=1

00 (_1)m . xu+1

u-1 /~+ 1

nA

para

19



20

obtenemos:

entonces :

llamando :

y definiendo

tenemos que :

00 eE

, - (S(n, x))' _A=1

que no dependen de n.

Por consiguiente :

00

c,(x)= ex

Cw+l,v

1!~2v,v" xv+1 + . . .+v t

i"v+9,vC¿v+7,v =

.7!

o.n(x) = J+ E c, (X) .4

nvv>1

E(a, p) = {z E C 1

I z - al < p}

.f (z) =L av (z - a)vv=0

xW+2v-1(S(n,

¡~n, x))' -~ 0¡-+2v-l,p+v-1 * nN,+v-1/.c=1

~ xp+1°°

xfi+2v-1

MA+l" 1fnW +. . . -}-E OP+2p-l,fz+p-1 ' Tnli+v_1 +

. .p=1

p+l,pxP+1

+ 132P,Px2p)

11! + . . . p! -TÚ

cv(x) = ex

Cev+l,v ' X'+' + . . . -f- 012L,,v " x2v

=ex

aí,i=v+1

si f (z) es una función escalar, que admite una representación de la forma:

Teorema 1.2 Para un número complejo a y un número real p > 0, consideremos:



21

entonces para cada matriz cuadrada A, cuyos valores propios están en E(a, p), la

matriz:

está bien definida [811.

00

A -E av (A - aI_

)v

v=0

Como consecuencia inmediata de este teorema, muchas funciones escalares cono-

cidas, se pueden redefinir como funciones de matrices . En particular :

exp(A) = eA =i+ Y: 1~ Avv.

v=1

está bien definida, para cualquier matriz cuadrada A.

Una procedimiento inmediato para el cálculo numérico de eA consistiría en una

truncación del desarrollo anterior, presentando el inconveniente de un excesivo número

de multiplicaciones de matrices .

Existen otros métodos para la computación numérica de eA , tales como los descri-

tos en el los artículos de Moler y Van Loan [61] y Stickel [81] . Todos estos métodos

muestran algunas desventajas : inestabilidades numéricas, largo tiempo de computa

ción y aplicabilidad para cierta clase de matrices . Recientemente se utilizan aproxi-

maciones en subespacios de Krylov [7], para la matriz exponencial [47] .

El método de eliminación de Richardson se puede generalizar a funciones de ma-

trices [81] y no presenta ninguna de las dificultades anteriores .

Teorema 1 .3 Sea f(z) una función escalar uno-uno definida en

E(O,p)={zEC/ I z I G p}



22

con p > 0, tal que :

f(A) = eA

f (z) = ) ,avzvcon

a l =~ 0v=0

entonces, para cada matriz cuadrada A con valores propios en E(0, p), las funciones :

f (A)

an(A) = n . a 1 . f_1(n

. f(A))

están bien definidas . Además, se verifica la ecuación :

a,,(A) = f (A)+

nv. c,(A)

b'n E Nv=1

Aplicando los resultados anteriores, podemos enunciar la siguiente proposición :

Proposición 1.5 La sucesión ~n(A) = (I + 1A) n tiene una expansión asintótica

Extendiendo el (lema n°1.1) al caso matricial, obtenemos el algoritmo siguiente,

para el cálculo numérico de eA [93] :

(1)

Escoger un índice maximal kmax .

(2)

Desde i = 0

a

kmax

calcular

Y(0 ) = 0"2 i (A)

(3)

Desde k = 1

a

km,,,,

y

desde

i = 0, . . ., (kmax - k)

calcular

y(k) = y(+1 1) + 2x11 ' (Y(+ 1 1) - y(k-1»

(4)

Usar

Y(kmax) como aproximación de eA



23

Como Go (t) = eAt , bastará aplicar este algoritmo para obtener la primera de las

9-funciones de Scheifele ; para el cálculo de las restantes, bastaría aplicar la relación

de recurrencia de (corolario n° 1 .1) .

Se expone un procedimiento Maple V Release 4 que implementa el algoritmo,

anteriormente expuesto. Ver Anexo I.

Se ha elegido este código de cálculo simbólico, por la comodidad de programa-

ción, pues permite incorporar la matriz que define el sistema como parámetro del

procedimiento .

Aplicado al cálculo de todas las 9-funciones

El procedimiento anterior, no evita el cálculo de la matriz inversa del sistema, que

aparece en la recurrencia. Para evitar el cálculo de A-1 , procederemos como sigue.

Se ha demostrado que la función:

es una expansión asintótica de:

X29o(x) = ex = 1 + x + 2+

. . .i

(rno) (x) - C1 + -)n

Una generalización de lo anterior sería:


e' - 1

x

x2g1 (X) =

x

=1 + -+ 3i+ . . .

ri

(n) xk-1

k=1



24

Y


Y que:


En efecto :

Proposición 1.6 Las sucesiones:

e, -1-x 1 x x292(x)=

x2 =T+3!+4!+ . . .

ex-1-x- 2L

1

x

x293(x) =

x3

=3~+-+

5~+ . . .

Uñ2) (x) _

92(x) =

n

(n) xk-2k .

k=2

n

xk-3

1nk

_2ix

.k=2 ( )

Cn

xi-2

i~ni

,_ n i_.7 xi_~(9) (x)n

()

i _ E i(~i=2 i n i=2

tienen por expansiones asintóticas a:

ex-191(x) =

e, -1-x

con

j >_ 3



respectivamente .

y

D/ .

Dado que :

Para el caso de Q(1) (x) :

Como:

entonces :

Para el caso de cr(2) (x) :

Como :

n

a1 (u(o) (x) _ 1) _

(n) x

-

¡=o

Or(1)(x)

=x

(ex - 1) + 57cv(v ) .

v>1

x2C~(o) (x) - 1

1 ('7(o) (x) - 1)=

ex+

cWv

x

c� (x) xnv

11-

cv(v

)n-

v>1

n) xi-1i

ni

-

.(1) (x)



entonces :

y como :

entonces :

2

1

U(0) (x)x3

.(

2U(2) (X) __

x2Cex

v v ) .

Para demostrar el caso general orñ') (x) con j _>_ 3, procederemos de un modo

análogo:

Dado que:

i=0

-1

ex_ ~xi

+E cv(x) -)x~

i! x-7 n'(i=0 v>__1

1(ex- ~ xi

+ y~ C3,(X)x

i.

nu

1

-~

xiU(o)(x)_ w1-,.7

ix

i=0 2 .

17( n

(n) x'

'-1 xi(

-x3

~ (i) ni _E i!

-i=2

n

x'-j _ ~xi_~

(i )ni

ili=2

i=2

U(á)(x ) =j

(,X-~X~

+~~v(x) .4x

0 2 .

v>nv

Go (H) -_ ex

Si H E .M(n,I!g), extendiendo el resultado anterior, al caso matricial, tenemos que:



es una expansión asintótica de

y


análogamente


para j > 3, tenemos que:


n

o,(o)(H) - CI + H)n

G1 (H) == H

(e

- I)

a(2) (H) =

(n)Hk-1

nkk_1

G2 (H) = H

(e

- I - H)

(n Hk_2

nkk_2 k)

Gj (H) = H-'

e~I-_ HZ

á=0

n

j-1or(j) (H)

n

ni

HZ-~_~ (i) n

- E

itá=2

í=2

Las funciones Gj (H) con j ->_ 0, se pueden calcular, aplicando el procedimiento de

eliminación lineal de Richardson . Tomando H = At y considerando Ho = I tenemos:

Para el cálculo de yj, para j >_ 0, por (corolario n° 1 .1)

Gj (At) _ (At)-'

eAt-

(k~

)k

= t~ . A-j

eat_ E Ak~k

= t~ ~j(t)k=0 )

27



28

de donde:

9j (t) = t' ° G; (At)

A continuación se expone un procedimiento Maple V Release 4 que implementa

los algoritmos, anteriormente expuestos.

Procedimiento Maple V, para el cálculo de G1(t): Ver Anexo II .

Procedimiento Maple V, para el cálculo de G2 (t) : Ver Anexo III.

Procedimiento Maple V, para el cálculo de Gj (t) con j >_ 3: Ver Anexo IV.

En estos procedimientos, cabe resaltar, que no ha sido necesario el cálculo de la

inversa de ninguna matriz .

Utilizando este procedimiento, una forma alternativa y mas ágil, pues no requiere

el cálculo de las 9-funciones, una a una, y no involucra el cálculo de la inversa de una

matriz, sería la siguiente:

(1)

Calcular Gp(At), para p E N, suficientemente alto .

(2)

Computar 9p (t) =tPGp(At) .

(3)

Computar: Gj (t) = AG;+1 (t) + !j'-! I

,

j= (p - 1), .. ., 0

1.5

Notas a los métodos de cálculo de 9-funciones

En los casos en que la integración numérica del sistema lineal perturbado sea difícil,

como cuando los autovalores de A difieren mucho, el cálculo de las 9-funciones puede

presentar dificultades .

Si los autovalores de A están en un pequeño entorno de cero y el tamaño de paso

es pequeño, el desarrollo en serie será adecuado para los cálculos de las Gj(h) .



29

Para valores grandes de h, G0(h) podría ser calculado por métodos elementales,

usando funciones exponenciales y polinómicas. Las Gj (h) con .7 suficientemente alto

se calculan entonces por la relación de recurrencia, expresada en este capítulo, la cual

requiere la matriz A-1 , y el proceso puede resultar numéricamente inestable.

En el caso en el que el desarrollo en serie de las GJ (h), no permite obtener el valor

de Go(h) hasta Gm(h) con una exactitud suficiente, se determinarán estos valores por

un método de integración numérico ordinario. Es decir se integran las ecuaciones dife

renciales que aparecen en la definición de las 9-funciones, usando un tamaño de paso

de integración pequeño, comparado con [0, h] . Obsérvese, que este procedimiento,

francamente laborioso, sólo se realiza, una vez, al comienzo del método [74], [82] .

Una alternativa, a estos métodos numéricos, es el procedimiento de eliminación

lineal de Richardson que permite el cálculo de las Gj (h) con mejor precisión [93] .

1.6

Las 9-funciones de Scheifele como método de

integración numérica

Se trata pues de integrar numéricamente el sistema siguiente :

donde

x

=

Ax + E - f(x,t)

x : R i R'

A

E

.M (m, R)



Para integrar este sistema con el método de las g-funciones, desarrollábamos la

función f (x,t) en la forma°° tk

f(X,t) = 1

! Ck+1k=0

y la solución, en términos de las g-funciones, venía dada por

X(t) _ !;0(t)XO + E

.JCk(t)Ckk=1

donde los Ck son las derivadas de la función de perturbación

f(X(t),t) = g(t) = (9i(t),- ..,9m(t))

Denotando por ti = ti-, + hi , i = 1, 2, . . ., la malla de puntos en [a, b] y por

xi la aproximación a x(ti), suponiendo que tenemos calculada xn , para obtener una

aproximación de x(t,z+1), consideramos el P.V.I . :

x

=

Ax + E - f (x,t)

X(tn)

=

Xn

y al realizar el cambio de variable independiente : T = t - tn , el problema anterior se

transforma en:

X

=

Ax + E * f(X,T + tn)

X(0) = Xr,,



El método de las 9-funciones nos permite expresar x,,+1 del modo siguiente :

xn+l = Go (hn+l )xn + E 9j(hn+1)g'- ')(t.)

3 1

En esta sección, expondremos algunos ejemplos de aplicación de las G-funciones

de Scheifele, como método de integración numérica para el cálculo aproximado de las

soluciones de sistemas lineales perturbados .

Asimismo, se realizarán los acondicionamientos de dichos problemas, que sean ne-

cesarios, para una mayor facilidad en el cálculo aproximado de las soluciones mediante

el método de las 9-funciones de Scheifele .

1 .6.1 Ejemplo 1

Ejemplo propuesto, en [19] .

Sea el sistema :

con las condiciones iniciales :

cuya solución es :

x 1 (0)=1 , x2(0)=0

x1(t)

= et

x2(t) = 2e-et(1_



32

Con el fin de acondicionar el problema, para su integración, se recurrirá a in-

troducir unas variables auxiliares, procedimiento que fue empleado por Steffensen

[77],[78],[79], en la aplicación de métodos de series de Taylor.

Definiendo :

el sistema anterior se transforma en:

x~ = x +s . x2

2

3

con autovalores: 1 (doble) y 1 (simple) y condiciones iniciales :

x 1 (0)=1 , x 2 (0)=0 ,x 3 (0)=1

Escribiendo el nuevo sistema en forma matricial:

0 1 0

1

2

Sea x(t), la solución del problema anterior, que suponemos analítica, entonces :

3

v lx a1 k,l

°° tk

x %i a2 k=0 k,2

x a3 k,3



que sustituída en la expresión anterior da lugar a :

bk,2

que nos permite definir la siguiente sucesión de coeficientes :

De esta forma ya podemos escribir la solución del problema en términos de 9-

funciones de Scheifele, [74] como sigue

e-a

oc

x(t) =E 9k(t) .

k=0

k-1,3

!9k (t) .

b

con k = 1, 2, . . .

k,2

33

k=0

bk,3 )

una vez obtenido el valor de las 9-funciones, denotando por xl la aproximación a

x(h), la aproximación a la solución vendrá dada de la forma siguiente :

bk,l

bk,2

bk,3

Para efectuar un segundo paso de integración se toma xl como valor inicial y se realiza

el mismo proceso. No es necesario calcular el valor de las 9-funciones por tenerlo del

primer paso .

a 1 0 0 a ( 0k+1,1 k,l

a 0 1 0 a ak+1,2 I k,2 k,3

a J ~ 0 0 12) a ~0

k+1,3 k,3 /



34

Resumiendo, una vez obtenido el valor de las G-funciones, cada paso se completa

mediante el algoritmo siguiente :

ak+1,2

a0 = Xi

kJ

1.6 .2

Ejemplo 2

k,3

Ejemplo propuesto, en [26]

0 1 0

0 0 2

a

kJ

k,2

bo = ao

~b l ( 0 1

bk,2

1

ak,3

desde k = 0, . . .

En la (Figuran' 1 .1) se muestra el resultado obtenido al comparar el método

de las 9-funciones con un método LSODE de tol = 10-16 . Para el método de las

9-funciones se tomaron ocho funciones G, la integración se realizó hasta t = 100, con

paso h = 0'1 y e = 10-3.

=1

E - ak-1,3

desde k = 1, . . .

(bkJm

Xi+1 -~7 bk=0 k,2

bk,3 l



Consideremos un oscilador con perturbación resonante:

con las condiciones iniciales :

cuya solución es :

y el sistema anterior se transforma en :

x 1 (0)=1 , x2(0)=0

x1

(t)

= cost) + 2 t sin(t)

x2

(t)

=

2- 1) sin(t) + 2 t cos(t)

Para facilitar la integración definimos:

x2

-x

+E cos t1

cos(t)

sin(t)

x' = x1

2

x' _ -x +E-x2

1

3

x1 _ _x3

4

x' = x4

3

con autovalores complejos : i (doble) y -i (doble) y condiciones iniciales :

x 1 (0)=1 , x 2 (0)=0 ,x 3 (0)=1 ,x 4 (0)=0



36

Escribiendo el nuevo sistema en forma matricial :

Sea x(t), la solución del problema, que suponemos analítica, como en el Ejemplo

Obteniéndose las siguientes recurrencias :

k,3

b

b

kJ

k,2

k,3

bk,4 )

~

JDe este modo podemos escribir la solución del problema en términos de 9-funciones

de Scheifele, como sigue:

X(t) _~ !9k(t) .

k=0

b

b

k,2

k,3

a)k+1,1 ( 0 1 0 0 1 ( a

) ( 0k,1

a -1 0 0 0 a ak+1,2 1 - I 1 k,2" I J +S . I

a 0 0 0 -1 a 0k+1,3 k,3

a 0 0 1 0 a 0k+1,4 k,4

(x ~ / ( 0 1 0 0 ~ ( x ~ ( 01 1

x2

-1 0 0 0 x2

x3

x3

0 0 0 -1 x3

0

\ x4 l~ 0 0 1 0 J x 4 0



37

En la (Figura n° 1 .2) se muestra. el resultado obtenido al comparar el método

de ocho g-funciones con un método LSODE de tol = 10-16 . Para. el método de las

i~-funciones se tomaron ocho funciones 9, la integración se realizó hasta t = 100, con

paso h, = 01 y 5 = 10-3 .

1 .6 .3

Notas a los ejemplos del capítulo

Aunque los tiempos de CPU, tal como consta a. pie de las figuras 1.1 y 1 .2 . son

sensiblemente mgjores en el método de las 9-funciones, éste es poco operativo debido a

que exige, como paso previo, la normalización del problema y presenta, la, considerable

dificultad, de tener que construir en cada caso un fórmula recurrente para, el cálculo

de los coeficientes . De hecho el método de Scheifele es prácticamente imposible de

utilizar si los términos de perturbación son funciones complicadas .



38

1.7

Figuras capítulo 1

1 .7 .1

Ejemplo 1

log(error)

Tiempos de CPU.

20

Figura n° 1 .1

Método de 8 g-funciones, tamaño de paso 0.1 y e =10-3

LSODE[backfunc] con tolerancia 10-16

LSODE

=

728.33 veg

G-8

=

626 .14 seg

LSODE

G-8



1 .7.2

Ejemplo 2

log(error)

k

Figura n° 1 .2 .

Método de 8 g-funciones, tamaño de paso 0.1 y E =10-3

LSODE[backfunc] con tolerancia 10-1f

Tiempos de CPU.

=

879.13 Seg.

G-8

=

730.02 Seg

w



40



Capítulo 2

Métodos numéricos multipaso

variable para la integración de

sistemas lineales perturbados

2.1 Introducción

En este capítulo se introduce un método multipaso variable adaptado para la resolu-

ción de sistemas lineales perturbados :

x

=

Ax +

f(x,t)

X(O) = Xp

donde

x :R -1 II8''' ;

AEM(m,I1) ;

f :R'nxR--->R'

Para la integración de este sistema, mediante un método multipaso variable, que

41



42

integre exactamente el problema homogéneo, partimos de un método que ya posee

esta propiedad, el método de 9-funciones, desarrollado en el capítulo anterior.

La solución, en términos de las 9-funciones, venía dada por

X(t) _ .J~0(t)XO + E ) , CJk(t)Ck

donde los Ck son las derivadas de la función de perturbación f(x(t),t) = g(t) =

(g1 (t), . . ., g.(t»

Las 9-funciones, como método de integración numérica, nos permite escribir :

Xn+1 = GO(hn+1)Xn + E GJ(hn+1)gi-1)(tn)

El cálculo de las gj-1) (tn ) es difícil para expresiones complicadas de la función de

perturbación, lo que dificulta su implementación en un computador .

El método multípaso que se presenta en este capítulo integra exactamente el pro-

blema homogéneo, y presenta la ventaja, frente al método de las G-funciones, de

la existencia de un procedimiento algebraico sencillo para la computación de los

coeficientes del método, independientemente de cual sea el orden, lo que nos per-

mite lograr fácilmente cualquier método tanto de orden alto como de orden bajo

[15],[44],[48],[50],[53] . Esto se conseguirá aproximando las derivadas que aparecen

en el método de las G-funciones mediante diferencias divididas [60],[87],[89] . Ua-

bajaremos tanto métodos explícitos como métodos implicítos, que nos permitirán la

implementación de un método predictor corrector.



2.2

Método explícito de p pasos E.1.pE para siste-


Seag : [a, b]

, R, una función real de variable real, representaremos por g[tn, . . ., to-k]

con k = 0, 1, . . ., n a la diferencia dividida de g de orden k en los argumentos tn, . . ., tn_k

de la variable t E [a, b] [60] .

Consideramos que g(t) es analítica para simplificar la

exposición .

Para construir un método multipaso variable explícito de p pasos, [88],[89],[90],

utilizamos hasta las diferencias divididas de orden p-1 de la función g(t), en los

argumentos tn, . . ., tn-p+1

Definición 2.1 Sea

9

00

Hi = tn - tn-i

Lema 2.1 Las diferencias divididas de g(t) satisfacen la igualdad

9[tn, - . ., tn_i] =E Pj[0, -HI, . . ., -Hi] - gj)(tn)j=0

D/.

Los desarrollos en to de g(tn_1), . . ., g(tn_i) nos permite escribir

9[tn, . . ., tn_i] =j=0

i ' 9' ) (tn)

43



44

donde las constantes cj dependen sólo de HZ = t,-tn-i . Para calcular cj consideramos

el plmto to = 0 y g = Pk, teniendo en cuenta que Pk )(0) = Sk,j, siendo 4,j la delta

de Kronecker.4Veamos algunos casos:

donde

donde

Análogamente

g[tn] = g(tn)

g[tn7 tn-1]

=

g[tn]-

g[tn-1] -tn - tn-1

°° 7)

tn

ltn-1

g(tn)- Yg j! n)

- (tn-1- tn)i

( j=0-(tn-1 -

tn)j

o0

. gj) (tn) -57 , cj . gj) (tn)7-0

CO = 0

-Po[0, -H1]

=

1

1

1

= 0 = COH

Pj [0] - Pj [-H1]

-(tn-1 - tn)j

j=0

co = 0

cj

comprobemos que los cj anteriores son iguales a Pj[0,-H1] :

P [0 -Hi]

H1

(tn - t _1)j!

= cj con j = 1, 2, . . .n

.g[tni tn-1 ; tn-2]

_

(tn-2 - tn) (tn- 1 - tn)j - (tn-1 - tn) (tn-2 - tn)j .

) (tn) _j=1

(tn - tn-1) (tn- 1 - tn-2) (tn - tn-2)j!

i , gA (t n)

-(tn-1 - tn)j con j(tn - tn-1).%!



9

(tn-2 - tn)(tn-1 - tn) j - (tn- 1 - tn)(tn-2 - tn)~c~

=

con j = 1, 2, . . .(tn - tn- 1) (tn-1 - tn-2) ( tn - tn-2) .i !

comprobándose que

po[0, -Hl, -H2]

Pj [0, -Hi, -H2]

tDp,n = Ap

1

0

-0-CO

H2 (H01

-H1 + H2 )

-H2(-H1)' + Hl(-H2)'j!HIH2(H2 - H1)

(tn-2 - tn)(tn- 1 - tn)a - (tn- 1 - tn)(tn-2 - tny

(tn - tn- 1)(tn- 1 - tn-2)(tn - tn-2)j

cjcon j = 1, 2, . . .

Teorema 2.1 Denotando por Dp ,n la matriz siguiente,de orden m x p

H = max {H,,.. ., HP-lI

se verifica la igualdad:

g, (t.) . . . gm(tn ) O(HY) . . . O(HP)

91( tn) . . . gm(tn) O(Hp-1 ) . . . O(Hp-1)

~ gp-1)(tn) . . . gpnp1)(tn) ) ~ O(H) . . . O(H)

91[tn] 1!91[tnytn-1] . . . (p - 1)!91[tn7 . . .,tn-(p-1)]

92[tn] 1!92[tn, tn-1] . . . (p -1)!92 [tn , . . ., tn- (p-1)]

9,.[tn] V9na[tni tn-1] . . . (p - 1)!9m[tn, . . ., tn-(p-1)]



46

donde Ap es la matriz cuadrada de orden P

Ap =

matricialmente

gl It.]

92 It.]

gl [tn, tn-1]

pxp

D/.

Aplicando a cada uno de los campos componentes gi(t) con i = 1, . . ., m de la

función de perturbación g (t) el (lema n° 2.1) y el hecho de que Pj [H1, . . ., Hi+1] es de

orden j - i en H, se obtienen las siguientes igualdades :

gi [tn]

=

PO [0]gi (tn) + Pl [0]gi (tn) + ' . . + Pp-1 [0]9p-l)

(tn) + O(Hp)

gi [tn, tn-1]

=

PO[O, -Hl]gi (tn) + P1 [0, -Hl]gi (tn) + " . .

. . . + Pp-1 [0, - Hl]gP-1) (tn) + O(Hp-1)

gi[tn, . . ., tn-(p-1)]

=

Po [0, -Hl, . . ., - Hp-l]gi(tn) + Pl[0, -Hl, . . ., - Hp-l]gi(tn) + - . .

. . . + Pp-1[0, -H,, . . ., -Hp-1]gp-1) (tn) + O(H)

. .

gm [tn ]

g2[tn, tn-1]

. . .gm[tn,tn-1]

g1[tn, . . ., tn-(p-1)]

g2[tn, . . ., tn-(p-1)]

" . .

gm[tn, . . ., tn-(p-1)]

1 Pl [01 P2 [01 . . . Pp-1 [0]

0 1 1!P2[0, -Hl] . . . ITp-1[0, -H1]

0 0 1 . . . 2!Pp-1 [0, -Hl, - H2]

0 0 0 1



PO 101

Pl 101

. . .

PP-1101

Po [0, -Hl ]

P1 [0, -H1]

. . .

Pp-1 [0 -H1]

~ Po[0, -Hi, . . ., -Hp-1]

Pl[0, -Hi, . . ., -Hp-i]

. . .P p-i[0, -H,, . . ., -Hp-1]

~ 91(tn)

92(tn)

. . .gns(tn)

I

( O(HP )

O(HP)

. . .O(HP)

91(tn)

92(tn)

. . . 9m(tn)

I

I O(HP ) O(HP 1) . . . O(Hp-1)

~gi-

"(tn)

92-"(tn)

. . .

9171' (t-) )

~ O(H)

O(H)

. . .

O(H)

representando, simbólicamente el producto anterior, se obtiene la ecuación :

pudiéndose escribir la matriz Ypxp en la forma:

l

Ypxp =

Xpxrrn = Ypxp x Zpxm + Opxm

Sustituyendo en la ecuación precedente y efectuando las transformaciones elemen-

tales pertinentes para eliminar los cocientes de factoriales, resulta:

n = Ap x Zpx7rc + Opxrn

Corolario 2.1 La matriz Ap es inversible .

D/ .

La demostración es inmediata, pues det(Ap) = 1

47

1 0 0 . . . 0

0 1 P2[07 -H11 --- Pp-1 [0, -Hl]

0 0 2, --- Pp-1 [0, -H1, -H2]

0 0 0 . . . 1(p-1) !



48

2.2.1

Estableciendo el método multipaso explícito

Truncando el desarrollo obtenido en (teorema n° 2.1) y despejando Zpxn,, resulta :

Zpx, = AP-1 x (Dp,n)pxm

Premplazando en xn+1 = go(hn+1)xn + e E Jgj(hn+1)g'-1)(tn) las derivadas de los

j=1

campos componentes de la función de perturbación podemos escribir :

xn+1 = 9o(hn+1)xn + E > , 9j(hn+1)pj

siendo pj con j = l, . . .,p la j-ésima columna de la matriz Zt . Al ser Zt = Dp,n x Apt

bastará tomar pj como la columna j-ésima de la matriz Dp,n x APt .

Dp

pj =

P

jE 91 [tn7 . . ., tn- (i_1)J dij (i - 1)!i=1PE 92[tn5 . . ., tn-(i-1) ]dij( i - 1)!i=1

P~, 9rn[tn, . . ., tn_(i_1) ]dij(i - 1)!i=1

donde Dp,n x APt es una matriz de orden m x p cuya j - ésima columna pj

Designando por (dij)pxp = Apt resulta :

91[tn7 . . .,tn_(i-1 )] di1(2 - 1)! . . .PE 91[tny -. . ., tn- (i- 1)1dip(i 1)!

i=1 i=1P

92[tn 7 -. . ., tn_(i__1)1di1(2 1)! . . .PL 92[tn 7 -. . ., tn-(i-1) ]dip(i 1)!

i=1n xApt = a=1

P~ E 9,n[tn, -. . ., tn-(i-1)1 di, (i 1)! . . .

P>~ 9"'[t"' -. . ., t,,-(i-1),d?p(i 1)!i=1 i-1



Pque sustituída en Y gj(hn+1)Pj permite escribir :

j=1

yj(hn+1)pj = Gj(hn+1)

P

=

E gj (hn+1)j=1

PE gl [tn, . . ., tn_(i-1)Jdáj (i - 1)!i=1PE 92[tn, . . ., tn-(i-1)ldij(i - 1)!i=1

P9m[tn, . . ., t,,-(i-1)l dij(i

jl dij(i - 1)!

i=1

91Ltn, . . ., tn_(i_1)J

1P

(i - 1)!diji=1

(2 - 1)!dijgj(h,,+1)

P

1, (i - 1)!dij! j(hn+1)j=1

( 91 [tn, . .4n-(i_1)1

)

92[tn, . .., tn-(i_1)]

97n[tn, .. ., tn-(i-1)]

92[tn, . . ., tn_(i_1)]

g,n[tn, . . ., tn_(i_1)1/

91 [tn, . . ., tn_(i_1)l

92[tn, . . ., tn_(i_1) ]

92[tn, . . ., tn_(i_1) ]

gm [tn, . . ., tn-(i-1)]

l

( g1 [tn, . . ., tn-(i_1)]

))

9.[tn, . . ., tn_(i-1)Il



50

donde

"Inicialización X: Xo, X1, X2, X3, . . . ,XP-1.

Ai

(i - 1)!dijgj(hn+l) con i = 1, . . .,p

Sustituyendo esta última expresión en xn+1 = Go(hn+1)Xn + -' E Gj(hn+1)pjj=1

conseguimos la fórmula siguiente, para un método multipaso explícito:

Xn+1 = go(hn+1)xn + E

9m.[tn, . . ., tn_(i_1)]

Definición 2.2 Introducimos la siguiente notación:

"xn es la aproximación al valor de la solución en tn .P

eni -~ (Z - 1)!dij~?yj(h,,+l) donde ( dij)pxp = Aptj=1

toFn i = ( 91 [tn~ . . ., tn-(i_1) ],

---

, ,-[tn, . . ., tn-(i-1) ]

( 91 [tn, . . ., tn_(i-1)1

)

92[tn7 . . ., tn- (i_1)J

Xn+1 = !go (hn+1)Xn + EL AiFn,i

con

n >p- 1i=1

P

Definición 2.3 El método explícito, con tamaño de paso variable, de p pasos, E.LpE,

para sistemas lineales perturbados, se formula mediante la ecuación :

Proposición 2 .1 El método explícito, con tamaño de paso variable, de p pasos,

E.LpE para sistemas lineales perturbados, es de orden p y e siempre es factor co-

mún del error de truncación en cada paso.



51

Supongamos que el valor calculado para x en to es exacto y que también son

exactos los valores de f(x(tn),tn), .. ., f(x(tn_p+1),tn-p+1)

Estudiemos la siguiente diferencia.

rn+1 = x(tn+1) -x.+1 = x(tn + hn+1) - xn+1 =

j=0

px')(tn) h,,+1 - y0(hn+1)xn - E

gj(hn+1)pj -

00

p

hn~ 1 xn) - Go (hn+1)xn - EE Gj(hn+1)p j =j=0 ~~

j=100

(9j (h,,+1 ) - AGj+1(hn+1)) xn) - go (hn+1)x,, - E y: Gj(hn+1)pj =

D/:

Se deduce trivialmente de la proposición anterior.4

JCj(hn+1) (xñ) _ Axñ 1)) _ EE Gj(hn+1)pj =j=1

j=1

E, !9j (h,+,) (fi) (x(tn) tn) - pj) - E E CJj(hn+1)f7)(x(tn) ;tn)j=1

j=p+1p

00

9J-j(hn+1) (f9)(x(tn)itn) - Pj) - y~ JCj(hn+1)V)(x(tn),tn)j=1 j=p+1

En esta última expresión, las diferencias que aparecen en el primer sumatorio son

de orden hp-j+ 1 , como Gj(hn+1) es de orden hj, se obtiene un orden de hp+1 . El

segundo sumatorio, es del orden de Gp+1(hn+1), es decir de orden hp+1

Corolario 2.2 Si e = 0 el metodo E.LpE para sistemas lineales perturbados es exac-

to .

Proposición 2.2 El método explícito, de p pasos, E.LpE, es consistente de orden p



52

D/.

Para demostrar la consistencia, es suficiente considerar los resultados obtenidos

en el (teorema n° 2.1) y que gj (h) = O(hi) . 4

2.3

Método implícito de p pasos E.I.pI para siste-


Para construir un método implícito, utilizaremos la misma idea que en el apartado

anterior.

Teorema 2.2 Consideramos hn+1 = tn+1 - to y sea HZ = to - tn_2 . Denotando por

Dp,n+1 la matriz siguiente,de orden m x (p+ 1)

y

Dp,n+l =

91 [tn+1]

1191 [tn+1, tn]

. . .

p!91 [tn+1, . . ., tn+1-P)]

92 [tn+1]

V92[tn+l i tn]

. . .

P192 [tn+l , . . ., tn+l-p) ]

9m[tn+l]

1!9m[tn+1i tn]

. . .Pi9m[tn+li.. ., tn+l-p)]

se verifica la igualdad :

(g1(tn)

92(tn)

. . .g m(tn) )

(O(HP-I-1 )

O(Hp-+1)

. . .

O(Hp-I-1))

Dt

_B

I

91(tn)

92(tn)

. . .9m(tn)

I

O(H)

O(Hp)

. . .O(HP)p,n+1 - P

H = max{hn+1~Hl, . . .,Hp-1}

gpp) (tn)

92)(tn)

. . .9m)(tn))~ 0(H)

0(H)

. . .0 (H)



donde Bp es la matriz cuadrada de orden (p + 1)

Bp =

Aplicando a cada uno de los campos componentes gi(t) con i = 1, . . ., m de la

función de perturbación g(t) el (lema n° 2 .1) y el hecho de que P; [H1, . . ., Hi+1] es de

orden j - i en H, se obtienen las siguientes igualdades :

gi [tn+1]

=

Po[hn+1 Jgi (tn) + Pl [h,+1]gi (tn) + - . .

. . . + Pp [hn+1]gip) (tn) + O(HP+1)

gi[tn+1, tn]

=

Po[hn+1, 0]gi(tn) + P1[hn+1, Olgi(tn) + . .

. . . .+ Pp [hn+1, 0] -qip ) (tn) + O(HP)

gi[tn+1, . . ., tn+1_P]

=

Po[hn+1, 0, -H1, . . ., -Hp_1]gi(tn) +

+P1[hn+1, 0,

-Hp_1]gi(tn) +

. .

. . . + Pp[hn+1, 0, -H,, . . ., -Hp_1]gP) (tn) + O(H)

53

1 Pl[h ,rn+1] P2[hn+1] . . . Pp [hrn+1]

0 1 1!P2[hn+1, 0] - . . 1lPp[hn+i, 0]

0 0 1 . . . 2!Pp[h,,+1, 0, -Hl]

0 0 0 . . . 1/ (P+1) x (p+1)



Po[hn+1]

P,[h,,+1]

. . .

Pp[hn+1]

Pp[hn+l, 0]

Pp[hn+1, 0, . . ., -Hp- 1 ]

Yp+1) x (p+1)_

pudiéndose escribir la matriz Y(p+1) x p+1)en la forma:

representando, simbólicamente el producto anterior, se obtiene la ecuación :

X(p+1)xm = Y(p+1)x(p+l) x Z(p+l)xm + O(p+l)xm

1

Pl[hrn+1]

P2[h,,+1]

. . . .

Pp[hn+l]

0 -

Pz [h,,+1, 0] . . . Pp [hn+1, 0]

0

0

21r

. . .

Pp[hn+1, 0, -H1]

_1p!

91(tn) 92 (tn) . . . gm(tn) O(HP+l) O(Hp+') . . . O(Hp+1 ) )

gl(tn) g2(tn) . . . gm/ (t.) O(HP) O(HP) . . . O(HP)

gP)(tn) 92) (ín) . . . 9m)(tn) ) ~ O(H) O(H) . . . O(H)

Po[h,,+1, 0] Pl [hn+1y 0] . . .

Po[hn+1, 0, . . ., -Hp-1] Pl[hn+1, 0, . . ., -Hp-1] . . .

54

matricialmente

lgl [t.+ 11 92 [tn+l] . . . gm[tn+1]

91 [tn+1 y tn] 92 [tn+1 7 tn] . . . gm [tn+1 , tn]

91 [tn+1' - . ., tn+1-p] 92 [tn+11 . . ., ín+l-p] - . . 97n[tn+1, - . ., tn+1-p]



55

Sustituyendo en la ecuación previa y efectuando las transformaciones elementales

pertinentes para eliminar los cocientes de factoriales, resulta :

Dp,n+l = Bp x Z(P+1)xm + 0(p+1)xm

2.3.1

Estableciendo el método multipaso implícito

Truncando el desarrollo obtenido en (teorema n° 2.2) y despejando Z(p+1)xm resulta:

Z(p+1) xm = BP-1 x (Dp,n+1) (P+1) x

p+1reemplazando en xn+1 = go(hn+1)xn + E E GJ(hn+1)g' -1) (tn) las derivadas de los

j=1

campos componentes de la función de perturbación podemos escribir:

xn+1 = gg-o(hn+1)xn + E ) , !gj(hn+1)pj

siendo pj con j = 1, . . ., p + 1 la j-ésima columna de la matriz Zt .

Al ser Zt =

Dp,n+1 x BPt bastará tomar pj como la columna j-ésima de la matriz Dp,n+1 x BP

t .

m x (p + l), es igual a:

Designando por (dij ) (P+1) x (P+1) = Bpt resulta que la matriz Dp,n+1 x Bpt de orden

P+191[tn+l, -. . ., tn+1-(i-1) ]dil(Z 1)1 . . . P+1 j

i=1 i=1P+1

92[tn+l7 . . .,tn+1_(i-1) ]dil(i - 1) I . . .P+1E (f,2[tn+l, . . .,tn+1-(i-1)Jdi(p+1)(i-1)i

i=1 i=1

P+1gm[tn+1, -. . ., tn+1-(i-1)] dil(2 1)1 . . .

P+1~` g,rn[t,n,+1, -. . ., tn+1-(i-1)Idi(p+1)(2 1)I

i=1 i=1



56

cuya j - ésima columa pj es:

pj -

Gj(hn+1)pjj=1

j=1

P+1E 91 [tn+1 i . . ., tn+l-(i-l)ldij (i - 1)!i=1P+l

92 [tn+17 . . .itn+l-(i-1)ldij(Z - 0i=1

P+1E 9mttn+1, . . ., tn+l-(i-1)] dij(i - 1)!i=1

P+1que sustituída en E Gj(hn+1)pj permite escribir :

j=1

Gj(hn+l)

Gj(hn+1)

r

P+1

IE 91 [tn+1~ . . .,tn+l-(i-1) ] dij(i - 1)!i=1P+1

92 [tn+1 . . . tn+l-(i-1))di7(i - 1)!i=1

P+1gm [tn+l, . . ., tn+l-(i-1)I dij (i - 1)!i=1

( 91 [tn+1) - . .) tn+l-(i-1)J

))

- 1)!dijgj(hn+l)

92 [tn+l , . . . , tn+l-(i-1)

9,m, [tn+l i . . . i tn+l-(i-1) ]

/

91 [tn+lY . . .Y tn+l-(á-1)

92 ftn+l7 . . ., tn+1-(i-1)1

-P+1

9m[tn+l 7 . . .)tn+l-(i-1)



donde

ri

P+1E (2 - 1)!dijggj(hn+1)j=1

91[tn+l7 . . ., tn+l-(i-1)l

)

92[tn+17 . . . I tn+l-(i-1)

gTn[tn+1, . . ., tn+l-(i-1)l

91[tn+1, . . .,tn+1-(i-1) ]

))

P+1

ri =E (i - 1)!dijgj (hn+1) con i = 1, . . . 7P+1j=1

92[tn+l ; . . ., tn+1-(i-1)]

9m[tn+1, . . ., tn+1-(i-1)I

~?

P+1 ~?Sustituyendo esta última expresión en xn+l = go(hn+1)xn + E E Gj(hn+1)pj

j=1

conseguimos la fórmula siguiente, para un método multipaso implícito :

Xn+1 = go(hn+1)Xn + E ri

91 [tn+1 , - . ., tn+l-(i-1)]

)

92[tn+l, . . ., tn+1-(i-1)l

9m[tn+l, . . ., tn+1-(i-1)]

Definición 2.4 Introducimos la siguiente notación :

.xn es la aproximación al valor de la solución en tn .

P+1el' ¡ =

i - 1 !dijyJ(hn+1) donde (dij )

= B-t(p+1)x(p+1) BP-t

=

91 [tn+1, . . ., tn+1-(i-1)],

" . .

, 9m[tn+1, . . ., tn+l-(i-1) ]

*Inicialización para x: Xo, X1, X2, Xg, . . . ,Xp-1 .

57



58

Definición 2.5 El método implícito, con tamaño de paso variable, de p pasos E.LpI,

para sistemas lineales perturbados, se formula, mediante la ecuación:

P+1

Xn+l = yo(hn+1)Xn + EL riTn, i

con

n > p- 1i=1

Daremos algunos resultados referentes a los métodos E.I.pI para sistemas lineales

perturbados, de los que no haremos las demostraciones por ser análogas a las del

método E.I.pE.

Proposición 2.3 El método implícito, con tamaño de paso variable, de p pasos E.LpI

para sistemas lineales perturbados, es de orden p + 1 y s siempre es factor común del

error de truncación en cada paso .

Corolario 2.3 Si s = 0 el método E.LpI para sistemas lineales perturbados es exacto.

Proposición 2.4 El método explícito, de p pasos, E.LpI, es consistente de orden

p+1 .

2.4

Método predictor corrector E.I.pPC para sis-

temas lineales perturbados

Definición 2.6 Definimos el método predictor-corrector, con tamaño de paso varia-

ble, de p pasos E.LpPC para sistemas lineales perturbados como el que tiene como

predictor a E.LpE y como corrector a E.LpL

El método predictor corrector empleado, es del tipo P(EC)I' E1-t con t = 1 y p

entero positivo, es decir un predictor y p veces evaluador-corrector, P(EC)A` [50] . Al



59

aplicar el P(EC)" para obtener corrección de convergencia, se observa que si xn J es

la j-ésima corrección de x,,, y M = 2, entonces I1xnl - xn1 ~~ es suficientemente pequeño

y el cálculo de x,2" incrementa significativamente el coste computacional.

Además si M = I, P(EC) tiene el mismo orden que el corrector, pero los errores

de truncación son distintos .



60



Capítulo 3

Implementación de los métodos

multipaso variable para la

integración de sistemas lineales

perturbados

3.1 Introducción

En el capítulo anterior se han expuesto los métodos E.I.pE, E.I.pI y E.I.pPC, para la

integración de sistemas lineales perturbados. Estos métodos presentan la dificultad

de que sus coeficientes matriciales no están expresados de manera recurrente, lo que

dificulta, su codificación para automatizar su cálculo . En este capítulo resolveremos

este problema, lo que nos permitirá codificar los métodos, pudiendo escoger el tamaño

61



62

del paso y el número de pasos, que requiera cada ejecución.

Para el método E.I .pE tendríamos que poder calcular de manera recurrente los

coeficientes

Aá => , (i - 1)!dijQJj (h,,+1) con i = 1, . . ., p

donde la matriz (dij)pxp = Apt. Y para el método E.I.pI tendríamos que poder

calcular de forma recurrente los coeficientes

p+i(í - 1)!dij9J(h,,+1) con i = 1, . . .,p+ 1

donde la matriz (din) (p+1)x (p+1) = Bpt . Luego el problema se reduce a encontrar una

fórmula recurrente, que nos permita calcular los elementos de las matrices APt y Bpt .

El problema del cálculo recurrente de las matrices AP1 y Bpt no lo abordaremos

directamente, sino que obtendremos unas matrices, que denotaremos por S,,,p y S,,,p+1

respectivamente, sobre las que definiremos las recurrencias y posteriormente las re-

lacionaremos con las matrices APt y B;' . El cálculo de las matrices Sp,,, y Sp,,z+i se

fundamentará en el estudio y aplicación de los polinomios simétricos y sus relaciones

con las diferencias divididas.

Una vez conseguidas las relaciones de recurrencia, para las matrices Sp,,, y Sp,n+1 y

su conexión con las matrices AP t y Bpt, procederemos a redefinir los métodos E.I.PE,

E.I.pl y E.I.pPC, de manera que sea posible una implementación efectiva para su

cálculo automático .

En este capítulo, también se expondrán los códigos de los nuevos algoritmos, im-

plementados en MAPLEV Release 4, así como una introducción a los problemas stiff

[43],[501,[64] . Por último resolveremos varios ejemplos, mediante los códigos E.1.pE,



E.I.pI y E.I.pPC y los compararemos con otros métodos conocidos .

3.2

Polinomios Simétricos

63

El propósito de esta sección es proporcionar una notación y terminología que será

empleada a continuación, y exponer algunos resultados importantes de las funciones

simétricas [4]J8],[46],[52],[54] .

Consideremos un anillo K[X, Y] . A todo polinomio P(X, Y) hacemos correspon-

der el polinomio P' obtenido escribiendo Y en lugar de X y X en lugar de Y, dicho

de otra manera P'(X,Y) = P(Y, X) . Evidentemente, (P')' = P. La correspondencia

P H P' es un automorfismo del anillo K[X, Y], ya que P F--> P' y Q +-> Q' implican

de manera manifiesta

(P + Q) ,

H

P+ Q,

(PQ) ,

PQ,

En general, en K[Xl , X2 , . . ., X,,,] consideremos una permutacion o- hecha sobre las

letras Xl , X2 , . . ., Xn y sea u(Xi) = X, . La correspondencia

P(X1 , X2) . . ., Xn) ~--* P' = P(Xi, X2, . . .,X.)

es un automorfismo, porque es compatible con la igualdad, la suma y el producto en

el anillo K[Xl , X2, . . ., Xn] .

Definición 3.1 Los polinomios invariantes respecto al conjunto de los automorfismos

anteriormente definidos se llaman simétricos.



64

Ya que una permutación cualquiera es un producto de trasposiciones, bastaría

comprobar su invarianza en todas las trasposiciones posibles, para asegurarse que es

un polinomio simétrico .

Sea el monomio xix,3 . . . zñ en el que los enteros a, ,Q, . . ., A pueden ser nulos . Efec-

tuando en él todas las permutaciones sobre las variables xlx2 * * - xn se obtiene varios

mononiios distintos cuya suma es evidentemente un polinomio simétrico denotado por

así p . ej ., el polinomio simétrico en n variables P = x3 + x2 + . . . + xñ se escribe

E xix0 . . . x° siendo el número de términos distintos (n"l)!= n ya que las sustitucio-

nes sobre las n - 1 últimas letras proporcionan el mismo monomio [52] .

Consideremos el anillo de los polinomios simétricos en n variables independientes

ti, . . ., tn :

Definición 3.2 Para cada 0 <- r < n, la r-ésima función simétrica elemental en ,r es

la suma de todos los productos de r variables distintas ti, siendo

t1t2 + tlt3 + t2t3, 63,3 = t1t2t3 .

en , r

p .

ej .

para tres variables, ti , t2, t3 tenemos :

e30 = 1, e3,1 = ti + t2 + t3, e3,2 =

En el caso de que r < 0 se define

ti, . . . tir21<i2< " . .<ir

e,,,r=0



La función generatriz de en,r es :

nEn (t) =y: e,,,r - tr =11 ( 1 + tit)

r=0 i=1

nes decir, efectuando un desarrollo de Mac Laurin de la función En(t) =11 (1 + tit)

í=1

hasta orden n, sus coeficientes serían las funciones simétricas elementales en,r.

65

Definición 3.3 Sea A _ (Al * * * An) E len , 1A1 _ ~l +* - * +an. Para cada r >_ 0 la r-

ésima función simétrica completa hn,r se define como la suma de todos los monomios

de grado total r en las variables ti , . . ., tn, es decir

hn,r =¡A1 =r

sa

donde Sa = { todas las distintas permutaciones ce = (cel . . . o¿,) de A} y ta = C1 . . . tan .

En particular hn,o = 1 y hn,l = en,l . [89]

p. ej . para tres variables, ti , t2, t3 tenemos:

h30 = 1

h3,1

=

e3,1 = ti + t2 + t3

h3,2

=

ti +t2 -i' t3 + tlt2 + tlt3 + t2t3

h3 ,3

=

ti +t2 -{- t3 + tït2 + tit3 + í2íl + tlt2 + tlt3 + t2t3 +tlt2t3

En el caso de que r < 0 se define

La función generatriz de hn,r es :

hn,r = 0

nHn(t)

=E hnr . tr =~ (1 _ tit)-1r=0 i=1



66

nes decir, efectuando un desarrollo de Mac Laurin de la función H,,(t) = fl (1 + tit)-1

i=1

hasta orden n, sus coeficientes serían las funciones simétricas completas hn,r [54] .

Proposición 3 .1 Entre los polinomios simétricos elementales y los completos se es-

tablece al siguiente relación

D/ .n

nDe En(t) =11(1 + tit) y de Hn(t) =11 (1- tit)-1 se tiene

llamando j = i - n tenemos

i=n+1 j=1

y de aquí se sigue que los coeficientes de ta para a > m - n son cero, lo que equivale

a:

Denotaremos por g[to , t 1 , . . ., tk] la diferencia dividida de orden k de una función g

en los valores to , t l , . . ., tk .

[89]

Proposición 3.2 Las diferencias divididas son funciones simétricas de sus argumen-

tos.

ndm>_n>_1 ya>m-n

Hn(t)Em( - t) =fj (1 - tit) -1 H (1 + ti(-t)) = 11 (1 - tit)i=1 i=1

i=n+1

n

m m-n11

(1 .- t i t ) = 11 (1 - tit) = Em-n(-t)

E(-1) r . hn,a_r . em ,r =0 b'm>_n>-lya>m-nr=0



Por definición

y obtenemos sin dificultad

probándose por inducción que

9[t, ti, . . .1 tn ]

g[t, t1] -_ g(t) - g(ti) -g(t)

+ g(t1)t-t1

-t-t1

t1 -t

g[t, tl, t2l _ (t - t1)(t - t2) + (tl -g(ti)

- t2) + (t2 -g)(t)

- t1)

__ g(t)

g(ti)(t - t1)(t - t2)* . .(t _ tn) + (ti - t)(t1 - t2) . . .(t1 - tn) +

. .

+

g(tn). . .

(tn - t)(tn-

t1) . . . (tn - tn-1)

67

evidentemente si intercambiamos dos argumentos cualesquiera no se altera el valor de

la diferencia dividida, por tanto éstas son funciones simétricas de sus argumentos.

Proposición 3.3 La diferencia dividida de la función g(t) = tm se puede obtener

mediante la siguiente expresión

r

tmg[tl, t2, - . ., tn]

2-1

(ti _ ti) (ti - t2) . . . (ti - tn)

donde la notación Y

indica que el factor ti - ti está excluido para i = 1, 2, . . ., n .

D/.

Esto último es el coeficiente de tm-n+1 en el desarrollo de la función

n

n-1ti(ti - t1) . . . (t i - ti-1) (1 - tit) (ti - ti+1) . . .

(ti - tp+1)'j=

esta expresión es el resultado de introducir en las fracciones parciales la función

(1 - t1t)-1(1 - t2t)-1 . . .(1 - tnt)-1



68

y por consiguiente [60} el coeficiente de tm-n+1 es la suma de los productos homogéneos

de grado m - n -I- 1 de ti , . . ., tn .

Entonces

donde el sumatorio se extiende a todos los enteros positivos, incluído el cero, que

satisfacen la relación :

Entre las diferencias divididas de g(t) = tm que denotaremos por t"z[t 1 , . . ., tn] y

los polinomios simétricos completos podemos establecer la siguiente relación:

Corolario 3.1 t7n[ti, . . ., t,] = hn,m-n+1

Df .

Uivial, por la definición de hn,, y por la proposición anteriono4

Finalmente veremos la relación existente entre las diferencias divididas y los poli-

nomios simétricos elementales.

Definición 3.4 Sea:

g[tl i t2, . . ., tnl =

, tlit2 2 . . . tñn

al+a2+ . . .+an = m - n + 1 .

qi,j = t7-1 [tl, . . ., ti] = hi,j-i

°- i,jj_- (-1)7

iej-,,j-i

Definición 3.5 Sean las matrices cuadradas de orden n : P = (qi,j) y S = (o-i,j)

Proposición 3 .4 Las matrices P y S son triangulares superiores, con unos en la

diagonal principal . Además las matrices P y S son inversas .



69

D/.

Dado que hn,, = e,,,, = 0, para r < 0 y hn,0 = e,,,0 = 1 evidentemente son

triangulares superiores, con unos en su diagonal principal. Como IPI = ¡Si = 1 7~ 0

son inversibles, bastaría con demostrar que PS = I. Las relaciones expresadas en

(definición n°3.2, definición n°3.3 y proposición n°3.1), muestran que PS = I.

3.3

Cálculo recurrente de las matrices Ap t y Bp'-

Sea t* E [a, ñ], consideramos la función simétrica completa qá,j en los valores

,y

se verifica que

H,-I, =t,,-i, - t* Con k = 0, . . . ' 2 - 1

Es importante precisar que trabajamos en el punto to y denotaremos

La función uij en los mismos puntos se denotará por Qijn) .

Por (proposición n°3A) las matrices cuadradas de orden k, Pk,n = (gíJn)) y

Sk,n = (ui,7(n)) son inversas una de otra .

Como

Hn_j = t,-7 - t*

H; = tn - tn-j

(tn - t*) - H; = Hn-i Con j = 0, . . ., í - 1

Particularizando al caso : t* = to tendríamos H,,- j = -H; con j = 0, . . ., i - 1



70

3.3.1

Cálculo recurrente de Apt .

El siguiente lema nos permite aproximar la diferencia dividida de orden k de la fun-

ción g(t) por sus derivadas ; para simplificar la exposición, consideramos que g(t) es

analítica .

Lema 3.1 Las diferencias divididas de una función g satisfacen la siguiente propie-

dad

D/ .

La demostración es realmente sencilla, si reemplazamos los desarrollos en t* de

9(tn), . . ., 9(tn-i+1) por una adecuada expresión de diferencias finitas .

Si H = max { IHn 1 , . . ., Hn-( i-1 ) }, como las qi,j (n) tienen orden j -i en H el (lema

n°3.1), nos permite escribir :

con i = 1, . . ., p .

9 [tn, tn-1 y . . ., tn-(i-1) ] =Y~ qi,j+1(n)j~ g7) (t )

9ltn) tn-1~ . .., tn-(i-1)l

=

9[tn7 tn-1 i . . ., tn-(i-1) ] =

=o

=0

j=0

tj [tn - t* , . . ., tn-(i-1) - t*1 gj) (t*)ji

qi,j+1 (n)1 gj) lt *)j .

qi,j+1(n) j! 9' ) (t* ) + O(HP-(x-1))



Considerando t* = t,, y expresando matricialmente estas igualdades, tenemos

9[t.]

9[tn, tn-11

g[t,a, . . .,tn-(P_1) 1 )

gP,1(n)

. .

gP,P(n)

9(P-1) (tn)

) (P-1)!)

y como qi,,+1(n) = hit en los argumentos Hn, . . ., Hn-(i-1), podemos escribir

9 [tnl

9[tn, tn-1J

Proposición 3 .5

con i, j >_ 2 .

D/ .

Es inmediata. [89]1#

q1,1 (n)

. . .

g1,P(n)

9(tn)

O(HP)

q2,1 (n)

. . .

g2,P(n)

9 (t.)

O(HP- 1)

1 hl,l . . . hl P-1

9(t.)

9 (tn)1 . . . h2,P-2

1~

9[tn . . ., tn-(P-1)1

)~0

0

. . .

1

Ji,7 n - Qi_17-1(n ) - H.-9+2Ux,j-1(n)

O(H)

O (HP)

O(HP-1 )

9(P-1) (tn)

O (H)-1)!

La siguiente proposición nos permite el cálculo recurrente de la matriz Sp,,n .

7 1



72

Si consideramos t* = t,z , entonces :

Sp,n =

nida en el capítulo dos .Teorema 3.1

donde

El siguiente teorema nos permite obtener de forma recurrente la matriz A;' defi-

A-t

Np n =

o!

X St nxNp,

~ 1 0 0 0 0 0

0 1 -3 0-2,3 (n) -~ 62,4(n) 0'2,5(n). . . -~ t7 2,p(n)

0 0 1 U3,4 n 0-3,5 n . . . -~ 073,p (n,)

00 0 1 O~45n . . .

(74,p (n)

~0 0 0 0 1



73

D/ .

Como t* = toyq¡,;+1(n) = t' [0 , -Hi , . . ., -Hi- 1 ] = j!P; [0, -H1 , . . ., -Hi- 1 ], resulta

PP,n =

efectuando el producto NP,n X PP,n X MP,n se obtiene la matriz Ap. Trasponiendo e

invirtiendo el producto anterior se consigue :

X P-' X NP,n = MP,n X Sp n X NP,n =

(j - 1)!(rj,i(n)(

(i - 1)!

La expresión precedente, permite obtener la matriz A,' por recurrencia, a partir

de la matriz Sp,n, tal y como se indicaba en la introducción al capítulo . Basándonos en

esta recurrencia, se podrían calcular, directamente, relaciones recurrentes análogas,

para los elementos di,, de la matriz AP t, en efecto :

Como

despejando di , ; según los casos y sutituyendo en la relación propuesta en (proposición

n°3.5), tenemos

dl , l = 1

dlj

=

0

con j = 2, . . ., p

di, l

dij

=

0

con i = 2, --- 'P

j-1 1=

j - 1 di-1j-1 - di-1,9Hn-i+2 con 2<i, j<p

0'Po[0] . . . (p - 1)!PP-1[0]

0!Po[0, -Hl] . . . (p - 1)!PP--1 [0 _Hl]

0!Po[0,-Hl , . . ., -HP-1] . . . (p - 1 )!PP-1 [0, -Hl , . . ., -HP-1]



74

3.3.2

Cálculo recurrente de Bpt .

Lema 3.2 Sea hn+1 = tn+1 - t* .Las diferencias divididas de una función g satisfacen

la siguiente propiedad

D/ .

La demostración es realmente sencilla, si reemplazamos los desarrollos en t* de

9(tn+1), . . ., 9(tn-i+l) en una adecuada expresión de diferencias finitas .

Si H = max { ihn+1l , IHn1 , . . ., IHn-( i-1) I }, como las gij (n) tienen orden j - i en H

el (lema n°3.2), nos permite escribir :

P-1

con i = 1, . . .,p.

Considerando t* = to y expresando matricialmente estas igualdades, tenemos

9[tn+17 tn, . . ., tn-(i_1)] =

9[tn+1, tn, . . ., tn-(i_1)J

=

9[tn+1, tn, . . ., tn-( i_ 1) ] =

j=o

0 [tn+l - t* , . . ., tn-(i-1) - t* ] gj) (t*)

-ji

gi+l,j+1(n) 1~ 9' ) (t* )=o

j .

=ogi+l,j+1(n) 119') (t*) + O(HP- ('-'))

j .

=oqi+l,j+l (n) 19

(t )

9[t',1] ql,l (n) q1,P+1(n) ) ( 9(tn) ) ( O(HP+1 ) )

9[tn+1, tn] g2,1(n) g2,P+1(n)s(tn )

1! O(HP)

g[tn+1 . . ., tn-(P_1)] gP+1,1(n) . . . gP+1,P+1(n) ) ~Z)-P! n)

) ~O(H)



75

y como qi+1,j+1 (n) = hi+l,j_i en los argumentos h,,+1, H,,, . . ., H,,-(i-1), podemos escri-

con i, j >__ 2 .

D/.

Análoga a la proposición n° 3.5,189]

Si consideramos t* = t,z, entonces :

07 i,? (n) = Ui-l,j-1(n) - Hn_7+3Ui,j-1(n)

La siguiente proposición nos permite el cálculo recurrente de la matriz Sp,n,+1 .Proposición 3 .6

1 -h,z+1

0

0

0

0

El siguiente teorema nos permite obtener de forma recurrente la matriz Bpt defi-

nida en el capítulo dos.

0 1 -~ 072,3(n) -3 072,4(n) -~ U2,5(n) . . . -~ U2,p+1 n

0 0 1 U3,4(n) --~ U3 ,5 n . . . -~ U3,p+1(n)

0 0 0 1 `~ U4,5 (n) . . . -~ U4,p+1(n)

0 0 0 0 1

bir

( g[tn+1] ( 1 hll . . . hl,p+l ) ( 9(t.) ) O(HP+l )

g [tn+1, tn] 0 1 . . . h2p+1 11 O(HP)

g[t.,i+1, . . ., tn_(p-1)1 J 0 0 . . . 1) ~

!PP(-!,)

) ~ 0 H



76

Teorema 3.2

donde

B-t

p,n+l =

Np,n+l :":--

Stp,n+l X Sp,n+l X Np,n+l

o!

o!

p!

D/ .

Como tn = t* y qi+1,?+1(n) = t' [hn+D 0, -H1l . . ., -Hi_1] = j!PJ [hn+l ~ 0, -H1, . . ., -HZ_1],

resulta

0!Po[hn+1]

. . . p!Pp_1[hn+1]

0!Po[hn+1, 0]

. . .

p!Pp_ 1 [hn+1, 0]

0!Po[hn+1, 0, . . ., -HP-,]

. . .

p!Pp-1 [hn+17 0, . . ., -Hp_1] )efectuando el producto Np,n+1 X Pp,n+1 X Mp,n+1 resulta la matriz Bp . Trasponiendo

e invirtiendo el producto anterior obtenemos

BP-t = Mp,n+l X Ppnt+l X Np,n+l = Mp,n+l X Sp,n+l XNp,n+l =

1)!tr)

n((j -

a,i(

)(i _ 1)1



77

La expresión anterior, permite obtener la matriz BP t por recurrencia, a partir de

la matriz SP,n+I, tal y como se indicaba en la introducción al capítulo . Basándonos en

esta recurrencia, se podrían obtener, directamente, relaciones recurrentes análogas,

para los elementos dij de la matriz BP t, en efecto :

Como

despejando di,j según los casos y sutituyendo en la relación propuesta en (proposición

n°3 .6), tenemos

di, 1

di,,

dl,j

=

0

con j = 2, . . ., p + 1

d2,1 = -hn+l

= 0 coni=3, . ..,p+1

-1

1dij

=

j

di-hj-1 -di-1,jHn-i+3

con

2 < i, j < p+ 1i-1 i-1

3.4 Redefinición de los métodos: E.I.pE, E.I .pI y

E.I.pPC

3.4.1

Método E.I.pE

En el capítulo dos, se definió el método ETpE, de paso variable, mediante la expresión:

X.+1 = JG-o(hn+1)Xn + sL 9j(hn+1)pjj=1

siendo pj con j = 1, . . .,p la j-ésima columna de la matriz Zt . Es decir:



78

Basándonos en la relación :

se obtiene:

Pj =

Pj -

P92[tn. . . . . tn_(i_1)]dij(2 - 1)!

i=1

PE 9n[tni . . .,tn-(i-1)]dij (i - 1)!i=1

Apt

loj,i (n)(i _ 1)t

P91[tn) . . ., tn_(i_1)](.% - 1)lorj,i(n)

Z-lP

92[tni . . ., tn_(i_1)jJ(3 - 1)!ój,i(n)i=1

~, gm[t.n, . ..,tn_(i_1)](.Í - 1)!uj,i(n)

grn[tn7 . . .,tn_(i_1)] Or i,i(n)i=1

i=1Definición 3.6 Introducimos la siguiente notación:

"xnes la aproximación al valor de la solución en tn.

P*Ai =E (.Í - 1)!orj,?(n)9j(hn+1)

j=1

91[tno -,tn_(i_1)]dij(i - 1)!i=1

eFtn,i = ( 91[tn, . . ., tn_(i_1) ], --- , grn[tn, . . .,t.-(i-1)J

*Inicializacíón para x: xo, x1, x2, x3, . . . ,xP-1 .

Podemos proponer una nueva definición del método E.I.pE.

P~, 91[tn~ . ., tn_(i_1)]0-j,i(n)i=1P

92[tn; . . ., tn-(i-1)1 gj,i(n)i=1

Definición 3.7 El método explícito de p pasos E.LpE, para sistemas lineales pertur-

bados se formula,mediante la ecuación:

xn+1 - !go (hn+l)xn + E

AiFn,i

con

n>p - 1i=1



Métodos E.I.pE, de orden bajo.

" Orden 1 :

Xn+l = !go(hn+1)Xn + E

" Orden 2 :

3.4.2

Método E.I.pI

( gl (tn)

)

( 91 [tn y tn-11

))

!gl (hn+l )

Xn+1

=

go (hn+l)Xn + ~

+92 (hn+1)

+ 2!93(hn+l)

gm(W )

~ 9m [tn, tn-11

( 91(tn) )

91(hn+1)

9m (tn) l

91 Ltn, t,z-11 + hngl [tn7 tn-17 tn-21

gm ltn 7 tn-17 tn-21 )

En el capitulo dos, se definió el método E.I.pI, mediante la expresión :

P+1

Xn+1 = ggo(hn+l)Xn + E

!gj(hn+1)Pi

gm [t, tn-1l + hngm [tn, tn-l, tn-21

(

91 [tn i tn-1 7 tn-21

)1



80

siendo pj con j = 1, . . ., p + 1 la j-ésima columna de la matriz Zt = DP,n+1 x BPt-

Como

se tiene:

pj

pj =

dando lugar a una nueva definición del método E.I.pI.

Definición 3.8 Introducimos la siguiente notación:

"xn es la aproximación al valor de la solución en tn.P+1

"Pi =E (.% - 1)!uj,i(n)gj (hn+l)j=1

P+1g1 [tn+l, - . ., t.+,-(i-1) ]dij (2 - 1)!

i=1P+1

g2 [tn+l - . .,tn+l-(i-1)]dij (2 - 1) 1i=1

P~ gl ~tn+1 ~ - . ., try+1 -(i-1)J l.Í - 1 ) !~j,i ln)i=1P+1

g2 [tn+1 ~ - . ., tn+l-(i-1) ]

1) !o-j,i (n)i=1

P+1~, gm[tn+1i . ..,tn+l-(i-1) ]1)!oj,i(n)i=1

P+1

1gl [tn+1 i . . ., tn+1- (i-1)1Uj,i(n)i=1P+1

g2[tn+1i . . ., t.+, -(i-1)jo-j,i (n)i=l

P+1grra~tn+1~ - . ., tn-i-l_(i_1)s~j,iln)

i=1



Orn,i

91 [tn+17 . . .~

*Inicialización para x: xo , Xl, x2, X3, . . . ,xp-1 .

Definición 3.9 Se define el método implícito de p pasos E.LpI, para sistemas lineales

perturbados mediante la ecuación :

Métodos E.I.pl, de orden bajo .

" Orden 1 :

Xn+1 = ggo(hn+l)Xn + ~

Xn+1

=

go(hn+1)Xn +6

" Orden 2 :

+92(hn+l)

xn+1

=

go(h,,+,)x,, + e

+92(hn+l)

91(hn+l)

PiTn,i

con

n >p - 1

gl (tn+1) - hn+l9l [tn+1 ~ tn1

)

gm,(tn+l) - h,,+,g, [tn+1) tnI

( 91 [tn+1, t.]

))

gm [tn+l, tnI )

(91(tn+l)-hn+lgl [tn+1, tnl

)

91(hn+l)

gm(tn+1) - hn+lgm [tn+1> tn ]

(

91 [tn+1 ~ tn ] - hn+191 [tn+1, tn 9 tn-11

)

gm [tn+lI tn] - hn+lgm [tn+l, tn) tn-11

8 1



82

+ 293(hn+1)

3 .4 .3

Método E.1.pPC

91 [tn+1, tn, tn-1 ]

.qm ~tn-}-1~ tn~ tn-1~

Definición 3.10 Definimos el nuevo método predictor-corrector de p pasos E.LpPC

para sistemas lineales perturbados como el que tiene como predictor a E.LpE (defini-

ción n°3.7)y como corrector a E.LpI(definición n°3.9) .

3.5

Códigos para los métodos : E.1.pE y E.1.pPC

3.5 .1

Código para E.1.pE

Las variables de entrada son:

Número de ecuaciones del sistema: q

Número de pasos del método: p

Número de iteraciones: n

Tamaño de paso: h

Matriz del sistema: A

Ecuaciones del sistema: sys

Condiciones iniciales: init

Componentes de la función de perturbación: Lk con k: 1, . . .

q

Para el cálculo de las 9-funciones de Scheifele se utilizan los algoritmos descritos

en el capítulo 1, cuyos códigos figuran en los anexos .



83

Se implementa la matriz recurrente Apt, mediante las fórmulas descritas en la

sección : "Cálculo recurrente de las matrices Apt y Bpt." , de este capítulo .

Como inicializador del código, se ha utilizado el LSODE[adarnsfunc] de Maple V.

Se obtiene la tabla de diferencias divididas, en los i primeros puntos con i =

0, . . .,p-1 .

Por (definición n° 3.7), calculamos la aproximación xp, que permite escribir la

siguiente linea de la tabla de diferencias divididas y obtener la aproximación xp+1 .

Ver Anexo V .

3.5.2

Código para E.I.pPC

Las variables de entrada son :

Número de ecuaciones del sistema : q

Número de pasos del método : p

Número de iteraciones : n

Tamaño de paso: h

Matriz del sistema : A

Ecuaciones del sistema : sys

Condiciones iniciales : init

Componentes de la función de perturbación : £k con k: 1, . . . q

Para el cálculo de las 9r-funciones de Scheifele se utilizan los algoritmos descritos

en el capítulo 1, cuyos códigos figuran en los anexos .

Se implementan las matrices recurrentes Apt y Bpt, mediante las fórmulas descri-



84

tas en la sección: "Cálculo recurrente de las matrices Ap t y Bpt ." , de este capítulo .

Como inicializador del código, se ha utilizado el LSODE[adamsfunc] de Maple V.

Se obtiene la tabla de diferencias divididas, en los i primeros puntos con i =

0, . . .,p - 1 .

Por (definición n° 3.7), calculamos la aproximación xp, que permite escribir la

siguiente línea de la tabla de diferencias divididas y obtener la aproximación xp+1 .

Tomando la fila p de la tabla de diferencias divididas, por (definición n° 3.9),

calculamos una corrección .

Ver Anexo VI.

3.6

Ejemplos numéricos

3.6 .1

Problemas stiff

Los -modelos matemáticos de los fenómenos físicos dan lugar muchas veces a sistemas

de ecuaciones diferenciales ordinarias y P.V.I . Los PVI stiff aparecen por primera vez

en el estudio de resortes elásticos de rigidez variable, de ahí su nombre, [43] . Los

métodos de diferencias finitas son excelentes para el tratamiento numérico de dichos

problemas desde que fue posible su implementación a un ordenador. El desarrollo

de los algoritmos se ha fundamentado en gran parte tanto en los teoremas sobre

convergencia y estabilidad de Dahlquist [9],[10],[11],[12], como en los tratados de

Henrici [44] , Stetter [80] y los trabajos de Gear [40] y Lambert [50] . Muchos de estos

P.V.I ., presentan dificultades de integración por los métodos numéricos tradicionales.



Lambert [50] propone los dos problemas siguientes :

Problema n°1

Problema n°2

xl )

( -2

1

)

( x l )

( 2sin(t)

I

~ 1 -2 / ~ x2/

(2l

( xl )

( -2

1

) ( xl )

x2 l

998 -999 l

x2 rx1 (0)

2

(x2(0)

(3)

ambos tienen la misma solución exacta:

12 sin(t)

( xl

(1

(sin(t)

) = 2e-t

) .+

)

2(cos(t) - sin(t))

999(cos(t) - sin(t))

85

t x21

~ 1)

t cos(t )

Para integrar los dos problemas anteriores en el intervalo [0,10], aplica el código

RKF45 al problema n°l, con TOL = 0 .01 y ho = 0 .1 necesitando un número N = 60

evaluaciones para la integración completa en este intervalo . Aplicando el mismo

código con los mismos valores de TOL y ho se requieren N = 3373 evaluaciones para

completar la solución . Sin embargo cuando les aplica el método 2-step Gauss, (que

tiene orden cuatro como el RKF45, pero es implícito), necesita N = 29 y N = 24

evaluaciones, para el problema n°1 y el problema n°2, respectivamente . Se tiene dos

problemas similares que se comportan de manera muy diferente cuando se intentan

resolver numéricamente .



86

El fenómeno aquí mostrado se conoce como stiffness (rigidez) ; el problema n°2 es

stiff, el problema n°1 no lo es . Ver Lambert [50] .

El fenómeno no puede depender de la solución exacta, ya que es la misma para

ambos problemas, y debe ser una característica del sistema diferencial en sí mismo,

por tanto es más apropiado hablar de sistemas stiff antes que de problemas stiff. Esto

induce a considerar no las soluciones particulares de los problemas n°1 y n°2 que

satisfacen las condiciones iniciales dadas, sino las soluciones generales del sistema, en

las que se requiere calcular los autovalores de la matriz de coeficientes . En el problema

n°1, los autovalores son -1 y -3; en el problema n°2 son -1 y -1000. Aunque dar

una definición rigurosa de stiffness, es difícil, Lambert en 1973, propuso la siguiente

definición" .

Sea un sistema lineal no homogéneo de coeficientes constantes

donde x, g ER' y A es una matriz constante de orden m con autovalores Ai E (C que

se consideran distintos, con i = 1, . . ., m y autovectores correspondientes ci E (Cm . La

solución general viene dada en la forma

x(t) _

Kietazci + xp(t)im .

donde Ki es una constante arbitraria y xp (t) es una solución particular del sistema

anterior .

x = Ax + g(t)

Supongamos que Re(Ai)

< 0 con i = 1, . . ., m.

Sean X, A E {Ai, i = 1, . . ., m}

definidas del modo siguiente

IReNI >_ JReAi j > IReál



con i = 1, . . ., m. Consideramos la ratio stiffness como la razón ¡R" ¡, que proporciona

una medida de la rigidez del sistema.

En estos términos un sistema lineal de coeficientes constantes es stiff si todos sus

autovalores tienen parte real negativa y la ratio stiffness es grande .

Sin embargo esta "definición" no es enteramente satisfactoria, pues se encuentran

ejemplos que la cumplen y no son estrictamente stiff. [50] .

Quizá la mejor "definición" sea la que interpreta lo que ocurre en la práctica : "Si

un método numérico con una región finita de estabilidad absoluta, aplicado a un sis-

tema con cualesquiera condiciones iniciales, se ve forzado a usar en un cierto intervalo

de integración, un tamaño de paso que es excesivamente pequeño con respecto a la

suavidad de la solución exacta, en ese intervalo, entonces el sistema se dice stiff en

ese intervalo." [50]

3.6.2

Ejemplo 1

En este ejemplo numérico, vamos a comparar las aproximaciones obtenidas mediante

el método E.I.pPC, aplicado al problema n°1 de Lambert, del que sabemos que es no

stiff [50], con las obtenidas por el LSODE.

2 sin (t)

2(cos(t) - sin(t))

87

( X" ) ( -2 1 ) ( xi-F-

2 ) \1 -2 J \ x2 J



88

con solución exacta :

- 2e-t-I-x2 j

1

cos(t)

y autovalores A = -3 y A = -l .

Para un método explícito de p = 7 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de paso h =

0 .01), obtenemos la gráfica, (Figura n° 3.3) del logaritmo decimal del módulo del error

relativo del método ETpE (gráfica azul), contrastada con la del logaritmo decimal

del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10-"(gráfica

roja) .

Para un método predictor-corrector de p = 7 pasos y 1000 iteraciones (tamaño

de paso h = 0.01), obtenemos la gráfica, (Figura n° 3.4) del logaritmo decimal del

módulo del error relativo del método E.I.pPC (gráfica azul), contrastada con la del

logaritmo decimal del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, con

tol = 10-15 (gráfica roja) .

Vamos ahora a comparar las aproximaciones obtenidas mediante el método E.I.pPC,

aplicado al problema stiff n°2 de Lambert [50] con las obtenidas mediante el código

LSODE, Hindmarsh 1980 [1], de paso y orden variable que incorpora Adams Moulton

de orden p : 1 <_ p < 12 para la fase no stiff y BDF de orden 1 < p <_ 5 para la

fase stiff. Este método combina las capacidades de los códigos Gear y GearB, para

resolver problemas stiff. Ola Fatunla, S [64] .

XI

~ 999(cos(t) - sin(t))

-2 1) (

xl)

998 -999 ) ~ x2 j



89

con solución exacta ; idéntica a la del problema n° 1 anterior, y valores propios A =

-1000yA=-1 .

Para un método explícito de p = 7 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de paso h =

0.01), obtenemos la gráfica, (Figura n° 3.5) del logaritmo decimal del módulo del error

relativo del método E.I.pE (gráfica azul), contrastada con la del logaritmo decimal

del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10-15(gráfica

roja) .


de paso h = 0 .01), obtenemos la gráfica, (Figuran' 3.6) del logaritmo decimal del



tol = 10 -15 (gráfica roja) .

Si compararnos los resultados obtenidos en el problema n° 1 y el n° 2, de este

ejemplo, se observa que un método numérico potente, como es el LSODE, no presenta

mayor dificultad en la integración del problema n° 1, pero es de resaltar la diferencia

de coste computacional, ver figuras 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, cuando se trata de un problema

stiff, como es el n° 2.

Para un método predictor-corrector de p = 7 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de

paso h = 0 .01), obtenemos la gráfica (Figura n° 3.7) del logaritmo decimal del módulo

del error relativo del método E.I.pE (gráfica azul), contrastada con la del logaritmo



90

decimal del módulo del error relativo de los siguientes códigos:

- MGEAR[msteppart], Maple V, con errorper = Float(l, -13) (gráfica ver-

de) .

- LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10-15 (gráfica roja) .

- GEAR, Maple V, con errorper = Float(1, -12) (gráfica negra) .

Las gráficas de tiempo de acceso a la CPU, medido en seg., para el método E.I.pE

de tres, cinco, siete y diez pasos, contrastadas con los tiempos de acceso a la CPU del

LSODE[backfunc], MGEAR[msteppart], GEAR, están representadas en la (Figura n°

3.8) .

Las gráficas de tiempo de acceso a la CPU, medido en seg., para el método E.I .pPC

de tres, cinco, siete y diez pasos, contrastadas con los tiempos de acceso a la CPU del

LSODE[backfunc], MGEAR[msteppart], GEAR, están representadas en la siguiente

(Figura n° 3.9) .

3.6 .3

Ejemplo 2

Consideremos el problema siguiente, propuesto, en [57], donde la matriz de coeficientes

del sistema, tiene autovalores con parte real negativa .

xl 0 2 -1 x1 0 1

x3 = -2 -4 2 x2 + 2e(x3 - x2)2 1

\ x3 /-2 -3 1

~x3i \ 1 J



con las condiciones iniciales

x1(0) 1 1

x2 (0)

=

1

+E

-2

x3(0) )

~ 2 )

~ -2 )

solución exacta

~ xl (t) 1

( 1 + sin(t)

I

( 1

91

x2(t)

= e-t

cost) - sin(t)

+se-2t

-2

x3(t)

1 -F- cos(t) - sin(t)

-2

y autovalores A = -1, A = -1 --{- i, A = -1 - i.

Para un método explicito de p = 8 pasos y 500 iteraciones (tamaño de paso h =

0 .1), obtenemos la gráfica, (Figura n° 3.10) del logaritmo decimal del módulo del error

relativo del método E.I.pE (gráfica azul), contrastada con la del logaritmo decimal

del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10-i5 (gráfica

roja), y 5 = 10-3 .


de paso h = 0 .1), obtenemos la gráfica, (Figuran' 3.11) del logaritmo decimal del



tol = 10-15 (gráfica roja), y s = 10-3 .


de paso h = 0.01), obtenemos la gráfica (Figura n° 3.12) del logaritmo decimal del


logaritmo decimal del módulo del error relativo de los siguientes códigos :



92

de).

3 .6 .4

Ejemplo 3

Consideramos el sistema, propuesto en [57], con autovalores imaginarios puros, si-

guíente:


~ x1(0) )

( 1 )

- MGEAR[msteppart], Maple V, con errorper = Float(1, -15) (gráfica ver-



+e

(xí) (-1 1 1 0 ) ( xl )

x2 -1 1 1 1 x2+e

0

x2 -1 0 0 -1 x3 -8 sin(3t)

x4 4 -4 0 0 x4 -5e-t

solución exacta

x3(o) 0

x4(0) 2

4

X, (t) Cos(t) sin(3t)

x2 (t) cos(t) + sin(2t) sin(3t) - e-t+6

x3 (t) - sin(t) - sin(2t) 3 cos(3t) + e-t

x4 (t) 2 cos(2t) e_t



y autovalores: A = á, A = -i, A = 2i, A = -2i.

93

Para un método explícito de p = 8 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de paso

h = 0 .1), obtenemos la gráfica, (Figura n° 3.13) del logaritmo decimal del módulo

del error relativo del método E.I.pE (gráfica azul), contrastada con la del logaritmo

decimal del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10-10

(gráfica roja), y E = 10-3 .


de paso h = 0 .1), obtenemos la gráfica, (Figura n° 3.14) del logaritmo decimal del

módulo del error relativo del método E.1.pPC (gráfica azul), contrastada con la del


tol = 10-10 (gráfica roja), y s = 10-3 .


de paso h = 0.01), obtenemos la gráfica (Figuran' 3.15) del logaritmo decimal del


logaritmo decimal del módulo del error relativo de los siguientes códigos:

de) .


- LSODE[backfunc], MapleV, con tol = 10-20 (gráfica roja).




94

3 .6.5

Ejemplo 4

Veamos un caso inestable de autovalores con parte real positiva.

y solución exacta

xi

(1 0

) (xl

(0

) _

) " x1 )

x2)

~°11~x2)

~1J


2)

2e(1 _ e-2')

Para un método explícito de p = 8 pasos y 1000 iteraciones (tamaño de paso

h = 0 .1), obtenemos la gráfica, (Figuran' 16) del logaritmo decimal del módulo

del error relativo del método ELPE (gráfica azul), contrastada con la del logaritmo

decimal del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, (gráfica roja) .

Con tol = 10-12 y e = 10-3 .


de paso h = 0 .1), obtenemos la gráfica, (Figura n° 3.17) del logaritmo decimal del

módulo del error relativo del método E.1.pPC (gráfica azul), contrastada con la del lo

garitmo decimal del módulo del error relativo del LSODE[backfunc], MapleV, (gráfica

roja) .Con tol = 10-12 y e = 10-3 .


de paso h = 0.01), obtenemos la gráfica (Figura n° 3.18) del logaritmo decimal del



95


logaritmo decimal del módulo del error relativo de los siguientes códigos:


de) .



3.6 .6

Ejemplo 5

Para, aproximar la solución de un PVI de segundo orden como:

x" = f(t, x, x') con x(to) = xo y x'(to ) = xo

se reduce la ecuación diferencial a un sistema de dos ecuaciones de primer orden.

Para ello bastará sustituir x' = v transformándose el PVI anterior en:

x = v

v'

=

f(t, x, v)

X(to)

=

xo y v(to) = xo

Si empleamos un procedimiento como el que acabamos de describir, con frecuencia

podemos reducir un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior a uno de

ecuaciones de primer orden, despejando primero la derivada de orden máximo de cada

variable dependiente y luego haciendo las sustituciones adecuadas para las derivadas

de orden menor. (94] .

Consideremos el PVI:



Si definimos xí = v y x2 = w, las ecuaciones anteriores se transforman en:

de) .

x" + 2x"

=

x' - 5x1

2

1

1 --f- e

11

x2=

2x1 - 2x2 + 3t2

x1 (0)

=

1, x1(0) = 0

x2 (0)

=

0, x2(0) = 0

x1 = v

x2 = w

v,

_

-9x1 -I- 4x2 + v -i- e t - 6t2

w,

=

2x1 - 2x2 +3t2

x1 (0)

=

1, x2(0) = 0, v(0) = 0, w(0) = 0

y autovalores A = 0 .444315 ± 3 .113271 A = 0.0556848 ± 1.0041.


de paso h = 0 .01), obtenemos la gráfica (Figura n° 3.19) del logaritmo decimal del



- MGEAR[msteppart], Maple V, con errorper = Float(l, -15) (gráfica ver-





3 .6 .7

Ejemplo 6

Consideremos el problema, altamente oscilatorio, propuesto por G. Denk [14] .

solución exacta

de) .

xi 0 1 xl

x2

-;,r2 0

x2

con ~ = 314.16, t, E [0, 1] y condiciones iniciales

XI(O) )

( 10-s

+ -;f2

Cos xx2(0) ~

~1 _ 10_sx

sin

t + 10-5 (cos(x t) -cos rc

sin( .;-, t))sin x

1 - 10-5 x (sin(

t) +cosx

cos( ;,,- t))sin x

.Y autova.loros : .\ = x i = 314.161y \ _ -x i = -314.161 .

Para, un método predictor-corrector de p = 9 pasos .y 100 iteraciones (tamaño

de paso h, = 0.01), obtenemos la gráfica (Figura n° 3.20) del logaritmo decimal del

módulo del error relativo del método E.LpPC (gráfica azul), contrastada con la. del


- MGEAR[msteppa.rt], Maple V, con errorper = Float,(1, -20) (gráfica. ver-

- LSODE[backfunc], MapleV, con tol, = 10-2°(gráfica. roja).

- GEAR., Maple V; con errorper = Float(l ; -16) (gráfica negra) .

97



98

3.7

Figuras capítulo 3

3.7 .1

Ejemplo 1

log (error)

-13-

-14-

Figura n° 3.3 .

Método explícito de 7 pasos, tamaño de paso 0 .01

LSODE[backfunc] con tolerancia 10-1*5

Tiempos de CPU.

LSODE

Método adaptado

LSODE

=

74.32 seg

10étodo adaptado =

262.60 seg



log(error)-101-

-200

LSODE

Método adaptado

Figura, n° 3.4 .

Método PC de 7 pasos, tamaño de paso 0.01


Tiempos de CPU .LSODE

=

74.32 seg

Método adaptado =

590.14 seg



loáerror)

-10+

-13-

Figura no 3.5 .

Método explícito de 7 pasos, tamaño de paso 0.01


Tiempos de CPU.LSODE

=

574.27 seg

Método adaptado =

272.17 seg

LSODE

Método'adaptado

t



log(error)

-10+

-12J

-14-

-18-

A)nI

Figura, n° 3 .6 .

Método PC de 7 pasos., tamaño de paso 0.01


Tiempos de CPU.

=

574.27 seg.

Método adaptado =

580.65 seg

~--j

Método

adaptado



log (error)

-10-

-12-

-14-

MGEAR

GEAR

-18Método adaptado

~ i .TiT.2 4

Figura n° 3.7 .

Método PC de 7 pasos, tamaño de paso 0.01

MGEAR[msteppart] con errorper Float(1,-13)


GEAR con errorper Float(1,-12)

Tiempos de CPU.

LSODE

=

574.27 seg

MGEAR = 13.44 seg

GEAR= =

1830.45 seg

Método adaptado

=

580.65 sc .g

LSODE



log(error)

-110

LSODE

Método

MGEAR GEARdiez pasos

Método de tres pasos

100

Método Ncinco pasó

Figura n° 3 .8 .

Gráficas de tiempo de acceso a la CPU, del método

E.1 .pE, contrastadas con los métodos LSODE,

MGEAR y GEAR.

~-~- Método de siete paso :150 200

Tiempos de la CPUseg.



log(error)

S

Métodode diezpasos

LSODE

GEAR

Método détres pasos

MGEAR

Método de cinco pasos

Método de siete pasos50

100

150

200

Figura n° 3.9 .

Gráficas de tiempo de acceso a la CPU, del método

E.I.,PC, contrastadas con los métodos LSODE,

MGEAR v GEAR.

Tiempos de la CPU sag



3 .7.2

Ejemplo 2

log(error)

Figura no 3.10 .

LSODE[backfunc] con tolerancia 10-15 .

Tiempos de CPU.

=75.76 seg.

Método adaptado =167.67

seg

LSODE

-10

Métodov

-12

adaptado

nn

-,~-:--r.-;-50

t

Método explícito de 8 pasos, tamaño de paso 0.1 y E igual a 10-3



log(error)

-2~

LSODE

10

20

30

1,

.d

j 1 ò

1.

50

Figura n 3.11 .

LSODE[backfunc] con tolerancia 10-15 .

Tiempos de CPU .

(V

~fi

Método PC de 8 pasos, tamaño de paso 0.1 y E igual a 10-3

LSODE

=75.76 seg

Método adaptado =392.60 seg

Método

adaptado



log (error)

5-

0

-104-

-15-P

tJ20

111 el w 1 F'"° %J

"B0

So

100

MGEAR

LSODE

Figura n° 3.12 .


MGEAR con errorper Float(1,-15)



Tiempos de CPU.

Mótodo adaptado =

768.24 seg

GEAR

j, - lOWMétodo adaptado

LSODE = 153 .61 seg

MGEAR = 60.27 seg

GEAR. = 42 .2 seg



108

3.7.3

Ejemplo 3

log(error)

Método

adaptado

SADE

20 40 00 so 100

Figura ñ 3 .13 .

Método explícito de 8 pasos, tamaño de paso 0.1 y e igual a 10-3

LSODE[backfunc] cors tolerancia 10-10

Tiempos de CPU.

=316.99 seg.

N1ót.odo adaptado =-150.21

Seg



lo4error)

u~h

IN

A

Método adaptad

Tiempos de CPU.

=316.99 seg.

Método adaptado =1010.63

seg

M

LSODE

I w

Figura n° 3.14

Método PC de 8 pasos, tamarlo de paso 0.1 y s igual a 10-3


~a~n 20 ao '5o so 1a0



log (error)

_1gi

.r

1

-17 r

-19;

MGEAR

Figura n° 3 .15

Método PC de 10 pasos, tamaño de paso 0.01 y s igual a 10-3




LSODE = 982 .65 seg

Tiempos de CPU.

= 307.11 seg.

GEAR. = 90.82 seg

Método adaptado = 1129 .69 seg

LSODE

t



3.7.4

Ejemplo 4

log(error)

0 20

Tiempos de CPU.

Figura n 3.16

Método explícito de 8 pasos, tamaño de paso 0 .1 y s igual a 10- '3


LSODE = 355.34 seg

Método adaptado = 416.85 seg

100

-s .!5+

r

LSODE

-10

Método

adaptado-11

-12~ 1



log(error)

Método

adaptado

iT-h-I--+-I M I ~TI I I 1 I IT w M

t0 20 40 60 80 100

Figura n° 3 .17



Tiempos de CPU.LSODE = 355 .34 seg




log (error)

-144-

-164-

-184-

-20-

N


LSODE

LSODE = 574.27 seg

Tiempos de CPU.

= 263.58 seg.

GEAR . = 102.53 seg

GEAR

Método adaptado1TlTlTlTITiTi l N i

t15

:3

10

Figura n° 3 .18







114

3 .? .5

Ejemplo 5

log(error)

-141

-18-

-20-

Figura n 3.19

GEAR

0 .2 0 .4 0 .15 0 .8 1 1 .2 1 .4 1 .0 1 .8

Método PC de 8 pasos, tamaño de paso 0.01 .



GEAR con errorper Float(l,-14)

LSODE = 544.27 seg

Tiempos de CPU.

= 55.60 seg.

GEAR = 423.36 seg

Método adaptado = 221 .234 seg

MGEAR

Método adaptado

v,



3.7.6

Ejemplo 6

log (error)

;VV"A- 1 ~ h Jk~L',':'~5SA~,r5 , ~

ét~daptado

.2 0 .4 0.15o.8

Figura n° 3.20

Método PC de 9 pasos, tamaño de paso 0.01 .

MGEAR con errorper Float(1,20)



Tiempos de CPU.

LSODE =

8848.92 seg

MGEAR. =

3534.13 seg

GEAR . =

196.60 seg

Método adaptado =

73.14 seg

¡S' ]SitiiV.ALSODE

MGEAR

GEAR



Anexo I

> w0:=proc(kmax)

> local Y,i,k,gO,C,sigma ;

> with(linalg) :

> Digits:= :

> Y:=array(O..kmax,0..kmax) ;

> sigma:=proc(indice,matriz)

> local f,c,resultado ;

> f:=rowdim(matriz) ;

> c:=coldim(matriz) ;

> result ado:=(array(l.S,L .c,identity) +matriz/indice)^indice ;

> RETURN(resultado) ;

> end;

> for i from 0 to kmax do Y[i,0] :=sigma(2 - i,H) od;

> for k from 1 to kmax do

> for i from 0 to kmax-k do

> Y[i,k] :=Y[i+l,k-1]+1/(2-k-1)*(Y[i+l,k-1]-Y[i,k-1]) ;

117



> od;

> od;

>Y[O,kmax] ;

> C:= evalf(evalm(Y[O,km

> RETURN(C) ;

> end:



Anexo II

> w1:=proc(kmax)

> local Y,i,k,gl,C,sigmal ;

> with(linalg) :

> Digits:=:

> Y:=array(O..kmax,0 . .kmax) :

> signal :=proc(n,matriz)

> local resultado:

> resultado: =sum('(product((n-p),p=0 . .(j-1))/(j!*n^j))*matriz-(j-1)' ,'j

> RETURN(resultado):

> end:

> for i from 0 to kmax do Y[i,0] :=sigmal(2 -i,H) od:



> Y[i,k] :=Y[i+1,k-1]-I--1/(2-(k-1))*(Y[i+l,k-1]-Y[i,k-1]) :

> od

> od:



> Y[o,kmax] :

> C:= evalf(evalm(Y[O,kmax ])) :

> RETURN(t*C) :

> end:



Anexo III

> w2:=proc(kmax)

> local Y,i,k,g2,C,sigma2 ;

> with(linalg) :

> Digits:= :

> Y:=array(O. .kmax,0 . .kmax) :

> sigma2 :=proc(n,matriz)

> local resultado:

> resultado:=sum('(product((n-p),p=0 . .(j-1))/(j!*n^j))*matriz^(j-2)','j=2 ..n') :

> RETURN (resultado) :

> end:

> for i from 0 to kmax do Y[i,0] :=sigma2(2 -i,H) od:



> Y[i,k] :=Y[i-I-l,k-1]+1/(2^(k-1))*(Y[i+l,k-1]-Y[i,k-1]) :

> od

> od:



> Y[O,kmax] :

> C:= evalf(evalm(Y[O,kmax])) :

> RETURN(t^2*C) :

> end:



Anexo IV

> w3:=proc(kmax)

> local Y,i,k,g3,C,sigma3 ;

> with(linalg) :

> Digits:=:

> Y:=array(O..kmax,0. .kmax) :

> sigma3:=proc(n,matriz)

> local resultado:

> resultado:=sum('(product((n-p),p=0..(j-1))/(j!*n^j)) *matriz -(j-3)','j=3 ..n') :

> RETURN(resultado) :

> end:

> for i from 0 to kmax do Y[i,0] :=sigma3(2 - i,H) od:



> Y[i,k] :=Y[i-I-l,k-1]+1/(2^(k-1))*(Y[i+l,k-1]-Y[i,k-1]) :

> od

> od:

123



124

> Y[O,kmax] :

> C:= evalf(evalm(Y[O,kmax])) :

> RETURN(t-3*C) :

> end:



Anexo V

> restart:

> Digits:=:

> with(linalg) :

> q:= :

> p:= :

> n:=:

> h:= :

Matriz del sistema

> A:=matrix(q,q,U) ;

> zz:=array(1 . .q,l . .1) :

Ecuaciones del sistema

> f.2:=:

> sys:=:

> init :=:

> fens :=U :



Cdlculo de las funciones 9

> P:=inverse(A) :

> J:=evalm(array(identity,l . .q,l ..q)) :

> H:=evalm(h*A) :

> w0:=proc(kmax)

> local Y,i,k,gO,C,sigma,

> Y:=array(O. .kmax,0. .kmax) ;

> sigma: =proc(indice,matriz)

> local f,c,resultado ;

> f-rowdim(matriz) ;

> c:=coldim(matriz) ;

> resultado:=(array(l. .f,L .c,identity) +matriz/indice)~indice;

> RETURN (result ado) ;

> end;



> for i from 0 to kmax-k do Y[i,k] :=Y[i+l,k-1]+1/(2-k-1)*(Y[i+l,k-1]-Y[i,k-1]) ;

> od

> od;

> Y[O,kmax];

> C:= evalf(evalm(Y[O,kmax])) ;

> RETURN(C) ;

> end:



> kmax:=15:

> g0:=wO(kmax) :

> g:=array(O. .p) :

> g[O] :=evalm(wO(kmax)) :

> for j from 1 to p do:

> g[J] :=evalm(P&*(g[j-1]-h-(j-1)/(rl)!*J)) :

> od:

Matriz recurrente.

> S:=array(l. .p,l . .p):

> S[1,1] :=1 :

>forifrom 2topdo

> S[i,l]:=0:

> od:

> for j from 2 to p do

> S[l,j] :=0:

> od:


> for i from 2 to p do

> S[i,j] :=S[i-l,j-1 ]-S[i,j-l ] *(2-j)*h :

> od:

> od:

Cálculo de AZ

> 1:=array(0. .p):



>forjfrom Itopdo

> 1[j] :=evalm(sum('S[i,j]*(i-1)!*g[i]', 'i'=1 . .j)) ;

> od:

Cdlculo de las diferencias divididas.

> x:-array(0. .n) :

> for i from O to n do

> x[i] :=array(1 . .q,L .1) ;

> od:

> t:=array(O..n) :

> for i from 0 to n do t[i] :=h*i od:

> for j from 1 to q do y.j :=array(O. .n) :

> od:

> for k from 1 to q do

> for i from 0 to (p-1) do y.k[i] :=evalf(fk(t[i],x[i])) od:

> od:

> for j from 1 to q do DIF.j :=array(O . .n,O . .(p-1)) od:


> for i from 0 to (p-1) do DIF.k[i,0] :=y.k[i] od:

> od :


> for j from 1 to (p-1) do

> for i from j to (p-1) do

> DIF.k[i,j] :=(DIF .k[i,j-1]-DIF.k[i-1,j-1])/(t[i]-t[i-j]) ;



> od:

> od:

> od:

Aplicación del método explícito.

> a:=array(l. .p) :


> a[i] :=array(1. .q,1 . .1);

> od:

> for i from (p-1) to (n-1) do



> a,[j][k,l] :=DIF.k[i,j-1] ;

> od :

> od:

> x[i+1]:=evalm(g[0]&*x[i]+sum('1[j]&*a[U]','j'=l ..p)) ;

>forkfrom Itogdo

> y.k[i+l] :=evalf(f.k(t[i+l],x[i+l])) :

> od:

> for j from 1 to q do

> DIF.j[i+1,0] :=yj[i+l] :

> od:

> for k from 1 to (p-1) do

> for u from 1 to q do



DIF.u[i-I- 1,k] :=(DIF.u[i+1,k-1]-DIF.u[i,k-1 ]) /(t[i+l]-t[i+l-k]) :

od :

od :

> od :



Anexo VI

> restan:

> Digits:=:

> with(linalg) :

> q:= :

> p:=:

> n:=:

> h:=:

Matriz del sistema.

> A:=matrix(q,q,n) ;

Ecuaciones del sistema.

> f.l:=

> L2:=

> sys:=:

> finit:

> fcns

Cálculo de las funciones g



> P:=inverse(A) :

> RETURN(resultado) ;

> end;



> for i from 0 to kmax-k do Y[i,k] :=Y[i+l,k-1]+l/(2-k-1)*(Y[i+l,k-1]-Y[i,k-1]) ;

> od

> od;

> Y[O,kmax] ;

> C:= evalf(evalm(Y[O,kmax])) ;

> RETURN(C) ;

> end:

J:=evalm(array(identity, l. .q, l . .q) )

H :=evalm(h*A) :

w0:=proc(kmax)

local Y,i,k,gO,C,sigma ;

with(linalg) :

Y: =array(O . .kmax,0. .kmax) ;

sigma:=proc(indice,matriz)

local f,c,resultado ;

f-rowdim(matriz) ;

c:=coldim(matriz) ;

result ado:=(array(1 . .f,1 . .c,identity)+matriz/indice) indice ;



> kmax:=15:

> g0:=wO(kmax) :

> g:=array(O. .p+1) :

> g[O] :=evalm(wO(kmax)) :

> for j from 1 to p-+1 do:

> g[j] :=evalm(P&*(g[j-1]-h-(j-1)/(j-1)!*J)) :

> od:

Cálculo de la matriz recurrente, explicito.

> S:=array (L . p,L .p) :

> S[1,1] :=1:

>forifrom 2topdo

> S[i,l] :=0 :

> od :


> S[l,j] :=0:

> od:



> S[i,j] :=S[i-l,j-1 ]-S[i,j-1] *(2-j)*h:

> od:

> od:

Cálenlo de la matriz recurrente, implícito .

> Q:=array(1. .p+1,L .p+1) :



> Q[l,l] :=1 :

> Q[1,2] :=-h:

> for i from 2 to p+1 do

> Q[i,l] :=0:

> od:

> for j from 3 to p+1 do

> Q[l~j] :=0:

> od:


> for i from 2 to p+1 do

> Q[i,j] :=Q[i-l,j-l]-Q[l,j-l]*(3-j)*h :

> od:

> od:

Cálculo de las Ai ,

> l:=array(0 . .p):


> 1[j] :=evalm(sum('S[i,j]*(i-1)!*g[i]', 'i'=1 . .j)) ;

> od:

Cálculo de las Fi.

> 11:=array(0..p+1) :


> 11[j] :=evalm(sum('Q[i,j]*(1-l)!*g[i]', 'i'=1 ..j)) ;

> od:



Cdlculo de las diferencias divididas.

> x:=array(O . .n) :

> forifrom 0tondo

> x[i] :=array(L .q,L .1) ;

> od:

> X:=array(O . .n) :

> for i from 0 to n do

> X[i] :=array(1..q,1 ..1) ;

> od :

> t:=array(O. .n) :

> for i from 0 to n do t[i] :=h*i od:

> for j from 1 to q do yj:=array(O..n) :

> od:


> for i from 0 to (p-1) do y.k[i] :=evalf(f.k(t[i],x[i])) od:

> od:

> for j from 1 to q do DIF.j :=array(O. .n,O . .p) od:


> for i from 0 to (p-1) do DIF.k[i,0] :=y.k[i] ód:

> od:


> for j from 1 to (p-1) do

> for i from j to (p-1) do



> DIF.k[i,j] :=(DIF.k[i,j-1]-DIF .k[i-1,j-1])/(t[i]-t[i-j]) ;

> od:

> od:

> od:

Aplicación del método predictor-corrector.

> a:=array(l. .p) :


> a[i] :=array(1 . .q,L .1) ;

> od:

> b:=array(1. .p+l) :

> for i from 1 to p+l do

> b[i]:=array(l . .q,IA);

> od:

> for i from (p-1) to (n-1) do



> a[j][k,l] :=DIF.k[i,j-1] ;

> od:

> od :

> x[i+l] :=evalm(g[o]&*x[i]+sum('1[j]&*a[j]','j'=l ..p)) ;


> y.k[i+l]:=evalf(f.k(t[i+l],x[i+l])) :

> od :



> for j from I to q do

> DIF.j[i+1,0 ] : =y.j[i+l ] :

> od:

> for k from 1 to p do

> for u from 1 to q do

> DIF.u[i+1,k] :=(DIF.u[i+1,k-1]-DIF.u[i,k-1 ]) /(t[i+l] -t[i+l-k]) :

> od:

> od:



> b[j] [k,l ] :=DIF.k[i+l,j-1 ] ;

> od;

> od;

> X[i+l] :=evalm(g[0]&*x[i]+sum('ll[j]&*b[j]','j'=l . .p+l)) ;

> x[i+l] : =evalm(X[i+l]) :

> od :



138



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