Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la...

Estabilidad en Programacion Semi-infinita lineal. Juan Parra Lopez.

Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999

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21

Estabilidad en Programación

Semi-Infinita Lineal

Memoria presentada por Juan Parra López para optar al grado

de Doctor en Ciencias Matemáticas, realizada bajo la dirección de los

doctores D. Marco Antonio López Cerdá y D. Maxim Ivanov Todorov.

Alicante, 1999

_ffi



D. MARCO AIITONIO LÓPr,Z CERDÁ Catedrático de Estadística e

Investigación Operativa de la Universidad de Alicante, y

D. MA)ilM M}{OV TODOROV, Miembro de la Academia Búlgara de

las Ciencias,

CERTIFICAN: Que la presente memoria Estabilidad en Programación

Semi-Infinita Lineal, ha sido realizada bajo su dirección, en

el Departamento de Estadística e Investigación Operativa de

la Universidad de Alicantq por D. Juan Parra Lbpez, y

constifuye su tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias

Matemáticas.

Y para que conste, en cumplimiento de la legislación ügente,

firman el presente certificado en Alicante, a treinta de

noviembre de mil novecientos noventa y ocho.

Fdo.: Ma:<im I. TodorovFdo.: Marco A. López



a Lola



Mi primer contacto con la Programación Semi-Infinita Li-

neal tuvo lugar durante unos cursos de doctorado impartidos

por los profesores Miguel Angel Goberna, Ma¡co Antonio López

y Valentín Jornet; quienes me iniciaron en el estudio de la es-

tabilidad. Este estudio se vio eruiquecido con las aportaciones

del profesor Maxim Todorov, durante su estancia en Alicante y

su correspondencia posterior. Mi agradecimiento a todos ellos.

A lo largo de estos años he encontrado en Marco una refe-

rencia corxtante en el desarrollo de mi incipiente labor inves-

tigadora, a Ia vez que el estímulo que emana de su indudable

gusto por las Matemáticas. Quiero agradecerle el interés que

ha puesto en mi formación como matemático y los esfuerzos y

el tiempo que a ella ha dedicado; así como el cariño y la con-

fianza que tanto él como su esposa, MarÍa Pilar, siempre me

han brindado.

Agradezco a los compañeros el afecto y apoyo que me han

prestado, como es el caso de Ana Meca, que siempre ha esta-

do dispuesta a echar una mano, y de Lola, que con su ayuda

ha hecho posible este momento. Este agradecimiento lo hago

extensivo a los familiares y amigos, que con su paciencia y sus

atenciones han contribuido en gran medida al desarrollo de esta

memoria.



Indice General

Introducción

0 Preliminares . 1-0

Notación y definiciones.

Herramientas basicas

Ejemplo: el dual lagrangiano como un problema semi-infinito.

1- Estabilidad del conjunto factible

1.1 Introducción

I.2 Semicontinuidad inferior de la función conjunto factible

1.3 Semicontinuidad superior de la función conjunto factible

1.3.1 Sistemas reforzados

I.3.2 Caracterizaciones de la semicontinuidad superior de la función

conjunto factible 30

Estabilidad del valor óptimo y del coqjunto de soluciones

óptimas

2.1 Introducción

2.2 Estabilidad del valor óptimo.

2.2.1 Propiedades de continuidad de la función valor óptimo

2.2.2 Bven condicionamiento en el sentido de Hadamard . .

Estabilidad del conjunto de soluciones óptimas

10

L4

15

20

20

21

25

26

47

47

49

51

56

60

65

2.3

2.4

0.1

0.2

0.3

Ejemplos



2.5 Estabilidad en el caso continuo.

3 Estrategias de resolución y buen condicionamiento

3.1 Inroducción

3.2 Estrategias de resolución . .

3.3 Admisibilidad y eficiencia

3 .4 Comple t i tud . . .

3.4.I Completitud de Sa

3.4.L Completitud de S"Bibliografía . .

73

78

( ó

80

82

85

85

871_01-



Introducción

Un problema de Programación Semi-Infinita (PSI) es un problema de optimización

en el que bien el número de variables o bien el número de restricciones (desigualda-

des) es finito. Cuando tanto la función objetivo como las restricciones son lineales,

estamos frente a un problema de Programación Semi-Infinita Lineal (PSIL). Por lo

tanto, la PSIL puede considerarse tanto una extersión de Ia Programación Lineal

ordinaria, como una rama de Ia PSI, con aplicaciones a diferentes campos. En

el texto de Goberna y López [12, Cap. 1] se describen diversas aplicaciones a Ia

teorÍa de Ia aproximación, el reconocimiento de patrones, el control óptimo, políti-

cas medioambientales y diferentes aplicaciones a la EstadÍstica. Este mismo texto

proporciona amplias referencias en Ia línea de las aplicaciones (véase, por ejemplo,

Hettich y Kortanek [2I]). La variada gama de aplicaciones directas de la PSIL, por

un lado, y sus atractivas propiedades teóricas, por otro, explican el notable auge de

la Programación Semi-Infinita Lineal como un ¡í¡ea activa de investigación desde su

aparición al principio de los años 60 con una serie de artículos debidos a Charnes,

Cooper y Kortanek. El texto editado por Reemtsen y Rückmann [26] presenta una

reciente colección de artículos de revisión sobre PSI, que puede proporcionar una

perspectiva general sobre las actuales líneas de investigación.

En esta memoria nos ocupaxemos del problema primal, esto es, con un número

finito, n,, de variables, en un contexto muy general: el conjunto de índices, 7,

asociado al sistema de restricciones es arbitrario (posiblemente infinito), y no se

presupone ninguna hipótesis sobre las funciones a(.) y b(.), que asignan a cada



índice el vector de coeficientes y el término independiente, respectivamente, de Ia

correspondiente restricción.

Fbecuentemente, el problema que acabamos resolviendo no es exactamente el

problema originalmente presentado, sino un problema próximo, debido a Ia presen-

cia de errores en los coeficientes del mismo, o bien debido al redondeo introducido en

los procesos computacionales. Resulta, por tanto, de interes establecer condiciones

bajo las cuales el problema original sea estable, en el sentido de que los proble.

mas suficientemente próximos conserven ciertas propiedades del problema original.

Nuestro objetivo consistirá en analizar la estabilidad de un problema genérico de

PSIL. Para precisar los diferentes criterios de estabilidad que analizarcmos, habre-

mos de dotar al espacio de los problemas de una'topología. Thabajaremos con la

topología de Ia convergencia uniforme de los parámetros del problema, a saber,

el vector de coeficientes de la función objetivo y los coeficientes de las distintas

restricciones del sistema asociado.

Como paso previo al estudio de la estabilidad del problema, se analizará la

estabilidad del sistema de restricciones asociado. En nuestro contexto, la estabilidad

de un sistema no vendrá determinada por el conjunto factible (o conjunto solución)

del mismo, sino que dependerá de Ia representación de dicho conjunto, esto es, de

los parámetros del sistema de desigualdades.

Centraremos nuestro estudio de la estabilidad de los sistemas de desigualdades

lineales en el análisis de Ia semicontinuidad inferior y la semicontinuidad superior

(en el sentido de Berge) de la función punto a conjunto que asigna a cada sistema

de desigualdades lineales su cor{unto factible. Notemos que cualquier subconjunto

convexo y cerrado del espacio euclÍdeo n-dimensional puede obtenerse como con-

junto factible de un sistema de desigualdades lineales. Como antecedente inmediato

del análisis de la estabilidad de los sistemas de desigualdades lineales, señalaremos

las aportaciones de Brosowski ([Z] V [g]) V Fischer [9] a la teorÍa de Ia estabilidad

en el caso continuo, esto es, cuando el conjunto de índices ? es un compacto de

Hausdorff y las funciones ¿ (.) V U (.) son continuas enT.



Existen en Ia literatura numerosas contribuciones a Ia teoría de la estabilidad

de la función conjunto factible para una clase de sistemas semi-infinitos estructu-

ralmente más rica que la de nuestros sistemas de desigualdades lineales. Esta clase

está formada por aquellos sistemas cuyo conjunto de Índices , T, 6 un subconjunto

compacto del espacio euclídeo rn-dimensional definido como solución de una canti-

dad finita de restricciones analÍticas. Además, se requiere que los gradientes de las

restricciones activas sean linealmente independientes en cada punto de ? y, final-

mente, las funciones de coeficientes "

(.) V b (') se suponen pertenecientes a la clase

C' g). Obviamente, esta clase de C1-sistemas es una subclase de Ia de los sistemas

continuos.

Asumiendo que Ct Q) está equipado con la liamada topología de \\rhitney, o

topologÍa fuerte (convergencia uniforme de las funciones de coeficientes y sus de-

rivadas parciales de primer orden), Jongen, Twilt y Weber [23] establecen que,

bajo la hipótesis de la acotación del conjunto factible del sistema considerado, la

función cónjunto factible es topológicamente estable en este sistema (los conjun-

tos factibles de los sistemas suficientemente próximos son homeomorfos al conjunto

factible del sistema original) si y sólo si se satisface Ia cualificación de restricciones

de Mangasarian-Fromovitzr (MFCQ, para abreviar). La extensión de este resulta-

do para sistemas con conjunto factible no acotado puede encontrarse en Jiménez

y Rückmann [22]. En este contexto de la PSI (con parámetros de clase Cr), la

equivalencia entre la MFCQ y la regularidad métrica de las restricciones ha sido

establecida en Heruion y Klatte [20). Versiones paramétricas de estos resultados

pueden encontrarse en sendos trabajos de Jongen, Rückmann y Weber l2a]V Klatte

[25), denuevo en el contexto de los parámetros de clase Cr (véase tarnbién Rückmann

[30]). Cuando confinamos nuestro estudio al contexto de las restricciones lineales

sin ninguna estructura para ?, los resultados que se obtienen en contrapartida han

sido analizados por Goberna, López y Todorov (véanse [11], [13] y [14]), utilizando

lEsta hipótesis de cualificación de restricciones, para problemas continuos, es equivalente a Iacondic'ión de Slater, a la que nos referiremos en el Capltulo 1 de esta memoria.



técnicas ad hoc basadas exclusivamente en la versión semi-infinita de los teoremas

de alternativa (un enfoque analÍtico carece de sentido en este contexto, dada la

arbitrariedad de las funciones ¿ (') y b (')).

En lo referente a la estabilidad del problema (incorporando, pues, a la discusión

la función objetivo), centra,remos nuestra atención en el estudio de Ia semiconti-

nuidad inferior y superior de las funciones que asocian a cada problema su valor

óptimo y su conjunto óptimo, respectivamente, así como en eI análisis de diferen-

tes nociones de buen condionamiento del problema. Como antecedente inmediato,

mencionaremos que, en el caso continuo, las propiedades de continuidad de la fun-

ción valor óptimo han sido analizadas en Brosowski [3], mientras que Fischer [9] se

ocupa de la función conjunto óptimo, de nuevo en el caso continuo. Reseñaremos

que estos autores consideran la función valor óptimo y la función conjunto óptimo

definidas, respectivamente, en el espacio paramétrico de los problemas continuos

acotados (con valor óptimo finito) y en el de los continuos resolubles (con conjunto

óptimo no vacío), mientras que en nuestro contexto ambas funciones estarán defini-

das en el espacio de todos los problemas. Este hecho, implicará ciertas diferencias

de carácter técnico a la hora de particularizar en el caso continuo los resultados

presentados en esta memoria (véase la sección 2.5).

El cuerpo de esta memoria está constituido por tres capÍtulos, precedidos por un

capÍtulo preliminar (Capítulo 0). Cada capÍtulo se divide en secciones y algunas de

ellas contienen subsecciones. Los diferentes emrnciados presentados a lo largo de la

memoria (definiciones, teoremas, ejemplos, etc.) están numerados correlativamente

con el número del capítulo, el de la sección y el del enunciado (independiente

mente del tipo de éste). Los enunciados que no van seguidos por una referencia

bibliográfica constituyen las aportaciones originales de esta memoria al campo de

la estabilidad en PSIL. A continuación pasamos a describir los contenidos de la

memoria.



El CapÍtulo 0 está dedicado a describir formalmente el problema de PSIL, esta-

blecer la terminología y la notación utilizadas, y presentar las herramientas básicas

de carácter general (fundamentalmente del Análisis Convexo) qnu han sido con-

tinuamente utiizadas en los capÍtulos siguientes. Destacamos el Lema de Farkas

Generalizado (Haar [15]). Ilustramos el manejo de estas herramientas en la ultima

sección del capÍtulo, en Ia que se presenta el dual lagrangiano de un problema de

Programación No Lineal como un problema semi-in-finito. Los resultados obtenidos

en relación con el breve análisis de este último problema son originales.

En el Capítulo 1 se aborda el estudio de Ia semicontinuidad inferior y supe-

rior de la función conjunto factible. La primera propiedad ha sido ampliamente

analizada en diferentes trabajos de Goberna, López y Todorov (véanse [11], [13]

y [14]), donde se presentan diferentes caracterizaciones de esta propiedad para un

sistema consistente (con conjunto factible no vacío), mostrando que el término "es-

tabilidad" tiene el mismo significado para diferentes autores (véanse, por ejemplo,

Robinson l27l V T\ry [SZ]). De estas caracterizaciones hemos enunciado aquellas

que son utilizadas miís tarde. Este capÍtulo aporta mrevas caracterizaciones de Ia

semicontinuidad inferior de Ia función conjunto factible, que vienen recogidas en

el teorema 1.2.2. Cuando el conjunto factible está acotado, Ia semicontinuidad in-

ferior de Ia función conjunto factible redunda en cierta propiedad de regularidad

métrica (que se proporciona en el lema 1.2.3), y eue será la clave para establecer

en el CapÍtulo 2 una propiedad de lipschitzianidad local de Ia función valor óptimo

bajo condiciones adecuadas.

En relación con la semicontinuidad superior de la función conjunto factible, exis-

ten diferentes resultados en la literatura, dependiendo de la topología considerada.

Gran parte de ellos se centran en el caso continuo, donde el espacio paramétrico de

los sistemas es un espacio de Banach. En Brosowski [2] se ca¡acteriza esta propie-

dad en términos de que el conjunto factible esté acotado o bien coincida con todo

el espacio euclídeo n-dimensional. Helbig [19], en el contexto de la optimización

disyuntiva, supone que ? es un espacio topológico arbitrario, pero las funciones



" (.) V b (.) son continuas. Mrís próximo a nuestra formulación es el trabajo de Gre-

enberg y Pierskalla [10], en el que no se impone ninguna condición sobre ?, ni sobre

o (.) V b (.) . Su enfoque hace uso de Ia función supremo, y conduce a una condición

suficiente para la semicontinuidad superior de la función conjunto factible que está

conectada con la acotación de dicho conjunto en un entorno del sistema conside-

rado. Ya en nuestro contexto, Goberna, ,López y Todorov [14] proporcionan una

caracterización de esta propiedad, que recogemos en el teorema 1.3.1. Este teorema

pone de manifiesto que, en este contexto, la acotación del conjunto factible no es

una condición necesaria para la semicontinuidad superior de la función conjunto

factible. Este resultado será una pieza clave desde un punto de vista teórico en

relación con este tópico; sin embargo, dicho resultado no involucra la representa-

ción del conjunto factible, a Ia vez que hace intervenir los conjuntos factibles de

los sistemas de un entorno del original. Este mismo trabajo ([14]) provee de con-

diciones necesarias y condiciones suficientes para la semicontinuidad superior de

la función conjunto factible en términos de los coeficientes del sistema. Se suscita

entonces la cuestión de encontrar condiciones a la vez necesarias y suficientes en

términos de dichos coeficientes, cuestión que es abordada con éxito en Ia sección

1.3 de esta memoria. Se introduce para ello el concepto de sistema reforzado aso-

ciado a un sistema de desigualdades lineales (definición 1.3.6). En una primera

fase se proporcionan caracterizaciones de la semicontinuidad superior de Ia función

conjunto factible en términos del sistema considerado y de sus elementos asociados

(entre los que destacan el sistema reforzado y su conjunto factible), sin referirse a

los sistemas de un entorno (véanse los teoremas 1.3.14 y 1.3.15). En la siguiente

fase se proporciona una catacterización de esta propiedad en términos únicamente

de los coeficientes del sistema (teorema 1.3.18). La sección 1.3 concentra la mayor

parte de las aportaciones originales de esta memoria a Ia teoría de la estabilidad

del conjunto factible.

En el Capítulo 2, ya en el contexto de los problemas, se analizan las propieda-

des de continuidad (semicontinuidad inferior y superior) tanto de Ia función valor



óptimo (teorema 2.2.3) como de la función conjunto óptimo (teorema 2.3.1). En Ia

prueba de estos y otros teoremas juega un papel destacado el lema 2.2.2, que esta-

blece que, cuando el conjunto óptimo de un problema resoluble está acotado, todo

problema consistente suficientemente próximo aI original es, de hecho, resoluble.

Los resultados que se presentan en este capÍtulo (excepto Ios de la sección 2.5) son

originales, y constituyen las aportaciones.de esta memoria a la teoría de Ia estabi

lidad del valor óptimo y del conjunto óptimo, la cual no había sido analizada en

nuestro contexto general. En relación con Ias pruebas, comentaremos que pueden

aislarse dos argumentos que se han revelado como herramientas fructíferas a la hora

de poner de manifiesto el alto grado de estabilidad de un problema cuando en él se

verifican simultáneamente la acotación del conjunto óptimo y la semicontinuidad

inferior de la función conjunto factible. El primer argumento consiste en considerar

los conjuntos de nivel inferior del problema2 como conjuntos factibles de nuevos

sistemas, que resultan de ampliar el original con una nueva restricción. Puede así

aplicarse Ia teorÍa de la estabilidad de los sistemas de desigualdades lineales para

estudiar la estabilidad del problema. El segundo argumento muestra que la ausen-

cia de la semicontinuidad inferior de la función conjunto factible, en un sistema

consistente, permite obtener como consecuencia de una sucesión de sistemas con-

vergente a éste cualquier desigualdad que satisfaga algrln punto factible del sistema

original. La Sección 2.5 aplica los resultados de las secciones anteriore,s para obte-

ner de forma directa algunas de las aportaciones de Brosowski [3] y Fisher [9] a la

teorÍa de la estabilidad del valor óptimo y del conjunto óptimo en el contexto de

los problemas continuos.

Se analiza también en este capítulo cierta noción de buen condicionamiento del

problema en el sentido de Hadamard, Íntimamente relacionada con Ia estabilidad

del valor óptimo (teorema 2.2.6). La noción clísica de buen condicionamiento de

un problema en el sentido de Hadamard, en el contexto de Ia FÍsica Matemática,

puede encontrarse en Courant y Hilbert [Z] y Hadamard ([16], [t7] V [18]). Existen

2Conjunto de los puntos factibles en los que la función objetivo no supera cierta cota.



diferentes formas de definir el buen condicionamiento en el sentido de Hadamard

de un problema. La mayorÍa de ellas requiere la unicidad de la solución óptima

(véase por ejemplo Todorov [31], cuya noción de buen condicionamiento recogere-

mos posteriormente en la definición 3.4.4). La noción de buen condicionamiento

que analizamos en el capÍtulo 2 está inspirada en el texto de Dontchev y Zolezzi

[8], y no exige siquiera la acotación del conjunto óptimo. Los principales resultados

del capítulo se reúnen en una tabla (Tabla 1), en la cual se refleja el alto grado

de estabilidad de un problema cuando en él se satisfacen simultáneamente la se-

micontinuidad inferior de la función conjunto factible y la acotación del conjunto

óptimo, como hemos apuntado anteriormente. Se presenta ademiís una colección

de ejemplos que muestra que no existe ninguna relación subyacente no contemplada

en Ia tabla.

En el Capítulo 3 se establece un marco teórico general en el que ubicar diferentes

nociones de buen condicionamiento del problema que pueden encontrarse en Ia lite.

ratura. Tanto los resultados presentados, como el propio enfoque del capítulo, son

nuevos y persiguen un doble objetivo: esclarecer las interrelaciones entre diferentes

nociones de buen condicionamiento ya existentes, al tiempo que se introducen otras

nuevas como consecuencia del tratamiento exhaustivo que se propone. Ello se hace

a través del concepto de estrategia de resolución para un problema resoluble, que

introducimos en Ia sección 3.2 de este capÍtulo. En términos informales, el buen

condicionamiento de un problema resoluble estará relacionado con Ia posibilidad de

resolverlo bien mediante la estrategia basada en Ia resolución aproximada de proble-

mas acotados próximos al origial, o bien mediante la resolución exacta de problemas

resolubles próximos al mismo. Estas ideas se precisarán en el estudio de ciertas pro-

piedades deseables (admisibilidad, eficiencia y completitud) sobre dos estrategias

de resolución particulares (basadas en el conjunto de los problemas acotados y en el

de los problemas resolubles, respectivamente) que también serán introducidas en la

sección 3.2. Los principales resultados del capÍtulo se encuentran en secciones 3.3

y 3.4, y se ocupan de caracterizar, en términos de las propiedades de estabilidad



del problema (analizadas en los capítulos anteriores), Ia admisibilidad, eficiencia y

completud de las dos estrategias particulares consideradas. Finalizamos el capítulo

con una tabla (Tabla 2) en la que se resumen las principales aportaciones de este

capítulo a la teorÍa de Ia estabilidad en PSIL.



Capítulo 0

Preliminares

0.1 Notación y definiciones

Consideremos el problema de optimización lineal, en IR',

iT : Inf. {c'n I a'rr } br, t eT},

donde c, r y a¿ sofr vectores de IRt, entendidos como matrices-columna, ó¿ € IR, e

g' denota al traspuesto de g € IR'. n' puede alternativamente representarse por el

par (c, (or,br)r.r), o bien por (c, o) , donde o 2: {alrr } bt, t e T} .

Si el conjunto de lndi,ces ? del si,stema de restricc'iones, o, es infinito, estaremos

ante un problema de programaci,ón semi,-i,nf.ni,ta li,neal (PSIL). En nuestro trata-

miento del tema, 7 será un conjunto arbitrario, sin estructura. En consecuencia las

funciones t r+ a¡ y t é b¿ no gozan de ninguna propiedad en particular.

El espaci,o paramétri,co, en nuestro contexto, es el conjunto fI de todos los pro-

blemas n : (",o) cuyos sistemas de restricciones tienen el mismo conjunto de

índices, T, y c 10" (eI vector nulo de IR."). Obviamente, podemos identificar fI con

(R"\ {0"}) x (R" * R)t, donde el conjunto de los posibles sistemas se ha identifi-

cado con (lR' * IR)". Cuando se consideren diferentes problemas en fI, ellos y sus

elementos asociados se distinguirán por medio de sub(super)índices. Así, si 7i'1 €s

10



0.1. Notación y defrniciones

otro problema de fI, escribir€frros ?r1 : ("1,or) y 6y;: {@il'r> bl , t e T}.

Muchos problemas de PSIL tienen coeficientes cuyos valores, bien son sólo

aproximadamente conocidos, o bien tienen que ser redondeados en los procesos

computacionales. Por lo tanto, en realidad estamos considerando un problema di-

ferente'r!: (c',ot), próúmo al original,'Ít : (",o). Para medir el tamaño de

las perturbaciones, introducimos en el espacio paramétrico de los problemas una

di,stanci,a ertendi,da ó : II x II --+ [0, **], que viene dada por

11

6 (n,.,tr) : :-* { l l"t

- " l l- ,

sup¿erll(;) - (fr) ll-) 'donde l l " l l - : max{1" ,1 , i : I , . . .p } , s iendo t : ( * r , . . . , *o ) ' e lRe, p € N.

Notemos que la aplicación (ot,o) H süp¿e? llt;il

- (;:)ll_ define a su vez una

distancia extendida d en el espacio paramético asociado @ = (lR" x R)" de todos

los sistemas de desigualdades lineales cuyo conjunto de índices es ?.

(II, ó) y (O, d) son espacios topológicos de Hausdorff, cuyas topologías satisfacen

el primer axioma de numerabilidad (esto es, la convergencia puede caracterizarse

mediante sucesiones, ya que cada punto posee una base numerable de entornos). ó

y d describen la topología de Ia convergencia uniforme en II y O, respectivamente.

Si 7 es un espacio compacto de Hausdorff y las funciones t v-+ a¿ y ú H b¿ son

continuas, se dice que el problema n (o el sistema a) es conti,nuo. En este caso,

denotando por flo (resp. O,) al conjunto de los problemas de PSIL (resp. sistemas)

continuos, (fI,, ó) (resp. (O", d)) se convierte en un espacio métrico completo.

A Io largo de la memoria trataremos de caracterizar ciertas propiedades de

estabilidad de o y de n'. En concreto, estaremos especialmente interesados en el

estudio de la semicontinuidad inferior y superior de Ia funci,ón conjunto facti,ble,

F,la funci,ón ualor ópti,mo, d, y Ia funci,ón conjunto ópti,mo, F". La primera,

f : II * 2R", asigna a cada problema zc (resp. a cada sistema o, abusando de la

notación) at, conjunto factible -o conjunto solución- F; esto es, .F (r) : F (resp.

F ("): F ). r.9 : fI ---+ [-*, **], asocia a cada problema r sr ualor ópti,mo u (esto



0.1. Notación y defr.niciones

es, t9(n') :u), conviniendo queT9(zr) : *oo cuando F:0 (en cuyo caso diremos

que r, o o, es 'i,nconsi,stenüe). Si t9 (z') : -oo, diremos que r es no acotado. Por

rlltimo, F* : II -r 2R" hace corresponder a cada problema a su (posiblemente vacÍo)

conjunto ópt'imo, representado por F* (esto es, F* (*) : F-).

En lo que sigue, fI" (resp. O") representará el conjunto de los problemas (resp.

sistemas) consi,stentes (er' € [" € F *. A <+ t9 (z') ( *oo), y fI6 denotará al

conjunto de los problemas acotados (zr e 116 <+ t9 (r) es finito). Por su parte, fI"

designará al conjunto de los problemas resolubles (n- € fI" <+ .F'* # A e ú (zr) es

alcanzado). Obviamente, fI" C fla C flc.

En este momento introducimos alguna notación adicional que emplearemos en

la memoria. Dado A f X C RP, denotaremos por span(X), di,m(X), conu(X) y

cone(X) aI subespaci,o uectori,al generado por X, la di,mensi,ón de X (definida como

ia dimensión de span(X)),Ia enuoltura conuera de X y aI cono conuefro generado

por X. Otros conos de interés serán eI cono de recesi,ón de X, O*(X) (supuesto X

convexo), que está dado por

O" (X) : {y e lRo l , * \a eX para todo r e X y todo, \ > 0 } ,

y eI cono polar posi,ti,uo de X, Xo, dado por

Xo : {ge reo lA ' r> 0para todor €X) .

En ocasiones, utilizaremos también eI espacio de li,neal,idad de X (supuesto X

convexo), dado por lin(X) :: O* (X) n l-O* (X)] . Convendremos que cone(X)

siempre contiene al vector nulo y, por tanto, cone(A) : {0p}. Las normas ez-

clldea y de Chebysheu de r € IRp serán representadas por ll"ll v ll"ll- , respecti-

vamente, y la distancia euclídea de un punto z al conjunto X (l 0) es d(r, X) ::

inf {llr - All , A € X} . La bola uni,dad abi,erta, en JRp, para Ia norma euclídea será

representada por B, mientras que JR.. denotará al intervalo [0, +oo). En el aspecto

topológico, si X es un subconjunto de cualquier espacio topológico, i,nt(x), ct(X)

T2



0.1. Notación y defrniciones

y bd(X) denotarán al i,nterior, Ia clausura y Ia frontera de X, respectivamente.

Finalmente, lim, debe interpretarse como limr--.

Si {X,} es una sucesión de conjuntos no vacíos, en JRP, Iim inf, X, (resp. Iim sup,

X,) es el conjunto de todos los lÍmites (resp. puntos de aglomeraciónl) de todas

las posibles sucesiones {*'} , r' e Xr, r : L,2,..., y puede caracterizarse como

el conjunto de los puntos r tales que cada uno de sus entornos intersecta a todos

los X, excepto a un número finito de ellos (resp. intersecta a una infinidad de

los X"). Se dice que {Xr} converge a X, en eL senti,do de Pai,nleué-Kuratowski,

(véase, por ejemplo, [29]) si X :liminf, X,:limsup, Xr, encuyo caso escribiremos

X :Iir¡,- X,.

Seguidamente consideramos algunas nociones de continuidad para aplicaciones

puntoaconjunto. Siy y Z sondosespaciostopológicos,y M:)) -+22 esunaapli-

cación punto a conjunto, fijaremos nuestra atención en las siguientes propiedades

de M:

Si ambos espacios satisfacen el primer axioma de numerabilidad, diremos que

Mes cervadaeng € ) s iparacualesquierasucesiones {y ' } cy y {2,} c z

verificando límry' : gr, lim, z' : z y z' e M(A'), r : I,2,..., se tiene z e M(ú.

La aplicación M es sem,icontinua,inferioremente (abreviado por lsc2) en y e !,

en el sentido de Berge, si para cada conjunto abierio W c Z tal que W nM(ü * A

existe nn entorno abierto U C y, del punto y, tal que W n M(y') I A para todo

at €u.

M se dice semi,contí,nua superiormente (abreviado usc3) en A e y si para cada

conjunto abierto W c Z tal que M(g) CW extste un entorno abierto de g en)),

U, ta| que M(yl) CW para todo gr1 e U.

En el capítulo 1 de la memoria estudiaremos estas nociones de continuidad para

la función conjunto factible F, y en el capÍtulo 2 lo haremos para.F*.

lllamaremos punto d,e aglomeración de una sucesión a todo punto que pueda expresarse comolfmite de alguna subsucesión suya.

2Del inglés lower sem,icontinuous.sDel inglés upper sem,icontinuous.

13



0.2. Henamientas basicas

O.2 f{erramientas básicas

Esta breve sección recoge algunas herramientas del Análisis Convexo que utilizare-

mos constantemente a Io largo de Ia memoria.

Dado un sistema consistente o p {alr } il, t € T} , con conjunto factible F,

se dice que a'n ) b es rtna consecuenc'ia de a si la satisfacen todos los puntos de

F; es decir, a'z ) ó para todo z € F. En relación con este concepto, er Lema d,e

Farkas para sistemas no homogéneos ([aa]) caracteriza las desigualdades lineales

a'r ) ó que son consecuencia de un sistema consistente 6 p {a!rr>br, te T}

como aquellas que satisfacen

L4

(;) . "t("onu({(fr) , t€r' (:i)}))

(;)

(0.2.1)

Introduciendo el cono, R!), de todas las funciones ) : ? --+ IRa que toman

valores positivos sólo en una cantidad finita de puntos de ?, (0.2.1) equivale a la

existencia de un par de sucesiones {)'} c Rtt) y {tt,} clR-., tales que

:rim"{t^r(;) .,,(1) },

donde ) ' : ( ) í ) r . 7 , r : 1 ,2 , . . .

Asociaremos al sistema a los conos M y K, denominados respectivamente primer

cono de momentos y cono característi,co de o, definidos por

M : : cone ( {a¿ , t €T ¡ ) , K ( ( / " r \ r -m / 0 " \ ' l \:: cone \t \r ' /

j t t t. ; \-r) j )

Debido al Lema de Farkas, cl(K) recibe en ocasiones el nombre de cono de las

relaciones consecuentes d,e o. El cono M,,por su parte, resulta de gran utilidad a

la hora de caracterizar la acotación tanto del conjunto factible como del conjunto

óptimo del problema.

Es inmediato comprobar que, si n es consistente, entonces O* (F) : Mo. La



0.3. Ejemplo: El dual lagrangiano como un problema semi-infr.nito 15

acotación de F puede establecerse como sigue.

Proposición 0.2.1- [12, Th. 9.3] ̂ 9C r € II", las si,gui,entes cond,ici,ones son equi.ua-

lentes:

(i) .F es acotado;

(ii) M - rR,;

(iii) o+ (r) : {0"}.

De cara al estudio de la acotación de F*, resulta en general de interés corsiderar

Ios conjuntos de ni,uel (inferior) de r, L(a) ,: {, € F I Cr 1a}, o e IR.. Se

comprueba inmediatamente que todos los conjuntos de nivel no vacÍos de n-tienen

el mismo cono de recesión, el cual viene dado por {a¿, t eT; -"}o . La acotación

de f'* se caracteriza como sigue.

Proposición 0.2.2 [12, Cor. 9.3.1] Sea ¡r € fI". Entonces son equ,iualentes:

(i) F- es acotado y no uacío;

( i i ) {a¿, t e T; -c} ' : {0,} ;

(iii) c e int (M) .

En otro orden de ideas, en diversas situaciones a lo largo del texto utilizaremos

la siguiente propiedad: si X I 0 es un conjunto convexo y cerrado, y i É X,

entonces existe una única mejor aprorimaci,ón dei en X. Ademrís, denotando por

r a esta mejor aproúmación, se verifica la relación (" - i)' n > (r - i)' * para todo

r Q X. En particular, si X es el conjunto factible de un sistema de desigualdades

lineales, Ia relación anterior es una consecuencia de dicho sistema.

0.3 Ejemplo: El dual lagrangiano como un pro-

blema semi-infinito

En esta sección pretendemos ilustrar algunos de los conceptos anteriores en una

aplicación de la PSIL, inspirada en [1, Sec. 6.4].



0.3. Ejemplo: El dual lagrangiano como un problema semi-infrüto 16

Consideremos el problema (primal) de Programación No Lineal

(P) Inf / (¿)

s .a g (¿)<0- , teC,

donde C es un compacto de IR' y las funciones / : C * lR y g : C - IR- son

continuas en C. Supongamos que el conjunto {t e C I g (t) < 0-} es no vacío. El

dual lagrangiano de (P) viene dado por

(D) Sup inf¿66r {f @ + \'g (t)}

s.a ) ) 0- ,

cuyo valor j uD) coíncide con el del problema semi-infinito

(D') Sup z

s .o , z< f ( t ) + ) '9 ( t ) , teC

)>0-.

EI problema (D') puede tranformarse en el siguiente problema de PSIL.

Ejemplo 0.3.1- Conservando Ia terminologÍa de los prírrafos anteriores, considere-

mos el problema

7( : Inf. {c'r I olr, > b¿, t e T} ,

donde hemos realizado el cambio de notaciórr lt :: ()) e R-*1, y cuyos elementos

describimos a continuación:

T :: C U {tt, s2,..s*}, donde sl, s2, ...s* son rn puntos distintos en IR' que no

pertenecen a C. Nótese que ?, con la topología inducida por IR', es compacto;

[ / o ( t ) \ t ca (

- ._/0-\ . ^ _ l \ . t / ' ' [ 'EL/

)bt : : l - f t t l , t€c

t ' : \ - t / i

a t t : 1 / ' ' \l l?) , t :s i , r1 j1m, lo, t :s i ,L<i<*.\ \ U , /



0.3. Ejemplo: El dual lagrangiano como un problema semi-infrnito LT

donde e¡ es el j-ésimo vector de la base canónica de IR-.

Nótese que las funciones t r-+ a¿ y t é b¿ son continuas en ?. Por tanto 7r- es un

problema continuo. Nótese también que u, el valor óptimo de zr, es igual a -o¿r.

Se comprueba de forma inmediata que zT es consistente, puesto que, elegido

arbitrariamente ) ) 0rr¿, la función t * f (t)+\'g(t) alcanza en ? su mínimo

absoluto, ,(^); y por tanto (,f,) a F. De,hecho, n es acotado, por ser (D) acotado

en virtud del teorema débil de dualidad (véase [1, Th. 6.2.1]).

Se deducirá como consecuencia inmediata del teorema t.2.1que .F es lsc en n'.

En los capítulos 2 y 3 se pondrá de manifiesto la notable estabilidad de un problema

resoluble cuando en él se verifican simultáneamente Ia semicontinuidad inferior de

f y Ia acotación del conjunto óptimo. Por esta razón dedicamos el resto de la

sección a analizar Ia resolubilidad de r y a establecer una condición necesaria y

suficiente para que el conjunto óptimo de este problema sea acotado y no vacÍo.

En primer lugar notemos que el cono K asociado al problema que nos ocupa es

cerrado4, puesto que K coincide con el cono generado por X : conu({ (fi) , t € T;

(o:i'))), qn" es un conjunto convexo y compacto que no contiene a0^¡2 (véase

[28]). En efecto, X es compacto en virtud del Teorema de Mazur. Por otro lado,

si existe,l e nf) tal que 0m+2: Il,(ff) +p(o:i '), entonces, observando Ia

coordenada m * l-ésima, debe ser l¿ : 0 para todo t e C. Observando después

Ia coordenada j-ésima, 1 ( j S m, debe ser )ri : 0. Por ultimo, observando la

coordenada m l2-ésima, debe ser p:0. En corsecuencia, 0^+z # X.

Aplicando ahora los teoremas 5.3(i) y 7.1 de [12], concluimos que nuestro pro-

blema n es resoluble si y sólo si se satisface la condición de Karush-Kuhn-T\rcker,

esto es, existe un ,r* e F y unos Índices ú1,..., t¡ €T tales que

ce cone ( {a¿ . , 1< iS k } ) V (o r r ) ' * * : b to , pa ra todo ' i : 1 , . . . , k .

al,os sistemas de inecuaciones cuyo cono caracterÍstico es cerrado se Ilaman de Farkas-Minkowski.



Ejemplo: El dual lagrangiano como un problema semi-infrnito 18

Proposición 0.3.2 Sea r el problema i,ntroduci,do en el ejemplo 0.3.1. Las si,-

gui,entes condi,c'iones son equ'iualentes:

(i).F. es acotado g no uaclo;

(1i) cone ({g (t) , t € C}) conti,ene algún elemento con tod,as sus coord,enad,as

negati,uas.

Demostración. (i) + (ii). En virtud'de la proposición0.2.2, (i) es equivalente

a

, : lo : ) e .n t (con"{ (n( " ' /o \ ) \

\-1l \ t \- ; 'J ' t€c; (; ,) ' i :r ' '*¡)Proyectando ambos miembros sobre sus rn primeras coordenadas, y dado que la

proyección es abierta, 0* €. ' int,(cone{g (t) , t e C; €j, j :1,.. . ,rr-}). De aquí se

deduce que

cone{g(t), t € C;

luego existen Índices t¡,...,t¡, e C y

tales que re

e¡ , i :L , . , . ,mI : ]R- ,

escalares no negativos )¿r, ..., )ro, Fr, ..., F^

-l*:D¡r,n Qo) +Dr,",,i : l

donde -1- denota al vector de lR- cuyas coordenadas son todas iguales a -1. Pork

tanto DÁrug (t¿) tiene todas sus coordenadas negativas.i : L

(ii) + (i). Supongamos que existen Índices tr,...,tn e C y escalares no negativos

)rr, ..., )¿o tales que i )trg (t¿) tiene todas sus coordenadas negativas. podemos su-i =L

poner, sin pérdida de generalidad, que É ^,, : 1 (basta dividir cada coeficiente pori:1.

la suma de todos ellos, que es obviamente no nula). Llamando -p; ala coordenadak

j-ésima d" D \tog (t¿), para I < j ( rn, obtenemos; - 1

(0.3.1)f ̂ ,,('i;') .n,,(;): (3)Nótese eue p¡ > 0, j : I ,2,.. . ,n-Lj y existe algún ze € {1, . . . ,k} tal que.\¿oo ) 0.



0.3. Ejemplo: EI dual lagrangiano como un problema semi-infrnito 19

Es obvio q"" {(gt"l)l;

(?) , i:t,...,*} es un sistema generador de IR-+l. En

virtud del teorem a ll2, Th. A.7], la expresión (0.3.1) implica q"" (3) € int (M) ,

y, por tanto, F* es acotado y no vacío. I



Capítulo 1

Estabilidad del conjunto factible

1.1 Introducción

La función conjunto factible puede considerarse definida tanto en el espacio param6

trico de los problemas como en el de los sistemas. Dado que en los resultados

incluídos en este capÍtulo, el vector de coeficientes, c, de la función objetivo de un

problema n : (c,a) no desempeña ningún papel, enunciaremos dichos resultados

únicamente en términos del sistema o.

En [13, Sec. 2] se prueba que la aplicación .F es siempre cerrada en cualquier o €

O". En aquel trabajo, así como en [11], se proporcionan diferentes caracterizaciones

de la semicontinuidad inferior de -F en un sistema consistente o, Ia mayorÍa de ellas

basadas en diferentes conceptos de estabilidad extraídos de la literatura ([23], [27],

[32], etc.). En la sección 1.2 se recogen algunas de estas caracterizaciones y se

añaden otras nuevas, que serán utilizadas en resultados posteriores. En algunas de

las caracterizaciones mencionadas se recurre a la denominada condi,ci,ón fuerte d,e

Slater (abreviada por SSCI), Ia cual satisface un sistema o si existen un número

positivo p y un punto factible r verificando alrn ) bt* p, para todo f € ? (el

punto r se dice que es un SS-elemento de o). La SSC es m¿ís restrictiva que

20

IDel inglés, strong Slater cond,ition.



1.2. Semicontinuidad inferior de la función conjunto factible

la conocida conüci,ón de Slater (SC, para abreviar), que únicamente requiere la

existencia de una solución estricta, z, esto es, satisfaciendo alrT > b¿, pará,todo Ú g ?

(obviamente, si o es continuo ambas condiciones son equivalentes). EI conjunto de

todos los SS-elementos de o será representado por Fss.

La semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible en eI espacio paramé-

trico de los sistemas consistentes continuos ha sido analizada en [3] y [9]. Si o es

un problema incorsistente, F será semicontinua superiormente en o si y sólo si a

pertenece al interior del conjunto de los sistemas incorsistentes, y esta propiedad

ha sido estudiada en [13]. Por otro lado, si F es acotado, se muestra en [14, Cor

3.2] que f siempre es usc en o. Por tanto centraremos nuestro estudio de la semi-

continuidad superior de F en el caso en el que o es un sistema consistente y F es

no acotado.

En la sección 1.3 se proporcionan dos caracterizaciones de Ia semicontinuidad

superior de f en un sistema a (consistente con conjunto factible no acotado), la

primera de ellas desde una perspectiva más geométrica y Ia segunda en términos de

los coeficientes del sistema. Ambas caracterizaciones están referidas únicamente al

sistema o, no involucrando a los sistemas de un entorno (véase [14, Th 3.1]).

L.2 Semicontinuidad inferior de la función con-

junto factible

En los dos siguientes teoremas se reúnen aquellas caracterizaciones de la semicon-

tinuidad inferior de .F en un sistema corsistente ¿r que nos serán de utilidad en los

capítulos posteriores.

Teorema t.2,L [13, Th. 3.1]2 S? o e O., las s'igui,entes condi,ci,ones son equi,ualen-

tes:

(i) F es lsc en o;

2L

2La equivalencia (i)e (v) se obtiene como consecuencia inmediata de [11, Lem' 3.2].



L.2. Semicontinuidad inferior de Ia función conjunto factible

( i i) o €' int (O") ;

(iii) o,+1 f "t ("oro ({ ft'\, ¿ € r})) ;\"-"" \ t \b' l ' ' ) / /

(iv) a sati,sface la condición fuerte de Slater;

(v) ltn(cl(K)) es i,nuari,ante en un entorno de r.

Teorema L.2.2 Sea o € O". Son equi,ualentes:

(i) f es lsc en o;

(í i) Para cada{o,} C@ conuergente ao, eristeunrs tal queor € O" s¿ r} rs,

y ademó,s F : Iimr>ro 4i

( i i i ) F : cl (Fss) .

Demostración. Comenzamos probando la equivalencia entre (i) y (ii). Supon-

gamos en primer lugar que se tiene (i), y sea {",} c O convergente a a. En virtud

del teorema L.2.I, o €. int (II") y se concluye Ia existencia de un 16 tal quie F, I A

para r ) rs. Si r e F y W esun entorno abierto de r, (i) asegua la existencia de

rt (rt ) ro) tal que WaF, f A,paratodo r ) rr. En otros términos, I4l intersecta a

todos los F,, excepto a una cantidad finita de ellos, de donde r € lim inf,¿ro F,. Por

otra parte, lim supr, ,o F, C F puesto que .F es cerrada en o. Dado que la inclusión

Iim inf">"o f', C lim sup rlr¡ Fr se verifica en general, se concluye que f' : Iimr>"' Fr.

Supongamos ahora que se tiene (ii) y F no es lsc en d. Existe entonces un

conjunto abierto W tal que F nW + 0, mientras que para cada r € N puede

elegirse un or de forma qte d(o,,o) < Llr y F, nW : A. En consecuencia, si

r e FñW, para cualquier rs que corsideremos, r t' liminf ,¿,sF,. En resumen,

Iimro, - o y F t'Iiminf,.>,' Fr, para cualquier rs, contradiciendo la hipótesis.

Seguidamente probaremos (i) <+ (iii). Si se verifica (iii), puesto que F I A por

hipótesis, Fss ha de ser no vacío también, de donde se obtiene (i) como consecuencia

inmediata del teoremal.2.l. RecÍprocamente, si se tiene (i), dado cualquier conjun-

to abierto W qrrc intersecte a F, podemos encontrar un p > 0 tal que FL1W + A,

siendo o1 i: {o!rr>bt-lV, teT). Como Fl : F("r) C Fss, obtenemos que

Fssñ W + A. En conclusión, hemos probado que F nW * 0 implica Fss n W + A,

22



1.2. Semicontinuidad inferior de la función conjunto factible

de donde se deduce que F c ct (Fss) . La inclusión contraria es inmediata, ya que

FssCFyF escer rado . I

En [13, Th. 3.1] se añade a la relación de condiciones equivalentes del teorema

I.2.L Ia R-estabi,ti,dad de F (en el sentido de Robirson, [27]) en d, que viene descrita

como sigue: Para todo ñ e F existe un par de números positivos 0 y e tales que se

verifica

d (ñ, Ft) S pV (l,or)

para todo ot : {@l) ' r>b!, t€T} sat isfaciendo d(o1,o) < e, donde d(ñ,Ft)

representa la distancia euclÍdea de ñ a F1 (conviniendo que esta distancia es *m

s i F t :6 ¡ , t

23

V (t,o) :: ** {0, :EF (ul- (ol) 't)) e ¡0, +*1

es una medida de la infactibilidad de ñ respecto de o1. En Ia definición anterior, B

depende del punto ñ elegido.

En el siguiente lema se proporciona una condici,ón uni,forme de regulari,dad

métrica de un carácter análogo a la R-estabilidad, pero que involucra a dos sis-

temas cualesquiera en un entorno suficientemente pequeño de o, y en Ia que el

escalar B depende sólo de a. En contrapartida, hemos de exigir que F : F (o) esté

acotado. Este lema será fundamental a la hora de establecer cierta propiedad de

Iipschitzianidad local de Ia función valor óptimo en el capitulo 2.

Lema L.2.3 Sea o € O". Si, F es Isc en o y F es antado, entonces existe un par

de escalares posi,ti,uos € A P tales que si d(o¿,o) 1e,'i: L,2, se t'iene, para cada

ri e F¡,

d ( * i ,Pn) < |V ( r i ,o¿) , i , i : L ,2 , i+ i .

Demostración. La acotación de F implica qrrc F es usc en o, Iuego existe

un6 > 0 ta l que Fr c F+B siempre que d(o1,o) <e. Asípues, existe un

escalar positivo ¡^r tal que ll"tll S p paxa todo 11 € Fr, supuesto que d (o¡o) <?.



Semicontinuidad inferior de Ia finción conjunto factible

Ademrís, puede suponerse sin pérdida de generalidad que f'1 * A en este F-entorno

de a, debido a la semicontinuidad inferior de F en o.

Consideremos ahora, en este entorno, dos sistemffi, o1 y oz. Elijamos, por

ejemplo, un purrto arbitrario n2 e F2 y supongamos que 12 # Ft y que V(r',ot) <

*m (en otro caso, la desigualdad que perseguimos se satisface trivialmente). Sea

# e F¡ la mejor aproximación de 12 en F1, esto es, d(z2,f'r) : ll"t - "'ll.

En estas condiciones la relaciór (rt - ,')' * > ("t - *')'rl es una consecuencia

de 41, como apuntábamos en la sección 0.2. En virtud del Lema de Farkas existen

sucesiones {)'} c Rtt) y {pr,} c IR-,. tales que

(1 .2 .1 )

Multiplicando escalarmente ambos miembros de (1.2.1) por (-í'), obtenemos

l l " ' - * ' l l ' : h*,"{ f ^T@i - @l) '* ' )-r ,} .v (*r,o1) hmsup,I, l ; .t ¿er ) t.,

6r.r¡Puesto que f es lsc en o, aplicando el teorema \.2.I, existen un SS-elemento

pa , rao , n ,y un p ) 0 ta les quea l r r -b¿ ) ppara todoú € ? . Seae : :

mit {?, 9G+nt/ 'p)- t } . t t d(or,o) 1e, enronces (ol) 'n- ó} > ! , para todo

t € T. Así, c es también un SS-elemento de úr1, cor "holgura" mayor o igual que É.Multiplicando escalarmente ambos miembros de (1.2.1) pot (lr) se obtiene

( _ ) ^(r'**')'(n-,') - lim,tE^t ("1)'t-ól) + ,,¡.f r-', 'n,E^t.

En consecuencia, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, deducimos que

rimsup, E

^t ='¡ll* -,,11 ll, - *,ll s fu k, -,rll . (1.2.3)

Como consecuencia de (I.2.2) y (1.2.3), concluimos

24

(,li'-;i,',) *,) : "* { E ̂ t (;,i) . r' (:i) }



1.3. Semicontinwdad superior de la función conjwúo factible

d(rz,Fr): l l r ' - * ' l ls+v (r2,,o1),r r - p \

siempre que d (o¿,o) 1 e, i, : L,2. Esto concluye la prueba del lema, tomando

p,: T. r

1.3 Semicontinuidad superior de la función con-

junto factible

En [14, Th. 3.4] se establece que, si a es un sistema consistente en IR.', con n ] 2,

y eI conjunto {ar, t e T } está acotado y es distinto de {0"}, entonces f es usc en

o si y sólo si F es acotado. En particular este resultado se aplica para los sistemas

continuos, ya que en este caso el conjunto {a, , t € 7} es compacto (véase también

[g] V [g]). Por otro lado, en el caso n: t, se indica en [14, Ej. 3.3] que .F es siempre

usc en cualquier sistema consistente. Recordemos, por último, que la acotación de

F' es una condición suficiente para la semicontinuidad superior de F en o € @..

Por Io tanto centraremos nuestra atención en el caso en el que tanto F como

{a, , t e 7} son no acotados. Intuitivamente podemos interpretar la semicontinui-

dad superior de f en un sistema o en términos de que las regiones factibles de

Ios sistemas suficientemente próximos no sean mucho mayores que F. El siguiente

teorema proporciona una caracterización 'de tipo geométrico' de Ia semicontinui-

dad superior de "F que corrobora esta idea de una forma contundente. Nótese que,

cuando F es no acotado, un abierto W qtrc contenga a F puede tener sus puntos

muy próximos a los de F conforme nos acercamos al punto del infinito de IR'.

Teorema 1.3.1 [14, Th. 3.1] Dado un si,stema consi,stente o, F es usc en o si, y

sólo si, eristen dos escalares posi,ti,uos, € A p, tales que

25

Fr\p ct(B) c \p ct(B)



1.3. Semicontinuidad superior de Ia función coniunto factible

para cualqu'ier o1 € @ tal que d(oy,o) < e.

Este resultado será fundamental a la hora de establecer nuevas caracterizaciones

de la semicontinuidad superior de f en o que no dependan de los sistemas próximos.

El siguiente ejemplo enfatiza el hecho de que la semicontinuidad superior de .F en

un sistema no queda determinada por la región factible del mismo, sino que depende

en gran medida de su representación, esto es, de los coeficientes del sistema.

Ejemplo t,3.2 [14, Ej. 3.6] Dado 6: {alrn} b¿, t €T } € O", conT i.nfní,to,

e ls i , s tema6: {ka l rn } kb¿, ( t , k ) e 7xN} es equ i ,ua len teao ( t i ,enee lmi ,smo

corujunto facti,ble), su conjunto de índi,ces ti,ene la mi,sma cardi,nali,dad que T , y F

es usc enó.

Intuitivamente, podemos decir que ñ presenta'reforzadas' todas las restricciones

de o. La siguiente subsección está dedicada a formalizar esta idea, y a obtener sus

primeras consecuencias.

1-.3.1- Sistemas reforzados

En [1a] se proporcionan condiciones necesarias y condiciones suficientes para Ia

semicontinuidad superior de F en a únicamente en términos del propio sisterha.

Para ello se introduce el concepto de si,stema asi,ntóti,co asociado. La definición se

desarrolla en diferentes etapas. En primer luga,r se define eI cono as'intóti,co de un

conjunto no vacÍo X C IR', denotado por X-, como el conjunto de todos los límites

de Ia forma lim¡ Fnfik, donde Fr € R+, rk e X, k : L,2,..., y {lru} J 0. EI Lema

2.1 de [14] describe diferentes propiedades del cono asintótico de X. Destacamos

la siguiente: g €X* con llgll : 1 si y sólo si existe una sucesión {rk} C X tal que

Iiru llzkll : +* y lim¡ llrull-' nk : a.

Definic ión l - .3.3 [14, Sec. 2) Seao €o". Si ,ae {a¿, te.T } ." , l lo l l :L, sabemos

que exi,ste una sucesi,ón {t¡,} C T tal que li,m¡ llor* ll : *n y lim¡, lla¿oll-' oro : o.

Si,, adi,ci,onalmente, ó :: Iimsup¿ lla¿oll-t bro es fini,to, se d'ice que a'n 2 b es una

26



1.3. semicontinuidad supeúor de Ia función coniunto factible

restricción implicita fija para o. Se llama sistema asintótico asoci'ado a o, denotado

por oo, al formado por todas las restricci,ones i,mpllci,tas fijas para o. El coniunto

facti,bte d,e o" se denotará, por F" (si, o" es un si,stema t)acío, conaen'imos que Fo :

R').

Es inmediato comprobax que F C F". Ademiís, en [14, Lema 2.4] se prueba que

si o1,o € Oc verifican d(o1,o) ( *oo, entonces (ot)" : oo, y pot tanto Ff : F"'

Teorema L.3.4 [14, Th. 5.1] ̂ 9? a € O" es tal que F"\F es acotado, entonces F

es usc en a.

La condición suficiente del teorema 1.3.4 no es necesaria, como muestra el si-

guiente ejemplo (véase también [14, Ej. 5.2]), que proporciona las claves para un

refinamiento de dicho teorema.

Ejemplo 1.3.5 Consi'd'eremos el si,stema, en lR'3,

27

Q :

r2 ry+r rz *0 r32-1 , r€N

-s2rtJ- srz* 0r3 > -1, s € NI.

Se comprueba fácilmente que F: {0} x IR+ x IR y oo : {nr ) 0, -rr > 0}.

Por tanto Fo : {0} x lR x IR. Veamos que .F es ?rsc en a. En efecto, la semisuma

de las restricciones asociadas a r € N y "

: r es rü2 ) -1. A partir de aquÍ

es inmediato que rz ) 0 es consecuencia de cualquier sistema consistente cuya

distancia a d sea finita. Por lo tanto si a1 € @" y d(o1,o) ( *oo, entonces

Fr c {, e Fi | *z > 0} : {r e F" l r, > 0} : F, de donde se deduce

inmediatamente la semicontinuidad superior de F en o.

La idea subyacente en el ejemplo anterior es que pueden existir restricciones que,

sin ser implícitas fijas, estén indirectamente 'reforzadas' por d mediante combina-

ciones convexas de restricciones con coeficientes 'grandes'. Esto sugiere la siguiente

definición.



1.3. Semicontinuidad superior de la función conjunto factible

Definición L.3.6 E/ sistema reforzado asoci,ado a o : {alrr } b¿, t € T} € O",

denotado por oR, estó, dado por

Nótese que, en general, el conjunto de índices de oR no es ?, pero puede aplicarse

la teorÍa de sistemas a oR. Denotaremos por FE al conjunto factible de an. Si on

es vacío, convendremos que Fa : lR'.

Es inmediato que si X es un subconjunto no vacío de IR', entonces X* :

(c l (X) ) . " . Enefec to , s i Í : I im¡ , ¡ - t ¡ , rk e (c l (X) ) . " , con {zk} Cc t (X)V { t r t } l0y ,

para cada k, elegimos un gk € X tal que lluk -

"ull ( 1, entonces u : Iim¡ ¡-t.¡,yk e

X-. La inclusión recíproca es trivial.

Ademrís, si X es convexo y cerrado, entonces X- : O+(X). Así,

oR: ("onu{(fr) , ¿ € "}) *:

o* (" (*",{(;;) , , . '}))

Obviamente, do es un subsistema de oE y toda desigualdad de oE es consecuen-

cia de o. Por tanto, F c FR C F". Puesto que los sistemas inconsistentes que

puedan existir en un entorno de o no dificultan Ia semicontinuidad superior de F

en d € O", en lo sucesivo, cuando consideremos un sistema d1 err un entorno de a,

supondremos implÍcitamente eu€ n1 es consistente.

Lema L.3.7 Sean o,a1 € O¿, con d(o,ot) < 1.cr.. Entonces ol : oR A, por tanto,

F { : FR '

Demostración. Sea o1 : {(o})'*2bl , t eT}. Por simetría, bastará probar

que

( "onu { ( ; ) , ú€ " } ) * . ( " on { ( ; )

, ú€ " } )_

28

oR , : {o '*

> u, ( ; ) . ( "o, , { ( ; ; ) , ¿ € "})""}




Sea (i) e (conu {Cil , ú € ?})-. Entonces, existen {x} c Rf), co'

Fr{ : t

para todo r € N, y {pr) C R+, con lim. F, : 0, tales que

/,\ -,,* t ^;(:i) : rm. {r.D^;(;:) + t .L^T(^i_ tr) }\r/ :

"m' F' -, r

- \o;/ ¡. ¿er \-¿./ ter \-¿ -¿t

)

: l i - , , \ - r ' l o t \ / ( /a ' \ ) \mr Fr

,1,^r(;;) .

\conu t(;;J ,r.r¡)*,

( . , . )puesto que I t )l(ii-Í:) | está acotada. r

t ¿ € T \ o ; - o t /

)

Corolario 1.3.8 Seao € O". ^9? FE\F estó, acotado, entonces F es :usc eno.

Demostración. Tómese p > 0 satisfaciendo FE\F c pcl(B). Sea o1 e O. tal

que d(41, o) < +m. Entonces Ff : F' y, en consecuencia,

F'\F c Fr"\F : FR\F c pct(B).

AsÍ pues, ft\ p cl(B) C ,F\ pct(B). Finalmente el teorema 1.3.1 gararftiza la semi-

continuidad superior de F en o. I

El siguiente ejemplo ([14, Ej. 5.2]) muestra que Ia condición suficiente del co-

rolario anterior no es necesaria. En la siguiente subsección se mostrará que dicho

ejemplo constituye esencialmente el único caso patológico en este sentido, que en

general viene determinado por las condiciones O+ (.F') : (lR*)" y O+ (Fo) : Rr,

para algún u e IR"\{O,}. Este caso también será analizado en la próxima subsec-

ción.

Ejemplo 1.3.9 Consideremos el si,stema, enR2,

o1 : { tq *12} - l¿ l , ú€R} .

Se ti,ene que F: [-1, 1] x JRa A FR : [-1, 1] x IR. S¿n embargo, F es :usc en o.

29



Semicontinuidad superior de la función conjunto factible

En efecto, Ia semicontinuidad superior de F en a ha sido comprobada en [14,

Ej, 5.2]. Seguidamente determinaremos oR. Se comprueba que

( /o,\ -') ( ."o", \ ( i j ) ,

t €r¡ : { { r , , yz,as) ' € R' I az : r ,us 1 - lu, l } ,

que es un convexo cerrado, luego su cono asintótico coincide con su cono de recesión,

30

esto es,

oR : ("onu{(;j)( . \ ,: J (9r ' Uz,as)

oo

' . " ) )

€Rt lAz:o,Vr<- lVr l )

: cone { ( -1 , o , -1 ) ' , (1 ,0 , -1 ) ' } .

Por lo tanto, oE es equivalente a {-r1 ) -1, rr > -1}, Iuego FR: [-1,1] x JR.

L.3.2 Caracterizaciones de la semicontinuidad superior de

la función conjunto factible

El siguiente lema constituye una herramienta fundamental en la prueba de los

principales resultados del resto de este capítulo.

Lema 1-.3.1-0 seao €@. con Fo\F no acotado. Sea {fli c Fn\F una sucesi,ón

no acotada. Para cada r € N se¿ T Ia mejor aprori,maci,ón de T en F. Si, {T} es

no acotada, entonces F no es usc en o.

Demostración. Para cada r : ! ,2,.. . , sea

0, : : {o l r r>br - ! , t€T} .

Obviamente F c Fr, para todo r. Definimos ,u), :f -T,r:L,2,.... Enronces,

para cada r, (w')'r 2 (w',)'t' es una consecuencia de o. probaremos que (wr),r )

(r')'T no es una consecuencia de or, r : I,2,....



1.3. Semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible 31

En Io que sigue consideraremos un r € N fijo. Supongamos, por reducción al

absurdo, que (u')'r > (.')'f es una consecuencia de o'. Entonces, deben existir

sendas sucesionest {}o} c Rt) v {po} C IR+ tales que

( u)'\ " rr^r( ,",,)*r-lo")\.(-(,'), T ) : tt*o

t= \ot - ;/ '" (-;/ i

(1'3'1)

Multiplicando escalarmente ambos miembros de (1.3.1) po, (1;), obtenemos

( ¡ 1\ I0: l imp l I^ f (o in ' -bt t i )+ pr l . (1.3.2)

[E \- r / )

Dado q.ue alrf - bt ) 0 para todo ú € 7, se concluye fácilmente a partir de (1.3.2)

que limo I ^l : 0 y Iimo ¡to: 0. Definimos 7o ':I .\f, para cad,a p : !,2,....t€T teT

Veamos eue ?p ) 0 para p suficientemente grande. En efecto, eliminando en (1.3.1)' / o"

), , multiplicando escalarmente por (3r), corrctuimos queei termrno pr\_t)

- l l , ' l l7: hmp {l ^t ("g - bt *:) }lá" \" ' / )

Asípues, debe exist i r unpe e N tal que D X!(alr f -h*t) f O,parap) po.

En consecuencia, paxa p ) po, \p no es i¿Jff;.u-.nte cero y, por tanto, ̂ lo ) 0.

Ahora podemos reescribir (1.3.1) como

3En rigor, estas sucesiones dependen de r. No obstante, pa"ra simplificar la notación, obviare-mos el fndice r.

G?i *): Iimo>o., { E

on|,: *) }



1.3. Semicontinuidad superior de Ia finción conjunto factible

Podemos asumir, sin pérdida de generalidad, considerando si es preciso una subsu-

cesión adecuada, que {'yr} J 0. Así, se tiene

Consecuentemente, (r')'* ) (r')'/ pertenece a (o')n : oR (Lema 1.3.7). Hemos

alcanzado una contradicción, puesto qo. / e FR y (w')'f < (w')'l .

Hemos probado, pues, que (.')' * 2 (r')'f no eS una consecuencia de or, para

r : L,2,.... Así pues, para todo r, existe rn a' € F, tal que (w')'y' < (,')'f

(luego, g' # F).

Pa¡a todo r perteneciente al segmento ly',fl se tiene (r')', < (.')'T, r:

I,2,....Entonces, para todo r : 1,2,..., podemos elegir , ' € ly',7[c F'\F de

forma que llr' -7'll ( 1. Puesto que estamos suponiendo que {/} no está acotada,

{r'} tampoco Io estará.

En resumen, hemos encontrado una sucesión de sistemas {o'} convergente a o

y una sucesión {r'} no acotada en IR', tales que r' € 4\4 para todo r € N. El

teorema 1.3.1 nos permite concluir que f no es usc en a. I

Los siguientes dos lemas están destinados a justificar la división del estudio

relativo a la semicontinuidad superior de la función conjunto factible en dos casos,

como se verá en los teoremas 1.3.14 y 1.3.15. Esta división ya ha sido anunciada al

final de la subsección anterior.

Lema 1.3.11- Sean {0"} 9 Cr 9 Cz d,os conos conueros y cerrados en IR'. Supon-

garnos que las condi'ci,ones (i) C1 : (lR+) u y (ii) Cz : IR'u no se satisfacen si'mul-

tó,neamente para ni,ngún u + 0.. Entonces, eri,ste z + 0* tal que

z € bd(c) n bd(G\cl).

Demostración. Deducimos de la hipótesis la existencia de un o € C1\{0"}

y un u e G\Cr tales que 0n ( conu{u,r}.En efecto, en caso contrario, para

32

Q,fí*) e ("on'{ (,,: *), " "})*



1.3. semicontinuidad superior de Ia finción conjunto factible

todo o € C1\{0,} y todo w e C2\Q se verificaría que 0n e conu{u,w)t de donde

,u : dl) t para algún a ( 0. En estas condiciones Cr ha de ser una semirrecta; puesto

que si existiesen ,L y u2 linealmente independientes en C1, un t¡.r € Cz\Ct arbitrario

no puede simultáneamente tener sentido opuesto a ut y o2, y si C1 fuese una recta y

fi.jamos ut € C2\C1, es evidente que si u € Cr tiene sentido opuesto a u, entonces -o

no lo tiene. Así pues, para cierto u I }nes C1 : (R+) u y C2\Q : {aul o < 0},

Io que contradice la hipótesis.

Sean, pues, ?., € C \{0,} y w eCr\Ct tales que 0,(conu{u,w}, y sea

)o : sup{ ) e [0 ,1 ] I (1 - ) )u+) t ' e G\Cr ] .

Pongamos ,: (! - )o)u-f )s?. Entones, z ebd(C) n bd(G\Cr). I

Lema L.3.L2 Sea o € Oc tal que F es no acotado. Supongan'Los que las condi,ci'ones

(i) O+F : (R*), y (ii) O+ FE : lRz no se sat'isfacen s'imultó,neamente para ni'ngún

u * 0n. Si F es usc en o, entoncet O* (Fo) : O+ (F) .

Demostración. Razonaremos por reducción aI absrudo. Supongamos que

.F es usc en d y o* (F") ? o* (F) . Aplicando el lema previo, ha de existir

z l0n, z € bd(O* (r)) nbd(O+ (r") \O* (F)) Podemos asumir que llzll : 1.

Sea t¡ € O+ (.F't) \O* (F) tal que llz - ?rll < i. Wo es restrictivo suponer que

llrll : 1, puesto que, si se elige inicialmente T¡ tal que llz - ?rll < |, entoncesi l l l

l l -A l l S l l r - r l l +( l l r l l -1) < i+] . Sear0 unpuntoarb i t rar iodeF. Para

r : L,2, . . . , sea T - no+rw. Puesto que ?, é O* (F), existe ür r"6 € N tal

que r ) rs * 7 ( F.Para r ) rs sea f la mejor aproximación de T en F.

Comprobaremos que la sucesión {f}r¿,o no está acotada. Entonces el lema 1.3.10

nos llevará a una contradicción con la semicontinuidad superior de F en o.

Para r ) 16 sea U' : ro * rz € F. Entonces

l lí. -f l l < llí ' - a'l l: rl lw - ,l l .;.

33



1.3. Semicontinwdad superior de la función conjunto factible

Así pues,

l l r ' l l > l la' l l - l l ' ' " -f l l > " - l l"ol l -;: rI - l l"ol l

Puesto que el miembro de la derecha de la última desigualdad diverge hacia *oo,

Ia sucesión {l},¿,o no está acotada. I

El siguiente ejemplo pone de manifiesto que la condición necesaria del lema

anterior no es, sin embargo, suficiente para garantizar Ia semicontinuidad superior

de feno .

Ejemplo 1.3.13 Consi,deremos el si,steml,, enF'2,

6: { t - r r r * t r2 } 2 , ¿ € ]0 ,+oo [ ] .

Puede comprobarse que f : {(nt,rz) lr, > 0, rzZrtt }. procedemos a de-

terminar oR. En primer lugar, observemos que

( (or\ -') ( ,"o"u \ ( ; )

, t eT j : { { r , , az,uz) '€ Rt lsr ) 0 , az2al t , ar :2} ,

que es un conjunto convexo y cerrado, por lo que su cono asintótico coincide con

su cono de recesión. Es decir,

oR=("on { ( : : ) , ¿€r} ) : { { r , ,az,ae) ' €R, I a t }_o, uz}0, s ,s :0}\ f \ o ¿ / ) / * l ' " - ' " - ' " - ' ' u L - ' ¿ ' - - 1 ¿ ¿ - )

: cone { (1 ,0 ,0 ) , , (0 , 1 ,0 ) , } .

Por tanto, oR es equivalente a {r1 ) 0, ,220}, luego, FR:lR+ x IR..,.. AsÍ pues,

o* (F') - tR+ x IR* : o* (F) .

No obstante, .F no es semicontinua superiormente en o, como se deduce inmedia-

tamente del siguiente teorema.

Teorema L.3.L4 Sea o € @" tal que F es no acotado. Supongamos que las cond,i-

c'iones (i) O* (.F) : (R*), y (ii) O+ (f") : IRu no se satisfacen simultó,neamente

para ni,ngún u + 0n. Entonces, F es usc en o si y sólo si FE\F es acotado.

34



1.3. Semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible

Demostración. El corolario 1.3.8 prueba que la condición'FE\F' acotado' es

suficiente para la semicontinuidad superior de F en o. Veamos que esta condición

es también necesaria, razonando por reducción al absurdo. Supongamos que f

es usc erl o y F"\F es no acotado. Sea {?'} c Fn\F una sucesión tal que

Iim, ll/ll : *oo. Para r : L,2,..., sea f Ia mejor aproximación de f en F.

Veremos que la sucesión {/} no está acotada. Entonces, aplicando el lema 1.3.10,

alcanzaremos una contradicción.

Supongamos que {/} está acotada. La sucesió" {e}

posee una subsucesión

convergente hacia cierto z € JR', con llzll : 1. La subsucesión de {Z'} construida

a partir de los mismos índices que la subsucesión anterior posee, a su vez, una

subsucesión convergente hacia cierto 7 e F. Para simplificar la notación, podemos

yasuponer, que lim,f : ry l im" ff i: e. Veremos que z eO+ (f 'n) \O+(F) ,lo que contradice el lema I.3.I2.

Comprobemos, en primer lugar, que z €. O+ (Ft) . En efecto, sí a,r ) b es

una desigualdad del sistema reforzado oR, puesto que it € FR, se tendrá a,f 2ó. Por tanto, a'ffi > Tuh,de d.onde, haciendo r tender hacia +oo, se obtiene

a'z ) 0. Denotando por Mn aI primer cono de momentos de oR, hemos visro que

z € (MR)" : O+ (F") .

Por otro lado, para cada u € 4 se tiene

( f - f ) ' , > ( f - f ) ' { , r : I ,2 , . . . .

AsÍ pues, dividiendo ambos miembros de la desigualdad anterior por ll/ll , y he

ciendo ¡ --r *oo, obtenemos -ztr ) -z'Í como consecuencia de o. De aquÍ se

deduce inmediatamente que z ( O* (F), luego, z € O* (F^) \O+(F), como se

quería demostrar. t

Resta por estudiar eI caso O* (F): (lR+) uy O+ (F") : IRu, para algún u + 0*

(podemos suponer que llull : 1). Recordemos que éste es esencialmente el caso del

ejemplo i.3.9. El siguiente teorema caracteriza la semicontinuidad superior de F

35



1.3. Semicontinuidad supeúor de Ia finción conjunto factible

en este caso.

Teorema 1-.3.15 Sea o € O" tal que O* (F) : (lR+) u a O+ (F'") : Fiu, para

algún u € IR' con llull: I. Entonces, F es usc en o si, y sólo sl (FR n {u}") \f

estó, acotado.

Demostración. Comenzaremos probando Ia implicación ((9 " por reducción

al absurdo. Supongamos que (fo n {"}") \F es no acotado. Entonces, podemos

elegir una sucesion {T} c (F' n {"}") \F tal que lim, ll/ll : *oo. Sin pérdida

de generalidad, podemos suponer que lim" ffi : zr para algún z col llrll : 1.

El mismo argumento utilizado en la prueba del teorema 1.3.14 asegrua que z €

O* (F') : IRu. Nótese que z I -u (puesto qtre z e iu)'). Por lo tanto debe ser

z : u .

Para cada r : L,2,..., sea f Ia mejor aproximación de 7 en F. Veremos

que la sucesión {z'} no está acotada, alcanzando una contradicción con el lema

1.3.10. Supongamos que {/} está acotada. Sin pérdida de generalidad podemos

suponer que {z'} converge a cierto r € F. De forma análoga a como hacíamos en

el teorema 1.3.14, concluimos que -z'n ) -z'r es una consecuencia de o y, por

tanto, z É O* (F) . Puesto que z : u¡ esto supone una contradicción.

Seguidamente probamos la implicación cc s tt. Sea to € T, y definamos el

nuevo conjunto de índices Í :: T U {¿0}. Sean é, I v F los correspondientes espa-

cio paramétrico, distancia extendida y función conjunto factible, respectivamente.

Consideremos el sistema

i 7 {alrr } b¿, t, € T; u'n < 0},

donde la última desigualdad está asociada al índice úe. Sea F : F1;) : F n

{-r}". Se comprueba inmediatamente que eI primer cono de momentos deó,M :

cone ({a¿ , t e T; -u}), coincid.e con IR', de donde se deduce qr." F es usc en ñ

(si ñ es inconsistente, basta aplicar [I2,Th.6.3]; si ñ es consistente, nótese que F

está acotado).

36




Seap > 0 tal que, simult¡íneamente, -F'c pB y (f"n{"}') \F c pcl(B).

Pues toqnuFesuscenñ, ex is teun6 ) 0 ta ique F1 c pB para todoñr e 6 que7t- -\

verthque d,\o1,,o) 1 €.

Seao l : { (o l ) ' *> b l . , t € f } e O ta l que d (o1 , o ) 1e , ysea

t€T i 1 / r<0 ) .)

Obviament" l1ór,ó) : d(ot,o) 1e. En consecuenciu, F, c pct(B). Así pues, se

tiene

(F,\r) n {r}'c (F'f\r) n {r}' : (Fo n {"}') \F c pct(B)

(4 \ r ) n { - r } " :F t \FcFl c pc t (B) .

Por Io tanto, hemos probado que F1\F C pcl(B),lo cuai equivale a ,F'1\pcl(B) c

F\pcl(B). El teorema 1.3.1 garantíza entonces la semicontinuidad superior de F

eno . I

Los teoremas 1.3.14 y 1.3.15 caracterizan Ia semicontinuidad superior de .F en

un sistema consistente o j con conjunto factible no acotado, en términos únicamente

de o y de sus elementos asociados, no involucrando a los sistemas de un entorno

de o. Nuestro objetivo ahora consiste en caracterizar Ia semicontinuidad superior

de f en o (con F no acotado) en términos exclusivamente de los coeficientes del

sistema. Para ello utilizaremos el cono caracterÍstico, KR, del sistema reforzado oE

asociado al sistema consistente 6 : {alra } b¿ , t € T}, que puede describirse como

Kn= / / ( / c \ \ \

[ ( 0 " ) ] \=cone((-" ' t(;J, te rj)- ' \ \-t) I)

El siguiente lema técnico nos permitirá probar que KR es cerrado.

Lema 1-.3.16 Sea C un cono conaefo y cervado en lRP, y sez, z € Rp\C. Si. -z ( C,

entonces cone(C U {r}) es cercado.

37

ó. r , : { ( "1 \ ' r>b l" r ' L \ * r /

* - " t )




Demostración. El resultado puede obtenerse a partir de [12, Th. A.4]; no

obstante, debido a su brevedad, proporcionamos una prueba autocontenida. Sean

{a'} c C y {p,} C IR+ dos sucesiones tales que {y' + t¿,2} converge hacia cierto

s € IRp. Veamos que n € cone(Cu{z}).Si {lr,} t iene algunasubsucesiOn {¡¿,*}

convergente (y denotamos por p a su límite), entonces limayro: r, - p,z e C, por

ser C cerrado, luego, : (, - p,z) * p,z e.cone(C u {"}) . Si {p,} no tiene ninguna

subsucesión convergente, ha de ser lim, pr: *oo. Entonces, Iim, (p;ry' + z¡ : go,

luego -z : Iim,p";ry' € C, en contradicción con Ia hipótesis. I

Corolario t.3.LT KR es cerrado.

Demostración. En primer lugar observaremos que el cono

n¡B .-

es cerrado (véase [14, Lem. 2.1]). Si (31 e lúR, entonces KE: lúR. Supongamos,

por tanto, q* (1i) # N'. Puesto que d es consistente, (0¡) # N^, ya que, de lo

contrario, 0 > 1 sería una consecuencia de oR, y por tanto éste serÍa inconsistentea,

Io cual es absurdo. Aplicando el lema anterior, se obtiene que KE es cerrado.

Teorema 1.3.18 Sea o : {alrr } b¿, t e T} € O", con F no acotado. Se ueri,fi,ca

lo si,gui,ente:

(i) Slt F conti,enerectas (es deci,r, di,m{a¿, t,eT) 1r), entonces f es :usc en

o si, g sólo si, KR : cl(K);

(i i) ̂ 9¿ F no cont' i,enerectas, sea{a¿r,...,at-} unabasedeiR', A sel,u:t-orr.2 : L

Entonces, f es usc en o si, y sólo si, eriste un B e R tal que

"o , " (N^, { ( ; ) } ) :

"on"( " t ( / r ) u

{ ( ; ) } )

aBn [72, Th. 4.4] se ca¡acteriza la consistencia de un sistema o en términos de su segundo cono

d,e momento.s, . l/ : *"" ({{i),¿ € "})

.

38

( "onu { ( í ; ) , ' . ' } ) . "




Demostración. (i) Dado que F y FR son convexos y cerrados, en virtud de

Ios teoremas de separación y del Lema de Farkas, se concluye inmediatamente que

F : FR e KR: c I (K) .

Ademiís, en este caso se verifican las hipótesis del teorema 1.3.14, Iuego .F es usc

en a si y sólo si Fa\F está acotado. Por otro lado, si z genera la dirección de

una recta contenida en F, y existiese un punto r € Fa\F, entonces se comprueba

inmediatamente que la recta r * IRz está contenida en Ft\F, Iuego éste no estaría

acotado. En conclusión, f es usc en o si y sólo si f'n : f'.

(ii) El sistema {a| r > 0, ,i : I,2,...ni wtr 10} tiene como única solución ¿ :

0' (ya que la elección de 'u garantiza que cualquier solución de este sistema es

ortogonal a los a¿,, 1 ( i < n). Por lo tanto, el conjunto {r e F I w't < P} es

acotado (posiblemente vacÍo) para cada É e R. Distinguiremos dos casos.

Caso (a): Se verifican las hipótesis del teorema I.3.I4. En este caso se tiene

.F usc en o + Ft\F' acotado +1P e lR tal que .F'E\F c {r e IR" ltu,r < B}

e=P € IR ta l que FRn{ r € IR ' l , ru ' r > P} : Fn{ r € R" I w ' r2 0 )

e =p e rR tal que cone(r" u {(;) })

: "on" ("t(rf)

u {(;) })

La última equivalencia se debe a que los conos involucrados son los conos de rela-

ciones consecuentes de los sistemas obtenidos ampliando oR y o con la desigualdad

wtn ) B. Nótese que el lema 1.3.16 garantiza que ambos conos son cerrados, pue$o

que la relación -'.1)'Í > -P no es consecuencia de o, y por tanto, tampoco de o€.

Seguidamente probaremos la implicación recíproca. Para ello, en virtud de la

cadena de implicaciones anterior, podemos partir de la hipótesis

39

3B e R tal que F"\F c {r e lR' I u."r < P} .



1.3. Semicontinwdad superior de Ia función coryunto factible

Veamos que Fn\F está acotado, y por tanto el teorema 1.3.14 garantiza Ia semicon-

tinuidad superior de F en o. Si FE\F no estuviese acotado, podríamos considerar

una sucesión {T} C .Fn\.F tal que tim" ll/ll : *oo. No es restrictivo suponer quef a . l

tÉli] converge hacia cierto z, con ll"ll : 1. Puesto qtrc u'f < É para todo r, se

t ieneque wtz10, dedondese deduce que z eO+ (F) , yuque {z e F lw ' r < p }

con p suficientemente grande, es acotado"y no vacío. Como z e O+ (F") , alcan-

zamos una contradicción con el lema 1.3.12.

Caso (b): Se verifican las hipótesis del teorema 1.3.15, esto es, O* (F): (R+),

y O* (F"): lRu, para algún z e iR"\{0,,}, que podemos suponer unitario. Veamos

en primer lugar que u'w > 0. En efecto, se tiene u'atn 2 0 para i : L,2,...,n. Si

todos los u'a¿n fuesen nulos, sería z € {orr,...,ar.}L: {0r} , lo cual es absurdo.

Supongamos que f es usc en o. El teorema 1.3.1b garantiza que (FR n {z}") \festá acotado, luego existe un B e IR tal que

(r" n {"}') \F c {r e IR' l r'* < 0} ,

que equivale a

FRn {r} ' n {r e JR" lr ' , } 0} : Fn {r} ' n {r e IR" l ,ru'r > p}.

Veamos que, si B es suficientemente grande, eI término {u}' puede suprimirse en

la expresión anterior sin alterar las intersecciones resultantes. Bastará ver que, sip es suficientemente grande,

.FRn{r r } 'n{ r e IR" Iw ' r } 0} : FRn { r € IR ' l , ru 'z > P} .

En efecto. en tal caso se tenüía

40

F n{r€ R" I u'n ) p} . Fon {e € R" I w'n 2 B}



1.3. Semicontinuidad superior de la función coniunto factible

: FRn { r } 'n {z e IR ' l To ' r > P} :Fn {u } 'n { r e IR ' I t r ' r > P} .

Supongamos, por reducción al absurdo, Qüe tal B no existe. Entonces, para

todo r € N existe un Í' e FR n {r € lR' I tr.,'r > r} tal qve u,'r' < 0. Es obvio que

{z'} no está acotada, pues no lo está {w'r'}. Podemos suponel, sin pérdida de

generalidad que lim, ll"'ll : *oo y que la sucesión {--:t}

converge hacia cierto

z ebd(B) n O* (F"),luego z € {-u,,u}: Ademrís, se tiene u' 'z 10y w'z } 0. Sin

embargo, para z: u no se verifica utz 10, y para z: -'t1, no severifica w'z) 0.

Alcanzamos asÍ una contradicción.

Así pues, ha de existir un B € IR tal que

Fn n {r e IR'" l r'* 2 0} : Fn {r € IR'" I tr."r > P},

Io que equivale a

"on" (x^, {(;)}) :

"o," ("t(r() u {(;) })

Probaremos ahora la implicación recÍproca. En virtud de los razonamientos

anteriores, podemos partir de la hipótesis

3B e IR tal que (f" n {"}') \F c {r e IR' l r'* < g} .

Veamos que (FR n {"}') \F está acotado, de donde se deduce Ia semicontinuidad

superior de F en o utilizando el teorema 1.3.15. Si (FE n {"}') \F no estuviera

acotado, procediendo de forma análoga a como se hacía en la segunda parte de la

pruebadelcaso (a), encontrarÍamos unz e bd(B)nO+ (f 'R) tat queu'z > 0y

w'z 10. Por lo tanto, ha de ser z e. {-r,u}. Sin embargo, z : u no verificawtz 10

y z : -u no verifica u'z ) 0, con Io que llegamos a una contradicción. I

El siguiente corolario establece una condición necesaria para Ia semicontinuidad

superior de .F en o € @" cuando se verifican las hipótesis del teorema 1.3.14.

4T



1.3. semicontinuidad superior de la función conjwtto factible

Corolario 1-.3.1-9 Sea o € @. tal que F es no acotado. Supongamos que las con-

d,i,ci,ones (i) o+F: (R+)u g (ii) o+FR: IRu no se sati,sfacen si'multá,neamente

para ni,ngún u + 0n. Si T es usc en o, entonces

McMRcc l (M) .

Demostración. Sea P t pn*l --+ ]R' Ia aplicaciÓn proyección sobre las n

primeras coordenadas. Dado que, en general KR C cl (K), obtenemos

MR : P (K") c P (ct (¡r)) c cI (M) .

Comprobaremos que se verifica Ia inclusión M C Mn cuando f es usc en a. Dis-

tinguimos los dos casos contemplados en el teorema 1.3.18, esto es, que F contenga

rectas o no. En el primero de ellos se tiene que K c cl (K) * Ko,luego

M:p( / r ) c P(K ' ) :MR.

Situémonos ahora en eI caso (ii) del teorema 1.3.18, y consideremos el vec-

tor tu allí introducido. El teorema [12, Th. A.fls establece que w e int (M) .

De la caracterización dada en el teorema 1.3.18 se deduce inmediatamente que

M C cone(U"U{r}) .Para probar que M C MR, bastará comprobar w e MR.

Supongamos, por reducción al absurdo, que ?¿r I Mo.Utilizando de nuevo [12, Th.

A.Z], puesto que w e int (cone (Uo U {r})) , existe en MR U {r} un sistema gene-p

rador de IR', {rt, ..., uo) y unos escalares positivos, d1, ...,dp, tales que * : D onon .

Como estamos suponiendo que u # MR, alguno de los ui, pongamos up, ha de ser

5En concreto, la consecuencia de dicho teorema que estamos utilizando puede enunciarse como

sigue: Sea X unsubconjuntonovacfo delR'y sea z e cqne(X). Entonces z eint(cone(X)) si y

sólo si existe en X un sistema generador de IR', {r',...,sp}, Y esca,la¡es positivos, otTt .'.¡oo talesp

ertl z: D q¿r'.; - l

42




igual a u.' (y los restantes pertenecen a MR). Así pues,

p-ls-l ;

l r : ) a i u ' + a . w .z--/i:1

(1.3.3)

Distinguiremos tres casos, según apsea menor que 1, mayor que 1o igual a 1.

Si ao < 1, se deduce inmediatamente de (1.3.3) que ,rr,' € MR, en contradicción

con la hipótesis de reducción al absurdo. Si oo > 1 deducimos de (1.3.3) que

-w € Mo (ccl(M)). Puesto que u e int(M) , se obtiene en virtud del lema

de acces'ibi,Ii,dad6 que 0,, € int (M) , luego M : R', y por tanto F está acotado

(proposición 0.2.1), en contradicción con Ia hipótesis.

Si ao : 1, (1.3.3) se reduc. u E

d.¿'t)i :0,,. Por tanto, -ui e MR, para i :

! , . . . ,p - 1. Así pues, sp¿n({r t , . . . , ro- t } ) c MR; de hecho, span({u1,. . . , ro- t } ) ,

cuya dimensión es n-1, ha de coincidir con MR, pues de lo contrario Mn contendrÍa

a w o a -w. Ei segundo caso ha sido ya descartado, y el primero no se verifica

bajo nuestra hipótesis inicial de reducción al absurdo. Deducimos entonces que

O* (Fo) coincide con (MR)r, eü€ es una recta vectorial. Puesto que estamos

analizando el caso en el que F no contiene rectas, el lema 1.3.12 nos conduce a una

contradicción. I

Observación 1.3.20 Nótese que la tesis del corolario anterior no es uó,li,da bajo las

hi,pótesi,s delteorema 1.3.15, puesto que sifuese M c MR ccI(M), consi,derando

sus conos polares posi,ti,uos, se tendrla O* (F") : O+ (F) .

El siguiente ejemplo muestra que la condición necesaria del corolario 1.3.19 no

es, sin embargo, suficiente para la semicontinuidad superior de F en o.

Ejemplo L.3.2L Consi,deremos el si,stema

tq + t r2 ) t , t : I ,2 , . . .

r 7 * f . 2 > . 2 , Ú : 0 .

6Sea C un cowjunto conuero no uacío er¿ lR'. Si r eint(C) e y e cI(C), entonces)r,ylcint(C). Véase [12, Th. A.5].

43

" : {



1.3. Semicontinwdad superior de la función conjunto factible

Se comprueba inmediatamente que .F' : {(rr, "r)' e R' | ,, * z,2} 2}, así co-

mo que M : cone ({(1,1)'}). Seguidamente determinaremos Fo y M'.

Si z € """r({G),

ú€"}) , entonces existen ciertos índices tr,. . . ,¿e e NI y

escalares no negativos )1, ..., )p¡ )pal, .on of

l¿ : 1, tales que¿: l

p

z :D\¿( t¿ , t¿ , t¿ ) ' * )o * , (L , I ,2 ) ' : a (1 ,1 ,1 ) '+ )p+r (1 , I ,2 ) ' ,

p

donde o ,: u=i_\¿t¿

€ [0,+oo[. por lo ranro, si z € ("onu ({tf;l , tet}))_

con llzll : 1, ha de exisrir una sucesión {zk} C conu({ffl , ter}) tur 0".üru llzell : *oo y z:Iiruffi. Pongamos, para cada k € N,

zk : e .k( l , 1 , 1) ' * 7r (1 , r ,2) ' ,

donde dx € [0, +oo[ y ln € [0,1] . Es evidente que lim¿a¡ : foo, Iuego z :

* (1 ,1 ,1 ) ' .

Resulta ahora inmediato que

(,onu({ft ' \ , t€' )\\

\ " -

\ t \0 , / ' " ' ' ¡

) ) * : cone ( { (1 ' 1 ' 1 ) ' } ) '

Por tanto

FR: { ( * r , r r ) ' € R ' I 11*12 ) t } v MR:cone( {Q, \ ' } ) : tW.

Sin embargo, F no es usc en o, puesto que ro\F no está acotado (teorema 1.8.14).

Terminaremos este capÍtulo con unos ejemplos que muestran que Ia condición

M c MR c cI (M) del corolario 1.3.19 no puede refinarse.

Ejemplo L.3.22 M U M^ $ ct (M). Consi.deremos el si,stema, ez IR2,

44

6 : {rt-Lh I rnz } -rt, (r,t) e Nx ]0, a*[] .



1.3. Semicontinuidad superior de la función conjunto factible 45

Puede comprobarse que ¡ : {(rr,rr) 'e R'I nt} 0, n2> -2r/n1}, Inego o

está en las condiciones del corolario 1.3.19. Por otro lado, este sistema se ajusta

al formato del ejemplo 1.3.2, Io que prueba la semicontinuidad superior de .F en

o. De hecho, es inmediato comprobar que el sistema reforzado o& es equivalente

a o, luego KR: ct(K) (recuérdese que KR es siempre cerrado). Seguidamente

determinaremos M y MR.

Es inmediato que

M : {(auaz)' € R' | 9r ) o, a, > o) u {oz} .

Se comprueba ademiís que

KR : cone (K u {(r, o, o)'}) ,

de donde

MR : { (Ar ,A) ' € R, I Ut } 0 , Ar 2 0} u {02} .

Así pues M 9 M' S ct (M).

Ejemplo 1.3.23 M , M' : cl (M) . Consi,deremos eI s'istema, en 1R2,

6 : {rt-lzl ' * rcz } -rt, (r, ú) e Nx ]0, 1]} .

En este caso

r : { (q ,nz) ' | 0 < " t 1 r , n2> -2J- " r }u

{ ( r t , nz ) ' I q } r , r ,2> -1 - " t } .

Como en el ejemplo anterior, F q usc en o y KR : cl (K). Por otro lado,

M : { (ar ,az) ' €R, I 0 1 az < at } u{0r } .



1.3. Semicontinuidad supefior de la función conjunto factible

Al igual que en el ejemplo anterior, KR : cone (K U {(t,0,0)'}) , y por tanto,

MrMo:cI(M).

Ejemplo L.3.24 M : MR j ct (tW) . Consideremos ahora el si,stema, en IR2,

6 : {rt-rc._ * rnz }_ -rt; (r,t) e Nx [1, +oo[] .

EI conjunto factible de a es

F : { (nur r ) ' I r , 1 L , r ,2> -1 - " r }u { ( " r , rz ) ' I q } r , 12> -2J* r } .

Como ocurre en los ejemplos anteriores, .F es usc en o. Ademfu, KR: K (cerrado),

v se tiene

tw : {(auaz) '€ R' I az} h t o} u {0r} : M" rct(M).

46



Capítulo 2

Estabilidad del valor óptimo y del

conjunto de soluciones óptimas

2.L Introducción

Una vez analizada la estabilidad del conjunto factible de un problema de Progra-

mación Semi-Infinita Lineal, incorporamos al análisis de la estabilidad la función

objetivo del problema.

Los únicos antecedentes de los resultados presentados en este capítulo en re.

lación con la estabilidad de la función valor óptimo y la función conjunto óptimo

provienen del campo de los problemas continuos, y pueden encontrarse en trabajos

de Brosowski y Fischer (véanse [3] V [9], y las referencias que allf se indican). La

mayoría de los resultados presentados en dichos trabajos pueden obtenerse como

consecuencia de los teoremas incluÍdos en este capÍtulo. A diferencia con nuestro

tratamiento, en el que la función valor óptimo y Ia función conjunto óptimo se de-

finen en el espacio paramétrico, fI, de todos los problemas de PSIL (con el mismo

conjunto de Índices, ?), en los trabajos citados de Brosowski y Fischer se define

Ia primera en el espacio de los problemas continuos acotados, flob, y la segunda en

el de los continuos resolubles, flo". En nuestro contexto será de utilidad establecer

algún resultado en relación con el carácter acotado o resoluble de los problemas

47



2.1. Introducción 48

suficientemente próximos al problema considerado. En este sentido destacamos el

Iema 2.2.2, el cual afirma que, si F* : F. (n) está acotado, entonces todo proble-

ma consistente suficientemente próximo a ?r es, de hecho, resoluble. Este hecho,

junto con el teorema L.2.L, insinúa la gran estabilidad de Ia que goza un proble.

ma r cuando en él se satisfacen simultáneamente la semicontinuidad inferior de F

y la acotación de.F*. Esta situación podrá ser constatada en los resultados que

presentamos en este capítulo.

De cara al estudio de la estabilidad del valor óptimo y del conjunto óptimo

resultará de gran utilidad corsiderar Ios conjuntos de niuel (i,nferior) del probiema

7r-, que vienen dados por

L (a ) : : {ne F IC*<a} - { r €R" I a l r r>U, teT ; c 'n1a} , c€1R, .

Nótese que, aunque la notación no Io refleja explícitamente, tr(a) depende de ur".

Así, los conjuntos de nivel de un problema diferente 7r1 s€ denotarán por tr1 (o) .

Dado que I(a) puede considerarse como el conjunto factible del sistema que resulta

de ampliar cr con la nueva restricción c'r 1 a, podrán explotarse en este capítulo

Ios resultados del capÍtulo anterior. Esta técnica, consistente en considerar sistemas

ampliados con una nueva restricción, será de uso frecuente a lo largo diversas prue.

bas. De hecho, esta técnica ya ha sido utilizada en parte de la prueba del teorema

1.3.15.

La sección 2.2 contiene los principales resultados concernientes a la función valor

óptimo. En una primera subsección se analizan las propiedades de continuidad de

t9, mientras que en una segunda parte se propone una definición de buen condiciona-

miento del problema en el sentido de Hadamard, basada en Ia estrategia de resolver

aproximadamente una sucesión de problemas acotados convergente hacia z-. Este

concepto de buen condicionamiento, que no requiere la unicidad de la solución óp

tima, está enfocado hacia la estabilidad del valor óptimo, como pone de manifiesto

el teorema 2.2.6, y se inspira en el texto de Dontchev y Zolezzi, [B]. Dedicaremos



2.2. Estabilidad del valor óptimo 49

el capÍtulo 3 de la memoria a establecer, en términos de estrategias de resolución,

un marco general en el que situar ésta y otras nociones de buen condicionamiento

del problema.

La sección 2.3 está dedicada al estudio de las propiedades de continuidad de

Ia función conjunto óptimo, f*. Mientras que .F es siempre cerrada en cualquier

problema consistente, no se dispone de un resultado análogo para f*. En el teorema

2.3.1se determinan los problemas en los que .F* es cerrada, alavezque se analizan

la semicontinuidad inferior y superior de F*. Finalizaremos esta sección con una

tabla que resume los principales resultados del capítulo. La sección 2.4 presenta

una colección de ejemplos en la que se muestra que, en aquellos casos en los que

algunas propiedades quedan indeterminadas en la tabla, dichas propiedades pueden

tanto verificarse como no hacerlo, independientemente unas de otras. No existe,

por tanto, ninguna relación subyacente no contemplada en la tabla. Finalizaremos

el capítulo con una sección dedicada al análisis de la estabilidad en el caso continuo.

En esta sección recopilamos en sendos teoremas algunos resultados obtenidos por

Brosowski y Fischer, que en su mayoría pueden establecerse de forma directa a partir

de los resultados presentados en este capítulo. Nos remitimos, a este respecro, a

los comentarios que indicábamos al principio de esta introducción.

2.2 Estabilidad del r¡alor óptimo

A lo largo de esta sección trabajaremos frecuentemente, como ya se ha indicado,

con los conjuntos de nivel de r, L(a), con o € IR. Empezaremos notando que todos

los conjuntos de nivel no vacíos de zr' € fI" tienen el mismo cono de recesión, que

viene dado por

O+ (L(a) ) : {s e IR ' lo íy ) 0 , ú eT; Cg < 0} : {ar , t eT; -c } .



2.2. Estabilidad del valor óptimo

para cualquier o € IR. tal que L(a) I A. En particular, si zr € fI' F* : L (o) ,

donde u:ti (z') , estará acotado si y sólo si I(o) está acotado paratodo a ),u.

El Iema 2.2.2 desempeñará un papel destacado a lo largo del capítulo. Para su

prueba nos apoyaremos en el siguiente resultado:

Lema 2.2.1, [13,Lem. 4.2] Sea{a", s e ,S} c Rn g seaae i,nt(cone({¿", s € ^g})) .

Entonces, eri,steune ) 0 tal quea €,int(cone ({ol, r € S})) s, iempre quella" - "111."

<spa ra todoseS .

En el próximo lema, int.(ilr) representará el interior del conjunto fI, en la

topología relativa a fI".

Lema 2.2,2 sea r € n". Entonces, r e i,nt"(flr) sa y sóIo s,i F* es acotado y no

uacío.

Demostración. Si ,F. es acotado y no vacío, entonces O* (F-) : {0??} :

{or, t e T; -c}'o bien, equivalentemente,

0, e int(lR") : int (cone ({or, te 7" ; -c})) .

Nótese gue, en virtud del lema anterior, para cualquier otro problema 11 : (cL , o1) ,,

con ó (nt,r) suficientemente pequeña, se tiene 0," € int (cone ({"L t € T; -cr})) .

En consecuencia, para todo problema consistente 7r1 err un cierto entorno de zr, todos

sus conjuntos de nivel, Lt (a), no vacíos estarán acotados. Puesto que u *, (cL)' n

alcanza su mÍnimo en todos ellos (al ser compactos), se deduce que Ff es acotado

y no vacÍo.

RecÍprocamente, si n : (",o) e int"(fl") y F* es no acotado, consideremos

u e O+ (F.), u I 0n, y construyamos Ia sucesión de problem* {r, :: (c - *",")} .

Obviamente lim,z". : 7t y {n,} c [I"\II¡, puesto que, para cualquier r,* € F*,

se t iene r *+ \u €F*c F :F , ,pa ra todo)>0 ,y l im¡ - * ( " -L , " ) ' ( " *+ )z ) :

u - lu'x"-lim¡--) llrll' : -m. Se alcanza así una contradicción. I

50




2.2.L Propiedades de continuidad de la función valor ópti-

mo

Las propiedades de continuidad de ú se establecen en el siguiente teorema:

Teorema 2.2,8 Si, r : (c, o) e TI", entonces:

(i) F es lsc en ¡r si y sólo si, ú es usc "en

7r.

(ii) S? F" es acotado y no uacío, ú es lsc en ¡r. Para r € 176, el recíproco es

ci,erto.

(í11) Cuando F es Isc en r A F* es acotado y no uacío, eri,sten escalares pos,itiuos,

rl y k, tales que, si 6 (n¿,¡r) 4 rl, i:1,2, se uerifica la desígualdad lipschitziana

lr9 ("r) - ,9 ("r)l 1 k6 Qr1,r2) .

Demostración. (i) El'sólo si'puede obtenerse como consecuencia de [8, Prop.

2 en Cap, IX]. No obstante, en aras de la completitud de la exposición, proporcio.

namos una prueba autocontenida. Admitamos que.F es Isc en n. Hemos de probar

que, dado p > a (: 19 (r)), existe un ? > 0 tal que se verifica q 1 F para todo

n1 € fI que satisfaga ó (zr'1, r) < q.No descartamos Ia posibilidad de que u sea igual

a -oo. Fijado ¡.1, consideremos el sistema

6 ;: {alrr > bt, t €.7 1 c,r < p.} ,

cuyo conjunto de índicet "t

i :: ?U{úo}, y donde ús es el índice asociado a la última

desigualdad (to # ?). Denotemos por F alafunción conjunto factible definida en

el espacio paramétrico 6 d" los sistemas de desigualdades lineales cuyo conjunto de

índices .t f, y r"u llu distancia extendida asociada. Obviament ",

F 1A¡, denotad.o

pot F, coincide con el conjunto de nivel (de z-) l,(p).

Sear un SS-elemento de a, esto a, alrr 2 bt* ppara todoú €T y cierto

p > 0. Si cr ( p, es evidente que z es un SS-elemento deó, cuya holgura es, como

mínimo, min {p, p - cd}. En otro caso, elÍjasel e F verificando c'l sf paraalgún

51



2.2. Estabilidad del valor óPtimo

Tt elr,¡r[ (nótese que, alser ?, 1lt, eI conjunto de nivel L(p) ha de ser no vacío).

Entonces, si A € lO,Ehl,

s".o*Prueba inmediatamente que eI punto )Z+(1-,\)ñ

es un SS-elemento de ñ, cuya holgura es, al menos' min {)p, p' - Í, - ^ (Cr - til¡

Por lo tanto, F es hc en ñ en virtud del teorema L.2.L. Existe, pues' un 4 > 0 tal

quepa,ratodoñr e éver i f icandol(61,ó) <rt ,set iene Fr lA. Sinl : (c1,a1) e I I

es cualquier problema tal que 6 (nt,¡r) < n, entonces el sistema

61 : : { { r } ) ' n > b l , t €T ; ( " ' ) ' rS r }

verifi.ca qu" l1ór,6) : 6 (nt,¡r) 1 \, y por tanto F, : L, (lt) * 0. En consecuencia,

ut 1 F, como queríamos demostrar.

Para probar la implicación contraria, supongamos que d es usc eíL'tt, y conside-

remos p">u. Entonces, hadeexistirun4 > 0 talque 6(tr1,r) < 4 implicaut S F

y, necesariamente, z-1 € fI¿; esto es, r e int(Il") y, pot tanto, .F es lsc en zr'.

(ii) Dado € ) 0, hemos de probar que existe un 4 ) 0 tal que si ó(n'1, r) < n,

entonces u1 ) u - €. Siendo p > 0 tal que F* C pB, consideremos el conjunto

abierto

W'={r e IR' I C, > u - (e lz)} ) pB.

ObviamenteW > .F*. Considérese ahora el sistema

6 p {a l rn 2bt , t € T ; c ' r 1 o} , (2.2.r)

cuyo conjunto de Índ.ico "t

i :: T l) {¿o}, y ú6 es el índice asociado a la última

desigualdad de ñ (to #D. Obviamente, su conjunto factible, F, coincide con F*,

eI cual es acotado y no vacío por hipótesis. En consecuencia, F es usc en ñ. Así

pues, existe un fr > 0 tal que si l(ór,ó) <ñ, entonces n c W (no se descarta la

posibilidad de que ñ t"" vacío).

52




Considérese cualquier problema 11: (cL,o1) satisfaciendo 6 (nr,r) 1n, donde. ( - 6 r 1 r . , 1 r . ¡

4 :: min{fl, fu},

y defínase, asociado a é1, el sistema ó1e O dado por

ó1 : : { {4) ' * 2 b l , , t eT; ( " ' ) ' " < u} .

Es obvio quu I 1ór,ó) : 6 (tq,¡r) < rl'<fr, de donde Ft : Ly (u) c W.

Pueden presentarse dos posibilidades. Si Fr: A,tendremos eu€ u1 > u > u - €

(contemplando Ia posibilidad de que u1 se& igual a +*). En otro caso (esto es,

F, # A, y por tanto Fi + 0 al ser F, .o-pu.to), para cualquier n* e Fi c Ft,

puede escribirse:

u1 : (c1) 'n* :Cr* + ( r t - " ) ' r * )u- i - l l r r - r l l . " l ln . l ln r /2 )u- € ,

quedando así establecida la semicontinuidad inferior de ú en r.

RecÍprocamente, supongamos ahora que d es Isc en zr' € fI¿, y comprobemos

que los conjuntos de nivel L(p), con IL > u, están acotados, y por tanto, que 7r

es resoluble y F* está acotado. Si no fuese así, podrÍamos elegir u e O+ (L(¡1")),

u * 0n,, y construir la sucesión {n', ': (. - lu,")). Obviamente lim,n" : T y,

razonando como en el lema 2.2.2, se probaría que {n,} c II" \ [Io, en contradicción

con la hipótesis.

(iii) En virtud del teorema 1.2.r y del lema 2.2.2 existe un A > 0 tal que

6 (nr,ir) <i implica eue zf1 € flr. Fijado arbitrariamente e > 0, la semicontinuidad

superior de t9 en r garantiza que, si fr es suficientemente pequeño, se tiene ademiís

eue u1 ( u * e, lo cual es equivalente en este caso a L1(u + e) # 0, siempre que

ó ( r r , r ) < i .

Considerando el sistema

53

6 = {alrr 2bt , t e. T ; c ' r ( u * e} ,




podemos observar qnu F : L (u * e) está acotado (pues todos los conjuntos de

nivel de zr lo estiín, por ser F* : L (u) acotado), por lo que F será" de nuevo usc en

ñ. Tomando f; suficientemente pequeño y qtl : (c|,o) satisfaciendo ó (n'1, T) <i,

tendremos

Ly(u*e )cL(u+e)+8 ,

ya que L1(u * e) es el conjunto factible del sistema ñ1, dado por

(2.2.2)

61 :: {{"i¡' , >

(nótese que d (ót,6): ó (n-1, z-)).

La expresión (2.2.2) garantiza la existencia de cierto ¡t > 0 tal que ll"ll S p paxa

todo z € L1(u + e) y todo n'1 en el f;-entorno de n.

Aplicando el lema I.2.3 a ñ, concluimos la existencia de 4 > 0 (que tomaremos

verif icando 4 ( min{1,4}) y B > 0 tales que, si r¿: (c¿,o¿), i: I,2, pertenecen

al 4-entorno de zr, y puesto que L¿(u-te), ' i :1.,2, es el conjunto factible de

ó¿: : { ( " ' r ) ' r>b i , t€T ; ( "u ) ' r1u+r } , se ve r i f i ca para cada 12 e L2(u+e)

que

d( * ' ,L1 (u l -€ ) ) SÉma* [ .op , . r {O l - @) ' r r } , ( . t ) ' 12 -u -e ,0 . |

- Bmax|"p,., {Vf - @il',r) + [(ó] -b?) - ("1 - "?),"rl] ,(c2¡' rz - u - e * (cr -

" ') ' r ' , 0l

< g^a* lrup,.r {(ól - u?) - @l - o?)' *r} , (ct - cz)' ,, , 0l

S P G -f p,nr/z) 6 (nr,¡rz) : Bs6 (7ry,r2) ,

54

bl , ter ; ( " t ) ' r<u+e\



2.2. Estabilidad del valor óptímo

donde go:: P( l+pn' / ' ) . Ahora, s i n2 € Fi c L2(u- le) y tomamos rr

L1(u *e) ta l que l l r l - " ' l l :

d(r2,L1(u * a)) , se obt iene:

ut -u2-u1- 7¿z) t12 < ( " t ) ' r r - (c2) ' * '< l l " ' - "211 l l " ' l l + l l . t l l l l " t - r ' l l

< p,nr/z6 (nr,nr) * nr/2 (ll"l l." + ,i 006 (nr,nr) 1 k6 (tr1,12) ,

donde k :: nr/2lp, + 0o(llrl l"" + 1)] .

Repitiendo el mismo procedimiento para 1)2 - 1)1, se obtiene

lrt - ,r l 1 k6 (tr1,r2) . r

Terminaremos Ia subsección con un breve comentario acerca de la condición

(ii) del teorema 2.2.3. Intuitivamente, interpretamos Ia semicontinuidad inferior

de rl en zr, en términos de que el valor óptimo de un problema próximo no sea

sensiblemente menor que u. En primera instancia podríamos imaginar que Ia se

micontinuidad superior de f en zr, intuitivamente que el conjunto factible de un

problema próximo no sea sensiblemente mayor que 4 es una condición suficiente

para la semicontinuidad inferior de ú en r. Puede comprobarse, en base a resulta-

dos ya establecidos, que esta intuición es correcta para problemas continuos, no así

en el caso general. El siguiente contraejemplo muestra que la acotación de F* no

puede ser reemplazada por la semicontinuidad superior de F en r.

Ejempto 2.2.4 Consi,deremos el problernt,, enRz,

it : Inf n1

s .a tny*0n2 > -1 , t :L ,2 , . . . .

Obv iament€ , F : { re IR2 l " r>0} , F* : { reF l r ¡ :0 } (no aco tado) y

u : 0. Es evidente que .F es usc en ?r, ya que el sistema reforzado, oR, es equivalente

a {q > 0} , y en consecuencia, F : FR. Sin embargo, Ú no es lsc en n-. En efecto,

55




si consideramos Ia sucesión de problemas dada por

7rr : Inf {"r - ,-'*r}

5 .0 , 11 - r - r r z > - 1 , t : 7

trt > -1 , t :2 ,3, . . . ,

se tiene 6 (nr,,T) : r-L y, consecuentemente, limrzr, : r; mientras que ur : -!

para todo r.

2.2.2 Buen condicionamiento en el sentido de Hadamard

En este apartado presentamos un concepto de buen condicionamiento de un pro-

blema resoluble fuertemente ligado con la estabilidad del valor óptimo de dicho

problema. En términos informales, un problema estará bien puesto en este sentido

cuando sus soluciones óptimas puedan aproximarse por soluciones "casi óptimas"

de problemas próximos. En lo siguientes parrafos procedemos a introducir formal-

mente este concepto.

Dada una sucesión de problemas {n,: (c',o,)} C IIo tal que lim,n, : v,

la sucesión {r'} , de puntos de IR', se dice que es una suces,ión asi,ntóticamente

mi,ni,mi,zanüe (abreviado a.m.s.1) para ?r asoci,ada a {n,} si r' € F,^ para cada r, y

lim, {(c')' r' - ur} : g.

esto es, cuando r c ece, r' resuelve aproximadamente el problema zrr, próximo al

original.

Definición 2.2.5 El problema r € fI" se di,ce bien puesto en el sentido de Ha-

damard (H*p' , para abreui,ar) si para cad,a r* e F* y cad,a sucesi,ón {zr',} c tI6

conuergente e,7T, eri,ste aI menos uno, o,.n';.s. asociada que conaerge haci,a r*.

rDel inglés, asyrnptotically mi,nimizing sequence.2Del inglés, Had,amard, well-posed.

56



2.2. Estabilidad deL valor óptimo

El siguiente teorema muestra la estrecha relación de este concepto con la esta-

bilidad del conjunto factible y del valor óptimo. En este teorema se utilizará por

primera vez Ia condición (iii) del teorema I.2.L, que se revelará como una herra-

mienta fructÍfera en diversas ocasiones para establecer la semicontinuidad inferior

de F a traves de razonamientos por reducción al absurdo. Esencialmente, lo que

ocure es que Ia ausencia de la semicontinuidad inferior f en un sistema consisten-

te a, permite obtener como consecuencia de sistemas consistentes arbitrariamente

próximos a o, cualquier desigualdad lineal que se satisfaga en algún r e F. Este

hecho nos permitirá en ocasiones aislar un punto factible del problema original de

los conjuntos factibles de ciertos problemas a¡bit¡ariamente próximos.

Teorema 2.2.6 Dad,o n : (c,a) e flr, se ti,ene:

(i) S¿ zr es Hwp, entonces Ia restri,cci,ón de ú alI6, denotada por ú6, es continua

en¡r. Si, adenó"s F es Isc enr, entonces el recíproco es ci,erto.

(íi) Cuando F* es acotado, r es Hwp si,g sólo s,i, bi,en F es lsc ennr, o bi,en F

se reduce a un punto.

(iii) S¿ F* es no acotado y r es H.p, entonces F es Isc en r.

Demostración. (i) supongamos, en primer lugar, que zf es Hwp, y sea {n,.} c

fI6 convergente a zr. Veremos que Limra, :1¡.

Por hipótesis, dado fr* € F*, ha de existir una sucesión {r,} convergente a n*,

t a l que x ' € F , , , r : L ,2 , . . . , y l im , { ( { ) ' * ' - u , } : 0 . Pues to que l ím , ( { ) ' r , :

Cr* : 'u, se obtiene que limrur:11.

Recfprocamente, supongamos que t96 es continua en zr y F es lsc en dicho pro-

blema. Si {n'} C II¿converge aryr* e F* C 4lasemicontinuidadinferior

de F en 7r' asegura que s* € lim inf,F, (condición (ii) del teorem a L.2.2). En otras

palabras, ha de existir una sucesión {z'} , convergente a fr* y de forma que r' € Fr,

para cada ,. {n'} es, de hecho, una a.m.s. para zf asociada a {trr}, dado que

iim, { ("')' r' - r,} : Ct* - u : 0.

o t



2.2. Estabilidad del valot óPtimo

(ii) Admitamos que F* está acotado. Supóngase que 7T'es Hwp, alavez que F

contiene más de un punto y F no es lsc en zr.

Elijamos un punto óptimo n" e F* y un punto arbitrario g € F'\ {r-} . Defina-

mos u :: U -c* y, para cada r € N, consideremos un escalar postivo k' verificando

l*r,l.-iDe acuerdo con Ia condición (iii) del teorema L.2.I,la ausencia de Ia semicon-

tinuidad inferior F en n gararftiza la existencia de una sucesión {)e} c nf) Oue

sat isface D ü : t , P : 1,2, . ' . , Yt€T

(2.2.3)

Introducimos, para cada r € N, el problema T r: (c,o') , donde

58

ll*"ll-'i {

o r , : { ( - . * " ) '

oz+1 : rimr )

^f (;:)E E ¡

r 2 bt * l,.u', ,

ri*bE ^,G'i{;,) :; (;,)

t er |

Obviamente 6 (trr,") < + y, por tanto, lim'zr' : z-. Ademb, A € F", para todo

r, y u'n )- u'A es una consecuencia de cada o,, ya que (2.2.3) implica que

En virtud del lema 2.2.2,Ia acotación de F* asegura que {rc'},t- C fI", para

cierto rn.

Hemos establecido qtte u'r ) u'A, para todo r e F, mientras que z' (** - A) :

- ll"ll ', de donde u,tt* <u'g. Así pues, para este punto óptimo r* y esta sucesión

particular de problemas acotados convergente a zr, no existe ninguna a.m.s. asocia-

da, {zt}rrr¿, eüe converja a Í*, en contradicción con el buen condicionamiento, en

el sentido de Hadamard, de zr.



2.2. Estabilidad deL valor óptimo

Procedemos seguidamente a probar el enunciado recÍproco. Seguimos admitien-

do que F* es acotado, y analicemos el caso en el que -F es Isc en zr. A partir de las

condiciones (i) y (ii) del teorema2.2.3 concluimos que tg es continua en r. Puede

aplicarse entonces Ia condición (i) del presente teorema, que ya ha sido establecida.

Si, alternativamente, F : F*: {r*}, se verificará en primera instancia que -F

es usc en zc. Consideremos una sucesión arbitraria {zrr} C fI6 convergente a ¡-. De

nuevo por el lema 2.2.2 existe un número nattual m tal que rr € fI" siempre que

r) m. Escojamos r 'e Fl , paracada r) f f i ,ycompletemoscon f i , € Frsir <m.

Entonces, {"'} * obviamente una a.m.s. pa,ra 7r. asociada a {rr}.En virtud de la semicontinuidad superior de F en rl dado cualquier conjunto

abierto w qtrc contenga a F : {"*}, existirá un entero re tal que ¡} C W para

r ) rs. En otros términos, r' e w para r ) rs, esto es, Iim.a' : ¡+. Así pues, n-es

Hwp, como se quería demostrar.

(iii) Tomemos r* € ,F'* y u e O* (F.) con llzll." : 1. Definimos entonces1

F,: ;,*lU, con r suficientemente grande para garantizar que el denominador

sea positivo, y pongamos c' :: c - Fru e y' :: r" I ru. Obviament e,, y, € F* y

( " ' ) ' y ' :u -L .

Definimos también los sistemas

, T : L r 2 r . . . ,

donde las constantes positivas k,. se han elegido de modo que

59

o,::{(-. *-)' ,, b,.+ , t €r}

ll#ll_1<-and

T

l r - t llk, l

(iii) del teorema 1.2.1 no se verificaría,*17 )

C RI / ta l que I ) í : I , p : L ,2 , . . . ,teT

1T

Finalmente introducimos los problemas 7r, :: ({ , o,), que obviamente satisfacen

limrtr, - 'r y r, e 1." (ya que A, € Fr).

Si .F no fuese Isc en r,la condición

y por tanto existiría una sucesión {)e}



2.3. Estabilidad del coniunto de soluciones óptimas

satisfaciendo la expresión (2.2.3). Así pues, para cada r € N,

/ ^ +*c ' \ L / c ' \l i m - \ - ^ ? ( * ' t u r - l - - l l ." ' \b,+#) /c ' \u-r) '

y el Lema de Farkas nos permite concluir que (c')' r ) u- 1 es una consecuencia de

o,,Io que de hecho implica que y' e Fí y ar:'t) - 1, contradiciendo la condición

(i) del presente teorema. I

El siguiente corolario presenta una condición necesaria para que un problema

resoluble ?r sea Hwp.

Corolario 2.2.7 Sea ¡r € Il" un problema Hwp. Si, r* es el lími'te de cualqui,er

a.n';.s., asoci,ada a cualqui,er sucesi,ón de problemas acotados conaergente ar, en-

tonces tr* es un punto ópt'imo de r (esto es, r* € F.).

Demostración. Sea {n-,} C fI¡ convergente d r¡ V sea {r'} una a.m.s. paxa zf

asociada a {¡rr}, y convergente a r*, esto es,

Iim, { ("')' *' - u,}: 0 and Iim,{ : a*.

Nótese que z* € F, puesto que f es cerrada en n. Veamos que r* € F*, es decir,

cttc* : u.La condición (i) del teorema 2.2.6 garantizala continuidad deT96 enrj

conduciendo a que limr ur : ?. AsÍ pues,

o : Iirn, {(c')' ,' - o,} : Cn* - u. r

2.3 Estabilidad del conjunto de soluciones ópti-

mas

El siguiente teorema analiza las propiedades de continuidad de la función conjunto

óptimo. Al final de esta sección presentamos una tabla en la que se resumen las pro-

60



2.3. Estabilidad del coniunto de soluciones óptimas

piedades de estabilidad de un problema resoluble estudiadas a lo largo del presente

capítulo.

Teorema 2,3.L Dado r €II", se uerificanlos si,gui,entes enunci,ados:

(i) .F- es cercada en ¡r si y sóIo si', bi'en F es Isc en 7T r o bi'en F : F* .

(ii) Srt F* es usc er¿ r, entonces F* es cercada en¡r. Cuando F* es acotado, el

enunci,ado recíproco es cierto.

(iii) f- es lsc en r si, y sóIo si f es Isc en r y F* se reduce a un punto.

Demostración. (i) Supóngase que .F* es cerrada en zf y que, simultáneamente,

F + F. y f no es lsc en n'.

Elegido y e F\F*, será Cy : u la paxa cierto o > 0. Consideremos la sucesión

de problemffi {n', : (c,o,)}, donde

Es inmediato que limrn', : 7r y que y € .F" para todo r. Veamos que c'r ) c'y es

una consecuencia de or, para todo r. En efecto, al no ser F Isc en ur, la negación de Ia

61

condición (iii) del teorema L.2.I,garantiza la existencia de una sucesión {,\P} c Rf)

verif icando D )í : l , P: L,2,..., Y tal queteT

Así pues, para cada r € N, se tiene

rmo IteT

de donde, en virtud del Lema de Farkas, se concluye, como queríamos establecer,

qtrc Cr ) u * d es una consecuencia de o'. Se deduce, por tanto, Que g e F;,

r : I,2,.... Puesto que estamos suponiendo que .F* es cerrada en 7r, ha de ser

U € F* ,lo que contradice la elección de gt.

ú r t : { ( * * r - ' " ) ' r2b t * r -L ( 'u+o) , teT} , , r :L ,2 , ' . . .

or¿+, : ri-" E ^f (il)rcT

r(^ir.¿i")) : i (,;')'



2.3. Estabilidad del conjunto de so/uciones óptimas

De cara a establecer Ia implicación recíproca, distinguiremos dos casos. Si F:

F*, sean {n'r} y {*'} , convergentes hacia T yÍ, respectivamente, y tales que n' e F}

para todo r. Puesto que ¡li C F, y Jr es cerrada zr, se tiene que 7 € F : F*. Si,

alternativamente, F es lsc en a' y consideramos de nuevo dos sucesiones {zr'"} y {r'} ,

con fr' e f| para todo r, y tales que lim' Tr : T y lim. n' : Í, probaremos que

Í e F*. Comprobaremos a continuación.que se verifi.ca CZ S Cro para cualquier

SS-elemento, r0, de o. Observemos en primer lugar que, para r suficientemente

grande, ro € F,. Enefecto, si p ) 0 estal quealrro ) bt*p,paratodot € ?,

V 6(r,,r) < f min {t,

n-'t ' l l"oll-t} {"n"r,aiendo que llrOll-t : +* si fuese

r0 :0,,), la desigualdad de Cauchy-Schwarz nos conduce a

(oT) '*o:a l t ro +(" i -or) ' r0 > al r ro - l l "T-ar l l l l " t l l > o l r ro - l , rUr* laUf.

En consecuencia, para r suficientemente grande, se tendrá ({)' ,' S ({)' ,0, y

haciendo tender r hacia *oo se obtiene c'r < Cro.

Puesto que F es, en este caso, Ia clausura del conjunto de todos los SS-elementos

de a (condición (iii) del teoremaL2.2), se concluye que c'Í 1c'A para todo A e F;

es toes , f i eF* .

(ii) Puesto que (fI, ó) se comporta localmente como un espacio métrico (II,6) con

6(tr1,r): min {L , 6(try,r)}, puede aplicarse cualquier propiedad de las aplicaciones

punto a conjunto entre espacios métricos (véase, por ejemplo, [2]). En particular

la semicontinuidad superior de F* en fl-y el hecho de que F* sea cerrado, implican

que .F* es cerrada en z'.

Para probar la implicación recíproca, supongamos que F* está acotado. Distin-

guimos, de nuevo, dos casos. Si F : F*, la semicontinuidad superior de F en ¡r

implica la semicontinuidad superior de F* en este mismo problema. En el caso en

que .F sea lsc e\T j tafronarnos como sigue.

Sea lrtrl un conjunto abierto que contiene a F*, pudiendo verse este riltimo como

el conjnnto factible del sistemaó : {a!rr} b¿ , t <T ; Cn S o}. Nótese que ñ

62



2.3. Estabiüdad del conjunto de soluciones óptimas

es el mismo sistema introducido en (2.2.I), y adoptaremos la misma notación para

sistemas 'ampliados' que allí se utlizaba. De la acotación de F : F* se deduce que

-F u, ,rr. enñ :: (",ó) . En otros términos, existe un ?r > 0 tal qn" ñ (ñr,ñ) < ,t,

asegura que Fl C W. En particular, si consideramos Í1 :: (",ór), donde

ó1: : {a ' r r }b¿ , te T ; c ' r Su*Tr } ,

deducimos que F1 : L (u * qr) C W.

Sea z un SS-elemento de o (recuérdese que .F es lsc en n-). Si c'x < u * r7r, €s

evidente que r es también un SS-elemento de ñ1. En otro caso, elegimos I e Ft

satisfaciendo c'l 1aiTt. Entonces, para ,\ suficientemente pequeño, ,\u + (1 - I)t

será un SS-elemento de ó (este argumento aparece en detalle en la prueba de la

condición (i) del teorema 2.2.3). En cualquier caso, concluimos que F es hc en ñ1,

implicando laexistenciadeun nz>}talque n+A siempre q,r"ñ (ñr,ñr) lqr.

Nótese que, al ser .F'* acotado, todos los conjuntos de nivel no vacíos de z-están

acotados, en particular ñ : L(u*41) está acotado. En consecuencia -ñ es ademrís

usc en ñ1; luego, para cierto ?e ) 0, T (¡r,ñ) < 43 implica m c W.

Consideremos ahora un problema 12 tal que ó (trz,r) 1 r¡ :: *ir {?r, ee} , V

asociémosle el problema, en fr, ñ, ,: ("t,ñ2) , donde

ó2: : {@) ' n>b?, t €T ; ( " t ) 't . ' /

Obviament ",61ñr,ñ)

< ? y, consecuentemente,

0+ Fr : Lz(u*qr) cW.

Así pues, Fí c L2(u * qr) c W,Io que prueba la semicontinuidad superior de .F*

en7 f .

(iii) Supongamos, en primer lugar, que .F'* : {"*} y F es lsc en z'. Entonces las

condiciones (i) V (ii) del presente teorema permiten concluir que .F* es usc en ?r.

63

rSu+1, ) .



2.3. Estabilidad del conjunto de soluciones óptimas

Puesto que f es lsc en zr, existirá un ?r > 0 tal que ó (trur) < 4, implica

Que 7r1 € [". El lema 2.2.2 nos permite afirmar eue a-1 € fI" si 17, se ha elegidosufi cientemente pequeño.

Sea 14¡ un conjunto abierto que contiene a n* . La semicontinuidad superior de F*en n gararrtiza Ia existencia deqz > 0 tal que Ff c I,l/ siempre que 6(nr,zr) <rtz.siendo 17 :: min {qt.,rtr}, se tiene que 0 I Fi c w si 6 (trt,n) < q; en consecuenciaF{ nW I A,Iuego .F* es ciertamente lsc en zr.

Seguidamente probaremos que la semicontinuidad inferior de F* en zr implicaque 7f tiene una única solución óptima. De lo contrario, el$anse dos puntos diferen-tes, Í* e g*, en F*, y defÍnase u:: u* - c*. Introducimos la sucesión de problemas7r, :: (c'ro) , T : 1,2,..., cott c, :: c - lu. Obviamente limrn, : 7¡.

Puesto que u'(a. - n*) > 0, puede encontrarse un entorno abierto de r*, w,tal que u'(a* -r) > 0 paratodo z € lzz. Notemos quepara cualquier r e waFse tiene

k\' (u. - n) : c' (a* - 4 - lu' (a. -tr) < o,. T

y por lo tanto " I Fi; esto es F; nW : 0 (recuérdese que F'. : F para todo r).

Se contradice así la semicontinuidad inferior de .F* en n.

Finalmente, veamos que si .F* es lsc en z' entonces -F también ha de ser lsc en1(- Comprobaremos que ¡r € 'int (fI") (recuérdese el teorma I.2.I). En efecto, siw es un conjunto abierto tal que F* nw * A, existj.rá un ? > 0 de forma queFf nW *As i6 (nr , r ) <n ; por Io tan to f i lA s iempre que ó ( ¡ r t ,n ) <q . I

La tabla 1, que presentamos a continuación, reúne los resultados expuestos alo largo de este capítulo en relación con la estabilidad de un problema resolublez'. Dado el notable grado de estabilidad que alcarua un problema cuando en élse satisfacen simultáneamente la semicontinuidad inferior de Ia función conjuntoconjunto factible y la acotación del conjunto óptimo, hemos utilizado estas dospropiedades como criterio de clasificación, prestando especial atención al caso en elque existe una única solución óptima del problema.

64



2.4. Ejemplos 65

En la tabla se han utilizado los siguientes sÍmbolos: I <+ .F es lsc en r; II e F*

es usc en zr'; III <+ tf es lsc en z'; IV {+ ,ri es usc en r; 1116 e 8o es lsc en z.; III" e ú.

es lsc en r (t9" = d In.); T representa la negación de I (etc.).

f'* no vacío f l scenr F no lsc en z'

F* se reduce a

un punto

F:F* I, II, III,

Hwp

IV, I,II,III, IV,HWP

F+F- T, E, III, IV, mpF* es acotado, con

m¿ís de un punto

F:F* T,II,III,IV )

H*p

T, II, III, IV, Ewp

F+F- T, I I , I I I , TT,M'

.F* es

no acotado

F: F*Celda A:

T, TTf, IVCelda C:

T, IIIó, Tv, @-

FIF-Celda B:

T, fil", IVT, II, JU;, IV, Ewp

TabIa , I :Es tab i l idadybuencond ic ionamientoene lsent idoa"uuaf f i

2.4 Ejemplos

Por medio de la siguiente colección de ejemplos se muestra que en las celdas A, By C de la tabla 1, asociadas al caso 'F* no acotado', puede presentarse cualquiercombinación posible de las propiedades no fijadas en la tabla; mostrando de estaforma que no existe ninguna relación subyacente entre ellas que no esté contemplada

en dicha tabla.

Celda A: -F * no acotado, F : F* y F lsc en ¡..

Ejemplo 2.4.L II g Hwp. Consi,deremos eI problenra, enR2,

zr : In f z1

s.a tx1*12) - I , teZ Is f r2) -1 ,s .NJ



Ejemplos

Puede comprobarse3 que F : F* : {0} x IR+ y u :0. Además 02 es un SS-

elemento de a y, por tanto, "F es lsc en n-. Si n1 € fI es tal que á (nu¡r) < l, entonces

se tiene FT c Fr : F : F* y en consecuencia F" es trivialmente usc en n. Para

probar que 7r es Hwp bastará con establecer la semicontinuidad inferior de tg6 en

rc, dado que esta función ya es usc en zr como consecuencia de la semicontinuidad

inferior de F en zr. De hecho, si zr.1 € tl¿.f ó (¡q,¡r) ( 1, entonc€s u1 se alcanzará

en el único punto extremo de Fr, esto es, 02. En otras palabras, ?.r1 : 0, lo que

conlleva la continuidad de ú6 e\ T.

Ejempto 2.4.2 II g ffi. Consideremos el problerna, enR2,

r : Inf. xy

s .a tn t+0x2) -L , teZ l .

Es inmediato que F : F*: {0} x IR y tr : 0. Dado que 02 es un SS-elemento

de o, T es lsc en n'. Definiendo, para r : !,2,..., el problema

r, : Irtf (", + l"r)s .a , tq+ l r r , - ! , t eZ \ ,

cuyo conjunto factible es F. : {0} xl-r,**[, podemos observar que lim, Tr : ,rr y

ur : -r. AsÍ pues, ú¿ no es lsc en z', luego r no es Hwp. por otro lado, si a..1 € fI es

tal que 6(nt,z-) < +oo, entonces F'f C fiC F - F*,luegof* esinmediatamente

usc en 7T,

Ejemplo 2.4.3 IT g Hwp.

Notaremos en primer lugar que es imposible encontrar un ejemplo en IR2, en las

condiciones de la celda A, en el que f* no sea usc. En efecto, si a.es un problema,

3Divlda¡rse ambos miembros de cada desigualdad del primer bloque por el correspondienteÚ (salvo cuando ú : 0). En las desigualdades del segundo bloque divfdase por s. Tómense loscorrespondientes lfmites cuando ú --+ *oo v s --+ -foo.

66



2.4. Ejemplos

en IR2, con c f 0r,, y localizado en la celda A de Ia tabla 1, entonces Ia condición

F : F* asegura qtue Cr: u (esto es, c'r ) u y -ctr ) -u) es una consecuencia de

o, y por tanto

l:) . rin(cr(K)).\?r/

Dado que .F es lsc en 7r, en virtud del teoremat.2.t, lin(cl (/f)) es invariante en

un cierto entorno V de r, corstituido únicamente por problemas consistentes. En

otras palabras, si ?ry € V,, entonces

A#F c { re lR2 l c ' r : " } ,

luego los conjuntos factibles de los problemas de 7 están contenidos en una recta.

AsÍ pues, .F ly es usc4 en 7r, y por tanto para todo conjunto abierto I4l que contenga

a ,F* : .F, existirá un entorno de r, V1 C V , para el cual

F { c FycW. { r e IR2 lCn :u } cW.

En consecuencia, F* l, , y por tanto .F*, será usc en zr.

Tbas haber comprobado que el ejemplo buscado no puede construirse en lR2,

proponemos el siguiente problema en IRS :

n : I n f 1 1

s .a t r1 *sz+r3 ) *1 , t .e V ,

11*s f i 2 *13 ) -1 , s€N

f r ¡ * f r 2 l uns> -1 , u€N

- f i 2 * z3 ) - 1

Obviamente 03 es un SS-elemento de o, luego Jr es lsc en zr. Puede comprobarse

Querv ) 0, -zr ) 0, rz > 0 yus 2 0 son consecuencias deo. Paraello, divídase

67

aRecuérdese que, en el caso n : !, f es usc en cualquier problema consistente.



2.4. Ejemplos

el primer (resp. segundo, tercer) bloque de restricciones por ú, salvo cuando t :0,

(resp. s,u) y hágase tender ú ---+ ioo (resp. s ---+ foo, u --* *m). Recíprocamente

las infinitas restricciones de los tres primeros bloques son consecuencia del sistema

{r, : o,r2 } o, tr¡ } o} . Por Io tanto,

F:F* : { r€ lR t l " r :0 , z .2 )0 , r ¡ )0 , r s _ rz2 -1 } .

Si n-1 es un problema verificando que ó(tt,r) < e < 1, podemos escribirlo como

sigue:

z'1 : Inf {(t + er) rr * e2r2 * esns}

s.a ( t+e¿1)r r * (1 *et2)n2+ (1+ e 's)4 > -1 r r tn , t €V '

(1 +e i ) r r * (s*e ' r )12+(1 +e i )¿s>-1 *e i , s€N

(1 +e i )c r * (1 +€nnz*(u+r í ) rs2-1 *e t , ue N

eTq + (-1 + €t) rz+ (1 + €[) ns > -L i ef;

Es inmediato que 0e € Fl y que los tres primeros bloques de restricciones son

aún equivalentes al sistema fi.nito {"t : 0, 12} 0, 13 ) 0}; esto es,

F1 : {n €Rt l Í1 :0 , n220 , rs ) 0 , ( -1 + e í ) rz+(1 +e i )cs > -1 +eT) .

Empezaremos viendo que .F* no es usc en a'. En efecto, si introducimos Ios

problemas itr, r : L.,2,..., que difieren de zr sólo en Ia última restricción, la cual,

para cada r, ha sido reemplazada por *rz * (t + l) r¡ ) -1, resulta evid.ente que

Iim,r, : 7r, y que el conjunto abierto W : {r € R3 | -fr2* rs > -2} contiene a

F*; sin embargo,

f r ' : : (0 , r * 2 , r ) ' e4 \ W : 4 : \ lY .

AsÍ pues, F; g I4l, cualquiera que sea r, Iuego F no es usc en zr.

Seguidamente, para comprobar que fl" es Hwp, estableceremos la semicontinui-

dad inferior deTla en a'. Puesto que F1 es un poliedro, si además n"1 € fI6, su valor

68



2.4. Ejemplos

óptimo se alcanzará en alguno de sus dos únicos puntos extremos, a saber: 03/ - 1 t . w \ /

(.0,_ffi,or) ; esto es,

69

_ -E (1 +a )' --l -!-,

y puesto que lim,-o +19 : 0, queda'establecida Ia semicontinuidad inferior der - ¿

?r : min {r,'#+} , ,,,"*o,, >

- lrr l(et -t)€y -L

?96 en ?T'.

Ejemplo 2.4. Í. y

problema enR.s. Sea

H*p Al i,gual que en el caso anterior, consi,deraren'Los un

z-: Inf u1

s . t . t r t+n2* rs>-1 , teZ

f r 1 *sxZ*13 ) -1 , s€N

11* r2 *u rs> -1 , u€N

- r2 ) - L ,

Obsérvese que 03 es un SS-elemento de o, y que

F : F* : {c € IRt | " , : 0, t r8 } 0, rze [0,1] ] .

Introduzcamos la sucesión {z-r}, en la que rfr difiere de zr sólo en la última

restricción, habiendo sido ésta reemplazada por -rz * |rt , -1. Obviamente

lirytrr: zr. Consideremos el conjunto abierto W - {r e IR3 | -r, > -2}, que

contiene & F*, y observemos que, para cada r, fr' :: (0,2,r)' € F, \ W : Fi \W.

Se concluye así que F* no es usc en zr.

Probaremos ahora que 7T'no es Hwp. Consideremos ahora la sucesión {'tr',} , tal

que n., se obtiene a partir de r cambiando Ia expresión del objetivo por q - |nz, y

reemplazando ta última restricción por -ü2* *", > -1. Evidentemente lirn"a', : z'.

Ademiís,

F, :: f (7,) : conu {0¡, (0, 1,0)', (0,0, r)/} .



2.4. Ejemplos

En consecuencia, úr: *L, r : lr2, ...; por lo que ?96 no es lsc en n.

Celda B: F* no acotado, F + F* y F lsc en z'.

Ejemplo 2.4,5 II g Hwp. Consideremos el sigui,ente problemo, en iR2,

02 es un SS-elemento de zr, por lo que .F es lsc en z-. El sistema o es obviamente

equ iva len tea{21 }0 ,12>0} , luego F : { r € lR2 1" , > 0 ,n2} 0 } yF* :

{0}xlRa. Ademiís, si z-1 € fI satisface 6 (nr,ir) < L, concluÍmos que Fl - F y,puesro

que la función objetivo de n'1 puede expresarse como ("t)' * : (1 + er)cr t E2r2

(con le¿l 1I , i : ! ,2) , se obt iene (" t ) ' (á) : 1*€1 ) 0: ( r t ) '02, / por tanto el

punto (1,0)'no es óptimo páxa Í1. AsÍ pues, Fi c F* (pudiendo ser Fi :0), de

donde se concluye inmediatamente que .F* es usc en a'. Si ademrís a.1 € fI6, ha de

s€r u1 :0 : u, luego t96 es lsc en r, y por tanto zr es Hwp.

Ejemplo 2.4.6 II g ffi. Consi,d,eremos el problema, enR2,

r : Inf. t1

s.a t r t+nzZ-1, ¿e N' f

í \+.sr2>-1 , s€N i- r r2 -L )

f es lsc en 7I' ya que 02 es, una vez más, un SS-elemento de o. Puede comprobarse

fácilmente que F : [0,1] x R-l y que F* : {0} r IR+. Si .rt € fI es tal que

6 (nt,T) < I, podemos escribir "'

: (I * e1,e2)' y

70

r : Inf. 11

s .a t q+ r2 > - ! , ú€N \

Í1 ] -s r2>-1 , seNJ

f t : { r€R' I n t }0 , rz }0 , ( -1 + e i ) r r *eNr2> -1 +6í } ,



2.4. Ejemplos

donde hemos llamado c..' al índice de la última restricción, y todos los ,epsilon,tienen

valor absoluto menor que 1. Distinguiremos dos casos:

i ) uí <0. Entonces Fl : "onu {or , 11

- t f .o) ' lo ,

t - i í ) ' } .( ' ' \ t - r? ' " ) '

\ " ' - r í ) J '. i,i,) ei ),0. En ese caso 4 es no acotado y tiene dos puntos extremos, 0z y

11 - uí n\ '

\1 -e í ' " ) 'En cualquier caso, si z,1 € fI" (o, equivalentemente, 7r'1 € fI6, puesto eue ?r1 es

equivalente a un problema ordinario de programación Lineal), su valor óptimo searcanzará"en algún punto extremo. Nótese 0"" (f::í,0)'rro es optimo, ya que

("')'0,: 0 < (1 + e1) =#

consecuent";""): ;,': ^|"^,;;;os cuyaprimera coordenada es igual a cero; esto es, trT c F*, Iuego F* hade ser usc en Í..

Seguidamente comprobaremos que d6 no es lsc en zr, introduciendo una sucesiónde problemas, {n'} ? convergente a z' y de tar manera que ur - -1, r : L,2,....Pa¡a cada r, sea zr, el problema que resulta de reemplazar Ia función objetivo de7f por ("')', - n1_ *rr, y la última restricción por -r1 - trr 2 _t. puesto queF, : conu {02, (1,0)', (0, r) '}, se tiene que u, : ({) '(0,

"), - -1.

Ejemplo 2.4.7 IT y Hwp. Cons,id,eremos el problen-ra, enR2,

r : Inf. 11

s.o, rt * 0rz ) 0j

fio ::(1,0)' es un SS-elemento de o, .F : lR+ x R y .F'* : {0} x R.

Para cada r € NI considérese el problema

7r, : : Inf{r1 * l rr l " , + l rrro},

que obviamente verifica 6 (n,,n) : l,luego lim,r,: n. Evidentemente el conjuntoabierto w :: {c e JR2 | rr > -r} contiene a F*, mientras que, para cad.a r, 7r .:(-1, r)' € 4:\17, y por tanto F* no es usc en zr.

7L



2.4. Ejemplos

Comprobemos a continuación el buen condicionamiento, en el sentido de Hada-

mard, de ¡-. Si zr1 es tal que ó (ot,o) < s < 1, podemos escribir

7r1 t: Inf {(1 * e7) n1 * e2r2 | (t + rl) ",

1- elr2 > rá} ,

72

donde todos los parámetros toman valores en ]-1,1[. Entonces, zr1

só los i 3 - :=€2 ' l *e r ' ,a - e ( l +e )

1+e f 1+s1 'encuyocsso?r1 : tá1+r l ¿ -

I -e. . € (1 +e)limu-o-f_;l :0, ?9a es Isc en n.

€116s i y

Dado que

Ejemplo 2.4.8 II y Hwp. Consi,deremos el problenta, enR2,

¡r : Inf r,

s 'a q l0 rz )0 I

r t*orz>-r Iro :: (L12,0)'es un SS-elemento de a, F : [0, 1]xiR y F* : {0} *lR. Definamos

ahora, para cada r, el problema

7(7 1: I " f { " ,

+!* r l r r+ l r rao, - r t } - , }

El mismo argumento del ejemplo anterior muestra que f* no es usc en ?r.

Para probar que ?r no es H*p, considérese, para cada r, el problema

T, :: Inf {21 - 1", | *, - *"r a 0, -nt > -1}.

Nótese que ó (tr,,¡r) : i, y por tanto {zc.} converge a n. Adem¿ís, para cada r,

Fi.: F. (r,): {(r,2r)'} y u,: -I; concluyéndose que ?9¿ no es lsc en n.

Celda C: F* no acotado, F : F* y F no Isc en zc.

Ejemplo 2.4.9 II. Consi,derernos eI problema, enR2,

r : Inf. ny



2.5. Estabilidad en el caso continuo

s .a t r1 l 0 r2> -1 , t €Z )

r t i -L rz ) 0 , l- , r t , .0 r220 , )

Es inmediato que F : F* : {0} x IR. Puesto que no existe ningrin SS-elemento

de o, F no es lsc en z'. Si n1 € fI satisface que ó (¡rt,n) es finita, entonces Fi c

\ c F - F*,lo cual implica la semicontinuidad superior de F* en a..

Ejemplo 2.4.LO fr-. Consideren"Los el problema, enR2,

¡r : Inf r.,

s . a r t l 0 r z> 0 , ), }

- r t * 0 r z>0 , )

Tbivialmente F : F'. : {0} x IR y no existe ningrin ss_elemento de a. Definien_

do, para cada r, el problema

73

7t, i: Inf{21 * lr, | *, + lr, ,-0, -u r - !rr> 0},

se verifica que ó (¡r,,n): |,luego {n-r} converge a 7r-. Además

r' :: (-7,r)' € ¡;:\t/, siendo W :: {r e IR2 | *, > -1} ) F-.

En consecuencia F* no es usc en ?r.

2.5 Estabilidad en el caso corrtinuo

Llegados a este punto, resulta conveniente relacionar los resultados expuestos hasta

ahora con otras contribuciones previas al estudio de la estabilidad en Programa-

ción Semi-Infinita Lineal, las cuales, como indicábamos en la introducción de este

capÍtulo, se centran en el caso continuo.




Los siguientes teoremas muestran cómo la teorÍa general de PSIL proporciona

argumentos directos para establecer la mayorÍa de los resultados de [3, Sec. 2 y

3] y [9, Sec. 3 y a]. Aquí flo, IIo", floa y flo" representan los conjuntos de proble.

mas continuos, consistentes continuos, acotados continuos, y resolubles continuos,

respectivamente. En consonancia con ello, denotaremos por Fo V Fo" a las restric-

ciones de F aflo y no", respecüivamente, por úo6 ala restricción de ú a flo6, }, por

FL a la restricción de F* afIor.

Teorema 2.5.L [3, Sec. 2 v 3] Si, r : (c,o) e fro", entonces se uerifi,can los

si, g ui,ent e s enun ci, a d o s:

( i ) f . . eslsc enr s i ,gsólosi , ,b i ,eno sat i ,sfacel¿condic ióndeslater,obi ,enF

se red,uce a un punto;

(íi) Cuando n ) 2, Fo" es usc en r s'i y sóIo si,, bi,en F es acotad,o, o b,ien

F: IR" ;

(iii) ^92 ¡r €IIoa A fo" es lsc enr, entoncestgo6 es üsc enr;

(iv) .9en'€ floa U Fo" es usc enr, s' iendo F I IR'yn ) 2, entoncesúo6 es lscen Tl

(v) ,Sz zr € flo" y F* es acotado, entonces úo6 es Isc en r;

(vi) .92 ¡r Q IIou y o satisface la condición de Slater, entonces úo6 es usc at r.

Demostración. (i) Supongamos que Fo" ".slsc en zc y, simultaneamente, f'

consta de más de un punto y o rLo satisface la condición de Slater. Puesto que esta

condición, para problemas continuos, es equivalente a la condición fuerte de Slater,

estamos asumiendo de hecho qtrc F no es Isc en z-. EI mismo argumento utilizado

para probar Ia condición (ii) del teorema 2.2.6 nos llevará a una contradicción.

En concreto, consideremos dos puntos distintos en F, fr* e a, y definamos u ::

a - r"- obviamente, el conjunto abierto w :: {r e IR" lu'* <u,gr} intersecta a

P, pues r* e W. Sin embargo, para cada miembro zr, de la sucesión de problemas

consistentes (y ahora, ademiís, continuos), convergent e a 7r l que allí se construyó, el

sistema a," asociado tenÍa utr ) u'y como relación consecuente. por lo tanto, para

74




cada r, W a Fr: 0, contradiciendo asÍ la semicontinuidad inferior de Fo" en r.

Recíprocamente, si o satisface la condición de Slater, entonces Fo, y por tanto

fo., es lsc en zr. si, alternativamente, F : {r*} , tendremos que .F es usc en Í- y,

dado cualquier conjunto abierto W que contenga a F, existirá un ó > 0 tal que

Ft C I,7 siempre que 6 (nt,qr) < 6. Si, en particular, T1 e IIs¿, tendremos que

n aW : Ft f 0, estableciendo asÍ la semicontinuidad inferior de fo" en, T.

(ii) Es evidente, ya que 7o" es usc en r €fIo" si y sólo si .f lo es.

(iii) Si Fo" es lsc en rr, de acuerdo con (i), analizaremos dos posibilidades. Si a

satisface Ia condición de Slater (equivalentemente, Ia condición fuerte de Slater), f

será Isc en 7r yT9 será usc en n' (véase el teorema 2.2.3(i) ). Si, alternativamente, F

se reduce a un punto, zr será Hwp, y por tanto Ú6 será continua en n. En cualquier

caso se concluye Ia semicontinuidad superior de t9o6 en zr.

(iv) Si Fo" es usc en ir y F I R'", entonces F es acotado, en virtud de (ii). En

consecuencia, F* es acotado y no vacío, luego tg es lsc en z- (teorema2.2.Z(ii)), to

cual ovbiamente implica la semicontinuidad inferior de do6 en dicho problema.

(v) Es de nuevo una consecuencia inmediata del teorema2.2.B(ii).

(vi) La prueba está implícita en los argumentos utilizados en la prueba de (iii).

I

El siguiente teorema reúne los resultados enuciados en [g, Thms. 2.7, J.B y 4.21,

acetca de las propiedades de estabilidad del conjunto óptimo de un problema reso-

Iuble continuo ?r. En dicho trabajo, la función conjunto óptimo corsiderada es f;;,

definida en ffor, lo que introduce ciertas diferencias, de carácter técnico, a lo hora

de abordar la estabilidad del conjunto óptimo. En concreto, la caracterización de la

semicontinuidad inferior de "F[ en ¡' € flo, dada en [g, Thm. a.z] (v que recogemos

en la condición (iii) del siguiente teorema) requiere la existencia de un punto extre-

mo de F, para ga.rantizar la existencia de 'suficientes' problemas resolubles en un

entorno de z-. Por lo tanto, este resultado no se obtiene como consecuencia directa

del teorema 2.3.l(iii), que caxacterizarfala semicontinuidad inferior de f* ln, en ,r,

razón por la que omitimos aquÍ su prueba.

75



Estabilidad en el caso continuo

Teorema 2.5.2 [9, Thms. 2.7,3.3 y 4.2] Dado n : (c,o) € flo", se uerifican las

si, g ui,ent es co n di, ci o nes:

(i) z' e int"(Tl',) si y sóIo si F* es acotado y o sati,sface la condición de Slater;

(ii) F:" e.e usc en r s'i y sólo s'i se sati,sfacen las s'igu'ientes condic,iones:

(ii-a) .F'. es acotado;

(ii-b) Bi,en F : F*, o bi,en o uerifica la condición de Slater;

(tii) Supongan'Los que F conti,ene aI menos un punto ertremo. Entonces F[" es

lsc er¿ r si y sólo si F* se reduce a un punto y, cuando F I F*, o satisface la

condición de Slater.

Demostración. (i) Si F- es acotado y no vacío, el lema 2.2.2 permite concluir

que 7I' € i,nt.(flr). Si además, o satisface la condición de Slater, F será Isc en

z', o equivalentemente r e int(r"). En corsecuencia, r e i,nt(tr"), y por tanto

r € into (n*) .

RecÍprocamente, si r € 'into(rl*) y Fo fuese no acotado, obtendríamos una

contradicción eligiendo u € O* (F.) , u l0n, y construyendo Ia misma sucesión de

problemas {n, : (" - }", ")} considerada en la prueba del lema 2.2.2. En efecto,

{n''} c [o"\ilo¡, mientras que limrzr, :7r, en contradicción con la hipótesis.

Finalmente, si zr €'int,o(tl*) C i,nt,(T1,.) - flo O,int(tr") , constiutyendo la

última igualdad el contenido de [13, Lem. 6.1], entonces o satisface Ia condition de

Slater (en virtud del teorema 1.2.1).

(ii) supongamos que 4" es usc en 7r. Probaremos en primer lugar que F* es

acotado. Si n:1, F* sereduceaunpunto. Sin > 2y F* fueseno acotado, podrÍa

elegirse r' € bd (F-) n bd(rB), para r suficientemente grande (pongamos r ) rs).

Consecuentemente podríamos elegir y, É F* tal que lly, - "'ll : l.

Consideremos ahora la sucesión de problemffi {r, : (c, o,)} C flo, donde

or t: {o!r, > bt + 4(A, - *,) , t eT} ,

Puesto que {a¿ , t e T} está acotado, lim,>,' Tr : 7t. Ademrís, A, e F,; probare-

76




mos que, de hecho, a' e F; estableciendo que ctr ) c'y' es una consecuencia de or.

En efecto, ctn ) ?r es una consecuencia de a y, por tanto, pueden encontrarse sendas

sucesiones {)o} c Rtt) v {po} a lR.-, tales que, en virtud del lema de Farkas, se

tiene que

Io cual nos permite escribir

de donde se concluye que, ciertamente, ctn ) cty' es una consecuencia de o".

Las definiciones de r' e y' nos permiten afirmar que {y"} no tiene puntos de

aglomeración, Iuego W :: IR' \ {g/' | " Z "o}

es un conjunto abierto que contiene

d F*, mientras que .Fli $ W, para r > ro. Se contradice así la semicontinuidad

superior de Fj, en r.

La semicontinuidad superior de f!" en 7r, junto con el hecho de que F* es

cerrado, implica que .fi, es cerrada en zf, y reproduciendo el mismo argumento de

la prueba de la condición (i) del teorema 2.3.1, se deduce Ia condición (iib).

La prueba del enunciado recíproco es directa. Si ambas condiciones, (ii-a) y

(ii-b), se satisfacen, el teorema 2.3.1(ii) permite concluir que .F* es usc en 7T-y, por

tanto, f[ Io será. I

77

(, : r"'" h ̂ '9,).'"(1) )'

(";.): hme {E

^t(, * "i?;.- "')) .',(1,)} ,



Capítulo 3

Estrategias de resolución y buen

condicionamiento

3.1 Introducción

En este capítulo introducimos el concepto de estrategi,a de resolución para un prG.

blema resoluble ?r, en IR', con el fin de establecer un marco general que ofrezca un

tratamiento unificado de diferentes nociones de buen condicionamiento d.el proble.

ma existentes en la literatura (véanse, por ejemplo, [8] V [gt]).EI buen condicionamiento en el sentido de Hadamard del problema z- (defini-

ción 2.2.5) puede interpretarse en términos de que todas las soluciones óptimas

del problema puedan encontrarse a través de la siguiente estrategia: resolver apro-

ximadamente una sucesión de problemas acotados cada vez m¿ís próximos d r¡ y

hallar los posibles lfmites de las sucesiones de puntos construidas de este modo.

Obviamente, estos límites no tienen por qué existir siempre, por lo que centraremos

nuestra atención en aquellas subsucesiones convergentes extrafdas de una sucesión

original. Nótese que este planteamiento no exige la existencia de una única solu-

ción óptima del problema. No obstante, diferentes autores consideran que el buen

condicionamiento de un problema debe exigir la unicidad de solución óptima, la

cual deberÍa poderse aproximar por soluciones óptimas de problemas cada vez miís

78



3.1. Introducción

próximos al original. Esta idea sugiere en sÍ una nueva estrategia, en algún sentido

más restrictiva que la anterior, pil& resolver el problema z-.

Extrayendo la idea subyacente en ambas nociones, puede motivarse la definición

de estrategia de resolución que proponemos en la sección 3.2, en la que básicamente

intervienen sucesiones de problemas corsistentes, convergentes hacia rr, y diferen-

tes sucesiones de puntos factibles asociadas a cada posible sucesión de problemas.

En este sentido, resulta esencial el hecho de que, tanto ]R" como nuestro espacio

paramétrico fI, satisfacen el primer axioma de numerabilidad.

En este capítulo centraremos nuestra atención en el estudio de las propiedades

de dos estrategias de resolución particulares, inspiradas, respectivamente, en las

ideas de resolver aproximadamente problemas (acotados) y resolver exactamente

problemas (resolubles) próximos a ?r. En concreto, introduciremos tres propieda-

des deseables para una estrategia general, y nos propondremos caracterizar dichas

propiedades para las estrategias concretas antes mencionadas. La formulación de

estas propiedades deseables está inspirada, por un lado, en las propiedades que ya

verifica un problema bien puesto en el sentido de Hadamard (véase, por ejemplo, el

corolario 2.2.7) y, por otro lado, en cierto paralelismo existente entre una estrategia

de resolución y un algoritmol de resolución para un problema de optimización.

La verificación de ciertas propiedades por parte de una estrategia de resolución

para un problema resoluble n'puede entenderse como una propiedad de buen con-

dicionamiento del problema. En este sentido, en el capÍtulo se introducen nuevas

nociones de buen condicionamiento, y se dará una caracterización de ellas en tér-

minos de las propiedades de estabilidad del problema analizadas en los capÍtulos

anteriores. Los principales resultados de este capítulo vienen resumidos en la tabla

2, al final del mismo.

rUna estrategia se diferencia¡á de un algoritmo en que cada punto d.e una sucesión generad.ano se obtiene necesariamente a partir de los anteriores. Entre las propiedades de los algoritmosque motiva.rán propiedades de las estrategias destacamos la propiedad, d,e Ia conuergenc,ia global(véanse [1] y otros textos de Programación No Lineal).

79



3.2. Estrategias de resolución

3.2 Estrategias de resolución

De cara a formalizar el concepto de estrategia de resolución para un problema dado,

zr € fI", introduciremos la siguiente notación2: siendo I un subconjunto no vacío

de fI" tal que ¡r € cl (l) , denotemos por Ar aI conjunto de todas las sucesiones

{n,} c I convergentes hacia zr.

Definición 3.2.L (Jna estrategia de resolución para 7f basada enl seró, una apli,-

caci,ón punto a conjunto

S: ,4, r j (R")*

sati,sfaci,endo las s,igui,entes prop,i,edades:

(S1) Si {*'} e S ({r,}) , entonces n, € F,, para tod,o r € N;

(S2) S¿ {r'} e S({",.}) y {r,o} es una subsucesi,ón de {r,}, entonces {r'o} e

s ({"*}) .

En este capítulo consideraremos dos estrategias de resolución particulares para el

problema z', basadas en fI6 y fI", respectivamente, en cuyas definiciones escribiremos

Au y A" en lugar de .4¡u y An".

Definición 3.2.2 Llamaremos .Sb a la si,gui,ente estrateg,ia d,e resoluci,ón pa,r¡, 7l

basada en116:

Su: At = (R")N,

dada por

Su ({r,}) : {{"'} c IR" | {"'} es unl, a.m.s. p0,r0, jt asoci,ad,a o {n,}} ,

para cada {n,} e "4o.

2A lo Iargo de todo el capltulo consideraremos que r es un problema fijo. En rigor, loselementos que intervienen en la defi¡ición de una estrategia de resolución pa¡a zr depend.en deéste. Por simplicidad, obviaremos esta dependencia en la notación.

80



3.2. Estrategias de resolución

Definición 3.2.3

basada enfI":

Llamaremos S" a la si,gui,ente estrategi,a d,e resolución para 7l

S " ' . 4 "= (R ' )N ,

dada por

S" ({" , ' } ) : { { r ' } C lR' | * ' e Fi , , : L,2, . . . } ,

para cada pr,) e A".

Como indicábamos en la introducción, interpretaremos el buen condicionamien-

to del problema n' en términos del buen comportamiento de las dos estrategias

anteriores. Para una estrategia general, definiremos las siguientes propiedades:

Definición 3.2.4 Sea S una estrategi,a de resoluci,ón para ir basad,a en I C II".

Diremos que S es admisible si,, para toda sucesi,ón {n,} € Ar, se tiene que tod,opunto de aglomeración de cualqui,er sucesi,ón {r.} e s({r,.}) per-tenece a F*.

Definición 3.2.5 s se di,ce eficiente s,i, para toda sucesi,ón {n,} € Ar, cualqui,er

sucesi,ón {"'} e s ({",.}) ti,ene, al menos, un punto d,e aglomeraci,ón en F*.

Definición 3.2,6 s se dice completa si,, para tod,o n* e F* a para tod,a {n,} e Ar,eri,ste una suces'ión {r') e s ({n',}) que ti,ene a, r* como punto d,e aglomeraci,ón.

Como consecuencia directa de las definiciones, se obtiene el siguiente resultado.

Proposición 3.2.7 Toda estrategi,a de resoluci,ón efi,ci,ente es ad,m,isi,ble.

Demostración. Sea S una estrategia de resolución para 7f basada en I C fI".

Supongamos que,S es eficiente. Elijamos arbitrariamente {"r,"} e Ar,ysupongamosque :¿ es un punto de aglomeración de cierta {r'} e s ({r,"}); esto es, T :limnr,k

para alguna subsucesión {r'o } de {z'} . En virtud de la condición (S2) de la defi-nición 3.2.1 se tiene que {"'o} € s ({a',.}) y, puesto que s es eficiente, concluÍmosque Z € F* , ya que ¿ es el rinico punto de aglomeración de {zrn} . I

81



3.3. Admisibilidad v eficiencia

3.3 Admisibilidad y eficiencia

El primer teorema de esta sección caracteriza la admisibilidad de las estrategias

de resolución S¿ y S" definidas en la sección anterior, obteniéndose que ambas

propiedades son equivalentes3.

Teorema 3.3.1 Sea ¡r € fI, un problema dado. Consi,deremos las estrateg,ias d,e

resoluci,ón, pl,rar, Su U Sr. Las sigui,entes condi,ci,ones son equ,iualentes:

(i) Sb es admi,si,ble;

(ii) S, es admi,si,ble;

(iii) f. es cerrada en ¡r.

Demostración. Probaremos en primer lugar que (i) + (ii). sea {z-"} € A,,

y consideremos una sucesión {"'} e s"({",}). puesto que 14, C Au y, de forma

obvia, {*'} e so ({",}) , se concluye a partir de (i) que todo punto de aglomeración

de {r'} pertenece a F*. La implicación (ii) =} (iii) es una consecuencia inmediata

de las definiciones.

Finalmente, probaremos (iii) =+ (i). Sean {z-,} e Aa V {"'} e 56 ({27,}). Si Z

es un punto de aglomeración de {c'}, podemos asumir sin pérdida de generalidad,

en virtud de la condición (S2) de la definición 8.2.I, que z : lim, r, . A la vista

de Ia condición (i) del teorema 2.3.L, distinguiremos dos casos. Supongamos en

primer lugar que F - F* , entonces, puesto que .F es cerrada en zr, tendremos que

r e F : F*, de donde se obtiene (i). Supongamos ahora que -F es lsc en zc. puesto

que {z'} es una a.m.s. para r asociada a {n,} , se verifica que

Cn : lim, (c')' r' :lirnrur.

Aplicando entonces el teorema 2.2.8 (i), ha de ser c'Í 1u, y por tanto r € F*. l

3En cierto sentido podemos consid.era¡ que S" es un 'caso particular' de la estrategia 516, porlo que, a primera vista, la admisibilidad de S¿ será una condición m¿ís fuerte que la adáisibilidaade .S".

82



3.3. Admisibilidad v eficiencia

En el siguiente teorema se caracterizala eficiencia de las estrategias Sa y Sr,

obteniéndose de nuevo que ambas propiedades son equivalentes.

T'leorema 3.3.2 Cons'ideremos las estrategi,as de resoluci,ón, para zr € flr, so g s".

Las si,gu,ientes afirmaciones son equ,i,ualentes:

(i) Su es eficiente;

(ii) S" es efici,ente;

(iii) .F- es cerrad,a en r y F* es acotado;

(iv) d6 es conti,nua enlT y F* es acotado.

Demostración. La implicación (i) + (ii) se obtiene inmediatamente siguiendo

el mismo argumento de (i) =+ (ii) en el teorema anterior. El teorema 3.3.1, junto con

la proposición3.2.7, también garantiza que .F* es cerrada en ?r cuando se verifica

la hipótesis (ii). Si F* fuese no acotado, entonces podrfamos considerar la sucesión

constante dada por irr : T¡ para cada r € N, y una sucesión {"'} c F* tal que

lim, llr'll : *oo. Obviamente {n,) € A, V {r,} e S" ({","}) ; sin embargo {r'} no

tiene puntos de aglomeración, lo que contradice (ii). Hemos establecido así que (ii)

+ (iii).

Seguidamente probaremos (iii) + (iv). Si {n,} C fI6 converge a 7r, eIlema2.2.2

establece la existencia de un re tal que rr es resoluble si r ) 16. Para cada r ) rs,

elijamos trrLr' e F;. se tiene asÍ que u,: (c)'r'parar ) ro, y vamos a probar

que lim.u, :2.

En primer lugar comprobaremos que {r'},r_ro está acotad.a, lo que conllevará la

acotación de {u.},^="0. Du hecho, aplicando el teorema 2.3.1(ii), .F* resulta usc en

zf; por lo tanto, si IrZ es cualquier entorno acotado de F*, podemos suponer eue rs

ha sido elegido de tal forma que r' e W para todo r ) rs.

Ahora probaremos que, si {u,o} ?, > "o)

es cualquier subsucesión convergen-

te de {u,.}, entonces ha de ser Lim¡u,o : ,u. De aquÍ se deducirá que lirn,t,, :

liminf''u' :limsuprur:'u. supongamos, pues, que {t'ro} converge a D. podemos

escribir l)rk : (dh)t nrk. La sucesión {r*} está acotada, y podemos asumir sin pér-

83



3.3. Admisibilidad y efrciencia

dida de generalidad que lim¿r'r" : z (para algún r € IR"). puesto que f* es cerrada

en n, ha de ser E e F* , y se tiene

a :lim*ur,, : l im¡ (crn)tsrn : c,T:,u.

Finalmente, varnos a establecer la implicación (iv) =+ (i). Sea {n,^} e Ao,y elijamos {r'} e so ({",}) . En una primera etapa, vamos a probar que {r'}está acotada. En otro caso, existirÍa una subsucesión {xrx} de {r'} verificandoque lim¿ll¿'oll : *oo. La sucesión {ll"*ll-t"'o} (aefinioa a partir de cierto ks)contendrá una subsucesión, que denotaremos de la misma forma para no complicarla notación, convergente hacia cierto a e bd(B). puesto eue {rrr} es una a.m.s.para T asociada a {nro}, se tiene que

o : lim¿¡¡o llr'*ll-t {(",o)' n,k - u,o} : ",a,

habida cuenta de que \im¡>¡"urn: u. Además, para cada ú € Z, se tiene

alra : lim¡ { (air), (1¡r,* ll-t "*)} > tim¡ ll",*ll-t blu : 0,

ya que rím¡,bik : á¿. Así pues, y € o+(F.)\ {0,}, lo que contradice la acotación deF*.

Una vez establecido que {z'} está acotada, dicha sucesión tendrá, al menos,un punto de aglomeración, r, que puede escribirse como r : limnrrk, para algunasubsucesión {rr*} de {r'}, y satisface

c'T: lim¡ (c'*)/ n'h : lim¿oro :2.

Así pues, Í € F*. a

Como indicábamos en la introd.ucción de este capÍtulo, Ias propiedades de lasestrategias de resolución, para el problema r, sa y ,s" pueden ser vistas como pro_

84



3.4. Completitud 85

piedades del problema T en sÍ. De caÍa a enf.atizar este enfoque, introducimos lasiguiente definicióna.

Definición 3.3.3 El problema ¡r €. fI" se dice efrciente-mente bien puesto en el sen-tido de Hadamard (e-Hwp, para abreui,ar) si ueri.fica cualqui,era d,e las cond,icionesequ'iualentes del teorema 3.3.2.

Terminaremos esta sección con un corolario inmediato de los resultados presen-

tados en la misma.

corolario 3,3.4 sea ¡r € fr" un problema d,ad,o. si, F* es acotad,o, entonces lassi,gu,ientes cond,ici,ones son equiualentes:

(i) Su es admi,sible;

(ii) S" es admi,sible;

(iii) .Só es efici,ente;

(i") S" es efi,ci,ente.

3.4 Completitud

Esta sección está dedicada a caracterizar la completitud de las estrategias de re-

solución, para un problema resoluble iT, Say 5", en conexión con dos nociones debuen condicionamiento de dicho problema. Comenzaremos con el estudio de S¿.

3.4.1, Completitud de Sa

El siguiente teorema muestra que la completitud de 5a es equivalente a una pro-

piedad aparentemente miís restrictiva del problema 7r, como es el buen condiciona-

miento en el sentido de Hadamard de dicho problema.

aEsta definición está en la línea del buen condicionamiento seguida por Todorov (véase [31]),cuando se relaja Ia exigencia de la unicidad de solución óptima del problema.



3.4. Completitud 86

Teorema 3.4.L Sea r 6 ff", g mnsideremos Ia estrategia d,e resoluc,i,ón Su para,r.

Entonces, 36 en completa s,i g sólo s'i r es Hwp.

Demostración. El 'sólo si' es una consecuencia inmediata de las definiciones.Suponiendo ahora que Sb es completa, vamos a probar que 7T- es Hwp; lo cual esequivalente a probar que t96 es continua en r y eue, bien F es lsc en 7r, o bien F sereduce a un punto (véase el teorema 2.2.6). Supongamos, por reducción al absurdo,que t96 no es continua en zr; entonces ha de existir una sucesi ón furrj € ,46 tal que

{u.} no converge a u. En consecuencia, existen una subsucesión {uro} , de {u"}, yun 6 > 0 tales que l,.,'n - t'l 2 6, paratodo k : !,2,.... sea r* e F* un punto dado.Por hipótesis, existirá una sucesión {nrn} e su ({"*}) que tiene a tr* como punro

de aglomeración. Así pues, para alguna subsucesión {r,x"} de {r.o1 , se tendrá quer* :Ijmrfiro", y pOr tantO,

limr?ro" : lim" (c'o"¡' r'h" : ctfr* : u,

lo que contradice la elección de {tr,o}.

Supongamos ahora que f no es lsc errr)y veamos que entonces .F'se reduce a unpunto. Veremos en primer lugar que Fn está acotado. En caso contrario, podrÍamos

reproducir el argumento de Ia prueba del teorema 2.2.6(iii), encontrando entonces

nna sucesión, {z'r}, de problemas resolubles, convergente r.T,v de tal forma que

ur : 'u - 1 para todo r; con lo que se entra en contradicción con la continuidad deÚ6 en ?r' que ya ha sido establecida. Supongamos ahora que F contiene más de unpunto, y consideremos cualquier r* € J¡*. Elijamos un y € F\ {"-} l seau. i: u-Í*,y consideremos el conjunto abierto w :: {z e IR" I u,, < u,y} , que obviamente es

un entorno de r*. Siguiendo entonces el mismo argumento utílizado en parte de laprueba de la condición (ii) del teorema2.2.6, encontramos una sucesión {n,} e Aude forma que .F' flw : a, para todo r € N. En consecuencia, fr* no puede ser unpunto de aglomeración de ninguna sucesión {r'} e S¡ {zr,} . f



3.4. Completitud

3.4.2 Completitud de S"

Los siguientes dos resultados están dedicados a establecer que, bajo la existencia

de al menos n restricciones, esto es, l?l ) n, ra completitud de la estrategia de

resolución E" implica la unicidad de solución óptima del problema.

Lema 3.4.2 Sea r € fI, g supóngase que lTl 2 n. Si, Ia estrateg,ia d,e resoluc,ión,p0,r0, T, S" es completa, entonces F* (o equiualentemente F) ti,ene al menos unpunto ertremo.

Demostración. supongamos, por reducción al absurdo, que l?l ) n, s" escompleta y F* no tiene ningún punto extremo, siendo esto último equivalente a queF* contenga, al menos, un recta. Sean r* e F* y u € bd (B) tales que r* + Au € F*,para todo ) e lR.. Dado que Cr ) tr es una corlsecuencia de o, podemos aplicar elIema de Farkas para concluir que existen sendas sucesiones {r'} c Rf) v {p,} cIR* verificando

87

(¡:"*{I ̂ tft).,.(:i) }

tt* {t

Ai @ir. - b,) + ,,} ,

llrL-ru(fi)ll_.i

(3.4.1)

Multiplicando escalarmente ambos miembros de (3.4.1) por (1r) se obtiene que

0 :c ' r *_ n :

de donde se deduce que lim,¡.1, : 0 (ya que alrr* -bt ) 0, para tod.o t € T).Podemos, por lo tanto, eliminar el último término de (3. .1).

sin pérdida de generalidad, podemos suponer que, para todo r € N, se tiene

El los próximos párrafos consideraremos un r fijo.



Completitud B8

Notemos ahora que, como consecuencia de la existencia de rectas en F*, ha de

ser d,i,mspan {a¿ : t € T} < n, luego

-. ( /a,\ Idi ,mspant( ; ; / : ter j<n

En virtud del reorema de carathéodory puede suponerse que lsupp )'l < n (dondesupp )' denota al soporte de )', esto es,'supp )' : {ú € r | ^í # 0D.Elijamos níndices diferentes ti,tL,..., úl tales que supp X c {ti,tl,...,tL} , y definamos

?,:iÁho,:.i=L

si es necesario, podemos redefinir {r;, } , añadiendo a cada uno de eilosL "

J i :1 ,2, . . . ,n '

una cantidad positiva suficientemente pequeña, de forma que se tenga

En particular, será ll. - ell* . i.En lo que sigue pretendemos modificar 'ligeramente' los vectores de coeficientes

y términos independientes de las n desigualdades asociadas a los índicest\,...,t1con el fin de que los n hiperplanos, resultantes de considerar el nuevo sistemade igualdades asociado, se corten en exactamente un punto. Alcanzaremos esteobjetivo en varias etapas.

En primer lugar veamos cómo modificar los vectores de coeflcientes del primermiembro de las desigualdades. Sea k, un número positivo elegido de tal maneraque k , ) r ,u 'x * *k r ) 0y p i ( | , para todo i :L ,2 , . . . ,n , donde

[ ^r, , o, , i : r ,2,. . . ,n,

lllr;l É^+(r;)ll_.;



3.4. Completitud B9

De esta forma, definiendo g, :: r* ¡ kru,, se tendrá que

(o r : - t4 " ) ' A ' : bq , i : 1 ,2 , . . . ,n .

Denotamos ahora por wl al vector aq - pTu, para i, : !,2,..., n. Así pues,

l l r ; - o,i l l- : lpTll lr l l- . l , o : r,2,...,n.

Podemos alterar ligeramente el sistema de vectores {,lri, ...,w;} paxa conseguir un

nuevo sistema linealmente independiente {ai,,

...,aT;} u" concreto, definimos:

(

, | ,u.,f , si uT * 0,,

a;, :: <t .I i ( t ,0 , . . . ,0) ' , s i lu f : Q, , ,

( - , I - ')

oT;*': I t'.'' si tui*' ( sPan loTi' "''"T4| '

[ 'l*, + &ui*r, si tuf*, e span {oTr,...,"T;} ,

donde u!*, es cualquier vector perteneciente a {oTr,...,ofr!t nbd(B), para j :

7,2,...,n - t. Ademrís, como puede observarse,

ll"a - *r ll_ .?, o : r,2,...,n.

El siguiente paso consiste en modificar ligeramente el conjunto {brT,...,b¿;} conel fin de obtener un nuevo conjunto

{UTr,...,uTr}, de forma q* (rll)'u, : bt,i : L,2, . . . , tu.Para el lo def in imos

6: ,: @i)' u' * ("T, - ,i) a' : bti * ("T, - ,i)' a,.



3.4. Completitud 90

Nótese que, bien oT[ : uf (en cuyo caso bTT : br), o bien

("t - *í)' y, : (#"i)' {,. * k,u) : #

(uT), *. + f {ui), u.

En este segundo caso, se tiene

l';'-a"l s W.+Finalmente, defi.nimos af :: at V bi :: b¿ si ú €

"\ {t\,...,t;} . De este modo

obtenemos un sistema c, t: {(ol)' n > bT , t e T} verificando que

süp¿cr ll l:i) - 0'\ll . ** f 2 .11""il * 1I' '=' l l\ai/ \ó,/ l l-

\ 'rG I r' 1r"¡

' h J

'

Ahora hemos de introducir el vector de coeficientes, c', d.e la función objetivodel nuevo problema, ?r- que estamos construyendo. Definimos

", ,: f ^T:"ir.i.=l

Recuérdesu orr" l,' - )^ Lziti,...,ai" j es una base de IR' y que ̂ h , 0 para todo,i :

7,2,...,n. Obsérvese, además, que

ll" - "'ll- s ll" - áll-+lla - ""ll* < ?.P-^r, ll*, -';,11"" =

AsÍ pues, si conseguimos establecer que la sucesión {É 41 está acotada, definiendo eI problem d,7t, t: (c,,o,) para cada r € N, $;l"o#t lim, zr, : ,,..

Por hipÓtesis, d es complet ay F* es no acotado. Probaremos que, en estas con-diciones, f ha de ser lsc en n-. En caso contrario, siguiendo el argumento utilizadoen la prueba del teorema 2.2.6(iii), encontrarÍamos una sucesión {1,} el," tal queúr : u - 1 para r :7,2,...; en consecuencia, r* no podría ser un punto de aglome-

?('.r^o)



3.4. Comfletitud

ración de ninguna sucesión {T} e s" ({n,"}) (pues, de lo contrario, denotando por

{f"} ulasubsucesiónen cuestión, setendríaqueu-l: l im, (d"), Tu : Cr" : u\.

Arcanzaríamos asÍ una contradicción con la completitud de s".

Una vez establecida Ia semicontinuidad inferior de .F en tr, el teorema 1.2.1gararúiza la existencia de un ss-elemento, r, de o; esto es, existe un escalar p > 0tal que al$ - bt ) p, para todo t e T. Dado que

91

se tlene n r¿

c, r -u : l im.) - .u . ( (or r ¡ ' - -br t ) )phmsup, f ) ; ,=

" i \ \ - . , . i . /

i : l

En consecuencia,

é ' . -c 'n -ul rmsup r ) . ¡ ; , ( - - ,

,ap

de donde se deduce qu" {ÉU} esrá acotada.

Resumimos lo que r",\L="t #fftrru momento. Hemos construido una sucesión

{o,} c rI tal que lim, Tr : rr.Por construcción, se tiene qrrc g, e F,^ para todor € N. Por otro lado,

ya que bT, : (oT,''"¿ \ ,o) A', ' i : L,2,'. ' ,,fr.AsÍ pues, en virtud del lema de Farkas,

({)' * ) (.')'gr' es una consecuencia de o,. por lo tanto, a, e Fi para todo r e N.De hecho, Fi : {y'} para todo r € N, puesto que, considerando el sistema

y el problema ordinario de Programación Lineal T, : (c,,a,) , tenemos que y' es

el único punto que satisface las condiciones de Karush-Kuhn-Ttrcker para dicho

(r: "*É ̂T,(f;),

i^t(U):Qó1 ),

6, : : { ("+) '

r > f r : i : 1,r , . . . ,n}



Completitud

problemas. Por Io tanto, F; : {y'} , 1o cual implica, habida cuenta de que A' € F,,

que ¡I : {A'}, ptr& todo r e N.

Ahora podemos frnalizar la prueba del lema. Es obvio que lim, llg/'ll : +oo.

En consecuencia, {g'} ro tiene puntos de aglomeración, Iuego, en particular, tr*

no es un punto de aglomeración de {y'}. Puesto que {y'} es el único elemento de

S" ({n-,}), alcanzamos una contradicción con Ia completitud de S". I

Teorema 3.4.3 Consi,dérese la estrategi,a de resoluci,ón S, para un problema dado

n € flr. Si,lTl>. n y 5, es completa, entonces F* se reduce a un punto.

Demostración. Razonaremos por reducción al absurdo. Supongamos que,

siendo lrl > n y .9" completa, F* contiene al menos dos puntos, pongamos r*

e'g*. En virtud del lema anterior, podemos asumir que F* tiene, al menos, un

punto extremo, esto es, no contiene rectas. Este hecho implica que Ia dimensión de

span{a¿, t€T} esn .Sea,pues , {a t *a t r , . . . ,a . - l r unabase despan{ar , t€ " } . S i

definimos d :: D o,¿r, es obvio que el sistema homogéneoi : I

{ " ! rA20 ,ú€ f ;dgS0}

no tiene solución no trivial (si! 10,, fuese una solución, Iiegaríamos a la conclusión

dequeAe{ar , ¿€?}1 ) .

Consideremos ahora el sistema

f i 7 {alr } b¿, t €T; i l r < dA*} ,

supuesto que d'y* 1 d'n* (en caso contrario, reemplazaríamos A* por x* en6).

Al igual que en ocasiones anteriores, Ilamaremos i ': "

U {ú0} , (to I T), aI

conjunto de fndices deó,y F a Ia función conjunto factible asociada al espacio

sEste hecho ha motivado todos los detalles técnicos de la construcción del problemar,, afrnde conseguir que c' se exprese como combinación lineal, con coeficientes positivos, de a\, ... , aT;y que éstos últimos formen una base de IR'.

92



3.4. Completitud

paramétrico de los sistemas 'ampliados'. Nótese que el conjunto F : F (ñ) es no

vacío (y* e F) V acotado, puesto que

O. ( " ) : {ae lR ' lo lg />0 , ú €T , d ;y<0} : {0 , } .

En consecuencia, F será usc en ñ, lo que conlleva la acotación del conjunto

factible, Fr, dul sistema

óy :: {a|r > b¿, t eT ; (d + eu)' n < (d+ eu), a.}

donde It, : f* - a* y ¿ > 0 se ha sido elegido suficientemente pequeño. De nuevo

F, es no vacío, pues y* le pertenece.

A continuación, corsideremos la sucesión de problemas {tr, :: (c + },u, o)} ,donde u :: d, * eu. Obviamente,limrn, : ,r y 1rr 6 resoluble, para todo r, como

consecuencia del hecho de que los conjuntos de nivel .L, (u + f,w,y.) son no vacÍos

(contienen a y*) y acotados (estrín contenidos "" 4).

Finalmente, consideremos el conjunto abierto w : {r €R" I wtn} tu,gr*}. Se

comprueba fácilmente que la condición úa* 1dlr*, implica que n* € W. Ademrís,

s i r€ FaW, se t iene

93

('. i')n ) c 'a* +!r 'a. : (c ' ) 'a*,r

y, por lo tanto, F; aw: 0. Así pues, u* no puede ser un punto de aglomeración

de ninguna sucesión {"'} e s" ({",.}) , lo que contradice la completitud de S,. r

Como indicábamos en Ia introducción del capítulo, algunos autores conside*

ran que cualquier noción de buen condicionamiento de un problema debe exigir

Ia existencia de solución única del mismo, la cual debe poder ser aproximada por

soluciones óptimas de problemas próximos. Seguidamente vamos a establecer Ia

equivalencia entre la completitud de la estrategia de resolución,S" para un proble-

ma 7r € fI", vista como una propiedad de estabilidad del problema en sí, y cierto



3.4. Completitud

concepto de buen condicionamiento del problema en el sentido de Hadamard (a

primera vista miís restrictivo que la completitud de S"), que puede encontrarse,

por ejemplo, en [31], y que exige la unicidad de la solución óptima del problema.

Como un hecho destacable, recordamos que la unicidad de solución óptima para zr,

asumiendo Ia existencia de, al menos, n restricciones, no es un prerrequisito para

la completitud de la estrategia de resolución ,S", sino una consecuencia. Comenza-

remos con la siguiente definición.

Definición 3.4.4 EI problemar € fI, se dice fiiertemente bien puesto en el sentido

de Hadamard (abreuiado por s-Hwp6/ s,i F* se reduce a un punto (esto €s, F* :

{*.}) y, pl,ra toda {r,} € A" y toda sucesi,ón {r'} € S" ({",}), se uerif,ca que

Iímrn' : g*.

Teorema 3.4,5 Consi,dérese la estrategi,a de resoluci,ón 3, para un problema da-

do r € nr, U asúmase que lTl 2 n. Entonces, las si,gui,entes condi,ci,ones son

equi,ualentes:

(i) z- es s-Hwp;

(ii) S" es completa.

Demostración. La implicación (i) + (ii) es una consecuencia trivial de las

definiciones. Supongamos ahora que.S" es completa. Puesto que l"l > n, el teorema

3.4.3 garantiza la unicidad de solución óptima para 7r'. Pongamos F* : {r.}, y

fijemos cualquier {n,} e .4" y cualquier {r'} e 5" ({","}) . Probaremos que Í* :

lim,u' a través del siguiente razonamiento en dos pasos:

1" paso. La sucesión {r'} está acotada. En caso contra,rio, esta sucesión

tendrá una subsucesión, {*'ol¡, tal que lim¿ llr'&ll : +oo V {ll"*ll*t "'.} converge

a cierto z (no nulo) perteneciente a O+(F) (en efecto, dividiendo ambos miembros

de alrr'x ) b¿ por llr'o ll , para todo t e T, y haciendo tender k bacia +oo, se obtiene

a|z > 0, para todo ú € ").

En virtud de nuestra hipótesis (ii), debe existir una

94

6Del ingés strongly Hadamard well-posed.



3.4. Completitud

sucesión {A'rl¡ e 5, ({n,-}) qn. tiene a ¿* como punto de aglomeración. Podemos

asumir, sin pérdida de generalidad, que {g'*} converge a c*. Así,

c'z : l im¡, {(c'n)' ( l lr 'o l l-t r"*)} : l imr l lr '* l l-t (crk)t a'n

: l im¡ l lz 'u l l - t ( .*) 'a,u :0,

por lo que, de hecho, z e O+(F*), contradiciendo Ia acotación de F*.

2o paso. Toda subsucesión convergente de {z'} converge a tr* y, efi consecuen-

cia, la propia sucesión converge a r*. Si suponemos que cierta subsucesión, {r'*},

converge a r, podremos, al igual que en el paso anterior, encontrar una sucesión

{a'ol¡ e S" ({n,-}) , eue podemos suponer (sin pérdida de generalidad) convergente

& fr*, y por tanto

c'Í : lim¿ (c'o)' tr'u : Iim¿ (c'r¡l a'h : c'n*.

En consecuencia, u es un punto óptimo para r; esto es, Í : r* . I

El corolario siguiente reúne algunos enunciados equivalentes para un problema

T con solución óptima única.

Corolario 3.4.6 Sea n € lI" tal que F" : {r*}. Entonces las si,gui,entes condici,o-

nes son equi,ualentes:

(i) S" es eficiente (o admisi,ble);

(ii) S" es completa;

(iii) r' es s-Hwp

(i") S¿ es efi,c'iente (o admi,sí,ble);.

(") S, es completa;

(vi) z' es Hwp;

(vii) zr is e-Hwp.

Demostración. Es inmediato que, bajo Ia hipótesis F* : {".}, toda estrate-

gia de resolución, pil& z', eficiente es completa. Así pues, se obtiene a partir de los

95



3.4. Completitud 96

resultados previos la equivalencia de las cuatro primeras condiciones. El corolario

2.2.7 stablece que, si z' es H*p, entonces el límite de cualquier a.m.s., para 7r, con-

vergente es un punto óptimo. En consecuencia, se tiene (vi) =+ (iv). Las restantes

implicaciones son consecuencias inmediatas de los resultados previos. I

A continuación, estudia¡emos la completitud de S" en el caso pendiente; esto

es , cuando l " l < n . Sea, pues , Tr : (c ,o ) -€ f l r , donde 6 : {a lu r }b¿, I< i<p} ,

con p ( n. Puesto que ctr ) u es una consecuencia de o, se tiene que paxa ciertos

): {),},s¿<p€ Rt v P € R+, (;) : Dl=r\n(fi) +¡r(lf (no es necesario tomar

límites, dado que el cono K es cerrado, por ser finitamente generado). Si ÍÍ € F*,

multiplicando escalarmente ambos miembros de la igualdad anterior por (1r), r.

deduce inmediatamente que p:0. Así pues,

(3.4.2)(;) :v^,(;;)Denotando por -FI al conjunto (posiblemente vacío)

H : : {z e IR ' I a '¿ r :b¿ , I 1 ¿ < p) ,

se tiene que.I/ C F*. De hecho, (3.4.2) muestra que todo punto de f/ es un punto de

Karush-Kuhn-T\rcker del problema (de Programación Lineal) a'. En los siguientes

resultados conservaremos Ia notación introducida en este prírrafo.

Lema 3.4.7 Sea r € fI" g supóngase que lfl < n. Si, H 9 F., entonces S" no es

com,pleta.

Demostración. Supongamot H , .F*. Existe, pues, un ,r* € -P* tal que

a!¿r* > b¿ para algún | < i I p. Supongamos, por comodidad, que olrr* > bo.

Multiplicando escalarmente ambos miembros de (3.a.2) por (1;), concluimos que

)p : 0. Tómese ahora cualquier vector no nulo u e {ay ..., oo}t; entonces ao+f,u (



3.4. Completitud

span {a7, ..., ap-r}. Consideremos, para cada r € N, el sistema

Es obvio que a* € F,. Seguidamente definimos

/" ' \ /"\ !( **, i : ):Sr,(oo\*!( ""1i: ), r:r,2,...\a/

': \,/

* " \ao + lu,*.)

: *

'(a,/ *; (u" * |u,r*/(3.4.3)

La expresión (3.4.3) muestra que, para todo r € N, n," :: (d,a,) es un problema

acotado de programación Lineal (puesto que (c')' r ) ú, es consecuencia de o,),

IuegoT r, € fI". Se tiene ademiís que limrnr : T.Sea u" : ú(trr), p&r& r :

1,2, ...Deben existir, entonces, números no negativos 71, ..., "'li_t,^fi tales que

(3.4.4)

97

o, : {oi*

} b¿, ! < i < p - Lt ("+ l") n } bo*!u'r.} .

(;:) ,: f,;(;) . ',;(;':+f..), r:1,2,

Puesto que ap + i" I span {a1,..., ap-t}, (3.4.3) muestra que, para todo r € N,

c' e span{&r, ..., a,p-r 7 ap * l"¡\

span{a1, ..., ap-L} .

En consecuencia, se tiene que % > 0 (de hecho, li : i), p*u todo r € NI, y

entonces (3.4.4) implica que

( / 1 \ ' 1 )4 C {z€ lR" | {oo+ ) "1 " :bp - f }u ' * * l , pa ra r : I ,2 , . . .

t \ - r / ' r )

AsÍ pues, se concluye que r* no puede ser punto de aglomeración de ninguna suce.

sión {r'} e S" ({t'}); puesto que en caso contrario, tomando límites, se obtendrÍa

olor* : bo. I

7En Programación Lineal, un problema es acotad.o si y sólo si es resoluble.



3.4. Completitud 98

Informalmente hablando, el siguiente teorema afirma que, cuando l"l < n, E"

es completa si y sólo si f'* es 'tan pequeño como sea posible'.

Teorema 3.4.8 Sea r € fI, g supóngase que lTl 1 n. Entonces S, es completa si,

y sóIo si, H : F* A {or,...,ap} es li,nealmente i,ndependi,ente.

Demostración. Empezaremos probando el'sólo si'. Si,S" es completa, el lema

anterior y los comentarios que lo preceden aseguran que f/ : F*. Supongamos,

por reducción al absurdo, que el conjunto de vectores {or,...,ap} es linealmente

dependiente. Entoncer, {{;i),

..., (ff) }

es también linealmente dependiente (ambos

sistemas de vectores tienen el mismo rango, al ser H no vacío). En virtud de la

expresión (3.4.2), se riene qe (;) € cone ({t;ll ,...,Gi)}) o. hecho, et teorema

de Carathéodorl nos permite asumir, sin pérdida de generalidad, que

(;) . *""({(;l), (;;;) }) 'en otras palabras, podemos suponer que )o : 0 en la expresión @.a.\. ElÍjanse dos

puntos diferentes t* e a* en F*, y pongamos LL :: a* - fr* .Obviament e u,'r* 1 u,y* .

Consideremos ahora, para cada r e N, el sistema

del cual gr* es una solución. Definimos

r : L 1 2 r . . .

(3.4.5)

Poniendo 7t, i: (C,or), se tiene que limrzrr: zc. Además, la expresión (3.4.b)

muestra que rr € flr, para todo r € N. De hecho, a* € Fl, y por tanto d" es el

óRecordemos que la versión para conos de este teorema afirma que toda combinación cónica deun sistema de vectores puede reexpresarse como combinación cónica de un subsistema linealmenteindependiente.

o, : {o i*

} b¿, L < i < p - Lt (" . i " ) r } bo * lu,r . } ,

(;:) ': 0. |Girii,.):f ^, (7,).i(ri*ii*),



3.4. Completitud

valor óptimo de zrr. Si z" € f|, entonces debe verificar las siguientes condiciones

de optimalidad

99

(3.4.6)

Si fuese o'o*' > bo, de las dos primeras colecciones de condiciones de (3.4.6),

se concluiría que a' e F*\fl, obteniendo asÍ una contradicción. En corsecuencia,

olor' 1 óp¡ / entonces, la última condición de (3.a.6) nos conduce a u,'tr, ) u'a*.

Dado queu'n* 1u'a*, hemos establecido que z* no puede ser un punto de aglo-

meración de ninguna sucesión {"'} e S" ({","}) , contradiciendo la completitud de

s".Probaremos ahora la condición'si' del enunciado del teorema. Para ello supon-

gamos que {41, ...,ap} es linealmente independiente y que H : F*. Sea A la matriz

cuyos vectores fila son a\,...,of . Podemos suponer, por comodidad, que Ia matríz

.41, compuesta por las primeras p columnas de A, es no singular. Denotemos por

A2 a Ia matrix que consta de las últimas n - p columnas de A, e introduzcamos la

notación b :: (bt,. . . ,bo)' , rAt i : (rr, . . . , fro) ' y üAz t: (ro*r,. . . , frn),. Así pues, f i jado

cualquier r* € F* , se tiene

n\ , : A t ' (b - Azr2 , r ) . (3.4.7)

Tómese {n , : (c ' ,o , ) } e A , , donde o , : { (oT) ' *>bT, , i :L , . . . ,p } . S i r es su f i_

cientemente grande, podemos asumir que la correspondiente matriz AT es no sin-

gular. Obviamente, Ia sucesión {z'} dada por

r\" : : r\" , zr4, : : (Aí)-t (U, - , l ;r ir) , r : I ,2, . . . ,

pertenece a S" ({"rr}) , y se tiene que lim, r' : fr*. Por lo tanto, hemos establecido

la completitud de S". I

4r ' ) b¿, i : I ,2, . . . ,p- 1, I

) ,¿(a !ur ' -ó¿) :0 , i : I ,2 , . . . ,p - L , I

(oo+tu) ' , ' :bp* l " ' r . )



3.4. Completitud

La tabla 2 reúne los principales resultados expuestos en este capítulo.

Tabla2:Buen cond.icionarniento d,e un problerna d,e pSIL.

100

?r € fls Su ^9"

Admisible .F* es cerrada en zr

Eficiente F* es cerrada en zi y F* es acotado (z' es e-Hwp)

Completa n'is Hwp

(si l"l ) n)7f es s-Hwp

(Si l7l < n)

F* : {r e IR" I alrr : br, t eT),

{at, t e 7} es lin. indep.



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