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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
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Estabilidad en Programación
Semi-Infinita Lineal
Memoria presentada por Juan Parra López para optar al grado
de Doctor en Ciencias Matemáticas, realizada bajo la dirección de los
doctores D. Marco Antonio López Cerdá y D. Maxim Ivanov Todorov.
Alicante, 1999
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D. MARCO AIITONIO LÓPr,Z CERDÁ Catedrático de Estadística e
Investigación Operativa de la Universidad de Alicante, y
D. MA)ilM M}{OV TODOROV, Miembro de la Academia Búlgara de
las Ciencias,
CERTIFICAN: Que la presente memoria Estabilidad en Programación
Semi-Infinita Lineal, ha sido realizada bajo su dirección, en
el Departamento de Estadística e Investigación Operativa de
la Universidad de Alicantq por D. Juan Parra Lbpez, y
constifuye su tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias
Matemáticas.
Y para que conste, en cumplimiento de la legislación ügente,
firman el presente certificado en Alicante, a treinta de
noviembre de mil novecientos noventa y ocho.
Fdo.: Ma:<im I. TodorovFdo.: Marco A. López
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a Lola
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Mi primer contacto con la Programación Semi-Infinita Li-
neal tuvo lugar durante unos cursos de doctorado impartidos
por los profesores Miguel Angel Goberna, Ma¡co Antonio López
y Valentín Jornet; quienes me iniciaron en el estudio de la es-
tabilidad. Este estudio se vio eruiquecido con las aportaciones
del profesor Maxim Todorov, durante su estancia en Alicante y
su correspondencia posterior. Mi agradecimiento a todos ellos.
A lo largo de estos años he encontrado en Marco una refe-
rencia corxtante en el desarrollo de mi incipiente labor inves-
tigadora, a Ia vez que el estímulo que emana de su indudable
gusto por las Matemáticas. Quiero agradecerle el interés que
ha puesto en mi formación como matemático y los esfuerzos y
el tiempo que a ella ha dedicado; así como el cariño y la con-
fianza que tanto él como su esposa, MarÍa Pilar, siempre me
han brindado.
Agradezco a los compañeros el afecto y apoyo que me han
prestado, como es el caso de Ana Meca, que siempre ha esta-
do dispuesta a echar una mano, y de Lola, que con su ayuda
ha hecho posible este momento. Este agradecimiento lo hago
extensivo a los familiares y amigos, que con su paciencia y sus
atenciones han contribuido en gran medida al desarrollo de esta
memoria.
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Indice General
Introducción
0 Preliminares . 1-0
Notación y definiciones.
Herramientas basicas
Ejemplo: el dual lagrangiano como un problema semi-infinito.
1- Estabilidad del conjunto factible
1.1 Introducción
I.2 Semicontinuidad inferior de la función conjunto factible
1.3 Semicontinuidad superior de la función conjunto factible
1.3.1 Sistemas reforzados
I.3.2 Caracterizaciones de la semicontinuidad superior de la función
conjunto factible 30
Estabilidad del valor óptimo y del coqjunto de soluciones
óptimas
2.1 Introducción
2.2 Estabilidad del valor óptimo.
2.2.1 Propiedades de continuidad de la función valor óptimo
2.2.2 Bven condicionamiento en el sentido de Hadamard . .
Estabilidad del conjunto de soluciones óptimas
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15
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20
21
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26
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47
49
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60
65
2.3
2.4
0.1
0.2
0.3
Ejemplos
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2.5 Estabilidad en el caso continuo.
3 Estrategias de resolución y buen condicionamiento
3.1 Inroducción
3.2 Estrategias de resolución . .
3.3 Admisibilidad y eficiencia
3 .4 Comple t i tud . . .
3.4.I Completitud de Sa
3.4.L Completitud de S"Bibliografía . .
73
78
( ó
80
82
85
85
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Introducción
Un problema de Programación Semi-Infinita (PSI) es un problema de optimización
en el que bien el número de variables o bien el número de restricciones (desigualda-
des) es finito. Cuando tanto la función objetivo como las restricciones son lineales,
estamos frente a un problema de Programación Semi-Infinita Lineal (PSIL). Por lo
tanto, la PSIL puede considerarse tanto una extersión de Ia Programación Lineal
ordinaria, como una rama de Ia PSI, con aplicaciones a diferentes campos. En
el texto de Goberna y López [12, Cap. 1] se describen diversas aplicaciones a Ia
teorÍa de Ia aproximación, el reconocimiento de patrones, el control óptimo, políti-
cas medioambientales y diferentes aplicaciones a la EstadÍstica. Este mismo texto
proporciona amplias referencias en Ia línea de las aplicaciones (véase, por ejemplo,
Hettich y Kortanek [2I]). La variada gama de aplicaciones directas de la PSIL, por
un lado, y sus atractivas propiedades teóricas, por otro, explican el notable auge de
la Programación Semi-Infinita Lineal como un ¡í¡ea activa de investigación desde su
aparición al principio de los años 60 con una serie de artículos debidos a Charnes,
Cooper y Kortanek. El texto editado por Reemtsen y Rückmann [26] presenta una
reciente colección de artículos de revisión sobre PSI, que puede proporcionar una
perspectiva general sobre las actuales líneas de investigación.
En esta memoria nos ocupaxemos del problema primal, esto es, con un número
finito, n,, de variables, en un contexto muy general: el conjunto de índices, 7,
asociado al sistema de restricciones es arbitrario (posiblemente infinito), y no se
presupone ninguna hipótesis sobre las funciones a(.) y b(.), que asignan a cada
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índice el vector de coeficientes y el término independiente, respectivamente, de Ia
correspondiente restricción.
Fbecuentemente, el problema que acabamos resolviendo no es exactamente el
problema originalmente presentado, sino un problema próximo, debido a Ia presen-
cia de errores en los coeficientes del mismo, o bien debido al redondeo introducido en
los procesos computacionales. Resulta, por tanto, de interes establecer condiciones
bajo las cuales el problema original sea estable, en el sentido de que los proble.
mas suficientemente próximos conserven ciertas propiedades del problema original.
Nuestro objetivo consistirá en analizar la estabilidad de un problema genérico de
PSIL. Para precisar los diferentes criterios de estabilidad que analizarcmos, habre-
mos de dotar al espacio de los problemas de una'topología. Thabajaremos con la
topología de Ia convergencia uniforme de los parámetros del problema, a saber,
el vector de coeficientes de la función objetivo y los coeficientes de las distintas
restricciones del sistema asociado.
Como paso previo al estudio de la estabilidad del problema, se analizará la
estabilidad del sistema de restricciones asociado. En nuestro contexto, la estabilidad
de un sistema no vendrá determinada por el conjunto factible (o conjunto solución)
del mismo, sino que dependerá de Ia representación de dicho conjunto, esto es, de
los parámetros del sistema de desigualdades.
Centraremos nuestro estudio de la estabilidad de los sistemas de desigualdades
lineales en el análisis de Ia semicontinuidad inferior y la semicontinuidad superior
(en el sentido de Berge) de la función punto a conjunto que asigna a cada sistema
de desigualdades lineales su cor{unto factible. Notemos que cualquier subconjunto
convexo y cerrado del espacio euclÍdeo n-dimensional puede obtenerse como con-
junto factible de un sistema de desigualdades lineales. Como antecedente inmediato
del análisis de la estabilidad de los sistemas de desigualdades lineales, señalaremos
las aportaciones de Brosowski ([Z] V [g]) V Fischer [9] a la teorÍa de Ia estabilidad
en el caso continuo, esto es, cuando el conjunto de índices ? es un compacto de
Hausdorff y las funciones ¿ (.) V U (.) son continuas enT.
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Existen en Ia literatura numerosas contribuciones a Ia teoría de la estabilidad
de la función conjunto factible para una clase de sistemas semi-infinitos estructu-
ralmente más rica que la de nuestros sistemas de desigualdades lineales. Esta clase
está formada por aquellos sistemas cuyo conjunto de Índices , T, 6 un subconjunto
compacto del espacio euclídeo rn-dimensional definido como solución de una canti-
dad finita de restricciones analÍticas. Además, se requiere que los gradientes de las
restricciones activas sean linealmente independientes en cada punto de ? y, final-
mente, las funciones de coeficientes "
(.) V b (') se suponen pertenecientes a la clase
C' g). Obviamente, esta clase de C1-sistemas es una subclase de Ia de los sistemas
continuos.
Asumiendo que Ct Q) está equipado con la liamada topología de \\rhitney, o
topologÍa fuerte (convergencia uniforme de las funciones de coeficientes y sus de-
rivadas parciales de primer orden), Jongen, Twilt y Weber [23] establecen que,
bajo la hipótesis de la acotación del conjunto factible del sistema considerado, la
función cónjunto factible es topológicamente estable en este sistema (los conjun-
tos factibles de los sistemas suficientemente próximos son homeomorfos al conjunto
factible del sistema original) si y sólo si se satisface Ia cualificación de restricciones
de Mangasarian-Fromovitzr (MFCQ, para abreviar). La extensión de este resulta-
do para sistemas con conjunto factible no acotado puede encontrarse en Jiménez
y Rückmann [22]. En este contexto de la PSI (con parámetros de clase Cr), la
equivalencia entre la MFCQ y la regularidad métrica de las restricciones ha sido
establecida en Heruion y Klatte [20). Versiones paramétricas de estos resultados
pueden encontrarse en sendos trabajos de Jongen, Rückmann y Weber l2a]V Klatte
[25), denuevo en el contexto de los parámetros de clase Cr (véase tarnbién Rückmann
[30]). Cuando confinamos nuestro estudio al contexto de las restricciones lineales
sin ninguna estructura para ?, los resultados que se obtienen en contrapartida han
sido analizados por Goberna, López y Todorov (véanse [11], [13] y [14]), utilizando
lEsta hipótesis de cualificación de restricciones, para problemas continuos, es equivalente a Iacondic'ión de Slater, a la que nos referiremos en el Capltulo 1 de esta memoria.
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técnicas ad hoc basadas exclusivamente en la versión semi-infinita de los teoremas
de alternativa (un enfoque analÍtico carece de sentido en este contexto, dada la
arbitrariedad de las funciones ¿ (') y b (')).
En lo referente a la estabilidad del problema (incorporando, pues, a la discusión
la función objetivo), centra,remos nuestra atención en el estudio de Ia semiconti-
nuidad inferior y superior de las funciones que asocian a cada problema su valor
óptimo y su conjunto óptimo, respectivamente, así como en eI análisis de diferen-
tes nociones de buen condionamiento del problema. Como antecedente inmediato,
mencionaremos que, en el caso continuo, las propiedades de continuidad de la fun-
ción valor óptimo han sido analizadas en Brosowski [3], mientras que Fischer [9] se
ocupa de la función conjunto óptimo, de nuevo en el caso continuo. Reseñaremos
que estos autores consideran la función valor óptimo y la función conjunto óptimo
definidas, respectivamente, en el espacio paramétrico de los problemas continuos
acotados (con valor óptimo finito) y en el de los continuos resolubles (con conjunto
óptimo no vacío), mientras que en nuestro contexto ambas funciones estarán defini-
das en el espacio de todos los problemas. Este hecho, implicará ciertas diferencias
de carácter técnico a la hora de particularizar en el caso continuo los resultados
presentados en esta memoria (véase la sección 2.5).
El cuerpo de esta memoria está constituido por tres capÍtulos, precedidos por un
capÍtulo preliminar (Capítulo 0). Cada capÍtulo se divide en secciones y algunas de
ellas contienen subsecciones. Los diferentes emrnciados presentados a lo largo de la
memoria (definiciones, teoremas, ejemplos, etc.) están numerados correlativamente
con el número del capítulo, el de la sección y el del enunciado (independiente
mente del tipo de éste). Los enunciados que no van seguidos por una referencia
bibliográfica constituyen las aportaciones originales de esta memoria al campo de
la estabilidad en PSIL. A continuación pasamos a describir los contenidos de la
memoria.
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El CapÍtulo 0 está dedicado a describir formalmente el problema de PSIL, esta-
blecer la terminología y la notación utilizadas, y presentar las herramientas básicas
de carácter general (fundamentalmente del Análisis Convexo) qnu han sido con-
tinuamente utiizadas en los capÍtulos siguientes. Destacamos el Lema de Farkas
Generalizado (Haar [15]). Ilustramos el manejo de estas herramientas en la ultima
sección del capÍtulo, en Ia que se presenta el dual lagrangiano de un problema de
Programación No Lineal como un problema semi-in-finito. Los resultados obtenidos
en relación con el breve análisis de este último problema son originales.
En el Capítulo 1 se aborda el estudio de Ia semicontinuidad inferior y supe-
rior de la función conjunto factible. La primera propiedad ha sido ampliamente
analizada en diferentes trabajos de Goberna, López y Todorov (véanse [11], [13]
y [14]), donde se presentan diferentes caracterizaciones de esta propiedad para un
sistema consistente (con conjunto factible no vacío), mostrando que el término "es-
tabilidad" tiene el mismo significado para diferentes autores (véanse, por ejemplo,
Robinson l27l V T\ry [SZ]). De estas caracterizaciones hemos enunciado aquellas
que son utilizadas miís tarde. Este capÍtulo aporta mrevas caracterizaciones de Ia
semicontinuidad inferior de Ia función conjunto factible, que vienen recogidas en
el teorema 1.2.2. Cuando el conjunto factible está acotado, Ia semicontinuidad in-
ferior de Ia función conjunto factible redunda en cierta propiedad de regularidad
métrica (que se proporciona en el lema 1.2.3), y eue será la clave para establecer
en el CapÍtulo 2 una propiedad de lipschitzianidad local de Ia función valor óptimo
bajo condiciones adecuadas.
En relación con la semicontinuidad superior de la función conjunto factible, exis-
ten diferentes resultados en la literatura, dependiendo de la topología considerada.
Gran parte de ellos se centran en el caso continuo, donde el espacio paramétrico de
los sistemas es un espacio de Banach. En Brosowski [2] se ca¡acteriza esta propie-
dad en términos de que el conjunto factible esté acotado o bien coincida con todo
el espacio euclídeo n-dimensional. Helbig [19], en el contexto de la optimización
disyuntiva, supone que ? es un espacio topológico arbitrario, pero las funciones
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" (.) V b (.) son continuas. Mrís próximo a nuestra formulación es el trabajo de Gre-
enberg y Pierskalla [10], en el que no se impone ninguna condición sobre ?, ni sobre
o (.) V b (.) . Su enfoque hace uso de Ia función supremo, y conduce a una condición
suficiente para la semicontinuidad superior de la función conjunto factible que está
conectada con la acotación de dicho conjunto en un entorno del sistema conside-
rado. Ya en nuestro contexto, Goberna, ,López y Todorov [14] proporcionan una
caracterización de esta propiedad, que recogemos en el teorema 1.3.1. Este teorema
pone de manifiesto que, en este contexto, la acotación del conjunto factible no es
una condición necesaria para la semicontinuidad superior de la función conjunto
factible. Este resultado será una pieza clave desde un punto de vista teórico en
relación con este tópico; sin embargo, dicho resultado no involucra la representa-
ción del conjunto factible, a Ia vez que hace intervenir los conjuntos factibles de
los sistemas de un entorno del original. Este mismo trabajo ([14]) provee de con-
diciones necesarias y condiciones suficientes para la semicontinuidad superior de
la función conjunto factible en términos de los coeficientes del sistema. Se suscita
entonces la cuestión de encontrar condiciones a la vez necesarias y suficientes en
términos de dichos coeficientes, cuestión que es abordada con éxito en Ia sección
1.3 de esta memoria. Se introduce para ello el concepto de sistema reforzado aso-
ciado a un sistema de desigualdades lineales (definición 1.3.6). En una primera
fase se proporcionan caracterizaciones de la semicontinuidad superior de Ia función
conjunto factible en términos del sistema considerado y de sus elementos asociados
(entre los que destacan el sistema reforzado y su conjunto factible), sin referirse a
los sistemas de un entorno (véanse los teoremas 1.3.14 y 1.3.15). En la siguiente
fase se proporciona una catacterización de esta propiedad en términos únicamente
de los coeficientes del sistema (teorema 1.3.18). La sección 1.3 concentra la mayor
parte de las aportaciones originales de esta memoria a Ia teoría de la estabilidad
del conjunto factible.
En el Capítulo 2, ya en el contexto de los problemas, se analizan las propieda-
des de continuidad (semicontinuidad inferior y superior) tanto de Ia función valor
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óptimo (teorema 2.2.3) como de la función conjunto óptimo (teorema 2.3.1). En Ia
prueba de estos y otros teoremas juega un papel destacado el lema 2.2.2, que esta-
blece que, cuando el conjunto óptimo de un problema resoluble está acotado, todo
problema consistente suficientemente próximo aI original es, de hecho, resoluble.
Los resultados que se presentan en este capÍtulo (excepto Ios de la sección 2.5) son
originales, y constituyen las aportaciones.de esta memoria a la teoría de Ia estabi
lidad del valor óptimo y del conjunto óptimo, la cual no había sido analizada en
nuestro contexto general. En relación con Ias pruebas, comentaremos que pueden
aislarse dos argumentos que se han revelado como herramientas fructíferas a la hora
de poner de manifiesto el alto grado de estabilidad de un problema cuando en él se
verifican simultáneamente la acotación del conjunto óptimo y la semicontinuidad
inferior de la función conjunto factible. El primer argumento consiste en considerar
los conjuntos de nivel inferior del problema2 como conjuntos factibles de nuevos
sistemas, que resultan de ampliar el original con una nueva restricción. Puede así
aplicarse Ia teorÍa de la estabilidad de los sistemas de desigualdades lineales para
estudiar la estabilidad del problema. El segundo argumento muestra que la ausen-
cia de la semicontinuidad inferior de la función conjunto factible, en un sistema
consistente, permite obtener como consecuencia de una sucesión de sistemas con-
vergente a éste cualquier desigualdad que satisfaga algrln punto factible del sistema
original. La Sección 2.5 aplica los resultados de las secciones anteriore,s para obte-
ner de forma directa algunas de las aportaciones de Brosowski [3] y Fisher [9] a la
teorÍa de la estabilidad del valor óptimo y del conjunto óptimo en el contexto de
los problemas continuos.
Se analiza también en este capítulo cierta noción de buen condicionamiento del
problema en el sentido de Hadamard, Íntimamente relacionada con Ia estabilidad
del valor óptimo (teorema 2.2.6). La noción clísica de buen condicionamiento de
un problema en el sentido de Hadamard, en el contexto de Ia FÍsica Matemática,
puede encontrarse en Courant y Hilbert [Z] y Hadamard ([16], [t7] V [18]). Existen
2Conjunto de los puntos factibles en los que la función objetivo no supera cierta cota.
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diferentes formas de definir el buen condicionamiento en el sentido de Hadamard
de un problema. La mayorÍa de ellas requiere la unicidad de la solución óptima
(véase por ejemplo Todorov [31], cuya noción de buen condicionamiento recogere-
mos posteriormente en la definición 3.4.4). La noción de buen condicionamiento
que analizamos en el capÍtulo 2 está inspirada en el texto de Dontchev y Zolezzi
[8], y no exige siquiera la acotación del conjunto óptimo. Los principales resultados
del capítulo se reúnen en una tabla (Tabla 1), en la cual se refleja el alto grado
de estabilidad de un problema cuando en él se satisfacen simultáneamente la se-
micontinuidad inferior de la función conjunto factible y la acotación del conjunto
óptimo, como hemos apuntado anteriormente. Se presenta ademiís una colección
de ejemplos que muestra que no existe ninguna relación subyacente no contemplada
en Ia tabla.
En el Capítulo 3 se establece un marco teórico general en el que ubicar diferentes
nociones de buen condicionamiento del problema que pueden encontrarse en Ia lite.
ratura. Tanto los resultados presentados, como el propio enfoque del capítulo, son
nuevos y persiguen un doble objetivo: esclarecer las interrelaciones entre diferentes
nociones de buen condicionamiento ya existentes, al tiempo que se introducen otras
nuevas como consecuencia del tratamiento exhaustivo que se propone. Ello se hace
a través del concepto de estrategia de resolución para un problema resoluble, que
introducimos en Ia sección 3.2 de este capÍtulo. En términos informales, el buen
condicionamiento de un problema resoluble estará relacionado con Ia posibilidad de
resolverlo bien mediante la estrategia basada en Ia resolución aproximada de proble-
mas acotados próximos al origial, o bien mediante la resolución exacta de problemas
resolubles próximos al mismo. Estas ideas se precisarán en el estudio de ciertas pro-
piedades deseables (admisibilidad, eficiencia y completitud) sobre dos estrategias
de resolución particulares (basadas en el conjunto de los problemas acotados y en el
de los problemas resolubles, respectivamente) que también serán introducidas en la
sección 3.2. Los principales resultados del capÍtulo se encuentran en secciones 3.3
y 3.4, y se ocupan de caracterizar, en términos de las propiedades de estabilidad
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del problema (analizadas en los capítulos anteriores), Ia admisibilidad, eficiencia y
completud de las dos estrategias particulares consideradas. Finalizamos el capítulo
con una tabla (Tabla 2) en la que se resumen las principales aportaciones de este
capítulo a la teorÍa de Ia estabilidad en PSIL.
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Capítulo 0
Preliminares
0.1 Notación y definiciones
Consideremos el problema de optimización lineal, en IR',
iT : Inf. {c'n I a'rr } br, t eT},
donde c, r y a¿ sofr vectores de IRt, entendidos como matrices-columna, ó¿ € IR, e
g' denota al traspuesto de g € IR'. n' puede alternativamente representarse por el
par (c, (or,br)r.r), o bien por (c, o) , donde o 2: {alrr } bt, t e T} .
Si el conjunto de lndi,ces ? del si,stema de restricc'iones, o, es infinito, estaremos
ante un problema de programaci,ón semi,-i,nf.ni,ta li,neal (PSIL). En nuestro trata-
miento del tema, 7 será un conjunto arbitrario, sin estructura. En consecuencia las
funciones t r+ a¡ y t é b¿ no gozan de ninguna propiedad en particular.
El espaci,o paramétri,co, en nuestro contexto, es el conjunto fI de todos los pro-
blemas n : (",o) cuyos sistemas de restricciones tienen el mismo conjunto de
índices, T, y c 10" (eI vector nulo de IR."). Obviamente, podemos identificar fI con
(R"\ {0"}) x (R" * R)t, donde el conjunto de los posibles sistemas se ha identifi-
cado con (lR' * IR)". Cuando se consideren diferentes problemas en fI, ellos y sus
elementos asociados se distinguirán por medio de sub(super)índices. Así, si 7i'1 €s
10
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0.1. Notación y defrniciones
otro problema de fI, escribir€frros ?r1 : ("1,or) y 6y;: {@il'r> bl , t e T}.
Muchos problemas de PSIL tienen coeficientes cuyos valores, bien son sólo
aproximadamente conocidos, o bien tienen que ser redondeados en los procesos
computacionales. Por lo tanto, en realidad estamos considerando un problema di-
ferente'r!: (c',ot), próúmo al original,'Ít : (",o). Para medir el tamaño de
las perturbaciones, introducimos en el espacio paramétrico de los problemas una
di,stanci,a ertendi,da ó : II x II --+ [0, **], que viene dada por
11
6 (n,.,tr) : :-* { l l"t
- " l l- ,
sup¿erll(;) - (fr) ll-) 'donde l l " l l - : max{1" ,1 , i : I , . . .p } , s iendo t : ( * r , . . . , *o ) ' e lRe, p € N.
Notemos que la aplicación (ot,o) H süp¿e? llt;il
- (;:)ll_ define a su vez una
distancia extendida d en el espacio paramético asociado @ = (lR" x R)" de todos
los sistemas de desigualdades lineales cuyo conjunto de índices es ?.
(II, ó) y (O, d) son espacios topológicos de Hausdorff, cuyas topologías satisfacen
el primer axioma de numerabilidad (esto es, la convergencia puede caracterizarse
mediante sucesiones, ya que cada punto posee una base numerable de entornos). ó
y d describen la topología de Ia convergencia uniforme en II y O, respectivamente.
Si 7 es un espacio compacto de Hausdorff y las funciones t v-+ a¿ y ú H b¿ son
continuas, se dice que el problema n (o el sistema a) es conti,nuo. En este caso,
denotando por flo (resp. O,) al conjunto de los problemas de PSIL (resp. sistemas)
continuos, (fI,, ó) (resp. (O", d)) se convierte en un espacio métrico completo.
A Io largo de la memoria trataremos de caracterizar ciertas propiedades de
estabilidad de o y de n'. En concreto, estaremos especialmente interesados en el
estudio de la semicontinuidad inferior y superior de Ia funci,ón conjunto facti,ble,
F,la funci,ón ualor ópti,mo, d, y Ia funci,ón conjunto ópti,mo, F". La primera,
f : II * 2R", asigna a cada problema zc (resp. a cada sistema o, abusando de la
notación) at, conjunto factible -o conjunto solución- F; esto es, .F (r) : F (resp.
F ("): F ). r.9 : fI ---+ [-*, **], asocia a cada problema r sr ualor ópti,mo u (esto
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0.1. Notación y defr.niciones
es, t9(n') :u), conviniendo queT9(zr) : *oo cuando F:0 (en cuyo caso diremos
que r, o o, es 'i,nconsi,stenüe). Si t9 (z') : -oo, diremos que r es no acotado. Por
rlltimo, F* : II -r 2R" hace corresponder a cada problema a su (posiblemente vacÍo)
conjunto ópt'imo, representado por F* (esto es, F* (*) : F-).
En lo que sigue, fI" (resp. O") representará el conjunto de los problemas (resp.
sistemas) consi,stentes (er' € [" € F *. A <+ t9 (z') ( *oo), y fI6 denotará al
conjunto de los problemas acotados (zr e 116 <+ t9 (r) es finito). Por su parte, fI"
designará al conjunto de los problemas resolubles (n- € fI" <+ .F'* # A e ú (zr) es
alcanzado). Obviamente, fI" C fla C flc.
En este momento introducimos alguna notación adicional que emplearemos en
la memoria. Dado A f X C RP, denotaremos por span(X), di,m(X), conu(X) y
cone(X) aI subespaci,o uectori,al generado por X, la di,mensi,ón de X (definida como
ia dimensión de span(X)),Ia enuoltura conuera de X y aI cono conuefro generado
por X. Otros conos de interés serán eI cono de recesi,ón de X, O*(X) (supuesto X
convexo), que está dado por
O" (X) : {y e lRo l , * \a eX para todo r e X y todo, \ > 0 } ,
y eI cono polar posi,ti,uo de X, Xo, dado por
Xo : {ge reo lA ' r> 0para todor €X) .
En ocasiones, utilizaremos también eI espacio de li,neal,idad de X (supuesto X
convexo), dado por lin(X) :: O* (X) n l-O* (X)] . Convendremos que cone(X)
siempre contiene al vector nulo y, por tanto, cone(A) : {0p}. Las normas ez-
clldea y de Chebysheu de r € IRp serán representadas por ll"ll v ll"ll- , respecti-
vamente, y la distancia euclídea de un punto z al conjunto X (l 0) es d(r, X) ::
inf {llr - All , A € X} . La bola uni,dad abi,erta, en JRp, para Ia norma euclídea será
representada por B, mientras que JR.. denotará al intervalo [0, +oo). En el aspecto
topológico, si X es un subconjunto de cualquier espacio topológico, i,nt(x), ct(X)
T2
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0.1. Notación y defrniciones
y bd(X) denotarán al i,nterior, Ia clausura y Ia frontera de X, respectivamente.
Finalmente, lim, debe interpretarse como limr--.
Si {X,} es una sucesión de conjuntos no vacíos, en JRP, Iim inf, X, (resp. Iim sup,
X,) es el conjunto de todos los lÍmites (resp. puntos de aglomeraciónl) de todas
las posibles sucesiones {*'} , r' e Xr, r : L,2,..., y puede caracterizarse como
el conjunto de los puntos r tales que cada uno de sus entornos intersecta a todos
los X, excepto a un número finito de ellos (resp. intersecta a una infinidad de
los X"). Se dice que {Xr} converge a X, en eL senti,do de Pai,nleué-Kuratowski,
(véase, por ejemplo, [29]) si X :liminf, X,:limsup, Xr, encuyo caso escribiremos
X :Iir¡,- X,.
Seguidamente consideramos algunas nociones de continuidad para aplicaciones
puntoaconjunto. Siy y Z sondosespaciostopológicos,y M:)) -+22 esunaapli-
cación punto a conjunto, fijaremos nuestra atención en las siguientes propiedades
de M:
Si ambos espacios satisfacen el primer axioma de numerabilidad, diremos que
Mes cervadaeng € ) s iparacualesquierasucesiones {y ' } cy y {2,} c z
verificando límry' : gr, lim, z' : z y z' e M(A'), r : I,2,..., se tiene z e M(ú.
La aplicación M es sem,icontinua,inferioremente (abreviado por lsc2) en y e !,
en el sentido de Berge, si para cada conjunto abierio W c Z tal que W nM(ü * A
existe nn entorno abierto U C y, del punto y, tal que W n M(y') I A para todo
at €u.
M se dice semi,contí,nua superiormente (abreviado usc3) en A e y si para cada
conjunto abierto W c Z tal que M(g) CW extste un entorno abierto de g en)),
U, ta| que M(yl) CW para todo gr1 e U.
En el capítulo 1 de la memoria estudiaremos estas nociones de continuidad para
la función conjunto factible F, y en el capÍtulo 2 lo haremos para.F*.
lllamaremos punto d,e aglomeración de una sucesión a todo punto que pueda expresarse comolfmite de alguna subsucesión suya.
2Del inglés lower sem,icontinuous.sDel inglés upper sem,icontinuous.
13
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0.2. Henamientas basicas
O.2 f{erramientas básicas
Esta breve sección recoge algunas herramientas del Análisis Convexo que utilizare-
mos constantemente a Io largo de Ia memoria.
Dado un sistema consistente o p {alr } il, t € T} , con conjunto factible F,
se dice que a'n ) b es rtna consecuenc'ia de a si la satisfacen todos los puntos de
F; es decir, a'z ) ó para todo z € F. En relación con este concepto, er Lema d,e
Farkas para sistemas no homogéneos ([aa]) caracteriza las desigualdades lineales
a'r ) ó que son consecuencia de un sistema consistente 6 p {a!rr>br, te T}
como aquellas que satisfacen
L4
(;) . "t("onu({(fr) , t€r' (:i)}))
(;)
(0.2.1)
Introduciendo el cono, R!), de todas las funciones ) : ? --+ IRa que toman
valores positivos sólo en una cantidad finita de puntos de ?, (0.2.1) equivale a la
existencia de un par de sucesiones {)'} c Rtt) y {tt,} clR-., tales que
:rim"{t^r(;) .,,(1) },
donde ) ' : ( ) í ) r . 7 , r : 1 ,2 , . . .
Asociaremos al sistema a los conos M y K, denominados respectivamente primer
cono de momentos y cono característi,co de o, definidos por
M : : cone ( {a¿ , t €T ¡ ) , K ( ( / " r \ r -m / 0 " \ ' l \:: cone \t \r ' /
j t t t. ; \-r) j )
Debido al Lema de Farkas, cl(K) recibe en ocasiones el nombre de cono de las
relaciones consecuentes d,e o. El cono M,,por su parte, resulta de gran utilidad a
la hora de caracterizar la acotación tanto del conjunto factible como del conjunto
óptimo del problema.
Es inmediato comprobar que, si n es consistente, entonces O* (F) : Mo. La
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0.3. Ejemplo: El dual lagrangiano como un problema semi-infr.nito 15
acotación de F puede establecerse como sigue.
Proposición 0.2.1- [12, Th. 9.3] ̂ 9C r € II", las si,gui,entes cond,ici,ones son equi.ua-
lentes:
(i) .F es acotado;
(ii) M - rR,;
(iii) o+ (r) : {0"}.
De cara al estudio de la acotación de F*, resulta en general de interés corsiderar
Ios conjuntos de ni,uel (inferior) de r, L(a) ,: {, € F I Cr 1a}, o e IR.. Se
comprueba inmediatamente que todos los conjuntos de nivel no vacÍos de n-tienen
el mismo cono de recesión, el cual viene dado por {a¿, t eT; -"}o . La acotación
de f'* se caracteriza como sigue.
Proposición 0.2.2 [12, Cor. 9.3.1] Sea ¡r € fI". Entonces son equ,iualentes:
(i) F- es acotado y no uacío;
( i i ) {a¿, t e T; -c} ' : {0,} ;
(iii) c e int (M) .
En otro orden de ideas, en diversas situaciones a lo largo del texto utilizaremos
la siguiente propiedad: si X I 0 es un conjunto convexo y cerrado, y i É X,
entonces existe una única mejor aprorimaci,ón dei en X. Ademrís, denotando por
r a esta mejor aproúmación, se verifica la relación (" - i)' n > (r - i)' * para todo
r Q X. En particular, si X es el conjunto factible de un sistema de desigualdades
lineales, Ia relación anterior es una consecuencia de dicho sistema.
0.3 Ejemplo: El dual lagrangiano como un pro-
blema semi-infinito
En esta sección pretendemos ilustrar algunos de los conceptos anteriores en una
aplicación de la PSIL, inspirada en [1, Sec. 6.4].
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0.3. Ejemplo: El dual lagrangiano como un problema semi-infrüto 16
Consideremos el problema (primal) de Programación No Lineal
(P) Inf / (¿)
s .a g (¿)<0- , teC,
donde C es un compacto de IR' y las funciones / : C * lR y g : C - IR- son
continuas en C. Supongamos que el conjunto {t e C I g (t) < 0-} es no vacío. El
dual lagrangiano de (P) viene dado por
(D) Sup inf¿66r {f @ + \'g (t)}
s.a ) ) 0- ,
cuyo valor j uD) coíncide con el del problema semi-infinito
(D') Sup z
s .o , z< f ( t ) + ) '9 ( t ) , teC
)>0-.
EI problema (D') puede tranformarse en el siguiente problema de PSIL.
Ejemplo 0.3.1- Conservando Ia terminologÍa de los prírrafos anteriores, considere-
mos el problema
7( : Inf. {c'r I olr, > b¿, t e T} ,
donde hemos realizado el cambio de notaciórr lt :: ()) e R-*1, y cuyos elementos
describimos a continuación:
T :: C U {tt, s2,..s*}, donde sl, s2, ...s* son rn puntos distintos en IR' que no
pertenecen a C. Nótese que ?, con la topología inducida por IR', es compacto;
[ / o ( t ) \ t ca (
- ._/0-\ . ^ _ l \ . t / ' ' [ 'EL/
)bt : : l - f t t l , t€c
t ' : \ - t / i
a t t : 1 / ' ' \l l?) , t :s i , r1 j1m, lo, t :s i ,L<i<*.\ \ U , /
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0.3. Ejemplo: El dual lagrangiano como un problema semi-infrnito LT
donde e¡ es el j-ésimo vector de la base canónica de IR-.
Nótese que las funciones t r-+ a¿ y t é b¿ son continuas en ?. Por tanto 7r- es un
problema continuo. Nótese también que u, el valor óptimo de zr, es igual a -o¿r.
Se comprueba de forma inmediata que zT es consistente, puesto que, elegido
arbitrariamente ) ) 0rr¿, la función t * f (t)+\'g(t) alcanza en ? su mínimo
absoluto, ,(^); y por tanto (,f,) a F. De,hecho, n es acotado, por ser (D) acotado
en virtud del teorema débil de dualidad (véase [1, Th. 6.2.1]).
Se deducirá como consecuencia inmediata del teorema t.2.1que .F es lsc en n'.
En los capítulos 2 y 3 se pondrá de manifiesto la notable estabilidad de un problema
resoluble cuando en él se verifican simultáneamente Ia semicontinuidad inferior de
f y Ia acotación del conjunto óptimo. Por esta razón dedicamos el resto de la
sección a analizar Ia resolubilidad de r y a establecer una condición necesaria y
suficiente para que el conjunto óptimo de este problema sea acotado y no vacÍo.
En primer lugar notemos que el cono K asociado al problema que nos ocupa es
cerrado4, puesto que K coincide con el cono generado por X : conu({ (fi) , t € T;
(o:i'))), qn" es un conjunto convexo y compacto que no contiene a0^¡2 (véase
[28]). En efecto, X es compacto en virtud del Teorema de Mazur. Por otro lado,
si existe,l e nf) tal que 0m+2: Il,(ff) +p(o:i '), entonces, observando Ia
coordenada m * l-ésima, debe ser l¿ : 0 para todo t e C. Observando después
Ia coordenada j-ésima, 1 ( j S m, debe ser )ri : 0. Por ultimo, observando la
coordenada m l2-ésima, debe ser p:0. En corsecuencia, 0^+z # X.
Aplicando ahora los teoremas 5.3(i) y 7.1 de [12], concluimos que nuestro pro-
blema n es resoluble si y sólo si se satisface la condición de Karush-Kuhn-T\rcker,
esto es, existe un ,r* e F y unos Índices ú1,..., t¡ €T tales que
ce cone ( {a¿ . , 1< iS k } ) V (o r r ) ' * * : b to , pa ra todo ' i : 1 , . . . , k .
al,os sistemas de inecuaciones cuyo cono caracterÍstico es cerrado se Ilaman de Farkas-Minkowski.
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Ejemplo: El dual lagrangiano como un problema semi-infrnito 18
Proposición 0.3.2 Sea r el problema i,ntroduci,do en el ejemplo 0.3.1. Las si,-
gui,entes condi,c'iones son equ'iualentes:
(i).F. es acotado g no uaclo;
(1i) cone ({g (t) , t € C}) conti,ene algún elemento con tod,as sus coord,enad,as
negati,uas.
Demostración. (i) + (ii). En virtud'de la proposición0.2.2, (i) es equivalente
a
, : lo : ) e .n t (con"{ (n( " ' /o \ ) \
\-1l \ t \- ; 'J ' t€c; (; ,) ' i :r ' '*¡)Proyectando ambos miembros sobre sus rn primeras coordenadas, y dado que la
proyección es abierta, 0* €. ' int,(cone{g (t) , t e C; €j, j :1,.. . ,rr-}). De aquí se
deduce que
cone{g(t), t € C;
luego existen Índices t¡,...,t¡, e C y
tales que re
e¡ , i :L , . , . ,mI : ]R- ,
escalares no negativos )¿r, ..., )ro, Fr, ..., F^
-l*:D¡r,n Qo) +Dr,",,i : l
donde -1- denota al vector de lR- cuyas coordenadas son todas iguales a -1. Pork
tanto DÁrug (t¿) tiene todas sus coordenadas negativas.i : L
(ii) + (i). Supongamos que existen Índices tr,...,tn e C y escalares no negativos
)rr, ..., )¿o tales que i )trg (t¿) tiene todas sus coordenadas negativas. podemos su-i =L
poner, sin pérdida de generalidad, que É ^,, : 1 (basta dividir cada coeficiente pori:1.
la suma de todos ellos, que es obviamente no nula). Llamando -p; ala coordenadak
j-ésima d" D \tog (t¿), para I < j ( rn, obtenemos; - 1
(0.3.1)f ̂ ,,('i;') .n,,(;): (3)Nótese eue p¡ > 0, j : I ,2,.. . ,n-Lj y existe algún ze € {1, . . . ,k} tal que.\¿oo ) 0.
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0.3. Ejemplo: EI dual lagrangiano como un problema semi-infrnito 19
Es obvio q"" {(gt"l)l;
(?) , i:t,...,*} es un sistema generador de IR-+l. En
virtud del teorem a ll2, Th. A.7], la expresión (0.3.1) implica q"" (3) € int (M) ,
y, por tanto, F* es acotado y no vacío. I
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Capítulo 1
Estabilidad del conjunto factible
1.1 Introducción
La función conjunto factible puede considerarse definida tanto en el espacio param6
trico de los problemas como en el de los sistemas. Dado que en los resultados
incluídos en este capÍtulo, el vector de coeficientes, c, de la función objetivo de un
problema n : (c,a) no desempeña ningún papel, enunciaremos dichos resultados
únicamente en términos del sistema o.
En [13, Sec. 2] se prueba que la aplicación .F es siempre cerrada en cualquier o €
O". En aquel trabajo, así como en [11], se proporcionan diferentes caracterizaciones
de la semicontinuidad inferior de -F en un sistema consistente o, Ia mayorÍa de ellas
basadas en diferentes conceptos de estabilidad extraídos de la literatura ([23], [27],
[32], etc.). En la sección 1.2 se recogen algunas de estas caracterizaciones y se
añaden otras nuevas, que serán utilizadas en resultados posteriores. En algunas de
las caracterizaciones mencionadas se recurre a la denominada condi,ci,ón fuerte d,e
Slater (abreviada por SSCI), Ia cual satisface un sistema o si existen un número
positivo p y un punto factible r verificando alrn ) bt* p, para todo f € ? (el
punto r se dice que es un SS-elemento de o). La SSC es m¿ís restrictiva que
20
IDel inglés, strong Slater cond,ition.
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1.2. Semicontinuidad inferior de la función conjunto factible
la conocida conüci,ón de Slater (SC, para abreviar), que únicamente requiere la
existencia de una solución estricta, z, esto es, satisfaciendo alrT > b¿, pará,todo Ú g ?
(obviamente, si o es continuo ambas condiciones son equivalentes). EI conjunto de
todos los SS-elementos de o será representado por Fss.
La semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible en eI espacio paramé-
trico de los sistemas consistentes continuos ha sido analizada en [3] y [9]. Si o es
un problema incorsistente, F será semicontinua superiormente en o si y sólo si a
pertenece al interior del conjunto de los sistemas incorsistentes, y esta propiedad
ha sido estudiada en [13]. Por otro lado, si F es acotado, se muestra en [14, Cor
3.2] que f siempre es usc en o. Por tanto centraremos nuestro estudio de la semi-
continuidad superior de F en el caso en el que o es un sistema consistente y F es
no acotado.
En la sección 1.3 se proporcionan dos caracterizaciones de Ia semicontinuidad
superior de f en un sistema a (consistente con conjunto factible no acotado), la
primera de ellas desde una perspectiva más geométrica y Ia segunda en términos de
los coeficientes del sistema. Ambas caracterizaciones están referidas únicamente al
sistema o, no involucrando a los sistemas de un entorno (véase [14, Th 3.1]).
L.2 Semicontinuidad inferior de la función con-
junto factible
En los dos siguientes teoremas se reúnen aquellas caracterizaciones de la semicon-
tinuidad inferior de .F en un sistema corsistente ¿r que nos serán de utilidad en los
capítulos posteriores.
Teorema t.2,L [13, Th. 3.1]2 S? o e O., las s'igui,entes condi,ci,ones son equi,ualen-
tes:
(i) F es lsc en o;
2L
2La equivalencia (i)e (v) se obtiene como consecuencia inmediata de [11, Lem' 3.2].
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L.2. Semicontinuidad inferior de Ia función conjunto factible
( i i) o €' int (O") ;
(iii) o,+1 f "t ("oro ({ ft'\, ¿ € r})) ;\"-"" \ t \b' l ' ' ) / /
(iv) a sati,sface la condición fuerte de Slater;
(v) ltn(cl(K)) es i,nuari,ante en un entorno de r.
Teorema L.2.2 Sea o € O". Son equi,ualentes:
(i) f es lsc en o;
(í i) Para cada{o,} C@ conuergente ao, eristeunrs tal queor € O" s¿ r} rs,
y ademó,s F : Iimr>ro 4i
( i i i ) F : cl (Fss) .
Demostración. Comenzamos probando la equivalencia entre (i) y (ii). Supon-
gamos en primer lugar que se tiene (i), y sea {",} c O convergente a a. En virtud
del teorema L.2.I, o €. int (II") y se concluye Ia existencia de un 16 tal quie F, I A
para r ) rs. Si r e F y W esun entorno abierto de r, (i) asegua la existencia de
rt (rt ) ro) tal que WaF, f A,paratodo r ) rr. En otros términos, I4l intersecta a
todos los F,, excepto a una cantidad finita de ellos, de donde r € lim inf,¿ro F,. Por
otra parte, lim supr, ,o F, C F puesto que .F es cerrada en o. Dado que la inclusión
Iim inf">"o f', C lim sup rlr¡ Fr se verifica en general, se concluye que f' : Iimr>"' Fr.
Supongamos ahora que se tiene (ii) y F no es lsc en d. Existe entonces un
conjunto abierto W tal que F nW + 0, mientras que para cada r € N puede
elegirse un or de forma qte d(o,,o) < Llr y F, nW : A. En consecuencia, si
r e FñW, para cualquier rs que corsideremos, r t' liminf ,¿,sF,. En resumen,
Iimro, - o y F t'Iiminf,.>,' Fr, para cualquier rs, contradiciendo la hipótesis.
Seguidamente probaremos (i) <+ (iii). Si se verifica (iii), puesto que F I A por
hipótesis, Fss ha de ser no vacío también, de donde se obtiene (i) como consecuencia
inmediata del teoremal.2.l. RecÍprocamente, si se tiene (i), dado cualquier conjun-
to abierto W qrrc intersecte a F, podemos encontrar un p > 0 tal que FL1W + A,
siendo o1 i: {o!rr>bt-lV, teT). Como Fl : F("r) C Fss, obtenemos que
Fssñ W + A. En conclusión, hemos probado que F nW * 0 implica Fss n W + A,
22
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1.2. Semicontinuidad inferior de la función conjunto factible
de donde se deduce que F c ct (Fss) . La inclusión contraria es inmediata, ya que
FssCFyF escer rado . I
En [13, Th. 3.1] se añade a la relación de condiciones equivalentes del teorema
I.2.L Ia R-estabi,ti,dad de F (en el sentido de Robirson, [27]) en d, que viene descrita
como sigue: Para todo ñ e F existe un par de números positivos 0 y e tales que se
verifica
d (ñ, Ft) S pV (l,or)
para todo ot : {@l) ' r>b!, t€T} sat isfaciendo d(o1,o) < e, donde d(ñ,Ft)
representa la distancia euclÍdea de ñ a F1 (conviniendo que esta distancia es *m
s i F t :6 ¡ , t
23
V (t,o) :: ** {0, :EF (ul- (ol) 't)) e ¡0, +*1
es una medida de la infactibilidad de ñ respecto de o1. En Ia definición anterior, B
depende del punto ñ elegido.
En el siguiente lema se proporciona una condici,ón uni,forme de regulari,dad
métrica de un carácter análogo a la R-estabilidad, pero que involucra a dos sis-
temas cualesquiera en un entorno suficientemente pequeño de o, y en Ia que el
escalar B depende sólo de a. En contrapartida, hemos de exigir que F : F (o) esté
acotado. Este lema será fundamental a la hora de establecer cierta propiedad de
Iipschitzianidad local de Ia función valor óptimo en el capitulo 2.
Lema L.2.3 Sea o € O". Si, F es Isc en o y F es antado, entonces existe un par
de escalares posi,ti,uos € A P tales que si d(o¿,o) 1e,'i: L,2, se t'iene, para cada
ri e F¡,
d ( * i ,Pn) < |V ( r i ,o¿) , i , i : L ,2 , i+ i .
Demostración. La acotación de F implica qrrc F es usc en o, Iuego existe
un6 > 0 ta l que Fr c F+B siempre que d(o1,o) <e. Asípues, existe un
escalar positivo ¡^r tal que ll"tll S p paxa todo 11 € Fr, supuesto que d (o¡o) <?.
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Semicontinuidad inferior de Ia finción conjunto factible
Ademrís, puede suponerse sin pérdida de generalidad que f'1 * A en este F-entorno
de a, debido a la semicontinuidad inferior de F en o.
Consideremos ahora, en este entorno, dos sistemffi, o1 y oz. Elijamos, por
ejemplo, un purrto arbitrario n2 e F2 y supongamos que 12 # Ft y que V(r',ot) <
*m (en otro caso, la desigualdad que perseguimos se satisface trivialmente). Sea
# e F¡ la mejor aproximación de 12 en F1, esto es, d(z2,f'r) : ll"t - "'ll.
En estas condiciones la relaciór (rt - ,')' * > ("t - *')'rl es una consecuencia
de 41, como apuntábamos en la sección 0.2. En virtud del Lema de Farkas existen
sucesiones {)'} c Rtt) y {pr,} c IR-,. tales que
(1 .2 .1 )
Multiplicando escalarmente ambos miembros de (1.2.1) por (-í'), obtenemos
l l " ' - * ' l l ' : h*,"{ f ^T@i - @l) '* ' )-r ,} .v (*r,o1) hmsup,I, l ; .t ¿er ) t.,
6r.r¡Puesto que f es lsc en o, aplicando el teorema \.2.I, existen un SS-elemento
pa , rao , n ,y un p ) 0 ta les quea l r r -b¿ ) ppara todoú € ? . Seae : :
mit {?, 9G+nt/ 'p)- t } . t t d(or,o) 1e, enronces (ol) 'n- ó} > ! , para todo
t € T. Así, c es también un SS-elemento de úr1, cor "holgura" mayor o igual que É.Multiplicando escalarmente ambos miembros de (1.2.1) pot (lr) se obtiene
( _ ) ^(r'**')'(n-,') - lim,tE^t ("1)'t-ól) + ,,¡.f r-', 'n,E^t.
En consecuencia, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, deducimos que
rimsup, E
^t ='¡ll* -,,11 ll, - *,ll s fu k, -,rll . (1.2.3)
Como consecuencia de (I.2.2) y (1.2.3), concluimos
24
(,li'-;i,',) *,) : "* { E ̂ t (;,i) . r' (:i) }
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1.3. Semicontinwdad superior de la función conjwúo factible
d(rz,Fr): l l r ' - * ' l ls+v (r2,,o1),r r - p \
siempre que d (o¿,o) 1 e, i, : L,2. Esto concluye la prueba del lema, tomando
p,: T. r
1.3 Semicontinuidad superior de la función con-
junto factible
En [14, Th. 3.4] se establece que, si a es un sistema consistente en IR.', con n ] 2,
y eI conjunto {ar, t e T } está acotado y es distinto de {0"}, entonces f es usc en
o si y sólo si F es acotado. En particular este resultado se aplica para los sistemas
continuos, ya que en este caso el conjunto {a, , t € 7} es compacto (véase también
[g] V [g]). Por otro lado, en el caso n: t, se indica en [14, Ej. 3.3] que .F es siempre
usc en cualquier sistema consistente. Recordemos, por último, que la acotación de
F' es una condición suficiente para la semicontinuidad superior de F en o € @..
Por Io tanto centraremos nuestra atención en el caso en el que tanto F como
{a, , t e 7} son no acotados. Intuitivamente podemos interpretar la semicontinui-
dad superior de f en un sistema o en términos de que las regiones factibles de
Ios sistemas suficientemente próximos no sean mucho mayores que F. El siguiente
teorema proporciona una caracterización 'de tipo geométrico' de Ia semicontinui-
dad superior de "F que corrobora esta idea de una forma contundente. Nótese que,
cuando F es no acotado, un abierto W qtrc contenga a F puede tener sus puntos
muy próximos a los de F conforme nos acercamos al punto del infinito de IR'.
Teorema 1.3.1 [14, Th. 3.1] Dado un si,stema consi,stente o, F es usc en o si, y
sólo si, eristen dos escalares posi,ti,uos, € A p, tales que
25
Fr\p ct(B) c \p ct(B)
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1.3. Semicontinuidad superior de Ia función coniunto factible
para cualqu'ier o1 € @ tal que d(oy,o) < e.
Este resultado será fundamental a la hora de establecer nuevas caracterizaciones
de la semicontinuidad superior de f en o que no dependan de los sistemas próximos.
El siguiente ejemplo enfatiza el hecho de que la semicontinuidad superior de .F en
un sistema no queda determinada por la región factible del mismo, sino que depende
en gran medida de su representación, esto es, de los coeficientes del sistema.
Ejemplo t,3.2 [14, Ej. 3.6] Dado 6: {alrn} b¿, t €T } € O", conT i.nfní,to,
e ls i , s tema6: {ka l rn } kb¿, ( t , k ) e 7xN} es equ i ,ua len teao ( t i ,enee lmi ,smo
corujunto facti,ble), su conjunto de índi,ces ti,ene la mi,sma cardi,nali,dad que T , y F
es usc enó.
Intuitivamente, podemos decir que ñ presenta'reforzadas' todas las restricciones
de o. La siguiente subsección está dedicada a formalizar esta idea, y a obtener sus
primeras consecuencias.
1-.3.1- Sistemas reforzados
En [1a] se proporcionan condiciones necesarias y condiciones suficientes para Ia
semicontinuidad superior de F en a únicamente en términos del propio sisterha.
Para ello se introduce el concepto de si,stema asi,ntóti,co asociado. La definición se
desarrolla en diferentes etapas. En primer luga,r se define eI cono as'intóti,co de un
conjunto no vacÍo X C IR', denotado por X-, como el conjunto de todos los límites
de Ia forma lim¡ Fnfik, donde Fr € R+, rk e X, k : L,2,..., y {lru} J 0. EI Lema
2.1 de [14] describe diferentes propiedades del cono asintótico de X. Destacamos
la siguiente: g €X* con llgll : 1 si y sólo si existe una sucesión {rk} C X tal que
Iiru llzkll : +* y lim¡ llrull-' nk : a.
Definic ión l - .3.3 [14, Sec. 2) Seao €o". Si ,ae {a¿, te.T } ." , l lo l l :L, sabemos
que exi,ste una sucesi,ón {t¡,} C T tal que li,m¡ llor* ll : *n y lim¡, lla¿oll-' oro : o.
Si,, adi,ci,onalmente, ó :: Iimsup¿ lla¿oll-t bro es fini,to, se d'ice que a'n 2 b es una
26
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1.3. semicontinuidad supeúor de Ia función coniunto factible
restricción implicita fija para o. Se llama sistema asintótico asoci'ado a o, denotado
por oo, al formado por todas las restricci,ones i,mpllci,tas fijas para o. El coniunto
facti,bte d,e o" se denotará, por F" (si, o" es un si,stema t)acío, conaen'imos que Fo :
R').
Es inmediato comprobax que F C F". Ademiís, en [14, Lema 2.4] se prueba que
si o1,o € Oc verifican d(o1,o) ( *oo, entonces (ot)" : oo, y pot tanto Ff : F"'
Teorema L.3.4 [14, Th. 5.1] ̂ 9? a € O" es tal que F"\F es acotado, entonces F
es usc en a.
La condición suficiente del teorema 1.3.4 no es necesaria, como muestra el si-
guiente ejemplo (véase también [14, Ej. 5.2]), que proporciona las claves para un
refinamiento de dicho teorema.
Ejemplo 1.3.5 Consi'd'eremos el si,stema, en lR'3,
27
Q :
r2 ry+r rz *0 r32-1 , r€N
-s2rtJ- srz* 0r3 > -1, s € NI.
Se comprueba fácilmente que F: {0} x IR+ x IR y oo : {nr ) 0, -rr > 0}.
Por tanto Fo : {0} x lR x IR. Veamos que .F es ?rsc en a. En efecto, la semisuma
de las restricciones asociadas a r € N y "
: r es rü2 ) -1. A partir de aquÍ
es inmediato que rz ) 0 es consecuencia de cualquier sistema consistente cuya
distancia a d sea finita. Por lo tanto si a1 € @" y d(o1,o) ( *oo, entonces
Fr c {, e Fi | *z > 0} : {r e F" l r, > 0} : F, de donde se deduce
inmediatamente la semicontinuidad superior de F en o.
La idea subyacente en el ejemplo anterior es que pueden existir restricciones que,
sin ser implícitas fijas, estén indirectamente 'reforzadas' por d mediante combina-
ciones convexas de restricciones con coeficientes 'grandes'. Esto sugiere la siguiente
definición.
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1.3. Semicontinuidad superior de la función conjunto factible
Definición L.3.6 E/ sistema reforzado asoci,ado a o : {alrr } b¿, t € T} € O",
denotado por oR, estó, dado por
Nótese que, en general, el conjunto de índices de oR no es ?, pero puede aplicarse
la teorÍa de sistemas a oR. Denotaremos por FE al conjunto factible de an. Si on
es vacío, convendremos que Fa : lR'.
Es inmediato que si X es un subconjunto no vacío de IR', entonces X* :
(c l (X) ) . " . Enefec to , s i Í : I im¡ , ¡ - t ¡ , rk e (c l (X) ) . " , con {zk} Cc t (X)V { t r t } l0y ,
para cada k, elegimos un gk € X tal que lluk -
"ull ( 1, entonces u : Iim¡ ¡-t.¡,yk e
X-. La inclusión recíproca es trivial.
Ademrís, si X es convexo y cerrado, entonces X- : O+(X). Así,
oR: ("onu{(fr) , ¿ € "}) *:
o* (" (*",{(;;) , , . '}))
Obviamente, do es un subsistema de oE y toda desigualdad de oE es consecuen-
cia de o. Por tanto, F c FR C F". Puesto que los sistemas inconsistentes que
puedan existir en un entorno de o no dificultan Ia semicontinuidad superior de F
en d € O", en lo sucesivo, cuando consideremos un sistema d1 err un entorno de a,
supondremos implÍcitamente eu€ n1 es consistente.
Lema L.3.7 Sean o,a1 € O¿, con d(o,ot) < 1.cr.. Entonces ol : oR A, por tanto,
F { : FR '
Demostración. Sea o1 : {(o})'*2bl , t eT}. Por simetría, bastará probar
que
( "onu { ( ; ) , ú€ " } ) * . ( " on { ( ; )
, ú€ " } )_
28
oR , : {o '*
> u, ( ; ) . ( "o, , { ( ; ; ) , ¿ € "})""}
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1.3. Semicontinuidad superior de la función conjunto factible
Sea (i) e (conu {Cil , ú € ?})-. Entonces, existen {x} c Rf), co'
Fr{ : t
para todo r € N, y {pr) C R+, con lim. F, : 0, tales que
/,\ -,,* t ^;(:i) : rm. {r.D^;(;:) + t .L^T(^i_ tr) }\r/ :
"m' F' -, r
- \o;/ ¡. ¿er \-¿./ ter \-¿ -¿t
)
: l i - , , \ - r ' l o t \ / ( /a ' \ ) \mr Fr
,1,^r(;;) .
\conu t(;;J ,r.r¡)*,
( . , . )puesto que I t )l(ii-Í:) | está acotada. r
t ¿ € T \ o ; - o t /
)
Corolario 1.3.8 Seao € O". ^9? FE\F estó, acotado, entonces F es :usc eno.
Demostración. Tómese p > 0 satisfaciendo FE\F c pcl(B). Sea o1 e O. tal
que d(41, o) < +m. Entonces Ff : F' y, en consecuencia,
F'\F c Fr"\F : FR\F c pct(B).
AsÍ pues, ft\ p cl(B) C ,F\ pct(B). Finalmente el teorema 1.3.1 gararftiza la semi-
continuidad superior de F en o. I
El siguiente ejemplo ([14, Ej. 5.2]) muestra que Ia condición suficiente del co-
rolario anterior no es necesaria. En la siguiente subsección se mostrará que dicho
ejemplo constituye esencialmente el único caso patológico en este sentido, que en
general viene determinado por las condiciones O+ (.F') : (lR*)" y O+ (Fo) : Rr,
para algún u e IR"\{O,}. Este caso también será analizado en la próxima subsec-
ción.
Ejemplo 1.3.9 Consideremos el si,stema, enR2,
o1 : { tq *12} - l¿ l , ú€R} .
Se ti,ene que F: [-1, 1] x JRa A FR : [-1, 1] x IR. S¿n embargo, F es :usc en o.
29
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Semicontinuidad superior de la función conjunto factible
En efecto, Ia semicontinuidad superior de F en a ha sido comprobada en [14,
Ej, 5.2]. Seguidamente determinaremos oR. Se comprueba que
( /o,\ -') ( ."o", \ ( i j ) ,
t €r¡ : { { r , , yz,as) ' € R' I az : r ,us 1 - lu, l } ,
que es un convexo cerrado, luego su cono asintótico coincide con su cono de recesión,
30
esto es,
oR : ("onu{(;j)( . \ ,: J (9r ' Uz,as)
oo
' . " ) )
€Rt lAz:o,Vr<- lVr l )
: cone { ( -1 , o , -1 ) ' , (1 ,0 , -1 ) ' } .
Por lo tanto, oE es equivalente a {-r1 ) -1, rr > -1}, Iuego FR: [-1,1] x JR.
L.3.2 Caracterizaciones de la semicontinuidad superior de
la función conjunto factible
El siguiente lema constituye una herramienta fundamental en la prueba de los
principales resultados del resto de este capítulo.
Lema 1-.3.1-0 seao €@. con Fo\F no acotado. Sea {fli c Fn\F una sucesi,ón
no acotada. Para cada r € N se¿ T Ia mejor aprori,maci,ón de T en F. Si, {T} es
no acotada, entonces F no es usc en o.
Demostración. Para cada r : ! ,2,.. . , sea
0, : : {o l r r>br - ! , t€T} .
Obviamente F c Fr, para todo r. Definimos ,u), :f -T,r:L,2,.... Enronces,
para cada r, (w')'r 2 (w',)'t' es una consecuencia de o. probaremos que (wr),r )
(r')'T no es una consecuencia de or, r : I,2,....
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1.3. Semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible 31
En Io que sigue consideraremos un r € N fijo. Supongamos, por reducción al
absurdo, que (u')'r > (.')'f es una consecuencia de o'. Entonces, deben existir
sendas sucesionest {}o} c Rt) v {po} C IR+ tales que
( u)'\ " rr^r( ,",,)*r-lo")\.(-(,'), T ) : tt*o
t= \ot - ;/ '" (-;/ i
(1'3'1)
Multiplicando escalarmente ambos miembros de (1.3.1) po, (1;), obtenemos
( ¡ 1\ I0: l imp l I^ f (o in ' -bt t i )+ pr l . (1.3.2)
[E \- r / )
Dado q.ue alrf - bt ) 0 para todo ú € 7, se concluye fácilmente a partir de (1.3.2)
que limo I ^l : 0 y Iimo ¡to: 0. Definimos 7o ':I .\f, para cad,a p : !,2,....t€T teT
Veamos eue ?p ) 0 para p suficientemente grande. En efecto, eliminando en (1.3.1)' / o"
), , multiplicando escalarmente por (3r), corrctuimos queei termrno pr\_t)
- l l , ' l l7: hmp {l ^t ("g - bt *:) }lá" \" ' / )
Asípues, debe exist i r unpe e N tal que D X!(alr f -h*t) f O,parap) po.
En consecuencia, paxa p ) po, \p no es i¿Jff;.u-.nte cero y, por tanto, ̂ lo ) 0.
Ahora podemos reescribir (1.3.1) como
3En rigor, estas sucesiones dependen de r. No obstante, pa"ra simplificar la notación, obviare-mos el fndice r.
G?i *): Iimo>o., { E
on|,: *) }
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1.3. Semicontinuidad superior de Ia finción conjunto factible
Podemos asumir, sin pérdida de generalidad, considerando si es preciso una subsu-
cesión adecuada, que {'yr} J 0. Así, se tiene
Consecuentemente, (r')'* ) (r')'/ pertenece a (o')n : oR (Lema 1.3.7). Hemos
alcanzado una contradicción, puesto qo. / e FR y (w')'f < (w')'l .
Hemos probado, pues, que (.')' * 2 (r')'f no eS una consecuencia de or, para
r : L,2,.... Así pues, para todo r, existe rn a' € F, tal que (w')'y' < (,')'f
(luego, g' # F).
Pa¡a todo r perteneciente al segmento ly',fl se tiene (r')', < (.')'T, r:
I,2,....Entonces, para todo r : 1,2,..., podemos elegir , ' € ly',7[c F'\F de
forma que llr' -7'll ( 1. Puesto que estamos suponiendo que {/} no está acotada,
{r'} tampoco Io estará.
En resumen, hemos encontrado una sucesión de sistemas {o'} convergente a o
y una sucesión {r'} no acotada en IR', tales que r' € 4\4 para todo r € N. El
teorema 1.3.1 nos permite concluir que f no es usc en a. I
Los siguientes dos lemas están destinados a justificar la división del estudio
relativo a la semicontinuidad superior de la función conjunto factible en dos casos,
como se verá en los teoremas 1.3.14 y 1.3.15. Esta división ya ha sido anunciada al
final de la subsección anterior.
Lema 1.3.11- Sean {0"} 9 Cr 9 Cz d,os conos conueros y cerrados en IR'. Supon-
garnos que las condi'ci,ones (i) C1 : (lR+) u y (ii) Cz : IR'u no se satisfacen si'mul-
tó,neamente para ni,ngún u + 0.. Entonces, eri,ste z + 0* tal que
z € bd(c) n bd(G\cl).
Demostración. Deducimos de la hipótesis la existencia de un o € C1\{0"}
y un u e G\Cr tales que 0n ( conu{u,r}.En efecto, en caso contrario, para
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Q,fí*) e ("on'{ (,,: *), " "})*
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1.3. semicontinuidad superior de Ia finción conjunto factible
todo o € C1\{0,} y todo w e C2\Q se verificaría que 0n e conu{u,w)t de donde
,u : dl) t para algún a ( 0. En estas condiciones Cr ha de ser una semirrecta; puesto
que si existiesen ,L y u2 linealmente independientes en C1, un t¡.r € Cz\Ct arbitrario
no puede simultáneamente tener sentido opuesto a ut y o2, y si C1 fuese una recta y
fi.jamos ut € C2\C1, es evidente que si u € Cr tiene sentido opuesto a u, entonces -o
no lo tiene. Así pues, para cierto u I }nes C1 : (R+) u y C2\Q : {aul o < 0},
Io que contradice la hipótesis.
Sean, pues, ?., € C \{0,} y w eCr\Ct tales que 0,(conu{u,w}, y sea
)o : sup{ ) e [0 ,1 ] I (1 - ) )u+) t ' e G\Cr ] .
Pongamos ,: (! - )o)u-f )s?. Entones, z ebd(C) n bd(G\Cr). I
Lema L.3.L2 Sea o € Oc tal que F es no acotado. Supongan'Los que las condi,ci'ones
(i) O+F : (R*), y (ii) O+ FE : lRz no se sat'isfacen s'imultó,neamente para ni'ngún
u * 0n. Si F es usc en o, entoncet O* (Fo) : O+ (F) .
Demostración. Razonaremos por reducción aI absrudo. Supongamos que
.F es usc en d y o* (F") ? o* (F) . Aplicando el lema previo, ha de existir
z l0n, z € bd(O* (r)) nbd(O+ (r") \O* (F)) Podemos asumir que llzll : 1.
Sea t¡ € O+ (.F't) \O* (F) tal que llz - ?rll < i. Wo es restrictivo suponer que
llrll : 1, puesto que, si se elige inicialmente T¡ tal que llz - ?rll < |, entoncesi l l l
l l -A l l S l l r - r l l +( l l r l l -1) < i+] . Sear0 unpuntoarb i t rar iodeF. Para
r : L,2, . . . , sea T - no+rw. Puesto que ?, é O* (F), existe ür r"6 € N tal
que r ) rs * 7 ( F.Para r ) rs sea f la mejor aproximación de T en F.
Comprobaremos que la sucesión {f}r¿,o no está acotada. Entonces el lema 1.3.10
nos llevará a una contradicción con la semicontinuidad superior de F en o.
Para r ) 16 sea U' : ro * rz € F. Entonces
l lí. -f l l < llí ' - a'l l: rl lw - ,l l .;.
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1.3. Semicontinwdad superior de la función conjunto factible
Así pues,
l l r ' l l > l la' l l - l l ' ' " -f l l > " - l l"ol l -;: rI - l l"ol l
Puesto que el miembro de la derecha de la última desigualdad diverge hacia *oo,
Ia sucesión {l},¿,o no está acotada. I
El siguiente ejemplo pone de manifiesto que la condición necesaria del lema
anterior no es, sin embargo, suficiente para garantizar Ia semicontinuidad superior
de feno .
Ejemplo 1.3.13 Consi,deremos el si,steml,, enF'2,
6: { t - r r r * t r2 } 2 , ¿ € ]0 ,+oo [ ] .
Puede comprobarse que f : {(nt,rz) lr, > 0, rzZrtt }. procedemos a de-
terminar oR. En primer lugar, observemos que
( (or\ -') ( ,"o"u \ ( ; )
, t eT j : { { r , , az,uz) '€ Rt lsr ) 0 , az2al t , ar :2} ,
que es un conjunto convexo y cerrado, por lo que su cono asintótico coincide con
su cono de recesión. Es decir,
oR=("on { ( : : ) , ¿€r} ) : { { r , ,az,ae) ' €R, I a t }_o, uz}0, s ,s :0}\ f \ o ¿ / ) / * l ' " - ' " - ' " - ' ' u L - ' ¿ ' - - 1 ¿ ¿ - )
: cone { (1 ,0 ,0 ) , , (0 , 1 ,0 ) , } .
Por tanto, oR es equivalente a {r1 ) 0, ,220}, luego, FR:lR+ x IR..,.. AsÍ pues,
o* (F') - tR+ x IR* : o* (F) .
No obstante, .F no es semicontinua superiormente en o, como se deduce inmedia-
tamente del siguiente teorema.
Teorema L.3.L4 Sea o € @" tal que F es no acotado. Supongamos que las cond,i-
c'iones (i) O* (.F) : (R*), y (ii) O+ (f") : IRu no se satisfacen simultó,neamente
para ni,ngún u + 0n. Entonces, F es usc en o si y sólo si FE\F es acotado.
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1.3. Semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible
Demostración. El corolario 1.3.8 prueba que la condición'FE\F' acotado' es
suficiente para la semicontinuidad superior de F en o. Veamos que esta condición
es también necesaria, razonando por reducción al absurdo. Supongamos que f
es usc erl o y F"\F es no acotado. Sea {?'} c Fn\F una sucesión tal que
Iim, ll/ll : *oo. Para r : L,2,..., sea f Ia mejor aproximación de f en F.
Veremos que la sucesión {/} no está acotada. Entonces, aplicando el lema 1.3.10,
alcanzaremos una contradicción.
Supongamos que {/} está acotada. La sucesió" {e}
posee una subsucesión
convergente hacia cierto z € JR', con llzll : 1. La subsucesión de {Z'} construida
a partir de los mismos índices que la subsucesión anterior posee, a su vez, una
subsucesión convergente hacia cierto 7 e F. Para simplificar la notación, podemos
yasuponer, que lim,f : ry l im" ff i: e. Veremos que z eO+ (f 'n) \O+(F) ,lo que contradice el lema I.3.I2.
Comprobemos, en primer lugar, que z €. O+ (Ft) . En efecto, sí a,r ) b es
una desigualdad del sistema reforzado oR, puesto que it € FR, se tendrá a,f 2ó. Por tanto, a'ffi > Tuh,de d.onde, haciendo r tender hacia +oo, se obtiene
a'z ) 0. Denotando por Mn aI primer cono de momentos de oR, hemos visro que
z € (MR)" : O+ (F") .
Por otro lado, para cada u € 4 se tiene
( f - f ) ' , > ( f - f ) ' { , r : I ,2 , . . . .
AsÍ pues, dividiendo ambos miembros de la desigualdad anterior por ll/ll , y he
ciendo ¡ --r *oo, obtenemos -ztr ) -z'Í como consecuencia de o. De aquÍ se
deduce inmediatamente que z ( O* (F), luego, z € O* (F^) \O+(F), como se
quería demostrar. t
Resta por estudiar eI caso O* (F): (lR+) uy O+ (F") : IRu, para algún u + 0*
(podemos suponer que llull : 1). Recordemos que éste es esencialmente el caso del
ejemplo i.3.9. El siguiente teorema caracteriza la semicontinuidad superior de F
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1.3. Semicontinuidad supeúor de Ia finción conjunto factible
en este caso.
Teorema 1-.3.15 Sea o € O" tal que O* (F) : (lR+) u a O+ (F'") : Fiu, para
algún u € IR' con llull: I. Entonces, F es usc en o si, y sólo sl (FR n {u}") \f
estó, acotado.
Demostración. Comenzaremos probando Ia implicación ((9 " por reducción
al absurdo. Supongamos que (fo n {"}") \F es no acotado. Entonces, podemos
elegir una sucesion {T} c (F' n {"}") \F tal que lim, ll/ll : *oo. Sin pérdida
de generalidad, podemos suponer que lim" ffi : zr para algún z col llrll : 1.
El mismo argumento utilizado en la prueba del teorema 1.3.14 asegrua que z €
O* (F') : IRu. Nótese que z I -u (puesto qtre z e iu)'). Por lo tanto debe ser
z : u .
Para cada r : L,2,..., sea f Ia mejor aproximación de 7 en F. Veremos
que la sucesión {z'} no está acotada, alcanzando una contradicción con el lema
1.3.10. Supongamos que {/} está acotada. Sin pérdida de generalidad podemos
suponer que {z'} converge a cierto r € F. De forma análoga a como hacíamos en
el teorema 1.3.14, concluimos que -z'n ) -z'r es una consecuencia de o y, por
tanto, z É O* (F) . Puesto que z : u¡ esto supone una contradicción.
Seguidamente probamos la implicación cc s tt. Sea to € T, y definamos el
nuevo conjunto de índices Í :: T U {¿0}. Sean é, I v F los correspondientes espa-
cio paramétrico, distancia extendida y función conjunto factible, respectivamente.
Consideremos el sistema
i 7 {alrr } b¿, t, € T; u'n < 0},
donde la última desigualdad está asociada al índice úe. Sea F : F1;) : F n
{-r}". Se comprueba inmediatamente que eI primer cono de momentos deó,M :
cone ({a¿ , t e T; -u}), coincid.e con IR', de donde se deduce qr." F es usc en ñ
(si ñ es inconsistente, basta aplicar [I2,Th.6.3]; si ñ es consistente, nótese que F
está acotado).
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1.3. Semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible
Seap > 0 tal que, simult¡íneamente, -F'c pB y (f"n{"}') \F c pcl(B).
Pues toqnuFesuscenñ, ex is teun6 ) 0 ta ique F1 c pB para todoñr e 6 que7t- -\
verthque d,\o1,,o) 1 €.
Seao l : { (o l ) ' *> b l . , t € f } e O ta l que d (o1 , o ) 1e , ysea
t€T i 1 / r<0 ) .)
Obviament" l1ór,ó) : d(ot,o) 1e. En consecuenciu, F, c pct(B). Así pues, se
tiene
(F,\r) n {r}'c (F'f\r) n {r}' : (Fo n {"}') \F c pct(B)
(4 \ r ) n { - r } " :F t \FcFl c pc t (B) .
Por Io tanto, hemos probado que F1\F C pcl(B),lo cuai equivale a ,F'1\pcl(B) c
F\pcl(B). El teorema 1.3.1 garantíza entonces la semicontinuidad superior de F
eno . I
Los teoremas 1.3.14 y 1.3.15 caracterizan Ia semicontinuidad superior de .F en
un sistema consistente o j con conjunto factible no acotado, en términos únicamente
de o y de sus elementos asociados, no involucrando a los sistemas de un entorno
de o. Nuestro objetivo ahora consiste en caracterizar Ia semicontinuidad superior
de f en o (con F no acotado) en términos exclusivamente de los coeficientes del
sistema. Para ello utilizaremos el cono caracterÍstico, KR, del sistema reforzado oE
asociado al sistema consistente 6 : {alra } b¿ , t € T}, que puede describirse como
Kn= / / ( / c \ \ \
[ ( 0 " ) ] \=cone((-" ' t(;J, te rj)- ' \ \-t) I)
El siguiente lema técnico nos permitirá probar que KR es cerrado.
Lema 1-.3.16 Sea C un cono conaefo y cervado en lRP, y sez, z € Rp\C. Si. -z ( C,
entonces cone(C U {r}) es cercado.
37
ó. r , : { ( "1 \ ' r>b l" r ' L \ * r /
* - " t )
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1.3. Semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible
Demostración. El resultado puede obtenerse a partir de [12, Th. A.4]; no
obstante, debido a su brevedad, proporcionamos una prueba autocontenida. Sean
{a'} c C y {p,} C IR+ dos sucesiones tales que {y' + t¿,2} converge hacia cierto
s € IRp. Veamos que n € cone(Cu{z}).Si {lr,} t iene algunasubsucesiOn {¡¿,*}
convergente (y denotamos por p a su límite), entonces limayro: r, - p,z e C, por
ser C cerrado, luego, : (, - p,z) * p,z e.cone(C u {"}) . Si {p,} no tiene ninguna
subsucesión convergente, ha de ser lim, pr: *oo. Entonces, Iim, (p;ry' + z¡ : go,
luego -z : Iim,p";ry' € C, en contradicción con Ia hipótesis. I
Corolario t.3.LT KR es cerrado.
Demostración. En primer lugar observaremos que el cono
n¡B .-
es cerrado (véase [14, Lem. 2.1]). Si (31 e lúR, entonces KE: lúR. Supongamos,
por tanto, q* (1i) # N'. Puesto que d es consistente, (0¡) # N^, ya que, de lo
contrario, 0 > 1 sería una consecuencia de oR, y por tanto éste serÍa inconsistentea,
Io cual es absurdo. Aplicando el lema anterior, se obtiene que KE es cerrado.
Teorema 1.3.18 Sea o : {alrr } b¿, t e T} € O", con F no acotado. Se ueri,fi,ca
lo si,gui,ente:
(i) Slt F conti,enerectas (es deci,r, di,m{a¿, t,eT) 1r), entonces f es :usc en
o si, g sólo si, KR : cl(K);
(i i) ̂ 9¿ F no cont' i,enerectas, sea{a¿r,...,at-} unabasedeiR', A sel,u:t-orr.2 : L
Entonces, f es usc en o si, y sólo si, eriste un B e R tal que
"o , " (N^, { ( ; ) } ) :
"on"( " t ( / r ) u
{ ( ; ) } )
aBn [72, Th. 4.4] se ca¡acteriza la consistencia de un sistema o en términos de su segundo cono
d,e momento.s, . l/ : *"" ({{i),¿ € "})
.
38
( "onu { ( í ; ) , ' . ' } ) . "
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1.3. Semicontinuidad superior de Ia función conjunto factible
Demostración. (i) Dado que F y FR son convexos y cerrados, en virtud de
Ios teoremas de separación y del Lema de Farkas, se concluye inmediatamente que
F : FR e KR: c I (K) .
Ademiís, en este caso se verifican las hipótesis del teorema 1.3.14, Iuego .F es usc
en a si y sólo si Fa\F está acotado. Por otro lado, si z genera la dirección de
una recta contenida en F, y existiese un punto r € Fa\F, entonces se comprueba
inmediatamente que la recta r * IRz está contenida en Ft\F, Iuego éste no estaría
acotado. En conclusión, f es usc en o si y sólo si f'n : f'.
(ii) El sistema {a| r > 0, ,i : I,2,...ni wtr 10} tiene como única solución ¿ :
0' (ya que la elección de 'u garantiza que cualquier solución de este sistema es
ortogonal a los a¿,, 1 ( i < n). Por lo tanto, el conjunto {r e F I w't < P} es
acotado (posiblemente vacÍo) para cada É e R. Distinguiremos dos casos.
Caso (a): Se verifican las hipótesis del teorema I.3.I4. En este caso se tiene
.F usc en o + Ft\F' acotado +1P e lR tal que .F'E\F c {r e IR" ltu,r < B}
e=P € IR ta l que FRn{ r € IR ' l , ru ' r > P} : Fn{ r € R" I w ' r2 0 )
e =p e rR tal que cone(r" u {(;) })
: "on" ("t(rf)
u {(;) })
La última equivalencia se debe a que los conos involucrados son los conos de rela-
ciones consecuentes de los sistemas obtenidos ampliando oR y o con la desigualdad
wtn ) B. Nótese que el lema 1.3.16 garantiza que ambos conos son cerrados, pue$o
que la relación -'.1)'Í > -P no es consecuencia de o, y por tanto, tampoco de o€.
Seguidamente probaremos la implicación recíproca. Para ello, en virtud de la
cadena de implicaciones anterior, podemos partir de la hipótesis
39
3B e R tal que F"\F c {r e lR' I u."r < P} .
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1.3. Semicontinwdad superior de Ia función coryunto factible
Veamos que Fn\F está acotado, y por tanto el teorema 1.3.14 garantiza Ia semicon-
tinuidad superior de F en o. Si FE\F no estuviese acotado, podríamos considerar
una sucesión {T} C .Fn\.F tal que tim" ll/ll : *oo. No es restrictivo suponer quef a . l
tÉli] converge hacia cierto z, con ll"ll : 1. Puesto qtrc u'f < É para todo r, se
t ieneque wtz10, dedondese deduce que z eO+ (F) , yuque {z e F lw ' r < p }
con p suficientemente grande, es acotado"y no vacío. Como z e O+ (F") , alcan-
zamos una contradicción con el lema 1.3.12.
Caso (b): Se verifican las hipótesis del teorema 1.3.15, esto es, O* (F): (R+),
y O* (F"): lRu, para algún z e iR"\{0,,}, que podemos suponer unitario. Veamos
en primer lugar que u'w > 0. En efecto, se tiene u'atn 2 0 para i : L,2,...,n. Si
todos los u'a¿n fuesen nulos, sería z € {orr,...,ar.}L: {0r} , lo cual es absurdo.
Supongamos que f es usc en o. El teorema 1.3.1b garantiza que (FR n {z}") \festá acotado, luego existe un B e IR tal que
(r" n {"}') \F c {r e IR' l r'* < 0} ,
que equivale a
FRn {r} ' n {r e JR" lr ' , } 0} : Fn {r} ' n {r e IR" l ,ru'r > p}.
Veamos que, si B es suficientemente grande, eI término {u}' puede suprimirse en
la expresión anterior sin alterar las intersecciones resultantes. Bastará ver que, sip es suficientemente grande,
.FRn{r r } 'n{ r e IR" Iw ' r } 0} : FRn { r € IR ' l , ru 'z > P} .
En efecto. en tal caso se tenüía
40
F n{r€ R" I u'n ) p} . Fon {e € R" I w'n 2 B}
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1.3. Semicontinuidad superior de la función coniunto factible
: FRn { r } 'n {z e IR ' l To ' r > P} :Fn {u } 'n { r e IR ' I t r ' r > P} .
Supongamos, por reducción al absurdo, Qüe tal B no existe. Entonces, para
todo r € N existe un Í' e FR n {r € lR' I tr.,'r > r} tal qve u,'r' < 0. Es obvio que
{z'} no está acotada, pues no lo está {w'r'}. Podemos suponel, sin pérdida de
generalidad que lim, ll"'ll : *oo y que la sucesión {--:t}
converge hacia cierto
z ebd(B) n O* (F"),luego z € {-u,,u}: Ademrís, se tiene u' 'z 10y w'z } 0. Sin
embargo, para z: u no se verifica utz 10, y para z: -'t1, no severifica w'z) 0.
Alcanzamos asÍ una contradicción.
Así pues, ha de existir un B € IR tal que
Fn n {r e IR'" l r'* 2 0} : Fn {r € IR'" I tr."r > P},
Io que equivale a
"on" (x^, {(;)}) :
"o," ("t(r() u {(;) })
Probaremos ahora la implicación recÍproca. En virtud de los razonamientos
anteriores, podemos partir de la hipótesis
3B e IR tal que (f" n {"}') \F c {r e IR' l r'* < g} .
Veamos que (FR n {"}') \F está acotado, de donde se deduce Ia semicontinuidad
superior de F en o utilizando el teorema 1.3.15. Si (FE n {"}') \F no estuviera
acotado, procediendo de forma análoga a como se hacía en la segunda parte de la
pruebadelcaso (a), encontrarÍamos unz e bd(B)nO+ (f 'R) tat queu'z > 0y
w'z 10. Por lo tanto, ha de ser z e. {-r,u}. Sin embargo, z : u no verificawtz 10
y z : -u no verifica u'z ) 0, con Io que llegamos a una contradicción. I
El siguiente corolario establece una condición necesaria para Ia semicontinuidad
superior de .F en o € @" cuando se verifican las hipótesis del teorema 1.3.14.
4T
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1.3. semicontinuidad superior de la función conjwtto factible
Corolario 1-.3.1-9 Sea o € @. tal que F es no acotado. Supongamos que las con-
d,i,ci,ones (i) o+F: (R+)u g (ii) o+FR: IRu no se sati,sfacen si'multá,neamente
para ni,ngún u + 0n. Si T es usc en o, entonces
McMRcc l (M) .
Demostración. Sea P t pn*l --+ ]R' Ia aplicaciÓn proyección sobre las n
primeras coordenadas. Dado que, en general KR C cl (K), obtenemos
MR : P (K") c P (ct (¡r)) c cI (M) .
Comprobaremos que se verifica Ia inclusión M C Mn cuando f es usc en a. Dis-
tinguimos los dos casos contemplados en el teorema 1.3.18, esto es, que F contenga
rectas o no. En el primero de ellos se tiene que K c cl (K) * Ko,luego
M:p( / r ) c P(K ' ) :MR.
Situémonos ahora en eI caso (ii) del teorema 1.3.18, y consideremos el vec-
tor tu allí introducido. El teorema [12, Th. A.fls establece que w e int (M) .
De la caracterización dada en el teorema 1.3.18 se deduce inmediatamente que
M C cone(U"U{r}) .Para probar que M C MR, bastará comprobar w e MR.
Supongamos, por reducción al absurdo, que ?¿r I Mo.Utilizando de nuevo [12, Th.
A.Z], puesto que w e int (cone (Uo U {r})) , existe en MR U {r} un sistema gene-p
rador de IR', {rt, ..., uo) y unos escalares positivos, d1, ...,dp, tales que * : D onon .
Como estamos suponiendo que u # MR, alguno de los ui, pongamos up, ha de ser
5En concreto, la consecuencia de dicho teorema que estamos utilizando puede enunciarse como
sigue: Sea X unsubconjuntonovacfo delR'y sea z e cqne(X). Entonces z eint(cone(X)) si y
sólo si existe en X un sistema generador de IR', {r',...,sp}, Y esca,la¡es positivos, otTt .'.¡oo talesp
ertl z: D q¿r'.; - l
42
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1.3. Semicontinuidad superior de la función conjunto factible
igual a u.' (y los restantes pertenecen a MR). Así pues,
p-ls-l ;
l r : ) a i u ' + a . w .z--/i:1
(1.3.3)
Distinguiremos tres casos, según apsea menor que 1, mayor que 1o igual a 1.
Si ao < 1, se deduce inmediatamente de (1.3.3) que ,rr,' € MR, en contradicción
con la hipótesis de reducción al absurdo. Si oo > 1 deducimos de (1.3.3) que
-w € Mo (ccl(M)). Puesto que u e int(M) , se obtiene en virtud del lema
de acces'ibi,Ii,dad6 que 0,, € int (M) , luego M : R', y por tanto F está acotado
(proposición 0.2.1), en contradicción con Ia hipótesis.
Si ao : 1, (1.3.3) se reduc. u E
d.¿'t)i :0,,. Por tanto, -ui e MR, para i :
! , . . . ,p - 1. Así pues, sp¿n({r t , . . . , ro- t } ) c MR; de hecho, span({u1,. . . , ro- t } ) ,
cuya dimensión es n-1, ha de coincidir con MR, pues de lo contrario Mn contendrÍa
a w o a -w. Ei segundo caso ha sido ya descartado, y el primero no se verifica
bajo nuestra hipótesis inicial de reducción al absurdo. Deducimos entonces que
O* (Fo) coincide con (MR)r, eü€ es una recta vectorial. Puesto que estamos
analizando el caso en el que F no contiene rectas, el lema 1.3.12 nos conduce a una
contradicción. I
Observación 1.3.20 Nótese que la tesis del corolario anterior no es uó,li,da bajo las
hi,pótesi,s delteorema 1.3.15, puesto que sifuese M c MR ccI(M), consi,derando
sus conos polares posi,ti,uos, se tendrla O* (F") : O+ (F) .
El siguiente ejemplo muestra que la condición necesaria del corolario 1.3.19 no
es, sin embargo, suficiente para la semicontinuidad superior de F en o.
Ejemplo L.3.2L Consi,deremos el si,stema
tq + t r2 ) t , t : I ,2 , . . .
r 7 * f . 2 > . 2 , Ú : 0 .
6Sea C un cowjunto conuero no uacío er¿ lR'. Si r eint(C) e y e cI(C), entonces)r,ylcint(C). Véase [12, Th. A.5].
43
" : {
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1.3. Semicontinwdad superior de la función conjunto factible
Se comprueba inmediatamente que .F' : {(rr, "r)' e R' | ,, * z,2} 2}, así co-
mo que M : cone ({(1,1)'}). Seguidamente determinaremos Fo y M'.
Si z € """r({G),
ú€"}) , entonces existen ciertos índices tr,. . . ,¿e e NI y
escalares no negativos )1, ..., )p¡ )pal, .on of
l¿ : 1, tales que¿: l
p
z :D\¿( t¿ , t¿ , t¿ ) ' * )o * , (L , I ,2 ) ' : a (1 ,1 ,1 ) '+ )p+r (1 , I ,2 ) ' ,
p
donde o ,: u=i_\¿t¿
€ [0,+oo[. por lo ranro, si z € ("onu ({tf;l , tet}))_
con llzll : 1, ha de exisrir una sucesión {zk} C conu({ffl , ter}) tur 0".üru llzell : *oo y z:Iiruffi. Pongamos, para cada k € N,
zk : e .k( l , 1 , 1) ' * 7r (1 , r ,2) ' ,
donde dx € [0, +oo[ y ln € [0,1] . Es evidente que lim¿a¡ : foo, Iuego z :
* (1 ,1 ,1 ) ' .
Resulta ahora inmediato que
(,onu({ft ' \ , t€' )\\
\ " -
\ t \0 , / ' " ' ' ¡
) ) * : cone ( { (1 ' 1 ' 1 ) ' } ) '
Por tanto
FR: { ( * r , r r ) ' € R ' I 11*12 ) t } v MR:cone( {Q, \ ' } ) : tW.
Sin embargo, F no es usc en o, puesto que ro\F no está acotado (teorema 1.8.14).
Terminaremos este capÍtulo con unos ejemplos que muestran que Ia condición
M c MR c cI (M) del corolario 1.3.19 no puede refinarse.
Ejemplo L.3.22 M U M^ $ ct (M). Consi.deremos el si,stema, ez IR2,
44
6 : {rt-Lh I rnz } -rt, (r,t) e Nx ]0, a*[] .
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1.3. Semicontinuidad superior de la función conjunto factible 45
Puede comprobarse que ¡ : {(rr,rr) 'e R'I nt} 0, n2> -2r/n1}, Inego o
está en las condiciones del corolario 1.3.19. Por otro lado, este sistema se ajusta
al formato del ejemplo 1.3.2, Io que prueba la semicontinuidad superior de .F en
o. De hecho, es inmediato comprobar que el sistema reforzado o& es equivalente
a o, luego KR: ct(K) (recuérdese que KR es siempre cerrado). Seguidamente
determinaremos M y MR.
Es inmediato que
M : {(auaz)' € R' | 9r ) o, a, > o) u {oz} .
Se comprueba ademiís que
KR : cone (K u {(r, o, o)'}) ,
de donde
MR : { (Ar ,A) ' € R, I Ut } 0 , Ar 2 0} u {02} .
Así pues M 9 M' S ct (M).
Ejemplo 1.3.23 M , M' : cl (M) . Consi,deremos eI s'istema, en 1R2,
6 : {rt-lzl ' * rcz } -rt, (r, ú) e Nx ]0, 1]} .
En este caso
r : { (q ,nz) ' | 0 < " t 1 r , n2> -2J- " r }u
{ ( r t , nz ) ' I q } r , r ,2> -1 - " t } .
Como en el ejemplo anterior, F q usc en o y KR : cl (K). Por otro lado,
M : { (ar ,az) ' €R, I 0 1 az < at } u{0r } .
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1.3. Semicontinuidad supefior de la función conjunto factible
Al igual que en el ejemplo anterior, KR : cone (K U {(t,0,0)'}) , y por tanto,
MrMo:cI(M).
Ejemplo L.3.24 M : MR j ct (tW) . Consideremos ahora el si,stema, en IR2,
6 : {rt-rc._ * rnz }_ -rt; (r,t) e Nx [1, +oo[] .
EI conjunto factible de a es
F : { (nur r ) ' I r , 1 L , r ,2> -1 - " r }u { ( " r , rz ) ' I q } r , 12> -2J* r } .
Como ocurre en los ejemplos anteriores, .F es usc en o. Ademfu, KR: K (cerrado),
v se tiene
tw : {(auaz) '€ R' I az} h t o} u {0r} : M" rct(M).
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Capítulo 2
Estabilidad del valor óptimo y del
conjunto de soluciones óptimas
2.L Introducción
Una vez analizada la estabilidad del conjunto factible de un problema de Progra-
mación Semi-Infinita Lineal, incorporamos al análisis de la estabilidad la función
objetivo del problema.
Los únicos antecedentes de los resultados presentados en este capítulo en re.
lación con la estabilidad de la función valor óptimo y la función conjunto óptimo
provienen del campo de los problemas continuos, y pueden encontrarse en trabajos
de Brosowski y Fischer (véanse [3] V [9], y las referencias que allf se indican). La
mayoría de los resultados presentados en dichos trabajos pueden obtenerse como
consecuencia de los teoremas incluÍdos en este capÍtulo. A diferencia con nuestro
tratamiento, en el que la función valor óptimo y Ia función conjunto óptimo se de-
finen en el espacio paramétrico, fI, de todos los problemas de PSIL (con el mismo
conjunto de Índices, ?), en los trabajos citados de Brosowski y Fischer se define
Ia primera en el espacio de los problemas continuos acotados, flob, y la segunda en
el de los continuos resolubles, flo". En nuestro contexto será de utilidad establecer
algún resultado en relación con el carácter acotado o resoluble de los problemas
47
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2.1. Introducción 48
suficientemente próximos al problema considerado. En este sentido destacamos el
Iema 2.2.2, el cual afirma que, si F* : F. (n) está acotado, entonces todo proble-
ma consistente suficientemente próximo a ?r es, de hecho, resoluble. Este hecho,
junto con el teorema L.2.L, insinúa la gran estabilidad de Ia que goza un proble.
ma r cuando en él se satisfacen simultáneamente la semicontinuidad inferior de F
y la acotación de.F*. Esta situación podrá ser constatada en los resultados que
presentamos en este capítulo.
De cara al estudio de la estabilidad del valor óptimo y del conjunto óptimo
resultará de gran utilidad corsiderar Ios conjuntos de niuel (i,nferior) del probiema
7r-, que vienen dados por
L (a ) : : {ne F IC*<a} - { r €R" I a l r r>U, teT ; c 'n1a} , c€1R, .
Nótese que, aunque la notación no Io refleja explícitamente, tr(a) depende de ur".
Así, los conjuntos de nivel de un problema diferente 7r1 s€ denotarán por tr1 (o) .
Dado que I(a) puede considerarse como el conjunto factible del sistema que resulta
de ampliar cr con la nueva restricción c'r 1 a, podrán explotarse en este capítulo
Ios resultados del capÍtulo anterior. Esta técnica, consistente en considerar sistemas
ampliados con una nueva restricción, será de uso frecuente a lo largo diversas prue.
bas. De hecho, esta técnica ya ha sido utilizada en parte de la prueba del teorema
1.3.15.
La sección 2.2 contiene los principales resultados concernientes a la función valor
óptimo. En una primera subsección se analizan las propiedades de continuidad de
t9, mientras que en una segunda parte se propone una definición de buen condiciona-
miento del problema en el sentido de Hadamard, basada en Ia estrategia de resolver
aproximadamente una sucesión de problemas acotados convergente hacia z-. Este
concepto de buen condicionamiento, que no requiere la unicidad de la solución óp
tima, está enfocado hacia la estabilidad del valor óptimo, como pone de manifiesto
el teorema 2.2.6, y se inspira en el texto de Dontchev y Zolezzi, [B]. Dedicaremos
Estabilidad en Programacion Semi-infinita lineal. Juan Parra Lopez.
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2.2. Estabilidad del valor óptimo 49
el capÍtulo 3 de la memoria a establecer, en términos de estrategias de resolución,
un marco general en el que situar ésta y otras nociones de buen condicionamiento
del problema.
La sección 2.3 está dedicada al estudio de las propiedades de continuidad de
Ia función conjunto óptimo, f*. Mientras que .F es siempre cerrada en cualquier
problema consistente, no se dispone de un resultado análogo para f*. En el teorema
2.3.1se determinan los problemas en los que .F* es cerrada, alavezque se analizan
la semicontinuidad inferior y superior de F*. Finalizaremos esta sección con una
tabla que resume los principales resultados del capítulo. La sección 2.4 presenta
una colección de ejemplos en la que se muestra que, en aquellos casos en los que
algunas propiedades quedan indeterminadas en la tabla, dichas propiedades pueden
tanto verificarse como no hacerlo, independientemente unas de otras. No existe,
por tanto, ninguna relación subyacente no contemplada en la tabla. Finalizaremos
el capítulo con una sección dedicada al análisis de la estabilidad en el caso continuo.
En esta sección recopilamos en sendos teoremas algunos resultados obtenidos por
Brosowski y Fischer, que en su mayoría pueden establecerse de forma directa a partir
de los resultados presentados en este capítulo. Nos remitimos, a este respecro, a
los comentarios que indicábamos al principio de esta introducción.
2.2 Estabilidad del r¡alor óptimo
A lo largo de esta sección trabajaremos frecuentemente, como ya se ha indicado,
con los conjuntos de nivel de r, L(a), con o € IR. Empezaremos notando que todos
los conjuntos de nivel no vacíos de zr' € fI" tienen el mismo cono de recesión, que
viene dado por
O+ (L(a) ) : {s e IR ' lo íy ) 0 , ú eT; Cg < 0} : {ar , t eT; -c } .
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2.2. Estabilidad del valor óptimo
para cualquier o € IR. tal que L(a) I A. En particular, si zr € fI' F* : L (o) ,
donde u:ti (z') , estará acotado si y sólo si I(o) está acotado paratodo a ),u.
El Iema 2.2.2 desempeñará un papel destacado a lo largo del capítulo. Para su
prueba nos apoyaremos en el siguiente resultado:
Lema 2.2.1, [13,Lem. 4.2] Sea{a", s e ,S} c Rn g seaae i,nt(cone({¿", s € ^g})) .
Entonces, eri,steune ) 0 tal quea €,int(cone ({ol, r € S})) s, iempre quella" - "111."
<spa ra todoseS .
En el próximo lema, int.(ilr) representará el interior del conjunto fI, en la
topología relativa a fI".
Lema 2.2,2 sea r € n". Entonces, r e i,nt"(flr) sa y sóIo s,i F* es acotado y no
uacío.
Demostración. Si ,F. es acotado y no vacío, entonces O* (F-) : {0??} :
{or, t e T; -c}'o bien, equivalentemente,
0, e int(lR") : int (cone ({or, te 7" ; -c})) .
Nótese gue, en virtud del lema anterior, para cualquier otro problema 11 : (cL , o1) ,,
con ó (nt,r) suficientemente pequeña, se tiene 0," € int (cone ({"L t € T; -cr})) .
En consecuencia, para todo problema consistente 7r1 err un cierto entorno de zr, todos
sus conjuntos de nivel, Lt (a), no vacíos estarán acotados. Puesto que u *, (cL)' n
alcanza su mÍnimo en todos ellos (al ser compactos), se deduce que Ff es acotado
y no vacÍo.
RecÍprocamente, si n : (",o) e int"(fl") y F* es no acotado, consideremos
u e O+ (F.), u I 0n, y construyamos Ia sucesión de problem* {r, :: (c - *",")} .
Obviamente lim,z". : 7t y {n,} c [I"\II¡, puesto que, para cualquier r,* € F*,
se t iene r *+ \u €F*c F :F , ,pa ra todo)>0 ,y l im¡ - * ( " -L , " ) ' ( " *+ )z ) :
u - lu'x"-lim¡--) llrll' : -m. Se alcanza así una contradicción. I
50
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2.2. Estabilidad del valor óptimo
2.2.L Propiedades de continuidad de la función valor ópti-
mo
Las propiedades de continuidad de ú se establecen en el siguiente teorema:
Teorema 2.2,8 Si, r : (c, o) e TI", entonces:
(i) F es lsc en ¡r si y sólo si, ú es usc "en
7r.
(ii) S? F" es acotado y no uacío, ú es lsc en ¡r. Para r € 176, el recíproco es
ci,erto.
(í11) Cuando F es Isc en r A F* es acotado y no uacío, eri,sten escalares pos,itiuos,
rl y k, tales que, si 6 (n¿,¡r) 4 rl, i:1,2, se uerifica la desígualdad lipschitziana
lr9 ("r) - ,9 ("r)l 1 k6 Qr1,r2) .
Demostración. (i) El'sólo si'puede obtenerse como consecuencia de [8, Prop.
2 en Cap, IX]. No obstante, en aras de la completitud de la exposición, proporcio.
namos una prueba autocontenida. Admitamos que.F es Isc en n. Hemos de probar
que, dado p > a (: 19 (r)), existe un ? > 0 tal que se verifica q 1 F para todo
n1 € fI que satisfaga ó (zr'1, r) < q.No descartamos Ia posibilidad de que u sea igual
a -oo. Fijado ¡.1, consideremos el sistema
6 ;: {alrr > bt, t €.7 1 c,r < p.} ,
cuyo conjunto de índicet "t
i :: ?U{úo}, y donde ús es el índice asociado a la última
desigualdad (to # ?). Denotemos por F alafunción conjunto factible definida en
el espacio paramétrico 6 d" los sistemas de desigualdades lineales cuyo conjunto de
índices .t f, y r"u llu distancia extendida asociada. Obviament ",
F 1A¡, denotad.o
pot F, coincide con el conjunto de nivel (de z-) l,(p).
Sear un SS-elemento de a, esto a, alrr 2 bt* ppara todoú €T y cierto
p > 0. Si cr ( p, es evidente que z es un SS-elemento deó, cuya holgura es, como
mínimo, min {p, p - cd}. En otro caso, elÍjasel e F verificando c'l sf paraalgún
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2.2. Estabilidad del valor óPtimo
Tt elr,¡r[ (nótese que, alser ?, 1lt, eI conjunto de nivel L(p) ha de ser no vacío).
Entonces, si A € lO,Ehl,
s".o*Prueba inmediatamente que eI punto )Z+(1-,\)ñ
es un SS-elemento de ñ, cuya holgura es, al menos' min {)p, p' - Í, - ^ (Cr - til¡
Por lo tanto, F es hc en ñ en virtud del teorema L.2.L. Existe, pues' un 4 > 0 tal
quepa,ratodoñr e éver i f icandol(61,ó) <rt ,set iene Fr lA. Sinl : (c1,a1) e I I
es cualquier problema tal que 6 (nt,¡r) < n, entonces el sistema
61 : : { { r } ) ' n > b l , t €T ; ( " ' ) ' rS r }
verifi.ca qu" l1ór,6) : 6 (nt,¡r) 1 \, y por tanto F, : L, (lt) * 0. En consecuencia,
ut 1 F, como queríamos demostrar.
Para probar la implicación contraria, supongamos que d es usc eíL'tt, y conside-
remos p">u. Entonces, hadeexistirun4 > 0 talque 6(tr1,r) < 4 implicaut S F
y, necesariamente, z-1 € fI¿; esto es, r e int(Il") y, pot tanto, .F es lsc en zr'.
(ii) Dado € ) 0, hemos de probar que existe un 4 ) 0 tal que si ó(n'1, r) < n,
entonces u1 ) u - €. Siendo p > 0 tal que F* C pB, consideremos el conjunto
abierto
W'={r e IR' I C, > u - (e lz)} ) pB.
ObviamenteW > .F*. Considérese ahora el sistema
6 p {a l rn 2bt , t € T ; c ' r 1 o} , (2.2.r)
cuyo conjunto de Índ.ico "t
i :: T l) {¿o}, y ú6 es el índice asociado a la última
desigualdad de ñ (to #D. Obviamente, su conjunto factible, F, coincide con F*,
eI cual es acotado y no vacío por hipótesis. En consecuencia, F es usc en ñ. Así
pues, existe un fr > 0 tal que si l(ór,ó) <ñ, entonces n c W (no se descarta la
posibilidad de que ñ t"" vacío).
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2.2. Estabilidad del valor óptimo
Considérese cualquier problema 11: (cL,o1) satisfaciendo 6 (nr,r) 1n, donde. ( - 6 r 1 r . , 1 r . ¡
4 :: min{fl, fu},
y defínase, asociado a é1, el sistema ó1e O dado por
ó1 : : { {4) ' * 2 b l , , t eT; ( " ' ) ' " < u} .
Es obvio quu I 1ór,ó) : 6 (tq,¡r) < rl'<fr, de donde Ft : Ly (u) c W.
Pueden presentarse dos posibilidades. Si Fr: A,tendremos eu€ u1 > u > u - €
(contemplando Ia posibilidad de que u1 se& igual a +*). En otro caso (esto es,
F, # A, y por tanto Fi + 0 al ser F, .o-pu.to), para cualquier n* e Fi c Ft,
puede escribirse:
u1 : (c1) 'n* :Cr* + ( r t - " ) ' r * )u- i - l l r r - r l l . " l ln . l ln r /2 )u- € ,
quedando así establecida la semicontinuidad inferior de ú en r.
RecÍprocamente, supongamos ahora que d es Isc en zr' € fI¿, y comprobemos
que los conjuntos de nivel L(p), con IL > u, están acotados, y por tanto, que 7r
es resoluble y F* está acotado. Si no fuese así, podrÍamos elegir u e O+ (L(¡1")),
u * 0n,, y construir la sucesión {n', ': (. - lu,")). Obviamente lim,n" : T y,
razonando como en el lema 2.2.2, se probaría que {n,} c II" \ [Io, en contradicción
con la hipótesis.
(iii) En virtud del teorema 1.2.r y del lema 2.2.2 existe un A > 0 tal que
6 (nr,ir) <i implica eue zf1 € flr. Fijado arbitrariamente e > 0, la semicontinuidad
superior de t9 en r garantiza que, si fr es suficientemente pequeño, se tiene ademiís
eue u1 ( u * e, lo cual es equivalente en este caso a L1(u + e) # 0, siempre que
ó ( r r , r ) < i .
Considerando el sistema
53
6 = {alrr 2bt , t e. T ; c ' r ( u * e} ,
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2.2. Estabilidad del valor óptimo
podemos observar qnu F : L (u * e) está acotado (pues todos los conjuntos de
nivel de zr lo estiín, por ser F* : L (u) acotado), por lo que F será" de nuevo usc en
ñ. Tomando f; suficientemente pequeño y qtl : (c|,o) satisfaciendo ó (n'1, T) <i,
tendremos
Ly(u*e )cL(u+e)+8 ,
ya que L1(u * e) es el conjunto factible del sistema ñ1, dado por
(2.2.2)
61 :: {{"i¡' , >
(nótese que d (ót,6): ó (n-1, z-)).
La expresión (2.2.2) garantiza la existencia de cierto ¡t > 0 tal que ll"ll S p paxa
todo z € L1(u + e) y todo n'1 en el f;-entorno de n.
Aplicando el lema I.2.3 a ñ, concluimos la existencia de 4 > 0 (que tomaremos
verif icando 4 ( min{1,4}) y B > 0 tales que, si r¿: (c¿,o¿), i: I,2, pertenecen
al 4-entorno de zr, y puesto que L¿(u-te), ' i :1.,2, es el conjunto factible de
ó¿: : { ( " ' r ) ' r>b i , t€T ; ( "u ) ' r1u+r } , se ve r i f i ca para cada 12 e L2(u+e)
que
d( * ' ,L1 (u l -€ ) ) SÉma* [ .op , . r {O l - @) ' r r } , ( . t ) ' 12 -u -e ,0 . |
- Bmax|"p,., {Vf - @il',r) + [(ó] -b?) - ("1 - "?),"rl] ,(c2¡' rz - u - e * (cr -
" ') ' r ' , 0l
< g^a* lrup,.r {(ól - u?) - @l - o?)' *r} , (ct - cz)' ,, , 0l
S P G -f p,nr/z) 6 (nr,¡rz) : Bs6 (7ry,r2) ,
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bl , ter ; ( " t ) ' r<u+e\
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2.2. Estabilidad del valor óptímo
donde go:: P( l+pn' / ' ) . Ahora, s i n2 € Fi c L2(u- le) y tomamos rr
L1(u *e) ta l que l l r l - " ' l l :
d(r2,L1(u * a)) , se obt iene:
ut -u2-u1- 7¿z) t12 < ( " t ) ' r r - (c2) ' * '< l l " ' - "211 l l " ' l l + l l . t l l l l " t - r ' l l
< p,nr/z6 (nr,nr) * nr/2 (ll"l l." + ,i 006 (nr,nr) 1 k6 (tr1,12) ,
donde k :: nr/2lp, + 0o(llrl l"" + 1)] .
Repitiendo el mismo procedimiento para 1)2 - 1)1, se obtiene
lrt - ,r l 1 k6 (tr1,r2) . r
Terminaremos Ia subsección con un breve comentario acerca de la condición
(ii) del teorema 2.2.3. Intuitivamente, interpretamos Ia semicontinuidad inferior
de rl en zr, en términos de que el valor óptimo de un problema próximo no sea
sensiblemente menor que u. En primera instancia podríamos imaginar que Ia se
micontinuidad superior de f en zr, intuitivamente que el conjunto factible de un
problema próximo no sea sensiblemente mayor que 4 es una condición suficiente
para la semicontinuidad inferior de ú en r. Puede comprobarse, en base a resulta-
dos ya establecidos, que esta intuición es correcta para problemas continuos, no así
en el caso general. El siguiente contraejemplo muestra que la acotación de F* no
puede ser reemplazada por la semicontinuidad superior de F en r.
Ejempto 2.2.4 Consi,deremos el problernt,, enRz,
it : Inf n1
s .a tny*0n2 > -1 , t :L ,2 , . . . .
Obv iament€ , F : { re IR2 l " r>0} , F* : { reF l r ¡ :0 } (no aco tado) y
u : 0. Es evidente que .F es usc en ?r, ya que el sistema reforzado, oR, es equivalente
a {q > 0} , y en consecuencia, F : FR. Sin embargo, Ú no es lsc en n-. En efecto,
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2.2. Estabilidad del valor óptimo
si consideramos Ia sucesión de problemas dada por
7rr : Inf {"r - ,-'*r}
5 .0 , 11 - r - r r z > - 1 , t : 7
trt > -1 , t :2 ,3, . . . ,
se tiene 6 (nr,,T) : r-L y, consecuentemente, limrzr, : r; mientras que ur : -!
para todo r.
2.2.2 Buen condicionamiento en el sentido de Hadamard
En este apartado presentamos un concepto de buen condicionamiento de un pro-
blema resoluble fuertemente ligado con la estabilidad del valor óptimo de dicho
problema. En términos informales, un problema estará bien puesto en este sentido
cuando sus soluciones óptimas puedan aproximarse por soluciones "casi óptimas"
de problemas próximos. En lo siguientes parrafos procedemos a introducir formal-
mente este concepto.
Dada una sucesión de problemas {n,: (c',o,)} C IIo tal que lim,n, : v,
la sucesión {r'} , de puntos de IR', se dice que es una suces,ión asi,ntóticamente
mi,ni,mi,zanüe (abreviado a.m.s.1) para ?r asoci,ada a {n,} si r' € F,^ para cada r, y
lim, {(c')' r' - ur} : g.
esto es, cuando r c ece, r' resuelve aproximadamente el problema zrr, próximo al
original.
Definición 2.2.5 El problema r € fI" se di,ce bien puesto en el sentido de Ha-
damard (H*p' , para abreui,ar) si para cad,a r* e F* y cad,a sucesi,ón {zr',} c tI6
conuergente e,7T, eri,ste aI menos uno, o,.n';.s. asociada que conaerge haci,a r*.
rDel inglés, asyrnptotically mi,nimizing sequence.2Del inglés, Had,amard, well-posed.
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2.2. Estabilidad deL valor óptimo
El siguiente teorema muestra la estrecha relación de este concepto con la esta-
bilidad del conjunto factible y del valor óptimo. En este teorema se utilizará por
primera vez Ia condición (iii) del teorema I.2.L, que se revelará como una herra-
mienta fructÍfera en diversas ocasiones para establecer la semicontinuidad inferior
de F a traves de razonamientos por reducción al absurdo. Esencialmente, lo que
ocure es que Ia ausencia de la semicontinuidad inferior f en un sistema consisten-
te a, permite obtener como consecuencia de sistemas consistentes arbitrariamente
próximos a o, cualquier desigualdad lineal que se satisfaga en algún r e F. Este
hecho nos permitirá en ocasiones aislar un punto factible del problema original de
los conjuntos factibles de ciertos problemas a¡bit¡ariamente próximos.
Teorema 2.2.6 Dad,o n : (c,a) e flr, se ti,ene:
(i) S¿ zr es Hwp, entonces Ia restri,cci,ón de ú alI6, denotada por ú6, es continua
en¡r. Si, adenó"s F es Isc enr, entonces el recíproco es ci,erto.
(íi) Cuando F* es acotado, r es Hwp si,g sólo s,i, bi,en F es lsc ennr, o bi,en F
se reduce a un punto.
(iii) S¿ F* es no acotado y r es H.p, entonces F es Isc en r.
Demostración. (i) supongamos, en primer lugar, que zf es Hwp, y sea {n,.} c
fI6 convergente a zr. Veremos que Limra, :1¡.
Por hipótesis, dado fr* € F*, ha de existir una sucesión {r,} convergente a n*,
t a l que x ' € F , , , r : L ,2 , . . . , y l im , { ( { ) ' * ' - u , } : 0 . Pues to que l ím , ( { ) ' r , :
Cr* : 'u, se obtiene que limrur:11.
Recfprocamente, supongamos que t96 es continua en zr y F es lsc en dicho pro-
blema. Si {n'} C II¿converge aryr* e F* C 4lasemicontinuidadinferior
de F en 7r' asegura que s* € lim inf,F, (condición (ii) del teorem a L.2.2). En otras
palabras, ha de existir una sucesión {z'} , convergente a fr* y de forma que r' € Fr,
para cada ,. {n'} es, de hecho, una a.m.s. para zf asociada a {trr}, dado que
iim, { ("')' r' - r,} : Ct* - u : 0.
o t
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2.2. Estabilidad del valot óPtimo
(ii) Admitamos que F* está acotado. Supóngase que 7T'es Hwp, alavez que F
contiene más de un punto y F no es lsc en zr.
Elijamos un punto óptimo n" e F* y un punto arbitrario g € F'\ {r-} . Defina-
mos u :: U -c* y, para cada r € N, consideremos un escalar postivo k' verificando
l*r,l.-iDe acuerdo con Ia condición (iii) del teorema L.2.I,la ausencia de Ia semicon-
tinuidad inferior F en n gararftiza la existencia de una sucesión {)e} c nf) Oue
sat isface D ü : t , P : 1,2, . ' . , Yt€T
(2.2.3)
Introducimos, para cada r € N, el problema T r: (c,o') , donde
58
ll*"ll-'i {
o r , : { ( - . * " ) '
oz+1 : rimr )
^f (;:)E E ¡
r 2 bt * l,.u', ,
ri*bE ^,G'i{;,) :; (;,)
t er |
Obviamente 6 (trr,") < + y, por tanto, lim'zr' : z-. Ademb, A € F", para todo
r, y u'n )- u'A es una consecuencia de cada o,, ya que (2.2.3) implica que
En virtud del lema 2.2.2,Ia acotación de F* asegura que {rc'},t- C fI", para
cierto rn.
Hemos establecido qtte u'r ) u'A, para todo r e F, mientras que z' (** - A) :
- ll"ll ', de donde u,tt* <u'g. Así pues, para este punto óptimo r* y esta sucesión
particular de problemas acotados convergente a zr, no existe ninguna a.m.s. asocia-
da, {zt}rrr¿, eüe converja a Í*, en contradicción con el buen condicionamiento, en
el sentido de Hadamard, de zr.
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2.2. Estabilidad deL valor óptimo
Procedemos seguidamente a probar el enunciado recÍproco. Seguimos admitien-
do que F* es acotado, y analicemos el caso en el que -F es Isc en zr. A partir de las
condiciones (i) y (ii) del teorema2.2.3 concluimos que tg es continua en r. Puede
aplicarse entonces Ia condición (i) del presente teorema, que ya ha sido establecida.
Si, alternativamente, F : F*: {r*}, se verificará en primera instancia que -F
es usc en zc. Consideremos una sucesión arbitraria {zrr} C fI6 convergente a ¡-. De
nuevo por el lema 2.2.2 existe un número nattual m tal que rr € fI" siempre que
r) m. Escojamos r 'e Fl , paracada r) f f i ,ycompletemoscon f i , € Frsir <m.
Entonces, {"'} * obviamente una a.m.s. pa,ra 7r. asociada a {rr}.En virtud de la semicontinuidad superior de F en rl dado cualquier conjunto
abierto w qtrc contenga a F : {"*}, existirá un entero re tal que ¡} C W para
r ) rs. En otros términos, r' e w para r ) rs, esto es, Iim.a' : ¡+. Así pues, n-es
Hwp, como se quería demostrar.
(iii) Tomemos r* € ,F'* y u e O* (F.) con llzll." : 1. Definimos entonces1
F,: ;,*lU, con r suficientemente grande para garantizar que el denominador
sea positivo, y pongamos c' :: c - Fru e y' :: r" I ru. Obviament e,, y, € F* y
( " ' ) ' y ' :u -L .
Definimos también los sistemas
, T : L r 2 r . . . ,
donde las constantes positivas k,. se han elegido de modo que
59
o,::{(-. *-)' ,, b,.+ , t €r}
ll#ll_1<-and
T
l r - t llk, l
(iii) del teorema 1.2.1 no se verificaría,*17 )
C RI / ta l que I ) í : I , p : L ,2 , . . . ,teT
1T
Finalmente introducimos los problemas 7r, :: ({ , o,), que obviamente satisfacen
limrtr, - 'r y r, e 1." (ya que A, € Fr).
Si .F no fuese Isc en r,la condición
y por tanto existiría una sucesión {)e}
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2.3. Estabilidad del coniunto de soluciones óptimas
satisfaciendo la expresión (2.2.3). Así pues, para cada r € N,
/ ^ +*c ' \ L / c ' \l i m - \ - ^ ? ( * ' t u r - l - - l l ." ' \b,+#) /c ' \u-r) '
y el Lema de Farkas nos permite concluir que (c')' r ) u- 1 es una consecuencia de
o,,Io que de hecho implica que y' e Fí y ar:'t) - 1, contradiciendo la condición
(i) del presente teorema. I
El siguiente corolario presenta una condición necesaria para que un problema
resoluble ?r sea Hwp.
Corolario 2.2.7 Sea ¡r € Il" un problema Hwp. Si, r* es el lími'te de cualqui,er
a.n';.s., asoci,ada a cualqui,er sucesi,ón de problemas acotados conaergente ar, en-
tonces tr* es un punto ópt'imo de r (esto es, r* € F.).
Demostración. Sea {n-,} C fI¡ convergente d r¡ V sea {r'} una a.m.s. paxa zf
asociada a {¡rr}, y convergente a r*, esto es,
Iim, { ("')' *' - u,}: 0 and Iim,{ : a*.
Nótese que z* € F, puesto que f es cerrada en n. Veamos que r* € F*, es decir,
cttc* : u.La condición (i) del teorema 2.2.6 garantizala continuidad deT96 enrj
conduciendo a que limr ur : ?. AsÍ pues,
o : Iirn, {(c')' ,' - o,} : Cn* - u. r
2.3 Estabilidad del conjunto de soluciones ópti-
mas
El siguiente teorema analiza las propiedades de continuidad de la función conjunto
óptimo. Al final de esta sección presentamos una tabla en la que se resumen las pro-
60
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2.3. Estabilidad del coniunto de soluciones óptimas
piedades de estabilidad de un problema resoluble estudiadas a lo largo del presente
capítulo.
Teorema 2,3.L Dado r €II", se uerificanlos si,gui,entes enunci,ados:
(i) .F- es cercada en ¡r si y sóIo si', bi'en F es Isc en 7T r o bi'en F : F* .
(ii) Srt F* es usc er¿ r, entonces F* es cercada en¡r. Cuando F* es acotado, el
enunci,ado recíproco es cierto.
(iii) f- es lsc en r si, y sóIo si f es Isc en r y F* se reduce a un punto.
Demostración. (i) Supóngase que .F* es cerrada en zf y que, simultáneamente,
F + F. y f no es lsc en n'.
Elegido y e F\F*, será Cy : u la paxa cierto o > 0. Consideremos la sucesión
de problemffi {n', : (c,o,)}, donde
Es inmediato que limrn', : 7r y que y € .F" para todo r. Veamos que c'r ) c'y es
una consecuencia de or, para todo r. En efecto, al no ser F Isc en ur, la negación de Ia
61
condición (iii) del teorema L.2.I,garantiza la existencia de una sucesión {,\P} c Rf)
verif icando D )í : l , P: L,2,..., Y tal queteT
Así pues, para cada r € N, se tiene
rmo IteT
de donde, en virtud del Lema de Farkas, se concluye, como queríamos establecer,
qtrc Cr ) u * d es una consecuencia de o'. Se deduce, por tanto, Que g e F;,
r : I,2,.... Puesto que estamos suponiendo que .F* es cerrada en 7r, ha de ser
U € F* ,lo que contradice la elección de gt.
ú r t : { ( * * r - ' " ) ' r2b t * r -L ( 'u+o) , teT} , , r :L ,2 , ' . . .
or¿+, : ri-" E ^f (il)rcT
r(^ir.¿i")) : i (,;')'
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2.3. Estabilidad del conjunto de so/uciones óptimas
De cara a establecer Ia implicación recíproca, distinguiremos dos casos. Si F:
F*, sean {n'r} y {*'} , convergentes hacia T yÍ, respectivamente, y tales que n' e F}
para todo r. Puesto que ¡li C F, y Jr es cerrada zr, se tiene que 7 € F : F*. Si,
alternativamente, F es lsc en a' y consideramos de nuevo dos sucesiones {zr'"} y {r'} ,
con fr' e f| para todo r, y tales que lim' Tr : T y lim. n' : Í, probaremos que
Í e F*. Comprobaremos a continuación.que se verifi.ca CZ S Cro para cualquier
SS-elemento, r0, de o. Observemos en primer lugar que, para r suficientemente
grande, ro € F,. Enefecto, si p ) 0 estal quealrro ) bt*p,paratodot € ?,
V 6(r,,r) < f min {t,
n-'t ' l l"oll-t} {"n"r,aiendo que llrOll-t : +* si fuese
r0 :0,,), la desigualdad de Cauchy-Schwarz nos conduce a
(oT) '*o:a l t ro +(" i -or) ' r0 > al r ro - l l "T-ar l l l l " t l l > o l r ro - l , rUr* laUf.
En consecuencia, para r suficientemente grande, se tendrá ({)' ,' S ({)' ,0, y
haciendo tender r hacia *oo se obtiene c'r < Cro.
Puesto que F es, en este caso, Ia clausura del conjunto de todos los SS-elementos
de a (condición (iii) del teoremaL2.2), se concluye que c'Í 1c'A para todo A e F;
es toes , f i eF* .
(ii) Puesto que (fI, ó) se comporta localmente como un espacio métrico (II,6) con
6(tr1,r): min {L , 6(try,r)}, puede aplicarse cualquier propiedad de las aplicaciones
punto a conjunto entre espacios métricos (véase, por ejemplo, [2]). En particular
la semicontinuidad superior de F* en fl-y el hecho de que F* sea cerrado, implican
que .F* es cerrada en z'.
Para probar la implicación recíproca, supongamos que F* está acotado. Distin-
guimos, de nuevo, dos casos. Si F : F*, la semicontinuidad superior de F en ¡r
implica la semicontinuidad superior de F* en este mismo problema. En el caso en
que .F sea lsc e\T j tafronarnos como sigue.
Sea lrtrl un conjunto abierto que contiene a F*, pudiendo verse este riltimo como
el conjnnto factible del sistemaó : {a!rr} b¿ , t <T ; Cn S o}. Nótese que ñ
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2.3. Estabiüdad del conjunto de soluciones óptimas
es el mismo sistema introducido en (2.2.I), y adoptaremos la misma notación para
sistemas 'ampliados' que allí se utlizaba. De la acotación de F : F* se deduce que
-F u, ,rr. enñ :: (",ó) . En otros términos, existe un ?r > 0 tal qn" ñ (ñr,ñ) < ,t,
asegura que Fl C W. En particular, si consideramos Í1 :: (",ór), donde
ó1: : {a ' r r }b¿ , te T ; c ' r Su*Tr } ,
deducimos que F1 : L (u * qr) C W.
Sea z un SS-elemento de o (recuérdese que .F es lsc en n-). Si c'x < u * r7r, €s
evidente que r es también un SS-elemento de ñ1. En otro caso, elegimos I e Ft
satisfaciendo c'l 1aiTt. Entonces, para ,\ suficientemente pequeño, ,\u + (1 - I)t
será un SS-elemento de ó (este argumento aparece en detalle en la prueba de la
condición (i) del teorema 2.2.3). En cualquier caso, concluimos que F es hc en ñ1,
implicando laexistenciadeun nz>}talque n+A siempre q,r"ñ (ñr,ñr) lqr.
Nótese que, al ser .F'* acotado, todos los conjuntos de nivel no vacíos de z-están
acotados, en particular ñ : L(u*41) está acotado. En consecuencia -ñ es ademrís
usc en ñ1; luego, para cierto ?e ) 0, T (¡r,ñ) < 43 implica m c W.
Consideremos ahora un problema 12 tal que ó (trz,r) 1 r¡ :: *ir {?r, ee} , V
asociémosle el problema, en fr, ñ, ,: ("t,ñ2) , donde
ó2: : {@) ' n>b?, t €T ; ( " t ) 't . ' /
Obviament ",61ñr,ñ)
< ? y, consecuentemente,
0+ Fr : Lz(u*qr) cW.
Así pues, Fí c L2(u * qr) c W,Io que prueba la semicontinuidad superior de .F*
en7 f .
(iii) Supongamos, en primer lugar, que .F'* : {"*} y F es lsc en z'. Entonces las
condiciones (i) V (ii) del presente teorema permiten concluir que .F* es usc en ?r.
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rSu+1, ) .
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2.3. Estabilidad del conjunto de soluciones óptimas
Puesto que f es lsc en zr, existirá un ?r > 0 tal que ó (trur) < 4, implica
Que 7r1 € [". El lema 2.2.2 nos permite afirmar eue a-1 € fI" si 17, se ha elegidosufi cientemente pequeño.
Sea 14¡ un conjunto abierto que contiene a n* . La semicontinuidad superior de F*en n gararrtiza Ia existencia deqz > 0 tal que Ff c I,l/ siempre que 6(nr,zr) <rtz.siendo 17 :: min {qt.,rtr}, se tiene que 0 I Fi c w si 6 (trt,n) < q; en consecuenciaF{ nW I A,Iuego .F* es ciertamente lsc en zr.
Seguidamente probaremos que la semicontinuidad inferior de F* en zr implicaque 7f tiene una única solución óptima. De lo contrario, el$anse dos puntos diferen-tes, Í* e g*, en F*, y defÍnase u:: u* - c*. Introducimos la sucesión de problemas7r, :: (c'ro) , T : 1,2,..., cott c, :: c - lu. Obviamente limrn, : 7¡.
Puesto que u'(a. - n*) > 0, puede encontrarse un entorno abierto de r*, w,tal que u'(a* -r) > 0 paratodo z € lzz. Notemos quepara cualquier r e waFse tiene
k\' (u. - n) : c' (a* - 4 - lu' (a. -tr) < o,. T
y por lo tanto " I Fi; esto es F; nW : 0 (recuérdese que F'. : F para todo r).
Se contradice así la semicontinuidad inferior de .F* en n.
Finalmente, veamos que si .F* es lsc en z' entonces -F también ha de ser lsc en1(- Comprobaremos que ¡r € 'int (fI") (recuérdese el teorma I.2.I). En efecto, siw es un conjunto abierto tal que F* nw * A, existj.rá un ? > 0 de forma queFf nW *As i6 (nr , r ) <n ; por Io tan to f i lA s iempre que ó ( ¡ r t ,n ) <q . I
La tabla 1, que presentamos a continuación, reúne los resultados expuestos alo largo de este capítulo en relación con la estabilidad de un problema resolublez'. Dado el notable grado de estabilidad que alcarua un problema cuando en élse satisfacen simultáneamente la semicontinuidad inferior de Ia función conjuntoconjunto factible y la acotación del conjunto óptimo, hemos utilizado estas dospropiedades como criterio de clasificación, prestando especial atención al caso en elque existe una única solución óptima del problema.
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2.4. Ejemplos 65
En la tabla se han utilizado los siguientes sÍmbolos: I <+ .F es lsc en r; II e F*
es usc en zr'; III <+ tf es lsc en z'; IV {+ ,ri es usc en r; 1116 e 8o es lsc en z.; III" e ú.
es lsc en r (t9" = d In.); T representa la negación de I (etc.).
f'* no vacío f l scenr F no lsc en z'
F* se reduce a
un punto
F:F* I, II, III,
Hwp
IV, I,II,III, IV,HWP
F+F- T, E, III, IV, mpF* es acotado, con
m¿ís de un punto
F:F* T,II,III,IV )
H*p
T, II, III, IV, Ewp
F+F- T, I I , I I I , TT,M'
.F* es
no acotado
F: F*Celda A:
T, TTf, IVCelda C:
T, IIIó, Tv, @-
FIF-Celda B:
T, fil", IVT, II, JU;, IV, Ewp
TabIa , I :Es tab i l idadybuencond ic ionamientoene lsent idoa"uuaf f i
2.4 Ejemplos
Por medio de la siguiente colección de ejemplos se muestra que en las celdas A, By C de la tabla 1, asociadas al caso 'F* no acotado', puede presentarse cualquiercombinación posible de las propiedades no fijadas en la tabla; mostrando de estaforma que no existe ninguna relación subyacente entre ellas que no esté contemplada
en dicha tabla.
Celda A: -F * no acotado, F : F* y F lsc en ¡..
Ejemplo 2.4.L II g Hwp. Consi,deremos eI problenra, enR2,
zr : In f z1
s.a tx1*12) - I , teZ Is f r2) -1 ,s .NJ
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Ejemplos
Puede comprobarse3 que F : F* : {0} x IR+ y u :0. Además 02 es un SS-
elemento de a y, por tanto, "F es lsc en n-. Si n1 € fI es tal que á (nu¡r) < l, entonces
se tiene FT c Fr : F : F* y en consecuencia F" es trivialmente usc en n. Para
probar que 7r es Hwp bastará con establecer la semicontinuidad inferior de tg6 en
rc, dado que esta función ya es usc en zr como consecuencia de la semicontinuidad
inferior de F en zr. De hecho, si zr.1 € tl¿.f ó (¡q,¡r) ( 1, entonc€s u1 se alcanzará
en el único punto extremo de Fr, esto es, 02. En otras palabras, ?.r1 : 0, lo que
conlleva la continuidad de ú6 e\ T.
Ejempto 2.4.2 II g ffi. Consideremos el problerna, enR2,
r : Inf. xy
s .a tn t+0x2) -L , teZ l .
Es inmediato que F : F*: {0} x IR y tr : 0. Dado que 02 es un SS-elemento
de o, T es lsc en n'. Definiendo, para r : !,2,..., el problema
r, : Irtf (", + l"r)s .a , tq+ l r r , - ! , t eZ \ ,
cuyo conjunto factible es F. : {0} xl-r,**[, podemos observar que lim, Tr : ,rr y
ur : -r. AsÍ pues, ú¿ no es lsc en z', luego r no es Hwp. por otro lado, si a..1 € fI es
tal que 6(nt,z-) < +oo, entonces F'f C fiC F - F*,luegof* esinmediatamente
usc en 7T,
Ejemplo 2.4.3 IT g Hwp.
Notaremos en primer lugar que es imposible encontrar un ejemplo en IR2, en las
condiciones de la celda A, en el que f* no sea usc. En efecto, si a.es un problema,
3Divlda¡rse ambos miembros de cada desigualdad del primer bloque por el correspondienteÚ (salvo cuando ú : 0). En las desigualdades del segundo bloque divfdase por s. Tómense loscorrespondientes lfmites cuando ú --+ *oo v s --+ -foo.
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2.4. Ejemplos
en IR2, con c f 0r,, y localizado en la celda A de Ia tabla 1, entonces Ia condición
F : F* asegura qtue Cr: u (esto es, c'r ) u y -ctr ) -u) es una consecuencia de
o, y por tanto
l:) . rin(cr(K)).\?r/
Dado que .F es lsc en 7r, en virtud del teoremat.2.t, lin(cl (/f)) es invariante en
un cierto entorno V de r, corstituido únicamente por problemas consistentes. En
otras palabras, si ?ry € V,, entonces
A#F c { re lR2 l c ' r : " } ,
luego los conjuntos factibles de los problemas de 7 están contenidos en una recta.
AsÍ pues, .F ly es usc4 en 7r, y por tanto para todo conjunto abierto I4l que contenga
a ,F* : .F, existirá un entorno de r, V1 C V , para el cual
F { c FycW. { r e IR2 lCn :u } cW.
En consecuencia, F* l, , y por tanto .F*, será usc en zr.
Tbas haber comprobado que el ejemplo buscado no puede construirse en lR2,
proponemos el siguiente problema en IRS :
n : I n f 1 1
s .a t r1 *sz+r3 ) *1 , t .e V ,
11*s f i 2 *13 ) -1 , s€N
f r ¡ * f r 2 l uns> -1 , u€N
- f i 2 * z3 ) - 1
Obviamente 03 es un SS-elemento de o, luego Jr es lsc en zr. Puede comprobarse
Querv ) 0, -zr ) 0, rz > 0 yus 2 0 son consecuencias deo. Paraello, divídase
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aRecuérdese que, en el caso n : !, f es usc en cualquier problema consistente.
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2.4. Ejemplos
el primer (resp. segundo, tercer) bloque de restricciones por ú, salvo cuando t :0,
(resp. s,u) y hágase tender ú ---+ ioo (resp. s ---+ foo, u --* *m). Recíprocamente
las infinitas restricciones de los tres primeros bloques son consecuencia del sistema
{r, : o,r2 } o, tr¡ } o} . Por Io tanto,
F:F* : { r€ lR t l " r :0 , z .2 )0 , r ¡ )0 , r s _ rz2 -1 } .
Si n-1 es un problema verificando que ó(tt,r) < e < 1, podemos escribirlo como
sigue:
z'1 : Inf {(t + er) rr * e2r2 * esns}
s.a ( t+e¿1)r r * (1 *et2)n2+ (1+ e 's)4 > -1 r r tn , t €V '
(1 +e i ) r r * (s*e ' r )12+(1 +e i )¿s>-1 *e i , s€N
(1 +e i )c r * (1 +€nnz*(u+r í ) rs2-1 *e t , ue N
eTq + (-1 + €t) rz+ (1 + €[) ns > -L i ef;
Es inmediato que 0e € Fl y que los tres primeros bloques de restricciones son
aún equivalentes al sistema fi.nito {"t : 0, 12} 0, 13 ) 0}; esto es,
F1 : {n €Rt l Í1 :0 , n220 , rs ) 0 , ( -1 + e í ) rz+(1 +e i )cs > -1 +eT) .
Empezaremos viendo que .F* no es usc en a'. En efecto, si introducimos Ios
problemas itr, r : L.,2,..., que difieren de zr sólo en Ia última restricción, la cual,
para cada r, ha sido reemplazada por *rz * (t + l) r¡ ) -1, resulta evid.ente que
Iim,r, : 7r, y que el conjunto abierto W : {r € R3 | -fr2* rs > -2} contiene a
F*; sin embargo,
f r ' : : (0 , r * 2 , r ) ' e4 \ W : 4 : \ lY .
AsÍ pues, F; g I4l, cualquiera que sea r, Iuego F no es usc en zr.
Seguidamente, para comprobar que fl" es Hwp, estableceremos la semicontinui-
dad inferior deTla en a'. Puesto que F1 es un poliedro, si además n"1 € fI6, su valor
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2.4. Ejemplos
óptimo se alcanzará en alguno de sus dos únicos puntos extremos, a saber: 03/ - 1 t . w \ /
(.0,_ffi,or) ; esto es,
69
_ -E (1 +a )' --l -!-,
y puesto que lim,-o +19 : 0, queda'establecida Ia semicontinuidad inferior der - ¿
?r : min {r,'#+} , ,,,"*o,, >
- lrr l(et -t)€y -L
?96 en ?T'.
Ejemplo 2.4. Í. y
problema enR.s. Sea
H*p Al i,gual que en el caso anterior, consi,deraren'Los un
z-: Inf u1
s . t . t r t+n2* rs>-1 , teZ
f r 1 *sxZ*13 ) -1 , s€N
11* r2 *u rs> -1 , u€N
- r2 ) - L ,
Obsérvese que 03 es un SS-elemento de o, y que
F : F* : {c € IRt | " , : 0, t r8 } 0, rze [0,1] ] .
Introduzcamos la sucesión {z-r}, en la que rfr difiere de zr sólo en la última
restricción, habiendo sido ésta reemplazada por -rz * |rt , -1. Obviamente
lirytrr: zr. Consideremos el conjunto abierto W - {r e IR3 | -r, > -2}, que
contiene & F*, y observemos que, para cada r, fr' :: (0,2,r)' € F, \ W : Fi \W.
Se concluye así que F* no es usc en zr.
Probaremos ahora que 7T'no es Hwp. Consideremos ahora la sucesión {'tr',} , tal
que n., se obtiene a partir de r cambiando Ia expresión del objetivo por q - |nz, y
reemplazando ta última restricción por -ü2* *", > -1. Evidentemente lirn"a', : z'.
Ademiís,
F, :: f (7,) : conu {0¡, (0, 1,0)', (0,0, r)/} .
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2.4. Ejemplos
En consecuencia, úr: *L, r : lr2, ...; por lo que ?96 no es lsc en n.
Celda B: F* no acotado, F + F* y F lsc en z'.
Ejemplo 2.4,5 II g Hwp. Consideremos el sigui,ente problemo, en iR2,
02 es un SS-elemento de zr, por lo que .F es lsc en z-. El sistema o es obviamente
equ iva len tea{21 }0 ,12>0} , luego F : { r € lR2 1" , > 0 ,n2} 0 } yF* :
{0}xlRa. Ademiís, si z-1 € fI satisface 6 (nr,ir) < L, concluÍmos que Fl - F y,puesro
que la función objetivo de n'1 puede expresarse como ("t)' * : (1 + er)cr t E2r2
(con le¿l 1I , i : ! ,2) , se obt iene (" t ) ' (á) : 1*€1 ) 0: ( r t ) '02, / por tanto el
punto (1,0)'no es óptimo páxa Í1. AsÍ pues, Fi c F* (pudiendo ser Fi :0), de
donde se concluye inmediatamente que .F* es usc en a'. Si ademrís a.1 € fI6, ha de
s€r u1 :0 : u, luego t96 es lsc en r, y por tanto zr es Hwp.
Ejemplo 2.4.6 II g ffi. Consi,d,eremos el problema, enR2,
r : Inf. t1
s.a t r t+nzZ-1, ¿e N' f
í \+.sr2>-1 , s€N i- r r2 -L )
f es lsc en 7I' ya que 02 es, una vez más, un SS-elemento de o. Puede comprobarse
fácilmente que F : [0,1] x R-l y que F* : {0} r IR+. Si .rt € fI es tal que
6 (nt,T) < I, podemos escribir "'
: (I * e1,e2)' y
70
r : Inf. 11
s .a t q+ r2 > - ! , ú€N \
Í1 ] -s r2>-1 , seNJ
f t : { r€R' I n t }0 , rz }0 , ( -1 + e i ) r r *eNr2> -1 +6í } ,
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2.4. Ejemplos
donde hemos llamado c..' al índice de la última restricción, y todos los ,epsilon,tienen
valor absoluto menor que 1. Distinguiremos dos casos:
i ) uí <0. Entonces Fl : "onu {or , 11
- t f .o) ' lo ,
t - i í ) ' } .( ' ' \ t - r? ' " ) '
\ " ' - r í ) J '. i,i,) ei ),0. En ese caso 4 es no acotado y tiene dos puntos extremos, 0z y
11 - uí n\ '
\1 -e í ' " ) 'En cualquier caso, si z,1 € fI" (o, equivalentemente, 7r'1 € fI6, puesto eue ?r1 es
equivalente a un problema ordinario de programación Lineal), su valor óptimo searcanzará"en algún punto extremo. Nótese 0"" (f::í,0)'rro es optimo, ya que
("')'0,: 0 < (1 + e1) =#
consecuent";""): ;,': ^|"^,;;;os cuyaprimera coordenada es igual a cero; esto es, trT c F*, Iuego F* hade ser usc en Í..
Seguidamente comprobaremos que d6 no es lsc en zr, introduciendo una sucesiónde problemas, {n'} ? convergente a z' y de tar manera que ur - -1, r : L,2,....Pa¡a cada r, sea zr, el problema que resulta de reemplazar Ia función objetivo de7f por ("')', - n1_ *rr, y la última restricción por -r1 - trr 2 _t. puesto queF, : conu {02, (1,0)', (0, r) '}, se tiene que u, : ({) '(0,
"), - -1.
Ejemplo 2.4.7 IT y Hwp. Cons,id,eremos el problen-ra, enR2,
r : Inf. 11
s.o, rt * 0rz ) 0j
fio ::(1,0)' es un SS-elemento de o, .F : lR+ x R y .F'* : {0} x R.
Para cada r € NI considérese el problema
7r, : : Inf{r1 * l rr l " , + l rrro},
que obviamente verifica 6 (n,,n) : l,luego lim,r,: n. Evidentemente el conjuntoabierto w :: {c e JR2 | rr > -r} contiene a F*, mientras que, para cad.a r, 7r .:(-1, r)' € 4:\17, y por tanto F* no es usc en zr.
7L
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2.4. Ejemplos
Comprobemos a continuación el buen condicionamiento, en el sentido de Hada-
mard, de ¡-. Si zr1 es tal que ó (ot,o) < s < 1, podemos escribir
7r1 t: Inf {(1 * e7) n1 * e2r2 | (t + rl) ",
1- elr2 > rá} ,
72
donde todos los parámetros toman valores en ]-1,1[. Entonces, zr1
só los i 3 - :=€2 ' l *e r ' ,a - e ( l +e )
1+e f 1+s1 'encuyocsso?r1 : tá1+r l ¿ -
I -e. . € (1 +e)limu-o-f_;l :0, ?9a es Isc en n.
€116s i y
Dado que
Ejemplo 2.4.8 II y Hwp. Consi,deremos el problenta, enR2,
¡r : Inf r,
s 'a q l0 rz )0 I
r t*orz>-r Iro :: (L12,0)'es un SS-elemento de a, F : [0, 1]xiR y F* : {0} *lR. Definamos
ahora, para cada r, el problema
7(7 1: I " f { " ,
+!* r l r r+ l r rao, - r t } - , }
El mismo argumento del ejemplo anterior muestra que f* no es usc en ?r.
Para probar que ?r no es H*p, considérese, para cada r, el problema
T, :: Inf {21 - 1", | *, - *"r a 0, -nt > -1}.
Nótese que ó (tr,,¡r) : i, y por tanto {zc.} converge a n. Adem¿ís, para cada r,
Fi.: F. (r,): {(r,2r)'} y u,: -I; concluyéndose que ?9¿ no es lsc en n.
Celda C: F* no acotado, F : F* y F no Isc en zc.
Ejemplo 2.4.9 II. Consi,derernos eI problema, enR2,
r : Inf. ny
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2.5. Estabilidad en el caso continuo
s .a t r1 l 0 r2> -1 , t €Z )
r t i -L rz ) 0 , l- , r t , .0 r220 , )
Es inmediato que F : F* : {0} x IR. Puesto que no existe ningrin SS-elemento
de o, F no es lsc en z'. Si n1 € fI satisface que ó (¡rt,n) es finita, entonces Fi c
\ c F - F*,lo cual implica la semicontinuidad superior de F* en a..
Ejemplo 2.4.LO fr-. Consideren"Los el problema, enR2,
¡r : Inf r.,
s . a r t l 0 r z> 0 , ), }
- r t * 0 r z>0 , )
Tbivialmente F : F'. : {0} x IR y no existe ningrin ss_elemento de a. Definien_
do, para cada r, el problema
73
7t, i: Inf{21 * lr, | *, + lr, ,-0, -u r - !rr> 0},
se verifica que ó (¡r,,n): |,luego {n-r} converge a 7r-. Además
r' :: (-7,r)' € ¡;:\t/, siendo W :: {r e IR2 | *, > -1} ) F-.
En consecuencia F* no es usc en ?r.
2.5 Estabilidad en el caso corrtinuo
Llegados a este punto, resulta conveniente relacionar los resultados expuestos hasta
ahora con otras contribuciones previas al estudio de la estabilidad en Programa-
ción Semi-Infinita Lineal, las cuales, como indicábamos en la introducción de este
capÍtulo, se centran en el caso continuo.
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2.5. Estabilidad en el caso continuo
Los siguientes teoremas muestran cómo la teorÍa general de PSIL proporciona
argumentos directos para establecer la mayorÍa de los resultados de [3, Sec. 2 y
3] y [9, Sec. 3 y a]. Aquí flo, IIo", floa y flo" representan los conjuntos de proble.
mas continuos, consistentes continuos, acotados continuos, y resolubles continuos,
respectivamente. En consonancia con ello, denotaremos por Fo V Fo" a las restric-
ciones de F aflo y no", respecüivamente, por úo6 ala restricción de ú a flo6, }, por
FL a la restricción de F* afIor.
Teorema 2.5.L [3, Sec. 2 v 3] Si, r : (c,o) e fro", entonces se uerifi,can los
si, g ui,ent e s enun ci, a d o s:
( i ) f . . eslsc enr s i ,gsólosi , ,b i ,eno sat i ,sfacel¿condic ióndeslater,obi ,enF
se red,uce a un punto;
(íi) Cuando n ) 2, Fo" es usc en r s'i y sóIo si,, bi,en F es acotad,o, o b,ien
F: IR" ;
(iii) ^92 ¡r €IIoa A fo" es lsc enr, entoncestgo6 es üsc enr;
(iv) .9en'€ floa U Fo" es usc enr, s' iendo F I IR'yn ) 2, entoncesúo6 es lscen Tl
(v) ,Sz zr € flo" y F* es acotado, entonces úo6 es Isc en r;
(vi) .92 ¡r Q IIou y o satisface la condición de Slater, entonces úo6 es usc at r.
Demostración. (i) Supongamos que Fo" ".slsc en zc y, simultaneamente, f'
consta de más de un punto y o rLo satisface la condición de Slater. Puesto que esta
condición, para problemas continuos, es equivalente a la condición fuerte de Slater,
estamos asumiendo de hecho qtrc F no es Isc en z-. EI mismo argumento utilizado
para probar Ia condición (ii) del teorema 2.2.6 nos llevará a una contradicción.
En concreto, consideremos dos puntos distintos en F, fr* e a, y definamos u ::
a - r"- obviamente, el conjunto abierto w :: {r e IR" lu'* <u,gr} intersecta a
P, pues r* e W. Sin embargo, para cada miembro zr, de la sucesión de problemas
consistentes (y ahora, ademiís, continuos), convergent e a 7r l que allí se construyó, el
sistema a," asociado tenÍa utr ) u'y como relación consecuente. por lo tanto, para
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2.5. Estabilidad en el caso continuo
cada r, W a Fr: 0, contradiciendo asÍ la semicontinuidad inferior de Fo" en r.
Recíprocamente, si o satisface la condición de Slater, entonces Fo, y por tanto
fo., es lsc en zr. si, alternativamente, F : {r*} , tendremos que .F es usc en Í- y,
dado cualquier conjunto abierto W que contenga a F, existirá un ó > 0 tal que
Ft C I,7 siempre que 6 (nt,qr) < 6. Si, en particular, T1 e IIs¿, tendremos que
n aW : Ft f 0, estableciendo asÍ la semicontinuidad inferior de fo" en, T.
(ii) Es evidente, ya que 7o" es usc en r €fIo" si y sólo si .f lo es.
(iii) Si Fo" es lsc en rr, de acuerdo con (i), analizaremos dos posibilidades. Si a
satisface Ia condición de Slater (equivalentemente, Ia condición fuerte de Slater), f
será Isc en 7r yT9 será usc en n' (véase el teorema 2.2.3(i) ). Si, alternativamente, F
se reduce a un punto, zr será Hwp, y por tanto Ú6 será continua en n. En cualquier
caso se concluye Ia semicontinuidad superior de t9o6 en zr.
(iv) Si Fo" es usc en ir y F I R'", entonces F es acotado, en virtud de (ii). En
consecuencia, F* es acotado y no vacío, luego tg es lsc en z- (teorema2.2.Z(ii)), to
cual ovbiamente implica la semicontinuidad inferior de do6 en dicho problema.
(v) Es de nuevo una consecuencia inmediata del teorema2.2.B(ii).
(vi) La prueba está implícita en los argumentos utilizados en la prueba de (iii).
I
El siguiente teorema reúne los resultados enuciados en [g, Thms. 2.7, J.B y 4.21,
acetca de las propiedades de estabilidad del conjunto óptimo de un problema reso-
Iuble continuo ?r. En dicho trabajo, la función conjunto óptimo corsiderada es f;;,
definida en ffor, lo que introduce ciertas diferencias, de carácter técnico, a lo hora
de abordar la estabilidad del conjunto óptimo. En concreto, la caracterización de la
semicontinuidad inferior de "F[ en ¡' € flo, dada en [g, Thm. a.z] (v que recogemos
en la condición (iii) del siguiente teorema) requiere la existencia de un punto extre-
mo de F, para ga.rantizar la existencia de 'suficientes' problemas resolubles en un
entorno de z-. Por lo tanto, este resultado no se obtiene como consecuencia directa
del teorema 2.3.l(iii), que caxacterizarfala semicontinuidad inferior de f* ln, en ,r,
razón por la que omitimos aquÍ su prueba.
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Estabilidad en el caso continuo
Teorema 2.5.2 [9, Thms. 2.7,3.3 y 4.2] Dado n : (c,o) € flo", se uerifican las
si, g ui,ent es co n di, ci o nes:
(i) z' e int"(Tl',) si y sóIo si F* es acotado y o sati,sface la condición de Slater;
(ii) F:" e.e usc en r s'i y sólo s'i se sati,sfacen las s'igu'ientes condic,iones:
(ii-a) .F'. es acotado;
(ii-b) Bi,en F : F*, o bi,en o uerifica la condición de Slater;
(tii) Supongan'Los que F conti,ene aI menos un punto ertremo. Entonces F[" es
lsc er¿ r si y sólo si F* se reduce a un punto y, cuando F I F*, o satisface la
condición de Slater.
Demostración. (i) Si F- es acotado y no vacío, el lema 2.2.2 permite concluir
que 7I' € i,nt.(flr). Si además, o satisface la condición de Slater, F será Isc en
z', o equivalentemente r e int(r"). En corsecuencia, r e i,nt(tr"), y por tanto
r € into (n*) .
RecÍprocamente, si r € 'into(rl*) y Fo fuese no acotado, obtendríamos una
contradicción eligiendo u € O* (F.) , u l0n, y construyendo Ia misma sucesión de
problemas {n, : (" - }", ")} considerada en la prueba del lema 2.2.2. En efecto,
{n''} c [o"\ilo¡, mientras que limrzr, :7r, en contradicción con la hipótesis.
Finalmente, si zr €'int,o(tl*) C i,nt,(T1,.) - flo O,int(tr") , constiutyendo la
última igualdad el contenido de [13, Lem. 6.1], entonces o satisface Ia condition de
Slater (en virtud del teorema 1.2.1).
(ii) supongamos que 4" es usc en 7r. Probaremos en primer lugar que F* es
acotado. Si n:1, F* sereduceaunpunto. Sin > 2y F* fueseno acotado, podrÍa
elegirse r' € bd (F-) n bd(rB), para r suficientemente grande (pongamos r ) rs).
Consecuentemente podríamos elegir y, É F* tal que lly, - "'ll : l.
Consideremos ahora la sucesión de problemffi {r, : (c, o,)} C flo, donde
or t: {o!r, > bt + 4(A, - *,) , t eT} ,
Puesto que {a¿ , t e T} está acotado, lim,>,' Tr : 7t. Ademrís, A, e F,; probare-
76
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2.5. Estabilidad en el caso continuo
mos que, de hecho, a' e F; estableciendo que ctr ) c'y' es una consecuencia de or.
En efecto, ctn ) ?r es una consecuencia de a y, por tanto, pueden encontrarse sendas
sucesiones {)o} c Rtt) v {po} a lR.-, tales que, en virtud del lema de Farkas, se
tiene que
Io cual nos permite escribir
de donde se concluye que, ciertamente, ctn ) cty' es una consecuencia de o".
Las definiciones de r' e y' nos permiten afirmar que {y"} no tiene puntos de
aglomeración, Iuego W :: IR' \ {g/' | " Z "o}
es un conjunto abierto que contiene
d F*, mientras que .Fli $ W, para r > ro. Se contradice así la semicontinuidad
superior de Fj, en r.
La semicontinuidad superior de f!" en 7r, junto con el hecho de que F* es
cerrado, implica que .fi, es cerrada en zf, y reproduciendo el mismo argumento de
la prueba de la condición (i) del teorema 2.3.1, se deduce Ia condición (iib).
La prueba del enunciado recíproco es directa. Si ambas condiciones, (ii-a) y
(ii-b), se satisfacen, el teorema 2.3.1(ii) permite concluir que .F* es usc en 7T-y, por
tanto, f[ Io será. I
77
(, : r"'" h ̂ '9,).'"(1) )'
(";.): hme {E
^t(, * "i?;.- "')) .',(1,)} ,
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Capítulo 3
Estrategias de resolución y buen
condicionamiento
3.1 Introducción
En este capítulo introducimos el concepto de estrategi,a de resolución para un prG.
blema resoluble ?r, en IR', con el fin de establecer un marco general que ofrezca un
tratamiento unificado de diferentes nociones de buen condicionamiento d.el proble.
ma existentes en la literatura (véanse, por ejemplo, [8] V [gt]).EI buen condicionamiento en el sentido de Hadamard del problema z- (defini-
ción 2.2.5) puede interpretarse en términos de que todas las soluciones óptimas
del problema puedan encontrarse a través de la siguiente estrategia: resolver apro-
ximadamente una sucesión de problemas acotados cada vez m¿ís próximos d r¡ y
hallar los posibles lfmites de las sucesiones de puntos construidas de este modo.
Obviamente, estos límites no tienen por qué existir siempre, por lo que centraremos
nuestra atención en aquellas subsucesiones convergentes extrafdas de una sucesión
original. Nótese que este planteamiento no exige la existencia de una única solu-
ción óptima del problema. No obstante, diferentes autores consideran que el buen
condicionamiento de un problema debe exigir la unicidad de solución óptima, la
cual deberÍa poderse aproximar por soluciones óptimas de problemas cada vez miís
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3.1. Introducción
próximos al original. Esta idea sugiere en sÍ una nueva estrategia, en algún sentido
más restrictiva que la anterior, pil& resolver el problema z-.
Extrayendo la idea subyacente en ambas nociones, puede motivarse la definición
de estrategia de resolución que proponemos en la sección 3.2, en la que básicamente
intervienen sucesiones de problemas corsistentes, convergentes hacia rr, y diferen-
tes sucesiones de puntos factibles asociadas a cada posible sucesión de problemas.
En este sentido, resulta esencial el hecho de que, tanto ]R" como nuestro espacio
paramétrico fI, satisfacen el primer axioma de numerabilidad.
En este capítulo centraremos nuestra atención en el estudio de las propiedades
de dos estrategias de resolución particulares, inspiradas, respectivamente, en las
ideas de resolver aproximadamente problemas (acotados) y resolver exactamente
problemas (resolubles) próximos a ?r. En concreto, introduciremos tres propieda-
des deseables para una estrategia general, y nos propondremos caracterizar dichas
propiedades para las estrategias concretas antes mencionadas. La formulación de
estas propiedades deseables está inspirada, por un lado, en las propiedades que ya
verifica un problema bien puesto en el sentido de Hadamard (véase, por ejemplo, el
corolario 2.2.7) y, por otro lado, en cierto paralelismo existente entre una estrategia
de resolución y un algoritmol de resolución para un problema de optimización.
La verificación de ciertas propiedades por parte de una estrategia de resolución
para un problema resoluble n'puede entenderse como una propiedad de buen con-
dicionamiento del problema. En este sentido, en el capÍtulo se introducen nuevas
nociones de buen condicionamiento, y se dará una caracterización de ellas en tér-
minos de las propiedades de estabilidad del problema analizadas en los capÍtulos
anteriores. Los principales resultados de este capítulo vienen resumidos en la tabla
2, al final del mismo.
rUna estrategia se diferencia¡á de un algoritmo en que cada punto d.e una sucesión generad.ano se obtiene necesariamente a partir de los anteriores. Entre las propiedades de los algoritmosque motiva.rán propiedades de las estrategias destacamos la propiedad, d,e Ia conuergenc,ia global(véanse [1] y otros textos de Programación No Lineal).
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3.2. Estrategias de resolución
3.2 Estrategias de resolución
De cara a formalizar el concepto de estrategia de resolución para un problema dado,
zr € fI", introduciremos la siguiente notación2: siendo I un subconjunto no vacío
de fI" tal que ¡r € cl (l) , denotemos por Ar aI conjunto de todas las sucesiones
{n,} c I convergentes hacia zr.
Definición 3.2.L (Jna estrategia de resolución para 7f basada enl seró, una apli,-
caci,ón punto a conjunto
S: ,4, r j (R")*
sati,sfaci,endo las s,igui,entes prop,i,edades:
(S1) Si {*'} e S ({r,}) , entonces n, € F,, para tod,o r € N;
(S2) S¿ {r'} e S({",.}) y {r,o} es una subsucesi,ón de {r,}, entonces {r'o} e
s ({"*}) .
En este capítulo consideraremos dos estrategias de resolución particulares para el
problema z', basadas en fI6 y fI", respectivamente, en cuyas definiciones escribiremos
Au y A" en lugar de .4¡u y An".
Definición 3.2.2 Llamaremos .Sb a la si,gui,ente estrateg,ia d,e resoluci,ón pa,r¡, 7l
basada en116:
Su: At = (R")N,
dada por
Su ({r,}) : {{"'} c IR" | {"'} es unl, a.m.s. p0,r0, jt asoci,ad,a o {n,}} ,
para cada {n,} e "4o.
2A lo Iargo de todo el capltulo consideraremos que r es un problema fijo. En rigor, loselementos que intervienen en la defi¡ición de una estrategia de resolución pa¡a zr depend.en deéste. Por simplicidad, obviaremos esta dependencia en la notación.
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3.2. Estrategias de resolución
Definición 3.2.3
basada enfI":
Llamaremos S" a la si,gui,ente estrategi,a d,e resolución para 7l
S " ' . 4 "= (R ' )N ,
dada por
S" ({" , ' } ) : { { r ' } C lR' | * ' e Fi , , : L,2, . . . } ,
para cada pr,) e A".
Como indicábamos en la introducción, interpretaremos el buen condicionamien-
to del problema n' en términos del buen comportamiento de las dos estrategias
anteriores. Para una estrategia general, definiremos las siguientes propiedades:
Definición 3.2.4 Sea S una estrategi,a de resoluci,ón para ir basad,a en I C II".
Diremos que S es admisible si,, para toda sucesi,ón {n,} € Ar, se tiene que tod,opunto de aglomeración de cualqui,er sucesi,ón {r.} e s({r,.}) per-tenece a F*.
Definición 3.2.5 s se di,ce eficiente s,i, para toda sucesi,ón {n,} € Ar, cualqui,er
sucesi,ón {"'} e s ({",.}) ti,ene, al menos, un punto d,e aglomeraci,ón en F*.
Definición 3.2,6 s se dice completa si,, para tod,o n* e F* a para tod,a {n,} e Ar,eri,ste una suces'ión {r') e s ({n',}) que ti,ene a, r* como punto d,e aglomeraci,ón.
Como consecuencia directa de las definiciones, se obtiene el siguiente resultado.
Proposición 3.2.7 Toda estrategi,a de resoluci,ón efi,ci,ente es ad,m,isi,ble.
Demostración. Sea S una estrategia de resolución para 7f basada en I C fI".
Supongamos que,S es eficiente. Elijamos arbitrariamente {"r,"} e Ar,ysupongamosque :¿ es un punto de aglomeración de cierta {r'} e s ({r,"}); esto es, T :limnr,k
para alguna subsucesión {r'o } de {z'} . En virtud de la condición (S2) de la defi-nición 3.2.1 se tiene que {"'o} € s ({a',.}) y, puesto que s es eficiente, concluÍmosque Z € F* , ya que ¿ es el rinico punto de aglomeración de {zrn} . I
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3.3. Admisibilidad v eficiencia
3.3 Admisibilidad y eficiencia
El primer teorema de esta sección caracteriza la admisibilidad de las estrategias
de resolución S¿ y S" definidas en la sección anterior, obteniéndose que ambas
propiedades son equivalentes3.
Teorema 3.3.1 Sea ¡r € fI, un problema dado. Consi,deremos las estrateg,ias d,e
resoluci,ón, pl,rar, Su U Sr. Las sigui,entes condi,ci,ones son equ,iualentes:
(i) Sb es admi,si,ble;
(ii) S, es admi,si,ble;
(iii) f. es cerrada en ¡r.
Demostración. Probaremos en primer lugar que (i) + (ii). sea {z-"} € A,,
y consideremos una sucesión {"'} e s"({",}). puesto que 14, C Au y, de forma
obvia, {*'} e so ({",}) , se concluye a partir de (i) que todo punto de aglomeración
de {r'} pertenece a F*. La implicación (ii) =} (iii) es una consecuencia inmediata
de las definiciones.
Finalmente, probaremos (iii) =+ (i). Sean {z-,} e Aa V {"'} e 56 ({27,}). Si Z
es un punto de aglomeración de {c'}, podemos asumir sin pérdida de generalidad,
en virtud de la condición (S2) de la definición 8.2.I, que z : lim, r, . A la vista
de Ia condición (i) del teorema 2.3.L, distinguiremos dos casos. Supongamos en
primer lugar que F - F* , entonces, puesto que .F es cerrada en zr, tendremos que
r e F : F*, de donde se obtiene (i). Supongamos ahora que -F es lsc en zc. puesto
que {z'} es una a.m.s. para r asociada a {n,} , se verifica que
Cn : lim, (c')' r' :lirnrur.
Aplicando entonces el teorema 2.2.8 (i), ha de ser c'Í 1u, y por tanto r € F*. l
3En cierto sentido podemos consid.era¡ que S" es un 'caso particular' de la estrategia 516, porlo que, a primera vista, la admisibilidad de S¿ será una condición m¿ís fuerte que la adáisibilidaade .S".
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3.3. Admisibilidad v eficiencia
En el siguiente teorema se caracterizala eficiencia de las estrategias Sa y Sr,
obteniéndose de nuevo que ambas propiedades son equivalentes.
T'leorema 3.3.2 Cons'ideremos las estrategi,as de resoluci,ón, para zr € flr, so g s".
Las si,gu,ientes afirmaciones son equ,i,ualentes:
(i) Su es eficiente;
(ii) S" es efici,ente;
(iii) .F- es cerrad,a en r y F* es acotado;
(iv) d6 es conti,nua enlT y F* es acotado.
Demostración. La implicación (i) + (ii) se obtiene inmediatamente siguiendo
el mismo argumento de (i) =+ (ii) en el teorema anterior. El teorema 3.3.1, junto con
la proposición3.2.7, también garantiza que .F* es cerrada en ?r cuando se verifica
la hipótesis (ii). Si F* fuese no acotado, entonces podrfamos considerar la sucesión
constante dada por irr : T¡ para cada r € N, y una sucesión {"'} c F* tal que
lim, llr'll : *oo. Obviamente {n,) € A, V {r,} e S" ({","}) ; sin embargo {r'} no
tiene puntos de aglomeración, lo que contradice (ii). Hemos establecido así que (ii)
+ (iii).
Seguidamente probaremos (iii) + (iv). Si {n,} C fI6 converge a 7r, eIlema2.2.2
establece la existencia de un re tal que rr es resoluble si r ) 16. Para cada r ) rs,
elijamos trrLr' e F;. se tiene asÍ que u,: (c)'r'parar ) ro, y vamos a probar
que lim.u, :2.
En primer lugar comprobaremos que {r'},r_ro está acotad.a, lo que conllevará la
acotación de {u.},^="0. Du hecho, aplicando el teorema 2.3.1(ii), .F* resulta usc en
zf; por lo tanto, si IrZ es cualquier entorno acotado de F*, podemos suponer eue rs
ha sido elegido de tal forma que r' e W para todo r ) rs.
Ahora probaremos que, si {u,o} ?, > "o)
es cualquier subsucesión convergen-
te de {u,.}, entonces ha de ser Lim¡u,o : ,u. De aquÍ se deducirá que lirn,t,, :
liminf''u' :limsuprur:'u. supongamos, pues, que {t'ro} converge a D. podemos
escribir l)rk : (dh)t nrk. La sucesión {r*} está acotada, y podemos asumir sin pér-
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3.3. Admisibilidad y efrciencia
dida de generalidad que lim¿r'r" : z (para algún r € IR"). puesto que f* es cerrada
en n, ha de ser E e F* , y se tiene
a :lim*ur,, : l im¡ (crn)tsrn : c,T:,u.
Finalmente, varnos a establecer la implicación (iv) =+ (i). Sea {n,^} e Ao,y elijamos {r'} e so ({",}) . En una primera etapa, vamos a probar que {r'}está acotada. En otro caso, existirÍa una subsucesión {xrx} de {r'} verificandoque lim¿ll¿'oll : *oo. La sucesión {ll"*ll-t"'o} (aefinioa a partir de cierto ks)contendrá una subsucesión, que denotaremos de la misma forma para no complicarla notación, convergente hacia cierto a e bd(B). puesto eue {rrr} es una a.m.s.para T asociada a {nro}, se tiene que
o : lim¿¡¡o llr'*ll-t {(",o)' n,k - u,o} : ",a,
habida cuenta de que \im¡>¡"urn: u. Además, para cada ú € Z, se tiene
alra : lim¡ { (air), (1¡r,* ll-t "*)} > tim¡ ll",*ll-t blu : 0,
ya que rím¡,bik : á¿. Así pues, y € o+(F.)\ {0,}, lo que contradice la acotación deF*.
Una vez establecido que {z'} está acotada, dicha sucesión tendrá, al menos,un punto de aglomeración, r, que puede escribirse como r : limnrrk, para algunasubsucesión {rr*} de {r'}, y satisface
c'T: lim¡ (c'*)/ n'h : lim¿oro :2.
Así pues, Í € F*. a
Como indicábamos en la introd.ucción de este capÍtulo, Ias propiedades de lasestrategias de resolución, para el problema r, sa y ,s" pueden ser vistas como pro_
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3.4. Completitud 85
piedades del problema T en sÍ. De caÍa a enf.atizar este enfoque, introducimos lasiguiente definicióna.
Definición 3.3.3 El problema ¡r €. fI" se dice efrciente-mente bien puesto en el sen-tido de Hadamard (e-Hwp, para abreui,ar) si ueri.fica cualqui,era d,e las cond,icionesequ'iualentes del teorema 3.3.2.
Terminaremos esta sección con un corolario inmediato de los resultados presen-
tados en la misma.
corolario 3,3.4 sea ¡r € fr" un problema d,ad,o. si, F* es acotad,o, entonces lassi,gu,ientes cond,ici,ones son equiualentes:
(i) Su es admi,sible;
(ii) S" es admi,sible;
(iii) .Só es efici,ente;
(i") S" es efi,ci,ente.
3.4 Completitud
Esta sección está dedicada a caracterizar la completitud de las estrategias de re-
solución, para un problema resoluble iT, Say 5", en conexión con dos nociones debuen condicionamiento de dicho problema. Comenzaremos con el estudio de S¿.
3.4.1, Completitud de Sa
El siguiente teorema muestra que la completitud de 5a es equivalente a una pro-
piedad aparentemente miís restrictiva del problema 7r, como es el buen condiciona-
miento en el sentido de Hadamard de dicho problema.
aEsta definición está en la línea del buen condicionamiento seguida por Todorov (véase [31]),cuando se relaja Ia exigencia de la unicidad de solución óptima del problema.
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3.4. Completitud 86
Teorema 3.4.L Sea r 6 ff", g mnsideremos Ia estrategia d,e resoluc,i,ón Su para,r.
Entonces, 36 en completa s,i g sólo s'i r es Hwp.
Demostración. El 'sólo si' es una consecuencia inmediata de las definiciones.Suponiendo ahora que Sb es completa, vamos a probar que 7T- es Hwp; lo cual esequivalente a probar que t96 es continua en r y eue, bien F es lsc en 7r, o bien F sereduce a un punto (véase el teorema 2.2.6). Supongamos, por reducción al absurdo,que t96 no es continua en zr; entonces ha de existir una sucesi ón furrj € ,46 tal que
{u.} no converge a u. En consecuencia, existen una subsucesión {uro} , de {u"}, yun 6 > 0 tales que l,.,'n - t'l 2 6, paratodo k : !,2,.... sea r* e F* un punto dado.Por hipótesis, existirá una sucesión {nrn} e su ({"*}) que tiene a tr* como punro
de aglomeración. Así pues, para alguna subsucesión {r,x"} de {r.o1 , se tendrá quer* :Ijmrfiro", y pOr tantO,
limr?ro" : lim" (c'o"¡' r'h" : ctfr* : u,
lo que contradice la elección de {tr,o}.
Supongamos ahora que f no es lsc errr)y veamos que entonces .F'se reduce a unpunto. Veremos en primer lugar que Fn está acotado. En caso contrario, podrÍamos
reproducir el argumento de Ia prueba del teorema 2.2.6(iii), encontrando entonces
nna sucesión, {z'r}, de problemas resolubles, convergente r.T,v de tal forma que
ur : 'u - 1 para todo r; con lo que se entra en contradicción con la continuidad deÚ6 en ?r' que ya ha sido establecida. Supongamos ahora que F contiene más de unpunto, y consideremos cualquier r* € J¡*. Elijamos un y € F\ {"-} l seau. i: u-Í*,y consideremos el conjunto abierto w :: {z e IR" I u,, < u,y} , que obviamente es
un entorno de r*. Siguiendo entonces el mismo argumento utílizado en parte de laprueba de la condición (ii) del teorema2.2.6, encontramos una sucesión {n,} e Aude forma que .F' flw : a, para todo r € N. En consecuencia, fr* no puede ser unpunto de aglomeración de ninguna sucesión {r'} e S¡ {zr,} . f
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3.4. Completitud
3.4.2 Completitud de S"
Los siguientes dos resultados están dedicados a establecer que, bajo la existencia
de al menos n restricciones, esto es, l?l ) n, ra completitud de la estrategia de
resolución E" implica la unicidad de solución óptima del problema.
Lema 3.4.2 Sea r € fI, g supóngase que lTl 2 n. Si, Ia estrateg,ia d,e resoluc,ión,p0,r0, T, S" es completa, entonces F* (o equiualentemente F) ti,ene al menos unpunto ertremo.
Demostración. supongamos, por reducción al absurdo, que l?l ) n, s" escompleta y F* no tiene ningún punto extremo, siendo esto último equivalente a queF* contenga, al menos, un recta. Sean r* e F* y u € bd (B) tales que r* + Au € F*,para todo ) e lR.. Dado que Cr ) tr es una corlsecuencia de o, podemos aplicar elIema de Farkas para concluir que existen sendas sucesiones {r'} c Rf) v {p,} cIR* verificando
87
(¡:"*{I ̂ tft).,.(:i) }
tt* {t
Ai @ir. - b,) + ,,} ,
llrL-ru(fi)ll_.i
(3.4.1)
Multiplicando escalarmente ambos miembros de (3.4.1) por (1r) se obtiene que
0 :c ' r *_ n :
de donde se deduce que lim,¡.1, : 0 (ya que alrr* -bt ) 0, para tod.o t € T).Podemos, por lo tanto, eliminar el último término de (3. .1).
sin pérdida de generalidad, podemos suponer que, para todo r € N, se tiene
El los próximos párrafos consideraremos un r fijo.
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Completitud B8
Notemos ahora que, como consecuencia de la existencia de rectas en F*, ha de
ser d,i,mspan {a¿ : t € T} < n, luego
-. ( /a,\ Idi ,mspant( ; ; / : ter j<n
En virtud del reorema de carathéodory puede suponerse que lsupp )'l < n (dondesupp )' denota al soporte de )', esto es,'supp )' : {ú € r | ^í # 0D.Elijamos níndices diferentes ti,tL,..., úl tales que supp X c {ti,tl,...,tL} , y definamos
?,:iÁho,:.i=L
si es necesario, podemos redefinir {r;, } , añadiendo a cada uno de eilosL "
J i :1 ,2, . . . ,n '
una cantidad positiva suficientemente pequeña, de forma que se tenga
En particular, será ll. - ell* . i.En lo que sigue pretendemos modificar 'ligeramente' los vectores de coeficientes
y términos independientes de las n desigualdades asociadas a los índicest\,...,t1con el fin de que los n hiperplanos, resultantes de considerar el nuevo sistemade igualdades asociado, se corten en exactamente un punto. Alcanzaremos esteobjetivo en varias etapas.
En primer lugar veamos cómo modificar los vectores de coeflcientes del primermiembro de las desigualdades. Sea k, un número positivo elegido de tal maneraque k , ) r ,u 'x * *k r ) 0y p i ( | , para todo i :L ,2 , . . . ,n , donde
[ ^r, , o, , i : r ,2,. . . ,n,
lllr;l É^+(r;)ll_.;
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3.4. Completitud B9
De esta forma, definiendo g, :: r* ¡ kru,, se tendrá que
(o r : - t4 " ) ' A ' : bq , i : 1 ,2 , . . . ,n .
Denotamos ahora por wl al vector aq - pTu, para i, : !,2,..., n. Así pues,
l l r ; - o,i l l- : lpTll lr l l- . l , o : r,2,...,n.
Podemos alterar ligeramente el sistema de vectores {,lri, ...,w;} paxa conseguir un
nuevo sistema linealmente independiente {ai,,
...,aT;} u" concreto, definimos:
(
, | ,u.,f , si uT * 0,,
a;, :: <t .I i ( t ,0 , . . . ,0) ' , s i lu f : Q, , ,
( - , I - ')
oT;*': I t'.'' si tui*' ( sPan loTi' "''"T4| '
[ 'l*, + &ui*r, si tuf*, e span {oTr,...,"T;} ,
donde u!*, es cualquier vector perteneciente a {oTr,...,ofr!t nbd(B), para j :
7,2,...,n - t. Ademrís, como puede observarse,
ll"a - *r ll_ .?, o : r,2,...,n.
El siguiente paso consiste en modificar ligeramente el conjunto {brT,...,b¿;} conel fin de obtener un nuevo conjunto
{UTr,...,uTr}, de forma q* (rll)'u, : bt,i : L,2, . . . , tu.Para el lo def in imos
6: ,: @i)' u' * ("T, - ,i) a' : bti * ("T, - ,i)' a,.
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3.4. Completitud 90
Nótese que, bien oT[ : uf (en cuyo caso bTT : br), o bien
("t - *í)' y, : (#"i)' {,. * k,u) : #
(uT), *. + f {ui), u.
En este segundo caso, se tiene
l';'-a"l s W.+Finalmente, defi.nimos af :: at V bi :: b¿ si ú €
"\ {t\,...,t;} . De este modo
obtenemos un sistema c, t: {(ol)' n > bT , t e T} verificando que
süp¿cr ll l:i) - 0'\ll . ** f 2 .11""il * 1I' '=' l l\ai/ \ó,/ l l-
\ 'rG I r' 1r"¡
' h J
'
Ahora hemos de introducir el vector de coeficientes, c', d.e la función objetivodel nuevo problema, ?r- que estamos construyendo. Definimos
", ,: f ^T:"ir.i.=l
Recuérdesu orr" l,' - )^ Lziti,...,ai" j es una base de IR' y que ̂ h , 0 para todo,i :
7,2,...,n. Obsérvese, además, que
ll" - "'ll- s ll" - áll-+lla - ""ll* < ?.P-^r, ll*, -';,11"" =
AsÍ pues, si conseguimos establecer que la sucesión {É 41 está acotada, definiendo eI problem d,7t, t: (c,,o,) para cada r € N, $;l"o#t lim, zr, : ,,..
Por hipÓtesis, d es complet ay F* es no acotado. Probaremos que, en estas con-diciones, f ha de ser lsc en n-. En caso contrario, siguiendo el argumento utilizadoen la prueba del teorema 2.2.6(iii), encontrarÍamos una sucesión {1,} el," tal queúr : u - 1 para r :7,2,...; en consecuencia, r* no podría ser un punto de aglome-
?('.r^o)
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3.4. Comfletitud
ración de ninguna sucesión {T} e s" ({n,"}) (pues, de lo contrario, denotando por
{f"} ulasubsucesiónen cuestión, setendríaqueu-l: l im, (d"), Tu : Cr" : u\.
Arcanzaríamos asÍ una contradicción con la completitud de s".
Una vez establecida Ia semicontinuidad inferior de .F en tr, el teorema 1.2.1gararúiza la existencia de un ss-elemento, r, de o; esto es, existe un escalar p > 0tal que al$ - bt ) p, para todo t e T. Dado que
91
se tlene n r¿
c, r -u : l im.) - .u . ( (or r ¡ ' - -br t ) )phmsup, f ) ; ,=
" i \ \ - . , . i . /
i : l
En consecuencia,
é ' . -c 'n -ul rmsup r ) . ¡ ; , ( - - ,
,ap
de donde se deduce qu" {ÉU} esrá acotada.
Resumimos lo que r",\L="t #fftrru momento. Hemos construido una sucesión
{o,} c rI tal que lim, Tr : rr.Por construcción, se tiene qrrc g, e F,^ para todor € N. Por otro lado,
ya que bT, : (oT,''"¿ \ ,o) A', ' i : L,2,'. ' ,,fr.AsÍ pues, en virtud del lema de Farkas,
({)' * ) (.')'gr' es una consecuencia de o,. por lo tanto, a, e Fi para todo r e N.De hecho, Fi : {y'} para todo r € N, puesto que, considerando el sistema
y el problema ordinario de Programación Lineal T, : (c,,a,) , tenemos que y' es
el único punto que satisface las condiciones de Karush-Kuhn-Ttrcker para dicho
(r: "*É ̂T,(f;),
i^t(U):Qó1 ),
6, : : { ("+) '
r > f r : i : 1,r , . . . ,n}
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Completitud
problemas. Por Io tanto, F; : {y'} , 1o cual implica, habida cuenta de que A' € F,,
que ¡I : {A'}, ptr& todo r e N.
Ahora podemos frnalizar la prueba del lema. Es obvio que lim, llg/'ll : +oo.
En consecuencia, {g'} ro tiene puntos de aglomeración, Iuego, en particular, tr*
no es un punto de aglomeración de {y'}. Puesto que {y'} es el único elemento de
S" ({n-,}), alcanzamos una contradicción con Ia completitud de S". I
Teorema 3.4.3 Consi,dérese la estrategi,a de resoluci,ón S, para un problema dado
n € flr. Si,lTl>. n y 5, es completa, entonces F* se reduce a un punto.
Demostración. Razonaremos por reducción al absurdo. Supongamos que,
siendo lrl > n y .9" completa, F* contiene al menos dos puntos, pongamos r*
e'g*. En virtud del lema anterior, podemos asumir que F* tiene, al menos, un
punto extremo, esto es, no contiene rectas. Este hecho implica que Ia dimensión de
span{a¿, t€T} esn .Sea,pues , {a t *a t r , . . . ,a . - l r unabase despan{ar , t€ " } . S i
definimos d :: D o,¿r, es obvio que el sistema homogéneoi : I
{ " ! rA20 ,ú€ f ;dgS0}
no tiene solución no trivial (si! 10,, fuese una solución, Iiegaríamos a la conclusión
dequeAe{ar , ¿€?}1 ) .
Consideremos ahora el sistema
f i 7 {alr } b¿, t €T; i l r < dA*} ,
supuesto que d'y* 1 d'n* (en caso contrario, reemplazaríamos A* por x* en6).
Al igual que en ocasiones anteriores, Ilamaremos i ': "
U {ú0} , (to I T), aI
conjunto de fndices deó,y F a Ia función conjunto factible asociada al espacio
sEste hecho ha motivado todos los detalles técnicos de la construcción del problemar,, afrnde conseguir que c' se exprese como combinación lineal, con coeficientes positivos, de a\, ... , aT;y que éstos últimos formen una base de IR'.
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3.4. Completitud
paramétrico de los sistemas 'ampliados'. Nótese que el conjunto F : F (ñ) es no
vacío (y* e F) V acotado, puesto que
O. ( " ) : {ae lR ' lo lg />0 , ú €T , d ;y<0} : {0 , } .
En consecuencia, F será usc en ñ, lo que conlleva la acotación del conjunto
factible, Fr, dul sistema
óy :: {a|r > b¿, t eT ; (d + eu)' n < (d+ eu), a.}
donde It, : f* - a* y ¿ > 0 se ha sido elegido suficientemente pequeño. De nuevo
F, es no vacío, pues y* le pertenece.
A continuación, corsideremos la sucesión de problemas {tr, :: (c + },u, o)} ,donde u :: d, * eu. Obviamente,limrn, : ,r y 1rr 6 resoluble, para todo r, como
consecuencia del hecho de que los conjuntos de nivel .L, (u + f,w,y.) son no vacÍos
(contienen a y*) y acotados (estrín contenidos "" 4).
Finalmente, consideremos el conjunto abierto w : {r €R" I wtn} tu,gr*}. Se
comprueba fácilmente que la condición úa* 1dlr*, implica que n* € W. Ademrís,
s i r€ FaW, se t iene
93
('. i')n ) c 'a* +!r 'a. : (c ' ) 'a*,r
y, por lo tanto, F; aw: 0. Así pues, u* no puede ser un punto de aglomeración
de ninguna sucesión {"'} e s" ({",.}) , lo que contradice la completitud de S,. r
Como indicábamos en Ia introducción del capítulo, algunos autores conside*
ran que cualquier noción de buen condicionamiento de un problema debe exigir
Ia existencia de solución única del mismo, la cual debe poder ser aproximada por
soluciones óptimas de problemas próximos. Seguidamente vamos a establecer Ia
equivalencia entre la completitud de la estrategia de resolución,S" para un proble-
ma 7r € fI", vista como una propiedad de estabilidad del problema en sí, y cierto
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3.4. Completitud
concepto de buen condicionamiento del problema en el sentido de Hadamard (a
primera vista miís restrictivo que la completitud de S"), que puede encontrarse,
por ejemplo, en [31], y que exige la unicidad de la solución óptima del problema.
Como un hecho destacable, recordamos que la unicidad de solución óptima para zr,
asumiendo Ia existencia de, al menos, n restricciones, no es un prerrequisito para
la completitud de la estrategia de resolución ,S", sino una consecuencia. Comenza-
remos con la siguiente definición.
Definición 3.4.4 EI problemar € fI, se dice fiiertemente bien puesto en el sentido
de Hadamard (abreuiado por s-Hwp6/ s,i F* se reduce a un punto (esto €s, F* :
{*.}) y, pl,ra toda {r,} € A" y toda sucesi,ón {r'} € S" ({",}), se uerif,ca que
Iímrn' : g*.
Teorema 3.4,5 Consi,dérese la estrategi,a de resoluci,ón 3, para un problema da-
do r € nr, U asúmase que lTl 2 n. Entonces, las si,gui,entes condi,ci,ones son
equi,ualentes:
(i) z- es s-Hwp;
(ii) S" es completa.
Demostración. La implicación (i) + (ii) es una consecuencia trivial de las
definiciones. Supongamos ahora que.S" es completa. Puesto que l"l > n, el teorema
3.4.3 garantiza la unicidad de solución óptima para 7r'. Pongamos F* : {r.}, y
fijemos cualquier {n,} e .4" y cualquier {r'} e 5" ({","}) . Probaremos que Í* :
lim,u' a través del siguiente razonamiento en dos pasos:
1" paso. La sucesión {r'} está acotada. En caso contra,rio, esta sucesión
tendrá una subsucesión, {*'ol¡, tal que lim¿ llr'&ll : +oo V {ll"*ll*t "'.} converge
a cierto z (no nulo) perteneciente a O+(F) (en efecto, dividiendo ambos miembros
de alrr'x ) b¿ por llr'o ll , para todo t e T, y haciendo tender k bacia +oo, se obtiene
a|z > 0, para todo ú € ").
En virtud de nuestra hipótesis (ii), debe existir una
94
6Del ingés strongly Hadamard well-posed.
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3.4. Completitud
sucesión {A'rl¡ e 5, ({n,-}) qn. tiene a ¿* como punto de aglomeración. Podemos
asumir, sin pérdida de generalidad, que {g'*} converge a c*. Así,
c'z : l im¡, {(c'n)' ( l lr 'o l l-t r"*)} : l imr l lr '* l l-t (crk)t a'n
: l im¡ l lz 'u l l - t ( .*) 'a,u :0,
por lo que, de hecho, z e O+(F*), contradiciendo Ia acotación de F*.
2o paso. Toda subsucesión convergente de {z'} converge a tr* y, efi consecuen-
cia, la propia sucesión converge a r*. Si suponemos que cierta subsucesión, {r'*},
converge a r, podremos, al igual que en el paso anterior, encontrar una sucesión
{a'ol¡ e S" ({n,-}) , eue podemos suponer (sin pérdida de generalidad) convergente
& fr*, y por tanto
c'Í : lim¿ (c'o)' tr'u : Iim¿ (c'r¡l a'h : c'n*.
En consecuencia, u es un punto óptimo para r; esto es, Í : r* . I
El corolario siguiente reúne algunos enunciados equivalentes para un problema
T con solución óptima única.
Corolario 3.4.6 Sea n € lI" tal que F" : {r*}. Entonces las si,gui,entes condici,o-
nes son equi,ualentes:
(i) S" es eficiente (o admisi,ble);
(ii) S" es completa;
(iii) r' es s-Hwp
(i") S¿ es efi,c'iente (o admi,sí,ble);.
(") S, es completa;
(vi) z' es Hwp;
(vii) zr is e-Hwp.
Demostración. Es inmediato que, bajo Ia hipótesis F* : {".}, toda estrate-
gia de resolución, pil& z', eficiente es completa. Así pues, se obtiene a partir de los
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3.4. Completitud 96
resultados previos la equivalencia de las cuatro primeras condiciones. El corolario
2.2.7 stablece que, si z' es H*p, entonces el límite de cualquier a.m.s., para 7r, con-
vergente es un punto óptimo. En consecuencia, se tiene (vi) =+ (iv). Las restantes
implicaciones son consecuencias inmediatas de los resultados previos. I
A continuación, estudia¡emos la completitud de S" en el caso pendiente; esto
es , cuando l " l < n . Sea, pues , Tr : (c ,o ) -€ f l r , donde 6 : {a lu r }b¿, I< i<p} ,
con p ( n. Puesto que ctr ) u es una consecuencia de o, se tiene que paxa ciertos
): {),},s¿<p€ Rt v P € R+, (;) : Dl=r\n(fi) +¡r(lf (no es necesario tomar
límites, dado que el cono K es cerrado, por ser finitamente generado). Si ÍÍ € F*,
multiplicando escalarmente ambos miembros de la igualdad anterior por (1r), r.
deduce inmediatamente que p:0. Así pues,
(3.4.2)(;) :v^,(;;)Denotando por -FI al conjunto (posiblemente vacío)
H : : {z e IR ' I a '¿ r :b¿ , I 1 ¿ < p) ,
se tiene que.I/ C F*. De hecho, (3.4.2) muestra que todo punto de f/ es un punto de
Karush-Kuhn-T\rcker del problema (de Programación Lineal) a'. En los siguientes
resultados conservaremos Ia notación introducida en este prírrafo.
Lema 3.4.7 Sea r € fI" g supóngase que lfl < n. Si, H 9 F., entonces S" no es
com,pleta.
Demostración. Supongamot H , .F*. Existe, pues, un ,r* € -P* tal que
a!¿r* > b¿ para algún | < i I p. Supongamos, por comodidad, que olrr* > bo.
Multiplicando escalarmente ambos miembros de (3.a.2) por (1;), concluimos que
)p : 0. Tómese ahora cualquier vector no nulo u e {ay ..., oo}t; entonces ao+f,u (
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3.4. Completitud
span {a7, ..., ap-r}. Consideremos, para cada r € N, el sistema
Es obvio que a* € F,. Seguidamente definimos
/" ' \ /"\ !( **, i : ):Sr,(oo\*!( ""1i: ), r:r,2,...\a/
': \,/
* " \ao + lu,*.)
: *
'(a,/ *; (u" * |u,r*/(3.4.3)
La expresión (3.4.3) muestra que, para todo r € N, n," :: (d,a,) es un problema
acotado de programación Lineal (puesto que (c')' r ) ú, es consecuencia de o,),
IuegoT r, € fI". Se tiene ademiís que limrnr : T.Sea u" : ú(trr), p&r& r :
1,2, ...Deben existir, entonces, números no negativos 71, ..., "'li_t,^fi tales que
(3.4.4)
97
o, : {oi*
} b¿, ! < i < p - Lt ("+ l") n } bo*!u'r.} .
(;:) ,: f,;(;) . ',;(;':+f..), r:1,2,
Puesto que ap + i" I span {a1,..., ap-t}, (3.4.3) muestra que, para todo r € N,
c' e span{&r, ..., a,p-r 7 ap * l"¡\
span{a1, ..., ap-L} .
En consecuencia, se tiene que % > 0 (de hecho, li : i), p*u todo r € NI, y
entonces (3.4.4) implica que
( / 1 \ ' 1 )4 C {z€ lR" | {oo+ ) "1 " :bp - f }u ' * * l , pa ra r : I ,2 , . . .
t \ - r / ' r )
AsÍ pues, se concluye que r* no puede ser punto de aglomeración de ninguna suce.
sión {r'} e S" ({t'}); puesto que en caso contrario, tomando límites, se obtendrÍa
olor* : bo. I
7En Programación Lineal, un problema es acotad.o si y sólo si es resoluble.
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3.4. Completitud 98
Informalmente hablando, el siguiente teorema afirma que, cuando l"l < n, E"
es completa si y sólo si f'* es 'tan pequeño como sea posible'.
Teorema 3.4.8 Sea r € fI, g supóngase que lTl 1 n. Entonces S, es completa si,
y sóIo si, H : F* A {or,...,ap} es li,nealmente i,ndependi,ente.
Demostración. Empezaremos probando el'sólo si'. Si,S" es completa, el lema
anterior y los comentarios que lo preceden aseguran que f/ : F*. Supongamos,
por reducción al absurdo, que el conjunto de vectores {or,...,ap} es linealmente
dependiente. Entoncer, {{;i),
..., (ff) }
es también linealmente dependiente (ambos
sistemas de vectores tienen el mismo rango, al ser H no vacío). En virtud de la
expresión (3.4.2), se riene qe (;) € cone ({t;ll ,...,Gi)}) o. hecho, et teorema
de Carathéodorl nos permite asumir, sin pérdida de generalidad, que
(;) . *""({(;l), (;;;) }) 'en otras palabras, podemos suponer que )o : 0 en la expresión @.a.\. ElÍjanse dos
puntos diferentes t* e a* en F*, y pongamos LL :: a* - fr* .Obviament e u,'r* 1 u,y* .
Consideremos ahora, para cada r e N, el sistema
del cual gr* es una solución. Definimos
r : L 1 2 r . . .
(3.4.5)
Poniendo 7t, i: (C,or), se tiene que limrzrr: zc. Además, la expresión (3.4.b)
muestra que rr € flr, para todo r € N. De hecho, a* € Fl, y por tanto d" es el
óRecordemos que la versión para conos de este teorema afirma que toda combinación cónica deun sistema de vectores puede reexpresarse como combinación cónica de un subsistema linealmenteindependiente.
o, : {o i*
} b¿, L < i < p - Lt (" . i " ) r } bo * lu,r . } ,
(;:) ': 0. |Girii,.):f ^, (7,).i(ri*ii*),
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3.4. Completitud
valor óptimo de zrr. Si z" € f|, entonces debe verificar las siguientes condiciones
de optimalidad
99
(3.4.6)
Si fuese o'o*' > bo, de las dos primeras colecciones de condiciones de (3.4.6),
se concluiría que a' e F*\fl, obteniendo asÍ una contradicción. En corsecuencia,
olor' 1 óp¡ / entonces, la última condición de (3.a.6) nos conduce a u,'tr, ) u'a*.
Dado queu'n* 1u'a*, hemos establecido que z* no puede ser un punto de aglo-
meración de ninguna sucesión {"'} e S" ({","}) , contradiciendo la completitud de
s".Probaremos ahora la condición'si' del enunciado del teorema. Para ello supon-
gamos que {41, ...,ap} es linealmente independiente y que H : F*. Sea A la matriz
cuyos vectores fila son a\,...,of . Podemos suponer, por comodidad, que Ia matríz
.41, compuesta por las primeras p columnas de A, es no singular. Denotemos por
A2 a Ia matrix que consta de las últimas n - p columnas de A, e introduzcamos la
notación b :: (bt,. . . ,bo)' , rAt i : (rr, . . . , fro) ' y üAz t: (ro*r,. . . , frn),. Así pues, f i jado
cualquier r* € F* , se tiene
n\ , : A t ' (b - Azr2 , r ) . (3.4.7)
Tómese {n , : (c ' ,o , ) } e A , , donde o , : { (oT) ' *>bT, , i :L , . . . ,p } . S i r es su f i_
cientemente grande, podemos asumir que la correspondiente matriz AT es no sin-
gular. Obviamente, Ia sucesión {z'} dada por
r\" : : r\" , zr4, : : (Aí)-t (U, - , l ;r ir) , r : I ,2, . . . ,
pertenece a S" ({"rr}) , y se tiene que lim, r' : fr*. Por lo tanto, hemos establecido
la completitud de S". I
4r ' ) b¿, i : I ,2, . . . ,p- 1, I
) ,¿(a !ur ' -ó¿) :0 , i : I ,2 , . . . ,p - L , I
(oo+tu) ' , ' :bp* l " ' r . )
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3.4. Completitud
La tabla 2 reúne los principales resultados expuestos en este capítulo.
Tabla2:Buen cond.icionarniento d,e un problerna d,e pSIL.
100
?r € fls Su ^9"
Admisible .F* es cerrada en zr
Eficiente F* es cerrada en zi y F* es acotado (z' es e-Hwp)
Completa n'is Hwp
(si l"l ) n)7f es s-Hwp
(Si l7l < n)
F* : {r e IR" I alrr : br, t eT),
{at, t e 7} es lin. indep.
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Bibliografía
M. S. BAZARAA, H. D. SHERALI AND C. M. SHETTY, Nonli,near Pro-
grammi,ng: theory and algori,thms, John Wiley & Sons, New York, 1993.
B. BROSOWSKI, Parametric Semi,-Infini,te Opti,mi,zati,on, Verlag Peter Lang,
Flankfurt-Am-Main. 1982.
B. BROSOWSKI, Parametri,c semi,-infi,ni,te l,inear progra,nxn'Li,ng I. Continu,ity
of the feasi,ble set and of the opti,mal ualue, Math. Programming Study, 21
(1984), pp.78-42.
M. J. CANOVAS, M. A. I,ÓpEz, J. PARRA AND M. I. ToDoRoV, Stabi,-
Ii,ty and well-posed,ness i,n li,near semi,-i,nfinite programm'ing, aceptado para su
publicación en SIAM J. Optim.,1998.
M. J. CANOVAS, M. A. LÓPNZ, J. PARRA AND M. I. TODOROV, SOIU¡Ng
strategi,es and well-posedness in li,near semi,-i,nf,ni,te programmi,ng, Dpto. de Es-
tadística e Investigación Operativa. Working Paper. Universidad de Alicante,
1998.
M. J. CANOVAS, M. A. fÓpgZ AND J. PARRA , Upper semi,conti,nui,ty of
the feasi,ble set mappi,ng for li,near i,nequali,ty systems, Dpto. de EstadÍstica y
Matemática Aplicada. Working Paper. Universidad Miguel Hernández, 1998.
R. COURANT AND D. HILBEHI, Methods of Mathemati,cal Physics, Vol II,
New York: Interscience, 1962.
t1l
l4l
l2l
t3l
t6l
l7l
r P l
tDl
101
Estabilidad en Programacion Semi-infinita lineal. Juan Parra Lopez.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
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BIBLIOGRAFÍA
t8l A. L. DONTCHEV AND T. ZOLEZZI, WeII-Posed Opti,mi,zati,on Problems,
Springer-Verlag, Berlin, 1993.
t9] T. FISCHER, Contributi,ons to semi-i,nfini,te li,near opti,mi,zati,on, in Appro-
ximation and Optimization in Mathematical Physics, B. Brosowski and E.
Martensen, eds., Peter Lang, Flankfurt-Am-Main, 1983, pp. 1Zb-199.
[10] H. J. GREEBERG AND W. p. PIERSKALLA, Stabi.Ilty theory for i,nfini,tely
constrai,ned mathemat'ical programs, J. opt. Th. Appl., 16 (1925), pp. 409-42g.
[11] M. A. GOBERNA AND M. A. LÓPEZ, Topolog,i,cal stabi,li,ty of li,near sem,i-
i,nf,ni,te i,nequali,ty sgstems, J. Opt. Th. Appl., 89 (1996), pp.22T-226.
[12] M. A. GOBERNA AND M. A. l,ópp,z, Li,near semi,-Infinite opti,mi,zation,
John Wiley & Sons, Baffirs Lane (UK), 1998.
[13] M.A. GOBERNA, M. A.LóPEZ AND M. I. TODOROV, Stabi,ti.ty theory forIinear i,nequali,ty sgstems, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 17 (1996), pp. 730-743.
[14] M. A. GOBERNA, M. A. LóPFJZ, AND M. I. TODOROV, Stabiti,ts theory forli'near i'nequali,ty sgstems II: upper sem'iconti,nui,tg of the soluti,on set mapping,
SIAM J. Optim., 7 (7997), pp. 113&1151.
[15] A. HAAR, (Jber l'inear unglei,chungen, ActaMath. szeged, 2 (rg24),pp. 1-14.
[16] J. HADAMARD, ,9ur les problémes aur d,eriuées parii,elles et leur si,gni,ficati,on
physi,ques, Bull. Univ. Princeton, 13 (1902) , pp. 4g-52.
[17] J. HADAMARD, .Le Probléme de Cauchy et les Equations aun Deriuées Par-
ti,elles Li.néa,i,res Hyperboli,ques, Paris: Hermann, 1982.
[18] J. HADAMARD, Lectures on Cauchy's Problem i,n Li,near Parti,al Di,fferenti,al
Equati,ons, New York: Dover, 19b3.
[19] S. HELBIG, Stabi,li,ty i,n d,i,sjunctiue linear optimi,zation I: conti,nui,ty of the
feasi,ble seü, Optimization, 21 (1990), pp. 8bb-86g.
L02
Estabilidad en Programacion Semi-infinita lineal. Juan Parra Lopez.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
![Page 110: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la …rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/3802/1/Parra-Lopez-Juan.pdf · 2017. 6. 5. · convexo y cerrado del espacio](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022011921/602f77df07904c67bd0ff5da/html5/thumbnails/110.jpg)
[20]
BIBLIOGRAFÍA 103
l23l
R. HENRION AND D. KLATTE, Metric regulari,ty of the feasi,ble set mappi,ng
i,n semi,-i,nfi,ni,te opti,mi,zati,on, Appl. Math. & Opt., 30 (1994), pp. 103-109.
R. HETTICH AND K. O. KOFIIIANEK, Semi,-i,nfi,nite programmi,ng: Theory,
methods and appli,cati,ons, SIAM Review, 35 (1993), pp. 380-429.
M. A. JIMÉNEZ AND J. J. RÜCKMANN, On equi,ualent stabi,I,ity properties
in semi-infini,te opti,mi,zati,on, Z. fiir bperations Res., 41 (1995), pp. 175-190.
H. TH. JONGEN, F. TWILI AND G. W. WEBER, Semi,-i,nfini,te optimi,zat'ion:
stracture and stabi,Ii,ty of the feasi,ble set, J. Opt. Th. Appi., 72 (1992), pp. b29-
552.
H. TH. JONGEN, J. J. RÜCKMANN AND G. W. WEBER, One-parametri,c
semi-infini,te opt'i,mi,zati,on: on the stabili,ty of the feasi,ble seú, SIAM J. Optim.,
4 (1994), pp. 637-48.
D. KLATTE, Stable local mi,ni,mizers in semi,-i,nfini,te opti,mi,zati,on: regularity
and second-order condi,ti,ons, J. Comp. Appl. Math., 56 (1994), pp. 137-b7.
R. REEMTSEN AND J. J. RÜCKMANN, Semi,-Infi,nite Programm,ing, Kht-
wer, Dordrecht (NL), 1998.
S. M. ROBINSON, Stabi.Ii,ty theory for systems of i,nequali,ti,es. Part I: li,near
sgstems, SIAM J. Numer. AnaI., L2 (1975), pp.75L769.
R. T. ROCKAFELLAR, Conuer Analgsi.s, Princeton University Press, Prin-
ceton, NJ, 1970.
R. T. ROCKAFELLAR AND R. J.-B. WETS, Variati,onal Analysis, Springer-
Verlag, Berlín, 1998.
J. J. RÜCKMANN, Topologi,cat stabi,Ii,ty of feasible sets i,n semi,-,infi,ni,te opti,mi,-
zat'ian: a tutorial,Institut ftir Geometrie und Praktische Mathematik, Beritch
Nr. 123, RWTH Aachen, Aachen, Germany, 1995.
124l
[21]
l22l
l25l
1261
127)
[28]
[2e]
[30]
Estabilidad en Programacion Semi-infinita lineal. Juan Parra Lopez.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999
![Page 111: Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la …rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/3802/1/Parra-Lopez-Juan.pdf · 2017. 6. 5. · convexo y cerrado del espacio](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022011921/602f77df07904c67bd0ff5da/html5/thumbnails/111.jpg)
BIBLIOGRAFÍA 104
[31] M. I. TODOROY, Generic esi,stence and, uniqueness of the soluti,on set to
Iinear semi,-'infi,ni,te opti,mi,zation problerns, Numer. F\rnct. Anal. optim., g
(1985-86), pp.27-39.
[32] H. TIrY, Stabi,ti,ty property of a sgstem of i,nequaliti,es, Math. oper. Statist.
Series Opt., 8 (1977), pp.27-39.
[33] Y. J. ZHV, Generali,zati'ons of some fund,amental theorems on linear i,nequal,i-
ti,es, Acta Math. Sinica, 16 (1966), pp. 2b-40.
Estabilidad en Programacion Semi-infinita lineal. Juan Parra Lopez.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999