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EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA

Profesor Elier Garcia. Mecánica de Fluidos. Ing. Pesquera. Guía de estudio 1

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Solución al 3.8:

1. Enunciado:

Se desea determinar la diferencia de presión entre tanques A y B, es decir:

PA−PB=?

Se conocen algunos datos d1=300mm, d2=150mm, d3=460mm, d4=200mm y la densidad relativa del fluido manométrico mercurio DRM=13,6.

2. Esquema:

El esquema se tiene adjunto.

3. Suposiciones: Se supone que la presión del tanque B es la misma de la superficie B indicada por flecha ya que

se desprecia el peso del aire. Se supone que la densidad del agua es de 1000 kg/m3. Se supone que g=9,81m/ s2.

4. Leyes físicas:

La ecuación a emplear es la forma fundamental de la hidrostática, ecuación (1), aplicando el principio: “En fluido en reposo la altura piezométrica es constante”.

Pρg

+z=C(1)

Aplicando la ecuación (1) en la superficie D, siendo el plano referencial z=0 en D, la altura piezométrica CD es:

PDρH 2O g

+0=CD

CD=PDρH 2Og

(2)

Aplicando la ecuación (1) en A, siendo el plano referencial z=0 en D, la altura piezométrica es:


B

D

PAρH 2O g

+d1=CA

C A=PAρH 2O g

+d1(3)

Igualando (2) y (3), se tiene:

CD=PDρH 2Og

=PAρH 2Og

+d1=CA (4)

Multiplicando la ecuación (4) por ρH 2O g, se tiene:

PD=PA+ ρH 2O gd1

Expresando en forma de diferencia de presión, se tiene:

PA−PD=−ρH 2Ogd1(5)

En la superficie B se debe encontrar la distancia vertical entre el plano horizontal de esta superficie y el plano horizontal de la superficie D, para ello se aplica razón trigonométrica:

x=d 4sin 45=200mm (0,707 )=141,42mm

Entonces la distancia entre plano D y plano B es:

d3+x=460mm+141,42mm=601,42mm

Aplicando la ecuación (1) en la superficie D (ahora para el fluido mercurio), siendo el plano referencial z=0 en D, se tiene:

PDρM g

+0=C D(6)

Aplicando la ecuación (1) en la superficie B, siendo el plano referencia z=0 en D, se tiene:

PBρM g

+(d3+x )=CB(7)

Igualando (6) y (7), se tiene:

PDρM g

=PBρM g

+(d3+x )


d4x 45°

Despejando PD, se tiene:

PD=PB+ρM g(d3+x )

Colocando en forma de diferencia de presiones:

PD−PB=ρM g (d3+x )(8)

Sumando miembro a miembro (5) y (8), se tiene:



PA−PB=ρM g (d3+x )−ρH 2Og d1(9)

La ecuación (9) es la buscada.

5. Propiedades:ρM=ρH 2O· DRM=1000 kg/m3 ·13,6=13600kg/m3

6. Cálculos:

Sustituyendo las cantidades conocidas, distancias en m, en la ecuación (9), se tiene:

PA−PB=13600 kg/m3 ·9,81m /s2· (0,60142m)−1000 kg/m3 ·9,81m /s2 ·0,3m

PA−PB=80239,05Pa−2943Pa=77296Pa

7. Análisis de resultados: Esta diferencia de presión es manométrica, siendo también igual a la diferencia de presión absoluta

entre ambos tanques. El método de la altura piezométrica aquí usado resulta un poco extenso para fines de exámenes. Sin

embargo, el método de la altura piezométrica es ideal para comprender el método de Bernoulli estático.

Solución al 3.8 empleando la forma original de ecuación fundamental de hidrostática (método Bernoulli estático).

Los tres primeros pasos permanecen inalterables.

4. Leyes físicas:

La ecuación a emplear es la forma fundamental de la hidrostática entre dos planos del mismo fluido (Bernoulli estático), ecuación (10):

P2

ρg−P1

ρg+z2−z1=0 (10)

Aplicando la ecuación (10) entre las superficies A y D, siendo el plano referencial z=0 en D, se tiene:

PDρH 2O g

−PAρH 2O g

+0−d1=0(11)


Multiplicando la ecuación (11) por ρH 2O g, se tiene:

PD=PA+ ρH 2O gd1

Expresando en forma de diferencia de presión, se tiene:


La ecuación (11) es idéntica a la ecuación (5), lográndose en menor cantidad de pasos.

En la superficie B se debe encontrar la distancia vertical entre el plano horizontal de esta superficie y el plano horizontal de la superficie D, para ello se aplica razón trigonométrica:

x=d 4sin 45=200mm (0,707 )=141,42mm

Entonces la distancia entre plano D y plano B es:

d3+x=460mm+141,42mm=601,42mm

Aplicando la ecuación (10) entre las superficies D y B, siendo el plano referencial z=0 en D, se tiene:

PBρM g

−PDρM g

+0−(d3+x)=0(13)


PD=PB+ρM g(d3+x )

Colocando en forma de diferencia de presiones:

PD−PB=ρM g (d3+x )(14 )

La ecuación (14) es idéntica a la ecuación (8), lográndose en menor cantidad de pasos.

Sumando miembro a miembro (12) y (14), se tiene:



PA−PB=ρM g (d3+x )−ρH 2Og d1(15)

La ecuación (15) es la buscada, idéntica a la (9), lográndose en menor cantidad de pasos.


d4x 45°


6. Cálculos:

Sustituyendo las cantidades conocidas, distancias en m, en la ecuación (15), se tiene:

PA−PB=13600 kg/m3 ·9,81m /s2 · (0,60142m)−1000 kg/m3 ·9,81m /s2 ·0,3m

PA−PB=80239,05Pa−2943Pa=77296Pa

8. Análisis de resultados: Esta diferencia de presión es manométrica, siendo también igual a la diferencia de presión absoluta

entre ambos tanques. Se observa que con el método Bernoulli estático sólo se utilizó un único nivel de referencia. Se recomienda el uso de la ecuación de Bernoulli estático en todo problema, por ser más sencillo, al

seleccionarse un único nivel de referencia para todo el proceso de cálculo. Se recuerda que esta ecuación solo se aplica entre dos superficies que involucre el mismo fluido.

Solución al 3.13

1. Enunciado:

Se desea determinar la presión PA.

PA=?

Se conocen algunos datos mostrados en el esquema; la densidad relativa del aceite es DRAc=0,8.

2. Esquema:


Se colocan las letras que identifiquen cada superficie. Se selecciona un nivel de referencia Z=0 en la interfaz aire-aceite, superficie A como se observa.

3. Suposiciones: Se supone que la densidad del agua es de 1000 kg/m3. Se supone que la densidad relativa del mercurio es DRM=13,6. Se supone inicialmente que PA es relativa al igual que todas las presiones comprendidas. Se supone que g=9,81m/ s2.

4. Leyes físicas:

Como la variable involucrada es PA se aplica inicialmente la ecuación de Bernoulli estático entre las superficies A y B, siendo 1 (A) y 2 (B):


Z=0A

B

CD

PBρAc g

−PAρAc g

+(−3)−0=0

Despejando PA, se tiene:

PA=PB−3 ρAc g(16)

Como no conocemos PB, aplicamos Bernoulli estático entre B y C:

PCρH 2O g

−PBρH 2O g

+ (−3 )−(−4,6)=0

Despejando PB, se tiene:

PB=PC−1,6 ρH 2Og (17)

Como no conocemos PC, aplicamos Bernoulli estático entre C y D:

PDρM g

−PCρM g

+ (−4,3 )−(−4,6)=0

Donde zD=4,6m-0,3m=4,3m, siendo negativo por estar debajo del nivel referencia z=0.

Despejando PC, se tiene:

PC=PD+0,3 ρM g (18)

Observando el montaje adjunto se deduce que PD=0 porque es relativa; es decir la superficie D es libre (abierta) a la atmosfera y la presión relativa en esa zona es cero. Por lo tanto:

PC=0+0,3 ρM g

PC=0,3 ρM g (19)

5. Propiedades:ρM=ρH 2O

· DRM=1000 kg/m3 ·13,6=13600kg/m3

ρAc=ρH 2O· DR Ac=1000 kg/m3 ·0,8=800 kg /m3

6. Cálculos:

Sustituyendo las cantidades conocidas en la ecuación (20), se tiene:

PC=0,3m∙13600 kg /m3 ∙9,81m /s2=40024,8 PaSustituyendo el valor de PC en la ecuación (17) hallamos PB:

PB=40024,8 Pa−1,6m ∙1000 kg /m3 ∙9,81m/ s2=24328,8Pa

Sustituyendo el valor de PB en la ecuación (16) hallamos PA:

PA=24328,8Pa−3m∙ 800 kgm3 ∙ 9,81m

s2=784,8 Pa

7. Análisis de resultados:


Esta presión es manométrica. Si se le suma la presión atmosférica local resulta la presión absoluta. Se observa el único uso del nivel de referencia. Se observa que PA es menor a PB y ésta menor a PC y ésta mayor a PD. Esto indica que la presión es

distinta en un plano horizontal “en contacto” con fluidos distintos.

Solución al 3.16

1. Enunciado:

Se desea determinar la presión absoluta dentro del tanque Pa,abs en la posición a.

Pa ,|¿|=?¿

Se conocen algunos datos mostrados en el esquema; la densidad relativa del aceite es DRAc=0,8.

2. Esquema:


Se colocan las letras que identifiquen cada superficie de contacto y de presión. Cuidando de reconocer todas las distancias desde cada superficie de contacto y de presión hacia el nivel de referencia Z=0, se selecciona éste en la parte inferior del montaje, como se observa.

3. Suposiciones: Se supone que la densidad del agua es de 1000 kg/m3. Se supone que la densidad relativa del mercurio es DRM=13,6. Se supone inicialmente que Pa es relativa al igual que todas las presiones comprendidas. Al final

se le suma la Presión atmosférica para que resulte la presión absoluta. Se supone que g=9,81m/ s2. Se supondrá una presión ambiental local de 1 bar= 100000Pa.

4. Leyes físicas:

Como la variable involucrada es Pa se aplica inicialmente la ecuación de Bernoulli estático entre las superficies D y C, siendo 1 (D) y 2 (C):

PCρAc g

−PDρAc g

+(0,45m)−0,2m=0

Donde zC=150mm+300mm=450mm=+0,45m, y zD=300mm-100mm=200mm=+0,2m.


PD=PC+0,25 ρAc g

Pero PD=Pa

Pa=PC+0,25 ρAcg (20)


Z=0

A

BC

D

Como no conocemos PC, aplicamos Bernoulli estático entre B y C:

PBρM g

−PCρM g

+ (0,3m )−(0,45m)=0

Despejando PC, se tiene:

PC=PB−0,15 ρM g (21)

Como no conocemos PB, aplicamos Bernoulli estático entre B y A

PAρH 2O g

−PBρH 2O g

+ (0,6m )−(0,3)=0

Donde zA=+0,6m y zB=+0,3m

PB=PA+0,3 ρH 2Og

Observando el montaje adjunto se deduce que PA=0 porque es relativa; es decir la superficie A es libre (abierta) a la atmosfera y la presión relativa en esa zona es cero. Por lo tanto:

PB=0+0,3 ρH 2Og

PB=0,3 ρH2O g(22)

Sustituyendo la ecuacion (22) en la (21) y la que resulte se sustituye en la (20), se tiene:

Pa= (0,3 ρH2O g−0,15 ρM g )+0,25 ρAc g

Pa=0,3 ρH 2Og−0,15 ρM g+0,25 ρAcg (23)


ρAc=ρH 2O· DR Ac=1000 kg/m3 ·0,8=800 kg /m3

6. Cálculos:

Sustituyendo las cantidades conocidas en la ecuación (23), se tiene:

Pa=0,3m∙ 1000 kgm3 ∙ 9,81m

s2 −0,15∙ 13600 kgm3 ∙ 9,81m

s2 +0,25 ∙800kg /m3 ∙ 9,81ms2

=−15.107,4 Pa

La presión absoluta sería:

Pa ,|¿|=−15.107,4Pa+100000Pa=84892,6 Pa¿

7. Análisis de resultados: Esta presión absoluta es menor que la atmosférica, por lo tanto se trata de una presión de vacío. El signo negativo del valor de la presión relativa Pa indica que es presión de vacío. Se recomienda determinar una sola ecuación de trabajo como se hizo en este problema (ecuación

(23)).


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