"" "

c. " '" .. . .. ,

IN

FL. SMARANDACHE

. l;X ,---:. " , _ _M'SO"c' i . rh. " f"" , .. ..,.... . .

ANALIZA TEMATICA

--. -" ,(/. " .

TEORlE SI PROBLEME ,

PROEILEME de

MATEMATlCA $; FIZICA SERlE PCNTRU L,CELI

, .

JrDrTOR.l INIOMD

-

, - - '

METODE DE CALCLTL

ANALIZA MATEMATICA Teorle $i probleme

,.

Referellfi liinfifici:

Lect.dr. Paul Popescu Prof. Gheorghe Constantin

..---. -

" . .

METODE DE CALCUL IN

ANALIZA MATEMATICA Teone $i probleme

C. Dumitrescu Fl. Smarandache

Editura INFOMED

Craiova 1995

@ 1995 Editura INFOMED METODE DE cALCUL IN ANALIZA MA TEMA TICA. -c. Dmnitrescu , Fl. St;narandache Toate drepturile rezervate Editurii INFOMED.

ISBN: 973 - 96940 -0 - 4

Editura INFOMED Craiova CaleaBui bI. b4, sc. 1, ape 4. Tel. 0511 416759

Consilier editorial: Ing. Saul Paslre

Tebnoredactare computerizatl: Constantin Antoniu Dumitrescu

Hotto: Iub1rea est.e \-elul.perunca sacr-a f'1rii. MAna\-i de ea vult.uri1 se caut.a prin spa\-ii. Deifinele iau marea in piept. sa-i af'le mirii Chiar st.elele in ceruri se-:-njuga-n censt.ela\-ii.

(Vasile Voiculesc

CWANT INAINTE

Ne bucuram exprimAnd mul\-umirile noast.re f'a\-a de t.o\-i acei.cune-

scu\-i sau mai pu\-in cunoscu\-i.care de-a Iungul aniler ne-au ajut.at.

sa ajungem la aceast.a cart.e.Sunt. mul\-i.sunt. f'oart.e mul\-i cei care

ne-au ajut.at. ... Unii ne-au dat. sugest.ii.alii ne-au oferit. idei.

uneori ne-am st.raduit. impreunA sa descif'ram un amanunt. nelamurit..

alleori Inv\-am din Int.rebarile met.eugit.e sau poale chiar naive

ale inlerloculorilor not.rii:

Devenirea spre aceast.a cart.e esle un f'oart.e bun exemplu de allru-

1sm.de bunalat.e i daruire.de mars impreuna pe drumul desceperirii

frumuse\-ilor vie\-ii.

Cine gndele nu dear la mama sa i Ia lat.al sau.la sine i

Ia f'amilia sa.descepera e familie mull mai mare.descopera pretu-.

5

lindenl viat-a.pe care incepe sa 0 iubeasca lol mal mull in loale

formele e1 de manifest-are.

Malemalica ne ajula pe acesl drum.solicilndu-ne 1 1mbogatin-

du-ne nu dear capac it..a\-ile inLe1ecluale.gandirea.logica 1 a1gor1l-mii not..rii de decizie,dar in mulle Ieluri conlribu1e 1 1a Imbo-

ga.tirea noas':J-a suIlet"."c..sca He ajula sa. f'acem ordine i luminA aco-

1 0 urde 1 a 1 nceput_ s1 mteam ca. esle pos! bi 1 a doar 0 ev01 uti e empi-rica - in noi inine.

/ Penlru e1evi ;;1 pr-ofesori,penU-u cand1da\-li 1a concursul de ad-

milere in inva\-amantul superior,penlru toti cei inleresa\-l,oIerim aceast..A s uc ces i une de melode intilnit..e in sludiul analizei At..ema-lice de 1iceu.care sa Ie perrrla reducerea a cat.. wAl diverse pro-

bleme noi 1a cat.. mal mulle scheme de lucru deJ cunoscut..e. Am urmal'it.. prezenlarea Intr-o maniera met..odica,avant..aJoasa pen-

tru cit..ilor.a celor mai f r ecvente metode de calcul lnlalnile in

st.udiul.analize! malematice 1a acest. nivel.

Aslfel,ln aceaslA carte pulet-i gsi:

- met..ode pent..ru demcnstrarea ega1 i t.. 5J; .. i 1 or de mul \-i-nU

rr.elode per:t.ru demonstrarea biject.ivit.at.ii functiilor.

met.ode p?nt. r u st.udiul monolcniei $ir-urilor i f'unc\--iilor.

-- mtcde comune pen+_ru calculul limit.elor de lrurl i de

functli. met.ode specifice pent.ru calculul limit.elor de iruri.

metode pentru sludiul conf..inuit.a\--ii i a derivabl1it.a\--ii. melode pent.ru a delermina exist.en\--a radaclnilor unei ecuatii.

aplicatii ale t.eoremelor lui Fermat.Rolle,Lagrange.Cauchy.

5

- met.oae pent.ru demonst.rarea unOI' egalit.A\-i i inegalit.A\-i. - met.ode pent.ru a arAt.a cA 0 f'unc\-ie ar e pri mi t. i ve

met. ode pent.ru a arAt.a cA 0 f'unc\-ie nu are primit.ive. met. ode pent.ru a ar At. a cA 0 f'unc\-i e est.e ! nlegrabilA . met.ode pent.ru a arAt.a cA 0 f'unctie nu est.e ingrabila.

Pent.ru 1mbunAt.A\-irea acest.ei pre:zent.Ari suntem bucuroi sA pri-

min sugest.iile $1 cbservati11e dumnea voas t.r!..

C. Dumit.rescu. Casuta Pot.ala 811 Cralova Cl100).Romania

F. Smarandache. P.C. Box 42561 Phoenix.Arizona.U.S.A.

7

CUPRINS

1. TEORI A MULTI MI LOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,.............. 13

Opera\-ll cu mul t1 mi . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . 14

Melode penlru demonslrarea egallltilor de multlmi . . . . . . . 18

Propriel\-1 ale unctiel caracterislice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Exerci \-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. FUNCTII ........... . 34

De i nl \-1 a uncti el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Inversa unel unctii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39

Graicul unctlel inverse . . . . . . . . , ....................... 43

Melode penlru a arla c 0 unctie ese bijecllv . . . . . . . . 44

Exercl\-il 47

Monolonie $i rginire penlru $iruri $i unc\-ii . . . . . . . . . . 64

Exerci\-ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. LIMITE DE SIRURI SI DE FUNCTIr . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 66

Li mile de unctl i . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

.Exer cl ti i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 71

Limi la de $iruri . . . "............................ .......... 76

Melode penlru calculul limilelor de unctli $i de iruri . . 77

Meloda comuna penlru $iruri $i penlru unctii . . . . . . . . . . 77

1. Ulilizarea deinitiei 77

2. Darea aclorului comun ortal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3. Amplllcarea cu conjugata . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8

4 . Ulilizarea lim.! lelor 1'undamenlale . . . . . . . . . . . . -.. , 81

5. Ceva marginil inmultil eu eeva eare linda la

zero, linde la zero .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 86

6. Meloda majorarii i minorarii .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7. Exereitii in eare apare pa;lea inlreaga . . . . . ... . gO 8. Ulilizarea delinitiei derivalei . ... . . . . . . . . . . . . . 93

9. Ulilizarea leoremei lui l'Hospilal . . . . . . . . . . . . .. 97

10 Ulilizarea crileriului eu iruri (erileriul

lui Heine) 100

Melode speci1'ice penlru iruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11. Orice ir moncton i marginil esle convergenl . . . 105-

12. Ulilizarea lemelor Cesaro-Solz i Rizzoli . . . . . . 109

13.Ulilizarea leerernei lui Lagrange 114

14. Siruri dale prin relatii de recurenta . . . . . . . . . . . 120

A. Recuren\a liniara . . . . . . . . .. . . . . . . . .... . . . . . . . 120

Recurenta liniara de ordinul inlai . . . . . . . . 120

Recurenta liniara de ordinul doi

Recurenta liniara de ordinul h)2

120

123

B. Recurenta neliniara . . . .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Recurenta de 1'orma a = a.a n+t n

Recuren\-a de 1'orma a = Ol.a n+i n

Recurenta de forma a = 1'Cn) n+t Exercitii

+

+

(1 . . . . .. .. .. .. .. 1'( n) . . . . .

. . . .

125

126

127

129

16. Griee ir Cauchy de numere reale esle convergenl 130

16. Ulilizarea de1'initiei inlegralei 133

9

4. CONTINUITATE $I DERIVABILITATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Cont.i nui t.a te . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136

Met.ode pent.ru st.udiul cont.inuit.ii . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Tipuri de punct.e dediscont.inuit.at.e . . . . .. . . . .. . . . . . . . 139

Prelungirea prin cont.inuit.at.e .. .... ................ .

Cont.inuit.at.ea :func\-iilor compuse ................... .

Exerci \-i i ............... .................. . . . ...... .

Der i vabi 1 i t.a t.e ................................. ......... .

De:finitle.interpret.are geomet.rica.consecin\-e ....... .

Derivarea :func\-iilor compuse ............ ........... .

Deri vat.e de ordinul n ........... .......... . ..... ... .

Studiul derivabilit.A\-ii

140

140

141

144

144

145

149

149

Aplica\-ii ale derivat.ei in economie . ..... . . . . . . . . . . . 152

Exerci \-1i . . . . . . . . .... . . . . . . .. ... . . . . . . .. . . . . . . . . .... 153

5. TEOREMELE FERMAT.ROLLE.LAGRAGE.CAUCHY . . . . .. . . . . . . . . . . 158

Teorema lui Fermat. CEnun\-.Int.erpretare geomet.ric $i

al gebr i c, Exer ci \-i i ) ..................................... 158

Teorema lui Rolle (Enun.Interpret.are geomet.ric $i

algebric.Consecin\-e.Exerci1i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 161

Met.ode pent.ru st.udiul rdcinilor unei ecua\-ii . . . . . . . .. . . . 166

Teorema lui Lagrange CEnun\-.Int.erpretare geomet.r1c

i algebric.Corolar,Exerci\-ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . 169

Teorema lui Cauchy CEnun.Int.erpret.are geomet.ric i

al gebr i c. Exerci \-i i) . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . .. . 174

6. EGALITATI $