TEORIJA REPREZENTACIJA HERMITSKIH KVATERNIONSKIH …gmuic/pecek.pdf · izometrija hermitske ( = 1)...

PRIRODOSLOVNO - MATEMATICKI FAKULTETMATEMATICKI ODSJEK

Nevena Jurcevic Pecek

TEORIJA REPREZENTACIJAHERMITSKIH KVATERNIONSKIH GRUPA

NAD p−ADSKIM POLJIMA

DOKTORSKI RAD

Zagreb, 2015.

FACULTY OF SCIENCEDEPARTMENT OF MATHEMATICS


REPRESENTATION THEORY OFHERMITIAN QUATERNIONIC GROUPS

OVER p−ADIC FIELDS

DOCTORAL THESIS

Zagreb, 2015

PRIRODOSLOVNO - MATEMATICKI FAKULTETMATEMATICKI ODSJEK


TEORIJA REPREZENTACIJAHERMITSKIH KVATERNIONSKIH GRUPA

NAD p−ADSKIM POLJIMA

DOKTORSKI RAD

Mentori:prof. dr. sc. NEVEN GRBAC

prof. dr. sc. MARCELA HANZERZagreb, 2015.

FACULTY OF SCIENCEDEPARTMENT OF MATHEMATICS


REPRESENTATION THEORY OFHERMITIAN QUATERNIONIC GROUPS

OVER p−ADIC FIELDS

DOCTORAL THESIS

Supervisors:prof. dr. sc. NEVEN GRBAC

prof. dr. sc. MARCELA HANZERZagreb, 2015

Zahvala

Na pocetku, zelim se zahvaliti onima koji su mi bili najveca potpora u stvaranju ovog rada.

Prvo, zahvaljujem mojim mentorima, Marceli Hanzer i Nevenu Grbcu na brojnim sugestijama,

velikoj pomoci pri prikupljanju i obradi materijala za rad te vjeri u uspjeh od mojih pocetnih

koraka na doktorskom studiju.

Zahvaljujem se zatim svim kolegama s Odjela za matematiku u Rijeci na mnostvu savjeta i

rijeci podrske u najtezim trenutcima.

I na kraju, veliko hvala onima koji bas i ne razumiju sto je u ovoj disertaciji napisano, ali

da nije bilo njihove bezuvjetne ljubavi, vjere i potpore ni ova disertacija ne bi bila napisana -

mama, tata, muzu i djecice moja, hvala vam!

i

Sadrzaj

Zahvala i

Sadrzaj iii

1 Hermitske kvaternionske grupe 1

1.1 Algebre s dijeljenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Opce linearne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Definicija hermitske kvaternionske grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Struktura Levijevih faktora hermitskih kvaternionskih grupa . . . . . . 11

2 Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa 15

2.1 Parabolicka indukcija i Jacquetovi moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Geometrijska lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Reprezentacije opcih linearnih grupa nad algebrama s dijeljenjem . . . . . . . 22

3 Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa 30

3.1 Langlandsova klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Kriterij kvadratne integrabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Struktura ψ-Hopfovog modula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Jacquetovi moduli GL−tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Aubertina involucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6 Generalizirana Steinbergova reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 R-grupe za hermitske kvaternionske grupe 40

4.1 Definicija R-grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ii

Sadrzaj

4.2 Weylove grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 R-grupe za hermitske kvaternionske grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Multiplicitet jedan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa 56

5.1 Glavni kriteriji reducibilnosti i ireducibilnosti reprezentacija . . . . . . . . . . 57

5.2 Kuspidalne reducibilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.1 Unitarna indukcija GL−tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.2 Ireducibilnost reprezentacija νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ) i νβρ ρo L(νβρ ρ, σ)

(β ∈ (1/2)Z, β ≥ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.3 Ireducibilnost reprezentacija δ([ρ, νρρ]) o σ i L([ρ, νρρ]) o σ . . . . . . . 75

5.2.4 Kuspidalna reducibilnost u 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.5 Odredivanje Langlandsovih parametara ireducibilnih subkvocijenata

parabolicki induciranih reperezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.6 Kuspidalna reducibilnost u 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.7 Tocke reducibilnosti reprezentacije ναρ δ(ρ,m) o σ, m ∈ Z+ . . . . . . . 91

5.2.8 Negenericke kuspidalne reducibilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Sazetak 101

Summary 102

Zivotopis 103

iii

Uvod

Teorija reprezentacija p-adskih reduktivnih grupa vazna je iz vise aspekata. U teoriji auto-

morfnih formi reprezentacije takvih grupa javljaju se kao lokalne komponente automorfnih

reprezentacija. Takoder, one su i jedan od osnovnih objekata u Langlandsovoj korespondenciji.

U nekomutativnoj harmonijskoj analizi na p-adskim grupama, ireducibilne reprezentacije cine

osnovne gradivne elemente u spektralnoj dekompoziciji.

Jedna od najvaznijih metoda konstrukcije reprezentacija reduktivnih grupa je parabolicka in-

dukcija. Parabolicka indukcija igra vaznu ulogu u mnogim problemima teorije reprezentacija

poput klasifikacije ireducibilnih, kvadratno integrabilnih, temperiranih i unitarnih reprezen-

tacija pa je zbog toga razumijevanje strukture reperezentacija nastalih tom konstrukcijom

vrlo vazno. Krenuvsi od ireducibilne reprezentacije Levijevog faktora neke parabolicke pod-

grupe, parabolickom indukcijom dobiva se reprezentacija citave grupe. Osnovni problem je

kako odrediti je li tako dobivena reprezentacija ireducibilna, a ako nije, kako odrediti njen

kompozicioni niz. U ovoj disertaciji studiramo taj problem u slucaju p-adskih hermitskih

kvaternionskih grupa.

U slucaju rascjepivih i kvazirascjepivih p-adskih klasicnih grupa, reducibilnost parabolicke

indukcije reduktivnih p-adskih grupa je proucavana u brojnim radovima Bernsteina i Ze-

levinskog, Harish-Chandre, Casselmana, Knappa i Steina, Shahidija, Silbergera, Tadica...

Glavni rezultati ove disertacije su upravo generalizacija Tadicevih kriterija reducibilnosti za

rascjepive p-adske simplekticke i neparne specijalne ortogonalne grupe na slucaj hermitskih

kvaternionskih grupa. Tocnije, generalizirani su Tadicevi kriteriji dobiveni u clanku [30].

iv

Sadrzaj

Hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε) nad p-adskim poljem F definirane su kao grupe

izometrija hermitske (ε = 1) ili antihermitske (ε = −1) forme na konacnodimenzionalnom

desnom vektorskom prostoru nad kvaternionskom algebrom s dijeljenjem D, centralnom nad

F , koja je jedinstvena do na izomorfizam. Klasifikacija takvih formi i samih p-adskih hermit-

skih kvaternionskih grupa dana je u [17]. Te grupe nisu kvazirascjepive, tako da se neki od

postojecih rezultata, poput Shahidijeve teorije L-funkcija [20], ne mogu primijeniti. Njihova

teorija reprezentacija do sada je slabo proucavana, a rezultati koji postoje uglavnom se vezuju

uz slucaj hermitskih kvaternionskih grupa ciji je anizotropan prostor trivijalan i kojima je

F -rang vrlo mali [10], [9], [11].

Osnovna metoda proucavanja reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija klasicnih

grupa je metoda Jacquetovih modula. Ova metoda je sasvim opcenita i moze se primijeniti

na hermitske kvaternionske grupe. Vazno je uociti da je struktura parabolickih podgrupa ana-

logna parabolickim podgrupama rascjepivih klasicnih grupa, sto sugerira da se slicne formule

za Jacquetove module mogu ocekivati i u ovom slucaju. Kao za rascjepive klasicne grupe,

kljucnom se pokazuje struktura izvjesnog Hopfovog modula na sumi Grothendieckovih grupa

kategorija glatkih reprezentacija konacne duljine hermitskih kvaternionskih grupa Gn(D, ε)

za n ≥ 0 nad odgovarajucom Hopfovom algebrom na sumi Grothendieckovih grupa kategorija

glatkih reprezentacija konacne duljine opcih linearnih grupa GL(k,D) za k ≥ 0. Struktura

Jacquetovih modula parabolicki induciranih reprezentacija dolazi od Geometrijske leme, cija

algebraizacija se naziva strukturna formula. U disertaciji se pokaze da se strukturna formula

generalizira na hermitske kvaternionske grupe te se koristi u studiranju reducibilnosti para-

bolicke indukcije.

S druge strane, za proucavanje reducibilnosti reprezentacija klasicnih grupa parabolicki induci-

ranih s kvadratno integrabilnih reprezentacija (tzv. diskretnih serija) Levijevog faktora koristi

se teorija R-grupa koju su u arhimedskom slucaju razvili Knapp–Stein [15], a u nearhimed-

skom Harish-Chandra [12] i Silberger [22]. To su konacne grupe cija struktura u potpunosti

odreduje broj komponenti i multiplicitete takve inducirane reprezentacije. Za rascjepive p-

adske klasicne grupe R-grupe je eksplicitno odredio Goldberg [8], a za hermitske kvaternionske

v

Sadrzaj

grupe s trivijalnim anizotropnim prostorom Hanzer [10]. Kako bi eksplicitno odredili R-grupe

proizvoljnih hermitskih kvaternionskih grupa slijedimo upravo njihove radove. Eksplicitno

odredivanje R-grupa ovisi o strukturi Levijevih faktora standardnih parabolickih podgrupa

te relativnom sistemu korijena hermitske kvaternionske grupe koju promatramo. Pokazuje

se da je krajnji rezultat analogan slucaju rascjepivih klasicnih grupa te je, uz pretpostavku

razumijevanja kriterija reducibilnosti za maksimalne parabolicke podgrupe, sam izracun R-

grupa kombinatornog tipa. Strukture R-grupa koje dobivamo direktno nam impliciraju vrlo

vazan rezultat Teorem o multiplicitetu jedan.

Glavni rezultati o reducibilnosti parabolicke indukcije ovise o kuspidalnoj reducibilnosti, od-

nosno o tocki reducibilnosti za par ireducibilnih unitarizabilnih kuspidalnih reprezentacija

opce linearne grupe nad D i hermitske kvaternionske grupe. Bazirani su na strukturnoj

formuli, teoriji R-grupa te nekim opcenitim Tadicevim rezultatima o reducibilnosti koji po-

laze od postojanja koherentnih dekompozicija Jacquetovih modula induciranih reprezentacija.

Obzirom da je u iskazu glavnih rezultata potrebno uvesti vecu kolicinu notacije i osnovnih

definicija, ne navodimo u ovom uvodu rezultate eksplicitno. Iskazi se mogu naci u poglav-

lju 5, preciznije u Teoremima 5.1, 5.2, 5.3 te 5.4 i Propozicijama 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6 te 5.7.

U nastavku slijedi kratak pregled sadrzaja po poglavljima.

U prvom poglavlju prisjecamo se odredenih rezultata o kvaternionskim algebrama s dijelje-

njem, centralnim nad p-adskim poljem, definiramo opce linearne grupe nad njima, te hermitske

i antihermitske forme i p-adske hermitske kvaternionske grupe. Detaljno opisujemo parametri-

zacije Levijevih faktora standardnih parabolickih podgrupa hermitskih kvaternionskih grupa.

U drugom poglavlju podsjecamo se terminologije i standardne notacije za teoriju reprezen-

tacija opcih linearnih grupa nad algebrama s dijeljenjem te dajemo pregled rezultata koji ce

biti potrebni u nastavku rada.

Trece poglavlje posveceno je poznatim rezultatima iz teorije reprezentacija hermitskih kva-

ternionskih grupa. U njemu uvodimo Langlandsovu klasifikaciju za hermitske kvaternionske

grupe, kriterij kvadratne integrabilnosti te strukturu izvjesnog Hopfovog modula na sumi

Grothendieckovih grupa glatkih reprezentacija konacne duljine hermitskih kvaternionskih

vi

Sadrzaj

grupa. Zatim definiramo Jacquetove module GL-tipa, Aubertinu involuciju te generaliziranu

Steinbergovu reprezentaciju.

U cetvrtom poglavlju uvodimo teoriju R-grupa za hermitske kvaternionske grupe, te koristeci

taj koncept, proucavamo pitanje reducibilnosti reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa,

parabolicki induciranih iz kvadratno integrabilnih reprezentacija Levijevih faktora. Pokazu-

jemo da vrijedi produktna formula, te nam iz strukture dobivenih R-grupa kao posljedica

slijedi vazan rezultat o multiplicitetu jedan.

U posljednjem petom poglavlju dokazani su glavni rezultati ove disertacije o reducibilnosti

parabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa koje smo zahvaljujuci

prosirenju teorije R-grupa i strukturne formule uspjeli poopciti sa slucaja kvazirascjepivih

klasicnih grupa na proizvoljne hermitske kvaternionske grupe.

vii

Poglavlje 1

Hermitske kvaternionske grupe

Na pocetku rada dajemo kratak uvod u algebre s dijeljenjem, hermitske forme definirane

nad njima te definiramo hermitske kvaternionske grupe. Sadrzaj poglavlja prati radove

[17, 19, 10, 16].

1.1 Algebre s dijeljenjem

Neka je F nearhimedsko lokalno polje karakteristike nula. Dakle, F je konacno prosirenje

polja p-adskih brojeva Qp i ponekad cemo ga kratko zvati p-adsko polje. Neka je O njegov

prsten cijelih, a p maksimalan ideal u O. Oznacimo s

q = |O/p|

kardinalni broj rezidualnog polja od O. Tada je q = pk za neki prost broj p i neki k > 0 te

p zovemo rezidualnom karakteristikom polja F . Apsolutnu vrijednost na F oznacavat

cemo s | |F .

Neka je D konacnodimenzionalna centralna algebra s dijeljenjem nad F (tj. centar od D je

F ). Oznacimo s τ involuciju na D. Dakle, τ je anti-automorfizam reda 2 takav da je

τ(d+ d′) = τ(d) + τ(d′), ∀d, d′ ∈ D

τ(dd′) = τ(d′)τ(d), ∀d, d′ ∈ D

1

Poglavlje 1. Hermitske kvaternionske grupe

τ(τ(d)) = d, ∀d ∈ D

U slucaju τ |F = idF involuciju τ nazivamo involucijom prve vrste, a u protivnom involu-

cijom druge vrste.

Sljedecim teoremom opisana je klasifikacija algebri s dijeljenjem D centralnih nad F .

Teorem 1.1 [17, Poglavlje 1.4] Neka je F nearhimedsko lokalno polje karakteristike nula i

neka je D konacnodimenzionalna centralna algebra s dijeljenjem nad F . Pretpostavimo da

postoji involucija τ na D. Tada su moguca sljedeca tri slucaja:

(a) D = F i τ = idF ,

(b) D je kvadratno prosirenje F ′ polja F i τ je netrivijalni element Galoisove grupe Gal(F ′/F ),

(c) D je jedinstvena (do na izomorfizam) kvaternionska algebra centralna nad F s involucijom

τ prve vrste.

U ovom radu interes stavljamo na kvaternionske algebre s dijeljenjem D (posljednji slucaj

prethodnog teorema).

Neka je D takva algebra. Oznacimo s τ standardnu involuciju na D koja fiksira centar od D.

U nastavku slijedeci [10] dajemo jednu matricnu realizaciju algebre s dijeljenjem D koja je

izuzetno pogodna za racunanje.

D je algebra dimenzije 4 nad F uz bazu 1, w1, w2, w3 koja zadovoljava sljedece relacije:

w21 = α

w22 = β

w1w2 = −w2w1 = w3 (1.1)

za neke α,β ∈ F . Na proizvoljan element d = x0 + x1w1 + x2w2 + x3w3 kvaternionske algebre

D involucija τ djeluje na sljedeci nacin:

τ(d) = x0 − x1w1 − x2w2 − x3w3. (1.2)

2


Algebra s dijeljenjem D ima poznatu matricnu reprezentaciju u M(2, F (√α)) danu s

d = x0 + x1w1 + x2w2 + x3w3 7→

x0 + x1√α x2 + x3

√α

βx2 − βx3√α x0 − x1

√α

. (1.3)

Oznacimo li s F algebarski zatvarac polja F , to je

D ⊗F F ∼= M(2, F ), (1.4)

stoga na prirodan nacin mozemo prosiriti involuciju τ s kvaternionske algebre D do involucije

na M(2, F ).

Po Skolem-Noetherinom teoremu postoji matrica h0 sa svojstvom da je za svaki element x u

M(2, F )

τ(x) = h0xth−1

0 . (1.5)

Uz matricnu reprezentaciju (1.3) algebre s dijeljenjem D, za matricu h0 mozemo uzeti

h0 =

0 1

−1 0

. (1.6)

Na prostoru M(k,D) involuciju mozemo definirati s

g 7→ g∗ = τ(g)t. (1.7)

Tu involuciju na nacin analogan onomu ranije mozemo prosiriti na

M(2k, F ) ∼= M(k,D)⊗F F (1.8)

i koristenjem Skolem-Noetherinog teorema realizirati ju matricom

h =

h0

h0

. . .

h0

. (1.9)

3


Dakle,

g∗ = hgth−1. (1.10)

Takoder, iz formule (1.8) mozemo zakljuciti da je M(k,D) ulozen u M(2k, F ) .

1.2 Opce linearne grupe

Neka je F fiksno p-adsko polje i D jedinstvena kvaternionska algebra s diljenjenjem nad F . U

ovom poglavlju opisujemo strukturu standardnih parabolickih podgrupa opcih linearnih grupa

definiranih nad D koja je u potpunosti analogna stukturi opcih linearnih grupa definiranih

nad p-adskim poljem F .

Oznacimo za svaki pozitivan cijeli broj k s M(k,D) algebru svih k×k matrica s koeficijentima

iz D te s Ik jedinicnu matricu u M(k,D). Tada je GL(k,D) grupa invertibilnih matrica u

M(k,D) uz prirodnu topologiju. Fiksirajmo sada prirodan broj k i minimalnu parabolicku

podgrupu PGLmin od GL(k,D) definiranu nad F sastavljenu od gornje trokutastih matrica u

GL(k,D). Parabolicke podgrupe od GL(k,D) koje sadrze PGLmin zvat cemo standardnim

parabolickim F -podgrupama. One se mogu parametrizirati uredenim particijama (α)

prirodnog broja k. Neka je (α) = (k1, . . . , kl) jedna takva particija i PGL(α) = MGL

(α)NGL(α) njoj

pridruzene standardne parabolicke podgrupe. Tada je

PGL(α) =

g1 ∗ ∗ ∗

g2 ∗ ∗. . .

gl

: gi ∈ GL(ki, D)

, (1.11)

MGL(α) =

g1

g2

. . .

gl

: gi ∈ GL(ki, D)

, (1.12)

4


NGL(α) =

Ik1 ∗ ∗ ∗

Ik2 ∗ ∗. . .

Ikl

. (1.13)

MGL(α) nazivamo Levijevim faktorom (ili Levijevom podgrupom) od PGL

(α) , NGL(α) unipotent-

nim radikalom od PGL(α) , a rastav PGL

(α) = MGL(α)N

GL(α) standardnom Levijevom dekompo-

zicijom od PGL(α) . Uocimo da je

MGL(α)∼= GL(k1, D)×GL(k2, D)× · · · ×GL(kl, D). (1.14)

1.3 Definicija hermitske kvaternionske grupe

Neka je F nearhimedsko lokalno polje karakteristike 0 i D jedinstvena kvaternionska algebra

centralna nad F s involucijom τ prve vrste. Neka je V konacnodimenzionalan desni vektorski

prostor nadD. Tada je ε-hermitska forma ([16]), ε ∈ −1, 1 nad (D, τ) svako preslikavanje

φ : V × V → D koje zadovoljava sljedece uvjete:

φ(x1 + x2, y) = φ(x1, y) + φ(x2, y), ∀x1, x2, y ∈ V

φ(xd, y) = τ(d)φ(x, y), ∀x, y ∈ V, ∀d ∈ D

φ(y, x) = ετ(φ(x, y)), ∀x, y ∈ V. (1.15)

U slucaju ε = 1 (resp. ε = −1) formu φ nazivamo hermitskom (resp. antihermitskom)

formom, a uredeni par (V, φ) hermitskim (resp. antihermitskim) prostorom.

Neka je dana ε-hermitska forma φ : V × V → D na desnom vektorskom prostoru nad D

dimenzije N . Fiksirajmo uredenu bazu e1, e2, . . . , eN od V . Neka je

J = [φ(ei, ej)]i,j=1,...,N

N ×N matrica ciji su koeficijenti dobiveni djelovanjem forme φ na elemente baze prostora

V. Matricu J zovemo matricom ε-hermitske forme φ.

5


Za dvije ε−hermitske forme φ1 i φ2 definirane na prostorima V1 i V2 kazemo da su ekviva-

lentne ako postoji D-izomorfizam γ : V1 → V2 takav da je

φ2(γ(x), γ(y)) = φ1(x, y), ∀x, y ∈ V1.

Pisemo tada da je φ1 ∼= φ2, a preslikavanje γ zovemo ekvivalencijom ili izometrijom. Pro-

blem klasifikacije ε−hermitskih prostora sastoji se od trazenja potpunog skupa invarijanata

koji ce u cijelosti klasificirati te prostore do na ekvivalenciju.

Neka je n pozitivan cijeli broj, l nenegativan cijeli broj i Vn ε-hermitski prostor nad D

dimenzije N = 2n+ l, koji ima ortogonalnu dekompoziciju

Vn = Xn ⊕W ⊕ Yn. (1.16)

U toj dekompoziciji W je anizotropan dimenzije l, dok su Xn i Yn maksimalni izotropni pot-

prostori od Vn cije su dimenzije n. Drugim rijecima, (1.16) je Wittova dekompozicija prostora

Vn, odnosno Vn je ortogonalna suma anizotropnog prostora W s n hiperbolickih ravnina.

Ako fiksiramo ε ∈ −1, 1, uredenu bazu f1, f2, . . . , fl anizotropnog prostora W te uredene

baze e1, e2, . . . , en i en+1, en+2, . . . , e2n prostora Xn i Yn redom, takve da vrijedi

φ(ei, e2n−j+1) = δij, i, j = 1, . . . , n

onda smo s

φ(v, v′) = ετ(φ(v, v′)), φ(vx, v′x′) = τ(x)φ(v, v′)x, v, v′ ∈ Vn, x, x′ ∈ D (1.17)

definirali hermitsku formu na Vn. S obzirom na ovako definiranu formu, slijedeci [17, Poglavlje

1], hermitske i antihermitske prostore nad (D, τ) mozemo klasificirati koristenjem dviju

invarijanti:

• dimenzije N i

• determinante d prostora.

6


Dimenzije l anizotropnih potprostora W od Vn u hermitskom slucaju mogu jedino biti 0 i 1,

dok u antihermitskom mogu biti 0, 1, 2 i 3. U hermitskom slucaju jedina invarijanta je dimen-

zija prostora, dok su u antihermitskom slucaju invarijante dimenzija prostora i determinanta

prostora.

U tablicama koje slijede opisana je klasifikacija hermitskih i antihermitskih prostora definira-

nih nad (D, τ).

Tablica 1.1: Hermitski prostori, ε = 1 (vidi [17, Poglavlje 1.11])

Dimenzija N Kratak opis

2n U prostoru Vn anizotropan potprostor je tri-

vijalan (tj. Vn = Xn ⊕ Yn )

2n+ 1 Postoji jedinstven netrivijalan anizotropan

prostor W cija je dimenzija l = 1

Tablica 1.2: Antihermitski prostori, ε = −1 (vidi [17, Poglavlje 1.12])

DimenzijaN Determinanta d Kratak opis

2n d ∈ (F×)2 U prostoru Vn anizotropan prostor je

trivijalan.

2n+ 2 d /∈ (F×)2 Postoje 3 mogucnosti za anizotropan

prostor W cija je dimenzija l=2.

2n+ 1 d /∈ −(F×)2 Postoje 3 mogucnosti za anizotropan


2n+ 3 d ∈ −(F×)2 Postoji 1 mogucnost za anizotropan


Oznacimo s Gn = Gn(D, ε) grupu izometrija forme φ definirane na Vn shvacene kao reduktivne

algebarske grupe definirane nad F . Neka je JW matrica restrikcije forme φ na anizotropnom

7


potprostoru W i neka je za svaki k ∈ N, Jk matrica definirana s

Jk =

1

. ..

1

. (1.18)

Tada su matrice hermitskih formi na Vn oblika

J =

0 0 Jn

0 JW 0

Jn 0 0

, (1.19)

dok su one antihermitskih formi oblika

J =

0 0 Jn

0 JW 0

−Jn 0 0

, (1.20)

pri cemu se u izrazima (1.19) i (1.20) u slucaju da je anizotropan potprostor W od Vn trivi-

jalan, matrica forme JW ne pojavljuje.

Dakle, hermitske kvaternionske grupe, kao grupe izometrija prethodno istaknutih ε-

hermitskih formi na Vn imaju grupe F -racionalnih tocaka oblika

Gn(F ) = Gn(D, ε) = g ∈ GL(N,D)|g∗Jg = J , (1.21)

gdje je za matricu g ∈ GL(N,D), matrica g∗ definirana formulom (1.10). Nad algebarskim

zatvaracem F polja F prethodno definirani hermitski prostori postaju simplekticki, dok

oni antihermitski postaju ortogonalni. Za grupe Gn(F ) s obzirom na prethodno navedenu

klasifikaciju hermitskih i antihermitskih prostora, vrijedi da su konjugirane sljedecim grupamaSp(2N, F ) u GL(2N, F ), ε = 1

SO(2N, F ) u GL(2N, F ), ε = −1.

8


Koristeci ovu karakterizaciju, prethodno definirane izomorfizme, dobro nam poznatu matricnu

realizaciju kvaternionske algebre D te cinjenicu da su navedene grupe Gn(D, ε) zapravo grupe

F -racionalnih tocaka reduktivnih algebarskih grupa, dolazimo do maksimalnih F -rascjepivih

torusa A0 za svaku od prethodno definiranih hermitskih kvaternionskih grupa, a njihovi

skupovi F -racionalnih tocaka A0(F ) su oblika

A0(F ) =

λ1

λ2

. . .

λn

Il

λn−1

. . .

λ2−1

λ1−1

: λi ∈ F ∗

, (1.22)

pri cemu se u slucaju da je l = 0, blok I0 izostavlja iz prikaza (1.22).

Elemente skupa F -racionalnih tocaka torusa A0 takoder oznacavamo i s

diag(λ1, λ2, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1

2 , λ−11 ).

Neka je X(A0)F oznaka za grupu F -racionalnih karaktera na A0. Tu grupu mozemo identifi-

cirati s karakterima na A0(F ).

Relativni sistemi korijena Φ(Gn(D, ε), A0) koji nam se javljaju za prethodno definirane her-

mitske kvaternionske grupe su tipa Bn i Cn. Neka je 4 = α1, α2, . . . , αn skup prostih

korijena u Φ. Poredak korijena uzimamo kao u [4]. Dakle,

αi = εi − εi+1, i = 1, . . . , n− 1

te

αn =

εn, za Φ(Gn(D, ε), A0) tipaBn,

2εn, za Φ(Gn(D, ε), A0) tipa Cn,

9


gdje je εi ∈ X(A0) karater definiran s

εi(diag(λ1, λ2, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1

2 , λ−11 )) = λi, i = 1, . . . , n.

Dakle,

αi(diag(λ1, λ2, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1

2 , λ−11 )) = λiλ

−1i+1, i = 1, . . . , n− 1

te

αn(diag(λ1, λ2, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1

2 , λ−11 ) =

λn, za Φ(Gn(D, ε), A0) tipaBn

λ2n, za Φ(Gn(D, ε), A0) tipa Cn.

Fiksirajmo sada minimalnu parabolicku podgrupu Pmin definiranu nad F hermitske kva-

ternionske grupe Gn(D, ε). Standardne parabolicke podgrupe od Gn(D, ε) su parabolicke

podgrupe definirane nad F koje sadrze Pmin. One su u bijekciji s podskupovima θ od 4.

Neka je Pθ = MθNθ standardna parabolicka F -podgrupa koja odgovara podskupu θ ⊂ 4.

Tada je Levijev faktor Mθ sljedeceg oblika.

(i) Ako αn /∈ θ, tada postoje pozitivni cijeli n1, n2, . . . , nk takvi da je ∑ni = n i Mθ ima

sljedeci oblik:

Mθ =

g1

. . .

gk

h

Jnk(g−1k )∗Jnk

. . .

Jn1(g−11 )∗Jn1

:gi ∈ GL(ni, D)

h ∈ G0(D, ε)

(1.23)

(ii) Ako αn ∈ θ, tada postoje pozitivni cijeli n1, n2, . . . , nk, r takvi da je ∑ni + r = n i Mθ

ima sljedeci oblik:

10


Mθ =

g1

. . .

gk

h

Jnk(g−1k )∗Jnk

. . .

Jn1(g−11 )∗Jn1

:gi ∈ GL(ni, D)

h ∈ Gr(D, ε)

(1.24)

Oznacimo s Aθ rascjepivu komponentu standardne F -parabolicke podgrupe Pθ i s Wθ

relativnu Weylovu grupu

Wθ = NGn(D,ε)(Aθ).

Uocimo, ako je θ1 ⊂ θ2, tada je Mθ1 ⊂Mθ2 , Nθ2 ⊂ Nθ1 .

Standardne parabolicke podgrupe odGn(D, ε) takoder mozemo parametrizirati i uredenim

particijama (α) = (n1, . . . , nk; r) prirodnog broja n, pri cemu je r ≥ 0 cijeli broj, a

(n1, . . . , nk) uredena particija od n− r u pozitivne cijele brojeve. Tada je za

(i) αn 6∈ θ, r = 0

Mθ = M(α) ∼= GL(n1, D)× · · · ×GL(nk, D)×G0(D, ε),

(ii) αn ∈ θ, r > 0

Mθ = M(α) ∼= GL(n1, D)× · · · ×GL(nk, D)×Gr(D, ε).

1.3.1 Struktura Levijevih faktora hermitskih kvaternionskih

grupa

Poznavanje strukture standardnih parabolickih F -podgrupa hermitskih kvaternionskih

grupa od iznimne je vaznosti za izucavanje njihove teorije reprezentacija. Kao sto

11


smo u prethodnoj sekciji istaknuli, svaka hermitska kvaternionska grupa Gn(D, ε) je

zapravo grupa F -racionalnih tocaka odredene reduktivne algebarske grupe te su njene

standardne Levijeve F -podgrupe u korespondenciji s podskupovima θ skupa prostih

korijena 4 = 4(Gn(D, ε), A0) u sistemu korijena i oznacavamo ih s Mθ. Prema formu-

lama (1.23) i (1.24) Levijevi faktori Mθ sastavljeni su od GL−blokova i najvise jednog

klasicnog bloka. Sada cemo preciznije opisati njihovu strukturu na nacin koji ce nam

kasnije omoguciti racunanje R-grupa za reprezentacije inducirane s diskretnih serija od

Mθ. U nastavku slijedimo rad D. Goldberga [8].

Neka je θ = θ1 ∪ θ2 ∪ θ3 ∪ · · · ∪ θk rastav od θ ⊂ 4 na disjunktnu uniju povezanih

komponenti Dynkinovog dijagrama. Ako su θi i θj komponente od θ pisemo da je

θi ∼ θj (1.25)

ako postoji w ∈ Wθ takav da je w(θi) = θj. Bez smanjenja opcenitosti u ostatku rada

slijedeci [8] pretpostavljamo sljedece dvije cinjenice

• ako je αn ∈ θ tada pretpostavljamo da je αn ∈ θk,

• ako je i < j uz θi ∼ θj, tada je θi ∼ θl,∀i < l < j.

Na taj nacin ce parametrizacija parabolickih podgrupa parametriziranih podskupovima

θ koji ne sadrze αn biti drugacija od onih koje su parametriziranih podskupovima θ koji

sadrze αn. Dakle, uvodimo dva slucaja:

Slucaj (1) : αn 6∈ θ, (1.26)

Slucaj (2) : αn ∈ θ. (1.27)

te u ovisnosti o njima razmatramo strukturu Levijevih faktora standardnih parabolickih

podgrupa od Gn(D, ε)

Neka je

X = θiki=1

i

X(θi) = θj : θi ∼ θj.

12


Tada je orbita od θi pri djelovanju Wθ ili ±X(θi) ili X(θi). U slucaju (1), kada αn /∈ θ,

Wθ(θi) = ±X(θi). Ova nam struktura odreduje particiju od X

X = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xr (1.28)

pri cemu je svaki Xi = X(θj) za neki j.

Za svaki i = 1, . . . , r definiramo pozitivne cijele brojeve mi na sljedeci nacin. U slucaju

(1),

mi = |θj|+ 1, ∀i = 1, . . . , r, (1.29)

gdje je θj ∈ Xi proizvoljan, a u slucaju (2), mi je definiran kao u slucaju (1), za svaki

i 6= r, a za i = r je

m = mr = |θk|. (1.30)

Dalje, neka je

ni = |Xi|, (1.31)

tj. Xi = θi1, θi2, . . . , θini

Nadalje, slijedeci [8, str. 1113] pretpostavljamo da medu komponentama nema razmaka

i da je α1 ∈ θ. Dakle, neka je

X1 = θ11, θ12, . . . , θ1n1,

X2 = θ21, θ22, . . . , θ2n2,...

Xr = θr1, θr2, . . . , θrnr,

pri cemu je svaki Xi sastavljen od komponenata iste duljine.

Za slucaj (1) tada stavimo

b =r∑i=1

mini,

nr+1 = n− b.

13


Uz ovakvu notaciju imamo da je

Mθ(F ) ∼= GL(m1, D)n1 ×GL(m2, D)n2 × · · · ×GL(mr, D)nr ×GL(1, D)nr+1 (1.32)

U slucaju (2), kada nam jeαn ∈ θ uz oznake iz formula (1.29),(1.30) i (1.31) definiramo

b′ =r−1∑i=1

mini,

nr+1 = n−m− b′.

Tada je

Mθ(F ) ∼= GL(m1, D)n1×GL(m2, D)n2×· · ·×GL(mr−1, D)nr−1×GL(1, D)nr+1×Gm(D)

(1.33)

Ovakav oblik standardne Levijeve podgrupe mozemo pretpostaviti jer je svaka stan-

dardna Levijeva podgrupa konjugirana jednoj ovakvoj, a pripadne parabolicke podgrupe

su asocirane.

14

Poglavlje 2

Reprezentacije klasicnih p-adskih

grupa

U ovom poglavlju definiramo osnovne pojmove te navodimo ukratko najvaznije rezultate

iz teorije reprezentacija klasicnih p-adskih grupa koji ce biti koristeni u istrazivanju pa-

rabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa. Sadrzaj poglavlja

uglavnom prati radove [2], [33], [5] i [29].

Neka je G reduktivna algebarska grupa nad lokalnim nearhimedskim poljem F karak-

teristike 0 i neka je P = MN parabolicka F -podgrupa od G. Iate oznake koristimo za

odgovarajuce grupe F−racionalnih tocaka. Pod reprezentacijom grupe G na kom-

pleksnom vektorskom prostoru V podrazumijevamo homomorfizam π : G → GL(V ).

Za reprezentaciju (π, V ) kazemo da je glatka ako je za svaki v ∈ V , stabilizator

g ∈ G|π(g)v = v otvoren. S π oznacavat cemo kontragredijentnu reprezentaciju od

π i reci cemo da je π samodualna ako je π ∼= π. Za glatku reprezentaciju kazemo

da je dopustiva ako je za svaku otvorenu podgrupu H ≤ G, prostor H-invarijanata

V H = v ∈ V |π(h)v = v, ∀h ∈ H konacnodimenzionalan. Dopustiva reprezentacija

15

Poglavlje 2. Reprezentacije klasicnih p-adskih grupa

(π, V ) je unitarizabilna ako postoji skalarni produkt ( , ) na V takav da je

(π(g)v, π(g)w) = (v, w), ∀v, w ∈ V, ∀g ∈ G.

Svaka unitarizabilna reprezentacija je potpuno reducibilna. Dopustivu reprezentaciju

(π, V ) s unitarnim centralnim karakterom nazivamo kvadratno integrabilnom ako su

svi njeni matricni koeficijenti kvadratno integrabilne funkcije. Za glatku reprezentaciju

(π, V ) od G kazemo da je esencijalno kvadratno integrabilna ako zakretanjem

nekim karakterom od G ona postaje kvadratno integrabilna. Ireducibilne, kvadratno

integrabilne reprezentacije od G nazivamo reprezentacijama diskretnih serija od

G. Uvedimo sljedece oznake.

• Skup svih klasa ekvivalencije ireducibilnih glatkih reprezentacija od G oznacavat

cemo G.

• Podskup od G koji sadrzi unitarizabilne klase oznacavat cemo s G.

• Skup svih klasa ekvivalencije ireducibilnih esencijalno kvadratno integrabilnih re-

prezentacija od G oznacavat cemo s DG.

2.1 Parabolicka indukcija i Jacquetovi moduli

Parabolicki inducirane reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa osnovni su objekt

proucavanja u ovom radu stoga cemo se u ovom dijelu rada prisjetiti nacina na koji

ih dobivamo te osnovnih svojstava parabolicke indukcije. Buduci su parabolicki in-

ducirane reprezentacije i Jacquetvi moduli usko povezani, prisjetit cemo se ujedno i

kako definiramo Jacquetove module, koja su njihova osnovna svojstva te Frobeniusovog

reciprociteta koji predstavlja direktnu vezu medu ovim dvjema konstrukcijama.

Jedna od osnovnih uloga parabolicki induciranih reprezentacija jest u konstrukciji iredu-

cibilnih reperezntacija p-adskih grupa. Medutim, valja naglasiti da indukcija nije uvijek

igrala ulogu u konstrukciji ireducibilnih reprezentacija. Npr. kod kompaktnih Liejevih

grupa gdje su inducirane reprezentacije vrlo velike, a ni kod komutativnih grupa gdje

16


su ireducibilne reprezentacije jednodimenzionalne ta konstrukcija ireducibilnih repre-

zentacija indukcijom nije dosla do izrazaja te su tek razvojem harmonijske analize na

reduktivnim grupama nad lokalnim poljima Gelfand i Naimark prvi ukazali na znacaj

ovog, posebnog tipa induciranja i zasluzni su za prve vaznije rezultate o parabolicki

induciranim reprezentacijama.

Opisat cemo sada konstrukciju parabolicki induciranih reprezentacija. Neka je G re-

duktivna grupa nad lokalnim nearhimedskim poljem F i neka je P = MN parabolicka

podgrupa od G. Oznacimo s δP modularni karakter od P. Neka je (σ, U) glatka repre-

zentacija Levijevog faktora M od P. Na prostoru IndGP (σ) lokalno konstantnih funkcija

f : G→ U koje zadovoljavaju

f(mng) = δP (m)1/2σ(m)f(g), ∀m ∈M, ∀n ∈ N,∀g ∈ G (2.1)

grupa G djeluje desnim translacijama

Rg(f(x)) = f(xg).

Na taj nacin definirana je glatka reprezentacija od G koju zovemo parabolicki indu-

ciranom reprezentacijom od G sa σ iz parabolicke podgrupe P.

Konstrukcija reprezentacija reduktivne grupe G iz reprezentacija njenih Levijevih faktora

ima sljedeca svojstva (za vise detalja pogledati [27]).

• Funktor parabolicke indukcije iGM iz kategorije reprezentacija konacne duljine od

M u kategoriju reprezentacija konacne duljine od G, koji reprezentaciji σ Levije-

vog faktora M parabolicke podgrupe P od G pridruzuje parabolicki induciranu

reperezentaciju IndGP (σ) je egzaktan.

• Parabolicka indukcija komutura s kontragredijentom, tj.

IndGP (σ) ∼= IndGP (σ).

• Ako su P1 = M1N1 i P2 = M2N2 standardne Levijeve dekompozicije standard-

nih parabolickih podgrupa P1 i P2 od G pri cemu je P1 ⊆ P2 i ako je σ glatka

17


reprezentacija od M1, tada vrijedi

IndGP1(σ) ∼= IndGP2(IndM2P1∩M2(σ)). (2.2)

Svojstvo (2.2) nazivamo indukcijom u koracima.

• Inducirane reprezentacije iz asociranih parabolickih podgrupa imaju jednake kom-

pozicijske nizove.

Recimo sad ukratko nesto o Jacquetovim modulima i o njihovoj vezi s parabolicki indu-

ciranim reperezentacijama.

Neka je (π, V ) reprezentacija grupe G, P = MN parabolicka podgrupa od G i neka je

V (N) = π(n)v − v| v ∈ V, n ∈ N.

Buduci M normalizira N, taj prostor je M -invarijantan. Oznacimo s rGM(π) reprezenta-

ciju od M na kvocijentnom prostoru VN = V/V (N) zakrenutu s karakterom (δP |M)−1/2.

Dakle,

(rGM(π))(m)(v + V (N)) = δ−1/2P (m)π(m)v + V (N). (2.3)

Tada (rGM(π), VN) zovemo Jacquetovim modulom reprezentacije π u odnosu na

P = MN.

Osnovna svojstva Jacquetovih modula su:

• Funktor Jacquetovog modula rGM je egzaktan funktor iz kategorije reprezentacija

konacne duljine od G u kategoriju reperezentacija konacne duljine od M.

• Ako su P1 = M1N1 i P2 = M2N2 standardne Levijeve dekompozicije standard-

nih parabolickih podgrupa P1 i P2 od G pri cemu je P1 ⊆ P2 i ako je π glatka

reprezentacija od G tada nam vrijedi

rGM1(π) ∼= rM2M1(rGM2(π)). (2.4)

18


Svojstvo (2.4) nazivamo tranzitivnoscu Jacquetovih modula.

• Neka je π glatka reprezentacija konacne duljine odG i neka je P = MN standardna

parabolicka podgrupa od G. Tada je rGM(π) izomorfan kontragredijentnoj repre-

zentaciji Jacquetovog modula od π u odnosu na suprotnu parabolicku podgrupu

P .

Vezu izmedu parabolicke indukcije i Jacquetovih modula daje nam Frobeniusov re-

ciprocitet kojeg cemo vrlo cesto kod istrazivanja pitanja reducibilnosti parabolicki

induciranih reprezentacija koristiti. Postoje dvije forme ovog reciprociteta.

Fiksiramo li parabolicku podgrupu P = MN od G i dopustive reprezentacije π od G

i σ od M tada nam prva forma Frobeniusovog reciprociteta kaze da postoji kanonski

izomorfizam

HomG(π, IndGP (σ)) ∼= HomM(rGM(π), σ). (2.5)

Neka je P suprotna parabolicka podgrupa od P (jedinstvena parabolicka podgrupa koja

zadovoljava da je P ∩ P = M ), tada nam druga forma Frobeniusovog reciprociteta kaze

da je

HomG(IndGP (σ), π) ∼= HomM(σ, rGM(π)), (2.6)

pri cemu je Jacquetov modul u drugom prostoru ispreplitanja uzet s obzirom na su-

protnu parabolicku podgrupu P od P.

Uocimo da, ako pretpostavimo da je za ireducibilnu reprezentaciju π od G, rGM(π) 6= 0

za neku standardnu parabolicku podgrupu P = MN od G, tada nam Frobeniusov

reciprocitet implicira da da je π ulozena u IndGP (σ) za neku ireducibilnu reprezentaciju

σ od M. Odaberemo li Levijev faktor M minimalan s obzirom na navedeno svojstvo, to

tada mozemo dobiti da je π ulozena u IndGP (σ), pri cemu je rMM ′(σ) = 0 za sve prave

parabolicke podgrupe P ′ = M ′N ′ od M.

Definicija 2.1 Ireducibilnu reprezentaciju π od G za koju je rGM(π) = 0 za svaku

pravu parabolicku podgrupu od G nazivamo kuspidalnom reperezentacijom.

19


Na kraju ove sekcije dajemo iskaz poznatog Casselmanovog teorema o podreprezentaciji

koji nam daje izvjesnu vezu medu ireducibilnim reprezentacija dane reduktivne grupe

G i kuspidalnim reprezentacijama Levijevih faktora parabolickih podrgupa P = MN

od G.

Teorem 2.1 (Teorem o podreprezentaciji, [6]) Neka je π ireducibilna reprezenta-

cija od G. Tada postoji P = MN parabolicka podgrupa od G i ireducibilna kuspidalna

reprezentacija ρ od M takva da je

π → IndGP (ρ).

2.2 Geometrijska lema

Geometrijska lema predstavlja vrlo vazan rezultat za teoriju reprezentacija klasicnih

p−adskih reduktivnih grupa, a do njega su neovisno dosli Bernstein i Zelevinsky ([2])

te Casselman ([5]). Njome su opisane izvjesne filtracije Jacquetovih modula parabolicki

induciranih reprezentacija, a njena ”algebraizacija”, strukturna formula, pokazala se

kao vrlo korisan alat u izucavanju reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija.

U nastavku pratimo radove [2] i [5].

Neka je F lokalno nearhimedsko polje i neka je G grupa F -racionalnih tocaka povezane

reduktivne algebarske grupe definirane nad F . Krace kazemo da je G povezana reduk-

tivna p-adska F -grupa. Fiksiramo maskimalan F−rascjepiv torus A0 i minimalnu

parabolicku podgrupu P0 od G koja ga sadrzi. Odabir minimalne parabolicke podgrupe

P0 odreduje bazu 4 od sistema korijena Φ(G,A0) sastavljenu od prostih korijena te

odreduje skup pozitivnih korijena. Oznacimo s W Weylovu grupu

W = NG(A0)/A0.

Neka je P parabolicka podgrupa od G koja sadrzi P0. Takve podgrupe nazivamo stan-

dardnim parabolickim podgrupama, kao i u slucaju hermitskih kvaternionskih

20


grupa. Sve standardne parabolicke podgrupe povezane reduktivne F−grupe G mogu

se parametrizirati podskupovima θ ⊆ 4 na sljedeci nacin: za proizvoljan neprazan

podskup θ ⊆ 4 neka je

Aθ =⋂α∈θ

Kerα

te neka je

Mθ = ZG(Aθ),

gdje je ZG oznaka za centralizator u G Tada je Mθ Levijeva podgrupa standardne

parabolicke podgrupe Pθ od G i Pθ = MθNθ je standardna Levijeva dekompozicija od

Pθ. Oznacimo sada s Wθ podgrupu Weylove grupe W generiranu svim refleksijama

wα |α ∈ θ, pri cemu je wα refleksija na prostoru korijena. Da bi iskazali Geometrijsku

lemu potrebno je jos za podskupove θ, Ω ⊂ 4 opisati skup predstavnika od [WΩ\W/Wθ],

definiranih u [5]. Slijedeci [5], za α ∈ 4 definiramo skupove

Wα = w ∈ W | wα > 0

iαW = w ∈ W | w−1α > 0.

Tada za klase W/WΩ, WΩ \W i Wθ \W/WΩ mozemo odabrati set predstavnika klasa

u oznakama

[W/WΩ], [WΩ \W ], [Wθ \W/WΩ].

Pritom je

[W/WΩ] =⋂α∈Ω

Wα,

[WΩ \W ] =⋂α∈Ω

αW,

te

[Wθ \W/WΩ] = [Wθ \W ] ∩ [W/WΩ].

Sljedeci teorem dokazan je u [5, Propozicija 6.3.3]

Teorem 2.2 (Geometrijska lema) Neka je G povezana reduktivna p-adska grupa,

neka su Ω, θ ⊆ 4 te neka je Pθ = MθNθ Levijeva dekompozicija standardne parabolicke

21


podgrupe Pθ od G . Dalje, neka skup [Wθ \W/WΩ] ima m elemanata w1, w2, . . . , wm te

neka je σ dopustiva reprezenacija Levijevog faktora Mθ.Tada elemente w1, w2, . . . , wm

od [Wθ \W/WΩ] mozemo numerirati na nacin da postoji filtracija

0 = τ0 ⊆ τ1 ⊆ τ2 ⊆ · · · ⊆ τm = rGMΩ(IndGPθ(σ))

od rGMΩ(IndGPθ(σ)) takva da je za svaki 1 ≤ i ≤ m

τi/τi−1 ∼= IndMΩw−1i Pθwi∩MΩ

(w−1i (rMθ

Mθ∩wiΩ(σ))).

2.3 Reprezentacije opcih linearnih grupa nad alge-

brama s dijeljenjem

Buduci odredivanje reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kva-

ternionskih grupa zelimo uciniti sto blizim dobro nam poznatoj teoriji reprezentacija

opcih linearnih grupa, prisjetit cemo se u kratkim crtama standardne notacije i osnovnih

rezultata iz teorije reprezentacija opcih linearnih grupa nad algebrama s dijeljenjem.

Napomenimo da su notacija, a i rezultati, vrlo slicni onima koji su za opce linearne grupe

definirane nad p−adskim poljima uveli Bernstein i Zelevinsky ([33, 2]). U nastavku

pratimo rad [25].

Oznacimo s RN reduciranu normu na algebri M(k,D), k×k matrica s koeficijentima iz

kvaternionske algebre s dijeljenjem D centralne nad p−adskim poljem F karakteristike 0.

Karaktere od GL(k,D) koristenjem RN identificiramo s karakterima od F×. Stavimo

ν = |RN |F : GL(k,D)→ F×.

Za dopustive reprezentacije πi od GL(ki, D), i = 1, 2 s

π1 × π2 (2.7)

oznacavamo reprezentaciju od GL(k1 + k2, D) parabolicki induciranu iz PGL(k1,k2) =

22


MGL(k1,k2)N

GL(k1,k2). Ako je dodatno π3 dopustiva reprezentacija od GL(k3, F ), tada vri-

jedi

π1 × (π2 × π3) ∼= (π1 × π2)× π3 (2.8)

Neka je (α) = (k1, k2, . . . , kl) uredena particija od k i neka je π dpustiva reprezentacija

konacne duljine opce linearne grupe GL(k,D). Jacquetov modul od π u odnosu na

parabolicku podgrupu PGL(α) = MGL

(α)NGL(α) od GL(k,D) oznacavat cemo s

r(α)(π).

Oznacimo s Rk Grothendieckovu grupu kategorije svih dopustivih rezentacija konacne

duljine grupe GL(k,D). Neka je R = ⊕k≥0Rk. Postoji prirodno preslikavanje s objekata

te kategorije u R koje nazivamo semisimplifikacijom i oznacavamo s s.s.. Za dopustivu

reprezentaciju π konacne duljine od GL(k,D) njena semisimplifikacija je dana s

s.s.(π) =∑

τ∈ ˜GL(k,D)

mult(τ : π)τ, (2.9)

pri cemu je mult(τ : π) multiplicitet ireducibilne glatke reprezentacije τ u π, a ˜GL(k,D)

neunitarni dual opce linearne grupe GL(k,D). Mnozenje m : R⊗R→ R definirano je

indukcijom, a komnozenje m∗ : R→ R⊗R Jacquetovim modulima

m∗(π) =k∑l=0

s.s.(r(l,k−l)(π)) ∈ R⊗R. (2.10)

Uz preslikavanja m i m∗ R ima strukturu Hopfove algebre nad Z tj. komnozenje je

multiplikativno

m∗(π1 × π2) = m∗(π1)×m∗(π2). (2.11)

Formula (2.11) naziva se strukturnom formulom za opce linearne grupe, ona je poslje-

dica Teorema 2.2 i od posebne je vaznosti za teoriju reprezentacija opcih linearnih grupa

jer nam osigurava jednostavan nacin za racunanje kompozicijskih faktora Jacquetovih

modula (za maksimalne parabolicke podgrupe) parabolicki induciranih reprezentacija.

Buduci su u strukturu Hopfove algebre R prema konstrukciji ugradena vrlo vazna svoj-

stva Jacquetovih modula i parabolicke indukcije poput indukcije u koracima (2.2) te

tranzitivnosti Jacquetovih modula (2.4), to iako prema definiciji Hopfova algebra R

23


ukljucuje Jacquetove module samo za maksimalne parabolicke podgrupe, svojstvo tran-

zitivnosti Jacquetovih modula ce nam omoguciti racunanje drugih Jacquetovih modula

koristenjem ove strukture. Ovaj algebrarski pristup prosirit cemo u ovoj disertaciji i na

nase hermitske kvaternionske grupe.

Neka je τ standardna involucija na D. Za matricu g = (gij) ∈ GL(k,D) definiramo

matricu

τ(g) = (τ(gij)) ∈ GL(k,D).

Oznacimo li s gt transponiranu matricu od g te s

gτ = τ(gt) = (τ(gji)),

tada je g 7→ (gτ )−1, za svaki pozitivan cijeli broj k, neprekidna involucija na GL(k,D)

koju cemo oznaciti sa ∗. Za dopustivu reprezentaciju π od GL(k,D) definiramo sada

reprezentaciju π∗ na istom prostoru izrazom

π∗(g) = π(g−∗). (2.12)

Prema zapazanjima Muica i Savina ([18]), za ireducibilnu glatku reprezentaciju grupe

GL(k,D) vrijedi sljedeca relacija

π∗ ∼= π. (2.13)

Prema lokalnoj Jacquet-Langlandsovoj korespondenciji ([7]) medu ireducibilnim esen-

cijalno kvadratno integrabilnim reprezentacijama grupa GL(k,D) i GL(2k, F ), svakoj

ireducibilnoj kuspidalnoj reprezentaciji ρ grupe GL(k,D) pridruzena je ireducibilna

esencijalno kvadratno integrabilna reprezentacija ρ′ grupe GL(2k, F ).

Oznacimo s C skup svih klasa ekvivalencije ireducibilnih kuspidalnih reprezentacija svih

opcih linearnih grupa GL(k,D), k ≥ 1. Tada, za ρ ∈ C, definiramo cijeli broj s(ρ) na

sljedeci nacin

s(ρ) =

1, ako je ρ′ kuspidalana

2, inace(2.14)

24


i stavimo

νρ = νs(ρ). (2.15)

Tada nam vrijedi sljedeci teorem o reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija

opce linearne grupe definirane nad algebrom s dijeljenjem D.

Teorem 2.3 Neka su ρ1 i ρ2 ireducibilne kuspidalne reprezentacije grupa GL(k1, D) i

GL(k2, D) redom. Parabolicki inducirana reprezentacija ρ1 × ρ2 grupe GL(k1 + k2, D)

je reducibilna ako i samo ako je k1 = k2, s(ρ1) = s(ρ2) i ρ1 ∼= ν±1ρ2 ρ2.

Za ρ ∈ C, m nenegativan cijeli broj i karakter νρ = νs(ρ) skup oblika

ρ, νρρ, . . . , νmρ ρ

nazivamo segmentom ireducibilnih kuspidalnih reprezentacija opcih lineranih grupa

nad algebrama s dijeljenjem i oznacavamo s

4 = [ρ, νmρ ρ].

Skup svih segmenata kuspidalnih reprezentacija opcih linearnih grupa oznacit cemo sa

S. Za svaki segment 4 = [ρ, νmρ ρ] ∈ S, reprezentacija νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρ× ρ ima

jedinstvenu ireducibilnu podreprezentaciju koju oznacavamo s

δ(4) = δ([ρ, νmρ ρ]) (2.16)

i jedinstven ireducibilan kvocijent kojeg oznacavamo s

s(4) = s([ρ, νmρ ρ]). (2.17)

Dakle, vrijedi nam

δ([ρ, νmρ ρ]) → νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρ× ρ s([ρ, νmρ ρ]). (2.18)

Ireducibilna reprezentacija δ(4) je esencijalno kvadratno integrabilna i karakterizirana

je cinjenicom da je νmρ ρ⊗ · · · ⊗ νρρ⊗ ρ u njenom Jacquetovom modulu.

25


Preslikavanje 4 7→ δ(4) je bijekcija sa skupa S u skup svih klasa ekvivalencije

ireducibilnih esencijalno kvadratno integrabilnih reprezentacija opcih linearnih grupa

GL(k,D), k ≥ 1.

Ako je l > m formalno uzimamo da je

[νlρρ, νmρ ρ] = ∅.

Takoder, uzimamo δ(∅) = s(∅) kao identitetu od R. Vrijedi nam

m∗(δ([ρ, νmρ ρ])) =m∑

i=−1δ([νi+1

ρ ρ, νmρ ρ])⊗ δ([ρ, νiρρ]) (2.19)

m∗(s([ρ, νmρ ρ])) =m∑

i=−1s([ρ, νiρρ])⊗ s([νi+1

ρ ρ, νmρ ρ]). (2.20)

Neka je ρ reprezentacija od GL(k,D). Uredenu l−torku (k, k, . . . , k) ∈ Zl oznacimo s

(k)l. Reprezentacije δ([ρ, νmρ ρ]) te s([ρ, νmρ ρ]) se mogu koristenjem formula

r(k)m+1(δ([ρ, νmρ ρ])) = νmρ ρ⊗ νm−1ρ ρ⊗ · · · ⊗ νρρ⊗ ρ (2.21)

i

r(k)m+1(s([ρ, νmρ ρ])) = ρ⊗ νρρ⊗ · · · ⊗ νm−1ρ ρ⊗ νmρ ρ (2.22)

okarakterizirati kao ireducibilni subkvocijenti od νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρ× ρ.

Neka je π dopustiva reprezentacija od GL(k,D). Pretpostavimo da je π subkvocijent

od ρ1×ρ2×· · ·×ρl pri cemu su ρi ireducibilne kuspidalne reprezentacije opcih linearnih

grupa. Tada multiskup (ρ1, ρ2, . . . , ρl) zovemo nosac od π. Ako je dodatno, σ dopustiva

reprezentacija reduktivne grupe G , tada je π ⊗ σ reprezentacija od GL(k,D) × G te

definiramo GL−nosac od π ⊗ σ kao nosac od π, tj. (ρ1, ρ2, . . . , ρl).

Napomena 2.1 ([33])Nosac ireducibilne reprezentacije π od GL(k,D) uvijek postoji i

on je jedinstveno odreden .

26


Uvedimo sada oznaku koju cemo u nastavku rada cesto koristiti. Za ireducibilnu

kuspidalnu reprezentaciju ρ opce linearne grupe GL(k,D) te pozitivan cijeli broj m,

stavimo

δ(ρ,m) = δ[ν−(m−1)/2ρ ρ, ν(m−1)/2

ρ ρ]. (2.23)

Tada je prema [30, Poglavlje 9] za svaki α ∈ R,

ναρ δ(ρ,m) ∼= δ(ναρ ρ,m). (2.24)

U nastavku se u kratkim crtama prisjecamo dijela Langlandsove klasifikacije za opce

linearne grupe. Svaku ireducibilnu esencijalno kvadratno integrabilnu reprezenaciju

δ od GL(p,D) mozemo zapisati u obliku δ = νe(δ)δu, pri cemu je e(δ) ∈ R i δu je

unitarizabilna reprezentacija opce linearne grupe. Za ireducibilne, esencijalno kvadratno

integrabilne reprezentacije δ1, . . . , δk opcih linearnih grupa, odaberemo permutaciju p

skupa 1, 2, . . . , k tako da bude

e(δp(1)) ≥ e(δp(2)) ≥ · · · ≥ e(δp(k)).

Tada reprezentacija δp(1) × δp(2) × · · · × δp(k) ima jedinstven ireducibilan subkvocijent

kojeg oznacavamo s

L(δ1, . . . , δk).

(δ1, . . . , δk) 7→ L(δ1, . . . , δk) je Langlandsova klasifikacija za opce linearne grupe nad

algebrama s dijeljenjem. Za dva segmenta 41 i 42 kazemo da su povezana ako je

41 ∪42 ∈ S segment koji je razlicit od segmenata 41 i 42 .

Prema Lemi 2.5 u [25] reprezentacija δ(41) × δ(42) je reducibilna ako i samo ako su

segmenti 41 i 42 povezani i tada je

L(δ(41), δ(42)), δ(41 ∪42)× δ(41 ∩42)

kompozicijski niz od δ(41)× δ(42).

27


Neka je M(S) skup svih konacnih multiskupova nad S. Neka je a = (41,42, . . . ,4k) ∈

M(S). Odaberemo permutaciju ζ skupa 1, . . . , k tako da je

e(δ(4ζ(1))) ≥ e(δ(4ζ(2))) ≥ · · · ≥ e(δ(4ζ(k))).

Uvedimo reprezentacije

λ(a) = δ(4ζ(1))× δ(4ζ(2))× · · · × δ(4ζ(k))

i

ξ(a) = s(4ζ(1))× s(4ζ(2))× · · · × s(4ζ(k)).

Reprezentacija λ(a) ima jedinstven ireducibilan kvocijent kojeg oznacavamo s L(a), dok

reprezentacija ξ(a) ima jedinstvenu ireducibilnu podreprezentaciju koju oznacavamo sa

Z(a).

Neka je a = (41,42, . . . ,4k) ∈M(S). Ako postoje i, j ∈ 1, . . . , k, i < j takvi da su

segmenti 4i i 4j povezani, tada zamjenjujuci par 4i,4j parom 4i ∪4j,4i ∩4j u a

dobivamo multiskup

a′ = (41, . . . ,4i−1,4i ∪4j,4i+1, . . . ,4j−1,4i ∩4j,4j+1, . . . ,4k) ∈M(S)

i pisemo

a′ ≺ a.

Koristenjem ≺ generiramo parcijalan uredaj ≤ na M(S) te nam tada vrijedi sljedeca

cinjenica:

Za a = (41,42, . . . ,4k) i a′ = (4′1,4′2, . . . ,4′k′) ∈M(S), reprezentacija L(δ(4′1), . . . , δ(4′k′))

je subkvocijent od δ(41) × · · · × δ(4k) ako i samo ako je a′ ≤ a. U slucaju da je a′

minimalan multiskup s navedenim svojstvom, onda je on multipliciteta jedan. Dakle,

zakljucujemo, ako medu segmentima 41, . . . ,4k povezani parovi segmenata ne postoje,

onda je reprezentacija δ(41)× · · · × δ(4k) ireducibilna.

Pri ispitivanju reducibinosti parabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kvaterni-

onskih grupa cesto cemo koristiti sljedeci teorem.

28


Teorem 2.4 ([30, 25]) Neka su a, b ∈M(S). Tada:

(a) L(b)(redom Z(b)) je subkvocijent od λ(a) (resp. ζ(a)) ako i samo ako je b ≤ a.

(b) Multiplicitet od L(a) (resp. Z(a)) u λ(a) (resp. ζ(a)) je jedan.

(c) Ako je b ≤ a i ako je b minimalan u M(S), tada je multiplicitet od L(b) (resp. Z(b))

u λ(a) (resp. ζ(a)) jedan.

Napomena 2.2 U radu cemo cesto koristiti i sljedecu cinjenicu.

Neka su a, b ∈ M(S). Ako je L(b) subkvocijent od λ(a), tada je nosac od L(a) jednak

nosacu od L(b).

29

Poglavlje 3

Reprezentacije hermitskih

kvaternionskih grupa

Neka je D kvaternionska algebra s dijeljenjem, centralna nad nearhimedskim poljem F

karakteristike 0 . Zbog slicnosti strukture opce hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε)

sa strukturom klasicnih rascjepivih grupa (standardni Levijevi faktori su produkti opcih

linearnih grupa i manje hermitske kvaternionske grupe) za sumu Grothendieckovih

grupa kategorije glatkih reprezentacija konacne duljine opce hermitske kvaternionske

grupe Gn(D, ε) u ovom poglavlju na nacin analogan onome za klasicne rascjepive grupe

uvodimo strukturu izvjesnog Hopfovog modula nad Hopfovom algebrom R glatkih

reprezentacija konacne duljine od GL(k,D), k ≥ 0 te se prisjecamo Langlandsove

klasifikacije, kriterija kvadratne integrabilnosti i Aubertine involucije, buduci ce nam

svi ti koncepti pomoci pri analizi reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija u

petom poglavlju.

3.1 Langlandsova klasifikacija

Slijedeci Poglavlje 11.2 u [3] opisat cemo Langlandsovu klasifikaciju za Gn(D, ε). Neka

je kao u Poglavlju 2, ν(g) = |RN(g)|F , g ∈ GL(k,D) pri cemu je RN reducirana norma.

30

Poglavlje 3. Reprezentacije hermitskih kvaternionskih grupa

Za svaku esencijalno kvadratno integrabilnu reprezentaciju δ grupe GL(n,D), postoji

jedinstven realan broj e(δ) i jedinstvena kvadratno integrabilna reprezentacija δu takva

da je

δ = νe(δ)δu.

Za uredeni multiskup (δ1, δ2, . . . , δk) ireducibilnih, esencijalno kvadratno integrabilnih

reperezentacija grupa GL(·, D) kazemo da je u standardnom poretku ako je

e(δ1) ≥ e(δ2) ≥ · · · ≥ e(δk).

Za reprezentacije δi grupa GL(·, D) i reprezentaciju τ grupe Gr(D, ε) pisemo

δ1 × δ2 × · · · × δk o τ = IndGn(D,ε)P (δ1 ⊗ δ2 ⊗ · · · ⊗ δk ⊗ τ)

pri cemu je P pripadna standardna parabolicka podgrupa od Gn(D, ε). Neka je

(δ1, δ2, . . . , δk) multiskup ireducibilnih, esencijalno kvadratno integrabilnih reprezenta-

cija grupa GL(·, D) koji je u standardnom poretku i neka je e(δk) > 0. Promatramo

reprezentaciju δ1 ⊗ δ2 ⊗ · · · ⊗ δk ⊗ τ pripadne standardne Levijeve podgrupe i stavimo

e(δ) = (e(δ1), e(δ1), . . . , e(δk), e(δk), 0, . . . , 0) ∈ X(A0)⊗Z R ∼= Rn (3.1)

U izrazu (3.1), za svaki i = 1, . . . , k se e(δi) pojavljuje tocno ni puta ako je δi re-

prezentacija od GL(ni, D) i 0 se pojavljuje r puta. Uvedimo parcijalni uredaj na

X(A0) ⊗Z R ∼= Rn. Kazemo da je (x1, x2, . . . , xn) ≤ (y1, y2, . . . , yn) ako i samo ako

vrijede sljedece nejednakosti:

x1 ≤ y1

x1 + x2 ≤ y1 + y2...

x1 + x2 + · · ·+ xn ≤ y1 + y2 + · · ·+ yn.

(3.2)

Neka je ( , ) skalarni produkt na X(A0)⊗Z R koji je invarijantan na djelovanje Weylove

grupe i neka je β1, β2, . . . , βn baza dualna bazi α1, α2, . . . , αn sastavljenoj od prostih

korijena pripadnog korijenskog sistema.

31


Teorem 3.1 (Langlandsova klasifikacija, [3, 9]) Parabolicki inducirana reprezen-

tacija δ1 × δ2 × · · · × δk o τ pri cemu su ireducibilne, kvadratno integrabilne reprezen-

tacije (δ1, δ2, . . . , δk) u standardnom poretku uz e(δk) > 0 i pri cemu je τ ireducibilna

temperirana reprezentacija grupe Gr(D, ε) ima jedinstven ireducibilan kvocijent kojeg

oznacavamo s L(δ1, δ2, . . . , δk; τ), a koji je multipliciteta 1 u induciranoj reprezentaciji.

Na ovaj nacin dobivamo sve ireducibilne reprezentacije grupe Gn(D, ε).

3.2 Kriterij kvadratne integrabilnosti

Za dopustivu ireducibilnu reprezentaciju π grupe Gn(D, ε) i uredenu particiju

(α) = (n1, n2, . . . , nk) od n− r, pri cemu je r ≥ 0, sa s(α)(π) oznacavamo normaliziran

Jacquetov modul te reprezentacije u odnosu na standardnu parabolicku podgrupu P(α)

s Levijevom podgrupom M(α) izomorfnom GL(n1, D)×GL(n2, D)× · · · ×GL(nk, D)×

Gr(D, ε). Medu medusobno asociranim parabolickim podgrupama, odaberimo podgrupu

P(α) minimalnu s obzirom na svojstvo da je s(α)(π) 6= 0. Svaki ireducibilan subkvocijent

od s(α)(π) je tada nuzno kuspidalan. U nastavku dajemo analogon poznatog Cassel-

manovovog kriterija kvadratne integrabilnosti za opce p-adske reduktivne grupe ([5]).

iskazan u terminima nase notacije.

Teorem 3.2 (Kriterij kvadratne integrabilnosti, [5, 9]) Ireducibilna dopustiva

reprezentacija π grupe Gn(D, ε) je kvadratno integrabilna ako i samo ako za svaki iredu-

cibilan subkvocijent σ = σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σk ⊗ τ od s(α)(π) za svaku uredenu particiju (α)

od n− r vrijedi sljedece

(e(σ), βn1+n2+···+ni) > 0, ∀i = 1, 2, . . . , k. (3.3)

Drugim rijecima, da bi ireducibilna dopustiva reprezentacija π bila kvadratno integra-

bilna nuzno je i dovoljno da za svaku uredenu particiju (α) = (n1, . . . , nk; r) od n

minimalnu u odnosu na svojstvo s(α)(π) 6= 0 i svaki ireducibilan subkvocijent σ od

s(α)(π) 6= 0 vrijedi (3.3).

32


3.3 Struktura ψ-Hopfovog modula

Uloga Jacquetovih modula u analizi parabolicki induciranih reprezentacija klasicnih

p-adskih grupa je iznimno velika. Strukturna formula u [29], koja je bazirana je na Ge-

ometrijskoj lemi, daje izniman doprinos u odredivanju Jacquetovih modula parabolicki

induciranih reprezentacija klasicnih rascjepivih grupa. Kako bi koristeci Teorem 2.2

odredili filtracije Jacquetovih modula parabolicki induciranih reperezentacija hermitskih

kvaternionskih grupa, potrebno je izracunati predstavnike kvocijentnih klasa u Weylovoj

grupi. Buduci se relativni sistemi korijena dobiveni za hermitske kvaternionske grupe

ne razlikuju od onih za klasicne rascjepive grupe Sp(2n, F ) te SO(2n+ 1, F ), pripadne

Weylove grupe su esencijalno jednake, te je struktura standardnih Levijevih podgrupa

od Gn(D, ε) analogna, to strukturu izvjesnog Hopfovog modula na direktnoj sumi Grot-

hendieckovih grupa glatkih reprezentacija konacne duljine od Gn(D, ε) uvodimo na nacin

koji je analogan onome opisanom u [29].

Fiksiramo pozitivan cijeli broj n. Neka je i1 ∈ 1, 2, . . . , n te neka su π i σ dopustive

reprezentacije grupa GL(i1, D) te Gn−i1(D), redom. Za element i2 ∈ 1, 2, . . . , n, neka

su d i k cijeli brojevi koji zadovoljavaju sljedece nejednakosti:

0 ≤ d ≤ mini1, i2,

max0, (i1 + i2 − n)− d ≤ k ≤ mini1, i2 − d.

Tada tocno znamo kako izgleda skup predstavnika klasa [W4\αi1 \W/W4\αi2] ([29]).

Slijedeci notaciju iz [29], te predstavnike cemo oznacavati s

qn(d, k)i1,i2 .

Uocimo da element w = qn(d, k)i1,i2 djeluje na matricu

diag(g1, g2, g3, g4, h, Jg−∗1 J, Jg−∗2 J, Jg−∗3 J, Jg−∗4 J),

pri cemu je g1 ∈ GL(k,D), g2 ∈ GL(i2 − d − k,D), g3 ∈ GL(d,D), g4 ∈ GL(i1 − d −

k,D) i h ∈ Gn−i1−i2+d+k(D, ε), na sljedeci nacin

w(diag(g1, g2, g3, g4, h, Jg−∗1 J, Jg−∗2 J, Jg−∗3 J, Jg−∗4 J))w−1 =

33


diag(g1, g4, Jg−∗3 J, g2, h, Jg

−∗2 J, g3, Jg

−∗4 J, Jg−∗2 J, Jg−∗1 J),

Kao sto je u prvom poglavlju istaknuto, na Grothendieckovoj grupi, odnosno direktnoj

sumi Grothendieckovih grupa R = ⊕k≥0Rk glatkih reprezentacija konacne duljine grupa

GL(k,D) postoji dobro poznata struktura Hopfove algebre.

Oznacimo sada s R(Gn(D, ε)) Grothendieckovu grupu glatkih rezentacija konacne du-

ljine hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε). Neka je R(G) = ⊕n≥0R(Gn(D, ε)). Tada

nam parabolicka indukcija daje strukturu R-modula na R(G) pri cemu lijevo mnozenje

elementima iz R oznacavamo s o. R(G) je ocito R-modul. Struktura komodula defini-

rana je na nacin analogan onom za GL−slucaj kada uvedemo Z−linearno preslikavanje

µ∗ : R(G)→ R⊗R(G) definirano na bazi ireducibilnih dopustivih reprezentacija s

µ∗(σ) =n∑k=0

s.s.(s(k)(σ)), (3.4)

gdje je s(k)(σ) = s(k;n−k)(σ)

Kao konvenciju u ovom radu koristimo sljedeci zapis:

π1 ≤ π2 ⇔ s.s.(π1) ≤ s.s.(π2), (3.5)

pri cemu je s.s.(π1) ≤ s.s.(π2) ako i samo ako za svaku ireducibilnu dopustivu reprezen-

taciju σ od G je mult(σ : π1) ≤ mult(σ : π2).

Jacquetov funktor rGM mozemo podignuti do homomorfizma R(G) → R(M) kojeg

takoder oznacavamo s rGM . Uocimo da je spomenuti homomorfizam pozitivan, tj.

π ≥ 0⇒ rGM(π) ≥ 0. (3.6)

Iz formule (3.6) nam direktno slijedi da je taj homomorfizam i monoton, tj.

π1 ≤ π2 ⇒ rGM(π1) ≤ rGM(π2). (3.7)

Napomena 3.1 Da ne bi doslo do zabune u interpretaciji rezultata, u nastavku rada

koristimo ”=” kada definiramo nesto ili radimo u Grothendieckovoj grupi, a ”∼=” u

slucaju kada zelimo naglasiti izomorfnost reprezentacija.

34


Sljedece dvije propozicije iskazuju nam dobro poznate cinjenice o parabolickoj indukciji

koje su iskazane u terminima nase notacije.

Propozicija 3.1 Za dopustive reprezentacije π, π1 i π2 opcih linearnih grupa i dopustivu

reprezentaciju σ od Gn(D, ε) vrijedi sljedece:

i) π1 o (π2 o σ) ∼= (π1 × π2) o σ

ii) (π o σ)∼ ∼= π∼ o σ∼.

Dokaz: Dokazi u koracima slijede one u rascjepivom slucaju u ([28, Propozicija 4.1] i

[29, Propozicija 6.1])

Propozicija 3.2 Neka je π ∈ R i σ ∈ R(G). Tada je πoσ = πoσ u Grothendieckovoj

grupi R(G)

Dokaz: Dokazi u koracima slijede one u rascjepivom slucaju u ([28, Propozicija 4.2] i

[29, Propozicija 6.2]).

Neka je σ dopustiva reprezentacija od Gn(D, ε) i (α) = (n1, . . . , nk; r) uredena particija

od n i s(α)(σ) Jacquetov modul od σ za P(α). Ako je σ reprezentacija konacne duljine od

Gn(D, ε), tada semisimplifikaciju s.s.(s(α)(σ)) promatramo kao element u Rn1 ⊗Rn2 ⊗

· · · ⊗Rnk ⊗Rr(G).

Tenzorski produkt R⊗R(G) na ocit nacin postaje R⊗R−modul:

(∑i

r′i ⊗ r′i′) o (∑j

rj ⊗ sj) =∑i

∑j

(r′i × rj)⊗ (r′i′ o sj) (3.8)

Oznacimo sa s : R ⊗ R → R ⊗ R linerano preslikavanje takvo da je s(π1 ⊗ π2) = π2 ⊗ π1 i

definiramo homomorfizam prstena ψ∗ : R→ R⊗R sa

ψ∗ = (m⊗ 1) (⊗m∗) s m∗. (3.9)

35


Primijetimo da zbog spomenutog rezultata Muica i Savina ([18]) u prethodnom poglavlju,

u definiciji preslikavanja ψ∗ ne stavljamo s (2.12) definiranu reprezentaciju, vec kontragredi-

jentnu˜ . Uz sve navedeno u ovoj sekciji, slijedeci Teorem 5.2 i Teorem 5.4 u [29] i njihove

dokaze dobivamo strukturnu formulu za hermitske kvaternionske grupe.

Teorem 3.3 (Struktura ψ∗-Hopfovog modula na R(G)) Za glatku reprezentaciju π∗

konacne duljine od GL(k,D) i za glatku reprezentaciju σ konacne duljine grupe Gr(D, ε)

vrijedi

µ∗(π o σ) = ψ∗(π) o µ∗(σ) (3.10)

Dokaz:

Ispostavlja se da je oblik homomorfizma ψ∗ pomocu kojeg je ralizirana struktura Hopfovog

modula na R(G), analogan obliku tog homomorfizma u rascjepivom slucaju simplektickih

grupa Sp(n, F ) i SO(2n + 1, F ) ([29])i opce linearne grupe GL(n, F ) ([33]) pa ce nam kao

poopcenje rezultata A. V. Zelevinskog u slucaju opcih linearnih grupa i M. Tadica za slucaj

rascjepivih klasicnih grupa, ova strukturna formula dati znacajan doprinos u proucavanju

induciranih reprezentacija grupa koje promatramo.

3.4 Jacquetovi moduli GL−tipa

Neka je π dopustiva reprezentacija konacne duljine opce linearne grupe GL(k,D) te neka

je σ kuspidalna reprezentacija konacne duljine hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Ako

je τ subkvocijent parabolicki inducirane reprezentacije π o σ hermitske kvaternionske grupe

Gk+r(D, ε), tada definiramo

sGL(τ) = s(k)(τ), (3.11)

gdje je s(k;r)(τ) Jacquetov modul (3.11) nazivamo Jacquetovim modulom GL-tipa. Ovi

Jacquetovi moduli posebno su zanimljivi zbog sljedeceg svojstva

s.s.(sGL(τ)) = ρ⊗ σ (3.12)

za neki ρ ∈ Rk, ρ ≥ 0. Svojstvo (3.12) posljedica je strukturne formule (3.10).

36


3.5 Aubertina involucija

Neka je iGn(D,ε)M funktor normalizirane parabolicke indukcije, rGn(D,ε)

M normalizirani Jacquet-

ov funktor, te neka je R(G) = R(Gn(D, ε)) Grothendieckova grupa kategorije svih glatkih

reprezentacija konacne duljine opce hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε). Aubertina

involucija([1]) DGn(D,ε) definirana je na Grothendieckovoj grupi R(G) izrazom

DGn(D,ε) =∑θ⊂4

(−1)|θ|iGn(D,ε)Mθ

rGn(D,ε)Mθ

, (3.13)

pri cemu Mθ kao i ranije oznacava standardnu Levijevu podgrupu koja je u korespondenciji s

θ ⊂ 4, a |θ| je kardinalni broj skupa θ. Dakle, suma ide po skupu svih standardnih Levijevih

pogrupa od G. Za ireducibilu dopustivu reprezentaciju π od G, definiramo

π = ±DGn(D,ε)(π),

uzimajuci predznak + ili− tako da π bude pozitivan element Grothendieckove grupeR(Gn(D, ε)).

Reprezentaciju π zovemo Aubertinom involucijom reprezentacije π.

3.6 Generalizirana Steinbergova reprezentacija

Neka je ρ ∼= ρ samodualna ireducibilna unitarna kuspidalna reprezentacija grupe GL(k,D) te

neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezenatcija opce hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε).

Pretpostavimo da je ναρ ρo σ reducibilna za neki α > 0 (uvijek postoji jedinstven β ≥ 0 tako

da je νβρ ρo σ reducibilna ([23, Lema 1.2])). Tada za svaki m ≥ 0 reprezentacija

να+mρ ρ× να+m−1

ρ ρ× · · · × ναρ ρo σ

ima jedinstvenu ireducibilnu podreprezentaciju i ona je kvadratno integrabilna. Zbog analogije

sa Steinbergovom reprezentacijom za klasicne grupe, koja je specijalan slucaj prethodne kons-

trukcije za trivijalnu reprezentaciju σ trivijalne grupe i trivijalni karakter ρ odGL(1, F ) ∼= F×,

a koja je za povezanu reduktivnu grupu G nad F definirana u [5], nazivamo ju generalizira-

nom Steinbergovom reprezentacijom.

Osnovna svojstva generaliziranih Steinbergovih reprezentacija dana su u teoremu koji slijedi

([25, 29]).

37


Teorem 3.4 Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija grupe GL(k,D)

te neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezenatcija opce hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε).

Pretpostavimo da je ναρ ρo σ reducibilna za neki α > 0. Tada:

(a) ρ ∼= ρ,

(b) Reprezentacija να+mρ ρ × να+m−1

ρ ρ × · · · × ναρ ρ o σ, za svaki m ≥ 0 ima jedinstevnu

ireducibilnu podreprezentaciju koju oznacavamo s

δ([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ). (3.14)

Zatim,

µ∗(δ([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ)) =

m∑i=−1

δ([να+i+1ρ ρ, να+m

ρ ρ])⊗ δ([ναρ ρ, να+iρ ρ], σ). (3.15)

Formalno uzimamo da nam je

δ(∅, σ) = σ.

Reprezentacija δ([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ) je kvadratno integrabilna te je

δ([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ) = δ([ναρ ρ, να+m

ρ ρ], σ).

(c) Reprezentacija να+mρ ρ×να+m−1

ρ ρ×· · ·×ναρ ρoσ za svaki m ≥ 0 ima jedinstven ireducibilan

kvocijent kojeg oznacavamo s

s([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ). (3.16)

Vrijedi da je

µ∗(s([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ)) =

m∑i=−1

s([ν−α−mρ ρ, ν−α−i−1ρ ρ])⊗ s([ναρ ρ, να+i

ρ ρ], σ). (3.17)

Formalno uzimamo da nam je

s(∅, σ) = σ.

Takoder, iz Langlandsove klasifikacije jasno je da je

s([ναρ ρ, να+mρ ρ], σ) = L(ναρ ρ, να+1

ρ ρ, . . . , να+mρ ρ, σ).

Reprezentaciju (3.16) mozemo opisati kao jedinstven ireducibilan subkvocijent π od νm+αρ ρ×

νm−1+αρ ρ× · · · × ναρ ρo σ koji zadovoljava da je

ν−α−mρ ρ⊗ ν−α−(m−1)ρ ρ⊗ · · · ⊗ ν−α−1

ρ ρ⊗ ν−αρ ρ⊗ σ = s(k)m+1(π) (3.18)

38


Dokaz: Dokaz tvrdnji iskazanog teorema analogan je dokazima ekvivalentnih tvrdnji za

kvazi-rascjepive klasicne grupe koji se mogu pronaci na vise mjesta, a istaknut cemo neka:

za tvrdnju (a) [21], za (b) dokaz Propozicije 3.1. u [31], a dokaz pod (c) je slican dokazu

tvrdnje (b) uz primjenu Aubertine involucije (3.13).

39

Poglavlje 4

R-grupe za hermitske kvaternionske

grupe

Pitanje reducibilnosti reprezentacija parabolicki induciranih iz kvadratno integrabilnih re-

prezentacija Levijevih faktora vrlo je vazno pitanje za teoriju reprezentacija p-adskih grupa

opcenito. Kao vrlo mocan alat za analizu takvih reprezentacija pokazao se koncept R-grupe

kojim pristupamo sljedecem, vrlo vaznom problemu:

Neka je G povezana reduktivna algebarska grupa definirana nad nearhimedskim poljem F

karkteristike 0 i neka je M Levijeva podgrupa parabolicke F -podgrupe P od G. Neka je σ

ireducibilna dopustiva reprezentacija od M . Zanima nas rastav parabolicki inducirane repre-

zentacije IndGP (σ) na ireducibilne komponente, i to specijalno u slucaju kada je σ reprezentacija

iz diskretnih serija.

S ciljem odredivanja strukture reprezentacija induciranih s diskretnim serijama IndGP (σ),

Knapp i Stein su u arhimedskom slucaju ([15]) te Harish-Chandra u p-adskom ([12]), razvili

teoriju singularnih operatora ispreplitanja koja vodi do teorije R-grupa koju su u arhimed-

skom slucaju uveli Knapp i Stein ([15]), a u p-adskom Silberger ([22]). R-grupa odreduje nam

koliko se neizomorfnih ireducibilnih komponenti pojavljuje u IndGP (σ) te multiplicitet svake

od tih komponenti. Da bi mogli eksplicitno odrediti R-grupe nasih hermitskih kvaternionskih

grupa, moramo imati neke informacije o strukturi Levijevih faktora njihovih standardnih

parabolickih podgrupa te o tome kada je IndGP (σ) reducibilna za odgovarajuce maksimalne

40

Poglavlje 4. R-grupe za hermitske kvaternionske grupe

parabolicke podgrupe P . Dalje, uz pretpostavku razumijevanja kriterija reducibilnosti za

induciranje iz maksimalnih parabolickih podgrupa i postojanja produktne formule za R-grupe,

racunanje R-grupa za proizvoljnu parabolicku podgrupu P postat ce nam kombinatornog

tipa. Iz same strukture dobivenih R-grupa slijedit ce nam da je parabolicki inducirana repre-

zentacija IndGP (σ) uvijek multipliciteta jedan.

U ovom poglavlju cemo uz kratko prisjecanje definicije R-grupe, slijedeci radove D. Goldberga

[8] za slucaj klasicnih rascjepivih grupa te M. Hanzer [10] za hermitske kvaternionske grupe

s trivijalnim anizotropnim prostorom pokazati da se u slucaju opce hermitske kvaternionske

grupe Gn(D, ε) odredivanje R-grupa moze reducirati te da se R-grupa pridruzena reprezen-

taciji diskretnih serija Levijevog faktora M standardne parabolicke podgrupe od Gn(D, ε)

moze zapisati kao produkt R-grupa pridruzenih bazicnim parabolickim podgrupama. Osim

te redukcije, racunanje R-grupa cemo i dalje reducirati koristenjem rezultata iz [14] poka-

zujuci da je za svaku bazicnu parabolicku podgrupu hermitske kvaternionske grupe R-grupa

oblika (Z/2Z)d, pri cemu se uz poznavanje kriterija reducibilnosti za maksimalne parabolicke

podgrupe broj d moze eksplicitno odrediti.

4.1 Definicija R-grupe

Neka je Pθ = MθNθ standardna parabolicka podgrupa hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε)

koja je u korespondenciji s podskupom θ skupa prostih korijena 4 = 4(Gn(D, ε), A0). Kao

u Poglavlju 1, neka je Aθ rascjepiva komponenta od Pθ s relativnom Weylovom grupom

Wθ = NGn(D,ε)(Aθ)/Mθ.

Postoji prirodno djelovanje relativne Weylove grupe Wθ na reprezentacije od Mθ. Za σ ∈ DMθ,

pri cemu je DMθskup klasa ekvivalencije ireducibilnih esencijalno kvadratno integrabilnih

reprezentacija od Mθ i w ∈ Wθ djelovanje je dano s

wσ(m) = σ(wmw−1). (4.1)

41


Oznacimo s W (σ) stabilizatorsku podgrupu pri djelovanju relativne Weylove grupe, tj.

W (σ) = w ∈ Wθ | wσ ∼= σ. (4.2)

Kazemo da je reprezentacija σ singularna ili razgranata ako postoji neki netrivijalan element

w ∈ W takav da je wσ ∼= σ. U protivnom kazemo da je σ nesingularna ili nerazgranata.

Neka je C(σ) algebra ispreplitanja reprezentacije IndGP (σ). Prema Bruhatovom teoremu

iz Harish-Chandrinog rada ([12]) poznata je ocjena dimenzije algebre ispreplitanja C(σ)

kardinalitetom grupe W (σ)

dimCC(σ) ≤ |W (σ)|.

Tocnu dimenziju algebre ispreplitanja C(σ) dat ce nam R-grupa. Ako je σ nesingularna, onda

nam prethodni rezultat govori da IndGP (σ) mora biti ireducibilna pa izucavanje reducibilnosti

u slucaju kada je σ reprezentacija diskretnih serija reduciramo na singularan slucaj, odnosno

na onaj kada postoji netrivijalni element w Weylove grupe takav da je

wσ ∼= σ.

Za dopustivu reprezentaciju σ standardne Levijeve podgrupe Mθ i element w Weylove grupe

takav da je w(θ) = θ′ podskup skupa prostih korijena stavimo

Nw = Nmin ∩ wNθw−1

pri cemu je Nθ unipotentni radikal parabolicke podgrupe suprotne od Pθ, a Nmin unipot-

netni radikal minimalne parabolicke podrgupe Pmin od G . Iskoristimo li (4.1), s wσ(m) =

σ(w−1mw), m ∈Mθ′ definirali smo reprezentaciju od Mθ′ .

Oznacimo kompleksificirani dual realne Liejeve algebre aθ od Aθ s (a∗Mθ)C pri cemu je

aθ = Hom(X(Mθ)F ,R),

te s X(Mθ)F Z-modul F−racionalnih karaktera od Mθ. Tada je

(a∗Mθ)C = X(Mθ)F ⊗R C.

42


Neka je HPθ : Pθ → aMθhomomorfizam koji je trivijalan na unipotentnom radikalu Nθ od Pθ,

a Levijevom faktoru Mθ je definiran uvjetom

q<α,HPθ (m)> = |α(m)|F , ∀α ∈ X(Mθ)F , ∀m ∈Mθ. (4.3)

Za p ∈ Pθ,

HPθ(p) = |α(m)|F

gdje je p = mn, m ∈Mθ, n ∈ Nθ.

Neka je λ ∈ (a∗Mθ)C i fλ ∈ IndGn(D,ε)

Pθ(σ ⊗ q<λ,HPθ ()>). Samo formalno definiramo standardni

operator ispreplitanja:

Aw(σ, λ)fλ(g) =∫Nwfλ(w−1ng)dn. (4.4)

Ako za neki λ ovaj integral konvergira za svaki fλ, onda on definira operator ispreplitanja

Aw(σ, λ) : IndGn(D,ε)Pθ

(σ ⊗ q<λ,HPθ ())→ IndGn(D,ε)Pθ′

(wσ ⊗ q<wλ,HPθ′

()). (4.5)

Prethodni integral slabo konvergira u konusu u pozitivnoj Weylovoj komori od (a∗Mθ)C i ima me-

romorfno produljenje na citav prostor (a∗Mθ)C (vidi [20]). Ako je element w najdulji element u

relativnoj Weylovoj grupi Wθ, tada operator Aw(σ, λ) zovemo dugi operator ispreplitanja.

Neka su P i P ′ parabolicke podgrupe od Gn(D, ε) s istom Levijevom podgrupom, neka

je σ reprezentacija diskretnih serija od M te neka je λ ∈ (a∗Mθ)C. Definiramo stndardni

(integralan) operator ispreplitanja JP ′|P (λ, σ) medu reprezentacijama IndGP (σ ⊗ q<λ,HP ()>) i

IndGP ′(σ ⊗ q<λ,HP ′ ()>) definiran na sljedeci nacinJP ′|P (λ, σ)

JP ′|P (λ, σ)f(g) =∫N∩N ′\N ′

fλ(ng)dn (4.6)

Oznacimo s RP ′|P (λ, σ) normalizirani operator ispreplitanja dobiven iz JP ′|P (λ, σ) i s l(w)

operator lijeve translacije elementom w−1 Weylove grupe. Kada je λ = 0 iskljucujemo ga iz

notacije. Ovaj operator djeluje na prostorima induciranih reprezentacija. Ako σ djeluje na

prostoru V , tada za svaki w ∈ W (σ) postoji izomorfizam Tw na V takav da je

Tw(wσ)(m) = σ(m)Tw,

43


za sve m ∈M . Definiramo operatore

R(w, σ) := Twl(w)Rw−1Pw|P (σ)

koji su operatori ispreplitanja za reprezentaciju IndGP (σ).

Prema Harish-Chandrinim rezultatima (vidi Teorem 5.5.3.2 u [12]) familija R(w, σ) : w ∈

W (σ) razapinje kao vektorski prostor algebru C(σ). Sada bi bez pozivanja na Plancherelovu

mjeru mogli reci da je R-grupa podgrupa elemenata u W (σ) koja djeluje na (a∗Mθ)C na nacin

da fiksira pozitivnu komoru, no radi racunanja, lakse nam je definirati R-grupe koristenjem

Plancherelove mjere.

Definicija 4.1 Plancherelove mjere µ(σ, λ, w) definirane su na sljedeci nacin

Aw(σ, λ)Aw−1(wσ,w λ) = µ(σ, λ, w)−1γ2w(G/P ) (4.7)

pri cemu je

γ2w(G/P ) =

∫Nwq<2ρP ,HP (n)>dn, (4.8)

a ρP je polusuma pozitivnih korijena u Nθ.

Kada je w najdulji element u pripadnoj Weylovoj grupi onda ga izbacujemo iz notacije.

Oznacavat cemo s µα(σ, λ) Plancherelovu mjeru koja je u korespondenciji s reprezentacijom

IndMαP ∗θ

(σ ⊗ q<λ,HP∗θ ()>), gdje je korijen α u skupu korijena standardne parabolicke podgrupe

Pθ koji su u korespondenciji s Aθ. Grupa Mα je Levijeva podgrupa od G koja centralizira

torus Aθ∪α i P ∗θ = Mα ∩ Pθ je maksimalna parabolicka podgrupa od Mα. Pisat cemo µα(σ)

za µα(σ, 0). Oznacimo s

4′ = α ∈ Φ(Pθ, Aθ) : µα(σ) = 0

Prema [12, str. 183]

µwα(σ) = µα(w−1σ) (4.9)

Knapp-Steinova R-grupa Rσ reprezentacije σ ∈ DMθdefinira se kao

Rσ = w ∈ W (σ) : w(4′) > 0. (4.10)

44


Uocimo sada da je w(4′) = 4′ ako i samo ako je w ∈ Rσ stoga je

Rσ = w ∈ W (σ) : w(4′) = 4′. (4.11)

Veza izmedu kardinalnog broja R-grupe pridruzene reprezentaciji diskretnih serija σ ∈ DMθ

te dimenzije algebre ispreplitanja C(σ) parabolicki inducirane reprezentacije IndGPθ(σ) dana

je sljedecim teoremom.

Teorem 4.1 (Harish-Chandra)

dim C(σ) = |Rσ|.

U daljnjem izlaganju, kada fiksiramo reprezentaciju σ pisat cemo R umjesto Rσ.

Bez smanjenja opcenitosti tijekom racunanja pretpostavit cemo da su blokovi opce linearne

grupe iste velicine unutar Levijeve podgrupe grupirani zajedno. To mozemo napraviti jer je

svaka standardna Levijeva podgrupa asocirana nekoj drugoj standardnoj Levijevoj podgrupi

koja ima spomenuti oblik, a reprezentacije asociranih parabolickih podgrupa imaju jednake

Plancherelove mjere.

4.2 Weylove grupe

Neka je G = Gn(D, ε) hermitska kvaternionska grupa i neka je Pθ njena standardna pa-

rabolicka podgrupa koja je u korespondenciji s podskupom θ skupa prostih korijena 4 =

4(Gn(D, ε), A0). Za racunanje R-grupa vec su koristene relativne Weylove grupe

W (G/Aθ) = Wθ = NG(Aθ)/Mθ. (4.12)

Buduci je NG(Aθ)/Mθ podgrupa od NG(A0)/Mθ∩NG(A0) ∼= W0/(Mθ∩NG(A0))/M0, za pred-

stavnike od Wθ mozemo uzeti elemente Weylove grupe W0 modulo Weylova grupa sistema

korijen Φ(Mθ, A0).

Prisjetimo se Weylovih grupa sistema korijena Bn i Cn koji nam se pojavljuju.

Sn mozemo interpretirati kao grupu permutacija na skupu elementima dijagonale torusa

A0(F ), a (Z/2Z)n djeluje kao promjena predznaka. Uz ciklicku notaciju elemenata iz

45


Tablica 4.1: Weylove grupe sistema korijena Bn i Cn(vidi [4])

Sistem korijena Weylova grupa

Bn W0 ∼= Sn o (Z/2Z)n

Cn W0 ∼= Sn o (Z/2Z)n

Sn nam transpozicija (ij) zamjenjuje λi s λj u diag(λ1, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1

1 ). Ako s cioznacimo netrivijalni element u i−toj kopiji od (Z/2Z)n, tada nam ci salje λi u λ−1

i u

diag(λ1, . . . , λn, Il, λ−1n , . . . , λ−1

1 ) i zovemo ga promjenom predznaka.

U nastavku slijedimo radove D. Goldberga [8] za klasicne rascjepive grupe i [10] za slucaj

hermitskih kvaternionskih grupa s trivijalnim anizotropnim prostorom te prosirujemo dobivene

rezultate na slucaj opce hermitske kvaternionske grupe. U ovisnosti o dvama slucajevima s

obzirom na koje smo parametrizirali standardne parabolicke podgrupe hermitske kvaternionsih

grupa (vidi (1.23) i (1.24)), sljedeca Propozicija nam u ovisnosti o istim daje formu pripadnih

relativnih Weylovih grupa.

Propozicija 4.1 a) Ako αn 6∈ θ, tada je

Wθ∼= (

r+1∏i=1

Sni) n Zn1+n2+···+nr+12

∼=r+1∏i=1

(Sni n (Z/2Z)ni) (4.13)

b) Ako αn ∈ θ, tada je

Wθ∼= ((

r−1∏i=1

Sni)× Snr+1) n Zn1+n2+···+nr−1+nr+1 ∼=∏i 6=r

(Sni n (Z/2Z)ni) (4.14)

Dokaz: Ako umemo u obzir strukturu Levijevih podgrupa i cinjenicu da Weylova grupa

djeluje kao permutacija medu blokovima iste velicine, a kao zamjena predznaka unutar torusa

Aθ, tvrdnja teorema je ocigledna.

4.3 R-grupe za hermitske kvaternionske grupe

Definicija 4.2 Neka je Pθ = MθNθ standardna parabolicka podgrupa od Gn(D, ε). Ako

je Levijev faktor Mθ oblika Mθ∼= GL(m1, D)n1 ili Mθ

∼= GL(m1, D)n1 × Gk(D, ε), onda

parabolicku podgrupu Pθ zovemo bazicnom.

46


U prvom koraku pokazat cemo da racunanje R-grupa za opcu hermitsku kvaternionsku grupu

Gn(D, ε) mozemo reducirati koristenjem produktne formule kojom odredivanje R-grupa re-

duciramo na racunanje R-grupa za bazicne parabolicke podgrupe. Buduci znamo kako nam

izgledaju Levijevi faktori standardnih parabolickih podgrupa hermitske kvaternionske grupe

Gn(D, ε), koje smo parametrizirani podskupovima θ sistema prostih korijena (vidi formule

(1.23) i (1.24)), za pocetak cilj nam je pokusati izraziti relativne Weylove grupe Wθ u termi-

nima relativnih Weylovih grupa bazicnih parabolickih podgrupa. Taj rezultat biti ce nam

kljucan za dokazivanje produktne formule. Napomenimo da je u slucaju klasicnih p-adskih

grupa s relativnim sistemom korijena tipa Dn racunanje R-grupa kompliciranije upravo iz

razloga sto takav rezultat ne postoji ([8]). I dalje zadrzavamo pretpostavke da nema razmaka

medu komponentama skupa θ, te da su komponente iste velicine grupirane zajedno, te koris-

timo sve oznake uvedene u tom poglavlju.

Slijedeci Poglavlje 1.3.1 ove disertacije u kojem je opisana struktura Levijevih faktora stan-

darnih parabolickih podgrupa hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε) definiramo sljedece

grupe. U slucaju kada je Levijev faktor oblika (1.32) (αn /∈ θ), za svaki i = 1, . . . , r + 1

definiramo grupu Gi = Gmini(D) koja ima bazicnu parabolicku podgrupu Pi s Levijevim

faktorom Mi∼= GL(mi, D)ni . Neka je Ai rascjepiva komponenta od Mi.

Lema 4.1 [10, Lema 3.3] Ako αn /∈ θ, tada je

Wθ∼=

r+1∏i=1

W (Gi/Ai).

Toruse Ai mozemo realizirati kao podgrupe torusa Aθ, te Levijeve faktore Mi kao podgrupe

Levijevih faktoraMθ. Svaki skupXi iz (1.28) sadrzi (mi−1)ni korijena. Za svaki i ∈ 1, . . . , r

oznacimo s Θi jedinstven korijenski podsistem tipa Bmini ili Cmini sistema Φ(G,A0) koji sadrzi

Xi. Neka je 4i baza od Θi dobivena dodavanjem skupu Xi i neka je

Θr+1 = α ∈ Φ(G,A0) : (α, β) = 0,∀β ∈ θ.

Skupu korijena od Xi, sada odgovara rascjepiv torus Ai u Gi, tj. Ai = AXi . Oznacimo s Piparabolicku podgrupu od Gi koja je u korespondenciji s Ai (Pi = PXi).

47


Sada, neka je σ = σ1⊗σ2⊗ · · ·⊗ σr⊗σr+1 ∈ DMθ, pri cemu su σi ∈ DMi

. Oznacimo s Wi(σi)

stabilizator reprezentacije σi u W (Gi/Ai). Buduci je Mθ∼=∏r+1i=1 Mi to nam iz prethodne leme

direktno slijedi sljedeca lema.

Lema 4.2 [10, Lema 3.4]

Ako αn /∈ θ, tada je

W (σ) ∼=r+1∏i=1

Wi(σi).

Dokaz: Neka je w ∈ W (σ). Tada je w = (w1, w2, . . . , wr+1), pri cemu je svaki wi ∈

W (Gi/Ai), ∀i = 1, . . . , r + 1. Ako je g ∈ Mθ, to je g = (g1, g2, . . . , gr+1) pri cemu je

svaki gi ∈Mi. Dakle, imamo da je

wgw−1 = (w1−1giw1, w2

−1giw2, . . . , w−1r+1gr+1wr+1).

Zbog toga je wσ ∼= ⊗r+1i=1

wiσi sto ima za posljedicu da je wσ ∼= σ ako i samo ako je wiσi ∼= σi

za svaki i.

Sljedeca lema govori nam o vezi izmedu podskupa 4′ skupa korijena koji se javlja u definiciji

R-grupe s odgovarajucim podskupovima 4′i bazicnih Levijevih podgrupa. Koristenjem te

leme za odredivanje 4′ mozemo se usredotociti na pojedini sistem Θi.

Lema 4.3 [10, Lema 3.5] Ako αn /∈ θ i ako α /∈ ⋃Θi tada

α|Aθ /∈ 4′.

Dokaz: Korijeni oblika α = ±2εl za neki l ∈ 1, 2, . . . , n, nuzno su elementi nekog Θi, i =

1, . . . , r + 1 po konstrukciji jer su dodani skupu Xi da bi se formirali podsistemi korijena

Θi, i = 1, . . . , r ili su u Θr+1. Stoga, ako α /∈ ⋃Θi, onda mozemo pretpostaviti da je korijen

α kratki korijen, tj. da je on oblika α = εj ± εk, za neke j, k. Buduci α /∈ ⋃Θi, to postoje

neki l, s, l 6= s, takvi da je εj − εj+1 ∈ 4l i εk − εk+1 ∈ 4s. Tada je

Mα∼=

∏f 6=l,s

Mf ×GL(ml, D)nl−1 ×GL(ms, D)ns−1 ×GL(ml +ms, D).

Neka je P ∗α maksimalna parabolicka podgrupa u Mα dana sa Mα ∩ Pθ. Promatrajmo sada

reprezentaciju IndMαP ∗α

(σ).

IndMαP ∗α

(σ) ∼= ⊗f 6=l,sσf ⊗p 6=p0 σl,p ⊗t6=t0 σs,t ⊗ IndGL(ml+ms,D)GL(ml,D)×GL(ms,D)(σl,p0 ⊗ σs,t0),

48


pri cemu je

σl ∼= ⊗nlp=1σl,p

i

σs ∼= ⊗nst=1σs,t

.

Buduci je Mθ maksimalna Levijeva podgrupa u Mα, da bi vrijedilo da je µα(σ) = 0 (i α ∈ 4′)

nuzno je i dovoljno (vidi [8]) da je reprezentacija σ singularna u Mα te da je inducirana

reprezentacija ireducibilna, a da bi se σ granala nuzno je da je ms = ml sto ovdje nije slucaj.

Time je lema dokazana.

Prethodna lema ukazuje nam na cinjenicu da se za odredivanje 4′ mozemo usredotociti na

pojedini podsustav Θi. Neka je korijen α iz prethodne leme unutar skupa Φ(Pi, Ai). Uvedimo

sljedece oznake

Ai,α = (Ai ∩Kerα)

Mi,α = ZGi(Ai,α)

P ∗i,α = Pi ∩Mi,α.

Neka je µα(σi) Plancherelova mjera pridruzena reprezentaciji IndMi,α

P ∗i,α(σi). Tada nam vrijedi

sljedeca lema.

Lema 4.4 Ako αn /∈ θ tada za i ∈ 1, . . . , r + 1 i α ∈ Θi vrijedi

(i)

Mα∼=

∏k=1,...,r+1,k 6=i

Mk ×Mi,α,

(ii)

P ∗α∼=

∏k=1,...,r+1,k 6=i

Mk × P ∗i,α,

(iii)

W (Mα/Aθ) = W (Mi,α/Ai)

49


(iv)

IndMαP ∗α

(σ) ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σi−1 ⊗ IndMi,α

P ∗i,α(σi)⊗ · · · ⊗ σr+1

Dokaz: Dokaz ove leme prati korake Leme 3.6 u ([10]).

Neka je

4′i = α ∈ Φ(Pi, Ai) : µα(σi) = 0

i neka je

Ri = w ∈ Wi(σi) : w(4′i) = 4′i

U sljedecoj propoziciji opisano je kako R-grupu pridruzenu reprezentaciji IndGn(D,ε)Pθ

(σ), pri

cemu je σ ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σr ⊗ σr+1 reprezentacija diksretnih serija od Mθ mozemo izraziti

preko R-grupa pridruzenih reprezentacijiama IndGiPi (σi).

Propozicija 4.2 (Produktna formula) Neka αn /∈ θ, neka je s R oznacena R-grupa od

IndGn(D,ε)Pθ

(σ) te neka su s Ri oznacene R-grupe reprezentacija IndGiPi (σi), i ∈ 1, . . . , r + 1.

Tada vrijedi

R = R1 ×R2 × · · · ×Rr+1 (4.15)

Dokaz: Neka je w ∈ R. Prema definiciji, w ∈ W (σ) ako je w(4′) = 4′. Element w prema

lemi (4.1) mozemo zapisati u obliku (w1, . . . , wr+1 pri cemu je svaki wi ∈ Wi(σi). Svojstva

(iii) i (iv) prethodne leme govore nam da je σ singularna reprezentacija od Mα ako i samo ako

je σi singularna reprezentacija od Mi,α te je parabolicki inducirana reprezentacija IndMαP ∗α

(σ)

ireducibilna ako i samo ako je IndMi,α

P ∗i,α(σi), ∀i ireducibilna

Uocimo da je ovo zapravo analogon rezultata za GL(n,D) koji nam kaze da je za odredivanje

reducibilnosti parabolicki inducirane reprezentacije IndGP (σ) dovoljno znati odgovor u slucaju

M = GL(m,D)k pri cemu je mk = n.

Promotrimo sada drugi slucaj, tj. slucaj kada je αn ∈ θ. Diskusija je vrlo slicna prethodnom

slucaju. Ponovo definiramo grupe Gi i parabolicke podgrupe Pi od Gi koje nam daju pro-

duktnu formulu vrlo slicnu onoj koja je dobivena u Propoziciji 4.2, uz razliku da nam u tom

slucaju Xr u dekompoziciji komponenti Dynkinovog dijagrama ima samo jednu komponentu

50


θk koja sadrzi αn.

Dakle, neka je X = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xr pri cemu Xr sadrzi samo komponentu θk unutar koje

se nalazi korijen αn (Xr je jednoclan skup). Neka je za svaki i ∈ 1, . . . , r− 1 Θi jedinstveni

korijenski podsistem sistema korijena Φ(Gn(D, ε), A0) tipa Bmini+m ili Cmini+m koji sadrzi

Xi ∪Xr. Neka je Gi = Gmini+m(D). Za i 6= r stavimo

Ai = AXi∪Xr ,

Pi = PXi∪Xr .

Tada je Levijev faktor od Pi

Mi = ZGi(Ai) ∼= GL(mi)ni ×Gm(D),

dakle Pi je bazicna parabolicka podgrupa od Gi. Iz toga nam slijede sljedeci rezultati ciji

dokazi su u koracima potpuno analogni onima u slucaju αn /∈ θ pa ih izostavljamo, a mogu

se pogledati u ([8]).

Lema 4.5 [8, Lema 4.10] Neka su θ i θi kao sto smo ranije naveli. Tada je:

i) Aθ ∼= A1 × A2 × · · · × Ar−1 × Ar+1,

ii) Mθ∼= M ′

1 ×M ′2 × · · · ×M ′

r−1 ×M ′r+1 ×Gm(D) pri cemu je Mi

∼= M ′i ×Gm(D)

Za i 6= r neka je

Wi = W (Gi/Ai).

Tada je Wi∼= Sni o (Z/2Z)ni i vrijedi nam sljedeca lema.

Lema 4.6 [8, Lema 4.11] Neka je αn ∈ θ. tada je

Wθ∼= W1 ×W2 × · · · ×Wr−1 ×Wr+1

51


Vratimo se sad na reprezentacije. Neka je σ ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σr−1 ⊗ σr+1 ⊗ ρ ∈ DMθpri

cemu je za svaki i 6= r, σi ∈ DM ′i te je ρ ∈ DGm(D). Tada je za svaki i 6= r, σi ⊗ ρ ∈ DMi.

Oznacimo sada kao i u prvom slucaju s Wi(σi) stabilizator reprezentacije σi ⊗ ρ. Tada je za

svaki wi ∈ Wi = W (Gi/Ai),wi(σi ⊗ ρ) ∼=wi σi ⊗ ρ

pa razgranatost od σi ⊗ ρ ovisi samo o σi.

Propozicija 4.3 [8, Korolar 4.12 i Lema 4.13] Ako je αn ∈ θ, tada je

(i) W (σ) ∼= W1(σ1)× · · · ×Wr−1(σr−1)×Wr+1(σr+1).

(ii) Ako α /∈ ⋃Θi tada

α|Aθ /∈ 4′.

Neka je i 6= r i neka je α ∈ Θi ∩ Φ(Pθ, Aθ). Tada uvodimo sljedece oznake

Ai,α = (Ai ∩Kerα)

Mi,α = ZGi(Ai,α)

P ∗i,α = Pi ∩Mi,α.

Neka je µα(σi ⊗ ρ) Plancherelova mjera pridruzena reprezentaciji IndMi,α

P ∗i,α(σi ⊗ ρ) pri cemu je

σi ∈ DM ′i ( µα(σi ⊗ ρ) je odredena s IndMαP ∗α

(σ)). Tada nam vrijedi sljedeca lema.

Lema 4.7 [8, Korolar 4.16 i Lema 4.15] Ako je αn ∈ θ tada za i ∈ 1, . . . , r + 1, i 6= r i

α ∈ Θi ∩ Φ(Pθ, Aθ) vrijedi

(i)

Mα∼= M ′

1 ×M ′2 ×M ′

i−1 ×Mi,α × · · · ×M ′r−1 ×M ′

r+1

(ii)

P ∗α∼= M ′

1 ×M ′2 ×M ′

i−1 × P ∗i,α × · · · ×M ′r−1 ×M ′

r+1,

(iii)

W (Mα/Aθ) = W (Mi,α/Ai)

52


(iv)

IndMαP ∗α

(σ) ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σi−1 ⊗ IndMi,α

P ∗i,α(σi)⊗ · · · ⊗ σr−1 ⊗ σr+1

Neka je σ ∼= σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σr−1 ⊗ σr+1 ⊗ ρ ∈ DMθpri cemu je σi ∈ DM ′i te je ρ ∈ DGm(D).

Za svaki i 6= r analogno koracima u slucaju (1) definiramo

4′i = α ∈ Φ(Pi, Ai) : µα(σi ⊗ ρ) = 0

te R-grupu reprezentacije σi ⊗ ρ u odnosu na indukciju s Pi na Gi

Ri = w ∈ Wi(σi) : w(4′i) = 4′i

.

Propozicija 4.4 [8, Lema 4.17 i Teorem 4.18]

(i) Za svaku reprezentaciju σ ∈ DMθ

4′ = ∪i 6=r4′i,

(ii)

R = R1 × · · · ×Rr−1 ×Rr+1

4.4 Multiplicitet jedan

Analizirajuci R-grupe hermitskih kvaternionskih grupa uocili smo da je odredivanje R-grupa

za grupe Gn(D, ε) moguce reducirati na odredivanje R-grupa pripadnih bazicnih parabolickih

podgrupa. Za njihov izracun koristimo poznati rezultat Keysa [14] u kojem je dokazano da

su jedini moguci elementi unutar R-grupa promjene predznaka.

Lema 4.8 Neka je Gn(D, ε) hermitska kvaternionska grupa, Pθ njena bazicna parabolicka

podgrupa ciji je Levijev faktor Mθ∼= GL(k,D)r ×Gm(D), i neka je σ ∈ DMθ

. Ako je w = sc

element unutar R-grupe reprezentacije IndGn(D,ε)Pθ

(σ), pri cemu je s ∈ Sr, c ∈ Zr2, tada je

s = 1.

53


Dokaz: Pretpostavimo suprotno tj. da s ima netrivijalan ciklus za kojeg pretpostavljamo da

je oblika (1 . . . j+1). Do na konjugaciju promjenama predznaka unutar Wθ element c djeljuje

trivijalno na skupu indeksa 1, 2, . . . , j+1 ili je c = cj+1. Ako pretpostavimo da je djelovanje

od c na 1, 2, . . . , j + 1 trivijalno, tada nam wσ ∼= σ implicira σ1 ∼= σ2 ∼= . . . ∼= σj+1. Iz toga

slijedi da je εk−εjk+1 ∈ 4′, medutim w(εk−εjk+1) < 0 sto je u kontradikciji s pretpostavkom

da je w ∈ R. Pretpostavimo sada da c = cj+1. Tada nam je scj+1 ∈ W (σ), dakle i εk+εjk+1 ∈

4′. Medutim, w(εk + εjk+1) < 0 sto je ponovo u kontradikciji s pretpostavkom da je w ∈ R.

Dakle, zakljucujemo da je s = 1 i R ∼= (Z/2Z)d za neki d ∈ N.

Induciranje iz maksimalnih parabolickih podgrupa predstavlja vrlo vazan dio teorije R-grupa

hermitskih kvaternionskih grupa, stoga se prisjetimo ukratko njihove strukture i nacina na

koji elementi pripadnih relativnih Weylovih grupa djeluju na njih.

Levijev faktor maksimalne F -parabolicke podgrupe od Gn(D, ε) ima sljedeci oblik:g

h

Jk(g−∗)Jk

pri cemu je g ∈ Gl(k,D), h ∈ Gr(D), r ≥ 0 te je r + k = n. Netrivijalni element relativne

Weylove grupe djeluje kao promjena znaka, tj.

w

g

h

Jk(g−∗)Jk

w−1 =

g−∗

h

JkgJk

pa zakljucujemo da je σ ⊗ ρ singularna ako i samo ako je σ∗ ∼= σ.

Lema 4.9 Neka je M ∼= GL(m,D)×GL(k,D) Levijev faktor maksimalne standardne para-

bolicke podgrupe P = MN u GL(m+ k,D). Neka su σ1 ∈ DGL(m,D) i σ2 ∈ DGL(k,D). Tada je

reprezentacija IndGL(m+k,D)P (σ1 ⊗ σ2) ireducibilna.

Dokaz: Dokaz ove leme moze se pogledati u [7].

54


Propozicija koja slijedi daje nam vrlo vazan rezultat o R-grupama kojim je eksplicitno moguce

u slucaju bazicnih parabolickih podgrupa odrediti prethodno spomenuti prirodan broj d takav

da je R ∼= Zd2.

Propozicija 4.5 Neka je Pθ bzicna parabolicka podgrupa hermitske kvaternionske grupe

Gn(D, ε) takva da je njen Levijev faktor Mθ∼= GL(k,D)r × Gm(D), pri cemu je m ≥ 0

i neka je σ = σ1 ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ σr ⊗ ρ ∈ DMθ. Tada je R-grupa reprezentacije IndGn(D,ε)

Pθ(σ)

izomorfna (Z/2Z)d, pri cemu je d broj medusobno neizomorfnih σi takvih da je Ind(σi ⊗ ρ)

reducibilna.

Dokaz: Dokaz ove propozicije slijedi iz dokaza analognog rezultata Goldberga [8] u rascjepi-

vom slucaju.

Iz Popozicije 4.5 i Leme 4.8 zakljucujemo da su neovisno o tome koji tip hermitske kvater-

nionske grupe promatramo dobivene R-grupe uvijek Abelove sto nam za posljedicu prema

Teoremu 1.9 u [8] ima da se svaka ireducibilna podreprezentacija reprezentacije IndGP (σ),

σ ∈ DM , javlja s multiplicitetom jedan.

Teorem 4.2 (Multiplicitet jedan) Neka je Gn(D, ε) hermitska kvaternionska grupa, P =

MN njena proizvoljna parabolicka podgrupa i neka je σ ∈ DM reprezentacija diskretnih serija

od M . Tada se IndGn(D,ε)P (σ) dekomponira s multiplicitetom jedan.

Dokaz: Dokaz ovog teorema direktna je posljedica Propozicija (4.5) te spomenutog Teorema

1.9 u [8].

Prethodno navedeni rezultati za hermitske kvaternionske grupe proizvoljnog ranga pokazali

su se vrlo korisnim u proucavanju parabolicki induciranih reprezentacija hermitskih kvaterni-

onskih grupa. Primjerice, M. Hanzer je navedene rezultate u [9] primijenila za odredivanje

kompozicionih nizova reprezentacija osnovne serije hermitske kvaternionske grupe rascjepivog

ranga 2.

55

Poglavlje 5

Reducibilnost reprezentacija

hermitskih kvaternionskih grupa

U ovom poglavlju analiziramo parabolicki inducirane reprezentacije hermitske kvaternionske

grupe Gn(D, ε). Naglasak stavljamo na njihovu reducibilnost. Zahvaljujuci prosirenju teorije

R-grupa te strukturne formule na slucaj nasih hermitskih kvaternionskih grupa u mogucnosti

smo poopciti rezultate iz [30] o reducibilnosti parabolicke indukcije klasicne rascjepive grupe

na glavne objekte ove disertacije − hermitske kvaternionske grupe. Pri istrazivanju reducibil-

nosti parabolicki induciranih reprezentacija koristimo tehnike Jacquetovih modula. Buduci

se kao faktori Levijevih podgrupa hermitskih kvaternionskih grupa, kao i u slucaju klasicnih

rascjepivih grupa, javljaju opce linearne grupe, a o njihovoj teoriji reprezentacija imamo

dosta informacija ([2], [32]), ispostavlja se da su hermitske kvaternionske grupe pogodne za

primjenu spomenute metode Jacquetovih modula.

Na pocetku ovog poglavlja prisjetit cemo se vrlo jednostavnih kriterija kojima se, kao i

u slucaju klasicnih kvazirascjepivih grupa definiranih nad nearhimedskim lokalnim poljem

karakteristike razlicite od 2 (vidi [30]) moze u znatnom broju slucajeva direktno zakljuciti redu-

cibilnost ili ireducibilnost parabolicki induciranih reprezentacija. Zatim krecemo s iznosenjem

poopcenih rezultata o reducibilnosti koje razmatramo u ovisnosti o tipu kuspidalne reducibil-

56

Poglavlje 5. Reducibilnost reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa

nosti. Kroz cijelo poglavlje pratimo rad M. Tadica ([30]) .

5.1 Glavni kriteriji reducibilnosti i ireducibilnosti re-

prezentacija

U znacajnom broju slucajeva reducibilnost, odnosno ireducibilnost parabolicki induciranih

reprezentacija hermitskih kvaternionskih grupa moze se zakljuciti koristeci dva vrlo jednos-

tavna kriterija ([30, Poglavlje 3]). Za sve parabolicke podgrupe koje promatramo unutar

ovog poglavlja smatramo da su standardne, a buduci su ovi rezultati opceniti i vrijede za

F -racionalne tocke svake reduktivne algebarske grupe definirane nad F , umjesto Gn(D, ε),

hermitsku kvaternionsku grupu u ovom cemo poglavlju oznacavati s G.

Prisjetimo se da je za dopustive reprezentacije π1 i π2 od G koje su konacne duljine π1 ≤ π2

ako i samo ako za svaku ireducibilnu dopustivu reprezentaciju σ od G je mult(σ : π1) ≤

mult(σ : π2) (vidi (3.5)). Iz toga nam slijedi da je za dokazati da π1 6≤ π2 dovoljno naci

ireducibilnu reprezentaciju σ koja je ireducibilan subkvocijent od π1, a nije od π2 (naravno,

ako takva reprezentacija σ uopce postoji). Jasno, za dokazati π1 6≤ π2 dovoljno je i naci

neku parabolicku podgrupu P = MN od G takvu da rGM(π1) 6≤ rGM(π2) zbog monotonosti

Jacquetovog funktora (vidi (3.7)) .

U lemi koja slijedi opisan je kriterij reducibilnosti.

Lema 5.1 (Kriterij reducibilnosti) Neka su π, π′ i π′′ dopustive reprezentacije od G

konacne duljine takve da

a) π ≤ π′′ i π′ ≤ π′′,

b) postoje parabolicke podgrupe P ′ = M ′N ′ i P ′′ = M ′′N ′′ takve da je

rGM ′(π) 6≤ rGM ′(π′)

57


i

rGM ′′(π) + rGM ′′(π′) 6≤ rGM ′′(π′′).

Tada je π reducibilna reprezentacija i ima zajednicki subkvocijent s π′.

Dokaz: Zbog monotonosti Jacquetovog funktora (3.7) iz b) zakljucujemo π 6≤ π′ i π+π′ 6≤ π′′.

Ako pretpostavimo da nam je π ireducibilna, onda to zajedno s a) dovodi do kontradikcije.

Napomena 5.1 Zbrajanje reprezentacija u prethodnim lemama je zapravo zbrajanje njihovih

semisimplifikacija u Grothendieckovim grupama.

U primjenama ovog kriterija reducibilnosti, najcesce se prethodno navedene reprezentacije

mogu odabrati na sljedeci nacin. Neka su P0 = M0N0, P ′ = M ′N ′ i P ′′ = M ′′N ′′ parabolicke

podgrupe od G te σ0, σ′ i σ′′ ireducibilne, dopustive reprezentacije od M0, M ′ i M ′′ redom.

Pretpostavimo da vrijedi sljedece:

a) IndGP0(σ0) ≤ IndGP ′′(σ′′) i IndGP ′(σ′) ≤ IndGP ′′(σ′′);

b) postoje parabolicke podgrupe P1 = M1N1 i P2 = M2N2 takve da je

rGM1(IndGP0(σ0)) 6≤ rGM1(IndGP ′(σ′))

i

rGM2(IndGP0(σ0)) + rGM2(IndGP ′(σ′)) 6≤ rGM2(IndP ′′(σ′′)).

Tada je IndGP0(σ0) reducibilna i ima zajednicki ireducibilan subkvocijent s IndGP ′(σ′).

Reducibilnost parabolicki induciranih reprezentacija ima vrlo jake implikacije na njihove

Jacquetove module pa je jedan od nacina za dokazivanje da zadana parabolicki inducirana

reprezentacija nije reducibilna jest da se pokaze da se te implikacije ne mogu dogoditi.

Neka je P skup svih standardnih parabolickih podgrupa u G i neka je

R+(G) = x ∈ R(G) | x ≥ 0.

58


Uvedimo sada pojam koherentne dekompozicije Jacquetovih modula parabolicki inducirane

reprezentacije.

Definicija 5.1 Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i neka je σ0 ireducibilna

dopustiva reprezentacija od M0. Neka je X neprazan podskup od P i l ∈ Z, l ≥ 2. Funkciju

Φ = (φ1, φ2, . . . , φl), pri cemu su funkcije φi : X → ∪P=MN,P∈XR+(M) tako da je φi(P ) ∈

R+(M), ∀i = 1, . . . , l zovemo koherentnom X−dekompozicijom reda l Jacquetovih

modula od IndGP0(σ0) ako vrijedi sljedece:

(i) ∑li=1 φi(P ) = rGM(IndGP0(σ0)), ∀P = MN ∈ X,

(ii) ∀P ′ = M ′N ′, P ′′ = M ′′N ′′ ∈ X,P ′ ⊆ P ′′ i 1 ≤ i ≤ l, rM′′

M ′ (φi(P ′′)) = φi(P ′),

(iii) φi ≡ 0 na Xako i samo ako φj ≡ 0 na X, ∀i, j ∈ 1, . . . , l (ekvivalentno, φi(P ) = 0,

∀P ∈ X ako i samo ako φj(P ) = 0, ∀P = MN ∈ X, ∀i, j ∈ 1, . . . , l ).

Za koherentnu X-dekompoziciju kazemo da je:

• netrivijalna ako je za neku parabolicku podgrupu P ∈ X, φ1(P ) 6= 0,

• puna koherentna dekompozicija reda l ako je X = P

• jednostavna koherentna X−dekompozicija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0) ako je

l = 2.

Lema koja slijedi kaze nam da svaka dekompozicija reducibilne reprezentacije IndGP0(σ0) na

sumu dva striktno pozitivna elementa iz R(G) odreduje punu koherentnu dekompoziciju

Jacquetovih modula od IndGP0(σ0). Zapravo, uz pretpostavku da je IndGP0(σ0) reducibilna,

navedenu parabolicki induciranu reprezentaciju u Grothendieckovoj grupi mozemo zapisati

IndGP0(σ0) = π1 + π2, uz π1, π2 > 0. Za standardnu parabolicku podgrupu P = MN od G,

φi(P ) = rGM(πi), i = 1, 2. Pritom, φ1(P ) i φ2(P ) promatramo kao elemente u R+(M).

Prema pethodnoj definiciji, jasno je da je svaka puna koherentna dekompozicija Φ Jacqu-

etovih modula od IndGP0(σ0) netrivijalna. Zato, ako mozemo pokazati da ne postoji sistem

59


od φi(P ), i = 1, 2 kada P ide po podskupu svih standardnih parabolickih podgrupa P, koji

zadovoljava (i)-(iii), tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.

Lema 5.2 Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i neka je σ0 ireducibilna dopustiva

reprezentacija od M0. Ako je IndGP0(σ0) reducibilna, onda postoji puna koherentna dekompozi-

cija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0) i ona je netrivijalna.

Dokaz: Pretpostavimo da je IndGP0(σ0) reducibilna. Tada ju u Grothendieckovoj grupi R(G)

mozemo zapisati kao

IndGP0(σ0) = π1 + π2,

π1, π2 > 0. Definiramo sada preslikavanje Φ = (φ1, φ2) sa skupa P svih standardnih para-

bolickih podgrupa od G u (∪P=MN∈PR+(M))2 izrazom

Φ(P ) = (φ1(P ), φ2(P )) = (rGM(π1), rGM(π2)).

Pokazat cemo da je ovako definirano preslikavanje puna koherentna dekompozicija Jacqu-

etovih modula od IndGP0(σ0), tj. da ona zadovoljava uvjete (i)-(iii) iz definicije koherentne

dekompozicije Jacquetovih modula od IndGP0(σ0).

(i) Ovo svojstvo iz spomenute definicije posljedica je egzaktnosti Jacquetovog funktora.

rGM(IndGP0) = rGM(π1) + rGM(π2) = φ1(P ) + φ2(P ).

(ii) Buduci da za ∀P ′, P ′′ ∈ P , P ′ ⊆ P ′′ vrijedi svojstvo tranzitivnosti Jacquetovih modula

(2.4) to je

rM′′

M ′ (rGM ′′(πi)) = rGM ′(πi),

odnosno

rM′′

M ′ (φi(P ′′)) = φi(P ′), i = 1, 2.

(iii) Neka je τ ireducibilan subkvocijent od IndGP0(σ0) i neka je P = MN ∈ P parabolicka

podgrupa od G takva da je

rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0

60


Da bi dokazali da vrijedi svojstvo (iii) iz definicije dovoljno nam je pokazati da je rGM(τ) 6= 0.

Buduci svaku ireducibilnu dopustivu reprezentaciju σ0 od M0 po Teoremu2.1 o podreprezen-

taciji mozemo uloziti u parabolicki induciranu reprezentaciju i to iz ireducibilne kuspidalne

reprezentacije, neka je P ′0 ⊆ P0 parabolicka podgrupa od G, P ′0 = M ′0N′0 i σ′0 kuspidalna

reprezentacija od M ′0 takva da je

σ0 → IndM0P ′0∩M0

(σ′0).

Primijenimo li svojstvo indukcije u koracima (2.2) na prethodni izraz dobivamo da je

IndGP0(σ0) → IndGP ′0(σ′0).

Neka je sada P ′ parabolicka podgrupa od G minimalna u odnosu na svojstvo da je

rGM ′(IndGP ′0(σ′0)) 6= 0.

Tada je rGM ′(IndGP ′0(σ′0)) kuspidalna reprezentacija (u protivnom bi mogli odabrati prabolicku

podgrupu P koja je manja i ima prethodno navedeno svojstvo). Odaberemo σ′ ireducibilan

kuspidalan kvocijent od rGM ′(IndGP ′0(σ′0)). Tada je

HomM ′(rGM ′(IndGP ′0(σ′0)), σ′) 6= 0

iz cega nam Frobeniusov reciprocitet (2.5) direktno daje

HomG(IndGP ′0(σ′0), IndGP ′(σ′)) 6= 0.

Buduci su σ′ i σ′0 kuspidalne reprezentacije i vrijedi nam HomG((IndP ′0(σ′0)), IndGP ′(σ′)) 6= 0

to nam teorija Bernsteina i Zelevinskog (vidi [2], Teorem 2.9) kaze da P ′0 i P ′ moraju biti

asocirane parabolicke podgrupe. Prethodna cinjenica zajedno s IndGP0(σ0) → IndGP ′0(σ′0) nam

prema Lemi 2.12.4 iz [24] ima za posljedicu da je rGM ′(τ) 6= 0 , a zbog tranzitivnosti Jacquetovih

modula rGM ′(τ) = rMM ′(rGM(τ)) stoga je onda i rGM(τ) 6= 0.

Iz dokaza prethodne leme mozemo zakljuciti sljedece: Ako je σ0 ireducibilna dopustiva repre-

zentacija od M0 i τ netrivijalan subkvocijent od IndGP0(σ0) tada rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0 za neku

61


parabolicku podgrupu P = MN od G implicira da je rGM(τ) 6= 0.

Lako se pokaze da ako je duljina repreprezentacije IndGP0(σ0) ≥ k tada postoji puna kohe-

rentna dekompozicija reda k Jacquetovih modula od IndGP0(σ0)

Neka je Y ⊂ X ⊂ P. Pretpostavimo da je Φ koherentna X−dekompozicija Jacquetovih

modula od IndGP0(σ0) i pretpostavimo da je za neki P ∈ Y , rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0. Tada je res-

trikcija Φ|Y netrivijalna koherentna Y−dekompozicija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0) 6= 0.

Lema 5.3 (Kriterij ireducibilnosti) Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i σ0

ireducibilna dopustiva reprezentacija od M0 . Pretpostavimo da je X ⊂ P i da postoji P ∈ X

takav da je rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0 te da ne postoji koherentna X-dekompozicija Jacquetovih

modula od IndGP0(σ0). Tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.

Dokaz: Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i σ0 ireducibilna dopustiva reprezen-

tacija od M0 te neka za X ⊂ P postoji P ∈ X takva da je rGM(IndGP0(σ0)) 6= 0. Takoder, neka

ne postoji koherentna X-dekompozicija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0). Prema cinjenici

iskazanoj prije leme, tada nece postojati niti jednostavna koherentna dekompozicija za bilo

koji Y ⊂ X pa IndGP0(σ0) mora biti ireducibilna. Time je ova lema dokazana.

Dakle, mozemo reci da su uvjeti koherentne dekompozicije Jacquetovih modula parabolicki in-

ducirane reprezentacije hermitske kvaternionske grupe G nuzni za reducibilnost i ako mozemo

pokazati da ne postoji sistem sastavljen od rGM(πi), i ∈ 1, 2 kada P ide po svim standard-

nim parabolickim podgrupama od G, koji zadovoljava (i)-(iii), onda mozemo zakljuciti da je

IndGP0(σ0) reducibilna.

Kod dokazivanja ireducibilnosti cesto je moguce pokazati nepostojanje takvog sistema za tri

pogodno odabrane parabolicke podgrupe od G. Recimo nesto o tim, tzv. V-sistemima.

62


Pretpostavimo li da su P = MN,P ′ = M ′N ′, P ′′ = P ′′N ′′ prave parabolicke podgrupe od G

takve da P ⊂ P ′, P ⊂ P ′′ (P ′ 6= P ′′). Koherentna P, P ′, P ′′-dekompozicija nam igra vrlo

vaznu ulogu u dokazivanju ireducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija. Za takvu

koherentnu dekompoziciju kazemo da je V-tipa.

Lema koja slijedi omogucuje nam dokazivanje ireducibilnosti u brojnim slucajevima.

Lema 5.4 Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i σ0 ireducibilna dopustiva repre-

zentacija od M0. Neka su P ′ = M ′N ′, P ′′ = M ′′N ′′, P ′′′ = M ′′′N ′′′ parabolicke podgrupe od

G takve da je P ′ ⊂ P ′′, P ′ ⊂ P ′′′ te rGM ′(IndGP0(σ0)) 6= 0. Pretpostavimo da postoji ireduci-

bilan subkvocijent τ ′′ od rGM ′′(IndGP0(σ0)) takav da za bilo koji ireducibilan subkvocijent τ ′′′ od

rGM ′′′(IndGP0(σ0)) vrijedi

rM′′

M ′ (τ ′′) + rM′′′

M ′ (τ ′′′) 6≤ rGM ′(IndGP0(σ0)).

Tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da je IndGP0(σ0) reducibilna. Tada u

Grothendickovoj grupi R(G) imamo IndGP0(σ0) = π1 + π2, π1, π2 > 0.

Buduci je za parabolicku podgrupu P ′ ∈ P, rGM ′(IndGP0(σ0)) 6= 0, to nam reducibilnost od

IndGP0(σ0) implicira egzistenciju koherentne dekompozicije Jacquetovih modula od IndGP0(σ0).

Neka je Φ = (φ1, φ2) : X = P ′, P ′′, P ′′′ → (∪P=MN∈PR+(M))2 X−koherentna dekompozi-

cija Jacquetovih modula od IndGP0(σ0). Tada ∀P ∈ X vrijede svojstva (i) i (ii) iz definicije

koherentne dekompozicije. Zbog (i)

rGM ′(IndGP0(σ0)) = rGM ′(π1) + rGM ′(π2),

rGM ′′(IndGP0(σ0)) = rGM ′′(π1) + rGM ′′(π2),

a (ii) nam implicira buduci je P ′ ⊆ P ′′

rM′′

M ′ (rGM ′′(πi)) = rGM ′(πi), i = 1, 2.

63


Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da je τ ′′ ≤ rGM ′′(π1) = φ(P ′′). Koristenjem prethodno

navedenih cinjenica dobivamo

rGM ′(IndGP0(σ0)) = rGM ′(π1) + rGM ′(π2)

= rM′′

M ′ (rGM ′′(π1)) + rM′′′

M ′ (rGM ′′′(π2))

≥ rM′′

M ′ (τ ′′)) + rM′′′

M ′ (rGM ′′′(π2)

sto nam je kontradikcija. Time smo dokazali da π nije reducibilna.

Kada je σ0 unitarizabilna reprezentacija od M0 postoje i jednostavniji nacini za dokazivanje

ireducibilnosti parabolicki inducirane reprezentacije IndGP0(σ0) koji su iskazani u sljedecoj lemi.

Lema 5.5 Neka je P0 = M0N0 parabolicka podgrupa od G i σ0 ireducibilna unitarizabilna

dopustiva reprezentacija od M0. Tada vrijedi:

a) Ako je multiplicitet mult(σ0 : rGM0(IndGP0(σ0))) = 1 tada je IndGP0(σ0) ireducibilna.

b) Ako je multiplicitet mult(σ0 : rGM0(IndGP0(σ0))) = 2 tada je IndGP0(σ0) ili ireducibilna, ili je

direktna suma dviju neizomorfnih ireducibilnih reprezentacija.

c) Neka je P ′0 parabolicka podgrupa od G koja je sadrzana u P0. Pretpostavimo da postoji ire-

ducibilan subkvocijent τ0 od rGM0(IndGP0(σ0)) koji je multipliciteta 1. Neka je σ′0 ireducibilna

dopustiva reprezentacija od M ′0 i neka vrijede sljedeci uvjeti:

i) IndGP0(σ0) → IndGP ′0(σ′0)

ii) mult(σ′0 : rM0M ′0

(rGM0(IndGP0(σ0))− τ0)) = 0.


d) Neka su P ′ i P ′′ parabolicke podgrupe od G takve da je P ′ ⊆ P0 i P ′ ⊆ P ′′. Pretpostavimo

da postoji ireducibilan subkvocijent τ ′′ od rGM ′′(IndGP ′0(σ0)) multipliciteta 1. Neka je τ0

ireducibilan subkvocijent od rGM0(IndGP0(σ0)) i neka je σ′ ireducibilna dopustiva reprezentacija

od M ′. Pretpostavimo da vrijede sljedeci uvjeti:

64


i) IndGP0(σ0) → IndGP ′(σ′)

ii) Ako je τ ′0 ireducibilan subkvocijent od rGM0(IndGP0(σ0)) koji nije izomorfan τ0, tada σ′

nije subkvocijent od rM0M ′ (τ ′0).

iii) Postoji ireducibilan subkvocijent ρ′ od rM0M ′ (τ0) takav da je

mult(ρ′ : rM ′′M ′ (τ ′′)) = mult(ρ′ : rGM ′(IndGP0(σ0)))


Dokaz: Buduci je σ0 unitarizabilna reprezentacija, to IndGP0(σ0) mozemo zapisati kao direktnu

sumu ireducibilnih neizomorfnih reprezentacija

IndGP0(σ0) = ⊕ki=1miπi, πi 6∼= πj, i 6= j,

pri cemu je mi = mult(πi : IndGP0(σ0)), te je tada

d = dimC(EndG(IndGP0(σ0))) =k∑i=1

m2i .

Koristenjem Frobeniusovog reciprociteta (2.5) dalje dobivamo

dimC(HomM0(rGM0(IndGP0(σ0)), σ0) =k∑i=1

m2i .

Ako je mult(σ0 : rGM0(IndGP0(σ0)) == 1 (respektivno, ako je mult(σ0 : rGM0(IndGP0(σ0))) = 2 ,

tada je d ≤ 1 (respektivno, d ≤ 2) cime su tvrdnje a) i b) dokazane.

Dokazimo sada tvrdnju c). Po pretpostavci, postoji nam ireducibilan subkvocijent π od

IndGP0(σ0) takav da je τ0 ≤ rGM0(π) i ciji je multiplicitet mult(π : IndGP0(σ0)) = 1. Pretpos-

tavimo da je IndGP0(σ0) reducibilna. Neka je π′ neki ireducibilan subkvocijent od IndGP0(σ0)

koji nije izomorfan π. Tada τ0 nije subkvocijent od rGM0(π′), a buduci je IndGP0(σ0) pot-

puno reducibilna, to je π′ podreprezentacija od IndGP0(σ0). Zbog (i) nam tada slijedi da je

π′ → IndGP ′0(σ′0) pa nam Frobeniusov reciprocitet (2.5) implicira da je σ′0 kvocijent Jacqueto-

vog modula rGM ′0(π′) = rM0M ′0

(rGM0(π′)). Sada, kao posljedicu (ii) imamo da je τ0 subkvocijent

od rGM0(π′) sto je u kontradikciji s izborom od π′ pa nam je ovim dokazana tvrdnja c), tj.

IndGP0(σ0) je ireducibilna.

d) Odaberimo ireducibilan subkvocijent π od IndGP0(σ0) takav da je τ ′′ ≤ rGM0(π). Tada je

65


mult(π : IndGP0(σ0)) = 1. Pretpostavimo opet da nam je IndGP0(σ0) reducibilna i neka je π′ neki

ireducibilan subkvocijent od IndGP0(σ0)/π. Tada kao u dokazu c) vidimo da je ireducibilna

dopustiva reprezentacija σ′ od M ′ kvocijent od rGM ′(π′). Buduci je zbog svojstva tranzitivnosti

Jacquetovih modula rGM ′(π′) = rM0M ′ (rGM0(π′)), zakljucujemo da je τ0 subkvocijent od rGM0(π′).

Sada rGM ′(IndGP0(σ0)) ≥ rGM ′(π) + rGM ′(π′) = rM′′

M ′ (rGM ′′(π)) + rM0M ′ (rGM0(π′)) ≥ rM

′′M ′ (τ ′′) + rM0

M ′ (τ0).

Odavde se vidi da je za ireducibilan subkvocijent ρ′ od rM0M ′ (τ0) multiplicitet mult(ρ′ : rM ′′M ′ (τ ′′))

barem za jedan manji od mult(ρ′ : IndGP0(σ0)) sto je u kontradikciji s (iii) pa zakljucujemo da

IndGP0(σ0) mora biti ireducibilna.

Napomena 5.2 Slucaj (d) iz posljednje leme nam je zapravo specijalan slucaj tvrdnje pod

(c).

5.2 Kuspidalne reducibilnosti

Opisimo prvo tipove kuspidalnih reducibilnosti o kojima ce se u ostatku ovog poglavlja

govoriti.Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D) i neka

je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija opce hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε).

Definicija 5.2 Za α ∈ R, α ≥ 0 kazemo da uredeni par (ρ, σ) zadovoljava uvjet (Cα) ako

je ναρo σ reducibilna reprezentacija, pri cemu je ν = |RN |F .

Poznate su sljedece cinjenice.

• Ako ρ nije samodualna, tj. ρ 6∼= ρ, tada je ναρo σ ireducibilna za svaki α ∈ R. Stoga

par (ρ, σ) za reprezentaciju ρ koja nije samodualna ne zadovoljava uvjet (Cα) niti za

jedan realan broj α.

• Ako ρ je samodualna, tada prema [23, Lema 1.2] postoji jedinstven α ≥ 0 takav da je

ναρo σ reducibilna te je νβρo σ ireducibilna za svaki β ∈ R \ ±α. Stoga par (ρ, σ)

za samodualnu ρ zadovoljava tocno jedan uvjet (Cα).

• Ako za dani par (ρ, σ) mozemo naci α ∈ 0,±12 ,±1 tako da prethodno navedeni

uvjeti budu zadovoljeni, onda cemo reci da par (ρ, σ) ima genericku kuspidalnu

66


reducibilnost (neovisno o tome je li σ genericka ili nije). U protivnom kazemo da

(ρ, σ) ima negenericku kuspidalnu reducibilnost.

U ostatku rada naglasak stavljamo na parabolicki inducirane reprezentacije povezane s ge-

nerickim kuspidalnim reducibilnostima (tj. one za koje se tocke reducibilnosti nalaze unutar

skupa 0,±12 ,±1).

5.2.1 Unitarna indukcija GL−tipa

Unutar cijelog ovog potpoglavlja pretpostavljamo da je ρ ireducibilna unitarizabilna kus-

pidalna reprezentacija od GL(k,D), te σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D).

Glavni ”alati” koje cemo koristiti u dokazivanju propozicija koje slijede su Lema 5.5 i Napo-

mena 5.1.

Propozicija 5.1 Neka je za svaki l ∈ Z reprezentacija ν1/2+lρ ρ o σ ireducibilna. Tada je

reprezentacija δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ ireducibilna, za svaki nenegativan cijeli broj m.

Dokaz: Primjenjujemo prvo strukturnu formulu (3.10) na reprezentaciju δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])o

σ. Dakle, imamo

µ∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ) = M∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o µ∗(σ).

Buduci je µ∗(σ) = 1⊗ σ te M∗ = (m⊗ 1) (⊗m∗) s m∗, direktnim racunom dobivamo

M∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, ν−m+1/2

ρ ρ])) =m+1∑

l=−m−1

m+1∑i=l

δ([ν−l+1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])× δ([νi+1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])

⊗ δ([νl+1/2ρ ρ, νi−1/2

ρ ρ])),

Prema Teoremu 3.3 nam je

µ∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ) = M∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])) o µ∗(σ)

= M∗(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])) o (1⊗ σ)

te nam je sada lako odrediti semisimplifikaciju Jacquetovog modula s obzirom na bilo koju

standardnu parabolicku podgrupu, a za ovaj dokaz potrebna nam je samo semisimplifikacija

67


u odnosu na Jacquetov modul GL-tipa (3.11)

s.s.(sGL(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])oσ) =m+1∑

l=−m−1δ([ν−l+1/2

ρ ρ, νm+1/2ρ ρ])×δ([νl+1/2

ρ ρ, νm+1/2ρ ρ])⊗σ.

(5.1)

U ovisnosti o cinjenici je li reprezentacija ρ samodulana ili ne, razlikujemo sljedece pod-

slucajeve:

a) ρ 6∼= ρ

U ovom su slucaju svi GL−nosaci reprezentacija u prethodnoj sumi razliciti, iz cega

zakljucujemo da je multiplicitet reprezentacije δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])⊗ σ u (5.1) jedan pa

ireducibilnost zadane reprezentacije slijedi iz tvrdnje (a) Leme 5.5.

b) ρ ∼= ρ

Zbog samodualnosti reprezentacije ρ, izraz (5.1) nam postaje

s.s.(sGL(δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ)) = δ([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])× δ([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])⊗ σ

+ 2m∑l=0

δ([ν−l−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])× δ([νl+3/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])⊗ σ

(5.2)

Oznacimo s τ0 = δ([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])× δ([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])⊗ σ. Multiplicitet reprezentacije

τ0 u (5.2) je jedan. Uocimo da je

δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ → νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× · · · × ν−m−1/2ρ ρo σ.

Sada visestrukom primjenom cinjenice da je

νqρρ× νq′

ρ ρ

ireducibilna za q, q′ ∈ R ako je |q − q′| 6= 1, sto nam slijedi iz Teorema 2.4, pokazujemo

sljedece izomorfizme:

68


νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2

ρ ρ× ν−m+1/2ρ ρ× ν−m−1/2

ρ ρo σ

= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2

ρ ρ× ν−m+1/2ρ ρ) o (ν−m−1/2

ρ ρo σ)

∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2

ρ ρ× ν−m+1/2ρ ρ) o (νm+1/2

ρ ρo σ)

∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2

ρ × (ν−m+1/2ρ ρ× νm+1/2

ρ ρ)) o σ

∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × ν−m+3/2

ρ × (νm+1/2ρ ρ× ν−m+1/2

ρ ρ)) o σ

∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × (ν−m+3/2

ρ × νm+1/2ρ ρ)× ν−m+1/2

ρ ρ) o σ

∼= (νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× νm−3/2ρ ρ× · · · × νm+1/2

ρ × ν−m+3/2ρ ρ× ν−m+1/2

ρ ρ) o σ

∼= . . .

∼= νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× · · · × ν1/2ρ ρ× νm+1/2

ρ × ν−1/2ρ ρ× ν−3/2

ρ ρ× · · · × ν−m+1/2ρ ρo σ

Ponavljanjem procedure s ν−m+1/2ρ ρ, ν−m+3/2

ρ ρ, . . . , ν1/2ρ ρ dobivamo

νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× · · · × ν−m−1/2ρ ρo σ

∼= νm+1/2ρ ρ× ν−m−1/2

ρ ρ× · · · × ν1/2ρ ρ× νm+1/2

ρ ρ× νm−1/2ρ ρ× · · · × ν1/2

ρ ρo σ

Zbog toga je

δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ → νm+1/2ρ ρ× · · · × ν1/2

ρ ρ× νm+1/2ρ ρ× · · · × ν1/2

ρ ρo σ (5.3)

Oznacimo sa

σ′0 = νm+1/2ρ ρ⊗ . . . ν1/2

ρ ρ⊗ νm+1/2ρ ρ⊗ · · · ⊗ ν1/2

ρ ρ⊗ σ

Prema (5.2), da bi pokazali da nam vrijedi drugi uvjet Leme 5.5, dovoljno je pokazati da

σ′0 nije subkvocijent od

r(k)2m+2(δ([ν−1/2−lρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])× δ([ν3/2+lρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]))⊗ σ

za svaki 0 ≤ l ≤ m. Buduci za 0 ≤ l ≤ m

δ([ν−1/2−lρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])× δ([ν3/2+lρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]),

ima neki νiρρ, za i < 0 u nosacu, to nam prethodna cinjenica direktno slijedi pa smo

pokazali da nam vrijede uvjeti (c) Leme 5.5 te njenom primjenom zavrsavamo dokaz ove

propozicije.

69


Propozicija 5.2 Neka je za svaki l ∈ Z reprezentacija νlρρoσ ireducibilna. Tada je za svaki

m ≥ 0 reprezentacija δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ ireducibilna.

Dokaz: Razlikujemo dva podslucaja:

(a) ρ 6∼= ρ

U ovom slucaju, na nacin analogan koracima u dokazu prethodne propozicije dobivamo

da je reprezentacija δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ ireducibilna.

(b) ρ ∼= ρ

Za dokaz ireducibilnosti u ovom slucaju koristimo tvrdnju (d) Leme 5.5. Iz strukturne

formule te formule (2.19) na slican nacin kao u dokazu prethodne propozicije dobivamo

s.s.(s(2mk)(δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ) =m∑

i=−mδ([ν−i+1

ρ ρ, νmρ ρ])× δ([νi+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ νiρρo σ

= δ([νρρ, νmρ ρ])× δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ ρo σ

+ 2m∑i=1

δ([ν−i+1ρ ρ, νmρ ρ])× δ([νi+1

ρ ρ, νmρ ρ])⊗ νiρρo σ

(5.4)

te

s.s.(sGL(δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ)) = 2m∑i=0

δ([ν−iρ ρ, νmρ ρ])× δ([νi+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ σ (5.5)

Uocimo prvo da su u formuli (5.4) svi elementi u sumi u drugom retku ireducibilni.

Oznacimo zatim za i = 0, pribrojnik spomenute sume s τ ′′. Dakle,

τ ′′ = δ([νρρ, νmρ ρ])× δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ ρo σ.

U (5.4), τ ′′ ima multiplicitet jedan. Takoder, primijetimo da su sve reprezentacije u sumi

na desnoj strani formule (5.5) ireducibilne. Oznacimo s τ0 prvi clan spomenute sume,

dakle

τ0 = δ([ρ, νmρ ρ])× δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ σ.

70


Sada analognim postupkom kao u dokazu Propozicije ?? dobivamo:

δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ → νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν−m+1

ρ ρ× ν−mρ ρo σ

pri cemu je

νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν−m+1

ρ ρ× ν−mρ ρo σ

∼= νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν−m+1

ρ ρ× νmρ ρo σ

∼= νmρ ρ× . . . νρρ× ρ× νmρ ρ× ν−1ρ ρ× · · · × ν−m+1

ρ ρo σ

∼= . . .

∼= νmρ ρ× . . . νρρ× ρ× νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρo σ.

Neka je

σ′ = νmρ ρ⊗ · · · ⊗ νρρ⊗ ρ⊗ νmρ ρ⊗ · · · ⊗ νρρ⊗ σ.

Buduci da iz cinjenice da svaka reprezentacija δ([ν−lρ ρ, νmρ ρ])× δ([νl+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ σ, 1 ≤

l ≤ m u GL−nosacu ima neki νiρ, i < 0 to smo pokazali da σ′ nije subkvocijent od

r(k)2m+1(δ([ν−lρ ρ, νmρ ρ])× δ([ν−lρ ρ, νmρ ρ]))⊗ σ za 1 ≤ l ≤ m te imamo zadovoljen uvjet (ii)

u tvrdnji (d) Leme 5.5. Iz formule 2.19 slijedi nam da je

τ0 ∼= δ([νρρ, νmρ ρ])× δ([ρ, νmρ ρ])⊗ σ →νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · ·

×νρρ× νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρ× ρo σ

stoga je ρ′ = νmρ ρ⊗νm−1ρ ρ⊗· · ·⊗νρρ⊗νmρ ρ⊗νm−1

ρ ρ⊗· · ·⊗νρρ⊗ρ⊗σ kvocijent od s(k)2m+1(τ0).

Da bi primijenili Lemu 5.5 preostaje nam jos pokazati uvjet (iii). Iz formule (5.5) vidimo

da je dovoljno pokazati da ρ′ ne moze biti subkvocijent od r(k)m+1(δ([ν−l+1ρ ρ, numρ ρ]) ×

δ([νl+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ s(k)(νlρ o σ) za 1 ≤ l ≤ m. Iz Teorema 3.3 moze se vidjeti da je

s.s.(s(k)(νlρ o σ)) = νlρρ⊗ σ + ν−lρ ρ⊗ σ

iz cega nam direktno slijedi ono sto smo zeljeli dokazati i time je dokaz ove propozicije

zavrsen.

71


Propozicija 5.3 Pretpostavimo da je reprezentacija ν1/2ρ ρo σ reducibilna. Tada je za svaki

m ≥ 0 reprezentacija δ([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ reducibilna i reducira se na sumu dviju

neizomorfnih ireducibilnih reperezentacija.

Dokaz: Ova propozicija direktno slijedi iz Teorema 4.2 u [26].

Propozicija 5.4 Pretpostavimo da je jedna od reprezentacija νρρo σ ili ρo σ reducibilna.

Tada je za svaki m ≥ 0 reprezentacija δ([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ reducibilna i reducira se na sumu

dviju neizomorfnih ireducibilnih reperezentacija.

Dokaz: Ova propozicija direktno slijedi iz Teorema 5.4 i 6.4 u [26].

Napomena 5.3 Iskoristimo li Aubertinu involuciju (3.13), iz prethodnih propozicija mozemo

dobiti dualne rezultate uz iste pretpostavke na reprezentacije ρ i σ, te cijeli broj m ≥ 0.

• Pretpostavimo da je jedna od reprezentacija νρρ o σ ili ρ o σ reducibilna. Tada je

reprezentacija s([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ reducibilna i reducira se na sumu dviju neizomorfnih

ireducibilnih reperezentacija.

• Neka je za svaki l ∈ Z reprezentacija νlρρ o σ ireducibilna. Tada je reprezentacija

s([ν−mρ ρ, νmρ ρ]) o σ ireducibilna.

• Neka je za svaki l ∈ Z reprezentacija ν1/2+lρ ρ o σ ireducibilna. Tada je reprezentacija

s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ ireducibilna.

• Pretpostavimo da je reprezentacija ν1/2ρ ρo σ reducibilna. Tada je reprezentacija

s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ reducibilna i reducira se na sumu dviju neizomorfnih iredu-

cibilnih reperezentacija.

5.2.2 Ireducibilnost reprezentacija νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ) i νβρ ρo L(νβρ ρ, σ)

(β ∈ (1/2)Z, β ≥ 1)

Nak je P skup svih standardnih parabolickih podgrupa opce hermitske kvaternionske grupe

Gr(D, ε). U onome sto slijedi pokazat cemo ireducibilnost parabolicki induciranih reperezen-

72


tacija za koje postoji koherentna P \ Gr(D, ε)− dekompozicija Jacquetovih modula, a koja

igra vaznu ulogu u dokazivanju ireducibilnosti.

Propozicija 5.5 Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D)

i neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D, ε). Pretpostavimo da je β ∈

(1/2)Z, β ≥ 1 te da je reprezentacija νβρ ρ o σ reducibilna. Tada su reprezentacije νβρ ρ o

δ(νβρ ρ, σ) te νβρ ρo L(νβρ ρ, σ) ireducibilne.

Dokaz: Pokazat cemo da je uz pretpostavke propozicije reprezentacija νβρ ρ o δ(νβρ ρ, σ) ire-

ducibilna, a ireducibilnost reprezentacije νβρ ρo L(νβρ ρ, σ) tada direktno slijedi iskoristi li se

Aubertina involucija (3.13).

Dokaz ide kontradikcijom, dakle pretpostavimo da je uz navedene pretpostavke propozicije

reprezentacija νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ) reducibilna.

Uocimo da je

sGL(νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ)) = νβρ ρ× νβρ ρ⊗ σ + ν−βρ ρ× νβρ ρ⊗ σ. (5.6)

Buduci taj Jacquetov modul ima duljinu 2, a mi smo pretpostavili da je νβρ ρ o δ(νβρ ρ, σ)

reducibilna, to postoji subkvocijent π od νβρ ρo δ(νβρ ρ, σ) za kojega je

sGL(π) = νβρ ρ× νβρ ρ⊗ σ.

Sada je ocito

δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ]) o π ≤ δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ])× ν−βρ ρ× νβρ ρo σ (5.7)

te

δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ ≤ δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ])× ν−βρ ρ× νβρ ρo σ (5.8)

Koristenjem strukturne formule (3.10) dobivamo

s.s.(sGL(δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ)) =β∑

i=−β−1δ([ν−iρ ρ, νβρ ρ])× δ([νi+1

ρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ, (5.9)

s.s.(sGL(νβρ ρ× ν−βρ ρ× δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ]) o σ))

= (νβρ ρ+ ν−βρ ρ)× (νβρ ρ+ ν−βρ ρ)×β−1∑i=−β

δ([ν−iρ ρ, νβ−1ρ ρ])× δ([νi+1

ρ ρ, νβ−1ρ ρ])⊗ σ,

(5.10)

73


s.s.(sGL(δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ]) o π)) =

νβρ ρ× νβρ ρ×β−1∑i=−β

δ([ν−iρ ρ, νβ−1ρ ρ])× δ([νi+1

ρ ρ, νβ−1ρ ρ])⊗ σ.

(5.11)

Ako pretpostavimo da je τ subkvocijent od δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ, Frobeniusov reciprocitet (2.5)

nam tada implicira da je

δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ ≤ sGL(τ). (5.12)

Uocimo jos da δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ nije subkvocijent od sGL(δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ]) o π), pa ako je

τ subkvocijent od δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ]) o π, tada

δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ 6≤ sGL(τ). (5.13)

Razmatramo sada sljedeca dva slucaja u ovisnosti o β:

a) Ako pretpostavimo da je β ∈ 1/2 + Z, tada nam formule (5.9), (5.10) i (5.11) impli-

ciraju da je multiplicitet reprezentacije δ([ν1/2ρ ρ, νβρ ρ]) × δ([ν1/2

ρ ρ, νβρ ρ]) ⊗ σ u svakom

sGL(δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ])oσ), sGL(νβρ ρ×ν−βρ ρ×δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ])oσ) i sGL(δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ])o

π) jedan. Ova cinjenica u kombinaciji s (5.7) i (5.8) implicira postojanje zajednickog ire-

ducibilnog subkvocijenta τ od δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ i δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ]) o π te sada, (5.12) i

(5.13) vrijede za istu reprezentaciju τ pa smo dosli do kontradikicije cime je dokaz u ovom

slucaju gotov.

b) Preostalo nam je tvrdnju dokazati za slucaj β ∈ Z. Slicno kao u prethodnom slucaju

formule (5.9), (5.10) i (5.11) impliciraju da je multiplicitet reprezentacije δ([ρ, νβρ ρ]) ×

δ([νρρ, νβρ ρ]) ⊗ σ u svakom od Jacquetovih modula sGL(δ([ν−βρ ρ, νβρ ρ]) o σ), sGL(νβρ ρ ×

ν−βρ ρ× δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ]) o σ) i sGL(δ([ν−β+1ρ ρ, νβ−1

ρ ρ]) o π) dva. Ova cinjenica zajedno s

(5.7) i (5.8) implicira postojanje zajednickog ireducibilnog subkvocijenta τ koji nam opet

vodi do kontradikcije.

Time je prethodna propozicija dokazana.

74


5.2.3 Ireducibilnost reprezentacija δ([ρ, νρρ]) o σ i L([ρ, νρρ]) o σ

Neka je ρ samodualna (ρ ∼= ρ) ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od

GL(k,D) i neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija opce hermitske kvaternionske

grupe Gr(D, ε). Pretpostavimo da su reprezentacije ρ o σ i νρρ o σ ireducibilne. Tada je

prema rezultatima iz [8], buduci je F nearhimedsko polje cija je karakteristika jednaka nuli

te Propoziciji 5.2 i reprezentacija ρ × δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ takoder ireducibilna i vrijede nam

sljedeci analogoni rezultata iz [30] za grupe Sp(2n, F ) te SO(2n+ 1, F ).

Lema 5.6 Multiplicitet reprezentacije δ([ρ, νρρ])× δ([ρ, νρρ])⊗ σ u µ∗(ρ× ρ× νρρ× νρρo σ)

je cetiri. Taj isti multiplicitet navedena reprezentacija ima i u µ∗(ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ).

Dokaz: Uocimo da je

s.s.(s(4k)(ρ× ρ× νρρ× νρρo σ)) = 4∑

(ε1,ε2)∈±12ρ× ρ× νε1ρ ρ× νε2ρ ρ⊗ σ. (5.14)

te

s.s.(s(4k)(ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ])oσ)) = 4ρ× δ([ν−1

ρ ρ, νρρ])⊗σ+ 4ρ×νρρ× δ([ρ, νρρ])⊗σ. (5.15)

Tada koristenjem Teorema 2.4, i formula (5.14) te (5.15) dobivamo tvrdnju leme, tj. dobivamo

da je multiplicitet reprezentacije δ([ρ, νρρ]) × δ([ρ, νρρ]) ⊗ σ u µ∗(ρ × νρρ × νρρ o σ) i u

µ∗(ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ) cetiri.

Propozicija 5.6 Pretpostavimo da su reprezentacije ρo σ i νρρo σ ireducibilne. Tada su i

reprezentacije δ([ρ, νρρ]) o σ i L(ρ, νρρ) o σ ireducibilne.

Dokaz: Dokazat cemo da je uz spomenute pretpostavke reprezentacija δ([ρ, νρρ])oσ ireduci-

bilna, a ireducibilnost reprezentacije L(ρ, νρρ)oσ tada direktno slijedi iskoristi li se Aubertina

involucija (3.13).

Dokaz ide kontradikcijom, tj. pretpostavimo da je δ([ρ, νρρ]) o σ reducibilna. Buduci je

µ∗(δ([ρ, νρρ]) o σ) = 1⊗ δ([ρ, νρρ]) o σ + (νρρ⊗ ρo σ + ρ⊗ νρρo σ)

+(2δ([ρ, νρρ]) + L(ρ, νρρ) + δ([ν−1ρ ρ, ρ]))⊗ σ,

(5.16)

75


to postoji ireducibilan subkvocijent π takav da je

s(k)(π) = νρρ⊗ ρo σ.

Direktnim racunom dobiva se da je

s.s.(s(2k)(π)) = 2δ([ρ, νρρ])⊗ σ.

Promotrimo sada δ([ρ, νρρ]) o π.

s.s.(s(4k)(δ([ρ, νρρ]) o π))

= 2δ([ρ, νρρ])2 ⊗ σ + 2ρ× νρρ× δ([ρ, νρρ])⊗ σ + 2δ([ν−1ρ ρ, ρ])× δ([ρ, νρρ])⊗ σ.

(5.17)

Buduci je 4δ([ρ, νρρ])2 ⊗ σ ≤ µ∗(δ([ρ, νρρ]) o π, prema prethodnim lemama imamo da je

ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ ≤ δ([ρ, νρρ]) o π).

To nam dalje implicira

s(4k)(ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ]) o σ) ≤ s(4k)(δ([ρ, νρρ]) o π)

te

4ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ])⊗ σ + 4ρ× νρρ× δ([ρ, νρρ])⊗ σ

≤ 2δ([ρ, νρρ])2 ⊗ σ + 2ρ× νρρ× δ([ρ, νρρ])⊗ σ + 2δ([ν−1ρ ρ, ρ])× δ([ρ, νρρ])⊗ σ.

Promotrimo li ρ× δ([ν−1ρ ρ, νρρ])⊗ σ, vidimo da se to ne moze dogoditi, sto nam upotpunjuje

dokaz prve tvrdnje, tj. da je δ([ρ, νρρ]) o σ ireducibilna.

5.2.4 Kuspidalna reducibilnost u 1

Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D) i σ ireducibilna

kuspidalna reprezentacija opce hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Pretpostavimo da

je reprezentacija νρρ o σ reducibilna. Neka je α ∈ R. Buduci je π o σ = π o σ u R(G), to

u teoremima u ovoj i sljedecoj sekciji promatramo samo slucaj kada je α ≥ 0. Rezultati za

slucaj α < 0 se onda lako opisuju koristeci ove rezultate.

76


Teorem 5.1 Pretpostavimo da su ρ i ρ0 ireducibilne unitarizabilne kuspidalne reprezentacije

od GL(k,D) i GL(k0, D) redom te neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D, ε).

Pretpostavimo da je reprezentacija νρρoσ reducibilna. Neka je m pozitivan cijeli broj i α ∈ R,

α ≥ 0. Ako

(a) ρ 6∼= ρ0 tada je ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) reducibilna ako i samo ako par (ρ0, σ) zadovoljava

uvjet (Cα), tj ναρ0 o σ je reducibilna.

Ako za par (ρ0, σ) vrijedi uvjet (C0), tada je reprezentacija ρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) suma

dviju neizomorfnih ireducibilnih temperiranih reprezentacija.

Ako je α > 0, te ako za par (ρ0, σ) vrijedi uvjet (Cα) , tada ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) sadrzi

jedinstven kvadratno integrabilan subkvocijent kojeg oznacavamo s δ(ναρ0, [νρρ, νmρ ρ], σ)

te tada u Grothendieckovoj grupi imamo da je

ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) = δ(ναρ0, [νρρ, νmρ ρ], σ) + L(ναρ0, δ([νρρ, νmρ ρ], σ))

(b) ρ ∼= ρ0 te ako je ναρ ρoσ ireducibilna za svaki α 6= 1 (α ≥ 0), tada je ναρ ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ)

reducibilna ako i samo ako je α ∈ 0,m+ 1. Reprezentacija ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ) je suma

dviju neizomorfnih ireducibilnih temperiranih reprezentacija. U Grothendieckovoj grupi

imamo da je

νm+1ρ ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ) = δ([νρρ, νm+1

ρ ρ], σ) + L(νm+1ρ ρ, δ([νρρ, νmρ ρ], σ)).

(c) Ako je α > 0 te ako je ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) ireducibilna, tada je

ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) ∼= L(ναρ0, δ([νρρ, νmρ ρ], σ)).

Dokaz: Odredimo prvo µ∗(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)). Primjenom strukturne formule (3.10)

dobivamo

µ∗(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ))

= ((ν−αρ0 ⊗ 1 + ναρ0 ⊗ 1) + 1⊗ ναρ0) o (m∑i=0

δ([νi+1ρ ρ, νmρ ρ])⊗ δ([νρρ, νiρρ], σ)).

(5.18)

Iz (5.18) direktno mozemo iscitati Jacquetov modul GL−tipa

s.s.(sGL(ναρ0oδ([νρρ, νmρ ρ], σ))) = ν−αρ0×δ([νρρ, νmρ ρ])⊗σ+ναρ0×δ([νρρ, νmρ ρ])⊗σ, (5.19)

77


te takoder vidjeti da je

s(mk)(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) ≥ δ([νρρ, νmρ ρ]⊗ ναρ0 o σ (5.20)

s((m−1)k)(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) ≥ δ([ν2ρρ, ν

mρ ρ]⊗ ναρ0 o δ(νρρ, σ) (5.21)

Promotrimo prvo slucaj kada je ρ 6∼= ρ0 .

Za α > 0, koristeci formulu (5.19) te Teorem 2.4 dobivamo da je ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)

reprezentacija multipliciteta 1 cija je duljina najvise 2.

Kada nam je α = 0, tada nam formula (5.18) za µ∗(ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) implicira da je

multiplicitet reprezentacije ρ0 ⊗ δ([νρρ, νmρ ρ], σ) u s(k0)(ρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) najvise 2. Sada

nam tvrdnja (b) Leme 5.5 implicira da i u ovom slucaju (α = 0) takoder imamo reprezentaciju

multipliciteta jedan cija je duljina najvise 2.

Pretpostavimo sada da je reprezentacija ναρ0 o σ reducibilna za neki α > 0.

Analizirajuci Jacquetove module GL−tipa, zakljucujemo da reprezentacije

δ([νρρ, νmρ ρ]) o δ(ναρ0, σ)

te

ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)

imaju tocno jedan zajednicki ireducibilan faktor π ciji je Jacquetov modul GL−tipa

sGL(π) = ναρ0 × δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ σ.

Prema Teoremu 3.2 (Casselmanov kriterij kvadratne integrabilnosti), reprezentacija π je

kvadratno integrabilna. Reprezentaciju π oznacavamo s δ(ναρ0, [νρρ, νmρ ρ], σ) te nam je u

Grothendieckovoj grupi R(G)

ναρ0 o δ([νρρ, νmρ ρ], σ) = δ(ναρ0, [νρρ, νmρ ρ], σ) + L(ναρ0, δ([νρρ, νmρ ρ], σ).

Pretpostavimo sada da je α = 0 i da je reprezentacija ρ0 o σ reducibilna te je zapisimo kao

78


sumu neizomorfnih ireducibilnih reprezentacija

ρ0 o σ = τ1 ⊕ τ2,

pri cemu su τ1 i τ2 neizomorfne ireducibilne temperirane reprezentacije. Multipliciteti od

ρ0×δ([νρρ, νmρ ρ])⊗σ u Jacquetovim modulima sGL(δ([νρρ, νmρ ρ])oτ1), sGL(ρ0oδ([νρρ, νmρ ρ], σ))

te sGL(ρ0 × νρρ × · · · × νmρ ρ o σ) su 1,2 i 2 redom. Koristeci Napomenu 5.1 zakljucujemo

reducibilnost.

Promotrimo jos podslucaj kada pretpostavimo da ναρ0oσ nije reducibilna. Primjenom Leme

5.4 na

τ ′′ = δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ ναρ0 o σ,

P ′′ = P(mk),

P ′′′ = P(mk+k0)

i s

P ′ = P(k,k,k,...,k,k0)

pri cemu se u zadnjem indeksu k pojavljuje tocno m puta, zakljucujemo ireducibilnost.

Promotrimo sada slucaj koji nam je preostao, kada je ρ ∼= ρ0 . Razlikujemo 4 podslucaja.

(i) α ≥ 0, α 6∈ 0, 1,m+ 1

Uzimanjem

τ ′′ = δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ ναρ ρo σ

i primjenom Leme 5.4 zakljucujemo ireducibilnost.

(ii) α = 1

Reprezentacija νρρo δ(νρρ, σ) je prema Lemi 5.1 ireducibilna pa za m > 1 primjenom

Leme 5.4 na prethodno naveden nacin uz uzimanje

τ ′′ = δ([ν2ρρ, ν

mρ ρ])⊗ νρρo δ(νρρ, σ)

i koristenjem fromule (5.21) dobivamo ireducibilnost.

79


(iii) α = 0

Slicno kao i ranije koristenjem analognog argumenta dobivamo da je ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ)

reprezentacija multipliciteta 1 cija je duljina najvise 2. Takoder, multipliciteti od

δ([ρ, νmρ ρ])⊗ σ u sGL(ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ)), sGL(δ([ρ, νmρ ρ]) o σ) te sGL(ρ× νρρ× · · · ×

νmρ ρo σ) su svi 2 te nam dalje iz Napomene 5.1 slijedi reducibilnost.

(iv) α = m+ 1

Primjenom Teorema 3.3 te Propozicije 3.2 uocavamo da je reprezentacija νm+1ρ ρ o

δ([νρρ, νmρ ρ], σ) reducibilna pa preostaje pokazati da je onda duljine 2. Uocimo da je

duljina Jacquetovog modula sGL(νm+1ρ ρ o δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) tri. Neka je π ireducibilan

subkvocijent od νm+1ρ ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ) takav da je

δ([νρρ, νmρ ρ])⊗ νm+1ρ ρo σ ≤ µ∗(π).

Duljina od sGL(π) je veca ili jednaka 2 te postoje dva razlicita subkvocijenta π1 ⊗ σ te

π2 ⊗ σ od sGL(νm+1ρ ρo δ([νρρ, νmρ ρ], σ)) takvi da

r(k)m+1(πi)⊗σ+(r(k)m⊗s(k))(δ([νρρ, νmρ ρ])⊗νm+1ρ ρoσ) 6≤ s(k)m+1(νm+1

ρ ρoδ([νρρ, νmρ ρ], σ))

za i = 1, 2. Sada iz komentara iza Leme 5.2 imamo da je duljina od νm+1ρ ρoδ([νρρ, νmρ ρ], σ)

najvise dva cime smo zavrsili dokaz.

5.2.5 Odredivanje Langlandsovih parametara ireducibilnih subk-

vocijenata parabolicki induciranih reperezentacija

Neka je IndGn(D,ε)P0 (σ0) parabolicki inducirana reprezentacija opce hermitske kvaternionske

grupe Gn(D, ε). Za odredivanje Langlandsovih parametara ireducibilnih subkvocijenata od

IndGn(D,ε)P0 (σ0) koristit cemo jednu od sljedecih metoda:

(i) konstrukcija netrivijalnog ispreplitanja IndGn(D,ε)P (τ)→ IndGn(D,ε)

P0 (σ0).

(ii) konstrukcija surjektivnog ispreplitanja ψ : IndGn(D,ε)P (π) IndGn(D,ε)

P0 (σ0) te ulaganja

IndGn(D,ε)P ′ (τ ′) → IndGn(D,ε)

P (π), pri cemu ce IndGn(D,ε)P ′ (τ ′) dati Langlandsov parametar

ako je ψ netrivijalno preslikavanje na IndGn(D,ε)P ′ (τ ′).

80


Metoda koju smo prvu spomenuli je jednostavnija metoda. Uocimo da je za dokazivanje

netrivijalnosti u (ii) dovoljno dokazati da za neku parabolicku podgrupu P ′′ = M ′′N ′′ od

Gn(D, ε) vrijedi

rGn(D,ε)M ′′ (IndGn(D,ε)

P0 (σ0)) 6≤ rGn(D,ε)M ′′ (IndGn(D,ε)

P (π))− rGn(D,ε)M ′′ (IndGn(D,ε)

P ′ (τ ′)).



Pretpostavimo da je reprezentacija νρρoσ reducibilna. Neka je m pozitivan cijeli broj i α ∈ R,

α ≥ 0. Ako

(a) ρ 6∼= ρ0 tada je ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) reducibilna ako i samo ako (ρ0, σ) zadovoljava uvjet

(Cα), tj. ako i samo ako je ναρo o σ je reducibilna.

Ako je α > 0 te ako je ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) reducibilna tada u Grothendieckovoj grupi

imamo da je

ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(ναρ0, νρρ, . . . , νmρ ρ, σ) + L(νρρ, . . . , νmρ ρ, δ(ναρ0, σ)).

Ako je α = 0, prikazemo ρ0 o σ kao sumu neizomorfnih ireducibilnih reprezentacija

ρ0 o σ = ⊕ji=1τi,

gdje je j najvise 2. U tom slucaju je

ρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) = ⊕ji=1L(νρρ, ν2ρρ, . . . , ν

mρ ρ, τi)

(b) ρ ∼= ρ0 te ako je ναρ ρoσ ireducibilna za svaki α 6= 1 (α ≥ 0), tada je ναρ ρos([νρρ, νmρ ρ], σ)

reducibilna ako i samo ako je α ∈ 0,m+ 1. Tada imamo da je

νm+1ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(νρρ, . . . , νm+1

ρ ρ, σ) + L(νρρ, . . . , νm−1ρ ρ, δ([νmρ ρ, νm+1

ρ ρ]), σ),

ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(νρρ, . . . , νm+1ρ ρ, ρo σ)⊕ L(δ([ρ, νρρ]), ν2

ρρ . . . , νm+1ρ ρ, σ),

pri cemu prva jednakost vrijedi samo u Grothendieckovoj grupi.

81


(c) α > 0 i ako je ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) ireducibilna, tada je

ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(ναρ0, νρρ, ν2ρρ, . . . , ν

nρ ρ, σ)

Dokaz: Koristeci Aubertinu involuciju (3.13) te Teorem 5.1 dobivamo tocke reducibilnosti i

duljine induciranih reprezentacija te nam preostaje opis ireducibilnih subkvocijenata.

Promotrimo prvo slucaj (a), ρ 6∼= ρ0.

Tada postoji epimorfizam

ναρ0 × νmρ ρ× · · · × νρρo σ → ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ). (5.22)

Buduci su reprezentacije ναρ0 × νkρρ i νkρρ× ναρ0 izomorfne, to je za α > 0,

L(ναρ0, νmρ ρ, ν

m−1ρ ρ, . . . , νρρ, σ) ≤ ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Ako je α = 0 i ako je ρ0 o σ ireducibilna, na slican nacin dobivamo da je

L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , νρρ, ρ0 o σ) ≤ ρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Ako je ρ0 o σ reducibilna, zapisemo je u obliku

ρ0 o σ = τ1 ⊕ τ2,

gdje su τ1 i τ2 neizomorfne ireducibilne temperirane reprezentacije. Tada nam restrikcija

preslikavanja (5.22) daje ispreplitanja

ϕi : νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρo τi → ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ), i = 1, 2.

Pretpostavimo da je jedno od preslikavanja ϕi = 0.Koristeci svojstvo da je ϕ1⊕ϕ2 epimorfizam

(5.22), dobivamo da je

L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , νρρ, τi) ≤ ρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ)

za i = 1, 2.

82


Pretpostavimo sada da je α > 0 ta da je ναρ0 o σ reducibilna. Restrikcijom preslikavanja

(5.22) dobivamo ispreplitanje

ϕ : νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρo δ(ναρ0, σ)→ ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Pretpostavimo da je preslikavanje ϕ = 0. Tada postoji epimorfizam

νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νρρo L(ναρ0, σ)→ ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Analizom Jacquetovih modula GL− tipa uocavamo da je ovo nemoguce pa je zbog toga

L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , νρρ, δ(ναρ0, σ)) ≤ ναρ0 o s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Pretpostavimo sada da je ρ0 ∼= ρ.

Za α = m+ 1 je

L(νm+1ρ ρ, νmρ ρ, . . . , νρρ, σ) ≤ νm+1

ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Promatrajuci restrikciju preslikavanja (5.22)

δ([νmρ ρ, νm+1ρ ρ])× νm−1

ρ ρ× · · · × νρρo σ → νm+1ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ)

uz pretpostavku da je to preslikavanje nul-preslikavanje, dobivamo da postoji epimorfizam

L(νmρ ρ, νm+1ρ ρ)× νm−1

ρ ρ× · · · × νρρo σ → νm+1ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ)

sto implicira

(L(ν−m−1ρ ρ, ν−mρ ρ) + ν−m−1

ρ ρ× νmρ ρ+ L(νmρ ρ, νm+1ρ ρ))× (ν−m+1

ρ ρ+ νm−1ρ ρ)×

(ν−m+2ρ ρ+ νm−2

ρ ρ)× · · · × (νρρ+ ν−1ρ ρ)⊗ σ ≥ (ν−m−1

ρ ρ+ νm+1ρ ρ)× s([ν−mρ ρ, ν−1

ρ ρ])⊗ σ.

Nadalje, moramo imati

L(ν−m−1ρ ρ, ν−mρ ρ)× ν−m+1

ρ ρ× · · · × ν−1ρ ρ⊗ σ ≥ ν−m−1

ρ ρ× s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗ σ,

ali to zbog Teorema 2.4 ne moze vrijediti pa je

L(δ([νmρ ρ, νm+1ρ ρ]), νm−1

ρ ρ, . . . , νρρ, σ) ≤ νm+1ρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).

83


Pretpostavimo sada da je α = 0.

Tada postoji epimorfizam

νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2

ρρ× ρ× νρρo σ → ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ). (5.23)

Promotrimo restrikciju ϕ epimorfizma (5.23)

νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2

ρρ× L(ρ, νρρ) o σ → ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ)

te pretpostavimo da je ona nul preslikavanje. U tom slucaju je

ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) ≤ νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2

ρρ× δ(ρ, νρρ) o σ

pa je

2ρ×s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗σ ≤ (ν−mρ ρ+νmρ ρ)×· · ·×(ν−2ρ ρ+ν2

ρρ)×(δ([ν−1ρ ρ, ρ])+ρ×νρρ+δ([ρ, νρρ]))⊗σ.

To nam implicira da je

2ρ× s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗ σ ≤ ν−mρ ρ× · · · × ν−2ρ ρ× δ([ν−1

ρ ρ, ρ])

sto zbog Teorema 2.4 ne moze vrijediti pa je

L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , ν2

ρρ, νρρ, ρo σ) ≤ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Uocimo da je

(ρ× νρρ)/L(ρ, νρρ) ∼= δ([ρ, νρρ])

i promotrimo prirodan epimorfizam

ψ : νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2

ρρ× ((ρ× νρρ)/L(ρ, νρρ)) o σ (ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ))/Imϕ.

Ako pretpostavimo da nam je ψ = 0, onda ϕ mora biti epimorfizam pa je

ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) ≤ νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × ν2

ρρ× L(ρ, νρρ) o σ.

84


Analizirajuci Jacquetove module GL−tipa dobivamo da je

2ρ×s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗σ ≤ (ν−mρ ρ+νmρ ρ)×· · ·×(ν−2

ρ +ν2ρρ)×(L(ν−1

ρ ρ, ρ)+ν−1ρ ρ×ρ+L(ρ, νρρ))⊗σ

stoga je

2ρ× s([ν−mρ ρ, ν−1ρ ρ])⊗ σ ≤ ν−mρ ρ× · · · × ν−2ρ ρ× (L(ν−1

ρ ρ, ρ) + ν−1ρ ρ× ρ).

Dobili smo opet situaciju koja zbog Teorema 2.4 nije moguca pa je

L(νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , ν2

ρρ, δ([ρ, νρρ]), σ) ≤ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Ako α 6∈ 0, 1, . . . ,m,m+ 1 tada kao u prvom dijelu direktno dobivamo da nam je

ναρ ρo s([νρρ, νmρ ρ], σ) = L(ναρ ρ, νmρ ρ, νm−1ρ ρ, . . . , ν2

ρρ, νρρ, σ).

Za α = m tvrdnja je ocita.

U slucaju kada je α = l ∈ 0, 1, . . . ,m− 1 imamo epimorfizme

νlρρ× s([νlρρ, νmρ ρ])× s([νρρ, νl−1ρ ρ]) o σ νlρρ× s([νρρ, νmρ ρ]) o σ νlρρo s([νρρ, νmρ ρ], σ).

Iskoristimo li sada cinjenicu da je νlρρ × s([νlρρ, νmρ ρ]) ∼= s([νlρρ, νmρ ρ]) × νlρρ, dobivamo da

postoji epimorfizam

νmρ ρ× νm−1ρ ρ× · · · × νl+1

ρ ρ× νlρρ× νl−1ρ ρ× · · · × νρo σ νlρρo s([νρρ, νmρ ρ], σ),

cime je dokaz zavrsen.

5.2.6 Kuspidalna reducibilnost u 1/2

Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D) te neka je σ ire-

ducibilna kuspidalna reprezentacija hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Pretpostavljamo

unutar ovog poglavlja da je reprezentacija ν1/2ρ ρo σ reducibilna. Iz Propozicije 5.3 znamo da

je δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]) o σ direktna suma dviju ireducibilnih reprezentacija. Buduci je

sGL(δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]) o σ) = 2δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ])⊗ σ + ν1/2ρ ρ× ν1/2

ρ ρ⊗ σ,

85


to nam Frobeniusov reciprocitet (2.5) implicira da ireducibilne podreprezentacije, nazovimo

ih s τ1 i τ2, zadovoljavaju da je

sGL(τ1) = δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ])⊗ σ + ν1/2ρ ρ× ν1/2

ρ ρ⊗ σ,

sGL(τ2) = δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ])⊗ σ.

Oznacit cemo τ1 s δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ), a τ2 s δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]−, σ). Dakle, τ1 je ireducibilan

subkvocijent od δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]) o σ ciji je Jacquetov modul GL−tipa reducibilan.



Pretpostavimo da je reprezentacija ν1/2ρ ρo σ reducibilna. Neka je m nenegativan cijeli broj i

α ∈ R, α ≥ 0. Ako

(a) ρ 6∼= ρ0, tada je ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m

ρ ρ], σ) reducibilna ako i samo ako je (ρ0, σ) zadovo-

ljava uvjet (Cα), tj. ako i samo ako je ναρ0 o σ reducibilna.

Ako je α > 0 te ako je ναρ0 o σ reducibilna, tada u Grothendieckovoj grupi imamo da je

ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m

ρ ρ], σ)

= L(ναρ0, ν1/2ρ ρ, ν3/2

ρ ρ, . . . , ν1/2+mρ ρ, σ) + L(ν1/2

ρ ρ, ν3/2ρ ρ, . . . , ν1/2+m

ρ ρ, δ(ναρ0, σ)).

Ako je α = 0, tada zapisemo ρ0 o σ = ⊕ji=1τi kao sumu neizomorfnih ireducibilnih

temperiranih reprezentacija, pri cemu je j najvise 2.Tada je

ρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m

ρ ρ], σ) = ⊕ji=1L(ν1/2ρ ρ, ν3/2

ρ ρ, . . . , ν1/2+mρ ρ, τi).

(b) ρ ∼= ρ0, tada je ναρ ρo s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m

ρ ρ], σ) reducibilna ako i samo ako je α ∈ 1/2,m +

3/2. U Grothendieckovoj grupi imamo da je

νm+3/2ρ ρo s([ν1/2

ρ ρ, ν1/2+mρ ρ], σ)

= s([ν1/2ρ ρ, ν3/2+m

ρ ρ], σ) + L(ν1/2ρ ρ, ν3/2

ρ ρ, . . . , νm−1/2ρ ρ, δ([νm+1/2

ρ ρ, νm+3/2ρ ρ]), σ),

ν1/2ρ ρo s([ν1/2

ρ ρ, ν1/2+mρ ρ], σ) = L(ν1/2

ρ ρ, ν1/2ρ ρ, ν3/2

ρ ρ, ν5/2ρ ρ, . . . , νm+1/2

ρ ρ, σ)

+ L(ν3/2ρ ρ, ν5/2

ρ ρ, . . . , νm+1/2ρ ρ, δ([ν−1/2

ρ ρ, ν1/2ρ ρ]−, σ)).

86


(c) Ako je α > 0 te ako je ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m

ρ ρ], σ) ireducibilna, tada je

ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, ν1/2+m

ρ ρ], σ) = L(ναρ0, ν1/2ρ ρ, ν3/2

ρ ρ, . . . , ν1/2+mρ ρ, σ).

Dokaz: Kao i u dokazu Teorema 5.1 odredimo prvo µ∗(ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ)).

µ∗(ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ)) = ((ν−αρ0 ⊗ 1 + ναρ0 ⊗ 1) + 1⊗ ναρ0)

om∑

i=−1s([ν−m−1/2

ρ ρ, ν−i−3/2ρ ρ])⊗ s([ν1/2

ρ ρ, ν1/2+iρ ρ], σ).

(5.24)

Iz (5.24) direktno mozemo iscitati Jacquetov modul GL−tipa

s.s.(sGL(ναρ0 o s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ))

= ν−αρ0 × s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2

ρ ρ])⊗ σ + ναρ0 × s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2

ρ ρ])⊗ σ.(5.25)

Jednostavnom modifikacijom dokaza tvrdnje (a) Teorema 5.1, slijedi i dokaz tvrdnje (a) ovog

teorema, stoga direktno krecemo sa slucajem kada nam je ρ ∼= ρ0.

(i) Dokaz ireducibilnosti za α 6∈ 1/2,m+ 3/2 analogan je dokazu Teorema 5.1.

(ii) α = m+ 3/2

Analognim argumentima kao u dokazu Teorema 5.1 dobivamo da su s([ν1/2ρ ρ, νm+3/2

ρ ρ], σ),

L(ν1/2ρ ρ, . . . , νm−1/2

ρ ρ, δ([νm+1/2ρ ρ, νm+3/2

ρ ρ], σ)) ≤ νm+1/2ρ ρ o s([ν1/2

ρ ρ, νm+3/2ρ ρ], σ) te da

je duljina najvise 2.

(iii) α = 1/2

Prvo uocimo da postoji epimorfizam

ν1/2ρ ρ× s([ν1/2

ρ ρ, νm+1/2ρ ρ]) o σ ν1/2

ρ ρ× s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ),

a zatim

νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× · · · × ν1/2ρ ρ× ν1/2

ρ ρo σ ν1/2ρ ρo s([ν1/2

ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ),

stoga je

L(ν1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ, ν3/2ρ ρ, ν5/2

ρ ρ, . . . , νm+1/2ρ ρ, σ) ≤ ν1/2

ρ ρo s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ).

87


Nadalje imamo epimorfizam

ν−1/2ρ ρ× νm+1/2

ρ ρ× νm−1/2ρ ρ× · · · × ν3/2

ρ ρ× ν1/2ρ ρo σ ν−1/2

ρ ρo s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ),

(5.26)

pa i epimorfizam

νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× · · · × ν3/2ρ ρ× ν−1/2

ρ ρ× ν1/2ρ ρo σ ν−1/2

ρ ρo s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ)

(5.27)

Ako promotrimo najviseϕ epimorfizma (5.27) na

νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× · · · × ν3/2ρ ρ× L(ν−1/2

ρ ρ, ν1/2ρ ρ) o σ

i ako pretpostavimo da je ϕ epimorfizam, tada je

(ν1/2ρ ρ+ ν−1/2

ρ ρ)× s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2

ρ ρ])⊗ σ ≤ (ν−m−1/2ρ ρ+ νm+1/2

ρ ρ)× (ν−m+1/2ρ ρ+ νm−1/2

ρ ρ)

× · · · × (ν−3/2ρ ρ+ ν3/2

ρ ρ)× (2L(ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ) + ν−1/2ρ ρ× ν−1/2

ρ ρ)⊗ σ..

Medutim, to ne moze vrijediti jer se koristeci Teorem 2.4 moze vidjeti da je

Z([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2

ρ ρ], ν1/2ρ ρ)⊗ σ subkvocijent lijeve, ali ne i desne strane sto nam daje

kontradikciju.

Uocimo jos da je L([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]) = s([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]). Dakle, ϕ nije epimorfizam pa

imamo netrivijalno ispreplitanje

ψ : νm+1/2ρ ρ×νm−1/2

ρ ρ×· · ·×ν3/2ρ ρ×δ([ν−1/2

ρ ρ, ν1/2ρ ρ])oσ → (ν−1/2

ρ ρos([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ))/Imϕ.

Prisjetimo se da je

δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]) o σ = δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ])+, σ)⊕ δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ])−, σ)

i pretpostavimo da je ψ netrivijalno preslikavanje na

νm+1/2ρ ρ× νm−1/2

ρ ρ× · · · × ν3/2ρ ρo δ([ν−1/2

ρ ρ, ν1/2ρ ρ])+, σ).

Sada nam treba informacija o Jacquetovim modulima Langlandsovog kvocijenta

L(νm+1/2ρ ρ, . . . , ν3/2

ρ ρ, δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ)).

88


Buduci postoji epimorfizam

νm+1/2ρ ρ×· · ·×ν3/2

ρ ρoδ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ) L(νm+1/2ρ ρ, . . . , ν3/2

ρ ρ, δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ)),

to postoji ulaganje

L(νm+1/2ρ ρ, . . . , ν3/2

ρ ρ, δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ)) → ν−m−1/2ρ ρ×· · ·×ν−3/2

ρ ρoδ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ)

(5.28)

Prethodno smo koristili formulu za kontragredijent u Langlandsovoj klasifikaciji te

cinjenicu da je

δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ) ∼= δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ)

sto nam direktno slijedi iz

δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ) → δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ] o σ ∼= δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]) o σ

te cinjenice da je sGL(δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ)) reducibilan. Frobeniusov reciprocitet (2.5)

te postojanje netrivijalnog ispreplitanja (5.28) dalje impliciraju da je ν−m−1/2ρ ⊗ν−m+1/2

ρ ⊗

· · · ⊗ ν−3/2ρ ⊗ δ([ν−1/2

ρ ρ, ν1/2ρ ρ]+, σ) kvocijent odgovarajuceg Jacquetovog modula od

L(νm+1/2ρ ρ, . . . , ν3/2

ρ ρ, δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ)).

Nadalje, iz sGL(δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ)) vidimo da je ν−m−1/2ρ ⊗ ν−m+1/2

ρ ⊗ · · · ⊗ ν−3/2ρ ⊗

ν1/2ρ ρ ⊗ ν1/2

ρ ρ ⊗ σ takoder subkvocijent odgovarajuceg Jacquetovog modula iste repre-

zentacije, a buduci smo pretpostavili da je preslikavanje ψ netrivijalno na νm+1/2ρ ⊗

νm−1/2ρ ⊗ · · · ⊗ ν3/2

ρ ⊗ δ([ν−1/2ρ ρ, ν1/2

ρ ρ]+, σ), to

ν−m−1/2ρ ⊗ ν−m+1/2

ρ ⊗ · · · ⊗ ν−3/2ρ ⊗⊗ν1/2

ρ ρ⊗ ν1/2ρ ρ⊗ σ

mora biti subkvocijent odgovarajuceg Jacquetovog modula od

ν−1/2ρ ρo s([ν1/2

ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ).

Medutim, zbog (5.25) to se ne moze dogoditi pa smo dosli do kontradikcije koja dokazuje

da je

L(ν3/2ρ ρ, ν5/2

ρ ρ, . . . , νm+1/2ρ ρ, δ([ν−1/2

ρ ρ, ν1/2ρ ρ]−, σ)) ≤ ν1/2

ρ ρo s([ν1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ], σ).

89


Jos nam preostaje dokazati da je duljina od ν1/2ρ ρo s([ν1/2

ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ) jednaka 2. Iz

(5.28) i Teorema 2.4 nam slijedi da je duljina od ν1/2ρ ρo s([ν1/2

ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ) najvise 3.

Da bi dokazali da je ta duljina najvise 2 dovoljno je pokazati da ne postoji subkvocijent

π od ν1/2ρ ρo s([ν1/2

ρ ρ, νm+1/2ρ ρ], σ) za kojega je

sGL(π) = ν−1/2ρ ρo s([ν−1/2

ρ ρ, ν−m−1/2ρ ρ])⊗ σ.

Pretpostavimo suprotno, tj. da takav subkvocijent postoji. Oznacimo li s τ ireducibilan

subkvocijent koji sadrzi s([ν−1/2ρ ρ, ν−m−1/2

ρ ρ])2⊗σ kao subkvocijent u svom Jacquetovom

modulu, tada je τ multipliciteta jedan u

ν−m−1/2ρ ρ× ν−m+1/2

ρ ρ× · · · × νm+1/2ρ ρo σ.

Uocimo sada da je

s([ν−1/2ρ ρ, ν−m−1/2

ρ ρ])2 ⊗ σ ≤ sGL(s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ)

iz cega nam slijedi da je

τ ≤ s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ]) o σ.

Dalje nam Frobeniusov reciprocitet implicira da je

s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])⊗ σ ≤ sGL(τ).

Promotrimo sada ϑ = s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−3/2

ρ ρ]) o π. Tada je

s([ν−m−1/2ρ ρ, ν−1/2

ρ ρ])2 ⊗ σ ≤ sGL(ϑ)

pa je

τ ≤ ϑ,

no s([ν−m−1/2ρ ρ, νm+1/2

ρ ρ])⊗ σ 6≤ sGL(ϑ) i time smo dosli do kontradikcije, cime je ovaj

teorem dokazan.

90


5.2.7 Tocke reducibilnosti reprezentacije ναρ δ(ρ,m) o σ, m ∈ Z+

Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od GL(k,D). Prisjetimo se

oznake uvedene formulom (2.23) u Poglavlju 2 ovog rada. Dakle,

δ(ρ,m) = δ([ν−(m−1)/2ρ ρ, ν(m−1)/2

ρ ρ]).

U teoremu koji slijedi opisane su tocke reducibilnosti za reprezentaciju ναρ δ(ρ,m) o σ pri

cemu nam je m pozitivan cijeli broj, α ∈ R i σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija opce

hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε)

Teorem 5.4 Pretpostavimo da je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija od

GL(k,D) te σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija od Gr(D, ε). Neka je m pozitivan cijeli

broj i α ∈ R. Tada reprezentacija ναρ δ(ρ,m) o σ ima sljedece tocke reducibilnosti:

(a) Ako ρ nije samodualna (ρ 6∼= ρ), onda je ναρ δ(ρ,m) o σ ireducibilna za svaki α ∈ R.

(b) Ako je ν1/2ρ ρo σ reducibilna reprezentacija, tada je reprezentacija ναρ δ(ρ,m) o σ je redu-

cibilna ako i samo ako je

α ∈−m

2 ,−m

2 + 1, . . . , m2

.

(c) Ako je ρoσ reducibilna reprezentacija, tada je reprezentacija ναρ δ(ρ,m)oσ je reducibilna

ako i samo ako je

α ∈−m+ 1

2 ,−m+ 1

2 + 1, . . . , m− 12

(d) Ako je νρρo σ reducibilna reprezentacija, tada je, reprezentacija ναρ δ(ρ,m) o σ je reduci-

bilna ako i samo ako je

α ∈−m− 1

2 ,−m− 1

2 + 1, . . . , m+ 12 \ 1,−1 ako je m = 1

Dokaz: Neka je l nenegativan cijeli broj. Kako bi skratili notaciju u dokazu cemo raditi s

reprezentacijom

νβρ δ([ρ, νlρρ]) o σ ∼= δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ,

91


pri cemu je β ∈ R. Koristenjem strukturne formule (3.10) tada dolazimo do cinjenica da je

s.s.(s(p)(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ))

= νβ+lρ ⊗ δ([νβρ ρ, νβ+l−1

ρ ρ]) o σ + ν−βρ ρ⊗ δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l

ρ ρ]) o σ,(5.29)

te

s.s.(sGL(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ))

=l+1∑i=0

δ([ν−β−l+iρ ρ, ν−βρ ρ])× δ([νβ+l−i+1ρ ρ, νβ+l

ρ ρ])⊗ σ.(5.30)

Promatrajuci clanove u sumi koji su u korespondenciji s i = l − 1 te i = l dobivamo

s.s.(sGL(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ)) ≥ δ([ν−β−1

ρ ρ, ν−βρ ρ])× δ([νβ+2ρ ρ, νβ+l

ρ ρ])⊗ σ+

ν−βρ ρ× δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l

ρ ρ])⊗ σ.(5.31)

Krenimo sada s dokazivanjem tvrdnji teorema.

(a) Pretpostavimo da ρ nije samodualna reprezentacija. Tada je νβ+lρ ρ 6∼= ν−βρ ρ za svaki β ∈ R.

Pokazat cemo da u ovom slucaju vrijedi tvrdnja teorema indukcijom po l. Pretpostavimo

da je l ≥ 1. Kao posljedica Leme 5.4 slijedit ce nam ireducibilnost. Oznacimo s

τ ′′ = ν−βρ ρ× δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l

ρ ρ])⊗ σ,

P ′′ = P((l+1)k),

P ′′′ = P(k),

P ′ = P(k)l+1 .

Reprezentacija τ ′′ je ireducibilna. Iz (5.31) vidimo da nam je

τ ′′ ≤ sGL(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ).

Dokazimo sada da su nam ispunjeni uvjeti iz Leme 5.4. Uzmemo prvo

τ ′′′ = νβ+lρ ρ⊗ δ([νβρ ρ, νβ+l−1

ρ ρ]) o σ

i pretpostavimo da je

(1⊗ s(k)l)(τ ′′′) + (r(k)l+1 ⊗ σ)(τ ′′) ≤ s(k)l+1(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ). (5.32)

92


Tada (5.29) implicira

(r(k)l+1 ⊗ 1)(τ ′′) ≤ ν−βρ ρ⊗ s(k)l(δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l

ρ ρ]) o σ). (5.33)

Koristeci strukturu Hopfove algebre na R, te formula (2.21) i (2.21) , mozemo uociti da

ovo ne moze vrijediti, pa ni (5.32) ne moze vrijediti. Analogno se vidi da (5.32) ne moze

vrijediti uzmemo li

τ ′′′ = ν−βρ ρ⊗ s(k)l(δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l

ρ ρ]) o σ.

Buduci su sada ispunjeni svi uvjeti Leme 5.4, zakljucujemo da je δ([νβ+1ρ ρ, νβ+l

ρ ρ]) o σ

ireducibilna.

(b) Reprezentacija δ([ν1/2ρ ρ, νj+1/2

ρ ρ])oσ je reducibilna za cijeli broj j ≥ 0 (posljedica tvrdnje

(ii) Propozicije 3.4) te je u tom slucaju jedan subkvocijent kvadratno integrabilna repre-

zentacija δ([ν1/2ρ ρ, νj+1/2

ρ ρ], σ). Koristeci Napomenu 5.1 pokazat cemo sada reducibilnost

od

δ([ν−s−1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ]) o σ,

pri cemu su s, t ∈ Z, s, t ≥ 0. Koristeci strukturnu formulu (Teorem 3.10), te Teorem 2.4

mozemo vidjeti da je multiplicitet reprezentacije

δ([ν1/2ρ ρ, νs+1/2

ρ ρ])× δ([ν1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ])⊗ σ

jednak jedan u sljedece tri reprezentacije:

sGL(ν−s−1/2ρ ρ× ν−s+1/2

ρ ρ× ν−s+3/2ρ ρ× · · · × νt−1/2

ρ ρ× νt+1/2ρ ρo σ),

sGL(δ([ν−s−1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ]) o σ),

sGL(δ([ν1/2ρ ρ, νs+1/2

ρ ρ]) o δ([ν1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ], σ)),

te je

sGL(δ([ν−s−1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ]) o σ) 6≤ sGL(δ([ν1/2ρ ρ, νs+1/2

ρ ρ]) o δ([ν1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ], σ)),

stoga nam Napomena 5.1 sada povlaci reducibilnost reprezentacije δ([ν1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ])oσ.

Sada indukcijom pokazujemo ireducibilnost koje tvrdimo u (b). Dovoljno je promatrati

93


slucaj kada je β+ l/2 ≥ 0 (u protivnom se prelazi na kontragredijent), a zbog Propozicije

5.2 vidimo da i to mozemo restringirati na slucaj kada je β + l/2 > 0. Zamijetimo da uz

ove pretpostavke uvijek vrijedi

νβ+lρ ρ 6∼= ν−βρ ρ.

Pretpostavimo dalje da je l ≥ 1 te da

δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) 6∈ δ([ν−m+1/2

ρ ρ, ν−1/2ρ ρ]), δ([ν−m+3/2

ρ ρ, ν1/2ρ ρ]), . . . , δ([ν1/2

ρ ρ, νm−1/2ρ ρ]).

Prema pretpostavci indukcije, obje reprezentacije na desnoj strani izraza (5.29) su iredu-

cibilne.

Promotrimo slucaj kada nam je β 6= 0. Prema propoziciji 5.6, dovoljno je razmatrati

samo slucaj l ≥ 2. Oznacimo s

τ ′′ = δ([ν−β−1ρ ρ, ν−βρ ρ])× δ([νβ+2

ρ ρ, νβ+lρ ρ])⊗ σ = δ([ν−1

ρ ρ, ρ])× δ([ν2ρρ, ν

lρρ])⊗ σ,

te uzmimo P ′, P ′′ i P ′′′ kao u (a) dijelu dokaza, dakle

P ′′ = P((l+1)k),

P ′′′ = P(k),

P ′ = P(k)l+1 .

Odmah uocimo da je τ ′′ ireducibilna te da je prema (5.31)

sGL(δ([νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ) = sGL(δ([ρ, νlρρ]) o σ).

Na nacin isti onomu koji smo prethodno koristili, primjenjujuci Lemu (5.4), dobivamo

da je δ[νβρ ρ, νβ+lρ ρ]) o σ = δ[ρ, νlρρ]) o σ ireducibilna reprezentacija. cime je dokazana (b)

tvrdnja nase propozicije.

Tvrdnje (c) i (d) dokazuju se na analogan nacin, koristenjem formula (5.29) i (5.30). U tim

slucajevima nemamo delikatnih tocaka kao u (b) pa ne treba koristit Lemu 5.6.

Prethodni teorem se koristenjem Aubertine involucije (3.13) moze u istoj formi pokazati da

vrijedi za segmentne reprezentacije Zelevinskog

s(ρ,m) = s([ν−(m−1)/2ρ ρ, ν(m−1)/2

ρ ρ]).

94


5.2.8 Negenericke kuspidalne reducibilnosti

U ovom dijelu prosirujemo rezultate o reducibilnosti parabolicki induciranih reprezentacija

klasicnih rascjepivih grupa (vidi [30]) u slucaju negenerickih polucijelih reducibilnosti na

slucaj hermitske kvaternionske grupe Gn(D, ε). Koristimo metdou Jacquetovih modula kao i

ranije bez nekih esencijalnih promjena, a podslucajevi koje promatramo u dokazima su slicni

onima koje smo promatrali u Poglavljima 5.2.4 i 5.2.6.

Prisjetimo se prvo ireducibilnih kvadratno integrabilnih reprezentacija koje su povezane s

negenerickim kuspidalnim reducibilnostima, a cija je glavna slicnost s kvadratno integrabil-

nim reprezentacijama uvedenim u Teoremu 3.4 da su svi njihovi Jacquetovi moduli takoder

ireducibilni.

Neka je ρ ireducibilna unitarizabilna kuspidalna reprezentacija grupe GL(k,D) te neka je σ

ireducibilna kuspidalna reprezenatcija hermitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Pretpostavimo

da je νβρ ρo σ reducibilna za neki β > 0 te uzmimo cijeli broj l takav da je

0 < β − l ≤ β.

Tada prema Teoremu 3.4 reprezentacija

νβ−lρ ρ× νβ−l+1ρ ρ× · · · × νβρ ρo σ

ima jedinstvenu ireducibilnu podreprezentaciju koju oznacavamo s δ([νβ−lρ ρ, νβρ ρ], σ). Repre-

zentacija δ([νβ−lρ ρ, νβρ ρ], σ) je kvadratno integrabilna reprezentacija koja prema [31, Poglavlje

7, Lema 7.1] zadovoljava

µ∗(δ([νβ−lρ ρ, νβρ ρ], σ)) =l+1∑i=0

s([νβ−lρ ρ, νβ−iρ ρ])⊗ δ([νβ−i+1ρ ρ, νβρ ρ], σ). (5.34)

Ako je β > 1, onda mozemo uzeti l ≥ 1 takav da je 0 < β − l ≤ β. U tom slucaju kvadratno

integrabilne reprezentacije δ([νβ−lρ ρ, νβρ ρ], σ) nisu istog tipa kao u Teoremu 3.4, a nazivamo

ih regularnim kvadratno integrabilnim reprezentacijama.

Vrijedi nam sljedeca propozicija.

95


Propozicija 5.7 Neka su ρ i ρ0 ireducibilne unitarizabilne kuspidalne reprezentacije grupa

GL(k,D) te GL(k0, D) redom, te neka je σ ireducibilna kuspidalna reprezentacija opce her-

mitske kvaternionske grupe Gr(D, ε). Neka je β > 0, β ∈ (1/2)Z. Pretpostavimo da je νβρ ρoσ

reducibilna. Odaberimo s, t ∈ Z takve da je 0 < β − t ≤ β ≤ β + s i neka je α ∈ R. Tada:

(a) Ako ρ 6∼= ρ0, tada su ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) i ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ) reducibilne ako i

samo ako je ναρ0 o σ reducibilna.

(b) ναρ ρo δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) je reducibilna ako i samo ako je

α ∈ ±(β − 1),±(β + s+ 1).

(c) ναρ ρo δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ) je reducibilna ako i samo ako je

α ∈ ±(β − t− 1),±(β + 1).

Dokaz: Propoziciju je zbog cinjenice da je π o σ ∼= π o σ u R(G) (vidi Propoziciju 3.2)

dovoljno pokazati da vrijedi u slucaju α ≥ 0.

Odredimo prvo µ∗(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)).

µ∗(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ))

= (1⊗ ναρ0 + ν−αρ0 ⊗ 1 + ναρ0 ⊗ 1) os∑

j=−1δ([νβ+j+1

ρ ρ, νβ+sρ ρ])⊗ δ([νβρ ρ, νβ+j

ρ ρ], σ).

(5.35)

Kao u dokazu Teorema 5.1 koristeci (5.35) dalje odredujemo semisimplifikaciju Jacqueto-

vog modula GL−tipa reprezentacije ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) i dobivamo

s.s.(sGL(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)))

= ν−αρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ])⊗ σ + ναρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+s

ρ ρ])⊗ σ,(5.36)

te takoder da je

s(sk)(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)) ≥ δ([νβρ ρ, νβ+s

ρ ρ]⊗ ναρ0 o σ, (5.37)

96


s((s−1)k)(ναρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)) ≥ δ([νβ+1

ρ ρ, νβ+sρ ρ]⊗ ναρ0 o δ(νβρ ρ, σ). (5.38)

Dokazimo sad prvo da nam tvrdnje iskazane propozicije vrijede za reprezentaciju ναρ0 ×

δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ).

(i) Promotrimo kao i u Teoremu 5.1 prvo slucaj kada nam ρ 6∼= ρ0 . Tada nam je duljina od

(5.36) dva. Pretpostavimo da je ναρ0 oσ ireducibilna. Ako ναρ0 6∼= ν−αρ0, tada nam for-

mule (5.36) i (5.37), svojstvo tranzitivnosti Jacquetovih modula te Lema 5.4 impliciraju

reducibilnost reprezentacije ναρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ). Slicno se pokazuje ireducibilnost

reprezentacije ναρ0× δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) u slucaju da je reprezentacija ρ0 samodualna ako

pogledamo multiplicitete te iskoristimo formule (5.35) i (5.36) ponovo.

Pretpostavimo da je reprezentacija ναρ0 o σ reducibilna.

Za α > 0 smo u regularnoj situaciji pa koristeci (5.36) te Teorem 7.4 u [31] dobivamo

reducibilnost od ναρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ).

Ako je α = 0 te zapisemo reprezentaciju

ρ0 o σ = τ1 ⊕ τ2,

pri cemu su reprezentacije τi, i = 1, 2 neizomorfne ireducibilne temperirane reprezentacije.

Multipliciteti od ρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ]⊗ σ) u Jacqetovim modulima GL−tipa

sGL(δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ] o τ1),

sGL(ρ0 o δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ)),

i

sGL(ρ0 × νβρ ρ× νβ+1ρ ρ× · · · × nuβ+sρo σ)

su redom 1,2 i 2. Sada nam iz Napomene 5.1 slijedi reducibilnost reprezentacije ναρ0 ×

δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ).

97


(ii) Koristimo formule (5.35), (5.36) i (5.37) u kojima uzimamo da nam je reprezentacija ρ0

zapravo ρ.

Za α = β + s+ 1 smo u regularnoj situaciji, te nam tu formula (5.36) povlaci reducibil-

nost.

Ako je β ∈ 12 , 1 i α ∈ ±(β − 1) tada nam Teorem (5.1) implcira reducibilnost.

Za β > 1 smo ponovo u regularnoj situaciji i tu opet formula (5.36) povlaci reducibilnost.

Preostalo je jos pokazati ireducibilnost od ναρ ρ× δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) koja se tvrdi u pro-

poziciji.

Pretpostavimo li da α 6∈ ±(β − 1),±(β + s+ 1), tada nam (5.36) ima duljinu dva.

U slucaju da α 6∈ 0, β, tada nam formule (5.36) i (5.37) te Lema 5.4 impliciraju

ireducibilnost.

Pretpostavimo li da je α = β, tada nam formula (5.36) te Propozicija 5.5 impliciraju

ireducibilnost.

Ako je α = 0, ireducibilnost dobivamo na nacin analogan onom u slucaju, ρ 6∼= ρ0

promatranjem multipliciteta.

Promotrimo sada reprezentaciju ναρ0 × δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ).

Za taj slucaj dovoljno je promatrati one podslucajeve kada nam je β ≥ 3/2. Odredimo prvo

µ∗(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)).

µ∗(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)) = (1⊗ νρρ0 + ν−αρ0 ⊗ 1 + ναρ0 ⊗ 1)ot+1∑i=0

s([νβ−tρ ρ, νβ−iρ ρ])⊗ δ([νβ−i+1ρ ρ, νβρ ρ], σ).

(5.39)

Na temelju formule (5.39) odredujemo semisimplifikaciju Jacquetovog modula GL−tipa

reprezentacije ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ) i dobivamo

s.s.(sGL(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)) = ν−αρ0× s([νβ−tρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ+ ναρ0× s([νβ−tρ ρ, νβρ ρ])⊗ σ,

(5.40)

te takoder da je

s(tk)(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)) ≥ s([νβ−tρ ρ, νβρ ρ]⊗ ναρ0 o σ, (5.41)

98


s((t−1)k)(ναρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)) ≥ s([νβ−tρ ρ, νβ−1ρ ρ]⊗ ναρ0 o δ(νβρ ρ, σ). (5.42)

Nastavljamo analogno prvom slucaju dokaz i u ovom slucaju.

(i) Promotrimo kao i u Teoremu 5.1 prvo slucaj kada nam ρ 6∼= ρ0 . Tada nam je duljina od

(5.40) dva. Pretpostavimo da je ναρ0 oσ ireducibilna. Ako ναρ0 6∼= ν−αρ0, tada nam for-

mule (5.40) i (5.41), svojstvo tranzitivnosti Jacquetovih modula te Lema 5.4 impliciraju

reducibilnost reprezentacije ναρ0 × δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ). Slicno se pokazuje ireducibilnost

reprezentacije ναρ0× δ([νβρ ρ, νβ+sρ ρ], σ) u slucaju da je reprezentacija ρ0 samodualna ako

pogledamo multiplicitete.

Pretpostavimo da je reprezentacija ναρ0 o σ reducibilna. Za α > 0 smo u regularnoj

situaciji te nam slijedi reducibilnost od ναρ0 × δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ).

Ako pretpostavimo da je α = 0 te zapisemo reprezentaciju

ρ0 o σ = τ1 ⊕ τ2,

pri cemu su reprezentacije τi, i = 1, 2 neizomorfne ireducibilne temperirane reprezentacije.

Multipliciteti od ρ0 × δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ]⊗ σ) u Jacqetovim modulima GL−tipa

sGL(s([νβ−tρ ρ, νβρ ρ] o τ1),

sGL(ρ0 o δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ)),

i

sGL(ρ0 × νβ−tρ ρ× νβ−t+1ρ ρ× · · · × νβρ ρo σ)

su redom 1, 2 i 2. Sada nam iz Napomene 5.1 slijedi reducibilnost reprezentacije

ναρ0 × δ([νβ−tρ ρ, νβρ ρ], σ).

(ii) Koristimo formule (5.40), (5.41) i (5.42) u kojima uzmimamo da nam je reprezntacija

ρ0 zapravo ρ.

Za α = β + 1 smo u regularnoj situaciji, te nam tu formula (5.40) i Lema 7.1. iz [31]

povlace reducibilnost.

99


Promatramo sada slucaj α = β− t−1. Ako je β− t−1 > 0, dobivamo ponovo regularnu

situaciju te nam formula (5.40) i Lema 7.1. iz [31] povlace reducibilnost.

Pretpostavimo da nam je β − t− 1 ≤ 0. U tom slucaju je β − t− 1 ∈ 0,−1/2.

Promotrimo prvo sto se dogada kada je β − t− 1 = 0. Uocimo da je tada β = t+ 1 i

s.s.(sGL(s([ρ, νβρ ρ]) o σ)) =β∑

i=−1s([ν−βρ ρ, ν−i−1

ρ ρ])× s([ρ, νiρρ])⊗ σ).

Multipliciteti reprezentacije s([ν−1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ])⊗ σ u Jacquetovim modulima

sGL(s([ν−1/2ρ ρ, νt+1/2

ρ ρ]) o σ),

sGL(ν−1/2ρ ρo δ([ν1/2

ρ ρ, νt+1/2ρ ρ], σ),

sGL(ν−1/2ρ ρ× s([ν1/2

ρ ρ, νt+1/2ρ ρ] o σ)

su redom 1, 2 i 2 sto dokazuje reducibilnost reprezentacije ρo δ([νρρ, νβρ ρ], σ). U slucaju

β − t − 1 = −1/2 je β = t + 1/2 i tada imamo da su multipliciteti reprezentacije

s([ρ, νβρ ρ])⊗ σ) u Jacquetovim modulima

sGL(s([ρ, νβρ ρ]) o σ)

su jedan u svim slucajevima pa je za reducibilnost dovoljno pokazati

sGL(ν−1/2ρ ρo δ([ν1/2

ρ ρ, νt+1/2ρ ρ], σ)) 6≤ sGL(s([ν−1/2

ρ ρ, νt+1/2ρ ρ]) o σ). (5.43)

sto nam slijedi iz cinjenice da je multiplicite reprezentacije

ν1/2ρ ρo δ([ν1/2

ρ ρ, νt+1/2ρ ρ]) o σ)

na lijevoj strani formule (5.43) jednak 1, a 0 na desnoj strani.

Preostalo je jos pokazati ireducibilnost iz tvrdnje (c). Pretpostavimo da nam α 6∈

±(β − t − 1),±(β + 1). Sada (5.40) ima duljinu 2. Ako α 6∈ 0, β tada nam

formule (5.40) i (5.41) povlace ireducibilnost. Za α = β ireducibilnost slijedi iz formula

(5.40), (5.42) te Propozicije 5.5, a za α = 0 ireducibilnost dobivamo razmatranjem

multipliciteta.

100

Sazetak

Kljucne rijeci: hermitske kvaternionske grupe; parabolicki inducirane reprezentacije;

Jacquetovi moduli; R-grupa; reducibilnost; strukturna formula; p-adsko polje; klasicne grupe;

U ovoj disertaciji proucavamo problem reducibilnosti reprezentacija p-adskih hermitskih kva-

ternionskih grupa koje su parabolicki inducirane iz kuspidalnih i (esencijalno) kvadratno

integrabilnih reprezentacija Levijevih faktora standardnih parabolickih podgrupa. Glavni re-

zultati su generalizacija Tadicevih kriterija reducibilnosti za rascjepive simplekticke i neparne

specijalne ortogonalne grupe na slucaj proizvoljnih hermitskih kvaternionskih grupa. Dokazi

se baziraju na tehnikama Jacquetovih modula te koriste strukturnu formulu i teoriju R-grupa.

Pritom je pokazano da za hermitske kvaternionske grupe vrijedi strukturna formula te su

odredene R-grupe.

101

Summary

Main words: hermitian quaternionic groups; parabolically induced representations;

Jacquet modules; R-groups; reducibility; structure formula; p−adic fields; classical groups;

In the thesis, the reducibility of representations of p-adic hermitian quaternionic groups that

are parabolically induced from cuspidal and (essentially) square-integrable representations

of the Levi factors of standard parabolic subgroups is studied. Main results generalize the

reducibility criteria of Tadic for split symplectic and special orthogonal groups to the case

of arbitrary hermitian quaternionic groups. Proofs rely on the Jacquet module techniques

and use the structure formula and the theory of R-groups. It is proved that for hermitian

quaternionic groups the structure formula holds and the R-groups are determined.

102

Zivotopis

Nevena Jurcevic Pecek rodena je 15. sijecnja 1983. godine u Rijeci. Po zavrsetku srednje

skole, 2001. godine upisuje dvopredmetni studij Matematike i informatike pri Filozofskom

fakultetu Sveucilista u Rijeci. Za vrijeme studija obavlja duznost demonstratora iz nekoliko

kolegija. U svibnju 2006. uspjesno brani diplomski rad pod nazivom Grupe reda 16. U rujnu

2006. zaposljava se kao asistent na Odjelu za matematiku Sveucilista u Rijeci te krajem

iste godine upisuje doktorski studij matematike pri Prirodoslovno-matematickom fakultetu u

Zagrebu. Tijekom izobrazbe za doktora znanosti sudjelovala je u radu seminara za Unitarne

reprezentacije i automorfne forme. Clan je Drustva matematicara i fizicara u Rijeci, Zavoda

za algebru i teoriju brojeva na Odjelu za matematiku Sveucilista u Rijeci te Alumni kluba

Odjela za matematiku Svecilista u Rijeci.

103

Bibliografija

[1] A.-M. Aubert, Dualite dans le groupe de Grothendieck de la categorie des representations

lisses de longueur finie d’un groupe reductif p-adique, Trans. Amer. Math. Soc. 347

(1995), 2179–2189.

[2] I. N. Bernstein, A. V. Zelevinsky, Induced representations of reductive p-adic groups. I,

Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 10 (1977), 441–472.

[3] A. Borel and N. Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations

of reductive groups, second ed., Mathematical Surveys and Monographs, vol. 67, American

Mathematical Society, Providence, RI, 2000.

[4] N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras. Chapters 7–9, Elements of Mathematics

(Berlin), Springer-Verlag, Berlin, 2005.

[5] W. Casselman, Introduction to the theory of admissible representations of p-adic reductive

groups (1974), Preprint, University of British Columbia.

[6] W. Casselman, Jacquet modules for real reductive groups, Proceedings of the International

Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978), Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980, pp. 557–

563.

[7] P. Deligne, D. Kazhdan, M.-F. Vigneras, Representations des algebres centrales simples

p-adiques, Representations of reductive groups over a local field, Travaux en Cours,

Hermann, Paris, 1984, pp. 33–117.

[8] D. Goldberg, Reducibility of induced representations for Sp(2n) and SO(n), Amer. J.

Math. 116 (1994), 1101–1151.

104

Bibliografija

[9] M. Hanzer, The unitary dual of the Hermitian quaternionic group of split rank 2, Pacific

J. Math.

[10] M. Hanzer, R groups for quaternionic Hermitian groups, Glas. Mat. Ser. III 39(59)

(2004), 31–48.

[11] M. Hanzer, Unitary dual of the non-split inner form of Sp(8, F ), Trans. Amer. Math.

Soc. 360 (2008), 1005–1034 (electronic).

[12] Harish-Chandra, Harmonic analysis on reductive p-adic groups, Harmonic analysis on

homogeneous spaces (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Williams Coll., Williams-

town, Mass., 1972), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1973, pp. 167–192.

[13] H. Jacquet, Representations des groupes lineaires p-adiques, Theory of group represen-

tations and Fourier analysis, Springer, 2011, pp. 119–220.

[14] C. D. Keys, On the decomposition of reducible principal series representations of p-adic

Chevalley groups, Pacific J. Math. 101 (1982), 351–388.

[15] A. W. Knapp, E. M. Stein, Intertwining operators for semisimple groups, Ann. of Math.

(2) 93 (1971), 489–578.

[16] D. W. Lewis, The isometry classification of Hermitian forms over division algebras,

Linear Algebra Appl. 43 (1982), 245–272.

[17] C. Mœglin, M.-F. Vigneras, and Jean-Loup Waldspurger, Correspondances de Howe sur

un corps p-adique, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1291, Springer-Verlag, Berlin,

1987.

[18] G. Muic, G. Savin, Complementary series for Hermitian quaternionic groups, Canad.

Math. Bull. 43 (2000), no. 1, 90–99.

[19] W. Scharlau, Quadratic and Hermitian forms, Grundlehren der Mathematischen Wissen-

schaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 270, Springer-Verlag,

Berlin, 1985.

105

Bibliografija

[20] F. Shahidi, On certain L-functions, Amer. J. Math. 103 (1981), no. 2, 297–355.

[21] F. Shahidi, Twisted endoscopy and reducibility of induced representations for p-adic

groups, Duke Math. J. 66 (1992), 1–41.

[22] A. J. Silberger, The Knapp-Stein dimension theorem for p-adic groups, Proc. Amer.

Math. Soc. 68 (1978), 243–246.

[23] A. J. Silberger, Special representations of reductive p-adic groups are not integrable, Ann.

of Math. (2) 111 (1980), no. 3, 571–587.

[24] A. J. Silberger, Discrete series and classification for p-adic groups. I, Amer. J. Math.

103 (1981), 1241–1321.

[25] M. Tadic, Induced representations of GL(n,A) for p-adic division algebras A, J. Reine

Angew. Math. 405 (1990), 48–77.

[26] M. Tadic, Construction of square integrable representations of classical p-adic groups,

Universitat zu Gottingen. SFB Geometrie und Analysis, 1993.

[27] M. Tadic, Representations of classical p-adic groups, Representations of Lie groups

and quantum groups (Trento, 1993), vol. 311, Longman Sci. Tech., Harlow, 1994,

pp. 129–204.

[28] M. Tadic, Representations of p-adic symplectic groups, Compositio Math. 90 (1994),

no. 2, 123–181.

[29] M. Tadic, Structure arising from induction and Jacquet modules of representations of

classical p-adic groups, J. Algebra 177 (1995), 1–33.

[30] M. Tadic, On reducibility of parabolic induction, Israel J. Math. 107 (1998), 29–91.

[31] M. Tadic, On regular square integrable representations of p-adic groups, Amer. J. Math.

120 (1998), no. 1, 159–210.

[32] M. Tadic, Representation theory of GL(n) over a p-adic division algebra and unitarity

in the Jacquet-Langlands correspondence, Pacific J. Math. 223 (2006), no. 1, 167–200.

106

Bibliografija

[33] A. V. Zelevinsky, Induced representations of reductive p-adic groups. II. On irreducible

representations of GL(n), Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 13 (1980), 165–210.

107

TEORIJA REPREZENTACIJA HERMITSKIH KVATERNIONSKIH …gmuic/pecek.pdf · izometrija hermitske ( = 1)...

Documents

Transcript of TEORIJA REPREZENTACIJA HERMITSKIH KVATERNIONSKIH …gmuic/pecek.pdf · izometrija hermitske ( = 1)...