TEORIA GRAFURILOR 10 NOIEMBRIE 2010 CURSUL 1. GRAFURI, PROPRIETATI. SUBGRAFURI SI COMPONENTE CONEXE. GRAFURI BIPARTITE. Teorema lui Konig. ARBORI SI CARACTERIZARI. DIAMETRU SI RAZA. EXCENTRICITATE A UNUI VARF. CENTRUL UNUI GRAF. LEMA LUI SPERNER. GRAFURI, PROPRIETATI. 1. Multiset peste o multime R. Definitie. Notatii alternative. Apartenenta unui element la un multiset. Relatia de incluziune. Cardinalul unui multiset. 2. Puteri ale unei multimi S. Sp = multimea p-cuvintelor peste S. S(p) = multimea p-partilor lui S. S<p>= multimea p-multipartilor lui S. S* = multimea cuvintelor peste S. S(*) = multimea partilor lui S. S<*>= multimea multipartilor lui S. Exemple pentru cazul p=2. Expresia grafica asociata. 3. Grafuri. Grafuri orientate. Grafuri neorientate. Grafuri simple. 3.1. Adiacenta.Incidenta. 3.2. Grade. Grad interior. Grad exterior. Grad. Multisetul gradelor. Exemple.

SUBGRAFURI SI COMPONENTE CONEXE. Lanturi (elementare,simple,oarecare) Cicluri (elementare,simple,oarecare) Exemple. Relatia de echivalenta pe multimea varfurilor indusa de conectarea prin lanturi. Componenta conexa Descompunere in componente conexe Exemple. Exercitiu: G conex intre orice doua parti nevide disjuncte care formeaza o partitie a multimii varfurilor exista o muchie . ARBORI SI CARACTERIZARI. Diametru si raza. Excentricitate a unui varf. Centrul unui graf. Definitie T arbore T conex si acyclic Exercitiu. T arbore Exista o permutare a muchiilor lui T ,e1,e2,e3,…,em cu proprietatea: “pentru orice i , 2Ρ i Ρ m muchia ei are in comun cu muchiile e1,e2,e3,…,ei-1 exact un varf” Enuntarea proprietatilor arborilor. Diametrul si raza unui graf. Excentricitatea unui varf. Centrul unui graf. GRAFURI BIPARTITE. Teorema lui Konig. Multime independenta de varfuri sau de muchii. p-colorari proprii a muchiilor unui graf (partile monocrome sunt independente). Definitia 1 pentru grafuri bipartite. Definitia 2 G bipartit G admite o bicolorare proprie PROPOZITIE:Orice arbore este un graf bipartit. TEOREMA (KONIG) Un graf G=(V,E) este bipartit daca si numai daca orice ciclu elementar al sau este par. LEMA LUI SPERNER. PROBLEME REZOLVATE

Problema 1. (grade) Fie un graf simplu G=(V,E) ale carui varfuri sunt colorate cu culorile alb si negru. Pentru un varf oarecare v ` V prin „mutare” asociata varfului v intelegem schimbarea culorii acestui varf si a culorilor vecinilor sai din alb in negru sau invers. Daca graful G are toate varfurile albe exista o succesiune de mutari asociate varfurilor lui G prin care culorile acestora se schimba din alb in negru. Solutie. Vom utiliza inductie dupa n, cazul n = 1 fiind trivial. Fie acum un graf cu n + 1 vârfuri. Numim sistem (actiune) asupra lui v o succesiune de mutari în care vârful v nu a fost ales, si în urma carora toate celelalte vârfuri si-au schimbat culoarea (si poate chiar si v). Din ipoteza de inductie stim ca pentru orice 1 ≤ i ≤ n+1 exista un sistem asupra lui vi. Daca exista i, 1 ≤ i ≤ n+1, asa încât exista un sistem asupra lui in care si vi sa-si fi schimbat culoarea, atunci acel sistem reprezinta succesiunea de mutari ceruta. Daca pentru orice i, 1 ≤ i ≤ n+1, orice sistem conserva culoarea varfului vi asociat atunci procedam astfel: Consideram cate un sistem asupra fiecarui varf de grad impar din G si compunem aceste sisteme. Varfurile de grad impar vor rezulta negre iar cele de grad par vor rezulta albe. Actionam acum asupra fiecarui varf din graful G. Varfurile de grad par isi vor schimba culoarea din alb in negru iar cele de grad impar isi vor pastra culoarea neagra. Asadar toate varfurile rezulta negre . Problema 2. (grafuri bipartite) Fie k ` N un numar natural. Consideram un sistem de trafic aerian compus din k linii aeriene. Presupunem ca: 1) serviciul aerian intre doua orase inseamna serviciu dus-intors.

2) pentru orice doua orase este asigurat serviciul aerian de cel putin o linie aeriana. 3) nici-o linie aeriana nu poate programa un circuit printr-un numar impar de orase. Care este numarul maxim de orase care pot fi deservite de un astfel de sistem ? Modelare. Consideram graful complet G=(V,E) definit astfel: V = multimea celor n orase. E = {{a,b}|a,b ` V} Tinand cont de teorema de caracterizare a grafurilor bipartite, fiecarei linii aeriene ii corespunde un subgraf bipartit al lui G. Conditia 3) se traduce prin faptul ca orice muchie a lui G apartine cel putin unuia din grafurile bipartite asociate celor k linii aeriene, adica prin aceea ca graful G este reuniunea celor k grafuri bipartite asociate sistemului de trafic aerian considerat. Formulata in acesti termeni, problema cere sa determinam numarul maxim de varfuri ale unui graf complet care se poate exprima ca reuniune a k subgrafuri bipartite. Aceasta este insa echivalent cu a determina numarul minim k de subgrafuri bipartite a caror reuniune este un graf complet cu n varfuri. Evident, solutia banala este sa exprimam graful complet Kn ca reuniune a grafurilor induse de mchiile sale. Teorema. Numarul minim de grafuri bipartite a caror reuniune este Kn este Ρ lg2 n Ξ. Demonstratia 1. (prin inductie) Vom demonstra prin inductie matematica dupa k urmatoarea afirmatie echivalenta cu cea din enunt: Pk : <Graful Kn se poate exprima ca reuniunea a k grafuri bipartite daca si numai daca n ≤ 2k.> P1 este adevarata. Intr-adevar, deoarece pentru n ≥ 3, Kn contine un 3-ciclu, adica un ciclu impar, rezulta ca el nu este un graf bipartit si deci n ≤ 21.

Invers, daca n ≤ 21 atunci avem graful complet K2 care este bipartit. P1, ..., Pk-1 ⇒ Pk pentru k ≥ 2. Sa presupunem ca graful complet Kn este reuniunea a k subgrafuri bipartite, Kn = G14 ... 4 Gk. Consideram o bipartitie a multimii V, V = X 4 Y, astfel incat graful Gk sa nu aiba nici-o muchie cu ambele varfuri nici in X nici in Y. Grafurile G1, ..., Gk-1 induc in fiecare din subgrafurile complete Kn[X] si Kn[Y] cate o reuniune a acestora in k-1 grafuri bipartite si, conform ipotezei inductive, avem |X|≤ 2k-1 si |Y|≤ 2k-1. Rezulta |V| = |X|+|Y|≤ 2k-1 + 2k-1 = 2k. Sa presupunem acum n ≤ 2k si graful complet Kn = (V,E). Vom construi prin inductie k grafuri bipartite a caror reuniune este Kn. Deoarece 2k = 2k-1 + 2k-1, multimea V a varfurilor poate fi partitionata in doua parti X si Y, V = X 4 Y, fiecare din ele cu cel mult 2k-1. Prin inductie, consideram fiecare din grafurile complete Kn[X] si Kn[Y] exprimate ca reuniune a cate k-1 subgrafuri bipartite: Kn[X] = G’1 4 ... 4 G’k-1 Kn[Y] = G’’1 4 ... 4 G’’k-1 Definim Gi = G’i 4 G’’i pentru 1≤ i ≤ k-1 si Gk = (X 4 Y, E) unde E este multimea tuturor muchiilor lui Kn cu un capat in X si celalalt capat in Y. Avem Kn = G1 4 ... 4 Gk-1 4 Gk ceeace incheie demonstratia. Demonstratia 2. (directa) Vom demonstra afirmatiile urmatoare. (1) Daca n ≤ 2k atunci varfurile grafului complet Kn se pot eticheta cu n k-vectori binari distincti peste multimea {0,1}. Pentru i Ý {1, ... , k} definim graful bipartit Gi = (Xi 4 Yi, Ei) asfel: Xi = multimea varfurilor grafului complet Kn a caror eticheta asociata are coordonata „i” egala cu zero. Yi = multimea varfurilor grafului complet Kn a caror eticheta asociata are coordonata „i” egala cu 1. Ei = multimea tuturor muchiilor care au un capat in Xi si celalalt capat in Yi.

Pentru i Ý {1, ... , k}, graful Gi este bipartit deoarece varfurile a caror etichete de pe pozitia „i” sunt egale sunt neadiacente si deci fiecare din multimile Xi si Yi sunt independente. Pe de alta parte, reuniunea grafurilor Gi, pentru i Ý {1, ... , k}, este egala cu graful complet Kn deoarece etichetele varfurilor acestuia fiind diferite doua cate doua, rezulta ca etichetele a doua varfuri diferite difera pe cel putin o coordonata, sa zicem „i”, si deci ele sunt adiacente in graful bipartit Gi,cu indicele egal cu pozitia acelei coordonate. (2) Sa presupunem acum ca graful complet Kn este reuniunea a k subgrafuri bipartite, Kn = G1 4 ... 4 Gk, unde Gi = (Xi 4 Yi, Ei) pentru i Ý {1, ... , k}. Etichetam varfurile lui Kn cu k-vectori peste multimea {0,1} asfel: unui varf v Ý V(Kn) ii asociem k-vectorul binar care are coordonata i egala cu 0 daca el apartine lui Xi si egala cu 1 daca el apartine multimii Yi. Doua varfuri nu pot avea etichetele asociate identice deoarece atunci ar insemna ca acele varfuri ar apartine pentru fiecare i Ý {1, ... , k} unei aceleiasi parti independente a grafului bipartit Gi si deci muchia care le uneste in Kn nu ar apare in nici-un graf Gi nefiind astfel acoperita. Astfel, k-vectorii binari asociatzi varfurilor grafului complet Kn find diferiti doi cate doi rezulta n ≤ 2k. Problema 3. (grafuri bipartite) Orice graf simplu G = (V,E) contine un subgraf partial bipartit B = (X 4 Y, F ) cu proprietatea ca gradul in B al oricarui varf este cel putin egal cu jumatate din gradul sau in G: dH(v) ≥dG(v)/2, pentru orice v Ý V = X 4 Y. Solutie. In G exista evident un subgraf partial bipartit, cum este de exemplu graful fara muchii peste multimea de varfuri V. Fie B un subgraf partial al lui G care are un numar maxim de muchii, B = (X 4 Y, F ). Vom arata ca dH(v) ≥dG(v)/2, pentru orice v Ý V = X 4 Y.

Sa presupunem prin absurd ca exista v Ý X cu dH(v) < dG(v)/2. Deoarece |F| este maxim rezulta ca orice x din Y adiacent lui v in graful G este adiacent lui v si in graful B. Tinand cont de acesta, din presupunerea facuta rezulta ca numarul varfurilor din multimea Y adiacente in G lui v este mai mic strict decat dG(v)/2 si deci, numarul varfurilor din multimea X adiacente in G lui v este mai mare sau egal decat dG(v)/2. Definim graful B’ = (X’ 4 Y’, F’ ) obtinut din B prin „mutarea” lui v din X in Y, definit astfel: X’ = X – {v}, Y’ = Y 4 {v}, F’ = (F – {{v,x}| x Ý Y si {v,x} Ý F}) 4 4 {{v,x}|x Ý X, {v,x} Ý F}. Graful B’ este subgraf partial bipartit al lui G dar are insa strict mai multe muchii decat acesta, ceeace contrazice definitia grafului B. Demonstratia este incheiata. Problema 4. (arbori) Fie k un numar natural. Consideram un graf simplu G = (V,E) cu gradul minim δ(G) mai mare sau egal decat k. Pentru orice arbore T cu k + 1 varfuri exista un subgraf T’ al lui G izomorf cu T. Solutie. Fie T un arbore cu k+1 varfuri si un graf simplu G cu δ(G) ≥ k. Vom demonstra prin inductie dupa k faptul ca G contine un subgraf izomorf cu T. Pentru k = 0, arborele T are un singur varf iar graful G are δ(G) ≥ 0 adica poate fi chiar si vid (fara muchii), Cum V ≠ Ø prin definitie avem T ~ G[{v}] pentru orice varf v din V. Pentru k = 1, arborele T are doua varfuri si o muchie iar graful G are δ(G) ≥ 1 si deci contine cel putin o muchie e Ý E si avem T ~ G[e].

Sa presupunem afirmatia din enunt adevarata pentru k-1 si sa o demonstram pentru k, unde k ≥ 2. Arborele T are in acest caz k+1 varfuri. Fie v un varf de gradul 1 din T si T1 = T – v. T1 este un arbore cu k varfuri si orice varf din T1 are gradul cel mult egal cu k-1. Din ipoteza inductiva rezulta ca exista un subgraf T’1 al lui G cu T’1~ T1. Fie u varful din T adiacent lui v si u’ omologul lui din T’1. Din dT’1(u’ ) = dT1(u) < k ≤ dG (u’ ) rezulta ca exista un varf v’ Ý V(G) – V(T’1) adiacent lui u’. Atunci T’ = T’1 + [u’,v’] este un arbore, subgraf in G cu proprietatea T ~ T’. Demonstratia este incheiata. Problema 5. (arbori) Fie n Ý N un numar natural nenul oarecare. Consideram multimea S = {a1, a2, a3, ... , an} si o familie de n parti distincte ale sale A = {A1, ... ,An}. Exista un element x Ý S astfel incat multimile A1 – {x}, ... , An – {x} sunt distincte doua cate doua. Solutie. Presupunem prin absurd ca nu exista un element x Ý S cu proprietatea din enunt. Cu alte cuvinte, presupunem ca pentru orice element x Ý S exista doua multimi distincte Ai, Aj Ý A cu Ai – {x} = Aj – {x} ceeace este echivalent cu Ai Δ Aj = {x}. Asociem oricarui element x din S o pereche de multimi { Ai, Aj} cu proprietatea Ai Δ Aj = {x}. Obtinem astfel o functie pe care sa o notam cu f, f:S → {{ Ai, Aj}| 1≤ i < j ≤ n} cu proprietatea ca pentru orice x Ý S daca f(x) = { Ai, Aj} atunci Ai Δ Aj = {x}. Functia f este injectiva deoarece daca ar exista in S doua elemente diferite x si y cu f(x) =f(y) = Ai Δ Aj atunci, conform proprietatii definitorii a functiei f, am avea {x} = Ai Δ Aj = {y}, ceeace este absurd. Rezulta deci ca perechile f(a1), f(a2), f(a3), ... , f(an) sunt diferite doua cate doua. Definim graful simplu G = (V,E) astfel: V = {A1, ... ,An},

E = {f(a1), f(a2), f(a3), ... , f(an)} Graful G are n varfuri si n muchii si, prin urmare, contine un ciclu elementar C a carui lungime sa o notam cu p. Avem 3 ≤ p ≤ n. Cu o eventuala reindiciere a multimilor Ai si a elementelor multimii S putem presupunem urmatoarele: C = [A1, A2, A3, ... , Ap, A1], si f(ai) = { Ai, Ai+1} pentru i Ý {1, 2, 3, ... , p} (mod p) Avem A1 Δ A2 = {a1}, A2 Δ A3 = {a2}, A3 Δ A4 = {a3}, ... ... ... ... ... Ap-1 Δ Ap = {ap-1}, Ap Δ A1 = {ap}. Inmultim aceste p relatii in raport cu diferenta simetrica si obtinem: Ø = {a1, a2, a3, ... , ap}, contradictie. Exista asadar un element x in S cu proprietatea ca multimile A1 – {x}, ... , An – {x} sunt distincte doua cate doua. Observatia 1. Iata un alt mod de argumentare a faptului ca un astfel de ciclu C = [A1, A2, A3, ... , Ap, A1] nu exista. Cu o eventuala reindiciere a multimilor Ai putem presupune ca multimea A1 are comparativ cu celelalte multimi care formeaza varfurile ciclului C un numar minim de elemente: |A1| ≤ |A2|,|A3|, ... ,|Ap|. Avem succesiv: A1 se obtine din A2 scazand {a1} si deci a1 Ô A1 si a1 Ý A2, A3 se obtine din A2 adaugand sau scazand {a2} si deci a1 Ý A3, A4 se obtine din A3 adaugand sau scazand {a3} si deci a1 Ý A4, ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Ap se obtine din Ap-1 adaugand sau scazand {ap-1} si deci a1 Ý Ap, A1 se obtine din Ap adaugand sau scazand {ap} si deci

a1 Ý A1, contradictie. Observatia 2. Numarul n al partilor multimii S din enunt este maxim. Astfel, daca |A| = n+1 afirmatia din enunt nu mai este in general adevarata. De exemplu, pentru A = { Ø, {a1}, {a2},{a3}, ..., {an}} este evident ca pentru orice x din S avem Ø – {x} = {x} – {x} = Ø. 17 NOIEMBRIE 2010 CURSUL 2. PROBLEME DE NUMARARE IN GRAFURI: NUMARAREA ARBORILOR. CARACTERIZARI ALE SIRURILOR GRADELOR UNUI ARBORE. METODE RECURSIVE DE NUMARARE. METODE BIJECTIVE DE NUMARARE. Codificarea arborilor - Pruffer si Neville. Aplicatii. Teoremele lui Cayley si Moon. APLICAREA FUNCTIILOR DE NUMARARE IN NUMARAREA ARBORILOR Partaje si formula multinomului. Teorema lui Cayley si teorema lui Moon. CARACTERIZARI ALE SIRURILOR GRADELOR UNUI ARBORE. Teorema. Fie n un numar natural si s0 = (d1,d2,d3, ...,dn) un multiset de numere naturale mai mari sau egale cu 1. Exista un arbore cu sirul gradelor egal cu s0 daca si numai daca d1 + d2 + d3 + ... ... +dn = 2(n – 1). METODA RECURSIVĂ DE NUMĂRARE A ARBORILOR

Fie G=(V, E) un graf neorientat și e o muchie oarecare din

G, e=ab E, a≠b. Notăm G*e graful obținut din G prin

contracția muchiei e definit astfel: se șterg din G vârfurile a și

b și se înlocuiesc cu un vârf auxiliar z care se conectează cu

fiecare vârf x din V-{a, b} printr-un număr de muchii egal cu

numărul muchiilor din G prin care vârfurile a sau/și b erau

conectate cu x.

Spunem că graful G*e se obține din G prin contracția

muchiei e.

Explicit, graful G*e se construiește astfel:

a) se șterg din G vârfurile a, b (capetele muchiei e)

b) se adaugă vârful auxiliar z

c) în graful G*e vârful z este adiacent unui vârf x V(G) - {a,

b} printr-un număr de muchii egal cu numărul

muchiilor grafului bipartit G[{a, b}, {x}] indus în G de

mulțimile de vârfuri {a, b} și {x}.

Operația * este comutativă și asociativă modulo un

izomorfism. Pentru mulțimea muchiilor E'={e1, ..., ek} V(2)

notăm prin G*E' : G* e1 ... ek * , k .

Teoremă Fie G=(V, E) un graf neorientat și E0 E. Avem

Demonstrație. Avem evident

Dar, pentru E1 E2=E0 și E1 E2= avem

unde bijecția este definită astfel: T→T*E2. Rezultă teorema.

Corolar Fie G=(V, E) un graf neorientat și o muchie e=ab E cu

a≠b. Avem

| (G)|=| (G-e)| + | (G*e)|

Demonstrație. Considerăm în teorema E0={e}

Prin aplicarea formulei din teorema se obțin grafuri cu un

număr de muchii sau de vârfuri mai mic cu cel puțin o

unitate. Aplicarea repetată a acestei formule conduce la

grafuri din ce în ce mai simple. În final se obțin grafuri fără

muchii.

METODE BIJECTIVE DE NUMARARE. Metode de codificare a arborilor

Numărul arborilor parțiali ai lui | (Kn)| ai grafului complet

Kn (n ) fiind egal cu nn-2, conform teoremei lui Cayley, este

interesant să construim o bijecție între mulțimea (Kn) și

mulțimea [n]n-2 a tuturor (n-2)- vectorilor peste [n]. O astfel de

bijecție f, f: (Kn) → [n]n-2 . T → c= c1 c2 ... cn-2, o vom numi

codificare sau funcție cod.

Vom descrie în continuare două codificări, Prüfer (1918)

și Neville (1953), cunoscute astfel după numele autorilor lor.

În ambele cazuri vom considera graful complet Kn (n )

având mulțimea vârfurilor V(K)=[n] ={1, 2, ..., n} și mulțimea

muchiilor E(Kn)= [n](2).

Pe scurt, în aceste metode se șterg pe rând n-2 vârfuri

terminale ale arborelui T și ale celor obținuți succesiv din

acesta până se obține un arbore cu două vârfuri. Fiecare

operație de ștergere este însoțită de notarea în vectorul cod a

vârfului adiacent, cj, terminalului șters, xj.

Metodele diferă prin algoritmul de selecție a terminalelor

care urmează să fie șterse. La codificarea Prüfer se alege de

fiecare dată terminalul minim. Corespondența terminal șters

(xj)→ coordonată cod (cj) descrie în acest caz chiar funcția

arbore asociată lui T în raport cu vârful maxim (n), care

aparține de altfel chiar ultimelor două vârfuri rămase. La

codificarea Neville se procedează în etape, în fiecare etapă fiind

parcurse crescător toate terminalele după care acestea se

șterg. În acest caz, mulțimea celor două vârfuri rămase după

n-2 operații conține chiar centrul arborelui T.

Codificare și decodificare Prüfer

Codificare Prüfer. Considerăm un arbore parțial oarecare

T Kn din (Kn). Algoritmul lui Prüfer de codificare a arborelui T

conduce la construcția unui (n-2)-vector c=( c1, c2, ..., cn-2)

peste [n] astfel ca T → c=( c1, c2, ..., cn-2). El constă în repetarea

de n-2 ori, respectiv pentru j=1, 2, ..., n-2, a următorului grup

de operații:

1) se determină mulțimea S a vârfurilor de gradul unu (a

terminalelor) din T: S=term(T);

2) se selectează vârful terminal minim xj=min S;

3) se notează în vectorul cod vârful cj adiacent lui xj;

4) se șterge vârful terminal xj din arborele T: T- xj →T.

Observație (1) În procesul codificării Prüfer sunt obținute cele

n-2 componente cj ale vectorului cod c=( c1, c2, ..., cn-2).

Determinarea fiecărei componente cj este însoțită de ștergerea

vârfului terminal minim xj din T, adiacent lui cj, iar graful

obținut este de asemenea un arbore T-xj→T. În total sunt

șterse astfel n-2 vârfuri: x1, x2, ..., xn-2. Cele două vârfuri care

rămân sunt adiacente, iar unul dintre ele este vârful maxim n.

(2) În vectorul cod obținut, un vârf x apare de dT(x)-1 ori.

Astfel, vârfurile terminale sunt singurele vârfuri care nu apar

în codul c.

(3) Pentru fiecare j {1, 2, ..., n-2} avem cj =fn(xj), unde fn

este funcția arbore asociată lui T în raport cu vârful n.

Decodificare Prüfer. Fie un c=( c1, c2, ..., cn-2) [n](n-2) un (n-

2)-vector oarecare peste V=[n]. Presupunând că c este codul

Prüfer al unui arbore parțial T Kn vom reconstrui arborele T

determinându-i una câte una cele n-2 muchii. pornind de la

observația că în codul Prüfer singurele vârfuri care nu apar

sunt terminalele lui T, vom începe prin a calcula mulțimea S a

acestora. Prima muchie determinată este cea care conectează

prima coordonată din cod, c1, cu terminalul minim din S, x1:

e1=c1x1. Dacă ștergem acum prima coordonată din codul c și

terminalul minim din mulțimea V a vârfurilor, ceea ce obținem

este un vector-cod c cu o coordonată mai puțin și o mulțime de

vârfuri V cu un element mai puțin. Repetăm operația descrisă

anterior de n-2 ori și obținem succesiv muchiile e1, e2, ..., en-2.

În fine, cele două vârfuri rămase în V după cea de-a (n-2)-a

operație formează muchia en-1.

Observație Printr-un argument inductiv se poate vedea ușor

că prin operațiile de decodificare Prüfer a vectorului c este

obținută exact muchia ștearsă la pasul corespunzător al

operațiilor de codificare a arborelui T obținut.

Rezultă în consecință că operațiile de codificare și decodificare

Prüfer descriu două bijecții inverse una celeilalte între mulțimea arborilor

parțiali (Kn) și mulțimea (n-2)-vectorilor peste [n].

(Kn) [n]n-2

Codificare și decodificare Neville Codificare Neville. Considerăm un arbore parțial oarecare

T Kn din (Kn). Algoritmul lui Neville de codificare a arborelui

T conduce la construcția unui (n-2)- vector c=c1 c2 ... cn-2 peste

[n], T→ c=c1c2 ... cn-2. El constă în repetarea următorului grup

de operații până în momentul în care sunt determinate n-2

coordonate cj în vectorul cod c:

1. se determină mulțimea S a vârfurilor de gradul unu (a

terminalelor) din T: S=term(T);

codificare decodificare

2. se notează în vectorul cod vârfurile cj adiacente

vârfurilor terminale xj din S parcurse în ordine

crescătoare;

3. se șterg vârfurile terminale din arborele T: T←T – S .

Observație (1) În procesul codificării Neville sunt obținute cele

n-2 componente cj ale vectorului cod c=c1 c2 ... cn-2 . Aceste n-2

componente sunt determinate pe secvențe de cardinali egali cu

cei ai mulțimilor de vârfuri terminale adiacente lor ale

arborilor formați succesiv din T. Determinarea unei astfel de

secvențe de coordonate este însoțită de ștergerea terminalelor

din arbore: T←T – S. Sunt determinate astfel n-2 coordonate cj

și sunt șterse n-2 vârfuri xj. Cele două vârfuri care rămân sunt

adiacente și formează centrul arborelui T (dacă acesta are două

vârfuri) sau centrul și un vârf adiacent (dacă centrul lui T are

un singur vârf).

(2) În vectorul cod obținut un vârf x apare de dT(x) – 1 ori.

Astfel, vârfurile terminale sunt singurele vârfuri care nu apar în

codul c. Decodificare Neville. Fie c un (n-2)-vector oarecare peste

V=[n], c=c1 c2 ... cn-2 [n]n-2. Presupunând că c este codul

Neville al unui arbore parțial T Kn vom reconstrui arborele T

determinându-i una câte una cele n-2 muchii.

Pornind de la observația că în codul Neville singurele

vârfuri care nu apar sunt terminalele lui T, vom începe prin a

calcula mulțimea S a acestora. Primele |S| muchii

determinate sunt cele care conectează primele |S| coordonate

din cod, cu terminalele din S parcurse în ordine crescătoare,

x1, x2, ..., x|S| : e1=c1x1, ..., e|S|=c|S|x|S|. Dacă ștergem acum

primele |S| coordonate din codul c și mulțimea S a

terminalelor din mulțimea V a vârfurilor, ceea ce obținem este

un vector cod c cu |S| coordonate mai puțin și o mulțime de

vârfuri V având |S| elemente mai puțin. Repetăm operațiile

descrise anterior până în momentul în care obținem n-2

muchii: e1, e2, ..., en-2. În fine, cele două vârfuri rămase în V

după aceste operații formează muchia en-1.

Observație 5.25. Printr-un argument inductiv se poate vedea

ușor că prin operațiile de decodificare Neville muchiile sunt

determinate în aceeași ordine în care sunt șterse în cadrul

operațiilor de codificare a arborelui T obținut.

Rezultă în consecință că operațiile de codificare și decodificare

Neville descriu două bijecții inverse una celeilalte între mulțimea

arborilor parțiali (Kn) și mulțimea (n-2)-vectorilor peste [n].

(Kn) [n]n-2codificare decodificare

APLICATII

Teoremă (Cayley). Pentru n avem:

(Kn )|=nn-2.

Teoremă (Moon) Pentru orice n și s0=(d1, d2, ..., dn )

avem

| (Kn;s(T)=s0) |=

APLICAREA FUNCTIILOR DE NUMARARE IN NUMARAREA ARBORILOR. Partaje si formula multinomului. Teorema lui Cayley. Pentru n avem:

(Kn )|=nn-2.

Demonstrație. Pentru n=1 formula din enunț este evidentă.

Pentru n≥2 ținem cont de teorema lui Moon, de teorema de

caracterizare a multisetului gradelor unui arbore și de

identitatea multinomială a lui Newton și avem:

(1 + ... + 1)n-2 = nn-2.

n

Teorema lui Moon.Pentru orice n și s0=(d1, d2, ..., dn

) avem

| (Kn;s(T)=s0) |=

Demonstrație. Notăm membrul stâng și membrul drept al

relației de demonstrat, respectiv cu St(d1, ..., dn) și Dr(d1, ...,

dn).

Analizăm următoarele două cazuri:

(1) Cazul d1+d2+ ...+dn ≠ 2(n-1). Atunci St(d1, ..., dn) = 0

deoarece, conform teoremei de caracterizare a

multisetului gradelor unui arbore, nu există arbori

cu s(T)=s0. De asemenea, avem Dr(d1, ..., dn) = 0,

conform definiției partajelor, deoarece (d1-1)+...+(dn-

1)=(d1+...+dn)-n ≠ 2(n-1) –n= n-2. Astfel, egalitatea din

enunț este adevărată în acest caz.

(2) Cazul d1+d2+ ...+dn = 2(n-1). Utilizăm metoda inducției

matematice pentru a demonstra următoarea afirmație:

P (n)

<Pentru orice s0=(d1, d2, ..., dn ) cu proprietatea

d1+d2+ ...+dn = 2(n-1), avem St(d1, ..., dn) = Dr(d1, ..., dn)

pentru n . >

P (2) este adevărată. Într-adevăr, din relațiile d1+d2=2

și d1, d2 rezultă d1=d2=1, deci s0=(1, 1).

Avem

St(1, 1) = | (K2;1, 1) | =1,

Figura5.4.

T:

i

n

Pe de alta parte

Dr(1, 1) = = = 1,

și astfel obținem St(1, 1) = Dr(1, 1).

Vom demonstra că P (n-1) implică P (n) pentru n ≥ 3.

Fără a micșora generalitatea, considerăm d1 ≥ d2 ≥ ... ≥

dn . Din relațiile

d1+d2+ ...+dn = 2(n-1) , d1 ≥ d2 ≥ ... ≥ dn ≥ 1

rezultă ușor prin reducere la absurd că dn=1.

Partiționăm mulțimea (Kn; s(T)=( d1, ..., dn)) în n-1

părți posibil vide, după cum vârful n este adiacent în

arborele curent T Kn unuia din vărfurile i [n-1].

Obținem

Pentru i [n-1] și di=1 nu există arbore parțial T Kn cu

proprietățile n ≥ 3, s(T) = (d1, ..., dn), di = dn= 1 și ).

Avem, ținând cont de definiția partajelor

(Kn; s(T)=( d1, ..., dn); ))|=0

= .

Pentru i [n-1] și di ≥ 2 există bijecția (Kn; s(T)=( d1, ...,

dn); )) ↔ (Kn-1; s(T’) = ( d1, ..., di-1,..., dn-1)) descrisă

astfel: T → T - n, T’ → T’+ [ni]. Prin urmare, conform ipotezei

inductive P (n-1) , avem

(Kn; s(T)=( d1, ..., dn); ))| = .

Ținând cont de rezultatele obținute, de recurența Pascal

pentru partaje și de faptul că dn=1 avem:

.

Deci St(d1, ..., dn) = Dr(d1,... dn).

19 NOIEMBRIE 2010 CURSUL 3. CUPLAJE IN GRAFURI. Caracterizarea cuplajelor de cardinal maxim. Teorema lui Berge. Cuplaje in grafuri bipartite. Teorema lui Hall. Cuplaje in grafuri bipartite regulate. Teorema lui Bernstein. Cuplaje care satureaza varfurile de grad maxim in grafuri bipartite.

Descompuneri in cuplaje. CUPLAJE IN GRAFURI. 1. DEFINITII. NOTATII. EXEMPLE. G=(V,E) graf simplu M inclus in E M cuplaj :_M este multime independenta : _ orice e,f din M sunt neadiacente. Varf M – saturat Varf M – nesaturat Partititionarea multimii V in varfuri saturate. V(M), si varfuri nesaturate,V(G) – V(M) . M := multimea cuplajelor din graful G. Mk := multimea cuplajelor de cardinal k din graful G. M* := cuplaj de cardinal maxim in G M culaj perfect : _ orice varf din V(G) este M - saturat EXEMPLE. a. Cuplaje. b. Cuplaje in Pn.

c. Cuplaje in Cn. d. Cuplaje intr-un arbore. e. Cuplaje in K3,3 si in Kn,n. (Descompunerea multimii muchiilor intr-o reuniune de cuplaje disjuncte) EXERCITII. G = Pn G = Cn G = Cn1 + Cn2 + Cn3 + … + Cnp . a. Care este cardinalul maxim al unui cuplaj din G ? Cate cuplaje de cardinal maxim are G ? Cate cuplaje de cardinal k are G ? b. Sa se determine │M1│ si │M2│ intr-un graf simplu G. 2. SCOP : M*

Conditii in care M* satureaza toate varfurile. Care este cardinalul lui M* ? Determinarea numarului │M*│ . Determinarea numarului │Mk│ pentru k in N≥1.

Descompunerea multimii muchiilor E intr-un numar minim de cuplaje disjuncte de cardinali aproape egali. Algoritmi pentru constructia unui M*. Cuplaje in grafuri cu muchiile ponderate.

3. REPERE ISTORICE. EXEMPLE. 3.1. Problema seratei (a perechilor) - secolul XIX. EXEMPLE. Descompunerea multimii muchiilor unui graf intr-o reuniune de cuplaje disjuncte. Cazurile K3,3 si, in general, Kn,n (exercitiu). 3.2. Programarea meciurilor in concursurile de sah pe echipe. 3.3. Problema repartitiei dupa competenta a personalului la locurile de munca. 3.4. Problema repartitiei personalului la locurile de munca astfel incat suma competentelor sa fie maxima. 3.5. Problema orarului. 4. PREGATIRI. 4.1. Definitii. Notatii. Exemple. Lant M – alternant ; tipuri. EXEMPLE. P : = multimea lanturilor M – alternante. P(a) : = multimea lanturilor M – alternante cu un capat in a, (a in V(G)). P (A) : = multimea lanturilor M – alternante cu un capat in A, (A parte nevida a lui V(G)). Lant M’,M’’ – alternant. Ciclu M – alternant . Ciclu M’,M’’ – alternant. Lant M – alternant deschis (crescator). EXEMPLE. 4.2. Relatii de ordine. Operatii. 4.2.1. Relatia de incluziune pe multimea cuplajelor unui graf G.

Cuplaj maximal. Cuplaj de cardinal maxim. Relatia de “ subgraf “ ,≤, pe multimea P a lanturilor M – alternante. Lanturi M – alternante maximale. Lanturi M – alternante de cardinal maxim, M*. Lanturi M – alternante maximale cu un capat fixat (M – nesaturat). 4.2.2. a. Operatia de “lipire” a doua lanturi M – alternante. b. Operatia “delta” ,diferenta simetrica. Diagrama Euler – Venn. Exemple. c. Operatia de constructie a “negativului” unui lant P , M – alternant deschis si obtinerea unui cuplaj de cardinal cu 1 mai mare, numita operatia de transfer de-a lungul lantului P : M’ = M delta E(P) . EXEMPLE.. Compararea cardinalilor cuplajelor M’ si M. d. Operatia “delta” ,diferenta simetrica, pe multimea cuplajelor unui graf G. Descrierea celor patru tipuri de componente conexe ale grafului [M1Δ M2] indus de diferenta simetrica a doua cuplaje diferite M1 si M2 : ciclu M1,M2 – alternant; lant M1,M2 – alternant tip (M1,M2); lant M1,M2 – alternant tip (M1,M1); lant M1,M2 – alternant tip (M2,M2). EXEMPLE. Compararea numarului de muchii din M1 cu numarul de muchii din M2 din fiecare componenta conexa: In primele doua tipuri numarul muchiilor din M1 si M2 este egal. In al treilea tip numarul muchiilor din M1 este mai mare cu 1 decat numarul muchiilor din M2. In al patrulea tip numarul muchiilor din M2 este mai mare cu 1 decat numarul muchiilor din M1.

CARACTERIZAREA CUPLAJELOR DE CARDINAL MAXIM. TEOREMA LUI BERGE. 4.2.3. REZULTAT FUNDAMENTAL: TEOREMA DE CARACTERIZARE A CUPLAJELOR DE CARDINAL MAXIM. TEOREMA (CLAUDE BERGE) M este cuplaj de cardinal maxim in G _ _ Orice lant P M – alternant din G nu este deschis. CUPLAJE IN GRAFURI BIPARTITE. TEOREMA LUI HALL. 5. CUPLAJE IN GRAFURI BIPARTITE. 5.1. Amintim: definitia grafului bipartit teorema lui KONIG orice arbore este un graf bipartit 5.2. CARACTERIZAREA GRAFURILOR BIPARTITE, G = (A cB, E), CARE CONTIN UN CUPLAJ AL LUI A IN B. Fie G = (A c B, E) un graf bipartite si M inclus in E, un cuplaj. Definim M “cuplaj al lui A in B”. TEOREMA 1. ( HALL). Fie G = (A U B, E) un graf bipartit. Avem: G contine un cuplaj al lui A in B _ _Pentru orice parte nevida S din A avem: │NG (S) │ ≥ │S│ . CUPLAJE. APLICATII. CUPLAJE IN GRAFURI BIPARTITE REGULATE. Teorema lui Bernstein. Cuplaje care satureaza varfurile de grad maxim in grafuri bipartite. Descompuneri in cuplaje. DESCOMPUNEREA IN CUPLAJE DE CARDINALI APROAPE EGALI A MULTIMII MUCHIILOR UNUI GRAF BIPARTIT. PROBLEMA ORARULUI. 1. PROBLEMA.

Fie A = multimea profesorilor. B = multimea grupelor de studenti. Un profesor poate sustine cel mult un examen intr-o zi. O grupa poate sustine cel mult un examen intr-o zi. Se cere programarea examenelor in sesiune astfel incat numarul zilelor de examen sa fie minim si repartitia examenelor in zilele sesiunii sa fie uniforma. MODELARE. Fie G = (A U B, E) , graful bipartit ale carui muchii sunt definite astfel: E = {{a, b} │ a in A, b in B, a are examen cu b}. Interpretare in graful bipartit asociat G : 1) Profesorii si grupele de studenti corespund varfurilor grafului G. 2) Examenele corespund muchiilor grafului G. 3) Examenele programate intr-o zi de sesiune corespund unui cuplaj in graful G. 4) Programarea examenelor in sesiune corespunde unei descompuneri in cuplaje disjuncte a multimii muchiilor grafului G. 5) Programarea examenelor intr-un numar minim de zile in sesiune corespunde unei descompuneri intr-un numar minim de cuplaje disjuncte a multimi muchiilor grafului G. 6) Repartitia uniforma a examenelor in sesiune corespunde unei descompuneri in cuplaje disjuncte de cardinali aproape egali a multimii muchiilor grafului G. 2. CAZUL GRAFURILOR BIPARTITE p,q – REGULATE. 2.1. Amintim : TEOREMA 1. ( HALL). Fie G = (A c B, E) un graf bipartit. Avem: G contine un cuplaj al lui A in B _ _ Pentru orice parte nevida S din A avem:

│NG (S) │ ≥ │S│ . 2.2. Fie p, q doua numere naturale mai mari sau egale cu 1. Un graf G = (V, E) se numeste p – regulat daca orice varf din V(G) are gradul p. Un graf bipartit G =(A U B, E) se numeste p, q – regulat daca orice varf din A are gradul p si orice varf din B are gradul q. Intr-un graf G = (V, E) un cuplaj M se numeste cuplaj perfect daca orice varf di V(G) este M – saturat. TEOREMA 2. Pentru orice doua numere naturale mai mari sau egal cu 1, p ≥ q in N≥1, orice graf bipartit G= (A B, E) p,q – regulat admite un cuplaj al lui A in B. TEOREMA 3. Pentru orice numar natural p mai mare sau egal cu 1, orice graf bipartit G = (A U B, E) p – regulat admite un cuplaj perfect. TEOREMA 4. Orice graf bipartit G = (A U B, E) p – regulat admite o descompunere in p cuplaje perfecte: E = M1 c M2 c M3 c …c Mp. 3. CAZUL GRAFURILOR BIPARTITE OARECARE. Intr-un graf G = (V, E) notam cu D gradul maxim al unui varf si cu d gradul minim al unui varf din V(G). TEOREMA 5. Orice graf bipartit G = (A c B, E) este izomorf cu un subgraf varf – indus al unui graf bipartit D – regulat. TEOREMA 6. Orice graf bipartit G = (A c B, E) admite o descompunere in D cuplaje : E = M1 c M2 c M3 c … c MD. 1.

UNIFORMIZAREA IN CARDINAL A UNEI FAMILII DE CUPLAJE DISJUNCTE. TEOREMA 1. Fie M1 si M2 doua cuplaje disjuncte. Daca │M2│ – │M1│≥2 atunci se pot construi doua cuplaje M1’ si M2’ cu proprietatile urmatoare: M1’ cM2’ = M1 c M2 M1’ ∩ M2’ = O │M1’│ = │M1│ + 1 │M2’│ = │M2│ - 1. Demonstratie. Inegalitatea din enunt implica existenta in graful M1 ΔM2 a unei componente conexe P de tip lant M1, M2 – alternant tip (M2, M2). Cuplajele M1’ si M2’ se definesc astfel: M1’ = M1 Δ E(P), M2’ = M2 Δ E(P). Pentru uniformizarea in cardinal a unei familii de cuplaje disjunte se aplica procedeul descris in demonstratia teoremei 1 pentru perechile de cardinali minim si maxim ale familiei initiale si asupra celor obtinute din aceasta pana se obtine o familie in care orice doua cuplaje difera in cardinal prin cel mult o unitate. 2. TEOREMA LUI BERNSTEIN. 2.1. CAZUL GRAFURILOR BIPARTITE. TEOREMA 2. Fie G = (AcB, E) un graf bipartit, doua parti X ⊆ A, Y ⊆B si doua cuplaje MA al lui X in B si MB al lui Y in A . Exista un cuplaj M ⊆ MA c MB care satureaza elementele multimii A c B. APLICATIE. TEOREMA. Fie G = (AcB, E) un graf bipartit.Fie A∩ si B∩ varfurile de grad maxim din A respectiv B. Avem : Exista un cuplaj al lui A∩ in B si un cuplaj al lui B∩ in A. Exista un cuplaj care satureaza varfurile de grad maxim din G, A∩ Ν B∩. 2.2.

TEOREMA 3 (BERNSTEIN) Fie A, B doua multimi si doua injectii fA : A → B , fB : B → A . Exista o bijectie g : A → B. 24 NOIEMBRIE 2010 CURSUL 4. GRAFURI PLANARE. Proprietati. Teorema poliedrala a lui Euler. Dualitate in grafuri planare. Teorema celor 5 culori. PROBLEME HAMILTONIENE. Conditii suficiente de hamiltoneitate pentru grafuri neorientate. Teorema lui Dirac. Teorema lui Taite. Teorema lui Grinberg. Aplicatii. GRAFURI PLANARE. Proprietati. Teorema poliedrala a lui Euler. Dualitate in grafuri planare. Teorema celor 5 culori. GRAFURI PLANARE 1 Definitie.. Reprezentare in plan.Harta.Fete. Grad al unei fete.Proiectie stereografica EXEMPLE. K5 nu este planar (demonstratie directa bazata pe unicitatea modulo un izomorfism a hartilor asociate ,succesiv,lui K1,K2,K3 si K4) K3,3 nu este planar (demonstratie directa) – exercitiu. 2 TEOREMA POLIEDRALA A LUI EULER. Demonstratia 1 (care utilizeaza un arbore partial). Demonstratia 2 (care calculeaza in doua moduri suma unghiurilor totale centrate in varfuri: * pe de o parte ea este 2 pi /V/; ** pe de alta parte ea este egala cu suma unghiurilor interne fetelor marginite - adica (d(f) – 2) pi (suma dupa f in F si f diferit de fata nemarginita ,f0) – la care se adauga suma unghiurilor din fata nemarginita ,f0, adica (d(f0) + 2) pi. APLICATIE:

K5 este neplanar (se utilizeaza faptul ca cele mai mici fete ar avea gradul cel putin 3,formula lui Euler si formula care evalueaza suma gradelor fetelor) K3,3 este neplanar (aici gradul minim al unei fete ar trebui sa fie cel putin 4 – deoarece in K3,3 orice ciclu este par) – exercitiu. 3 Hamiltoneitate in grafuri planare. Definitia unui graf Hamiltonian. Harti hamiltoniene.Fete interioare.Fete exterioare. (3.1 TEOREMA Fie G graf simplu Hamiltonian.Avem: G este planar daca si numai daca graful intersectiilor corzilor ciclului Hamiltonian este bipartit. ALGORITM de testare a planaritatii unui graf Hamiltonian. APLICATIE: K5 este neplanar. (se utilizeaza faptul ca graful K5 este Hamiltonian) – exercitiu. K3,3 este neplanar (analog) - exercitiu.) 3.2 Conditie necesara de hamiltoneitate a unui graf planar. TEOREMA LUI GRINBERG. Graf planar. Harta. Fete. Grad al unei fete.Exemple. M = (V,E,F) harta hamiltoniana, C ciclu hamiltonian in G, R’ R” F’ F” Fi’ Fi” (0 <= i ) TEOREMA 3 (GRINBERG). Suma (i-2) (/Fi’/ - /Fi”/) = 0. PROBLEME HAMILTONIENE. Conditii suficiente de hamiltoneitate pentru grafuri neorientate.

Teorema lui Dirac. Teorema lui Taite. Teorema lui Grinberg. Aplicatii. HAMILTONEITATE (1) 1. DEFINITII. NOTATII. Graf neorientat,simplu,orientat. Grad al unui varf in grafuri neorientate. Subgraf. Multimea grafurilor simple definite peste o multime V ordonata cu relatia <= de a fi subgraf. Lant.Lant elementar.Lant simplu. Drum.Drum elementar.Drum simplu. Ciclu.Ciclu elementar.Ciclu simplu. Circuit.Circuit elementar.Circuit simplu. Ciclu Hamiltonian.Graf Hamiltonian. Lant Hamiltonian.Graf trasabil. 2. REPERE ISTORICE. Jocul icosian. Problema celor patru culori. HAMILTONEITATE (2) 1. CONDITII NECESARE / SUFICIENTE DE HAMILTONEITATE. 1.1. CONDITII NECESARE DE HAMILTONEITATE. 1.1.1. COMENTARIU : Fie C ciclu elementar si S ô V(C) o parte proprie a multimii varfurilor sale. Avem : c(C- S) <= /S/. PROPOZITIA 1. Fie G un graf simplu Hamiltonian. Pentru orice S V(G) avem : c(G-S) <= /S/. Aplicatie. Graf p-partit complet. TEOREMA 2. Fie numerele naturale a1,a2,a3,…,ap N>=1 indiciate in ordine crescatoare, a1<= a2 <= a3 <= …<= ap.

Avem: Graful p-partit complet Ka1,…ap este hamiltonian <==> ap <= a1 + a2 + a3 + … + ap – 1.

1.1.2. CONDITIE NECESARA DE HAMILTONEITETE A UNUI GRAF PLANAR. +++++ Subiectul este tratat si la “GRAFURI PLANARE” +++++++ Graf planar. Harta. Fete. Grad al unei fete.Exemple. M = (V,E,F) harta hamiltoniana, C ciclu hamiltonian in G, R’ R” F’ F” Fi’ Fi” (0 <= i ) TEOREMA 3 (GRINBERG). Suma (i-2) (/Fi’/ - /Fi”/) = 0. APLICATII. TEOREMA 2. Graful lui GRINBERG G1 nu este Hamiltonian. TEOREMA 3. Graful lui GRINBERG G2 nu este Hamiltonian. PROBLEMA 1. Graful grid Pm x Pn (un dreptunghi de la turi m si n impartit in mn patratele egale - ca o foaie de aritmetica) este Hamiltonian daca si numai daca mn este par. SOLUTIA 1. Se utilizeaza teorema lui GRINBERG ( pentru implicatia “stanga –dreapta”). SOLUTIA 2. Se utilizeaza faptul ca graful Pm x Pn este bipartit ( pentru implicatia “stanga – dreapta”) . PROBLEMA 2. Fie doua numere naturale m,n >= 2 cu mn par . Orice ciclu Hamiltonian C al grafului Pm x Pn contine in interiorul lui un acelasi numar de patrate egal cu mn/2 – 1. SOLUTIA 1. Se utilizeaza teorema lui GRINBERG . SOLUTIA 2. Se utilizeaza un arbore format din diagonale ale patratelor din interiorul ciclului Hamiltonian.

Arborele are jumatate din numarul varfurilor grafului Pm x Pn

iar numarul muchiilor arborelui este egal cu numarul patratelor din interiorul ciclului Hamiltonian. EXTINDERE. HAMILTONEITATE (3) 1.2. CONDITII SUFICIENTE DE HAMILTONEITATE A UNUI GRAF. 1. REPERE ISTORICE. Jocul icosian. 2. DEFINITII. NOTATII. Ciclu hamiltonian. Lant hamiltonian. Graf hamiltonian. 3. CONDITII SUFICIENTE DE HAMILTONEITATE. TEOREMA 1 (DIRAC) Fie G = (V, E) un graf simplu cu n =│V│≥ 3 varfuri. Este adevarata urmatoarea implicatie : [ xι V(G) : dG(x)Υ n/2 ]1[ G este Hamiltonian ]. 1. TEOREMA 2. (ORE) Fie G = (V, E) un graf simplu cu n =│V│≥ 3 varfuri. Este adevarata urmatoarea implicatie : [ x ,y ι V(G), {x,y} η E(G) : dG(x) + dG(y) Υn] 1 [G este Hamiltonian]. HAMILTONEITATE (4) - facultativ HAMILTONEITATE IN PRODUSE DE GRAFURI. 1. CAZURI PARTICULARE.

1.1. GRAFUL CUBULUI n – DIMENSIONAL, Qn , unde n in N>=1. Fie n numar natural mai mare sau egal cu 1. DEFINITIA 1. V(Qn) = {0,1}n , E(Qn) = { {u,v} / u, v in V(Qn} si u, v difera pe exact o componenta}. EXEMPLE. Q1 , Q2 , Q3. DEFINITIA 2. Fie S = {1,2,3,…,n}. V(Qn) = S(*) = { X / X parte a multimii S} E(Qn) = {{X,Y}/ X, Y sunt parti ale multimii S si X, Y difera prin exact un element}. Utilizarea notiunii de diferenta simetrica a doua multimi si de distanta d(X,Y) intre doua multimi pentru exprimarea definitiei 2. EXEMPLE Q1 , Q2 , Q3. PROPOZITIA 1. Definitia 1 <==> Definitia 2. PROPOZITIA 2. /V(Qn)/ = 2n ; Qn este n – regulat (inductie); /E(Qn)/ = n2n-1 ; Qn este Hamiltonian (inductie). Qn este Eulerian. 1.2. PRODUSE CARTEZIENE DE LANTURI. Lantul elementar cu n varfuri, Pn. Ciclul elementar cu n varfuri, Cn. DEFINITIA 3. (similara definitiei 1) Notam V(Pm) = {1,2,3,…,m}, V(Pn) = {1,2,3,…,n}, Definim graful produs cartezian a doua lanturi Pm x Pn astfel: V(Pm x Pn) = V(Pm) x V(Pn) , E(Pm x Pn) = {{u.v}/u,v in V(Pm x Pn) si u,v difera pe exact o componeneta

cu exact o unitate}. PROPOZITIA 3. Graful Pm x Pn este graf bipartit pentru orice doua numere naturale m,n dintre care unul mai mare sau egal cu 2. PROPOZITIA 4. Graful Pm x Pn este Hamiltonian daca si numai daca m,n >= 2 si mn par. DEFINITIA 4. (extinderea definitiei 3) Pentru a1, a2, a3, … ,an in N>=1 definim graful produs cartezian a n lanturi Pa1, Pa2, Pa3, …, Pan astfel: V(Pa1 x Pa2 x Pa3 x … x Pan) = V(Pa1) x V(Pa2) x V(Pa3) x … x V(Pan) , E(Pa1 x Pa2 x Pa3 x … x Pan) = {{u.v}/u,v in V(Pa1 x Pa2 x Pa3 x … x Pan) si u,v difera pe exact o componenta cu exact o unitate}. PROPOZITIA 5. Graful Pa1 x Pa2 x Pa3 x … x Pan este graf bipartit pentru orice n numere naturale a1, a2, a3, … ,an dintre care unul mai mare sau egal cu 2. PROPOZITIA 6. [Graful Pa1 x Pa2 x Pa3 x … x Pan este Hamiltonian ] <==> <==> [ n >= 2 ; exista doua numere ai , aj >= 2; a1 . a2 . a3 . …. an este numar par]. PROPOZITIA 7. Graful Pa1 x Pa2 x Pa3 x … x Pan contine un lant Hamiltonian pentru orice n numere naturale a1, a2, a3, … ,an. PROPOZITIA 8. Graful Pa1 x Pa2 x Pa3 x … x Pan - v este Hamiltonian pentru

orice varf v = (x1, x2, x3, … , xn) din V(Pa1 x Pa2 x Pa3 x … x Pan) cu proprietatile x1 + x2 + x3 + … + xn este numar par si orice n numere naturale a1, a2, a3, … ,an cu proprietatea a1 . a2 . a3 . …. an este numar impar. (exercitiu – de studiat folosind indicatiile date) 1.3. EXERCITII. 1) O tabla de sah poate fi acoperita cu piese de domino. 2) O tabla de sah fara un patrat dinr-un colt nu poate fi acoperita cu piese de domino. 3) O tabla de sah fara doua patrate , unul alb si unul negru, poate fi acoperita cu piese de domino. 8 DECEMBRIE 2010 CURSUL 5. PROBLEME DE COLORARE: numar cromatic. S- componente. Teorema lui Dirac. Teorema lui Brooks. Algoritmul greedy de colorare. Constructii de grafuri k-cromatice. Grafurile lui Mycielski. Polinoame cromatice si proprietati.

15 DECEMBRIE 2010 CURSUL 6. FLUXURI IN RETELE DE TRANSPORT: teorema si algoritmul lui ford-fulkerson, fluxuri de cost minim. CONEXITATE IN GRAFURI: CARACTERIZARI ALE GRAFURILOR 2-CONEXE TEOREMA LUI WHITNEY. RETELE DE TRANSPORT 1. DEFINITII. NOTATII. REZULTATE DE BAZA. 1.1. Chestiuni generale. Fie G = (V , E) un graf orientat si r : E → N≥0 o functie pondere definite pe multimea arcelor sale. Notam : * pentru e in E e - = extremitatea initiala a arcului e (varful origine), e + = extremitatea finala a arcului e (varful terminus); * pentru S , T parti disjuncte ale lui V (S , T) = multimea arcelor e cu e- in S si e+ in T; [S , T] = (S , T) U (T , S), in particular vom considera multimi de arce de tipul urmator (S , V-S) si (V-S , S); * pentru S parte a lui V r +(S) = suma ponderilor arcelor e cu e-

in S si e+ in V-S, r - (S) = suma ponderilor arcelor e cu e- inV-S si e+ in S; * pentru K parte a lui E r(K) = suma ponderilor arcelor din K.

Observatie. r +(S) = r ((S , V-S)) si r -(S) = r((V-S , S)). PROPOZITIA 1. Pentru S parte nevida a lui V avem : Suma r(uv) pentru uv in E cu u,v in S = Suma r(vu) pentru vu in E cu v,u in S = r (E (G [S] )) PROPOZITIA 2. Pentru S parte nevida a lui V avem : r +(S) – r -(S) = Suma (r +G (u) – r –G (u)) pentru u in S. 1.2. Retea de transport. N = (G,X,I,Y,c) unde : G = (V,E) este graf orientat si V = X ΝI Ν Y; X = multimea intrarilor; I = multimea varfurilor intermediare; Y = multimea iesirilor; X , Y si E sunt nevide; X, I si Y sunt multimi disjuncte; c : E N≥0 functia capacitate. 1.3. Flux f in reteaua N. f : E N≥0 cu proprietatile : (1) Conditiile de marginire: 0 ≤ f(e) ≤ c(e) orice e in E; (2) Conditiile de conservare a fluxului: f +(v) = f -(v) orice v in I. Notam : F(N) = {f│f flux in reteaua N}. PROPOZITIA 3. Pentru o retea N = (G , X , I , Y , c), un flux f in N si o parte S cu X ⊆S ⊆ X c I

avem f +(S) – f -(S) = f +(X) – f – (X) . CONSECINTA 4. Pentru S = X c I avem : f - (Y) – f +(Y) = f +(X) – f - (X) . Notam : val (f) := f +(X) – f –(X); Numarul val (f) se numeste valoarea fluxului f. Notam cu f * un flux de valoare maxima : val(f *) = max {val(f) │ f in F(N) } si F *(N) = {f * │f * in F (N) , val(f *) maxim}. 2. SCOP. Determinarea unui flux de valoare maxima. 3. Vom considera cazul in care avem: X = {x} , Y = {y} ; d –(x) = 0 si d +(y) = 0 . 3.1. PREGATIRI 3.1.1. TAIETURI INTR-O RETEA. O taietura K este o multime de tipul (S , V – S) unde S este parte a lui V cu x in S si y in V – S. Notam K(N) = {K │ K taietura in reteaua N} Pentru K in K (N) , numarul c(K) se numeste capacitatea taieturii K. Notam cu K~ o taietura de capacitate minima: c(K~) = min {c(K) │ K in K} si K ~ (N) = {K ~ │ K ~ in K (N) , c(K ~ ) minim}. Fie o parte S a multimii varfurilor V cu x in S si y in V – S . Pentru un arc e din (S , V – S) Ν (V – S , S) definim

c(e) – f(e) daca e este in (S , V – S), i S (e) = f(e) daca e este in (V – S , S). Vom spune ca taietura K = (S , V – S) este f – saturata daca si numai daca, prin definitie, pentru orice arc e din (S , V – S) Ν (V – S , S) avem: i S (e) = 0. 3.1.2. LANTURI INTR-O RETEA. Fie u,v doua varfuri diferite din reteaua N si P un u,v – lant. Pentru un arc e din E(P) definim c(e) – f(e) daca e este un “arc inainte in P” i P (e) = f(e) daca e este un “arc inapoi in P”. De asemenea , notam i (P) = min {i P (e) │ e in E(P)}. Vom spune ca a,b – lantul P este f – saturat daca si numai daca, prin definitie, avem: i (P) = 0. 3.1.3. REVIZUIREA UNUI FLUX DE-A LUNGUL UNUI x,y-LANT NESATURAT. Fie P un x,y-lant nesaturat. Se defineste un flux f ’ : E → N≥0 astfel :

f(e) + i(P) daca e este arc inainte in P; f ‘(e) = f(e) – i(P) daca e este arc inapoi in P; f(e) in rest. f ‘ este flux. Vom spune ca fluxul f ‘ este obtinut prin revizuirea fluxului f de-a lungul x,y-lantului nesaturat P. Observatie. (1) val(f ‘) = val(f) + i(P) > val(f). (2) x,y- lantul P este f ‘ – saturat. (3) Existenta unui x,y – lant f – nesaturat P intr-o retea N este semnificativa deoarece de aici rezulta ca fluxul f nu este flux maxim. De asemenea, prin revizuirea lui f de-a lungul lui P f poate fi transformat intr-un flux f ’ de valoare mai mare. 3.1.4. DEFINIREA UNEI TAIETURI f-SATURATE INTR-O RETEA IN CARE ORICE x , y – LANT ESTE f - SATURAT. Consideram situatia in care orice x ,y – lant este f – saturat, adica i(P) = 0. Se defineste o taietura K = (S , V - S) din K(N) selectand multimea S astfel : S = {u │ u in V(G) si exista un x , u – lant f - nesaturat } K este o taietura f – saturata. 3.2. PROPOZITIA 5. Fie N = (G , X , I , Y , c) o retea de transport. (1) Pentru orice flux f din F (N) si orice taietura K din K(N) avem: val (f) ≤ c (K); (2) Sunt adevarate implicatiile : (2.1) val (f) = c (K) 3 Taietura K este f - saturata.

(2.2) val (f) = c (K) 1 f este in F * (N) si K este in K ~ (N). (2.3) Taietura K este f - saturata 1 f este in F * (N) si K este in K ~ (N) si val (f) = c (K). PROPOZITIA 6. Fie N = (G , X , I , Y , c) o retea de transport. Este adevarata echivalenta : f este in F * (N) 3 Orice x,y – lant din N este f-saturat. TEOREMA 7. (FORD – FULKERSON) Fie N = (G , X , I , Y , c) o retea de transport. Avem: val (f *) = c (K ~). 3.3. ALGORITMUL FORD – FULKERSON 0. Se considera un flux initial f definit prin f(e) = 0 pentru e in E(G). 1. t(x)=infinit T = ({x},O) 2. Se cauta o muchie e in [V(T),V(G)-V(T)] , e = uv cu u ι V(T) , v ιV(G) – V(T), i V(T) (e) > 0. 2.1. Daca muchia e nu exista atunci : f este in F * (N), STOP. 2.2. Daca muchia e exista atunci : t(v) = min {t(u), i V(T) (e)}, T = T + [e]. 2.2.1. Daca y este in V(T) atunci:

Se revizuieste fluxul f de-a lungul unicului x,y-lant din T, REPETA 1. 2.2.2. Daca y nu este in V(T) atunci: REPETA 2. Observatie. Algoritmul are un numar finit de pasi deoarece vectorul (val(f) , │V(T)│) ia valori in multimea {0, 1, 2, … ,c +

(x)} x {1 ,2,3, … ,│V(G)│} si la repetarea pasilor 1 sau 2 , vectorul (val(f) , /V(T)/) creste strict in raport cu ordinea lexicografica . Algoritmul nu se sfarseste daca │V(T)│ = │V(G)│ deoarece in acest caz avem V(T) = V(G) si atunci y fiind in V(T) fluxul f este revizuibil. Deci algoritmul nu poate sfarsi decat in cazul in care se ajunge la val(f) maxim. CONEXITATE IN GRAFURI: CARACTERIZARI ALE GRAFURILOR 2-CONEXE TEOREMA LUI WHITNEY.