TEORIA ELECTROMAGNETICAFIZ 0321 (7)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Cat olica, Chile

2do. Semestre 2006

MAGNETISMO EN LA MATERIA

Momento dipolar de electrones y atomos

Espin ~S de los electrones y momento angular ~L de los atomos

~µs = − em

~S ~µo = − e2m

~L (de la Mecanica Cuantica)

Modelo orbital de los electrones en un atomo

µo = iA =qT

πr2 =qπr2

2πr/v=

erv2

=e(mrv)

2m=

eL2m

MAGNETISMO EN LA MATERIA

Momento dipolar de electrones y atomos

Espin ~S de los electrones y momento angular ~L de los atomos

~µs = − em

~S ~µo = − e2m

~L (de la Mecanica Cuantica)

Modelo orbital de los electrones en un atomo

µo = iA =qT

πr2 =qπr2

2πr/v=

erv2

=e(mrv)

2m=

eL2m

MAGNETISMO EN LA MATERIA

Momento dipolar de electrones y atomos

Espin ~S de los electrones y momento angular ~L de los atomos

~µs = − em

~S ~µo = − e2m

~L (de la Mecanica Cuantica)

Modelo orbital de los electrones en un atomo

µo = iA =qT

πr2 =qπr2

2πr/v=

erv2

=e(mrv)

2m=

eL2m

DiamagnetismoUn material diamagnetico es repelido por cualquier campo ~B

F

F

v v

v v∆∆

BB

El tamano de la orbita de los electrones se mantiene constante. Esto implicaque en ambos casos el cambio en el momento magnetico es contrario alcampo aplicado ~B.

Para los dos atomos de la figura anterior los momentos magneticos estandirigidos en sentidos opuestos y se cancelan. En presencia de del campomagnetico que se muestra en la figura, los electrones sienten una fuerzaadicional −e~v × ~B, en la direccion radial. Como los atomos mantienen elradio de su orbita, la velocidad debe cambiar a fin de cambiar la fuerzacentrıpeta mv2/r que cancela la fuerza magnetica. Notese que los cambiosde velocidad ∆v tienen el mismo sentido para ambos atomos de la figura.Luego para ambos atomos se produce un cambio de momento magnetico enla direccion opuesta al campo ~B aplicado. Ya que los momentos originales secancelan, este momento inducido es el momento magnetico neto de los dosatomos.

Si ωo era la velocidad angular antes de aplicar el campo magnetico, entoncesel equilibrio de fuerzas esta dado por:

Fe = meω2oR

donde me es la masa del electron y R el radio de la orbita.

Al aplicar el campo B, cambia la velocidad angular ya que una nueva fuerzaaparece: −e~v × ~B cuya magnitud es eωRB. El cambio de ω se debe a que elradio R permanece constante. El nuevo equilibrio de fuerzas esta dado por:

Fe ± eωRB = meω2R → ∆ω = ω − ωo = ± e

2meB

Esta es la frecuencia de Larmor

Paramagnetismo

En estos materiales los momentos angulares de spin y orbital sesuman para dar al atomo un momento magnetico neto ~µ. Enausencia de campo magnetico estos momentos ~µ se encuentran endirecciones aleatorias y el momento magnetico total es nulo. Alaplicar un campo magnetico los momentos magneticos tiende aalinearse en la direccion de campo ~B, produciendo un momentomagnetico total diferente de cero.

Paramagnetismo.

Magnetizacion de saturacion

B

M

MS

Paramagnetismo.

Magnetizacion de saturacion

B

M

MS

Ferromagnetismo

Dominios magneticos

Ferromagnetismo

Dominios magneticos

Curvas de histeresis

B

B

Aplic.

~B = ~BAplic. + µoM

Tratamiento formal del magnetismo

Empezamos con una definicion de magnetizacion. Consideremos unmaterial donde cada atomo tiene un momento dipolar magnetico µi yconsideramos un pequeno volumen del material dv , ubicado en laposicion definida por ~r ′. Dentro de este volumen hay una grancantidad de atomos, entonces definimos la magnetizacion en ~r ′

como:~M(~r ′) = lım

dv→0

∑i

µi

dv

Ahora utilizamos la expresion para el potencial vectorial magneticoen el punto ~r debido a un momento dipolar magnetico ubicado en ~r ′:

~A(~r) =µo

4π

µ× (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

Entonces si volvemos a nuestro material y queremos calcular elpotencial ~A debido a todos los momentos magneticos de estematerial, primero calculamos el potencial debido a los momentosmagneticos en el pequeno volumen dv , i.e.

∑µi .

Entonces podemos decir que la contribucion a ~A debido al punto ~r ′,donde esta ubicado dv , es:

d~A =µo

4π

∑µi × (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

=µo

4π

~M(~r ′)× (~r −~r ′)d3r ′

|~r −~r ′|3

Ya que ∑µi = ~M(~r ′)dv = ~M(~r ′)d3r ′

y por lo tanto el potencial ~A debido a todo el material es:

~A =µo

4π

∫ ~M(~r ′)× (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

d3r ′ (∗)

Esta integral puede se extendida a todo el espacio y por lo tantoincluir regiones con ~M = 0 Ahora utilizamos la relacion vectorial:

(~r −~r ′)|~r −~r ′|3

= ∇′ 1|~r −~r ′|

y luego integramos por parte para obtener:

~A =µo

4π

∫∇′ × ~M(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

Notese que esta expresion es similar a la del potencial vectorialmagnetico debido a una densidad de corriente ~J. En realidad si en elpunto ~r ′ hay una densidad de corriente ~J(~r), el potencial ~A total es:

~A =µo

4π

∫ ~J(~r ′) +∇′ × ~M(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

Esto implica que en presencia de materiales magnticos, la relacionde Ampere ∇× ~B = µo

~J debe ser modificada y escrita ası:

∇× ~B = µo(~J +∇× ~M)

o sea:

∇×(

1µo

~B − ~M)

= ~J

Notese que el vector entre parentesis no depende de lamagnetizacion. Solo depende de la corriente ~J. Este vector lleva elnombre de “campo magnetico ~H”:

~H =1µo

~B − ~M

En analogıa con el vector desplazamiento del campo electrico.En un numero muy grande de materiales es posible de utilizar unaaproximacion para la relacion entre ~M y ~H:

~M = χm~H

La cantidad χm se llama la suscetibilidad magnetica del material. Siel material es paramagnetico χm es positiva, mientras que si esdiamagnetico χm es negativa. Su valor absoluto para estosmateriales es muy pequeno, tıpicamente < 10−5.

Esta relacion lineal implica que ~B y ~H son proporcionales:

~B = µ~H

donde µ se llama permeabilidad del material.Podemos deducir que:

µ = µo(1 + χm)

La permeabilidad relativa se define como:

Km =µ

µo= 1 + χm

Para los materiales paramagneticos y diamagneticos Km es muycercano a 1. Sin embargo para los materiales ferromagneticos puedetomas valores muy elevados, como 50000 para el Permalloy y150000 para el Mumetal.

En la ecuacion (∗) se supone que la integracion se realiza en todo elespacio. Si tenemos una magnetizacion solo dentro de un volumen finito V ,limitado por la superficie S, partiendo de

~A =µo

4π

∫V

~M(~r ′)×∇′ 1|~r −~r ′|

d3r ′

y utilizando:

∇× (u~F ) = (∇u)× ~F + u∇× ~F

y ∫V∇× ~Fd3r =

∮S

n × ~Fd2r

obtenemos:

~A =µo

4π

∫V

∇′ × ~M|~r −~r ′|

d3r ′ +µo

4π

∮S

~M × n|~r −~r ′|

d2r ′

~B en terminos de ~M y φ, con ~J = 0

~B = ∇× ~A =µo

4π

∫V∇×

[~M ×

~r −~r ′

|~r −~r ′|3

]d3r ′

Usamos la identidad matematica:

∇× (~F × ~G) = (∇ · ~G)~F − (∇ · ~F )~G + (~G · ∇)~F − (~F · ∇)~G

con ~F = ~M y ~G = (~r −~r ′)/|~r −~r ′|3.

Notando que ∇ · ~M = 0, obtenemos:

∇×[~M ×

~r −~r ′

|~r −~r ′|3

]= ~M∇ ·

[~r −~r ′

|~r −~r ′|3

]−

[~M · ∇

] ~r −~r ′

|~r −~r ′|3

Ası podemos expresar ~B como la suma de dos terminos:

~B = ~B1 + ~B2

donde:

~B1 =µo

4π

∫V

~M∇ ·[

~r −~r ′

|~r −~r ′|3

]d3r ′

~B2 = −µo

4π

∫V

[~M · ∇

] ~r −~r ′

|~r −~r ′|3d3r ′

Aquı

∇ ·[

~r −~r ′

|~r −~r ′|3

]= 4πδ(~r −~r ′) → ~B1 = µo

~M

El segundo termino se simplifica usando:[~M · ∇

] ~r −~r ′

|~r −~r ′|3= ∇

[~M ·

~r −~r ′

|~r −~r ′|3

]− ~M ×∇×

~r −~r ′

|~r −~r ′|3

El segundo termino es cero ya que:

~r −~r ′

|~r −~r ′|3= −∇ 1

|~r −~r ′|

~B2 = −µo∇1

4π

∫V

~M ·~r −~r ′

|~r −~r ′|3d3r ′ = −µo∇φ

Luego:

~B = −µo∇φ + µo~M

CONDICIONES DE BORDE PARA B Y HConsideremos una superficie de separacion de dos medios magneticos conpermeabilidades µ1 y µ2. Partiendo de la segunda ley de Maxwell, i.e. ∇ · ~B = 0 eintegrando esta expresion en el pequeno cilindro que se muestra en la figura, cuyasbases son paralelas a la superficie y el manto tiene dimensiones despreciables,obtenemos:

µ

µ

1

2

B

B

1

2

1

2

H

H

S

C

∫∇ · ~Bd3r =

∫S

~B · nd2r = ~B2 · n2 − ~B1 · n1 = 0

Similarmente si la densidad de corriente ~J es cero, entonces ∇× ~H = 0. Ahoraconsideramos el pequeno circuito C de la figura y aplicamos el teorema de Stokes,para obtener: ∫

∇× ~Hd2r =

∫C

~H · d~l = ~H2 · T2 − ~H1 · T1 = 0

donde los vectores T1 y T2 son vectores unitarios tangenciales a la superficie.

Como conclusion tenemos que en la superficie de separacion de dosmedios magneticos se mantiene le componente normal de ~B y si nohay corrientes verdaderas, se mantiene la componente tangencial de~H.

Circuitos Magneticos

Consideremos un toro de revolucion formado pordos materiales magneticos como se muestra en la figura, el cualtiene un enrollado de N vueltas con una corriente I. La ley circuital deAmpere no dice que: ∮

Hdl = NI

Si el toro tiene una seccion transversal A, multiplicamos la ecuacionanterior por µ e integramos sobre A

∮Φ

µAdl = NI → Φ

∮dlµA

= NI donde Φ =

∫A

~B · ndA

Esta ecuacion es similar a la ley de Ohm, IR = E , donde NI juega elpapel de la FEM, y que llamamos FMM=NI, y Φ el de la corriente.La integral juega el papel de la resistencia, que aquı se llamareluctancia:

R =

∮dlµA

En el caso de la figura la reluctancia esta formada por dos terminos:

R = R1 +R2 con Ri =li

µiAii = 1, 2

correspondientes a los dos materiales que forman el toro derevolucion.

Ejemplo 1

Consideremos una esfera de radio a que tiene una magnetizacionconstante ~Mo, en la direccion z, en su interior. Calcule ~B y ~H dentro yfuera de la esfera.Sea ~H = −∇φ, y como ~J = 0 tenemos que:

∇2φ = 0

Para r > a expandimos φ en series de polinomios de Legendre,considerando que ~H → 0 para r →∞:

φ(r , θ) =∞∑

`=0

A`P`(cos θ)

r `+1

Dentro de la esfera, podrıamos escribir otra expansion para φ.Aquı usaremos otro procedimiento. Como ~B, ~H y ~M son paralelos,escribimos:

~H = Hok ~B = µo(Ho + Mo)k

Ahora utilizamos las condiciones de borde para ~B y ~H en la superficie de laesfera, y obtenemos las ecuaciones:

µo(Ho + Mo) cos θ = µo

∞∑`=0

(`+ 1)A`P`(cos θ)a`+2

Ho sin θ =∞∑

`=0

A`

a`+2

dP`(cos θ)dθ

De la primera ecuacion vemos que solo A1 6= 0Por lo tanto las ecuaciones se reducen a:

Ho + Mo =2A1

a3Ho = −A1

a3

de aquı obtenemos, para el interior de la esfera:

A1 =a3Mo

3Ho = −Mo

3Bo =

23µoMo

Los campos fuera de la esfera se obtienen de ~H = −∇φ, con φ =A1 cos θ

r 2

Notese que podemos escribir φ =~m ·~r4πr 3

con ~m =4πa3Mo

3k

Campo B Campo H

Ejemplo 2

Tenemos un campo magnetico uniforme Bo en todo el espacio eintroducimos una esfera de radio a y permeabilidad µ. Nospreguntamos como queda modificado el campo magnetico. Elegimosel orıgen de coordenadas en el centro de la esfera y la direccion zparalela al campo Bo. Introducimos el potencial escalar que cumple:

~H = −∇φ ∇ · ~H = 0 → ∇2φ = 0

Expandimos φ en series de polinomios de Legendre, dentro y fuerade la esfera:Para r > a:

φ =∑

`

[Ao

` r ` + Co` r−`−1] P`(cos θ)

para dentro de la esfera, r < a:

φ =∑

`

[Ai

`r` + C i

`r−`−1

]P`(cos θ)

usando las condiciones de borde:

H1θ = H2θ B1r = B2r

obtenemos las ecuaciones:

−Bo

µo+

Co1

a3 = Ai1

Bo + 2µoCo

1

a3 = −µAi1

Ao1 = −Bo

µoCo

1 = [µ/µo − 1]Boa3

µ + 2µoAi

1 = − 3Bo

µ + 2µo

De aquı se obtiene:

~Bi =3Bo

1 + 2µo/µk para r < a

~Bo = Bok +µ/µo − 1µ/µo + 2

(ar

)3Bo(2r cos θ + θ sin θ) para r > a

Ejemplo 3

Calcule el potencial magnetico vectorial en cualquier punto delespacio de un anillo de radio a que lleva una corriente I

~A(~r) =µo

4π

∫ ~J(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

La densidad de corriente de un anillo con corriente I, de radio a en el planox − y y centrado en el orıgen es:

Jϕ = Iδ(cos θ′)δ(r ′ − a)

aentonces:

~J = −Jϕ sinϕ′ ı + Jϕ cosϕ′

P

x

y

z

θ

ϕ ’

Reemplazando:

~A(~r) =Iµo

4πa

∫(− sinϕ′ı + cosϕ′)δ(cos θ′)δ(r ′ − a)

[r 2 + r ′2 − 2rr ′(cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(ϕ− ϕ′))]1/2r ′2dr ′dΩ′

Debido a la simetrıa azimutal podemos elegir el punto ~r (P en la figura) en elplano x − z.

~A(~r) =Iaµo

4π

∫− sinϕ′ı + cosϕ′

[r 2 + a2 − 2ra sin θ cosϕ′]1/2dϕ′

El termino sinϕ′ da una contribucion nula y por lo tanto:

~A(~r) = Ay = Aϕϕ =Iaµo

4π

∫cosϕ′

[r 2 + a2 − 2ar sin θ cosϕ′]1/2dϕ′ϕ

Al integrar obtenemos:

A(r , θ) =µoIa

π√

a2 + r 2 + 2ar sin θ

[(2− k2)K (k)− 2E(k)

k2

]donde

k2 =4ar sin θ

a2 + r 2 + 2ar sin θy las integrales elıpticas completas:

K (k) =

∫ π/2

0

dψ√1− k2 sin2 ψ

E(k) =

∫ π/2

0

√1− k2 sin2 ψdψ

Ejemplo 4

Un cilindro largo de radio a y permeabilidad µ se coloca en un campomagnetico uniforme ~Bo, perpendicular al eje del cilindro. Calcule elcampo dentro del cilindroUsamos:

~H = −∇φ ∇2φ = 0

Usamos la solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadaspolares:

φO =∑

n

(C′nrn + D′nr−n)(αn cos nϕ + βn sin nϕ) para r > a

φI =∑

n

(γnrn + λnr−n)(A′n cos nϕ + B′n sin nϕ) para r < a

Como en el interior del cilindro el campo no tiene divergencias,λn = 0 y:

φI =∑

n

(An cos nϕ + Bn sin nϕ)rn

Ahora, para r →∞, φO debe cumplir las ecuaciones:

∂φO

∂r→ −Ho cos ϕ = −Bo

µocos ϕ

1r

∂φO

∂ϕ→ −Ho sin ϕ = −Bo

µosin φ

Esto nos lleva a que βn = 0, αn = 0, para n 6= 1. Por otra parte sedeben cumplir las condiciones de borde para ~B y ~H, es decir:

−µo∂φO

∂r

∣∣r=a = −µo

∂φI

∂r

∣∣r=a − 1

r∂φO

∂ϕ

∣∣r=a = −1

r∂φI

∂ϕ

∣∣r=a

Esto nos da que An = 0, para n 6= 1 y Bn = 0 y obtenemos:

A1 = − 2Ho

1 + µµo

De esta forma obtenemos finalmente que el campo en el interior delcilindro es:

~B =

2µµo

1 + µµo

~Bo