Figure 1: x = x0 + v0 (t− t0) + 12a (t− t0)

2

1 Movimiento Rectilineo Uniformemente Aceler-ado

Movimiento rectilineo Uniformemente variable =⇒ a = cte.(3)

Si

{a > 0 =⇒ MRUA

a < 0 =⇒ MRUD

Como a = dvdt =⇒ dv = a · dt, integrando,

vˆ

v0

dv =

tˆ

t0

a · dt

Como a = cte =⇒ v − v0 = a´ tt0dt = a (t− t0) ∴ v = v0 + a (t− t0) (2)

Como v = dxdt =⇒ dx = v · dt, integrando,

xˆ

x0

dx =

tˆ

t0

v · dt

x− x0 =

tˆ

t0

[v0 + a (t− t0)] dt

=

tˆ

t0

v0dt+

tˆ

t0

a (t− t0) dt

∴ x− x0 = v0 (t− t0) + a

tˆ

t0

(t− t0) dt

∴ x = x0 + v0 (t− t0) +1

2a (t− t0)

2(1)

1

Figure 2: V = v0 + a (t− t0)

Figure 3: a = cte

1.1 Relación importanteSi:

a =dv

dt=⇒

dv = a · dt=⇒

V · dv = a · dt · dxdt

= a · dx

Integrando:

vˆ

v0

v · dv = a

xˆ

x0

dx

=⇒v2

2− v20

2= a (x− x0)

∴ v2 = v20 + 2a (x− x0)

2

2 Movimiento Curvilineo con Aceleración Con-stante

~R = x · i+ y · j + z · k∣∣∣~R∣∣∣ = R =√x2 + y2 + z2

Si ~a = cte, como ~a = d~vdt =⇒ d~v = ~a · dt, integrando:

~vˆ

~v0

d~v = ~a

tˆ

t0

dt =⇒ ~v − ~v0 = ~a (t− t0)

∴ ~v = ~v0 + ~a (t− t0)

Como ~v = d~Rdt =⇒ d~R = ~vdt, integrando:

~R

~R0

d~R =

tˆ

t0

~vdt

=⇒ ~R− ~R0 =

tˆ

t0

[~v0 + ~a (t− t0)] dt

=

tˆ

t0

~v0dt+

tˆ

t0

~a (t− t0) dt

∴ ~R− ~R0 = ~V0 (t− t0) + ~a

tˆ

t0

(t− t0) dt

∴ ~R = ~R0 + ~V0 (t− t0) +1

2~a (t− t0)

2

3

2.1 Caso particular

t0 = 0

=⇒ ~R = ~R0 + ~V0t+1

2~at2

R0 y v0 = 0

=⇒ ~R =1

2~at2

2.2 ConclusiónSi ~V0 y ~a tienen direcciones distintas =⇒ ~V 6= ~a

∴ Definen un plano

∴ El movimiento curvilineo con aceleración constante siempre ocurreen un plano y la trayectoria siempre es parabolica

4

3 Tiro Oblicuo

Condiciones iniciales:

~a = ~g = cte

AA′ = hm

OB = xm

{v0x = v0cos(x)

v0y = v0sen(x)=

v0yv0x

= sen(x)cos(x) = tan (x)

~V0 = v0x · i+ V0y · j = v0cos(α) · i+ v0sen(α) · j

Como ~v = ~v0 − ~g (t− t0),si t0 = 0 =⇒ ~V =

(v0x · i+ v0y · j

)− gt · j

~V =

{vx = v0x = v0cos(α) =⇒ ~v en x es constante.vy = v0y − gt = v0sen (α)− gt =⇒ ~v en y es MUV

~V = v0cos(α) · i+ (v0sen (α)− gt) · j

V =√v2x + v2y

Si ~R0 = 0 en T0 = 0 =⇒ ~R = ~v0t− 12~gt

2 =(V0x · i+ v0y · j

)t− 1

2gt2 · j

~R :

{x = v0xt = v0cos (α) t =⇒ MU en xy = v0y t− 1

2gt2 = v0sen (α) t− 1

2gt2 =⇒ MUV en y

En AA′ = hm : vy = 0 =⇒

{v (hm) = v0cos (α) i

v0sen(α)− gtm = 0 =⇒ Tm = v0sen(α)g

hm = v0sen (α)v0sen (α)

g− 1

2g

(v0sen (α)

g

)2

=v20sen

2 (α)

2g

∴ hm =v20sen

2 (α)

2g

5

En OB = xm, yb = 0(h = 0) y Tb(tiempo de vuelo).Si y = 0 =⇒ 0 = v0sen (α)Tb − 1

2gT2b ∴ V0sen (α)Tb = 1

2gTb · Tb

∴ TB =2V0sen (α)

g∴ xm = V0cos (tb) =

2v20cos (α) sen (α)

g

o xm =v20sen (2x)

g∴ El x es maximo cuando sen (2α) = 1

o sea α = π4 ∴ xm =

v20g

3.1 Ecuación de la trayectoria

x = v0cos (α) t =⇒ t =x

v0cos (α)

y = v0sen (α) t− 1

2gt2 =⇒ y =

sen (α)

cos (α)x− 1

2g

x2

v20cos2 (α)

=⇒ y =

(−g

2v20cos2 (α)

)x2 + tang (α)x =⇒

Parabola de la forma y = Ax2 + bx.

6

4 Movimiento Circular

S = θR

V =ds

dt= R

dθ

dt

Velocidad Angular:

w =dθ

dt=⇒ V = Rw

7

4.1 Movimiento Circular Uniforme

w = cte

Periodo P =T

m

Frecuencia ν =m

T=

1

P

Si w = cte =⇒ dθ = wdt, integrando,

θˆ

θ0

dθ =

T

T0

wdt

∴ θ − θ0 = w

T

T0

dt

= w (t− t0)

∴ θ = θ0 + w (T − T0)

Si T0 = 0 y θ0 = 0 =⇒ θ = wt.Para una vuelta completa T = P y θ = 2π

∴ w =2π

P= 2πν

4.2 Aceleración AngularSi w 6= cte =⇒ ∃ aceleración α.

α =dw

dt=d2θ

dt2

Si α = cte =⇒ MCUA =⇒ dw = αdt, integrando,

w

w0

dw = α

T

T0

dt

∴ w − w0 = α (t− t0) =⇒ w = w0 + α (t− t0)

Como w = dθdt =⇒ dθ = wdt, integrando,

θˆ

θ0

dθ =

T

T0

wdt

8

∴ θ − θ0 =

T

T0

[w0 + α (t− t0)] dt

= w0

T

T0

dt+ α

T

T0

(T − T0) dT

= w0 (T − T0) +1

2α (T − T0)

2

∴ θ = θ0 + w0 (T − T0) +1

2α (T − T0)

2

4.3 Relaciones Vectoriales

R = ~Rsen (α) =⇒ V = wR = w~Rsen (α)

Como ~V ⊥ ~w y ~R =⇒ ~V = ~w × ~R,

~a =d~v

dt∴MCU (~w = cte)

Si ~V = ~w × ~R =⇒ ~a = ddt

(~w × ~R

)~a =

d~w

dt× ~R+ ~w × d~R

dt=⇒ ~a = ~w × ~v =⇒ ~a = ~w ×

(~w × ~R

)~a = ~w × ~v =⇒ |~a| = |~w × ~v| = wv

y comov = Rw,

=⇒ |~a| = an = Rw2 =v2

R

4.4 Movimiento Circular Variado (No uniforme)

~A =

{AT = dv

dT = R dwdT = Rα

AN = v2

R = Rw2

9

5 Segunda Ley de Newton (Fuerza)~P : Momentum lineal.

~P = m~v =⇒ ~F =d~P

dt=

d

dT(m~v)

Si m = cte (Debido a que v << c)

=⇒ ~F = md~V

dt= m~a

Si ~a = ~g =⇒ Weight = m~g

~F = Kg · ms2

= 1Newton

6 Primera ley de Newton y Principio de Conser-vación de ~P

Si ~F = 0 =⇒ d~Pdt = 0 ∴ ~P = m~v = cte

10

7 Tercera Ley de Newton (Principio de Acción yReacción)

d ~P1

dT= ~F1

d ~P2

dT= ~F2

Como d ~P1

dT = −d ~P2

dT =⇒ ~F1 = ~−F2

8 Momentum Angular

~L = ~R× ~P = ~R×m~V = m(~R× ~v

)= mRV sen (θ)

~L ⊥ Plano ≡ ~R ∧ ~V

~L = ~R× ~P =

∣∣∣∣∣∣i j kx y zPx Py Pz

∣∣∣∣∣∣~L = (yPz − zPy) · i− (xPz − zPx) · j + (xPy − yPx) · k

Movimiento plano (x, y) =⇒ z = 0 y Pz = 0

∴ Lx = Ly = 0 =⇒ Lz = (xPy − yPx)

∴ ~L = (xPy − yPx) · k

11

9 Principio de Conservación del Momentum An-gular

Como ~L = ~R× ~P =⇒ d~LdT = d

dT

(~R× ~P

)= d~R

dT × ~P + ~R× d~PdT

Como

{~V ×m~V = m

(~V × ~V

)= 0

~R× ~F = ~Z

=⇒ d~L

dT= ~R× ~F = ~Z

Si ~Z = 0 =⇒(F = 0 ∨ ~R ‖ ~F

)=⇒ d~L

dT = ~Z = 0 ∴ ~L = cte

10 Energía para una partícula

Si W = ∆Ek = EkB − EkA (en general ∀ tipo de ~F ) y W = −∆Ep = EPA−

EpB (para ~F conservativas) =⇒ si ~F es conservativa,

W = ∆EK = −∆EPEkB − EkA = EPA

− EPB

EkB + EpB = EkA + EpAEMB

= EMA= EM = cte

EM = Ek + Ep = cte

Ek =1

2mv2

y como ~P = m~v

=⇒ Ek =P 2

2m

• En el caso de un cuerpo que se mueve bajo acción de la gravedad vemosque Ep = mgh

∴ EM =1

2mv2 +mgh (Energía potencial gravitatoria)

• En el caso que consideremos una partícula sujeta a una fuerza F = −kxvemos que Ep = 1

2kx2

∴ EM =1

2mv2 +

1

2kx2 (Energía Potencial Elastica)

12

11 Teorema de conservación del momento líneal(S.P.)

~Vcm = d~Rcm

dT = m1 ~v1+m2 ~v2+...+mm ~vmm1+m2+...+mm

=∑miviM

Pi = mivi

∴ Vcm =

∑ ~PiM

=~p

M=⇒ ~P = M~Vcm

~Fext = d~pdT = M d~Vcm

dT = M~acm

∴ ~Fext = M~acm

Si ~Fext = 0 =⇒ d~PdT = 0

∴ ~P = cte

Conservación de ~P .

13

12 Teorema de Conservación del Momento An-gular (S.P.)

~L = ~R×m~v ∧ ~Z = ~R× ~F

d~L

dT= ~Z

d~L

dT=

d(~L1 + ~L2

)dT

=d ~L1

dT+d ~L2

dT= ~Z1 + ~Z2 ~Z1 = ~R1 ×

(~F1 + ~F12

)=

~~R1 × ~F1 + ~R1 × ~F12

~Z2 = ~R2 ×(~F2 + ~F21

)= ~R2 × ~F2 + ~R2 × ~F21

∴ ~Z = ~Z1 + ~Z2 = ~R1 × ~F1 + ~R2 × ~F2 + ~R1 × ~F12 + ~R2 × ~F21

= ~R1 × ~F1 + ~R2 × ~F2 +(~R1 − ~R2

)× ~F12

= 0

=⇒d(~L1 + ~L2

)dT

= ~Z1ext

+ ~Z2ext

En generald(

∑ ~Li)dT =

∑ ~Zexti

∴d~L

dT= ~Zext

Si ~Zext = 0 =⇒ d~LdT = 0

∴ ~L =∑

~Li = ~L1 + ~L2 + ...+ ~Lm = cte

14

13 Conservación de la Energía en un (S.P.)

Si ~Fij (int) es conservativa =⇒ ∃ Epij(int)como

~Fij = −dEpij

d~Rij=⇒ Wint =

B(T )ˆ

A(T0)

~F12d ~R12 = −T

T0

dEp12

d ~R12

d ~R12

=⇒ Wint = Ep12,0 − Ep12,F

∴ como ∆Ek = Ek − Ek,0 = Wext +Wint = Wext + Ep12,0 − Ep12,F

=⇒(Ek + Ep12,F = u

)−(Ek,0 + Ep12,0 = u0

)= Wext

u : energía propia del (S.P.)

U = Ek + Ep12 =1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 + Ep12

En general para (S.P.)

U = Ek + Ep (int) =1

2

∑miv

2i +

∑Epij(int)

U − U0 = Wext =⇒ Si el (S.P.) está aislado =⇒ Wext = 0

∴ U − U0 = 0 =⇒ U = U0 = cte

Si Ek ↑ =⇒ Ep(int) ↓∴ Ek + Ep(int) = cte

Si las ~Fext son conservativas =⇒Wext = Eextp0 − Eextp = −∆Eextp

∴ U − U0 = Wext = Eextp0 − Eextp

=⇒ U + EextP = U0 + Eextp0 = cte

y,

U + Eextp = Ek + Eintp + Eextp = EM = cte

15

14 Movimiento Oscilatorio Armonico Simple

k = cte elasticax = desplazamientoFe = −kx = fuerza elastica

Ecuación del Movimiento,

ma = −kx

md2x

dT 2+ kx = 0

=⇒ d2x

dT 2+k

mx = 0

=⇒ d2x

dT 2+ w2x = 0

En MOAS =⇒ x = Acos (wT ) =⇒ satisface a d2xdT 2 + w2x = 0

Donde A(amplitud), w(pulsación) y wt(angulo de fase),período MOAS P = 2π

w y frecuencia: ν = 1p y w = 2π

p = 2πν

Como x = Acos(wt) =⇒

V =dx

dT= −wAsen(wt) =⇒ oscila [−wA,+wA]

a =dv

dT= −w2Acos(wt) = −w2x =⇒ oscila

[−w2A,+w2A

]

Energía en el movimiento armonico simple,

Ek =1

2mv2 =

1

2mw2A2sen2(wt)

16

como

{sen2α = 1− cos2αx = Acos(wt)

=⇒ Ek =1

2mw2A2

[1− cos2(wt)

]

∴ Ek =1

2mw2

(A2 − x2

)Ek =

1

2k(A2 − x2

)∴ Ek :

{si x = 0 =⇒ Ek (max) = 1

2kA2

si x = ±A =⇒ Ek = 0

Ep : F = −dEp

dx =⇒ dEp

dx = kx ∴ dEp = kxdx, integrando,

A

0

dEp = k

x′ˆ

0

xdx

∴ Ep =1

2kx2 ∴ Ep

{x = 0 =⇒ Ep(min) = 0

x = ±A =⇒ Ep(max) = 12kA

2

Em = Ek + Ep

Em =1

2k(A2 − x2

)+

1

2kx2 ∴ Em =

1

2kA2

∴ Em = cte

~F conservativo

17

15 Movimiento Oscilatorio Amortiguado

La amplitud y la energía decrecen con el tiempo.k = cte elasticaF = −kx fuerza elasticaF = −λv fuerza de amortiguamiento; λ = factor de amortiguamiento

Ecuación del movimiento,

ma = −kx− λv

md2x

dT 2+ kx+ λv = 0

=⇒ d2x

dT 2+k

mx+

λ

mv = 0

=⇒ d2x

dT 2+ w2

0x+ 2γv = 0

=⇒ d2x

dT 2+ w2

0x+ 2γdx

dT= 0

w20 = w2 + γ2 ∴ w1 =

√w2

0 − γ2Si el amortiguamiento es muy grande (F ′ muy elevado a F ′ >> F )

∴ γ > w0 =⇒ w es imaginario∴6 ∃ oscilaciones

Como A decrece exponencialmente con el tiempo =⇒ Ae−γT

∴ x = Ae−γT cos (wt)

18

16 Movimiento Oscilatorio Forzado

F = −kx : Fuerza elasticaF ′ = −λv : Fuerza de amortiguaciónF ′′ = F0cos (wFT ) : Fuerza oscilatoria

Ecuación del movimiento,

ma = −kx− λv + F0cos (wFT )

md2x

dT 2+ λ

dx

dT+ kx = F0cos (wFT )

d2x

dT 2+λ

m

dx

dT+k

mx =

F0

mcos (wFT )

=⇒ siλ

m= 2γ,

k

m= w2

0,F0

m= B

d2x

dT 2+ 2γ

dx

dT+ w2

0x = Bcos (wFT )

X = Ae−γT cos(wt) +Bsen (WFT ) (Solución General)

X = Bsen (WFT )

17 Ecuación del Movimiento para la Rotación deun Cuerpo Rígido

Como ~L = I ~w ∴ d I ~wdT = ~Z

=⇒ Id~w

dT= ~Z

Luego,I~α = ~Z

Si ~Z = 0 =⇒ ~w = cte ∴ I ~w = cte = ~L

19

18 Energía Cinetica En la Rotación de un CuerpoRigido

Ek =∑

12miv

2i : CR =⇒ vi = wRi ∴ Ek =

∑12miw

2R2i

Ek =1

2

(∑miR

2i

)w2

y como∑miR

2i = I =⇒ Ek = 1

2Iw2

como ~L = I ~w =⇒ Ek = L2

2IEn general: T +R (Rototranslación) =⇒ Ek(T ) + Ek(R) = Ek

Ek =1

2MV 2

cm +1

2Iw2

De E = cte para un CR,

E =1

2MV 2

cm +1

2Iw2 + Ep = cte

20