TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

INSTITUTO UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA

LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Vinicius Elias da CostaUma Demostração do Teorema Fundamental da Álgebra

Utilizando Álgebra Linear

Pontal do Araguaia, MT

2008

Vinicius Elias da Costa

Uma Demostração do Teorema Fundamental da Álgebra


Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura

Plena em Matematica da UFMT, como requisito para

a obtenção parcial do grau de Licenciatura Plena em

Matemática.

Orientador: Adilson A. Berlatto


2008

Vinicius Elias da Costa

Uma Demostração do Teorema Fundamental da Álgebra


Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura Plena em

Matematica da UFMT, como requisito para a obtenção parcial

do grau de Licenciatura Plena em Matemática.

Aprovação em 19/12/2008

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Adilson A. Berlatto - UNB

Prof. Dr. Carlos Rodrigues da Silva -UNB

Prof. Dr. Jocirei Dias Ferreira - USP


2008

Dedico este trabalho em primeiro lugar a Deus,

minha mãe,

minhas irmâs e minha namorada Mônica.

Agradecimentos

São muitas as pessoas que gostaria de agradecer, não apenas por este trabalho, mas por

terem tido participação na minha formação e na minha vida.

Ao meu orientador , Prof. Adilson Antônio Berlatto, pelo apoio, incentivo, paciência,

amizade e dedicação na realização deste trabalho.

Agradeço a minha Mãe acreditar nos meus sonhos e fazer deles os seus, além das orações...

Ao Professor Daniel e o meu amigo Valdiego (Libâneo) pelas sugestões no LATEX de for-

matação e modelos de tese.

Agradeço a minha namorada Mônica pelo companheirismo, e por ter me dado força nos

momentos de angústia.

Agradeço a minhas irmâs Neide e Lucidalva, por entenderem minhas horas de estudo.

Agradeço a Tia Nilva e o Lauro, pelo incentivo, e pelo empréstimo do P.C.

Ao G7 (ou seria G5?) grupo de amigos do terceiro horário.

Aos demais colegas e professores, pelas críticas e sugestões.

E enfim, a toda minha família pelo apoio durante esta jornada.

”Euler deu a mais algébrica das demostrações da existência das

raízes de uma equação polinomial...

Acho injustiça atribuir tal prova exclusivamente a Gauss, que

meramente adicionou os retoques finais”.(Georg Frobenius,1907)

Resumo

Neste trabalho será apresentada uma das demonstrações do Teorema Fundamental da Ál-

gebra, ao qual iremos nos referir somente como TFA. Nosso principal foco foi a sua

demonstração que faz uso da álgebra linear. Para tanto estudamos alguns resultados impor-

tantes sobre espaços vetoriais, subespaço, autovalores, autovetores, endomorfismos (espe-

cialmente os que comutam). Resultados que sem os quais seria impossível a realização

deste trabalho. Ao término do estudo onde foram utilizados diversas técnicas e teoremas

dos conteúdos citados acima mostramos que todo polinômio complexo admite pelo menos

uma raiz real.

Palavras-chave: Espaços vetoriais , subespaços, endomorfismos, polinômio.

Abstract

The abstract must present to the reader a short, but clear idea of the work being reported

in the thesis. The precise definition and importance of the problem being addressed, the

main objectives, motivations and challenges of the research are a good starting point for

the abstract. The strategy or metodology employed in the research, its main contributions,

and the most important results achieved may be part of the abstract as well. Notice that

the resumo and the abstract must share the same page.

Keywords: Document Processing, , Thesis Preparation, Technical Reports.

Sumário

Introdução 11

1 Uma breve história do Teorema 13

2 Definições e Resultados Preliminares 15

2.1 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Subespaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Espaços Vetoriais Isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Subespaços Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Teorema Fundamental da Álgebra 27

3.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Teorema Fundamental da Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Conclusão 37

9

Referências Bibliográficas 38

Introdução

O presente trabalho é uma apresentação da demonstração do Teorema fundamental da

Álgebra, que se baseia no artigo científico “The Fundamental Theorem of Algebra and

Linear Algebra”de Harm Derkesen, que pode ser encontado em DERKSEN [1].

Normalmente as demostrações deste teorema, usam idéias bastante avançadas e em geral,

o TFA é utilizado em cursos de álgebra linear, porém sem muita ênfase, pois como já foi

dito sua demostração exige uma matemática mais elaborada, que em geral os alunos ainda

não conhecem.

Este trabalho visa demonstrar o TFA de forma simples possibilitando assim uma maior

compreenção dos alunos de graduação. Para isto utilizaremos basicamente conceitos e

definições de Álgebra linear.

Indicamos resultados importantes também relacionados aos números complexos.

O capítulo 1 trata de uma breve história do TFA, onde destacaremos os pontos mais rele-

vantes da trajetória de grandes matemáticos na busca de sua prova.

O capítulo 2 estabelece resultados prévios que serão necessários para um melhor entendi-

mento do leitor no capítulo posteriore. Dividimos estes resultados em seções, onde dare-

mos início ao estudo dos espaços vetoriais sobre um corpo K, sem esquecer da dimensão

e das somas diretas. Para que o leitor se familiarize com algumas definições, não vamos

deixar de fora também uma seção sobre matrizes. Nesta seção apresentaremos alguns

tipos muito importantes de matrizes, tais como matrizes simétricas, anti-simétricas, her-

mitianas, e anti-hermitianas. Dedicamos também uma seção especial para os subespaços

11

12

vetoriais, subespaços invariantes,e autovalores e autovetores.

O capítulo 3 é dedicado inicialmente a demostração de alguns resultados, e juntamente

com algumas definições dos capítulos anteriores iniciaremos a prova do TFA.

Capítulo 1

Uma breve história do Teorema

Qualquer problema que possa ser solucionado através dos números, com certeza

será tratado direta ou indiretamente por meio de equações, sendo estas equações, as ex-

pressões algébricas, trigonométricas, diferenciais, exponenciais ou de qualquer outra na-

tureza onde aparece em sua escrita o símbolo de igualdade. Equacionar um problema é

geralmente entendido como colocá-lo dentro de um mecanismo do qual ele poderá ser

resolvido.

Resolver uma equação sempre foi um desafio desde o início do conhecimento

matemático. Várias civilizações apresentaram estudos em equações, os gregos, árabes,

hindus, chineses e outros. Equações estas vindas de problema com áreas e volumes.

Por volta de 800 d.C. , Al-Khawarizmi, fez este estudo, mas nessa altura ainda

não se coloca o problema das soluções não reais. Girolamo Cardano é que compreendeu

que se podia trabalhar com quantidades mais gerais. Onde acabou publicando tudo no

seu livro Ars Magna, suas descobertas e também os estudos do professor Scipione Del

Ferro por volta de 1520, sobre as raízes das equações do tipo x3 + px = q , x3 + q = px

que Tartaglia havia descoberto em 1535. Vale ressaltar que Del Ferro chegou até estas

descobertas, mas sem entendê-las muito bem. Décadas depois, mais precisamente em

1572, Bombelli publica no seu livro Álgebra um conjunto de regras para operar este novo

conjunto, começava aí os ’números complexos’.

13

CAPÍTULO 1. UMA BREVE HISTÓRIA DO TEOREMA 14

É necessário deixar bem claro, que vários outros matemáticos que não foram

citados aqui, tiveram contribuições importantes, mas resolvemos citar apenas os que esti-

varam mais diretamente ligados á trajetória do TFA.Homens estes que aperfeiçoaram as

equações cúbicas, em geral italianos, constituíram um grupo de matemáticos tão interes-

sante que nunca aconteceu na história. A maioria deles eram autodidatas, trabalhavam em

contabilidade, problemas de juros compostos e de seguros.

Capítulo 2

Definições e Resultados Preliminares

Dedicamos esta seção a apresentação de alguns resultados que serão utilizados subse-

quentemente. Daremos noções básicas de espaço vetorial, subespaço, matrizes, determi-

nantes, autovalores e autovetores etc. Iniciamos com alguns conceitos de álgebra linear.

2.1 Espaços Vetoriais

Nesta seção definiremos o conceito de espaços vetoriais, e apresentaremos alguns exemp-

los. A notação K, por sua vez, designará um corpo qualquer.

Definição 2.1.1 Um Espaço Vetorial consiste do seguinte:

(1) Um conjunto não vazio V de objetos, denominados vetores.

(2) Um corpo K (R ou C) de escalares.

(3) uma operação de adição de vetores, que associa a cada par de elementos u, v ∈ V

um elemento u + v ∈ V , isto é, V é fechado com relação à operação de adição.

Esta operação tem as seguintes propriedades:

(A1) Comutatividade. u+ v = v + u ; ∀ u, v ∈ V .

(A2) Associatividade.u+ (v + w) = (u+ v) + w ; ∀ u, v, w ∈ V .

15

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES 16

(A3) Elemento Neutro. Existe um elemento 0V ∈ V tal que u+ 0V = u ; ∀u ∈ V .

(A4) Elemento Simétrico. Para todo elemento u ∈ V existe o elemento −u ∈ V tal

que u+ (−u) = 0V ; ∀ u ∈ V .

(4) uma operação de multiplicação por escalar, que associa a cada elemento u ∈ V

e cada escalar α ∈ K um elemento αu ∈ V , isto é, V é fechado com relação

à operação de multiplicação por escalar. Esta operação tem as seguintes pro-

priedades:

(M1) Associativa. (αβ)u = α(βu) ; ∀u ∈ V e α, β ∈ K.

(M2) Distributividade para a Adição de Elementos.

α(u+ v)= αu+ αv; ∀u, v ∈ V e ∀α ∈ K.

(M3) Distributividade para a Multiplicação por Escalar.

(α + β)u = αu+ βu; ∀u ∈ V e ∀α, β ∈ K.

(M4) Elemento Identidade 1Ku = u;∀u ∈ V .

Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo K = R, dizemos que (V,+, .) é

um espaço vetorial real. Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo K = C,

dizemos que (V,+, .) é um espaço vetorial complexo.

Exemplo 2.1.1 Todo corpo é um espaço vetorial sobre si mesmo.

Este resultado pode ser encontrado em COELHO [11] ou PULINO [6].

Exemplo 2.1.2 O conjunto F (R) = {f : R → R| f é uma função}, com a operação de

adição de elementos definida como:

(f + g)(x) = f(x) + g(x);∀f, g ∈ F (R)

e a multiplicação por escalar definida como:

(λf)(x) = λf(x); ∀ f ∈ F (R) e λ ∈ R


Exemplo: Seja n ≥ 0 um número natural. O conjunto dos polinômios reais de grau

≤ n, com coeficientes reais que denotamos por Pn(R), munido da operação de adição

de elementos e da operação de multiplicação por escalar definidas de modo análogo ao

exemplo anterior, é um espaço vetorial real. Assim, todo elemento p(x) ∈ Pn((R) é

escrito na forma:

p(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn,

com os coeficientes a0, a1, ..., an ∈ R, para todo x ∈ R

2.2 Subespaço vetorial

Definição 2.2.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Um subespaço vetorial de

V é um subconjunto U de V que é um espaço vetorial sobre o corpo K com as operações

de adição de vetores e multiplicação por escalar definidas em V .

Exemplo 2.2.1 Verifiquemos que S = {(x, y, z) ∈ R3|x + y + z = 0} é um subespaço

vetorial de R3.

(i) É fácil ver que 0 + 0 + 0 satisfaz 0 + 0 + 0 = 0.

(ii) Sejam x1, x2 ∈ U +W então xj = uj +wj, uj ∈ U,wj ∈ W, j = 1, 2. Agora, se λ

∈ R então x1 +λx2 = u1 +w2+ λ(u2 +w2) = (u1 +λu2)+(w1 +λw2) ∈ U+W ,

pois U e W são subespaços vetoriais.

Exemplo 2.2.2 O subconjunto de um espaço vetorial V formado apenas pelo elemento

nulo é um subespaço vetorial de V . O próprio V como subconjunto de V é também um

subespaço vetorial. Estes dois subespaços são chamados de triviais.

Teorema 2.2.1 (Subespaço Vetorial) Um subconjunto não vazio U de um espaço vetorial

V é um subespaço vetorial de V se, e somente se, para quaisquer elementos u, v ∈ U e

para escalar λ ∈ K, temse que u+ v ∈ U e λu ∈ U .

Demonstração: A demonstração deste fato pode ser encontrado em PULINO [6].


Definição 2.2.2 Mn(K) é o conjunto das matrizes de ordem n sobre um corpo K, e

Mnm(K) é conjunto das matrizes de ordem n x m sobre um corpo R.

Exemplo 2.2.3 O conjunto das matrizes simétricas n x n: W1 = {A ∈ Mn|At = A}

e o conjunto das matrizes anti-simétricas n x n, onde At é a matriz transposta de A:

W2 = {A ∈ Mn|At = −A} são subespaços do espaço Mn das matrizes n x n, pois a

soma de matrizes (anti-)simétricas é uma matriz (anti-)simétrica. O mesmo ocorre com a

multiplicação por escalar.

Este resultado pode ser encontrado em SANTOS [13].

Exemplo 2.2.4 O conjunto Pn dos polinômios de grau (o maior indice j tal que aj 6= 0)

menor ou igual a n juntamente com o polinômio nulo é um subespaço dos polinômios P .

Pois, a soma de polinômios de grau menor ou igual a n é um polinômio de grau menor ou

igual a n e a multiplicação de um polinômio por escalar é um polinômio de mesmo grau.

A demonstração deste fato pode ser encontrada em SANTOS [13].

2.3 Soma direta

Definição 2.3.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K . Sejam U e W subespaços

vetoriais de V tais que U ∩W = {0V }. Neste caso o subespaço U + W é denominado

soma direta dos subespaços U e W , e denotamos por U ⊕W .

Este resultado pode ser encontrada em PULINO

Exemplo 2.3.1 Considere os seguintes subespaços de Mn(R):

U = {A ∈ Mn(R)|At = A} e W = {A ∈ Mn(R)|At = −A} das matrizes simétricas e

anti-simétricas. Então Mn(R) = U ⊕W.

Este resultado pode ser encontrado em SANTOS [13].


2.4 Transformações Lineares

Podemos encontrar a demostração de todos os resultados desta seção em PULINO [6],

LIPSCHUTZ [12] e SANTOS [13].

Definição 2.4.1 Sejam V eW espaços vetoriais sobre o corpo K eA uma aplicação de V

emW . Dizemos queA é uma Transformação Linear se possui as seguintes propriedades:

(a) A(u+ v) = A(u) + A(v) para todo u, v ∈ V .

(b) A(λu) = λu para todo u ∈ V , e λ ∈ K.

Exemplo 2.4.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Vamos definir a seguinte

transformação linear A(v) = v para todo v ∈ V , que é a transformação identidade,

denotada por IV .

2.4.1 Núcleo e Imagem

Definição 2.4.2 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K e A uma transformação

linear de V em W . O conjunto

Im(A) = {A(v)|v ∈ V } é denominado imagem da transformação A.

Teorema 2.4.1 O conjunto Im(A) ⊂ W é um subespaço vetorial de W .

Definição 2.4.3 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K e A uma transformação

linear de V em W . O conjunto

Ker(A) = {v ∈ V/A(v) = 0W} é denominado núcleo da transformação A.

Teorema 2.4.2 O conjunto Ker(T ) ⊂ V é um subespaço vetorial de V .

Teorema 2.4.3 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K, com dim(V ) = n, e

A : V → W é uma transformação linear. Então,

dim(Ker(A)) + dim(Im(A)) = dim(V ).


2.4.2 Espaços Vetoriais Isomorfos

Definição 2.4.4 Se uma transformação linear e A : V → W é injetora e sobrejetora,

ao mesmo tempo, damos o nome de isomorfismo. Além disso, quando existe uma tal

transformação linear entre dois espaços vetoriais dizemos que eles são isomorfos. Uma

transformação linear A : V → V é um endomorfismo de V .

Teorema 2.4.4 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com dim(V ) = n. Então, V

é isomorfo ao espaço vetorial Kn.

Definição 2.4.5 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Denotamos por L(V ) o

conjunto de todos os endomorfismos sobre V , isto é,

L(V ) = {A : V → V/A é um endomorfismo} .

Exemplo 2.4.2 O espaço Pn é isomorfo a Rn+1 e o espaço Mnm(R) é isomorfo a Rnm.

2.5 Matrizes

DEFINIR MATRIZES SIM E ANTI-SIM NO EXEMPLO 2.3.3

Definição 2.5.1 Seja A = [aij] uma matriz quadrada . Dizemos que A é simétrica se

At = A, isto é, aij = aji para todos i, j.

Exemplo 2.5.1 As matrizes A e B dadas por:

A =

5 1 2

1 6 3

2 3 8

B =

1 + 2i 2 + i

2 + i 3

são matrizes simétricas, isto é, At = A e Bt = B.


Definição 2.5.2 Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-simétrica se At =

−A, isto é, aij = −aji para todos i, j.

Exemplo 2.5.2 As matrizes A e B dadas por:

A =

0 1 −2

1 0 3

−2 −3 0

B =

0 2− i −3

−2 + i 0 i

3 −i 0

são matrizes anti-simétricas, isto é, At = −A e Bt = −B.

Definição 2.5.3 Considere A= [aij] uma matriz complexa de ordem m × n. A matriz

obtida de A substituindo cada elemento por seu conjugado é denominada matriz conju-

gada da matriz A, que denotamos por A. Assim, A = [aij].

Exemplo 2.5.3 Dada a matriz complexa:

A =

1 + 2i i

1 0

3 2− 3i

.A matriz conjugada de A, que denotamos por A, é obtida da seguinte forma:

A =

1− 2i −i

1 0

3 2 + 3i

.Definição 2.5.4 SejaA = [aij] uma matriz complexa de ordemm×n. Definimos a matriz

transposta Hermitiana da matriz A, que indicamos por A∗ , como sendo a matriz A∗=

[aij] de ordem n×m, isto é, A∗ = (At).

Exemplo 2.5.4 Dada a matriz complexa

A =

1 + 2i i

3 2− 3i

.


A transposta Hermitiana da matriz A é dada por:

A∗ =

1− 2i 3

−i 2 + 3i

.Teorema 2.5.1 SejamA = [aij] eB = [bij] matrizes complexas, com ordens compatíveis

com as operações. Então,

(i) (A+B) =A + B.

(ii) (AB) =AB.

(iii) (λB) =λB para qualquer λ ∈ C.

(iv) (A)t = (At).

A demonstração pode ser encontrada em LIPSCHUTZ [12]

Definição 2.5.5 Dizemos que uma matriz A = [aij] complexa de ordem n é uma matriz

Hermitiana se (A)t = A, isto é, aij = aji para todos i, j. Geralmente indicamos A∗ =

A para denotar uma matriz Hermitiana.

Exemplo 2.5.5 A matriz complexa

A∗ =

1 1− i 2

1 + i 3 i

2 −i 0

.é uma matriz Hermitiana, isto é,(A)t= A.

2.6 Autovalores e Autovetores

Nesta seção apresentaremos algumas definições e resultados básicos de autovalores e

autovetores, além de


Seja V um espaço vetorial sobre um corpo R, considerenos A:V → V um endomorfismo

de V , isto é, uma aplicação linear de V nele próprio. Um elemento de v ∈ V é denom-

inado autovetor de A se existe um número λ ∈ K tal que Av = λv. Se v 6= 0, então

λ está determinado de modo único, pois λ1v = λ2v acarreta que λ1 = λ2. Neste caso,

dizemos que λ é um autovalor de A pertencente ao autovetor v. Também dizemos que v é

um autovetor com autovalor λ.

Se A é uma matriz quadrada n × n, então um autovetor de A é , por definição, um auto-

valor da aplicação linearA deKn nele próprio representada pela matriz A. Portanto, um

autovetor X de A é um vetor (coluna) de Kn para o qual existe λ ∈K tal que AX = λX .

Exemplo 2.6.1 Se A:V → V é um endomorfismo, e se v é um autovetor de A, então para

qualquer escalar c 6= 0, cv é também um autovetor de A, com o mesmo autovalor.

Teorema 2.6.1 Seja V um espaço vetorial, e λ um número. Se A:V → V é uma aplicação

linear, então λ é um autovalor de A se, e somente se, A− λI não for invertível.

Demonstração:

Vamos admitir que λ é um autovalor de A. Então existe um elemento v ∈ V , v 6= 0 tal

que Av = λv. Logo Av − λv = 0, e assim (A − λI)v = 0. Portanto o núcleo A − λI

tem um elemento diferente de zero o que implica que A − λI não é invertível. De forma

recíproca, suponhamos que A−λI não seja invertível. Pelo teorema do núcleo e imagem ,

vemos que A− λI deve ter um núcleo não-nulo, indicando assim que existe um elemento

v ∈ V , v 6= 0, tal que (A− λI)v = 0. Portanto Av − λv = 0, e Av = λv. Logo, λ é um

autovalor de A, e isto prova nosso teorema.

Seja A uma matriz n× n, A = (aij). Podemos definir o polinômio característico PA de A

como sendo o determinante

PA(t) = Det(tI − A),

ou escrito com


PA(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣t− a11 · · · −ain· · · . . . · · ·

−an1 · · · t− ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .A matriz A também pode ser vista como uma aplicação linear de Kn em Kn, e também

podemos dizer que PA(t) é o polinômio característico dessa aplicação linear.

Teorema 2.6.2 Seja A:V → V uma transformação linear e V um espaço vetorial. Se

λ ∈ R e det(A− Ix)(λ) = 0, então existe v ∈ V tal que A(v) = λv.

Demonstração:

Temos por hipótese que det(A − Ix)(λ) = 0, o que implica que a matriz A − λI não é

inversível, portanto não é injetiva, isto é, Ker(A − λI) 6= {0}. Disto segue que existe v

∈ V Ker(A− λI), ou seja:

(A− λI)v = 0

Av − (λI)v = 0, isto é, Av =λv

Proposição 2.6.1 Seja A : V → V um endomorfismo onde λ é autovalor de A, e ainda

W=Ker(A− λI) e Z=Im(A− λI), então W e Z são invariantes sobre A.

Demonstração:

i) Seja v ∈ Z , então v = (A− λI).u para algum u ∈ V. Como v ∈ Z, basta verificarmos

que A(v) ∈ Z.A(v) = A(A− λI).u

= A(Au− λu)

= AAu− λAu

= (AA− λA)u

= (A− λ)uA

= (A− λI)(Au).

Com isto A(v) ∈ Z e portanto Z é invariante sobre A.


ii)Seja w ∈ W , então (A− Iλ)w = 0. Como w ∈ W basta verificarmos que Aw ∈ W.

(A− λI)(Aw) = A(Aw)− λI(Aw)

= A(Aw)− A(λIw)

= A(Aw − λIw)

= A((A− λI)w).

Como (A − λI)w = 0 segue que Aw = 0. Então A(w) = 0 ∈ W , pois o núcleo é um

subespaço de V , assim W é invariante sobre A.

2.7 Subespaços Invariantes

Consideremos um espaço vetorial V sobre o corpo K, e seja A : V → V um endomor-

fismo de V . SejaW um subespaço de V . Diremos queW é um subespaço invariante sobre

A se Aw pertencer a W para cada w em W ,ou seja, se A(W ) estiver contido em W .

Exemplo 2.7.1 Seja v1 um autovetor não-nulo de A ,e seja V1 o espaço de dimensão 1,

gerado por v1 . Então v1 é um subespaço invariante por A.

Exemplo 2.7.2 Seja λ um autovalor de A,e seja Vλ o subepaço de V formado por todos

os v ∈ V tais que vλ = λv.Então Vλ é um subespaço invariante por A,denominado

auto-espaço de λ.

Exemplo 2.7.3 Seja f(t) ∈ K[t] um polinômio, e seja W o núcleo de f(A). Então W é

um subespaço invariante por A.

Demonstração:

Vamos supor que f(A)w = 0. Como tf(t) = f(t)t resulta que Af(A) = f(A)A, onde

f(A)(Aw) = f(A)Aw = Af(A)w = A0 = 0.

Logo, Aw também pertence ao núcleo de f(A), e com isso fica provado.

Observemos que, em geral, para dois f e g quaisquer, vale f(A)g(A) = g(A)f(A) pois


f(t)g(t) = g(t)f(t).

Passamos agora a descrever como a decomposição de um polinômio num produto de dois

fatores cujo máximo divisor comum é 1 e dá origem a uma decomposição do espaço

vetorial V numa soma direta de subespaços invariantes.

Capítulo 3

Teorema Fundamental da Álgebra

3.1 Preliminares

Nesta seção demonstraremos alguns resultados, que juntamente com as definições dos

capítulos anteriores facilitarão a prova do TFA.

Teorema 3.1.1 (Teorema do Valor Intermediário) Suponha que f é uma função contínua

num intervalo [a, b] dos números reais, e sejaN um número entre f(a) e f(b),onde f(a) 6=

f(b). Então existe um número c pertencente a (a, b) tal que f(c) = N .

Atilizaremos o teorema dos valor intermediário para garantir a existência de uma raiz em

uma função polinomial num certo intervalo, pois se trata de uma função contínua.

Lema 3.1.1 Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais têm uma raiz.

Demonstração:

Consideremos o polinômio P (x) = xn + a1xn−1 + ...+ an−1x+ an com a1, ..., an ∈ R e

n ímpar. Queremos provar que existe um λ no intervalo [−a, a] tal que P (λ) = 0.

( i ) Seja b = |a1|+ ...+ |an|+ 1 então P (b) = bn + a1bn−1 + ...+ anb

n.

Como bn = b.bn−1 segue que,

27

CAPÍTULO 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 28

(|a1|+ ...+ |an|)n = (|a1|+ |a2|+ ...+ |an|+ 1).(|a1|+ ...+ |an|)n−1

= (|a1|+ |a2|+ ...+ |an|+ 1)bn−1.

Pela distributividade no segundo membro da equação anterior temos:

|a1| .(b)n−1 + |a2| .(b)n−1 + ...+ |an| .(b)n−1 + (b)n−1.

Veja que (b)n ≥ (b)n−1, dividindo por b os membros da desigualdade assim,

(b)n−1 ≥ (b)n−2 disto segue que,

|a1| .(b)n−1 + |a2| .(b)n−1 + ...+ |an| .(b)n−1 + (b)n−1

≥ |a1| .bn−1 + |a2| .(b)n−2 + ...+ |an| .bn−2 + bn−2

≥ |a1| .bn−1 + |a2| .(b)n−2 + ...+ |an−2| .bn−(n−2) + |an−1| bn−(n−1) + |an| bn−n + bn−n

= |a1| .bn−1 + |a2| .(b)n−2 + ...+ |an−1| .b+ |an|+ 1

≥ −a1.bn−1 − a2.(b)

n−2 − ...− an−1.b− an + 1.

pois |aj| ≥ −aj, ou seja, o máx {−aj, aj} = |aj|.

com isto,

bn ≥ (−a1.bn−1 − a2.(b)

n−2 − ...− an−1.b− an) + 1.

que implica em

bn + a1.bn−1 + a2.b

n−2 + ...+ an−1.b+ an ≥ 1.

Portanto P (b) ≥ 1 > 0.

(ii) Por outro lado −b = − |a1|+ ...+ |an|+ 1

então

P (−b) = −bn + a1bn−1 + ...+ an.b

n como

(−bn = −b.bn−1), segue que,

(|a1|+ ...+ |an|)n = (− |a1| − |a2|+ ...− |an| − 1).(|a1|+ ...+ |an|)n−1.

De modo análogo ao item (i) temos:

−|a1| .(b)n−1 − |a2| .(b)n−1 − ...− |an| .(b)n−1 − (b)n−1.

como (b)n−1 ≥ (b)n−2 segue que,


−|a1| .(b)n−1 − |a2| .(b)n−1 − ...− |an| .(b)n−1 + (b)n−1

≤ −|a1| .bn−1 − |a2| .(b)n−2 − ...− |an| .bn−2 − bn−2

≤ −|a1| .bn−1 − |a2| .(b)n−2 − ...− |an−2| .bn−(n−2) − |an−1| bn−(n−1) − |an| bn−n − bn−n

= −|a1| .bn−1 − |a2| .(b)n−2 − ...− |an−1| .b− |an| − 1

≤ a1.bn−1 + a2.(b)

n−2 + ...+ an−1.b+ an + 1.

pois −|aj| ≤ aj, Com isto,

−bn ≤ (a1.bn−1 + a2.(b)

n−2 + ...+ an−1.b− an) + 1 o que implica em

−bn − a1.bn−1 − a2.b

n−2 − ...− an−1.b− an ≤ 1.

Portanto P (−b) ≤ 1 < 0

Pelo teorema do valor intermediário existe um λ no intervalo [−a, a] tal que P (λ) = 0.

Lema 3.1.2 Todo número complexo admite uma raiz quadrada.

Demonstração:

Seja o número complexo Z = α + βi com α, β ∈ R e considere ‖Z‖ = r ≥ 0.

Então r =√α2 + β2, senθ =

β

re cosθ =

α

risto é, β = rsenθ e α = rcosθ

assim, α + β = rcosθ + rsenθ o que implica Z = r(cosθ + isenθ).

Daí√α + βi =

√r√cosθ + isenθ.

Veja que:[√r

(cos

θ

2+ isen

θ

2

)]2

= (√r)2

(cos

θ

2+ isen

θ

2

)2

= r

(cos

2θ

2+ isen

2θ

2

)= rcosθ + irsenθ = α + βi.

portanto, [√r

(cos

θ

2+ isen

θ

2

)]é uma raiz quadrada de α + βi.


A proriedade a seguir será de fundamental importância para provar os lemas posteriores.

Primeiramente vamos definir o que é P(K, d, r).

P(K, d, r) é uma proriedade válida em um corpo K contendo r endomorfismos sobre um

espaço vetorial V de dimensão finita n, tal que d não divide n.

Propriedade 1 P(K, d, r) é verdadeira para algum r endomorfismo que comutaA1, A2, ..., Ar

de um espaço vetorial V de dim n tal que d não divide n,então existe um autovalor comum.

Exemplo 3.1.1 Seja um corpo K. Então K é um espaço vetrial sobre si mesmo e de di-

mensão 1. De fato, o elemento 1 de K constitui uma base de K sobre K, pois qualquer

elemento x ∈ K se expressa de forma única por x =x.1.

Lema 3.1.3 Se P (K, d, 1) é verdadeira, então P (K, d, r) é verdadeira para ∀r ≥ 1.

Demonstração:

Hipótese:P (K, d, 1) é verdadeira, isto é, se K contém um endomorfismo sobre um espaço

vetorial V , este gera uma base,e portanto contém um autovetor comum. Provaremos o

lema por indução sobre r. Se r = 1, a proposição, por hipótese é verdadeira, isto é, dados

r − 1 endomorfismos que comutam, definição do o espaço vetorial V sobre o corpo K

onde d não divide n, então estes endomorfismos possuem um autovetor.

Queremos provar que P (K, d, r) é verdadeira. Faremos por indução sobre n = dimV .

SejamA1, A2, ..., Ar endomorfismos que comutam, definidos sobre V tais que d não divide

n. Se n = 1 P (K, d, r) é verdadeira, pois dimV = 1, isto implica que V é isomorfo a K,

isto é, dado T : V → V linear: (T (K.u) = K.T (u)) então T (v) = T (v.1) = v.T (1),

chamando T (1) = λ, temos T (v) = λv, ∀v ∈ V com v 6= 0.Suponhamos que n > 1.

Como P (K, d, 1) é verdadeira, por hipótese, temos que Ar possui um autovetor. Seja

λ ∈ K um autovalor associado. Sejam W = Ker(Ar − λI). Pela proposição 1 do

capítulo anterior, segue que W e Z são invariantes sobre A1, A2, ..., Ar.Isto que dizer

que A1, A2, ..., Ar são endomorfismos que comutam definidos nos espaços vetoriais W


e Z. Se W 6= Z, temos que dim W < n. Como dimW + dimZ = n, segue que d

não divide a dimW ou d não divide a dimZ , pois d não divide n. Como dimW 6= 0

(pois Ar possui autovetor), segue que dimW < n e dimZ < n. Por indução sobre n,

temos que P (K, d, r) é verdadeira em W ou em Z. Logo P (K, d, r) é verdadeira em

V .Suponhamos agora que W = V . Como P (K, d, r − 1) é verdadeira por hipótese de

indução,A1, A2, ..., Ar−1 possuem um autovetor comum, digamos v ∈ V . Como W = V ,

segue que v ∈ Ker(Ar−λI). Daí (Ar−λI)v = 0, ou sejaAr(v) = λv. Logo v é autovetor

de Ar e , portanto, um autovetor em comum para A1, A2, ..., Ar. Assim P (K, d, r) é

verdadeira como queriamos demonstrar.

Lema 3.1.4 Seja V um espaço vetorial de dimensão ímpar sobre R. Então P(R, 2, r) é

verdadeira, ou seja dados A1, ..., Ar endomorfismos comutando, então eles possuem um

autovetor comum.

Demonstração:

Vamos provar que P(R, 2, 1) é verdadeira.Seja A um endomorfismo de V , com V tendo

dimensão ímpar,então det(A− Ix) é um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais.

Então segue pelo lema 4.0.1 que este polinômio admite uma raiz. Consequentemente esta

raiz é um autovalor de A. Logo A possui um autovetor.Pelo lema anterior, P (R, 2, r) é

verdadeira , ∀r ≥ 1.

Observação 3.1.1 Considere V = Hermn(C), o conjunto das matrizes hermitianas de

ordem nxn sobre os C. Vamos definir L1,L2 : V −→ V ,como:

L1(B) =AB +BA∗

2, L2(B) =

AB −BA∗

2i,∀B ∈ V.

Aqui A∗ = At é tranposta do conjugado da matriz A, assim como definimos no capítulo

anterior.

Então existe um autovetor comum de L1 e L2,digamos X .Daí, existem λ e µ ∈ R tal que:

L1(X) = λXL2(B) = µX


Assim,

(L1 + iL2(X)) = L1(X) + iL2(X) =AX +BX∗

2+ i

AX −BX∗

2i= AX.

Veja que L1 e L2 são endomorfismos sobre V :

Sejam A = (aij), A∗ = (xij) e B = (bij). Então:

(AB +BA∗)ij = (AB)ij + (BA∗)ij

=n∑k=1

aikbkj +∑k=1

bilxlj

=∑k=1

aikbkj +∑k=1

bliajl

pois xij = aji

Ainda veja que L1 e L2 comutam:

L1(L2(X)) = L1

(AB −BA∗

2i

)=AL2(B) + L2(B)A∗

2

=

A

(AB −BA∗

2i

)+

(AB −BA∗

2i

)A∗

2

=

(AAB − ABA∗

2i

)+

(ABA∗ −BA∗A∗

2i

)2

=(AAB − ABA∗) + (ABA∗ −BA∗A∗)

4i

=A2B −BA2∗

4i.

De modo análogo temos que:


L2(L1(X)) = L2

(AB +BA∗

2

)=AL1(B)− L1(B)A∗

2i

=

A

(AB +BA∗

2i

)−

(AB +BA∗

2i

)A∗

2

=

(AAB + ABA∗

2i

)−

(ABA∗ +BA∗A∗

2i

)2

=(AAB + ABA∗)− (ABA∗ +BA∗A∗)

4i

=A2B −BA2∗

4i.

Lema 3.1.5 P (C, 2, 1)é verdadeira, isto é, todo endomorfismo de um espaço vetorial

complexo de dimensão ímpar tem um autovetor.

Demonstração:

Queremos provar que P (C, 2, 1) é verdadeira. Então, seja A : Cn −→ Cn um endomor-

fismo sobre o espaço vetorial Cn sobre C, com n ímpar. Precisamos mostrar que A possui

um autovetor (isto é ,P (C, 2, 1)é verdadeira). Considere V = Hermn(C), o conjunto das

matrizes hermitianas de ordem nxn sobre os C. Vamos definir L1 e L2 : V −→ V ,como:

L1(B) =AB +BA∗

2,

L2(B) =AB −BA∗

2i,∀B ∈ V.

Então existe um autovetor comum de L1 e L2,digamos X .Daí, existem λ e µ ∈ R tal que:

L1(X) = λX eL2(B) = µX.

Assim,


(L1 + iL2(X) = L1(X) + iL2(X)

=AX +BX∗

2+ i

AX −BX∗

2i

= AX.

Observe que dim(V ) = n2 é impar. Então pelo lema anterior P (R, 2, 2) é verdadeira, o

que implica que L1 e L2 tem um autovetor comum, digamos X .Consideremos as matrizes

A = (aij)m∗n e X = (xij)n∗m. Temos que B possui uma coluna não-nula, digamos que

seja a primeira coluna. Seja v = (x11, x21, x31, ..., xn1)T a primeira coluna de X. Temos

que:

Como AX = (λ+ µi)X , segue que (AX)jk = [(λ+ µi)X]jk, ∀ j, k = 1, ...n.

Daí:

(AX)jk =∞∑n=0

ajlxlk= [(λ+ µi)X]jk = (λ+ µi)xjk

Com isto, (AX)jk =∞∑n=0

ajlxlk=(λ+ µi)xjk, ∀ j, k = 1, ..., n.

Logo AX = (λ+ µi)X.

Assim,

Av = (λ+ µi)(x11, x21, x31, ..., xn1)T = (λ+ µi)v.

Portanto v é um autovetor comum de A o que implica que P (C, 2, 1)é verdadeira.

Lema 3.1.6 P (C, 2k, r) é verdadeira para todo k e r.

Demonstração:

Pelo lema 3, basta provar que P (C, 2k, 1) é verdadeira. Vamos provar por indução sobre

K. Para K = 1 o lema fica provado (pelos lemas 2 e 5). Suponha que 1 ≤ K < K e que

P (C, 2l, r) seja verdadeira para qualquer espaço vetorial. Vamos provar que P (C, 2k, 1) é

verdadeira. Ou seja, que todo o endomorfismo sobre um espaço vetorial sobre (C, onde a

dimensão n não é divisível por 2k, possui um autovalor em C. Seja A : C→ C. Se 2k−1 -

n, por indução P (C, 2k−1, 1) é verdadeira, isto é, A possui autovalor em C. Suponha então


que 2k−1 | n. Seja V = MASn(C) e considere os endomorfismos L1(B) = AB + BAt e

L2(B) = ABAt que comutam. Veja que L1 e L2 são endomorfismos sobre V.

(AB +BAt)ij = (AB)ij + (BAt)ij

=n∑k=1

AikBkj +n∑l=1

BilAtlj

=n∑k=1

AikBkj +n∑l=1

BilAjl

=n∑k=1

AikBkj −n∑l=1

BliAjl

=n∑k=1

AikBkj −n∑l=1

BjlAli

= (AB)ij − (AB)ji

Veja ainda que L1 e L2 comutam:

L1(L2(B))=L1(ABAt) = A(ABAt)− (ABAt) = A2BAt − ABAt2 .

L2(L1(B))=L2(AB −BAt) = A(AB −BAt)At = A2BAt − ABAt2 .

Portanto L1(B) = L2(B).

Observe que 2k−1 | dimV =n(n− 1)

2(veja LEMA X). Usando a hipótese de indução,

P (C, 2k, 1) é verdadeira, para o espaço V , isto é,

L1 e L2 possuem um autovetor em comum, digamos B ∈ MASn(C).Daí L1(B) = λB e

L2(B) = µB. Segue que: µB = ABAt = A(AB − λB) então (A2 − λA− µI)B = 0.

Seja v uma matriz coluna não-nula deB. Assim, (A2−λA−µI)v = 0, que um polinômio

de matrizes com grau 2. Veja que (A2−λA−µI)B = (A−αI)(A−βI) com α e β ∈ C.

Pelo lema 3.0.2, existe um δ ∈ C, tal que, δ2 = λ2 + 4µ. Observe que δ =√

∆ o que

resulta que δ2 é igual ao discriminante do polinômio do 2ograu. E λ são respectivamente a

soma e o produto das raízes α e β do polinômio.Assim temos como raízes α =(λ+ δ)

2e


β =(λ− δ)

2. E segue que (A− λI)w = 0, onde w = (A− βI)v. Se w = 0, então v é um

autovetor de A com autovalor β; Se w 6= 0 então w é um autovetor de A com autovalor α.

E assim ficando provado o lema.

Teorema 3.1.2 Se A1, ..., Ar são endomorfismos que comutam de dimensão finita não-

nula de um espaço vetorial complexo V, então eles tem um autovetor comum.

Demonstração:

Seja n a dimensão de V . Então existe um inteiro positivo k tal que 2k não divide n. Assim

pelo lema 3.0.6 todo o endomorfismo sobre um espaço vetorial sobre C, onde a dimensão

n não é divisível por 2k, possui um autovalor em C, ficando provado assim o teorema.

3.2 Teorema Fundamental da Álgebra

Aqui inicia-se a demostração do TFA.

Teorema 3.2.1 (Teorema Fundamental da Álgebra). Se P (x) é um polinômio não-constante

com coeficientes complexos, então existe um λ ∈ (C tal que P (λ) = 0. Isto é suficiente

para provar para este polinômio mônico.

Suponha que: p(x) = xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + ...+ an.Então p(x) = det(xI −A), onde

A é a matriz companheira de P :

A =

0 0 · · · 0 −a0

1 0 · · · 0 −an−1

0 1 · · · −an−2

...... . . . ...

...

· · · 1 −a1

n×n

O teorema 3.12, implica que A tem um autovalor complexo λ ∈ C, de onde segue que

p(λ) = 0.

Conclusão

De acordo com ........................

37

Referências Bibliográficas

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The Mathematical Association of America- Monthly 110 - 2003.

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MATSUL - CEFET-PR UNED-PB COMAT outubro2001.

[8] PINEDO, Christian Q.- História das Equações. VII EREMATSUL - CEFET-PR

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Lourenço.-2aed. rev. e ampl. 1. reimp.-São Paulo: Editora da Universidade de São

Paulo, 2007.

[12] LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear: Teoria e Problemas. 3a edição. São

Paulo: Person Makron Books, 1994.

[13] SANTOS,Reginaldo J. Álgebra Linear e Aplicações/ Reginaldo J. Santos-Belo

Horizonte: Imprensa Universitária UFMG, 2002.

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