Tensiones de Reynolds_original

8/16/2019 Tensiones de Reynolds_original

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INTRODUCCION AL FLUJO TURBULENTO

Preparado porIng. Esteban L. Ibarrola

Mecánica de los Fluidos UNCor

1. Características físicas de los flujos turbulentos.

Antes de definir en una forma precisa el significado de la turbulencia, resulta mas provechoso para comprender sunaturaleza analizar de qué formas se manifiesta y las características esenciales de esas formas. Las solucionesclásicas de las ecuaciones de Navier-Stokes, corresponden a los flujos laminares, caracterizados por ser flujosperfectamente ordenados y regulares. Pero los flujos que se presentan en situaciones de la vida real noresponden a esas soluciones porque manifiestan un comportamiento completamente diferente. Lasmanifestaciones típicas de la turbulencia se pueden resumir en tres efectos principales:

Inestacionariedad de pequeña escala

Un permanente y continuo p roceso de mezcla.

Un dominante efecto de la inercia del fluido

Inestacionariedad Aun cuando se encuentre confinado y limitado por contornos estacionarios el flujo turbulento presenta unaprogresiva sucesión de inestabilidades que causan e inducen fluctuaciones en las componentes de la velocidadque hacen que el movimiento se torne inestacionario. Este tipo de manifestaciones pueden ser observados enexperimentos como la conocida experiencia de Reynolds, en chorros fluidos y capas límites.

Procesos de mezcla.La turbulencia introduce componentes de velocidad transversales el movimiento principal que generan procesosde mezcla que aumentan notablemente el intercambio de masa, calor y cantidad de movimiento en la masa fluida.

Efecto dominante de la inercia del fluido.La densidad del fluido tiene un papel mucho mas preponderante que el coeficiente de viscosidad molecular en elestablecimiento de las tensiones tangenciales efectivas. Una remarcable característica de la turbulencia es que ladisipación friccional es mucho menos dependiente de la viscosidad que de la densidad del fluido. Esto se debe aque la transferencia de energía mecánica desde la componente estacionaria del flujo a la energía cinética de laturbulencia es provocada por efectos inerciales.

Ciertos aspectos de los flujos turbulentos y su contraste con los laminares pueden observarse mediante larealización de experimentos en un conducto con flujo totalmente desarrollado .Algunas características relevantesque pueden apreciarse de las observaciones son las siguientes:

Mientras un instrumento estándar para medir la velocidad como una sonda Pitot-estática revela unadistribución de velocidades en cada punto que parece no cambiar, la utilización de un instrumento derespuesta rápida como un anemómetro de hilo caliente ( de muy pequeño diámetro y consecuentemente bajainercia térmica), mostrará que la velocidad en un punto variará en el tiempo, indicativo que la velocidad localen realidad es inestacionaria

Los flujos laminares tienen una distribución de velocidades típicamente parabólica, mientras que los perfiles develocidad medios en un flujo turbulento presentan un núcleo central más aplanado, debido a un rápidointercambio de cantidad de movimiento de las partículas, con un gradiente de velocidades sobre la paredmayor que provoca mayores tensiones tangenciales sobre la misma.

Mientras que en los flujos laminares las tensiones tangenciales son producidas exclusivamente por laviscosidad molecular y ésta domina sobre los efectos de inercia, en los flujos turbulentos la viscosidad

molecular tiene una muy débil influencia, y las tensiones tangenciales (de naturaleza diferente a la molecular)son gobernadas casi exclusivamente por los efectos inerciales, asociadas a esa inestacionariedad de pequeñaescala presente en los flujos turbulentos.


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Un alto grado de desorden en el flujo y movimientos inestacionarios e irregulares superpuestos a un flujoregular y ordenado que produce intercambio y mezcla de masa, cantidad de movimiento y energía entre las

capas fluidas.

Fig.Nº1- Distribución de velocidades en flujos laminar y turbulento

El conjunto de fenómenos antes descriptos es lo que caracteriza a lo que genéricamente llamamos turbulencia,pudiendo resumirse los siguientes contrastes o diferencias entre un flujo laminar un turbulento:

FLUJO LAMINAR FLUJO TURBULENTO

El movimiento es ordenado y en conjunto esrealmente estacionario.

Es estacionario en conjunto en valores medios, perocontiene inestacionariedades de pequeña escala

Las fuerzas viscosas de origen molecularson predominantes.

Las fuerzas viscosas son relativamente importantes

Las fuerzas de inercia son irrelevantes Las fuerzas de inercia son dominantes

Los primeros análisis teóricos detallados fueron encarados por O. Reynolds Con relación a su trabajo dos

aspectos pueden ser analizados. Por un lado se puede demostrar, considerando las ecuaciones diferenciales de laMecánica de los Fluidos que las oscilaciones espaciales y temporales presentes en las componentes de lavelocidad afectan al movimiento promedio, y se manifiestan como una resistencia a la deformación del fluido de un


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modo similar a la resistencia que produce la fricción molecular interna a través de la viscosidad en los flujoslaminares. La segunda consideración teórica tiene que ver con las condiciones bajo las cuales una perturbacióndel movimiento como los que ocurren en los flujos turbulentos puede incrementarse o amortiguarse en el tiempo.

Se abordará solamente el análisis del primer aspecto, considerando que el movimiento es estacionario confluctuaciones que tienen valores temporales medios.De acuerdo a la evidencia experimental los movimientos sujetos a fluctuaciones en el espacio y el tiempo puedenser tratados considerándolos como integrado por un valor medio constante en el tiempo y de oscilaciones positivasy negativas alrededor de ese valor medio.Los diferentes autores que estudiaron el problema difieren en la elección de ese valor medio .Algunos consideranun media espacial de valores promediados en un espacio definido de moderada extensión, en tanto que otrostoman los valores promediados en un simple punto del espacio durante un tiempo suficientemente largo, y algunoshacen uso de un concepto combinado. El presente análisis, debido a Prandtl, considera a las componentes de lavelocidad, presión etc en un punto del espacio como compuestas de un valor medio temporal constante tomadocomo promedio durante un período de tiempo suficientemente largo, y de fluctuaciones en el tiempo superpuestasa ese valor medio. Un movimiento de estas características se representa en la figura Nº 2.

Si por ejemplo la componente de la velocidad según la dirección "x" se designa con )(t u , su valor medio u entre

el instante 0t y el tiempo T se obtiene, aplicando el Teorema del Valor Medio:

T t

t

dt t uT

u0

0

)(1

(1)

el tiempo T debe tomarse lo suficientemente grande para que u se independiente tanto de T como de 0t .

Movimientos con estas características existen en el mundo real , y se denominan movimientos turbulentos convalor medio estacionario.


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2. Reglas de cálculo para valores medios temporales de magnitudes físicas

El tratamiento de ecuaciones con magnitudes físicas utilizando sus medias temporales implica el uso de ciertas

reglas de cálculo elementales que determinan la validez de algunas operaciones aritméticas básicas que sepresentan en las mismas. Las mas frecuentes son:

El valor medio de las fluctuaciones en el tiempo )(t u es nulo:

Siendo.

ut ut u )()( (2)

El valor medio de )(t u es:

T t

t

dt t uT

u0

0

)(1

(3)

llevando la (2) a la (3) y haciendo por comodidad:

T T T

dt uT

dt t uT

dt ut uT

u

000

1)(

1))((

1 (4)

Las integrales de la (4) resultan:

udt t uT

T

0

)(1

(5)

uT

T udt

T udt u

T

T T

00

1.

1 (6)

de donde se concluye que el valor medio de las fluctuaciones de una magnitud es siempre nulo:

0)( t u (7)

Si A y B son dos magnitudes de un flujo turbulento y n es una coordenada espacial cualquiera se verificanlas siguientes reglas para las operaciones elementales con valores medios temporales :

Suma o diferencia de valores medios:

La suma de sus valores medios es igual al valor medio de la suma:

B A B A . (8)


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Producto por una constante por un valor medio:

El producto de una constante por el valor medio de una magnitud es igual al valor medio del producto de laconstante por la magnitud:

Aconst Aconst (9)

Derivada del valor medio según una dirección:

La derivada según una dirección "n" del valor medio es igual al valor medio de la derivada:

n

A

n

A

(10)

Valores medio de un producto

Si los valores medios de dos magnitudes A y B son nulos el valor medio del producto es en general distinto decero:

T

dt t A

T

A

0

0)(1

T

dt t BT

B0

0)(1

T

dt t Bt AT

B A0

0)().(1

. (11)

Para ilustrar la regla anterior , si se supone que las magnitudes A y B varían en el tiempo según una ley senoidal elgráfico siguiente muestra que el valor medio del producto es distinto de cero:


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3. Aplicación del Teorema de la Cantidad de Movimiento al flujo turbu lento.

Antes de trabajar con las ecuaciones de Navier-Stokes como lo hizo Reynolds para establecer las ecuaciones quemanejan los flujos turbulentos, se puede arribar a conclusiones de un modo mas directo y obtener algunasconclusiones referidas a la mecánica de este tipo de flujo utilizando el Teorema de la Cantidad de Movimiento.Si las componentes de la velocidad según un sistema de referencia cartesiano xyz son wvu ,, respectivamente,

y se está ante la presencia de un movimiento turbulento estacionario, ellas se pueden expresar como la suma deun valor medio y sus correspondientes fluctuaciones en el tiempo del siguiente modo:

www

vvv

uuu

(12)

y similarmente para la presión:

p p p (13)

los valores medios se indican con los términos en barras y son los correspondientes a la parte del flujo regular yperfectamente ordenado que pueden ser medidos por un observador con un instrumento estándar como unasonda de presión Pitot-estática, y las fluctuaciones en el tiempo se representan con las letras con tildes. El caudalen masa que pasa por una superficie elemental perpendicular al eje "x" en un instante se expresa como:

dt udAdq . (14)

la cantidad de movimiento elemental asociada a ese caudal en dirección "x" es:

dt dAudQx .2 (15)

y las componentes en dirección "y" y "z" son:

dt uvdAdQy . (16)

dt uwdAdQz . (17)

El primer paso consiste en evaluar los valores medios de las (15), (16) y (17):

T

dt udAT

dQx0

21

T

uvdt dAT

dQy

0

1 (18)


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7

T

uwdt dAT

dQz0

1

En las anteriores se hizo 00 t por simplicidad, y se supone que el tiempo T es suficientemente grande.Considerando la componente u y elevándola al cuadrado:

2222.2)( uuuuuuu

y reemplazando en la primera de las (18):

T T T

dt udAT

dt uudAT

dt udAT

dQx0 0

2

0

2 1.2

11

Aplicando las reglas del punto 2 la segunda integral se anula por ser producto de una constante u por el valormedio de una fluctuación que es cero, y luego de evaluar las restante integrales se tiene para el flujo de cantidadde movimiento medio elemental en dirección "x":

dAuudQx )( 22 (19)

Es importante señalar que 2u es el valor medio de los cuadrados de u , y no el cuadrado del valor medio de

u ,indicado como2

u que es nulo de acuerdo a las reglas y definiciones anteriormente vistas. La (19) es válidapara un flujo incompresible, ya que cuando están presentes cambios de densidad debe introducirse también a estacomo suma de un valor medio y su fluctuación. Aplicando un procedimiento similar a la segunda y terceraintegrales de las (18) se determinan las cantidades de movimientos medios elementales en las otras dosdirecciones las que resultan:

dAvuvudQy )..( (20)

dAwuwudQz )..( (21)

Dividiendo las ecuaciones anteriores por el área elemental, se obtiene, desde un punto de vista dimensional unarelación fuerza/área, es decir una tensión:

)( 22

uudA

dQx

)..( vuvudA

dQy (22)


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8

)..( wuwudA

dQz

En las ecuaciones (22) se han cambiado los signos de los segundos miembros para tener en cuenta que laecuación de la cantidad de movimiento da la fuerza que actúa desde los alrededores sobre el sistema, y asíobtener las tensiones que actúan sobre el elemento fluido. Puede notarse que las componentes del cambio de lacantidad de movimiento elemental contiene nuevos términos formados por productos y cuadrados de las

fluctuaciones ),,( wvu sumados a términos que provienen de productos de valores medios ),,( wvu . Estosúltimos son exactamente los mismos que se obtienen cuando se considera el caso estacionario.

El término2u representa tensiones normales, en tanto que vu y wu denotan tensiones tangenciales en

las direcciones "y" y "z" respectivamente. El análisis permite ver claramente que los valores temporales mediosde las fluctuaciones de la velocidad introducen componentes de tensión adicionales que no están presentes en losflujos laminares. Un estudio mas pormenorizado que conduce a idénticas conclusiones se hará en el próximo

punto.

4. Tensiones de aparentes, tensor de tensiones de Reynolds

Las leyes de la viscosidad de Stokes y las ecuaciones de Navier-Stokes son aplicables a un flujo turbulento sise usan las velocidades y magnitudes reales .Pero se mencionó anteriormente que desde un punto de vistafísico resulta más práctico obtener expresiones a partir de valores temporales medios, ya que estas sonmagnitudes que pueden ser medidas por un observador con instrumentos convencionales como las sondas depresión. A continuación se derivarán las ecuaciones aplicables a movimientos turbulentos con valorestemporales medios de magnitudes. Por simplicidad y sin pérdida de generalidad se considerará un movimiento

incompresible definido por la condición 0. V a partir de las ecuaciones de Navier–Stokes, las que seescriben :

u x

pKx

z

uw

y

uv

x

uu

t

u 2

v y

pKy

z

vw

y

vv

x

vu

t

v 2

(23)

w z

pKz

z

ww

y

wv

x

wu

t

w 2

El primer paso consiste en sustituir todas las variables que aparecen en las ecuaciones (23 ) por la suma de lasmedias temporales y de las componentes debidas a las fluctuaciones. Como ejemplo, en la primera ecuación

haciendo uuu el término xuu resulta:

xu

u x

uu x

uu x

uu x

uuuu

....

)(. (24)


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Tomando valores medios temporales y haciendo uso de las reglas antes vistas, el segundo y tercer término del

segundo miembro se anulan porque son productos de constantes ( u y xu ) por valores medios de

fluctuaciones ( u y de xu ) que se hacen cero. El primer término xuu . permanece invariable alcalcular la media, porque la expresión es constante con el tiempo. Finalmente el último termino es el producto

de dos magnitudes variables, y como se vio su valor medio xuu . no debe anularse necesariamente.Resumiendo al tomar valores medios temporales del producto analizado se obtiene:

x

uu

x

uu

x

uuuu

..

)(.

Realizando operaciones similares con todos los términos de las tres ecuaciones de NS se arriba a las

siguientes expresiones válidas para un movimiento turbulento con valores temporales medios en susmagnitudes :

z

uw

y

uv

x

uuu

x

pKx

z

uw

y

uv

x

uu ....... 2

z

vw

y

vv

x

vuv

y

pKy

z

vw

y

vv

x

vu ....... 2 (25)

z

ww

y

wv

x

wuw

z

pKz

z

ww

y

wv

x

wu ....... 2

Estas ecuaciones luego de algunas sustituciones y operaciones algebraicas se pueden escribir en forma mascompacta como:

z

wu

y

vu

x

uu

x

pKx

t D

u D ).().()( 22

z

wv

y

v

x

uvv

y

pKy

t D

v D ).()(.)( 2

2 (27)

z

w

y

vw

x

uww

z

pKz

t D

w D 2

2 )(.).().(


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Una comparación de las ecuaciones anteriores con las correspondientes al flujo laminar, muestra que ambasson formalmente idénticas, a excepción de aquellos términos que surgen de productos de las fluctuaciones delas componentes de la velocidad. El análisis dimensional de esos términos da como unidad fuerza/superficie, yen consecuencia esto sugiere que una forma apropiada es considerar al flujo turbulento con valores mediostemporales como un flujo laminar con la presencia de fuerzas adicionales que tienen su origen en laturbulencia. Estas fuerzas son llamadas fuerzas aparentes y tienen las siguientes expresiones:

..).().()(

)(2

dVol z

wu

y

vu

x

uapdfx

...()(.)(

.)(2

dVol z

wv

y

v

x

uvapdfy

(28)

..)(.).().(

.)(2

dVol z

w

y

vw

x

uwapdfz

Las 9 tensiones asociadas a estas fuerzas se denominan tensiones aparentes o tensiones de Reynolds , yconforman las componentes de un tensor denominado tensor de tensiones aparentes de Reynolds,

)()()(

)()()(

)()()(

.

wwvwuw

wvvvuv

wuvuuu

ap

ZZ ZY ZX

YZ YY YX

XZ XY XX

(29)

5. Manifestación de la tensión aparente, viscosidad turbulenta o de remolino.

Aunque así planteado el concepto de tensión aparente del flujo turbulento pareciera en cierto modo arbitrario ycarente de sustento físico, un análisis comparativo de los mecanismos que generan las tensiones debidas a lafricción en el flujo laminar permite descubrir algunas analogías entre ambos tipos de tensiones. En los flujoslaminares existe un movimiento molecular aleatorio que macroscópicamente se observa como un movimiento de

moléculas perfectamente ordenado sobre el que se superpone un movimiento o fluctuaciones moleculares al azar.Esto sumado a las fuerzas de cohesión molecular que son acciones microscópicas se manifiesta o se hacen sentircomo una tensión tangencial entre las capas fluidas. La relación entre la tensión tangencial y los gradientes delcampo de velocidades lleva a introducir el concepto de viscosidad absoluta o dinámica que es de origenesencialmente molecular.En un flujo turbulento existe también un flujo medio temporal bien ordenado al que se superpone una fluctuación alazar de partículas o elementos fluidos de carácter macroscópico, cuyo efecto es similar a la acción molecular delos flujos laminares. Esto provoca también un efecto macroscópico pero de naturaleza diferente y de carácter masgrosero que se manifiesta como un valor medio temporal que llamamos tensión aparente. A igual que en el flujolaminar, la tensión aparente se puede relacionar con el campo de velocidades y obtener una propiedad mediatemporal análoga a la viscosidad molecular. Dicha analogía conduce a la definición de un coeficiente deintercambio turbu lento de cantidad de movimiento llamado también viscos idad turbulenta o de remolino Para determinar la viscosidad turbulenta se puede partir de las ecuaciones de NS, considerando un flujo turbulentoestacionario y bidimensional cuya componente “x” se escribe:


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11

y

uv

x

uu

y

u

x

p

y

uv

x

uu

)().( (30)

Usualmente se ignora la variación longitudinal de la intensidad turbulenta, uu , y la (30) se escribe:

)(t l

y x

puv

y

u

y x

p

y

uv

x

uu

(31)

Siendo y

ul

la fricción laminar o molecular y uvt la fricción turbulenta. Por analogía con la

ecuación que define la fricción laminar, se define un coeficiente de intercambio turbulento de cantidad demovimiento viscosidad turbulenta como :

y

uuv t t

de donde resulta

yu

uvt

(32)

Debe señalarse que mientras la viscosidad molecular es una propiedad constitutiva que depende de laspropiedades termodinámicas locales del fluido, la viscosidad turbulenta viene determinada por las condiciones

locales del flujo mismo ( u , v y yu ) y la densidad del fluido. En un flujo turbulento próximo a una paredsólida estacionaria, se pueden identificar varias regiones gobernadas por diferentes fenómenos. En la zona muycercana a la pared denominada subcapa laminar , la pared amortigua las fluctuaciones de las partículas y lafricción molecular es predominante. En esta región el perfil de velocidades es lineal lo que implica que:

cte y

u

(33)

Entre esta y el flujo irrotacional se desarrolla el flujo turbulento propiamente dicho donde resulta posiblediferenciar tres regiones con distinto comportamiento, denominadas región interna, región de transición yregión externa.

Figura Nº4- Regiones de una capa límite turbulenta.


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6. Concepto físico de las tensiones de Reynolds .

El mecanismo físico asociado a las tensiones de Reynolds puede ser explicado del siguiente modo Un flujo decorte turbulento tiene une distribución de velocidades media temporal que no es uniforme. Debido a la turbulenciade la corriente, pequeñas masas fluidas M1 y N1 intercambian su posición en dirección transversal a la corrienteprincipal, y cada una de ellas tienda a conservar su cantidad de movimiento. Luego del intercambio M2 tiende aacelerar al fluido en el que está inmerso y que se mueve mas lentamente, e inversamente N2 trata de decelerar alfluido en que está inmerso y que se mueve mas rápidamente. El resultado neto de este intercambio de cantidad de

movimiento es una tensión tangencial XY en la coordenada ”y” actuando en dirección “x

Bibliografía:1. Fluid Dynamics-_MIT Courses- Ascher H. Shapiro.2. Aerodynanics Theory – W. F. Durand, Vol III, Division G-The mechanicas of Viscous Flow- L. Prandtl.3. La mecánica de los Fluidos -Irving. H. Shames

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