MEMOIREvrpg.univ-skikda.dz/recherchePG/theses_memoires/Fac_ Tech... · 2017-01-15 · V Résumé Ce...

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE 20 AOUT 1955 -SKIKDA

Faculté des sciences et sciences de l’ingenieur

Département de Genie Civil

Option

Géotechnique et Géomécanique

MEMOIRE

Présenté en vue de l’obtention du diplôme de MAGISTERE

ETUDE DU COMPORTEMENT D’UN SOL

COHERENT SOUS CHARGEMENT MONOTONIQUE ET CYCLIQUE

Par

IHCENE LAMRI

DEVANT LE JURY

PRESIDENT :

ENCADREUR : M. BELACHIA

M. HAMAMI

Professeur

Professeur Universite de Skikda

Universite de Skikda

EXAMINATEURS : M. HIDJEB M.Conférence Universite de Skikda

S.MESSASAT M.Conférence Universite de Skikda

M.MEKSAOUINE M.Conférence Universite de Annaba

Année 2008

Table des matières Table des matières ............................................................................................................ I Remerciemnts ................................................................................................................ IV Resumé ............................................................................................................................V Abstract ......................................................................................................................... VI Resumé(Arabe) .............................................................................................................VII Liste des figures .......................................................................................................... VIII Liste des tableaux .......................................................................................................... XI Notations ......................................................................................................................XII Introduction générale ................................................................................................. XIV Chapitre 1 Etude Bibliographique .................................................................................. 1

1 Introduction ........................................................................................................................ 1

2 Contraintes et déformations dans les sols .......................................................................... 2 2.1 État de contraintes en un point d’un milieu continu ..................................................................... 2

2.1.1 Tenseur des contraintes ....................................................................................................... 2 2.1.2 Représentation de Mohr. Cercle de Mohr ............................................................................ 4 2.1.3 Représentations de Lambe et de Cambridge......................................................................... 4 2.1.4 Contraintes totales et contraintes effectives ......................................................................... 5

2.2 État de déformation en un point d’un milieu continu ................................................................... 8 2.3 Relations entre contraintes et déformations ................................................................................. 8

3 Résistance et rupture des sols ............................................................................................. 9 3.1 Modes de rupture ....................................................................................................................... 9 3.2 Définition de la rupture du sol .................................................................................................. 10

4 Comportement drainé et non drainé d’un sol ................................................................. 11 4.1 Introduction ............................................................................................................................. 11 4.2 Comportement drainé ............................................................................................................... 11 4.3 Comportement non drainé ........................................................................................................ 12

5 Résistance au cisaillement des sols cohérents .................................................................. 12 5.1 Comportements drainé et non drainé ........................................................................................ 12

5.1.1 Caractéristiques drainées ................................................................................................... 13 A. Principaux types d’essais ................................................................................................. 13 B. Essai CD .......................................................................................................................... 13

5.1.2 Caractéristiques non drainées ............................................................................................ 14 A. Principaux types d’essais triaxiaux ................................................................................... 14 B. Essai UU .......................................................................................................................... 14 C. Essai CU .......................................................................................................................... 15

6 Facteurs influants sur la résistance au cisaillement ........................................................ 17 6.1 Essai monotonique ................................................................................................................... 17

6.1.1 Introduction ...................................................................................................................... 17 6.1.2 Effet de la vitesse de chargement ....................................................................................... 17 6.1.3 Effet de la surconsolidation ............................................................................................. 19 6.1.4 Dilatance........................................................................................................................... 20 6.1.5 Coefficient de Skempton ................................................................................................... 21

6.2 Essai cyclique .......................................................................................................................... 22 6.2.1 Introduction ...................................................................................................................... 22 6.2.2 Effet du rapport τ / cu ........................................................................................................ 22 6.2.3 Effet de la fréquence ........................................................................................................ 23 6.2.4 Effet de la variation de la pression de confinement ............................................................ 24

Chapitre 2 Pratique des éléments finis en géotechniques ......................................................... 25 1 La méthode des éléments finis .......................................................................................... 25

1.1 Introduction ............................................................................................................................. 25 1.2 Concept de base ....................................................................................................................... 26 1.3 Définition de la méthode des éléments finis .............................................................................. 26 1.4 Principe de discrétisation .......................................................................................................... 26 1.5 Intégration numérique .............................................................................................................. 27 1.6 Technique de résolution ........................................................................................................... 28 1.7 Eléments géométriques ............................................................................................................ 28

2 Présentation du code éléments finis PLAXIS ................................................................... 29 2.1 Introduction ............................................................................................................................. 29 2.2 Présentation du Plaxis .............................................................................................................. 29 2.3 Options par défaut .................................................................................................................... 29

2.3.1 Entrée des données ............................................................................................................ 29 2.3.2 Comportement du sol ........................................................................................................ 30 2.3.3 Fonctions des calculs......................................................................................................... 30 2.3.4 Analyse des résultats ......................................................................................................... 30

2.3 Les modèles de comportements intégrés dans Plaxis ................................................................ 30 2.3.1 Introduction ...................................................................................................................... 31 2.3.2 Lois de comportement élastoplastique ............................................................................... 31

A. Modèle élastique linéaire .................................................................................................. 31 B. Modèle de Mohr-Coulomb ................................................................................................ 31 C. Modèle de sol avec écrouissage (Hardening Soil Model, HSM) ......................................... 33 D. Modèle pour sols "mous" (Soft Soil Model, SSM) ............................................................. 36 E. Modèle pour sols "mous" avec effet du temps (Soft Soil Creep Model, SSCM) .................. 39

3 Conclusion ......................................................................................................................... 41

Chapitre 3 Etude expérimentale ............................................................................................... 42 1 Etude expérimentale ......................................................................................................... 42

1.1 Introduction ............................................................................................................................. 42 1.2Essais à l’appareil triaxial .......................................................................................................... 42

1.2.1 Appareillage ..................................................................................................................... 42 1.2.2 Matériau utilisé ................................................................................................................. 44 1.2.3 Préparation de l’argile dans l’œdometre’ .......................................................................... 45

1.3 synthèse sur les essais réalisés .................................................................................................. 45

Chapitre 4 Etude numérique des essais réailiés........................................................................ 47

1 Chargement monotonique ................................................................................................ 47 1.1 Introduction ............................................................................................................................. 47 1.2 Définition des données ............................................................................................................. 48

1.2.1 La géométrie du modèle .................................................................................................... 48 1.2.2 Condition aux limites et chargement .................................................................................. 49 1.2.3 Caractéristiques mécanique de l’argile considérée ............................................................. 49 1.2.4 Génération du maillage ..................................................................................................... 51 1.2.5 Conditions initiales ........................................................................................................... 51

1.3 Procédure de calcul .................................................................................................................. 53 1.4 Présentation et discussion des résultats ..................................................................................... 54

2 Chargement cyclique ........................................................................................................ 61 2.1 Introduction ............................................................................................................................. 61 2.2 Définition des données ............................................................................................................. 61

2.2.1 La géométrie du modèle .................................................................................................... 62 2.2.2 Condition aux limites et chargement .................................................................................. 62 2.2.3 Caractéristiques mécanique de l’argile considérée ............................................................. 63 2.2.4 Génération du maillage ..................................................................................................... 65 2.2.5 Conditions initiales ........................................................................................................... 65

2.3 Procédure de calcul .................................................................................................................. 66 2.4 Présentation et discussion des résultats ..................................................................................... 67

Chapitre 5 Conclusions et recommandations pour des travaux de recherches futurs ............. 71

1 Conclusions ....................................................................................................................... 71 2 Recommandations pour des travaux de recherches futurs ............................................. 73

Réferénces .........................................................................................................................

IV

Remerciements En premier je remercie Dieu pour tout. Je remercie tout particulièrement le professeur Mounir Hamami, mon Directeur de mémoire, qui a dirigé mon travail et dont les précieuses orientations et conseils m’ont soutenu tout au long de mes travaux de recherche. Je remercie également le président et les membres de jury d'avoir accepté d'examiner mon travail.

V

Résumé Ce travail a pour objet l'étude numérique du comportement des sols cohérents sous un chargement monotonique et cyclique. Notre but est donc de valider un modèle de comportement, en montrant qu’il permet de prédire avec une fiabilité acceptable le comportement des sols cohérents sous un chargement monotonique et cyclique. L’étude expérimentale, dont les résultats ont été utilisés comme référence dans ce travail, est une étude au triaxial réalisée sur une argile non consolidée non drainée avec mesure de pression interstitielle. Par souci de fiabilité de mesure des pressions interstitielles, les essais monotoniques et cycliques ont été réalisés respectivement à des vitesses de chargement lentes et à une basse fréquence. Une validation numérique des essais triaxiaux réalisés par M. Hidjeb, en utilisant le modèle parabolique d’écrouissage (HSM) implémenté dans le code Plaxis. De cette étude, il est ressort une bonne concordance entre le modèle et les essais expérimentaux. Mots-clefs Essai triaxial, chargement monotonique, chargement cyclique, argile, pression interstitielle, Plaxis, HSM.

VI

Abstract This work aims to study the behaviour of soil under monotonic and cyclic loading. Our goal is to validate a model showing that it can predict with reliability the behaviour of the soil under a monotonic and cyclic loading. The experimental study of which the results were used in this work is a study under triaxial loading. The tests were carried out on unconsolidated undrained clay under monotonic and cyclic loading with pore water pressure measurements. For the sake of reliability of the measurements of pore water pressures, monotonic and cyclic tests were respectively carried out at very slow speeds and at low frequency. A validation of experimental results work realised by M.Hidjeb was by using HSM model. For this purpose comercial Plaxis software was used. In this study, a good agreement between the experimental and theoretical studies has been observed. Keywords Triaxial test, monotonic loading, cyclic loading, clay, pore pressure, Plaxis, HSM.

VII

ــــالصــةالخ .ةيردوتحت تأثير عامــل قوى ثابتة أو الصلصال سلـوك تربـةل دية عد يهدف هذا العمل الى دراسة

الصلصال سلوك تربة ةموثوقي بكل نبرهنأنه يمكن أن همن خالل ننبي نموذجا صحة وجودن هدفنا هو اثبات ذا . ةيردو أو ثابتة قوى عامــل تأثير تحت

صلصال على تريكسيال في أجريت ةدراس يهفي هذا العمل جعرمك استخدمت اهنتائج التي التجريبية ةالدراسل تحت تأثير عامــ تجارب الضغوط هذهلقياس . ةقياسات ضغط المياه المساميمع . جاف غيرو ضغوطمغير

.منخفض ترددبو جدا ةئيبط بسرعة أنجزت ةيردوقوى ثابتة أو في دجاوالمت(HSM) باستخدام نموذج جبيح .م فرط من ةالمنجز التجريبيةنتائج ال صحةمن ناتحقق

.عليها المتحصل النتائجمع مناقشة بالكسيس . والتجريبية ةالنظري ةالدراس بين جيد توافق ، ةالدراس هذه في لوحظ وقد حتيفامال اتلمكال ،HSM ، يةهتنصرالمانالعطريقةالصلصال ، ، ةيردو عامــل قوى، عامــل قوى ثابتة ،تريكسيال

.التربة الصلبة نموذج، بالكسيس

Liste des figures Figure 1-1 État de contraintes en un point d’un milieu continu. ................................................... 3 Figure 1-2 Représentation de Mohr : états de contraintes possibles. ........................................... 4 Figure 1-3 Les chemins de contraintes dans les représentations de Lambe et de Cambridge. ................................................................................................................................. 6 Figure 1-4 Contraintes totales et contraintes effectives. ............................................................... 7 Figure 1-5 Courbe effort-déformation dans un essai de cisaillement. ........................................ 10 Figure 1-6 Essai consolidé drainé à l’appareil triaxial. ............................................................. 13 Figure 1-7 Etat de contraintes initial ......................................................................................... 14 Figure 1-8 Mise en compression isotrope .................................................................................. 14 Figure 1-9 Etat de contraintes à la rupture. ............................................................................... 15 Figure 1-10 Essais non drainés sur sol normalement consolidé. ................................................ 16 Figure 1-11 Essais non drainés sur sol surconsolidé. ................................................................ 17 Figure 1-12 Déviateurs de contrainte maximum à la rupture en fonction du temps sous condition non drainé (Bjerrum et al 1958) ......................................................................... 18 Figure 1-13 Effet de la vitesse de chargement (Bjerrum et al 1958) ........................................... 19 Figure 1-14 Illustration de la contrainte verticale de préconsolidation en relation avec la contrainte verticale in-situ 0

0vyy ............................................................................ 20

Figure 1-15 Comparaison des resistances au cisaillement sous chargement cyclique à 10% de déformation axiale sous différentes frequences ( Khaffaf 1978) .................................. 23 Figure 2-1 Eléments géométriques. ........................................................................................... 28 Figure 2-2 Types de maillage. ................................................................................................... 28 Figure 2-3 Définition du module à 50% de la rupture. ............................................................... 32 Figure 2-4 Surface de rupture du modèle de Mohr-Coulomb pour un sol sans cohésion. ................................................................................................................................... 33 Figure 2-5 Représentation du Hardening Soil Model. ................................................................ 34 Figure 2-6 Forme des surfaces de charge du HSM. ................................................................... 34 Figure 2-7 Surface de rupture du modèle HSM pour un sol sans cohesion. ................................ 35 Figure 2-8 Définition du module oedométrique tangent. ............................................................ 36 Figure 2-9 Définition de l’angle de dilatance. ........................................................................... 36 Figure 2-10 Représentations de l'essai oedométrique ................................................................ 37 Figure 2-11 Surfaces de charge elliptiques. ............................................................................... 38 Figure 2-12 L'effet du temps sur les essais oedométriques ......................................................... 39 Figure 2-13 Diagramme des cercles peq dans le plan p - q ......................................................... 40 Figure 3-1 Appareil de compression triaxial. ............................................................................ 43 Figure 3-2 Courbe contrainte- déformation. .............................................................................. 44 Figure 3-3 Détermination de la droite intrinsèque d’un sol. ...................................................... 44 Figure 3-4 La courbe granulometrique de l’argile de Cowden. ................................................. 45 Figure 4-1 (a), (b) Fenêtre des données générales de l’essai triaxial (1,2) sous chargement monotonique .......................................................................................................... 48 Figure 4-2 Modèle géométrique de l'essai triaxial sous chargement monotonique. .................... 48 Figure 4-3 (a), (b) Fenêtre des paramètres du modèle HSM de l’essai 1 sous chargement monotonique........................................................................................................... 50 Figure 4-4 (a), (b) Fenêtre des paramètres du modèle HSM de l’essai 2 sous chargement monotonique........................................................................................................... 51 Figure 4-5 Maillage de la géométrie. ....................................................................................... 51 Figure 4-6 Conditions hydrauliques initiales. ............................................................................ 52 Figure 4-7 Génération des pressions interstitielles initiales. ...................................................... 52

Figure 4-8 Génération des contraintes effectives. ...................................................................... 53 Figure 4-9 Les différentes étapes de calcul de l’essai triaxial sous chargement monotonique. ............................................................................................................................. 53 Figure 4-10 (a), (b) Déformation du maillage (essai 1,2) sous chargement monotonique. ............................................................................................................................. 54 Figure 4-11 (a), (b) Déformation verticale (essai 1,2) sous chargement monotonique.. ............. 55 Figure 4-12 (a), (b) Contraintes effectives (essai 1,2) sous chargement monotonique.. .............. 55 Figure 4-13 (a), (b) Surpression interstitielle (essai 1,2) sous chargement monotonique.. ............................................................................................................................ 56 Figure 4-14 Courbes de variation du déviateur de contrainte en fonction de la déformation axiale sous chargement monotonique obtenues expérimentalement et par simulation numérique (essai 1). ................................................................................................. 57 Figure 4-15 Courbes de variation du déviateur de contrainte en fonction de la déformation axiale sous chargement monotonique obtenues expérimentalement et par simulation numérique (essai 2). ................................................................................................. 58 Figure 4-16 Courbes de variation de la pression interstitielle en fonction de la déformation axiale sous chargement monotonique obtenu expérimentalement et par simulation numérique (essai 1). ................................................................................................. 59 Figure 4-17 Courbes de variation de la pression interstitielle en fonction de la déformation axiale sous chargement monotonique obtenu expérimentalement et par simulation numérique (essai 2). ................................................................................................. 59 Figure 4-18 Chemin de contrainte dans les axes de Lambe (s,t) sous chargement cyclique obtenu expérimentalement et par simulation numérique (essai 1) .................................. 60Figure 4-19 Chemin de contrainte dans les axes de Lambe (s,t) sous chargement cyclique obtenu expérimentalement et par simulation numérique (essai 2) ................................... 60Figure 4-20 Chemin de contraintes effectives sous chargement non drainé de l’argile selon D.W Hight (1982) [34]. ................................................................... 61 ״Lower Cromer Till״Figure 4-21 (a), (b) Fenêtre des données générales de l’essai triaxiale sous chargement cyclique. ................................................................................................................. 62 Figure 4-22 Modèle géométrique de l'essai triaxial sous chargement cyclique........................... 62 Figure 4-23(a), (b) Fenêtre des paramètres HSM de l’essai cyclique avant changement des caractéristiques de sol. .................................................................................... 64 Figure 4-24 (a), (b) Fenêtre des paramètres HSM de l’essai sous chargement cyclique après changement des caractéristiques de sol. ........................................................................... 65 Figure 4-25 Maillage de la géométrie ....................................................................................... 65 Figure 4-26 Génération des pressions interstitielles initiales. .................................................... 66 Figure 4-27 Génération des contraintes effectives. .................................................................... 66 Figure 4-28 Les différentes étapes de calcul de l’essai triaxial sous chargement cyclique. .................................................................................................................................... 67 Figure 4-29 Courbes de variation du déviateur de contrainte en fonction du temps sous chargement cyclique obtenues expérimentalement et par simulation numérique. ............. 68 Figure 4-30 Courbes de déformation axiale en fonction du temps sous chargement cyclique obtenues expérimentalement et par simulation numérique.......................................... 68 Figure 4-31 Courbes de variation de la pression interstitielle en fonction du temps sous chargement cyclique obtenues expérimentalement et par simulation numérique. .............. 69 Figure 4-32 Chemin de contrainte dans les axes de Lambe (s,t) sous chargement cyclique obtenu expérimentalement et par simulation numérique. ..................................... 70

Liste des tableaux

Tableau 3-1 Les essais de compression réalisés sous chargement monotonique ......................... 46 Tableau 3-2 L’essai réalisé sous chargement cyclique .............................................................. 46 Tableau 4-1 Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM de l'essai 1 sous chargement monotonique. .................................................................................................. 49 Tableau 4-2 Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM de l'essai 2 sous chargement monotonique. .................................................................................................. 50 Tableau 4-3 Comparaison du déviateur développé à la rupture ................................................. 57 Tableau 4-4 Coparaison de Δumax et Δuinter ............................................................................... 57 Tableau 4-5 Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM pour l'essai sous chargement cyclique avant changement des caractéristiques de sol. .................................. 63 Tableau 4-6 Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM pour l'essai sous chargement cyclique après changement des caractéristiques de sol. .................................. 64

XII

Notations Lettres latines A : Coefficient de Skempton pour la variation de la pression interstitielle due à la variation du déviateur de contrainte B : Coefficient de Skempton c’ : Cohésion effective cu : Cohésion non drainé cv : Coefficient de consolidation E : Module de Young E50

ref : Module sécant Eur

ref : Module de déchargement Eoed

ref : Module œdometrique K0

nc : Coefficient des terres au repos pour un sol normalement consolidé K0 : Coefficient de pression des terres au repos m : Puissance M : Pente de la courbe d’état critique dans le plan (p,q) p : Contrainte moyenne pref : Contrainte de référence q : Déviateur des contraintes Rf : Coefficient à la rupture s : Contrainte moyenne de Lambe t : Contrainte déviatorique de Lambe u : Pression interstitielle Δu : Surpression interstitielle Δσ : Variation de la contrainte normale Δuinter :Surpression interstitielle déterminée à l’intersection des courbes expérimentales et théoriques Lettres grecques τ : Contrainte tangentielle τ/cu : Contrainte tangentielle appliquée dans le chargement cyclique rapportée à la

résistance au cisaillement determinée sous chargement monotonique σ' : Contrainte moyenne ε1 : Déformation axiale σ3 : Contrainte principale mineur σ1 : Contrainte principale majeur σ'xx : Contrainte normale effective selon l’axe xx σ'yy : Contrainte normale effective selon l’axe yy φ' : Angle de frottement interne effective λcu : Taux d'augmentation de cu σp : Pression de préconsolidation du sol Ψ : Angle de dilatance ν : Coefficient de Poisson νur : Coefficient de Poisson en charge-décharge λ* : Indice de compression

XIII

κ* : Indice de gonflement µ* : Indice de fluage Abréviations HSM : Modèle de sol avec écrouissage (Hardening Soil model). MC : Modèle de Mohr Coulomb. MEF : Méthode des éléments finis. OCR : Degré de surconsolidation. SSM : Soft Soil Model. SSCM : Soft Soil Creep Model. UU : Non consolidé non drainé. CD : Consolidé drainé. CU : Consolidé non drainé.

XIV

Introduction générale

La Géotechniques est l'ensemble des activités liées aux applications de la mecanique des sols, de la Mécanique des Roches et de la Géologie de l'ingénieur. La Mécanique des Sols étudie plus particulièrement le comportement des sols sous leurs aspects résistance et déformabilité.

Le comportement mécanique d’un sol est en grande partie contrôlé par sa résistance au cisaillement. L’étude du comportement mécanique d’un sol, ou encore son comportement en contrainte-déformation permet en autres, de déterminer sa charge portante sous des sollicitations induites par une structure ou un ouvrage. L'analyse de la résistance au cisaillement d'un sol est nécessaire pour calculer la stabilité externe des ouvrages ; par exemple, les murs de soutènement, les pentes et/ou talus naturels ou artificiels, etc.

Dans ce mémoire, nous allons simuler des essais triaxiaux non consolidés non drainés en choisissant un modèle de comportement pour mieux simuler le comportement des sols cohérents sous chargements triaxiaux monotoniques et cycliques.

Dans le premier chapitre, une étude théorique de la résistance au cisaillement contenant des notions de contraintes et de déformations faisant partie des connaissances acquises dans toutes les études techniques est présentée. Un aperçu sur la résistance au cisaillement des sols cohérents sous chargement monotonique et cyclique est également présenté dans ce chapitre. L’utilisation de l’appareil triaxial permet de réaliser des essais sur une argile non consolidée non drainée garantissant la maîtrise totale des conditions de drainage sans imposer un plan de rupture.

Le deuxième chapitre, sera consacré à la présentation de la méthode des éléments finis ainsi que du logiciel Plaxis et les modèles de comportement, employés dans les simulations numériques. Tout d’abord, une étude théorique de la méthode des éléments finis sera présentée; elle sera suivi d’un bref aperçu sur quelques modèles avancés utilisés dans le code Plaxis tel que le M-C (Mohr-Coulomb), HSM (Hardening Soil Model), le SSM (Soft Soil Model) et SSCM (Soft Soil Creep Model).

Le troisième chapitre contiendra les données expérimentales réalisées par M. Hidjeb.

La validation du modèle choisi et la présentation des résultats en confrontant ses prédictions aux résultats expérimentaux, seront exposées dans le quatrième chapitre.

Le dernier chapitre, sera consacré à la présentation des conclusions des travaux réalisés dans cette étude.

Chapitre 1 Etude bibliographique

1

Chapitre 1 : Etude bibliographique 1 Introduction Dans une masse de sol, les déformations résultent principalement d'un glissement ou roulement entre les particules constituant le sol. Généralement les déformations dues au cisaillement se localisent le long d'un plan appelé plan de glissement, qui à la limite constitue un plan de rupture. La résistance au cisaillement peut être définie comme la contrainte de cisaillement sur le plan de rupture, au moment de la rupture. L'évaluation de la contrainte de cisaillement est nécessaire dans la plus part des problèmes de stabilité des sols (capacité portante des fondations, stabilité des talus, murs de soutènement ...).


2

2 Contraintes et déformations dans les sols Les notions de contraintes et de déformations font partie des connaissances acquises

dans toutes les études techniques et le présent article est limité au rappel des définitions et des principaux résultats utilisés pour l’étude de la résistance au cisaillement des sols [1i].

2.1 État de contraintes en un point d’un milieu continu 2.1.1 Tenseur des contraintes

L’état de contraintes en un point M d’un milieu continu est complètement défini par le tenseur à six composantes :

zyzxz

yzyxy

xzxyx

(1.1)

dont on utilise souvent la représentation dans le repère des directions principales :

(1.2)

Les trois contraintes principales majeure σ1, intermédiaire σ2 et mineure σ3 ne

déterminent pas de façon complète l’état de contraintes au point M, qui dépend aussi de l’orientation des axes principaux (par exemple, des trois cosinus directeurs de la contrainte principale majeure).

Le tenseur des contraintes est souvent décomposé en la somme d’un tenseur sphérique S et d’un tenseur déviatorique D : DS (1.3)

100010001

m

mzyzxz

yzmyxy

xzxymx

(1.4)

Le terme σm est la moyenne arithmétique des termes de la diagonale du tenseur des contraintes (premier invariant), appelée contrainte moyenne (ou contrainte moyenne octaédrique σoct ) :

3

2

1

000000


3

33

321

zyx

m (1.5)

Le tenseur déviatorique a une trace nulle et est souvent représenté par le déviateur

des contraintes, noté q et égal au second invariant du tenseur déviatorique. En termes de contraintes principales, ce déviateur des contraintes est égal à :

6

213

232

221

q (1.6)

Le vecteur de contrainte f

s’exerçant sur un plan Π passant par le point M, plan repéré par les cosinus directeurs de sa normale n (figure 1.1a), est égal à : nf

(1.7)

Le vecteur de contrainte f

peut être représenté par ses projections sur la normale n (contrainte normale σ) et sur le plan Π (contrainte tangentielle τ).

Figure 1.1 - État de contraintes en un point d’un milieu continu.


4

2.1.2 Représentation de Mohr. Cercle de Mohr La représentation des variations de σ et τ quand le plan Π tourne autour du point M

est équivalente à la donnée du tenseur des contraintes à six composantes . Le point F de coordonnées (σ, τ) est tel que fOF

et l’angle (Oσ, OF) est égal à l’angle α du vecteur

contrainte f

avec la normale au plan Π (figure 1.1 b). Cette représentation, dite de Mohr, est très utilisée pour l’étude de la résistance au cisaillement des sols à cause des propriétés du cercle de Mohr.

Lorsque le plan Π balaie l’ensemble des orientations possibles autour du point M, le point F de coordonnées (σ, τ) se déplace dans la zone hachurée du diagramme de la figure 1.2. Ce domaine est limité par trois cercles centrés sur l’axe des contraintes normales Oσ et dont les points extrêmes correspondent aux contraintes principales σ1, σ2 et σ3. Chacun de ces cercles est le lieu des états de contraintes (σ, τ) lorsque le plan Π tourne autour de la direction de l’autre contrainte principale (par exemple, le cercle de diamètre σ1 – σ3 correspond aux états de contraintes sur les plans Π tournant autour de la direction de la contrainte principale σ2). Le plus grand de ces cercles est appelé cercle de Mohr.

Ce cercle est très utilisé en mécanique des sols pour l’interprétation des essais de cisaillement en laboratoire et pour l’analyse des problèmes dans lesquels l’une des directions principales reste constante (calculs bidimensionnels, par exemple) [1i].

Figure 1.2 - Représentation de Mohr : états de contraintes possibles. 2.1.3 Représentations de Lambe et de Cambridge.

Dans la plupart des problèmes de mécanique des sols, l’état de contraintes varie au cours du temps et il est important de pouvoir représenter simplement ces variations. La représentation de Mohr, dans laquelle à chaque état de contraintes correspond un cercle, n’est pas utilisable en pratique et d’autres représentations ont dû être recherchées.

Deux d’entre elles sont fréquemment utilisées, celle de Lambe et celle de Roscoe et de ses collaborateurs à l’université de Cambridge [1i].


5

La représentation de Lambe est équivalente à celle de Mohr, en ce sens qu’elle remplace un cercle de Mohr par son sommet, de coordonnées :

2/31 s (1.8)

2/31 t (1.9) La représentation de Cambridge utilise la contrainte moyenne σm, notée p, et le

déviateur des contraintes q. Elle permet donc de prendre en compte l’influence de la contrainte principale intermédiaire σ2. Néanmoins, pour certaines applications, les expressions se simplifient ; ainsi, pour l’analyse des essais triaxiaux, on a toujours σ2 = σ3 d’où :

(1.10)

(1.11)

On appelle chemin de contraintes l’ensemble des points représentant les états de

contraintes successifs d’un point du milieu continu considéré. La figure 1.3 montre quelques chemins de contraintes dans les deux représentations de Lambe (figure 1.3 a) et de Cambridge (figure 1.3 b). 2.1.4 Contraintes totales et contraintes effectives Suivant les circonstances, différents systèmes de contraintes sont utilisés pour l’étude des problèmes de mécanique des sols. Dans les sols saturés, on distingue classiquement :

– les contraintes totales ; – les pressions interstitielles 1u ; – les contraintes effectives 1 u

32 31 p

31 q


6

Figure 1.3 – les chemins de contraintes dans les représentations de Lambe et de Cambridge.

Les définitions données dans les paragraphes précédents peuvent être appliquées

aux contraintes totales comme aux contraintes effectives. Dans la représentation de Mohr, les cercles de Mohr en contraintes effectives se

déduisent des cercles de Mohr en contraintes totales par une translation d’amplitude égale à la pression interstitielle u, parallèlement à l’axe des contraintes normales (figure 1.4 a).On a en effet :

u (1.12)

(1.13)

Dans les représentations de Lambe et de Cambridge, les points et les chemins de contraintes effectives se déduisent également des états et chemins de contraintes totales par une translation de u parallèlement à l’axe des s (ou des p). Des exemples de chemins de contraintes totales et effectives sont représentés sur les figures 1.4 b et c. Ces exemples illustrent l’existence des relations : uss (1.14) tt (1.15) upp (1.16) qq (1.17) entre les contraintes totales et effectives.

Dans les sols secs, la pression interstitielle n’existe pas et l’on utilise un seul système de contraintes. On peut formellement définir des contraintes effectives identiques aux contraintes totales et une pression interstitielle identiquement nulle.

Dans les sols fins non saturés, l’existence de forces capillaires variables avec le degré de saturation rend inopérante la notion de contrainte effective. En l’absence de


7

modèle mieux adapté, on analyse la résistance au cisaillement en termes de contraintes totales.

Figure 1.4 - Contraintes totales et contraintes effectives.


8

2.2 État de déformation en un point d’un milieu continu Dans les conditions habituelles de la mécanique des sols, où les déformations restent

petites (au plus de 10 à 20 %), l’état de déformation en un point peut être caractérisé par le tenseur des déformations :

(1.18)

Les six composantes du tenseur des déformations s’expriment en fonction des

composantes (u, v, w) du vecteur de déplacement par les relations : xux yuxvxy

yy v zvyvyz (1.19)

zz w xwzuxz

Il existe également trois directions principales orthogonales, par rapport auxquelles le tenseur des déformations s’écrit sous la forme :

(1.20)

Les déformations ε1, ε2 et ε3 sont appelées déformations principales. La déformation volumique εvol est égale à la trace du tenseur des déformations :

(1.21)

2.3 Relations entre contraintes et déformations

La description du comportement d’un milieu continu sollicité par des forces de volume ou de surface suppose la connaissance :

– de la loi de comportement, qui relie à tout instant t et en tout point du milieu le tenseur des contraintes et celui des déformations ;

– des conditions initiales et aux limites sur les contraintes et les déformations. Dans le cas des sols, la loi de comportement est particulièrement complexe. Dans

les calculs courants, par souci de simplification, on ne cherche pas à déterminer les déformations des sols jusqu’à la rupture, mais on sépare le problème des déformations de celui de la stabilité. Pour les études de stabilité, on recourt au concept de critère de

zyzxz

yzyxy

xzxyx

22

2222

3

2

1

000000

321 zyxvol


9

plasticité ou, plus exactement, de rupture, en admettant que les déformations du sol avant la rupture ont un effet négligeable sur les conditions de rupture.

La plupart des méthodes de calcul de stabilité classiques en mécanique des sols reposent sur la théorie de la plasticité. Dans cette théorie, on admet que les déformations restent petites et réversibles tant que l’on reste, dans l’espace des contraintes (espace à six dimensions), à l’intérieur d’un certain domaine. La frontière de ce domaine est appelée frontière (ou surface) d’écoulement. Dès que l’état de contraintes en un point du milieu atteint cette frontière, des déformations plastiques irréversibles apparaissent. L’équation de la frontière d’écoulement dans l’espace des contraintes est appelée critère d’écoulement ou critère de plasticité. Sa forme générale est :

0...,,, tG ijijij (1.22) car elle peut dépendre des déformations εij , des vitesses de déformation ij , du temps t, etc.

Les formes les plus simples utilisées en pratique supposent que, seules interviennent les contraintes principales, et parfois même seulement certaines d’entre elles.

Des formes plus complexes de la loi de comportement des sols ont été mises au point et sont utilisées pour les études numériques, le plus souvent par la méthode des éléments finis.

3 Résistance et rupture des sols 3.1 Modes de rupture Faute de pouvoir décrire de façon précise le comportement d’un massif de sol depuis son état initial jusqu’à la rupture, la mécanique des sols s’est inspirée des modes de rupture observés dans la nature pour développer des lois de comportement simplifiées. La nature montre l’existence de deux principaux modes de rupture :

– les ruptures par glissement sur une surface ; – les ruptures par plastification et écoulement d’une masse de sol.

La représentation de la résistance au cisaillement des sols par une relation entre la contrainte tangentielle τ et la contrainte normale σ correspond au premier mode de rupture, qui est celui qui a été mis en évidence et analysé le plus tôt. Les essais de cisaillement direct à la boîte en sont la traduction expérimentale. Les ruptures par plastification de la masse du sol sont plus difficiles à analyser et leur compréhension nécessite l’emploi de la théorie de la plasticité. Dans l’analyse de la plastification des massifs de sols, on raisonne sur les états de contraintes en chaque point, en utilisant les cercles de Mohr pour les calculs analytiques. Les essais triaxiaux, dont le développement date des années 30, s’interprètent de la même façon, en utilisant les cercles de Mohr. À part le cas des surfaces de rupture préexistantes, que l’on rencontre pour l’essentiel dans les pentes naturelles, toutes les ruptures commencent par la plastification du sol en un ou plusieurs points et évoluent, suivant les circonstances, vers une rupture par plastification d’un certain volume de sol ou vers la formation d’une surface de rupture. Les


10

recherches en cours sur la théorie de la bifurcation (création de surfaces de rupture) visent à modéliser ce dernier type de phénomène. Néanmoins, dans l’état actuel des connaissances et de la pratique, les ruptures par plastification et les glissements sur des surfaces de rupture s’analysent séparément, même si l’on peut utiliser dans les deux cas les mêmes critères de rupture. 3.2 Définition de la rupture du sol

La définition de la rupture dans un sol ne pose pas seulement un problème de choix de la cinématique de la rupture. Il faut également définir à quel moment se produit la rupture dans les essais qui servent à mesurer la résistance à la rupture du sol, que l’on appelle habituellement résistance au cisaillement.

En pratique, la rupture d’une éprouvette de sol s’apprécie d’après les déformations du sol : on trace en cours d’essai la courbe représentant la variation de la déformation du sol (déformation axiale de l’éprouvette triaxiale en fonction de la sollicitation qui l’a produite (déviateur dans l’essai de compression à l’appareil triaxial. Ces courbes ont, suivant la nature et l’état du sol, l’une des deux allures représentées sur la figure 1.5 : la courbe I présente un maximum. On admet que ce maximum τmax correspond à

l’état de rupture, la déformation continuant de croître au-delà de ε1 alors que la sollicitation appliquée diminue ou, au mieux, reste constante ;

la courbe II a une allure asymptotique : on définit arbitrairement la rupture à une valeur maximale de la déformation (τlim correspondant à εII), au-delà de laquelle le comportement de l’ouvrage est incompatible avec sa destination.

Figure 1.5 -Courbe effort-déformation dans un essai de cisaillement.


11

La forme de la courbe de déformation en fonction de la sollicitation appliquée n’est pas spécifique d’un mode de rupture : la diminution de la contrainte ou du couple appliqué au-delà d’un pic s’observe tant pour les ruptures sur surfaces de glissement que pour les ruptures par plastification de la masse du sol. Elle est, par contre, révélatrice de l’état du sol : les sables denses présentent un pic de résistance, comme les argiles à structure intacte, tandis que les sables lâches et les argiles remaniées ont habituellement un comportement de type asymptotique.

4 Comportement drainé et non drainé d’un sol 4.1 Introduction

La résistance au cisaillement d’un sol dépend de nombreux facteurs, tels que la nature et l’état du sol, mais aussi l’intensité des efforts exercés et la manière dont ces efforts sont appliqués.

Dans les sols saturés, cette résistance est liée uniquement au squelette solide du sol, puisque l’eau interstitielle n’offre aucune résistance aux efforts de cisaillement ou de distorsion. Elle ne dépend, de ce fait, que des contraintes effectives qui s’exercent aux points de contact des particules solides. Elle est donc directement influencée par les conditions d’application de ces efforts, conditions qui commandent la répartition des contraintes totales appliquées entre les phases liquide (pression interstitielle) et solide (contrainte effective) du sol, selon les relations connues :

u

Avec σ composante normale de la contrainte totale f

,

τ composante tangentielle de la contrainte totale, σ ’ composante normale de la contrainte effective f

,

τ ’ composante tangentielle de la contrainte effective, u pression interstitielle.

On distingue, de ce point de vue, deux grands types de comportement du sol : – le comportement drainé ; – le comportement non drainé.

4.2 Comportement drainé

On parle de comportement drainé d’un sol lorsque l’application de l’effort vérifie l’une des conditions suivantes : elle est suffisamment lente, compte tenu de la perméabilité du sol (en fait, de la

valeur du coefficient de consolidation (cv) du sol et de la longueur du chemin de drainage, pour n’induire à aucun moment de surpression interstitielle importante dans l’éprouvette ou dans le massif de sol

elle a duré assez longtemps pour que les surpressions interstitielles éventuelles se soient dissipées au moment où l’on veut mesurer ou calculer le comportement du sol.


12

Les surpressions interstitielles dont il est question ici sont celles qu’a provoquées l’application de la charge, en sus des pressions interstitielles existant en permanence dans le sol (distribution hydrostatique, écoulement permanent).

En l’absence d’eau, le sol a toujours un comportement de type drainé. Les surpressions interstitielles étant nulles (ou négligeables), les efforts appliqués sont transmis intégralement au squelette du sol et les contraintes induites sont des contraintes effectives. L’application de l’effort s’accompagne d’une variation de volume, plus ou moins importante selon les contraintes appliquées. Cette diminution de volume traduit un rapprochement des grains et un volume égal d’eau interstitielle est expulsé du sol au fur et à mesure du chargement.

Les caractéristiques de résistance au cisaillement du sol dans un comportement drainé sont appelées caractéristiques drainées. Elles sont représentatives du comportement du squelette solide.

4.3 Comportement non drainé

À l’opposé, dans le comportement non drainé, le chargement est assez rapide, compte tenu de la perméabilité du sol (ou de son coefficient de consolidation) et de la longueur du chemin de drainage, pour provoquer l’apparition de surpressions interstitielles qui ne peuvent se dissiper pendant la période considérée. Dans les essais de laboratoire, on reproduit cette situation en interdisant l’écoulement de l’eau interstitielle hors de l’éprouvette, ce qui impose la constance du volume du sol, quand il est saturé.

En l’absence de drainage et de variation de volume, les composantes normales des contraintes induites dans le milieu par l’application de l’effort sont transmises presque intégralement à la phase liquide, sans modification notable des contraintes normales effectives dans le squelette.

Les caractéristiques de cisaillement du sol dans un comportement non drainé sont dites caractéristiques non drainées. Elles traduisent le comportement global des deux phases solide et liquide et n’ont de signification que tant que la proportion de ces deux phases n’est pas modifiée, c’est-à-dire tant qu’il n’y a pas de drainage. 5 Résistance au cisaillement des sols cohérents 5.1 Comportements drainé et non drainé

Alors que l’on ne s’intéresse généralement qu’aux caractéristiques drainées des sols pulvérulents, on doit, dans le cas des sols cohérents, examiner l’ensemble des caractéristiques drainées et non drainées. Ces caractéristiques sont déterminées dans des essais de cisaillement effectués soit en laboratoire, soit en place.

Les caractéristiques drainées sont déterminées normalement au moyen d’essais triaxiaux consolidés drainés. On utilise aussi les essais lents (drainés) à la boîte de cisaillement (essais de cisaillement direct ou essais de cisaillement direct alterné).

Les caractéristiques non drainées sont déterminées en laboratoire, au moyen d’essais triaxiaux non consolidés non drainés et des essais consolidés non drainés.


13

5.1.1 Caractéristiques drainées A. Principaux types d’essais

Les caractéristiques drainées des sols fins cohérents sont déterminées par l’essai suivant :

−les essais de référence sont les essais triaxiaux, réalisés en compression et de types consolidé-drainé (CD)

B. Essai CD La réalisation de l’essai comporte les opérations suivantes (figure 1.6) :

−on ouvre le circuit de drainage ; −on laisse l’éprouvette se consolider sous la contrainte hydrostatique σ3 appliquée; −on applique le déviateur (σ1–σ3) à vitesse faible, en général par déformation de

l’éprouvette à vitesse de déformation axiale constante, la contrainte latérale σ3 restant constante.

Figure 1.6 - Essai consolidé drainé à l’appareil triaxial.


14

5.1.2 Caractéristiques non drainées A. Principaux types d’essais triaxiaux

Les caractéristiques non drainées sont liées à l’état du sol au début du cisaillement. On les détermine dans les types d’essais suivants : les essais triaxiaux non consolidés non drainés ; les essais triaxiaux consolidés non drainés, sans mesure de pression interstitielle,

donnent la possibilité d’imposer l’état initial du cisaillement et donc de déterminer complètement le comportement non drainé du sol ;

B. Essai UU

L’essai non consolidé non drainé (UU) s’effectue à l’aide de l’appareil triaxial ou à la boîte de cisaillement si le sol est très imperméable. L’échantillon de sol « intact » c’est-à-dire non remanié, est soumis, orifice de drainage fermé, à l’état de contrainte isotrope σ0. Puis, toujours avec les orifices de drainage fermés, on augmente jusqu'à la rupture la contrainte σ1 tout en laissant la contrainte latérale σ3 constante. La résistance au cisaillement du sol ainsi déterminée est indépendante de la valeur de la contrainte isotrope initiale.

Figure 1.7 - Etat de contraintes initial

Lors de la mise en compression isotrope de l’échantillon, on augmente les contraintes σ1 et σ3 d’une même valeur σ0. Les orifices de drainage étant fermés, cet accroissement de contrainte isotrope σ0 provoque une augmentation de la pression interstitielle. Par suite, les contraintes effectives restent inchangées et les déformations demeurent les mêmes puisque celles-ci ne dépendent que du squelette solide. L’état des contraintes est alors :

Figure 1.8 - Mise en compression isotrope

Le cisaillement se réalise sans drainage et donc à volume constant et à contrainte latérale constante (σ3= σ0). Par conséquent, la surpression interstitielle Δu qui en résulte ne dépend que du déviateur de contraintes appliqué (σ1-σ3= σ1-σ0)


15

131 ffu (1.23) L’état de contraintes effectives à la rupture (σ'1, σ'3) est donc indépendantes de la valeur de la contrainte isotrope initiale σ0.

Figure 1.9 - Etat de contraintes à la rupture.

C. Essai CU

Au cours de l’étape de consolidation, le drainage est ouvert et l’on attend que les contraintes effectives deviennent égales aux contraintes totales appliquées (surpressions interstitielles nulles). Au cours de l’étape de cisaillement, le drainage est fermé et l’on peut, si nécessaire, mesurer la pression interstitielle pendant le chargement jusqu’à la rupture (on parle alors d’essais CU avec mesure de u).

Essai non drainé sur sol normalement consolidé

Les essais non drainés sont réalisés sur un appareil triaxial en conservant un volume constant d’eau interstitielle dans l’échantillon. L’échantillon est initialement normalement consolidé, ce qui signifie que son état initial est représenté par un point de la courbe de consolidation vierge dans le plan (p’,e).

Cet état est obtenu par consolidation de l’échantillon sous une contrainte de confinement σ’1 = σ’3 choisie de la cellule triaxiale. Le cisaillement est induit par l’augmentation de σ1, σ2=σ3 restant constant. p croît donc linéairement, avec Δq/Δp = 3. (Figure 1.10). Le volume restant constant, on enregistre simultanément à l’augmentation de σ1 une mise en pression u de l’eau interstitielle. On a représenté sur la figure 1.10 le chemin des contraintes effectives suivi, dans les différents plans (q,ε1), (q/p’,ε1), (q,p), (q,p’) et (u,ε1) ; on sait aussi que v=constante. q/p’ et u croissent et atteignent leurs valeurs maximales correspondant à la rupture (q/p’=M’, point indiqué sur la figure 1.10). La rupture correspond à l’état critique pour lequel le critère de plasticité (Coulomb) est satisfait. [1]

On constate aussi que la pression p’ reste d’abord constante, puis commence à décroître. Corrélativement, q commence par croître, passe par un maximum puis décroît jusqu’à ce qu’il atteigne sa valeur à la rupture q/p’=M’. L’évolution du système peut devenir instable après le maximum de q ; dans ce cas, le milieu ne reste pas homogène et l’on observe une localisation des déformations. La répétition de cet essai pour des valeurs de v différentes fournit des chemins de contraintes effectives présentant la même allure générale. Ils sont souvent considérés comme affines entre eux.


16

Figure 1.10 - Essais non drainés sur sol normalement consolidé.

Essai non drainé sur sol surconsolidé L’échantillon utilisé est initialement confiné par une contrainte σ’1 = σ’3 inférieure à

la pression de préconsolidation correspondant à sa valeur initiale de volume spécifique v. L’essai est réalisé à drainage fermé (volume d’eau interstitielle dans l’échantillon maintenu constant).

Le cisaillement est induit par l’augmentation de σ’1 ; σ3 reste constant mais σ’3 peut varier. p croît donc linéairement, avec Δq/Δp = 3. Le volume restant constant, on enregistre simultanément l’augmentation de σ’1 et les évolution de p’ et de la pression u de l’eau interstitielle.

Le chemin des contraintes effectives est représenté (figure 1.11) dans le plan v=cste. q croît et atteint la droite q/p’=M’ puis q suit cette droite et atteint sa valeur maximale correspondant à la rupture (point d’état critique). p’ reste constant au départ, puis finalement croît jusqu’au point de rupture. La pression interstitielle u croît (légère mise en pression) puis devient fortement décroissante. Cette mise en dépression “compense” le désir du milieu de se dilater. [1]


17

Figure 1.11 - Essais non drainés sur sol surconsolidé. 6 Facteurs influant sur la résistance au cisaillement 6.1 Essai monotonique 6.1.1 Introduction

Il existe dans la littérature plusieurs types d’essais monotoniques. L’essai ayant été le plus réalisé dans les différents laboratoire de Mécanique des sols est l’essai de compression mais on peut également rencontrés des travaux sur des essais de traction. Ces derniers étant difficilement réalisables, peu de laboratoire s’y sont intéressés.

6.1.2 Effet de la vitesse de chargement

Outre la vitesse d’application de l’effort et les conditions de drainage, la résistance du sol observée dans les essais et dans les massifs de sols en place dépend de nombreux facteurs.

Dans le cas des sols fins, argileux ou organiques, la résistance au cisaillement augmente avec la vitesse de déformation, que ce soit en comportement drainé ou en comportement non drainé.

Pour tous les sols, la résistance à l’état remanié, après modification de la structure naturelle du sol, par exemple lors du prélèvement des éprouvettes soumises aux essais, diffère de la résistance du sol dans son état naturel.

La plupart des sols naturels sont anisotropes. Pour cette raison, les différents types d’essais qui permettent de mesurer la résistance au cisaillement ne donnent pas tous les mêmes résultats.

En 1846 un ingénieur français, A. Collin, comme rapporté dans la littérature [2] a identifié la relation entre le facteur temps et la résistance au cisaillement. Il a fait la référence à la résistance instantanée et à la résistance permanente du sol, qu'il a définies respectivement comme étant la résistance aux forces temporaires ne durant pas plus de 30 secondes et à la résistance permanente du sol ne variant pas en fonction du temps.


18

Depuis 1948, date à laquelle, des chercheurs [3] ont initié une étude de dynamique des sols, d’importantes recherches ont été effectuées sur l’effet de la vitesse de chargement sur la résistance au cisaillement des sols.

Les travaux menés de 1943 à 1964 à M.I.T et á l’université de Harvard [3] [4], et d'autres ont montré que dans tout les cas les sols cohérents présentent une augmentation de la résistance au cisaillement sous l’effet de l’augmentation de la vitesse de chargement

Plusieurs séries d’essais triaxiaux sur des échantillons d’argile consolidés non drainés à des vitesses de chargement variant de 1.66 à 0.00006 % ont été réalisé [5], (figure 1.12).

Figure 1.12 –Déviateurs de contrainte maximum à la rupture en fonction du temps sous condition non drainé (Bjerrum et al 1958).

Ils observèrent que la valeur maximale du déviateur de contrainte diminue avec

l'augmentation du temps nécessaire pour induire la rupture. Une série d’essais monotoniques triaxiaux de type à déformation contrôlée (0.05

%/min) a été réalisée sur une argile plastique non remaniée non drainé [6]. Ils observèrent que la résistance au cisaillement de l'argile de Drammrn en traction était seulement égale de 50% à 60% de la résistance à la compression, l’effet de la variation de la vitesse de chargement était constant (figue 1.13).

Une série d’essais triaxiaux de compression [7], sur des échantillons d’argile saturés remaniés non drainés a été réalisée en utilisant une variation de la vitesse de chargement constante.

En représentant ses résultats en termes de temps nécessaire à la rupture, et en prenant 100 minutes comme base, il observa une relation linéaire entre la force et le logarithme du temps à la rupture. (Figure 1.13).


19

Figure 1.13 – Effet de la vitesse de chargement (Bjerrum et al 1958)

6.1.3 Effet de la surconsolidation Le comportement de différents types d'argiles possédant différents coefficients de

surconsolidation (OCR variant de 1 et de 7.5) a été étudié [8]. Il a été conclue de cette étude que, sous l'effet d’un chargement donné l’argile -surconsolidé peut résister à un nombre beaucoup plus important de cycles avant de développer une déformation axiale donnée comparé à une argile normalement -consolidé.

Quand on utilise les modèles de comportement de Plaxis [9], une contrainte initiale de préconsolidation peut être prise en compte. La surconsolidation peut être prise en compte de deux façons. La première est d’introduire le coefficient de surconsolidation (OCR) c'est-à-dire le rapport de la plus grande contrainte passée atteinte, ' σ'p (figure 1.6), et la contrainte effective verticale actuelle in-situ, σ'v0

0v

pOCR

(1.24)


20

Figure 1.14 - Illustration de la contrainte verticale de préconsolidation en relation avec la

contrainte verticale in-situ 00

vyy . 6.1.4 Dilatance

Une série de constatations remarquables a permit de conclure qu’un milieu granulaire ne pouvait se déformer notablement qu’en se dilatant préalablement [10] : en effet, il faut que certains grains puissent se glisser dans les vides laissés entre les autres pour que les grains puissent bouger les uns par rapport aux autres; ceci nécessite que les pores soient de grande taille et donc que le milieu soit suffisamment dilaté lors de la déformation. Ainsi le milieu devra en général se dilater avant que la déformation n’ait pu avoir lieu.

Reynolds appela ce phénomène l’effet de dilatance. Il expliqua ainsi l’assèchement que l’on observe sur le pourtour du pied lorsqu’on pose le pied sur une plage humide; cette sensation d’assèchement est créée par l’augmentation du volume des pores, sans augmentation du volume de l’eau contenue dans les pores.

Bien entendu, un matériau granulaire peut être fabriqué à différentes densités suivant la méthode de tassement utilisé; ceci veut dire que l’effet de dilatance observé sera d’autant plus fort que la densité initiale du tas sera grande; de même, nous verrons que la déformation peut engendrer une diminution du volume total du tas, c’est-à-dire une contractance, lorsque le tas est trop lâche.

Dans la littérature, l’angle de dilatance ψ est exprimé en degré. Il est également rapporté dans la littérature que mis à part les sols très suconsolidés, les sols argileux ont tendance à montrer peu de dilatance (ψ = 0) [9].


21

6.1.5 Coefficient de Skempton Il est souvent nécessaire d'évaluer la variation ou l'excès de la pression interstitielle

Δu (Δσ1, Δσ2, Δσ3) engendrée lors d'une variation du chargement Δσ non drainé. Dans la pratique, on exprime cette relation à l'aide des paramètres de pression interstitielle [11].

(1.25)

où Δσ3 est la variation de la pression cellulaire σc, n est la porosité, Cv est la compressibilité des pores, Csq représente la compressibilité du squelette solide. Le paramètre B exprime la variation de la pression interstitielle résultant d'une variation de la pression cellulaire en absence de drainage. Cas de sols saturés Nous avons Cv = Cw et Cw/Csq = 0, car la compressibilité de l'eau est très faible par rapport à la compressibilité du squelette, d'où:

(1.26)

Cas de sols secs Il vient Cv/Csq → ∞, car la compressibilité de l'air est beaucoup plus élevée que celle du squelette de sol, d'où:

03

u (1.27)

Les sols partiellement saturés ont des valeurs de B comprises entre 0 et 1 selon le degré de saturation. La relation ci-dessus de B est très utile. En effet, dans un essai triaxial, elle permet de vérifier si l'échantillon est complètement saturé ou pas. Lorsque nous appliquons une contrainte de cisaillement ou un déviateur de contrainte Δσ = Δσ1 – Δσ3, la relation liant Δu à Δσ pour les sols élastiques est (Skempton):

(1.28)

Mais les sols sont généralement inélastiques et le coefficient de 1/3 n'est pas applicable. On le remplace par un paramètre noté A dit deuxième paramètre de Skempton. Lorsqu'il y a à la fois, une variation de la contrainte moyenne et une variation de la contrainte de cisaillement, on combine les expressions (1.24) et (1.27) pour obtenir une relation générale:

B

CnC

u

sq

v

1

1

3

13

u

313 Bu


22

(1.29)

dite équation de Skempton. Dans les conditions non drainées, elle régit la variation de la pression interstitielle en fonction de la variation des contraintes totales. Le paramètre A dépend à divers degrés: du niveau de la déformation axiale, de l'intensité de σ2, du rapport de surconsolidation, de l'anisotropie et du remaniement de l'échantillon. L'équation de Skempton et ses paramètres sont très utiles dans la pratique. Au-delà d'un seuil critique, l'excès de pression interstitielle peut être à l'origine d'une rupture. Le cas échéant, on peut prévoir une construction en plusieurs phases pour permettre de dissiper lentement la pression interstitielle en excès. Pour les essais triaxiaux les plus courants, le paramètre A est défini en fonction de l'augmentation des contraintes principales par:

vac uA / hlc uA / (1.30)

vae uA /1 vle uA /1 où l'on désigne ac: compression axiale, ae: extension axiale, lc: compression latérale et le: extension latérale. D'autres parts, on peut montrer que:

leac AA et lcae AA 6.2 Essai cyclique 6.2.1 Introduction Le comportement de l'argile soumis à des sollicitations cycliques est très important dans la conception des ouvrages de génie civil. L'action des vagues, des vents, des séismes, des machines vibrantes peuvent être à l’origine d’un grand nombre de charges cycliques horizontales ou verticales ainsi que des moments qui sont transmis au sol. D'importants compagnes d’essais en laboratoire ont été réalisées par de nombreux chercheurs [12] [13], pour étudier les effets des charges cycliques sur de petits éléments d'argile soumis à un chargement triaxial ou à l’appareil de cisaillement directe. Ils ont constaté que le comportement de l'argile dépend d'un large éventail de facteurs, notamment le type d'essai, la forme de l’onde, la fréquence, nombre de cycles et l’effet de surconsolidation. 6.2.2 Effet du rapport τ / cu Aux fins de comparaison, il a été jugé commode d'exprimer les charges cycliques comme un rapport τ / cu. Les chercheurs ont constaté que plus ce rapport est élevé, moins le nombre de cycles nécessaire pour provoquer la rupture est important.

313 ABu


23

6.2.3 Effet de la fréquence Il a été a rapporté que la vitesse de chargement avait une influence considérable sur

le comportement de la pression interstitielle de la rupture [14] et que la valeur élevée de la pression interstitielle observée durant des essais lents pourrait être dues à une consolidation secondaire. Il remarque également que durant des essais triaxiaux de compression, où le déviateur a été maintenu constant pendent plusieurs heures, la pression interstitielle continuera d’augmenter. La forme et la fréquence de l’onde de chargement utilisé sont des facteurs ayant une influence sur le comportement cyclique de l’argile

Dans d’autres travaux de laboratoire [15] [16], des échantillons d’argile soumis à des essais de chargement cyclique triaxiaux avec une fréquence constante de 1Hz. Les essais étant non drainés et à chargement contrôlé. On observa qu’une diminution de la fréquence de 2Hz à 1Hz causait une réduction de20% à de 25% de la résistance au cisaillement.

Dans une étude [17] sur des échantillons d’argile plastique soumis à un chargement cyclique de type chargement contrôlé, il a été constaté que les échantillons ayant été soumis à plus de 450 secondes pour atteindre la résistance maximale, ont généré des pressions interstitielles plus élevées que celle produites dans les échantillons, ont été soumis à un chargement durant plus de 50 seconds pour atteindre la résistance au cisaillement maximale (Figure 1.15).

Une série d’essais triaxiaux sur des spécimens d’argile de Bangkok [18] , non remanié , a été réalisée avec variation de la fréquence (0.1Hz, 05Hz et 1.0Hz) ainsi que du ratio τ/Cu (0,2, 0,25, 0,30, 0,35 et 0,40) tout en maintenant constante la contrainte totale moyenne principale. On observa que la tendance générale était la suivante:les spécimens soumis à un chargement lent exigent plus de temps pour rompre que les échantillons soumis à un chargement rapide.

Figure 1.15 – Comparaison des résistances au cisaillement sous chargement cyclique à

10% de déformation axiale sous différentes fréquences (Khaffaf 1978).


24

6.2.4 Effet de la variation de la pression de confinement Un autre facteur qui peut influencer la résistance sous l’effet d’un chargement

cyclique est la variation de la pression de confinement (c.-à-d. pression hydrostatique de cellules appliquée à l'échantillon dans la cellule triaxial) d'un essai à l'autre.

Une série d’essais triaxiaux répétés non drainés avec mesure de pression interstitielle a été effectuée sur une argile surconsolidée de Seattle [19].

On observa que si le rapport de pression de confinement est moins de 8, il y avait peu ou pas de changement de la résistance de cisaillement à la rupture

Des Essais triaxiaux non drainés avec contrôle de chemins de contrainte sur l’argile de Pise [20] ont montré que la rigidité dépend fortement du chemin de contrainte.

Chapitre 2 Pratique des éléments finis en géotechniques

25

Chapitre 2: Pratique des éléments finis en géotechnique

1 La méthode des éléments finis 1.1 Introduction Lorsque le comportement du sol est modélisé de façon non linéaire et irréversible, les méthodes de résolution numérique les plus fréquemment utilisées dans la pratique sont : la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis [21]. La méthode des éléments finis discrétise le milieu continu, en lui attribuant un nombre fini de degré de liberté et c’est seulement dans un second temps qu’elle impose, en moyenne, les lois de conservation et de comportement. Les équations algébriques qui régissent le problème émergent ainsi suite à la discrétisation initiale. L’expérience montre que dans de nombreux cas géotechniques, la méthode des éléments finis est plus performante et plus précise que la méthode des différences finies.


26

1.2 Concept de base Les méthodes de calcul par éléments finis visent à donner une solution numérique approchée à un problème spécifique au moyen d’un modèle mathématique représentatif d’une réalité physique [22]. La méthode des éléments finis permet ainsi de résoudre de manière discrète des équations aux dérivées partielles dont on cherche une solution approchée suffisamment fiable. En général, ces équations aux dérivées partielles portent sur une fonction vectorielle définie sur un domaine et comportant des conditions aux limites permettant d’assurer existence et unicité de la solution. La discrétisation passe par la définition d’un espace approprié de fonctions tests sur lequel la solution de la formulation variationnelle des équations peut être approchée d’aussi près qu’on le souhaite. Cela nécessite la définition d’un maillage du domaine en fragments : les éléments finis. Ce maillage permet aussi de définir une base fonctionnelle pi(x) sur laquelle est projetée la fonction inconnue pi(x). On applique en outre la formulation variationnelle pour chacune des fonctions de pi(x). Une formulation algébrique, dite discrétisation, du problème initial est ainsi obtenue. La solution de ce problème algébrique, si elle existe et est unique, donne les composantes de la solution approchée dans une base pi(x). 1.3 Définition de la méthode des éléments finis La méthode des éléments finis est une méthode d’approximation nodale par sous domaines ou éléments. Elle se prête à l’approximation de systèmes physiques dans des cas variés : - Discrets ou continus. - Stationnaires ou non stationnaires. - Linéaires ou non linéaires. - En 1 D, 2 D, ou 3 D. Comme première approche, les grands titres de la MEF peuvent se résumer par : - Subdivision du domaine physique en sous domaines ou éléments finis. - Approximation du phénomène étudié localement. - Assemblage des différentes parties pour reconstituer le tout. Donc en fait, la MEF est une technique multidisciplinaire qui fait appel : - Aux sciences de l’ingénieur (lois gouvernant les phénomènes physiques, telles la conservation de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie, …). - Aux mathématiques appliquées (méthodes numériques). - A l’informatique appliquée (exécution des calculs à l’aide de l’ordinateur). 1.4 Principe de discrétisation Les différentes formulations ont abouti à des formulations variationnelles compactes mais continues. Le principe des éléments finis étant de résoudre un problème discrétisé. On va présenter seulement la méthode de Gallerkine

Pour cette méthode, on se donne n fonctions de base Pi(x) appartenant au cinématiquement admissible à zéro et on cherche la solution du Pb(I) comme une combinaison linéaire de ces fonctions, dans le cas où il existe des déplacements imposés on rajoute une fonction les réalisant. [2i]

xuxPQxu di

n

ii

1 AC. (2.1)


27

xPxu i 0.AC (2.2) Le problème d’élasticité isotherme étant Pb(I) étant équivalent à la formulation variationnelle Fv(I).

(2.3)

Il suffit alors de faire varier i de 1 à n. Nous obtenons alors un système linéaire de n équations à n inconnues. Ce système peut s’écrire sous forme matricielle : FQK (2.4) où [K] est la matrice de rigidité jiij PPkK , (2.5) [Q] est le vecteur des inconnues [F] est le vecteur force La matrice K est symétrique. L’équation mise sous sa forme matricielle correspond à la forme générale d’un problème discrétisé. En effet, nous sommes passé d’un problème continu à un problème discrétisé, de l’étude u(x,y,z) à l’étude de n inconnues Qi . 1.5 Intégration numérique Il est clair que pour résoudre le système FQK , il y a des intégrations à faire. Si on utilise un ordinateur pour déterminer les solutions du système, il faut faire des intégrations numériques. Nous allons voir ici une seule méthode d’intégration numérique dans le cas 1-D. Nous allons nous intéresser au problème suivant : Déterminer l’intégrale suivant:

dxxfI

1

1

(2.6)

Méthodes de Gauss Il faut prendre les points de façon symétrique à 0 et dans ]-1,1[. Prenons deux points x1, x2, ayant des poids respectifs w1, w2 et un polynôme d’ordre 1

221

1

1

2 wfwxfwbdxbaxI

(2.7)

21

2211

21

02

xxwxwxww

deux types de solutions (2.8)

21

21 1xx

ww ou

02

21

1

xxw

(2.9)

xPPxPxuk idonni ,


28

Donc avec un seul point il est possible de déterminer l’intégration exacte d’un polynôme d’ordre 1. 1.6 Techniques de résolution On découpe une structure en élément de forme donnée : triangle, quadrilatère, tétraèdre ... Puis on cherche des solutions de fonctions données sur chaque élément et non plus sur la structure complète comme Ritz ou Gallerkine. La méthode par éléments finis correspond donc à une méthode de Ritz ou Gallerkine par morceau. L’ensemble de tous les éléments constitue le Maillage.

1.7 Eléments géométriques L'ensemble des éléments ou maillage doit constituer un recouvrement du domaine de calcul. En 2D, les éléments utilisés sont des triangles et des quadrangles. En 3D, des tétraèdres, des prismes, des cubes et parfois des pyramides. Si d'autres polygones sont possibles leurs utilisations restent confidentielles.

Figure 2.1- Eléments géométriques.

Les différents éléments du maillage sont soumis à quelques contraintes puisqu'ils doivent constituer un recouvrement du domaine. Ainsi, deux éléments adjacents du maillage ont en commun un sommet ou une surface.

Figure 2.2- Types de maillage.


29

2 Présentation du code éléments finis PLAXIS 2.1 Introduction Les progrès des ordinateurs et des méthodes d’analyse numérique permettent de dépasser les limitations géométriques et rhéologiques des méthodes de calcul traditionnelles et d’aborder l’étude de problèmes aux géométries et lois de comportement complexes, combinant les concepts classiques de compressibilité, de consolidation primaire et de compression secondaire, de résistance au cisaillement, d’états limites de poussée-butée ou de portance. Cette approche globale passe par la définition d’une loi de comportement spécifique à chaque type de sol et par l’utilisation de techniques numériques appropriées. Nous avons donc volontairement choisi d’utiliser un logiciel commercial pour résoudre les applications géotechniques par la méthode des éléments finis : le code Plaxis de la société Plaxis B.V [23].

2.2 Présentation du Plaxis C’est un logiciel aujourd’hui couramment utilisé en bureaux d’études. Conçu par des géotechniciens numériciens de l’université de Delft aux Pays-Bas dans les années 1980, le code de calcul éléments finis Plaxis est un outil pratique d’analyse d’ouvrages et d’essais géotechniques. Si ce code a initialement été développé pour analyser les digues et les sols mous, son champ d’application s’étend aujourd’hui à une large gamme de problèmes géotechniques. Il permet d’analyser des problèmes élastiques, élastoplastiques, élastoviscoplastiques en 2D ou 3D et en grands déplacements par la méthode lagrangienne actualisée. Très fiable sur le plan numérique, ce code fait appel à des éléments de haute précision, tels que les triangles à 15 noeuds, ainsi qu’à des pilotages de résolution récents comme la méthode de longueur d’arc. 2.3 Options par défaut Plaxis est doté de fonctionnalités tout à fait remarquables pour traiter tous les aspects des structures géotechniques complexes. Un résumé des fonctions essentielles est donné ci-dessous:

2.3.1 Entrée des données

Définition graphique de la géométrie du modèle: La définition des couches de sol, des ouvrages, des phases de construction, des chargements et des conditions aux limites s'appuie sur des procédures graphiques faciles à utiliser, ce qui permet une description détaillée et précise des conditions réelles à modéliser. Le maillage d'éléments finis en 2D est généré de manière automatique directement à partir de ce modèle géométrique.

Génération automatique du maillage:

Plaxis offre une génération entièrement automatique de maillages non structurés d'éléments finis, avec des options pour raffiner le maillage, globalement ou localement. Le maillage peut contenir des milliers d'éléments.

Conditions aux limites:

Les "fixités" sont des déplacements nuls imposés. Ces conditions peuvent être appliquées aux lignes comme aux points définissant la géométrie du modèle, dans les


30

directions x ou y. Une option permet d'appliquer les conditions d'appui standard valables dans la majorité des cas.

Chargement:

Deux systèmes de chargement indépendants sont proposés pour appliquer des forces ponctuelles ou des charges réparties. Les forces ponctuelles peuvent être appliquées à n'importe quel point de la géométrie, les charges réparties à n'importe quelle ligne de la géométrie, sans se limiter à la seule frontière extérieure. Les valeurs des chargements peuvent être modifiées dans le mode "Construction par étapes" et/ou par l'utilisation des multiplicateurs.

2.3.2 Comportement du sol

Base de données des propriétés des matériaux: Les propriétés des matériaux, sol ou éléments de structure, sont entrées dans une

base de données pour chaque projet. Toutes les données figurant dans les bases de données des différents projets peuvent être copiées dans une base de données globale, pour servir à d'autres projets.

Régime d'écoulement permanent:

Des réseaux complexes de pressions interstitielles peuvent être générés par combinaison de lignes phréatiques et de saisie directe de pressions. Autre solution : les distributions de pressions interstitielles peuvent également être générées par un calcul d'écoulement permanent pour les modèles faisant intervenir des écoulements permanents ou des pompages.

Calcul du réseau d'écoulement:

Les distributions de pression interstitielle complexes peuvent être générées à partir d'un calcul d'écoulement à deux dimensions. Des drains et des puits peuvent être modélisés grâce à des éléments spécifiques. Les potentiels aux limites du modèle sont définis comme des niveaux phréatiques.

Surpressions interstitielles:

Plaxis distingue les comportements drainé ou non-drainé des sols, ce qui permet de modéliser les couches sableuses perméables comme les couches argileuses imperméables. Les surpressions interstitielles sont calculées lorsque des couches de sol non drainé sont soumises à des chargements. Les conditions de chargement non drainé conditionnent souvent la stabilité des ouvrages géotechniques.

2.3.3 Fonctions des calculs Le programme de calcul conduit des analyses en déformation menées soit par un calcul plastique, un calcul de consolidation ou un calcul en grandes déformations. Pour chaque projet, plusieurs phases de calcul peuvent être définies avant le lancement du calcul.

2.3.4 Analyse des résultats Le post-processeur Plaxis a des fonctions graphiques avancées pour restituer les résultats du calcul. Les valeurs précises des déplacements, forces et contraintes sont accessibles dans les tableaux de résultats.


31

Déformation: La restitution graphique des déformations peut se faire sous la forme de maillage déformé, carte de déplacements totaux ou incrémentaux ou cartes de déformations totales ou incrémentales.

Contraintes:

La restitution des contraintes peut se faire en contraintes effectives, contraintes totales, pressions interstitielles et surpressions interstitielles.

2.3 Les modèles de comportements intégrés dans Plaxis 2.3.1 Introduction L’utilisation de lois de comportement complexes dans des modèles éléments finis pour l’ingénierie est délicate. Elle demande pour la détermination des paramètres des études spécifiques lourdes sortant du cadre des projets d’ingénierie. L’intégration de telles lois dans des codes éléments finis est difficile. La démarche suivie dans le développement de Plaxis est de fournir à l’utilisateur un code éléments finis qui soit à la fois robuste et convivial, permettant de traiter des problèmes géotechniques réels, dans un délai raisonnable en utilisant un modèle de comportement de sols dont les paramètres puissent être déterminés à partir d’une étude géotechnique normale. Différents modèles de comportement, plus ou moins sophistiqués, ont été implémentés dans Plaxis : élastique linéaire, Mohr-Coulomb, modèles de sol avec écrouissage ou spécifiques aux sols mous, etc 2.3.2 Lois de comportement élastoplastique La plupart des matériaux ont un comportement élastoplastique, qui n'est pas caractérisé par l’apparition de déformations réversibles élastiques et de déformations irréversibles plastiques. Sur la surface de charge, deux cas de comportement sont possibles : la surface de charge n’évolue pas, on parle de loi élastique parfaitement plastique, c’est le cas du modèle de Mohr-Coulomb; la surface de charge évolue au cours du chargement, on parle de modèle élastoplastique avec écrouissage dont le modèle Hardening Soil de Plaxis fait partie.

A. Modèle élastique linéaire Ce modèle représente la loi de Hooke pour l’élasticité linéaire et isotrope. Le modèle comporte deux paramètres de rigidité élastique, le module d’Young, E, et le coefficient de Poisson ν. Le modèle linéaire élastique est très limité pour simuler le comportement d’un sol. Il est utilisé principalement pour des structures rigides massives placées dans le sol.

B. Modèle de Mohr-Coulomb Le modèle de Mohr-Coulomb demande la détermination de cinq paramètres. Les deux premiers sont E et ν (paramètres d’élasticité). Les deux autres sont c et φ, respectivement, la cohésion et l’angle de frottement. Ce sont des paramètres classiques de la géotechnique, certes souvent fournis par des essais de laboratoire, et nécessaires à des calculs de déformation ou de stabilité. Enfin, ce modèle est non associé et ψ est l’angle de dilatance.


32

Module de Young: Le choix d'un module de déformation est un des problèmes les plus difficiles en géotechnique. Le module de déformation varie en fonction de la déformation et en fonction de la contrainte moyenne. Dans le modèle de Mohr-Coulomb, le module est constant. Il apparaît peu réaliste de considérer un module tangent à l'origine (ce qui correspondrait au Gmax, mesuré dans des essais dynamiques ou en très faibles déformations). La détermination de ce module nécessite des essais spéciaux. Il est souvent conseillé de prendre un module "moyen", par exemple celui correspondant à un niveau égal à 50% du déviateur à la rupture (voir figure 2.3).

Figure 2.3- Définition du module à 50% de la rupture.

Coefficient de Poisson:

Les valeurs du coefficient de Poisson se situent entre 0.2 et 0.4 pour la majorité des sols.

Angle de frottement:

L'angle de frottement est constant, indépendant de la contrainte moyenne.

Cohésion: Il peut être utile d'attribuer, même à des matériaux purement frottants, une très faible cohésion (0,2 à 1 kPa) pour des questions numériques.

L'angle de dilatance: L'angle de dilatance ψ règle le comportement non associé du sol [24]. Il peut être évalué par la corrélation ψ = φ − 30° . (2.10) Le cas ψ = 0 correspond à une plasticité sans variation de volume. Le critère de Coulomb à trois dimensions suppose que la contrainte intermédiaire n'intervient pas. La forme du critère est celle d'une pyramide irrégulière construite autour de la trisectrice (figure 2.4) sur l'hexagone de Mohr-Coulomb.


33

Figure 2.4 -Surface de rupture du modèle de Mohr-Coulomb pour un sol sans cohésion.

C. Modèle de sol avec écrouissage (Hardening Soil Model, HSM). Le modèle HSM est un modèle de simulation avancé de différents types des sols y compris les sols mous et les sols durs [25]. Le modèle a pour objet d'améliorer le modèle de Mohr-Coulomb sur différents points ; il s'agit essentiellement: - de prendre en compte l'évolution du module de déformation lorsque la contrainte augmente : les courbes oedométriques tracées en contrainte-déformation ne sont pas des droites ; - de prendre en compte l'évolution non linéaire du module lorsque le cisaillement augmente: le module E50 n'est pas réaliste car il y a une courbure des courbes effort-déformation avant d'atteindre la plasticité ; - de distinguer entre une charge et une décharge ; - de tenir compte de la dilatance qui n'est pas indéfinie. On pourrait dire que ce modèle est un dérivé du modèle hyperbolique de Duncan-Chang [26], car il en reprend, en les améliorant, les formulations hyperboliques des courbes effort-déformation. Cette relation a été formulée pour la première fois par Kondner [27] et ensuite utilisée dans le modèle hyperbolique [26].

Courbes effort-déformation

aqqq

E

121

501 pour q<qf (2.11)

et avec

sin1sin2cot 3

cq f et ffa Rqq (2.12)

Module

m

refref

PccEE

cotcot 3

5050 avec pref = 100 (kPa) (2.13)

Le paramètre Rf est analogue à celui introduit par Duncan. Pour la décharge on prend :


34

m

refref

ur pccEE

cotcot 3

50 avec pref = 100 (kPa) (2.14)

La figure 2.5 présente ces définitions :

Figure 2.5- Représentation du Hardening Soil Model.

Surfaces de charge: En fonction du paramètre d'écrouissage, on obtient alors dans le plan q-p la forme des surfaces de charge (figure 2.6).

Figure 2.6- Forme des surfaces de charge du HSM.

Surfaces de rupture : La surface de rupture est présentée sur la figure (2.7) pour un sol non cohérent [28].


35

Figure 2.7 - Surface de rupture du modèle HSM pour un sol sans cohesion.

Les paramètres du HSM: 1. Paramètres de Mohr-Coulomb :

c : cohésion (effective) [kN/m2] φ : angle de frottement effectif [°] ψ : angle de dilatance [°]

2. Paramètres de rigidité : refE50 : module sécant dans un essai triaxial [kN/m2] ref

oedE : module tangent dans un essai oedométrique [kN/m2] m : puissance (de type Janbu [29] environ 0,5 pour les sables, Alors que

Von Soos [30] introduit différent valeurs de m : 0,5 <m <1,0) [-]

3. Paramètres avancés : ref

urE : module en décharge (par défaut refrefur EE 503 ) [kN/m2]

νur :coefficient de poisson en décharge-recharge (par défaut νur = 0.2) [-] pref : contrainte de référence (par défaut pref = 100) [kN/m2]

ncK 0 : coefficient des terres au repos pour un sol normalement consolidé [31] Rf : coefficient à la rupture qf / qa (par défaut Rf = 0,9) [-] σtension : résistance à la traction (par défaut σtension = 0) [kN/m2] cincrement: comme dans le modèle de Mohr-Coulomb (par défaut cincrement = 0) [kN/m3] La définition du module oedométrique tangent est donnée sur la figure 2.8 et celle de la dilatance (éventuellement tronquée) figure 2.9.


36

Figure 2.8 - Définition du module oedométrique tangent.

Figure 2.9- Définition de l’angle de dilatance.

D. Modèle pour sols "mous" (Soft Soil Model, SSM).

Ce modèle (en abrégé SSM) est un modèle dérivé du Cam-Clay. Historiquement le modèle Cam Clay a été développé à Cambridge dans les années 60 [32]. L'idée de base de ce modèle est de prendre en compte l'effet d'écrouissage que provoque sur les argiles la pression moyenne. Sous l'effet d'une pression moyenne, la teneur en eau diminue et l'argile devient plus résistante. Il s'agit d'un modèle élasto-plastique avec une surface de charge. Sous la surface de charge, le matériau reste élastique, tandis que si le point représentatif de l'état de contrainte effectif atteint la surface de charge, alors des déformations plastiques apparaissent avec un comportement non réversible. Une surface de plasticité associée limite l'espace entre les états admissibles et non admissibles.

Paramètres de compressibilité: Les deux paramètres cc et cs décrivent le comportement oedométrique ou isotrope observé dans des essais de laboratoire : ce seront les deux paramètres de base réglant la position des lignes de consolidation vierge ou des lignes de gonflement. L'axe des contraintes est tracé en logarithme naturel, ce qui conduit à modifier la définition de cc et cs en λ et κ. Dans ce cas, l'axe des ordonnées est l'indice des vides. Il peut être judicieux de remplacer l'indice des vides par la déformation volumique (identique à la déformation axiale dans l'essai oedométrique). On utilise alors λ* et k*. Dans ce cas, l'indice des vides est variable. Il peut dans la majorité des cas être pris constant, et égal à la valeur initiale. La figure 2.10 résume les différentes définitions des paramètres.


37

Figure 2.10- Représentations de l'essai oedométrique

En pratique, il suffit de tracer la déformation axiale en fonction du logarithme naturel de la contrainte axiale.

Cohésion: Une cohésion effective peut être introduite dans le SSM. Elle peut être nulle.

Paramètre de frottement:

On rentre directement les valeurs de cohésion et d'angle de frottement

Paramètre de dilatance: Il est calculé automatiquement à partir de l'angle de dilatance : normalement, dans les sols mous celui-ci est faible.

Paramètre de contrainte K0:

Avant de définir le paramètre K0, il est nécessaire de déterminer le paramètre M qui représente la pente de ce qu’on appelle « critical state line ». Par défaut, M peut être calculé depuis la relation (2.15).

cv

cvM

sin3sin6

(2.15)

où φcv est l’angle du frottement critique qui est égal à φ+0.1° Cette valeur de M est une valeur pratique calculée par défaut. D’ailleurs, Plaxis permet de calculer, une valeur approximative de ncK 0 , qui correspond à la valeur de M calculée à partir de l’équation 2.15. En générale, la valeur de ncK 0 calculée par le programme est supérieure à celle calculée par la formule de Jaky ( ncK 0 =1-sinφ). Sinon, on pourrait rentrer une valeur de ncK 0 pour calculer la valeur de M par la formule de (équation 2.16) [33].


38

ur

NCur

NCur

NC

NC

NC

KkKkK

K

KM

1121211211

21

13

0**

0

**0

2

20

0 (2.16)

M≈ 3.0-2.8 NCK 0 (2.17)

Ceci permet de définir la forme de la surface d'écrouissage dans le plan p-q.

Coefficient de Poisson: Dans les modèles Cam-clay et dérivés (dont le SSM), le coefficient de Poisson est un paramètre élastique important. Dans une charge-décharge oedométrique, c'est ce paramètre qui fait que les contraintes horizontales diminuent moins vite que les contraintes verticales. Ce n'est donc pas le coefficient de Poisson qui pourrait être relié à une valeur de K0 (i.e. ν/(1−ν)) mais une valeur plus faible, typiquement 0,1 ou 0,2.

yy

xx

ur

ur

1

(2.18)

Les surfaces de charges:

La figure 2.11 fournit, dans le plan (p,q) une représentation des surfaces de charges et de la surface de plasticité. Les surfaces de charge sont des ellipses avec écoulement associé (incréments de déformation normal à l'ellipse) tandis que pour la rupture, l'écoulement est non associé (c'est pourquoi il est nécessaire d'entrer un angle de dilatance, éventuellement 0, ce qui correspond à l'écoulement plastique à volume constant).

Figure 2.11- Surfaces de charge elliptiques.

Prise en compte de la surconsolidation: Plaxis calcule la pression de préconsolidation pc à partir des données. Si un matériau est surconsolidé, il est possible de prendre en compte le degré de surconsolidation (OCR) ou le poids des terres de préconsolidation (POP (Pre Overburden Pressure)).


39

En résumé:

Les paramètres nécessaires au SSM sont les suivants : λ* : indice de compression [-] κ* : indice de gonflement [-] c : cohésion [kN/m2] φ : angle de frottement [°] ψ : angle de dilatance [°]

Par défaut, les paramètres avancés sont : νur : coefficient de Poisson en charge-décharge [-]

NCK 0 : coefficient des terres au repos pour un sol normalement consolidé [-] M : pente de la courbe d’état critique dans le plan (p,q) [-]

E. Modèle pour sols "mous" avec effet du temps (Soft Soil Creep Model, SSCM).

Le SSCM permet de prendre en compte l'écrouissage des argiles molles mais pas la consolidation secondaire : celle-ci se traduit par une évolution de la déformation axiale dans un essai oedométrique en fonction du temps, après la fin de la consolidation primaire. Cette déformation évolue en fonction du logarithme du temps (au moins pour les échelles de temps observables). Elle est caractérisée par le paramètre Cα. Elle génère ce qui est appelé la quasipréconsolidation dans des sols déposés depuis longtemps [34].

Figure 2.12- L'effet du temps sur les essais oedométriques

Le Soft Soil Creep Model élargit ces résultats dans le plan p-q (figure 2.13) en introduisant des surfaces de charge qui s'appuient sur l'évolution observée en consolidation secondaire sur l'axe isotrope.


40

Figure2.13 - Diagramme des cercles peq dans le plan p - q Avec les définitions suivantes des paramètres

cv

cvM

sin3sin6

NC

NCNCeq

KMKKp

02

200

2113

321

(2.19)

Les paramètres du SSCM Le paramètre du fluage µ* est définis par :

eC v

13.2 (2.20)

Paramètres du modèle de Mohr-Coulomb C : cohésion [kN/m2] φ : angle de frottement [°] ψ : angle de dilatance [°] Paramètre de consolidation κ* : indice de gonflement [-] λ* : indice de compression [-] µ* : indice de fluage [-] Paramètres avancés νur : coefficient de Poisson en charge-décharge [-] NCK 0 : coefficient des terres au repos pour un sol normalement consolidé [-]

M : pente de la ligne d'état critique [-]


41

3 Conclusion Les ingénieurs confrontés à des problèmes complexes ont cherché depuis longtemps à utiliser des modèles rhéologiques adaptés aux sols pour simuler le comportement des ouvrages géotechniques. Ces modèles, introduits dans des codes de calcul en éléments finis, permettent la résolution des problèmes liés au tassement, au fluage, à la consolidation et à la rupture des sols. En effet, la modélisation numérique de ces ouvrages géotechniques s’inscrit dans une pratique commune en génie civil qui vise la réduction des coûts d’études et les difficultés rencontrées lors de la construction.

Chapitre 3 Etude expérimentale

42

Chapitre 3: Etude expérimentale

1 Etude expérimentale 1.1 Introduction

L’étude expérimentale [35] exploitée dans ce travail de recherche se résume en l’utilisation de l’appareil triaxial classique pour le chargement monotonique et un autre pour le chargement cyclique. Le matériau objet de cette étude est une argile d’origine anglaise appelée Cowden, dont les caractéristiques physiques seront présentées dans ce chapitre.

1.2 Essais à l’appareil triaxial 1.2.1 Appareillage L’éprouvette de sol a la forme d’un cylindre droit. Elle est placée dans une cellule appelée cellule triaxiale. L’éprouvette est contenue dans une gaine élastique étanche et parfaitement déformable. Son extrémité inférieure ou ses deux extrémités, selon le montage, sont au contact d’une pierre poreuse.


43

La cellule est remplie d’eau. Le dispositif d’essai permet de mettre cette eau en pression, ce qui conduit à appliquer une contrainte isotrope σ3 à l’éprouvette (on a ici σ2 = σ3). D’autre part l’éprouvette peut être comprimée verticalement à l’aide d’un piston. Soit p la charge ainsi appliquée. La déformation verticale Δl de l’éprouvette est mesurée à l’aide d’un comparateur.

Figure 3.1 - Appareil de compression triaxial. Un robinet R permet, s’il est ouvert, le drainage de l’éprouvette par l’intermédiaire des pierres poreuses, l’essai est alors dit drainé. S’il est fermé, le sol ne peut pas se drainer, l’essai est dit non drainé. Si R est fermé et le sol saturé, on peut mesurer la pression interstitielle de l’eau du sol à l’aide d’un capteur de pression. Si R est ouvert, une burette permet de mesurer la quantité d’eau expulsée ou absorbée par l’échantillon. Pour les essais avec mesure de la pression interstitielle, il faut que le dispositif soit saturé. L’essai proprement dit consiste, pour une pression σ3 constante, à faire croître p. Par raison de symétrie, les contraintes principales σ1 et σ3 sont respectivement verticales et horizontales. Comme σ3 s’applique également sur la face supérieure de l’éprouvette, on a :

31 sp (3.1)

avec s = section de l’éprouvette Au moment de la rupture, on connaît donc le déviateur maximal des contraintes (σ1-σ3) correspondant au cercle de Mohr tangent à la courbe intrinsèque (figure 3.2).


44

Δl Figure 3.2 - Courbe contrainte- déformation.

Si l’essai est répété pour différentes valeurs de σ3, on a plusieurs cercles de Mohr et il est alors possible de tracer la courbe intrinsèque (figure 3.3).

Figure 3.3 - Détermination de la droite intrinsèque d’un sol. 1.2.2 Matériau utilisé Dans cette étude, l’argile utilisée est une argile de couleur marron foncé, extraite de la région de Cowden situé au Nord de la Grande Bretagne, dont les caractéristiques physiques sont les suivantes:

Limite de liquidité = 44% Limite de plasticité = 19% Indice de plasticité = 25% Fraction d’argile (D <0.002 mm) = 32% CV (sol remanié) (σ'V= 480 kN/m2) = 1,5 m2/an

La courbe granulométrique de ce sol est représentée par la figure (3.4).


45

Figure 3.4 – La courbe granulométrique de l’argile de Cowden.

1.2.3 Préparation de l’argile dans l’œdometre Pour la préparation des échantillons utilisés pour les essais monotoniques et les essais cycliques, l’argile remaniée a été consolidée dans un œdometre à une pression finale de consolidation de 600 kN/m2 [35]. La pression de consolidation verticale, a été appliquée par le biais de la pression hydraulique. Lorsque l'argile est jugée suffisamment rigide, la pression hydrostatique est supprimée. Après l'achèvement du processus de consolidation et l'ouverture de la cellule, huit échantillons de 102mm de diamètre et 102mm de hauteur ont été obtenus. 1.3 Synthèse sur les essais réalisés Deux types d’essais ont été réalisés dans cette étude:

a. Essais triaxiaux monotoniques de compression non consolidés non drainés (UU) avec mesure de pression interstitielle et une vitesse de chargement de 0.012 %/min. La synthèse des essais réalisés est présentée dans le tableau ci-dessous:

Type d’essai

Pression de consolidation à l’œdometre

Pression de confinement

Vitesse de chargement

U0


46

Tableau 3.1 – Les essais de compression réalisés sous chargement monotonique.

b. Un essai triaxial cyclique non consolidé non drainé de type compression- traction, avec mesure de pression interstitielle a été réalisée sur l’argile de Cowden. La synthèse des essais réalisés est présentée dans le tableau ci-dessous

Type d’essai

Pression à l’œdometre

Pression de confinement

Fréquence U0 Cu τ/ Cu

kN/m2 kN/m2 Hz kN/m2 kN/m2 - Essai 600 400 0.00027 318.7 70 0.59

Tableau 3.2 – L’essai réalisé sous chargement cyclique.

kN/m2 kN/m2 %/min kN/m2 Comp. 1 600 500 0.012 418.1 Comp. 2 600 500 0.012 422.1

Chapitre 4 Etude numérique des essais réalisés

47

Chapitre 4: Etude numérique des essais réalisés

1 Etude numérique des essais réalisés 1.1 Chargement monotonique 1.1.1 Introduction L’essai triaxial monotonique non consolidé non drainé, réalisé sur un échantillon d’argile de 102 mm x 102 mm [35], servira pour la simulation numérique à l'aide du logiciel Plaxis en utilisant le modèle HSM. Ce dernier est un modèle de simulation avancé de différents types des sols, y compris les sols mous et les sols durs. Le modèle a pour objet d'améliorer le modèle de Mohr-Coulomb sur différents points ; il s'agit essentiellement : - de prendre en compte l'évolution du module de déformation lorsque la contrainte augmente : les courbes œdométriques tracées en contrainte- déformation ne sont pas des droites ;


48

- de prendre en compte l'évolution non linéaire du module lorsque le cisaillement augmente: le module E50 n'est pas réaliste car il y a une courbure des courbes effort-déformation avant d'atteindre la plasticité ; - de distinguer entre une charge et une décharge ;

1.1.2 Définition des données Un essai triaxial peut simplement être modelé au moyen d'une géométrie axisymétrique des dimensions d'unité (1m*1m), celui représente un quart d'échantillon de sol (figure 4.1).

(a) (b)

Figure 4.1 (a), (b) –Fenêtre des données générales de l’essai (1, 2) sous chargement

monotonique 1et 2.

A. La géométrie du modèle Dans ce paragraphe des simulations de deux essais triaxiaux seront réalisées. On simule un quart de l'échantillon triaxial (figure 4.2).

Figure 4.2-Modèle géométrique de l'essai triaxial sous chargement monotonique.


49

B. Condition aux limites et chargement Condition aux limites

Le coté gauche et la partie inférieure sont des axes de symétrie (figure 4.2). Les déplacements normaux aux extremités ne sont pas tolérés, alors que les déplacements tangentiels sont libres pour permettre un déplacement facile et libre des extrémités restantes.

Chargement

Pour simuler cet essai, nous avons appliqué un chargement isotrope (σ3) noté A et B de 500 et 400 kP pour l'essai 1 et 2 respectivement. Pour la deuxième phase, on applique seulement un chargement verticale (σ1), alors que le chargement horizontal reste constant (A) avec des pressions interstitielles initiales de 418.1 et 422.1 kP respectivement.

C. Caractéristiques mécaniques de l’argile considérée

Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM, sont présentés dans le tableau (4.1).

Unité Valeur Symbole Paramètres kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 ° ° - - - - -

5145 15435 5145 0 26.4 1 0.2 0.50 0.55 0.9 7.33

E50ref

Eurref

Eoedref

c' φ’ Ψ νur m K0

nc

Rf OCR

Module sécant Module de déchargement Module œdometétrique Cohésion Angle de frottement interne Angle de dilatance Coefficient de poisson Puissance Coefficient de poussée de terre Coefficient à la rupture Coefficient de surconsolidation

Tableau 4.1 - Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM de l'essai 1 sous chargement monotonique.


50

(a) (b)

Figure 4.3 (a), (b) –Fenêtre des paramètres du modèle HSM de l’essai 1 sous chargement monotonique.

Unité Valeur Symbole Paramètres kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 ° ° - - - - -

5057 15171 5057 0 26.4 1 0.2 0.50 0.55 0.9 7.70

E50ref

Eurref

Eoedref

c' φ' Ψ νur m K0

nc

Rf OCR

Module sécant Module de déchargement Module œdometétrique Cohésion Angle de frottement interne Angle de dilatance Coefficient de poisson Puissance Coefficient de poussée de terre Coefficient à la rupture Coefficient de surconsolidation

Tableau 4.2 - Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM de l'essai 2 sous chargement monotonique.


51

(a) (b)

Figure 4.4 (a), (b) –Fenêtre des paramètres du modèle HSM de l’essai 2 sous

chargement monotonique.

D. Génération du maillage Le modèle de référence se fait par des éléments à 15 nœuds. Le nombre d'éléments est de 120 et celui des nœuds est de 1017. Les dimensions du maillage sont données par la figure 4.5.

Figure 4.5 - Maillage de la géométrie.

E. Conditions initiales Les conditions initiales nécessitent la génération des pressions interstitielles initiales, ainsi que des contraintes initiales.

1. Conditions hydrauliques

La nappe phréatique est placée sur la surface de l’échantillon (Figure 4.6).


52

Figure 4.6 Conditions hydrauliques initiales.

Figure 4.7 - Génération des pressions interstitielles initiales. (Umax =-418.10 kN/m2)

2. Contraintes initiales

Les contraintes ont été initialisées en utilisant le coefficient des terres au repos K0 (formule de Jaky) [31], sous le poids propre du matériau ( sin10 K ).


53

Figure 4.8- Génération des contraintes effectives.

1.1.3 Procédure de calcul

Dans le programme de calcul, le calcul de toutes les phases peut être fait au moyen du procédé ״staged construction״ (Figure 4.9). Dans la deuxième phase, les déplacements sont remis à zéro et l'échantillon est verticalement chargé jusqu'à la rupture, tandis que la charge horizontale est maintenue constante.

Figure 4.9 - Les différentes étapes de calcul de l’essai triaxial sous chargement monotonique.


54

1.1.4 Présentation et discussion des résultats

Le logiciel Plaxis utilisé dans cette étude, permet en utilisant des couleurs de

mettre en évidence les différentes zones de déformations verticales, de surpressions, de contraintes effectives ayant les mêmes amplitudes.

Par ailleurs, les résultas des essais de simulation numérique en termes de variation du déviateur et de la pression interstitielle pendant le cisaillement en fonction de la déformation axiale, sont présentés sur les figures (4.14 et 4.15), ainsi que les chemin de contraintes dans les axes de Lambe pour les deux essais, avec une comparaison aux essais expérimentaux (figures 4.16).

La figure (4.10) montre la déformée de l’essai (1,2) respectivement. La figure (4.11) montre les zones de déformation localisées dans les parties supérieures de l’échantillon. Les observations sont en concordance avec celles des essais expérimentaux [35].

L’effet de ce phénomène a été considérablement réduit par la technique «Free-Ends» [36].

(a) (b)

Figure 4.10 (a),(b) - Déformation du maillage(essai 1,2) sous chargement monotonique.


55

(a) (b)

Figure 4.11 (a),(b) -Déformation verticale (essai 1,2) sous chargement monotonique.

Les figures (4.12a-b) présentant les zones de contraintes effectives. Les petites zones de concentration de contraintes effectives élevées, correspondent très précisément aux zones de développement d’importantes déformations, telles observées aux figures (4.11a-b).

Les zones de surpressions interstitielles élevées observées aux figures (4.13a-b), correspondent également aux zones de concentration de contraintes effectives observées aux figures (4.12a-b). Ces observations, ont également été faites dans d’autres travaux expérimentaux [37] et présentent une similitude entre les travaux expérimentaux et théoriques réalisés.

a) (b)

Figure 4.12 (a),(b) -Contraintes effectives (essai 1,2) sous chargement monotonique.


56

(a) (b) Figure 4.13 (a),(b)- Surpression interstitielle (essai 1,2) sous chargement monotonique.

Les figures (4.14) et (4.15), représentent respectivement la variation du déviateur de contrainte effective en fonction des déformations axiales ε1, pour les essais expérimentaux [35] et théoriques obtenus par simulation. La comparaison des résultats nous conduit aux observations suivantes: −Dans le domaine de petites déformations axiales (ε1≤1%), une bonne concordance a été constaté entre la variation du déviateur de contraintes effectives axiale expérimentale et théorique. −Lorsque les déformations axiales ε1>1%, les courbes théoriques et expérimentales s'éloignent quelque peu l’une de l’autre, mais tout en gardant des valeurs raisonnablement proches. −Les courbes de déviateur de contrainte expérimentales et théoriques, se rejoignent en un point représentant le déviateur de contrainte maximale pour chaque essai. Ces deux valeurs de déviateurs de contraintes, peuvent raisonnablement définir le critère de rupture de ce sol. −Pour les essai expérimentaux, les déviateurs de contrainte maximum développés sont de 141 kN/m2 et 139 kN/m2 correspondant respectivement à une déformation de 8.4% et 8.52%, alors que numériquement, les déviateurs de contrainte maximum développés pour ces mêmes déviateurs sont respectivement 132 et 120 kN/m2 (Tableau 4.3).

On conclura que dans le domaine de déformation (ε1≤9 %), le déviateur de contrainte développé sous chargement monotonique obtenu par simulation numérique, est raisonnablement comparable à celui du déviateur de contrainte obtenu expérimentalement.

Au-delà de 9% de déformation axiale, les courbes de variation du déviateur de contrainte obtenue par simulation, s'éloignent de celles obtenues en laboratoire. On remarque également qu’au-delà de 9% de déformation axiale, le déviateur de contrainte dans le cas expérimental présente une stabilisation en fonction des


57

déformations, alors que le déviateur de contrainte obtenu numériquement continue d’augmenter lentement.

Essais

Expérimentale Théorique maxq 1 maxq 1

2/ mkN 00 2/ mkN 0

0 Essai1 141 8.4 132 8.4 Essai2 139 8.52 120 8.52

Tableau 4.3 – Comparaison du déviateur de contrainte développé à la rupture.

Figure 4.14 – Courbes de variation du déviateur de contrainte en fonction de la

déformation axiale sous chargement monotonique obtenues expérimentalement et par simulation numérique (essai 1).

0

50

100

150

200

0 6 12 18 24

HSM

Essai

1 (%)ε

q'(kN/m2)


58

Figure 4.15 – Courbes de variation du déviateur de contrainte en fonction de la

déformation axiale sous chargement monotonique obtenues expérimentalement et par simulation numérique (essai 2).

Les figures (4.16) et (4.17), présentent les courbes de la variation de la pression interstitielle en fonction de la déformation axiale ε 1, pour les essais de compression obtenus en laboratoire et par simulation. Dans le domaine de déformation ε 1≤1%, le comportement de la pression interstitielle obtenue en laboratoire est similaire à celui obtenu par simulation. Cette corrélation observée dans le comportement de la pression interstitielle, a été également observée dans le comportement du déviateur de contrainte Umax=29.4 kN/m2, obtenue par HSM qui correspond à ε 1=2 %. Ce décalage est jugé faible puisqu’il correspond à un déviateur de contrainte q’=5.9 kN/m2. Dans le domaine de déformation 1% ≤ε 1 ≤ 9%, les pentes des courbes expérimentales sont sensiblement similaires aux courbes théoriques. Au delà de ε 1=9 % (Tableau 4.4), la pression interstitielle obtenue par HSM continue de diminuer alors qu’au laboratoire on observe presque une stabilisation de la pression interstitielle. Ce comportement a été expliqué par le phénomène de fluage. Les mêmes observations précédentes peuvent être faites pour l’essai de compression présenté à la figure (4.17).

0

50

100

150

200

0 6 12 18 24

Essai HSM

1 (%)ε

q'(kN/m2)


59

Essais

Expérimentale Théorique Expérimentale Théorique maxu 1 maxu 1 eruint 1 eruint 1

2/ mkN

00 2/ mkN 0

0 2/ mkN 00 2/ mkN 0

0

Essai1 22.75 1 22.37 1 13.39 9 13.39 9 Essai2 25.78 1 37.00 1 10.4 10 10.4 10

Tableau 4.4 - Comparaison de Δumax et Δuinter

Figure 4.16 – Courbes de variation de la surpression interstitielle en fonction de la déformation axiale sous chargement monotonique obtenu expérimentalement et par

simulation numérique (essai 1).

Figure 4.17 - Courbes de variation de la surpression interstitielle en fonction de la déformation axiale sous chargement monotonique obtenu expérimentalement et par

simulation numérique (essai 2).

-40

-20

0

20

40

0 6 12 18 24

Essai

1 (%)ε

ΔU (kN/m2)

HSM

-40

0

40

80

120

0 6 12 18 24

Essaii

HSM

1 (%)ε

ΔU (kN/m2)


60

Pour des raisons de convenance et de comparaisons des résultats de ce travail avec ceux obtenus dans d’autres travaux, il nous a paru judicieux de présenter les chemins de contraintes effectives exercés dans les axes de Lambe. Les figures (4.18) et (4.19), montrent les chemins de contrainte dans les axes de Lambe pour les deux essais monotoniques. La comparaison entre les chemins de contrainte des essais expérimentaux et théorique, permet de faire les observations suivantes:

Une corrélation presque totale des chemins de contrainte expérimentaux et théoriques.

L’allure des chemins de contrainte effective observée sous chargement non drainé de l’argile ״Lower Cromer Till [38] (figures 4.20), est très comparable à ceux des figures obtenues.

Figure 4.18 - Chemin de contrainte dans les axes de Lambe (s,t) sous chargement

monotonique obtenu expérimentalement et par simulation numérique (essai1).

0

40

80

120

0 40 80 120 160 200

Essai

HSM

'xx +σ'yy/2 (kN/m2) σ

'xx -σ'yy/2 (kN/m2) σ


61

Figure 4.19 - Chemin de contrainte dans les axes de Lambe (s,t) sous chargement

monotonique obtenu expérimentalement et par simulation numérique (essai2).

Figure 4.20 -Chemin de contraintes effectives sous chargement non drainé de l’argile .selon D.W Hight (1982) ״Lower Cromer Till״

0

40

80

120

0 40 80 120 160 200

Essai

HSM




62

1.2Chargement cyclique 1.2.1 Introduction L’essai triaxial cyclique non consolidé non drainé avec mesure de pression interstitielle sur un échantillon d’argile de 102 mm x 102 mm, servira pour la simulation numérique avec le modèle HSM. Une faible fréquence f = 0.00027 Hz a été utilisée. L’essai étant un essai cyclique à chargement contrôlé avec Cu=70 kN/m2, obtenu sous chargement monotonique (essai 1et 2), où la vitesse de chargement était 0.012%/min [35].

1.2.2 Définitions des données Les figures (4.21) et (4.22), présentent respectivement les donnés générales de l’essai sous chargement cyclique et la géometrie du modèle.

(a) (b)

Figure 4.21- Fenêtre des données générales de l’essai triaxial sous chargement cyclique.


63

A. La géométrie du modèle

Figure 4.22 -Modèle géométrique de l'essai triaxial sous chargement cyclique.

B. Condition aux limites et chargement Condition aux limites

Le coté gauche et la partie inférieure sont des axes de symétrie (figure 4.22). Les déplacements normaux aux extremités ne sont pas tolérés, alors que les déplacements tangentiels sont libres pour permettre un déplacement facile et libre des extrémités restantes.

Chargement Pour simuler l’essai de chargement cyclique, nous avons appliqué un

chargement isotrope (σ3) noté A et B de 500 kPa. Pour la deuxième phase, on applique seulement un chargement vertical (σ1 =A= 482 kPa), alors que le chargement horizontal reste constant (B), durant la phase suivante seule le chargement isotrope est appliqué. Les deux phases précédentes, représentent la phase de chargement en compression et de déchargement. Au cours de la phase suivante, l’échantillon sera soumis à un chargement de traction (σ1 = 318 kPa) et enfin dans la phase finale, seul le chargement isotrope (σ1 = σ3=500 kPa) sera appliqué.

C. Caractéristiques de l’argile considérée

Il s’avère, après plusieurs tests, que pour reproduire les essais réalisés, il faut changer les caractéristiques du sol lors du chargement par traction. Avant changement des caractéristiques du sol pendant l'extension

Les paramètres introduits dans le logiciel Plaxis pour le modèle HSM, sont présentés dans le tableau (4.5).


64

Tableau 4.5 - Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM pour l'essai

sous chargement cyclique avant changement des caractéristiques de sol.

(a) (b)

Figure 4.23 – (a), (b) –Fenêtre des paramètres HSM de l’essai cyclique avant

changement des caractéristiques de sol.

Unité Valeur Symbole Paramètres kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 ° ° - - - -

1250 2500 1240 0 26.4 1 0.18 0.55 0.50 0.9

E50ref

Eurref

Eoedref

c' φ' Ψ νur m K0

nc

Rf

Module sécant Module de déchargement Module oedométrique Cohésion Angle de frottement interne Angle de dilatance Coefficient de poisson Puissance Coefficient de poussée de terre Coefficient à la rupture


65

Après changement des caractéristiques du sol pendent l'extension

On applique le même type de sol, mais avec un angle de frottement φ réduit de 26,4° à 12°. Il est important de souligner également, la dimunition des modules du modèle. Les valeurs sont presentées dans le tableau ci-dessous.

Tableau 4.6 - Les paramètres demandés par Plaxis pour le modèle HSM pour l'essai sous chargement cyclique après changement des caractéristiques de sol.

(a) (b)

Figure 4.24 (a), (b) –Fenêtre des paramètres HSM de l’essai cyclique après changement des caractéristiques de sol.

Unité Valeur Symbole Paramètres kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 ° ° - - - -

1000 2000 1053.53 0 12 1 0.18 0.50 0.676 0.9

E50ref

Eurref

Eoedref

c' φ' Ψ νur m K0

nc

Rf

Module sécant Module de déchargement Module oedometrique Cohésion Angle de frottement interne Angle de dilatance Coefficient de poisson Puissance Coefficient de poussée de terre Coefficient à la rupture


66

D. Génération du maillage

Le modèle de référence se fait par des éléments à 15 nœuds. Le nombre d'éléments est de 120 et celui des nœuds est de 1017. Les dimensions du maillage sont données par la figure (4.25).

Figure 4.25 - Maillage de la géométrie

E. Conditions initiales

Les conditions initiales nécessitent la génération des pressions interstitielles initiales, ainsi que des contraintes initiales.

1. Conditions hydrauliques Nous avons considéré que la nappe phréatique est positionnée à la surface du

maillage.

Figure 4.26 - Génération des pressions interstitielles initiales (Umax=-318.70 kN/m2).


67

2. Contraintes initiales Nous générons le champ de contraintes initiales dû au poids des terres, en fixant une valeur particulière au coefficient des terres au repos K0 et en activant le poids du sol intégralement.

Figure 4.27 - Génération des contraintes effectives.

1.2.3 Procédure de calcul

Le calcul se fait en cinq phases, au moyen du procédé ״staged construction״. (Figure 4.28).

Après la première phase où le chargement est isotrope, dans la deuxième phase l'échantillon est verticalement chargé, tandis que la charge horizontale est maintenue constante.

Durant la phase suivante, seule le chargement isotrope est appliqué. Les deux phases précédentes représentent la phase de chargement en compression et de déchargement. Au cours de la phase suivante, les déplacements sont remis à zéro et l’échantillon sera soumis à un chargement de traction, en tenant compte du changement des caractéristiques mécaniques induites par le chargement de compression et du déchargement et enfin dans la phase finale, seul le chargement isotrope sera appliqué.


68

Figure 4.28 - Les différentes étapes de calcul de l’essai triaxial sous chargement

cyclique.

1.2.4 Présentation des résultats Pour des raisons de convenance, il a été jugé judicieux de présenter les résultats des essais cycliques, obtenus par expérimentation et par simulation numérique en fonction du temps. La comparaison de la variation du déviateur de contrainte dans le temps, (figure 4.29) obtenus par expérimentation et par simulation numérique, permet les observations suivantes:

- L’onde de chargement cyclique appliquée dans l’étude expérimentale, est clairement sinusoïdale, alors que celle appliquée pour la simulation numérique est triangulaire.

- Cette dernière possibilité de calcul, disponible dans le logiciel plaxis, est la plus proche de la forme de chargement appliqué en laboratoire.

- Malgré l’approximation due à la différence dans l’application du chargement figure (4.29), il existe une bonne corrélation entre la courbe expérimentale et théorique.


69

Figure 4.29 - Courbes de variation du déviateur de contrainte en fonction du temps

sous chargement cyclique obtenu expérimentalement et par simulation numérique.

Les courbes de déformation axiale en fonction du temps, sous chargement cyclique obtenu expérimentalement et par simulation numérique, sont présentées sur la figure (4.30). On observe une similitude entre la courbe expérimentale et la courbe obtenue par simulation, ce qui exprime une similitude dans le comportement. Une différence néanmoins existe mais elle peut être considérée acceptable.

Figure 4.30 - Courbes de déformation axiale en fonction du temps sous chargement

cyclique obtenu expérimentalement et par simulation numérique.

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 10 20 30 40 50 60 70

Essai

HSM

Temps (minute)

1 (%)ε

-100

-50

0

50

100

0 10 20 30 40 50 60 70

HSM

Essai

q(kN/m2)

Temps (minute)


70

La figure (4.31) présente les courbes de variation de la pression interstitielle en fonction du temps sous chargement cyclique, obtenu expérimentalement et par simulation numérique. Le comportement de la pression interstitielle, est seulement comparable durant la phase de chargement en compression et en déchargement. Lors du chargement en traction, le modèle sous estime la pression interstitielle.

Figure 4.31 - Courbes de variation de la pression interstitielle en fonction du temps

sous chargement cyclique obtenu expérimentalement et par simulation numérique.

Chemin de contrainte dans les axes (s,t) de Lambe sous chargement cyclique, obtenu expérimentalement et par simulation numérique, sont présentés dans la figure (4.32). Mis à part le chemin de contrainte présentant la phase de chargement en compression, il existe une nette divergence entre les deux courbes de chemin de contrainte.

0

100

200

300

400

0 10 20 30 40 50 60

EssaiHSM

Temps (minute)

U(kN/m2)


71

Figure 4.32 – Chemin de contrainte dans les axes (s,t) de Lambe sous chargement cyclique obtenu expérimentalement et par simulation numérique

-80

-40

0

40

80

0 40 80 120

Essai

HSM



Chapitre 5 Conclusions et recommandations pour des travaux de recherches futurs

72

Chapitre 5: Conclusions et recommandations pour des travaux de recherches futurs

1 Conclusions

Le travail effectué dans le cadre de ce mémoire peut être divisé en deux parties: Modélisation du comportement de l’argile soumis à un chargement

triaxial monotonique non drainée ; Modélisation du comportement de l’argile soumis à un chargement

triaxial cyclique non drainée ;


73

1.1 Chargement triaxial monotonique Il s’avère que dans le domaine de déformation (ε1≤9 %), le déviateur de contrainte développé sous chargement monotonique obtenu par simulation numérique, est raisonnablement comparable à celui du déviateur de contrainte obtenu expérimentalement. Au-delà de 9% de déformation axiale, les courbes de variation du déviateur de contrainte obtenue par simulation, s'éloignent de celles obtenues en laboratoire. Au delà de 9% de déformation axiale, le déviateur de contrainte dans le cas expérimental, présente une très faible diminution en fonction des déformations, alors que le déviateur de contrainte obtenue théoriquement continue d’augmenter lentement. Dans le domaine de déformation ε 1≤1%, le comportement de la pression interstitielle obtenue en laboratoire est similaire à celui obtenu par simulation. Cette corrélation observée dans le comportement de la pression interstitielle, a été également observée dans le comportement du déviateur de contrainte Umax=29.4kN/m2, obtenue par HSM qui correspond à ε 1=2 %. Ce décalage est jugé faible puisqu’il correspond à un déviateur de contrainte q’=5.9 kN/m2. Dans le domaine de déformation 1% ≤ε 1 ≤ 9%, les pentes des courbes expérimentales sont sensiblement similaires aux courbes théoriques. Au delà de ε 1=9 %, la pression interstitielle obtenue par HSM continue de sensiblement de diminuer, alors qu’en laboratoire au observe une très faible diminution de la pression interstitielle. . La comparaison entre les chemins de contrainte des essais expérimentaux et théorique, permet de faire les observations suivantes

Une corrélation presque totale des chemins de contrainte expérimentaux et théoriques.

L’allure des chemins de contrainte effective observée sous chargement non drainé de l’argile ״ Lower Cromer Till [34], est très comparable à ceux observée dans ces travaux.

1.2 Chargement triaxial cyclique On observe une similitude entre la courbe expérimentale et la courbe obtenue par simulation, ce qui exprime une similitude dans le comportement. Une différence néanmoins existe mais elle peut être considérée acceptable. Le comportement de la pression interstitielle est seulement comparable durant la phase de décompression, ainsi que durant la phase de traction où l’allure de la courbe expérimentale et de la courbe théorique est similaire. Mis a part le chemin de contrainte présentant la phase de chargement en compression, il existe une divergence entre les 2 courbes de chemin de contrainte. L’autre point important dans ce travail, c’est la représentation du comportement en traction de l’argile considérée: il s’avère que pour rendre compte de ce comportement, il faut diminuer les caractéristiques élastiques (E) et plastiques du sol (φ). Les caractéristiques du sol en mode de traction sont sensiblement inférieures à ceux en mode de compression. Ceci peut être expliqué que la rupture en traction peut être atteinte plus rapidement qu’en compression.


74

2 Recommandations pour des travaux de recherches futurs Pour confirmer les résultats des travaux de simulation effectués dans le cadre des travaux de ce mémoire, ces points importants suivants doivent être réalisés:

La réalisation d’autres séries d’essais expérimentaux sur des argiles, ayant des

caractéristiquement mécaniques différentes ; D’utiliser des argiles ayant été consolidé à différentes pressions de consolidation

dans la simulation numérique; D’utiliser des argiles normalement consolidées et surconsolidées ; Réaliser des simulations des essais cycliques avec un calcul dynamique ;

Références [1] P.EVESQUE,. Eléments de mécanique quasi-statique des milieux granulaires

mouillés ou secs. poudres & grains NS 1, 1-60 (2000). [2] SHIMMING, B.B., HASS, H.J.H., SAXE, 11.0.,Study of dynamic and static

failure envelopes. J. of Soil Mech”. Found. Div. A.S.C.E., Vol 92, 105-123. (1966).

[3] CASAGRANDE, A. and SHANNON, W. Research on stress deformation and strength characteristics of soils and soft rocks under transient 1oading. Pub. Harvard University Grad, Sch., Eng., Soil Mech., Series No.31. (1948).

[4] TAYLOR, D. W., A comparaison of the results of Direct Shear and Cylindrical Compression Tests. Proceedings, ASTM Symposium on Shear Testing of Soils, Vol. 39, p. 1058, (1953).

[5] BJERRUM, L., SIMON, N. and TORBOLAA, I. The effect of time on the shear strength of a soft marine clay. Proc. Brussels Conf. on Earth Pressure Problems, Vol 1, 148—158. (1958).

[6] ANDERSEN, K.H., POOL, J.S, BROWN, S.F., ROSENBRAND, W.F. Cyclic and static laboratory tests on Dramen clay, Proc. A.S.C.E, Vol 106, No UTS, 499-529. (1980).

[7] CRAIG, W.H. Strain rate and viscous effects in physical models. Proc. Conf .Soil Dynamics and Earthquake Eng., Southampton, 351-365. (1982).

[8] KHAFFAF, J.H. Weakening of undrained saturated clay under cyclic triaxial stress. Ph.D Thesis, University of Manchester. (1978).

[9] BRINKGREVE R.B.J. ET VERMEER PA. Plaxis v8, material model manual, DELFT University of Technology & Plaxis BV, Pays-Bas, (2003).

[10] REYNOLDS O, Phil. Mag. fifth series, 20, p. 469, (1885). [11] SKEMPTON, A. W,. The pore-pressure coefficients A and B. Geotechnique, 4,

143–147. (1954). [12] BJERRUM, L., Geotechnical problems involved in foundation structures in the

North Sea Geotechnique, Vol 23, No.3. 319-358. (1973). [13] ANDERSEN,K,H et al. Behaviour of clay subjected to undrained cyclic loading.

Proc. 1st Int. Conf, on, Behaviour of Offshore Structures, Trondheim, Vol 1, 3926403. (1976).

[14] CRAWFORD C.B. The influence of rate of strain on effective stresses in a sensitive clay, Soc. Testings Mat., Special Technical Pub. No. 254, 36-61. (1959).

[15] SEED, H.B., CHAN, C.K. Clay strength under earthquake loading conditions. J. Soil Mech. Found. Div., A.S.C.E., Vol 92, SM2, 53-78. (1966).

[16] THIERS, G.R., SEED, H.B. Strength and stress-strain characteristics of clays subjected to seismic loading conditions, Symp. Â.S.T.M., STP45O, 3-36. (1969).

[17] TAKAHASHI, M., HIGHT, D.W. and VAUGHAN, P.R. Effective stress changes observed during undrained cyclic triaxial tests on c1ay. Int. Symp. on Soils under Cyclic and Transient Loading”, Swansea, Vol 1, 201-209. (1980).

[18] A THAMMATHIWAT et al, Behaviour of strenght and pore pressure of soft clay cyclic loading, Thammasat. Ing.J. Sc. Tech , Vol. 9; No. 4, page. 21-28, (2004).

[19] SHERIF, M. A et al., Pore Pressure Prediction during Earthquake Loading, Soils and Foundations, Vol. 18; No. 4, pp. 19-30, (1972).

[20] CALLISTO et al. Mechanical behaviour of a natural soft clay. Geotechnique. Vol 48 No. 4 page 495-513. , (1998).

[21] R. NOVA. Fondements de la mécanique des sols. Hermes Science, (2005). [22] P. MESTAT and M. PRAT. Ouvrages en interaction. In Emploi des éléments finis

en génie civil. Hermès science, (1999). [23] BRINKGREVE R.B.J. et Vermeer PA. Plaxis v8, manuel de référence, DELFT

University of Technology & Plaxis BV, Pays-Bas, (2003). [24] PLAXIS. ; PLAXIS Finite Element Code for Soil and Rock Analyses, Version 6,

A.A. BALKEMA/ ROTTERDAM/ BROOKFIELD/ (1995). [25] SCHANZ, T,.Zur Modellierung des Mechanishen Verhaltens von

Reibungsmaterialen, Habilitation, Stuttgart Universität. (1998). [26] DUNCAN, J. M. & CHANG, C. Y. Nonlinear analysis of stress and strain in soil.

J. Soil Mech. Found. Div. ASCE96, pp. 1692-1653. (1970). [27] KONDNER, R.L., A Hyperbolic Stress Formulation for Sand. 2. Pan. Am ICOSFE

Brazil, Vol. 1, pp. 289-324. (1963). [28] SCHANZ, T., VERMEER, P. A. & BONNIER P. G. Formulation and verification

of the Hardening-Soil Model. Beyond 2000 in Computational Geotechnics, Balkema, Rotterdam, pp. 281-290. (1999).

[29] JANBU, N., Soil compressibility as determined by oedometer and triaxial tests. European conf on soil mechanics and foundation engineering. Wiesbaden, Germany, Vol. 1, pp. 19-25. (1963).

[30] VON SOOS, P., Properties of Soil and Rok (in German). In: Grundbautaschenbuch Part 4, Edition 4, Ernst & Sohn, Berlin. (1990).

[31] JAKY J., J. The coefficient of earth pressure at rest. Journal of the Society of Hungarian Engineers and Architects, Budapest, pp. 355-358, (1944).

[32] ROSCOE, K.H., SCHOFIELD, A.N, THURAIRAJAH, A, Correspondence, Geotechnique. Vol. 15, pp. 127-130., (1965).

[33] BRINKGREVE, R.B.J., Geomaterial models and numerical analysis of softening. Doctoral thesis, Faculty of Civil Engineering, Delft University of Technology. (1994).

[34] BJERRUM, L., Engineering geology of Norwegian normally- consolidated marine clays as related to settlement of buildings. Seventh Rankine Lecture. Géotechnique, Vol. 17, pp. 81-118. (1967).

[35] HIDJEB, M,. The behaviour of undrained saturated clay under monotonic and cyclic loading. A thesis sul,itted to The Victoria University of Manchester in application for the degree of Master of science. (1987).

[36] ROWE, P. W. and BARDEN, L., Importance Free-Ends in triaxial testing. tournal of the Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 90, SMI, Proc. Paper 3753, jan., p.1, (1964).

[37] ROBERT W. SARSBY et al, Compression of Free-Ends during triaxial testing. A.S.C.E N°108 (1982).

[38] HIGHT, D.W. A simple piezometer probe for the routine measurement of pore pressure in triaxial tests on saturated soils, Geotechnique, Vol 32, No 4, 396-401. (1982).

Monographie électronique [1i] JEAN-PIERRE MAGNAN, Résistance au cisaillement. Technique de l’ingénieur,

Traité construction. [Page consltée le 20 novembre 2007].<http//www.Résistance au cisaillement.fr>.

[2i] LOЇC DARIDON, Théorie des éléments finis. IPST Institut Professionneldes sciences et Technologie. (2007). [Page consltée le 15 avril 2008].<http://www.élément finis.htm>.

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