TD4 Fractions

Universite Henri Poincare Faculte des Sciences et Technologies

Licences Mathematiques, SPI et Informatique Automne 2010

Liste dexercices n4 : Fractions rationnelles

Exercice 1 Decomposer les fractions rationnelles suivantes sur C puis sur R

3X3 + 1

,1

X2n + 1.

Exercice 2 Decomposer sur R les fractions rationnelles suivantes :

2X3 + X2 X + 1X2 2X + 1 ,

3X5 + 2X4 + X2 + 3X + 2X4 + 1

X + 59X2 + 6X + 17

,3X5 4X4 + 4X3 10X2 8(X2 2X + 1)(X2 + X + 1) .

Exercice 3 Decomposer sur R et sur C les fractions rationnelles :

X

X4 + 1,

X5 + X + 1X4 1 .

X3 2X4(X2 + X + 1)2

,X2 3

(X2 + 1)(X2 + 4).

Exercice 4 Decomposer en elements simples les fractions rationnelles suivantes :

5X 12X(X 4) ,

37 11X(X + 1)(X 2)(X 3) ,

6X 11(X 1)2 ,

19X2 + 50X 25X2(3X 5) ,

2X2 15X + 33(X + 1)(X 5) .

Exercice 5 1. Decomposer X33X2+X4

X1 en elements simples sur R.

2. Decomposer 2X3+X2X+1X23X+2 en elements simples sur R.

3. Decomposer 2X3+X2X+1X22X+1 en elements simples sur R.

4. Decomposer X4+2X2+1X21 en elements simples sur R.

5. Decomposer XX24 en elements simples sur R.

6. Decomposer X5+X4+1X3X en elements simples sur R.

7. Decomposer X5+X4+1

X(X1)4 en elements simples sur R.

8. Decomposer X5+X4+1

(X1)3(X+1)2 en elements simples sur R.

9. Decomposer X7+3

(X2+X+2)3en elements simples sur R.

10. Decomposer (32i)X5+3iX2+iX+2

en elements simples sur C.

11. Decomposer X+iX2+i


12. Decomposer X(X+i)2


13. Decomposer X2+1

X4+1en elements simples sur R et sur C.

14. Decomposer XX4+1

en elements simples sur R et sur C.

15. Decomposer X2+X+1X4+1


16. Decomposer X5+X+1X41 en elements simples sur R et sur C.

17. Decomposer X5+X+1X61 en elements simples sur R et sur C.

18. Decomposer X32

X4(X2+X+1)2en elements simples sur R et sur C.

19. Decomposer X(X2+1)(X2+4)


20. Decomposer X23

(X2+1)(X2+4)en elements simples sur R et sur C.

Correction 1 1. X33X2+X4

X1 = X2 2X 1 5X1 .

2. 2X3+X2X+1X23X+2 = 2X + 7 3X1 + 19X2 .

3. 2X3+X2X+1X22X+1 = 2X + 5 +

3(X1)2 +

7X1 .

4. X4+2X2+1X21 = X

2 + 3 + 2X1 2X+1 .5. X

X24 =1/2X+2 +

1/2X2 .

6. X5+X4+1X3X = X

2 + X + 1 1X + 1/2X+1 + 3/2X1 .7. X

5+X4+1X(X1)4 = 1 +

1X +

3(X1)4 +

6(X1)3 +

10(X1)2 +

4X1 .

8. X5+X4+1

(X1)3(X+1)2 = 1 +3/4

(X1)3 +3/2

(X1)2 +37/16X1 1/8(X+1)2 5/16X+1 .

9. X7+3

(X2+X+2)3= X 3 + 7X+13

(X2+X+2)3 7X+21

(X2+X+2)2+ 14

X2+X+2.

10. (32i)X5+3iX2+iX+2

= 2+iXi +13iX+2i .

11. X+iX2+i

=2+2

4+24i

X22i2

+2+2424i

X2+2i

2

.

12. X(X+i)2

= 1X+i i(X+i)2 .

13. X2+1

X4+1= 1/2

X2+2X+1

+ 1/2X22X+1 =

24i

X2222i

+24i

X22+22i

+24i

X+22+22i

+ 24i

X+2222i.

14. XX4+1

= 2/4

X2+2X+1

+2/4

X22X+1 = 1

4i

X2222i

+14i

X22+22i

+ 14i

X+22+22i

+14i

X+2222i.

15. X2+X+1X4+1

= (22)/4

X2+2X+1

+ (2+2)/4

X22X+1 = 1+

2

4i

X2222i+

1+2

4i

X22+22i+

124

i

X+22+22i+

124

i

X+2222i.

16. X5+X+1X41 = X +

3/4X1 +

1/4X+1

X+ 12

X2+1= X + 3/4X1 +

1/4X+1 +

12+ 1

4i

Xi + 1

2 1

4i

X+i .

17. X5+X+1X61 =

1/2X1 +

1/6X+1 +

13X 2

3X2X+1 =

1/2X1 +

1/6X+1

13j

X+j 13j2

X+j2.

18. X32

X4(X2+X+1)2= 2

X4+ 4

X3 2

X2 3X + X+1(X2+X+1)2 + 3X+5X2+X+1 =

2X4

+ 4X3

2X2

3X +13j2

(Xj)2 +13j

(Xj2)2 +32 23

3

18i

Xj +32+ 23

3

18i

Xj2 .

19. X(X2+1)(X2+4)

=13X

X2+1

13X

X2+4= 1/6Xi +

1/6X+i 1/6X2i 1/6X+2i .

20. X23

(X2+1)(X2+4)= 4/3

X2+1+ 7/3

X2+4=

23i

Xi + 2

3i

X+i + 7

12i

X2i +712i

X+2i .

Exercice 6 Decomposition en elements simples =2x4 + x3 + 3x2 6x + 1

2x3 x2 .

Correction 2 Commencer par la division euclidienne : = x + 1 + 1 avec 1 = 4x26x+12x3x2 .

Puis factoriser le denominateur. On a

1 =A

x2+B

x+

C

x 12. (1)

On obtient2x4 + x3 + 3x2 6x + 1

2x3 x2 = x + 11x2

+4x 2x 12

.

Exercice 7 Decomposer les fractions rationnelles suivantes :

X3

X3 1 sur R

X2 + X + 1(X 1)2(X + 1)2 sur R

F (X) =1

(X3 1)2 sur C en remarquant que F (jX) = F (X)

X7 + 1(X2 + 1)(X2 + X + 1)

sur R

X3 + X(X2 + X + 1)2

sur R

Correction 3X3

X3 1 = 1 +1

X 1 +X + 2

X2 + X + 1.

X2 + X + 1(X 1)2(X + 1)2 =

3/4(X 1)2 +

1/4(X + 1)2

.

F (X) = 29

(1

X 1 +1

X j +1

X j2)

+19

(1

(X 1)2 +j2

(X j)2 +j

(X j2)2).

X7 + 1(X2 + 1)(X2 + X + 1)

= X3 X2 X + 2 X + 1X2 + 1

+X

X2 + X + 1.

X3 + X(X2 + X + 1)2

=X 1

X2 + X + 1+

X + 1(X2 + X + 1)2

.

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