TaPL名古屋 Chap2
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TaPL名古屋 #2
齋藤 啓太
2012年 2月 18日
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 1 / 34
おしながき
.. .1 Mathematical Preliminaries
Sets, Relations, and FunctionsOrderd SetsSequencesInduction
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 2 / 34
はじめに
おまえら英語苦手なんだろう!?
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 3 / 34
はじめに
そこで
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 4 / 34
はじめに
なるべく日本語で書いてきた!
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 5 / 34
はじめに
なるべく日本語と記号で書いてきた!
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 6 / 34
2.1.1 Notation of Sets... ..
.
.{. . . } : 複数要素の表示... ..
.
.{ x ∈ S | . . . } : 包含で表す場合... ..
.
.φ : 空集合... ..
.
.S\T : { x | x ∈ S ∧ x ∈\ T }... ..
.
.| S | : 集合Sの要素数,サイズ.
.. ..
.
.
P(S) : 集合Sの powerset(冪集合),Sの全サブセットの集合
ex. S = {1, 2},P(S) = {φ, {1}, {2}, {1, 2}}齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 7 / 34
2.1.2 Natural Number
.natural number.... ..
.
.N : {0, 1, 2, 3, . . . }.countable..
.. ..
.
.
Nと 1対 1対応が取れる集合を countable(可算)という
Nとの間に全単射な写像が取れる集合ex. 偶数,整数,有理数,etc.
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 8 / 34
2.1.3 n-Place Relation
.n-place relation..
.. ..
.
.
集合S1, . . . , Snの各要素の組から成る集合Rを,S1 × · · · × Snの n-place relationという.
ex. S1 = {1, 3}, S2 = {2, 4}, R = {(1, 2), (1, 4), (3, 4)}
例のRは <= の関係を表わしてる.
(1, 2)はRによって関係付けられている,と言う.
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 9 / 34
2.1.4 Predicate
.Predicate.... ..
.
.集合Sの one-place relation PをS上のpredicateという.
s ∈ Sに対して s ∈ P のときP は sに当てはまる,という.
これからλs.P (s)はSから真偽値へのマップ関数としてよく書くよ.
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 10 / 34
2.1.5 Binary Relation
.Binary relation.... ..
.
.binary relation とは two-place relationのこと.
(s, t) ∈ Rの代わりに s R tという表記をよく使う.みんな大好き中置記法
集合UとUの binary relationは単純に,U上の binary
relation Rという.
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 11 / 34
2.1.6 more notation
9章では 3組以上の例も.
ex. Γ ` s : T はΓ, s, T が typing relation内にあるの意
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 12 / 34
2.1.7 Domain, Range
集合SとT の関係Rに対して,.domain.... ..
.
.dom(R) = { s ∈ S | (s, t) ∈ R }.range (codomain).... ..
.
.range(R) = { t ∈ T | (s, t) ∈ R }
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 13 / 34
2.1.8 Partial Function, TotalFunction
.partial function..
.. ..
.
.
s ∈ S, t1 ∈ T, t2 ∈ T,に対して (s, t1) ∈ R, (s, t2) ∈ R から t1 = t2が常に成り立つとき,RはSからT の partialfunctionという..total function..
.. ..
.
.
partial functionに加えて,dom(R) = Sのとき,RはSからT への total function,または単に functionという.
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 14 / 34
2.1.9 Defined, Undefined.defined..
.. ..
.
.
集合SからT への partial function Rにおいて,s ∈ Sが s ∈ Rのとき,Rは sを definedであるという.definedでないものを undefinedという.f(χ) ↑や f(χ) =↑は,fがχを undefinedであることを表す.f(χ) ↓は definedを表す
(誰か説明して)exceptionとかあるよね,from S to T ∪ {fail}
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 15 / 34
2.1.10 Preserved
.preserved..
.. ..
.
.
binary relation R,集合S,predicate P に対して,s R s′かつP (s)でP (s′)が成り立つとき,P はRによって preservedという.
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 16 / 34
2.2.1 Property of Binary RelationS上の binary relation Rに対して,.reflexive.... ..
.
.∀ s ∈ S . s R s
.symmetric.... ..
.
.∀ s, t ∈ S . s R t → t R s
.transitive.... ..
.
.∀ s, t, u ∈ S . s R t ∧ t R u → s R u
.antisymmetric.... ..
.
.∀ s, t ∈ S . s R t ∧ t R s → s = t
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 17 / 34
2.2.2 Preorder, Partial Order, TotalOrder
.preorder..
.. ..
.
.
preorderなR : reflexive + transitive.preorderなRは≤やvで書く.preorderd set Sは,S上に特定の preorderなRがつねにあるの意.
<は s ≤ t ∧ s 6= t
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 18 / 34
2.2.2 Preorder, Partial Order, TotalOrder
.partial order.... ..
.
.partial order : preorder + antisymmetric..total order.... ..
.
.total order : partial order + ∀ s, t ∈ S . s ≤ t ∨ t ≤ s
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 19 / 34
2.2.3 Join, Meet≤はS上の partial orderで s ∈ S,t ∈ Sであるとき,.join(least upper bound)..
.. ..
.
.
ある j ∈ Sが sと tの joinであるとは,...1 s ≤ j ∧ t ≤ j...2 ∀ k ∈ S . s ≤ k ∧ t ≤ k ∧ j ≤ k
.meet(greatest lower bound)..
.. ..
.
.
あるm ∈ Sが sと tのmeetであるとは,...1 m ≤ s ∧m ≤ t...2 ∀ n ∈ S . n ≤ s ∧ n ≤ t ∧ n ≤ m
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 20 / 34
2.2.4 Equivalence
.equivalence..
.. ..
.
.
S上のRが equivalenceである : Rは reflexive +transitive + symmetric
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 21 / 34
2.2.5.reflexive closure.... ..
.
.Rを含む最小の reflexiveな関係.R′で表す..transitive closure.... ..
.
.Rを含む最小の transitiveな関係R′.R+で表す..reflexive and transitive closure.... ..
.
.Rを含む最小の reflexiveで transitiveな関係.R∗で表す.
※集合R ∈ RがRのうちで最小であるとは,∀Ri ∈ R . R ⊆ Ri
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 22 / 34
2.2.6 Exercise 2.2.6
集合S上の関係Rを考える.ある関係R′を次のように定義する.
R′ = R ∪ { (s, s) | s ∈ S }
R′がRの reflexive closureであることをしめせ.
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 23 / 34
2.2.7 Exercise 2.2.7 -moreconstructive definition of transitiveclosure-
Riを以下のように定義する.
R0 = RRi+1 = Ri ∪ { (s, u) | ∃t ∈ R.(s, t) ∈ Ri ∧ (t, u) ∈ Ri }
以下をしめせ.
R+ =⋃i
Ri
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 24 / 34
2.2.8 Exercise 2.2.8
S上の binary relationをR,Rによって preservedなS上の predicateをP とする.このときP がR∗によっても preservedであることをしめせ.
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 25 / 34
2.2.9 Decreasing Chain
.
.. ..
.
.
S上の preorderな関係≤を仮定する.si ∈ Sについて∀ i ∈ N . si+1 < siが成り立つとき,列s1, s2, s3, . . . を関係≤の decreasing chainという.
ex. ”5, 4, 3, 2, 1”
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 26 / 34
2.2.10 Well Founded
.
.. ..
.
.
S上の preorderな関係≤を仮定する.leqが無限の decresing chainを持たないとき,≤はwellfoundedという.
ex.N上の<はwell founded(0 < 1 < 2 < . . . )
ex.R上では not well founded(· · · < −1 < 0 < 1 < . . . )
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 27 / 34
2.3.1 Sequences
.
.. ..
.
.
sequenceは,要素を “,”で区切りながら並べて書く.ただし本書において,“,”はConsとAppendの両方の意味で書くので注意.... ..
.
.1..n : 1から nまでの sequence
.
.. ...
.| a | : sequence aの長さ... ..
.
.• : 空の sequence
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 28 / 34
2.4.1 AXIOM: Ordinary Inductionon N
P (0) ∀i ∈ N. P (i) → P (i+ 1)∀n ∈ N. P (n)
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 29 / 34
2.4.2 AXIOM: Complete Inductionon N
(∀i ∈ N, i < n. P (i)) → P (n)∀n ∈ N. P (n)
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 30 / 34
2.4.3 Lexicographic Order(Dictionary Order)
(m,n) ≤ (m′, n′)⇔ m < m′ or (m = m′ and n ≤ n′)
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 31 / 34
2.4.4 AXIOM: LexicographicInduction
(∀m′, n′ ∈ N, (m′, n′) < (m,n). P (m′, n′)) → P (m,n)∀m,n ∈ N. P (m,n)
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 32 / 34
2.4.4 Lexicographic Induction
Lexicographic Inductionはnested inductionの基礎であり、帰納法による証明を”by an innerinduction”で継続します.また 3つや 4つの組などへと一般化できます.(ペアはよく使われ,3つ組もたまに使います.ただ 4以上は稀です.)Chapter3のTheorem 3.3.4では,structuralinductionと呼ばれる別形式の帰納法を紹介します.これは termや型導出のような木構造の証明に特に便利です.帰納的な論法の数学的の基礎はChapter 21で詳しく考えます.これらの特殊な帰納法はある 1つのアイディアのインスタンスだということがわかるでしょう.齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 33 / 34
おわりに
以上...
齋藤 啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 34 / 34