Syllabus Médecine 2012 LH

1MPHY B110 (Houssiau) - -

MPHY B110 : Physique Mdicale

Notes de cours du Professeur HOUSSIAU

Avertissement :

Ces notes sont destines aider les tudiants de 1re anne de bachelier en sciences mdicales tudier

leur cours. Elles se basent encore en partie sur le syllabus du cours des annes prcdentes et ne

constituent pas exactement la matire du cours, ni celle de lexamen.

La matire de rfrence du cours est celle qui a t enseigne au cours magistral. Certains aspects du

cours ne sont pas repris dans ces notes mais doivent tre connus sils ont t vus au cours magistral. Par

contre, les supplments de matire repris dans ce document ne font pas partie de la matire du cours.

Matire du cours = Ce qui a t enseign au cours magistral

Ce document vous sera nanmoins utile pour complter vos propres notes, ou pour apporter un

clairage diffrent sur certains points du cours. Je vous en souhaite une bonne lecture !

Laurent Houssiau

Le 19 dcembre 2012


1.1. DEFINITION

L'quilibre d'un corps peut se dfinir en toute gnralit partir de l'absence d'acclration de

ce corps. Plus prcisment, on dira qu'un corps est en quilibre si son tat de repos ou de mouvement

(vitesse constante) ne se modifie pas : pour que cette condition soit vrifie (principe d'inertie) il faut

qu'aucune force n'agisse sur ce corps, ou bien qu'il y ait exacte compensation de toutes les forces qui

agissent sur ce corps.

Si le corps est au repos, on parle d'quilibre statique.

1.2. L EQUILIBRE DE TRANSLA TION

Le point matriel

L'objet matriel le plus simple pour une tude physique est le point matriel. C'est un modle

qui suppose que l'objet possde une masse concentre en un point.

Exemple :

ce point

Un point matriel ne peut effectuer qu'un mouvement de translation. Puisqu'il n'a pas de

dimension matrielle, le point ne peut pas subir un mouvement de rotation ou de vibration

(dformation). Enfin, si plusieurs forces agissent sur le point matriel, elles sont ncessairement

concourantes.

Equilibre du point matriel

Si plusieurs forces (ncessairement concourantes) agissent simultanment sur le corps (= point

matriel), celui-ci restera au repos, ou gardera son tat de mouvement vitesse constante, si la force

rsultante est nulle : on dit que le corps est alors en tat d'quilibre.

Mathmatiquement, on crit :


n

i

i 1

R F o

si n forces agissent sur le point matriel.

Dans un systme de coordonnes Oxy du plan, cette quation devient, en passant aux

composantes des forces, un systme

n

ix

i 1

n

iy

i 1

F 0

F 0

Pour calculerR , la rsultante n

i 1

Fagissant sur le point matriel, on fait (1) le recensement de toutes les

forces, sans oublier les forces de raction ; (2) la somme gomtrique de toutes ces forces, par exemple

par la rgle du paralllogramme. .

La r

corps est

(F=0).

1.3. EQUILIBRE DE ROTATIO N

Le corps solide rigide

On ne peut pas toujours traiter un corps rel comme une particule. Ce corps a des dimensions,

une forme et une rpartition de masse bien dfinie. On supposera dans ce chapitre, que l'objet est

indformable. Les forces qui agissent sur lui pourront lui communiquer un mouvement de translation ou

de rotation, car ces forces ne sont pas ncessairement concourantes et n'ont donc pas, a priori, un point

d'application identique.

mme si la rsultante des forces est nulle (quilibre de translation), le corps peut tre mis en rotation, il

peut basculer

Le Moment d'une force

Un corps rigide (indformable), de dimension finie, peut prsenter un mouvement de

translation, ou de rotation, ou un mouvement combin. La grandeur qui met le corps en rotation


quotidienne

Pour ouvrir une porte (qui pivote autour d'un axe fixe), il faut essentiellement la mettre en

mise en rotation sera proportionnelle trois grandeurs :

- La norme de la force applique (F)

fort sur la poigne ;

- : de fait, les poignes de

;

- La composante normale (=perpendiculaire la porte) de la force, qui vaut F.Sin o

form entre la force et la porte. On tire toujours sur une porte perpendiculairement la porte.

En dfinitive, la grandeur qui permet de mettre la porte en rotation vaut r.F.sin . Cet exemple nous

permettra de dfinir rigoureusement le moment de la force F par rapport au point O fixe sur l'axe de

rotation.

Dfinition : moment d'une force par rapport un point fixe (figure 1)

Soit un corps solide de masse M, possdant un point fixe 0, soumis l'action d'une force

extrieureF , applique en un point A diffrent de 0. Le segment 0A est not r et s'appelle le bras de

levier de F par rapport 0 ; r et F forment un angle .

L'exprience montre que dans ces circonstances, l'objet M va se mettre tourner, et ce autour

d'un axe qui est perpendiculaire au plan (0, F); l'effet sera proportionnel (et en sens et en intensit) F.r

sin ; si = 0, donc si F est dans l'axe de r , il n'y a pas de rotation (sin = 0).

Ces caractristiques nous apprennent que le phnomne tudi, le moment de la force F par

rapport au point fixe 0, est un tre vectoriel.

0n dfinit le moment selon le produit vectoriel (annexe 1) :

= r x F

avec = r . F sin

Unit

Le moment de force s'exprime en N . m (force x longueur).


Figure 1

Le vecteur moment de force

La rotation imprime par F pouvant tre soit horlogique ou anti-horlogique, le vecteur

orient perpendiculairement au plan (0, F) (figure 2a) est dirig soit vers le bas ou vers le haut selon la

rgle du tire-bouchon (ou la rgle de la main droite) (figure 2b).

Figure 2

est un vecteur glissant mais le point 0 est tout dsign pour tre son point d'application !

est appele bras de levier efficace du moment de la force F (figure 3) : le

bras de levier efficace est donc la projection (la plus courte distance) de r sur la perpendiculaire l'axe

deF .

Figure 3


L'effet de la force F varie en fonction de l'angle (figure 1) ; pour une force de mme grandeur,

des mouvements de rotation diffrents rsultent d'angles diffrents. En fait, lorsque F est dans l'axe

de r , il n'y a pas de rotation : la force est inefficace, son effet tant compens par la raction du point

fixe de la masse du corps solide. La force F a donc une composante active, dpendante de la valeur de

l'angle : sur la figure 3, F est dcompose en F || (sur l'axer ) et en F (perpendiculaire l'axer ).

Bien videmment, F est la composante active de la forceF .

On peut donc crire :

= r . F sin

r sin u levier)

r F sin = r F (force active).

En rsum, le vecteur moment de force est un vecteur caractris par :

- sa grandeur : r F sin

- sa direction : perpendiculaire au plan form par le point fixe 0 et la force F

- son support : passant par 0

- son sens : donn par la rgle de la main droite ou du tire-bouchon.

Afin d'tablir les conditions d'quilibre d'un corps matriel rigide quelconque l'aide de cette

notion de moment de force associe une rotation, essayons tout d'abord de rsoudre quelques

problmes simples.

1.4. CONDITIONS GENERALES D'EQUILIBRE D 'UN CORPS SOLIDE RIGIDE

Un corps solide rigide sera en quilibre si et seulement si les deux expressions vectorielles

suivantes sont vrifies en mme temps :

R 0

0


ou bien :

i

i

F

F 0

0

Ainsi : la somme des forces externes doit tre nulle et le moment net de toutes les forces

externes doit tre nul, par rapport n'importe quelle origine. La premire condition assure que le corps

ne sera soumis aucun mouvement de translation ; la seconde signifie que le corps est en quilibre de

rotation galement.

On peut dmontrer en effet que, si le corps est en quilibre, alors la rsultante des moments de

logique car ce point o est dfini comme un point fixe ; si le corps est immobile, tous ses points sont fixes

et peuvent servir de rfrence. En pratique, on rsoudra les problmes de statique en choisissant

moment car il est nul.

de six quations, car il

y a trois coordonnes par vecteurs. En gnral cependant la plupart des problmes de statique sont des

problmes plans, pour lesquels toutes les forces sont situes dans le mme plan. Dans ce cas, les

ique se rduisent en un systme de trois quations :

ix

iy

iz

F 0

F 0

0


Donnez-moi un point d'appui, un levier, et je soulverai le monde

Archimde

2.1. DEFINITIONS

Tout comme les poulies, les vrins ou les palans, etc. les leviers sont des machines mcaniques

simples, car elles ne mettent en jeu que deux forces :

1 force applique ou motrice f

et 1 force rsistante f '

avec pour but soit de raliser un quilibre, soit de faire passer une quantit d'nergie produite par le

travail d'une force (motrice) vers l'endroit o est applique l'autre force.

Plus pratiquement, on peut dire qu'un levier est une barre rigide qui peut tourner (pivoter)

autour d'un axe fixe afin de soulever un poids P (force rsistantef ' ) lorsqu'on lui applique une force

motricef .

Dans un levier on distingue donc une barre rigide, et un point ou axe fixe que l'on nomme

l'appui. Les distances de cet axe aux lignes d'action des forces sont les bras du levier.

2.2. CLASSES DE LEVIERS

On distingue trois genres de leviers, suivant les positions respectives de l'appui et des forces f et

f ' .

1er genre : levier interappui (figure 4a)

c'est--dire que le point d'appui se trouve entre f et f ' ; une application en est la balance, ou le

levier (pied de biche) utilis pour dplacer un objet trs lourd.

Dans l'anatomie humaine, ce type de levier existe dans l'articulation de la mchoire, et l'appui de

la tte sur la dernire vertbre cervicale.


2me genre : levier interrsistant (figure 4b)

c'est--dire que la force rsistante (f ' ) se trouve entre le point d'appui et la force motrice.

Comme exemple, citons la brouette et l'articulation du pied de l'homme.

3me genre : levier intermoteur (figure 4c)

c'est--dire que la force motrice f ' se trouve entre le point d'appui et la force rsistante.

Citons pour illustration, la pdale d'acclrateur, et l'anatomie de l'avant-bras de l'homme.

N.B. : dans ces dfinitions, ce qui importe est le point d'application des forces; mais les directions des

forces f et f ' peuvent tre tout fait quelconques.

Figure 4

2.3. EQUILIBRE D 'UN LEVIER

Soient (figure 5) un levier interappui, avec deux forces f et f ' dont les points d'application sont

fixs par rapport 0 (appui du levier).


Figure 5

Pour que ce levier soit en quilibre, il faut que la somme des forces et la somme des moments de

ces forces soient nulles :

i

i

i

i

f

Identifions d'abord toutes les forces considrer, et appelons R la raction agissant sur le

levier au point d'appui. On a :

(1) if 0 f f ' R 0 R (f f ')

donc la force de raction R est la force oppose la rsultante des forces f et f ' .

(2) i 0

exprime par rapport au point d'appui 0, cette relation donne

f ' f ' 0, o OA et ' OB

f ' f ' 0

car tous les angles sont droits, et l'on a choisi arbitrairement de compter positif un moment engendrant

une rotation dans le sens horlogique. On dduit que :

l f l ' f ' ;

ou bien, f '

f '

qui est la condition d'quilibre du levier.


2.4. AVANTAGE MECANIQUE (AM)

On crit :

f '

AMf '

qui est le rapport entre les grandeurs des bras du levier. Pour un levier de type inter-moteur, on a

toujours AM < 1 ; pour un levier inter-rsistant, AM est toujours > 1; alors que toute valeur de AM est

possible pour un levier inter-appui.

Pour un levier classique dans le langage courant (c'est--dire pour un pied de biche ou une

barre mine, soit des leviers inter-appuis), la force motrice f sera beaucoup plus petite que la force

rsistante f figure 4a) : si l'on cho l ', on pourra soulever une masse de 1

tonne avec une force de 10 kilogramme-force (soit environ 100 Newton).

Ces dfinitions du levier peuvent tre rationalises en montrant que le travail moteur est gal au

travail rsistant, il y a toujours dans un levier conservation du travail (c'est--dire du produit force x

dplacement).

2.5. APPLICATION : LA COLONNE VERTEBRAL E

L'quilibre de l'homme en position incline sera tudi en dtail plus loin. Ici, nous voudrions

faire remarquer que la colonne vertbrale d'une personne qui se penche vers l'avant est un levier dont

l'avantage mcanique est trs petit.

En effet, idalisons la colonne vertbrale d'un homme qui se penche l'horizontale comme une

barre rigide (figure 6) ; le pivot ou point d'appui de ce levier est le sacrum (la dernire vertbre) qui

supporte toute la colonne.

Faisons tout d'abord un inventaire des forces en jeu :

(1) le sacrum exerce une force R (raction) sur la colonne.

(2) les muscles du dos peuvent quant eux tre rassembls en une seule force f qui s'exerce, si la

personne est penche l'horizontale, sous un angle de 12 ; le point d'application de cette force est

environ un tiers de la longueur de la colonne vertbrale ; l'angle tant petit, le bras de levier efficace

de f (par rapport 0) est trs petit, soit l.

(3) le poids du corps (ici, il faut considrer l'ensemble tte + bras + tronc, soit environ 65% du poids total

de l'homme) s'exerce verticalement, de haut en bas, en un point d'application (le centre de gravit) situ

mi-distance de la colonne; le bras de levier de cette force p f ' ' .


Les rapports des bras de levier ' est


En ralit, le biceps forme un angle de 15 environ par rapport la verticale (figure 8). Montrer

qu' l'quilibre on doit avoir :

'

f f 'lcos15

Figure 7 Figure 8


3.1. LA PESANTEUR

La loi d'attraction universelle de Newton

Aprs avoir tudi le mouvement des plantes, - et peut-tre (ce qui est dit par la lgende) avoir

reu une pomme sur la tte pendant qu'il rflchissait au pied d'un pommier - Newton (1642 1727)

proposa dans un recueil fameux (Principia, 1687) la loi de l'attraction universelle :

Deux points matriels dans l'univers m et m' exercent l'un sur l'autre une force d'attraction

directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carr de la

distance qui les spare , qui se formule :

2

mm'F G

r

o G est un coefficient numrique, reprsentant une constante universelle, appele constante

gravitationnelle. Cette constante peut tre mesure exprimentalement (Cavendish, 1798), et dans le

systme SI, elle vaut

G = 6,673 x 10-11 N.m2

kg2

Il est important de faire remarquer que la force de gravitation voit son intensit varier comme

l'inverse du carr de la distance entre les deux masses. La constante G a numriquement une valeur

faible : la force de gravitation ne sera donc apprciable que si les masses qui s'attirent sont (trs)

importantes. En fait la force de gravitation est trs importante l'chelle de l'astronomie (systmes

plantaires, galaxies

Dans la vie de tous les jours - sauf pour les applications dcrites la section suivante - la force

gravifique entre deux objets est extrmement faible. Pour s'en convaincre, on peut calculer la force

d'attraction entre deux tudiants (M = 70 kg) se situant 1 m de distance : on trouve 0,35.10-6 N. Cette

force est bien infrieure en intensit au poids de chacun des tudiants La Terre par contre exerce une 24 kg !

Pesanteur et poids

La force gravitationnelle que la terre exerce sur un objet sa surface est relativement grande, en

raison de la masse importante de la terre. C'est une exprience classique (vidente) que d'observer que

si on lche un corps de masse m au-dessus du niveau du sol, il tombe vers le bas, avec une acclration


constante que l'on notera g. Tout objet massique la surface de la terre subit une force verticale, dirige

vers le bas, appele force pesanteur ou poids .

En effet, supposons que la masse M de la terre est rassemble en son centre, et que la masse

exprimentale m s'en trouve loigne de r = rayon de la terre (environ 6,38.106 m); on peut alors crire

la loi de gravitation sous la forme :

2 2

Mm GMF G. m mg P

r r

L'acclration g se dfinit donc par l'galit :

2 2

GM mg 9,81

r s

c'est une constante dtermine par la force d'attraction exerce par la terre sur une unit de masse.

Sous nos latitudes, cette force Pexerce sur une masse de 1 kg est de 9,81N. On dit alors que cette

masse de 1 kg, pse 9,81 N. Ce poids pourtant est fonction de diffrentes situations ; par exemple, il

varie :

1 En fonction de diffrentes positions sur la terre :

- g est plus grand au ple qu' l'quateur, car le rayon terrestre est dilat l'quateur. (Ple :

g 9,83; quateur : g 9,78); cet effet s'ajoute en fait celui de la rotation de la Terre (raction

centrifuge) ;

- des anomalies locales dans les densits de la crote terrestre influencent localement la

grandeur de g ;

- g varie avec l'altitude (g est d'environ 1/3000 par km).

2 En fonction de l'attracteur lui-mme : un astronaute sur la lune sera soumis une pesanteur

bien diffrente en intensit !

Masse et poids

Le poids d'un corps est la force (la pesanteur) qui l'attire vers le centre de la terre : il est d la

masse (c'est--dire la quantit de matire) de ce corps :

La masse est donc ce qui produit, ce qui cause la force ; mais la masse n'est pas la force. En

consquence, le poids (la force) n'est pas la masse.

Exemple : une tudiante dont la masse est 50 kg pse 490N.


3.2. CENTRE DE MASSE (C.M.) OU CENTRE DE GRAVITE (C.G.)

La force pesanteur, ou le poids Pest un vecteur. Pour dfinir sans ambigut ce vecteur, il faut

donc spcifier :

1- sa direction : la verticale

2- son sens : de haut en bas

3- son intensit : mg

4- son point d'application : on peut montrer qu'il est possible de considrer que tout le poids du

corps est concentr en un seul point, que l'on appelle le centre de gravit, qui concide avec le centre de

masse (dans un champ gravitationnel uniforme).

Soit un corps solide rel, de masse M soumis l'attraction de la terre. Nous supposerons que ce

corps se trouve dans le plan xy, et que le poids total du solide est la rsultante de la force pesanteur

agissant sur une quasi-infinit de trs petites masses m1, m2, m3 i 1,

y1), (x2, y2), (x3, y3 i,yi figure 9).

Figure 9

Le poids total du solide M sera crit W; il vaut la rsultante de tous les poids partiels pi, qui sont

des forces parallles, diriges verticalement de haut en bas.

i ii i

W gm

En supposant que g ne varie pas sur l'tendue du corps matriel :

iW g m

W gM (expression identique celle du point matriel ; mg)


Le point matriel o toute la masse M du solide peut tre considre comme rassemble est

dfini par la condition que l'quilibre dfini pour M doit tre le mme que celui des mi ; il sera donc ce

point dont les coordonnes (x_ , y

_ ) correspondent celles de la rsultante de toutes les forces igm

parallles entre elles. De par notre tude relative aux moments de force nous dduisons que chaque

particule donne lieu un moment, par rapport l'origine, et le moment rsultant est dfini par :

i i

i

Fxx

Fdevient

i i

i

x

i i i i i i

ii

m gx m x m xx

m Mm g

Un raisonnement semblable permet de dduire que :

i im y

yM

et (x_ , y

_ ) sont les coordonnes du centre de gravit du corps solide M. C'est le point par o passe la force

pesanteur, quelle que soit l'orientation du corps.

Un exemple trs simple : soient deux masses m1 et m2 positionnes en x1 et x2

:

Si les deux masses sont identiques, la formule devient simplement :

--dire que le centre de masse se trouve au milieu des deux masses. La formule qui dcrit la

consquent, mme si le calcul peu

moyenne de la matire qui constitue le corps.

3.3. RECHERCHE DU CENTRE DE GRAVITE D 'UN CORPS

Le centre de gravit des corps symtriques et homognes est facilement identifi leur centre

gomtrique. Exemple, disque, cube, paralllpipde etc.


Pour les objets sans grande symtrie, le C.G. peut tre dtermin exprimentalement : un objet

suspendu dans le champ d'action de la pesanteur doit avoir son centre de gravit situ sur la verticale

qui passe par ce point de suspension O ; c'est en effet la seule condition pour que le moment du poids

par rapport au point de suspension s'annule (figure 10). Si on suspend le mme objet un autre point O',

le centre de gravit se trouvera toujours sur une verticale passant par O'. Le C.G. se trouve donc tout

simplement l'intersection des deux droites.

Figure 10

3.4. EQUILIBRE DES CORPS POSES AU SOL

Si le corps solide est pos au sol en plusieurs points, on dfinit la base de sustentation par la

figure forme sur le sol par les tangentes externes aux points de contact avec le sol2. Ce corps sera en

quilibre tant que la projection verticale de son centre de gravit se trouvera l'intrieur de la base de

sustentation.

Exemple : quilibre du corps humain dans son ensemble

Lorsqu'une personne se dplace, il y a des moments o seulement un pied repose sur le sol. De

mme, une personne peut statiquement se trouver au repos sur un seul pied. Cette position peut tre

une position d'quilibre. Dans cette position verticale, il y a deux forces qui agissent sur le corps de

l'homme, pris dans son entiret : le poids du corps (W , vecteur dirig verticalement vers le bas, et la

raction du sol sur le(s) pied(s) ( N , dirige verticalement vers le haut); le point d'application de W peut

tre identifi au centre de gravit du corps humain, sur une ligne mdiane, vers le bas du ventre. Si l'on

mesure les moments de force par rapport au pied de l'individu, il est vident que l'quilibre ne sera

ralis que si, et seulement si, les lignes d'action de W et N concident (figure 11). L'quilibre de

translation sera lui assur lorsque W = N. Pratiquement, il suffit que la verticale au centre de gravit

passe par la base de sustentation. En tant debout sur deux pieds, cette base est dlimite par

sustentation devient limit

2


Figure 11

3.5. CALCULS D EQUILIBRE STATIQUE D U SQUELETTE HUMAIN

(voir prsentation PowerPoint)

Equilibre de la jambe

Si l'on considre maintenant la jambe comme un systme isol (figure 12), il faut faire d'abord un relev

de toutes les forces actives. Ce sont :

Figure 12


(1) N , la raction du sol sur le pied : c'est la force oppose au poids W du corps.

(2) F , la force rsultante de l'action de tous les muscles et ligaments, qui exerce une force de

traction sur le fmur (partie extrieure gauche) vers le bassin. Ce vecteur force a son point d'application

18 cm de la verticale dfinie par W ; il est orient 70 par rapport l'horizontale.

(3) R , la force de raction exerce par le bassin sur la tte du fmur (le point d'application est 11

cm de la verticale dfinie parW ).

(4) W

7, le poids de la jambe ; vecteur dirig verticalement vers le bas, au centre de gravit de la

jambe, un peu au-dessus du genou, 8 cm de l'axe W .

L'quilibre de la jambe sera ralis si iF 0et i 0 .

Equilibre des forces : par rapport 0, point d'application deR , on transporte les forces paralllement

elles-mmes, et on exprime :

Fix = Fiy = 0 (x est l'horizontale, y la verticale).

ix xF R Fcos70 0 (a)

iy yW

F R Fsin70 W 07

(b)

o Rx et Ry reprsentent des valeurs relatives (c'est--dire avec le signe implicite).

Ensuite, on annule le moment de toutes les forces par rapport ce mme point 0 (en choisissant comme

sens positif des moments la direction de la rotation horlogique) :

iW

F.0,07.sin70 .0,03 W.0,11 07

dont on retire F 1,6W(c)

On note donc que la grandeur des forces (F) identifies aux muscles dits abducteurs (qui maintiennent

l'extrmit du fmur 18 cm de la ligne mdiane dfinie parW ) est d'environ 1,6 fois le poids total du

corps. La valeur (c) permet d'valuerR , selon (a) et (b) :

xR Fcos70 1,6.W.0,342 0,55W


et y6 6

R Fsin70 W 1,6.W.0,94 W 2,4W7 7

Force d'crasement du coccyx

Dans cette section, la question de l'homme en position inclin l'horizontale, dj tudie au

point de vue des leviers), est rexamine dans l'optique de la notion d'quilibre. Ici, nous supposerons

que l'homme se penche en avant, sa colonne vertbrale faisant un angle = 60 avec l'horizontale. Le

figure

13).

Figure 13

Relev des forces

1) les bras sont supposs verticaux, attach en S ; avec la tte, ils dfinissent une force gale leur

poids qui vaut 0,2 W

2) au centre de la colonne, le poids du tronc est un vecteur qui s'applique au centre de gravit = 0,4

W

3) un ensemble de muscles du dos est rassembl en une seule force Fqui tire sur la colonne

pour garder l'homme son quilibre. Des tudes anatomiques montrent que cette force de traction fait

un angle de 12 avec l'axe de la colonne ; son point d'application est au tiers suprieur de la colonne.


4) le sacrum (la dernire vertbre) en 0 supporte lui l'action de compression de la colonne et ragit

en exerant sur la colonne une force R inconnue, dirige selon un angle par rapport l'horizontale.

Conditions d'quilibre

a) ii

F 0est calcul en transportant en 0 toutes les forces, puis en annulant les quations aux

composantes Fx et Fy :

xF 0 xR Fcos 12 0

xR 0,67F(a)

yF 0 yR Fsin 12 0,6W 0

yR 0,74F 0,6W(b)

b) ii

0 , par rapport au point 0, et pour des moments choisis positifs dans le sens horlogique,

donne :

F 0,2W 0,4W 0

2

.Fsin12 .0,2W.cos .0,4W.cos 03 2

donc (pour = 60)

F = 1,44 W

A ce moment, on peut rsoudre (a) et (b), pour obtenir :

Rx = 0,96 W

Ry = 0,74 F + 0,6 W = 1,67 W

ainsi que

1

2 2 2

x yR R R R 1,93W

orientation de R :

x

y

R 1,67tg 1,74

R 0,96

60


Il est trs important de noter que, l'quilibre, la force (R ) exerce sur le sacrum est grande,

beaucoup plus grande que le poids du corps (environ 2 fois si = 60). Donc si l'homme doit soulever un

poids suppl

disques cartilagineux des vertbres peuvent avoir des effets dommageables.


Jusqu' prsent, nous avons tudi les conditions d'quilibre statique des objets soumis des forces

extrieures, en supposant que les solides taient indformables. Or, tout objet - mme l'acier - subit une

lgre dformation lorsqu'il est soumis une force ou un moment de force. Tout type de matriau est

caractris par ses proprits dites lastiques que nous allons aborder ici.

1. LA PRESSION

Une force agit sur un solide par l'intermdiaire d'une certaine surface de contact.

La pression d'une forceF , agissant sur une surface S est gale par dfinition au quotient de la

composante normale de cette force --dire la composante perpendiculaire S) par la surface (qui

par son contact transmet l'effet de la force). En effet, la dformation du matriau sera dtermine par la

force qui s'exerce par unit de surface et non par la force seule :

F

pS

La pression p est scalaire. Si l'on dcompose F en des composantes normale et parallle par rapport S,

il est vident que seule F va causer une dformation ; F est donc la force utile , active ou efficace.

La justification de cette notion de pression est que l'exprience montre que l'effet de

dformation de Fdpend de F et de S.

Ainsi, pour F constant,

si S est grand, FS sera petit

si S est petit, FS sera grand

Donc si l'on veut diminuer l'effet de dformation d'une force, on a avantage augmenter la surface de

contact (S) : exemple, raquettes neige, voies de chemin de fer; inversement, si l'on souhaite amplifier

l'action de dformation d'une force, on diminuera S : exemple, le bistouri du chirurgien.

Units de pression : dans le systme international d'units, une force s'exprime en newton (N), et une

surface en 2m . L'unit de pression sera donc :


2

F 1Newtonp 1Pascal 1Pa

S m

1 Pascal est donc dfini comme la pression exerce par une force de 1 newton agissant

uniformment sur une surface de 12m .

2. TRACTION ET COMPRESSI ON D'UN SOLIDE UNI-DIMENSIONNEL

force (d'longation par exemple) en son extrmit B : sous l'effet de la dformation, la barre s'allonge

jusqu'en B', et l'on note une variation de longueur l (figure 14).

Figure 14

figure 15):

Figure 15

a) Si une force agit sur un solide, il va se dformer. Pour des forces suffisamment faibles, la dformation

est d'abord proportionnelle la force (zone I : lasticit linaire) ; de plus, si la force cesse d'agir, le

corps reprend sa forme primitive. Si l'on augmente l'intensit de la force agissante, la dformation se

pplique (zone II : lasticit non-liniaire), le


solide reprend sa forme lorsque l'action de la force est supprime. Ces modes de dformation

rversible du solide sont dits lastiques.

b) Si l'intensit de la force augmente encore, des modifications permanentes de la forme et de la

structure du corps sont induites. On parle de dformation plastique, de nature irrversible (zone III :

plasticit).

c) Enfin, le matriau soumis l'action d'une force trop importante peut se rompre.

Dans t linaire (faible intensit deF), l'longation sera proportionnelle la

force applique :

F = k

k est le coefficient de proportionnalit exprimant la force ncessaire pour allonger le corps de la

longueur unitaire (

La compression est la dformation inverse de la traction. Les mmes lois sont observes.

3. LA LOI DE HOOKE

Si dans l'exprience prcdente (figure 14) on place deux tiges minces l'une ct de l'autre,

chaque tige ne supporte plus que la moiti de la force, et leurs allongements sont rduits de moiti

(figure 16) : on a en fait doubl la section de la tige, et on remarque que l'allongement est inversement

proportionnel la surface.

Figure 16

Donc en fait, pour un vrai solide tendu, son accroissement de longueur sera proportionnel

- la tension, c'est--dire la force applique par unit de surface (FS );

-


La constante de proportionnalit est une caractristique intrinsque du matriau tudi : on l'appelle le

module de Young (Y) : la loi relative la traction s'crit :

1 F. .

Y S

Pour un matriau homogne, les modules de Young pour la traction et la compression sont

habituellement gaux; cela n'est plus vrai pour un solide inhomogne comme le bton ou l'os. L'quation prcdente est gnralement prsente sous la forme :

FY.

S

avec FS = la tension ou pression (en Pa) et

Loi de Hooke.

Units : le module de Young s'exprime en Newton

m2 = Pascal (Pa).

crit aussi souvent sous la forme condense suivante :

= Y.

O reprsente la contrainte de traction (>0) ou de compression (


Matire Y (N/m2) Tension de rupture (N/m2)

acier

fmur

tibia

radius

tendon

vaisseau sanguin

caoutchouc

2.1011

1,7.1010

1,8.1010

1,85.1010

2.107

2.105

2.105

4.108

1,2.108

1,4.108

1,5.108

Les units N/m2 tant probablement peu parlantes dans la vie de tous les jours, on peut vrifier

par exemple que 1,8.1010 pascals 180 tonnes/cm2.

Dans ce tableau, on observera : le module de Young de l'acier est environ 10 fois plus important que

celui (moyen) d'un os long; pourtant la rsistance la rupture de l'acier n'est que de trois fois celle d'un

os.

On peut retenir aussi qu'un os (long) se dforme de faon tout fait lastique jusqu' un allongement

relatif ( '

) de 5 %o; 7 8 %o est la limite pour la rupture de l'os.

Voir prsentation PowerPoint pour des exemples de modules de Young et les courbes de dformation (

vs.

Exercice :

Soit un fmur dont le diamtre minimum est de 3 cm (la section minimale qui correspond au point le

:

Y=1,7.1010 Pa=17 GPa

r,tension = 1,2.108 Pa

r, compression = -1,7.108 Pa

subit normalement des contraintes de compression et est rarement sollicit en traction.

Question (1) : soit une force de 1000 N exerce sur le fmur. Quelle

considrant que sa longueur l est 45 cm ?


Par la loi de Hooke, on a

Comme l vaut 0,45 m, l vaut donc 0,45.8,4.10-5 = 3,78.10-5 m, soit seulement 38 m. Cette dformation

est extrmement faible et le squelette est donc rellement rigide.

Question (2) : Quelle force produira une rupture du fmur ?

La rupture en tension se produira si F/S > r, tension, donc Fmax = r,tension . S = 1,2.108. 7.10-4=8,4.104 N.

De mme, en compression on calcule une Force maximale = r,compression . S = 1,2.105 N.

!), qui ne sont jamais atteintes dans des conditions

normales. Nanmoins, en

, le corps passe

n temps trs court, donc le corps

subit une acclration intense. Comme F=m.a, la force peut tre trs leve aussi.


1. TRAVAIL

Dans la vie quotidienne, travail et nergie ont de multiples significations ; en physique, ces

termes recouvrent des concepts des plus importants, qu'il faut dfinir de faon trs rigoureuse.

Commenons par prciser la notion de travail.

Le travail : dfinition

Un corps matriel est au repos sur une surface horizontale sans frottement ; soumis l'action

d'une force constanteF , il se dplace dans la direction et le sens deF (figure 17a). Si Fagit

obliquement, on dcompose la force Fen une partie perpendiculaire (F ) et une composante parallle

au sol ( / /F ) (figure 17b) ; comme par hypothse le corps reste sur le sol, on dduit que la composanteF

est inactive et seule la partie / /F entranera un mouvement horizontal du corps matriel.

Figure 17

Le travail (W) de cette force Fse dfinit comme :

le produit de la composante de F oriente dans le sens du dplacement, par la grandeur du

dplacement de son point d'application .

Si ce dplacement est notx , on a donc par dfinition :

cas a : W F . x

cas b : //W F . x Fcos x


On distingue aisment force et travail moteurs, de force et travail rsistants : le travail est

moteur s'il est positif, c'est--dire si le dplacement x est dans le sens de F ; le travail est rsistant s'il

est ngatif, si la force s'oppose au dplacement.

En toute gnralit, le travail se dfinit par un produit scalaire :

W F. x F. x.cos

o est le plus petit angle entre les deux vecteurs (force et dplacement). On vrifie donc aisment que

le travail effectu par une force perpendiculaire au dplacement est nul (cos90 0) : donc porter un

fardeau lourd le long d'une surface horizontale reprsente physiquement un travail nul. Il en est de

mme de tenir immobile un objet pesant bout de bras ! (cependant, les muscles de la personne sont

contracts, entranant une certaine consommation d'nergie, l'intrieur de l'organisme).

Units et dimensions

L'unit internationale du travail est celle d'une force de 1 newton qui dplace son point

d'application de 1 mtre ; on l'appelle le joule (J) : 1 J = 1 N . 1 m. Le joule est une unit trs importante,

Exemple : travail ncessaire pour soulever un objet de masse m

Le travail ncessaire pour soulever un objet (p.ex. une valise)

hauteur h.

Donc : W P.h mgh

(note : la force applique vaut bien moins

Une masse de 1 kg souleve sur une distance de 1 m consomme un travail de :

2

mW = 1 kg . 9,81 .1 m=9,81 J

s

Lorsque nous exer --dire sans dplacement, soit isomtrique, le

travail mcanique effectu est nul car le dplacement est nul. Ce rsultat est cependant paradoxal car

maintenir une force musculaire est fatiguant et donc consomme ef


travail est nul !

sur un terra

effectu, mme pour une contraction musculaire isomtrique. Les fibres musculaires sont constitues

ctiles se contractent chaque impulsion nerveuse,

sous forme de chaleur. En finale, contracter le muscle consomme effectivement une

quantit ; cette nergie se

dgrade ultrieurement en chaleur. Porter une charge est fatiguant , donc con

donne chaud , parce que cette nergie se dissipe en chaleur.

2. ENERGIE

En toute gnralit, une nergie (E) est identifie toute capacit d'un corps matriel produire

un travail (W) ou de la chaleur (Q). Un travail est toujo

sur le systme et seront

co par

systme

entielle) la charge (=le systme). Une voiture

en mouvement produit du travail (W


rappel du ressort effectue un travail rsistant, donc ngatif) donc on stocke

otentielle peut tre vue comme un rservoir de travail. Le

ressort contenu dans une montre mcanique entretient le mouvement d'horloge; il accomplit un travail.

Un ressort comprim contient donc de l'nergie potentielle. Nous verrons plus loin que les artres,

lors de la diastole (voir la fin du chapitre 12).

b)

L'nergie cintique est tout travail qu'un corps peut produire en raison de son mouvement ; elle

sera note Ec ou Ek.

On imagine facilement qu'un corps matriel soumis l'action d'une force et donc une

acclration peut acqurir de la vitesse. Avec cette vitesse (cette nergie cintique), le mobile peut

effectivement effectuer un travail.

dilatation des artres (chapitre 12).

bien connue :

Nous donnons ici une dmonstration simplifie de cette formule. Soit un corps initialement au repos,

subissant une acclration constante : il va donc adopter un mouvement rectiligne uniformment

constante, de valeur F=ma. Cette force se dplace

il vaut F. x,

o

gale v. Nous pouvons crire les deux formules suivantes relatives au MRUA :

v = a.t

Par consquent, le travail vaut :


On pourrait montrer que cette formule reste vraie mme si le mouvement est quelconque (non

rectiligne avec acclration variable).

Principe de conservation de l'nergie

C'est une observation qui n'a jamais t mise en dfaut - que l'nergie totale d'un systme isol

ne varie pas, dans la mesure o l'on tient compte de toutes les formes d'nergie en prsence.

Etot = constante

L'nergie ne peut donc jamais tre cre ou dtruite ; la forme de l'nergie peut se modifier, mais

l'nergie totale est toujours constante. On peut mme affirmer que l'nergie totale de l'univers est

constante.

tomber, la balle est immobile (Ec=0) et possde une Ep=mgh. En tombant, elle acquiert de la vitesse (

cE Ep ) Ec=- Ep.

art est convertie en nergie cintique :

2

mvmgh

2

2ghv

: dans ce cas, toute

c=Ep

en chaleur. Une quantit de chaleur gale (mgh) Joules a t libre aprs la chute de la balle.

Autre exemple : us

partie de cette nergie est garde en rserve dans notre corps aprs des processus biochimiques tudis

travail musculaire, qui lui-mme peut tre converti en nergie potentielle (soulever une valise) ou

sous forme de chaleur.


inexorablement en chaleur : penso

principe dpasse videmment le cadre de ce cours et est mentionn ici pour information.

3. PUISSANCE

En pratique, il n'est pas seulement intressant de connatre un travail total effectu, ou une

quantit totale d'nergie dpense, mais il devient important de dterminer la rapidit avec laquelle

cela se fait. Plus ce temps sera court, plus le moteur sera dit puissant.

Dfinitions

Lorsqu'un travailW est effectu pendant un intervalle de tempst , la puissance mcanique se dfinit

par le quotient :

WP

t

E.

La puissance se dfinit alors de manire plus gnrale par :

: puissance mcanique, puissance

lumineuse, puissance acoustique, puissance thermique, etc. Le mtabolisme du corps humain

consommons par unit de temps. Au repos, notre corps consomme dj 80 W, qui deviennent de la

chaleur et un peu de travail (cardiaque et respirato

consommons de 200- 7 J)

!

Units

Dans le systme international d'units, on dfinit l'unit de puissance comme tant le watt (W),

correspondant un travail de 1 joule effectu en 1 seconde.

1 W = 1 joule/s


Dans la pratique quotidienne, on parle de kilowatt (1 kW =310 W). L'nergie lectrique quant

elle se vend sous forme de kilowatt-heure (kWh), correspondant au travail fourni pendant une heure par

une machine qui a une puissance de 1 kilowatt :

6joules

1kWh 1000 3600s 3,6.10 Js

;

Attention, on de puissance.


1. DEFINITION

--

aprs un intervalle de temps appel la priode T. Plus exactement, la position du corps en mouvement

revient au mme point aprs une priode ; on peut crire :

Les exemples de mouvement priodiques sont

ressort, voire le mouvement du muscle cardiaque, si le rythme cardiaque est constant.

2. LE MOUVEMENT CIRCULAI RE UNIFORME . DEFINITIONS , VARIABLES

ANGULAIRES

En plus de la cinmatique des mouvements rectilignes, les lois de Newton permettent la comprhension

et la description d'un autre type de mouvement trs souvent rencontr dans la nature, il s'agit du

mouvement circulaire.

Le MCU : Dfinition

Un point matriel (de masse m) dcrivant un mouvement dont la trajectoire est une circonfrence (de

rayon r), avec une vitesse constante en grandeur est dit anim d'un mouvement circulaire uniforme

(MCU).

C'est par exemple le mouvement dcrit par une pierre au bout d'une corde, que l'on fait tourner autour

de soi.

Une caractristique fondamentale du MCU est qu'il constitue un mouvement priodique : la pierre

parcourt toujours la mme circonfrence, et repasse toujours au mme endroit, aprs un mme

intervalle de temps. Un tel mouvement priodique sera dcrit par des grandeurs physiques nouvelles.

Priode et frquence du mouvement

Dfinitions :

La priode (T) du MCU est par dfinition le temps mis par le point P pour parcourir la circonfrence

complte. Il s'exprime en seconde (s).


La frquence ( ) du MCU est le nombre de tours (ou de cycles) effectu par le point P en 1 seconde. La

frquence s'exprime en cycle par seconde. Par dfinition, on a que

T = 1;1

=T

ou1

T = .

Pour caractriser des phnomnes lectriques, ou lectromagntiques, on rserve l'unit de Hertz :

1 Hertz = 1 tour/seconde = s-1

Variables angulaires

Plutt que de dcrire un mouvement circulaire plan l'aide des coordonnes (x, y), nous allons

montrer qu'il est trs intressant d'utiliser des variables angulaires.

Sur la figure 18, on prendra ox comme axe de rfrence, et l'on spcifiera la position du point P

au cours de son MCU en prcisant la valeur de l'angle :

en t = t1, P se trouve en 1

en t = t2, P se trouve en 2, etc.

Figure 18

La vitesse angulaire moyenne ( ) se dfinit comme le rapport du dplacement angulaire1 2 au

temps 1 2t t mis pour le parcourir :

2 1

2 1

=t t t

Les angles se mesurent en degrs ou en radians (rad). La figure 19 montre que la position angulaire et

la trajectoire parcourue s sont relies par la relation

s

= R

t1

t2


Figure 19

sera gal 1 pour s = R (l'arc s a la mme longueur que le rayon R). Comme la circonfrence (1 tour

complet) vauts = 2 R, on a que2 R

(360) = = 2R

rad. se mesurant en rad, on exprime en

rad/s = s-1.

La vitesse angulaire instantane vaut par dfinition :

t 0

dlim =

t dt

Pour un mouvement circulaire avec vitesse angulaire uniforme, on a :

d

= = =t dt

constante

Dans ce cas, la loi du MCU exprime avec des variab :

t

o est la position angulaire initiale. Notons la similitude avec la loi du MRU (x=x0+vt).

:

22

T

Dans un MCU, on peut galement dfinir une vitesse linaire v : c'est la variation de l'espace s parcouru

par unit de temps : ds

v = dt

. Puisque le mouvement est uniforme, on a :


ds s

v= = =dt t

constante

et comme l'espace parcouru pendant une priode T est une circonfrence complte :

s = 2 R pour t = T

on a que 2 R

v 2 RT

on en dduit que, dans un MCU,

v R

donc qu'il existe une relation simple entre les vitesses linaire (v) et angulaire (). Cette formule peut

plus sa vitesse est grande. Au centre du carrousel, elle a une vitesse

nulle, sur la circonfrence du carrousel sa vitesse est maximale.

On note que le dplacement angulaire est indpendant du rayon R : donc tous les points matriels d'un

mme corps solide rigide ont la mme vitesse, et le mme dplacement angulaire. C'est pourquoi, pour

l'tude des M.C., on prfre utiliser les variables angulaires plutt que les coordonnes et vitesse

linaires.

L'acclration centripte

Dans un MCU, bien que la vitesse v (et ) du point matriel soit constante, la direction du

vecteur vitesse v change constamment en fonction du temps ; en consquence, le point matriel

acclre. Cette acclrationdv

a= 0dt

.

A partir de l'exemple simple d'une pierre que l'on maintient en rotation autour de soi, en la

retenant par une ficelle, on remarque que :

- le bras doit exercer une force pour retenir la ficelle et la pierre ;

- si l'on lche la ficelle, la pierre quitte sa trajectoire circulaire en suivant la tangente, avec la vitesse

qui tait la sienne ce moment-l.

La direction dev tant toujours tangente la trajectoire et donc changeant chaque instant, mais la

grandeur de v restant toujours constante, il ne peut pas y avoir de composante de l'acclration qui soit

tangente la trajectoire.


L'existence d'une acclration dans le MCU implique (2de loi de Newton) l'existence d'une force, celle qui

est ressentie dans le bras de l'exprimentateur (voir plus haut). Dans son mouvement, le corps reste sur

la circonfrence, la force l'empchant de s'loigner du centre : l'acclration et la force associe sont

diriges suivant un rayon, vers le centre de la circonfrence. Force et acclration sont radiales, toujours

perpendiculaires la vitesse: on appelle ces force et acclration, la force centripte (dirige vers le

centre) et l'acclration centripte .

Formulation mathmatique de l'acclration centripte

Note

.

a) dmonstration gomtrique

Figure 20

Sur une circonfrence a de centre 0, et de rayon R (fig. 20) M et M' sont deux positions du point

matriel mobile en des temps t ett + t . Dans cet intervalle de temps, le mobile parcourt un arc de

cercle s, ou une distance c = MM' (corde). On noteMV = |V| = M'V' = |V'| les vitesses du mobile,

en M et M', qui sont constantes en grandeur (puisque MCU), mais de direction diffrente.

En M on porte le vecteur M'V' paralllement lui-mme pour obtenir MV" : le vecteur VV'' est la

variation de vitesse V pendant t (figure 21).

Figure 21

Dans la construction rsultante (fig. 20) il apparat que les triangles MOM' et VMV" sont semblables

(triangles isocles avec les angles au sommet (0 et M) gaux) ; on peut donc crire les rapports :


OM MM'

=MV VV"

;R c

=v v

donc c

v = v.R

et l'acclration centripte sera par dfinition :

cp t 0

V dV= lim =

t dta

cp t 0 t 0

v c v c= lim . = . lim

R t R ta

Lorsque t 0 , c = MM' s, et puisques

= vt

, on obtient :

2

cp t 0

v s v= . lim =

R t Ra

ou bien 2cp

= Ra

puisquev = R .

La direction decpa est la direction de V ; or

''V VV est c . Si t 0 , c s, donc

cpsa ; on conclut que l'acclration centripte est dirige suivant un rayon, vers le centre de la

circonfrence perpendiculaire la trajectoire : sa grandeur correspond 2

2v = RR

.

b) dmonstration analytique

Le corps en rotation est repr par le vecteur position de composantes scalaires x et y :

:


Les composantes scalaires du vecteur vitesse nt par drivation des fonctions x et

y par rapport au temps :

Enfin, les composantes scalaires du vecteur acclration

fonctions vx et vy :

.

Le vecteur acclration est donc un vecteur de mme direction que (rayon) mais de sens oppos : il est

La norme du vecteur acclration est la norme du vecteur (gale au rayon du cercle R), fois .

a=R = v/R.

La force centripte

La force qui produit l'acclration centripte s'crit :

22

cp cp

mvF = m a = m R

R.

Cette force centripte est donc caractrise par les proprits suivantes :

- cpF est perpendiculaire la trajectoire, dirige suivant un rayon vers le

centre de la circonfrence dcrite par le MCU ;

- cpF est constante en grandeur (voir figure 22).

Figure 22


La force centrifuge (fictive) ou raction centrifuge

Selon le principe de l'action-raction toute force centripte exerce sur le corps m et dirige

vers l'intrieur de la circonfrence, doit correspondre une force exerce sur le centre de la rotation,

oriente vers l'extrieur : c'est la force centrifuge cfF (fig. 23). Cette force, comme toute force de

e invoque pour expliquer la

rotation.

Figure 23

Dans le langage quotidien, la force centrifuge dont il est question pour expliquer le mouvement

d'un observateur qui est en mouvement circulaire, est une force fictive, diffrente de celle dfinie ci-

dessus. L'origine de cette force fictive est due au mouvement qui anime l'observateur : on parle d'un

observateur non-inertiel, en dfinissant un systme de rfrence inertiel comme celui o les lois de

mouvement de Newton sont d'application.

Soit l'exemple du mouvement du carrousel (fig. 24)

Figure 24

- pour un observateur inertiel, qui ne participe pas au mouvement, une cabine, solidaire du plancher

du carrousel, tourne uniformment si elle subit une acclration centripte, due 2

cp

MvF =

R (2de loi

de Newton) ;


- pour un observateur situ lui-mme sur le carrousel, la cabine apparat au repos : pour pouvoir

appliquer la 2de loi de Newton, il doit imaginer qu'une force fictive dirige vers l'extrieur de la

circonfrence vient contrebalancer la force centripte, on acf cpF = - F .

Ainsi donc, il y a deux manires d'interprter la force ressentie par le passager d'un train qui

entre dans une courbe. Le passager lui-mme dira - dans le langage courant - qu'il subit l'action d'une

force centrifuge qui le pousse vers l'extrieur de la courbe; un observateur ct de la voie dira tout

simplement que, lorsque le train entre dans la courbe, le passager doit - principe d'inertie - continuer son

mouvement en ligne droite : en consquence, il sera dplac par une force qui le tire vers l'extrieur de

la courbe.

3. LE MOUVEMENT HARMONIQ UE

Le mouvement harmonique est dfini par une loi de mouvement sinusodale. On crit donc :

x = A sin = A sin ( t+ )

en dfinissant :

A ;

= la phase du mouvement sinusodal ;

= la pulsation du mouvement sinusodal ;

= la constante de phase, ou la phase l'origine ; c'est la valeur de lorsque t = 0.

Frquence et priode

Si T est la priode du mouvement, le mobile aux instants t et (t T ) doit se trouver au mme

endroit ; il faut donc que :

t T t 2

puisque la fonction sinus se reproduit en et ( 2 ). On dduit que :

2

= = 2 T

( = la frquence).

Signification de la constante de phase

Il y a deux cas particuliers du mouvement sinusodal :


si 0 , alors x = A sin t; ent 0 , x vaut 0, donc le mouvement dmarre l'origine, son

longation minimale ( 0 ).

si2

, alors x = A sin (t+ /2) = A cos t ; ent 0 , x=A, donc le mouvement dmarre

avec son longation maximale (A).

4. COMPOSITION DE MOUVEM ENTS HARMONIQUES DE FREQUENCES VOISINES :

LE PHENOMENE DE BATT EMENTS

Si un mme corps physique est soumis simultanment plusieurs mouvements harmoniques, le

mouvement rsultant est rgi par le principe de superposition.

Principe de superposition

Un objet matriel soumis deux mouvements harmoniques effectue un dplacement qui est la

somme algbrique des dplacements qu'effectuerait l'objet sous l'action de chacun des mouvements

pris sparment ce mme instant .

On suppose ici que les deux mouvements ont la mme amplitude, des frquences proches1 2v v , et

pas de dphasage, on crit donc :

1 1x Asin t

2 2x Asin t

Selon le principe de superposition : 1 2x x x , donc

1 2x A sin t sin t

1 2 1 2x 2Asin .t .cos .t2 2

En crivant 1 2

2qui sera (trs) petit, puisque1est (trs) proche de 2 ,

et 1 2

2qui vaut 1 2 , le mouvement rsultant devient :

x 2A.sin t.cos t


A chacune des fonctions trigonomtriques est associe une pulsation, donc une priode

diffrente :

petit T grand

plusgrand T' plus petit

donc la fonction sinusodale a une priode plus courte que la partie cosinusodale du mouvement : la

premire est dite l'onde porteuse, la seconde est la modulation : sur un graphique (fig. 25) on a l'image

typique d'un battement de deux ondes.

Figure 25

Un battement rpond aux trois caractristiques suivantes :

1- c'est un mouvement harmonique d'une frquence ' proche de 1 et 2 (1 2

' =2

)

2- l'amplitude de ce mouvement est module par un autre mouvement de frquence 1 2 =2

petite,


2- il faut un couplage entre ces deux systmes, dfini comme un lien physique par lequel la vibration et

etc.

3- les conditions de rsonance proprement dites :

: (actif)= 0.

La seconde condition impose que les deux oscillateurs vibrent en phase (c--

mme phase : (passif)=(actif). En gnral, cette condition se met en place spontanment

quand la condition sur la frquence est ralise.

Exemples

- La figure 26 montre une collection de pendules, tous attachs au mme support. Si le pendule 1 est

mis en oscillation, on observe que, au bout d'un certain temps, par l'intermdiaire du support de

couplage, il y a transfert d'nergie vers un autre pendule pourvu que celui-ci soit caractris par la

mme frquence d'oscillation, c'est--dire qu'il ait exactement la mme longueur.

- La figure 27

L'exprience montre que la corde sert de moyen de couplage pour transmettre l'nergie du moteur

(actif) au ressort massif (passif), et qu'en faisant varier la frquence de rotation du moteur,

l'amplitude du systme passif va passer par un maximum, lorsque sera

rencontrela condition de rsonance : n (actif) = n0 (passif) .

Fig. 28 : lorsque la frquence de l'oscillateur forc (le moteur) vaut exactement la frquence propre

du ressort, soit 01 k

= 2 m

- Deux diapasons sont accords sur la mme frquence. Toute excitation de l'un d'eux se transmet

(par l'intermdiaire de l'air et des botiers de rsonance) l'autre.

Autres exemples de rsonance

- Pont de Tacoma (tat de Washington) dtruit en 1940 ;

- Vibration des pices de carrosserie d'une voiture ;

- 1 colonne de soldats doit rompre le pas pour traverser un pont ;

- mares terrestres ;

- chanteur ou violon et bris d'un verre de cristal.


Figure 26

Figure 27

Figure 28


1. DEFINITIONS

Au sens de la physique, un phnomne ondulatoire (une onde), consiste en un nergie sur

une grande distance, sans de matire sur cette distance. Ainsi, une

- - qui

se dplace, mais chaque particule d

effectue un mouvement de haut en bas, mais aprs le passage de la dformation, il reste localis au

mme endroit.

- les ondes mcaniques

exemple. [Analogie avec le transfert de chaleur par conduction et convection].

- les ondes lectromagntiques

propager. Ce sont les ondes radio, TV ... la lumire.

Les ondes mcaniques sont produites et se propagent dans un milieu matriel grce ses proprits

e systme

Classification des ondes

La direction

La direction du mouvement des particules de la matire par rapport la direction de propagation de

On distingue :

a) une onde longitudinale : lors du passage de la dformation, le dplacement de matire

Exemples :

- le ressort (oscillateur harmonique)


- : dans la direction de propagation, la matire se dplace

b) une onde transversale : lors du passage de la dformation, le mouvement de la matire

est transversal, perpendiculair e la direction de propagation. Exemples :

- impulsion sur une corde tendue

- la lumire (onde lectro-magntique)

c) une onde mixte : est une combinaison de a et b.

- exemple :

verticale, mais aussi une composante horizontale (reflux).

Le milieu de propagation.

On distingue :

a) onde une dimension : la corde, le ressort.

b) onde deux dimensions

c) onde trois dimensions : les ondes sonores, les ondes sismiques.

2. LES ONDES MECANIQUES PROGRESSIVES

Une onde progressive est une perturbation qui se dplace dans un milieu lastique sans altration de sa

forme et vitesse constante.

est une constante, la vitesse de dplacement dx

vdt

(onde une dimension) est galement constante.

Exemples :

- impulsion sur une corde tendue

- ondes sonores

- dformation sur un ressort boudin.

Expression mathmatique

On choisit une onde de dformation dcrite par une fonction mathmatique y f x , qui se propage

dans un milieu une dimension (axe des x). En t 0 , elle se trouve enx 0. Aprs un certain temps t,

a (fig. 29). La premire hypothse impose que


:

y = f(x-a)

(attention au signe "" qui reprsente bien un dplacement vers la droite)

La seconde hypothse indique que la vitesse de propagation est constante, soit dx x

v cstedt t

.

On aura donc la relation :

a = vt

sera dcrite en toute gnralit par :

y f x vt

e des x) sera reprsente par :

y f x vt

Attention nouveau au signe, ici "+" pour un dplacement vers la gauche !

vitesse de phase

pour tous les points de la dformation, puisque celle-ci est de forme constante.

deux variables : une

x et une variable temporelle t, et bien sr ces deux paramtres peuvent varier en

mme temps !

Si on imagine :

a) que 0t fix t , on obtient 0y f x vt f ' x

une image de la dformation.

b) que 0t fix x , on obtient y f x vt f ' vt


un cran, avec une fente mince en 0x x : on voit alors dfiler devant soi la

dformation f ' vt .

Figure 29

3. ONDE SINUSODALE PROGRESSIVE

Considrons prsent le cas particulier des ondes de forme sinusodale. La plupart des ondes

priodiques peuvent se modliser, en premire approximation, par des ondes sinusodales. Nous

En toute gnralit, une dformation sinusodale :

y = y0 sin (kx+)

et se reprsente comme la figure 30.

Figure 30

La constante de phase , traduit que la fonction sinusode ne passe pas ncessairement par zro

x 0. Nous considrerons par la suite que onc simplement


y = y0 sin (kx)

La de cette sinusode est la distance remarquable qui spare deux abscisses pour

deux minima ou, plus

gnralement, entre deux points de mme phase successifs.

lettre grecque (lambda).

, on peut rcrire :

y(x+ )=y(x) y0 sin(kx+k ) = y0 sin (kx),

: k =2

On aboutit donc la relation:

2

k

Le nombre k est appel .

ale progressive (OSP), nous appliquons la

formule y f x vt .avec la fonction de dformation y=f(x) de la forme : y = y0 sin kx.

Si une onde sinusodale se dplace sans se dformer et vitesse constante vers les abscisses x

positives, on applique les rsultats du paragraphe 2 pour poser que sa reprsentation mathmatique

doit tre :

y = y0 sin[k(x-vt)]= y0 sin[kx-kvt)]

Le terme kv 2 v/ Montrons que ce terme vaut aussi , la pulsation.

:

priode (priodicit temporell , se

exactement /v. Le passage de ce cycle correspond au mouvement de va-et-vient de la matire pendant

exactement une priode. On crira donc :

T= /v

: = v/


On voit donc bien que

kv=2 v/ =2 = /T=

sodale progressive, se dplaant de

gauche droite :

0y y sin kx t

signes donc:

y = y0 sin (kx+ t)

Ces relations trs importantes permettent de reprsenter mathmatiquement des ondes sonores. y

4. VITESSE DES ONDES, VITESSE DU SON

La pro

que le coefficient propre au solide dcrivant son lasticit est le module de Young Y. Rcrivons la

loi de Hooke :

V produite

:

Ce qui se lit une variation de pression p sur un fluide induit une variation de volume V due la

compressibilit du fluide . Clairement, une compression (p>0) produit une diminution de volume

( V


Il est possible de dmontrer que la vitesse du son dans les fluides ne dpend que de leur lasticit

en volume (K) et de leur masse volumique (). La formule de la vitesse du son est :

K

v

Un K lev (faible compressibilit)

favorise des vitesses du son leves, une masse volumique leve (haute densit) favorise des

vitesses du son lentes.

Applications :

:

340 m/s (valeur retenir !). Le

son se propage plus vite quand la temprature augmente

donc

-50C, le son se propage 294 m/s.

:

Donald Duck

Vitesse du son dans un solide

peut tre visualise

par un pendule lger. Si le solide est caractris par sa masse spcifique et son module de Young Y, on

montre que la vitesse du son dans le solide vaut :

Y

v

:

- v (caoutchouc) 50 m/s (record infrieur)

- v (basalte) 6000 m/s (record suprieur)

propage


- v (eau sale) 1500 m/s

- v (sang) 1560 m/s

- v (graisse) 1450 m/s

- v (muscle) 1600 m/s

- v (os) 2700 4100 m/s

-

Soit une corde de masse linaire l (kg/m), soumise une tension T. Si une impulsion est

cre sur la corde, elle va se propager une vitesse v qui vaut :

l

Tv

On vrifie facilement par y

dplacera plus vite. Cette formule sera importante par la suite pour comprendre la production des

sons par les instruments de musique corde, mais aussi par les cordes vocales.

5. ENERGIE ET INTENSITE DES ONDES SINUSOIDALES PROGRESSIVES

Dfinitions

--dire une puissance :

puissance de la source (haut-

intensit

onde se dfinit donc ainsi :

a t cr dcode

Toutefois, il est montr que

l

Ainsi, pour une masse attache au ressort (oscillateur harmonique) qui oscille de faon sinusodale 2kx

2, --dire elle est proportionnelle au


2mv

2 , etc.

nde sonore

transporte par seconde vaut :

2 20dE 1

A y vdt 2

(watt)

onde dpend

1) 20y (important !);

2) 2 2 24 .

de

surface. Elle vaut donc :

2 2

0

dE 1 1I . v y

dt A 2 (watt/m)

source est de di

R), R tant la distance de la source par

:

o vibration de

nce de la source : .


1. LA PRESSION ACOUSTIQUE OU PRESSION SONORE

Les ondes sonores ont t dcrites

au mouvement naturel de

(voir chapitre 14)

considrer comme une onde de pression.

variations de pression qui se propagent la vitesse du son. Ce sont ces variations de pressions qui sont

rellement dtectes par nos tympans ou par un microphone. La pression acoustique (ou sonore) est

p. --

pression atmosphrique.

Qualitativement, on remarque que si le dplacement de type sinusodal, la

pression sonore P varie cosinusodalement : il y a donc un dphasage de 2

entre le dplacement et la

pression sonore : l

vice-versa (figure 31). Ce rsultat

On peut dmontrer (non vu au cours) que, une onde sonore de dplacement

Correspond une onde de pression

/

amplitude y0, la pression acoustique sera

est leve.

Ordres de grandeur

Une onde sonore est un phnomne en ralit s faible et il est mme tonnant que notre

oreille y soit sensible. En effet, un son de 1000 Hz et de 60 dB (voir plus loin), correspondant une

0 = 10-8 m (10 nm !) et

une pression acoustique maximale po= 3.10-2 Pa. En comparaison, la pression atmosphrique vaut 105

Pa !


Figure 31

2. LES ONDES STATIONNAIRES

Rflexion sur une extrmit fixe

Sur une corde une onde progressive se propage de la droite vers la gauche; si en la coordonne ( ,

l o la corde est fixe), cette onde rencontre un plan parfaitement rigide (de module de Young ),

il rsulte (voir exprience du cours) de la

collision de londe avec cet obstacle, une onde rflchie qui se propagera - dans ce cas prcis - de la

droite vers la gauche.

i 0iy y sin kx t ,

rflchie sera r 0ry y sin kx t dformations en

( x 0) de la corde est donne par :

i r 0i 0ry y y y sin t y sin t

0i 0ry sin t y y

Comme y (en ) doit tre nulle, on dduit que :

0i 0ry y

--

onde sinudodale.

x 0

x 0


chie. La rsultante vaut :

i ry y y

0y y sin kx t sin kx t

:

0y 2y sinkxcos t

e

mme fonction comme dans f x vt

une onde stationnaire.

et ventres :

Les s de l onde se produisent aux endroits o lamplitude y est nulle (interfrence destructive). Il

faut donc rsoudre lquation trigonomtrique suivante :

Les ventres de londe se produisent aux endroits o lamplitude de londe est maximale (interfrence

constructive), cest--dire l o sin kx vaut 1 ou -1 :

Corde fixe deux extrmits

Supposons que la corde soit (figure 32).

Figure 32

Il faut que l, en tout temps, la corde ne puisse bouger, donc :

x L


0y x L 0 2y sinkLcos t

:

sinkL 0

soit encore : kL n (n = nombre entier)

Sachant que 2

k , on crira encore :

2

L n

2L

ou L nn 2

En se rappelant que v , on dduit que :

v n

.v2L

(avec )

Donc : v

n2L

avec

la corde vibre des frquences particulires :

Pour n=1 : (Frquence fondamentale),

Pour n=2 : 2 = 2. 1 (1re harmonique),

Pour n=3 : 3 = 3. 1 (2me harmonique),

Etc.

Le fait que la corde soit fixe en ses deux extrmits (ce sont des conditions aux limites)

soumise une excitation priodique rsulte en une quantification du problme : les ondes ne peuvent

exister sur cette corde que pour des frquences bien particulires.

Les modes de vibration de la corde

Suivant les valeurs prises par le nombre entier (le nombre quantique) n, diffrentes vibrations vont

rsider sur la corde.

- mode fondamental :

Tv

n 1,2,...i

n 1


Si , 2Lou L2

.

dans le temps, selon une loicos t.

- harmonique : n 2

Si n 2, L . La figure 32 rapporte quelques tats particuliers de cette vibration de la corde ; cette

- harmonique : n 3

Si n 3 ; 2

L3

, 3

L2

a figure 32;

Figure 32

Une corde tendue est fixe en , libre en x 0 (figure 37). On montre graphiquement que la

long

4L 1

ou L 2n 12n 1 4

On dduit encore que diffrentes frquences de vibration peuvent exister sur la corde, selon v

.

De nouveau, la corde va vibrer des frquences particulires :

n 1

x L


Si n 0 0

v

4L : mode fondamental

Si n 1 1 03 : 1

re harmonique

Si n 2 2 05 : 2

nd harmonique

(On remarque que les harmoniques sont des multiples impairs du mode fondamental).

Modes stationnaires

- mode fondamental : n 0

Lorsque n vaut 0, on calcule que 4L ou 1

L4

; la dformation est un quart de cosinusode sur

a pas de dformation (x L ), l o elle est libre, il y a une

dformation (x 0) (figure 33a).

Ce mode prsente un ventre et un noeud.

- Premire harmonique : n 1

On dduit que 4

L3

ou3

L4

: sur la corde se dveloppe 3

4

(figure 33b).

Ce mode prsente deux noeuds et deux ventres.

On note que ces modes de vibration comportent toujours un ventre Au total il y a (

n 1) noeuds et (n 1) ventres.

(a) n=1 (b) n=2

Figure 33


1. OBSERVATIONS EXPERIME NTALES

s par des corps en oscillation ; exemples : (1) le

-

v

petit bouchon trs lger : si un marteau heurte la coupe (et produit un son), le bouchon oscille

priodiquement ...

lectriques priodiques, de frquence variable, connect un haut-

humaine) sont dans la gamme 20 Hz 20 000 Hz. En dessous de 20 Hz se trouvent les infra-sons telles les

ondes sismiques, au-dessus de 20kHz est la gamme des ultra-

vo v = 340 m/s : elles sont respectivement de 17m et de

1,7cm. Certai -sons : le chien (sifflet ultra-sons),

la chauve-souris ( 120kHz), le marsouin ( 200kHz).

puisse tre produit et se propager : le son

r, le

son se propage dans tout solide et dans tout fluide.

Exprience du cours : une sonnette dans une cloche

2. PROPRIETES PHYSIQUES ET EFFETS PHYSIOLOGI QUES DU SON

Un gnrateur de frquence variable reli un haut-parleur et un oscilloscope montre que trois

paramtres sont dfinir pour caractriser entirement un son. Ce sont :

a) le volume sonore,

o Cette intensit est lie la

pression sonore puisque 0p Kky cos kx t .

ressentie comme un son plus faible.


b) la hauteur sonore --dire le nombre

de dformations par seconde ; units : s-1

frquence comme un son aigu, une basse frquence comme un son grave. c) le timbre -

-dire la valeur mathmatique de la fonction f dansy f x vt

timbres diffrents lorsque un mme son (intensit et hauteur identique) est produit par

des instruments diffrents : on parle donc ici de distinguer le la produit par un piano

ou par une flte bec. Un son pur est produit par une fonction de dplacement

e produira un son plus

Thorme de Fourier (voir PowerPoint):

Tout phnomne priodique,

des multiples de la frquence du phnomne .

3. INTENSITE PHYSIQUE ET PHYSIOLOGIQUE : LA REPONSE AUDITIVE

fort sur celle du son le plus faible est 1012). Pourtant la rponse auditive est assez subjective,

pu tre dgages.

Courbes de Fletcher

Soit une source sonore dfinie

- 2) qui est audible. Pour une

frquence de 1000 Hz, ce seuil correspond -12 W/m2.

5P 3 10 N/m2111.10

une valeur extr -10

-10 W/m2. La courbe de Fletcher (figure 34) montre comment ce seuil dpend

la frquence.

- un seuil de douleur

ce seuil correspond quelques W/m2 2, ou

encore un dplacement maximal de 10-5 m.


Figure 34

Figure 35

Les courbes isosoniques de Fletcher-Munson (Figure 35) donnent encore une information plus dtaille.

Chaque courbe reprsente une ligne

attnuation des basses et hautes frquences. On dfinit ainsi une nouvelle unit, le Phone, qui

exemple, on voit que 30 phones correspondent 45 dB 100 Hz

La loi de Fechner


Attention ne pas confondre Gustav-Theodor FECHNER avec Harvey FLETCHER !

Fechner a montr que

:

La sensation physiologique crot proportionnellement au loga

UNITES D INTENSITE

Puisque les intensits sonores perceptibles varient dans une gamme extrmement large, on utilise

naturellement une

logarithmique.

Si I et 0I sont deux intensits sonores, dont la seconde est prise comme niveau de rfrence (qui doit

vaut :

100

Ilog

I o est exprim en bels

dcibel, dfini selon

100

In 10log

I (en dcibels ou dB)

ent entre le seuil daudibilit, soit 100

In 10log 0

I

dB et le seuil de douleur soit 100

In 10log 120

IdB.

Ci-

avion reaction 150 dB

marteau pic 130 dB

Tonnerre 120 dB

avion hlice 110 dB


mtro, tondeuse gazon 100 dB

+ 90 dB : il faut se protger les oreilles

circulation intense 80 dB

conversation normale 65 dB

poste de radio (normal) 40 dB

ville calme, chuchotement 30 dB

bruissement de feuilles 10 dB

4. OREILLE

-

nerveuses) dcoder par le cerveau. Le cerveau analyse et reconnat les diffrentes frquences,

xterne, l (figure 36).

Figure 36

u conduit auditif, un tuyau acoustique de 2

mm2 ; il est presque en appui total sur le marteau.


-ci puisse vibrer

an produit une impression de

douleur, les pressions sont mal quilibres entre les oreilles externe et moyenne et on peut y remdier

facilement en dglutissant).

(figure 37) : le long bras de le

sur le tympan, le petit bras sur la fentre ovale -

augmentant la pression sur cette membrane

lastique et compressible; la fentre ovale est en contact avec le prilymphe, liquide lourd,

incompressible et peu lastique.

Figure 37

semi-circulaires et la cochle ou limaon. Les canaux semi-circulai

un conduit enroul sur lui-

mme comprenant deux canaux remplis de fluide (figure 38) : les rampes vestibulaire et tympanique

environ 30.000 terminaisons nerveuses sont en connexion avec le nerf cochlaire.

t ovale

produire un mouvement de la fentre ronde (ce mouvement sera inverse de celui de la fentre ovale).

--dire que le canal cochlaire est sollicit : cette dformation des membranes de

a aussi remarqu que des sons de frquences di


(figure 39) est le sige

sont

de frquence plus basse (mouvement des membranes).

Figure 38

Figure 39


1. IMAGERIE PAR ECHOGRAP HIE

Les ultra

pour les ti

et comme outil de chirurgie se multiplient galement.

Rflexion et transmission des ondes sonores

Nous avons tudi le cas extrme ou une onde sonore se rflchit sur une extrmit fixe : dans ce cas

- En

exactemen

rflchie est appele coefficient de rflexion R et la fraction

acoustique (Z), dfinie comme le produit de la vitesse de propagation du son et de la masse volumique :

Z = .v

Plus la diffrence entre les impdances acoustiques des milieux 1 (Z1) et 2 (Z2) est grande, plus le

coefficient de rflexion est lev. Cet effet est rsum par les deux quations suivantes (non vues au

cours) :

2

1 2

1 2

Z ZR

Z Z et 1 2

2

1 2

4Z ZT

Z Z

Absorption des ondes sonores

pas mais se dissipe sous forme de chaleur. Ce phnomne est li la viscosit des fluides (voir chapitre

frquence est leve : ainsi, les sons plus graves ( les basses ) sont perceptibles de loin car ils sont


Localiser un objet, mesurer une distance

Les ultra-

missions successives, l e

Cette technique est connue sous le nom de radar (utilise une onde lectromagntique) ou de sonar

(utilise les sons et ultra-sons).

la frontire de deux milieux de densits proches, voir figure 40.

Figure 40

ible de mettre profit un balayage de la source ultrasonore

autour de la rgion tudier, et de produire une image deux (ou pseudo trois) dimensions. On arrive

examen aux rayons X est tout fait proscrit).

Pourquoi des ultrasons ?

? La raison principale est la

diffraction

cherchera visualiser des dtails anatomiques infrieurs si possible 1 mm, ce qui suppose une

: < 10-3 m. Par consquent, la frquence (=v/ ) doit tre

suprieure 1,5 MHz

effet :

trop importante trs haute frquence (>>10 MHz) et les ondes ne pntrent plus suffisamment

profondment dans le corps. Un bon compromis entre rsolution et absorption se situe autour de 8

MHz.


Production des ultra -sons : la sonde mettrice rceptrice

Pour rappel, les ultra-sons sont des ondes sonores de frquence suprieure 20.000 Hz. On peut

produire couramment des ultrasons jusque dans la gamme des gigahertz (109 -

sons sont utilises de manire routinire, les cristaux magntostrictifs et les cristaux piezzolectriques.

La magntostriction variable, un barreau de Fer (ou de

Nickel) se magntise la mme frquence et sa longueur varie (vibre) la mme frquence.

La piezzolectricit : un cristal piezzolectrique (quartz par exemple) soumis une diffrence de

potentiel voit ses atomes subir un dplacement dans la direction du champ ; il en rsulte une

dformation mcanique macroscopique et si le champ extrieur appliqu varie priodiquement, le cristal

de quartz se met vibrer. En appliquant une diffrence de potentiel alternative haute frquence

(>1MHz), le cristal produira des ultrasons. De plus, la piezzolectricit est rversible : en exerant une

contrainte mcanique (compression ou traction) sur le cristal, une diffrence de potentiel se dveloppe

ses extrmits. Ainsi, les va

! phie sont constitues de

rseaux complexes de cristaux piezzolectriques, soumis des tensions alternatives qui peuvent tre

2. EFFET DOPPLER-FIZEAU

que audible) et un observateur

(dtectant ce son) sont en mouvement relatif

note - toute abstraction faite de - que la frquence

On supposera ici que le mouvement se fait selon une droite qui joint source et observateur.

Source sonore fixe Observateur mobile

Soit (figure 41) une source sonore S ponctuelle, au repos, mettant une onde, reprsente sous forme

uence . Selon v

conde. 0v , en direction

de la source), il va


0tv en t secondes, il peroit un nombre additionnel tv0

par seconde, la frquence apparat modifie de 0v

(nombre positif)

'

soit encore 0 0v v vv

'

0v v

'v

puisque v

seconde ; la

frquence perue sera diminue selon :

0v v

'v

En toute gnralit, lors0v une source

immobile, la frquence enregistre est :

0v v

'v

quation avec le signe

Figure 41

2. OBSERVATEUR FIXE SOURCE EN MOUVEMENT

que la source se dplace

avec une vitesse sv , en mettant une onde sonore dcrite par v , la frquence dtecte vaut :


s

v'

v v

- rsque la

plus grave).

En effet, on observe sur la figure 42

e gale vs T. La

-vs)T. Ds lors,

la frquence perue vaudra :

ss v-v

v

)Tv-(v

v

v

s)T et donc

ss vv

v

)Tv(v

v

v

Figure 42

Doppler pour

dterminer la vitesse de dplacement de la source ou de .


Contrle de la vitesse des voitures par radar (Doppler) de la police de vitesse c vers une voiture qui

v' 1

c mais la voiture rflchit

une partie de cette onde vers le radar, donc est une source mobile, par rapport au radar dtecteur fixe.

Les ondes reues en retour par le radar seront de frquence

2v v 2v

'' ' 1 1 1c c c

En crivant '' , on obtient :

v

.2c

qui permet bien de dterminerv2

c, --dire la vitesse du vhicule, partir de la mesure du

dplacement de frquence Doppler .

Doppler (ou dbitmtre) un vaisseau

(figure 43). Le son mis par la source est rflchi par les composants du sang (les globules rouges) en

mouvement. Si

:

c 1

v2 cos

soit pour = 8 MHz, = 15, v = 100 mm/s, 1kHz

--

audible.

Exprience du cours : audition des battements cardiaques.

Figure 43


1. FLUIDE : DEFINITION

Nous vivons d

liquides en gnral. Par opposition aux corps solides (indformables), les fluides se caractrisent par leur

proprit de u rcipient

est--

deuxime --dire les relations entre les mouvements du fluide et les

forces appliques.

crira par un coefficient de viscosit.

Au dpart, des fluides idaux seront tudis. Par liquide idal, on entend un matriau incompressible et

sans viscosit e

volume du liquide est constant (V 0 ) ; donc un liquide idal a une masse spcifique (masse par unit

de volume) constante, et son coefficient dlasticit en volume est infini (K ). Labsence de viscosit

su

que les molcules de liquide glissent les unes sur les autres, sans aucune force de frottement. Un gaz

idal, ou gaz parfait, obit la loi connue de Boyle-Mariote,pV nRT

- mme idal - est compressible et sa masse

spcifique varie en consquence. Pour un gaz idal, on suppose en plus que la viscosit est nulle.

2. LE CONCEPT DE PRESSION DANS UN FLUIDE AU REPOS

a) forces normales

rsultante des moments nulle. Un solide indformable au repos sur une surface lisse ne peut pas tre

soumis une force tangentielle (parallle cette surface), car celle-ci provoquerait un dplacement du

solide. Le solide sera au repos si la force normale (perpendiculaire la surface) est compense par une

force de raction quivalente.

Dans un fluide au repos, il ne peut y avoir aucune force tangentielle sur les molcules constituant le

est toujours horizon

provoquerait un cisaillement et donc un mouvement des molcules.


La pression (dans un fluide) est dfinie comme la force normale une surface, exprime par unit de

surface. 2 :

21Pa 1Nm

Puisque par dfinition le fluide est au repos, toute pression existant sur/dans le fluide se transmet

toute surface intrieure (relle ou hypothtique) ou

provient cette pression ? Le fluide est compos de molcules qui sont dans un tat perptuel de

une paroi du rcipient qui contient le fluide, son vecteur vitesse change de direction ; donc une force est

exerce, donc tout fluide exerce une pression sur son contenant.

Dans un fluide, existe une pression due la pression atmosphrique et au poids du fluide lui-mme :

cette pression est toujours normale un lment de surface du fluide, quelle que soit cette surface

(hypothtique ou relle).

En particulier les forces dues la pression exerce par le fluide sur une paroi du rcipient doivent tre

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