Superficies cuádricas

1 SUPERFICIES EN R3

1. Superficies en R3

1.1. Superficies cuadricas

En general, una superficie cuadratica es aquella representacion en el espacio de una ecuacion del tipo Ax2 +

By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J , en donde A,B,C,D,E, F,G,H, I, J representan constantes

reales. En el presente curso se trabajara unicamente con ecuaciones de la forma

Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + G = 0.

Algunos ejemplos de superficies cuadraticas son los siguientes:

Elipsoide: La forma canonica de la ecuacion de un elipsoide centrado en el origen esx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

Dicha superficie interseca a los ejes coordenados en los puntos (a, 0, 0), (0,b, 0), (0, 0,c). Si en laecuacion se sustituye z = 0, obtenemos la interseccion (traza) de dicha superficie con el plano XY , la

cual es la elipsex2

a2+y2

b2= 1 en dicho plano; lo mismo sucede al cambiar x = 0 y y = 0. La grafica de

dicha ecuacion tiene la siguiente forma:

Figura 1: Elipsoide con ecuacionx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

Hiperboloide de una hoja: La ecuacion tiene la formax2

a2+y2

b2 z

2

c2= 1 (dos coeficientes positivos y

uno negativo). Si se sustituye z = 0 se tiene la ecuacionx2

a2+y2

b2= 1, es decir, la interseccion con el plano

XY es una elipse (y con cualquier plano horizontal z = k). Si se hace y = 0, se obtienex2

a2 z

2

c2= 1, la

cual es la ecuacion de una hiperbola, al igual que si se sustituye x = 0, por lo que la interseccion con los

planos Y Z y XZ son hiperbolas (y con cualquier plano vertical x = k o y = k). Notese ademas, que en

este caso, la superficie no interseca al eje Z, e interseca a los otros ejes en los puntos (a, 0, 0), (0,b, 0).La grafica tiene entonces la siguiente forma:

Prof. Daro Mena Arias I-2013 1

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Figura 2: Hiperboloide de una hoja con ecuacionx2

a2+y2

b2 z

2

c2= 1.

Hiperboloide de dos hojas: La ecuacion es del tipoz2

c2 x

2

a2 y

2

b2= 1 (dos coeficientes negativos

y uno positivo). Interseca al eje Z en (0, 0,c) y no interseca a los otros ejes. No interseca al planoXY , pero notese que si k > c, la interseccion con el plano z = k es la curva

k2

c2 x

2

a2 y

2

b2= 1, es

decir,x2

a2+y2

b2=k2

c2 1, la cual es una elipse. Las intersecciones con los otros planos corresponden a

hiperbolas (y en general con cualquier plano vertical).

Figura 3: Hiperboloide de dos hojas con ecuacionz2

c2 x

2

a2 y

2

b2= 1.

Paraboloide elptico: La ecuacion tiene la formax2

a2+y2

b2=z

c. Interseca a los ejes coordenados en el

origen. La interseccion con el plano XY es un punto, pero la interseccion con cualquier plano horizontal

z = k, tal que kc > 0 es una elipse. Las intersecciones con los planos Y Z y XZ son parabolas (y en

general con cualquier plano vertical). Tiene forma de un tazon tal que si c > 0 el paraboloide se abre

hacia arriba, y si c < 0 se abre hacia abajo.


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Figura 4: Paraboloide elptico con ecuacionx2

a2+y2

b2=z

c, c > 0.

Paraboloide hiperbolico: La ecuacion es del tipoy2

b2 x

2

a2=z

c. Tiene forma de silla de montar. La

traza sobre el plano XY es una hiperbola (y con cualquier plano horizontal), mientras que la interseccion

con los otros dos planos son parabolas (y con cualquier plano vertical), que difieren en concavidad. Para

una mejor idea vease la figura.

Figura 5: Paraboloide hiperbolico con ecuaciony2

b2 x

2

a2=z

c, c > 0.

Cono elptico: La ecuacion es del tipox2

a2+y2

b2 z

2

c2= 0. Las intersecciones con planos horizontales

z = k, k 6= 0 son elipses, la interseccion con un plano vertical que pasa por el origen son dos rectasconcurrentes, y con cualquier otro plano vertical es una hiperbola. De hecho, las llamadas secciones

conicas son el resultado de la interseccion de un plano con un cono elptico.


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Figura 6: Cono elptico con ecuacionx2

a2+y2

b2 z

2

c2= 0.

Las ecuaciones descritas anteriormente, corresponden a superficies cuadraticas centradas en el origen. Si por

ejemplo, en el caso del elipsoide, se toma como ecuacion(x x0)2

a2+

(y y0)2b2

+(z z0)2

c2= 1 el resultado es

una traslacion de dicho elipsoide, donde ahora el centro es el punto (x0, y0, z0). En forma similar, se puede ob-

tener la ecuacion de un paraboloide hiperbolico centrado en (x0, y0, z0) escribiendo(y y0)2

b2 (x x0)

2

a2=z z0c

,

y as con las demas.

1.1.1. Determinar el tipo de superficie cuadratica

Dada una ecuacion de la forma Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 se puede determinar el tipo de

superficie por medio de la tecnica de completar el cuadrado.

Ejemplo 1.1 Determinar el tipo de superficie dada por la ecuacion 4x2 3y2 + z2 8x 12y + 2z 43 = 0.

Se procede a completar el cuadrado en cada una de las variables de la siguiente manera:

4x2 3y2 + z2 8x 12y + 2z 43 = 04(x2 2x) 3(y2 + 4y) + (z2 + 2z) 43 = 04(x2 2x + 1 1) 3(y2 + 4y + 4 4) + (z2 + 2z + 1 1) 43 = 04((x 1)2 1) 3((y + 2)2 4) + (z + 1)2 1 43 = 04(x 1)2 4 3(y + 2)2 + 12 + (z + 1)2 1 43 = 04(x 1)2 3(y + 2)2 + (z + 1)2 = 36

(x 1)2

9 (y + 2)

2

12+

(z + 1)2

36= 1

Dicha ecuacion corresponde a un hiperboloide de una hoja con centro en (1,2,1) y cuyo eje es el eje Y .


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Ejemplo 1.2 Determinar el tipo de superficie dada por la ecuacion 2x2 + 2y2 z2 8y + 2z 1 = 0.

2x2 + 2y2 + z2 8y 2z 1 = 02x2 + 2(y2 4y) + (z2 2z) 1 = 0)2x2 + 2(y2 4y + 4 4) + (z2 2z + 1 1) 1 = 02x2 + 2((y 2)2 4) + ((z 1)2 + 1 1) 1 = 02x2 + 2(y 2)2 8 + (z 1)2 1 1 = 02x2 + 2(y 2)2 + (z 1)2 = 10

Desde esta expresion se puede ver que se trata de un elipsoide centrado en (0, 2, 1).


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