Superficies

2013

Objetivo:Identificar y graficar superficies

cilíndricas, cuadráticas y de revolución.

Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución.

Tema

Clasificación de las superficies en el espacio:

EsferaPlanoSuperficies cilíndricas o cilindrosSuperficies cuadráticasSuperficies de Revolución

Esfera

Una esfera con centro en (x0, y0, z0) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x0, y0, z0) es r.

La ecuación canónica de una esfera es:(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.

Plano

Un plano que contiene el punto P(x1, y1, z1) es el conjunto de todos los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector

n = (a, b, c)

La ecuación de un plano en el espacio es:a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0 (forma

canónica)

a x + by + cz + d = 0 (ecuación general)

Superficies Cilíndricas(Cilindros)

El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro.

Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto.

Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4

Cilindros (cont.)

La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

16416

22

zx2

1

yz

xy sen2

Superficies cuadráticasSu ecuación es de la forma:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz+

+ Gx + Hy + Iz + J = 0

Existen 6 tipos:

1. Elipsoide2. Hiperboloide de una hoja3. Hiperboloide de dos hojas4. Cono elíptico5. Paraboloide elíptico6. Paraboloide hiperbólico

Elipsoide

Trazas

xy: Elipse

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

12

2

2

2

cz

by

xz: Elipse

yz: Elipse

Hiperboloidede una hoja

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

12

2

2

2

cz

by

xz: Hipérbola

yz: Hipérbola

Trazas

xy: Elipse

Hiperboloidede dos hojas

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

kcz

by

2

2

2

2

xz: Hipérbola

(|x|>0) Elipse yz: (x=0) No existe

Trazas

xy: Hipérbola

Cono Elíptico 02

2

2

2

2

2

cz

by

ax

kby

ax 2

2

2

2

caz

x

cbz

y

kcz

ax 2

2

2

2

kcz

by 2

2

2

2

(|z|>0) Elipse

xz: (y=0) Rectas

(|y|>0) Hipérbola

yz: (x=0) Rectas (|x|>0) Hipérbola

Trazas

xy: (z=0) Punto

ParaboloideElíptico

02

2

2

2

zby

ax

kby

ax 2

2

2

2

2

2

ax

z

2

2

by

z

(z>0) Elipse

xz: Parábola

yz: Parábola

Trazas

xy: (z=0) Punto

ParaboloideHiperbólico

02

2

2

2

zax

by

kax

by 2

2

2

2

2

2

ax

z

2

2

by

z

(|z|>0) Hipérbola

yz: Parábola

xz: Parábola

xab

y

Trazas

xy: (z=0) Recta

Superficies de Revolución

Si la gráfica de una función con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas:

1. En torno al eje x: y2 + z2 = [r(x)]2

2. En torno al eje y: x2 + z2 = [r(y)]2

3. En torno al eje z: x2 + y2 = [r(z)]2

Ejemplo de Superficies de Revolución

Al girar la gráfica de la función f(x) = x2+1 en torno al eje x

se genera la gráfica de la funcióny2 + z2 = (x2 +

1)2.

radio

Resumes de

superficies

Conos:El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen una relación de la forma

x2 y2 z2

a2 b2 c2

x2 y2 z2

a2 b2c2

x2 y2 z2

a2b2 c2+ + + + + += 0, = 0, = 0

Cono Elípticoy

x

z

Paraboloide Eliptico

El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.

x2 y2 x2 z2 y2 z2 + = c2 z , + = b2 y , + = a2 xa2 b2 a2 c2 b2 c2

y

x

z

( x – h )2 ( y – k )2 + = c2 ( z – j ) a2 b2

Si a = b , se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espacio tiene la forma:

Paraboloide Hiperbólico

El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.

x2 y2 x2 z2 y2 z2 - = c2 z , - = b2 y , - = a2 xa2 b2 a2 c2 b2 c2

x

y

z

La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma

( x – h )2 ( y – k )2 - = c2 ( z – j )

a2 b2

Hiperboloide de una Hoja

El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 + - = 1, - + = 1, - + + = 1a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2

x

y

z

La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es

( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2

+ - = 1 a2 b2 c2

Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2

- + = 1

a2 b2 c2

Hiperboloide de dos Hojas La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el

espacio es

( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2

- - = 1

a2 b2 c2

Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

x

y

z

El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 - - = 1, - + - = 1, - - + = 1a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2

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