Suites de Fibonacci al atoires -...
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Suites de Fibonacci aleatoires
Benoıt RittaudUniversite Paris-13, Institut Galilee
Laboratoire Analyse, Geometrie et Applications
————
CIRM, Alea 200919 mars 2009
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
52
(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
n )) est l’exponentielle de∫14
log(
1 + 4m4
(1 + m2)2
)dνf ,
ou νf est une mesure explicite.
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
52
(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
n )) est l’exponentielle de∫14
log(
1 + 4m4
(1 + m2)2
)dνf ,
ou νf est une mesure explicite.
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;
I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
52
(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
n )) est l’exponentielle de∫14
log(
1 + 4m4
(1 + m2)2
)dνf ,
ou νf est une mesure explicite.
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;
I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
52
(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
n )) est l’exponentielle de∫14
log(
1 + 4m4
(1 + m2)2
)dνf ,
ou νf est une mesure explicite.
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
52
(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
n )) est l’exponentielle de∫14
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)dνf ,
ou νf est une mesure explicite.
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
52
(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
n )) est l’exponentielle de∫14
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1 + 4m4
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)dνf ,
ou νf est une mesure explicite.
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
52
(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?
I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
n )) est l’exponentielle de∫14
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ou νf est une mesure explicite.
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
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(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
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ou νf est une mesure explicite.
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Definition
DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par
I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.
Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :
Fn+1
Fn−→ ϕ :=
1 +√
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(Edouard Lucas, 1877).
I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?
Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n
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ou νf est une mesure explicite.
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Arbre reduit
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Arbre reduit
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Arbre reduit
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Arbre reduit
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!!!!!
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• Chaque enfant droit a deux enfants.
• Chaque enfant gauche a un seul enfant (droit).
• La suite des nombres de nœuds
sur chaque ligne est la suite de Fibonacci.
• La suite des sommes de chaque ligne verifie :
Sk = 2Sk−1 + Sk−3
d’ou Sk ≈ αk , ou α3 = 2α2 + 1
(α ≈ 2,20556943).
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Arbre reduit
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ll,, ll,, ll,, ll,, ll,,
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• Chaque enfant droit a deux enfants.
• Chaque enfant gauche a un seul enfant (droit).
• La suite des nombres de nœuds
sur chaque ligne est la suite de Fibonacci.
• La suite des sommes de chaque ligne verifie :
Sk = 2Sk−1 + Sk−3
d’ou Sk ≈ αk , ou α3 = 2α2 + 1
(α ≈ 2,20556943).
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Arbre reduit
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• Chaque enfant droit a deux enfants.
• Chaque enfant gauche a un seul enfant (droit).
• La suite des nombres de nœuds
sur chaque ligne est la suite de Fibonacci.
• La suite des sommes de chaque ligne verifie :
Sk = 2Sk−1 + Sk−3
d’ou Sk ≈ αk , ou α3 = 2α2 + 1
(α ≈ 2,20556943).
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Arbre reduit
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• Chaque enfant droit a deux enfants.
• Chaque enfant gauche a un seul enfant (droit).
• La suite des nombres de nœuds
sur chaque ligne est la suite de Fibonacci.
• La suite des sommes de chaque ligne verifie :
Sk = 2Sk−1 + Sk−3
d’ou Sk ≈ αk , ou α3 = 2α2 + 1
(α ≈ 2,20556943).
![Page 30: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/30.jpg)
Arbre reduit
5 11 9 5 19 9 1 11 7 13 15 7 29 11 3 17 5 7 13 5 23 7 17 11 7 25 19 3 251323 29 13 55
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• Chaque enfant droit a deux enfants.
• Chaque enfant gauche a un seul enfant (droit).
• La suite des nombres de nœuds
sur chaque ligne est la suite de Fibonacci.
• La suite des sommes de chaque ligne verifie :
Sk = 2Sk−1 + Sk−3
d’ou Sk ≈ αk , ou α3 = 2α2 + 1
(α ≈ 2,20556943).
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Arbre reduit
5 11 9 5 19 9 1 11 7 13 15 7 29 11 3 17 5 7 13 5 23 7 17 11 7 25 19 3 251323 29 13 55
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• Chaque enfant droit a deux enfants.
• Chaque enfant gauche a un seul enfant (droit).
• La suite des nombres de nœuds
sur chaque ligne est la suite de Fibonacci.
• La suite des sommes de chaque ligne verifie :
Sk = 2Sk−1 + Sk−3
d’ou Sk ≈ αk , ou α3 = 2α2 + 1
(α ≈ 2,20556943).
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De l’arbre reduit a l’arbre complet
Notations
I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.
![Page 33: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/33.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Notations
I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.
I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.
![Page 34: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/34.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Notations
I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.
I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.
![Page 35: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/35.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Notations
I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.
I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.
![Page 36: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/36.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Notations
I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.
I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.
![Page 37: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/37.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Notations
I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.
![Page 38: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/38.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :
I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :
s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;
I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .
Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).
![Page 39: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/39.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :
I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :
s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;
I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .
Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).
![Page 40: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/40.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :
I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;
I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :
s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;
I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .
Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).
![Page 41: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/41.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :
I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :
s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;
I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .
Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).
![Page 42: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/42.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :
I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :
s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;
I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;
I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .
Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).
![Page 43: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/43.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :
I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :
s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;
I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .
Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).
![Page 44: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/44.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :
I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :
s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;
I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .
Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.
Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).
![Page 45: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/45.jpg)
De l’arbre reduit a l’arbre complet
Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :
I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :
s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;
I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .
Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).
![Page 46: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/46.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
1
ϕ
ϕ−1 ϕ2
ϕ−2 ϕ+ ϕ−1 1 ϕ3
���HHH
••• JJ
JJ
s(ρ1) = ρ2 et s(ρ2) = ρ3 + ϕ−1ρ1
νm :=bm/2c−1∑
i=0
ϕ−1ρm−2i .
![Page 47: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/47.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
1
ϕ
ϕ−1 ϕ2
ϕ−2 ϕ+ ϕ−1 1 ϕ3
���HHH
••• JJ
JJ
s(ρ1) = ρ2 et s(ρ2) = ρ3 + ϕ−1ρ1
νm :=bm/2c−1∑
i=0
ϕ−1ρm−2i .
![Page 48: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/48.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
1
ϕ
ϕ−1 ϕ2
ϕ−2 ϕ+ ϕ−1 1 ϕ3
���HHH
••• JJ
JJ
s(ρ1) = ρ2 et s(ρ2) = ρ3 + ϕ−1ρ1
νm :=bm/2c−1∑
i=0
ϕ−1ρm−2i .
![Page 49: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/49.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
1
ϕ
ϕ−1 ϕ2
ϕ−2 ϕ+ ϕ−1 1 ϕ3
���HHH
••• JJ
JJ
s(ρ1) = ρ2 et s(ρ2) = ρ3 + ϕ−1ρ1
νm :=bm/2c−1∑
i=0
ϕ−1ρm−2i .
![Page 50: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/50.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
Proposition
τn+2 =bn/3c∑m=0
((nm
)− 2(
nm − 1
))νn+2−3m .
Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3) = 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1). Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.Reste a generaliser a F1 quelconque. . .
![Page 51: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/51.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
Proposition
τn+2 =bn/3c∑m=0
((nm
)− 2(
nm − 1
))νn+2−3m .
Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3)
= 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1). Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.Reste a generaliser a F1 quelconque. . .
![Page 52: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/52.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
Proposition
τn+2 =bn/3c∑m=0
((nm
)− 2(
nm − 1
))νn+2−3m .
Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3) = 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1).
Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.Reste a generaliser a F1 quelconque. . .
![Page 53: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/53.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
Proposition
τn+2 =bn/3c∑m=0
((nm
)− 2(
nm − 1
))νn+2−3m .
Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3) = 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1). Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.
Reste a generaliser a F1 quelconque. . .
![Page 54: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/54.jpg)
Avec F1 = ϕ > 1
Proposition
τn+2 =bn/3c∑m=0
((nm
)− 2(
nm − 1
))νn+2−3m .
Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3) = 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1). Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.Reste a generaliser a F1 quelconque. . .
![Page 55: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/55.jpg)
Avec une piece desequilibree
On pondere les aretes de l’arbre, et ca marche.
Valeur critique : p = 1/4.
![Page 56: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/56.jpg)
Avec une piece desequilibree
On pondere les aretes de l’arbre, et ca marche.
Valeur critique : p = 1/4.
![Page 57: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/57.jpg)
Avec une piece desequilibree
On pondere les aretes de l’arbre, et ca marche.
Valeur critique : p = 1/4.
![Page 58: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/58.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
5 11 9 5 19 9 1 11 7 13 15 7 29 11 3 17 5 7 13 5 23 7 17 11 7 25 19 3 251323 29 13 55
8 2 12 4 6 10 4 18 4 10 6 4 14 12 2 16 8 14 18 8 34
3 7 5 3 11 7 1 9 5 9 11 5 21
5 1 7 3 5 7 3 13
ll,, ll,, ll,, ll,, ll,,
2 4 4 2 8
3 1 5
1 3
2
1
1
QQ�� QQ�� QQ��
HHH
���
HHH
���
aaaaa
!!!!!
hhhhhhhh((((((((
• Tout couple (a, b) d’entiers premiers
entre eux apparaıt exactement une fois
avec a comme parent de b.
• La marche de (1, 1) a (a, b)
s’obtient a partir du developpement
de a/b en fraction continue.
![Page 59: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/59.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
5 11 9 5 19 9 1 11 7 13 15 7 29 11 3 17 5 7 13 5 23 7 17 11 7 25 19 3 251323 29 13 55
8 2 12 4 6 10 4 18 4 10 6 4 14 12 2 16 8 14 18 8 34
3 7 5 3 11 7 1 9 5 9 11 5 21
5 1 7 3 5 7 3 13
ll,, ll,, ll,, ll,, ll,,
2 4 4 2 8
3 1 5
1 3
2
1
1
QQ�� QQ�� QQ��
HHH
���
HHH
���
aaaaa
!!!!!
hhhhhhhh((((((((
• Tout couple (a, b) d’entiers premiers
entre eux apparaıt exactement une fois
avec a comme parent de b.
• La marche de (1, 1) a (a, b)
s’obtient a partir du developpement
de a/b en fraction continue.
![Page 60: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/60.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
5 11 9 5 19 9 1 11 7 13 15 7 29 11 3 17 5 7 13 5 23 7 17 11 7 25 19 3 251323 29 13 55
8 2 12 4 6 10 4 18 4 10 6 4 14 12 2 16 8 14 18 8 34
3 7 5 3 11 7 1 9 5 9 11 5 21
5 1 7 3 5 7 3 13
ll,, ll,, ll,, ll,, ll,,
2 4 4 2 8
3 1 5
1 3
2
1
1
QQ�� QQ�� QQ��
HHH
���
HHH
���
aaaaa
!!!!!
hhhhhhhh((((((((
• Tout couple (a, b) d’entiers premiers
entre eux apparaıt exactement une fois
avec a comme parent de b.
• La marche de (1, 1) a (a, b)
s’obtient a partir du developpement
de a/b en fraction continue.
![Page 61: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/61.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
1
1
2
1
3
4
7
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4
15
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Marche jusqu’a (15, 11)
: DDGDDDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 62: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/62.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : D
DGDDDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
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Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DD
GDDDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 64: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/64.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDG
DDDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 65: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/65.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGD
DDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 66: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/66.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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DDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
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Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDD
DGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 68: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/68.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDD
GDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 69: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/69.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDG
DGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 70: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/70.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGD
Ga b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 71: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/71.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGDG
a b a a a b b3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 72: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/72.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGDG
a b a a a b b3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 73: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/73.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 74: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/74.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 75: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/75.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 76: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/76.jpg)
Proprietes de l’arbre reduit
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Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGDGa b a a a b b
3 1 2 1
1511
= 1 +1
2 +1
1 +13
= [1, 2, 1, 3]
![Page 77: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/77.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]
56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]
27
= [0, 3, 2]
37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]
57
= [0, 1, 2, 2]
67
= [0, 1, 6]
��
��
��
���
���
��
��
![Page 78: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/78.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]
56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]
27
= [0, 3, 2]
37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]
57
= [0, 1, 2, 2]
67
= [0, 1, 6]
��
��
��
���
���
��
��
![Page 79: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/79.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 6
16
= [0, 6]
56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]
27
= [0, 3, 2]
37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]
57
= [0, 1, 2, 2]
67
= [0, 1, 6]
��
��
��
���
���
��
��
![Page 80: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/80.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]
56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]
27
= [0, 3, 2]
37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]
57
= [0, 1, 2, 2]
67
= [0, 1, 6]
��
��
��
���
���
��
��
![Page 81: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/81.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]
27
= [0, 3, 2]
37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]
57
= [0, 1, 2, 2]
67
= [0, 1, 6]
��
��
��
���
���
��
��
![Page 82: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/82.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]
27
= [0, 3, 2]
37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]
57
= [0, 1, 2, 2]
67
= [0, 1, 6]
��
��
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���
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��
![Page 83: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/83.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]
56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]
27
= [0, 3, 2]
37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]
57
= [0, 1, 2, 2]
67
= [0, 1, 6]
��
��
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![Page 84: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/84.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]
56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]
27
= [0, 3, 2]
37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]
57
= [0, 1, 2, 2]
67
= [0, 1, 6]
��
��
��
���
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��
![Page 85: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/85.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]
56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]27
= [0, 3, 2]37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]57
= [0, 1, 2, 2]67
= [0, 1, 6]
��
��
��
���
���
��
��
![Page 86: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/86.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
Conjecture
Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.
q = 616
= [0, 6]
56
= [0, 1, 5]
��
��
q = 7
17
= [0, 7]27
= [0, 3, 2]37
= [0, 2, 1]
47
= [0, 1, 1, 3]57
= [0, 1, 2, 2]67
= [0, 1, 6]
��
��
��
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![Page 87: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/87.jpg)
En passant : la conjecture de Zaremba
La conjecture est equivalente a l’affirmation suivante :
retirons de l’arbre reduit tous les nœuds que l’on peut atteindrepar une marche contenant l’une des sequences
DDGDDGDDG ou DGDDGDDGD.Les nœuds de l’arbre restant contiennent tous les entiers.
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Facteur de croissance presque sure
TheoremeSoit p ∈ [0, 1]. Les valeurs F0 et F1 etant choisies, on definit lasuite (Fn)n par
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 avec probabilite p ;|Fn−1 − Fn−2| avec probabilite 1− p.
Pour presque toute suite ainsi construite, on a
1n
log(Fn) =1n
n−1∑i=1
log(
Fi+1
Fi
)n→+∞−→
∫ +∞
0log(x )dνp(x ),
ou νp est definie inductivement a l’aide des intervalles deStern-Brocot.
![Page 89: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/89.jpg)
Facteur de croissance presque sure
TheoremeSoit p ∈ [0, 1]. Les valeurs F0 et F1 etant choisies, on definit lasuite (Fn)n par
Fn ={
Fn−1 + Fn−2 avec probabilite p ;|Fn−1 − Fn−2| avec probabilite 1− p.
Pour presque toute suite ainsi construite, on a
1n
log(Fn) =1n
n−1∑i=1
log(
Fi+1
Fi
)n→+∞−→
∫ +∞
0log(x )dνp(x ),
ou νp est definie inductivement a l’aide des intervalles deStern-Brocot.
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Construction de νp
ab⊕ c
d=
a + bc + d
01
10
• •
1
•1
1
ρ 1− ρ
•1
2
•2
1
ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ
![Page 91: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/91.jpg)
Construction de νp
ab⊕ c
d=
a + bc + d
01
10
• •
1
•1
1
ρ 1− ρ
•1
2
•2
1
ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ
![Page 92: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/92.jpg)
Construction de νp
ab⊕ c
d=
a + bc + d
01
10
• •
1
•1
1
ρ 1− ρ
•1
2
•2
1
ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ
![Page 93: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/93.jpg)
Construction de νp
ab⊕ c
d=
a + bc + d
01
10
• •
1
•1
1
ρ 1− ρ
•1
2
•2
1
ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ
![Page 94: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/94.jpg)
Construction de νp
ab⊕ c
d=
a + bc + d
01
10
• •
1
•1
1
ρ 1− ρ
•1
2
•2
1
ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ
![Page 95: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/95.jpg)
Construction de νp
ab⊕ c
d=
a + bc + d
01
10
• •
1
•1
1
ρ 1− ρ
•1
2
•2
1
ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ
![Page 96: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/96.jpg)
Construction de νp
ab⊕ c
d=
a + bc + d
01
10
• •
1
•1
1
ρ 1− ρ
•1
2
•2
1
ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ
![Page 97: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/97.jpg)
Construction de νp
ab⊕ c
d=
a + bc + d
01
10
• •
1
•1
1
ρ 1− ρ
•1
2
•2
1
ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ
![Page 98: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/98.jpg)
Suites de Fibonacci aleatoires generalisees
DefinitionSoit λ un reel. Les valeurs F0 et F1 etant choisies, on definit lasuite (Fn)n par
Fn ={
λFn−1 + Fn−2 avec probabilite p ;|λFn−1 − Fn−2| avec probabilite 1− p.
Quel est le facteur de croissance (s’il existe) ?
![Page 99: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/99.jpg)
Suites de Fibonacci aleatoires generalisees
DefinitionSoit λ un reel. Les valeurs F0 et F1 etant choisies, on definit lasuite (Fn)n par
Fn ={
λFn−1 + Fn−2 avec probabilite p ;|λFn−1 − Fn−2| avec probabilite 1− p.
Quel est le facteur de croissance (s’il existe) ?
![Page 100: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/100.jpg)
Suites de Fibonacci aleatoires generalisees
DefinitionSoit λ un reel. Les valeurs F0 et F1 etant choisies, on definit lasuite (Fn)n par
Fn ={
λFn−1 + Fn−2 avec probabilite p ;|λFn−1 − Fn−2| avec probabilite 1− p.
Quel est le facteur de croissance (s’il existe) ?
![Page 101: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/101.jpg)
Le cas λ =√
2
√2 5
√2 3√
2 7√
2 3√
2 5√
2 9√
2√
2 9√
2 7√
2 15√
2
5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41
3 5 1 7 5 11
2√
2 2√
2 4√
2
1 3
√2��
1• Cet arbre est le plus gros arbre binaire
dans lequel on ne peut pas aller a gauche
trois fois de suite.
• La somme Sn de chaque ligne verifie :
Sn = 2√
2Sn−1 + Sn−4
d’ou Sn ≈ βn , ou β4 = 2√
2β3 + 1
(β ≈ 2,87069765).
![Page 102: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/102.jpg)
Le cas λ =√
2
√2 5
√2 3√
2 7√
2 3√
2 5√
2 9√
2√
2 9√
2 7√
2 15√
2
5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41
3 5 1 7 5 11
2√
2 2√
2 4√
2
1 3
√2��
1
• Cet arbre est le plus gros arbre binaire
dans lequel on ne peut pas aller a gauche
trois fois de suite.
• La somme Sn de chaque ligne verifie :
Sn = 2√
2Sn−1 + Sn−4
d’ou Sn ≈ βn , ou β4 = 2√
2β3 + 1
(β ≈ 2,87069765).
![Page 103: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/103.jpg)
Le cas λ =√
2
√2 5
√2 3√
2 7√
2 3√
2 5√
2 9√
2√
2 9√
2 7√
2 15√
2
5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41
3 5 1 7 5 11
2√
2 2√
2 4√
2
1 3
√2��
1• Cet arbre est le plus gros arbre binaire
dans lequel on ne peut pas aller a gauche
trois fois de suite.
• La somme Sn de chaque ligne verifie :
Sn = 2√
2Sn−1 + Sn−4
d’ou Sn ≈ βn , ou β4 = 2√
2β3 + 1
(β ≈ 2,87069765).
![Page 104: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/104.jpg)
Le cas λ =√
2
√2 5
√2 3√
2 7√
2 3√
2 5√
2 9√
2√
2 9√
2 7√
2 15√
2
5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41
3 5 1 7 5 11
2√
2 2√
2 4√
2
1 3
√2��
1
• Cet arbre est le plus gros arbre binaire
dans lequel on ne peut pas aller a gauche
trois fois de suite.
• La somme Sn de chaque ligne verifie :
Sn = 2√
2Sn−1 + Sn−4
d’ou Sn ≈ βn , ou β4 = 2√
2β3 + 1
(β ≈ 2,87069765).
![Page 105: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/105.jpg)
Le cas λ =√
2
√2 5
√2 3√
2 7√
2 3√
2 5√
2 9√
2√
2 9√
2 7√
2 15√
2
5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41
3 5 1 7 5 11
2√
2 2√
2 4√
2
1 3
√2��
1
• Cet arbre est le plus gros arbre binaire
dans lequel on ne peut pas aller a gauche
trois fois de suite.
• La somme Sn de chaque ligne verifie :
Sn = 2√
2Sn−1 + Sn−4
d’ou Sn ≈ βn , ou β4 = 2√
2β3 + 1
(β ≈ 2,87069765).
![Page 106: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/106.jpg)
Le cas λ =√
2
√2 5
√2 3√
2 7√
2 3√
2 5√
2 9√
2√
2 9√
2 7√
2 15√
2
5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41
3 5 1 7 5 11
2√
2 2√
2 4√
2
1 3
√2��
1
• Cet arbre est le plus gros arbre binaire
dans lequel on ne peut pas aller a gauche
trois fois de suite.
• La somme Sn de chaque ligne verifie :
Sn = 2√
2Sn−1 + Sn−4
d’ou Sn ≈ βn , ou β4 = 2√
2β3 + 1
(β ≈ 2,87069765).
![Page 107: Suites de Fibonacci al atoires - gt-alea.math.cnrs.frgt-alea.math.cnrs.fr/alea2009/slides/rittaud.pdf · D e nition D e nition Une suite de Fibonacci al eatoire (F n) n 0 est d e](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022022718/5c5b590c09d3f254368b8f32/html5/thumbnails/107.jpg)
Suites de Fibonacci aleatoires generalisees
Plus generalement, tout ce qui precede s’adapte pour λ de laforme 2 cos(π/k), avec k ≥ 3 entier (premieres valeurs : 1,
√2,
ϕ,√
3,. . . ).