State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

29
NASA/CR-2004-213245 NIA Report No. 2004-08 State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State and Control Nonlinearities Scott C. Beeler National Institute of Aerospace, Hampton, Virginia July 2004 https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=20040110953 2018-02-01T08:49:14+00:00Z

Transcript of State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

Page 1: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

NASA/CR-2004-213245NIA Report No. 2004-08

State-Dependent Riccati Equation Regulation ofSystems with State and Control Nonlinearities

Scott C. BeelerNational Institute of Aerospace, Hampton, Virginia

July 2004

https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=20040110953 2018-02-01T08:49:14+00:00Z

Page 2: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

The NASA STI Program Office . . . in Profile

Since its founding, NASA has been dedicatedto the advancement of aeronautics and spacescience. The NASA Scientific and TechnicalInformation (STI) Program Office plays a keypart in helping NASA maintain thisimportant role.

The NASA STI Program Office is operated byLangley Research Center, the lead center forNASA’s scientific and technical information.The NASA STI Program Office providesaccess to the NASA STI Database, thelargest collection of aeronautical and spacescience STI in the world. The Program Officeis also NASA’s institutional mechanism fordisseminating the results of its research anddevelopment activities. These results arepublished by NASA in the NASA STI ReportSeries, which includes the following reporttypes:

• TECHNICAL PUBLICATION. Reports ofcompleted research or a major significantphase of research that present the resultsof NASA programs and include extensivedata or theoretical analysis. Includescompilations of significant scientific andtechnical data and information deemedto be of continuing reference value. NASAcounterpart of peer-reviewed formalprofessional papers, but having lessstringent limitations on manuscriptlength and extent of graphicpresentations.

• TECHNICAL MEMORANDUM.Scientific and technical findings that arepreliminary or of specialized interest,e.g., quick release reports, workingpapers, and bibliographies that containminimal annotation. Does not containextensive analysis.

• CONTRACTOR REPORT. Scientific andtechnical findings by NASA-sponsoredcontractors and grantees.

• CONFERENCE PUBLICATION.Collected papers from scientific andtechnical conferences, symposia,seminars, or other meetings sponsored orco-sponsored by NASA.

• SPECIAL PUBLICATION. Scientific,technical, or historical information fromNASA programs, projects, and missions,often concerned with subjects havingsubstantial public interest.

• TECHNICAL TRANSLATION. English-language translations of foreign scientificand technical material pertinent toNASA’s mission.

Specialized services that complement theSTI Program Office’s diverse offerings includecreating custom thesauri, building customizeddatabases, organizing and publishingresearch results . . . even providing videos.

For more information about the NASA STIProgram Office, see the following:

• Access the NASA STI Program HomePage athttp://www.sti.nasa.gov

• Email your question via the Internet [email protected]

• Fax your question to the NASA STIHelp Desk at (301) 621-0134

• Telephone the NASA STI Help Desk at(301) 621-0390

• Write to:NASA STI Help DeskNASA Center for AeroSpace Information7121 Standard DriveHanover, MD 21076-1320

Page 3: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

National Aeronautics andSpace Administration

Langley Research CenterHampton, Virginia 23681-2199

Prepared for Langley Research Centerunder Contract NCC-1-02043

State-Dependent Riccati Equation Regulation ofSystems with State and Control Nonlinearities

Scott C. BeelerNational Institute of Aerospace, Hampton, Virginia

NASA/CR-2004-213245NIA Report No. 2004-08

July 2004

Page 4: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

Available from the following:

NASA Center for AeroSpace Information (CASI) National Technical Information Service (NTIS)7121 Standard Drive 5285 Port Royal RoadHanover, MD 21076-1320 Springfield, VA 22161-2171(301) 621-0390 (703) 487-4650

Page 5: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

�������������� ����������� ����������������������������� ���� !��"#�������$��$% �'&(�����*) �,+ �-��. ���/����� �0�� ���������1��"

�2����"3�4���5�0���-���4���

687:9�;<;>=>?A@CB:BEDFBEGIH

JLKNMAOQPRJLS>OTVU4WYX[Z[\]Z^WI_a`4WcbdWfe-`4Wfe�Zhgjilkckc\]Z[imWfnpo-\]Z[irqmeNsut4vCgxwzyAi{X|Z[U4W~}�\�X[i{X|q��-\jZ^Wfk�U-e�i{n�o-W���q���X[o4}dq�b-Z[i{��\����WcWf`-}�\�k[��kIqme�Z^�[qm�-q��|\�e4qme-�{i{e-Wf\]��n�o-\�`-��\]Z[i{k��[Wc�mo-�l\]Z^q��Cs��'��gCy�b-�[q�}��rWf�3�/��ZYi{X�\�e�WI�pZ^Wfe�X[irqmeq���Z[U4W�gxi{kckc\]Z[idWfnpo-\]Z[irqme�o-X^Wf`L�Fq�����WcWf`-}�\�k[�RkIqme�Z^��qm�|q��h�{ile4Wf\]��b-�[q�}��rWf��Xc���xirZ[U�Z[U-W�\�`-`-irZ[irqmeq��Ce-qme-�{i{e4Wf\]��irZ[irWfXQile*Z[U-W3X^Z[\]Z^W#`4� e-\���i{kcX>q��CZ[U4W3X^� X^Z^Wf�¡�[WfX[o��rZ[i{e4�¢i{e5\£X^Z[\]Z^WI_a`4WcbdWfe-`4Wfe�Z�m\�i{e��\]Z^��i¤�\�X�Z[U4W�X[qm�{o4Z[irqme£q���Z[U4W�Wfn�o-\]Z[i{qme|�¥�¦eZ[U�i{X'b�\]bdWc�QX^Wc§�Wc��\���§]\]��i{\]Z[irqme-X�qmeZ[U4Wt v�gjw�_u}�\�X^Wf`3�¨WcZ[U-qp`��xi{�{�8}�W�kIqme�X[i{`4Wc�[Wf`R�Fq��VZ[U4WQ��WcWf`4}8\�k[��kIqme�Z^��qm�Ab-�[q�}8�rWf���jirZ[U�kIqme�Z^�[qm�e4qme-�{ile4Wf\]��irZ[irWfXf�/TVU4WVkIqme�Z^�[qm��e4qme-�{ile4Wf\]��irZ[irWfX©��\ª�«�[WfX[o-�rZ�ile�kIqm�¨b��{ilkc\]Z[irqme-X�i{e«Z[U-Wxepo-�¨Wc��i{kc\��i{�¨b��{Wf�¨Wfe�Z[\]Z[i{qmeNq��hZ[U4W�kIqme�Z^�[qm�¬�4�jU-ilk�ULZ[U4W'`-i¤­dWc�[Wfe�Zz§�Wc��X[irqme-X�q��hZ[U4W�t v�gjw®�¨WcZ[U-qp`��>o-X^ZZ^�[�«Z^qQqE§�Wc��kIqm�¨W��5TVU4WjkIqme�Z^�[qm���¨WcZ[U4q `-X��ji{�l� }�Wx\]b-b��{irWf`«Z^q�Z[U4�[WcWVZ^WfX[Z~b-��q�}��rWf��X�\�e-`�Z[U4Wfir��[WfX[o-�{Z[i{e4�>b�Wc����q�����\�e-kIW�\�e-\��r�p¯cWf`|�

° ±E²�³�´¢µ#¶·5¸L³�±mµ#²¹'º B®»d9p»dDF¼�»dB]½pG/¾-¿|½pÀdG<½�;I¼�7�G<BEÁ ¿dDF½�;I9 G5ÂÄÃ>Å�Æ�Ç/ÈdG�9 ÉdD�B:Ê 7]½p»�É�B®½pÈdÈ�G<94½p7 º B:À0¼F»�Ê/½p»4Ë$À�¼�ÌhB:G<BE»4;Í ½�Ë�ÎEÏz¿dÎ�¼F»dÁÐÀd¼�ÌhB:G�B:»4;N½pÈdÈdG�9]Ñ�¼�Ê�½�;I¼F9p»5;IB:7 º »d¼F¾-¿dBEÎN9 G�»-¿dÊ#B:G�¼F7]½�D�Î<7 º BEÊ/BEÎN;<9*9 É8;c½p¼�»�½¢ÒuBEB:ÀdÉ|½�7cÓ7:9p»-;<G<9 DY½pÎ�»dB]½�GQ;<9�9 È�;<¼FÊ/½pD�½pÎQÈ�9 Î<Î�¼FÉdD�Bp?�ÔÕÀd¼FG�B:7ª;�Òu9 G�ÊR¿dDF½�Òu9pG>½p»*9 È�;<¼FÊ/½pD�ÒuB:BEÀdÉ|½p7cÓÐ7:9p»-;<G<9 D�¼�νpD�Ê/9 Î�;�½pD Í ½]Ë�ÎN¼�Ê/È�9 Î<Î�¼FÉdD�BLÒu9 G�»d9 »�DF¼F»�B]½pG�Î�Ë�Î�;IB:Ê#Î:Ï~Î<9*Î<BEÖpB:G<½pDxÎ�¿dÉ�9 È�;I¼�Ê�½�D�Ê/Bª; º 9�ÀdÎ º ½]Ö B/ÉhBEB:»ÈdG�9 Èh9pÎ<B:ÀL¼F»N; º BCD�¼�;<B:GI½�;I¿dG�Bp?£Ô>Ê#9 »dÁQ; º BEÎ<B�¼�Î�; º BxÊ/Bª; º 9�ÀL¼�»-Öp9 D�Ö�¼�»dÁQ; º BCÎ�;c½�;<Bª×¦ÀdB:È�B:»dÀ�B:»4;jÆQ¼�7:7:½�;I¼B:¾-¿|½�;I¼F9p»1ÂÄ6�بÆ�ÙjÇfÏ©É|½pÎ�B:À�9p»�; º B37:9 »dÎ�;c½p»4;�צÖ�½pDF¿�B:À�ÆQ¼�7:7]½�;I¼�B:¾-¿|½�;I¼F9p»�¿�Î<B:À�;I9Ú|»dÀ�; º B#9 È�;<¼FÊ/½pDÒuB:BEÀdÉ|½p7cÓ/7:9 »4;<G<9 DAÒu9 GCD�¼F»dB:½pGVÎ�Ë�Î�;<B:Ê#Î:? ¹'º B�68بÆ�ÙÛBªÑ�;<B:»dÀdÎ�; º ¼FÎC½pÈdÈdG�94½p7 º ;<9L; º B>»d9 »�DF¼F»�B]½pGj7]½pÎ�BÉ4ËÛ½pD�DF9 Í ¼F»�ÁÐ; º B£Ê�½�;IG<¼�7:BEÎL¼F»4Öp9 D�ÖpB:À�;I9®É�B�Òu¿d»�7E;I¼�9 »dÎR9�Ò'; º B£Î�;c½�;<B�Ö�½pG<¼F½pÉdDFBEÎ:Ï�½�»dÀÛÈh9pÎ<Î<¼�ÉdD�Ë�; º B7:9p»-;<G<9 D�ÎC½�Î Í B:D�D�? ¹'º B¨6�بÆQÙ�Ê#BE; º 98À º ½pÎj; º B�½pÀ�Ö�½p»4;c½�Á B�9�Ò�ÉhBE¼F»dÁ�Òa½p¼�G<D�ËLÎ<¼�Ê/ÈdD�B�»�¿�Ê/BEG<¼F7:½pDFDlËR¼�»7:9pÊ/È|½�G<¼FÎ�9 »�;I9�Ê/½p»4Ë�9p; º B:G�;IBE7 º »d¼F¾-¿dBEÎ:Ï�½pÎ Í BEDFDA½pÎjÉhBE¼F»dÁ�7EDF9 Î�B:D�ËLG<BED�½�;<B:À3;I9¨; º B Í B:DFD{×^¿d»�ÀdB:G�Î�;I9�9�ÀÆ�¼F7:7:½�;I¼�B:¾-¿|½�;<¼F9 »£Òu9 G'D�¼F»dB:½pG�ÈdG�9 ÉdDFBEÊ/ÎE?

ÙV½pG<DlË Í 9 G<Ó*9 »®; º B�Î�;c½�;<Bª×^À�B:È�B:»dÀdBE»4;RÆ�¼F7E7]½�;<¼zB:¾-¿|½�;I¼F9p» Í ½pΨÀd9p»dB�É4Ë�Ü~B:½pG<Î�9 »1ÝrÞ:ßÄÏYà�½�G<GI½�G<À©Ïá 7]=CD�½pÊ#G<9�7 º ½�»dÀ�=CDF½pG<ÓâÝäã�ßÄÏ'@C¿dG�Á º ½pG�;5Ýæå�ßÄÏ'½p»dÀ�ç�BEG<»dD�¼Q½p»dÀ�=C9�9 ÓâÝéè�ßÄ? á 9 G�B*G�B:7EB:»4;IDlË Ï�; º B6�بÆQÙ�7:9 »4;<G<9 D º ½pÎRÉ�B:BE»�Î�;<¿dÀd¼�B:À�É4Ë�ê�G�¼FÓ�B:DF¼�Î�½p»dÀÛ꨼FG�¼�½pÓ-¼�Àd¼FÎ#ÝäëmßÄÏ�½p»dÀÛ=CDF9 ¿�;<¼FBEG:Ï~ØRì¤689p¿dí]½5½�»dÀá G<½p7:BEÓ�Ýæî�Ï�ï�ßzÂ Í ¼�; º ; º B«6�بÆQÙ�½pÈ�ÈdDF¼�B:À3;I9N½�»d9p»dDF¼�»dB]½pG�É�B:»�7 º Ê�½�G<Ó�ÈdG�9 ÉdDFBEÊð¼F»�Ýäñ�߬Çf?�ò�½pÊ/Ê#BE;�;]Ïò>½�DFDj½p»dÀÛÆ�¼FÀ�Á B:DlË®DF9�9 Ó�½�;N7:9 »4;<G<9 D�D�½pÉd¼�DF¼l;^Ë�¼�Î<Î<¿�B:ÎLÒu9 G�; º B¢6�بÆQÙ�¼F»�Ýæó�ßÄ? Ô¥7:9 Ê#È|½pG�¼FÎ�9 »�Î�;I¿dÀ�˼F»4Öp9 D�Ö�¼F»�Á3; º B�68بÆ�Ù1½�Ê/9 »�Á#9�; º BEG�»d9p»dDF¼�»dB]½pG'7E9 »4;IG�9 D�Ê/Bª; º 9�ÀdÎ Í ½pÎ�Àd9 »dB�¼F»�ÝrÞ�ô�ßÄÏ�½p»dÀ*;<GI½p7cÓ-¼�»dÁ7:9p»-;<G<9 D�½�»dÀ*Î�;c½�;<B�B:Î�;<¼FÊ/½�;I¼�9 »¢Ê#BE; º 98À�Î'¿dÎ<¼�»dÁ#; º BN6�بÆQÙ Í B:G<B�ÀdBªÖ B:D�9 È�B:À�¼�»�Ý{ÞpÞ:ß�?

á 9 Î�;�9�Òz; º B:Î<B�Ê#BE; º 98À�Î�½�Î<Î<¿�Ê/B�½�Î�Ë�Î�;<B:Êõ¼F»Ð½�7:9p»-;<G<9 D{×[½�ö#»dB«Òu9pG<Ê,Î�¿d7 º ½�Î

÷øù!ú  ø Ç�û�ü£Â ø Ç[ýYþ Â�Þ�Çÿ������������� ����������������������������� �!�����"��#$�� %�'&)(% �*�����+���� -,.�/��(�01�32/�'45+$�����)��67(98':';';�;<>=?45�'���A@CB�DFE�G3G$H�G�IJ'KML�N'K�G�O?P

Q I3RS<

Þ

Page 6: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

Í º BEG<B�; º BEG<B#½pG�B�Î�;c½�;IB3»d9 »dD�¼F»dB:½pG<¼l;I¼�B:ÎQÉd¿�;�9 »dDlË�D�¼F»dB:½pG«ÀdBEÈhBE»dÀdB:»�7:B#9 »®; º B37:9p»-;<G<9 Dz¼F»dÈd¿8;IÎ:?��>Ò; º BN½�Éh9�Ö B�7E¼�;IBEÀ*Èd½pÈhBEG<ÎEÏ|9 »dD�Ë/ç�BEG<»dD�¼�½p»dÀ�=C9�9 Ó�Ýéèpß�7:9p»dÎ<¼�ÀdB:G'; º B�Ê#9 G�B¨Á B:»dBEGI½pD�7:½pÎ<B

÷ø£ù!ú  ø þIýhÇ�� Â�ãpǹ'º ¼�ÎY;^Ë�È�BC9pÒ�Î�Ë�Î�;<B:ÊÕDFB]½�ÀdÎY;<9�Î�¼FÁ »�¼�Ú|7:½p»4;z7E9 Ê/È�DF¼F7:½�;I¼�9 »dΩ¼�»�; º BC6�بÆ�Ù5Ê#BE; º 9�ÀN7E9 »4;IG<9pD8BE¾�¿d½�;I¼�9 »dÎ:ÏÊ/½pÓ-¼F»dÁ/¼�;QÊR¿d7 º Ê#9 G<B�Àd¼lö/7E¿dD�;Q;I9/Ú|»dÀ®½�À�¼FG<BE7E;�Òu9 G<ÊR¿�D�½�Òu9 G�ý�¼�»*;IBEG<Ê#Î>9pÒ ø ?2ò�9 Í BEÖ BEG:Ï�Î�¼F»d7EB; º B:G<B3½�G<BRÊ/½p»4Ë5½�ÈdÈdDF¼�7]½�;<¼F9 »�Î Í º B:G<B�; º BR7:9p»-;<G<9 D~¼F»dÈ�¿�;IΨ½�G<BR»d9p»dDF¼�»dB]½pGEÏ Í B Í ¼FÎ º ;I9¢BfÑ8;<B:»dÀ�; º BÎ�;I½�;IBf×^ÀdBEÈhBE»dÀdBE»-;QÆ�¼F7E7]½�;<¼hBE¾-¿|½�;I¼�9 »¢Ê#BE; º 98À/;I9RÉ�B«½pÈ�ÈdDF¼�7]½pÉdD�BQ;<9L; º B Í ¼FÀdBEGC7:½pÎ<B«9�Ò�B:¾-¿|½�;<¼F9 »�ÂÄã ÇªÏ½p»dÀÛÎ�9®¼F»�; º ¼FÎNÈ|½pÈ�B:G Í B Í ¼FD�DVÉhB¢Î�;I¿dÀ8Ë8¼�»dÁ5Ö�½pG<¼�9 ¿dÎ�;IB:7 º »d¼F¾-¿dBEÎ3;<9®½pD�DF9 Í 7:9p»-;<G<9 Dx9pÒ'; º ¼FÎRÊ#9 G<B7:9pÊ/ÈdD�BªÑ¢ÈdG<9 É�DFB:ÊÐ?

¹'º BQ½pÈdÈdG�94½p7 º 9pÒAç�BEG<»dD�¼|½p»dÀ/=C9�9 ÓL¼�Î�;I9�Î<È�DF¼�;~; º B�Î�;c½�;<B�½p»dÀ37:9 »4;<G<9 D|À�Ë�»|½�Ê/¼�7:Î�Ê/½�;IG�¼F7:BEÎ�¼F»4;<97:9p»dÎ�;I½p»4;�½p»�À#Ö�½pG�¼�½pÉdD�B'È|½pG�;IÎ:Ï�½p»�À#; º B:»/¿dÎ<B�; º 9pÎ<B�;I9�Î<9 DlÖ B'Òu9 Gj½�;<G<¿d»�7]½�;<B:À�È�9 Í BEGxÎ�B:G�¼FB:Îx½pÈdÈ�G<9]Ñ-×¼FÊ/½�;<¼F9 »5;<9*; º B�Á4½p¼�»�Ê/½�;<G<¼lÑ5Î<9 D�¿�;I¼�9 »�9pÒ�; º B¢6�بÆQÙ'? ¹'º ¼FÎL½pDFD�9 Í Î�; º B#»�¿�Ê/BEG<¼F7:½pDV7]½pD�7:¿dDF½�;I¼�9 »dÎ;I9ÐÉ�B/7E9 Ê/Èd½pGI½�;<¼�ÖpB:D�Ë�Î<¼�Ê/ÈdD�B3½p»dÀ�Ê/9pÎ�;IDlË5Àd9p»dB/9��/¼�»dB3ÈdG<¼�9 G«;I9; º B�½pÈ�ÈdDF¼�7]½�;<¼F9 »®9pÒx; º B#7:9p»-;<G<9 D;I9�; º B�Î�Ë�Î�;<B:ÊÐ? ¹'º ¼FÎ�½pÈ�ÈdG<94½�7 º Í ½pÎQ½pDFÎ�9#¿�Î<B:ÀÐÒu9 G'ÈdG�9 ÉdDFBEÊ/Î Í ¼l; º »d9 »�DF¼F»�B]½pG�Î�;c½�;<B�À�Ë�»|½pÊ#¼F7:Î�¼�»ÝrÞ�ô�ßÄÏ©½p»dÀ Í ¼�DFDYÉhBN9 »dBR9�Òj; º BL;<B:7 º »d¼�¾-¿dB:Ψ¿dÎ�B:À�¼F»*; º ¼�ΫÈ|½pÈ�B:GE?ðÔ>»�½pDl;IB:G�»|½�;<BR½pÈdÈ�G<94½p7 º ¼�Î>;I9�Àd9Ê#9 Î�;�9pÒV; º B37]½pD�7:¿dDF½�;I¼�9 »dÎ>9p»dDF¼�»dBpÏ©Î�9 D�Ö�¼�»dÁ¢; º B/6�بÆQÙ0G<B:È�B]½�;IB:À�D�Ë5;<9п�ÈhÀ|½�;IBR; º B#7E9 »4;IG�9 D�½pΨ; º BÎ�;I½�;IB�7 º ½�»dÁ B:ÎE? ¹'º ¼�Î º ½pÎ�; º BQ½pÀ�Ö�½p»4;I½pÁ B�9pÒ©Î�9 D�Ö�¼�»dÁ«; º BQBªÑ�½p7ª;jB:¾-¿|½�;<¼F9 »#GI½�; º B:G�; º ½p»/½p»�½�ÈdÈdG<9]Ñ8¼l×Ê/½�;I¼�9 »©Ï4Éd¿�;C¼�;jÊR¿dÎ�;CÀ�9RÎ<9N7:9 »dÎ�;c½p»4;<D�Ë#Àd¿dG�¼F»dÁ�; º BQ7:9 »4;<G<9 D�¼FÊ#ÈdDFBEÊ/BE»4;c½�;<¼F9 »�G<½�; º BEGx; º ½p»¢½�Î<¼�»dÁ DFB;I¼�Ê/B�ÈdG<¼�9 Gx;<9R; º B¨Î�;c½pG�;'9pÒ�; º B«ÈdG<9pÉdDFBEÊ*?��«»dB Í ½]Ë£9pÒ Í 9pG<Ó-¼F»dÁ3½�G<9 ¿d»�À£7:9 »4;IG�9 D©»d9p»dDF¼�»dB]½pG�¼�;<¼FB:ÎV¼�Î;I9�Ê#9�Ö B«; º B:Ê ¼F»4;I9R; º B¨Î�;I½�;IB>À�Ë�»|½pÊ#¼F7:ÎCÉ-Ë�G<BªÒu9 G<ÊR¿�D�½�;<¼F»dÁ�; º B¨Î�Ë8Î�;IBEÊ Í ¼�; º ½R7 º B]½pÈ7E9 »4;IG<9pD�Âa9pG¼F»4;<B:Á G<½pD�7:9 »4;<G<9 D�Ç�½�ÈdÈdG<9 ½p7 º Ï�½�ÎNÎ�¿dÁ Á BEÎ�;IBEÀ�¼F»$ÝrÞmã�ßÄ? ¹'º BEG<B�½pG<B#Î<9 Ê#B3»-¿dÊ/BEG<¼�7]½pDV7:9pÊ/ÈdD�¼F7:½�;I¼�9 »dÎ;I9R; º B:Î�B«;IBE7 º »d¼F¾-¿dBEÎ Í º ¼F7 º Ê/½]Ë/Òa½]Ö 9pG�9 »dB«9�ÖpB:G�; º B¨9p; º BEG<Î�¼�»¢7:BEG�;I½p¼F»£7E¼FG<7E¿dÊ#Î�;c½�»d7:BEÎ:Ï|½pÎ Í ¼FDFD�É�BÀd¼�Î<7:¿�Î<Î<BEÀ�DF½�;IBEG'¼F»£; º ¼�Î'È|½pÈ�B:GE?

Ô�Î<¿�Ê/Ê/½pG�Ë#9pÒ�; º B«ÀdBEG<¼lÖp½�;I¼F9p»¢½p»dÀ�»|½�;I¿�G<B«9pÒ�; º B«Î�;c½�;<Bª×^À�B:È�B:»dÀdBE»4;>Æ�¼F7E7]½�;<¼hBE¾-¿|½�;I¼�9 »£½p»�À¢¼�;<οdÎ�B/Òu9 G�»d9 »�DF¼F»�B]½pG¨ÒuB:BEÀdÉ|½p7cÓ�7E9 »4;IG<9pDxÈdG�9 ÉdD�B:Ê#Î Í ¼�DFD�É�B�Áp¼�Ö BE»�¼�»�68BE7E;<¼F9 »�ã8? ¹'º B#; Í 9*ÈdG<¼�Ê�½�G�Ë»-¿dÊ#B:G<¼�7]½pD�G<B]½�DF¼Fí:½�;I¼�9 »dÎ�9�Òh; º B�»d9 »dD�¼F»dB:½pG�צý�68بÆ�Ù�;<9�ÉhB�7:9p»dÎ<¼�ÀdB:G�B:À º B:G<B Í ¼�DFD�; º B:»#ÉhB�ÀdBEÎ<7EG<¼FÉ�B:À��; º B¨Èh9 Í B:G'Î<BEG<¼�B:Î'½pÈ�ÈdG<94½�7 º ¼�»68BE7E;I¼�9 »å�½p»dÀ¢; º B¨9 »dD�¼F»dBQ7:9p»-;<G<9 D�¿dÈhÀd½�;IB¨½�ÈdÈdG<9 ½p7 º ¼F»68BE7E;<¼F9 »£èd?68BªÖ B:G<½pDdÖ BEG<Î�¼F9 »dÎV9pÒA; º B:Î�BQ7E9 »4;IG�9 DdÒu9 G<ÊL¿dD�½�;<¼F9 »�Î Í ¼�DFD�ÉhB�½pÈ�ÈdDF¼�B:ÀR;I9«; º G<BEB�BªÑ�½pÊ#ÈdDFB�È�G<9 ÉdD�B:Ê#Î Í ¼�; º; º B�G<BEÎ<¿dDl;IÎRÀ�¼FÎ<7E¿dÎ<Î�B:ÀÛ¼�» 68B:7ª;I¼�9 »dÎ�ë�×�ï8? Ô>»�BEÖ�½pDF¿d½�;I¼�9 »�9pÒC; º B¢6�بÆ�Ù�;<B:7 º »d¼�¾-¿dB:Î3½p»�À�9�Ö B:G<½pDFD7:9p»d7:D�¿dÎ<¼�9 »dÎ Í ¼FD�D�É�B�Áp¼�Ö BE»¼F»*68B:7ª;I¼�9 »Ðñ�? ��� �±� 1µ��2³����� ©³���³����I¶������«²�¶��¨²�³ð´¢±�¸3¸���³�±����3·���³�±mµ#²¹'º B5Î�;c½�;<Bª×¦ÀdB:È�B:»dÀ�B:»4;Æ�¼F7:7:½�;I¼�BE¾�¿d½�;I¼�9 »�ÂÄ6�بÆ�ÙjÇfÏC½pÎ#È|½pG�;¢9pÒ¨½�Î<¿�Éh9 È8;I¼FÊ/½pD�ÒuBEB:ÀdÉ|½�7cÓ$7:9p»-;<G<9 DÒu9 G»d9 »�DF¼F»�B]½pG£Î�Ë8Î�;IBEÊ/ÎEÏ º ½pÎ*¼l;IÎG<9�9p;<Î*¼�»0; º B�9 È�;I¼�Ê�½�DF¼�;^Ë�7:9p»dÀd¼�;<¼F9 »�ÎÒu9pG; º B�Ã«Å¨Æ ÈdG<9pÉdDFBEÊ*?¹'º ¼�Î'È|½pGI½�DFDFBEDFÎj; º B�7:9p»dÎ�;I½p»4;�צÖ�½pD�¿dB:ÀнpD�Á B:É�GI½p¼�7¨ÆQ¼�7:7:½�;I¼hB:¾-¿|½�;<¼F9 »©ìäÎ�Î�;I½�;I¿dÎ�¼�»¢Ú|»dÀd¼�»dÁ�; º B�9 È�;<¼FÊ/½pDÒuB:BEÀdÉ|½p7cÓ�7E9 »4;IG�9 D>Òu9 G£½ÛÁ ¼lÖ BE»âD�¼F»dB:½pG�¾-¿|½�ÀdGI½�;<¼F7®G�B:Á ¿dDF½�;I9pG� �YŨÆ>Ç#ÈdG<9 É�DFB:ÊÐ? ¹'º B�»d9p»dDF¼�»dB]½pGÎ�Ë�Î�;IB:Ê Í B Í ¼FDFDhÎ�;<¿dÀ�˼FÎ'9�Ò~; º B¨Òu9 G<Ê! ÷ø Â#"�Ç ù ú  ø Â$"�Ç<Ç�û&%� ø Â#"�Ǫþ<ýz ø Â#"�Ç�Ç<Ç

ø ÂÄô Ç ù ø(' þ ÂÄå Ç

Í ¼�; º ø*)*+-, ½p»dÀ ý.� +-,0/ +�1 ? ¹'º B9 É32�B:7E;<¼�ÖpB£¼F»�; º ¼FÎRÈdG�9 ÉdD�B:Ê ¼�ÎL;I95Úd»dÀÛ; º B¢ÒuBEB:ÀdÉ|½�7cÓ7:9p»-;<G<9 D�ý~ ø Ç Í º ¼F7 º Ê/¼�»d¼FÊ#¼FíEB:Îj; º B�¾-¿|½pÀdG<½�;I¼�7¨7:9 Î�;�Òu¿d»d7E;<¼F9 »d½pD

4 Â ø(' þIýhÇ ù Þã6587' 9 ø;:�<¨ø û ý :(+ ý>=@?A" Âaè4Ç

ã

Page 7: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

Í ¼�; º Á ¼lÖ B:»®7E9 »dÎ�;c½p»4;�×�Ö�½pDF¿dBEÀ®Î�;I½�;IB�½�»dÀ57:9p»-;<G<9 D Í BE¼FÁ º ;¨Ê/½�;<G<¼F7EB:Î < ÂaÎ�Ë�Ê/Ê#BE;<G<¼F7�ÏhÈ�9 Î�¼�;I¼lÖ BNÎ<B:Ê#¼l×ÀdBªÚ|»d¼�;<B�Ç'½p»dÀ + ÂaÎ�Ë�Ê#Ê/Bª;IG�¼F7pÏ�Èh9 Î�¼�;<¼�Ö B¨À�BEÚ|»d¼l;IB]Ǫ?

¹'º B�6�بÆQÙ®¼FÎYÀdB:G�¼�ÖpB:ÀRÒuG<9pÊ�; º BC9pÈ�;I¼�Ê�½pD�¼�;^Ë>7:9 »dÀ�¼�;I¼�9 »dÎY9 »L; º B�ò�½pÊ/¼�D�;<9 »d¼�½�»«Òu9 G~; º ¼FÎYÈdG<9pÉdDFBEÊ*ÏÍ º ¼�7 º ¼�Î'ÀdBEÚ|»�B:À5½�Î��

 ø þIý�þ���Ç ù Þã ø;: <�ø û Þ

ã ý :>+ ýRû�� :  ú  ø Ç�û&%� ø þ<ý�Ç�Ç>� Â�ëpÇ� G<9 Ê�; º Bxò>½pÊ#¼FDl;I9 »�¼�½p»>; º Bj»dB:7EB:Î<Î<½pG�ËN7:9p»dÀd¼�;<¼F9 »�ΩÒu9 G�; º Bj9 È�;<¼FÊ/½pD 7:9p»-;<G<9 D-9pÒ8; º BjÀ�Ë�»|½pÊ#¼F7VÎ�Ë8Î�;IBEʽp»dÀ7E9 Î�;'Òu¿d»�7E;I¼�9 »|½pD�¼F»£BE¾-¿|½�;I¼�9 »dÎ�Âaå�×^è-Çj½pG<B¨Áp¼�Ö BE»£¼F»¢;<B:G<Ê#Î�9pÒ ø Ïdý�Ï|½�»dÀ¢; º B¨7E9 Î�;I½�;IB�� ) + , É-Ë

÷ø ù� �� � ù!ú  ø Ç�û&%� ø þ<ý�Ç ÂÄî Ç

÷� ù � ��� ø ù�-<¨ø� � ú :� ø  ø Ç�� � � % :� ø  ø þIýhÇ�� Â�ïpÇ

ô ù� �� ý ù + ýRû � % :� ý  ø þIýhÇ�� � ÂÄñ Ç

Â�6�B:B�G<BªÒuB:G<BE»d7:BEÎ�ÝrÞ�å�Ï©Þ:èpß�ÏdÒu9pG'BªÑ�½pÊ#ÈdDFB�?¤Ç � G�9 Ê,BE¾-¿|½�;I¼�9 »�ÂÄñ4ÇfÏd; º B�7E9 »4;IG<9pD�7]½p»É�B Í G�¼�;�;IB:»*½pÎ

ýzÂ$"�Ç ù ��+���� � % :� ý  ø Â#"�Ǫþ<ýzÂ$"�Ç<Ç��YÂ#"�Ç � ÂÄó Ç� »�½�DF¼�»dB]½pG�ÈdG<9pÉdDFBEÊ*Ï Í º B:G�B ú  ø Ç ù�-'Iø ½p»�À %©Â ø þIýhÇ ù ü ' ý�Ï Í B Í 9p¿dDFÀ®D�989 Ó£Òu9 G«½�7:9 Î�;c½�;<BÎ<9pDF¿�;<¼F9 »¨9pÒ8; º B�Òu9 G�Ê��YÂ$"�Ç ù���'Iø Â$"�Ǫ?£ç�B Í 9 ¿dD�À�;I½pÓpBV; º B�;<¼FÊ#B�ÀdB:G�¼�Ö�½�;I¼lÖ B�9pÒ8; º ¼�Î�7:9 Î�;c½�;<BjÒu9pG<ÊR¿dDF½�ÏÎ<¿�ÉdÎ�;<¼�;I¿8;IB#¼F»�B:¾-¿|½�;<¼F9 »dÎ�ÂÄî8Ϥï8Ï ó4Ǩ½p»dÀ�; º B#7 º 9 Î�B:»�Òu9 G�ÊR¿dDF½£Òu9pG��©Ïz½p»�À�9 É�;I½p¼F»�½DF¼F»�B]½pG«ÒuBEB:ÀdÉ|½�7cÓ7:9p»-;<G<9 D�ý~ ø Ç ù��-+ ��� ü :' ��'<ø Ï Í ¼�; º ; º BNÁ ½p¼F» ��' Á ¼�ÖpB:»�É4Ë£; º BNÎ�9 DF¿8;I¼F9p»;<9/; º BN7E9 »dÎ�;c½p»4;�×�Ö�½pDF¿dBEÀÆ�¼F7:7:½�;I¼�B:¾-¿|½�;<¼F9 » � '��-' û � : ' ��'�����' ü ' +���� ü :' ��' û <�ù ô�þ Â�Þ�ô4ÇÍ º ¼�7 º ¼�Î Í BEDFD�¿d»dÀ�B:G<Î�;I9�98À*½p»dÀÒu9 G Í º ¼�7 º Áp989�À£Î<9 DlÖ BEG<Î�½pG<B�½]Ö�½p¼FDF½pÉdD�Bp?� 9 G¨; º B#Ê/9pG<B�Á BE»dB:G<½pDV»d9 »dD�¼F»dB:½pG¨7]½pÎ�B#; º B�6�بÆ�Ù�Ê/Bª; º 9�À�Ê#¼FÊ#¼F7EÎ>; º B�½pÉ�9�Ö B/½pÈdÈdG�94½p7 º É-ËG<B Í G<¼l;I¼F»�Á#; º B�Òu¿�»d7E;<¼F9 »dÎ�¼F»�ÂÄå4Ç'¼F»Ð¾-¿|½pÎ�¼l×^D�¼F»dB:½pG�Òu9 G�Êõ½pÎ ú  ø Ç ù��  ø Ç ø ½p»�À�%� ø þIýhÇ ù ü¢Â ø þIýhÇ�ý�?ÂÄÃQ9p;IBN; º ½�;¨; º BR7 º 9p¼F7:BEΨ9pÒV; º B�Ê/½�;<G<¼lÑÐÒu¿d»�7E;I¼�9 »dÎ � ½�»dÀ�ü ½pG<B�»�9p;¨¿d»d¼�¾-¿dBpÏ�½p»�À®Àd¼�ÌhB:G�B:»4;�Î<¿dÉ�×9 È�;<¼FÊ/½pDj6�بÆQÙ�7:9 »4;<G<9 D�Î Í ¼�DFD�G<BEÎ<¿dDl;NÒuG�9 Ê ¿dÎ�¼F»dÁ5À�¼�ÌhB:G<BE»4;L7 º 9p¼F7:BEÎL9pÒ � ½p»dÀ�ü ¼F»�; º B�Ê/½p»d»dBEGÀdBEÎ<7:G�¼FÉ�B:À�É�B:D�9 Í ? Ç ¹'º ¼�Î���¾-¿|½pÎ�¼l×^D�¼F»dB:½pG<¼�í]½�;<¼F9 »��®G<B Í G�¼�;<¼F»dÁ ú ½p»dÀ % º ½�Σ½pDFÎ�9�É�B:B:»�7:½pDFD�B:À$½p»�<½pÈ�È|½pG<BE»4;�D�¼F»dB:½pG<¼�í]½�;<¼F9 »��dÏ ��BªÑ�;IBE»dÀdB:À�DF¼F»�B]½pG�¼Fí]½�;I¼F9p»!�dÏ�½p»dÀ���Î�;I½�;IBf×^ÀdBEÈhBE»dÀdBE»-;>7:9�BEö#7:¼�B:»4;�È|½pGI½�Ê3×BE;<B:G�¼Fí]½�;I¼F9p»!�¢¼F»5Ö�½pG�¼F9 ¿�Î>ÈdDF½p7:BEÎ:?,ç0¼l; º ; º B:Î<B3»dB Í Òu9pG<Ê#Ϋ9pÒ ú ½p»dÀ %�Ï Í B�Î<BEB:Ó®½£7:9pÎ�;c½�;IB�9pÒV; º BÒu9 G�Ê ��Â#"�Ç ù"�  ø Â#"�Ǫþ<ýzÂ$"�Ç<Ç ø Â$"�Ç�� Â�Þ ÞmÇç0¼�; º ½Î�¿dÉdÎ�;I¼�;<¿�;I¼�9 »�9pÒj; º B#½pÉ�9�Ö B#��½�»dÀ %*Òu9 G<ÊL¿dD�½pÎ>¼F»4;I9B:¾-¿|½�;I¼F9p»$Âaó4Ǫϩ; º B37:9 »4;<G<9 D�BE¾�¿d½�;I¼�9 »É�B:7:9pÊ/BEÎ

ý~ ø Ç ù$�-+ ��� ü :  ø þIýhÇ �  ø þIýhÇ ø%�&+ ��� 1& ' ( � ý '*) � ü �,+ ,.- '� ý  ø þIýhÇ0/ : �  ø þIýhÇ ø � Â�Þmã Ç

¹'º BNü�×^7E9 DF¿�Ê/»£ÀdBEG<¼lÖp½�;I¼�ÖpB Í ¼�; º G�B:Î�ÈhBE7E;Q;I93ý�Ï� ü �,+ ,�- '� ý ù21334 � ü � '65 � ý � 78787 � ü � ',5 � ý 1??? ? ? ? ???� ü , ',5 � ý �978787 � ü , '65 � ý 1:<;;= þ Â�Þ�å4Ç

å

Page 8: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

Í ¼FD�D-ÉhB�7E9 »dÎ�¼FÀdBEG<B:À�Î�Ê�½�DFD8½p»dÀRÀd¼�Î<7:½pG<ÀdBEÀ3¼F»NÚd»dÀd¼F»�Á«; º B�Éd½pÎ<¼�7'6�بÆQÙ®7:9 »4;IG�9 D�Ïp¼F»R9 G�ÀdB:GY;I9«Î�¼FÊ#ÈdDF¼lÒ¬Ë; º B�7:½pDF7E¿dD�½�;I¼F9p»dÎC¼�»-Öp9 D�ÖpB:À*½p»dÀÓpBEB:ÈÐ; º B¨Òu9 G�Ê,9pÒY; º B�7E9 »4;IG<9pD�½p»|½pD�9 Á 9 ¿�ÎC;I9�; º B�7E9 »dÎ�;c½p»4;�×�Ö�½pDF¿dBEÀÆ�¼F7:7:½�;I¼�B:¾-¿|½�;<¼F9 »©?

¹ ½�Ó�¼�»dÁ�; º B�ÀdBEG<¼lÖp½�;I¼�ÖpB�9pÒzBE¾-¿|½�;I¼�9 »�Â�Þ Þ�ÇxË8¼�B:D�ÀdÎ÷� ù"�  ø þIýhÇ ÷ø û!Ý���� �  ø þIýhÇ¦ß ø þ Â�Þ]è-Ç

Í º BEG<B�; º B¨;IBEG<Ê���� �  ø þIýhÇ�G<BEÈdG<BEÎ<BE»-;<Î�; º B¨;I9p;I½pD�;I¼�Ê/B>ÀdB:G�¼�Ö�½�;I¼lÖ B¨9pÒ �  ø Â#"�ÇfþIý~ ø Â#"�Ç�Ç<Ç�Á ¼lÖ B:»ÐÉ4Ë��� �  ø þIýhÇ ù ,&' ( � � �� ø '  ø þ<ý�Ç ÷ø ' û 1&' ( � � �� ý '  ø þIýhÇ ÷ý ' � Â�Þmë Ç

ç�B�; º BE»#Î�¿dÉdÎ�;I¼�;<¿�;IB'¼�»4;I9¨B:¾-¿|½�;I¼F9p»�Â[Þ]è-Ç�; º B�Òu9 G�ÊR¿dDF½pÎzÒu9 G ÷ø Ï ÷�©Ï4ý�½p»�À �/À�BE;IBEG<Ê#¼F»dBEÀ�É4Ë�B:¾-¿|½�;<¼F9 »�ÎÂÄî8Ϥï8Ï ó�ÏlÞ ÞmÇfÏ|½pDF9p»dÁ Í ¼�; º ; º B�¾-¿|½pÎ<¼{×^D�¼F»dB:½pGCÒu9 G�ÊR¿dD�½�ÎCÒu9 G ú ½p»dÀ %�Áp¼�Ö BE»�½�Éh9�Ö B�? ¹'º ¼�ÎQG�B:Î�¿dD�;<ÎQ¼�»

�  ø þ<ý�Ç �� �  ø Ç ø� ü£Â ø þIýhÇ + ��� 14 ü :  ø þIýhÇ�û 1& ' ( � ý' ) � ü �,+ ,�- '� ý  ø þIýhÇ0/ : := �  ø þIýhÇ ø�

û!Ý���� �  ø þIýhÇ¦ß øù �-<¨ø��� � :  ø Ç�û� ,' ( � ø ' 9������������ ����  ø Ç = :û� 1' ( � ý ' 9��! "������� ����  ø þIýhÇ = :$# �  ø þIýhÇ ø þ Â�Þ�î4Ç

Í º BEG<B�; º B � ×x½�»dÀ�ü�×^7:9pDF¿dÊ#»£ÀdB:G�¼�Ö�½�;<¼�Ö BEÎ�½pG<B�Á ¼lÖ BE»*Î�¼FÊ#¼FD�½�G<D�ËL;I9�Â�Þ�å4ÇCÉ4Ë� � �,+ ,.- '� ø ù21334 � � � ',5 � ø � 78787 � � � '65 � ø ,??? ? ? ? ???� � , '65 � ø � 78787 � � , ',5 � ø ,:<;;= þ Â�Þmï Ç

� ü �,+ ,.- '� ø ù 1334 � ü � '�5 � ø � 78787 � ü � ',5 � ø ,??? ? ? ? ???� ü , ',5 � ø �978787 � ü , '65 � ø ,:<;;= � Â�Þ�ñ4Ç

@xË£G�B Í G<¼l;I¼�»dÁ3B:¾-¿|½�;<¼F9 »�Â�Þ]î4Ç�½p»dÀÒa½p7E;<9 G<¼�»dÁ�9 ¿�; ø Ï Í B�9 É�;c½�¼F»% �  ø þIýhÇ �  ø Ç�û � :  ø Ç �  ø þIýhÇ � �  ø þIýhÇ�ü£Â ø þIýhÇ +���� ü :  ø þ<ý�Ç �  ø þIýhÇ�û <'&û�� ,& ' ( � ø

' ) � � �,+ ,.- '� ø  ø Ç / : �  ø þIýhÇ©û 1&' ( � ý' ) � ü �,+ ,�- '� ø  ø þIýhÇ / : �  ø þIýhÇ

� �  ø þIýhÇ�ü£Â ø þ<ý�Ç + ��� 1& ' ( � ý ') � ü �,+ ,�- '� ý  ø þIýhÇ / : �  ø þIýhÇ�û���� �  ø þ<ý�Ç � ù ô � Â�Þ�ó4Ç

¹'º B�Ú|G<Î�;QÈ|½pG�;�9�Òz; º ¼FÎ'B:¾-¿|½�;I¼F9p»Ð¼�Î'; º B�Î�;I½�;IBf×^ÀdBEÈhBE»dÀdBE»-;>Æ�¼F7:7:½�;I¼�BE¾-¿|½�;I¼�9 »©Ï|½�»dÀÐ; º B�Î<BE7:9 »dÀ*È|½pG�;¼FÎ�½>Î<Bª;V9pÒ�BªÑ�;IG<½>;IB:G�Ê/Î Í º ¼F7 º Ï-½�Î�¼F»RBE¾�¿d½�;I¼�9 »ÐÂ�ÞmãpÇªÏ Í ¼�DFD-ÉhB�½�Î<Î<¿�Ê/BEÀ3;<9«É�B'Î<Ê/½pDFD�½p»dÀ3BEDF¼FÊ#¼F»d½�;IBEÀ©?¹'º BEÎ<B£Ê#98Àd¼lÚ|7]½�;I¼F9p»dÎNÊ#B]½�»�; º ½�;R; º B£6�بÆ�Ù Í ¼�DFDVÚ|»dÀÛ9 »dDlË�½5Î<¿dÉ�9 È�;<¼FÊ/½pDV7:9 »4;IG�9 D�? òQ9 Í Î�¼FÁ�×»d¼lÚ|7]½p»4;�; º BRÀ�¼�ÌhB:G<BE»d7:B Í ¼FDFD�É�BRÀdBEÈhBE»dÀdΨ9 »�; º BRÎ�ÈhBE7:¼�Úd7RÈdG<9pÉdDFBEÊ*Ï Í ¼�; º ; º BLÁ G<B:½�;IBEG«Àd¼�ÖpB:G�Á B:»d7EBÒuG<9pÊ ; º B�D�¼F»dB:½pG<¼�í:BEÀ�Òu9 G�Ê ÁpB:»dBEGI½pD�D�Ë G<BEÎ<¿dDl;I¼�»dÁ�¼�»�Òu¿dG�; º BEG�צÒuG�9 Ê�×^9 È�;<¼FÊ/½pDC7E9 »4;IG�9 DFÎE? ç0¼�; º ; º B

è

Page 9: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

B:D�¼FÊ#¼F»|½�;I¼F9p»#9�ÒY; º B¨ÀdBEG<¼�Ö�½�;<¼�ÖpB>;IBEG<Ê#Î:Ï�; º B�6�بÆQÙ�7E9 »4;IG<9pD Í ¼FD�D�É�B«Á ¼lÖ B:»É4Ë�; º B«Òu9 D�DF9 Í ¼F»dÁLÆQ¼�7:7:½�;I¼B:¾-¿|½�;I¼F9p»*½�»dÀ*7E9 »4;IG�9 D©Òu9 G<ÊL¿dD�½ ��  ø þIýhÇ �  ø Ç�û � :  ø Ç �  ø þIýhÇ ���  ø þIýhÇ�ü¢Â ø þIýhÇ + ��� ü :  ø þIýhÇ �  ø þ<ý�Ç�û <�ù ô8þ Â�ãpô4Ç

ýz ø Ç ù ��+���� ü :  ø þIýhÇ �  ø þ<ý�Ç ø � Â�ã8ÞmÇ� ��µ�� �«´ �>´¢± � &��µ3´���·�� ��³N±�µ#²¹'º B»|½�;<¿dG<B9pÒQ; º BÒu9pG<ÊR¿dDF½�;I¼�9 »�¼�» B:¾-¿|½�;<¼F9 »dÎÐÂÄãpô�×[ã8ÞmÇN7EG<B]½�;IB:Î3Î�9 Ê/BÎ�¼FÁ »d¼lÚ|7]½�»-;RÀd¼�ö#7:¿�D�;I¼�B:Î�¼�»Ú|»dÀ�¼F»dÁ3½LÎ�9 DF¿8;I¼F9p»©Ï8Î�ÈhBE7:¼lÚ|7]½pD�D�Ë3; º ½�;�; º B�ÆQ¼�7:7]½�;I¼�B:¾-¿|½�;<¼F9 »�ÂÄãpô4Çj¼�Î�ÀdBEÈhBE»dÀdB:»4;�9 »£É�9p; º ; º B¨Î�;c½�;<B½p»dÀ#; º BQ7:9p»-;<G<9 DÄÏ-½p»dÀ#; º ½�;V; º B�7E9 »4;IG�9 DAB:¾-¿|½�;<¼F9 »�Â�ã8Þ�Ç�¼�ÎV»d9p;x½�À�¼FG<BE7E;xBªÑ8ÈdG�B:Î<Î�¼F9 »/Òu9 GVý�B:¼l; º BEG:?�ÔÀd¼�G<B:7ª;�½pD�Á B:ÉdG<½p¼F7�Î<9pDF¿�;<¼F9 »*9pÒV; º BEÎ<B�B:¾-¿|½�;I¼F9p»dΫ¼FÎ�¼FÊ#Èh9pÎ<Î<¼�ÉdDFB�Òu9 GQÖ8¼�G�;<¿|½pDFDlËнpDFDY7]½�Î<B:ÎEÏ�Î<9 Í B�ÊR¿dÎ�;Ú|»dÀ*½�Á 9�98ÀÊ#B]½p»dÎ'9�Ò�½pÈdÈ�G<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�9 »¢9 G'»-¿dÊ#B:G�¼F7]½�D©Î<9 D�¿�;I¼�9 »£9pÒY; º B�BE¾�¿d½�;I¼�9 »dÎ:?�«»dB�½pÈdÈdG�94½p7 º Ï�ÒuG<9 Ê ç�B:G<»�DF¼h½p»dÀÐ=C9�9 Ó5ÝéèpßÄÏd¼FÎj;I9L;I½pÓpB�½RÈ�9 Í BEG�Î<BEG<¼�B:Î'BªÑ8È|½�»dÎ<¼�9 »¢Òu9 G �  ø ÇC¼�»;IBEG<Ê#Î�9pÒ�½R;<B:Ê#Èh9 G<½pG�Ë/Ö�½pG<¼F½pÉdDFB�� �

�  ø þ<ýYþ� Ç ù 7& ( ' � ��  ø þ<ý�Çfþ Â�ã ã Ç

; º B:»ÐÎ<ÈdD�¼�; � ½p»dÀ*üð¼F»4;I937E9 »dÎ�;I½p»4;«½�»dÀ£Öp½�G<¼�½�ÉdDFB«Èd½pG�;<Î ��  ø þ �pÇ ù"��' û���� �  ø Çfþ>ü£Â ø þIý�þ �pÇ ù ü ' û����3ü£Â ø þIýhǪþ Â�ãpå4ǽp»dÀ�Î<¿�ÉdÎ�;<¼�;I¿8;IB3; º BEÎ<B#¼F»4;I9; º B3Î�;c½�;<Bª×^À�B:È�B:»dÀdBE»4;�Æ�¼F7:7:½�;I¼zB:¾-¿|½�;<¼F9 »$Â�ãpô Çª? Ü�G<9�7:BEB:À�;I9ÐÎ<B:Èd½pGI½�;<B9 ¿�;�É-ËLÈh9 Í B:G�Îj9�Ò��«½p»�À�Î<9 DlÖ B�; º B'G<B:Î�¿dD�;<¼F»dÁ>Î<B:G�¼FBEÎ�9pÒAB:¾-¿|½�;<¼F9 »�Î�Òu9 G�½pÎ�Ê/½p»4Ë � ;IBEG<Ê#Î�½pÎ�ÀdBEÎ<¼�G<B:À��

� '��-' û � : ' � ' � � ' ü ' + ��� ü :' � ' û < ù ô Â�ã�è-Ç� � 9 ��' � ü ' +���� ü :' � ' =>û 9 � : ' � � ' ü ' +���� ü :' = � � û � ' � � û�� � : � '� � ' 9 ü ' + ��� �3ü : û��3ü + ��� ü :' = � ' ù ô Â�ã ë Ç

� 9 �-'�� ü ' +���� ü :' � ' = û 9 � : ' � � ' ü ' +���� ü :' = � û � ��� � � û�� � : � ���� ���&' ( � 9 � ' ü ' +���� ü :' � � ' = � ���&' ( ' � ' 9 ü ' +���� �#ü : û��3ü +���� ü :' = � ��� � '� ���& ' ( ' � ' �3ü +���� �3ü : � ��� � ' ù ô �(Â�ãpî4Ç

¹'º BEÎ<B � Ê�½�;<G<¼�7:B:Îj½pG�B�; º B:»¢Î�¿dÉdÎ�;I¼�;<¿�;IBEÀ£¼F»4;I9�; º B�7:9 »4;<G<9 DAB:¾-¿|½�;I¼F9p»�Â Í ¼l; º ��Î�BE;x;I9�Þ�ÇªÏ Í º ¼F7 º Òu9pG��� »d9 »�DF¼F»�B]½pGC;<B:G�Ê/Î�É�B:7:9pÊ/BEÎ

ý~ ø Ç ù$�-+���� ü :  ø þIýhÇ ���& ( ' �  ø þIýhÇ ø � Â�ã ï Ç

Ü~9 Í B:GxÎ<B:G�¼FBEÎx½�ÈdÈdG<9 ½p7 º B:Îx½pG�B�½�DFÎ<9�ÀdBEÎ<7EG<¼FÉ�B:À/¼F»*Ýäã8Ï4å�Ï�ë�ßÄÏ-Éd¿�;j»d9p;VÒu9 G�Î�Ë�Î�;IBEÊ/Îj7:9p»-;I½p¼F»�¼F»dÁ�7:9p»-;<G<9 D»d9 »�DF¼F»�B]½pG�¼�;I¼�B:ÎE?

Ã�9p;<B¨; º ½�;�¼�»d7:G�B]½pÎ�¼F»dÁR; º B¨»-¿dÊRÉ�B:G�9pÒ~Èh9 Í B:G�Î<BEG<¼�B:Î�;IBEG<Ê#Î�¿dÎ<BEÀ Í ¼�DFD�»�9p;�»dB:7EB:Î�ÎI½pG�¼FD�Ë�¼FÊ#ÈdG<9�ÖpB; º BCÈ�B:G�Òu9pG<Ê/½p»d7:Bx9pÒ|; º BC7:9p»-;<G<9 D�½pDFÁp9 G<¼l; º ÊÐ? � 9 Gz9p»dBx; º ¼F»dÁ�ÏpBEÖpB:»#½p»RBfÑ�½p7E;zÎ<9 D�¿�;I¼�9 »L9pÒ|; º B'68بÆ�Ù

ë

Page 10: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

ÈdG�98Àd¿�7:B:Îj9 »dDlË�½¨Î<¿�Éh9 È8;I¼FÊ/½pD87:9 »4;IG�9 D�Ï4Î�9L½¨7EDF9 Î�B:GV½pÈdÈ�G<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�9 »L;I9�; º B'Î<9 D�¿�;I¼�9 »�Ê�½]Ë�»�9p;VG<BEÎ<¿dDl;¼F»Ð½37:D�9 Î<BEG�צ;<9�×^9pÈ�;I¼�Ê�½pD�7:9p»-;<G<9 DÄ? � 9 GQ½p»d9�; º BEG:Ïd; º B�È�B:G�Òu9 G<Ê/½p»d7EB Í ¼FDFD�Ö�½pG�˽�ÎQ; º B�Àd¼FÎ�;c½p»d7EB¨ÒuG<9 Ê; º B>BªÑ8È|½�»dÎ<¼�9 »¢È�9 ¼F»4;jÖp½�G<¼FBEÎ��#¼F»/È|½pG�;<¼F7E¿dD�½pGEÏ4Òa½pG�; º B:GVÒuG<9 Ê ; º ¼FÎxÈh9p¼F»4;x; º B º ¼FÁ º BEGx9pG<ÀdBEGx;IBEG<Ê#Î Í ¼�DFDDF¼�ÓpBED�Ë/ÉhBE7:9 Ê#B�DFB:Î�ÎQ½p7:7E¿dGI½�;<B�½p»dÀÐB:»dÀпdÈÐÀdBE;<GI½p7ª;I¼F»�Á3ÒuG�9 Ê¥; º B�BEÌhB:7ª;I¼�ÖpB:»dBEÎ<Ϋ9�Ò~; º B�7:9 »4;IG�9 D�?� »Ê/9 Î�;'7]½�Î<B:Î Í ¼l; º 9 »�D�Ë/Î�;c½�;IB#Âa»�9p;'7:9p»-;<G<9 D�Çx»d9 »�DF¼F»�B]½pG�¼�;I¼�B:ÎV; º B>7:9 Ê#Èd¿�;I½�;I¼�9 »dÎ�¼�»�; º B¨È�9 Í BEGÎ<BEG<¼�B:ÎjBªÑ8È|½p»dÎ�¼F9 »/½pG�B�G�B:D�½�;I¼�ÖpB:DlËRB]½�Î�Ë�;I9�Àd9dÏ-Î�¼F»d7EBQ¼�»#; º ½�;jÎ<¼l;I¿|½�;I¼F9p»3ü�Ï � Ï8½p»dÀ � ½�G<B�ÀdB:È�B:»�ÀdB:»4;9 »dDlË59 » ø ? ¹'º ¼�Î�½pDFD�9 Í Î«½pDFDY; º B3Ê/½ 2�9 G«»-¿dÊ#B:G�¼F7]½�D Í 9 G<Ó�;<9ÉhB�È�B:G�Òu9 G<Ê#B:À�9 �#¼F»�BpÏ�DFB:½]Ö8¼�»dÁ�2�¿dÎ�;; º B«Àd¼FG�B:7ª;'BEÖ�½pD�¿|½�;I¼�9 »�9�ÒY; º B �  ø ÇjÒu¿d»�7E;I¼�9 »dÎ'½�;�; º B>7:¿dG�G<B:»4;�Î�;c½�;<B«Öp½�DF¿dBQ;I9�É�B«Àd9 »dB>Àd¿dG<¼�»dÁR; º B7:9p»-;<G<9 D|¼�Ê/È�DFB:Ê#B:»4;I½�;I¼�9 »L9 »3; º BQÎ�¿dÉ 2�BE7E;�Î�Ë�Î�;IBEÊ*?�ç0¼�; º »d9 »dD�¼F»dB:½pG�7:9p»-;<G<9 D|¼�»dÈd¿�;<Î:Ï º 9 Í BEÖ BEG:Ï�; º ¼�νpÈdÈ�G<94½p7 º ¼FΨÊ#9 G�BRÀd¼�ö#7E¿dD�;:? � 9 G¨Î�¼FÊ#ÈdDFBNÒu¿d»d7E;<¼F9 »�Ψ9pÒCý1ÂaÎ�¿d7 º ½pÎ�ü¢Â ø þIýhÇ ù ü �  ø Çzû0ü

� ø Ç[ýhÇ

½p»dÀ�½¢Î�Ê�½pD�D~»-¿dÊLÉhBEG¨9pÒjÈh9 Í B:G�Î<BEG<¼FBEΫ;IBEG<Ê#Î:Ï�¼�;>¼FΨÈ�9 Î<Î�¼FÉdD�BL;I9£G�B Í G�¼�;IBLB:¾-¿|½�;<¼F9 »�Â�ãpï Ç>½pÎ�½¢D�9 Í ×9 G�ÀdB:GxÈh9 DlË�»d9 Ê#¼�½pD|¼�»�ý½p»dÀ£Î�9 D�ÖpB�; º ¼FÎx9 »dDF¼�»dB'Òu9 Gx; º B>7E9 »4;IG�9 DhÖ�½pD�¿dB>½�;C; º B>7:¿�G<G<BE»4; ø ?�= º 989pÎ<¼F»�ÁÍ º ¼�7 º G<9�9p;j9pÒh; º BQÈh9pD�Ë�»d9 Ê#¼�½pD�;I9�¿dÎ<B�¼FÎV»d9 »4;<G<¼�Ö�¼F½pD�Ï º 9 Í BEÖpB:GEÏ|½p»dÀ/¼F»�; º ¼�Îx¼�Ê/È�DFB:Ê#B:»4;I½�;I¼�9 »R¼�; º ½�ÎÉ�B:B:»�Àd9 »dB#É�9p; º É-Ë�¿�Î<¼F»�ÁÐ; º B�G�989p; Í ¼l; º ; º B#Î<Ê/½pD�DFB:Î�;�½pÉdÎ�9 DF¿�;<B#Ö�½pD�¿dB*Âu;<9*Ê#¼F»d¼�Ê/¼�í:BNBªÑ87:BEÎ<Î<¼lÖ B7:9p»-;<G<9 Dh¿dÎ<B]Ç�½p»dÀ¢É4Ë�¿dÎ<¼�»dÁL; º B«G<9�9p;�7EDF9 Î�B:Î�;�;I9R; º ½�;�¼�»�; º B«ÈdG<BªÖ�¼F9 ¿dÎx;I¼FÊ#BQÎ�;IBEÈ�Âu;I9LÊ�½p¼�»4;c½p¼�»/; º B7:9p»-;<¼F»-¿d¼l;^Ë®9pÒj; º B#7:9 »4;<G<9 D�¼�»dÈd¿�;<ÎN½�Î�ÊL¿d7 º ½�Î�È�9 Î�Î<¼FÉ�DFB�Çf? Ô>Dl;IBEG<»|½�;<¼�ÖpB:D�Ë�B:¾-¿|½�;<¼F9 »�ÂÄã ï Ç«7]½p»�É�BÎ<9pD�Ö BEÀ*¼l;IBEGI½�;<¼�Ö BED�ËpÏ|½pDFÎ�9�9 »dD�¼F»dB�Ï8Òu9 G�ý �

ý������ ��  ø Ç ù �-+���� ü :  ø þIý���� � Ç � �& ( ' �  ø þIý���� � Ç ø � Â�ãpñ4Ç

¹'º B3Î�;I½pG�;<¼F»dÁ£È�9 ¼�»-;�ý � ' � Òu9 G>; º ¼FΨ¼l;IBEGI½�;<¼F9 »®ÈdG�987EB:Î�Î Í 9 ¿dD�À�ÉhB#½¢7 º 9 Î�B:»�Öp½�DF¿dB�Î�¿d7 º ½pΨý�½�;¨; º BÈdG�BEÖ�¼F9 ¿�Î�;<¼FÊ#B«Î�;<B:È©ÏA9 G'ý ù � 'Iø Ï|9 G'ý ù ô�?Ô>»d9�; º BEG3½pÈdÈdG�94½p7 º ¼FÎR;<9®7 º ½p»dÁ B¢; º B£Î�;<G<¿d7ª;I¿dG�B9pÒ�; º B£ÈdG�9 ÉdD�B:Ê É4Ë�¿dÎ<¼�»dÁ�½57 º B]½pÈ�7:9p»-;<G<9 D

Òu9 G�ÊR¿dD�½�;I¼F9p»©Ï-Î º ¼lÒ¬;I¼F»�ÁR; º B¨7E9 »4;IG<9pD©Öp½�G<¼�½�ÉdDFBEÎC¼F»£; º B¨9 G<¼�Á ¼F»d½pDhÈ�G<9 ÉdD�B:Ê¥¼F»4;I93½pÀ�Àd¼�;<¼F9 »|½�DhÎ�;c½�;<B�Ö�½pG�¼l×½pÉdD�B:ÎEÏ|½p»dÀпdÎ<¼�»dÁ�; º B�ÀdBEG<¼lÖp½�;I¼�ÖpB:Î'9pÒY; º B�9pG<¼FÁp¼F»|½pD�7:9p»-;<G<9 D�Î�½pÎ�; º B�»�B Í 7E9 »4;IG�9 DFÎE? ¹'º ¼�Î�½�ÈdÈdG<9 ½p7 º¼FÎ�½�DFÎ<93ÈdG�9 È�9 Î<BEÀ*¼�»�ÝrÞmã�ß�? ¹'º BN»�B Í Î�Ë�Î�;IBEÊõ¼FÎ Í G<¼l;<;<B:»Ð½pÎ � ÷ø

÷ý�� ù �  ø Ç ü£Â ø þIýhÇô ô � ø ý�� û ô 1 ���ý�þ Â�ãpó4Ç

Í º BEG<B 1 ¼FÎ�½������£¼FÀdBE»-;<¼�;^Ë�Ê�½�;<G<¼{Ñ�? ¹'º B�7:9pÎ�;�Òu¿d»d7ª;I¼F9p»|½pD©¼�Î'G<B Í G�¼�;�;IB:»*½pÎ4  ø(' þ �ý�Ç ù Þ

ã 587' 14 ø ý � : < ôô + � ø ý � û �ý : �+ �ý := ?A" � ÂÄå ô4Ç

¹'º B Í BE¼FÁ º ; �+ 9 »�; º B�»dB Í 7:9 »4;<G<9 DdÖpB:7E;<9 G �ý�¼FÎ�Î�BE;VÖ BEG�Ë37EDF9 Î�B�;<9�í:B:G�9�;<9�ÓpB:BEÈ/; º ¼FÎ�»dB Í 7:9pÎ�;VÒu¿d»d7f×;I¼�9 »|½pD-7EDF9 Î�BC;I9>; º B�9 G�¼FÁ ¼�»|½pDÄÏ�É�¿�;�ÊR¿�Î�;V½pD�Î<9«»�9p;�É�B�Î<Bª;�;I9�9«Î�Ê�½pD�D-9 GzBEDFÎ<BC7:9 Ê#Èd¿�;I½�;I¼�9 »|½pD-ÈdG�9 ÉdDFBEÊ/ÎÍ ¼FD�D�G<B:Î�¿dD�;:?¥68BE;�;I¼F»�Á �+ ù ô¢BfÑ�½p7E;<D�Ë Í 9 ¿�DFÀ®¼F»*; º BE9 G�Ë*ÓpBEB:È�; º BRÎ�Ë�Î�;IBEÊ À�Ë�»|½�Ê/¼�7:Î>; º BRÎI½�Ê/B�½�Î; º BR9 G<¼�Á ¼F»d½pD�Ï|Éd¿8;«; º ¼�Î Í 9 ¿dD�À5Ê�½�ÓpBL; º BR¼FÊ#ÈdD�B:Ê#B:»4;c½�;<¼F9 »9pÒVÒuBEB:ÀdÉ|½�7cÓ�7:9p»-;<G<9 DYÒu9 G<ÊL¿dD�½pÎQÎ<¿�7 º ½�ÎB:¾-¿|½�;I¼F9p»dÎ*Â�ãpô�×[ã8ÞmÇN¼�Ê/È�9 Î�Î<¼FÉ�DFBpÏV½�ÎR; º BªË Í 9 ¿�DFÀÛ; º BE»�7E9 »4;c½p¼�»$½�»�¿�»dÀdBEÚd»dB:À �+ ��� ? ÙzÑ�;IG<BEÊ/BED�ËÎ<Ê/½pD�DxÉd¿8;3»d9 »díEB:G<9 �+ ��� Ö�½pDF¿�B:Î Í ¼�DFDC7EG<B:½�;IB£ÈdG�9 ÉdD�B:Ê#Î�½pÎ Í B:D�D�? ¹'º B£7 º B]½pÈ�7:9 »4;<G<9 D'½�ÈdÈdG<9 ½p7 ºÊ/½pÓpBEÎ�; º B�7:9p»-;<G<9 D�ÈdG<9 É�DFB:Ê 7:9pÊ/Èd¿8;c½�;<¼F9 »|½�DFD�Ë3Î�¼FÊ#ÈdDFBEGCÉ4Ë£7E9 ÊRÉd¼�»d¼F»dÁR½pDFDA; º B¨»�9 »dDF¼�»dB]½�G<¼�;<¼FBEÎC¼F»4;<9; º BQÎ�;c½�;<B�À�Ë�»|½pÊ#¼F7:Îj½p»�À#D�B]½]Ö�¼F»dÁ¨; º B�»dB Í 7E9 »4;IG�9 D|¼F»dÈ�¿�;IÎ�D�¼F»dB:½pG:?5ç0¼l; º ; º B�»dB Í �ü ù Ýæô 1 ß : »d9�;ÀdBEÈhBE»dÀdB:»4;L9 » �ý�Ï�; º B/7:½pDF7E¿dD�½�;<¼F9 »®9�Òx; º B/7E9 »4;IG�9 D�¿dÎ<¼�»dÁ; º B � Ê�½�;<G<¼�7:B:Ψ7:½p»�ÉhB#Àd9 »dB Í ¼l; º 9 ¿8;; º B�»�B:B:ÀÐÒu9 G�½�Èh9pD�Ë�»d9 Ê#¼�½pD�Î<9pDF¿�;<¼F9 »£9 G'¼l;IBEGI½�;<¼�Ö B¨È�G<9�7:B:Î�Î:?

î

Page 11: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

¹'º B>È�9 Í BEGxÎ�B:G�¼FB:ÎjÊ#BE; º 98À º ½pÎV; º B�½pÀ�Ö�½p»4;I½pÁ B�; º ½�;jÊ#9 Î�;j9pÒ�¼�;<Îj7:½pDF7E¿dD�½�;I¼F9p»dÎV½pG<B�Àd9p»dB�9��/¼�»dBpÏÍ ¼�; º 9 »�D�Ë�; º BxÈh9pD�Ë�»d9 Ê#¼�½pDpÎ<9 D�¿�;I¼�9 »N9pG~¼l;IB:G<½�;I¼�9 »�Òu9 G~ýÐÂuÉh9�; º 9pÒ Í º ¼F7 º ½�G<BxÒa½�Î�;fÇ�È�B:G�Òu9pG<Ê#B:ÀRÀd¿�G<¼F»�Á; º BR7:9 »4;<G<9 D~¼FÊ#ÈdDFBEÊ/BE»-;I½�;I¼�9 »©?(ò�9 Í BEÖ BEG:Ï�; º BR7:9 »4;<G<9 D~Ê�½]ËÐÉhBLDFB:Î�Ϋ9 È�;<¼FÊ/½pD�; º ½�»5ÀdB:Î�¼FG�B:À©Ï�Î�¼F»d7EB; º B�6�بÆ�Ù Á BE»dB:G<½�;IBEÎ�½RÎ<¿dÉ�9 È�;<¼FÊ/½pD|Òu9 G<Ê 9pÒ�; º B¨7E9 »4;IG�9 Dh;<9�ÉhBEÁ ¼F» Í ¼l; º Ï�½p»dÀ£; º B«¿dÎ<B¨9�Òz½RÈ�9 Í BEGÎ<BEG<¼�B:Î>G�B:Î�¿dD�;<Ϋ¼F»*½/Òu¿dG�; º BEG«½pÈdÈ�G<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�9 »©? ¹'º BLÉhBEÎ�;«»-¿dÊLÉhBEG>9pÒVÈ�9 Í BEG>Î<BEG<¼�B:Î>;<B:G<Ê#Î�;I9¢¿dÎ�BL¼�νpD�Î<93Àd¼�ö#7E¿dD�;�;<9/À�BE;IBEG<Ê#¼F»dB�Ï|½p»dÀÐÊ/½�Ë/Ö�½pG�Ë¢ÒuG�9 Ê¡½�ÈdÈdDF¼�7]½�;<¼F9 »/;I9#½pÈdÈdD�¼F7:½�;I¼�9 »©?� µ3² �V±:²�� ¸3µ#²*³N´¢µ ��·��N¶ ��³�� �'µ3´ �Õ·��@��³N±�µ#²Ô>Î�½p»½pD�;<B:G�»|½�;I¼lÖ BQ;I9R; º B«Èh9 Í B:G'Î�B:G<¼�B:Î'½�ÈdÈdG<9 ½p7 º Àd¼FÎ�7:¿dÎ�Î<BEÀ*¼�»�; º B>ÈdG<BªÖ8¼�9 ¿dÎ'Î�B:7E;<¼F9 »�Ï Í B¨7]½p»£¿dÎ�B½�;^Ë�ÈhB�9�ÒxÊ#BE; º 9�À Í º ¼F7 º Àd9�B:Î>Ê/9 Î�;¨9pÒ�; º B�»-¿dÊ/BEG<¼�7]½pD~7]½pD�7:¿dDF½�;I¼�9 »dÎQ9 »dDF¼�»dBpÏhÀd¿dG�¼F»dÁ�; º B�7:9p»-;<G<9 D¼FÊ#ÈdD�B:Ê#B:»4;c½�;<¼F9 »�? ¹'º B57E9 »4;IG<9pD�BE¾�¿d½�;I¼�9 »dήÂÄãpô�×[ã8ÞmÇR7]½p»$ÉhB*Î<9 DlÖ B:À�G�B:È�B]½�;<B:ÀdDlË�½pÎ/; º B�Î�Ë8Î�;IBEÊBEÖp9 D�ÖpB:Î�;I93¿dÈ�À|½�;<B�; º B�Á4½p¼�» � ½�»dÀ*7E9 »4;IG�9 D�ý �� � � � �  ø � Ç�û � :  ø � Ç � ��� � ��� � � � ü£Â ø � þIý � Ç +���� ü :  ø � þIý � Ç � � � � û <�ù ô8þ ÂÄå�ÞmÇ

ý � � � ù ��+���� ü :  ø � þIý � Ç � ��� � ø � � ÂÄå4ã ÇÂÄòQB:G�B ø � ½p»dÀ¢ý � Á ¼lÖ B�; º B�Î�;I½�;IB�½p»dÀ¢7E9 »4;IG�9 D|Öp½�DF¿dBEÎC½�;j;I¼�Ê/B�Î�;IB:È��z? Ç ¹'º B:Î�B>BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »dÎV7:½p»¢É�BÀd9 »�B3½�Î<¼�»dÁ DFB�;I¼�Ê/B�Ï�9 GEÏ©¼F»®½�»®BEÌh9 G�;«;<9£9 É�;I½p¼F»®½/Ê/9 G�B�½p7E7:¿dG<½�;IBRÎ�9 DF¿8;I¼F9p»©Ï�¼�»®½p»®¼�;<B:G<½�;I¼lÖ BLD�989pÈÉ|½p7cÓ½�»dÀ£Òu9 G�; º É�BE; Í B:BE»�; º B�; Í 9#B:¾-¿|½�;<¼F9 »dÎ�Á ¼lÖ BE»*É4Ë� ��� � - 1 �  ø � Ç�û � :  ø � Ç � � � � - 1 ��� � � � - 1 ü£Â ø � þIý � � � - 1 Ç +���� ü :  ø � þIý � � � - 1 Ç � � � � - 1 û <�ù ô�þ5ÂÄå å4Ç

ý ��� � - 1 � � ù ��+���� ü :  ø � þIý � � � - 1 Ç � � � � - 1 ø � þ ÂÄåpè-ÇÎ�;I½pG�;<¼F»dÁ�ÒuG�9 Ê¡½p»Ð¼F»�¼�;I¼F½pD�¼�;IBEGI½�;<B¨Î<¿d7 º ½pÎ�ý � � � - 'xù ý � ?�ÂÄòQB:G<B���¼FÎ�; º B¨;I¼FÊ#B«Î�;IB:È*»-¿dÊRÉ�B:GQ½p»dÀ �¼FÎ�; º B�¼�;<B:GI½�;I¼F9p»£»�¿�ÊRÉhBEGQ½�;'; º B�7E¿dG<G�B:»4;�;<¼FÊ#B«Î�;<B:È©? Ç� »*¼�Ê/È�DFB:Ê#B:»4;I½�;I¼�9 »�9 »Ð½�È º Ë�Î<¼�7]½pD�Î�Ë8Î�;IBEÊ*Ï Í º BEG<B�; º B¨7E9 »4;IG�9 D�7]½pD�7:¿dDF½�;I¼�9 »dÎxÊR¿dÎ�;QÉ�B¨Àd9 »dB�¼�»G<B:½pDd;I¼�Ê/B�Ïp; º B�Á4½�¼F»3½p»dÀ#7:9p»-;<G<9 D|¿�ÈhÀ|½�;IB:ÎjÊR¿dÎ�;jÉhB�Àd9 »�BQ9p»dD�ËR½�;jÎ<9 Ê#B�Àd¼FÎ�7:G<Bª;IB�¼F»4;<B:G�Ö�½pD�Î�;I9N½pDFD�9 Í;I¼�Ê/B¨Òu9 G�; º BL7:9pÊ/Èd¿8;c½�;<¼F9 »dÎ�;I9/ÉhBNÀd9 »dB�? ¹'º ¼FÎ Í ¼FDFD�ÈdG�98À�¿d7:BL½/DFBEÎ<Î�BEÌhB:7E;<¼�ÖpBR7:9 »4;<G<9 D�; º ½�» Í ¼�; º7:9p»dÎ�;I½p»4;N¿�ÈhÀ|½�;IB:ÎEÏ�Éd¿�;�¼�ÒV; º B�7:9 »4;<G<9 D�7:½p»�ÉhB�G�B:BEÖ�½pD�¿|½�;<B:À�¾-¿d¼F7cÓ-D�Ë5B:»d9 ¿�Á º ; º ¼�Î�½pÈdÈdG�94½p7 º Ê�½]ËÎ�;<¼FD�DzG<BEÎ<¿dDl;�¼F»�ÉhBª;<;<B:G�ÈhBEG�Òu9 G�Ê�½�»d7:BR; º ½p»®; º B3È�9 Í BEGNÎ�B:G<¼�B:Î�Ê#BE; º 98À©Ï�Î�¼F»d7EB#¼l;¨Î<9pD�Ö BEÎ�; º B#ÆQ¼�7:7:½�;I¼B:¾-¿|½�;I¼F9p»�BªÑ�½p7ª;IDlË Ï Í º ¼FDFB�; º B/È�9 Í BEGLÎ�B:G<¼�B:Î�Ú|»dÀdÎL½p»�½pÈ�ÈdG<9]Ñ8¼FÊ/½�;IB3Î�9 DF¿�;<¼F9 »�? � 9 G�¼F»4ÖpB:Î�;<¼FÁ4½�;I¼F»�Á; º B#È�B:G�Òu9 G<Ê/½p»d7EB�9pÒj; º B�7E9 »4;IG<9pD�Ê/Bª; º 9�À�9 »�½Î�¼FÊR¿�D�½�;<B:À®ÈdG�9 ÉdDFBEÊ*Ï º 9 Í BEÖpB:GEÏ~; º B#¿�ÈhÀ|½�;IB:Î�7:½p»É�B«Àd9 »dB>½�;�BªÖ BEG�Ë�;<¼FÊ#B�Î�;IBEÈм�»/; º B6�¨Ø¨ÙÛÎ<9 D�¿�;I¼�9 »®Âa½pÎ Í ¼�DFDAÉhB>Àd9 »dB«9p»�; º B�;IB:Î�;'BªÑ�½pÊ#ÈdD�B:ÎC¼�»�; º BÎ<BE7E;<¼F9 »dÎ';<93Òu9pDFDF9 Í Çf?

ç º ¼FD�B>ÀdBEG<¼lÖ8¼�»dÁL; º B«È�9 Í B:G'Î�B:G�¼FB:Î�½pÈdÈdG�9�Ñ8¼�Ê�½�;<¼F9 »/¼F»/B:¾-¿|½�;<¼F9 »dΨÂ�ã�è�×[ã ï ÇfÏ�; º B«BªÑ�;<GI½RÀdBEG<¼�Ö�½�;<¼�ÖpB;IBEG<Ê#Î�9pÒ � Ï-ü�½p»dÀ � ½pG<B'À�G<9 ÈdÈ�B:À3ÒuG<9pÊ(BE¾�¿d½�;I¼�9 »dÎ�Â�Þ�óm×cÞmã Ç�Î<9�; º ½�;�; º B'7E9 »4;IG<9pDdÒu9 G<ÊR¿�D�½>G�B:Ê/½p¼F»dμF»Æ�¼F7E7]½�;<¼�BE¾�¿d½�;I¼�9 »£Òu9 G<Ê¥½p»dÀ¼FÎCÊ/9 G�B¨B]½pÎ�¼FDlË�Î�9 D�ÖpB]½pÉdD�Bp?�ò�9 Í BEÖpB:G:Ï Í º BE»*¿dÈ�À|½�;<¼F»dÁN; º B�7:9p»-;<G<9 D9 »dD�¼F»dB�Ï-½pÎV¼F»3B:¾-¿|½�;I¼F9p»dÎ�ÂÄå�ÞE×^å4ã Çz9 GQÂaå å�×^åpè-ǪÏ-½�Îx½¨Ö�½pG<¼F½�;I¼�9 »R9 »3; º B�7E9 »4;IG<9pD|Ê/Bª; º 9�À Í BQ7]½p»/G<Bª;c½p¼�»; º B�BfÑ�;IGI½3ÀdBEG<¼�Ö�½�;<¼�ÖpB«;IB:G�Ê/ÎQ½p»�Àм�»dÎ�;<B]½pÀÐÎ<9pD�Ö B� � � � �  ø � Ç�û � :  ø � Ç � � � � ��� � � � ü£Â ø � þIý � Ç + ��� ü :  ø � þIý � Ç � ��� � û <

û ,& ' ( �  ø � Ç ' ) � � �,+ ,.- '� ø  ø � Ç / : � ��� � û 1& ' ( � Âaý � Ç ' ) � ü �,+ ,.- '� ø  ø � þIý � Ç / : � � � ���� ��� � ü£Â ø � þIý � Ç +���� 1& ' ( � Âaý � Ç' ) � ü �,+ ,.- '� ý  ø � þIý � Ç / : � � � � û���� �  ø � þIý � Ç ù ô�þ ÂÄå4ë Ç

ï

Page 12: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

ý ��� � ù �-+���� ü :  ø � þ<ý � Ç � � � � ø � � 1& ' ( � Âaý � Ç ' ) � ü �,+ ,�- '� ý  ø � þ<ý � Ç / : � � � � ø � ÂÄå î4Ç

Âa9pG�½�»*¼l;IB:G<½�;I¼lÖ B«Òu9 G�Ê¡Î<¼�Ê/¼�D�½pGj;I9#B:¾-¿|½�;<¼F9 »�ÎLÂaå å�×^åpè-ÇCÉd¿�;Q¼�»d7:D�¿dÀd¼F»�ÁR; º B�BªÑ�;IG<½#À�B:G<¼lÖ�½�;I¼lÖ B¨;IBEG<Ê#ÎcǪ?�«»dBÎ<¼�Ê/ÈdD�B Í ½]ËÛ;<9�9pÉ�;c½p¼�»�½�»-¿dÊ#B:G�¼F7:½pD�½pÈdÈdG�9]Ñ�¼�Ê�½�;I¼F9p»�9pÒ>; º B£;I¼�Ê/B£ÀdBEG<¼lÖp½�;I¼�ÖpB£9pÒ � ¼�»Û; º ¼�ÎB:¾-¿|½�;I¼F9p»Ð¼�Î Í ¼�; º ; º B�Àd¼�ÌhB:G�B:»d7EB�Òu9pG<ÊR¿dDF½��� �  ø � þIý � Ç ù  � � � � ��� � Ç 5 Â$" ��� � � " � Ç�� ÂÄå4ï Ç68¼�»d7:BxB:¾-¿|½�;<¼F9 »dÎCÂÄå ëm×[å î Ç�½�G<BjÎ<9 DlÖ B:ÀL9 »dDF¼�»dBpÏm; º BCÈdG�BEÖ�¼F9 ¿�Î~Ö�½pDF¿�Bx9pÒ � Í ¼�DFD4É�B�½]Ö�½p¼FDF½pÉdDFB�Î�9�; º ½�;Y; º ¼�Î7]½�DF7:¿�D�½�;<¼F9 »*7]½p»�É�BRÀd9 »dB�Ï Í º ¼FD�B Í ¼�; º ; º BL9 �#¼F»dB�È�9 Í BEG¨Î<B:G�¼FBEΨ7]½pD�7:¿dDF½�;I¼�9 »dÎ�; º BEG<B�¼FÎ>»d9 Í ½]Ë�;<9BEÖ�½pD�¿|½�;<B ��� � ½p»dÀ3Î<9�¼�;�ÊL¿dÎ�;VÉ�B�½pÎ<Î�¿dÊ#B:À#Î<Ê/½pDFD�½p»dÀ3¼FÁ »�9 G<BEÀ©?�Ù�¾�¿d½�;I¼�9 »*ÂÄå4ë ÇY9 É4Ö8¼�9 ¿dÎ�D�ËR7:½p»d»d9�;É�B#Î�9 D�ÖpB:À Í ¼�; º ½�»�½�DFÁ BEÉdGI½p¼�7�Æ�¼F7:7:½�;I¼zB:¾-¿|½�;<¼F9 »�Î<9pDF¿�;<¼F9 »�½pD�Á 9 G�¼�; º Ê*Ï�Éd¿�;�ÊR¿dÎ�;�ÉhB�Î�9 D�ÖpB:À�¿dÎ<¼�»dÁÎ<9pÊ/B�Ê/9 G�B>Á BE»dB:G<½pD�íEB:G�9�צÚ|»�Àd¼F»dÁN;IB:7 º »d¼F¾-¿dB«Òu9 Gx»d9 »dD�¼F»dB:½pGjÎ�Ë�Î�;<B:Ê#Î�ÂaÎ<¿�7 º ½pÎ'½RÃQB Í ;I9p»8×[ÆQ½pÈ º Î�9 »½pD�Á 9 G<¼l; º Ê�Ǫ?

Ô>Î>½p»*Òu¿dG�; º BEG�7E9 »4;IG�9 DYÖ�½pG�¼�½�;<¼F9 »�Ïd¼�Ò Í BL½pG<B�¿dÎ<¼�»dÁ/½/Á BE»dB:G<½pD~íEB:G�9�צÚ|»�Àd¼F»dÁ/½pD�Á 9 G<¼l; º ÊÐÏ Í BL7:½p»7 º 9�9 Î<B¨;<9�½pÈ�ÈdD�Ë�¼�;�;<9#; º B�7:9 ÊRÉ�¼F»dBEÀÐÎ�Ë�Î�;IBEÊ*Ï� � � � �  ø � Ç�û � :  ø � Ç � ��� � � � � � � ü¢Â ø � þ<ý ��� � Ç +���� ü :  ø � þIý � � � Ç � ��� � û <

û ,&' ( �  ø � Ç'*) � � �,+ ,.- '� ø  ø � Ç / : � � � � û 1& ' ( � Âaý ��� � Ç

'*) � ü �,+ ,.- '� ø  ø � þIý � � � Ç / : � � � ���� � � � ü¢Â ø � þIý � � � Ç + ��� 1&' ( � Âuý � � � Ç '*) � ü �,+ ,.- '� ý  ø � þIý ��� � Ç0/ : � ��� � û ��� �  ø � þIý � � � Ç ù ô�þ�ÂÄå ñ4Ç

ý ��� � û +���� ü :  ø � þIý ��� � Ç � � � � ø � û 1& ' ( � Âaý � � � Ç ' ) � ü �,+ ,�- '� ý  ø � þ<ý ��� � Ç / : � � � � ø � ù ô8þ ÂÄå ó4Ç

Ú|»dÀ�¼F»dÁ�É�9p; º ; º B � ½p»dÀ£ý*¿dÈhÀd½�;IBEÎ'Î<¼FÊL¿dD�;I½p»dB:9p¿dÎ<DlË/¼�»dÎ�;<B]½pÀ9pÒ�Ú|G�Î�;'Ú|»�Àd¼F»dÁ � ¼�»�ÂÄå4ëpÇ�½p»dÀ¢; º B:»¿dÈ�À|½�;<¼F»dÁ3ý�¼�»�ÂÄå î Çª?

Ô>»�½pÈdÈ�G<94½p7 º ¿dÎ�¼F»dÁ®7 º B:½pÈ�7:9 »4;IG�9 D�Ïj½pÎ�À�B:Î<7EG<¼�ÉhBEÀ�¼�»ÛB:¾-¿|½�;<¼F9 »�ÎÐÂ�ãpó�×^å ô4ÇfÏ�¼FÎ�½pD�Î<9�½p» 9 È8;I¼F9p»Í ¼�; º 7:9 »4;<G<9 Dz; º G<9p¿dÁ º 9 »dD�¼F»dBNÁ4½p¼�»®Ê�½�;<G<¼{Ñ�BªÖ�½pDF¿|½�;I¼F9p»dÎ:? ¹'º B�¼FÀ�B]½£½pÁ4½�¼F»5¼�Î>; º ½�;�G<B:Î�;IG�¿d7E;<¿dG<¼�»dÁ; º B�ÈdG<9 É�DFB:Ê Ê/½�Ë*ÀdBE7:G<B:½pÎ<B�; º B�BEÌhB:7ª;IÎ�9pÒjÈh9�;IB:»4;<¼�½pD~Èd¼�;�Òa½pDFD�Î�Àd¿�BR;I9¢; º B�7:9 »4;IG�9 Dz»�9 »dDF¼�»dB]½�G<¼�;<¼FBEÎ:ÏÍ º ¼�DFB º 9 ÈhBªÒu¿dDFDlË#»d9p;�½pDl;IBEG<¼F»�ÁL; º B>ÈdG<9 É�DFB:Ê Î<9�ÊL¿d7 º ; º ½�;C; º B¨G�B:Î<¿�D�;I¼�»dÁR7E9 »4;IG<9pD�¼FÎC¼F»dBªÌ�BE7E;I¼lÖ B>Òu9pG; º B#9pG<¼FÁp¼F»|½pDYÎ�Ë�Î�;IB:ÊÐ? ¹'º ¼�Î�Ê�½]Ë5É�B3È|½pG�;I¼F7E¿dD�½�G<D�ËпdÎ�BEÒu¿dD Í º BE»�À�B]½pD�¼F»dÁ Í ¼l; º ½ º ½pG<À8×�;I9�צ7:9 »4;<G<9 DÎ<7EB:»|½�G<¼F93Î�¿d7 º ½pÎ�; º B�9 »dB�ÀdB:Î�7:G�¼FÉ�B:À�É�B:D�9 Í ?�«»dB®½pÎ�ÈhBE7E;¢9�Ò�»d9 »dD�¼F»dB:½pG�צý$À�Ë�»|½pÊ#¼F7:½pDQÎ�Ë�Î�;<B:Ê#Î Í º ¼F7 º È�G<B:Î�B:»4;Iν�»19 ÉdÎ�;c½p7EDFB*;<9�ÒuBEB:ÀdÉ|½�7cÓ7:9p»-;<G<9 D�¼�Ê/ÈdD�B:Ê#B:»4;c½�;I¼F9p»�¼FÎ�G�B:D�½�;IB:À ;I9�; º BÐÒa½p7ª;3; º ½�;3; º B:G�B*Ê/½]ËÛÉhBÖ�½pDF¿�B:Î39pÒ�ý Í º ¼F7 º G<BEÎ<¿dDl;¼F»*; º BR7E9 »4;IG�9 DlצÀdB:È�B:»dÀ�B:»4;�ü¡Ê/½�;IG�¼lÑÐÉ�B:7:9pÊ/¼�»dÁ�íEB:G<9�? ¹'º B�Î�Ë�Î�;<B:Ê ÉhBE7:9 Ê#B:Ψ¿d»�7:9 »4;IG�9 DFDF½pÉdD�BN½�;; º B#Î�ÈhBE7:¼lÚ|7/È�9 ¼�»-; Í º B:G<B�ü£Â ø Ç ù ô�ÏY½p»dÀ�; º B37:9p»-;<G<9 D�Òu9pG<ÊR¿dDF½£¼F»�B:¾-¿|½�;<¼F9 »$Â�ã�ÞmÇ>¼FÎ�G<BEÀd¿d7EB:À�;<9ý~ ø Ç ù ô8?�òQ9 Í BªÖ B:GEÏ�; º ¼FÎCÎ<¼�;<¿|½�;<¼F9 »¢7:½p» º ½]Ö B�BEÌhB:7ª;IÎ'9 »Î�9 Ê/B>9pÒ�; º B«Òu9 G�ÊR¿dDF½pÎ Í B�½pG<B¨Î�;I¿dÀ�Ë�¼�»dÁBEÖpB:»�½ Í ½�ËÒuG�9 Ê ; º B�í:BEG<9¢È�9 ¼F»4;Q¼�;<Î<BED�Ò[?�ÙzÑ�½pÊ#ÈdDFBEÎ��«»dBL½p»dÀ ¹ Í 9¢¼�»*; º BLÎ<BE7E;<¼F9 »dÎ�;I9#Òu9 DFD�9 Í ½pG�BÈdG�9 ÉdDFBEÊ/Î Í º ¼�7 º 7:9 »4;I½p¼F»�½Ní:BEG<9�×�Ö�½pDF¿dBEÀ¢ü�Òu9 Gx7EB:G�;c½p¼�»�ý¢Ö�½pDF¿�B:Î:? ¹'º ¼FÎjG<BEÎ<¿dDl;IÎC¼�»¢½�Àd¼FÎ�7:9 »4;I¼�»-¿d¼�;^˼F»/; º B¨ýпdÈ�À|½�;IB>¼�;IBEGI½�;<¼F9 »/Á B:»�B:GI½�;IB:ÀÉ4Ë�; º B¨9 »dD�¼F»dBf×^¿dÈ�À|½�;<B«68بÆ�Ù�½pDFÁp9 G<¼l; º Êð¼�»£B:¾-¿|½�;<¼F9 »dΨÂÄå å�×åpè-Çf? Ø«B:È�B:»�Àd¼F»dÁÐ9 »�; º B3Î�ÈhBE7:¼�Úd7:Î�9pÒC; º B/BfÑ�½pÊ/È�DFB�¼F»4Öp9 D�ÖpB:À©Ï�; º ¼�Î�Ê�½]Ë®7:½p¿dÎ<B#Ê/½ 2�9 G¨ÈdG�9 ÉdDFBEÊ/μF»�9 É�;c½�¼F»d¼�»dÁ/7E9 »4Ö BEG<Á BE»d7:B39pÒ�; º ½�;¨½�DFÁ 9 G�¼�; º Ê ÂĽ�»dÀ�; º BRG<BED�½�;<B:À®½pD�Á 9 G�¼�; º Ê/Î'¼�» ÂÄå4ë�×[å î4Ç�½p»dÀÛÂÄå ñ�×å ó4Ç Í º ¼F7 º ¼�»4Ö 9 DlÖ B3¼�;<B:GI½�;I¼�ÖpB�ÈdG<9�7:BEÎ<Î�B:Î�½pÎ Í B:D�D¬Ç>¼F»�Î�9 Ê/B3G�B:Á ¼�9 »�½pG<9 ¿�»dÀ�; º B#í:B:G�9*È�9 ¼�»-;:? ¹'º ¼�ÎÀd¼lö/7E¿dD�;^Ë Í ¼FD�D©ÉhB¨¼�DFD�¿dÎ�;<GI½�;<B:À£9 »*ÙzÑd½�Ê/ÈdD�B �«»dB�¼F»¢; º B�»�BªÑ�;>Î�B:7ª;I¼F9p»©?

ñ

Page 13: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

¹'º B�BEÌhB:7E;<¼�ÖpB:»dBEÎ<Î>9�Ò~; º B�Èh9 Í B:GQÎ<B:G�¼FBEÎQÊ#BE; º 9�À*½�DFÎ<93Ê/½]Ë¢É�B�¼�Ê/Èd½p¼FG�B:À£É4˽p»Ð¿d»d7E9 »4;IG<9pDFD�½�ÉdDFBü£Âuý�Ç ù ôLÈh9p¼F»4;�¼lÒ©; º B>¼�;IBEGI½�;<¼�ÖpB�Òu9 G�Ê 9�Ò�; º B«Ê#BE; º 9�À¢¼F»¢BE¾-¿|½�;I¼�9 »�Â�ã�ñ4ÇV¼�Î�¿dÎ�B:À©ÏdÎ�¼F»d7EB«¼�;<ÎC7E9 »4Ö B:G[×Á BE»d7:B�Ê�½]Ë�ÉhBE7:9 Ê#B�¿d»d7:BEG�;I½p¼F»©? � »�7E9 »4;IGI½�Î�;]Ï|9�; º BEGQ7E9 »4;IG�9 D©;IBE7 º »d¼F¾-¿dBEÎ�Ê/½]Ë£»d9p;QÉ�B�½�ÌhB:7E;<B:À*É-Ë; º ¼FÎ>É�B º ½�Ö�¼�9 G���; º BRÈ�9 D�Ë�»d9 Ê#¼�½�D©Òu9 G<Êõ9pÒ�; º B�Èh9 Í B:G«Î�B:G�¼FB:Î>Ê/Bª; º 9�À®½p»dÀ�½�DFÎ<9/; º BR7 º B]½pÈ�7:9p»-;<G<9 DÖ BEG<Î�¼F9 »�9�Ò�; º B/Ê/Bª; º 9�À�Î º 9 ¿�DFÀ�É�B/Ê#9 G�B/D�¼FÓpBED�Ë5;<9�Î�¿d7:7EB:B:À ¼�»�Î<È�¼�;IB3; º ¼FÎ�9 ÉdÎ�;I½p7:D�BpÏz½pÎN; º BEË�½pG�BÉ|½pÎ�B:À�9p»�Àd¼FG�B:7ª;LBªÖp½�DF¿|½�;<¼F9 »�9pÒ�B:¾-¿|½�;<¼F9 »dÎN¼F»dÎ�;IB:½pÀ�9pÒ'½p»�¼�;<B:G<½�;I¼lÖ B3ÈdG<9�7:BEÎ<ÎEÏQÂĽpÎ Í BEDFDx½pÎ�Ú|»dÀd¼�»dÁ; º B:¼FG�7:9p»-;<G<9 DVÖ�½pDF¿�B:Î�; º G�9 ¿dÁ º ½�»Û½pÈdÈdG�9]Ñ�¼�Ê�½�;I¼F9p»�G<½�; º B:GN; º ½p»�; º B/9 G<¼�Á ¼F»|½�D�Î�Ë�Î�;<B:Ê ¼�;IÎ�B:DlÒcÇf? Ô7 º B:½pÈ®7:9 »4;<G<9 D�Ö BEG<Î<¼�9 »59pÒz; º BN9 »dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pD�¿|½�;I¼�9 »£Ê#BE; º 98À Í ¼FDFD�É�B Í 9 G<Ó-¼�»dÁ Í ¼l; º ½#Ê/9�Àd¼�ÚdB:ÀÖ B:G[×Î<¼�9 »�9pÒC; º B¢Î�Ë�Î�;IBEÊ*Ï�É�¿�; Í ¼FD�DVÎ�;I¼�DFD�É�B¢¿dÎ�¼F»dÁ®½�»�¼�;<B:GI½�;I¼�ÖpB/BªÖ�½pDF¿|½�;I¼F9p»�ÈdG�987EB:Î<Î Í º ¼F7 º Ê/½]Ë º ½�ÖpBÀd¼lö/7E¿dD�;<¼FBEÎ'¼F»£7:9p»-ÖpB:G�Á ¼F»dÁ�?� »$Î�¿dÊ Í B º ½]ÖpB5½®»-¿dÊRÉ�B:G#9pÒ>À�¼�ÌhB:G<BE»4;�½�DFÁ 9 G�¼�; º Ê/Î Í º ¼F7 º ½pG<B£Ö�½pG�¼�½�;<¼F9 »dÎL9 »�; º BÐÁ B:»dBEGI½pDÊ#BE; º 98À ¿dÎ�¼F»dÁ�; º BÎ�;c½�;<Bª×^À�B:È�B:»dÀdBE»4;£Æ�¼F7:7:½�;I¼'BE¾-¿|½�;I¼�9 »©? ¹'º 9 Î<BмF»Û; º ¼FÎ3Î<BE7E;I¼�9 »�½pG<BÉ|½pÎ�B:À�9 »; º BLG<Bf×^BªÖp½�DF¿|½�;<¼F9 »Ð9pÒ�; º B�68بÆ�Ù�9�Ö BEG¨½p»dÀ59�ÖpB:G>À�¿dG<¼�»dÁ/; º BR7:9p»-;<G<9 DYÈdG�987EB:Î<ÎEÏ Í º ¼�DFB�; º 9pÎ<BR¼�»*; º BÈdG�BEÖ�¼F9 ¿�ÎzÎ<BE7E;<¼F9 »�½�G<BCÉd½pÎ<BEÀR9 »R¿dÎ�¼F»dÁ>½>È�9 Í B:G~Î<BEG<¼FBEÎ�½pÈdÈ�G<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�9 »�9pÒd; º B'6�بÆQÙ5;I9>Î�¼FÊ#ÈdDF¼lҬ˫; º B7:9p»-;<G<9 DhBEÖ�½pD�¿|½�;I¼�9 »#Î<9R; º ½�;�¼l;C7:½p»£ÉhB>Àd9 »dB«È�G<¼FÊ/½pG�¼FD�ËL9 �#¼F»dB�?�689 Ê#B>9pÒ�; º BEÎ<B«Ö�½pG<¼F½�;I¼�9 »dÎjÊ�½]Ë#É�BÊ#9 G<B«BªÌ�BE7E;<¼�Ö B«; º ½p»9p; º B:G�Î�½�;'7:9p»-;<G<9 D�DF¼�»dÁLÎ�Ë8Î�;IBEÊ/Î Í ¼�; º Éh9�; º Î�;I½�;IB�½�»dÀ7:9 »4;IG�9 D�»�9 »dDF¼�»dB]½�G<¼�;<¼FBEÎ:Ͻp»dÀ�9�Ö BEG<7:9pÊ/¼�»dÁÀd¼�ö#7:¿�D�;I¼�B:Ψ7EG<B]½�;IB:À�É4Ë®Î<¼l;I¿|½�;<¼F9 »�ΨDF¼FÓ�BR; º B3íEB:G<9ÐÈ�9 ¼F»4;�Àd¼�Î<7:¿�Î<Î<BEÀÛ½pÉ�9�Ö Bp? ¹'º ¼�ÎÍ ¼FD�D�É�B�Î�;I¿�Àd¼FBEÀ*¼�»; º B�BªÑ�½pÊ#ÈdDFB¨Î�¼FÊR¿�D�½�;<¼F9 »dÎx¼F»£; º B�Òu9pDFDF9 Í ¼�»dÁRÎ<BE7E;<¼F9 »dÎE?� ��� ��� � � � �N´¢µ� � � � µ3²��¹'º B7:9p»-;<G<9 D�½pDFÁ 9pG<¼�; º Ê#ÎNÀd¼�Î<7E¿dÎ<Î�B:À º B:G<B Í B:G�Bм�Ê/È�DFB:Ê#B:»4;<B:ÀÛ¼F» á ½�;IDF½pÉÛÈdG<9pÁ GI½pÊ#ÎR9 »�½®Î<Bª;39pÒBªÑ�½pÊ#ÈdD�B�ÈdG�9 ÉdDFBEÊ/Î�;I9�;<B:Î�;R; º BE¼FG�½�Éd¼FD�¼�;^Ë5;<957:9 »4;<G<9 Dx»d9 »dD�¼F»dB:½pG�צý�Î�Ë�Î�;<B:Ê#Î:? ¹'º B�Ú|G�Î�;39pÒ'; º B:Î�BBªÑ�½pÊ#ÈdD�B:΢¼�Σ½�Ê/9�Àd¼lÚ|B:À$ÖpB:G�Î<¼F9p»â9�Ò�½�Ê/9�ÀdB:D�9pÒ�; º B��|¼FÁ º ;£À8Ë8»d½pÊ/¼�7:΢9�ÒL½ º ¼FÁ º צÈhBEG�Òu9 G�Ê�½�»d7:B½p¼�G<7:G<½�Ò¬;]Ï|;I½pÓpBE»5ÒuG<9 Ê à�½pG<G<½pG<À©ÏhÙ�»d»dΨ½�»dÀ�68»dBEDFDCÝ{Þ�ëmßÄ? ¹'º BRÊ#9�ÀdB:DY7:9 »4;I½p¼F»dÎQÚdÖ BLÎ�;c½�;IBNÖ�½pG�¼�½pÉ�DFB:ÎG<BEÈdG<BEÎ<BE»-;<¼F»dÁ5; º B��d¼FÁ º ;N7:9 »dÀ�¼�;I¼�9 »dÎ�9pÒ'; º B¢½p¼�G<7EGI½�Ò¬; � ø � ¼�Î�; º B�ÀdBªÖ�¼�½�;<¼F9 »�9pÒ�; º B/Ö BEDF9�7:¼l;^Ë®ÒuG<9 Ê¼�;<Ϋ;IG�¼FÊ Ö�½pD�¿dBÐÂaÁp¼�Ö BE»�¼F»�¿d»d¼l;IΨ9pÒ«Â�Þ�ôpôpÊ¢Ç���ÎcÇfÏ ø � ¼�Ϋ; º B3ÀdBªÖ�¼�½�;<¼F9 »�9pÒj; º B3½�»dÁ DFB�9�Ò�½�;�;c½p7cÓ*ÒuG<9 Ê;IG�¼FÊ Âa¼�»�G<½pÀd¼�½�»dÎcÇfÏ ø� ¼FÎj; º B>Èd¼�;<7 º GI½�;<B�ÂaG<½pÀ��ÎIÇªÏ ø� ¼�Îx; º B��|¼�Á º ;�È|½�; º ½p»dÁpDFB�ÂuGI½pÀ�¼�½p»dÎIǪÏ8½p»dÀ ø� ¼�Î; º BRÀdBEÖ�¼F½�;I¼�9 »�9pÒ�; º BR7:½p»|½pG�À�Âa7:9p»-;<G<9 D �A½pÈ|Ç�ÀdB��dB:7E;<¼F9 »�½�»dÁ DFB�ÒuG<9pÊõ;<G<¼�Ê ÂuGI½pÀ�¼�½p»dÎIǪ? ¹'º BRÎ<¼�»dÁ DFB7:9p»-;<G<9 D�ý*¼FÎ�; º B�¼F»dÈd¿8;�7]½p»|½�G<ÀÐÀdB��|BE7E;<¼F9 »Ð¼F»GI½�Àd¼�½p»�Î:?

¹'º B�Ê#98ÀdBED�¼FÎ>¾-¿|½�ÀdGI½�;<¼F7:½pDFDlË»d9 »dD�¼F»dB:½pG�¼�»*; º BRÎ�;I½�;IBNÖp½�G<¼�½�ÉdDFBEÎ:Ïh½p»dÀ Í B º ½]Ö B�½�ÀdÀdB:À�½5Âa»d9 »�×È º Ë�Î<¼�7]½pD�Ç�¾-¿|½�ÀdGI½�;<¼F7'»d9p»dDF¼�»dB]½pG�¼�;^Ë¢Âa¼�»-Öp9 D�Ö�¼�»dÁ�ü

�½�ÎjÎ�B:BE»¢ÉhBEDF9 Í Ç~;I9�; º BQ7E9 »4;IG�9 D|À�Ë�»|½pÊ#¼F7EÎV;<9¨;IB:Î�;

; º BN½�Éd¼FD�¼�;^Ë#9pÒz; º B�½pDFÁp9 G<¼l; º Ê#Îj;<9/Î�;c½pÉ�¼FDF¼�í:B¨½�Î�Ë8Î�;IBEÊ 9pÒz; º ¼FÎ�;^Ë�È�Bp? ¹'º B�Î�Ë8Î�;IBEÊ ¼�Î'Á ¼�ÖpB:»ÐÉ4Ë÷øù  �-' û ø � � ��� Ç ø û�ÂÄü � û�ý�ü � Ç�ýYþ Âaè4ô4Ç

Í º BEG<B�; º B�Ê/½�;IG�¼F7:BEÎ �-' Ï � ��� ÏAü � ½p»dÀÐü � ½�G<B�½pD�D©7:9 »�Î�;c½�»-;�צÖ�½pD�¿dB:À©Ïd½p»dÀ*½pG<B�Á ¼lÖ B:»É4Ë>��-' ù

��������� ô � ôpè è4å Þ ��Þmã�ñ ô ô � ô � ô � ô ó ñ8Þ ô � ô� ô � ôpè4ó ô � ã � ëpå ó ô Þ � ô ô � ô � ô � ô ñ4ë�è� ô � ô4ïpå ô Þ�ó � å4ã�ô ô � ã �¤ã ï�ô ô ô � ô ãpã � îpñ åpèô � ô�è4ó ô ã �¤ëpåpó ô ô � ô ô � ô ô � ôpñ4ë�èô � ô ô � ô ô � ô ô � ô ãpô � ô

�������� þ

� ��� ù

��������� ô � ãpå�Þmï ô � ô ô � ô ô � ô ô � ô� ÞA� ã ïpî ô � ô � ïpó4ã ã ô � ô ô � ô ô � ô ãpô îô ��Þ]ô4ãpô îpè �¤ãpó�è4ô � Þ]å � ó ï8Þ�ô ô � ô � ë �äèdÞ�î4ïÞA�¤ãpïpî ô ô �¤ïpó ã ã ô � ô ô � ô � ô � ô4ãpô îô � ô ô � ô ô � ô ô � ô ô � ô

� ������ þó

Page 14: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

ü � ù % ô � ô ô � ô ô � ô ô � ô ãpô � ô & : þü� ù % ô � ô ô � ô ô � ô ô � ô ã � ô & : � ÂaèdÞmÇ

¹'º B�7:9 Î�;�Òu¿d»d7E;<¼F9 »d½pD�;I93É�B�Ê/¼�»d¼FÊ#¼FíEB:À®Âa½pDFÎ�93Ê/9�Àd¼�ÚdB:À¢ÒuG<9pÊ¥; º ½�;Q¿dÎ<BEÀ*¼�»�ÝrÞmë�ß�ÇC¼FÎ

4 Â ø(' þIýhÇ ù Þã 5�7' 9 ø : <¨ø û ý � = ?A"fþ Âaè-ã Ç

Í º BEG<B�; º B�Î�;I½�;IB Í B:¼�Á º ;�Ê/½�;<G<¼lÑ�¼FÎ

<�ù

��������Þ�ôpô ô ô ô ôô Þ]ô ô ô ôô ô Þ�ô ô ôô ô ô Þ�ôpô ôô ô ô ô Þ�ô

�������� � Âaè4å4Ç

¹'º BL6�بÆ�Ù�7:9 »4;<G<9 D©;<B:7 º »d¼�¾-¿dB:Î Í BEG<B�½pÈdÈdD�¼FBEÀ;<9�; º ¼�Î'BªÑ�½pÊ#ÈdDFB Í ¼l; º ; º B�¼F»�¼�;I¼F½pDAÎ�;I½�;IB�7 º 9 Î�B:»½pÎ ø('*ù Ýäô ã ëdÂ��

5Þ�ñ ô Ç ô ô ô�ß : Ï�½�D�½pG�Á B®½p»dÁpDFB�9�ÒL½�;<;c½�7cÓ Í º ¼�7 º ÊL¿dÎ�;É�B5ÉdG�9 ¿dÁ º ;É|½p7cÓ

;I9�;IG�¼FÊÐÏC½pÎ/BEö#7:¼�B:»4;IDlË�½pÎ�È�9 Î�Î<¼FÉ�DFB Í ¼�; º G<BEÎ<È�B:7ª;�;I9 4 ? ¹'º B*Ê�½�¼F» Öp½�G<¼�½�;I¼F9p»dÎ�9pÒ«; º B568بÆ�Ù;IBEÎ�;<B:À Í B:G�B ��7 º B]½pÈ�7:9 »4;<G<9 D �½p»dÀ�Î�;c½�»dÀ|½pG�À�Òu9 G�ÊR¿dDF½�;I¼�9 »dΫ9pÒj; º B#À8Ë8»d½pÊ/¼�7�Î�Ë�Î�;<B:ÊÐÏz½�»dÀ�È�9 Í BEGÎ<BEG<¼�B:ÎR½�ÈdÈdG<9]Ñ8¼FÊ/½�;<¼F9 »$Â Í ¼l; º Ö�½pG�Ë�¼F»dÁ*»�¿�ÊRÉhBEGL9pÒ';<B:G�Ê/ÎIÇ�½p»�À�9 »dD�¼F»dBf×^BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »�½pÈ�ÈdG<94½�7 º B:ÎL;<9Î<9pD�Ö�¼F»dÁ/; º B368بÆ�Ù'? ¹'º BLÈh9 Í B:G¨Î<BEG<¼�B:ΨÊ#BE; º 98À Í ½pÎ�½pÈ�ÈdDF¼�B:À�¿�Î<¼F»�Á£9 »dBpÏh; Í 9dÏ©½p»dÀ5; º G<B:B�È�9 Í BEGÎ<BEG<¼�B:ÎC;<B:G<Ê#Î:?ÛÔ�DFÎ�9dÏ�; º B«»d9p»8×^7 º B:½pÈ£È�9 Í B:G'Î�B:G�¼FB:ÎCÊ/Bª; º 9�À Í ½pÎ�¼FÊ#ÈdD�B:Ê#B:»4;IBEÀ Í ¼�; º ý£Òu9 ¿d»dÀ�Éh9p; º; º G<9 ¿dÁ º ½p»/¼�;<B:GI½�;I¼�ÖpB'Î<9 D�¿�;I¼�9 »39pÒ©BE¾-¿|½�;I¼�9 »�Â�ãpñ4ÇzÒu9 GVý�Ï-½p»dÀ�½�È�9 DlË8»�9 Ê/¼F½pD�BªÖ�½pDF¿|½�;I¼F9p»�9pÒ©BE¾�¿d½�;I¼�9 »Â�ãpï ÇªÏ�½�ΨÀdB:Î�7:G<¼�ÉhBEÀ�¼F»�68BE7E;I¼�9 »�å�? � »®; º B�Èh9 DlË�»d9 Ê#¼�½pD�BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »©Ï�; º B�7 º 9 ¼F7EB�9pÒjG<9�9p; Í ½pΫ; º ½�;Í ¼�; º ; º B�Î<Ê/½pD�DFB:Î�;�½pÉdÎ�9 DF¿8;IB¨Ö�½pDF¿dB�?

Ô>ÎjÊ/BE»4;I¼F9p»dB:À3¼F»/68BE7E;<¼F9 »3èdÏ-Î<9pÊ/B'»d9p»dDF¼�»dB]½pG[×^ý3Î�Ë�Î�;IB:Ê#Î º ½]Ö B�; º B�ÈdG�9 ÈhBEG�;^Ë�; º ½�;jü£Âuý�Ç ù ô�½�;7:BEG�;I½p¼F»3»d9 »�í:B:G�9�Ö�½pD�¿dB:Î�9�Ò�ý�Ï4G<BE»dÀdBEG<¼F»�Á�; º B�Î�Ë�Î�;<B:Êð¿d»d7E9 »4;IG�9 DFDF½pÉdDFB�½�;�; º 9pÎ<B�Èh9p¼F»4;IÎV½p»�À/7EG<B]½�;I¼F»�Á; º BÐÈ�9p;<B:»4;I¼F½pDxÒu9 G�È�G<9 ÉdD�B:Ê#ÎR¼F»ÛÎ�9 Ê#B£9pÒ�; º BнpDFÁp9 G<¼l; º Ê#Î:? ¹'º ¼FÎ�ÒuB]½�;I¿dG�B£¼FÎ�¼FD�DF¿dÎ�;IG<½�;IBEÀ�Òu9 GR; º B½p¼�G<7:G<½�Ò¬;«À8Ë8»d½pÊ/¼�7:ΫÊ#9�ÀdB:DY¼F»5; Í 9¢Ú|Á ¿dG�B:ΨΠº 9 Í ¼F»dÁ£; º BR7:9 »4;<G<9 D�¿�ÈhÀ|½�;IBRÊ/½pÈdÈd¼�»dÁ¢ý � � � ù�� Âaý � ÇG<BEÈdG<BEÎ<BE»-;<¼F»dÁÛ; º B5BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »19�Ò�B:¾-¿|½�;<¼F9 »dήÂÄå�ÞE×^å4ã Ç���9 G£½�Î�¼F»dÁ D�B�È|½�Î<Î�; º G<9 ¿�Á º ; º B®¼l;IBEGI½�;<¼�Ö BÎ<7 º B:Ê#B¢Âaå å�×[å�è-Ǫ? � ¼FÁ ¿�G<B�Þ�BEÖ�½pD�¿|½�;IBEÎ�; º ¼�Î'Ê�½�ÈdÈd¼F»�Á3½�;�Î�;I½�;IB ø�ù Ýäô,ã ëdÂ��

5Þ�ñ ô Ç0ô,ô,ô�ß : Ï Í ¼�; º

; º B�Àd¼�Î<7:9p»-;<¼F»-¿d¼l;^Ë�ÈdG<BEÎ<B:»4;3½�;Lý � ù � Þ�ô�¬; º B/Èh9 ¼�»4;L½�; Í º ¼�7 º ü ù ô Çª? Ô�;N; º ¼�ÎRã ë��L½p»dÁpDFB39pÒ½�;�;c½p7cÓ�; º B�Àd¼�Î<7:9p»-;<¼F»-¿d¼l;^Ë5Î�;<¼FD�D�½pD�DF9 Í Î«½£Î<9pDF¿�;<¼F9 »5;<9¢; º B3¿dÈ�À|½�;<B�B:¾-¿|½�;<¼F9 »dÎ#Âaå å�×^åpè-Ç��*; º ½�;¨¼FÎEÏ�½7:9p»-;<G<9 D�Ö�½pD�¿dB Í º B:G<B�; º B�¼�;<B:G<½�;I¼lÖ B�ÈdG<9�7:BEÎ<Î º ½pÎ�7E9 »4Ö BEG<Á BEÀ®Î<9/; º ½�; � Âuý � Ç ù ý � ?ð � »*Òa½p7ª;�; º B:G�B½pG�B«; Í 9#Èh9pÎ<Î<¼�ÉdDFB>Î<9 D�¿�;I¼�9 »dÎ:Ï Í º ¼F7 º ¼FÎ�½�»Ð¼�»4;IB:G�B:Î�;I¼F»�Á�ÈdG<9 É�DFB:Ê¥Éd¿�;QÎ�;<¼FD�D�½pD�DF9 Í ÎCÒu9 G�; º B¨Î�Ë�Î�;IB:Ê¡;<9É�B¨7:9 »4;IG�9 DFD�B:À©? Ç¥òQ9 Í BªÖ B:GEÏA¼�Ò�; º B�Î<½pÊ/B¨¿�ÈhÀ|½�;IB¨Ê/½pÈdÈd¼�»dÁ�¼FÎ�BfÑ�½pÊ/¼�»dB:Àн�;Q½�å ë��½p»dÁ D�B¨9pÒ~½�;<;I½p7cÓAÏ; º B£¼F» �|¿�B:»d7EB£9pÒ'; º B£À�¼FÎ<7E9 »4;I¼�»�¿�¼�;^Ë�¼FÎLÉ�G<94½pÀ�B:G3½p»dÀ�; º B:G�B£¼FÎN»d9®Î<9 D�¿�;I¼�9 »�;<95; º B¢BE¾-¿|½�;I¼�9 »dÎEÏx½�Î� ¼�Á ¿dG<B>ã�Î º 9 Í Î:? � »�; º ½�;�7:½pÎ<BQ; º B>¼�;IBEGI½�;<¼�ÖpB�½�DFÁ 9 G�¼�; º Ê ¼F»/B:¾-¿|½�;<¼F9 »�ΨÂÄåpå�×[åpè4Ç Í ¼�DFDA»d9p;xÉ�B«½pÉdD�BQ;<97:9p»-ÖpB:G�Á BpÏ-½p»�ÀR¼�; Í ¼FD�D4ÉhBx»dB]½pG�D�Ë�¼�Ê/È�9 Î<Î�¼FÉdD�B�Òu9 GY; º B�½�DFÁ 9 G�¼�; º Ê!;I9�7:9 »4;<G<9 D-; º BxÎ�Ë�Î�;<B:Ê(Î<¿d7E7:B:Î�Î�Òu¿dD�D�Ëp?� »L7E9 »4;IGI½�Î�; Í ¼�; º ; º BxÎ�¿d7:7EB:Î<Îz9pÒdBE¾�¿d½�;I¼�9 »dÎxÂÄå åm×[åpè-Ç©½�;z½�ã ë�~½p»dÁ D�BpÏ�½�;�;IB:Ê#È�;<Î�;<9�¿�Î<B�½QÃ�B Í ;I9 »�×ÆQ½pÈ º Î�9 »�½pDFÁ 9pG<¼�; º Ê ¼F»Û; º B¢Òu¿dDFDx»d9 »dD�¼F»dB:½pGR9 »dD�¼F»dBf×^¿dÈ�À|½�;<B¢Ê#BE; º 98ÀâÂaå4ëm×[åpî4ÇL½p»dÀÛ; º B£7:9 ÊLÉd¼F»dBEÀÁ4½p¼�»��7E9 »4;IG<9pD8¿dÈ�À|½�;<B�Ê#BE; º 98ÀÂaå ñ�×^å ó4Ç Í BEG<B'¿d»|½�ÉdDFBj;I9¨7:9p»-ÖpB:G�Á B�½p»dÀRÚ|»�À3½«Á4½p¼F»NÊ�½�;IG<¼{Ñ�Î<9 D�¿�;I¼�9 »©?¹'º B¢¼�»d7:D�¿dÎ<¼�9 »�9pÒ�; º B�Ê#9 G<B#7:9 Ê#ÈdD�BªÑ�À�Ë�»|½pÊ#¼F7EÎL½�»dÀ��9 G�; º B/DFBEÎ<ÎLÎ�ÈhBE7:¼lÚ|7�»-¿dÊ#B:G�¼F7]½�Dx½�DFÁ 9 G�¼�; º ÊÊ/½pÓpBC; º B'Î<9pDF¿�;<¼F9 »R9�Ò�; º ¼FÎzÎ�Ë�Î�;<B:Ê 9pÒ�BE¾�¿d½�;I¼�9 »dÎ�ÊR¿�7 º Ê#9 G�B�Àd¼�ö#7E¿dD�;:? ¹'º B�½pÈdÈ�G<94½p7 º B:ÎV¿dÎ<¼�»dÁ«; º BÃ�B Í ;I9 »�×[ÆQ½pÈ º Î�9 »®½pD�Á 9 G<¼l; º Ê Í B:G<BNÀd¼FÎ�7]½pG�ÀdB:À5½pÎ>½3G<BEÎ<¿dDl;>9�Ò�; º ¼�Î�¼F»Òa½�Öp9 GQ9pÒ�; º BNÊ#BE; º 98À�Î�Ê#9 G<B

Þ�ô

Page 15: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

−15 −10 −5 0 5 10 15−15

−10

−5

0

5

10

15

Previous Control un

Con

trol

Upd

ate

u n+1

un+1

=F(un)

un

� ¼FÁ ¿dG�BRÞA������������� ���������������������������! !����"#��������$���%���������������������ãpë�&�������'�(�*)�����+��,-�.

−15 −10 −5 0 5 10 15−15

−10

−5

0

5

10

15

Previous Control un

Con

trol

Upd

ate

u n+1

un+1

=F(un)

un

� ¼FÁ ¿dG�B�ã ������������� ���������������������������! !����"#��������$���%��������������������zå ë�&�������'�(�*)�����+��,-�.

Þ Þ

Page 16: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

7:D�9 Î<BED�Ë�G<B:DF½�;IBEÀÛ;I9®; º BÐÆ�¼F7E7]½�;<¼�B:¾-¿|½�;<¼F9 »�Âa½p»dÀ�¼FÊ#ÈdDFBEÊ/BE»-;<B:ÀÛ¿dÎ�¼F»dÁ�½®Éd¿d¼�D�;�×^¼F» á ½�;IDF½pÉ�ÆQ¼�7:7:½�;I¼B:¾-¿|½�;I¼F9p»ÐÎ�9 D�ÖpB:GIÇªÏ Í º ¼�7 º ½pÈ�ÈhB:½pG';I93ÉhB�Î�¼FÁ »d¼lÚ|7]½�»-;<D�Ë/Ê/9pG<B¨G<9pÉd¿dÎ�;:?

¹'º BQ7:9 Î�;xÖ�½pD�¿dB:ÎVG<BEÎ<¿dDl;I¼�»dÁ¨ÒuG<9 Ê(B]½p7 º 9pÒ�; º B:Î�B�Ê#BE; º 98À�Îx½�G<B�Á ¼�ÖpB:»#¼F» ¹ ½pÉdDFB�Þ Ï�½pÎV¼�ÎV; º B�G<BEÎ<¿dDl;9pÒx½�D�¼F»dB:½pG«Æ�¼F7E7]½�;<¼~7E9 »4;IG<9pDzÒu9 ¿d»dÀ®É4Ë�DF¼F»�B]½pG�¼Fí:¼�»dÁ3; º B�Î�Ë8Î�;IBEÊ ½pÉ�9 ¿�; ø�ù ô�Ï©ý ù ô�? ¹'º B3Ê#9 Î�;

¹ ½�ÉdDFB�ÞA� ��� � � ) ��� ,��$�+������������� ��� � ) ��������� ,�����$� ��� ��� ����� ����"�� � ����� ��� ���'��� � � .á BE; º 98À =C9 Î�; =C9 Î�; Í ¼l; º Ã�9 ¼�Î<B

= º B]½�È�ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂ[Þ¨;IB:G�梂 ë8?äè è4ñ ë8? î4ï ã= º B]½�È�ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂÄãL;IB:G�梂 ë8? ë ïpñ ë8? ñ ô ó= º B]½�È�ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂaåR;IB:G�梂 ë8? ëpñ ô ë8? ïpó4ïÜ�D�½p¼�»Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂ�Þ¨;<B:G<ÊÐÏ|¼�;<B:G<½�;I¼lÖ B�Ç èd?äè-ãpî èd? ë�è-ïÜ�D�½p¼�»Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂ�ãL;<B:G<ÊÐÏ|¼�;<B:G<½�;I¼lÖ B�Ç èd?äè-ïpô èd? ëpñ ôÜ�D�½p¼�»Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂÄåR;<B:G<ÊÐÏ|¼�;<B:G<½�;I¼lÖ B�Ç èd?äè-ïpó èd? ëpî4ãÜ�D�½p¼�»Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂ�Þ¨;<B:G<ÊÐÏ|È�9 D�Ë�»d9 Ê#¼�½�D¬Ç èd?äè-ãpî èd? ë�è4ôÜ�D�½p¼�»Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂ�ãL;<B:G<ÊÐÏ|È�9 D�Ë�»d9 Ê#¼�½�D¬Ç èd?äè4î ó èd? î�ÞmëÜ�D�½p¼�»Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂÄåR;<B:G<ÊÐÏ|È�9 D�Ë�»d9 Ê#¼�½�D¬Ç èd?äè-ïpó èd? ëpñ ñ= º B]½�È �«»dD�¼F»dB�Ù�Ö�½pDF¿d½�;I¼�9 » èd?äè4î ô èd? î ô4ëÜ�D�½p¼�»��¨»�DF¼F»�B¨Ù�Öp½�DF¿|½�;<¼F9 » èd? ëpñ4ë èd? î4ï ë��¼F»dB:½pG<¼�í:B:À*=C9 »4;<G<9 D èd? îpèdÞ èd? ñ ô4ï

BEö#7E¼FB:»4;QÊ#BE; º 98À£¼�Î�; º B¨Î�;c½p»dÀd½pG<ÀÒu9 G<Ê È�9 Í B:G�Î�B:G<¼�B:Î�7:9p»-;<G<9 DÄÏ Í ¼l; º ; º B¨7 º B]½pÈ*9 »dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pD�¿|½�;I¼�9 »7:9p»-;<G<9 D º ½]Ö8¼�»dÁ�½57:9pÎ�;39 »dDlË�ÖpB:G�ËÛÎ<D�¼FÁ º ;IDlË º ¼FÁ º B:GN; º ½p»Û; º ½�;]? ¹'º B£Î�;I½p»dÀ|½pG�ÀÛÒu9 G<Ê Ö BEG<Î<¼�9 » 9pÒ; º B�9p»dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pDF¿d½�;I¼�9 »17:9p»-;<G<9 D¨¼�νpDFÎ�9ÛÒa½p¼FG�D�Ë�7:DF9pÎ<BpÏ Í º ¼FD�B5; º B�7 º B]½�È!È�9 Í B:GÐÎ<BEG<¼�B:Î7:9 »4;<G<9 D¨¼�ÎÎ<¼�Á »d¼lÚ|7]½p»4;<D�Ë�9pÌ$ÒuG�9 Ê ; º B£9p; º B:GR; º G<B:B£Ö�½pG�¼�½�;<¼F9 »dÎL½p»dÀÛ; º BÐD�¼F»dB:½pGL7E9 »4;IG�9 D�? Ô�DFDCÎ º 9 Í ½57EDFB]½�G½pÉd¼�DF¼l;^Ë#;<93Î�;c½�Éd¼FD�¼Fí:BQ; º B�½p¼�G<7EGI½�Ò¬;�ÒuG�9 Ê¥½p»¼F»d¼l;I¼�½�D©ã ë � ½�»dÁ DFB>9pÒ�½�;<;c½�7cÓ�?1= º ½p»dÁp¼F»dÁR; º B�»�¿�ÊRÉhBEG'9pÒ;IBEG<Ê#Ϋ¿dÎ�B:À�¼F»5; º BRÈ�9 Í B:G¨Î�B:G�¼FB:ΨÊ#BE; º 9�ÀdΫÎ<BEB:Ê#Ϋ;I9 º ½�ÖpB39 »dD�Ë*½¢Î�Ê�½pD�D~BªÌ�BE7E;�¼�»�; º ¼�Ϋ7]½�Î<BpÏ�½�»dÀ; º B�È�9 D�Ë�»d9pÊ/¼F½pD|½p»dÀ/¼�;<B:GI½�;I¼�ÖpB�Î<9 D�¿�;I¼�9 »dÎ�Òu9 G�; º BQÎ�;I½p»dÀ|½�G<À/Òu9pG<ÊðÈ�9 Í B:GxÎ<BEG<¼FBEÎC½�DFÁ 9 G�¼�; º Ê2ÈdG�9�Ö B�;<9É�B�BEÎ<Î�B:»4;I¼F½pDFDlË¢¼FÀ�B:»4;I¼�7]½pD º B:G<B�?� »7:9 »4;IG<½pÎ�; Í ¼l; º ; º B�È�9 Í BEG'Î<BEG<¼FBEÎ�Ê/Bª; º 9�À©Ï�¼�»¢; º B�9 »�DF¼F»�Bª×^BªÖ�½pDF¿|½�;I¼F9p»/7E9 »4;IG<9pD�; º B�½�D�;IBEGI½�;<¼F9 »;I9пdÎ�B�7 º B:½pÈ�7:9p»-;<G<9 DV¼�»d7:G�B]½pÎ�B:Î�; º B#BEÌhB:7ª;I¼�ÖpB:»dBEÎ<ÎR9�Ò�; º B/½pD�Á 9 G<¼l; º Ê 9 »�; º ¼�Î�BfÑ�½pÊ/È�DFB3ÈdG<9pÉdDFBEÊ*?¹'º BQG<B:½pÎ<9 »#Ê/½�ËRÉhB�; º ½�;�; º BQ7:9 »4;<G<9 D�D�½pÉd¼�DF¼l;^Ë�¼FÎ<Î�¿dB:Îx½pG�BQÊ#¼F»�¼FÊ#¼Fí:BEÀL; º G<9 ¿dÁ º ; º ¼FÎVÊ#98Àd¼lÚ|7]½�;I¼F9p»R9pÒ; º BNÎ�Ë8Î�;IBEÊ*? � »�7E9 »4;IGI½�Î�;]ÏA; º B�È�9 Í BEG>Î�B:G<¼�B:ÎQÊ/Bª; º 9�À Í ½pÎQ»d9p;QBfÑ�È�B:7ª;IBEÀ5;I9#ÉhB�½�ÌhB:7ª;IB:À5½pÎ�ÊR¿d7 ºÉ4Ë*; º BR7E9 »4;IG<9pDFD�½�Éd¼FD�¼�;^Ë¢È�G<9 ÉdD�B:ÊÐ? ¹'º ¿dΫ; º B�½pÀ�Àd¼�;<¼F9 »Ð9pÒV7 º B:½pÈ�7:9 »4;IG�9 D Í 9 ¿�DFÀ5»d9�;¨ÉhBNBªÑ8È�B:7E;<B:À;I9 º B:DFÈ�ÊR¿d7 º Ï|½�»dÀ£¼�;CÊ�½]Ë º ½]Ö B¨ÀdBª;IGI½�7E;IBEÀ£ÒuG<9 Êð; º B¨Ê/Bª; º 9�À©ìäÎ�BEÌhB:7ª;I¼�ÖpB:»dBEÎ<Î�Àd¿dB«;<9R¼�;xÚ|»dÀd¼�»dÁRýÖ�½pDF¿�B:Î'É|½pÎ�B:À*9 »Ð½#Î�Ë8Î�;IBEÊ Î<DF¼�Á º ;IDlË�Àd¼lÌ�BEG<BE»-;�ÒuG�9 Ê¥; º B�9 G<¼�Á ¼F»|½�D�?� 9 G«; º ¼�ΨBªÑ�½pÊ#ÈdDFB3½£Á 9�9�À�7 º 9 ¼F7EB#9�Ò Í B:¼�Á º ;�¼F»®; º B37 º B:½pÈ�7E9 »4;IG�9 D�7:9pÎ�;�Òu¿d»d7ª;I¼F9p»|½pD�Âaå ô4Ç Í ½pÎ�+ ù Þ]ô � ? �>; º BEG#Ö�½pD�¿dB:Î Í B:G<B*DFBEÎ<Î3BEÌhB:7ª;I¼�ÖpBpÏ�½pÎ3DF½pG<Á BEG�9 »dBEÎ�½pÈ�È|½pG<BE»4;ID�Ë Ê#9�Ö BEÀ�; º B*7 º B:½pÈ7:9p»-;<G<9 D�Î�Ë�Î�;<B:Ê ;<989�Òa½�G�ÒuG<9 Ê ; º B®9 G<¼�Á ¼F»d½pD�ÈdG<9 É�DFB:ÊÐÏ Í º ¼�DFB5Î�Ê�½pD�DFBEG/9 »�B:νpÈdÈd½pG<BE»-;<D�Ë�7:G�B]½�;<B:ÀÈdG�9 ÉdDFBEÊ/Î Í ¼l; º �+ ��� ÉdDF9 Í ¼F»�Á�¿dÈ©?

¹'º B�»d9 G<Ê 9�Ò~; º BNÎ�;c½�;<B¨Öp½�G<¼�½�ÉdDFBEÎ:Ï ø : <¨ø Ï�¼�Î'ÈdDF9�;<;IBEÀ*¼�» � ¼FÁ ¿�G<B�å�Òu9 G�; º B�Òu9 ¿dG�Ê/½p¼F»¢ÖpB:G�Î<¼F9p»dÎ9pÒY; º B�68بÆ�Ù�½pDFÁ 9pG<¼�; º ÊÐ? ¹'º B�Ê/9 Î�;'BEö#7E¼FB:»4;Q9pÒY; º B¨ÖpB:G<Î�¼F9 »�Î Í ¼l; º Àd¼lÌ�BEG<B:»4;�»-¿dÊRÉ�B:G�Î�9pÒzÈ�9 Í BEGÎ<BEG<¼�B:Î~;<B:G�Ê/Îz½p»dÀR7:½pDF7E¿dD�½�;<¼F9 »�Ê#BE; º 98À�Î�½pG�BxÈdD�9p;<;<B:À �7 º B:½pÈ�7:9p»-;<G<9 D Í ¼�; º 9 »�Bx;IBEG<ÊÐÏ ½p»�ÀRÎ�;I½p»dÀ|½pG�À7:9p»-;<G<9 D Í ¼l; º 9 »dBV;IB:G�ÊÕ½p»dÀ�; º BjÈh9pD�Ë�»d9 Ê#¼�½pDpÎ<9 D�¿�;I¼�9 »©? ¹'º Bj; Í 9�9 »dD�¼F»dBf×^BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »¨7E9 »4;IG<9pD�G�B:Î�¿dD�;<Î

Þmã

Page 17: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

0 0.5 1 1.5 20

5

10

15

20

25

30

35

Time

Nor

m o

f Sta

tes

xTQ

x

Cheap Power SeriesPlain Power SeriesCheap OnlinePlain Online

� ¼FÁp¿dG<B¨å � ����� ������� � ��� �*) � � ������� ��� � � ����� ��� ���'��� � � !����" � � ����� ��� ,�����$� ��� � ����"�� � � .

½pG�BjÎ º 9 Í »�½pÎ Í B:DFDÄ? ¹'º Bj7:9 »4;IG�9 D4¼F»�Èd¿�;IÎ�7:½pDF7E¿dD�½�;<B:À�É4Ë�; º BEÎ<BjÎI½pÊ#BVÊ/Bª; º 9�ÀdÎY½pG<BVÈdD�9p;<;<B:À�¼F» � ¼�Á ¿dG<Bèd? ¹'º BLÖ�½pDF¿dBEÎ�9�Òz; º BL7:9p»-;<G<9 DYý5G�B:Ê/½p¼F»ÐÁ G<B:½�;IBEGQ; º ½p»�; º B�ÈdG<9 É�DFB:Ê/½�;<¼F7«Ö�½pDF¿�BN9pÒ~×cÞ�ô Í º B:G�BL; º BÎ�Ë�Î�;IB:Ê ¼�Î�¿d»d7:9p»-;<G<9 D�D�½pÉ�DFBp?�ÃQ9p;IB�; º ½�;V; º B:Î<B�Ú|Á ¿�G<B:Î�Âa½pÎ Í BEDFDA½pÎVD�½�;IB:G�9p»dB:ÎIÇ�À�¼FÎ<È�D�½]ËR9 »�D�ËL; º B'Ú|G<Î�;ÒuB Í Î�B:7E9 »dÀdΨ9pÒz; º BNÎ�;c½�;IBR½�»dÀ57:9p»-;<G<9 D�;IG<½ 2�B:7ª;I9 G�¼FBEÎ:? ¹'º BRÎ�¼FÊR¿dDF½�;I¼�9 »dÎ�; º B:Ê#Î<BED�Ö BEÎ Í B:G<BL7]½pG�G<¼FBEÀ9 ¿�;C; º G�9 ¿dÁ º ½p»£¼�»4;IB:G�Ö�½pD�9pÒjÞ�ôRÎ�B:7E9 »dÀdÎ';I93½�DFDF9 Í Òu9pG�Ê/9pG<B«7E9 Ê/È�DFBE;<B>7E9 »4Ö B:G�Á B:»�7:BpÏAÉd¿8;�Î<¼F»�7:B«; º B¼FÊ#È�9 G�;I½p»4;'À�Ë�»|½pÊ#¼F7EÎ'987E7:¿dG�¼F»£; º B�B]½pG�D�Ë�;<¼FÊ#B«¼F»4;<B:G�Ö�½pDÄÏ8; º ½�;Q¼FÎ�; º B�G<B:Áp¼F9 »Î º 9 Í »Òu9 G'7ED�½pG�¼�;^Ë ?

¹'º B'Ö�½pG<¼�9 ¿dÎ�7E9 »4;IG<9pDdÊ/Bª; º 9�ÀdÎ Í B:G�B�½�DFÎ<9�½�ÈdÈdDF¼�B:ÀR;<9«; º B�ÎI½�Ê/B�Ê#9�ÀdB:D Í ¼l; º ½¨¿d»d¼lÒu9 G<ÊÕGI½�»dÀd9 Ê»d9 ¼�Î<B�Î<9p¿dG<7EB ��� Â#"�Ç ��� ã �¤ëdÂ�� 5 Þ�ñpô4ǪÏQ;IB:»�ÈhBEG<7EB:»4;�9�ÒL; º B�¼�»d¼�;<¼�½pD�»d9 »díEB:G<9�Î�;I½�;IB�Ϩ½pÀdÀdBEÀ�;<9�; º BÀ�Ë�»|½pÊ#¼F7EÎx;<9RÎ<BEB º 9 Í ; º B>Ê#BE; º 9�ÀdÎ Í 9 ¿dDFÀ�7:9 Ê#ÈhBE»dÎI½�;IB>Òu9 Gj; º ¼�ÎC¼�»�7:9p»-;<G<9 D�DF¼�»dÁ�; º B«ÈdG�9 ÉdD�B:ÊÐ? � »; º ¼FÎRBfÑd½�Ê/ÈdD�B�; º B£G<B:Î�¿dD�;<Î3½pG<B/Ö B:G�ËÛÎ<¼�Ê/¼�D�½pG¨;<95; º 9 Î�B Í ¼�; º 9 ¿�;�»�9 ¼FÎ�BpÏ Í ¼�; º ; º B£Ê#BE; º 98À�Î:ìz7E9 Î�;<ÎÒa½pD�DF¼F»�Á�¼F»5; º B�ÎI½�Ê/B�9 G�ÀdB:G�½�»dÀ®; º B�ÈdDF½p¼F»*Òu9 G<Ê 9pÒV; º B3È�9 Í B:G�Î�B:G<¼�B:ΨÊ#BE; º 98À º ½�Ö�¼�»dÁ£; º B�D�9 Í B:Î�;7:9pÎ�;«9�ÖpB:GI½�DFD�? � »5B]½p7 º 7]½pÎ�BN; º BL7:9pÎ�; º ½pÎ>¼�»d7:G�B]½pÎ�B:À5É4Ë*½/»d9�;I¼F7EB]½pÉ�DFBN½pÊ/9p¿d»4;>Éd¿8;�; º BLÎ�Ë8Î�;IBEÊ ¼�ÎÎ�;I½pÉd¼�DF¼FíEB:À Í ¼l; º 9p¿�;«;I9�9£ÊR¿d7 º Àd¼lö#7:¿dDl;^Ë Ï�½pΫ; º BRÀd¼lÖ BEG<Á BE»d7:B3Àd¿dBR;<9£»d9 ¼�Î<B�¼F»*; º ¼�Ψ7]½pÎ�B�Î<B:BEÊ/Ϋ;<9º ½]Ö B/Ê�½�ÀdB�; º B#ÈdG<9pÉdDFBEÊ 9 »dD�Ë5Î<DF¼�Á º ;IDlË º ½pG�ÀdB:G�;I9Ð7:9p»-;<G<9 DÄ? ¹'º B:Î<B/7:9 Î�;IÎL½pG<B3DF¼�Î�;<B:À�¼F» ¹ ½pÉ�DFBÞ½pD�9 »dÁ Í ¼�; º ; º B�»d9 ¼�Î<BfצÒuG<BEB�7]½pÎ�Bp?

68¼FÊL¿dD�½�;<¼F9 »�Î~¿dÎ�¼F»dÁ�9 »�B'Î<B:D�B:7ª;I¼F9p»RÒuG<9 Ê(B]½p7 º 7:DF½pÎ<Î�9�Ò�7E9 »4;IG<9pD|½pDFÁp9 G<¼l; º Ê#Î Í B:G�B�G<¿d» Í ¼�; º D�½pG�Á B:G¼F»�¼�;I¼F½pD©½�»dÁ DFBEÎ�9pÒ�½�;�;c½p7cÓAÏ|;I9/Î<BEB Í º ¼�7 º 9pÒ~; º B�Ê#BE; º 98ÀdÎ Í 9 ¿dDFÀÐÈdG�9mÖpBLBªÌ�BE7E;I¼lÖ BL½�;QÎ�;c½�Éd¼FD�¼Fí:¼�»dÁR; º BÎ�Ë�Î�;IB:Ê 9�Ö BEGR½*DF½pG<ÁpB:G�GI½p»�Á B/9�Ò�7:9p»dÀd¼�;<¼F9 »�Î:? ¹'º B/; º G<B:B/9 »dBfצ;IBEG<Ê È�9 Í BEGLÎ<BEG<¼�B:ÎLÊ#BE; º 9�ÀdÎ Í B:G�B¿dÎ�B:À©Ïp½pÎ Í BEG<BV; º B�; Í 9�9p»dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pDF¿d½�;I¼�9 »>Ê#BE; º 98À�Î:? ¹'º BVÎ<½pÊ/B�È�G<9�7:B:Î�Î Í ½pÎ�Òu9 D�DF9 Í BEÀ�½pÎ�ÀdB:Î�7:G�¼FÉ�B:À½pÉ�9�Ö BpÏ Í ¼�; º ¼F»d¼l;I¼�½�D�½p»�Á DFBEÎ�9pÒ�å4ë � Ï4è-ë � Ï�½p»�À¢ë ë � ? ¹'º BQG�B:Î�¿dD�;<¼F»dÁ�7:9pÎ�;VÒu¿d»d7ª;I¼F9p»|½pD�Ö�½pD�¿dB:Îj½pG�BQÁp¼�Ö BE»¼F» ¹ ½pÉdD�B�ã8?

¹'º BLÖ�½pG�¼F9 ¿dÎQ½pD�Á 9 G�¼�; º Ê/Î'ÀdG�9 È59 ¿8;>9 »�BLÉ4ËÐ9 »dBR½�Î�; º BN¼�»d¼�;<¼�½pD�½�»dÁ DFB�É�B:7:9pÊ/BEÎ>D�½�G<Á BEG�½�»dÀ�; º B

Þ�å

Page 18: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

0 0.5 1 1.5 2−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Time

Con

trol

Inpu

t u

Cheap Power SeriesPlain Power SeriesCheap OnlinePlain Online

� ¼FÁp¿dG<B¨è;� ����� ����� � � ��� �*)(,�����$� ��� ��������� � ) ���� ��� ���'��� � � !����" � � ����� ��� ,��������� � ��� "�� � � .

¹ ½pÉdDFB�ã � ��� � ��) ��� ,��$�+������� ����� � � � !����"#� ���$����� �������$���� �������'� � ��� � ��� ���'��� � � .á BE; º 98À =C9 Î�;� »d¼�;<¼�½pDhÔ>»dÁpDFB�å4ë�

= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G«68B:G�¼FB:ÎNÂ[Þ�;<B:G�梂 Þmã8? ô îpèÜVDF½p¼F»ÜY9 Í BEG«68BEG<¼�B:ÎNÂ�Þ¨;IBEG<ÊÐÏ|¼�;<B:GI½�;I¼�ÖpB�Ç ÂuÒa½p¼�DFÎcÇÜVDF½p¼F»ÜY9 Í BEG«68BEG<¼�B:ÎNÂ�Þ¨;IBEG<ÊÐÏ|Èh9pD�Ë�»d9 Ê#¼�½pD�Ç Þ�ô�? î4ïpñ= º B]½pÈ �«»dDF¼�»dB�Ù�Ö�½pDF¿|½�;I¼F9p» Þ Þ ?lÞ�î ôÜVDF½p¼F»��«»dD�¼F»dB«Ù�Ö�½pD�¿|½�;<¼F9 » ÂuÒa½p¼�DFÎcÇ��¼�»dB]½�G<¼FíEB:À*=C9 »4;IG�9 D Þ Þ ? å4ïpô� »d¼�;<¼�½pDhÔ>»dÁpDFB¨è-ë �= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G«68B:G�¼FB:ÎNÂ[Þ�;<B:G�梂 ã ã8? îpè èÜVDF½p¼F»ÜY9 Í BEG«68BEG<¼�B:ÎNÂ�Þ¨;IBEG<ÊÐÏ|Èh9pD�Ë�»d9 Ê#¼�½pD�Ç ã ë8? ô å î= º B]½pÈ �«»dDF¼�»dB�Ù�Ö�½pDF¿|½�;I¼F9p» ÂuÒa½p¼�DFÎcÇ��¼�»dB]½�G<¼FíEB:À*=C9 »4;IG�9 D ÂuÒa½p¼�DFÎcÇ� »d¼�;<¼�½pDhÔ>»dÁpDFB�ë ë �= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G«68B:G�¼FB:ÎNÂ[Þ�;<B:G�梂 å ñ�? ë ëpôÜVDF½p¼F»ÜY9 Í BEG«68BEG<¼�B:ÎNÂ�Þ¨;IBEG<ÊÐÏ|Èh9pD�Ë�»d9 Ê#¼�½pD�Ç ÂuÒa½p¼�DFÎcÇ

ÈdG�9 ÉdDFBEÊ¡É�B:7:9pÊ/BEÎQÊ#9 G�B¨Àd¼�ö#7:¿�D�;';I937E9 »4;IG<9pD�? á 9 G<B¨; º ½p»�½�Ê#B:G�B�¼�»d7:G�B]½pÎ�B�¼F»£; º B�Ê/½pÁ »d¼l;I¿dÀ�B«9pÒ; º BCÎ�;I½�;IBxÖp½�DF¿dBV;I9�ÉhBxÎ�;c½�Éd¼FD�¼Fí:BEÀ©Ïm; º BEG<B�¼�Î~Î�9 Ê/Bª; º ¼�»dÁ>9�Ò�½�¾-¿|½pD�¼�;c½�;I¼�ÖpBx7 º ½p»dÁ Bx¼F»N; º B�Î�7:B:»d½pG<¼�9d?*Ô�λd9p;<B:À½pÉ�9�Ö B�Ïd½�;�½�å4ë��½p»�Á DFBQ9pÒY½�;�;c½p7cÓ3; º B>9 »dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pD�¿|½�;I¼�9 »3¼�;<B:GI½�;I¼�ÖpB�7E9 »4;IG�9 D�¿dÈ�À|½�;<B>É�B:7E9 Ê/BEÎ

Þ]è

Page 19: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

¿d»dÎ�9 D�Ö�½pÉ�DFB�Â Í º ¼�DFB*½�;¢ã ë�/¼l; º ½p΢½�Ú|»dÀ|½�ÉdDFBÐÎ<9 D�¿�;I¼�9 »AÇf? ¹'º B�9�; º BEG¢½pD�Á 9 G<¼l; º Ê#ÎRÊ/½]Ë�½pDFÎ�9�É�B½�ÌhB:7ª;IB:À�;I9Î�9 Ê/B�À�B:Á G�B:B3É4Ë5; º B3BEDFB:Ê#B:»4;�9pÒx¿d»d7E9 »4;IG�9 DFDF½pÉd¼FD�¼�;^˼�»5; º B3ÈdG�9 ÉdDFBEÊ ½pΨ; º B�GI½p»�Á B�9pÒ½p»dÁpDFB:Î�7E9 »dÎ<¼�ÀdB:G�B:À�BªÑ8È|½p»dÀ�Î:? ¹'º B#7:9p»-;<G<9 D�Ö�½pD�¿dB:Î�¼F»4Öp9 D�ÖpB:À�¼F»�Î<9 Ê#B#½pDFÁ 9pG<¼�; º Ê#ΫÊ�½]Ë�½�ÈdÈdG<9 ½p7 º; º B�Àd½p»dÁ BEGQÈ�9 ¼�»-;�9pÒ~×IÞ�ô�½p»dÀ*½pÎQ½�G<B:Î�¿dD�;'Òa½�¼FD�;<9#7E9 »4Ö BEG<Á B�;I9#½p»ÐBEÌhB:7ª;I¼�ÖpBN7E9 »4;IG�9 D�?

¹'º B¨; Í 93Î�;c½p»dÀd½pG<ÀÐÈh9 Í B:G'Î�B:G<¼�B:ÎQ½pÈdÈ�G<94½p7 º B:Î º ½pÀÉ�B:B:»£; º B¨Ê/9pÎ�;'BªÌ�BE7E;I¼lÖ B�½�;�Î�;c½pÉd¼�DF¼�í:¼F»�ÁN; º BÎ�Ë�Î�;IB:Ê ÒuG<9 Ê ½Lã ë��½p»�Á DFB>½p»dÀ º ½�À�Ö�¼FG�;<¿|½pD�D�Ë�¼�ÀdB:»4;I¼�7]½pDAG�B:Î<¿�D�;IÎC¼F»/; º ½�;C7]½pÎ�Bp? � »¢; º B:Î<B«½pÀdÀd¼l;I¼F9p»|½pDÎ<¼�ÊR¿dDF½�;I¼�9 »dÎ:Ïh½pΫ; º B�Î�Ë�Î�;<B:Ê ÁpBE;IΨÊ#9 G�BRÀd¼�ö#7E¿dD�;«;<9£7:9 »4;<G<9 DÄÏh; º B�¼�;IBEGI½�;<¼�ÖpBLÖ BEG<Î<¼�9 »�9pÒV; º B�È�9 Í BEGÎ<BEG<¼�B:ÎLÒa½p¼�DFÎ�½�;Rå4ë�:Ï�É�¿�;L; º B¢È�9 D�Ë�»d9 Ê#¼�½�DzÖ BEG<Î<¼�9 »Û¼FÎL½pÀ|½pÈ8;c½pÉdD�B#;<9®½�ÊR¿�7 º D�½pG�Á B:G�GI½�»dÁ Bp? � ;R¼�ÎÎ�;<¼FD�DxÎ�¿d7:7EB:Î<Î�Òu¿dD�½�;�è4ë�:Ï�; º 9 ¿dÁ º ; º B¢7 º B:½pÈ Èh9 Í B:G�Î<BEG<¼�B:Î�7:9p»-;<G<9 D º ½pÎR9�ÖpB:G�;I½pÓpBE»�¼l;R¼�»�;IB:G�Ê/ÎN9pÒ7:9pÎ�;]?�Ù�ÖpB:»4;I¿d½pDFDlË Ïh½�;>ë ë��9p»dD�Ë¢; º BL7 º B]½pÈ5È�9 Í BEG>Î�B:G<¼�B:Î�½pDFÁp9 G<¼l; º Ê¥7]½p»*Î<¿d7E7:B:Î�Î�Òu¿dD�D�ËÐ7:9p»-;<G<9 D�; º BÎ�Ë�Î�;IB:ÊÐ? ¹'º ¿dΫ; º BLD�B]½pÎ�;«Bªö/7E¼FBE»-;>9pÒ�; º BLÊ#BE; º 98ÀdÎ>½�;«Î�Ê�½�DFD�½p»dÁpDFB:Î�¼FÎ�; º BL9 »dBR½�ÉdDFB�;I9¢Î�;c½pÉ�¼FDF¼�í:B; º ¼FΨBªÑ�½pÊ#ÈdD�BR9�Ö B:G�; º B Í ¼FÀdBEÎ�;�GI½p»�Á B�9pÒx7:9 »dÀ�¼�;I¼�9 »dΫ¿�Î<¼F»�Áмl;IΫÎ�DF9 Í ×^É�¿�;�צÎ�;IB:½pÀ�Ë5;^Ë�È�B39pÒC7E9 »4;IG�9 D�?¹'º ¼�Îx7:½p»¢É�B�Î�B:B:»�¼F» � ¼FÁ ¿dG�BQåL½p»dÀ�½pDFÎ�9N¼�» � ¼�Á ¿dG�B>ë�Ï Í º ¼F7 º ÈdD�9p;IÎ�; º B>Î�;c½�;<B>»d9 G�Ê/Î�Òu9 GV; º B º ¼�Á º BEGå4ë�#½p»dÁpDFBp? Ô>D�Î<9�»d9p;<B£; º ½�;#½�Î3; º Bнp»dÁ D�B£¼F»d7EG<B:½pÎ<BEÎ:ÏCÎ�9�À�98BEÎ3; º BÎ<¼�í:B9pÒQ; º B¼F»�¼�;I¼F½pDjÎ<Èd¼�ÓpB9pÒ

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Time

Nor

m o

f Sta

tes

xTQ

x

Cheap Power SeriesPlain Power SeriesCheap Online

� ¼�Á ¿dG<B�ë � � � ������� ��� � � ����� ��� ���'��� � �!) ��� ����� � ����������� �������'� .½p7ª;I¼�Ö�¼l;^Ë Ï8½pÎC; º B¨½pDFÁp9 G<¼l; º Ê#ÎVÎ<B:BEÓ/;<9�ÉdG<¼�»dÁN; º B¨½p»dÁpDFB>À�9 Í »¾-¿d¼�7cÓ�DlË ? ¹'º ¼�Î�Î<È�¼FÓpB¨¼�ÎCÊR¿�7 º Á G<B:½�;IBEGÒu9 GR; º B9p; º BEG3Ê/Bª; º 9�ÀdÎ�; º ½�» Òu9pG3; º B7 º B]½�È$È�9 Í B:G3Î�B:G<¼�B:ÎEÏCÊ/½pÓ-¼F»dÁ®¼l;3¿d»dÎ<¿�G<ÈdG�¼FÎ<¼�»dÁ�; º ½�;�; º BEËÍ 9 ¿dDFÀ/ÉhBE7:9 Ê#B>¿�»dÎ�;I½pÉdDFBQÎ<9�9 »dBEG�½�; º ¼�Á º ½�»dÁ DFBEÎ Í º ¼FDFB�; º B�7 º B:½pÈ£È�9 Í B:GxÎ<BEG<¼FBEÎCÊ#BE; º 98À/¼FÎx½pÉdD�B�;<97:9p»-;<¼F»-¿dB�9 È�B:G<½�;I¼�»dÁ�¼F»£; º ½�;QGI½p»dÁpBp?� ��� ��� � � � �N´¢µ� � � � ³ � µ¹'º B*Î<B:7E9 »dÀ1BfÑ�½pÊ/È�DFBÈdG<9pÉdDFBEÊ ¿dÎ<BEÀ$;I9�;IB:Î�;/; º B�7E9 »4;IG�9 DQ½pDFÁ 9pG<¼�; º Ê#Î Í ½�Î/;c½�ÓpB:»�ÒuG<9 Ê ç�B:G�»dDF¼½p»dÀ�=C989pÓ Ýæè�ß�Ï~¼F» Í º ¼F7 º ; º B#¿dÎ<B#9pÒCÈh9 Í B:GLÎ�B:G�¼FB:ÎN½pÈdÈ�G<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�9 »dÎ Í ½pÎLÈdG�9 È�9 Î<BEÀ�Òu9 G¨Ú|»dÀ�¼F»dÁ*½Á4½p¼�»Ê�½�;<G<¼{Ñ¢ÒuG<9pÊ¡; º B�Î�;I½�;IBf×^ÀdBEÈhBE»dÀdB:»4;«ÆQ¼�7:7]½�;I¼�B:¾-¿|½�;I¼F9p»©? ¹'º ½�;�½pÈdÈdG�94½p7 º Í ½pÎ>½pÈdÈdD�¼FB:À£;<9/; º B

Þmë

Page 20: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

Òu9 D�DF9 Í ¼F»dÁ�Î�Ë�Î�;IBEÊ*Ïh½p»dÀ º BEG<B Í B�¿dÎ<BN9 ¿dG'Ö BEG<Î<¼�9 »dÎ�9pÒz; º BR68بÆ�Ù$Ê#BE; º 9�À*9 »Ð¼�;:? ¹'º ¼FÎQ¼FÎQ½3Î<Ê/½pDFD; Í 9�×^Î�;c½�;<B�Î�Ë�Î�;IBEÊ Í ¼�; º 9 »�B�7E9 »4;IG�9 D �

÷ø � ù ø � Âaè è-Ç÷ø � ù ø � ø �� û���Þxû�� � ø � � � 9 ã�ý�û ý � =Qþ Âaè-ë Ç

Í º ¼�7 º ; º B�7:9 »4;IG�9 D�Ê#BE; º 98ÀdÎ Í ¼�DFD�;<G�Ë¢;<93Î�;c½�Éd¼FD�¼Fí:B>¼F»Î<¿d7 º ½ Í ½]Ë£; º ½�;'; º B�7E9 Î�;�Òu¿d»d7ª;I¼�9 »|½pD

4 ù Þã 587' 9 ã ø � � û ø �� û�ý � = ?A" Âaè4î4Ç

¼FÎ'Ê#¼F»�¼FÊ#¼Fí:BEÀ©?¹'º B�¾�¿d½pÎ<¼{×^DF¼�»dB]½�G<¼Fí:½�;I¼�9 »�7 º 9 Î<BE»�É4Ë¢ç�B:G<»�DF¼�½p»dÀ*=C9�9 Ó�;<9#Î�BE;Q¿dÈ; º BN6�بÆQÙ�Òu9 G�Ê,¼�Î � ÷ø �÷ø � � ù ô Þ

ø ��ô � ø �ø � � û ô

9 Þjû�� ø � =«Âaã�û�ýhÇ � ý � Âaè-ï Ç

� Î�¼F»dÁN; º ¼�ÎCÒu9 G<Ê 9pÒ�; º B«Î�Ë8Î�;IBEÊ,; º B�Öp½�G<¼F9p¿dÎ'6�بÆQÙÛÊ/Bª; º 9�ÀdÎ�À�B:Î<7EG<¼�ÉhBEÀ£¼F»�; º ¼FÎxÈ|½pÈ�B:G'½pG�B>¼�Ê/ÈdD�Bª×Ê#B:»4;IBEÀ�¼�»®½p»�½�;�;IBEÊ/È�;>;I9£7:9p»-;<G<9 D~; º BRÎ�Ë�Î�;IBEÊ ÒuG<9pÊ ; º G<BEB�¼F»d¼l;I¼�½�DYÎ�;c½�;<B:Î � ø('Lù Ýæô�?¤ë ô�? ô�ß : Ï ø('ù Ý{Þ ? ô ô�? ô�ß : Ï�½p»dÀ ø('�ù Ýæô�? ëðô�?¤ëmß : Ï8; º B«; º G<BEB¨Î�;c½�;IB:Î'¿�Î<B:ÀÉ4Ë�ç�B:G�»dDF¼�½p»dÀÐ=C9�9 Ó�¼�»�; º B:¼FGCÈ|½pÈ�B:G:?Ô>Î Í ¼�; º ÙzÑ�½pÊ#ÈdDFB��«»dBpÏ�; º B:G�B¨¼FÎC½RÀ|½p»dÁ BEG�9pÒ�È�9 Î<Î�¼FÉdD�B«¿d»d7E9 »4;IG�9 DFDF½pÉd¼FD�¼�;^Ë º ¼F»dÀ�B:G<¼�»dÁRÎ�;c½pÉd¼�DF¼�í]½�;<¼F9 »9pÒY; º B�Î�Ë8Î�;IBEÊ*ÏA¼F»£; º ¼FÎ'7:½pÎ<B�»dB:½pG'; º B�È�9 ¼F»4;�ý ù$� ã Í º BEG<BNü£ÂaýhÇ ù Ýæô,ô�ß : ?

¹'º BQ7:9 Î�;�Òu¿d»d7E;<¼F9 »d½pDdG<BEÎ<¿dDl;IÎj½pG�B'ÈdG<BEÎ<B:»4;<B:À¢¼�» ¹ ½pÉdD�B�å«Òu9 Gz; º B�; º G<BEB�7 º 9 Î<BE»�¼�»d¼�;<¼�½pD�7:9 »�Àd¼�;<¼F9 »dνp»dÀ�; º B�Ö�½pG�¼F9 ¿dÎN7:9 »4;<G<9 Dj;IB:7 º »d¼F¾-¿dBEÎ:? ¹'º B£ÉhBEÎ�;RÖ�½pD�¿dB:ÎL¼F»0Ýéèpß�¬Òu9 ¿d»dÀ�¿dÎ<¼�»dÁ�½�Î�;I½p»dÀ|½�G<À8×�Òu9 G<Ê

¹ ½�ÉdDFB�å ����� � ��) ��� ,��$�+������������� ��� � ) ��������� ,�����$� ��� ��� ����� ����"�� � ����� ��� ���'�� ��.á BE; º 9�À � »d¼�;<¼�½pD©=C9 »dÀd¼l;I¼�9 »dÎ

Ýæô�? ë¥ô�? ô�ß Ý{Þ ? ô¡ô�? ô�ß Ýæô�?¤ë¥ô�?¤ëmß Ýæô�? ë,ô�? ë�ß Í �pÃQ9 ¼FÎ�B= º B]½pÈ�Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂ�Þ¨;<B:G<Ê�Ç ô�?¤ãpëpó å Þ ? ô å4ã ã ô�?äè4ô4ï�î ô8? èdÞpÞ]è= º B]½pÈ�Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂ�ãL;<B:G<Ê�Ç ô�?¤ãpï ã�è Þ ? ô ñ ó�Þ ô�?äè-ë8ÞpÞ ô8? è-ë�î î= º B]½pÈ�Ü~9 Í BEG«6�B:G<¼�B:ÎNÂÄåR;<B:G<Ê�Ç ô�?¤ãpï8Þ]è Þ ?lÞ Þ Þmë ô�?äè-ãpåpî ô8? è-ã�ñ óÜ�DF½p¼F»ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂ[Þ¨;IB:G�Ê*Ï�¼�;IBEGcÇ ô�?¤ã�î î ó ¬Òa½p¼FD�ÎcÇ ô�? î î4ï�Þ ô8? î îpôpèÜ�DF½p¼F»ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂÄãL;IB:G�Ê*Ï�¼�;IBEGcÇ Â¬Òa½p¼FD�ÎcÇ Â¬Òa½p¼FD�ÎcÇ ÂuÒa½p¼�DFÎIÇ ÂuÒa½�¼FDFÎIÇÜ�DF½p¼F»ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂaåR;IB:G�Ê*Ï�¼�;IBEGcÇ ô�?¤ãpëpó�Þ Â¬Òa½p¼FD�ÎcÇ ô�? ï ëpîpî ô8?¤ï�è4ë ëÜ�DF½p¼F»ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂ[Þ¨;IB:G�Ê*Ï�Èh9 DlË�Ç ô�?¤ã�î î ó ¬Òa½p¼FD�ÎcÇ ÂuÒa½p¼�DFÎIÇ ÂuÒa½�¼FDFÎIÇÜ�DF½p¼F»ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂÄãL;IB:G�Ê*Ï�Èh9 DlË�Ç ô�?¤ãpëpópè ¬Òa½p¼FD�ÎcÇ ô�? ëpå åpó ô8?¤ëpåpî åÜ�DF½p¼F»ÜY9 Í B:G«68B:G�¼FBEÎLÂaåR;IB:G�Ê*Ï�Èh9 DlË�Ç Â¬Òa½p¼FD�ÎcÇ Â¬Òa½p¼FD�ÎcÇ ÂuÒa½p¼�DFÎIÇ ÂuÒa½�¼FDFÎIÇ= º B]½pÈ �¨»�DF¼F»�B¨Ù�Öp½�DF¿|½�;<¼F9 » ¬Òa½p¼FD�ÎcÇ Â¬Òa½p¼FD�ÎcÇ ÂuÒa½p¼�DFÎIÇ ÂuÒa½�¼FDFÎIÇÜ�DF½p¼F»��«»dD�¼F»dB�Ù�Ö�½pDF¿d½�;I¼�9 » ô�?¤ã�î4ïpå Þ ?lÞ�ó ô4ë ô�? ó4ã8Þ:è ÂuÒa½�¼FDFÎIÇ��¼�»dB]½pG�¼FíEB:À*=C9 »4;IG�9 D ô�?¤ãpëpñ ô Þ ?lÞmãpó4ï ô�? ïpô îpó ô8?¤ïpôpópè

È�9 Í B:G¨Î�B:G�¼FB:Î>Ê/Bª; º 9�ÀAÇ�½�G<B �ÕÒu9 G ø('Nù Ýæô�?¤ë ô8? ô�ß : Ï 4 ù ô � ã ëpî ��Òu9 G ø('�ù Ý{Þp? ô ô�? ô�ß : Ï 4 ù ÞA�lÞ Þ �Òu9 G ø('�ù Ýäô�? ë ô8?¤ë�ß : Ï 4 ù ô � î ôpèd? � »�; º ¼FÎ�BªÑ�½pÊ#ÈdDFB�; º BL7 º B:½pÈ®Èh9 Í B:G«Î�B:G�¼FB:Î�Òu9 G<Ê 9pÒ�; º B�68بÆ�ÙÊ#BE; º 98À#¼FÎVÊ#9 Î�;jBEö#7E¼FB:»4;C½�;j7:9 »4;<G<9 D�DF¼F»�Á«; º BQÎ�Ë�Î�;<B:ÊÐ? � ;xG<BEÎ<¿dDl;IÎV¼F»#7:9 Î�;xÖ�½pD�¿dB:Î Í º ¼�7 º ½pG�B>½�DFÊ#9 Î�;

Þ�î

Page 21: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

; º BRÎI½pÊ#BR½�Î�ÂuÒu9pG�Ýæô�?¤ë ô�? ô�ß : Ç�9 G>D�B:Î<ÎQ; º ½�»�ÂuÒu9 G�; º BL9p; º BEG�; Í 9£7:9 »�Àd¼�;<¼F9 »dÎIÇ�; º BNÖ�½pD�¿dB:ÎQÒu9 ¿d»dÀ®¼�»Ýéèpß�9 G Í ¼�; º ½p»4Ë£9pÒY; º B�9p; º B:GQ½pD�Á 9 G<¼l; º Ê#Î º B:G<B�?

¹'º B�7E9 »4;IG�9 DFÎ�Á BE»dB:G<½pDFDlË º ½]Ö B�½ÐÊ#9 G�B�Àd¼�ö#7:¿�D�;�;I¼�Ê/B�¼�»�Î�;c½pÉ�¼FDF¼�í:¼�»dÁ¢; º ¼�Î�BªÑ�½pÊ#ÈdDFB�; º ½p»�; º BEËÀd¼�À Í ¼l; º Ù�Ñ�½pÊ#ÈdD�B��«»dB�Ï�½pÎ�Î<9 Ê#BNÊ#BE; º 9�ÀdÎ'Òa½p¼FD�;<9/7E9 »4;IG�9 D�; º B�Î�Ë�Î�;IB:ÊÐÏ�B:Î<È�B:7E¼�½pD�D�Ë¢½�;�; º B�D�½pG�Á B:G¼F»�¼�;I¼F½pDA7:9 »�Àd¼�;<¼F9 »�ÝrÞ ? ô ô�? ô�ß : ? ¹'º B¨7 º B:½pÈ*9p»dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pDF¿d½�;I¼�9 »37:9 »4;IG�9 D©Àd9�B:Î'»�9p;'Î<¿�7:7:BEB:À Í ¼�; º ½�»-Ë9pÒh; º B�; º G�B:BQ¼F»d¼l;I¼F½pD�Î�;c½�;<B:Î:Ï8½p»dÀ#; º BQÎ�;I½p»dÀ|½�G<À�È�9 Í BEGxÎ�B:G�¼FB:Îj7:9p»-;<G<9 D�Îx9p»dD�Ë�Î�¿d7:7EB:BEÀ£¼F»4;IBEG<Ê#¼�;<;<B:»4;IDlËÒu9 GVÖ�½pG<¼�9 ¿dÎjÎ�;c½�;IB:ÎC½p»dÀ¢»-¿dÊLÉhBEG<Î�9pÒ©Î<B:G�¼FBEÎx;IBEG<Ê#Î:? ¹'º B«Î�;I½p»dÀ|½pG�À¢9 »dD�¼F»dBf×^BªÖp½�DF¿|½�;<¼F9 »�7E9 »4;IG�9 DAÀd98BEÎÎ�;I½pÉd¼�DF¼FíEB�½pD�D~; º G<B:B37:½pÎ<BEÎ:? òQ9 Í BEÖpB:GEÏ~; º 9 ¿dÁ º ¼�;«¼FΫÒa½p¼�G<D�Ë*7:D�9 Î<BR;<9£; º B37:9pÎ�;�9pÒj; º B37 º B:½pÈ�È�9 Í BEGÎ<BEG<¼�B:ÎR7E9 »4;IG<9pDjÒu9 GN¼F»d¼l;I¼F½pD�7:9 »�Àd¼�;<¼F9 »dÎ�9pÒNÝæô�? ë ô�? ô�ß : ½�»dÀ0ÝrÞ ? ô ô8? ô�ß : Ï�¼l;L¼�ÎLÊR¿d7 º D�½pG�Á B:G�Òu9 G¢Ýæô�? ëô�? ë�ß : ?�=C9 »4;IG<9pDd9pÒ�; º ¼�Î�»d9 »díEB:G�9�× ø � 7:9 »�Àd¼�;<¼F9 »RÎ�B:BEÊ/Î�;I9¨É�B'Ê#9 G<B�7E9 Ê#ÈdDFBfÑ�Ï-½�Î�; º B'7E9 Î�;VÒu¿d»d7ª;I¼�9 »|½pDÖ�½pDF¿�B:ÎV½pG�B'ÊR¿d7 º Ê/9pG<B Í ¼FÀ�B:D�ËNÎ<È�G<B]½�À/¼�»#7E9 Ê#È|½pG<¼�Î<9 »N;I9¨; º B'Î�Ê�½�DFDFBEG~Ö�½pG�¼�½�;<¼F9 »RÉ�BE; Í B:BE»�Ê#BE; º 98À�ÎÍ ¼�; º ; º B>9p; º B:Gj; Í 9L¼F»d¼l;I¼�½�Dd7:9 »�Àd¼�;<¼F9 »dÎE? ¹'º ¼�ÎC7:½p»£½pD�Î<9�ÉhB�Î<B:BE»£¼F»#; º B�DF¼F»�B]½pG�¼Fí:BEÀ8×^7E9 »4;IG�9 DdG<BEÎ<¿dDl;IÎEÏÍ º ¼�7 º ½pG<B�Ö BEG�Ë*Á 989�À*Òu9pGRÝæô�? ë ô�? ô�ß : ½p»dÀ ÝrÞ ? ô ô�? ô�ß : Éd¿�;>Òa½�DFD�9pÌ�Òu9 G�; º BNÊ/9 G�BN7E9 Ê#ÈdDFBfÑ�7:½pÎ<BN9pÒÝæô�?¤ë¥ô�?¤ëmß : ? � »; º B�7 º B]½�È�È�9 Í B:GQÎ<BEG<¼�B:Î�7:9 »4;<G<9 DÄÏ�; º B�9 »�Bª×¦;<B:G�Ê,Ö BEG<Î<¼�9 »Ð¼FÎ�; º B�Ê#9 Î�;�BEö#7:¼�B:»4;]?

¹'º B�Î�;c½�;<BCÖ�½pG<¼F½pÉdDFBEÎYÒu9pGzÎ<BEDFBE7E;IBEÀ�Ê/Bª; º 9�ÀdÎz½pG<BxÈdDF9p;�;IBEÀR¼F» � ¼FÁ ¿�G<Bxî�Òu9 Gz¼�»d¼�;<¼�½pDpÎ�;c½�;IB�Ýæô�? ë$ô�? ë�ß : ?¹'º B�½pD�Á 9 G�¼�; º Ê/ÎYÈdDF9�;<;IBEÀ3½pG<Bx; º B'7 º B:½pÈ#Èh9 Í B:G�Î<BEG<¼�B:Î�7:9p»-;<G<9 D Í ¼�; º 9p»dBC;IBEG<ÊÐÏp; º B'Î�;c½�»dÀ|½pG�À#È�9 Í BEG

0 1 2 3 4 5 6−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Time

Sta

te V

aria

bles

x

Cheap Power SeriesPlain Power SeriesPlain Online

� ¼FÁ ¿dG�B�î � ����� ����� � � ��� �*) � �+���*� ����� ���� �'� � ��� ��� ���'� � � !��� " � � ����� ��� ,������ ��� � ��� "�� � � .

Î<BEG<¼�B:Î�7E9 »4;IG<9pD Í ¼�; º ; Í 93;<B:G�Ê/ΫÂĽp»dÀ£È�9 DlË8»�9 Ê/¼F½pD|Î<9pDF¿�;<¼F9 »AÇfÏ�½�»dÀ�; º B«Î�;I½p»dÀ|½pG�À9 »dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pD�¿|½�;I¼�9 »7:9p»-;<G<9 DÄ? ¹'º BÐ7:9 »4;IG�9 D�¼F»dÈ�¿�;IÎ�Òu9 G�; º B:Î<BÐÎI½�Ê/BÊ#BE; º 98ÀdÎ#½pG�B*È�G<B:Î�B:»4;IBEÀ1¼F» � ¼�Á ¿dG<BÐï�? � ;�7:½p»É�B#Î�B:BE»�; º ½�;�B]½p7 º 9pÒj; º BEÎ<B#Î<¿d7E7:BEÎ<Î�Òu¿�Dx7E9 »4;IG<9pDFΨÎ�;I½]Ë�½ Í ½]Ë®ÒuG<9 Ê ; º B3ý ù � ã¢Ö�½pDF¿dB Í º B:G<B3; º BÎ�Ë�Î�;IB:Ê É�B:7:9pÊ/BEÎN¿d»�7:9 »4;IG�9 DFDF½pÉdD�BÐÂu; º 9 ¿dÁ º ; º B#Î�;I½p»dÀ|½�G<À�9p»dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pDF¿d½�;I¼�9 »®7:9 »4;<G<9 DV7:9pÊ/BEÎ�ÖpB:G�Ë7:D�9 Î<B]Ǫ? ¹'º B�Ê/Bª; º 9�ÀdÎ Í º ¼�7 º Òa½p¼�D�;I9#Î�;I½pÉd¼FD�¼FíEB«; º B�Î�Ë�Î�;IB:Ê Ê/½�Ë¢ÉhB�B:»�7:9 ¿d»4;<B:G<¼�»dÁ�À�¼�ö#7:¿dDl;^Ë Í ¼�; º; º ½�;Q½pÎ<È�B:7ª;>9�Ò~; º B�ÈdG<9 É�DFB:Ê Í º B:»Ð;IG�Ë8¼�»dÁ�;I93BªÑ8BEG�;>½3Ê#9 G�B¨Èh9 Í B:G�Òu¿�D�7:9 »4;IG�9 D�¼F» �|¿dB:»�7:Bp?

Ô Î<Bª;9pÒLÎ�¼FÊR¿�D�½�;<¼F9 »dÎ Í ½pΣÀd9 »dB Í ¼l; º ¼F»�¼�;I¼F½pD�7:9 »�Àd¼�;<¼F9 »�Ýæô�? ë ô8?¤ë�ß : Ï�½p»dÀ�; º B�½�ÀdÀd¼�;<¼F9 »�9pÒ¿d»d¼lÒu9 G<Êõ»d9p¼FÎ<B ��� Â#"�Ç � � ô � ô ë8? ¹'º B�G<BEÎ<¿dDl;IÎ:Ï�Á ¼�ÖpB:»®¼F» ¹ ½pÉ�DFBRå8Ï�½pDF¼�Á »Ð7:DF9pÎ<B:DlË Í ¼l; º ; º 9 Î�B�9pÒ�; º ½�;

Þmï

Page 22: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

0 1 2 3 4 5 6−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Time

Con

trol

Inpu

t u

Cheap Power SeriesPlain Power SeriesPlain Online

� ¼FÁp¿dG<B�ï � ����� ����� � � ��� �*)(,�����$� ��� ��������� � ) ���� ��� ���'�� � !����" � � ����� ��� ,��������� � ��� "�� � � .

Î<7EB:»|½�G<¼F9 Í ¼�; º 9 ¿�;�»d9 ¼FÎ�BpÏ Í ¼�; º ; º BLBªÑ87EB:È�;<¼F9 »�; º ½�;�; º BNÎ�;c½�»dÀ|½pG�À59 »dD�¼F»dBf×^BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »£7E9 »4;IG<9pDYÒa½p¼�DFμF»®; º B37]½pÎ�B Í ¼l; º »d9 ¼�Î<B�? ¹'º B37 º B:½pÈ�È�9 Í BEG�Î�B:G�¼FB:Î�Ê#BE; º 98À�Âa¿�Î<¼F»�ÁÐ9p»dBR;IBEG<Ê�Ç>¼FΨÎ�;<¼FD�Dz; º B3Ê#9 Î�;BEö#7E¼FB:»4;:?� ��� ��� � � � �N´¢µ� � � � ³��*´ �-�Ô�; º ¼FG<À£BfÑ�½pÊ/È�DFBpÏ�;c½pÓ�B:»ÒuG<9 Ê¥½�È|½pÈ�B:G�É4Ë ��¼�»�Ý{Þ�îmß�Ï�ÀdB:Î�7:G<¼�ÉhBEÎQ½p»Ð½p»dÁ ¿dDF½pGCÊ#9 Ê#B:»4;I¿�Ê¥BE¾�¿d½�;I¼�9 »Òu9 G>½�G<¼�Á ¼FÀ*Éh9�À�Ë Í ¼�; º »d9 »8×^½�ö#»dBR7:9p»-;<G<9 D~¼F»dÈ�¿�;IÎE? ¹'º BRÎ�Ë�Î�;IB:Ê 7:9 »4;c½�¼F»dÎ>; º G<BEBRÎ�;I½�;IBEÎ�½p»dÀ�; Í 97:9p»-;<G<9 D�Î:Ïd¼�»d7:D�¿dÀd¼�»dÁ�Éh9�; º DF¼�»dB]½pG�½p»dÀ º ¼FÁ º D�Ë¢»�9 »dDF¼�»dB]½�G�7:9 »4;<G<9 D�¼�»dÈd¿�;';<B:G<Ê#Î �

÷ø � ù �Qø � ø� û�ý � Âaè4ñ4Ç÷ø � ù ã ø � ø � ø� û ý � Âaè4ó4Ç÷ø� ù ø � ø � û ø � ø �� Â[Þ �������:ø� Ç 9�� � � �� � � � Þ = � Â�ëpô4Ç

��¼F»©ìäÎ�7:9 »4;<G<9 DV½pÈ�ÈdG<94½�7 º ¼FΨÎ�;c½pÉ�¼FDF¼l;^Ë4×^É|½pÎ�B:À�GI½�; º BEG�; º ½p»�ÈhBEG�Òu9 G�Ê�½p»�7:Bª×¦É|½pÎ�B:À�¿dÎ<¼�»dÁ�½£7E9 Î�;�Òu¿d»d7f×;I¼�9 »|½pDÄÏ8Î�9#Òu9pG'9 ¿dG�Èd¿dG�Èh9 Î�B:Î Í B�¼�»-;<G<9�Àd¿d7EB�9p»dBpÏ|Á ¼lÖ BE»ÐÉ4Ë

4 ù Þã 587' 9 ø � � û ø �� û0Þ�ô ø �� û�ý � � û�ý �� = ?A" � Â�ë8ÞmÇ� »!¾-¿|½pÎ�¼lצDF¼F»�B]½pG�¼Fí:¼�»dÁ�; º ¼FÎBªÑ�½pÊ#ÈdD�BpÏ>; º B:G�B�¼Fλd9�7:9p»-;<G<9 D�D�½pÉ�¼FDF¼l;^Ë�¼FÎ<Î�¿dB�½pÎ*¼�»�; º B�Ú|G<Î�;*; Í 9

BªÑ�½pÊ#ÈdD�B:Î Í º B:G<B«ü£ÂaýhÇ ù ôR½�;�Î<9pÊ/B�»d9 »díEB:G<9LýY? òQ9 Í BªÖ B:GEÏd; º B�7:9 »4;<G<9 D�;IB:G�Ê ¼F»�; º B ÷ø� BE¾�¿d½�;I¼�9 »¼FÎ3»d9�;c½pÉdDlËÛ;IG�9 ¿dÉdD�B:Î<9pÊ/BÀd¿dB;I9�¼�;<Î#BfÑ�;IG<BEÊ/B*»d9 »dD�¼F»dB:½pG<¼l;^Ë ? =C9 »4;IG�9 DQ¼F»dÈd¿8;IÎ Í ¼�; º Ê/½pÁ »d¼l;I¿dÀdBÁ G�B]½�;<B:G�; º ½p»�Þ�7:½p» º ½]Ö B¨Ö BEG�Ë£DF½pG<ÁpB«BEÌhB:7ª;IÎ�9 »£; º B�Î�Ë8Î�;IBEÊ À�Ë�»|½pÊ#¼F7:ÎE?�ç�B Í G<¼l;IB>; º B�Î�Ë�Î�;<B:Ê ¼�»

Þ�ñ

Page 23: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

; º B�À�B:Î<¼�G<BEÀ56�بÆQÙ�Òu9 G�Ê¡½pÎ ���� ÷ø �÷ø �÷ø� ��� ù

��� ô ��ø� 5 ã ��ø � 5 ãã ø � ø�

5å ã ø � ø� 5 å ã ø � ø � 5 åø �

5ã ø � 5 ã ô

��� ��� ø �ø �ø� ��� û�ü ý �ý

�� � Â�ë ã Ç

¹'º BN7 º 9 ¼F7EBN9�Ò�ü¥¼�Î>½3Àd¼lö/7E¿dD�;Q9 »�BpÏ�Î<¼F»�7:B�; º B ÷ø� 7:9p»-;<G<9 D�;<B:G<Ê ¼�Î�»d9p;>½/Èd¿dG�BNÈ�9 DlË8»�9 Ê/¼F½pD Í º ¼F7 º7:9p¿dDFÀ*ÉhB�B]½pÎ�¼FDlË£Î<ÈdD�¼�;Q¿dÈ©?*�¨»�BL½pÈ�ÈdG<94½�7 º ¼FÎ';I9/Ê/9�Àd¼lÒ¬Ë�; º ¼FÎ�;IB:G�Ê É4Ë*ÊL¿dD�;<¼FÈdDlË8¼�»dÁ3½p»dÀ*Àd¼�Ö�¼�Àd¼F»dÁ¼�;�É4Ë£ý � ;I939 É�;I½p¼F»

ü ù���� Þ ô

ô Þø � ø �� Â�Þ ��� � �:ø� Ç 9 � � � �� � � � Þ = 5 ý � ô

� �� þ Â�ëpå4Ç

Éd¿�;�; º ¼FÎ º ½�ÎN½�»�¼�» º B:G�B:»4;�ÈdG<9pÉdDFBEÊ ¼F»®7:½pDF7E¿dD�½�;<¼F»dÁü Í º BE»�ý � ½pÈdÈdG�94½p7 º BEÎLô�? �>; º BEG�ÖpB:G�Î<¼F9p»dÎÍ º ¼�7 º Í BEG<B>;<G<¼�B:À�¼�»d7:D�¿dÀdB>½NÎ<¼�Ê/¼�D�½pG�Òu9pG<ÊR¿dDF½�;I¼�9 »�¼F»#;IBEG<Ê#ÎC9pÒ�ý � Ï8½NÒu9 G�ÊR¿dDF½�;I¼�9 » Í º ¼F7 º ¿�Î<B:ÎCÉh9p; º�ÐÎ�ÈdDF¼l;<;I¼�»dÁ3; º ½�;�;IBEG<Ê ÒuG<9 Ê ÂÄëpô4ÇQ¼�»4;I9/; Í 9¢;IBEG<Ê#Î>Î�¼FÊ#¼FD�½�G<D�Ë#;I9/; º B Í ½]Ë*; º BRÎ�;c½�;<BL»d9 »�DF¼F»�B]½pG�¼�;I¼�B:νpG�BLÎ<È�DF¼�;Q¼�»ÛÂ�ëpã Ç �*½p»dÀ�½#Òu9 G�ÊR¿dD�½�;I¼F9p» Í º ¼F7 º Î Í ¼�;I7 º B:ΫÉ�BE; Í B:BE»�; º BN; Í 9�Òu9 G�Ê/ÎEÏAÓpB:BEÈd¼F»�Á�; º BNý

'Ö�½pDF¿�B«Òa½pG�; º B:Î�;QÒuG�9 Ê,íEB:G�9�½pÎ'; º B�9 »dB�É4Ë Í º ¼F7 º ; º B�9pG<¼FÁp¼F»|½pD�;IBEG<Ê¡¼�Î'Àd¼�Ö�¼FÀ�B:À©?

ò�9 Í BEÖ BEG:Ï�»d9p»dBR9pÒ�; º B:Î�BRG<BEÊ/9�ÖpBL; º BNÀd¼�ö#7E¿dD�;^ËÐB:»4;<¼FG<BED�ËpÏhÉd¿8;«Ê#B:G<BED�ËÐÎ<¿�ÈhBEG�Ú|7E¼�½pD�D�ËÊ#98Àd¼lҬˣ¼�;;I9£;<G�Ë5;<9*D�B:Î<Î�B:»�¼�;<Ψ¼FÊ#È|½p7E;:? ç�B37]½p»�½pD�Î<9нpD�;<B:G«; º B3ÈdG<9 É�DFB:Ê Ê/9pG<B�Î<¼�Á »d¼lÚ|7]½p»4;<D�Ë Ï�7EG<B:½�;I¼�»dÁнp»½pÈdÈ�G<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�9 »*;<9�; º BR½p7E;<¿|½pD~Òu9pG<ÊR¿dDF½#Òu9 G>¿dÎ<BR¼�»5Ú|»dÀd¼�»dÁ�; º BR7:9p»-;<G<9 DÄÏ©½p»�À5; º BE»�¼�Ê/È�DFB:Ê#B:»4;<¼F»dÁ; º ½�;«7E9 »4;IG<9pD~É|½�7cÓ*9 »*; º BN9 G<¼�Á ¼F»|½�D©Î�Ë�Î�;<B:ÊÐ?2ç0¼�; º ; º ¼FÎQBªÑ�½pÊ#ÈdDFB�; º ¼�Î Í ½pΫÀ�9 »dBLÉ4Ë Í G<¼l;I¼F»�Á/; º BBªÑ8È�9 »dBE»-;<¼�½pD©;<B:G�Ê ½pÎQ½�Èh9 Í B:GQÎ<B:G�¼FBEÎ:Ï

�� � �� � � ù Þxû!Âuý � ý � Ç � û Þ

ã Âaý � ý � Ç û Þî Âaý � ý � Ç � � � � Â�ë�è-Ç

½p»dÀ®¿�Î<¼F»�Á£9 »dD�Ë; º BRÚ|G<Î�;«; Í 9Ð9pG>; º G�B:BL;<B:G�Ê/Î>;<9½pÈdÈdG�9]Ñ�¼�Ê�½�;IBL¼l;]?¥68¿dÉ�Î�;I¼l;I¿�;<¼F»dÁ/; º BL;<G<¿d»�7]½�;<B:ÀÎ<BEG<¼�B:Î�¼F»4;I9�; º B�Î�Ë�Î�;<B:ÊõG<BEÎ<¿dDl;IÎ�¼F»½�; Í 9�צ;IBEG<Ê ½�ÈdÈdG<9]Ñ8¼FÊ/½�;<¼F9 »¢9�Ò

ü ù��� Þ ô

ô Þø � ø �� Â[Þ �������:ø� Ç�ý � ý �� 5 ã ø � ø �� Â�Þ ��� ���]ø� Ç[ý � � ý � 5 ã ��� þ Â�ë ë Ç

9 G�½�; º G�B:Bfצ;IBEG<Ê ½�ÈdÈdG<9]Ñ8¼FÊ/½�;<¼F9 »¢9�Ò

ü ù��� Þ ô

ô Þø � ø �� Â[Þ �������:ø� Ç:Âuý � ý �� û ý � � ý � 5 ã Ç 5 ã ø � ø �� Â[Þ � �����:ø� Ç:Âuý � � ý � û ý � ý �� 5 ã Ç 5 ã ��� � Â�ëpî4Ç

 � »â; º BEÎ<B�Òu9 G<ÊL¿dD�½�;<¼F9 »�Î�; º B�7:9p»-;<G<9 D¨;<B:G<Ê º ½pÎÐÉhBEB:»!Î�ÈdDF¼l;¼F»4;I9�ÊR¿dDl;I¼�ÈdDFB5Èd½pG�;<Î:Ϩ½pÎ; º B�Î�;c½�;<BÀ�Ë�»|½pÊ#¼F7EÎQ;<B:G�Ê/Î º ½]Ö BNÉhBEB:»5¼�»�B:¾-¿|½�;I¼F9p»ÛÂ�ëpã ÇªÏ|;I9#Î<È�G<B]½�À�; º BNBEÌhB:7ª;IÎ�Òu¿�G�; º B:G>9�ÖpB:G�; º B � ½p»dÀ�üÊ/½�;IG�¼F7:BEÎ:? Ç ¹'º ¼�Î�½pDl;IB:G<½�;I¼�9 »#9pÒ©; º B>ÈdG�9 ÉdDFBEÊð7:G�B]½�;<B:Î'½�Àd¼�ÌhB:G�B:»4;'½pÈ�ÈdG<94½�7 º Í º ¼F7 º Ê#¼FÁ º ;jÉ�B>Ê#9 G<BÎ�;I½pÉdD�B«; º ½p»; º B�Öp9 D�½�;I¼FD�B>9 G�¼FÁ ¼�»|½pD�Òu9 G<ÊÐ?

68¼FÊL¿dD�½�;<¼F9 »�Î Í B:G�B#G�¿d»�¿dÎ<¼�»dÁ½p»®¼�»d¼�;<¼�½pD�Î�;I½�;IB�9�Ò ø�ù Ý{Þ ×cÞ¡×cÞEß : Ï Í ¼l; º B:½p7 º 9�Òj; º B�7:9p»-;<G<9 D½pD�Á 9 G<¼l; º Ê Ö�½pG�¼�½�;<¼F9 »dÎE?õØ«¿dBR;I9£; º BR;^Ë�ÈhB39pÒx7:9 »4;<G<9 D�»d9p»dDF¼�»dB]½pG�¼�;^Ë º BEG<B º ½]Ö�¼F»dÁÀd¼lÌ�BEG<B:»4;�¼�Ê/ÈdD�Bª×Ê#B:»4;c½�;<¼F9 »3½�»dÀ37:9 »4;IG�9 DFDF½pÉd¼�DF¼�;^Ë«¼FÎ<Î�¿dB:ÎEÏ�½pÎ�ÀdB:Î�7:G�¼FÉ�B:À/½pÉh9�ÖpBpÏ4; º B'G�B:Î�¿dD�;<Î Í B:G�B�¾�¿�¼�;IB'À�¼�ÌhB:G<BE»4;�ÒuG<9 Ê; º B¨ÈdG<BªÖ8¼�9 ¿dÎ'BfÑd½�Ê/ÈdD�B:ÎE?�Ô�DFD�9�Ò~; º B¨»d9 »8צ7 º B]½�ÈÐ7E9 »4;IG�9 D�½pDFÁp9 G<¼l; º Ê#ÎjÒa½�¼FDA;I93Î�;I½pÉd¼FD�¼FíEB�; º B¨Î�Ë�Î�;<B:ÊÐÏ

Þ�ó

Page 24: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

Í º ¼�DFBL; º B�7 º B]½�È�7E9 »4;IG<9pD�Ê/Bª; º 9�ÀdÎ º ½]ÖpB#Ê#9 G�BRÎ<¿d7E7:BEÎ<Î:Ï~ÈdG<9pÉ|½pÉdDlË�Àd¿�B3;<9£; º B�Ê#9�Ö B:Ê#B:»4;�9pÒj; º BBªÑ8È�9 »dBE»-;<¼�½pD�ÒuG<9 Êð; º B«7:9p»-;<G<9 D�;I9L; º B«Î�;c½�;<B>À�Ë�»|½pÊ#¼F7EÎ�G<BEÀd¿d7E¼F»dÁR¼l;IÎj;IG<9p¿dÉdDF¼�»dÁLBªÌ�BE7E;<Î:? ¹ G�Ë�¼F»dÁL;<97:9p»-;<G<9 DY; º BNÎ�Ë�Î�;<B:Ê ¿�Î<¼F»�Á�; º BNBªÑ8È�9 »dB:»4;<¼�½pD~»d9 »dD�¼F»dB:½pG<¼l;^ËнpÎ>¼�Î>ÈdG�9mÖpB:À®;I9�ÉhBNÊ/9 Î�;IDl˼F»dBªÌ�BE7E;I¼lÖ B�ÏÍ º ¼�DFB/; º B¢¿dÎ�B£9pÒQ½5È�9 Í B:G�Î�B:G�¼FB:ÎR½pÈdÈdG�9�Ñ8¼�Ê�½�;<¼F9 »�Òu9 GN; º ½�;�»�9 »dDF¼�»dB]½�G<¼�;^Ë�¼�»�Ú|»dÀ�¼F»dÁ�; º B£7:9p»-;<G<9 D¼FÊ#ÈdG�9mÖpB:À ; º ¼�»dÁ Î�Î�¼FÁ »d¼lÚ|7]½�»-;<D�Ëp? ¹'º B7:9pÎ�;#Òu¿d»d7E;<¼F9 »d½pDCÖ�½pDF¿�B:ÎRÒu9 G�; º BÐÎ�¿d7:7EB:Î�Î�Òu¿dDQÊ/Bª; º 9�ÀdÎ#½pG�BÁ ¼lÖ B:»®¼�» ¹ ½pÉdD�BRèdÏ©½�DFÎ<9/»d9p;<¼F»dÁ�; º BLÎ�ÈhBE7:¼lÚ|7RÒu9 G<Êõ9pÒVBfÑ8Èh9 »�B:»4;I¼F½pDz¿dÎ�B:À®¼�»5B]½p7 º Ê#BE; º 98À�? ¹'º B:G�B

¹ ½pÉdD�B¨è;� ��� � � ) � � ,���+������������� ��� � ) ��� ��� � ,������ ��� ��� ����� ��� "�� � ���� ��� ���'� � "���� .á BE; º 98À =C9 Î�; =C9 Î�; Í ¼�; º ÃQ9 ¼FÎ�B= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂ[Þ�;<B:G<ÊÐÏdý � Òu9 G<Ê�Ç å4ã8? å å ÂuÒa½p¼�DFÎIÇ= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂÄã�;<B:G<Ê#Î:Ï�ý � Òu9 G�梂 è-ã8? ô î ÂuÒa½p¼�DFÎIÇ= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂaå3;<B:G<Ê#Î:Ï�ý � Òu9 G�梂 î�Þ ?lÞmï ÂuÒa½p¼�DFÎIÇ= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂ[Þ�;<B:G<ÊÐÏ©ÞE×�;IBEG<Ê¥Òu9pG<Ê�Ç å4ã8? ñ ñ å ã8? èpè= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂÄã�;<B:G<Ê#Î:Ï�ÞEצ;<B:G<Ê Òu9 G<Ê�Ç å ó�? ïpó è ñ�? ñ ë= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂaå3;<B:G<Ê#Î:Ï�ÞEצ;<B:G<Ê Òu9 G<Ê�Ç ãpó�? å å å8Þ ? ôpå= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂ[Þ�;<B:G<ÊÐÏAãm×�;IBEG<Ê¥Òu9pG<Ê�Ç åpèd?äè-ï å�èd?�Þ]ó= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂÄã�;<B:G<Ê#Î:Ï|ãmצ;<B:G<Ê Òu9 G<Ê�Ç ãpñ�?lÞmë ÂuÒa½p¼�DFÎIÇ= º B]½pÈ*Ü~9 Í B:G>68B:G�¼FB:ÎNÂaå3;<B:G<Ê#Î:Ï|ãmצ;<B:G<Ê Òu9 G<Ê�Ç ãpñ�? å4ï ã�ó�? å8Þ= º B]½pÈ �«»dDF¼�»dB¨Ù�Ö�½pDF¿|½�;I¼F9p»�Â�ÞE×�;IB:G�Ê¥Òu9 G�梂 ñ�? ñ4ï ñ8? ñ ô= º B]½pÈ �«»dDF¼�»dB¨Ù�Ö�½pDF¿|½�;I¼F9p»�Â�ãm×�;IB:G�Ê¥Òu9 G�梂 î�? ó�Þ ñ8?¤ï ï

½pG�BR»d9DF¼�»dB]½pG�¼FíEB:À8צ7:9 »4;IG�9 D�G<BEÎ<¿dDl;IΨ¼F»*; º ¼�ΫBªÑ�½pÊ#ÈdDFBLÉhBE7]½p¿dÎ�B�; º BRBfÑ�;IG<BEÊ/BED�Ë�»d9 »dD�¼F»dB:½pG>»|½�;I¿dG�BR9pÒ¼�;>Ê�½�ÓpB:Ψ¼�Ê/È�9 Î�Î<¼FÉ�DFB�; º BRÚ|»�Àd¼F»dÁ£9�ÒC½�Ö�¼F½pÉdDFBN7:9 »4;<G<9 Dz; º G<9p¿dÁ º DF¼�»dB]½�G<¼Fí:½�;I¼�9 »*½pΫ¼F»5; º BRÈdG�BEÖ�¼F9p¿dÎÎ<BE7E;<¼F9 »dÎE?

¹'º B>Òu9 D�DF9 Í ¼F»�Á�ÖpB:G�Î<¼F9p»dÎC9pÒ�; º B�7 º B]½pÈ£È�9 Í BEGCÎ�B:G<¼�B:ÎxÊ/Bª; º 9�À º ½]ÖpB>; º B�»d9 G�Ê 9�Ò©; º BE¼FGjG<BEÎ<¿dDl;I¼F»�ÁÎ�;I½�;IB�Ö BE7E;<9 G<Î�ÈdDF9p;�;IBEÀ*¼�» � ¼�Á ¿dG�BNñ �0; º ½�;Q¿dÎ�¼F»dÁ#; º B�ý

�Òu9 G�Ê 9pÒz; º B�BªÑ8Èh9p»dB:»4;I¼F½pD�;IBEG<Ê ÂĽ�»dÀ�9 »�B

;IBEG<Ê ¼F»�; º BÐ6�بÆ�Ù�B:¾-¿|½�;I¼F9p»ÛÈh9 Í B:G3Î<BEG<¼FBEÎ�BªÑ8È|½p»�Î<¼F9p»AǪÏ�; º B£9 »dBª×�;IBEG<Ê BfÑ8Èh9 »�B:»4;I¼F½pDCBfÑ�Èd½p»dÎ<¼�9 »Â Í ¼l; º ; º G<BEB36�بÆQÙ1Î<BEG<¼FBEÎ>;IBEG<Ê#ÎcÇfÏ©½p»dÀ*; º BL; Í 9�×�;IB:G�Ê BfÑ8Èh9 »�B:»4;I¼F½pD~BfÑ8È|½p»dÎ�¼F9 »�Â Í ¼�; º ; Í 9Ð68بÆ�ÙÎ<BEG<¼�B:΢;IBEG<Ê#ÎcÇf? Ô>D�Î<9ÛÈdD�9p;<;<B:À0½pG�B�; º B®7 º B]½pÈ09 »�DF¼F»�Bª×^BªÖ�½pDF¿|½�;I¼F9p»�Ê#BE; º 98À�Î Í ¼�; º 9 »dB�½p»dÀ1; Í 9BªÑ8È�9 »dBE»-;<¼�½pD�BªÑ8È|½�»dÎ<¼�9 »¢;IBEG<Ê#Î:? ¹'º B>7:9 »4;IG�9 D�¼F»dÈd¿8;IÎxÒu9pGx; º B:Î<B>Ê/Bª; º 9�ÀdÎx½pG<B�Î º 9 Í »¼F» � ¼FÁ ¿�G<B�ó�?

Ô>Dl; º 9 ¿�Á º ; º B:G<B*¼FÎ/Î<9 Ê#B*Ö�½pG�¼�½�;<¼F9 »�ÉhBª; Í BEB:»�; º B�Àd¼lÌ�BEG<B:»4;�¼FÊ#ÈdDFBEÊ/BE»-;I½�;I¼�9 »dÎ39pÒ«; º B57 º B:½pÈÈ�9 Í B:G�Î�B:G<¼�B:ΨÊ#BE; º 98À�Ï�; º B�7 º B]½pÈ�9 »dD�¼F»dBf×^BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »ÐÊ/Bª; º 9�ÀdΨÈdG�98À�¿d7:B�ÀdG<½pÊ/½�;I¼�7]½pD�D�ËÊ#9 G<BRBªö�×7:¼�B:»4;«G�B:Î�¿dD�;<Î>; º ½�;¨½p»4Ë*9pÒ�; º BEÊ*? ¹'º BRÈ�9 Í BEG«Î<BEG<¼FBEΨ½pD�Á 9 G<¼l; º Ê#Î�Î<BEB:Êõ;I9 º ½]ÖpB3½�È|½p¿dÎ�BR9pÒ�Î�9 G�;<μF»5; º B37:9 »4;<G<9 DÄÏ�½pΨ; º B Í ½]Ë®; º 9pÎ<B�È|½pG�;I¼�7:¿dDF½pG«Ê#BE; º 98ÀdΨ¼�»4;IB:G<½p7E; Í ¼l; º ; º ¼FΨBfÑd½�Ê/ÈdD�BpìäΨÀ�Ë�»|½pÊ#¼F7EÎÎ<BEB:Ê#¼F»dÁpD�Ë�D�B]½pÀ�ÎR;I9�; º B7:9p»-;<G<9 D'¼�» �|¿dBE»d7:BÐÉ�B:¼F»�Á�½�ÈdÈdDF¼�B:ÀÛÁ G<½pÀd¿|½�DFD�ËpÏ Í ¼�; º Î�9 Ê/B9pÒQ; º BÐÊ/½ 2�9 GBEÌhB:7ª;IÎj»d9p;j½pÈ�ÈhB:½pG<¼�»dÁ�¿d»4;I¼FD8; º G�B:BQ9 G�Òu9 ¿dG�Î�B:7:9p»dÀdÎC¼�»4;I9¨; º B�Î�¼FÊR¿dDF½�;I¼�9 »©? � »/7E9 »4;IGI½�Î�;]Ï-; º BQ9p»dDF¼�»dBª×BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »37:9p»-;<G<9 D�Î º ½]ÖpB«½NÉ�¼FÁ Á BEGx¼�»d¼�;<¼�½pD8Éd¿dG�Î�;�9�Ò�7:9 »4;<G<9 DA¼F» �|¿dB:»�7:BpÏ Í º ¼F7 º DFB]½�ÀdÎj;<9N; º B>Î�Ë8Î�;IBEÊÉ�B:¼F»�Á>D�½�G<Á BED�˨Î�;c½pÉd¼�DF¼�í:B:ÀN½�Ò¬;<B:Gz9p»dD�Ë�9 »�BC9 G�; Í 9¨Î�B:7E9 »dÀdÎE? �>Ò|; º BxÀd¼�ÌhB:G�B:»4;�½pÈ�ÈdG<94½�7 º B:Îz;<9�;<G<B]½�;I¼F»�Á; º B«BªÑ8È�9 »dB:»4;<¼�½pDh7:9 »4;IG�9 D�»d9 »dD�¼F»dB:½pG<¼l;^Ë Ï-; º BQ; Í 9�×�;IBEG<Ê,È�9 Í BEG�Î<BEG<¼�B:Î'½pÈ�ÈdG<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�9 » Í ½pÎ�; º B«Ê#9 Î�;BEÌhB:7ª;I¼lÖ B�Òu9 G«É�9p; º ; º B#6�بÆQÙ�È�9 Í B:G�Î�B:G<¼�B:Î�½p»�À�9p»dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pDF¿d½�;I¼�9 »�½�DFÁ 9 G�¼�; º Ê/ÎE? 6�;<GI½p»�Á B:DlË�; º BÉ�B:Î�;�7 º 9 ¼�7:B�Òu9 G�»-¿dÊRÉ�B:GQ9pÒ�;IBEG<Ê#Î�¼F»; º B�Èh9 Í B:G�Î<B:G�¼FBEÎ�G�B:ÈdG�B:Î<BE»4;I¼F»�Á�; º BL6�بÆQÙ$Î<9pDF¿�;<¼F9 »£Ö�½pG<¼�B:À©ÏÍ ¼�; º ½RÀd¼�ÌhB:G�B:»4;'»-¿dÊRÉ�B:G'È�G<9�Àd¿d7:¼�»dÁR; º B«DF9 Í B:Î�;�7E9 Î�;'Òu9pG�B]½p7 º Àd¼lÌ�BEG<BE»-; Í ½]Ë¢9pÒYÀdB:½pDF¼�»dÁ Í ¼l; º ; º BBªÑ8È�9 »dBE»-;<¼�½pDÄ? ¹'º BLÎ<¿d7E7:B:Î�Î�9pÒ�; º BN9 »dD�¼F»dBf×^BEÖ�½pD�¿|½�;<¼F9 »Ê#BE; º 98À*Ê�½]ËÐÉhBLÈ|½pG�;<D�Ëн�7E9 »dÎ�B:¾-¿dB:»�7:B39pÒ

ãpô

Page 25: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

14

16

Time

Nor

m o

f Sta

tes

xTQ

x

Cheap Power (u2 form)

Cheap Power (1−term form)Cheap Power (2−term form)Cheap Online (1−term form)Cheap Online (2−term form)

� ¼�Á ¿dG<B�ñ � ����� ������� � ��� �*) � � ����� ����� ���� �'� � ��� � ��� ���'�� "�� �� !����" � � ����� ��� ,�����$� ��� � ����"�� � � .

0 2 4 6 8 10−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Time

Con

trol

Inpu

ts u

Cheap Power (u2 form)

Cheap Power (1−term form)Cheap Power (2−term form)Cheap Online (1−term form)Cheap Online (2−term form)

� ¼FÁ ¿dG�B�ó � ����� ����� � � ��� �*)(,������ ��� ������� � � ) ���� ��� ���'�� "�� �� !��� " � � ����� ��� ,������ ��� � ����"�� � � .

ã8Þ

Page 26: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

; º ¼FÎ�BfÑd½�Ê/ÈdD�B�»d9p;V7E9 »4;c½p¼�»d¼F»�Á¨½«7:9 »4;<G<9 D�D�½pÉd¼�DF¼l;^˨À|½p»dÁpB:GV½pÎ�; º B'ÈdG<BªÖ�¼F9 ¿dÎ�; Í 9�Àd¼FÀ�Ï Ê�½�Ó�¼�»dÁ«¼l;�B]½pÎ�¼FBEGÒu9 GV; º ½�;xÖpB:G<Î�¼F9 »/9pÒ©; º B«68بÆ�Ù�Ê#BE; º 98À#;I9N7:9 »dÎ�;IG�¿d7E;�½NÎ�;<G<9 »�ÁL7:9p»-;<G<9 DA¿dÎ�¼F»dÁND�½pG�Á B�¼F»d¼l;I¼F½pDd7:9p»-;<G<9 D¼F»�Èd¿�;'Ö�½pDF¿�B:Î:?

Ô>ÎQ¼F»£; º BNÈdG�BEÖ�¼F9p¿dÎ'; Í 9/BªÑ�½pÊ#ÈdDFBEÎ:Ïd; º B:Î<B�Î<¼�ÊR¿dDF½�;I¼�9 »dÎ'½pG�B�G<B:È�B]½�;IB:À Í ¼�; º ½�»�½pÀ�ÀdB:À*¿d»d¼�Òu9pG<Ê»d9 ¼�Î<B�Ï ��� Â#"�Ç � � ô ��ÞpÏd¼F»£; º BNÎ�Ë8Î�;IBEÊ À�Ë�»|½pÊ#¼F7:ÎE? ¹'º B�7:9 Î�;�Öp½�DF¿dBEÎ�Òu9 G'; º BEÎ<B�Î<¼FÊL¿dD�½�;<¼F9 »�Î�½pG�B�Áp¼�Ö BE»¼F» ¹ ½pÉ�DFBC諽pÎ Í B:DFDÄ? ¹'º BC9 »dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pD�¿|½�;I¼�9 »�7:9 »4;<G<9 D�Î�½pÁ4½p¼�»LÈ�B:G�Òu9 G<Ê�ÊR¿d7 º É�BE;�;IBEGz; º ½�»R; º B�È�9 Í BEGÎ<BEG<¼�B:ÎL7E9 »4;IG�9 DFÎE? ¹'º BEG<B£½pG�B/7 º ½p»dÁ BEÎR½pÊ#9 »dÁ; º B#Àd¼lÌ�BEG<B:»4;NÊ/Bª; º 9�ÀdÎEÏ~; º 9 ¿dÁ º �â; º B/ý

�Òu9 G�Ê 9pÒ

; º B/BfÑ�È�9 »dBE»4;I¼�½�D�»d9 Í Òa½p¼FD�Î>;I9ÐÈdG�98Àd¿�7:B/½Ö�¼�½�ÉdDFB�7E9 »4;IG<9pD�ÏY½p»dÀ�; º B#7 º B:½pÈ�È�9 Í BEGNÎ�B:G<¼�B:Î�7:9 »4;<G<9 D�ÎÍ ¼�; º ; Í 9�;<B:G<Ê#Î#G<B:È�G<B:Î�B:»4;I¼�»dÁ�; º B®6�بÆQÙ2É�9p; º ½pG<BÐÊR¿d7 º DFB:Î�Î/BªÌ�BE7E;<¼�Ö BÐ; º ½�»�; º BEË º ½pÀ�ÉhBEB:»Í ¼�; º 9 ¿�;x; º B>»d9 ¼FÎ�Bp? ¹'º 9 ¿dÁ º ; º B>Òu9 G�Ê 9�Ò�; º B�9 »dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pD�¿|½�;I¼�9 »37:9 »4;<G<9 D Í ¼�; º ; Í 9R;<B:G<Ê#ÎxÒu9pGx; º BBªÑ8È�9 »dBE»-;<¼�½pDV¼�ΨÎ�;I¼�DFDz; º B#Ê/9 Î�;�BEÌhB:7E;<¼�ÖpBpÏz¼l;�½pDFÎ�9¼FÎ�G<BEÀd¿d7:BEÀ�Î<9pÊ/B Í º ½�;�¼F»�7:9 Ê#È|½pG�¼FÎ�9 » Í ¼�; º ; º B9 »dBfצ;<B:G<Ê¥Ö B:G�Î<¼�9 » Í º ¼F7 ºÐº ½p»dÀdD�B:Î'; º B�»�9 ¼FÎ�B¨B]½pÎ�¼FD�Ëp?� ¸3µ#²®¸ �x· �±mµ#² ¹'º B�;IBEÎ�;QÈdG<9pÉdDFBEÊ/Î'Î�;I¿dÀd¼�B:À©Ï|B:½p7 º »�9 »dDF¼�»dB]½�G�¼F»É�9p; º ; º B�Î�;c½�;<BN½�»dÀ*7E9 »4;IG�9 D�Ï Í B:G�BNB:½p7 º Î�¿d7:7EB:Î�Î�×Òu¿dD�D�Ë*Î�;c½�Éd¼FD�¼Fí:BEÀ®É4Ë5Ö BEG<Î<¼�9 »dÎ�9pÒj; º B3Î�;I½�;IBf×^ÀdBEÈhBE»dÀdBE»-;LÆ�¼F7:7:½�;I¼zB:¾-¿|½�;<¼F9 »�É|½pÎ�B:À�ÒuB:BEÀdÉ|½p7cÓ�7:9p»-;<G<9 DÊ#BE; º 98À©? ¹'º B/Èh9 Í B:GRÎ�B:G�¼FB:ÎNÊ/Bª; º 9�À©Ï Í ¼�; º ½�7 º B:½pÈÛ7:9 »4;<G<9 DVÒu9 G<ÊL¿dD�½�;<¼F9 »®Ê#9�Ö�¼F»dÁÐ; º B/»d9 »dD�¼F»8×B]½�G<¼�;<¼FBEÎ3½pDFD�¼�»4;I9�; º BÐÎ�;I½�;IBÀ�Ë�»|½pÊ#¼F7EÎ:Ï Í ½pÎ3; º B*Ê#9 Î�;#7E9 »dÎ<¼�Î�;<B:»4;�Ê#BE; º 9�À�9�Ö BEGI½pD�D�ÏjÎ<¿d7E7:BEÎ<Î�Òu¿�DFD�Ë7:9p»-;<G<9 D�DF¼�»dÁ�½�DFD�; º G�B:BR;IBEÎ�;¨È�G<9 ÉdD�B:Ê#Î:? ¹'º B�7 º B]½pÈ�7:9p»-;<G<9 DYÖ BEG<Î<¼�9 »�9pÒ�; º BR9 »dD�¼F»dBR6�بÆ�Ù�BªÖp½�DF¿|½�×;I¼�9 »#Ê/Bª; º 9�À Í ½pÎ�ÊL¿d7 º Ê#9 G<BQBEö#7E¼FB:»4;j; º ½�»�; º BQ9p; º B:G�Î�½�;j7:9p»-;<G<9 D�DF¼�»dÁ�Ù�Ñ�½pÊ#ÈdD�B ¹'º G�B:B�Ï�Éd¿�; Í ½pÎÖ�¿dDF»�B:GI½�ÉdDFB«;<93Òa½�¼FDF¿�G<B Í ¼l; º ; º B�9p; º B:G'; Í 9/BfÑ�½pÊ/È�DFB:ÎE?� »/D�¼FÁ º ;�9�Ò�; º B:Î�B�G�B:Î�¿dD�;<Îj»�9�9p»dB�Î<È�B:7:¼lÚ|7�Ê/Bª; º 9�À3½pÈdÈ�B]½�G<Î�;I9�É�B�½�»#9pÉ-Ö�¼�9 ¿dÎ�É�B:Î�;j7 º 9p¼F7:B�? � 9 GÈdG�9 ÉdDFBEÊ/Î Í º ¼�7 º Ê/½]Ë º ½]Ö B�Àd¼�ö#7:¿�D�;I¼�B:Î Í ¼�; º 7E9 »4;IG�9 DFDF½pÉd¼FD�¼�;^ËN½�;j7:BEG�;I½p¼F»#Èh9p¼F»4;IÎEÏ-; º B:Î�B>Î�¼FÊR¿dDF½�;I¼�9 »dÎÎ<¿�Á Á B:Î�;~; º ½�;�; º BjÊ#9 G�BjÎ�;c½pÉ�DFB�7 º B:½pÈRÈ�9 Í B:GYÎ<BEG<¼�B:Î�Ö BEG<Î<¼�9 »L9�Ò8; º B�68بÆ�Ù�Ê#BE; º 9�À�¼�Î�ÈdG<9 Éd½pÉdD�Ë>ÉhBEÎ�;:ÏÍ º ¼�DFB�Òu9 G�ÈdG�9 ÉdDFBEÊ/Î Í ¼l; º 9p¿�;�Î<¿d7 º ½�7E9 »d7EB:G<»�Ïp; º BV7 º B:½pÈL9p»dDF¼�»dBª×¦BEÖ�½pDF¿d½�;I¼�9 »�ÖpB:G<Î�¼F9 »NÊ/¼�Á º ;�É�BxÊ#9 G<BBEö#7E¼FB:»4;:? ¹'º B«Òu9 G<Ê#¼F»dÁ�9pÒY½R7 º B:½pÈ£7:9p»-;<G<9 DhÎ�Ë�Î�;<B:Ê,;<9RÊ#9mÖpB¨½p»4Ë¢7E9 »4;IG�9 D�»d9p»dDF¼�»dB]½pG�¼�;<¼FB:ÎV¼�»-;<9L; º BÎ�;I½�;IB'À8Ë8»d½pÊ/¼�7:Î�Î�B:BEÊ/Î�;<9«ÉhB�½«¾-¿d¼l;IB º B:DFÈ8Òu¿dD8;<989 D�¼F»�È�G<B:Èd½pG<¼�»dÁ>; º B'Î�Ë�Î�;<B:Ê2Òu9 G�6�بÆ�Ù�G<BEÁ ¿dDF½�;I¼�9 »©?¹'º B�Àd¼�ÌhB:G�B:»4;'68بÆ�Ù�7E9 »4;IG�9 D|Öp½�G<¼�½�;I¼F9p»dÎ�Î º 9p¿dDFÀ#ÉhBQÓpBEÈ�;�¼�»/Ê#¼F»�À Í º B:»£½pÈ�ÈdG<94½�7 º ¼F»dÁ�; º BQ7:9p»-;<G<9 D9pÒ�½*»d9 »dD�¼F»dB:½pGNÎ�Ë�Î�;IBEÊ 9pÒC; º B#;^Ë8È�B¢Î�;I¿dÀd¼�B:À º BEG<B�? Ô>À�Àd¼�;<¼F9 »|½�D�9 È�;I¼�9 »dÎL½pG<B�½pDFÎ�9�7:9p»-;I½p¼F»�B:À�¼�»; º B:Î<B#Ê#BE; º 98ÀdÎEÏ~Î�¿d7 º ½�Î�; º B#»�¿�ÊRÉhBEG�9pÒC;<B:G<Ê#Ψ;I9¿dÎ�B/¼�»�; º B3Èh9 Í B:G�Î<B:G�¼FBEÎL½pÈ�ÈdG<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�»dÁ¢; º B6�بÆQÙ�Á4½p¼�»3Ê�½�;<G<¼{Ñ�Ïp9 G�; º B Í ½�Ë�;<9 Í G�¼�;<B�½�7:BEG�;I½p¼F»3BªÑ�½pÊ#ÈdD�BQ¼�»�; º B�¾-¿|½pÎ�¼l×^D�¼F»dB:½pG<¼�í:BEÀ#6�بÆ�Ù�Òu9 G<ÊÂa¼�»d7:D�¿dÀd¼�»dÁ Í º Bª; º BEGz;I9¨Ê/½pÓ�B�½pDl;IB:G<½�;I¼�9 »dÎ�;I9>; º B�Î�Ë8Î�;IBEÊð½pÎ Í ½pÎ�Àd9p»dB�¼F»LÙzÑd½�Ê/ÈdD�B ¹'º G�B:B]Ǫ? ¹'º BEÎ<B9 È�;<¼F9 »�Î�7:½p»�É�BL¿dÎ�B:À�½pÎQÎ<BEB:Ê#Ϋ½pÈ�ÈdG<9 È�G<¼�½�;IB�Òu9 G�Î�ÈhBE7:¼lÚ|7R½pÈ�ÈdDF¼�7]½�;<¼F9 »dÎEÏA½pÎ�; º BE¼FGQBEÌhB:7E;<Î Í ¼FD�D©Ö�½pG�ËÒuG<9pÊ,Î�Ë�Î�;IB:Ê ;<9#Î�Ë�Î�;IBEÊ*?

Ø«B:Î�Èd¼�;<B�; º BEÎ<B®¿d»d½p»dÎ Í B:G�B:Àâ¾-¿dB:Î�;I¼F9p»dÎ:Ï�; º B®6�بÆ�ÙzצÉ|½pÎ<BEÀ�Ê/Bª; º 9�Àd΢È�B:G�Òu9 G<Ê#B:À Í BEDFD�? � ¿8×;I¿�G<B�G<BEÎ<B:½pG<7 º ÈdD�½�»dΫ¼F»*; º ¼�Ψ½pG<B:½¢¼F»d7EDF¿dÀ�BL; º B3½�ÈdÈdDF¼�7]½�;<¼F9 »*9pÒV; º ¼�Ϋ7:9p»-;<G<9 DY;IBE7 º »d¼F¾-¿dB�;<9 º ¼FÁ º B:G�×Àd¼�Ê/BE»dÎ<¼�9 »|½pD�Î�Ë�Î�;IBEÊ/Î�; º ½�»�; º 9 Î<B/Àd¼FÎ�7:¿dÎ�Î<B:À�¼F»�; º ¼�ÎNÈ|½�ÈhBEG:Ï~½pÎ Í B:D�Dj½pÎNÈ�9 Î�Î<¼FÉ�DFB Í 9pG<Ó�9 »�¿dÎ<¼�»dÁ½p»�6�بÆQÙ�צÉ|½pÎ�B:ÀÊ/Bª; º 9�À¼F»7:9pÊRÉd¼F»d½�;I¼�9 » Í ¼�; º 9�; º BEGQ7E9 »4;IG�9 D�Ê/Bª; º 9�ÀdÎEÏdÎ<¼�Ê/¼�D�½pGj;I9�; º ½�;�¼F»�Ý{Þ�ï�ß�?¹'º BNÁ 94½pD©Òu9 G'; º ½�;�¼F»4Ö BEÎ�;I¼�Á4½�;<¼F9 » Í 9 ¿dDFÀ*ÉhB�;I9/7:9 ÊLÉd¼F»dB�Ê#BE; º 98À�Î�¼�»*Î�¿d7 º ½ Í ½]Ë; º ½�;�; º BLÎ�ÈhBEB:À½p»dÀ�BEö#7E¼FB:»�7EËÛ9pÒQ; º BÐ9pÈ�;I¼�Ê�½pD�¼�;^Ë4צ; º B:9pG�Ë4×^É|½�Î<B:ÀÛ6�بÆ�Ù2½pDFÁ 9pG<¼�; º Ê#ÎL½pG�BD�½pG�Á B:DlË�G�BE;c½�¼F»dBEÀ Í º ¼FDFB; º B«Î�;I½pÉd¼FD�¼�;^Ë#½p»�À£G<9 Éd¿�Î�;I»�B:Î<Î�ÈdG�9 È�B:G�;<¼FBEÎC9pÒ~½LÀd¼lÌ�BEG<BE»-;'½pDFÁ 9pG<¼�; º Êð½pG�B«Ê#B:G<ÁpB:À£¼F»4;<9R¼�;C½pÎ Í B:D�D�Ï�Î�9; º ½�;�; º B�Î�;<G<9 »�Á/7E9 »4;IG<9pD�ÈhBEG�Òu9 G�Ê�½p»�7:B�¾-¿|½pDF¼l;I¼�B:Î�»d9�;IB:ÀмF»; º B�BfÑ�½pÊ/È�DFB:ÎQ½pÉ�9�Ö B�7]½p»ÐÉ�B�BfÑ�;IB:»�ÀdB:ÀÍ ¼�; º 7:9 »�ÚdÀdB:»d7EBL9�Ö BEGQ½#ÊR¿�7 º ÉdG�94½pÀdBEG'Àd9 Ê/½p¼F»�?

ã ã

Page 27: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

´ � ���>´ �¨²�¸��� ÝrÞ:ßNÜ~B:½pG<Î�9 »©Ï���?�ØR?lÏ���Ô>È�ÈdG<9]Ñ8¼FÊ/½�;I¼�9 » á Bª; º 9�ÀdÎ�¼F» �«È�;<¼FÊ/½pDz=C9 »4;IG<9pD�Ï ���p9 ¿�G<»|½pDz9pÒxÙVD�B:7ª;IG<9p»d¼F7EÎ

½p»dÀ*=C9 »4;IG�9 D�Ï��V9 D�Þ�å�ÏdÈ�È©?|è-ëpå�צè4î4ë£Â[Þ�ó î4ã Çf?Ýäã�ßLà�½�G<GI½�G<À©Ï�ç�?(��?lÏ á 7�=CDF½pÊ#G<9�7 º ÏAÃN?Aò�?�ÏA½p»�À5=CDF½pG<ÓAÏ(��?�à3?lÏ.��Ô�»*Ô�ÈdÈdG�94½p7 º ;<9¢6�¿dÉ8× �«È�;<¼FÊ/½pD� B:B:À�É|½p7cÓ�=C9 »4;IG<9pD~9pÒjÃQ9 »8צDF¼F»�B]½pGQ6�Ë�Î�;IB:Ê#Î:Ï � � »4;IB:G�»|½�;<¼F9 »|½�D��p9p¿dG<»|½�D~9pÒx=C9p»-;<G<9 DÄÏ��V9pDzë�Ï�ÈdÈ©?

è-ã ëmצè4å4ë¢Â[Þ�ó î4ïpǪ?Ýæå�ßN@C¿dG�Á º ½pG�;]Ï���?YÔL?lÏ ��Ô ¹ B:7 º »d¼F¾-¿dB¢Òu9 GL68¿dÉ�9 È�;<¼FÊ/½pDx=C9 »4;IG�9 DC9pÒQÃQ9 »dD�¼F»dB:½pGN6�Ë�Î�;IBEÊ/ÎEÏ � � ÙVÙjÙ

¹ G<½p»dÎ<½p7E;<¼F9 »dÎ'9p»*Ô�¿�;I9 Ê/½�;<¼F7�=C9 »4;<G<9 DÄÏ��V9 D�Þ]è�ÏdÈdÈ©?�ëpåpô�×�ëpåpåÂ�Þ�ó îpó4Ǫ?Ýéèpß�ç�BEG<»dD�¼�Ï|ÔN?�½p»�À®=C9�9 ÓAÏ©à�?�Ï �I6�¿dÉh9pÈ�;I¼�Ê�½pDY=C9p»-;<G<9 D�Òu9 G'; º BRÃ�9p»dDF¼�»dB]½pG�Å«¿|½pÀ�GI½�;<¼F7�ÆQBEÁ ¿dDF½�;I9 G

Ü�G<9 ÉdD�B:ÊÐÏ ��Ô�¿�;I9pÊ�½�;<¼F7:½�Ï��V9 DzÞ Þ ÏdÈdÈ�?�ï ëm×[ñ�èÐÂ�Þ�ó4ïpë Çª?Ýäë�ßNê¨G<¼FÓ�B:D�¼FÎ:ÏpÃN?��? ½p»dÀ3꨼�G<¼�½�Ó�¼�Àd¼FÎEÏpê�? � ?�Ï � �¨È8;I¼FÊ/½pD � B:BEÀdÉ|½p7cÓ3=C9p»-;<G<9 D89pÒhÃ�9 »�×^DF¼�»dB]½�G�6�Ë�Î�;IB:Ê#Î:Ï �� »4;IB:G�»|½�;<¼F9 »|½�D�p9 ¿dG�»|½pD©9pÒ�6�Ë�Î�;<B:Ê#Ϋ6�7:¼FBE»d7:B�Ï��V9 D�ãpå�Ï�ÈdÈ©?�ã8Þ]è�ÞE×�ã8Þ�ëpåÂ�Þ�ópó4ã Çª?Ýæî�ßL=CDF9 ¿8;I¼FBEG:Ï���?mÆ�?�Ï�ØRì¤6�9 ¿dí]½8Ï =>?�ÃN?lÏ ½�»dÀ á GI½p7EB:ÓAÏ-=>?�Ü~?lÏ ��Ã�9 »dD�¼F»dB:½pG�Æ�B:Á ¿dDF½�;I¼�9 »�½p»dÀNÃ�9p»dDF¼�»dB]½pG

7 =C9p»-;<G<9 D��«¼�½�; º BÐ6�;I½�;IBf×[Ø«B:È�B:»�ÀdB:»4;/ÆQ¼�7:7:½�;I¼'Ù�¾-¿|½�;<¼F9 » ¹ B:7 º »d¼F¾-¿dB��*Ü~½pG�;Þp? ¹'º B:9pG�Ë Ï �Ü�G<9�7:B:BEÀd¼F»�Á ÎN9�ÒC; º B � ¼�G<Î�; � »-;<B:G�»|½�;I¼�9 »|½pDx=C9 »8ÒuB:G<BE»d7:B/9 »�ÃQ9 »dD�¼F»dB:½pG�Ü�G<9 ÉdD�B:Ê#Î�¼F»�Ô�Ö�¼�½�;<¼F9 »½p»dÀÔ>BEG<9 Î�È|½p7EBpÏ�ب½]Ë�;<9 »|½3@CB:½p7 º Ï � ��Ï á ½]Ë�Þ�ó ópî�?

Ýäï�ßL=CDF9 ¿8;I¼FBEG:Ï���?mÆ�?�Ï�ØRì¤6�9 ¿dí]½8Ï =>?�ÃN?lÏ ½�»dÀ á GI½p7EB:ÓAÏ-=>?�Ü~?lÏ ��Ã�9 »dD�¼F»dB:½pG�Æ�B:Á ¿dDF½�;I¼�9 »�½p»dÀNÃ�9p»dDF¼�»dB]½pG 7 =C9 »4;IG<9pD��«¼F½L; º B�6�;I½�;IBf×[Ø«BEÈhBE»dÀdB:»4;QÆ�¼F7E7]½�;<¼©Ù�¾-¿|½�;I¼�9 » ¹ B:7 º »d¼�¾-¿dB �xÜz½pG�;�ã8?dÙzÑ�½pÊ#ÈdDFBEÎ:Ï �Ü�G<9�7:B:BEÀd¼F»�Á ÎN9�ÒC; º B � ¼�G<Î�; � »-;<B:G�»|½�;I¼�9 »|½pDx=C9 »8ÒuB:G<BE»d7:B/9 »�ÃQ9 »dD�¼F»dB:½pG�Ü�G<9 ÉdD�B:Ê#Î�¼F»�Ô�Ö�¼�½�;<¼F9 »½p»dÀÔ>BEG<9 Î�È|½p7EBpÏ�ب½]Ë�;<9 »|½3@CB:½p7 º Ï � ��Ï á ½]Ë�Þ�ó ópî�?

Ýæñ�ß á GI½�7:B:ÓAÏN=>?QÜ~?Q½p»dÀ�=CDF9 ¿8;I¼FBEG:Ï���?QÆ�?�Ï �<=C9 »4;IG<9pDNØ«BEÎ<¼�Á »dΣÒu9 G£; º B�Ã�9 »�DF¼F»�B]½pG@CBE»d7 º Ê/½pG<ÓÜ�G<9 ÉdD�B:Ê��«¼�½R; º BN6�;c½�;<Bª×^Ø«B:È�B:»dÀdBE»4;«Æ�¼F7E7]½�;<¼�Ù�¾�¿d½�;I¼�9 » á BE; º 98À©Ï � � »-;<B:G�»|½�;I¼�9 »|½pD��p9p¿dG<»|½�D©9pÒÆQ9pÉd¿dÎ�;Q½�»dÀ�ÃQ9 »dD�¼F»dB:½pG�=C9 »4;IG�9 D�Ï��V9 D�ñ�ÏdÈdÈ�?|è4ô�ÞEצè4å åÂ�Þ]ó ó ñ4Çf?

Ýæó�ßNò>½pÊ#Ê#BE;<;:Ï�ê�?�ØR?�Ï�ò>½pD�D�Ï�=>?©ØR?lÏ©½p»dÀ�Æ�¼FÀ�Á B:DlË ÏhØR?©@>?lÏ �I=C9p»-;<G<9 D�D�½pÉ�¼FDF¼l;^Ë � Î�Î<¿dBEÎ�¼�»®Ã�9p»dDF¼�»dB]½pG6�;c½�;IBª×^Ø«B:È�B:»dÀ�B:»4;xÆQ¼�7:7]½�;I¼|Ù�¾-¿|½�;<¼F9 »/=C9 »4;IG�9 D�Ï ���p9 ¿dG�»|½pD|9pÒ©à�¿�¼FÀ|½p»�7:BpÏ�=C9p»-;<G<9 DA½�»dÀ#Ø>Ë8»d½pÊ3×¼F7EÎ:Ï��V9 D�ã8Þ Ï|ÈdÈ©?�ï�î4ïm×�ïpïpå£Â�Þ]ó ó ñ4Çf?

ÝrÞ�ô�ßN@CB:BEDFBEG:Ï'6�?C=>?lÏ ¹ GI½p»�Ï'òN? ¹ ?lÏ'½p»dÀ$@�½p»dÓ-Î:Ï�òN? ¹ ?�Ï � � B:B:À�É|½p7cÓ�=C9 »4;IG�9 D á BE; º 98À�9 DF9 Áp¼FB:ÎRÒu9pGÃ�9 »�DF¼F»�B]½pGR6�Ë�Î�;IBEÊ/ÎEÏ ���p9 ¿dG<»d½pD�9pÒ��«È�;I¼�Ê/¼�í]½�;<¼F9 » ¹'º B:9pG�Ë ½p»�À�Ô�ÈdÈdD�¼F7]½�;I¼F9p»dÎ:Ï��V9 D>Þ�ô4ï8ÏVÈdÈ©?ÞE×[åpåÂ�ãpô ôpô4Ǫ?

ÝrÞ Þ:ßN@CB:BEDFBEG:Ï�6h?©=>?lÏ ¹ G<½p»©Ï©ò�? ¹ ?�Ï�½p»dÀ®@�½�»dÓ-Î:Ï©ò�? ¹ ?lÏ �I6�;c½�;IBRÙ�Î�;I¼FÊ/½�;<¼F9 »Ð½p»dÀ ¹ G<½p7cÓ-¼F»dÁ=C9p»-;<G<9 D9pÒhÃ�9 »�DF¼F»�B]½pG�Ø>Ë�»|½�Ê/¼�7]½pDd6�Ë�Î�;IBEÊ/ÎEÏ ��=�Æ>6d= ¹ BE7 º »d¼�7]½pDAÆ�B:È�9 G�;x=�Æ�6d=j× ¹ Æ�ô ôm×cÞ�ó�Ï-Ã�?¤=>?�6-;c½�;<B� »d¼lÖ BEG<Î<¼l;^Ë�Â�ã�ô ô ô4Çf?

ÝrÞmã�ßL=CDF9 ¿8;I¼FBEG:Ï���?~Æ�?lÏz½�»dÀ 6�;I½p»dÎ<É�B:G�Ë Ï�ØR? ¹ ?lÏ � ¹'º B£=�½pÈ|½�Éd¼FD�¼�;I¼�B:Î�½p»�À�Ô>G�;L9�ÒQ6�;c½�;IBª×^Ø«B:È�B:»dÀ�B:»4;ÆQ¼�7:7:½�;I¼-Ù�¾-¿|½�;<¼F9 »8×^@�½pÎ�B:ÀRØ«BEÎ<¼�Á »©Ï �¨Ü�G<9�7:B:BEÀd¼F»�Á Îz9pÒ8; º BxÔ>Ê#B:G�¼F7]½�»R=C9 »4;<G<9 D8=C9 »�ÒuBEG<BE»d7:B�ã�ô ô4ã8ÏÈdÈ©?Añ îm×[ó�Þ ?

ÝrÞ�å�ß�Ô>»dÀ�B:G<Î�9 »©Ïj@>?zØR? �R?lÏx½�»dÀ á 9�9 G<B�Ï���?�@>?lÏ � ���$������� ��������������� ��� � ����� � ����� ����+,�� ��� "�� � � ÏÙ�»dÁ DFB Í 9�9�À�=CD�¼�ÌhÎ:Ï�Ã�B Í �pB:G<Î�BEË>�xÜVG�B:»4;I¼�7:Bf×[ò>½�DFD�ÏhÞ�ó ó ô8?

ãpå

Page 28: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

ÝrÞ]èpß���B Í ¼FÎEÏ � ?(��?lÏ|½p»dÀ�6�Ë�G<Ê#9 Î:Ï �L?(��?�Ï � ����������!�������� ���rÏAÃ�B Í � 9 G<Ó(��ç0¼FD�BEËpÏ�Þ�ó ó ë8?ÝrÞmë�ßLà�½�G<GI½�G<À©Ï|ç�? �V?lÏ©Ù�»d»�Î:Ï�ØR? � ?lÏ�½�»dÀ�68»dBEDFDÄÏ©6h?�ÔL?lÏ ��Ã�9 »dD�¼F»dB:½pG � B:B:À�É|½p7cÓ�=C9 »4;IG<9pDz9pÒVòQ¼FÁ º D�Ë

á ½p»d9�B:¿8Ö8G<½pÉdD�B¨Ô>¼FG�7:G<½�Ò¬;]Ï � � »-;<B:G�»|½�;I¼�9 »|½pD �p9 ¿dG<»d½pD©9pÒ�=C9 »4;IG<9pD�Ï��V9 D�ëpî�ÏdÈdÈ�?�ïpó ó�×^ñ�Þmã£Â�Þ]ó ó4ã Çf?ÝrÞ�î�ß���¼F»©Ï�ç�?lÏ �Ià¨DF9 Éd½pD�Ô>Î�Ë�Ê/È�;<9p;I¼�7/6�;c½pÉ�¼FDF¼�í]½�;<¼F9 »�9pÒ�à¨B:»dBEGI½pDjÃQ9 »dDF¼�»dB]½�G�6�Ë�Î�;IBEÊ/Î Í ¼�; º 6�;I½pÉdD�B� G<B:B>Ø>Ë�»|½pÊ#¼F7:ÎVÖ�¼�½RÜ~½pÎ<Î�¼�Ö�¼�;^Ë�½p»dÀ¢@C9 ¿d»dÀ�B:À � B:B:À�É|½p7cÓAÏ �3Ô�¿�;I9 Ê/½�;<¼F7]½8Ï �V9pD�å4ã�Ï8ÈdÈ�?dó�Þmë�×[ó4ã�è

Â�Þ�ópó î4Ǫ?ÝrÞmï�ßL68í:»d½p¼FBEG:Ï á ?lÏ�=CD�9 ¿�;I¼�B:GEÏ ��?lÏxò�¿dD�D�ÏVÆ�?�Ï�� ½p7E¾�¿�B:Î:Ï�ØR?�Ïj½p»dÀ á G<½p7:BEÓAÏ'=>?lÏ �<Æ�B:7EB:Àd¼�»dÁ�ò�9 G�¼Fí:9p»

=C9 »4;IG�9 D ��Ë ½pÈd¿d»�9mÖ � ¿d»d7ª;I¼F9p»LÔ>È�ÈdG<94½�7 º ;I9>68¿dÉ�9 È�;<¼FÊ/½pD-ÆQBEÁ ¿dDF½�;I¼�9 »�9pÒAÃ�9p»dDF¼�»dB]½pG~6�Ë�Î�;IB:Ê#Î:Ï ��p9 ¿dG�»|½pD©9pÒ�ਿd¼FÀ|½�»d7:B�Ï�=C9 »4;IG<9pD�Ï|½p»�À*Ø>Ë�»|½�Ê/¼�7:Î:Ï��V9 D�ãpå�Ï|È�È©?Aå ó ó�צè4ô4ë¢ÂÄãpô ô ô Çª?

ã�è

Page 29: State-Dependent Riccati Equation Regulation of Systems with State ...

REPORT DOCUMENTATION PAGE Form Approved OMB No. 0704-0188

The public reporting burden for this collection of information is estimated to average 1 hour per response, including the time for reviewing instructions, searching existingdata sources, gathering and maintaining the data needed, and completing and reviewing the collection of information. Send comments regarding this burden estimate or any other aspect of this collection of information, including suggestions for reducing this burden, to Department of Defense, Washington Headquarters Services, Directorate for Information Operations and Reports (0704-0188), 1215 Jefferson Davis Highway, Suite 1204, Arlington, VA 22202-4302. Respondents should be aware that notwithstanding any other provision of law, no person shall be subject to any penalty for failing to comply with a collection of information if it does not display a currently valid OMB control number. PLEASE DO NOT RETURN YOUR FORM TO THE ABOVE ADDRESS. 1. REPORT DATE (DD-MM-YYYY) 2. REPORT TYPE 3. DATES COVERED (From - To)

4. TITLE AND SUBTITLE 5a. CONTRACT NUMBER

5b. GRANT NUMBER

5c. PROGRAM ELEMENT NUMBER

6. AUTHOR(S) 5d. PROJECT NUMBER

5e. TASK NUMBER

5f. WORK UNIT NUMBER

7. PERFORMING ORGANIZATION NAME(S) AND ADDRESS(ES) 8. PERFORMING ORGANIZATION REPORT NUMBER

9. SPONSORING/MONITORING AGENCY NAME(S) AND ADDRESS(ES) 10. SPONSORING/MONITOR'S ACRONYM(S)

11. SPONSORING/MONITORINGREPORT NUMBER

12. DISTRIBUTION/AVAILABILITY STATEMENT

13. SUPPLEMENTARY NOTES

14. ABSTRACT

15. SUBJECT TERMS

16. SECURITY CLASSIFICATION OF: 17. LIMITATION OF ABSTRACT

18. NUMBER OF PAGES

19b. NAME OF RESPONSIBLE PERSON

a. REPORT b. ABSTRACT c. THIS PAGE 19b. TELEPHONE NUMBER (Include area code)

Standard Form 298 (Rev. 8-98)Prescribed by ANSI Std. Z39-18