STABILIZATION OF FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR PROCESSES UNDER BOUNDED PERTURBATIONS

7/25/2019 STABILIZATION OF FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR PROCESSES UNDER BOUNDED PERTURBATIONS

1/6

WP8- 5:30

STABILIZATION

OF

FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR

PROCESSES

UNDER

BOUNDED PERTURBATIONS

J e a n - P a u l

C a l v e t

a n d Y a m a n A r k u n

S c h o o l o f C h e m i c a l

E n g i n e e r i n g

G e o r g i a I s t i t u t e of T e c h n o l o g y , A t l a n t a , GA

3 0 3 3 2 - 0 1 0 0

ABSTRACT

I n

t h i s

p a p e r ,

w e c o n s i d e r t h e

p r o b l e m

o f

d e s g n i a g

a

s t a b i l i n g

l i s e r

c o n t r o l l e

f o r

a

f e e d b a c k

l n e a r i z e d n o n l n e a r

s y s t e m

u n d e r

t h e

i n l s u e n c e

o f

b o u n d e d

p e r t u r b a t i o s .

T h e f e e d b a k

l i n e a r i z e d

( a n d p r t u r b e d )

n o n l i n e a r

s y s e m

i s

e q u i v a l e n t

t o

a

Q u a s i

L i n e a r

S y s t e m .

A s u f i c e t

c o n d i t i o n

u s i n g L y a p u n o v

s t a b i l i t y

t h e o r y

i s

p r e s n t e d

t o

o b t a i n

a l i n e a r s t a t e

f e e d b a c k

c o n t r o L l e r

s t a b i l i z i n g

t h e

Q u a s i

L i n e w

S y s t e m

a n d

t h e

nonear

s y s t e m

a w e l L

k t m e t h o d

i s

g i

t o

o b t i n

t h

l e a s t c o n s e r a t i v e

( s m a l e s t )

s t b i l i i n g g a i n .

T h e r e s u a r e

a p p l i e d

o n

a

c h e m i c a l

r e a c t o r .

1

INTRODUCTION

T h e

t h e o r y

o f

d i f f e r e n t i a l

g e o m e t r y

o c c u p i e s

a

m a j o r

p o s i -

t i o n

i n t h e

f i e l d o f c o n t r o l

t h e o r y

f o r

n o n l i n a r s y s t e m s

[ 1 ] .

I n r e c e n t

y e a r s ,

s v e r a l

c o n t r o l

a p p l i c a t i o n s

o f d i f f e r e n t i a l

g e -

o m e t r y h a v e

a p p e a r e d

i n

a e r o s p a c e e n g i n e e r i n g

[ 2 ] ,

r o b o t i c s

[ 3 ] ,

p o w e r

s y s t e m

[ 4 1

a n d

c h e m 7 i c a l eneerg

1 7 .

H o w -

e v e r ,

t h e

c o n t r o l

l i t e r a t u r e

d e l i n g w i t h

d i f f e r e n t i a l

g e o m e t r y

a s

a p p l i e d

t o

n o n l i n e

s y s t e m s

p e r t u r b e d

b y

m o d e l e d

d i s -

t u r b a n c e s

i s

s p a r s e .

I n

t h i s

p a p e r ,

we

g i v e

some n ew

r e s u t s

a d d r e s s i n g t h i s

p r o b l e m .

O u r

r e c e n t

w o r k

h a s

s h o w n t h a t u n d e r

t h e

f e e d b a c k

l i n -

e a r i z a t i o n t r a n s o r m a t i o n s

a

p e r t u r b e d

n o n l i n e a r

s y s t m

i s

i n

g e n e r a l

n o

l o n g e r

t r a n f o r m e d

t o

a l i n e a r

s y s t e m

b u t

t o

a

s o

c a l l e d

Q u a s i

L i n e a r

S y s t e m ( Q L S )

1 8 1 .

T h i s

Q L S

i s

t h e n a f f e c t e d

b y

n o n l i n e a r i t i e s

o n l y

d u e t o

a s t a t e

d e p e n -

d e n t

p e r t u r b a t i o n

c o u p l e d

w i t h

t h e

e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s .

I n

t h i s

p a p e r ,

w e

g i v e

a

s u f f i c i e n t

c o n d i t i o n

w h i c h

g u a r a n -

t e e s

t h a t

s u c h

a

Q L S

c a n

b e

s t a b i l i z e d

b y

a

l i n e a r

c o n t r o l l e r

i n a n

a r b i t r a r i l y

s m a l l

n e i g h b o r h o o d

o f t h e

o r i g i n

i n t h e

p r e s -

e n c e o f

b o u n d e d d i s t u r b a n c e s . E q u i v a l e n t l y ,

t h i s meas

t h a t

t h e

o r i g i n a l

p e r t u r b e d

n o n l i n e a r

s y s t e m

i s

s t a b i l i s e d

a r o u n d

i t s

o p e r a t i n g c o n d i t i o n .

T h i s

s u f f i c i e n t

c o n d i t i o n

i s d e r i v e d

f r o m

L y a p u n o v

t h e o r y

a n d

t h e

s t a b i l i

g a i n s

o f t h e

l i n -

e a r

c o n t r o l l e r a r e

o b t a i n e d

b y

s o l v i n g

a n

A l g e b r a i c

R i c c a t i

E q u a t i o n .

H o w e v e r ,

b e c a u s e

o f i t s

s u f f i c i e n c y ,

t h e

m e t h o d

i s

i n h e r e n t l y

c o n s e r v a t i v e .

T h e r e f o r e ,

a

p r o c e d u r e

t o o b t a i n

t h e

l e a s t c o n s e r v a t i v e r e s u l t i s

g i v e n .

A s

a n

e x a m p l e ,

we

a p p l y

t h i s

m e t h o d t o a n u n s t a b l e

c h e m i c a l r e a c t o r

p e r t u r b e d

b y

v a r i o u s

d i s t u r b a n c e s .

T h e

f o l l o w i n g

n o t a t i o n

i s u s e d

t h r o u g h o u t

t h e

p a p e r :

An

e i g e n v a l u e

o f a

s q u a r e

m a t r i x W i s

d e n o t e d

b y

A ( W ) .

I f W

i s

s t r i c t l y

p o s i t i v e

d e f i n i t e

a n d

s y m e t r i c ,

t h e n

V ' ( W )

a n d

A \ ( W )

a r e

i t s m a x i m u m

a n d

m i n i m u m

e i g e n v a l u e s

r e s p e c t i v e l y .

A l s o

' w

=

A * ( W ) / A * ( W )

i s i t s

c o n d i t i o n

n u m b e r . T h e n o t a t i o n

1 1 1 1

s

t h e

u s u a l

E u c l i d i a n norm.

2

TRANSFORMATION

C o n s i d e r

a

n o n l i n e a r

s y s t e m

( N L S )

o f t h e

f o r m

i

=

f

( x )

+

g ( s ) u

+ *()d

0

=

f ( z o )

+

g ( o ) u o

( 1 )

( 2 )

w h e r e

s ( t )

61

,

d ( t )

E

R P , u ( t )

E R .

f ( z )

a n d

g ( s )

a r e

s m o o t h

v e c t o r

f i e l d s

a n d W ( s )

i s

a

m a t r i x

o f

a p p r o p r i a t e

d i -

m e n s i o n w i t h s m o o t h

s a l a r

f u n c t i o n

e n t r i e s . N o t e t h a t t h i s

p a r t i c u l a r

n o n l i n e a r

s y s t e m

i s l i n e a r

w i t h

r e s p e c t

t o i t s

c o n -

t r o l i n p u t

a n d

d i s t u r b a n c e s .

U n d e r t h e s t a t e a n d

i n p u t

t r a n s f o r m a t i o n s

z

=

T ( s )

u

=

( 4 )

+f ( x ) u

( 3 )

( 4 )

w h e r e T

i s

a l o c a l d i f f e o m or p h i s m w i t h

T ( x o )

=

O

a n d

( z )

5

O

i n

a n e i g h b o r h o o d

U o

o f s o , t h e NLS c a n

b e

t r a n s f o r m e d

t o

a

Q u a s i

L i n e a r

S y s t e m

d e s c r i b e d

b y

i

=

A z

+ Bv +

C ( z ) d

( 5 )

( A ,

B )

i s

a n y

c o n t r o l a b l e

m a t r i x

p a i r

u s u a l l y

g i v e n

i n

t h e

B r u n o v a k y C a n o n i c a l F o r m ( B C F ) . T h e

s t a t e

d e p e n d e n t

p e r -

t u r b a t i o n

s ( z ) d

i n

( 5 )

i s g i v e n

b y

ax=aT)

a . - t ( s )

w h e r e

(j)

d e n o t e s t h e J a c o b i a n m a t r i x . N e c e s s a r y a n d

s u f -

f i c i e n t

c o n d i t i o n s

g u r n t e e i n g

t h e e x i s t e n c e o f

t h e s e t r a n s -

f o r m a t i o n s

c a n b e

f o u n d

i n

[ 8 ] .

3

STABILIZING

A

QLS

T h e

p r o b l e m

we a d d r e s

i n

t h i s

p a p e r

i s

t o s t a b i l i z e

a

n o n l i n -

e a r

s y s t e m

u n d e r

t h e

i n f l u e n c e

o f

d i s t u r b a n c e s

d e s c r i b e d

b y

( 1 )

t h r o u g h

i t s

e q u i v a l e n t Q L S .

M o r e

s p e c i f i c a l y ,

we

a t t e n d

t o

s o l v e t h e f o l l o w i n g p r o b l e m .

We

a s s u m e

t h a t

t h e

s e t

o f ( t i m e v a r y i n g ) d i s t u r b a n c e s i s

b o u n d e d b y

a

k n o w

v a l u e D

a s

i n

d ( t )

E

OD

=

{ d E

R P ;

I k d l I

T . T h e

c o n t r o l

v g ( t )

i s

t h e n

c a l l e d

a - s t a b i i z a b l e

c o n t r o l .

W e

c a n n o w

s t a t e a

t h e o r e m w h i c h

g i v e s

a

u f f i c i e n t

c o n -

d i t i o n

f o r

6 - s t a b i l i t y

o f

a

Q L S .

F i r s t we

r e q u i r e

t w o

k e y

a s

s u m p t i o n s .

A . 1 :

T h e

S t A e

d e p e n d e n t p e r t u r b a t i o n

o f

t h e QLS l i e s

i n

t h e

c o n t r o l

i n p u t

s p a c e , i . e .

3

X ( z )

s . t .

s ( z ) d

=

B X ( z ) d

7 4 7


2/6

A . 2 :

X(z)

a s

a

statt

p p e r

b o u n d

i n

a b a l B ( f ) :

3

( p , p )

ER

a

. t .

l I x ( ) 1 1

0 , t h e t h e C o n t r o I l W

9 ( t )

-

R R - ' B P z ( t )

( 6 )

( 7 )

i s a

5 - t a b i l i z i n g

c o n t r o l

f o r t h e QLS f o r

a l l

i n i t i a l c o n d i t i n

i n

B ( r / 1 / j

w i t h

r -

0 ,

R=

R T

m u c h

t h a 2R1

- I

>

0

a n d

>

0

[ 1 1 ] . H o w e v e r ,

t h i s i s n o t

a l w a y s

t r u e f o r

t h e

A R E ' .

A s

men-

t i o n e d e a r l E i r ,

t h e

m a t r i x p a i r ( A ,

B )

i s

u s u a l l y t h e

B C F .

W i t h

t h i s

p a r t i c u l a r f o r m , F i g . l

a n d

F i g . 2

g i v e

t h e p l o t s

o f

t h e s t a b i l i z i n g

g a i n s f o r

a

2 -

d i n i o n a l

y s t e m

a n d f o r

t h e

t w o

A l g e b r a i c

R i c c a t i E q u a t i o n s

( A R E

a n d A R E ' ) .

F o r

t h e

ARE

we

c h o s e H

=

I a n d

R

=

1 . H o w e v e r

f o r t h e

A R E '

t h e m a t r i x

P m a y n o t

e x i s t

f o r

l o w

v a l u e s o f e .

We

t h u s

h a d

t o p i c k

H

=

I

a n d

R

=

0 . 1 w h i c h

g a v e

t h e l a r g e s t

r a n g e

o f

v a l u e s

o f

e

f o r w h i c h

t h e

A R E '

h a

a s o l u t i o n . N o t e t h a t ,

f o r

t h e

A R E ' ,

t h e

a b i l i z i n g

g a i n s

t e n d

t h e

i n f i n i t y

m

e

t e n

t o

i t s l o w e s t n o n s e r o

v a l u e

( w h i h d e p e n d s o n

R ) .

H o w e v e r , f o r

t h e A R E , t h e g a i n s

t e n d

t o i n f i n i t y

-

e

t e n d s

t o

z r . T h e s e

t w o

p l o t s

o b t a i n e d

w i l l

b e

u m f u

i n t h e

e x a m p l e .

I t

i s

w o r t h

n o t i n g

t h a t

a s e

i a c r c e a ,

t h e

s t a b i l i z n g g d e c r e .

i n

a

m o o t o n i c

w a y

A s s m p t i o n 2

i s

t h e

mot

c r u i a l

I I t q u a n t i -

f i e s

i n

a

w a y

t h e

mau

o f

t h e n n l i n e r p e t u r b a t i o

t h r o u g h t h e

v a l u e

o f

t w o

c o n a n

p

a n d

p .

T h e

c h a l l e

i n

t h i s

m e t h o d

i s

n o t t o s o l v e t h e

A l p b r a i c

R i c c a t i E q u a t i o n

w h i c h

i s

u s u a l y

a n

e a s y

t a k ;

b u t

r a t h e r ,

t o f i n d t h e

c o n -

s t a t s

p

a n d

p

w h i c h a r e n o t

u n i q u e

s o t h a t

A s u m p t i o n

2 i s

s a i s f i e d .

I n

gral,

a s s u m i n g

t h a t t h e b o u n d

o f

t h e

d i s t u r b a n c e s D

i s

Ib

a n d

t h e

r e g i o n

o f s t a b i l i z a t i o n ( i e .

5 )

i s

f i e d ,

t h s m e t h o d w i l l

g i v e

h i g h e r

- n

t h a n

n o c e m

i

o r d e r

t o

g u a r a n t e e

5 - s t a b i l i t y

d o a

Q L S .

e n c ,

g i e n

t w o a l d

p a i r s

o f

c o s a t s

( n ,

P i )

a n d

( P 2 , p 2 ) ,

we

w i l l

s a y

t h a t

o n e . p a i r

g i V W

l e e

c o n s e r v t i v e

r e s l i f

f o

a

-

s e t o f

p

H o ,

R

a n d

e , i t g i v e

sl

5 s a b i l i i g

g i n s t h a t h e

o t h e r

-.

We i l l u s t a e t h i s f i c t

i n

F i g . 3 :

t h e

c u r e

g a i u i n e

sos

i b

e

t r e n d

O f t h e

s

gu m

w h e r a s

t h e

' - c u r v e s

C 1

a n d

C 2

s h o w t h e t e d

o f

V

f o r

t w o p u i n e

o f

c o n s t a n i t s

( n . i )

a n d

( n , p z ) .

We

- e

t h a t f o r c

t h e

c u r v e

C l

( G )

i s b e l o w c u r v e . C

( C 1 ) .

F o r t

c

o r r e p M d f i - t o e

c

I

( e

>

r )

c u r V e

C i

( C )

W i l

g i v e

sl


t h a n

C

( C 1 ) .

H e n c e ,

we

r c n z th a t t h e c u r v e

b e l o w t h e

o t h e r

o n e w i l l g i

e

on

r e s u l t s .

I n

t h e

e x a m p l e

we

w i l l

b e

a b l e

t o

d e t e m i n e

s n a g

a l l

t h e

p o s i b l e

p a i r s

o f

c o n s t a t

p

a n d

p

t h e o n e

w h i c h w i l l

g i v e

t h e l e c o n e r v a i v e

- r e s u l t .

A c c o r d i n g

t o t h e

h e o r e n e m ,

f o r

a

s p e c i f i e d

S w e m u s t

h a v e

> 5 ' . F i g . 3 s h o w n

t h a t

s a

t h i s

f i x e d v a l u e

5 ,

t h e


g a i n

d .

T h e r o r e t h e

l e s

c o n s r v -

t i v e

gai

w i l l b

o b t a i n e d

a s we l e t 6

S .

We r e s u m e

t h e

p r o c e d u r e

i n

f o u r

s e p s .

1 . S o l v

t h e

ARE

( i f

2

i s

t i e )

o r

A R E '

i f

A . 2 '

i s

s a t i s -

l d )

2 .

F i d t h e

b e t

p a i p

ad

p

wh h

g i

t h e l e a s t

c o a e r v a t i v

P ' - c r m v e

t s . g i v e a , p i k P

* s o t h a t P 6 0 - -

5 ( b u t

s W i U S >

$ ) . a a d . s e t E

f r o m

t h e

V - _ c u r V e .

4 .

C a l u a e

t e

b

g

g a i s

f r o m

t h e

g a i n

v a s e

e

c u r e

4

APPLICATION

A s an

i l l u s t z W a i o n ,

we

now

sow

t h a t

t h e s a n d a r d

CSTR

m o d e l

p e r t u r b e d

b y

f u c t u a t i o n s

i n t h e

f e e d

t e m p e r a t u r

a n d

t h e f e e d

c o n c e n t r a t i o n

f a l l s i n t o

t h e

c a t e g o r y

o f

n o n l i n e a r

s y s -

t e m

d e s c r b e d

b y ( 1 )

a n d

c a n

b e

r n s f o r m e d

i n t o

a

Q L S .

We

w i l l s t a b i l i z e

t h e

CSTR

u n d e r

t h e

i n f l u e n c e

o f

d i s t u r b a n c e ( s )

i n a n

a r b i t r a r y n e i g h b o r h o o d

o f an u n s t a b l e

o p e r a t i n g

c o D i

t i o n

b y

d e s i g n i n g

a l i n e a r


c o n t r o l

f o r

t h e

e q u i v a -

l e n t

Q L S .

T h e

o n l y

k n o w l e d g r e q u i r e d

a b o u t

t h e

s e t

o f

( t i m e

v a r y i n g )

d i s t u r b a c e ( s )

w i l l

b e i t s

b o u n d .

7 4 8


3/6

4 . 1 T r a n s f o r m a t i o n

o f

a

CSTR

Model

i n t o a

QLS

T h e

d i m e n o n l e s m o d e l o f

a f i r s t o r d e r

e x o t h e r m i c

i r .

v e r s i b l e r e a c t i o n t a k i n g p l a c e

i n a CSTR i s

g i v e n

b y [ 1 2 ,

1 3 ] .

[

2

]

f [ 2 ( X ) ] I

0

] [ d 2

w i t h

r

f

( Z )

-

[

- x i

+

D a ( 1

-

z i ) a p

n e z

s ] 1

l f 2 ( Z )

L-x +

B D 0 ( 1 - : l ) c P

[ i . 4

P I - ( 2 - 2 . )

]

w h e r e

z

a n d x 2 a r e

t h e

d i m e n s i o n l e s

c o m p o s i t i o n

a n d

t e m -

p e r a t u r e r e s p e c t i v e l y . D a , B , v , ,

a n d

z 2 2 f

a r e t h e s t a n d a r d

d i m e n s i o n l e s

p a r a m e t e r s

1 1 2 ]

a n d

d i

a n d d 4 a r e

t h e

d i m e n -

s i o n l e s

f e e d

t e m p e r a t u r e

a n d f e e d

c o m p o s i t i o n

f l u c t u a t i o n s

- e s p e c t i v e l y

1 7 ] .

T h e

c o n t r o l v a r i a b l e u

i s

t h e d i m e n s i o n l e s

t e m p e r a t u r e

o f

t h e

c o o l i n g

j a c k e t

u n i t .

N o t e t h a t

t h i s

s y s -

t e m

i s i n d e e d

l i n e a r

w i t h

r e s p e c t

t o t h e

c o n t r o l v a r i a b l e

a n d

t h e

s e t o f

d i s t u r b a n c e s ;

t h u s

t h e CSTR m o d e l

i s o f t h e

f o r m

d e s c r i b e d b y ( 1 ) .

I n

t h e

s q u e l ,

we w i l

s e l e c t

t h e d i m e n -

s i o n l e s

p a r a m e t e r s

t o

b e :

Da

=

0 . 0 7 2 ,

B

=

8 ,

P

=

0 . 3 ,

u

=

2 0

a n d

z 2 g o

= 0 . W i t h t h e s e

p a r a m e t e r s ,

t h e

CSTR

e x h i b i t s

a n

i p i t i o n / e x t i n c t i o n

b e h a v i o r . We w i l l

o p e r a t e

a t

t h e u n a b l e

o p e r a t i n g

c o n d i t i o n

u s

=

- 0 . 2 0 ,

:7

= 0 . 5

a n d

7

=

3 . 0 3 s a t i d s

g

( 2 ) .

N o w ,

c o n s i d e r

t h e

s t a t e

a n d

i n p u t

t r a n s f o r m a t i o n s

Z

=

T ( z )

=

X 1

-

z p

Z s

=

T , ( X )

=

f i ( z )

vJ< d T C , , f

>

+u

( 8 )

( 9 )

w h e r e c

. , .

>

d e n o t e s

t h e i n n e r

p r o d u c t .

N o t e

a l s o t h a t t h i s

s t a t e

pce

c o o r d i n a t e

t r a n s f o r m a t i o n

m a p s

z 9 '

t o

t h e

o r i g i n

i n t h e s - s t a t e

s p a c e

( i . e .

T ( t ' )

=

0 ) .

T h e n

u n d e r t h e s e

t r a n s f o r m a t i o n s ,

t h e

CSTR m o d e l

i s

t r a n s f o r m e d t o t h e

Q L S

[ ~ ~ ~ ~ ~

+

v

[

+ ( Z ) [

,l

( 1 0 )

w i t h

S(z)-[2

]-1

1 + X 2 I v ) 2 D a

c X p

D< ;

1-la

c a : p

[*

T

- ( s )

( 1 1 )

w h e r e t h e i n v e r s e

t r a n s f o r m i o n

-

T - ' ( z )

i s

o b t a i n e d

t h r o u g h

t h e

o n e t o o n e m a p p i n g

o f t h e

s t a t e

t r a n d o r m a t i o n

=

z i +

x 7

x 2

=

v n

f D t - + - 1 + - s

, I ] / (

[ 2 2 X - 1 - s

,

( 1 2 )

I t

i s

i m p o r t a n t

t o

r e a l i z e

t h a t t h e

on e

t o o n e

m a p p i n g

b e t w e e n

t h e n o n l i n e a r

m o d e l

a n d

t h e

e q u i v a l e n t

Q L S

i s

r e -

s t r i c t e d t o a


o f

t h e

o p e r a t i n g

c o n d i t i o n

t'

i n

x - t a t e s p a c e

a n d

t o

a


o f

t h e

o r i g i n

i n s - s t a t e

s p a c e .

We

c a n

f i n d

t h e

b o u n d a r i e s

o f

t h i s

n e i g h b o r h o o d .

F i r s t ,

t h e

i n p u t

t r a n f o r m a t i o n

r e q u i r e s

P ( s )

=

t o

b e

n o n z e r o ,

t h i s i s

e q u i v a l e n t

t o

: ,

1

( n o t e

t h a t

s i

=

I

m e a n s

f u l

c o n v e r s i o n ) .

I n

o t h e r

w o r d s ,

i n

t h e

t a t e

s p a c e

we a r e r e s t r i c t e d

t o

-:7

< c i

z

N e x t

we

i d e t i f y

t h e

corr

o n t he

l i n e

( p u

=

ph,pu)

a n d

p i c k

any

othe

p a

a b o v e

t h e l i n e ( p , I

>pg

Thenthe

p l o t

of

a

a

afction

of eshow

that

the

cure

p*

b y

( m i , P u A )

is

below

the

curvep

t

d

b y

,)

f o r

a l l

v a l u e

ofi.

HEnc,

we r e a l i z e

t h a t

a

p - r

cated

on

t h e l i n e

is

alway

l 1

t h a n

anyothe

Pair

above

the li ne.

By

the

s i m i l r

argument

any

p a i r

on

t h e ie

a n d - o n the

lft o f

p o i n t

A

i v e

mo cons vatie

result than

any

othe

-

on

th e

l i n e . W e

t h u s r e s t r i c t

our

s t u d y t o

t h e

s e g m e n t AB

w h e r e we

have

=

2 - 2

0u

e p d . .

+

f l

( 1 4 )

I n

o r d e r

t o

f i n d

t h e

b e a t

p a i r ,

w e

n e e d

t o

m i n i m i z e

t h e

e x p r e s i o n

o f

?

( w i t h c

f i x e d )

a s

a f u a c t

o f 4 p L w i t h

L

g i v e n b y ( 1 4 ) .

We

g e t e a s i y

I d 8 2 )

)

=

0 *

A . ( H )

-

Yp

=

0

Hec,

f

D

t h e n

2


5/6

5

CONCLUSION

T h i s p a p e r o l v e s

t h e

p r o b l e m

o f


a

n o n l i n e a

a y e

t e m

i n

a


o f

i t s

o p e r a t i n g

c o n d i t i o n u n d e r

t h e

i n f l u e n c e

o f

a n y

b u t b o u n d e d d i s t u r b a n c e .

T h e

n o n l i n e a r

s y s t e m

i s f i r s t w m m e d t o b e f e e d b a c k

l i n e a r i z a b l e t o

a

s o -

c a l l e d

Q L S . T h e n a L s i a r c o n t r o l l e r

i s

b u i l t


t h e

Q L S

a n d

t h e

n o n l i n e a r

s y s t e m

a s w e l l . Two

k e y

a s u m p -

t i o n s a r e r e q u i r e d :

( i )

a

d i s t u r b a n c e

m t c h i n g

c o n d i t i o n

a n d

( i i )

a b o u n d

o n

t h e n o n l i n e a r

s t a t e

d e p e n d e n t

p e r t u r b a t i o n .

T h e n

w e

a r e a b l e

t o

d e i g n

a

l i n e a r

c o n t r o l l e r

s t a b i l z i n g t h e

n o n l i n e a r

s y s t e m

i n

a n

a r b i t r a r i l y

s m a l l


o f

i t s

o p e r a t i n g

c o n d i t i o n . T h e f i r s t

a s u m p t i o n

c a n h o w e v e r

b e

r e l a x e d

b u t

t h e

m e t h o d ,

i n o u r

a p p l i c a t i o n ,

s h o w s

t h a t

we

c a n t o l e r a t e

o n l y d i s t u r b a n c e s

w i t h

s m a l l

m a g n i t u d e

a n d

w e

c a n o t

g u a r a n t e e 8 s t a b i l i t y

i n

a n y

r b i t r a r i l y

s m a l l

n e i g h -

b o r h o o d .

W e a l s o

g i v e

a

p r o c e d u r e

w h i c h l e a d s

t o

t h e

l e s t

c o n s e r v a t w e

r e s u l t s

w i t h t h i s

a p p r o a c h . F i n a l l y ,

t h i s

m e t h o d

c a n b e e x t e n d e d

t o 6 - s t a b i l i z a t i o n

w i t h

n o

s t e a d y

s a t e

o f f s e t

o f o n e

o u t p u t b y

a d d i n g i n t e g r a l

a c t i o n i n t h e c o n t r o l

l a w .

R e s u l t s

a r e

a v a i l a b l e i n

[ 1 5 ] .

REFERENCES

[ 1 ] I s i d o r i

A . ,

N o n l i n e a r

C o n t r o l

S y s t e m s :

An

I n t r o d u c t i o n , '

( L e c t u r e

N o t e s

i n

C o n t r o l

a n d

I n f o r m a t i n

S c e k n c e s ,

V o L

7 2 ) .

N e w

Y o r k :

S p r i n g e r - V e r a g , 1 9 8 5 .

[ 2 J

M e y e r ,

G . ,

S u ,

R . , H u n t , H .

R . ,

A u t o m a t i c a ,

V o L

2 0 , N o . 1 ,

p p . 1 0 3 - 1 0 7 , 1 9 8 .

[ 5 ]

T u n ,

T .

J . , B e i c y ,

A .

K . , I i d o r i ,

A . ,

C h e n ,

Y . ,

P r o c .

2 3 r d

I E E E C D C ,

L a s

V e g a s ,

N V ,

p p .

7 3 8 - 7 1 ,

D e c e m b e r

1 9 8 4

[ 4 ]

M a r i n o ,

R . ,

I E E E b - a n s . A u t o m .

C o n t r o l , V o l .

A C - 2 9 ,

N o .

3 ,

Marh

1 9 8 4 .

[ 5 ]

H o o ,

K .

A . , a n d K a n t o r ,

J .

C . , C h e m .

E u g . C o m m u n . ,

V o L

4 8 ,

3 8 5 ,

1 9 8 7 .

[ 8 ]

K r a v a r i s , C . , a n d

C h u n g ,

C . B . , A I C h E

J o n a l ,

V o L

3 3 , p p .

5 9 2 - 6 0 3 ,

1 9 8 7 .

[ 7 ]

C a l v e t , J . P . ,

a n d

A r k u n ,

Y . ,

I n d u s t r i a l a n d

C h e m i s t r y

R e -

s e a r c h ,

V o L

2 7 , N o . 1 0 ,

p p .

1 8 2 2 - 1 8 3 1 ,

1 9 8 8 .

[ 8 ]

C a l v e t , J - P . ,

a n d

A r k u n ,

Y . ,

I n t .

J .

C o n t r o l , V o l .

4 8 ,

N o .

4 ,

p p .

1 5 5 1 - 1 5 5 9 , 1 9 8 8 .

[ 9 ]

S c h m i t e n d o r f ,

W.

E . ,

I n t .

J .

C o n t r o l , V o L

4 7 , N o .

1 , p p .

8 5 9 5 ,

1 9 8 8 .

[ 1 0 ]

C o r l a , M . ,

a n d

L e i t m a n n ,

G . ,

I E E E

f r a n a .

A u t o m .

C o n t r o l ,

V o l

A C - 2 6 ,

N o . 5 , p p .

1 1 3 9 - 1 1 4 4 , 1 9 8 1 .

[ 1 1 1

K w a k e r n a a k ,

3 J

N . ,

a n d

S i v a n , R . ,

' L i n e a r O p t i m a l

C o n t r o l

S y s t e m s ' .

W i l s y - I n t e r a c i e n c e ,

1 9 7 2 .

[ 1 2 ] U p p a l ,

A . ,

R a y , W . H . , a n d

P o o r e ,

A .

B . ,

C h e m .

E n g . S c i . ,

V o L 3 1 , p p . 2 0 5 - ,

1 9 7 6 .

[ 1 3 ]

R a y ,

W . H . , P r o c .

o f

F o u n d . C o a f .

o n

C h e m i c a l

P r o c e s

C o n t r o L

S e a

I s l a n d , G e o r g i a ,

1 9 8 1 .

[ 1 4 1

F r n k l i n ,

J .

N . ,

' M a t r i x T h e o r y ' .

E n g l e w o o d C U i f t r P r e n t i c e -

H a l l ,

p p .

1 4 1 - ,

1 9 8 8 .

[ 1 5 ] C a l v e t , 3 - P . ,

a n d

A r h u n , Y . ,

s u b m i t t e d

t o

C o m p u t e a n d

C h e m i c a l E n g i n e e r i n g .

APPENDIX

P r o o f :

C o n s i d e r

a

c a n d i d a t e

L y a p u n o v

f u n c t i o n

V ( z )

=

T P : .

W i t h

t h e c o n t r o l

l a w

g i v e n i n ( 7 ) a n d

a c c o r d i n g t o

A . 1 t h e

c l o e d -

l o o p

s y s e m

i s d e s r i b e

b y

i

=

Az-BR'BTPs

+

B X ( z ) 4 .

T h e n

t h e d e i v a t i v e o f V i s

g i v e n b y

L ( x , t )

=

V ( x ( t ) )

=

2TP(As

-

BT1BYPx

+

B x ( z ) d )

B u t

2 t N r P A x

=

x(PA +

A T P ) z

a d i n s i d e

B ( r )

we

h a v e

2 T P B X ( x ) d

6 / , A / i

b u t

I I z t 1

c

f

v

t

E

1 0 ,

T 1

w i t h

T

A ( p ) ( r 2

-

6 2 / 7 p 2 )

Q ( 6 2 / y p

- 4 2 )

( 2 1 )

( 2 2 )

N o t e t h

T

i s

p o s i t i v e .

T h e n

A . ( P ) ] I z ( T ) ] P

6 / /

i T p

w e

h a v e

- Q l l ( r ) l l 2

STABILIZATION OF FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR PROCESSES UNDER BOUNDED PERTURBATIONS

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