Lärande och samhälle

Skolutveckling och ledarskap

Självständigt arbete II 15 högskolepoäng, avancerad nivå

Spela Fingu

- en uppföljande kvalitativ studie av en tidig

intervention i matematik

Playing Fingu - a follow-up qualitative study of an early intervention in mathematics

Catarina Wästerlid

Masterexamen i specialpedagogik 120 hp Examinator: Annica Andersson

Slutseminarium 20180608 Handledare: Anna Wernberg

Abstract The aim of this master thesis was to explore what learning students developed in mathematics

when using an interactive digital tool. The issue the study focused was what cardinality skills

five-year-old students established when playing Fingu by investigating how they handled the

critical aspects of cardinality.

Research agrees that the ability to compose and decompose numbers in a flexible way is a

basic mathematical competence and an important prerequisite for developing arithmetic skills

(Anghileri, 2006; Locuniak & Jordan, 2008; Neuman, 1987; Nunes & Bryant, 2007). Another

basic competence in developing counting skills is the ability to rapidly perceive the exact

number of objects in a group instead of counting one-by-one (Clements & Sarama, 2014).

Fingu, is a game where to two different sets of fruits are visable on a screen and the player are

supposed to represent the total amount of fruits with an equal number of fingers by touching

the screen. In total there are 60 different tasks with different configurations, combinations and

different sums up to ten.

In a research project between the university of Gothenburg and the University of Kristianstad,

called Conditions and tools for development of arithmetic competencies (CoDAC), 112

students between five to eight years old participated in an intervention where they played

Fingu regularly over an eight-week period. The results from the CoDAC-project showed that

there was a small positive effect for all ages on a standardized test.

Data base for this follow-up study was derived from the CoDAC project. The method used

was mainly video-observations and the results were presented as case studies where students'

changed ways of representing and transforming numbers were qualitatively analysed.

Variation theory and Nunes & Bryants (2007) further development of Piagets theory of how

children develop an understanding of cardinality was used for interpreting what learning in

mathematics Fingu support and what cardinality skills five-year-old students established when

playing Fingu.

The results of the study showed that all students increased their understanding of the cardinal

aspect of numbers but also that there was a variation in the skills that the students developed.

Furthermore, it can be noted that the students' subitize competence were developed.

The implication of this study is that it seems promising to use Fingu as an early intervention in

pre- and primary school. The results are also consistent with previous findings that digital tools

can have a positive effect even though the intervention is limited in time.

Keywords: cardinality, digital learning tool, early intervention, finger-counting, part-whole-

relations, subitizing,

Innehåll 1. Inledning och problemområde ........................................................................................... 7

1.1 Forskningsprojektet CoDAC ....................................................................................... 8

1.2 Styrdokument – digitalisering ................................................................................... 10

1.3 Empiriskt dataunderlag för denna studie ................................................................... 11

1.4 Syfte och preciserade frågeställningar ....................................................................... 11

2. Tidigare forskning ........................................................................................................... 12

2.1 Digitala lärverktyg ..................................................................................................... 12

2.2 ANS och subitisering ................................................................................................. 14

2.3 Att utveckla taluppfattning ........................................................................................ 15

2.4 Tals del-helhetsrelationer .......................................................................................... 16

2.5 Fingertal och fingerräkning ....................................................................................... 17

2.6 Matematiksvårigheter och räknesvårigheter .............................................................. 19

3. Teoretiska utgångspunkter ............................................................................................... 22

3.1 Teoretiska utgångspunkter ......................................................................................... 22

3.1.1 Variationsteori .................................................................................................... 23

3.1.2 Kunskapsteori om kardinalitetsbegreppets utveckling ....................................... 25

3.1.3 Subitiseringsförmåga .......................................................................................... 27

4. Metod ............................................................................................................................... 28

4.1 Val av metod .............................................................................................................. 28

4.2 Forskningsdesign ....................................................................................................... 29

4.3 Urval .......................................................................................................................... 29

4.4 Genomförande och analys ......................................................................................... 30

4.4.1 Videoinspelning .................................................................................................. 30

4.4.2 TEMA-3.............................................................................................................. 31

4.4.3 Del-helhetstest .................................................................................................... 31

4.5 Reliabilitet och validitet............................................................................................. 31

4.6 Etiska aspekter ........................................................................................................... 32

5. Resultat och analys .......................................................................................................... 34

5. 1 Lärande som möjliggörs i Fingu ............................................................................... 34

5.1.1 Ekvivalens .......................................................................................................... 34

5.1.2 Del-helhetsbegreppet .......................................................................................... 35

5.1.3 Subitisering ......................................................................................................... 37

5.2 Elevernas lärande gällande talens kardinala aspekter ................................................ 38

5.2.1 TEMA-3.............................................................................................................. 39

5.2.2 Fallstudier ........................................................................................................... 41

5.3 Sammanfattande analys ............................................................................................. 52

5.3.1 Ekvivalens .......................................................................................................... 52

5.3.2 Tals del-helhetsrelationer ................................................................................... 53

5.3.3 Subitiseringsförmåga .......................................................................................... 54

6. Diskussion ....................................................................................................................... 56

6.1 Metoddiskussion ........................................................................................................ 56

6.2 Resultatdiskussion ..................................................................................................... 57

6.3 Didaktiska implikationer ........................................................................................... 60

6.4 Fortsatt forskning ....................................................................................................... 61

7

1. Inledning och problemområde Utifrån min mångåriga bakgrund som låg – och mellanstadielärare i matematik har jag

kommit att intressera mig för vilket kunnande i matematik som är betydelsefullt i utvecklandet

av grundläggande aritmetisk kompetens men också för hur man som lärare kan skapa goda

förutsättningar för elever att utveckla denna kompetens.

Min erfarenhet är att de flesta elever, när de börjar i årskurs 1, behärskar grundläggande

färdigheter såsom räkneramsan, talidentifikation och att pekräkna föremål. De kan också

hantera förändringar av antal i ett lägre talområde och uttrycka detta både muntligt och till viss

del symboliskt. Några elever använder fingrarna när de räknar medan andra bara vet. De flesta

elever utvecklar förtrogenhet med tal och kan hantera förändringar av antal men för vissa elever

tycks dock tal och siffror vara obegripliga abstraktioner som saknar innebörd.

En möjlig förklaring till denna skillnad skulle enligt Hannula och Lehtinen (2005) kunna

vara att barn uppmärksammar tal och siffror i olika grad. I en av deras studier framkommer just

att alla barn inte spontant uppmärksammar tal och tals värde i vardagsnära situationer, trots att

de befinner sig i miljöer där siffror och tal används och författarna argumenterar för värdet av

att barn bjuds in att delta i aktiviteter som fokuserar på antal och att de försätts i situationer där

tal och antal blir ett angeläget och intressant tema att förstå och hantera (a.a).

Vikten av att insatser och extra stöd i matematik erbjuds tidigt i utbildningssystemet är flera

forskare eniga om (Fuchs, Fuchs, & Compton 2013; Hannula & Lehtinen, 2005; Lundberg &

Sterner, 2009). Enligt Fuchs et al. (2013) bör stödet riktas mot att ge eleverna möjlighet att

utveckla grundläggande matematiska kompetenser för att de inte ska halka efter sina

klasskamrater. Lundberg och Sterner (2009) menar, utifrån den sammanställning de gjort av

utvecklingsarbeten baserade på forskning och beprövad erfarenhet, att detta kan göras med

framgång redan i förskolan. De tidiga insatsernas betydelse är också angeläget utifrån aspekten

att förebygga att elever inte hamnar i framtida matematiksvårigheter vilket gör att temat i allra

högsta grad är relevant ur ett specialpedagogiskt perspektiv då det i examensordningen för

speciallärare finns framskrivet att specialläraren ska visa på förmåga att skapa goda lärmiljöer

och utifrån aktuella forskningsarbeten utveckla verksamhetens lärmiljöer (SFS 2011: 688).

Enligt skollagen (SFS 2010:800, kap 1 § 4) ska hänsyn också tas till barns och elevers olika

behov och förutsättningar att tillgodogöra sig utbildningen och eftersom skolan också har ett

kompensatoriskt uppdrag måste verksamheten organiseras så att eleverna utifrån sina

förutsättningar ges möjlighet att utvecklas i enlighet med utbildningens mål (Skolverket, 2014).

8

I en nyligen publicerad forskningssammanställning över digitala lärresursers effekter på

förskolebarns lärande i matematik framkommer att välkonstruerade digitala lärresurser kan vara

ett stöd i barns matematikutveckling (Wallin, 2017).

Utifrån det faktum att forskning understryker vikten av tidiga insatser och att

styrdokumenten (Skolverket, 2017a) ger riktlinjer om att eleverna ska ges möjlighet att använda

digital teknik, har jag valt att undersöka ett digitalt lärverktygs potential för att stimulera yngre

barns/elevers utveckling av grundläggande matematiska kompetenser.

Spelet heter Fingu och ett skäl till att just Fingu valdes var att åldersgruppen som spelet

utformats för är 4 – 8 åringar. Dessutom ges applikationen högsta omdöme på sidan

Skolappar.nu som är en sida där lärare recenserar applikationer som de använder i sin

undervisning.

Ett annat skäl är att spelet konstruerats och systematiskt utprovats inom ramen för ett

forskningsprojekt. Formuleringen att ”utbildningen ska vila på vetenskaplig grund och

beprövad erfarenhet” (SFS 2010:800 kap 1 § 5) indikerar att de metoder och interventioner som

används i undervisningen ska vara systematiskt utprövade. Också Eriksson Bajaras, Forsberg

och Wengström (2013) belyser vikten av evidensbaserad praktik utifrån perspektivet att den

kan tjäna som underlag då lärare, rektorer och skolor ska fatta beslut eller bestämma en praktik.

De studier som gjorts inom forskningsprojektet har inte kvalitativt undersökt vilket kunnande

gällande tal och antal som enskilda femåringar utvecklar när de spelar applikationen vilket

därför blir utgångspunkten för detta arbete.

1.1 Forskningsprojektet CoDAC Conditions and tools for development of arithmetic competencies (CoDAC) är ett

gemensamt forskningsprojekt mellan forskare vid Göteborgs universitet och Högskolan

Kristianstad som har som mål att förstå hur grundläggande färdigheter i matematik utvecklas.

Ett av inslagen i projektet har varit att låta elever spela datorspelet Fingu på iPads.

Applikationens syfte är att utveckla barns/elevers kompetens att sätta samman och dela upp

talen mellan 1-10 på ett flexibelt sätt (Holgersson et al., 2016). Spelets design bygger på idén

om att denna kompetens grundas i förmågan att direkt uppfatta antal (a.a). I en studie med 112

barn, 35 femåringar, 38 sexåringar och 39 sjuåringar, har forskarna undersökt applikationens

potential för lärande i matematik. Under en åttaveckorsperiod fick eleverna spela Fingu inom

den ordinarie verksamheten, cirka tre gånger i veckan. Pedagogens roll var att erbjuda eleverna

9

möjlighet att spela Fingu men det var upp till eleven att själv bestämma om han/hon ville spela

men även hur länge.

Fingu är en webbaserad applikation, som kan hämtas gratis från App Store, för spel på Ipads

för barn/elever i åldrarna 4-8 år. Applikationen innehåller enbart rörliga animationer och ljud

och spelaren ska registrera det totala antalet frukter som syn på skärmen med sina fingrar. Innan

frukterna försvinner ur bild ska lika många fingrar som det finns frukter samtidigt placeras på

valfri plats på skärmen. En indikation på att svaret registrerats är att fingeravtrycken blir gröna.

Om rätt antal fingrar registrerats visas glada figurer och ett glatt pling hörs. Om antalet

fingeravtryck på skärmen inte överensstämmer med antalet visade frukter, syns istället en sur

lök och ett dovt ljud hörs.

Antalet frukter som visas på skärmen är som flest sammanlagt tio stycken och frukterna

grupperas och gestaltas på olika sätt på de olika nivåerna (se 5.1) Om man svarar rätt på en

gestaltning kommer denna automatiskt att visas en kortare tid nästa gång den visas på skärmen.

I varje spelomgång ges man tre liv i form av hjärtan, där ett inkorrekt svar resulterar i att man

bli av med ett av dessa. Om man förlorar samtliga liv innan man har gett korrekt svar på minst

20 av uppgifterna har man inte tillträde till nästa nivå utan måste börja om på samma nivå igen.

Spelet består av sju olika nivåer där spelaren enligt ovan nämnda måste ha klarat de flesta

uppgifterna för att kunna gå vidare till nästa nivå. Innan man börjar själva spelet måste någon

av de 24 karaktärerna väljas. Justeringar och ändringar som kan göras är visnings- och

svarstiden men även antal försök, antal uppgifter samt svårighetsgraden på uppgifterna. När

man avbryter spelet sparas resultatet och man fortsätter på samma nivå som vid senaste tillfället.

1.1.1 Insamling av dataunderlag i CoDAC

I CoDAC-projektet användes olika för, efter- och fördröjda tester för att mäta applikationens

effekter på elevernas lärande. Bland annat användes muntliga tester ur Test of Early

Mathematics Ability version 3 (TEMA-3) som är ett amerikanskt testmaterial. Testet är

framtaget för att identifiera matematisk kompetens hos elever mellan 4-8 år och det prövar

elevens både informella och formella matematiska kompetenser.

TEMA-3 har konstruerats av Ginsburg och Baroody (Holgersson, et al., 2016) men det har

översatts av forskare i Fingu-projektet för att kunna användas på svenska elever (bilaga 1). I

det muntliga testet utgår testledaren från uppgifter som är framtagna och anpassade efter

elevens ålder där ingångsuppgiften för femåringarna är uppgift 15. Om elevensvarar fel på fem

uppgifter i följd ska denna sluta testas på de följande frågorna och istället fortsätta testas

10

baklänges från den första uppgift som gavs tills fem uppgifter i rad besvaras korrekt.

Uppgifterna är anpassade efter ålder och standardiserade efter amerikanska förhållanden. Det

finns därför innehåll som svenska 4-8-åringar ännu inte undervisats om. Till exempel ingår på

sjuåringarnas nivå uppgifter att benämna 1002 samt att avgöra om en algoritmuppställning är

korrekt uppställd. Testledaren informerar eleven om att det, som stöd för att lösa uppgiften, kan

använda framlagt material såsom brickor eller sina fingrar. Testet tar ca 30-40 minuter att

genomföra (Ginsburg och Baroody, i Holgersson, et al., 2016).

Ytterligare test som användes i CoDAC-projektet var ett del-helhetstest (bilaga 2) och ett

talmönster-igenkänningstest av de gestaltningar som ingår i spelet (se 5.1).

Inom ramen för CoDAC- projektet spelades även filmsekvenser in. Eleverna filmades vid

tre tillfällen om vardera 3-4 minuter när de spelade Fingu. Den första videoinspelningen gjordes

när eleven introducerades för spelet, den andra efter cirka fem veckors tid och den sista i slutet

av interventionsperioden. All insamling av speldata skedde i slutet av 2012.

1.1.2 Effekter

Forskningsresultaten på gruppnivå, för samtliga åldrar (5-, 6 - och 7-åringar), visade en

signifikant positiv skillnad mellan resultaten på de olika för- och efter-testerna (Holgersson et

al., 2016). Effekten var mindre på TEMA-3-testet, liten till moderat på del-helhetstestet och

stor på talmönster-igenkännings-testet. De enda signifikanta skillnader som hittades på

gruppnivå mellan efter- och de fördröjda testerna var på TEMA-3- och del-helhetsuppgifterna.

Vad gäller femåringarna var effekten liten till moderat på både TEMA-3 och del-

helhetstesterna.

1.2 Styrdokument – digitalisering Ett tillägg som gjorts i grundskolans styrdokument och som gäller från och med hösten 2017

handlar om digitala resurser som verktyg för lärande. Digitalisering skrivs här fram som en

viktig resurs för att främja elevernas kunskapsutveckling (Skolverket 2017b). I det tillhörande

kommentarmaterialet (Skolverket, 2017a) framhålls att digitala verktyg, så som dator, smart

telefon och lärplatta, erbjuder nya möjligheter till att utveckla förståelse för ämnet.

Vidare poängteras att digitala verktyg kan vara en typ av stödinsats men också att digitala

verktyg kan användas för att variera och individualisera undervisningen (a.a). I ett förslag från

Skolverkets till reviderad läroplan för förskolan finns också formuleringar om digital

kompetens (Skolverket, 2018).

11

1.3 Empiriskt dataunderlag för denna studie I föreliggande studie har delar av det insamlade datamaterialet från CoDAC-projektet

använts. Det datamaterial som använts i denna studie är TEMA-3 testet, del-helhetstestet och

videoinspelningar. Datamaterialet har jag getts tillträde till genom en av CoDAC:s forsknings-

och projektledare.

1.4 Syfte och preciserade frågeställningar Studiens övergripande syfte är att undersöka vilket lärande i matematik som ett interaktivt

datorprogram ger elever möjlighet att utveckla. Utifrån syftet avgränsas studien till att

undersöka vilka grundläggande matematiska kompetenser gällande tal som femåringar

utvecklar när de spelar applikationen Fingu. De preciserade frågeställningarna utifrån syftet är:

• Vilket lärande gällande tals kardinala aspekter möjliggörs i Fingu?

• Vilket lärande gällande tals kardinala aspekter utvecklar femåringar när de spelar

Fingu?

12

2. Tidigare forskning Kapitlet inleds med en kort genomgång av tidigare forskning av interventioner och insatser

i förskola och förskoleklass som gjorts med digitala lärverktyg. Därefter redogörs för forskning

om kritiska steg i barns utveckling av grundläggande taluppfattning och aritmetisk kompetens.

Efter varje avsnitt görs en kort sammanfattning där tidigare forskning redogörs för i förhållande

till föreliggande studies syfte.

2.1 Digitala lärverktyg Ett sätt att tänka kring digitala lärverktyg i matematikundervisningen är att göra det i

förhållande till dess roll för att skapa gynnsamma lärandesituationer.. Trigueros, Lozano och

Sandoval (2014) särskiljer dessa olika sätt i de tre kategorierna ersättning, förstärkning och

transformering. Ersättning innebär enligt Trigueros et al. (2014) att det digitala lärverktyget

endast ersätter ett moment eller en aktivitet som tidigare gjorts utan digitala resurser. Innehållet

förändras inte och aktiviteten är i princip densamma. Till exempel kan läraren gå igenom

volymenheten kvadratcentimeter genom att visa och skriva på en interaktiv skrivtavla istället

för att använda laborativt material (a.a). Digitala lärverktyg kan också användas till att förstärka

och ge ökad möjlighet till lärande av ett specifikt matematikinnehåll, utan att innehållet

förändras. Författarna ger exempel på en applikation där elever får uppskatta och laborativt

prova sina hypoteser om hur många volymenheter som behövs för att fylla olika storlekar på

kärl. Det tredje perspektivet som Trigueros et al. (2014) nämner är transformering som innebär

att matematikinnehållet behandlas och presenteras på ett annorlunda sätt vilket ger både ökade

och förändrade möjlighet till lärande. I artikeln ges ett exempel på en aktivitet där en helhet ska

delas upp i olika bråkdelar. Applikationen ger visuellt stöd och eleverna kan se när helheten

och delarna har samma värde (a.a).

Det som är utmärkande för just lärplattan är att den bjuder in till direkt interaktion mellan

användaren och datorprogrammet (Sinclair & Heyd-Metzuyanim, 2014). Vidare erbjuder

lärplatta nya sätt för användaren att uttrycka sig matematiskt, då spelaren kan producera,

representera och transformera objekt med fingrar eller handrörelser. Den interaktiva

pekskärmen gör enheten användarvänlig och öppnar upp för alternativa sätt att kommunicera

på som är både konkreta och sinnliga (a.a). En annan fördel med interaktiva datorprogram som

Moyer, Bolyard och Spikell (2002) framhåller är att spelaren direkt ges återkoppling och kan

rätta sig själv.

13

I en systematisk översikt av Skolforskningsinstitutet över aktuell forskning om digitala

lärresursers effekt på elevers kunskaper i matematik i förskolan ingår tio experimentella studier

(Wallin, 2017). Studierna publicerades mellan 2006-2016 och de lärresurser som ingick i

studierna hade alla inslag av lek och spel. Ingen av de digitala lärresurser som användes i

studierna var dock öppet tillgängliga. Studier i en svenska kontext saknas i översikten men den

matematik som berörs i studierna överensstämmer enligt författarna med den svenska

läroplanen för förskolan. Studiernas resultat indikerar att digitala lärresurser kan ha en

kompenserande roll för barn som riskerar att halka efter i sin matematikutveckling eller för barn

som sällan exponeras för matematik och då särskilt i de fall pedagogerna har bristande

kunskaper om barns tidiga matematikutveckling (a.a). Ett par av studierna är gjorda vid

amerikanska förskolor i socioekonomiskt svaga områden där sambandet mellan familjers

socioekonomiska status och barns svaga förmågor i tidig matematisk identifierats. I rapporten

diskuteras om det finns grupper även i Sverige som skulle gynnas av riktade matematikinsatser

till exempel förskolebarn med annat modersmål än svenska (Wallin, 2017). En annan slutsats

som dras är att digitala lärresurser som uppmuntrar till samtal mellan barn och pedagoger tycks

förstärka barnets utvecklande av matematiska förmågor men det finns också en studie som visar

på motsatsen, att barn som arbetar individuellt med lärresursen presterar bättre än barn som

samarbetar, särskilt vad gäller mer utmanande uppgifter (Weiss, Kramarski & Talis, 2006).

Desoete och Praet (2013) argumenterar för att digitala matematikresurser kan ses som en

förebyggande insats inför årskurs 1 för de elever som har ett utökat undervisningsbehov. Vidare

framhåller de att denna typ av insats är inkluderande och inte utpekande då alla barn kan delta

(a.a). En slutsats som avslutningsvis diskuteras i översikten är att forskning inom området ännu

inte fått genomslag och att det är brist på svenska studier om digitala lärresursers betydelse för

kunskapsutveckling i matematik (Wallin, 2017).

Det finns också forskning som visar ett eleverna engagemang och motivation ökar då digitala

lärverktyg används. Resultatet av en experimentell studie av 405 elever i åldrarna 7-11 år

indikerade att användandet av Ipads i matematikundervisningen ökade elevernas engagemang

och bidrog till att eleverna behöll sin positiva inställning till matematik (Hilton, 2018). I en

delstudie där undervisande lärare intervjuades framkom att lärarna upplevde att särskilt elever

med behov av särskilt stöd gynnades av att Ipads användes i undervisningen (a.a).

14

Sammanfattning:

Ett digitalt lärverktyg ger inte automatiskt ökad möjlighet till lärande och som stöd för att tänka

kring digitala lärverktygs potential i matematikundervisningen kan de tre kategorierna

ersättning, förstärkning och transformering användas (Trigueros et al. (2014). Fördelen med att

använda en lärplatta är att den bjuder in till interaktion mellan användaren och

datorprogrammet. Den öppnar också upp för mer sinnliga och konkreta sätt att uttrycka sig på

vilket särskilt gynnar yngre barn/elevers möjligheter att uttrycka sig matematiskt (Sinclair &

Heyd-Metzuyanim, 2014). Forskning om digitala lärresureser effekt på elevers lärande är än så

länge begränsad men det finns studier som visar att digitala lärverktyg kan användas både som

en förebyggande och kompenserande resurs.

2.2 ANS och subitisering Både djur och människor har en medfödd förmåga att uppfatta antal på ett ungefärligt sätt

vilket utgör en grund för en intuitiv känsla för tal (Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011).

Detta mentala system är ett system för approximativ representation och jämförelse av större

mängder och det aktiveras när man uppfattar antal ungefärligt eller när man ska avgöra i vilken

mängd det finns flest antal (a.a). I forskningslitteraturen omnämns denna förmåga som ANS

Approximate Number System (ANS). Enligt Östergren (2013) utvecklas ANS -förmågan upp

till 20-års ålder då det är möjligt att urskilja antal i förhållandet 7:8. Författaren menar att ANS

kan ses som länken mellan ett biologiskt medfött system och ett exakt symbolsystem för tal.

Det finns också studier som visar att förskolebarns ANS korrelerar med framtida

skolprestationer i matematik (Mazzocco et al., 2011).

Ett annat medfött system är subitisering som är ett system för precis representation av ett till

tre objekt (Clements & Sarama, 2014). Detta system är en grund för att uppfatta och exakt

bestämma ett mindre antal objekt utan att räkna dem (a.a). Forskningen skiljer på perceptuell

och konceptuell subitisering. Förmågan att direkt och exakt uppfatta ett mindre antal om 1-3

föremål benämns perceptuell subitisering medan konceptuell subitisering handlar att om att

kunna se och organisera antal. Ett exempel på konceptuell subitisering är att se två fyror i en

dominoåtta och utifrån det direkt bestämma antalet åtta utan att räkna. Elevens förmåga att

känna igen mönster för tal utan att räkna anses vara en viktig grund för elevernas matematiska

utveckling och för att bygga upp kunskap om del-helhetsrelationer (Clements & Sarama, 2014).

I en studie av Kroesbergen, Van Luit, Van Lieshout, Van Loosbroek, och Van de Rijt (2009)

med 115 stycken fem-sjuåringar undersöktes i vilken grad olika kognitiva kompetenser

15

samverkar med elevers räkneförmåga. Utifrån studiens resultat slår forskarna fast att både

exekutiva funktioner men också subitiseringsförmågan förklarade en betydande del av

variationen i eleverna räkneförmåga.

Sammanfattning:

Enligt kognitiv forskning föds människan med två biologiska system för att kunna uppfatta och

processa mängder, ANS och subitiseringsförmågan. I Fingu ges eleverna möjlighet att utveckla

subitiseringsförmågan och att direkt uppfatta grupper av frukter istället för att räkna frukterna

en och en.

2.3 Att utveckla taluppfattning

Utifrån alla de vardagliga situationer som barn deltar i utvecklar de olika informella

kunskaper i matematik. De uppfattar mängder, tal och siffror och de skaffar sig erfarenheter av

hur tal används i olika vardagliga situationer. Många skapar sig utifrån dessa informella

situationer en begynnande förståelse för antal och mängder men det finns också forskning som

visar på motsatsen, det vill säga att barn inte spontant uppfattar antal i vardagliga situationer

(Hannula & Lehtinen, 2005). I en longitudinell studie med 39 barn i åldern 3,5 år till 6 år

undersöktes barnens grad av uppmärksamhet på antal i några olika situationer där de ombads

att härma forskaren, som på olika sätt hanterade antal. Resultatet visade att det fanns stora

skillnader mellan i vilken grad barnen spontant fokuserade och uppmärksammade antal

(spontaneous focusing on numerocity eller SFON) i de olika aktiviteter som de involverades i.

Respektive barns resultat på SFON-testet jämfördes senare med resultatet på ett matematiktest

varav forskarna kunde konstatera att det fanns ett samband mellan barns spontana fokus på antal

och deras räkneförmåga i åldrarna 3,5 - 6 år (Hannula & Lehtinen, 2005).

I den engelskspråkiga forskningslitteraturen används ofta begreppet number sense när barns

tidiga förståelse av tal och räkning beskrivs och diskuteras (Anghileri, 2006; Reys, 2006). Att

number sense är en viktig grund för matematiskt kunnande tycks forskningen vara eniga om

(Anghileri, 2006, Dowker, 2005 & Wright, Martland & Stafford, 2006). Reys (2006) menar att

det är svårt att entydigt definiera begreppet men att det innefattar vissa kompetenser såsom att

ha en förståelse för talbegrepp och beräkningar, att flexibelt och korrekt kunna använda

lämpliga strategier vid beräkningar och att kunna uppfatta tal och siffrors användbarhet. Elever

med number sense har en förmåga att tillfoga ny kunskap till befintlig och att göra

generaliseringar utifrån de samband och mönster som de uppfattar vad gäller tal och relationer

mellan tal (Anghileri, 2006).

16

Det finns studier som visar på sambandet mellan number sense i förskolan och senare

räkneflyt i årskurs 2. I en longitudinell studie av Locuniak & Jordan (2008) undersöktes i vilken

grad förskolebarnens kompetenser gällande number sense och förmågor som läsning, minne,

verbal och spatiala förmågor korrelerade med räkneflyt (calculation fluency) i årskurs två. I

number sense-testerna ingick uppgifter som prövade räkning (räkna vidare, räkna föremål,

talidentifikation), tals relationer och att kunna beräkna muntligt presenterade additions- och

subtraktionsuppgifter. Additions- och subtraktionsuppgifterna var av både numerisk- och

problemlösningskaraktär. Resultatet visade att det fanns ett positivt samband mellan

förskoleelevernas kompetenser både gällande generella förmågor men också number sense och

räkneflyt i årskurs 2. Forskarna konstaterade också att sambandet var starkast vad gällde

kompetensen att beräkna additions- och subtraktionsuppgifter där särskilt kompetensen att

kunna talkombinationer var den starkaste förutseende faktorn för räkneflyt i årskurs 2 (a.a).

Med stöd i neuropsykologisk forskning argumenterar Griffin (2007) för att matematisk

kompetens har sin grund i tre världar, den verkliga konkreta, den språkliga och den symboliska

världen. För att utveckla number sense behöver barn och elever få rika tillfällen att upptäcka

och skapa begreppsmässiga samband mellan dessa tre världar. Elever med inlärningssvårigheter

eller elever med begränsade matematiska vardagserfarenheter och begränsade erfarenheter av

att räkna behöver extra mycket stöd med att skapa samband mellan dessa världar.

Sammanfattning:

De flesta barn utvecklar spontant en förståelse för tal och antal utifrån de konkreta vardagliga

situationer de är engagerade i men det finns också barn som behöver extra stöd och utmaningar

för att utveckla denna förståelse (Hannula & Lehtinen, 2005). I forskningslitteraturen benämns

denna kompetens number sense vilket innefattas av att på ett flexibelt sätt kunna hantera tal och

beräkningar och att uppfatta relationer mellan tal (Anghileri, 2006; Reys, 2006). I Fingu ges

eleverna i första hand konkreta och sinnliga erfarenheter av antal.

2.4 Tals del-helhetsrelationer Tal används för att både bestämma ett exakt antal föremål i en mängd men också för att

beskriva relationer mellan olika antal i mängder (Nunes & Bryant, 2007). För att kunna räkna

behöver barn ges möjlighet att erfara tals båda ordinala och kardinala aspekt där ordinalitet

handlar om sekvensräkning (1,2,3) och kardinalitet om antal (Nunes & Bryant, 2007). I

formuleringen fem vita bilar används talet fem för att beskriva en exakt mängd medan talet fem

i formuleringen fem fler vita än gula bilar beskriver en relation mellan antalet gula och vita

17

bilar. Kvantiteter ges ett numeriskt värde då de räknas men det är möjligt att resonera om

kvantiteter utan att veta exakt antal (Nunes & Bryant, 2007).

Flera forskare menar att kompetensen att kunna dela upp och sätta samman tal på olika sätt

är ett kritiskt moment i barns tidiga aritmetiska utveckling (Anghileri, 2006; Neuman, 1987;

Wright et al., 2006). Talet sex ska kunna uppfattas både som ett räkneord som beskriver antalet

sex men också som talet före sju och talet efter fem eller som tre stycken tvåor och dubbelt så

mycket som tre (Anghileri, 2006). Att arbeta med att kombinera tal och dela upp tal i delar så

som att sex är fyra och två eller ett och fem, ger en viktig grund för att senare utveckla

automatiserade talfakta (Wright et al., 2006). Också Sterner (2015) understryker vikten av att

eleverna får en förståelse för att tal kan omgrupperas på olika sätt där kompetensen att kunna

hantera tals helhet, delar och relationer utgör en viktig grund för att senare kunna använda olika

räknestrategier (a.a). Det finns en risk att elever som inte automatiserat de första tio talens delar

och helheter fastnar i att räkna ett–och–ett i taget genom att dubbelräkna, det vill säga att de

samtidigt som de säger räkneorden håller ordning på hur många räkneord de har sagt (Bergius,

2011).

Utifrån resultaten av en intervjustudie av 105 sjuåringar diskuterar Neuman (1987) vikten

av att elever har kunskap om talens relationer i talområdet 1-10 för att kunna hantera och förstå

de fyra räknesätten. Eleverna måste ha utvecklat sådana tankar om de tio talen att de direkt kan

se kombinationerna 6/2/8 som 6+2=8, 2+6=8, 8-6=2, 8-2=6. Hon använder begreppet the ten

basic concepts för att beskriva alla möjliga uppdelningar av talen 1-10 i två delar. Dessa 25

kombinationer benämner hon aritmetikens grundstenar och hon menar att denna kunskap är lika

viktig som kunskap om bokstäver och ljud är för utveckling av läs- och skrivfärdigheter.

Sammanfattning:

Barn behöver erfara båda tals ordinala och kardinala aspekt där ordinalitet handlar om

sekvensräkning (1,2,3) och kardinalitet om antal (Nunes & Bryant, 2007). I Fingu behöver

spelaren kunna hantera både delar (3+3) och helheter (6). Spelaren måste med andra ord

uppfatta att tal kan sättas samman och delas upp på olika sätt vilket enligt forskningen är en

viktig grund i den tidiga aritmetiska utvecklingen (Anghileri, 2006; Neuman, 1987; Nunes &

Bryant, 2007; Wright et al., 2006).

2.5 Fingertal och fingerräkning Neuman (1989) argumenterar för att elever med hjälp av sina fingrar kan utveckla kompetens

i att uppfatta tal som visuella enheter. Hon menar att de med stöd av fingrarna kan uppfatta tal

som abstrakta enheter istället för till konkreta objekt som måste räknas och hon drar paralleller

18

till det tidigaste romerska talsystemet där fingrar och händer avbildades som man såg dem.

Räkneordet fyra symboliserades till exempel med fyra fingrar, nio med ena handen tillsammans

med fyra fingrar och i symbolen fem (V) var det vänstra strecket en avbildning av de fyra

fingrarna och högerstrecket motsvarade tummen (Neuman, 1989). Anghileri (2006) framhåller

också betydelsen av att eleverna får bilda egna mentala representationer av beräkningar och

procedurer innan de introduceras för symbolspråket, för att de ska ges möjlighet att utveckla

självförtroende i sitt eget tänkande. Hon framhåller också att fingertalen hjälper till att skapa

mentala representation av talbegreppen och att fingrarna kan ses som ett verktyg för att flexibelt

kunna hantera tal och taluppdelning.

Även Dowker (2005) framhäver fingrarnas potential för att skapa både visuella men också

motoriska och taktila representationer av antal. Vidare skriver hon att det verkar finnas en nära

koppling mellan den del av hjärnan som hanterar fingerrepresentationer och den del som

processar antal.

Det finns studier som visar att fingerräkning, till skillnad från att använda fingertalen som

stödstrukturer, är en ineffektiv metod som ofta leder till att elever hamnar i

matematiksvårigheter. I en studie av 30 elever i åk 1-6 elever som deltog i specialundervisning

i matematik undersöktes elevernas beräkningsstrategier i enkla additions-och

subtraktionsuppgifter. Elever i matematiksvårigheter använde sig inte av talens decimala

strukturer vid beräkningar utan de använde uppåt- eller nedåträkning där fingrarna användes

för att hålla reda på räkneorden. Elever utan svårigheter i matematik tycktes däremot direkt

kunna se lösningen (Neuman, 1987). När eleverna hittade strukturen i fingertalen kunde de utan

att räkna, direkt uppfatta de kombinationer där helheten var större än fem (a.a). Genom

fingertalen blev talen synliga men även möjliga att känna och direkt uppfatta som stöd för att

operera med tal både abstrakt och konkret. Vidare såg hon att för de nybörjare som lärt sig

fingertalen och som uppfattat den halvdecimala strukturen i de tio bastalen inte behövde

använda uppräkning utan de kunde lösa enkla aritmetikuppgifter (4+5, 2+_ = 9) genom att titta

på sina fingrar De lärde sig att mentalt flytta fingrar från den ena handen till den andra vilket

Neuman benämner att transformera fingertalen. Enligt Neuman (1987) förknippades inte heller

subtraktion med bakåträkning för de elever som tog stöd av fingertalen utan de kunde enkelt

uppfatta relationerna mellan talen.

Butterworth och Yeo (2010) beskriver att elever i specifika räknesvårigheter, har ett entals-

eller enhetsbaserat talbegrepp, det vill säga att de uppfattar tal som bestående av klumpar av

ental. Författarna beskriver att elever i räknesvårigheter har en tendens att bevara detta

19

entalbaserade talbegrepp och de använder fingrarna för att räkna ental. Den praktiska

undervisningen måste därför enligt Butterworth & Yeo (2010) ha fokus på att organisera antal

i tydliga strukturer och att se samband/relationer mellan tal.

Sammanfattning:

Flera forskare (Anghileri, 2006; Dowker, 2005; Neuman, 1987) betonar fingertalens potential

för att skapa både visuella stödstrukturer men också motoriska och taktila representationer av

antal och det finns forskning som visar att elever i matematiksvårigheter ofta använder fingrarna

för att hålla reda på räkneorden vid uppåt-eller nedåträkning (Butterworth & Yeo, 2010:

Neuman, 1987). I Fingu representera eleverna antal med sina fingrar och för att hinna slutföra

uppgiften måste de snabbt, utan att räkna, översätta det visuellt uppfattade antalet frukter på

skärmen till fingertal. Eftersom de inte hinner räkna frukterna en och en ”tvingas” de till att på

något sätt gruppera och strukturera fingrarna i olika antalsenheter.

2.6 Matematiksvårigheter och räknesvårigheter Eftersom det i olika forskningsstudier om elever i matematiksvårigheter redogörs för att det

finns ett samband mellan barns tidiga matematikkunskaper och senare skolprestationer i

matematik är det angeläget att identifiera gynnsamma insatser för elever som riskerar att hamna

i matematiksvårigheter (Duncan et al., 2007; Geary, 2013). Enligt Geary (2013) finns det också

forskning som visar på samband mellan matematikkunskaper och yrkesliv både vad gäller

förutsättningar för framtida anställning men också lön vilket är särskilt oroväckande.

I forskning om matematiksvårigheter finns olika förklaringsgrunder till att svårigheterna

uppstår vilket enligt Lunde (2011) och Engström (2015) beror på att det är ett komplext

fenomen. Matematiksvårigheter förklaras och definieras utifrån både medicinska och

psykologiska/kognitiva aspekter men också utifrån sociologiska och didaktiska perspektiv (a.a).

Lundberg och Sterner (2009) använder sig av de två begreppen matematiksvårigheter och

räknesvårigheter när de pratar om elever som har svårt för att lära sig räkna.

Matematiksvårigheter används för att beskriva att en elev har svårigheter att nå målen i

kursplanen i matematik medan räknesvårigheter mer specifikt handlar om bristfällig

taluppfattning, svårigheter med att lära sig talfakta och att utföra räkneoperationer. Denna

specifika räknesvårighet eller matematiska inlärningssvårigheter, som internationellt också

benämns dyskalkyli, handlar främst om svårigheter i att uppfatta och hantera antal (Lundberg

& Sterner, 2009). Enligt Östergren (2013) är forskningen överens om att grundläggande antals-

och sifferuppfattning spelar en viktig roll i utvecklandet av matematisk kompetens i de tidiga

20

skolåren men att även andra mer generella förmågor så som arbetsminnet påverkar denna

utveckling. I studier, där sammanlagt cirka 500 elever i åldrarna 6-13 deltog, undersökte

Östergren (2013) om det främst var svagheter i antals-och sifferuppfattning eller i mer generella

förmågor såsom arbetsminne som gjorde att eleverna hamnade i matematiksvårigheter. Den

slutsats han kom fram till var att flera svagheter samtidigt kan ge upphov till

matematiksvårigheter. Han är dock noga med att framhålla att ett gott arbetsminne kan

kompensera för en svag sifferuppfattning och tvärtom.

I en studie av Gray och Tall (1994) framkom att det fanns skillnader mellan lågpresterande

elevers och högpresterande elevers aritmetiska tankemodeller. Forskarna lät intervjua 72 elever

i åldrarna 7-12 år om hur de tänkte när de löste olika aritmetiska uppgifter och de kunde urskilja

två olika tankemodeller som eleverna i studien använde sig av när de gjorde enkla aritmetiska

beräkningar (a.a). Tankemodellerna var enligt forskarna av olika karaktär och kvalitet. Elever

med en procedurell tankemodell (procedural thinking) var inriktade på själva räkneproceduren

och de hanterade räkneorden som konkreta enheter. Det som utmärkte eleverna var att de

fokuserade på räkneproceduren snarare än på sambandet mellan räkneord och antal. Den andra

tankemodellen benämns av forskarna som proceptuellt tänkande (proceptual thinking). Elever

med ett proceptuellt tänkande uppvisade till skillnad från elever med ett procedurellt tänkande

en god talbegreppsförståelse och kompetens att hantera beräkningar flexibelt och säkert utifrån

bland annat kända talfakta.

Aunio & Räsänen (2016) menar att det är viktigt att undervisningen koncentreras mot de, i

forskningen identifierade, kritiska aspekterna vad gäller att utveckla aritmetisk kompetens. Som

ett led i detta har Aunio & Räsänen (2016) tagit fram en modell som visar på fyra kritiska

faktorer eller områden för barns utveckling av matematisk kompetens i åldern 5 till 8 år.

Modellen baseras på resultat av longitudinella studier där författarna urskilt de fyra aspekterna

symbolisk och icke symbolisk taluppfattning, räknefärdigheter, grundläggande aritmetisk

kompetens och matematiska relationer som grundläggande kompetenser för den fortsatta

matematikutvecklingen.

21

Figur 1. Grundläggande kompetenser vad gäller att hantera tal och antal i åldrarna 5 – 8

år (Aunio & Räsänen, 2016 s. 699).

Sammanfattning:

Det finns olika förklaringsgrunder till att elever hamnar i matematiksvårigheter. Forskningen

tycks dock vara överens om att en grundläggande antals- och sifferuppfattning är betydelsefull

för utvecklandet av number sense och i förlängningen aritmetisk kompetens (Aunio & Räsänen,

2016; Lundberg & Sterner, 2009; Östergren, 2013).

22

3. Teoretiska utgångspunkter I kapitlet redogörs inledningsvis för studiens teoretiska utgångspunkter och därefter beskrivs

de valda teorierna mer utförligt.

3.1 Teoretiska utgångspunkter I föreliggande studie riktas fokus både mot vilket lärande gällande kardinalitet som

möjliggörs i spelaktiviteten men också mot vilket lärande av begreppet som eleverna utvecklar

när de spelar Fingu.

Variationsteorin har tillsammans med en matematisk kunskapsteori om hur barn och elever

utvecklar kardinalitetsbegreppet använts som teoretiska utgångspunkter. Enligt Marton och

Booth (2000) fokuserar variationsteorin på undervisningens innehåll men också på hur det som

ska läras måste behandlas för att lärande ska uppstå vilket väl överensstämmer med studiens

syfte. Inom teorin intresserar man sig för hur lärandeobjektet framställs och förstås och

kunnande definieras därmed inte i termer av rätt eller fel (Holmqvist, 2006), vilket utgjorde en

viktig grund för val av teori. Variationsteorin har sin upprinnelse i den fenomenografiska

forskningstraditionen som enligt Kroksmark (2007) är en metodologisk ansats som används för

att undersöka och beskriva hur människor uppfattar fenomen i en viss situation. I

fenomenografiska studier fokuseras ett avgränsat innehåll där olika deltagares kvalitativt skilda

uppfattningar av samma innehåll eller fenomen identifieras, beskrivs och klassificeras medan

en variationsteoretisk studie även intresserar sig för vad som är möjligt att urskilja i en

lärandesituation (a.a.)

Den kunskapsteorin som används är Nunes och Bryants (2007) tolkning och

vidareutveckling av Piagets teori The child´s conception of number. Kunskapsteorin ger stöd

för att detaljerat och matematiskt precist kunna besvara forskningsfrågan gällande elevernas

lärande om talens kardinala aspekter. Hur tänkande utvecklas och hur människan förändrades

genom erfarenheter och utmaningar var det som Piaget riktade fokus mot och som han studerade

(Säljö, 2015). Den piagetanska individuella konstruktivism är en form av kognitivism då den

antar att det yttre såsom beteenden och handlingar måste förklaras av det inre (psykiska

handlingar) medan det i social konstruktivism är tvärtom (Marton & Booth, 2002). Inom

variationsteorin överskrids dock denna dualism mellan människa och omvärlden och man utgår

istället från antagandet om att det finns en värld som vi erfar och lever i och det är i denna värld

fenomen erfars och uppfattas av olika individer vilket innebär att också erfarandet skiljer sig åt

23

(a.a). Att använda variationsteorin i kombination med ett konstruktivistiskt perspektiv kändes

därför som en fullt möjlig utgångspunkt.

3.1.1 Variationsteori

Fenomenografin utgör grunden för den variationsteoretiska utvecklingen där lärande beskrivs

som en förändring i relationen mellan den lärande och fenomenet, det vill säga att den lärande

förstår något på ett nytt eller annorlunda sätt (Marton & Booth, 2000). En sådan syn på lärande

omfattar de båda lärandeperspektiven hur och vad som ska läras (a.a). Vad eleverna lär sig har

enligt variationsteorin ett nära samband med hur de erfarit det tänkta innehållet eller

lärandeobjektet då grundantagandet är att elever erfar samma lärandeobjekt på kvalitativt skilda

sätt (Lo, 2014). Variationsteorin har som utgångspunkt att lärande alltid är riktat mot något

specifikt fenomen, det vill säga att man inte kan lära något utan att något lärs, och för att kunna

prata om lärande måste först vad som ska läras klargöras (Marton & Booth, 2000). Inom

variationsteorin använder man de tre begreppen urskiljning, simultanitet och variation som stöd

för att förklara lärandeprocessen (Holmqvist, 2004). Urskiljande handlar om att ändra

perspektiv det vill säga att det som tidigare varit bakgrund framträder på ett tydligare sätt och

hamnar i förgrunden vilket gör att uppmärksamheten kan skifta fokus. En annan central faktor

är simultanitet som handlar om att den lärande samtidigt erfar ett fenomens alla samexisterande

aspekter. Det sista begreppet variation stipulerar att det är först när något avviker eller skiljer sig

från det normala eller vanliga som man har möjlighet att upptäcka det (a.a).

Lärandeobjekt

Detta vad benämns inom variationsteorin för lärandeobjektet (Marton, 2015) Enligt Pang

(2003) uppstår lärande när den lärande urskiljer och medvetet fokuserar nya aspekter av

lärandeobjektet. Att kunna något innebär därmed att samtidigt kunna både urskilja men också

fokusera lärandeobjektets olika aspekter (a.a). Marton (2015) menar att det handlar om att den

lärandes medvetenhet om fenomenet har förändrats och att den lärande uppfattar ett fenomen

på ett kvalitativt annorlunda sätt än tidigare.

Kritiska drag och kritiska aspekter

Aspekter som den lärande ännu inte uppfattat benämns som kritiska aspekter och för att den

lärande ska utvecklas är det nödvändigt att denna urskiljer dessa aspekter (Marton, 2015).

Marton (2015) menar att vad som är kritiska aspekter för en individ vid inlärning är individuellt

eftersom de kritiska aspekterna är beroende av både lärandeobjektet och av den lärande.

24

Enligt variationsteorin får olika begrepp sin innebörd främst genom skillnader och inte

likheter (Lo, 2014). Ur ett variationsteoretiskt perspektiv är det därför nödvändigt med

kontraster där främst skillnader och inte likheter fokuseras (Marton, 2015). Lo (2014) skiljer på

kritiska drag och kritiska aspekter där kritiska aspekter syftar på en dimension av variation

medan kritiska drag är ett värde i denna dimension av variation. Som exempel ger hon att ett

kinesiskt tecken har tre aspekter: morfologiskt, fonologiskt och semantiskt där varje teckens

specifika ljud, form och betydelse utgör de kritiska dragen. De kritiska dragen hos ett objekt

kan lättare urskiljas om det kontrasteras mot ett annat objekt, det vill säga då lärandeobjektet

kontrasteras mot andra ”icke-exempel vilket kan göras genom användandet av

variationsmönster (Lo, 2014). Vidare framhåller hon att orsaken till att en elev inte lär sig det

avsedda lärandemålet kan förklaras med att eleven missat några av de kritiska dragen hos

lärandeobjektet och det är därför viktigt att läraren förstå vilka kritiska drag som bygger upp

lärandeobjektet för att denna ska kunna iscensätta lärandesituationer.

Variation och variationsmönster

Lärandeobjektet måste behandlas på olika sätt så att lärande blir möjligt, det vill säga att

innehållet varieras så att skillnader kan uppfattas och erfaras (Marton, 2015). Då

variationsteorin utgår från att lärande är beroende av att det sker någon slags variation i de

strukturer eller mönster som den lärande möter påverkas lärandets utfall av lärarens förmåga att

skapa denna variation (Holmqvist, 2004). Ett av antagandena är att lärandet förutsätter en

upplevd erfaren variation av fenomenets olika natur för att den lärande ska kunna uppfatta dess

innebörd "learners can only discern a particular aspect when they experience variation in that

aspect” (Pang, 2003 s. 145). Vad som är möjligt att lära är avhängigt av hur lärandeobjektet

hanteras utifrån vilka aspekter som fokuseras men också vilka aspekter som varieras och vilka

som hålls konstanta (Marton, 2015). För att möjliggöra lärande kan dessa kritiska aspekter av

lärandeobjektet synliggöras genom användandet av ett variationsmönster (a.a).

Om eleverna lär sig det som läraren förväntar sig beror på om variationsmönstret kan erfaras

och urskiljas av eleverna (Lo, 2014). Författaren är dock noga med att understryka att vi bara

kan rikta vår uppmärksamhet mot ett par aspekter av lärandeobjekt åt gången, där vissa aspekter

hamnar i förgrunden och andra i bakgrunden. Marton & Tsui (2004) beskriver vilket lärande

som görs möjligt av lärandeobjektet med fyra olika mönster av variation genom begreppen:

kontrast, generalisering, separation och fusion.

25

Kontrast

Ett grundläggande kännetecken för variationsteorin är den bygger på kontraster (Marton,

2015). Om endast en kritisk aspekt varieras medan övriga hålls konstanta är det lättare att

urskilja den kritiska aspekt som varieras med hjälp av kontrastering. För att förstå tre (antal)

behöver den lärande också erfara vad som inte är tre genom att kontrastera tre mot två (antal)

och fyra (Marton & Tsui, 2004). Genom att kontrastera ett objekt, till exempel trianglar mot

objekt som inte är trianglar (fyrhörning, femhörning etcetera) kan till exempel den kritiska

aspekten sida separeras (Lo, 2014).

Generalisering

Generalisering kan beskrivas som förmågan att kunna urskilja ett lärandeobjektets kritiska

aspekter från icke kritiska aspekter. ”A certain value X1 in one of the dimensions of variation

X cannot be discerned from other values in other dimensions of the variation unless X1 remains

invariant while the other dimensions vary” (Marton & Pang, 2006, s. 199–200). För att full ut

förstå talbegreppet tre måste den lärande erfara olika treheter såsom tre äppel, tre åsnor, tre

böcker men den lärande måste också kunna urskilja treheten från andra irrelevanta aspekter

såsom färg eller objekt (Marton & Pang, 2006).

Separation

Om två aspekter varierar samtidigt kan dessa aspekter inte urskiljas. In order to experience

a certain aspect of something and in order to separate this aspect from other aspects, it must

vary while other aspects remain invariant (Marton & Tsui, 2004).

Fusion

Ett variationsmönster som inbegriper samtidig variation av två eller flera aspekter möjliggör

fusion (Lo, 2014). Fusion innebär att kunna se samtliga kritiska aspekter i förhållande till

varandra och till helheten (a.a).

3.1.2 Kunskapsteori om kardinalitetsbegreppets utveckling

Kunskapsteorin använts är Nunes och Bryants (2007) tolkning och vidareutveckling av

Piagets teori The child´s conception of number. Enligt Eriksson (2001) är Piagets bidrag till det

utvecklingspsykologiska perspektivet att han påvisade barnets succesiva begreppsutveckling av

det abstrakta talbegreppet. Piaget var konstruktivist och enligt honom konstruerar individen

kunskap genom sina handlingar och genom att samspela med omgivningen (Marton & Boot,

2000). I denna process utvecklas gradvis mer avancerad kunskap genom att individen ändrar

sitt sätt att tänka (ackommodation) eller integrerar (assimilation) intryck och erfarenheter till

redan utvecklade kognitiva strukturer eller scheman (Säljö, 20I5). Processen drivs av att barnet

26

själv, genom experiment och upptäckter, finner obalansen i sin begreppsvärld (a.a). I den

piagetanska traditionen används begreppet kognitiv konflikt för att beskriva vikten av att barn

ställs inför utmanande situationer som tvingar fram nya tankemönster eller scheman som i sin

tur leder till att barnet förändrar sitt sätt att tänka och förstå ett fenomen.

Nunes & Bryants (2007) skriver att begreppet kardinalitet har getts lite olika innebörder i

olika teorier om talbegreppets utveckling. I Piagets teori betonas att barn visar förståelse för

kardinalitetsbegreppet först när de kan resonera om antal medan Gelman´s nativistiska teori

framhåller att barn föds med en genuin förståelse av tal som gör att de uppfattar talens

underliggande strukturer när de räknar (uppåt-eller nedåträkning).

Enligt Gelman och Gallistel (1978) behärskar och visar ett barn förståelse för ett barn

kardinalitetsbegreppet när det med hjälp av uppräkning kan bestämma antalet i en mängd

genom att betona det sist sagda räkneordet (ett, två, tre, FYRA) eller kommenterar att det finns

fyra. Nunes och Bryant (2007) ställer sig dock inte bakom Gelman och Gallistels definition av

kardinalitetsbegreppet utan de argumenterar istället, med stöd i Piaget´s teori, för att

kardinalitetsbegreppet innebär förståelse av relationer mellan antal och en kompetens att kunna

göra kopplingar mellan tal och mängder.

Nunes & Bryants (2007) diskuterar begreppen tal och mängder och de understryker att detta

inte är samma sak. Tal (numbers) används för att beskriva ett exakt värde på en mängd

(quantities) och för att avgöra relationen mellan två mängder. En mängd ges ett exakt värde

först när den räknas men det går att resonera om och jämföra olika mängder utan att veta det

exakta värdet av dessa. Vidare framhåller de att barn kan utveckla kunnande om antal och

relationer mellan antal utan att kunna räkna. På motsvarande sätt kan de använda sig av räkning

utan att förstå antal och relationer mellan antal.

En av de idéer som Nunes & Bryant (2007), i likhet med Piaget, menar är kritiskt i barns

kardinalitetsutveckling är ekvivalens (equivalence). Ekvivalens innebär en förståelse av att två

uppsättningar objekt har samma kardinala värde när objekten i en uppsättning är i en-till-en-

korrespondens med objekten i den andra uppsättningen. Ett barn måste med andra ord förstå att

vilken uppsättning som helst med sex föremål innehåller lika många föremål som en annan

uppsättning med sex föremål. En annan viktig idé handlar om att uppfatta att talen i

talsekvensen är ordnade (order) där nästa tal i talsekvensen är ett mer än föregående tal (a.a).

En tredje idé är antagandet om att del-helhetsaspekten är en viktig grund för att förstå tal och

antal och författarna använder sig av Piagets begrepp the additive composition of number (tals

del-helhetsrelationer) som innebär att vilket tal som kan uppfattas som summan av två andra

27

tal (Nunes & Bryant, 2007). Författarna understryker att denna förståelse av tals del-

helhetsrelationer utgör själva kärnan för att kunna hantera och resonera om addition och

subtraktion. För att kunna utveckla kunskap om tals del-helhetsrelationer kan barnet inte enbart

tänka på tal som räkneord i en ramsa utan de måste också kunna uppfatta relationer mellan tal

och det måste kunna resonera om mängder och antal för att kunna förstå tal och talsystemets

uppbyggnad. För att fullt ut kunna förstå talbegreppet fem måste det också veta att antalet fem

kan delas upp i mindre delar såsom 2 och 3. För att kunna dela upp och sätta samman tal

flexibelt måste barnet utveckla en förmåga att erfara varje tal både som en summa av mindre

tal eller som en del av ett större tal. Talet 4 behöver till exempel kunna uppfattas både som

summan av 3 och 1 och som 2 och 2 men också som en mindre del av talet 7 där den andra

delen är 3 (Nunes & Bryant, 2007).

3.1.3 Subitiseringsförmåga

Antagandet om att subitiseringsförmågan utgör en viktig grund för att utveckla

kardinalitetsbegreppet har gjorts utifrån Clements och Saramas (2014)

forskningssammanställning av kritiska aspekter av yngre barns lärande i matematik. Förmågan

att direkt kunna identifiera antal igenom att mentalt kunna strukturera objekt i mindre

grupperingar är enligt Clements och Sarama (2014) ” one of the main abilities very young

children should develop” (s. 9). Perceptuell subitisering (direkt igenkänning av antal om ett till

tre) och konceptuell subitisering (att gruppera antal för snabbare igenkänning) är viktiga

grunder föra utvecklandet av number sense och grundläggande aritmetisk kompetens.

Subitiseringsförmågan är en kompetens som redan det lilla barnet börjar utveckla tidigt i

situationer där antal, hur många, fler och färre fokuseras. Clements och Sarama (2014).

beskriver progressionen som att den grundläggande förmågan att känna igen antal om ett till tre

föremål (perceptuell subitisering) övergår till att mentalt kunna strukturera antal i mönster och

grupperingar (konceptuell subitisering).

28

4. Metod I kapitlet redogörs för val av metod och tillvägagångssätt, följt av urval och en redogörelse

för hur datamaterialet bearbetades och analyserades. Kapitlet avslutas med en diskussion av

studiens reliabilitet och validitet samt en avslutande redogörelse för hur de etiska aspekterna

beaktats.

4.1 Val av metod För att söka svar både på vilket lärande som möjliggörs och vilket lärande som uppstår

gällande kardinalitetsbegreppet användes både kvalitativa och kvantitativa datainsamlings- och

analysmetoder där de kvalitativa observationerna av videoinspelningarna var centrala.

Videoinspelning används relativt frekvent inom matematikdidaktisk forskning och det är en

metod som bidrar till att ge detaljerade beskrivningar av lärares och eller elevers agerande i en

matematisk kontext då ljud- och videoinspelningar fångar upp både verbal och visuell

interaktion (Powell, Francisco & Maher, 2003). En stor fördel med ljud- och videoinspelningar

är enligt författarna att detaljerade analyser kan möjliggöras då forskaren kan titta på

inspelningarna upprepade gånger och med olika fokus. En begränsning med metoden är enligt

Björndal (2005) att den som sköter inspelningen påverkar vilka scener som registreras och

därmed vad som hamnar i för-eller bakgrunden vilket gör att materialet inte kan tolkas som en

objektiv bild av verkligheten. För att kunna hantera videoinspelningarna användes ett

observationsprotokoll vilket bland annat Björndal (2005) hävdar är viktigt i analysarbetet.

Också Powell, Francisco & Maher (2003) framhåller kodningsprocessen som central vad gäller

att analysera videoinspelningar då den hjälper till att identifiera teman som stödjer forskaren att

tolka datamaterialet.

Dataunderlaget till studien bestod också av testresultat som kvantifierats i antal förbättrade

uppgifter men också av testresultat som analyserades kvalitativt. Björndal (2005) redogör för

några olikheter mellan kvantitativ och kvalitativ metod genom att använda ”det värderande

ögat” som metafor. I den kvantitativa metoden letar ”ögat” efter precision, antal, variabler och

det som är representativt. Forskaren är åskådaren som har distans till undersökningspersonen

(a.a). I den kvalitativa metoden letar ”det värderande ögat” efter det speciella och avvikande

med fokus på att beskriva och förstå fenomen. Forskaren har här ett mer nära förhållande till

undersökningspersonen och försöker ta undersökningspersonens perspektiv (Björndal, 2005).

För att undersöka fenomenet kardinalitet ur olika perspektiv användes båda ansatserna vilket

ligger i linje med Rossman och Rallis (2012) resonemang om att en kombination av olika

29

metoder ger en bättre grund för att undersöka det valda fenomenet och öka studiens

trovärdighet.

Bryman (2013) poängterar dock att skillnaden mellan metoderna inte enbart kan förstås som

att antal beaktas i en kvantitativ metod och ord i en kvalitativ metod utan han skiljer

forskningsstrategier åt genom att också beskriva skillnader utifrån olika kunskapsteoretiska

(epistemologiska) och ontologiska ståndpunkter. Ontologi är den mest övergripande nivån för

att beskriva hur vi uppfattar tillvaron och med begreppet menas vilken världsbild och vilken

uppfattning vi har om vad som finns (Åberg, 2001). Kunskapsteori eller epistemologi behandlar

frågor om kunskapens natur, möjlighet ursprung och giltighet (a.a). I en kvantitativ metod

grundas den ontologiska uppfattningen i objektivism, det vill säga att sociala företeelser och

kategoriseringar existerar oberoende av aktörer, medan den kvalitativa har sin grund i

konstruktionism som betonar att företeelser och kategorier skapas via sociala samspel (Bryman,

2013). Vad gäller synen på kunskap grundas den kvantitativa metoden i uppfattningen att det

finns en yttre verklighet som kan beskrivas objektivt medan den kvalitativa metoden grundas i

en syn som bygger på förståelse och subjektiv tolkning.

4.2 Forskningsdesign I studien undersöktes, utifrån sex fallstudier, elevers olika sätt att erfara lärandeobjektet

kardinalitet. Fallstudie valdes som tillvägagångssätt där studien i sin helhet omfattar samtliga

elever men där varje enskild elevs utveckling beskrivs. Enligt Merriam (1994) läggs vikten i en

fallstudie på processen snarare än resultatet och metoden väljs i syfte att skaffa sig djupgående

insikter om en viss situation eller ett visst fenomen. Hon skriver att analysen av datamaterialet

inbegriper granskning, kategorisering sammanställning och olika kombinationer av både

kvalitativa och kvantitativa belägg och hon konstaterar att slutprodukten i en fallstudie utgörs

av de data som samlats in och av de analyser som gjorts. Vidare framhåller Merriam (1994) att

eftersom metoden är förankrad i autentiska situationer kan den ge rika beskrivningar av

företeelser vilket gör metoden särskilt lämplig att använda för att studera pedagogiska

innovationer i syfte att utveckla förståelse, som i sin tur kan vara en grund för att förbättra

praktiken.

4.3 Urval I studien ingår 33 stycken femåringar. Antal förbättrade uppgifter på TEMA-3:s uppgifter

som behandlade kardinalitetsbegreppet användes som urvalskriterium till fallstudierna med

syftet att elevers skilda sätt att erfara och förstå kardinalitetsbegreppet skulle komma att bli

30

representerade i studien. Av de totalt 35 femåringarna i CoDAC-projektet saknas resultat på

eftertesterna för två av eleverna och dessa ingår därmed inte i studien. Den urvalsstrategi som

användes till fallstudierna var ändamålsenlig vilket av Patton i Merriam (1994) definieras som

att urvalet sker på ett sätt som gör att man lär sig så mycket som möjligt av det man önskar

upptäcka eller få kunskap om. Urvalet av informanter till fallstudierna gjordes även på grundval

av att det fanns tre kompletta videoinspelningar och ett naturligt bortval skedde i de fall någon

av dessa saknades.

4.4 Genomförande och analys En beskrivning av hur datamaterialet bearbetades och analyserades presenteras under

respektive källa.

4.4.1 Videoinspelning

Ett inledande analysarbete påbörjades när jag för att lära känna materialet tittade igenom

samtliga videoinspelningar. I nästa steg skapades ett observationsprotokoll för att organisera

strukturera materialet. Varje spelad uppgift kodades utifrån rubriceringarna: uppgift

(mönstergestaltning/kombinationer), fingersättning och transformering och sammanställdes i

ett observationsprotokoll. Transformering betyder i detta sammanhang en kompetens i att dela

upp tal på ett alternativt sätt, det vill säga att antalet 6 visas som 3+3 och 2+3 visas som helheten

6=3+3 och 2+3=5. I observationsprotokollet gjordes också noteringar om eleverna pekräknade

eller ramsräknade frukterna. Filmsekvenserna spelades upp flera gånger. Vid första tillfället

antecknades uppgiften och vid andra tillfället elevens fingersättningar. I de fall osäkerhet

uppstod om antingen uppgiften eller fingersättningen spelades filmerna upp igen.

I nästa steg markerades korrekta lösningar (lika många frukter som fingrar) med grön färg

och felaktiga med röd färg. I de fall eleverna transformerade antal noterades detta (6=3+3,

2+3=5) och färgmarkerades med gult. Ett additionstecknen användes för att tydliggöra huruvida

uppgiften var en gestaltning eller en kombination av gestaltningar. Noteringen 1+1 betydde

således att två olika frukter exponerades på skärmen medan 5 indikerade att det var en

gestaltning.

Den första bokstaven i det engelska namnet användes för att särskilja långfinger från

lillfinger vilket ledde till att förkortningarna m (middlefinger) och p (pinkyfinger) användes.

Tre filmsekvenser om cirka 3-5 minuter per elev analyserades vilket resulterade i 60- 70

minuters sammanlagd inspelningstid.

31

Variationsteoretiska begrepp har använts som analysverktyg för att undersöka vilket lärande

gällande kardinalitetsbegreppet som möjliggörs i Fingu. I resultatdelen beskrivs vilka

variationsmönster som iscensätts i Fingu och vad eleverna därmed ges möjlighet att erfara. I

analysen av videoinspelningarna fokuserades på vilka aspekter av fenomenet som blev möjliga

för eleverna att erfara, det vill säga vilka egenskaper eller kritiska drag hos fenomenet som

framträdde för eleverna (Holmqvist, 2006). För att söka svar på vilket lärande gällande tals

kardinala aspekt som eleverna faktiskt utvecklade analyserades, med stöd i kunskapsteorier om

kardinalitetsbegreppets utveckling, respektive elevs kvalitativt förändrade sätt att hantera och

representera antal med sina fingrar vilket ur ett variationsteoretiskt perspektiv tolkas som att

lärande skett (Marton, 2015). I analysarbetet utgick jag från de kritiska drag av lärandeobjektet

som identifierades i inspelningarna.

4.4.2 TEMA-3

Inledningsvis analyserades, de av femåringarna besvarade, TEMA-3-uppgifterna utifrån

dess matematiska innehåll (bilaga 1). Fyra av uppgifterna urskildes behandla tals kardinala

aspekter och det var därmed dessa som användes som urvalskriterium till fallstudierna De

uppgifter som eleverna förbättrade sig på, det vill säga uppgifter som eleverna inte klarade på

förtestet men som de klarade på eftertestet, markerades med ett x i en tabell som därefter

sammanställdes utifrån antal förbättrade uppgifter.

4.4.3 Del-helhetstest

Del-helhetstestet prövar elevernas förståelse av att tal kan sättas samman och delas upp på

olika sätt, till exempel ombeds eleverna visa antalet fem med två händer och antalet åtta på mer

än ett sätt. Elevernas svar på för- och eftertesterna sammanställdes i en tabell och därefter

noterades kvalitativa förändringar i elevernas sätt att visa kunnande om tals del-

helhetsrelationer.

4.5 Reliabilitet och validitet Forskaren måste ge en noggrann och transparent beskrivning av forskningsprocessen men

också kritiskt granska metodologiska val, val av respondenter och hur datamaterialet tagits om

hand för att resultatet ska bli trovärdigt och tillförlitligt (Trost, 2010). I följande avsnitt

32

redogörs för studiens tillförlitlighet och trovärdighet utifrån begreppen reliabilitet och

validitet.

4.5.1 Reliabilitet

Med reliabilitet menas i vilken grad ett tillvägagångssätt kan ge liknande resultat vid olika

tillfällen eller under liknande förhållanden (Bell, 2006). För att studien ska kunna upprepas

och ge överensstämmande resultats reliabilitet har val av metod och analysprocessen

redogjorts detaljerat för. Testuppgifterna som användes i studien, TEMA-3 testet och del-

helhetstestet, finns bifogade med tydliga instruktioner till testledaren vilket borgar för att

liknande resultatet skulle kunna fås om en liknande studie genomförs.

4.5.2 Validitet

Validitet är ett mått på om en frågeställning faktiskt mäter eller beskriver det som avses (Bell,

2006). För att säkerställa studiens validitet användes både en kvantitativ och kvalitativ metod

för att undersöka studiens frågeställningar. Triangulering, att använda olika källor och olika

metoder, används just för att säkra studiens trovärdighet och att man faktiskt mäter det man

avser att mäta (Rossman & Rallis, 2012). I studien följdes elevernas utveckling över tid och

Rossman och Rallis (2012) menar att mätning av samma fenomen vid olika tidpunkter ökar

trovärdigheten för studiens resultat. En annan faktor som möjligen bidrog till studiens

validitet var att femåringarna inte regelbundet deltagit i formell matematikundervisning och

att resultatet därmed i hög grad möjligen kan förklaras av interventionen

4.6 Etiska aspekter I följande text redogörs för på vilket sätt både CoDAC och denna studie har genomförts

med hänsyn till Vetenskapsrådets fyra etiska principer gällande informations-, samtyckes-,

konfidentialitets- och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2017).

• Informationskravet innebär att forskaren ska informera berörda personer om

forskningens syfte samt vilka villkor som gäller för deras deltagande. Inom ramen

för CoDAC beaktades informationskravet genom att föräldrarna via förskolan fick

en skriftlig förfrågan om deltagande i forskningsprojektet. I brevet informerades

också föräldrarna om projektets syfte och upplägg. Jag har granskat brevet i

förhållande till informationskravet och funnit det etiskt riktigt. Däremot kan jag inte

med säkerhet veta att brevet i samtliga fall hanterats på ett korrekt sätt men jag tänker

att föräldrar haft möjlighet att ställa frågor om projektet till personalen.

33

• I samma brev, i ett bifogat formulär, gav vårdnadshavarna genom sin underskrift

godkännande till sitt barns deltagande i studien vilket är i enlighet med

samtyckeskravet. Vidare fick de information om att de närhelst de önskade kunde

meddela att deras barn inte längre fick delta i studien. I brevet som skickades hem

till föräldrarna ombads föräldrarna också ta ställning till om inspelningarna, förutom

i forskningssyfte, även får användas i får användas inom lärarutbildningarna på

Göteborgs universitet och på Högskola Kristianstad.

Att förskolepersonalen både lämnade ut och samlade in dokumentet menar jag borgar

för att bara de elever som getts tillstånd faktiskt deltog i projektet, men eftersom jag

inte har full insyn eller kontroll över hur dokumenten kontrollerades finns möjligen

en risk för att dokumentet inte var fullständigt ifyllt.

• Konfidentialitetskravet handlar om att avidentifiera eleverna och i

forskningsprojektet användes koder om åtta siffror där siffrornas olika positioner gav

information om test, ålder, ort, skola/förskola och individ. I informationsbrevet

informerades också om att inga personuppgifter sparas efter att datainsamlingen

avslutats. Ytterligare åtgärder som vidtogs i forskningsprojektet för att säkerställa

informanternas anonymitet var att skärmen zoomades in vid videoinspelningen så att

eleverna inte skulle synas i helbild. I syfte att säkra eleverna anonymitet har jag valt

att endast använt mig av de fyra sista siffrorna i elevernas identifikationskod.

• I enlighet med nyttjandekravet gäller att insamlade uppgifter om enskilda personer

endast får användas för forskningsändamål och inte för kommersiellt bruk eller andra

icke-vetenskapliga syften. Studien är skriven inom ramen för Masterprogrammet

inriktning specialpedagogik och den kommer endast att publiceras på Malmö

universitets databas.

34

5. Resultat och analys Studiens resultat och resultatanalys presenteras utifrån studiens båda frågeställningar:

• Vilket lärande gällande tals kardinala aspekter möjliggörs i Fingu?

• Vilket lärande gällande tals kardinala aspekter utvecklar femåringar när de spelar

Fingu

5. 1 Lärande som möjliggörs i Fingu Ett av variationsteorins antagande är att lärande förutsätter en variation av fenomenets olika

natur för att lärande ska möjliggöras (Pang, 2003). De variationsmönster som finns inbyggda i

spelet byggs upp av olika gestaltningar och kombinationer av dessa gestaltningar (figur 2).

Figur 2. Mönstergestaltningar som används i Fingu för att representera

antalen 1-10 (Holgersson et al. 2016).

De aspekter av kardinalitetsbegreppet som identifierades i videoinspelningarna och som

eleverna gavs möjlighet att erfara i spelet kategoriserades i de tre aspekterna: ekvivalens, del-

helhetsbegreppet och subitisering.

5.1.1 Ekvivalens

En aspekt av kardinalitetsbegreppet som eleverna ges möjlighet att utveckla är ekvivalens,

det vill säga att ha förståelse för att en uppsättning objekt har samman värde som en annan

uppsättning objekt med lika många föremål. De kritiska drag som identifierades kopplat till

ekvivalens var dels en förståelse för att antal är detsamma oavsett objekt, det vill säga att antalet

fem är detsamma även om objekten eller färgerna på objekten skiljer sig åt, men också att det

inte spelar någon roll hur objekten är ordnade. I spelet kontrasteras olika antal mot varandra då

olika antal frukter visas på skärmen. Dessutom visas antal mellan tre till nio som olika

gestaltningar med ett konstant antal vilket kräver en förmåga att kunna urskilja antal oavsett

gestaltning.

35

Tabell 1: Variationsmönster till den kritiska aspekten ekvivalens

Kritiska drag Konstant varierar Variationsmönster

Förståelse för att

olika

uppsättningar

med objekt har

samma

värde/antal om

de är i en- till en

korrespondens

med varandra.

Frukter Antal Kontrast genom olika

antal frukter.

Generalisering att

antalet frukter och

fingrar måste vara

detsamma.

Förståelse för att

antalet är

konstant oavsett

hur objekten är

ordnade.

Antal Gestaltningarna Kontrast skapas genom

olika gestaltningar och

kombinationer av

gestaltningar med

samma antal frukter.

Generalisering, samma

antal visas på olika sätt

(olika gestaltningar

och kombinationer av

gestaltningar).

5.1.2 Del-helhetsbegreppet

De olika gestaltningarna presenteras både en i taget men också som en kombination där olika

variationsmönster byggs upp genom att gestaltningarna kombineras på olika sätt. Antalet fem

kan till exempel visas antingen som en gestaltning (5a eller 5b) bestående av samma fruktsort

eller som en kombination av två olika gestaltningar med olika antal frukter så som 1+4, 4+1,

2+3 och 3+2.

36

Tabell 2. Antalet frukter, mönstergestaltning och antalskombinationer på de olika

spelnivåerna.

Nivå Antal frukter Gestaltning Kombinationer av gestaltningar

1 1-5 1, 2, 3a, 3b, 4a, 5a 1+1, 2+1, 3a+1, 2+2, 3a+2

2 2-6 1, 2, 3a, 3b, 4a, 5a 2+1, 3a+1, 2+2, 4+1, 3b+2, 4a+2, 3a+3a

3 3-7 1, 2, 3a, 3b, 4a, 4b, 5a

3b+1, 4a+1, 3a+2, 5a+1, 4b+2, 3a+3b, 5a+2, 4a+3b

4 4-8 3a, 4a, 4b, 5a, 5b, 6b, 7b

4a+1, 5b+1, 4a+2, 6b+1, 5a+2, 5b+3a, 4a+4a

5 5-9 3b, 4a, 4b, 5a, 5b, 6a, 6b, 7b,

5a+1, 6b+1, 4b+3a, 6a+2, 5a+3b, 4a+4b, 6b+3a, 5b+4b, 5a+5b

6 5-10 3b, 4a, 4b, 5a, 5b, 6a, 6b, 7a, 7b, 8a, 8b

4b+1, 3b+3b, 6a+1, 5b+2, 7b+1, 6b+2, 5b+3a, 8b+1, 7a+ , 6a+3b, 6a+4a, 5a+5a

7 6-10 4b, 5b, 6a, 6b, 7a, 7b, 8a, 8b, 9a, 9b, 10,

5b+2, 4b+3b, 7a+1, 4b+4b, 8a+1, 6b+3b, 9b+1, 8b+2, 7b+3a,

Genom dessa variationsmönster ges eleverna möjlighet att utveckla lärande om den kritiska

aspekten tals del-helhetsrelationer som byggs upp av en förståelse för de kritiska dragen att tal

kan sättas samman till en ny helhet, att tal kan delas upp i mindre antalsenheter eller att tal kan

sättas samman och delas upp på olika sätt. Även här hålls antalet konstant och de helheter

(gestaltningar) och antalsenheter som bygger upp helheten varierar vilket öppnar upp för att

eleverna ges möjlighet att generalisera, det vill säga urskilja ett talbegrepp som ett konstant

värde.

Eleverna kan välja att antingen mappa, det vill säga att representera respektive fruktsorts

antal med vardera handen eller kan de transformera eller omgruppera antal genom att flytta över

antal mellan sina fingrar. I spelet kan till exempel femgestaltningarna (5a och 5b) representeras

med 3 fingrar på ena handen och 2 på den andra (3+2), men även som 4+1 eller som hel hand

(5) men det är också möjligt att göra tvärtom, det vill säga att representera 3+2 som 5. Detta

sätt att ombilda antal, antingen genom att dela upp helheten eller att sammanfoga två delar till

en helhet benämns i arbetet för transformering. På de lägre nivåerna (1-3) är det möjligt att

37

mappa antalet frukter, det vill säga att representerar respektive fruktsorts antal med vardera

handen vilket inte går när antalet frukter av en sort överstiger fem (nivå 4-7). För att kunna

hantera antal över fem, såsom 6+3, måste eleverna transformera eller flytta över antal mellan

sina fingrar och istället visa 4+5 eller 5+4. Denna typ av variationsmönster som inbegriper

samtidig variation av två eller flera aspekter möjliggör fusion vilket i detta fall innebär att

eleverna samtidigt kan erfara att tal både kan delas upp och sättas samman på olika sätt.

Tabell 3. Variationsmönster till den kritiska aspekten del-helhetsbegreppet.

Kritiska drag konstant Varierar Variationsmönster

En förståelse för

att antal kan

sättas samman

och att helheten

då blir större.

Helheten > än

delarna

olika

kombinationer av

gestaltningar

Kontrast genom olika gestaltningar där

gestaltningar med fler än fem frukter

tvingar eleverna att transformera antal

mellan sina fingrar.

Generalisering att samma antal kan

representeras på olika sätt.

En förståelse för

att helheter kan

delas upp i

mindre

antalsenheter

eller delar.

Delarna är <

helheten

Olika

gestaltningar

Kontrast genom att olika

gestaltningar/helheter visas i spelet.

Generalisering då gestaltningen är större

än fem måste antalet transformeras och

omgrupperas mellan fingrarna.

Att antal kan

transformeras

och delas upp på

olika sätt

Antal Gestaltningar och

olika

kombinationer av

gestaltningar

Fusion då gestaltningarna visas både som

enskilda helheter men också kombineras.

5.1.3 Subitisering

Ytterligare en aspekt av kardinalitetsbegreppet som eleverna gavs möjlighet att utveckla i

spelet var subitiseringsförmågan. Tiden som eleverna har på sig att uppfatta antalet frukter och

38

placera lika många fingrar på skärmen är begränsad vilket gör att eleverna inte hinner räkna

(pekräkna, ramsräkna). Antalen 1 till 3 uppfattar vi människor utan att räkna vilket benämns

perceptuell subitisering och denna grundläggande kompetens utgör grunden i konceptuell

subitiseringsförmågan som innebär att mentalt kunna strukturera och gruppera ett större antal

objekt (> 4) i mindre enheter om 1-3 objekt (Clements & Sarama, 2014). Antal mellan tre till

nio visas som två olika gestaltningar i en a och en b-variant där a-varianten för antal mellan 1-

6 är desamma som tärningsmönstren. Tärningsmönstren har eleverna troligen stött på tidigare

vilket gör att de ”bara vet” och direkt känner igen antalen. För att korrekt och säkert kunna

fastslå en gestaltning som innehåller ett större antal objekt måste de mentalt kunna urskilja

mindre antalsenheter i den större mängden objekt (Clements & Sarama, 2014). Denna förmåga

att samtidigt kunna uppfatta både delarna och helhet benämns inom variationsteorin för

simultanitet. De variationsmönster som finns i spelet gällande subitisering beskrivs i tabellen

nedan.

Tabell 4. Variationsmönster till den kritiska aspekten subitisering.

Kritiska drag Konstant Varierar Variationsmönster

Perceptuell

subitisering

Tiden Gestaltninga om 1-3

frukter

Kontrast då olika antal

och gestaltningar

visas.

Generalisering att

direkt uppfatta antal

om 1-3.

Konceptuell

subitisering

tiden Gestaltningar om fler än

3 frukter

Fusion att samtidigt

kunna urskilja mindre

antalsenheter och att

kunna sätta samman

dessa till en helhet

5.2 Elevernas lärande gällande talens kardinala aspekter Inledningsvis redogörs för resultatet på TEMA-3 testet (tabell 6) där urvalet av informanter till

fallstudierna gjordes på grundval av antal förbättrade uppgifter. Under fallstudier presenteras

39

och analyseras respektive informants lärande eller förändrade sätt att erfara lärandeobjektet på

utifrån de data som samlats in från de olika källorna.

5.2.1 TEMA-3 De uppgifter från TEMA-3-testet som behandlar kardinalitetsbegreppet och som därmed

användes i studien finns formulerade i tabell 5. I tabellen finns anvisningar till testledaren och

i bifogad bilaga (bilaga 1) finns uppgifterna i sin helhet.

Tabell 5. Anvisningar till testledaren för del-helhetsuppgifterna i TEMA-3

16 17 25 26 Johan har 5 brickor, och så

får han 2 till. Hur många

har han tillsammans? Om

du vill kan du använda

dina fingrar eller de här

brickorna för att ta reda på

svaret.

Nu ska jag berätta

några räknesagor. Du

kan använda dina

fingrar, de här

brickorna, tänka i

huvudet eller göra en

bra gissning för att få

fram svaret.

Jag ska berätta några

räknesagor för dig. Du kan

använda de här brickorna

om du vill. Om barnet

använder en framgångsrik

räknestrategi fråga om de

kan besvara frågan utan att

räkna.

Lägg 2 brickor i din

vänstra hand och 1 bricka i

din högra. Säg: Se här, jag

har 2 brickor i den här

handen, och 1 bricka i den

här. Nu lägger jag ihop

brickorna. Hur mycket är 2

och 1 tillsammans?

Eleverna som ingår i fallstudierna är markerade med grå färg i tabellen nedan (tabell 6). I

tabellen används de identifikationskoder som eleverna hade i CoDAC-projektet men i den

löpande texten väljer jag att också ge eleverna fiktiva namn för att skapa mer flyt i både läsning

och skrivning. I kolumnen näst längst till höger framgår det hur många av del-

helhetsuppgifterna som eleverna förbättrade sig på och längst till höger finns det sammanlagda

antalet uppgifter som respektive elev spelade under interventionsperioden. Som jämförelse kan

nämnas att medelvärdet för antal spelade uppgifter för femåringarna är 1270.

De uppgifter som eleverna förbättrade sig på, det vill säga uppgifter som eleverna inte

klarade på förtestet men som de klarade på eftertestet markerades med ett x (se tabell 6). Av de

totalt 33 femåringarna förbättrade 14 av dem sig på minst en av del-helhetsuppgifterna.

40

Tabell 6. Antal förbättrade uppgifter på delhelhetsuppgifterna i TEMA- 3-testet samt antal

spelade uppgifter för eleverna som ingår i fallstudierna (ljusgrå formatering).

Elev

Uppgifter konstruerade för 5-

åringar

Uppgifter konstruerade för

6-åringar

Antal förbättrade uppgifter

Antal spelade uppgifter

16 17 25 26 1101 x x 2 1102 0 1103 0 1104 x 1 445 2101 x x 2 792 2102 x 1 2103 0 2104 x 1 3101 0 820 3102 0 4101 x 1 4102 x x 2 4103 x 1 4104 x x 2 4105 0 4107 0 4110 0 5101 0 2299 5102 x x 2 4385 5104 x x x 3 5105 x 1 5106 0 5107 0 5108 0 5109 x 1 1270 5110 0 6101 0 6102 0 6103 0 6104 0 6105 0 6106 x 1 6107 0 6 7 2 6

Sammanfattande analys

Resultatet visar att eleverna i olika grad förbättrade sig på TEMA-3 testets uppgifter. Uppgift

16, som prövar kunnande om att två delar tillsammans bildar en helhet förbättrade sig sex elever

på. I uppgift 17 testas istället kunnande om att en helhet består av mindre delar. Svaret behöver

41

inte vara exakt men eleverna måste visa kunnande om att varje del för sig får inte kan vara

större än den ursprungliga helheten. Uppgift 17 förbättrade sju av eleverna sig på. Till skillnad

från i uppgift 17 ska eleverna i uppgift 26 ge ett exakt svar utan stöd av konkret material.

Eleverna förväntas visa kunnande om att de båda delarna 3 och 4 bildar helheten 7. Antal elever

som förbättrade sig på denna uppgift var lika många som i uppgift 16, det vill säga sex stycken.

Den uppgift, kopplat till del-helhetskompetens, som bara två av eleverna förbättrade sig på var

uppgift 25 som handlade om att dela 12 i lika stora 2- och 3-grupperingar.

5.2.2 Fallstudier

I denna del presenteras sex olika fallstudier som syftar till att beskriva hur eleverna

uppfattade lärandeobjektet tals kardinalitet.

Fallstudierna redogörs för utifrån flest antal förbättrade uppgifter på TEMA- 3-testet till

minst antal förbättrade uppgifter. Resultatet av videoinspelningarna delges under olika

underrubriker där rubriken indikerar den nivå som eleven spelade på när inspelningen gjordes.

Avsnittet avslutas med en sammanfattande analys av samtliga fallstudier.

Elever med två förbättrade uppgifter på TEMA-3-testet

Kim (elev 2101)

TEMA-3-testet

Kim förbättrade sig på uppgiften som handlade om att kunna addera två delar till en helhet och

på uppgiften som handlade om att en helhet kan delas upp i två mindre delar där helheten är

större än varje del för sig. Kim visar därmed att han utvecklat kunnande om tals del-

helhetsrelationer.

Videoinspelning

Nivå 1

Vid första tillfället, när Kim spelar på nivå 1 använder hen bara högerhanden och hen

försöker vidröra eller mappa frukterna med fingrarna. Tärningsfemma (5a) representerar hen

direkt med hel hand och likaså tärningstrean (3a) och tvåan. Kim visar därmed förståelse för

ekvivalensbegreppet, att antalet frukter måste vara lika många som antalet fingrar.

Triangeltrean (3b) uppfattar hen inte som antalet 3 utan hen representerar den med hel hand.

Kim transformerar 3a + 2a till helheten 5 (hel hand). Hen uppfattar att 1+1 är helheten 2 då hen

sätter ner två fingrar med höger hand.

42

Nivå 5

Kim uppfattar direkt antalet 4 i de båda olika gestaltningarna (4a och 4b) och hen viker in

tummen när hen representerar 4. Däremot har Kim lite motoriska svårigheter med att formera

antalet tre med en hand. Vidare kan konstateras att hen direkt uppfattar fem i gestaltningen 5b.

Hen tycks inte uppfatta antalet i 6b eftersom hen vid flera tillfällen representerar denna med hel

hand. Gestaltningen 7b representerar hen som 5+2 och 6a (tärningssexan) som bestående av

delarna 3 och 3.

Nivå 6

På nivå 6 undersöker Kim gestaltningen 6b genom att pekräkna. Vid ett tillfälle hinner hen

räkna alla sex frukterna och efter ett tags spelande lär hen sig att representera 6b som 5+1.

Fortsättningsvis räknar Kim bara två av frukterna innan hen högt konstaterar att det är ”sex”.

Hen uppfattar antalet 7 i båda gestaltningarna (7a och 7b). Vidare visar hen kunskap om att 1+4

bildar helheten 5 men också att helheten 6 bestå av delarna 5+1. Antalet 7 representerar hen

som 5+2 och hen transformerar även 1+6 som 5+2. I uppgiften 7b +1 utgår hen från att hen vet

att 7 är detsamma som 5+2 vilket blir tydligt då hen direkt säger 7, 8 samtidigt som hen direkt

formerar 5+2 för att sedan lägga till en (långfingret). Uppgiften 4a+6a löser hen genom att utgå

från att 6a är detsamma som 3+3. Därefter viker hen ut tumme och lillfinger på respektive hand.

Inledningsvis tittar hen på sina fingrar men i slutet sätter hen ner två händer direkt.

Sammanfattande analys av videoinspelning

Kim uppfattade direkt samtliga gestaltningar för antalen 1 till 6. Den enda gestaltning som

han med säkerhet kände igen i talområdet över 6, är 7b som är formerad som en cirkel. Kim

visade genomgående prov på perceptuell subitiseringsförmåga då hen direkt bestämde antal om

1 till 3. En början till konceptuell förmåga uppvisade hen då hen representerade helheten 6 som

3+3 och hen kunde urskilja de två mindre antalsenheterna om tre. Kim kopplade direkt ihop det

visuellt uppfattade antalet frukter med sina fingrar och hen var väl förtrogen med att

representera antal upp till 7 med sina fingrar. Kim visade förståelse av ekvivalensbegreppet då

hen uppfattade två treheter i sex genom att hen direkt visade 3+3 med sina båda händer. När

hen ombildade 7 som 5+2 visar hen att hen till viss del hade uppfattat den halvdecimala

strukturen i talen mellan 6 och 10. En tolkning är att hen också hade förståelse för att en till

(+1) är nästa tal i talsekvensen vilket grundas i hen transformerade 6 som 5+ 1 och 5 som 4+1.

Denna förmåga att uppfatta nästa tal i talsekvensen som ett mer är ytterligare en kritisk aspekt

av kardinalitetsbegreppet. Kim visade prov på att hen utvecklat kompetens att erfara tal både

som delar av en helhet men också att helheten kan bestå av mindre delar.

43

Del-helhetstestet

Kim förbättrade sig på samtliga uppgifter som handlade om att visa antalen 2-5 med två

händer och hen klarade fyra av fem uppgifter på eftertestet. På förtestet visade Kim antalet på

vardera handen, till exempel visade hen 4 som 4+4 och 5 som 5+5 vilket kan tolkas som att hen

inte hade uppfattat att ett tal kan delas upp i mindre antalsenheter. Hen lärde också sig att

representera åtta med fingertalen 3+5 och 5+3. Kim kunde muntligt, utan fingertalsstöd, uppge

femkompisarna till 1, 2 och 3.

Tabell 7: Sammanfattande analys av Kims utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.

Grönt indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att

eleven ännu inte urskilt draget. Kritisk aspekt Kritiska drag

Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt

har samma värde om de är i en- till en

korrespondens med varandra.

Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur

objekten är ordnade.

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och

bilda nya helheter

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i

mindre antalsenheter eller delar.

Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och delas

upp på olika sätt.

Subitisering Perceptuell subitisering

subitisering Konceptuell subitisering

Robin (elev 5102)

TEMA-3-testet

Robin förbättrade sig på uppgiften som handlade om att kunna addera två delar till en helhet

och på uppgiften som handlade om att addera två delar till en helhet utan visuellt eller konkret

stöd vilket kan tolkas som att Robin har urskilt att två delar (tal) kan sättas samman till en ny

helhet.

44

Videoinspelning

Nivå 1

Robin subitiserar antalen 1, 2 och 3, direkt vilket tyder på perceptuell subitiseringsförmåga.

Robin representerar tärningsfemman med en hel hand och den tycktes han känna igen. (4a) som

2+2. Första gången tärningsfyran (4a) visades representerade han den som 2+2 men då han inte

lyckades sätta ner fingrarna samtidigt indikerades felsvar och därefter representerade han

tärningsfyran med 3 fingrar.

Robin svara oftast med att mappa (2+2), det vill säga han visar den ena sortens frukt med

höger hand och andra sortens frukt med vänster hand vilket kan tolkas som att hen har en

förståelse av ekvivalenssbegreppet. Robin representerar de båda kombinationerna 1+2 och 2+1

med 3 fingrar på ena handen, det vill säga att han vet att de båda delarna tillsammans bildar

helheten 3. När 3 adderas med 1 får han svårigheter med att direkt representera antalet med

fingrarna och man kan se hur han försöker räkna antalet fingrar.

Nivå 5

Vid detta tillfälle är Robin okoncentrerad. Han visar dock att han direkt uppfattar både

tärningsfemman (5a) och pyramidfemman (5b) men även de båda fyrorna (4a och 4b). De båda

gestaltningarna av 6 transformerar han till 3+3. Han visar också att han vet att delarna 5+1 blir

helheten 6 och här visar han även förståelse för kommutativa lagen för addition då han

representerar 5+1 som 1+5. Däremot klarar han inte av uppgifter som 2+6 och säger ”hur många

är de” varpå han försöker pekräkna men han hinner inte.

Nivå 7

Den enda gestaltning som Robin inte direkt uppfattar är 8a, däremot känner han igen 8b

direkt. Första gången 8a visas gissar han medan han pekräknar rätt nästa gång den visas. Även

9b blir fel första gången då han uppfattar denna som 10 medan han direkt uppfattar den korrekt

andra gången den visas.

Sammanfattande analys av videoinspelning

Robin lärde sig att känna igen de gestaltningar som ingick i spelet och han koordinerade det

visuellt presenterade antalet frukter motoriskt med sina fingrar upp till 10. Han visade på en

viss konceptuell subitiseringsförmåga, när hen representerade 6 som 3+3 och 4 som 2+2 då hen

grupperade antalet i mindre enheter eller kända mönster. Helheten 8 (8b) representerade hen

genomgående som 3+5 och det är möjlig att hen mentalt kunde urskilja antalsgrupperna 3 och

5 i gestaltningen.

45

Robin visade att han behärskade kardinalitetsbegreppet för talen 1-10. Hen hanterade antal

på ett flexibelt sätt och hen uppfattade tal både som delar av en helhet men också som helheten

bestående av mindre delar. Robin transformerade antalet 10 på olika sätt såsom 9+1, 5+5, 3+7

och 2+8. Hen visade också kunskap om att 9 kan vara 4+5, 6+3 och 1+8 men också att 8 består

av delarna 3+5 och 7+1. Antalet 6 (6a och 6b) däremot representerades konsekvent som 3+3.

Del-helhetstestet

Robin förbättrade sig på alla uppgifter som handlade om att visa antalen 2-5 med två händer.

Talen 2, 3 och 5 representerade hen som 2+0, 3+0 och 0+5 med sina fingrar. På förtestet visade

Robin däremot antalet på vardera handen vilket kan tolkas som att hen inte då uppfattat att ett

tal kan delas upp i mindre antalsenheter. På eftertestet kunde hen också visa två olika

kombinationer av 6 (5+1, 4+2) och 8 (4+4, 5+3) vilket hen inte kunde på förtestet. Kim

utvecklade också kunnande om att muntligt, utan fingertalsstöd, uppge femkompisarna till 2, 3,

4 och 5. Däremot uppvisade hen inte kompetens i att muntligt kunna uppge femkompisen till

fem. Robin kunde inte muntligt uppge någon tiokompis, varken på för- eller eftertestet.

Tabell 8: Sammanfattande analys av Robins utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.

Grönt indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att

eleven ännu inte urskilt draget. Kritisk aspekt Kritiska drag

Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt

har samma värde om de är i en- till en

korrespondens med varandra.

Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur

objekten är ordnade.

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och

bilda nya helheter

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i

mindre antalsenheter eller delar.

Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och delas

upp på olika sätt

Subitisering Perceptuell subitisering

subitisering Konceptuell subitisering

46

Kommentar: Eftersom Robin spelat väldigt många

gånger är det svårt att avgöra om hen faktiskt

uppfattar mindre antalsenheter i en större mängd

eller om hen bara lärt sig att känna igen samtliga

gestaltningar.

Elever med en förbättrad uppgift på TEMA-3-testet

Alex (elev 1104)

TEMA-3-testet

Alex förbättrade sig på uppgiften som handlade om att en helhet kan delas upp i två mindre

delar där helheten är större än varje del för sig. Alex visar kunnande om att tal kan delas upp i

mindre antalsenheter.

Videoinspelning

Nivå 1

Alex klarar nivå 1 först i den fjärde omgången. Hen subitiserar antalet 1 och 2 och hen känner

direkt igen tärningsfemman (5a) och de båda tremönstren (3a och 3b) och hen sätter ner lika

många fingrar som antal frukter (ekvivalens). De första tre spelomgångarna uppfattar hen inte

antalet 4 i tärningsfyran (4a) utan det är först i fjärde omgången som hen representerar fyra som

hand minus tumme. Däremot representerar hen genomgående 2 stycken tvåor som helheten 4.

Alex representerar redan från början 2+3 som helheten 5 och hen vet också att 1+1 ger helheten

2 och att 1+2 är 3 och 3+1 är 4.

Nivå 2

Alex visar säkerhet i att uppfatta gestaltningen 4a (tärningsfyran) och hen tar stöd i den

halvdecimala strukturen då hen omgrupperar 3+3 till 5+1.

Nivå 5

Gestaltningarna 4b, 5b och 6a känner Alex igen direkt, däremot inte 6b och 7b. Hen mappar

kombinationer som hen inte måste ombilda såsom 4b + 3a. Alex visar att hen vet att antalet 6

kan representeras på olika sätt såsom 3+3 och 5+1. Vidare kan hen olika talkombinationer för

antalet 8, både som 5+3 men också som dubbla fyror. Hen vet också att 6+2 kan representeras

som 4+4.

Sammanfattande analys av videoinspelning

Alex visade prov på perceptuell subitisering då hen direkt uppfattade antal om 3 stycken.

Efterhand lärde hen sig att känna igen fler och fler gestaltningar såsom tärningsmönstren men

47

också 4b och 5b. Hen visade 6 som 3+3 vilket skulle kunna indikera en viss konceptuell

kompetens men den troliga tolkningen är att hen ännu inte kunde urskilja grupper eller mönster

av antal i en gestaltning med många objekt. Hen behärskade kardinalitetsprincipen gällande

del- helhetsbegreppet för antal mellan 1- 6 men också för antalet 8. Alex koordinerade det

visuellt uppfattade antalet frukter direkt med sina fingrar och hen var väl förtrogen med att

representera antal mellan 1-6 men även antalet 8 med sina fingrar.

Del-helhetstestet

Alex förbättrade sig på samtliga uppgifter som handlade om att visa antalen 2-5 med två

händer som hen på förtestet konsekvent visade som 2+2, 3+3, 4+4 och 5+5. Detta kan tolkas

som att hen har erfarit att ett tal kan delas upp i mindre antalsenheter. Alex visar redan på

förtestet kunnande om att representera antalen 6, 8 och 10 med två händer men på eftertestet

visar hen ytterligare en kombination för antalet 8.

Alex kunde muntligt uppge femkompisarna innan testet och på förtestet gav hen

kombinationen 5+5 som ett förslag till att bilda helheten 10 vilket var densamma som på

eftertestet.

Tabell 9: Sammanfattande analys av Alex utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.

Grönt indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att

eleven ännu inte urskilt draget. Kritisk aspekt Kritiska drag

Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt

har samma värde om de är i en- till en

korrespondens med varandra.

Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur

objekten är ordnade.

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och

bilda nya helheter

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i

mindre antalsenheter eller delar.

Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och delas

upp på olika sätt

Subitisering Perceptuell subitisering

48

subitisering Konceptuell subitisering

Joan (elev 5109)

TEMA-3-testet

Joan förbättrade sig på uppgiften som handlade om att kunna addera två delar till en helhet utan

visuellt eller konkret stöd. Hen visar därmed visst kunnande om tals del-helhetsrelationer

Videoinspelning

Nivå 1

Joan uppfattar utan att pekräkna antalen 1-5. Hen mappar samtliga kombinationer förutom

tärningsfyran som hen som hen uppfattar som två stycken tvåor och visar därmed kunnande

om ekvivalenssbegreppet. Hen uppfattar även att delarna 1+1 bildar helhet 2.

Nivå 7 (film 2 och 3)

Joan uppfattar direkt, utan att pekräkna, samtliga gestaltningar av antal upp till och med fem.

Tärningssexan (6a) och tio-gestaltningen känner hen också igen direkt. Övriga gestaltningar

pekräknar hen konsekvent. I de fall det är möjligt mappar hen (4+3, 4+2, 4+4, 5+2). I resterande

fall, då en hand inte räcker för att representera en fruktsort, omgrupperar hen antalet på

fingrarna. Hen visar att hen på ett flexibelt sätt kan transformera antalen 8 till 10 t.ex. 8=3+5,

6+3=4+5, 8+2=5+5 etcetera.

Resultatanalys videoinspelning

Joan subitiserade antalen 1 till 5 samt tärningssexan och 10 gestaltningen direkt. Joan visade

att hen behärskar kardinalitetsprincipen för alla antal mellan 1-10 förutom antalet 7. Hen

fastslog antalet i övriga gestaltningar genom att pekräkna. När hen väl tagit reda på antalet

genom pekräkning representerade hen med lätthet antalet med sina fingrar.

Del-helhetstestet

Joan förbättrade sig bara på uppgiften som handlade om att representera 6 med två händer.

Antal mellan 2- 5 representerade hen även efter interventionen genom att visa samma antal på

båda fingrarna (2+2, 3+3). Enligt testet försämrades till och med hens resultat något då hen i

förtestet kunde uppge femkompisarna till 2 och 3 vilket hen inte visade kunnande om på

eftertestet.

49

Tabell 10: Sammanfattande analys av Joans utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.

Grönt indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att

eleven ännu inte urskilt draget. Kritisk aspekt Kritiska drag

Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt

har samma värde om de är i en- till en

korrespondens med varandra.

Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur

objekten är ordnade.

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och

bilda nya helheter

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i

mindre antalsenheter eller delar.

Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och

delas upp på olika sätt

Subitisering Perceptuell subitisering

subitisering Konceptuell subitisering

Elever utan förbättrade uppgifter på TEMA-3 testet

Kai (elev 3101)

TEMA-3-testet

Inga identifierade förbättrade uppgifter.

Videoinspelning

Nivå 1

Kai uppfattar direkt 1, 2, 3 (3a och 3b) och tärningsfyran. Däremot är hen osäker på

tärningsfemman som hen representerar på olika felaktiga sätt och hen uppfattar inte att delarna

3 och 2 bildar helheten 5. Hen berättar muntligt att tärningsfyran består av två stycken tvåor då

hen säger ”två, två” samtidigt som hen registrerar fyra fingrar med en hand. Övriga

kombinationer mappar hen. Kai visar därmed också förståelse för ekvivalensbegreppet.

Nivå 5

Kai känner nu direkt igen tärningsfemman och representerar den som hel hand. Hen

uppfattar också direkt 7b som hen korrekt representerar som 2+5. Vidare visar hen att hen nu

också känner igen den alternativa gestaltningen för antalet 4 (4b). Hen gör en ansats till att

pekräkna gestaltningen 6b men hinner inte.

Nivå 6

50

Kai visar att hen är förtrogen med samtliga gestaltningar för antal mellan 1 till 5 samt för

mönstret 7b som hen representerar som 5+2. Övriga gestaltningar kan hen ännu inte identifiera.

Hen uppfattar helheten 4 som 2+2 och 7 som 5+2.

Sammanfattning videoinspelning

Kai subitiserade antalet 1- 3 som hen representerade korrekt med fingrarna. Kai lärde sig under

tiden som hen spelade att känna igen gestaltningarna för 4 och 5. Gestaltningen för 7 (7b)

representerade hen som 5+2. Kai visar också att hen uppfattade de ”lika stora” delarna 2+2 i

helheten 4.

Del-helhetstestet

Kai kunde på eftertestet visa antalet 3 och 2 med två händer men också antalet 6 som 5+1.

Övriga helheter (5,4 8 och 10) kunde hen däremot inte visa med två händer. På eftertestet kunde

Kai också uppge femkompisarna till 4, 1 och 3 men hen kunde inte ge några förslag på

kombinationer som ger 10.

Tabell 11: Sammanfattande analys av Kais utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.

Grön indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att

eleven ännu inte urskilt draget. Kritisk aspekt Kritiska drag

Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt

har samma värde om de är i en- till en

korrespondens med varandra.

Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur

objekten är ordnade.

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och

bilda nya helheter

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i

mindre antalsenheter eller delar.

Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och delas

upp på olika sätt

Subitisering Perceptuell subitisering

subitisering Konceptuell subitisering

51

Sam (elev 5101)

TEMA-3-testet

Inga förbättrade uppgifter.

Videoinspelning

Nivå 1

Sam uppfattar direkt samtliga tärningsmönster upp till och med fem (1, 2, 3a, 4a, 5a) och även

3b (pyramidtrean). Hen mappar antalet frukter upp till och med 5 förutom 1+1 som

transformeras till helheten 2.

Nivå 5 (film 2 och 3)

Sam identifierar gestaltningarna av antal upp till och med antalet 7. Konfigurationen 6b

representeras dock genomgående som hel hand. Kombinationer där antalet frukter i respektive

gestaltning understiger fem, mappar hen genomgående. Sam transformerar antalet sex som 3+3

då antalet visas som tärningsmönster och 7 uppfattas som bestående av hel hand plus två. Sam

transformerar 6+2 som 4+4 men också som 5+3.

Sammanfattande videoanalys

Sam subitiserade olika gestaltningar av antal 1-7. Den gestaltning som vållade henne

svårigheter var 6b som hen genomgående representerade som hel hand. Kombinationer där

antalet frukter i respektive gestaltning understeg fem, mappade hen genomgående. Sam visade

viss förståelse för att antal kan sättas samman och delas upp på olika sätt. Sam koordinerade

det visuellt uppfattade antalet frukter direkt med sina fingrar och hen var väl förtrogen med att

representera antal mellan 1-8 med sina fingrar vilket tyder på förståelse för

ekvivalensbegreppet.

Del-helhetstestet

Sam förbättrade sig på uppgifterna som handlade om att visa antalen 3 och 2 med två händer.

I talområdet 6-10 kunde ingen förbättring urskiljas. Sam kunde inte heller muntligt, utan

fingertalsstöd, uppge någon fem- eller tiokompis.

52

Tabell 12: Sammanfattande analys av Sams utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.

Grön indikerar ett kunnande, gult att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att eleven

ännu inte urskilt draget. Kritisk aspekt Kritiska drag

Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med

objekt har samma värde om de är i en- till en

korrespondens med varandra.

Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett

hur objekten är ordnade.

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och

bilda nya helheter

Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i

mindre antalsenheter eller delar.

Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och

delas upp på olika sätt

Subitisering Perceptuell subitisering

subitisering Konceptuell subitisering

5.3 Sammanfattande analys I följande avsnitt görs en sammanfattning av det kunnande som eleverna utvecklade när de

spelade Fingu med fokus på de kritiska aspekterna av kardinalitetsbegreppet: ekvivalens, tals

del-helhetsrelationer och subitisering.

5.3.1 Ekvivalens

En förståelse av ekvivalensbegreppet innefattar en förståelse för att en uppsättning med tre

föremål innehåller lika många föremål som en annan uppsättning med tre föremål men också

att antalet är oberoende av hur objekten är ordnade eller vilka objekten är (Nunes & Bryant,

2007). Eleverna visade redan på nivå 1 motorisk förståelse för ekvivalensbegreppet då de taktilt

parade ihop frukt och fingrar genom en-till- en- metoden. På denna lägre spelnivå (nivå 1-3)

mappade flera av eleverna frukterna med sina fingrar, det vill säga de satte fingrarna på

frukterna, medan mappning bara förekom vid enstaka tillfällen på de högre nivåerna (nivå 4-

7). En kvalitativ förändring kopplat till ekvivalensbegreppet som identifierades, var att eleverna

övergick till att mentalt kunna föreställa sig antalet frukter och att representera detta antal med

sina fingrar. Antalet frukter men också fruktsorterna varierade och dessutom visades samma

antal som olika gestaltningar. Dessa olika variationsmönster gav eleverna möjlighet att erfara

53

antal oavsett hur antalen presenterades eller vilka fruktsort som visades. Sammanfattningsvis

kan konstateras att samtliga elever urskilde de kritiska dragen att antal i två uppsättningar

(frukter och fingrar) som är i en-till-en korrespondens har samma värde men också att värdet

eller antalet är oberoende av hur objekten är ordnade och de visade på en simultan förmåga att

samtidigt kunna uppfatta de kritiska dragen av aspekten likvärdighet.

5.3.2 Tals del-helhetsrelationer

Flera elever visade inledningsvis kunnande om att de båda delarna 1+1 kan bilda helheten

två. Detta visade de då de representerar 1+1 (päron + apelsin visas på skärmen) med ena

handens fingrar. Även 2+2 representeras som helheten 4 (med en hand). Andra exempel på del-

helhetskompetenser som eleverna visar är att 1+2=3, 3+2=5 och 3+1=4.

De flesta elever visade kunnande om att helheten åtta består av två stycken 4:or, sex av två

3:or och fyra av två 2:or. Andra talkombinationer som flera av eleverna transformerade var

7=5+2, 4+4=5+3 och 1+4=5 vilket kan tolkas som att de också uppfattat femstrukturen i talen.

Konstateras kan att alla elever förändrade sitt sätt att representera del-helheter med sina fingrar.

Alla elever utvecklade kunnande om något av de kritiska dragen: att tal kan sättas samman och

bilda nya helheter och att helheter kan delas upp i mindre antalsenheter. Att kunna dela upp och

sätta samman tal på ett flexibelt sätt det vill säga att simultant kunna hantera de båda kritiska

dragen av del-helhetsbegreppet utvecklade eleverna varierat kunnande om. En viktig grund för

att kunna hantera tal flexibelt och för att kunna utveckla aritmetisk kompetens är just att ha

kunnande om att antal kan grupperas och transformeras på olika sätt (Anghileri, 2006; Neuman,

1987; Sterner, 2015). Av de sex eleverna som ingick i fallstudierna var det bara en elev kunde

dela upp och sätta samman samtliga tal mellan 1-10 på ett flexibelt sätt. Övriga elever

utvecklade olika kunnande om tals helhet och delar. Alla elever hade dock erfarit att antal kan

omgrupperas till exempel att 1+1=2, 4=2+2 eller 3+1=4.

Sammanfattningsvis kan konstateras att elever i olika grad urskilde de kritiska dragen att en

helhet kan delas upp i mindre delar och delar kan sättas samman till nya helheter och de visade

att de i olika grad på en simultan förmåga att samtidigt kunna uppfatta de kritiska dragen av

aspekten del-helhetsbegreppet.

I spelet varieras antal genom dels olika gestaltningar men också genom en kombination av

gestaltningar. Genom de variationer som erbjöds i spelet gavs eleverna möjlighet att urskilja

talbegrepp som ett konstant värde. I de fall gestaltningarna bestod av fler än fem frukter

54

tvingades eleverna att transformera antal mellan sina fingrar vilket öppnade upp för att erfara

tals både helhet och delar.

Resultaten av videoinspelningarna överensstämde väl med resultaten från del-helhetstestet

där elevernas kompetens att med två händer visa antal mellan 2 till 10 prövades. Däremot

utvecklade eleverna i mindre grad kunnande i att muntligt, utan fingertalsstöd, uppge olika fem

– och tiotalskompisar vilket är rimligt då de inte gavs möjlighet att utveckla detta begreppsliga

samband mellan den konkreta och språkliga aspekten.

5.3.3 Subitiseringsförmåga

Alla elever kunde urskilja antal om 1 och 2 redan innan interventionen och de flesta kunde

även urskilja antalet 3 både i 3a och 3b. Det fanns dock ett par elever som inledningsvis inte

uppfattade antalet 3 i 3b men som upptäckte treheten (värdet av tre) i 3b efter att de spelat ett

tag. En tolkning är att de gavs möjlighet att urskilja treheten genom att tre kontrasterades mot

andra antal (värden). Denna grundläggande kompetens att direkt uppfatta antal om 1-3 objekt

benämns perceptuell subitiseringsförmåga (Clements & Sarama, 2014).

Däremot visade de i olika grad på konceptuell subitiseringsförmåga, att mental kunna

gruppera antal i mindre antalsenheter, vilket enligt bland andra Clements & Sarama (2014) är

en grundläggande aritmetisk kompetens. För att snabbt och korrekt kunna uppfatta

gestaltningarna för 7, 8 och 9b måste antalet frukter grupperas i mindre antalsenheter för att

därefter sättas samman så att man kan uppge ett korrekt antal. För att utveckla konceptuell

subitisering måste eleverna ha förståelse för att antal kan omgrupperas. Vidare måste de kunna

använda sig av perceptuell subitiseringskompetens för att identifiera mindre antalsenheter innan

de kan sätta samman antalsenheterna till en helhet. Ett variationsmönster som samtidigt öppnar

upp för att eleverna ges möjlighet att utveckla olika aspekter av fenomenet benämns fusion. I

spelet skapas denna variation genom de olika gestaltningar och kombinationer av gestaltningar

som används. Om antalet frukter i 8a till exempel grupperas som 3+2+3 går antalet att uppfatta

utan att räkna. Exempel på konceptuell subitiseringsförmåga, det vill säga att uppfatta mindre

antalsenheter, var då eleverna representerade 4 som 2+2 och 6 som 3+3 och då några av

eleverna kommenterade de grupper av tal som de uppfattade, till exempel uttryckte en elev ”2

och 2” när gestaltningen 4a visades på skärmen. Det tycktes lättare för eleverna att urskilja

antalsenheter då gestaltningarna var symmetriska såsom i 4a och 6a. En tolkning är också att

de elever som direkt uppfattade antalet i samtliga gestaltningar visade prov på konceptuell

subitiseringsförmåga där de dels utnyttjade sin förmåga att känna igen gestaltningar men också

sin förmåga att kunna gruppera antal på olika sätt.

55

Tärningsfemman identifierades av i princip alla elever. Hälften av eleverna identifierade

direkt antalet fyra medan hälften av eleverna inte gjorde det. Det är troligt att de flesta elever

stött på tärningsmönstren och att de är väl förtrogna med dessa gestaltningar. Även vissa av de

alternativa gestaltningarna såsom 3b (triangel), 4b (roterad tärningsfyra), 6b (pyramid) och 9a

(3x3) lärde sig flera av eleverna att känna igen vilket kan tolkas som att de utskilt vissa

antalsmönster genom kontrastering mot andra antalsmönster såsom 7a och 8b.

Sammanfattningsvis kan konstateras att samtliga elever redan inledningsvis visade kunnande

om perceptuell subitisering och att de i varierande grad gavs möjlighet att simultant uppfatta de

kritiska dragen av subitisering.

Ingen elev i studien räknade sina fingrar utan de representerade direkt det visuella antalet

frukter med sina fingrar. Det var dock en elev som genomgående använde sig av pekräkning

när antalet översteg 5. Eftersom tidsinställningar kan göras borde tiden ha ställts in så att hen

inte kunnat räkna frukterna då ett syfte med spelet är just att ge eleverna möjlighet att erfara att

man kan ”se” istället för att räkna.

56

6. Diskussion I diskussionsavsnittet som följer diskuteras inledningsvis metodval och därefter studiens

resultat utifrån frågeställningarna. Avslutningsvis diskuteras implikationer för skolpraktiken.

6.1 Metoddiskussion I studien användes elevresultat från tester som specifikt behandlade del-helhetsbegreppet

tillsammans med videoinspelningar och dessa olika data analyserades både kvantitativ och

kvalitativt. Användandet av olika metoder kan ses som en styrka just därför att de kan

komplettera och styrka varandra (Bryman, 2013; Rossman & Rallis, 2012), vilket var av vikt i

föreliggande studie för att på ett tillförlitligt sätt kunna besvara forskningsfrågan om vilket

lärande som eleverna utvecklar när de spelar Fingu. Författarna skriver dock att en vanlig

missuppfattning är att forskaren bara kan använda sig av kvalitativa metoder i fallstudier vilket

de invänder mot.

Denscombe (2006) skriver att samhällsforskaren oftast möts av kritik för att

fallstudieresultatet inte går att generalisera vilket författaren bemöter med motiveringen att

varje unikt fall ingår i en bredare kategori och Rossman och Rallis, (2012) diskuterar att

huruvida en fallstudiens resultat är generaliserbart eller inte är avhängigt av i vilken grad

fallstudien liknar andra fall av samma typ eller inom samma kategori. Denna studies resultat

bör gå att generalisera eftersom både den undersökta enheten (elevgruppen) men också

fenomenet (kardinalitet) och kontexten var väl definierade och avgränsade.

TEMA-3-testets del-helhetsuppgifter användes i syfte att urskilja respondenterna till

fallstudierna för att säkerställa att en variation av olika kompetenser gällande

kardinalitetsbegreppet skulle representeras i fallstudierna. Eftersom det var få uppgifter i

TEMA-3-testet som prövade elevernas kunnande av detta fenomen går det inte att säkert slå

fast att en variation av elevkompetenser finns representerade i fallstudierna. Det skulle också

kunna vara som så att testledarna tolkade och bedömde elevsvaren olika vilket gör att antalet

förbättrade uppgifter inte var ett optimalt urvalskriterium till fallstudierna.

I resultatdelen av videoinspelningarna framkommer att den elev som spelade flest antal

uppgifter också var den elev som kunde urskilja samtliga aspekter och drag av

kardinalitetsbegreppet. Denna utveckling och kompetens identifierades också i de olika

testerna. Gällande övriga elever kunde inga entydiga samband mellan resultaten på testerna och

den utveckling som de visade i videoinspelningarna gällande att dela upp och sätta samman tal

med sina fingrar, urskiljas. Som exempel kan ges att eleven som enbart spelade 445 gånger

57

förbättrade sig på en av TEMA-3-uppgifterna medan eleven som spelade 2299 gånger inte

förbättrade sig på någon av TEMA-3 uppgifterna.

Överensstämmelse vad gäller prestationer överensstämde i högre grad mellan resultaten av

videoinspelningarna och med del-helhetstestet och då främst vad gällde att visa antal mellan 1-

5 med två händer. Skälet till detta kan vara del-helhetstestet i högre grad prövade den specifika

kompetens som eleverna gavs möjlighet att utveckla i Fingu.

Effekten av att eleverna spelade olika antal gånger påverkade möjligen resultatet och

tillförlitligheten hade troligen ökat om eleverna spelat lika många gånger och om

filminspelningarna gjorts vid samma tidpunkt under interventionsperioden. Att

videoinspelningarna gjordes direkt i lärandekontexten bör ha gett en hög tillförlitlighet gällande

vilket lärande eleverna faktiskt utvecklade när de spelade Fingu. Däremot gavs inga entydiga

belägg för att eleverna kunde använda sig av de nyvunna kompetenserna i andra kontexter så

som i TEMA-3 och del-helhetstestet.

6.2 Resultatdiskussion Diskussionen av resultaten tematiseras under studiens båda frågeställningar.

6.2.1 Vilket lärande i matematik ger applikationen Fingu eleverna möjlighet att utveckla?

De olika variationsmönster som finns inbyggda i spelets design gör att eleverna, för att

komma till nästa nivå måste förändra sitt sätt att och uppfatta och representera antal med

fingrarna. På nivå 1-3 kontrasteras både antal, fruktsorter och gestaltningar mot varandra då

olika antal frukter, fruktsorter och gestaltningar visas på skärmen. På denna första nivå ges

eleverna därför möjlighet att erfara ett tals värde eller mängd och att färg, egenskaper och

ordning inte påverkar antalet frukter. Spelet öppnar också upp för möjligheten att representera

antal på olika sätt och några elever uppfattar redan på de lägre nivåerna att antal kan

omgrupperas och de överger tekniken att mappa (representera varje fruktsort med en hand) och

övergår till att fokusera på antalet frukter istället.

När antalet frukter som visas på skärmen (nivå 4-7) överstiger fem tvingas eleverna att

transformera eller flytta över antal mellan sina fingrar. Till exempel kan de inte visa 6+3 som

utan de måste transformera antalet så att de istället visar 5+4 eller 4+5 vilket öppnar upp för att

eleverna ges möjlighet att utveckla samtliga kritiska drag av aspekten tals delar och helheter.

Genom de olika variationsmönster som frukterna presenteras på i spelet ges eleverna möjlighet

att erfara att antal kan sättas samman och delas upp på olika sätt vilket flera forskare menar är

58

en viktig grund för aritmetisk kompetens (Anghileri, 2006; Butterworth & Yeo, 2010; Neuman,

1987; Aunio & Räsänen, 2016).

En fördel med att använda fingrarna är att eleverna ges möjlighet att uppfatta den

halvdecimala strukturen i de tio bastalen vilket Neuman (1987) vidhåller som betydelsefullt för

att utveckla aritmetisk kompetens. Vidare framhåller hon att de nybörjare som lärt sig

fingertalen och som uppfattat den halvdecimala strukturen i de tio bastalen inte behöver

använda uppräkning utan de kan lösa enkla aritmetikuppgifter genom att titta på sina fingrar

och mentalt ”flytta fingrar” mellan händerna. Eleverna ges genom de olika variationsmönstren

i spelet möjlighet att simultant och samtidigt kunna uppfatta att tal större än fem kan förstås

som fem + del.

En begräsning med att använda fingrarna skulle möjligen kunna vara att talkombinationer

där den ena termen överstiger fem (6+2 eller 8+1), inte kan representeras explicit som 6+2 eller

8+1 utan dessa kombinationer måste alltid representeras utifrån helheten fem. För att eleverna

ska ges möjlighet att erfara även dessa talkombinationer kan de erbjudas andra typer av

laborativt stödmaterial.

Vissa av gestaltningarna verkade vara svårare än andra att uppfatta och eleverna kunde inte

urskilja mindre antalsenheter i dessa och en fundering är om eleverna verkligen mentalt

strukturerade föremålen i mindre grupperingar eller om de bara utifrån gjorda försök till slut

lärde sig att känna igen gestaltningarna. För att eleverna ska utveckla den konceptuella

subitiseringsförmågan behöver de uppmärksammas på och diskutera olika sätt att uppfatta

mönster på (Clements & Sarama, 2014). Eleverna behöver därför ges möjlighet att uppfatta

antalsenheter i en större mängd objekt där de använder sin perceptuella subitiseringsförmåga

för att fastslå en större mängd objekt.

I Fingu ges inte eleverna möjlighet att urskilja den ordinala aspekten av tal vilket innebär att

eleverna måste ges möjlighet att utveckla denna förståelse på annat sätt. Min erfarenhet är dock

att man på förskolorna uppmuntrar eleverna till att räkna i olika situationer men att man inte i

lika hög utsträckning arbetar med talens kardinala aspekter. Det finns troligtvis elever som

uppfattade sambandet mellan den ordinala och kardinala aspekten av tal med stöd av fingertalen

då dessa synliggör både de enskilt ordnade fingrarna och den totala mängden fingrar samtidigt.

Nunes & Bryant (2007) är noga med att understryka att barn behöver utveckla förståelse för

talens både kardinala och ordinala aspekter för att kunna uppfatta viktiga samband mellan

mängder och tal. Detta samband behöver utforskas ofta och i olika sammanhang med olika

59

representationer för att som Griffin (2004) uttrycker det vara väl grundade och

sammankopplade i barns tankemodeller.

6.2.2 Vilka matematiska kompetenser gällande talens kardinala aspekter utvecklar

femåringar när de spelar Fingu?

Ett kritiskt moment i barns tidiga aritmetiska utveckling är enligt flera forskare att kunna

dela upp och upp och sätta samman tal på olika sätt och att ha kunskap om hur tal är uppbyggda

och hur de förhåller sig till varandra (Anghileri, 2006; Locuniak & Jordan 2008; Neuman, 1987;

Nunes & Bryant, 2007). Alla elever i studien utvecklade sitt kunnande, i olika grad, gällande

kardinalitetsbegreppets kritiska aspekter och det var en elev som visade kunnande om att

flexibelt kunna dela upp och sätta samman tal, det vill säga att eleven simultant uppfattade

kardinalitetsbegreppets alla samexisterande aspekter.

Samtliga elever visade redan innan interventionen kompetens i att direkt uppfatta ett mindre

antal om 1- 3 stycken. Detta fenomen förklaras med att vi människor föds med förmågan att

direkt uppfatta ett exakt antal om en till tre objekt (Clements & Sarama, 2014). De flesta elever

uppfattade också direkt antalen ett till sex då frukterna representerades som tärningsmönster.

Flera författare framhåller just kompetensen att snabbt och direkt uppfatta antal utan att räkna,

som en viktigt grund för den aritmetiska utvecklingen (Clements & Sarama, 2014; Neuman,

1987; Dowker, 2005). För att eleverna ska ges möjlighet att utveckla sin kompetens att

subitisera är det därför viktigt att säkerställa att de inte hinner räkna frukterna vilket kan göras

genom att justera visningstiden. I studien var det bara en elev som emellanåt pekräknade antalet

frukter. De andra eleverna använde inte sig av pekräkning vilket antingen kan tolkas som att de

ännu inte var säkra på räkneramsan och på att koordinera räkneord med objekt eller också att

de blev så väl förtrogna med att subitisera att de inte hade behov av att pekräkna.

Det kan dock finnas en risk med att eleverna misstolkar antalet frukter i gestaltningarna om

de inte lyckas med att sätta ner fingrarna samtidigt. Som exempel kan nämnas en elev som

korrekt använde fyra fingrar för att representera 4a men eftersom inte alla fingrar registrerades

uppfattade eleven det som fel och hen representerade under ett tag därför gestaltningen 4a med

tre fingrar. Som pedagog bör man vara uppmärksam på detta och gärna sitta bredvid eleven i

början för att säkerställa att denna missuppfattning inte uppträder.

Särskilt i videoanalyserna blir det tydligt att eleverna utvecklade förtrogenhet med att

representera antal med sina fingrar. Ingen av eleverna räknade sina fingrar utan de

representerade snabbt det visuellt framställda antalet med sina fingrar. När eleverna spelade

60

Fingu gavs de möjlighet att utveckla en icke symbolisk number sense genom att de visuellt fick

uppfatta och motoriskt och taktilt representera och sätta samman och dela upp antal (Dowker,

2005).

Eleverna i studien spelade olika antal gånger från 445 gånger till 4385 gånger och eleven

som i denna studie visade den kvalitativt högst förståelse av kardinalitetsbegreppet var just

eleven som spelade flest gånger av alla femåringar. Underlaget är dock för litet för att kunna

dra några generella slutsatser om sambandet mellan antal spelade gånger och elevernas

utveckling och det går inte heller att dra slutsatser om hur många gånger eleverna behöver spela

för att utveckla kunnande om kardinalitetsbegreppet. Slutsatsen som kan dras är att

interventionen trots att den var begränsad i tid bidrog till att eleverna utvecklade sitt kunnande

om tals kardinala aspekt. Då eleverna under interventionen inte deltog i en mer formell

matematikundervisning bör resultatet i hög grad kunna förklaras av spelet. Studiens resultat

ligger i linje med Sinclair & Heyd-Metzuyanim (2014) diskussion om att digitala lärverktyg

kan komplettera, förstärka eller ersätta moment i den vanliga undervisningen.

I resultatdelen kunde inga tydliga samband mellan elevernas resultat på TEMA-3 testet och

den utveckling som de visade i videoinspelningarna gällande att dela upp och sätta samman tal

med sina fingrar, urskiljas. Av detta kan möjligen slutsatsen dras att eleverna inte självklart

överför kunnande mellan olika representationer eller kontexter vilket visar på vikten av att låta

eleverna arbeta med olika representationer för att utveckla deras förståelse av talbegreppen.

Utifrån Griffins (2007) modell av matematisk kompetens som uppbyggda av tre världar kan

man tolka det som att eleverna ges konkreta erfarenheter av antal i spelet men att de också

behöver få uttrycka dessa erfarenheter verbalt. De behöver också ges många tillfällen att skapa

begreppsliga samband mellan den konkreta och verbala världen innan den symboliska världen

kan kopplas på (a.a).

6.3 Didaktiska implikationer Utifrån denna studies resultat menar jag att Fingu kan ses som ett lärverktyg som kan

användas av alla elever i matematikundervisningen men det kan även användas som ett

kompenserande lärverktyg för elever som är i behov av extra stöd och insatser. Fingu ska

därmed inte ses som en ersättning för pedagogen, matematikdiskussionerna eller de vanliga

lärsituationer på förskolorna och i förskoleklasserna utan mer som ett kompletterande

lärverktyg. Pedagogens ämnesteoretiska- och ämnesdidaktiska kompetens är avgörande för att

kunna värdera datorprogrammets potential för lärande i matematik vilket också framförs i

61

skolforskningsinstitutets översikt (Wallin, 2017). I ljuset av Hannula och Lehtinens (2005)

studie om att alla barn inte spontant uppmärksammar tal och tals värde i vardagsnära situationer

kan datorspel vara ett sätt att få elever att engageras i matematiska aktiviteter.

Studiens resultat indikerar precis som tidigare studier visat att insatser med digitala

lärverktyg kan ha effekt även då de använts under en kortare tid (Wallin, 2017). Ur ett

specialpedagogiskt perspektiv är det av yttersta vikt att eleverna ges möjlighet att utveckla de

grundläggande matematiska kompetenser som forskningen identifierat som kritiska i

matematikutvecklingen och att insatserna och stödet sätts in tidigt för att förebygga att elever

hamnar i matematiksvårigheter. En didaktisk/specialdidaktisk implikation är att det är viktigt

att pedagoger som arbetar med yngre elever eller elever i räknesvårigheter har fördjupad

kunskap om kritiska steg i barns matematikutveckling men också kunskap om förebyggande

undervisning och stödjande insatser.

Studier visar också att elever som hamnar i svårigheter i matematik använder sig av uppåt-

och nedåträkning på sina fingrar medan elever utan svårigheter använder fingrarna som

stödstruktur för att se och transformera antal mellan sina fingrar (Dowker, 2005; Neuman,

1987). Den diskussionen som förs på skolorna om elever ska tillåtas använda fingrarna eller

inte är enligt mina erfarenheter ofta ganska onyanserade. I studien belyses fingrarna både

stödjande och hindrande roll vilket förhoppningsvis kan utgöra underlag för vidare diskussioner

på skolorna om fingrarnas ”vara eller inte vara”.

6.4 Fortsatt forskning Då forskning tydligt indikerar vikten av att tidigt identifiera elever som behöver stöd i sin

matematikutveckling för att undvika framtida matematiksvårigheter behöver lärare ha tillgång

till bra kartläggningsmaterial. Som stöd i detta har Skolverket gett ut ett obligatoriska

bedömningsstöd i taluppfattning för åk 1-3 och i höst kommer ett motsvarande bedömningsstöd

för förskoleklass. Det hade varit intressant att undersöka i vilken utsträckning dessa tester

faktiskt hjälper pedagogerna att identifiera elever som riskerar att hamna i räknesvårigheter men

också hur elever med lågt resultat följs upp och stöttas. Ett annat relevant och intressant område

att undersöka vilket stöd och vilka förebyggande insatser som sätts in i förskola/förskoleklass

kopplat till matematik.

62

Referenser

Anghileri, J. (2006). Teaching number sense. (2 uppl.). New York: Continuum. Aunio, P. & Räsänen, P. (2016). Core numerical skills for learning mathematics in children aged five to eight years – a working model for educators. European Early Childhood Education Research Journal, 24(5), s. 684–704. Bell, J. (2006). Introduktion till forskningsmetodik. 4., [uppdaterade] uppl. Lund: Studentlitteratur Bergius, B. (red.) (2011). Matematik - ett grundämne. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet Björndal, C. (2005). Det värderande ögat: observation, utvärdering och utveckling i undervisning och handledning. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Bryman, A. (2013). Samhällsvetenskspliga metoder. Stockholm: Liber Butterworth, B. & Yeo, D. (2010). Dyskalkyli: att hjälpa elever med specifika matematiksvårigheter. Stockholm: Natur & kultur Clements, D. H. & Sarama, J. (2014). Learning and teaching early math: the learning trajectories approach. New York: Routledge, Taylor & Francis Group. Desoete, A. & Praet, M. (2013). Inclusive Mathematics Education: the Value of a DTransylvanian Journal of Psychology, 103-119. Denscombe, M. (2006). Forskningshandboken- för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur. Dowker, A. (2005). Individual differences in arithmetic. Implications for Psychology, Neuroscience and education. UK: Psychologi Press.

Duncan, G. J., Dowsett, C., Claessens, A., Magnuson, K., Huston, A. C., Klebanov, P., Duckworth, K. (2007). School readiness and later achievement. Developmental Psychology, 43(6), s. 1428–1446. Engström, A. (2015). Specialpedagogiska frågeställningar i matematik. Karlstad: Karlstads universitet Eriksson Barajas, K., Forsberg, C. & Wengström, Y. (2013). Systematiska litteraturstudier i utbildningsvetenskap: vägledning vid examensarbeten och vetenskapliga artiklar. Stockholm: Natur & Kultur. Eriksson, G. (2001). Talbegreppets utveckling: ett radikalkonstruktivistiskt perspektiv. (Doctoral dissertation). Institutionen för individ, omvärld och lärande; Lärarhögskolan i Stockholm.

63

Fuchs, L. S., Fuchs, D., & Compton, D. L., (2013). Intervention effects for students with comorbid forms of learning disability: Understanding the needs of nonresponders. Journal of Leaming Disabilities, 46(6), s. 534-548 Geary, D. C., (2013). Early foundations for mathematics learning and their relations to learning disabilities. Psychological Science, 22(1), s. 23–27. Gelman, R., & Gallistel, C.R. (1978). The child's Understanding of Number. London: Harvard UP Gray, E. M., & Tall, D. O. (1994). Duality, Ambiguity, and Flexibility: A “Proceptual” View of Simple Arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), s. 116-140 Griffin, S. (2004). Teaching Number Sense. Educational Leadership, 61(2), s. 39-42 Griffin, S. (2007). Early Intervention for Children at Risk of Developing Mathematical Learning Difficulties. I Berch, Daniel B., Mazzocco, Michéle M.M. (red.), Why Is Math So Hard for Some Children? The Nature and Origins of Mathematical Learning Difficulties and Disabilities. Baltimore, Md: Paul H. Brookes Publishing. Hannula, M. M., & Lehtinen, E. (2005). Spontaneous focusing on numerosity and mathematical skills of young children. Learning and Instruction, 15(3), s. 237-256. Hilton, A. (2018). Engaging Primary School Students in Mathematics: Can iPads Make a Difference? International Journal of science and Math Education, 16(1), s. 145-165 Holgersson, I., Barendregt, W., Emanuelsson, J., Ottosson, T., Rietz, E., & Lindström, B. (2016). Fingu – a Game to Support Children’s Development of Arithmetic Competence : Theory, Design and Empirical Research. I Moyer-Packenham Patricia (red.), International perspectives on teaching and learning mathematics with virtual manipulatives. Mathematics Education in the Digital Era, vol. 7. Springer, Cham. Holmqvist, M. (red.) (2004). En främmande värld: om lärande och autism. Lund: Studentlitteratur. Holmqvist, M. (red.) (2006). Lärande i skolan: learning study som skolutvecklingsmodell. Lund: Studentlitteratur. Kroesbergen,E. H., Van Luit, J. E. H., Van Lieshout, E.C. D., M., Van Loosbroek, E., och Van de Rijt B. A. M. (2009). Individual Differences in Early Numeracy. The role of Executive Functions and Subitizing. Journal of Psychoeducational Assessment 27(3), s. 226-236. Kroksmark, T. (2007). Fenomenografisk didaktik 1 - en didaktisk möjlighet. I Didaktisk Tidsskrift, 17(2-3), s. 1-50. Jönköping: Jönköping university press Lo, M. L. (2014). Variationsteori: för bättre undervisning och lärande. (1. uppl) Lund: Studentlitteratur Locuniak, M. N. & Jordan, N. C. (2008). Using Kindergarten Number Sense to Predicy Calculation Fluency in Second Grade. Journal of Learning Disabilities, 4(5), s. 451-459.

64

Lundberg, I. & Sterner, G. (2009). Dyskalkyli - finns det? Aktuell forskning om svårigheter att förstå och använda tal. NCM, Göteborgs universitet.

Lunde, O. (2011). När siffrorna skapar kaos: Matematiksvårigheter ur ett specialpedagogiskt perspektiv. Stockholm: Liber.

Marton, F. (2015). Necessary conditions of learning. London: Routledge. Marton, F. & Tsui, A. (red.) (2004). Classroom discourse and the space of learning. Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum. Marton, F. & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur. Marton, F. & Pang M. F. (2006). On some necessary conditions of learning. The Journal of the learning Sciences, 15(2), s.193-220. Mazzocco, M. M. M., Feigenson, L., & Halberda, J. (2011). Preschoolers’ Precision of the Approximate Number System Predicts Later School Mathematics Performance. PLoS ONE, 6(9), s. 1-8. Merriam, S. B. (1994). Fallstudien som forskningsmetod. Lund: Studentlitteratur. Moyer, P. S., Bolyard, J. J. & Spikell, M. A. (2002). What are virtual manipulatives? Teaching Children Mathematics, 8(6), s. 372–377. Neuman, D. (1987). The origin of arithmetic skills: a phenomenographic approach. Göteborg: Göteborgs universitet. (avhandling). Neuman, D. (1989). Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Utbildningsförlag. Nunes, T. & Bryant, P. (2007). Understanding whole numbers. I Key understandings in mathematics learning. Tillgängligt på internet: http://www.nuffieldfoundation.org/key-understandings-mathematics-learning.(Hämtad 20171208) Pang, M. F. (2003). Two Faces of Variation: On continuity in the phenomenographic movement. Scandinavian Journal of Educational Research, 47(2), s. 145-156. Powell, A. B., Francisco, J. M., & Maher, C. A. (2003). An analytical model for studying the development of learners’ mathematical ideas and reasoning using videotape data. The journal of mathematical behavior, 22(4), 405-435. Reys, R. E. (red.) (2006). Helping children learn mathematics. (8. Uppl.) Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Rossman, G. B. & Rallis, S. F. (2012). Learning in the field: an introduction to qualitative research. (3 uppl.). Thousand Oaks, Calif.: SAGE. Sinclair, N. & Heyd-Metzuyanim, E. (2014). Learning Number with Touchcounts: The Role of Emotions and the Body in Mathematical Communication. Tech Know Learn 19, 81-99.

65

SFS 2010:800. Skollag. Stockholm: Utbildningsdepartementet. SFS 2011:688. Examensordning. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Skolverket (2014). Allmänna råd för arbete med extra anpassningar, särskilt stöd och åtgärdsprogram. Tillgänglig på internet: https://www.skolverket.se/regelverk/allmanna-rad/extra-anpassningar-1.196156. (Hämtad 20180522). Skolverket (2017a). Få syn på digitaliseringen på grundskolenivå- Ett kommentarmaterial till läroplanerna för förskoleklass, fritidshem och grundskoleutbildning. Tillgänglig på internet: http://www.skolverket.se (Hämtad 20170707). Skolverket (2017b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Reviderad 2017. Tillgänglig på internet: http://www.skolverket.se (Hämtad 20180107). Skolverket (2018). Förslag till reviderad läroplan för förskolan. Stockholm: Skolverket https://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/forskola/reviderad-laroplan-for-forskolan-1.260355 (Hämtad 20180514). Sterner, G. (2015). Tal, resonemang och representationer – en interventionsstudie i matematik i förskoleklass. Göteborgs universitet: Intuitionen för pedagogik och specialpedagogik (Licentiatuppsats) Säljö, R. (2015). Lärande: en introduktion till perspektiv och metaforer. (1. uppl.) Malmö: Gleerup. Trigueros, M., Lozano, M- D. & Sandoval, I. (2014). Integrating Technology in the Primary School Mathematics Classroom: The Role if the Teacher. I Clark-Wilson, Alison, Robutti, Ornella. & Sinclair, Nathalie (red.). The mathematics teacher in the digital era: an international perspective on technology focused professional development. Dordrecht: Springer. Trost, J. (2010). Kvalitativa intervjuer. 4., (omarb. uppl). Lund: Studentlitteratur Vetenskapsrådet (2017). God forskningsed, Stockholm: Vetenskapsrådet Tillgänglig på nätet: https://publikationer.vr.se/produkt/god-forskningssed/?_ga=2.190397229.769251893.1526984463-1412205716.1525265712. (Hämtad 20180109). Wallin, J. (2017). Digitala lärresurser i matematikundervisningen: delrapport förskola. Stockholm: Skolforskningsinstitutet. Weiss, I., Kramarski, B., & Talis, S. (2006). Effects of Multimedia Environments on Kindergarten Children’s Mathematical Achievements and Style of Learning. Educational Media International, 43(1), 3-17. Wright, R. J., Martland, J. & Stafford, A. K. (2006). Early numeracy: assessment for teaching and intervention. (2 uppl.) London: Paul Chapman.

66

Åberg, R. (2001). Ontologi, epistemology och metodologi. En kritisk genomgång av visa grundläggande vetenskapliga begrepp och ansatser (Rapport 2000:13). Göteborgs universitet, institution för pedagogik och didaktik. Östergren, R. (2013). Mathematical Learning Disability: Cognitive Conditions, Development and Predictions. Linköping: Linköping University. Tillgänglig på nätet: http://liu.diva-portal.org/smash/get/diva2:643390/FULLTEXT02.pdf. (Hämtad 20180203).

67

Bilaga 1

TEMA -3 Matematiskt test. Ingångsuppgifter för barn som fyllt fem år

Uppgift Anvisningar Deluppgifter Matematikinnehåll 15 Jag kommer att säga några tal,

och jag vill att du skriver ner dom på pappret här.

a: 7 b: 3 c: 9

Kan skriva räkneord med siffersymboler

16 Johan har 5 brickor, och så får han 2 till. Hur många har han tillsammans? Om du vill kan du använda dina fingrar eller de här brickorna för att ta reda på svaret.

a: Johan har 1 bricka, och så får han 2 till. 1+2=3 b: Johan har 4 brickor, och så får han 3 till. 4+3=7 c: Johan har 3 brickor, och så får han 2 till. 3+2=5

Del-del-helhet Kan addera två delar och bestämma helheten med hjälp av konkret material. Kan använda sekvensräkning/uppräkning för att ta reda på antalet eller kan uppfatta att delarna tillsammans bildar en helhet.

17 Nu ska jag berätta några räknesagor. Du kan använda dina fingrar, de här brickorna, tänka i huvudet eller göra en bra gissning för att få fram svaret.

a: Anna köpte några karameller. Hennes mamma köpte 3 karameller till åt henne. Nu har Anna 5 karameller. Hur många karameller köpte Anna? __+3=5 svar: 1 till 4 b: Betty hade några brickor. Hon förlorade 2 brickor när hon spelade. Nu har hon 7 brickor kvar. Hur många brickor hade Betty innan hon började spela? __-2=7 svar: >7 C: Innan kulspelet hade Kalle några kulor. Han vann 4 till under spelet. Nu har han 7 kulor. Hur många kulor hade Kalle innan spelet började? __+4=7 svar: <7 d. David hade några karameller i sin påse. Han åt 3 av dem efter skolan. Då fanns det 4 karameller kvar i påsen. Hur många karameller hade David i påsen innan han slutade skolan? __-3=4 svar: >4

Helhet -del-del Uppfattar att en helhet kan delas upp i två delar och att helheten är större än varje del för sig.

18 Här är en bild av några hundar. Visa barnet kort på olika antal hundar så att barnet kan se det men inte du. Använd pappret och pennan för att visa mig hur många hundar det finns på kortet. Ifall barnet ritar bilder av hundar, så säg: Kan du visa mig på något annat sätt utan bilder?

a: 2 b: 4 c: 3 d: 5

Barnet uttrycker antal med en skriftlig mer abstrakt representation än ritade hundar.

19 Anta att du har 10 brickor och jag bara har 1. Vem har mest? Det har du, eller hur? Nu vill jag

a: 4 eller 5 b: 2 eller 1 c: 4 eller 3

Att kunna avgöra vilket antal som räkneorden mellan 1 till 5 betecknar

68

att du talar om för mig vilket som är mest.

d: 2 eller 3 e: 5 eller 4

och att förstå begreppet mest.

20 Anta att du har 10 brickor och jag bara har 1. Vem har mest? Det har du, eller hur? Nu vill jag att du talar om för mig vilket som är mest.

a: 7 eller 6 b: 8 eller 9 c: 6 eller 5 d: 8 eller 7 e: 9 eller 10

Att kunna avgöra vilket antal som räkneorden mellan 6 till 10 betecknar och att förstå begreppet mest.

21 Jag vill att du räknar högt för mig. Jag säger till när du kan sluta. Ifall barnet är tyst så säg: Räkna högt så här med mig: 1, 2, 3 … Nu fortsätter du på egen hand och räknar så långt du kan.

Barnet ska räkna till 21 Att korrekt kunna räknesekvensen till 21.

TEMA -3 Matematiskt test - Ingångsuppgifter för barn som fyllt sex år

uppgift 22 Låtsas att vi räknar och har kommit till

__ vilket tal kommer sedan? a: 24 b: 33

Kan bryta räknesekvensen och säga talet efter.

23 Räkna dessa prickar med ditt finger a: 9 b: 10

Pekräkning: räkneord paras ihop med ett objekt

24 Räkna baklänges, börja på 10. Behärskar räkneramsan baklänges från 10-1.

25 Jag ska berätta några räknesagor för dig. Du kan använda de här brickorna om du vill. Om barnet använder en framgångsrik räknestrategi fråga om de kan besvara frågan utan att räkna.

a: Marias och Annas mamma bakade 12 kakor. Om flickorna delade kakorna lika, hur många var skulle de få? Svar: 6/6 Gör lika delar utan att kontrollera b: Maria och Anna tyckte att det skulle vara trevligt om deras mamma också kunde vara med på kakkalaset. Om de 12 kakorna delades lika mellan Maria, Anna och deras mamma, hur många kakor var skulle de då få? Svar: 4/4/4 Gör lika delar utan att kontrollera

Helhet- del-del Kan dela lika. Uppfattar att talet 12 kan delas upp i 6 och 6 och 4+4+4

26 Lägg 2 brickor i din vänstra hand och 1 bricka i din högra. Säg: Se här, jag har 2 brickor i den här handen, och 1 bricka i den här. Nu lägger jag ihop brickorna. Hur mycket är 2 och 1 tillsammans?

Hur mycket är __ och __ tillsammans? a: 3 & 2 b: 4 & 3 c: 5 & 2

Del-del-helhet Att addera två delar till en helhet utan visuellt eller konkret stöd.

27 Här är__. Vilket är närmst __ eller __ a: Här är 7. Vilket är närmst, 1 eller 9? b: Här är 6. Vilket är närmst, 4 eller 10? c: Här är 3. Vilket är närmst, 5 eller 9? d: Här är 5. Vilket är närmst, 1 eller 7? e: Här är 8. Vilket är närmst, 1 eller 6?

Att uppfatta relationer mellan tal utifrån en mental tallinje.

69

f: Här är 3. Vilket är närmst, 1 eller 6?

28 Här finns det en massa brickor. Ge mig precis 19 stycken.

Att kunna räkna upp 19 stycken.

29 Vilket tal är detta? Läs talet för mig. a: 10 b: 13 c: 16

Talidentifikation

30 Skriv talet som jag säger. a: 23 b: 97

Talidentifikation

31 Räkna så långt du kan. Räkna till minst 42 Sekvensräkning till och med 42

70

Bilaga 2

Del-helhetstest

Fingertal 1 till 5 med två händer

Använd två fingrar för att visa mig 3.

Fortsätt sedan med 2, 5 och 4

Fingertal 6 till 10

a) Kan du visa mig 6 med dina fingrar

b) Kan du visa mig 6 på ett annat sätt?

c) Ytterligare ett annat sätt?

d) Kan du visa mig 10 med dina fingrar?

e) Kan du visa mig 8 med dina fingrar?

f) Kan du visa mig 8 på annat sätt?

Fem-kompisar

Nu kommer jag att säga ett tal och då säger du vilket tal som behövs för att det sak bli 5

tillsammans. Ok?

4, 2, 1, 3, 5

Tio-kompisar

a) Ge mig ett exempel på tal som tillsammans blir 10.

b) Finns det andra tal som tillsammans blir 10?

c) Kan du ge ytterligare ett exempel?