Space-time Models - FMIPA Personal Blogs /...
Transcript of Space-time Models - FMIPA Personal Blogs /...
Space-time Models
MA5282 Topik dalam Statistika II 21 April 2015
Utriweni Mukhaiyar
Analisis Statistik
Stochastic Processes
Multivariate Analysis
Data Analysis
Non-parametric Analysis
Time Series Analysis
Spatial Analysis
Compound Poisson
Hidden Markov
Space-Time Analysis
+
=
Postulate General Class of Models
Parameter Estimation
Forecasting
Diagnostic Checking
Identify Model
Yes No
Krigging Variogram Estimation & Interpolation
Maximum Likelihood
Least Squares
Resampling
ACF, PACF,
diff
Stationarity
Modelling Adopted from Time Series Analysis
Box&Jenkins Procedure/Iteration
Box&Jenkins
Iteration
Weight matrix, STACF,
STPACF, diff
Kovariansi dan Korelasi pada deret-waktu Suatu proses stokastik dengan
• Fungsi Mean:
• Fungsi Autokovariansi:
• Fungsi Autokorelasi:
untuk
( ) ( )t E Z t
TttZ ),( ,...2,1,0T
22112121 ,, ttZttZEtZtZCovtt
21
2211
21
21
21
212121
,,
,,,,
tttt
tt
tZVartZVar
tZtZCovtZtZCorrtt
,...2,1,0, 21 tt
Kovariansi dan Korelasi pada deret-waktu
Kovariansi Korelasi
1
2
3
111, tZVartt 1, 11 tt
1221 ,, tttt 1221 ,, tttt
221121 ,,, tttttt 1, 21 tt
Mean dan Kovariansi pada Analisis Spasial Untuk suatu proses stokastik dengan
Fungsi Mean:
Kovariansi spasial:
Korelasi spasial:
( ),Z s s L 2 3, ,L R R R
( ) ( )s E Z s
2
,Cov Z s Z s h E Z s Z s h
E Z s Z s h C h
,
00 0
Cov Z s Z s h C h C hh
CC CVar Z s Var Z s h
, 0Var Z s Cov Z s Z s C
Kestasioneran
Kestasioneran Deret-waktu
Z(t)
Spasial/Geostatistik
Z(s)
Kuat
untuk sebarang n dan k.
untuk sebarang n dan h.
Lemah 1. Fungsi mean konstan untuk
semua waktu
2. untuk semua t
dan k.
1.
2.
Intrinsik - 1.
2.
1 2
1 2
( ), ( ),..., ( )
( ), ( ),..., ( )
n
n
F Z t Z t Z t
F Z t k Z t k Z t k
1 2
1 2
( ), ( ),..., ( )
( ), ( ),..., ( )
n
n
F Z s Z s Z s
F Z s h Z s h Z s h
kktt ,0,
( )E Z s
,Cov Z s Z s h C h
0E Z s h Z s
1
2Var Z s h Z s h
Semivariogram lag-h
2
2 0 0 2
0
Var Z s h Z s Var Z s h Var Z s Cov Z s h Z s
h C C C h
h C C h
Aplikasi Pemodelan Space Time
• Ekonomi (Nurhayati 2012)
• Pertanian & Perkebunan (Borovkova 2008, Mukhaiyar 2012)
• Transportasi (Garrido; 2000, Kamarianakis and Prastacos; 2005)
• Kriminologi (Liu and Brown; 1998)
• Sosial (Hernandez-Murillo and Owyang; 2004)
• Perminyakan (Ruchjana; 2002)
• Geologi dan Ekologi (Kyriakidis and Journel; 1999)
• Pertambangan
• Kedokteran
• Genetika
• …
Analisis Space Time
“Observasi di suatu lokasi pada satu waktu dipengaruhi oleh observasi-observasi di masa lampau di lokasi tersebut dan juga di lokasi sekitarnya.”
time
0 1 i … T … i-1
s1
s2
sj
sN sN-1 s0 s1
s2
sj
sN sN-1 s0 s1
s2
sj
sN sN-1 s0 s1
s2
sj
sN sN-1 s0
Model Space-Time
STMA (q1) :
q
s
s
q
s
s ststtt1
1
1
0 )()()()( WeeeZ
STARMA (p,q) : 1 0 1 0
s ssmp q( k ) ( k )
sk sk
s k s k
( t ) ( t s ) ( t ) ( t s )
Z W Z e W e
G-STAR ( ) : 1 2, ,..., pp 1 1 2 2
1 0
s( k ) ( k )pi i( k )
i sk i( k )s k iN N
w Z ( t s ) w Z ( t s )Z ( t ) e ( t )
... w Z ( t s )
1980
2002
2008
2010
STARMAG ( ) 1 2 1 2, ,..., , ,...,,
p pm m mp q
1 1 2 2
1 0
1 1 2 2
1 0
s
s
p( k ) ( k ) ( k ) ( k )
i sk i i iN N
s k
mq( k ) ( k ) ( k ) ( k )
sk i i iN N i
s k
Z ( t ) w Z ( t s ) w Z ( t s ) ... w Z ( t s )
w e ( t s ) w e ( t s ) ... w e ( t s ) e ( t )
Di Giacinto
Pfeifer & Deutsch
Syarat kestasioneran GSTAR(11)
(Nurani, dkk )
STAR (p1) : )()()()(1
1
1
0 tststtp
s
s
p
s
s eWZZZ
2006
Model GSTAR(1;1) untuk galat berkorelasi waktu
(Borovkova, et al.) Model GSTAR(1;1) untuk galat berkorelasi spasial
(Nurhayati) Kestasioneran Model GSTAR dengan IMAk (Mukhaiyar)
2012
Model VAR(1) • Jika banyaknya lokasi adalah N maka vektor observasi z(t) = (z1(t)
z2(t) ... zN(t))t yang mengikuti model VAR(1) akan memiliki bentuk:
• dengan e(t) adalah vektor galat acak. Dengan menggunakan operator backshift,
maka,
)()1()( ttt eZZ
)()( jttB j ZZ
)()( ttB eZI
Kestasioneran Model VAR(1)
• Wei (1990, 2006) menuliskan bahwa syarat kestasioneran untuk model VAR(1) adalah jika akar-akar dari B dari |I - B| = 0 berada di luar lingkaran satuan.
• Hal ini ekivalen dengan mengatakan bahwa syarat kestasioneran model VAR(1) adalah nilai eigen dari berada di dalam lingkaran satuan.
Operator Lag Spasial • Untuk mempermudah dalam mendeteksi lag spasial, diperlukan
pendefinisian dari operator lag spasial orde-l (L(l) ) berikut:
• dengan merupakan kumpulan bobot-bobot yang merupakan elemen dari matriks berukuran yang memenuhi,
)()()0( tZtZL ii
N
j
j
l
iji
l tZwtZL1
)()( )()(
)(l
ijw
11
)(
N
j
l
ijw
Kekhasan model space-time
Matriks Bobot dan Orde Spasial
Sistem radius
lainnya ,0
-ke orde pada anggaadalah tet ,1
1)( lij
dw l
ij
l
ij
1. Matriks Bobot Biner
Memiliki nilai 0 dan 1 di elemen selain diagonal utama.
2. Matriks Bobot Uniform
3. Matriks Bobot non-uniform
ct. matriks bobot euclidean
lainnya ,0
-ke orde pada anggaadalah tet ,1
)()( lijnw l
i
l
ij
0
0
0
)(
1111
221
112
ww
ww
ww
wN
N
ijW
Lag Spasial Sistem grid
• Tetangga Terdekat pada Lag Spasial 1 sampai 5 untuk Lokasi s0 .
• Angka-angka pada grid menunjukkan orde spasial titik tersebut yang ditentukan oleh jaraknya terhadap s0. Angka yang semakin kecil menunjukkan posisi yang semakin dekat terhadap s0.
5 4 3 4 5
4 2 1 2 4
3 1 s0 1 3
4 2 1 2 4
5 4 3 4 5
Model STARMA • Misalkan Z(t) merupakan vektor variabel acak dari suatu proses
STARMA di berbagai lokasi pada suatu waktu t.
• Model STARMA( ) dinyatakan dalam:
• dengan Z(t) merupakan vektor pengamatan (N1) dari N lokasi pada waktu t atau (Zi(t) ), W adalah matriks bobot (NN) pada lag spasial l, t menyatakan waktu pengamatan ,1,2,...,T dan e(t) adalah vektor galat berdistribusi normal.
qp mmqp ,...,,..., 11,
)()()()()()(1 1
)(
0
1 1
)(
0 trtrtststtq
r
m
l
l
rlr
p
s k
k
sks
rs
eeWeZWZZ
Model STARMA(1;1, 1;1)
)()1()1()1()1()( 11101110 tttttt eWeeWZZZ
Model STAR(1;1)
• Model STAR(1;1) yang merupakan kasus khusus dari model STARMA(1;1, 1;1), yaitu tidak melibatkan unsur galat di lokasi sekitarnya (yang terdekat) pada waktu sebelumnya, dapat direalisasikan sebagai berikut:
• Model STAR(1;1) ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk model VAR (1) yaitu:
)()1()1()(1
1110 tttts
k
eWZZZ
)()1()( 1110 ttt eZWIZ
)()1()( ttt eΦZZ
Identifikasi Model Space Time (Pfeifer and Deustch, 1980)
Model space time diidentifikasi melalui fungsi space time autokorelasi
(STACF) dan fungsi space time parsial autokorelasi (STPACF).
sT
t sT
stts
1
)'()()(ˆ
ZZΓ
Matriks kovariansi antara lokasi dan waktu :
)(1
)(')()( str
Ns kl
lk ΓWWRata-rata kovariansi space time pd lag-s :
'sttEs ZZΓ
Fungsi autokorelasi space time (STACF) : 2/1
)0()0(
)()(
kkll
lklk
ss
p
p
p
pp
p
p
p
p
p
1
0
2
21
20
1
11
10
1010
1111011110
0010000100
0
10
00
0
10
00
0
10
00
021
201
111000
1
111000
111000
2
2
2
1
1
1
Fungsi parsial autokorelasi space time (STPACF), :
… lk
solusi persamaan Yule Walker :
Pola Teoritis STACF dan STPACF
Contoh
• Model yang mungkin: GSTAR(1;1), ... ???
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag time
Spatial T
ime P
art
ial A
uto
corr
ela
tion
Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag time
Spatial T
ime P
art
ial A
uto
corr
ela
tion
Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag time
Spatial T
ime P
art
ial A
uto
corr
ela
tion
Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag time
Spatial T
ime P
art
ial A
uto
corr
ela
tion
Spatial Time Partial Autocorrelation Function (ST-PACF)- lag spatial 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag time
Spatial T
ime A
uto
corr
ela
tion
Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag time
Spatial T
ime A
uto
corr
ela
tion
Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag time
Spatial T
ime A
uto
corr
ela
tion
Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag time
Spatial T
ime A
uto
corr
ela
tion
Spatial Time Autocorrelation Function (ST-ACF)- lag spatial 0
STACF plots
STPACF plots
Model GSTAR
1 2GSTAR ; , ,..., pp
Generalized space time autoregressive
Orde spasial = λ1, λ2,…, λp
Orde waktu = p
Nilai Zi (t) tergantung nilai satu periode sebelumnya yang
terjadi di i dan di lokasi yang langsung terkait dengan i
GSTAR (1,1)
Generalized space time autoregressive
Orde spasial =1
Orde waktu = 1
Pengamatan di lokasi i saat t
Model GSTAR(1;1)
• Model GSTAR(1;1) untuk setiap lokasi i = 1, 2, ..., N dan waktu t dinyatakan oleh:
• dan dalam notasi matriks dinyatakan sebagai:
• dengan
( ) ( )
10 111
( ) ( 1) ( 1) ( )N
i i
i i ij j ij
Z t Z t w Z t e t
)()1()( 10 ttt eZWΦΦZ
)(
)(
)(
)(2
1
tZ
tZ
tZ
t
N
Z
)(
)(
)(
)(2
1
te
te
te
t
N
e
0
0
0
21
221
112
NN
N
N
ww
ww
ww
W
• dengan dan
• Proses Z(t) diasumsikan terpusat, yaitu E[Z(t)]=0 untuk semua t.
• Perhatikan bahwa model STAR(1;1) merupakan kasus khusus dari model GSTAR(1;1) dengan dan .
11
N
j
ijw (1) ( )
1 1, , Ndiag Φ
IΦ 00 IΦ 11
( ) ( )
10 111
( ) ( 1) ( 1) ( )
N
i i
i i ij j ij
Z t Z t w Z t e t
Bentuk umum
Notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)
Struktur model liner
)()1()( 10 ttt eZWΦΦZ
εXβY Penaksir Kuadrat
Terkecil
Bentuk VAR (1)
kestasioneran model GSTAR(11)
observasi pada waktu t, untuk setiap lokasi-i
Tβ̂
kekonsistenan
GSTAR orde 1
Kestasioneran GSTAR orde 1
• Jika solusi rs memenuhi persamaan,
terletak di dalam lingkaran satuan ( ), maka GSTAR(1;1) stasioner.
(Wei, 1990, 2006)
• Syarat cukup kestasioneran GSTAR(1;1), jika
(Ruchjana, 2002)
1)(
11
)(
10 ii 1)(
11
)(
10 ii dan
010 WΦΦIsr1sr
Kuadrat Terkecil GSTAR(1;1)
• for time t = 1,2,…,T and spatial i = 1,2,…,N
i i i i Y X ε
)(
)2(
)1(
)(
)2(
)1(
)1()1(00
)1()1(00
)0()0(00
00)1()1(
00)1()1(
00)0()0(
)(
)2(
)1(
)(
)2(
)1(
1
1
1
1
0
11
02
11
01
11
11
11
1
1
1
Te
e
e
Te
e
e
TZTZ
ZZ
ZZ
TVTZ
VZ
VZ
TZ
Z
Z
TZ
Z
Z
N
N
N
N
N
NN
NN
NN
N
N
N
N
j
jiji tZwtV1
)()(with
1 dan NY Y1 dan NX X
1 dan Nε ε
Kuadrat Terkecil GSTAR(11)
Y Xβ ε
01 11 0 1ˆ ( , ,..., , ) ' N NPenaksir :
ˆ' ' X X X Y
memenuhi,
Akibatnya,
1ˆ ' '
X X X Y
dimana, harus non singulir. 'X X
Latihan
• N=3
• Misalkan dipandang produksi perkebunan teh di 3 bulan berturut-turut di 3 lokasi sbb:
• Misalkan proses mengikuti model GSTAR(1;1). Lakukan penaksiran parameter model dengan metode LS. Gunakan matriks bobot seragam.
• Catatan: pusatkan data terlebih dahulu.
Produksi (ribu ton) Tahun 1992 Kebun 1 Kebun 2 Kebun 3
Januari 275 317 302 Februari 178 252 176
Maret 255 312 260
Nilai Zi (t) tergantung nilai dalam dua periode sebelumnya
yang terjadi di i dan di lokasi yang langsung terkait dengan i
Generalized space time autoregressive
Orde spasial untuk lag waktu 2 : λ2
Orde waktu = 2
GSTAR Orde 2 Pengamatan di lokasi i saat t
1 2Model GSTAR(2; , )
Orde spasial untuk lag waktu 1 : λ1
Lag spasial
(λ1, λ2)
1 2 …
1 GSTAR(2;1,1) GSTAR(2;1,2) …
2 GSTAR(2;2,1) GSTAR(2;2,2) …
1
l 2
d0 d0 d0
Model GSTAR orde 2 observasi pada waktu t, untuk setiap lokasi-i
• GSTAR(2;1,1)
• GSTAR(2;1,2)
• GSTAR(2;2,1)
• GSTAR(2;2,2)
1 1
10 11 20 21
1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( )N N
i i i i
i i ij j i ij j i
j j
Z t Z t w Z t Z t w Z t e t
1 1 2
10 11 20 21 22
1 1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( )N N N
i i i i i
i i ij j i ij j ij j i
j j j
Z t Z t w Z t Z t w Z t w Z t e t
1 2 1
10 11 12 20 21
1 1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( )N N N
i i i i i
i i ij j ij j i ij j i
j j j
Z t Z t w Z t w Z t Z t w Z t e t
1 2 1 2
10 11 12 20 21 22
1 1 1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( )N N N N
i i i i i i
i i ij j ij j i ij j ij j i
j j j j
Z t Z t w Z t w Z t Z t w Z t w Z t e t
Model GSTAR orde 2 notasi matriks, dalam bentuk VAR(1)
• GSTAR(211)
• GSTAR(212)
• GSTAR(221)
• GSTAR(222)
10 11 20 21( ) ( 1) ( )
( 1) ( 2)
t t t
t t
Z W W Z e
Z I 0 Z 0
(2)
10 11 20 21 22( ) ( 1) ( )
( 1) ( 2)
t t t
t t
Z Z eW W W
Z Z 0I 0
(2)
10 11 12 20 21( ) ( 1) ( )
( 1) ( 2)
t t t
t t
Z Z eW W W
Z Z 0I 0
(2) (2)
10 11 12 20 21 22( ) ( 1) ( )
( 1) ( 2)
t t t
t t
Z Z eW W W W
Z Z 0I 0
Model GSTAR orde 2 struktur model linier εXβY
1 2
1 2
2 2
1 1
1 1
11 1
1 11
1
1 1
1 1
1 1 0 0 0 0 0 0
22 2 1 1 0 0 0 0
3
1 1 2 2 0 0 0 0
2
3
N N
ij j ij j
j j
N N
ij j ij j
j j
N N
ij j ij j
j j
N
N
N
Z w Z Z w Z
ZZ w Z Z w Z
Z
Z TZ T w Z T Z T w Z T
Z
Z
Z T
1
1 1
1 1
1 1
1
10
1
1
1
20
2
1 1
1 1
1 1
0 0 0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 2 1 1 1
0 0 0 0 1 1 2 1
N N
N ij j N ij j
j j
N N
N ij j N ij j
j j
N N
N ij j N ij j
j j
Z w Z Z w Z
Z w Z Z w Z
Z T w Z Z T w Z
2
1
2
1
1
11
10
1
20
2
2
3
2
3
N
N
N N
N
N
N
e
e
e T
e
e
e T
1 1 1 1
2 2 2 2
0 0
0 0
0 0
N N N N
' ' '
' ' '
' ' '
Y X ε
Y X ε
Y X ε
Kuadrat Terkecil GSTAR(1;1)
)1()12()2()1( NTNNNTNT εXY
NX
X
X
X
00
00
00
2
1
iNiiiii
iwwww
1,1,1 0
00100M
)1()1()0(' Tii ZZZMX
)1()1()0(' TZZZIMX
NM
M
M
M
00
00
00
2
1
dapat ditulis,
dengan
)'ˆ,ˆ,...,ˆ,ˆ(ˆ101101 NNT Penaksir :
)1()12()2()1( NTNNNTNT εXY
YXXX 'ˆ' T
memenuhi,
Akibatnya,
εXXX 'ˆ' T
XX'dimana, harus non singulir.
')'1()1(1
'MZZIMXX
T
t
tt
T
t
tt1
' )'()1( vec eZMεX
Y X ε
YXXX 'ˆ' T
memenuhi,
Akibatnya,
εXXX 'ˆ' T
XX'dimana, harus non singulir.
Penaksir β : 1 2 1 2
1 1 1 1
10 1 20 2 10 1 20 2
N N N N
Tˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,..., , ,..., ,..., ,..., , ,..., '
p
T̂
Kuadrat Terkecil GSTAR(2;λ1, λ2)
Kekonvergenan Penaksir Parameter
?ˆ
T
Tˆ
T
t
tt1
)'1()1( ZZ
T
t
tt1
1 )'()( eZ
Menyelidiki sifat limit dari dapat dilihat dari perilaku:
dan
Referensi • Borovkova, S.A., Lopuhaä, H.P., & Nurani, B., Consistency and Asymptotic Normality of Least Squares Estimators in
Generalized Space-Time Models, Statistica Neerlandica, 62, pp. 482-508, 2008. • Box, G.E.P., Jenkins, G.M. & Reinsel, G., Time Series Analysis, Forecasting and Control, 3rd ed., Prentice Hall, New
Jersey, 1994. • Mukhaiyar, U. Kestasioneran Model Generalized STAR Melalui Metode Invers Matriks Autokovariansi, PhD
Dissertation, Mathematics, Institut Teknologi Bandung, 2012. • Mukhaiyar, U. Kekonsistenan Lemah Penaksir Kuadrat Terkecil Model Space-Time GSTAR(1;1) Melalui Proses Beda
Martingale: Studi Kasus pada Produksi Bulanan Perkebunan Teh di Wilayah Jawa Barat, Magister Thesis, Institut Teknologi Bandung, 2007.
• Pfeifer, P.E., & Deutsch, S.J., A Three-Stage Iterative Approach for Space-Time Modeling, Technometrics, 22(1), pp. 35-47, 1980.
• Ruchjana, B.N. Suatu Model Generalisasi Space-Time Autoregresi dan penerapannya pada Produksi Minyak Bumi. , PhD Dissertation, Mathematics, Institut Teknologi Bandung, 2002.
• Wei, W.W.S., Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods 2nd. Ed., Pearson Addison Wesley, Boston, 2006.