SPECIALNI PRIPAD ROUTHOVY VETY A JEHO DUKAZ

V PROGRAMU GEOGEBRA

IRENA STRAUSOVA

Abstrakt. Matematicky program dynamicke geometrie GeoGebra nam dıkysvym vzajemne propojenym prostredım pro provadenı symbolickych i nume-

rickych vypoctu, zaznamu udaju do tabulky a znazornenı rovinnych i prosto-rovych konstrukcı dovoluje nahlızet na rozlicne matematicke problemy z vıcestran a prirozenym zpusobem tak vyuzıvat pri jejich resenı vıcenasobnou mate-

matickou reprezentaci. V clanku si ukazeme takoveto vyuzitı programu GeoGe-bra k dukazu jedne pozoruhodne geometricke vlastnosti a to tzv. Feynmanovatrojuhelnıku, ktery je specialnım prıpadem Routhovy vety.

South Bohemia Mathematical Letters

Volume 22, (2014), No. 1, 65–76.

Uvod

Software dynamicke geometrie GeoGebra [6] je v soucasne dobe mezi vyucujıcımimatematiky pomerne znamy a vyuzıvany. Duvodem nenı urcite jenom to, ze jek dispozici zcela zdarma, ale mezi jeho prednosti patrı take prehledne prostredı,intuitivnı ovladanı a siroke spektrum funkcı. Ackoliv je implementace GeoGebrydo hodin matematiky spojovana predevsım s vyukou planimetrie a funkcı, dıkyzmınene rozmanitosti jsou moznosti jejıho vyuzitı daleko sirsı.

Jednou z oblastı matematiky, ktere by vyuzitı GeoGebry mohlo pomoci k jejıpopularizaci a sirsımu vyuzitı ve skolske matematice, je dokazovanı matematickychvet. Z mnoha nastroju, ktere GeoGebra nabızı, muzeme vyuzıt naprıklad Vztahmezi objekty k verifikaci nejakeho matematickeho tvrzenı, ktere pozdeji dokazeme.Co se tyce moznostı ruznych prostredı, ktere jsou v GeoGebre k dispozici, taknaprıklad prostredı CAS lze vyuzıt k pocıtacovemu algebraickemu dukazu a prostredıNakresny k tvorbe dynamickeho vizualnıho dukazu. Protoze jsou vsechna prostredıv GeoGebre vzajemne propojena, muzeme take algebraicky dukaz z prostredı CASpropojit s Nakresnou a algebraicke vyjadrenı reprezentovat i graficky.

Konkretnı vyuzitı GeoGebry pri dokazovanı si ukazeme na problemu Routhovyvety a na tzv. Feynmanove trojuhelnıku, ktery je jejım specialnım prıpadem.

1. Routhova veta

Routhovou vetou [10] rozumıme nasledujıcı tvrzenı, ktere ve sve knize Treatiseon Analytical Statics with Numerous Examples [9] poprve vydane v roce 1891publikoval (na str. 82) anglicky matematik Edward John Routh [8].

Received by the editors datum odevzdani redakci casopisu.1991 Mathematics Subject Classification. cislo nebo cisla systemu Mathematics Subject

Classification.Key words and phrases. dukaz, vizualnı dynamicky dukaz, Feynmanuv trojuhelnık, Routhova

veta, GeoGebra.

66 IRENA STRAUSOVA

Veta 1.1. Necht’ D,E, F jsou v uvedenem poradı vnitrnı body stran BC,CA a ABtrojuhelnıku ABC (viz obr. 1). Pomery jejich vzdalenostı od krajnıch bodu prı-

slusnych stran nazveme |CD||BD| = x, |AE|

|CE| = y, |BF ||AF | = z. Dale oznacıme P,Q,R

prusecıky dvojic usecek AD,BE a CF (tzv. ceviany) takto: P ∈ AD ∩ CF,Q ∈AD ∩ BE,R ∈ BE ∩ CF . Potom pomer obsahu trojuhelnıku PQR a ABC je danvyrazem:

(1.1)(xyz − 1)2

(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx+ x+ 1)

Obrazek 1. Routhova veta

Veta je v [9] uvedena bez dukazu. Vzhledem k jejımu atraktivnımu obsahua specialnım prıpadum (mimo tzv. Feynmanova trojuhelnıku, kteremu je venovanadalsı kapitola, zminme jeste, ze specialnım prıpadem Routhovy vety je Cevova veta,ktera rıka, ze prımky AD,BE,CF (obr. 1) majı spolecny prave jeden bod, jestlizexyz = 1) jı vsak byla venovana dalsı pozornost a do soucasnosti byla publikovanarada jejıch dukazu. Naprıklad Coxeter uvadı v [5] dukaz vyuzıvajıcı barycentrickesouradnice nebo na strance [10] je uveden dukaz vyuzıvajıcı Menelaovu vetu.

Zde si uvedeme symbolicky dukaz, k jehoz realizaci vyhodne vyuzijeme prostredıCAS programu GeoGebra. Dukaz je svou podstatou zalozen na stredoskolskemucivu analyticke geometrie, konkretne vyuzıva parametricke vyjadrenı a obecnourovnici prımky dane dvema body, vypocet prusecıku dvou prımek a vypocet ob-sahu trojuhelnıku ze souradnic jeho vrcholu. Samotne provedenı dukazu je vsakpro stredoskolskeho studenta neumerne narocne. Take proto, ze neovlada efektivnıpostupy realizace potrebnych vypoctu, naprıklad vyuzitı determinantu. Ukazeme si,ze program GeoGebra muze byt vhodnym nastrojem, jehoz pouzitı tuto narocnosteliminuje a dovoluje studentum soustredit se na geometrickou podstatu dukazu.

Dukaz provedeme pro trojuhelnık ABC, ktery umıstıme do soustavy souradnetak jako na obrazku 2. Pak muzeme vyjadrit souradnice jeho vrcholu A = [0, 0],B = [k, 0], C = [l,m], viz radky 1 az 4 v zapisu kodu resenı v prostredı CASprogramu GeoGebra na obr. 3.

DUKAZ ROUTHOVY VETY V GEOGEBRE 67

Obrazek 2. Obrazek k dukazu v prostredı CAS v GeoGebre

Obrazek 3. Routhova veta - dukaz v CAS (1. cast)

Oznacıme-li|BF ||AF |

= p,|CD||BD|

= q,|CE||AE|

= r (pro potreby zpracovanı v programu

GeoGebra jsme mısto promennych x, y a z z vety 1.1 pouzili promenne p, q a r),muzeme body F, D, E zapsat s pomocı vrcholu trojuhelnıku ABC a vektoru jeho

stran F = A+1

p+ 1(B−A), D = (B−A)+

1

q + 1(C−B), E = (C−A)+

1

r + 1(A−

C), viz radky 5 az 7 v zapisu kodu resenı v prostredı CAS programu GeoGebra naobr. 4.

Obrazek 4. Routhova veta - dukaz v CAS (2. cast)

V dalsım kroku, jehoz zaznam vidıme na radcıch 8 az 10 na obr. 5, vypocıtameobecne rovnice prımek AD, BE a CF (vzhledem k jejich roli v Cevove vete seobvykle nazyvajı

”ceviany“). Vyuzijeme pri tom determinanty, tak, ze naprıklad

68 IRENA STRAUSOVA

prımka AD, kde A = [a1, a2], D = [d1, d2], ma obecnou rovnici∣∣∣∣ x− a1 y − a2d1 − a1 d2 − a2

∣∣∣∣ = 0.

Obrazek 5. Routhova veta - dukaz v CAS (3. cast)

Vrcholy P,Q a R vnitrnıho trojuhelnıku (viz obr. 1) pak vypocıtame jako pru-secıky techto cevianu. V prostredı CAS programu GeoGebra k tomu pouzijemeprıkaz Vyresit. Abychom zıskali vysledky resenı prıslusnych soustav linearnıchrovnic jako souradnice bodu, musıme na vystup prıkazu Vyresit aplikovat jesteprıkaz Substituce, jak je provedeno na radcıch 11 az 13 kodu resenı na obr. 6.

Obrazek 6. Routhova veta - dukaz v CAS (4. cast)

Nynı vyjadrıme obsahy trojuhelnıku ABC a PQR. Vyuzijeme k tomu opet de-terminant. Tak, ze naprıklad obsah trojuhelnıku ABC, kde A = [a1, a2], B = [b1, b2]a C = [c1, c2], je dan hodnotou vyrazu

SABC =

∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2

∣∣∣∣∣∣∣∣ .V kodu resenı v GeoGebre nejprve definujeme prıslusne matice ABC a PQR (viz radky14 az 15 na obr. 7), potom spocıtame jejich determinanty (viz radky 16 az 17).

Nakonec vypocıtame podıl obsahu trojuhelnıku PQR aABC. Po uprave vysledkuprıkazem Rozklad dostavame vyraz (viz radek 19 na obr. 8), ktery je (az na pouzitepromenne) identicky s vyrazem 1.1 v Routhove vete. Tım je tato veta dokazana.

Kdyz do vysledneho vyrazu dosadıme za p, q a r stejny parametr, naprıklad f,jak vidıme na radku 20 na obr. 9, dostaneme zobecnenı Feynmanova trojuhelnıku,

kterym se zabyva nasledujıcı kapitola. Pro f = 2 pak dostavame hodnotu1

7, ktera

odpovıda prımo tvrzenı o Feynmanove trojuhelnıku (viz radek 21 na obr. 9).

DUKAZ ROUTHOVY VETY V GEOGEBRE 69

Obrazek 7. Routhova veta - dukaz v CAS (5. cast)

Obrazek 8. Routhova veta - dukaz v CAS (6. cast)

Obrazek 9. Routhova veta - dukaz v CAS (7. cast)

2. Feynmanuv trojuhelnık

Jak jiz bylo zmıneno, specialnı prıpad Routhovy vety, ktery si vyslouzil zvlastnıpozornost, dostaneme, kdyz do vyrazu 1.1 za x, y i z dosadıme 2. Hodnota vyrazu1.1 je pak rovna 1

7 . Routhovu vetu pak muzeme preformulovat nasledovne:

Veta 2.1. Mejme libovolny trojuhelnık v rovine. Jestlize kazdy jeho vrchol spojımes bodem, ktery lezı v jedne tretine protilehle strany, pak trojuhelnık tvoreny temitospojnicemi ma obsah o velikosti jedne sedminy obsahu puvodnıho trojuhelnıku (obra-zek 10).

Tuto vetu lze nalezt v ruznych publikacıch, naprıklad v [5, 11]. Nejvıce ji vsak asiproslavil drzitel Nobelovy ceny za fyziku Richard Feynman, ktery se dle historkyuvedene v [2] behem jedne spolecenske vecere seznamil s tvrzenım uvedenym vevete 2.1 a pokousel se jeho pravdivost cely vecer vyvratit. Mısto toho se mu vsakpodarilo dokazat jeho pravdivost pro rovnostranny trojuhelnık. Avsak dıky tomu,ze kazdy obecny trojuhelnık lze uvazovat jako afinnı obraz nejakeho rovnostrannehotrojuhelnıku [14], uz pak nebylo tezke vetu dokazat pro trojuhelnık obecny. Dıky

70 IRENA STRAUSOVA

Obrazek 10. Feynmanuv trojuhelnık v obecnem trojuhelnıku

teto historce se pro prıslusny vnitrnı trojuhelnık UVW z obrazku 10 ujalo oznacenıFeynmanuv trojuhelnık.

Dukaz. vety 2.1 (dukaz dle Feynmana [2])Necht’ trojuhelnık ABC je rovnostranny a platı, ze AB = BC = AC = 3. PakC ′B = 1 (obrazek 11). Dle kosinove vety platı CC ′2 = 32 + 1 − 6 cos 60◦ = 7.Trojuhelnıky CBC ′ a BUC ′ jsou podobne dle vety uuu, protoze majı jeden spolecnyuhel (∠UC ′B = ∠BC ′C) a zaroven ∠UBC ′ = ∠BCC ′. Pak tedy C ′U = 1√

7, BU(= CV ) =

3√7a take V U =

√7− 1√

7− 3√

7= 3√

7. Ze symetrie pak vyplyva, ze UVW je take

rovnostranny trojuhelnık se stranami o delce 1√7delky stran trojuhelnıku ABC.

Proto SUVW = 17SABC . �

Obrazek 11. Rovnostranny trojuhelnık s Feynmanovym trojuhelnıkem

Tento Feymanuv dukaz vyuzıva pouze kosinove vety a podobnosti trojuhelnıku,coz jsou znalosti, ktere jsou bezne soucastı stredoskolskeho uciva. Proto by jistebylo mozne pouzıt tento specialnı prıpad vety 2.1 pro rovnostranny trojuhelnıkvcetne jejıho dukazu pri vyuce matematiky na strednı skole a seznamit tak zakys dalsı zajımavou vlastnostı tykajıcı se trojuhelnıku. Navıc bychom teto znalostimohli vyuzıt pri dukazu tvrzenı, ze teznice se protınajı prave v jednom spolecnembode. V tom prıpade bychom postupovali deduktivne a odvodili, ze jestlize bodyA′, B′, C ′ lezı ve stredech stran trojuhelnıku ABC, pak velikost obsahu trojuhelnıkuUVW je rovna nule.

Nekolik dukazu vety 2.1 je uvedeno ve clanku [2]. Jednım z nich je nasledujıcıanalyticky dukaz, ktery je zajımavy tım, ze zvoleny trojuhelnık nenı zasazen do

DUKAZ ROUTHOVY VETY V GEOGEBRE 71

soustavy souradne, ale je zde vyuzito vektoru a barycetrickych souradnic [1]. Bary-centricke souradnice bodu M vzhledem k bodum K,L jsou takova cısla α a β, zepro bod M , ktery lezı na prımce KL platı, M = α ·K+β ·L a zaroven α+β = 1. Tosame samozrejme platı, kdyz uvazujeme mısto bodu K,L jejich polohove vektory

k, l.

Dukaz. vety 2.1 (analyticky dukaz dle [2])Uvazujme trojuhelnık ABC z obrazku 10. Bod A′ lezı na strane BC tak, ze platı|CA′| = 1

3CB a podobne jsou definovany i body B′, C ′. Body U, V,W jsou pak po

rade prusecıky usecek BB′, CC ′ a AA′. Necht’ a je polohovy vektor bodu A, b je

polohovy vektor bodu B a c je polohovy vektor bodu C. Pak platı, ze b′ = 13 c+

23 a

a c′ = 13 a+

23 b. Protoze U je prusecık BB′ a CC ′, tak platı, ze u = λb′+(1−λ)b =

23λa+(1−λ)b+ 1

3λc = µc′+(1−µ)c = 13µa+

23 µb+(1−µ)c. Jelikoz body A,B,C

nejsou kolinearnı, platı, ze µ = 2λ a 1 − λ = 23µ. Pak tedy λ = 3

7 , µ = 67 , u =

27 a+

47 b+

17 c. Podobne v = 1

7 a+27 b+

47 c, takze u−v = 1

7 a+27 b−

37 c =

17 (a−b)+ 3

7 (b−c).

Podobne v − w = −37 a+ 1

7 b+27 c = −3

7 (a− b)− 27 (b− c).

△UVW =1

2|(u− v)× (v − w)|

=1

2| − 2

49(a− b)× (b− c)− 9

49(b− c)× (a− b)|

=1

7× 1

2|(a− b)× (b− c)| = 1

7△ABC

�

Dale si ukazeme, jak lze do dokazovanı vety 2.1 zapojit software GeoGebra.V predchozı kapitole jsme vyuzili prostredı CAS pro symbolicky dukaz Routhovyvety. Protoze tvrzenı o Feynmanove trojuhelnıku je specialnım prıpadem Routhovyvety, vyplyva jeho pravdivost prımo z dukazu teto vety, jak vidıme na obr. 9. Aplets tımto dukazem je publikovan na [15].

Nynı si ukazeme dalsı vynikajıcı vlastnost GeoGebry a to tu, ze umoznuje pro-pojit prostredı CAS s Nakresnou. Lze tedy tımto zpusobem algebraicke vyjadrenızaroven reprezentovat i graficky. Konkretne u prezentovaneho prıkladu muzeme pa-rametry k, l,m, reprezentovat jako posuvnıky, menit tak jejich hodnoty a sledovatna nakresne, jak se prıslusne geometricke objekty menı v zavislosti na zmenachtechto hodnot (viz obr. 12). Jisteze v tomto prıpade uz nelze hovorit prımo o ma-tematickem dukazu v pravem slova smyslu, jelikoz zde parametry nabyvajı pouzeurcitych hodnot, ale hlavnı prınos zde tkvı prave v propojenı algebraicke a vizualnıreprezentace matematickeho problemu.

Krome prostredı CAS muzeme v GeoGebre vyuzıt k podpore dokazovanı mate-matickych vet i Nakresnu. Nejprve si ukazeme, jak lze verifikovat tvrzenı o Feynma-nove trojuhelnıku. Sestrojıme v Nakresne dle vety 2.1 oba trojuhelnıky a nechameGeoGebru (numericky) urcit pomer jejich obsahu. V tomto prıpade jsou pak dulezitedve veci: vysvetlit studentum, ze verifikace nenı to same jako matematicky dukaz.Dale pak je take dobre, aby si aplet s verifikacı vytvorili sami, aby pochopili, najakem principu je zalozen.

Vyhodou GeoGebry je, ze jestlize vytvorıme trojuhelnık (respektive jakykolivmnohouhelnık), automaticky je mu prirazen nazev a hodnota udavajıcı velikost

72 IRENA STRAUSOVA

Obrazek 12. Dukaz v CAS a v Nakresne [16]

jeho obsahu. S tımto udajem muzeme dale pracovat jako s promennou. Jestlizesi pojmenujeme trojuhelnık ABC (obr. 13) nazvem velky a trojuhelnık UVWnazvem maly a vytvorıme si pomocnou promennou pomer, ktere priradıme hodnotumaly/velky, pak text, ktery bude nad trojuhelnıkem (viz zluty ramecek na obrazku

13), zadame do okna Upravy, ktere se nam otevre pri vyberu nastroje Text, prıkazem\frac{S {UVW}}{S {ABC}}=\frac{maly}{velky}=IracionalniText[pomer] .

Obrazek 13. Verifikace Feynmanova trojuhelnıku v GeoGebre [19]

DUKAZ ROUTHOVY VETY V GEOGEBRE 73

Jak jiz bylo zmıneno, verifikaci nelze povazovat za dukaz, ale muzeme na jejımzaklade vyslovit domnenku, kterou nasledne dokazeme, ci vyvratıme.

Poslednı dva uvedene dukazy vety 2.1 jsou tzv. dynamicke vizualnı dukazy. Tytodynamicke figury [13] vychazejı z tzv. dukazu beze slov. Jejich dynamicky charaktervsak pomaha lepe pochopit tok myslenek vedoucıch k samotnemu dukazu.

Uz samotny proces tvorby dynamickych vizualnıch dukazu v GeoGebre nabızımnoho moznostı, jak vyuzıt jejıch rozlicnych nastroju a take jak uplatnit znalostiz oblasti planimetrie. Nebudeme zde podrobne rozebırat princip jejich tvorby, tech-niky, ktere se pri jejich vytvarenı pouzıvajı jsou popsany naprıklad v [12].

Prvnı zde uvedeny dynamicky vizualnı dukaz Feynmanova trojuhelnkıku 14 jezalozen na dukazu beze slov, ktery je uveden na strane 17 v knize Rogera NelsenaProofs without Words II: More Exercisesin Visual Thinking [7]. Zde je velice hezkyvidet vyhoda dynamickeho prostredı. To, co musı byt ve staticke podobe zachycenonekolika obrazky (jak je videt ve zminovane knize [7] nebo i na obrazku 14) lzev softwaru dynamicke geometrie zachytit v jedinem apletu [17].

(a)(b)

(c) (d)

Obrazek 14. Dynamicky vizualnı dukaz Feynmanova trojuhelnıku [17].

Druhy dynamicky vizualnı dukaz (obr. 17) je zalozen na zakreslenı celeho proble-mu Feynmanova trojuhelnıku do trojuhelnıkove sıte (obr. 15). Zakladnım stavebnımkamenem teto sıte je prave ten vnitrnı (Feynmanuv) trojuhelnık, jehoz velikostobsahu vzhledem k celemu trojuhelnıku chceme dokazat. Prımky tvorıcı tuto sıt’

rozdelı trojuhelnık na nekolik castı, ktere kdyz vhodne presuneme, tak jak je to na-znaceno na obrazku 16 z knihy [11], dostaneme sedm trojuhelnıku, ktere jsou shodnea majı stejnou velikost jako vnitrnı (Feynmanuv) trojuhelnık. Tım je dokazano, zejeho obsah je roven jedne sedmine obsahu puvodnıho trojuhelnıku. Stejne tak jakou predchozıho dukazu, i zde je videt, jak dynamika pomaha k lepsımu pochopenıvizualnıho dukazu.

3. Zobecnenı Feynmanova trojuhelnıku

Problem Feynmanova trojuhelnıku muzeme zobecnit, a to z vıce pohledu. Naprı-klad kdyz body A′, B′, C ′ nebudou umısteny vzdy v jedne tretine prıslusne stranytrojuhelnıku ABC, ale obecne tak, ze ji budou delit na cast 1

p a 1− 1p .

74 IRENA STRAUSOVA

Obrazek 15. Feynmanuv trojuhelnık v trojuhelnıkove sıti

Obrazek 16. Vizualnı dukaz Feynmanova trojuhelnıku [11]

(a)(b) (c)

(d) (e) (f)

Obrazek 17. Dynamicky vizualnı dukaz Feynmanova trojuhelnıku [18].

Veta 3.1. Mejme libovolny trojuhelnık v rovine. Jestlize kazdy jeho vrchol spojıme sbodem, ktery delı protilehlou stranu na dve casti o velikostech 1

p a 1− 1p , (p > 2), pak

DUKAZ ROUTHOVY VETY V GEOGEBRE 75

trojuhelnık tvoreny temito spojnicemi ma obsah o velikosti (p−2)2

p2−p+1 obsahu puvodnıho

trojuhelnıku.

Dukaz. vety 3.1 [4]Uvazujme rovnostranny trojuhelnık ABC, kde |AB| = |BC| = |CA| = p a tedy

|AC ′| = |BA′| = |CB′| = 1. Pak podle kosinove vety platı, ze |AA′2| = p2 + 1 −2p cos 60◦ = p2 − p + 1. Odtud pak —AA′| =

√p2 − p+ 1. Trojuhelnıky ABA′

a BV A′ jsou podobne, protoze |∠BAA′| = |∠V A′B| a |∠A′AB| = |∠A′BV |.Proto |V A′| = 1√

p2−p+1, |BV | = |AU | = p√

p2−p+1a tedy |V U | =

√p2 − p+ 1 −

1√p2−p+1

− p√p2−p+1

= p(p−2)√p2−p+1

. Z cyklicke zameny pak plyne, ze i trojuhelnık

UVW je rovnostranny se stranou p(p−2)√p2−p+1

× 1p = p−2√

p2−p+1delky strany trojuhelnıku

ABC. Proto obsah trojuhelnıku UVW je (p−2)2

p2−p+1 obsahu trojuhelnıku ABC.

�Vzhledem k tomu, ze veta obsahuje pouze vlastnosti, ktere se pri afinnıch zobra-

zenıch zachovavajı, jako jsou pomery stran a obsahu, a kazdy trojuhelnık je afinnıs rovnostrannym trojuhelnıkem, jak je videt naprıklad na apletu [14], lze tentodukaz zobecnit na libovolny trojuhelnık.

Dalsı moznostı je zobecnenı tohoto problemu na rovnobeznık (obrazek 18).

Veta 3.2. Pro kazdy rovnobeznık v rovine platı, jestlize kazdy jeho vrchol spojımes bodem, jez lezı v 1

p (p ≥ 2) protilehle strany, pak rovnobeznık EFGH, ktery vytvorı

tyto spojnice ma obsah roven p2−2p+1p2+1 obsahu puvodnıho rovnobeznıku ABCD.

Obrazek 18. Zobecnenı Feynmanova trojuhelnıku na rovnobeznık

Pri dokazovanı vety 3.2 je asi nejjednodussı postupovat podobnym zpusobem,jako u dukazu vety 3.1 uvedeneho vyse. Nejprve uvazovat specialnı prıpad, kterymtentokrat bude ctverec, a potom vyuzıt toho, ze kazdy ctverec lze v afinite zobrazitna rovnobeznık.

Zaver

Jak zde bylo ukazano, vyuzitı pocıtace, v tomto prıpade programu GeoGebra,nam dava mnoho moznostı, jak pristupovat k dukazum matematickych vet. Totosiroke spektrum moznostı jiste muze pomoci k vetsımu rozsırenı dukazu do vyukymatematiky na strednıch skolach. Dıky matematickemu software jsou dnes zakum

76 IRENA STRAUSOVA

prıstupne i dukazy, ktere byly drıve domenou pouze geniu formatu Richarda Feyn-mana.

Acknowledgment. Chtela bych podekovat Mgr. Romanu Haskovi, Ph.D. za od-bornou pomoc a cenne pripomınky pri psanı tohoto clanku.

Reference

[1] BUDINSKY, Bruno. Analyticka a diferencialnı geometrie. Vyd. 1. Praha: SNTL, 1983, 296s.

[2] COOK, R. J. a G. V. WOOD. Note 88.46: Feynman’s triangle. The Mathematical Gazette,

cervenec 2004, roc. 88, c. 512, s. 299-302[3] De VILLIERS, M. Feedback: Feynman’s triangle. The Mathematical Gazette, brezen 2005,

roc. 89, c. 514, s. 106 - 108

[4] De VILLIERS, M. Feynman’s Triangle: Some Feedback and More. [online]. [cit. 2015-02-15].Dostupne z: http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/feynman.pdf

[5] COXETER, H. S. M. Introduction to geometry. 2nd ed., New York: John Wiley, 1989, xvi,469 s. Wiley classics library. ISBN 04-715-0458-0.

[6] GeoGebra. Dostupne z http://www.geogebra.org.[7] NELSEN, Roger B. Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking. The Mathe-

matical Association of America, 2001. ISBN 0-88385-721-9.[8] O’CONNOR, John J. a Edmund F. ROBERTSON. Edward John Routh. The MacTu-

tor History of Mathematics archive [online]. School of Mathematics and StatisticsUniversity of St Andrews, Scotland: JOC/EFR, 2003 [cit. 2015-02-15]. Dostupne z:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Biographies/Routh.html

[9] ROUTH, E. J. (1909) Treatise on Analytical Statics with Nume-

rous Examples. 2nd ed., Cambridge: at the University Press. Dostupnez https://archive.org/details/treatiseonanalyt01routiala

[10] Routh’s theorem. Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): WikimediaFoundation, 2014 [cit. 2015-02-11]. http://en.wikipedia.org/wiki/Routh%27s theorem

[11] STEINHAUS, Hugo. Mathematical snapshots. New York: Oxford University Press, 1983, 311s. ISBN 01-950-3267-5.

[12] STRAUSOVA Irena., Dynamicky dukaz v GeoGebre, Sbornık prıspevku 34. konference o

geometrii a grafice, 15. – 18. 9. 2014, Jihoceska univerzita v C. B., Ceske Budejovice, 2014,str. 231–237. ISBN 978-80-7394-470-4.

[13] VANICEK, Jirı. Pocıtacove kognitivnı technologie ve vyuce geometrie. Praha: UniverzitaKarlova v Praze, Pedagogicka fakulta, 2009. ISBN 978-807-2903-948.

Doplnkove elektronicke materialy

[14] STRAUSOVA I., Afinnı zobrazenı trojuhelnıku na rovnostranny trouhelnık, GeoGebra sou-bor, 2015. Dostupne z http://tube.geogebra.org/student/m669905

[15] STRAUSOVA I., Feynmanuv trojuhelnık - CAS, GeoGebra soubor, 2015. Dostupnez http://geogebratube.com/material/show/id/716559

[16] STRAUSOVA I., Feynmanuv trojuhelnık - CAS a Nakresna, GeoGebra soubor, 2015. Do-stupne z http://geogebratube.com/material/show/id/716539

[17] STRAUSOVA I., Feynmanuv trojuhelnık - dynamicky dukaz 1, GeoGebra soubor, 2015. Do-stupne z http://tube.geogebra.org/student/m503201

[18] STRAUSOVA I., Feynmanuv trojuhelnık - dynamicky dukaz 2, GeoGebra soubor, 2015. Do-stupne z http://tube.geogebra.org/student/m503213

[19] STRAUSOVA I., Feynmanuv trojuhelnık - verifikace, GeoGebra soubor, 2015. Dostupnez http://tube.geogebra.org/student/m696437

Gymnazium, Ceske Budejovice, Ceska 64E-mail address: istrausova@gymceska.cz