Something About Projective Geometry

Roiatti Caterina

I.S.I.S. \A. Malignani ", Classe 5a Ast , a.s. 2012/2013

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2

Indice

1 Matematica:

Dalla Prospettiva alla Geometria Proiettiva 4

1.1 Introduzione: Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Elementi di Prospettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Punti di Fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Elementi di Geometria Proiettiva . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Coordinate Omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Punti e Retta impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Particolarit�a della Geometria Proiettiva . . . . . . . . . 91.3.4 Impieghi della Geometria Proiettiva . . . . . . . . . . . 10

2 Letteratura:

La Biblioteca di Babele 11

3 English:

Expressing Intuition 13

3.1 Link: Matter of expressing intuition . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Rendering ability: Ian McEwan . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Biographical elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 The Child in Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.3 Atonement : matter of words being too powerful . . . . 15

4 Inglese:

Esprimere l'Intuizione 16

4.1 Collegamento: Questione dell'esprimere l'intuizione . . . . . . 164.2 Abilit�a nel rendere col linguaggio: Ian McEwan . . . . . . . . 16

4.2.1 Cenni biogra�ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.2 Bambini nel Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3 Espiazione : come le parole possono essere troppo potenti 18

5 Filoso�a:

Intuizionismo, Costruttivismo e Formalismo 19

5.1 Introduzione storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Intuizionismo e Costruttivismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Scienze:

Descrizione delle Orbite 23

3

1 Matematica:

Dalla Prospettiva alla Geometria Proiettiva

1.1 Introduzione: Cenni storici

Sebbene la Geometria proiettiva propriamente detta nasca col \Trait�e despropri�et�es projectives des �gures"di Poncelet (1822), le sue origini possonoessere ritrovate molto pi�u indietro nel tempo, all'origine delle tecniche didisegno prospettico, nella Grecia antica. Questo tipo di disegno va oltrealla rappresenzazione bidimensionale \piatta"delle �gure, infatti permette direnderne la tridimensionalit�a e le proporzioni in base alla distanza reciproca edall'osservatore. Queste caratteristiche sono state rese nel tempo sempre pi�uadatte a rappresentare fedelmente la realt�a come osservata dall'uomo. Comevedremo, il legame tra geometria proiettiva e prospettiva �e molto stretto.I primi ad accorgersi della possibilit�a di rappresentare la realt�a in modonuovo1 furono Euclide (323 a.C.-286 a.C.) e, successivamente, Archimede(287 a.C.-212 a.C.), anche se per ritrovare una prospettiva pi�u vicina al nostroimmaginario dobbiamo arrivare �no al 1400. In questo secolo i maggiorirappresentanti del Rinascimento iniziarono il processo de�nitivo di redazionedelle tecniche di disegno:

� Filippo Brunelleschi (1377-1446) di�onde la tecnica (da molti studiosiconsiderata di sua invenzione) della prospettiva a punto di fuga;

� Piero della Francesca (1417-1492) pubblica nel 1482 il trattato di im-postazione matematica De perspectiva pingendi, con il quale fonda ilmoderno disegno tecnico;

� Leon Battista Aberti (1404-1472), pubblica nel 1435 il De pictura, dedi-candolo a Brunelleschi, nel quale descrive la prospettiva da un puntodi vista di ispirazione matematica.

In seguito, matematici del 1600 come Guido Ubaldo del Monte (1545-1607) e Girard Desargues(1593-1661) si accorsero delle implicazioni matema-tiche delle tecniche della prospettiva e ne completarono una prima forma-lizzazione. Blaise Pascal (1623-1662) si occup�o maggiormente della teoriadelle coniche, riprendendo in parte le osservazioni di Apollonio (247a.C.)riguardo le sezioni del cono circolare retto e riportandole come proiezioni del

1Le tecniche di pittura �no e per qualche tempo dopo di allora avevano s�� delle basigeometriche, ma si limitavano alla bidimensionalit�a, appiattendo le �gure (pitture vasaligreche, pittura egizia)

4

cerchio. Rene�e Descartes (1596-1650) si applic�o poi ad applicare l'algebra allateoria delle curve, dando inizio alla geometria analitica, mediante la qualepu�o essere espressa la geometria proiettiva. Dopo Poncelet, gi�a citato sopra,furono molti i matematici a dare il loro contributo alla geometria proiettiva,dimostrando nuovi teoremi e nuove scoperte.

1.2 Elementi di Prospettiva

1.2.1 Operazioni

Nella prospettiva sono implicitamente contenute le operazioni di pro-iettare e segare2, fondamentali per la geometria proiettiva. Per esempio,fu Desargues a capire che le coniche potevano essere considerate in prospet-tiva e poi in geometria proiettiva come le proiezioni di un'unica �gura, ilcerchio.Per quanto riguarda il proiettare, si pu�o distinguere in due modi diversi:

� Proiettare da un punto3 (proiezione conica o centrale, mediante rette,Figura 1);

� Proiettare da una retta o da un piano (proiezione parallela, medianterette o piani, Figura 2).

Anche nel caso del segare (Figura 3) si distingue tra il segare con un pianoe il segare con una retta. Queste operazioni producono oggetti di�erentie quindi rappresentazioni diverse dell'oggetto di partenza, ad esempio pi�uversioni della prospettiva di un edi�cio se osservato da distanze o altezzediverse.

2Per proiettare s'intende il produrre l'immagine di un oggetto su un piano diverso,conducendo attraverso i suoi punti delle rette o dei piani (Figure 1,2).Per segare s'intende il produrre l'immagine di una parte dell'oggetto considerato, sezio-nandolo con delle rette o dei piani (Figura 3a). Quest'ultima tecnica �e usata specialmentenei disegni tecnici.

3Tale punto diventa per il disegnatore il punto di vista considerato.

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Figura 1: Esempio di proiezionedi un segmento e di un punto, da unpunto.

Figura 2: Esempio di proiezione diun segmento e un punto, da rette.

Figura 3: Sezioni di un cono ottenute

mediante piani generano le coniche.

1.2.2 Punti di Fuga

In prospettiva, i punti di fuga sono quei punti nei quali le rette che noisappiamo essere parallele nel mondo reale, ma che percepiamo nell'imma-gine come incidenti convergono (Figura 3). In una stessa rappresentazionepossono esserci diversi punti di fuga, per diversi fasci di rette parallele (Figu-ra 4).In prospettiva, i punti di fuga sono posti all'orizzonte, ovvero sulla linea im-maginaria4 che delimita la visuale dell'osservatore.

4�E immaginaria perch�e, dovendo essere il luogo dove si incontrano le rette parallele, sitroverebbe all'in�nito, mentre in prospettiva, come nella visione dell'uomo, �e contenuta edelimita il piano immagine.

6

Figura 3: Esempi di convergenza apparente di linee parallele come i marginidelle strade.

Figura 4: Esempio di disegni prospettici a 1; 2, e 3 punti di fuga (vanishing points).

1.3 Elementi di Geometria Proiettiva

1.3.1 Coordinate Omogenee

La necessit�a di descrivere in forma analitica i punti del piano, compresiquelli all'in�nito, ha fatto s�� che si cercasse un'alternativa valida alle coordi-nate cartesiane: si tratta delle coordinate omogenee. Queste, usate sistema-ticamente da Pl�ucker (1801-1868)5, permettono di de�nire algebricamentegli enti della geometria proiettiva. Lavorando sul piano proiettivo6, abbiamobisogno di tre coordinate per de�nire la posizione di un punto, quindi leclassiche coordinate cartesiane (x; y) vengono sostituite dalla terna ordinata(x1; x2; x3). Essa �e comunque riconducibile alle prime de�nendo x = x1

x3

ey = x2

x3

. Non vengono date limitazioni rispetto ai valori di x1, x2, x3: rappor-

5Anche se probabilmente introdotte da Feuerbach6Il piano proiettivo �e un'estensione del piano euclideo a cui vengono aggiunti, come

spiegato pi�u avanti, i punti all'in�nito.

7

tarle �e infatti sempre possibile, purch�e si abbia che x1; x2 6= 0 quando x3 = 0,poich�e il rapporto 0=0 non �e de�nito. Quando per�o x3 ! 0 si ha che le altrecoordinate tendono all'in�nito: siamo di fronte ai punti impropri, quelli chenon sono compresi nel piano a�ne (euclideo). Lo stratagemma di introdurreuna terza coordinata come divisore delle altre due, per poterla far tendere azero, �e quindi il mezzo per rappresentare i punti all'in�nito.

1.3.2 Punti e Retta impropria

I punti impropri sono quindi i punti all'in�nito e corrispondono ai puntidi fuga della prospettiva: �e infatti facile vedere come algebricamente l'inter-sezione tra due rette parallele generi uno e un solo punto improprio, dettoanche direzione del fascio improprio di rette parallele. Sarebbe altrettantofacile lasciarsi trarre in inganno dalla comune concezione delle rette come entibidirezionali, il che presupporrebbe due punti di incontro per queste rette,e non uno come per tutte le altre rette incidenti7. Per questo motivo si �edovuto de�nire il punto improprio come unico (Figura 5, pag.9).

\Sia a una retta ed O un punto fuori di essa: consideriamo unaretta OP pssante per O e secante la a in un punto P . Se facciamoruotare la retta OP attorno ad O in uno dei due sensi, in guisa datendere alla posizione limite della retta b parallela alla a, il puntoP della nominata retta mobile con a assume successive posizioniP 0; P 00; : : : che si vanno allontanando inde�nitamente da un pun-to �sso A su a. Questo punto di intersezione della trasversalemobile per O con a, scompare quando la trasversale acquista laposizione della b parallela ad a, e ricompare poi dall'altra parteavvicinandosi sempre ad A se si continua la rotazione della rettaper O nel medesimo senso, oltre la posizione di parallelismo. Per-ci�o il punto P comune ad a e ad una trasversale per O nel pianoOa, tende ad essere sostituito dalla direzione comune alle retteba quanto P si allontana inde�nitamente da A nell'uno o nell'al-tro senso. Appare cos�� naturale di riguardare due rette paralleleaventi un unico punto comune all'in�nito."[2]

7Per il primo postulato di Euclide \Tra due punti qualsiasi �e possibile tracciare unae una sola retta". Se due rette avessero ad esempio 2 > 1 punti di intersezione, per duepunti sarebbe possibile tracciare pi�u di una retta, contraddicendo il postulato.

8

Figura 5: Generazione del punto improprio.L'insieme dei punti impropri de�nisce la forma punteggiata8 della ret-

ta impropria, che �e quindi la retta all'in�nito corrispondente all'orizzonteprospettico, con la quale tutte le rette hanno una sola intersezione.

1.3.3 Particolarit�a della Geometria Proiettiva

L'unicit�a dell'intersezione delle rette, a prima vista scontata e obbligata,porta a caratteristiche peculiari del piano proiettivo, come il \poter uscireda una parte e rientrare dall'altra". Ci�o �e reso possibile dall'unicit�a deipunti impropri come intersezione tra rette: se infatti due rette parallele,o una parallela e la retta impropria si incontrano in uno e un solo punto,questo signi�ca che potendo raggiungere quel punto (nel piano proiettivo �elecito, in quanto il punto �e de�nito) si �e contemporaneamente ad un estremoall'in�nito di un piano e al suo opposto. Se vogliamo adattare la nostraconcezione intuitiva della retta, possiamo pensarla come limite di un cerchio

variabile di raggio crescente, i cui punti sono in una disposizione circolare

naturale che ha due sensi (Figura 5, pag.10); insomma, dobbiamo cercare diimmaginare la retta come chiusa anche quando rimaniamo sul piano.Questo poter \uscire e rientrare"nel piano proiettivo origina anche la suacuriosa possibile suddivisione in soli quattro triangoli, de�niti da tre puntipropri, che coprono tutto il piano (Figura 4, pag.10). Essi hanno i vertici neipunti A;B;C; dati: il primo, quello \normale"�e facile da vedere; per gli altribisogna fare uno sforzo di immaginazione, pensando appunto a ricongiungerei doppioni dei punti impropri (intersezioni dei prolungamenti dei lati delprimo con la retta impropria) o a disegnare periodicamente lo spazio in mododa poterli individuare subito. Questo �e uno degli esempi di periodicit�a delpiano proiettivo.

8�E infatti possibile de�nire la retta anche come intersezione tra due piani (forma

assiale), oltre che come insieme di punti allineati.

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Figura 4: I triangoli 1; 2; 3 hannoper vertici rispettivamente C;A;B eper basi AB;BC;AC

Figura 5: Al crescere del raggio, lecirconferenze hanno una curvaturaquasi \piatta, rettilinea"

1.3.4 Impieghi della Geometria Proiettiva

L'eliminazione dell'asimmetria fra coppie di rette parallele e coppie dirette secanti rende la geometria proiettiva pi�u elegante e semplice della ge-ometria classica. Alcuni teoremi risultano enunciati in maniera pi�u immedia-ta in geometria proiettiva, perch�e l'enunciato \date due rette"non va se-parato nei due casi di parallele o incidenti, essendo le rette sempre incidenti,nel piano proiettivo. Inoltre, la geometria proiettiva d�a una rappresentazioneunitaria delle coniche, come casi diversi di un unico tipo di curva9. Questesempli�cazioni rendono la geometria proiettiva un valido punto di parten-za per i programmi di disegno al computer, che possono essere a loro voltaresi pi�u snelli grazie alla minore quantit�a di casi particolari di cui tener con-to. Per gli stessi motivi, la geometria proiettiva pu�o essere anche un validostrumento didattico, in quanto fornisce soluzioni pi�u immediate e intuitive aproblemi come quello dei punti all'in�nito, rispetto alla geometria euclidea oalla geometria analitica classica.

9vedi p.24, Scienze, descrizione delle orbite.

10

2 Letteratura:

La Biblioteca di Babele

\La biblioteca e' illimitata e periodica. Se un eterno viaggiatorela traversasse in una direzione qualsiasi, constaterebbe che alla�ne dei secoli gli stessi volumi si ripetono nello stesso disordineche, ripetuto, sarebbe un ordine: l'Ordine. Questa elegante sper-anza rallegra la mia solitudine. "[7]

La biblioteca che Borges descrive, seppure non per primo, sembra es-sere costruita in uno spazio proiettivo. L'essere illimitata e periodica larende si mile al piano proiettivo, anch'esso in�nitamente esteso e nel qualele rette, pro seguendo in una direzione e raggiungendo l'in�nito, \rientra-no "dall'estremo opposto del piano. Cos��, sembra che nella biblioteca ognigalleria, ogni corridoio, rappresenti una retta proiettiva e che ogni scala achiocciola porti a un nuovo piano del tutto simile al precedente. Questi sonostati elegantemente tassellati di stanze esagonali regolari che, con i triangoliequilateri e i rettangoli, sono le uniche forme convesse che permettono diricoprire le super�ci in modo periodico, senza lasciare scomodi spazi vuoti.Ogni stanza ha quattro pareti occupate dai libri e due su cui si aprono porteche, se disposte con accuratezza dal dio che cre�o la biblioteca, permettereb-bero di percorrere tutti gli esagoni con un solo percorso, senza mai tornareindietro.

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\Non mi sembra inverosimile che in un certo sca�ale dell'universoesista un libro totale10; prego gli d�ei ignoti che un uomo | uno

solo, e sia pure da migliaia d'anni! | l'abbia trovato e l'abbialetto. Se l'onore e la sapienza e la felicit�a non sono per

me, che siano per altri [. . . ] Che per un istante la Tua enormeBiblioteca si giusti�chi ".

Da quanto possiamo leggere qui, sembra che forse un solo monaco/bibliote-cario11 abbia intrapreso il percorso di sola andata verso il libro totale12 e cheil prezzo sia stato il non poter dare una giusti�cazione in linguaggio umano senon per un solo istante, se non per s�e stesso, per essere poi nuovamente persoa ristabilire l'equilibrio probabilistico della Biblioteca. In questo, la Bibliote-ca �e democratica: Borgues ci assicura che \solo l'impossibile �e escluso "e che\ogni esemplare �e unico, insostituibile ", perci�o ogni unit�a ha lo stesso pesose rapportata all'in�nit�a della Biblioteca. Che poi questo signi�chi anche che

\parlare �e incorrere in tautologie. Nessuno pu�o articolare unasillaba che non sia piena di tenerezze e di (t)errori "

pu�o solo far pensare che questo tipo di democrazia totale non sia per gli uomi-ni comuni. Infatti, per ogni uomo comune esiste, sebbene a volte nebbiosa, ladi�erenza tra errore e esattezza, mentre sembra che le in�nite13 parole dellaBiblioteca, per il fatto di signi�care nelle innumerevoli lingue possibili ognipossibile cosa, perdano di ogni esattezza e di ogni comprensibilit�a.

Ma allora ci si chiede perch�e si continui a parlare, a scrivere. Per Borgues\lo scrivere metodico distrae dalla presente condizione degli uomini, cui lacertezza di ci�o, che tutto sta scritto, annienta o instupidisce ". Perch�e a benri etterci, nessun linguaggio �e su�ciente per descrivere perch�e scriviamo,e lo scrivere stesso non �e altro che l'assembramento casuale dei caratteritipogra�ci, una volta che col tempo l'intenzione �e dimenticata. Ma a voltelo scrivere riesce a rendere l'intenzione, �nch�e \alla speranza smodata14 "dipotersi esprimere non succede il disincanto15.

10Nell'originale anche la Biblioteca del titolo �e \total "11Figure misteriose cos�� simili ai monaci di Eco ne Il Nome della Rosa12Chiss�a che non sia stato il Cent Mill Milliards de Po�emes di Queneau13In realt�a, essendo i simboli ortogra�ci nel numero �nito di 25 (secondo assioma della

Biblioteca), ed essendo �nito anche il numero di sca�ali, libri, pagine e righe, le combi-nazioni dei simboli sono in un \numero, anche se vastissimo, non in�nito ", stimato in2419840000 . Ci�o �e coerente con l'essere illimitata e periodica della Biblioteca: pu�o essereillimitata proprio perch�e �e periodica.

14Cui la stessa Biblioteca attinge: \l'Universo attingeva bruscamente le dimensioniillimitate della speranza "

15v. English, Atonement

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3 English:

Expressing Intuition

\It is impossible to convey the life-sensation of any given epochof one's existence|that which makes its truth, its meaning|itssubtle and penetrating essence. It is impossible. We live, as wedream|alone . . . "Joseph Conrad, Heart of Darkness

3.1 Link: Matter of expressing intuition

The main reason why it is usually so di�cult to understand how two pointscan be the same one, only because they have been de�ned as so, is thatwe can not personally experience that. Trying to express in�nity and itsproperties by means of words requires, in a way, the same kind of e�ort thatwe put into when we try to explain our inner thoughts to other people oreven to ourselves. Intuition, which is always so personal and particular, akind of inspiration, is maybe the hardest thing not to be misunderstood.

3.2 Rendering ability: Ian McEwan

3.2.1 Biographical elements

Ian McEwan was born in 1948 in Aldershot, in the south of England. Itwas a military town and maybe this in uenced his choice of the themes ofAtonement . He then moved to Singapore and South Africa, following his fa-ther's career, as Stephen did in The Child in Time . After having completedhis studies in England and having graduated in English literature, he beganwriting short stories (First Love, Last Rites ; In Between the Sheets) andthen, in the late 70s, novels, �lm screenplays, plays and scripts for television.In 1998 he won the Booker Prize with Amsterdam. He lives and writes inLondon.

McEwan is a master in rendering emotions and even intuition of emotionswith words and phrases that provoke violent emotional waves into the reader,deep into a state of involvement and feeling of the detachment at the sametime. We can �nd his ability in the following examples.

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3.2.2 The Child in Time

\He beamed messages, or rather messages sprang from him, toJulie and Kate, nothing more distinct that pulses of alarm and love".

This is the description of how Stephen felt the very moment before a car-crash. He uses just twenty-two words to describe what we know to be anendless (in�nite) moment, but he achieves not to leave anything out and, evenmore important, to make the reader feel exactly the way the protagonist feels.This linguistic inequivocability is peculiar of mathematical language, or atleast of its attempt not to be misunderstood when dealing with theoremsand formulas. But here we are quite far from the mathematical �eld: infact, we are closer to Eliot's \objective correlative ", even though there isnothing more subjective than what one can feel the very moment beforehis/her possible death.

\But time|not necessarily as it is, for who know that, but asthought has constituted it|monomaniacally forbids second chances ".

It is widely accepted that \time forbids second chances ", which means thatwe can not change the past. But how then can we justify the way the thingswe say in the present, or we will say in the future do in uence the past or atleast our perception of it? As they are pronounced or written, they make theworld change and become only one, maybe not Leibniz's \best of all possibleworlds \, but one in which the people who share the same words share thesame interpretation of events, too. It can take a while or a longer time toreach a compromise, but there is always one and the words used to state itare the ones which can best collect all the others' meanings. Words allow usto deal with time and make it a world instead of a prison: here we begin tosee how words are powerful.

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3.2.3 Atonement : matter of words being too powerful

\How can a novelist achieve atonement when, with her

absolute power of deciding outcomes, she is also God?

There is no one, no entity or higher form she can appeal to, or bereconciled with, or that can forgive her. There is nothing outsideher. In her imagination she has set the limits and the terms. Noatonement for God, or novelist, even if they are atheist. It wasalways an impossible task, and that was precisely the point. Theattempt was all ".

Here, in this extract from the ending of Atonement, the grown up Brionyexplains how words are not enough to achieve atonement, because they makethe writer too powerful, they allow him/her to build a new world (Pic. 1)that should be shared and believed before becoming real. So redemption issomething one can not create by him/herself, not even by means of words,not even with the best of intents. Writing makes a writer God, and bythis allows him/her to build a never-ending chain of \second chances ", butnothing more than this. The terrible power of words has an equal terribleprice: words can remain nothing but \words ".

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4 Inglese:

Esprimere l'Intuizione

\�E impossibile incanalare la sensazione vitale di qualsiasi dataepoca dell'esistenza di qualcuno|che renda la sua verit�a e il suosigni�cato| , la sua subdola e penetrante essenza. �E impossibile.Noi viviamo, come sognamo|soli . . . "Joseph Conrad, Cuore di Tenebra

4.1 Collegamento: Questione dell'esprimere l'intuizione

La ragione principale per cui �e cos�� di�cile capire come due punti possano es-sere lo stesso solo perch�e sono stati de�niti cos�� �e che non possiamo farne per-sonalmente esperienza. Provare ad esprimere l'in�nito e le sue propriet�a permezzo delle parole richiede, in un certo senso, lo stesso tipo di impegno chemettiamo nel provare a spiegare i nostri pi�u intimi pensieri alle altre persone,ma anche a noi stessi. L'intuizione, che �e sempre cos�� personale e particolare,quasi un'ispirazione, �e forse la cosa pi�u di�cile da non fraintendere.

4.2 Abilit�a nel rendere col linguaggio: Ian McEwan

4.2.1 Cenni biogra�ci

Ian McEwan nacque nel 1948 ad Aldershot, nel sud dell'Inghilterra. La suacitt�a natale era militare e forse questo in uenz�o la sua scelta di temi perEspiazione . Si trasfer�� poi a Singapore e in Sudafrica, seguendo la car rie ramilitare di suo padre, come Stephen fece in Bambini nel Tempo . Dopoaver completato i sui studi in Inghilterra ed essersi laureato in letteraturainglese, cominci�o a scrivere racconti brevi (Primo amore, Ultimi Riti ; Trale Lenzuola) e poi, alla �ne degli anni ' 70, romanzi, sceneggiature per �lm,sceneggiature e copioni per la televisione. Nel 1998 vinse il Booker Prize conAmsterdam. Vive e scrive tuttora a Londra.

McEwan �e un maestro nel rendere le emozioni ma anche le intuizioni delleemozioni con parole e frasi che producono nel lettore violente onde di emozioni,�no ad uno stato di profondo coinvolgimento e coscienza dell'essere separatodal personaggio contemporaneamente. Possiamo apprezzare la sua abilit�anegli estratti riportati.

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4.2.2 Bambini nel Tempo

\Irradi�o messaggi, o meglio messaggi scaturirono da lui, a Julie eKate, niente di pi�u nitido che pulsioni di paura e amore".

questa �e la descrizione di come si sentiva Sthepen un attimo prima di unincidente d'auto. McEwan usa solo ventidue parole per descrivere qualcosache noi sappiamo essere un attimo in�nito, senza trascurare nulla ma soprat-tutto trasmettendo al lettore le precise sensazioni del protagonista. Questainequivocabilit�a linguisica �e caratteristica del linguaggio matematico, o al-meno del suo tentativo di non essere frainteso quando si tratta di teoremie formule. Ma qui siamo abbastanza distanti dal campo della matematica:infatti, siamo pi�u vicini a quello che Eliot chiamava \correlativo oggettivo ",anche se non c'�e niente di pi�u soggettivo di quello che si prova l'attimo primadella propria morte.

\Ma il tempo|non necessariamente per come �e, perch�e chi lo sa,ma per come il pensiero lo costituisce|nega categoricamente leseconde possibilit�a ".

�E ampiamente accettato che \il tempo nega le seconde possibilit�a ", il chesigni�ca che non possiamo cambiare il passato. Ma allora come possiamogiusti�care il fatto che le cose che diciamo nel presente, o che diremo nelfuturo, in uenzino il passato, o almeno la percezione che noi ne abbiamo?Come sono dette o scritte, le parole fanno cambiare il mondo e lo rendonounico, forse non \il migliore di mondi possibili \di Leibniz, ma uno in cui lepersone che condividono le stesse parole condividono anche la stessa inter-pretazione degli eventi. Pu�o volerci pi�u o meno tempo per raggiungere unsimile compromesso (in fondo le parole sono ancora interpretabili), ma ce ne�e sempre uno e le parole usate per descriverlo sono quelle che meglio sinte-tizzano il signi�cato di tutte le altre. Le parole ci permettono di trattare coltempo e di farne un mondo anzich�e una prigione: qui cominciamo a vederecome le parole siano potenti.

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4.2.3 Espiazione : come le parole possono essere troppo potenti

\Come pu�o un romanziere raggiungere l'espiazione quan-

do, con il suo assoluto potere di decidere l'andamento dei

fatti, lei �e anche Dio? Non c'�e nessuno, nessuna entit�a o for-ma superiore a cui lei possa rivolgersi, o con cui riconciliarsi, oche pu�o perdonarla. Non c'�e niente al di fuori di lei. Nella suaim ma gi na zio ne lei ha de�nito i limiti e i termini. Nessuna

espiazione per Dio, o per il romanziere, anche se fosse ateo.Sarebbe sempre un compito impossibile, e questo �e precisamenteil punto. Il tentativo �e stato tutto ".

In questo estratto dalla conclusione di Espiazione, l'ormai cresciuta Brionyspiega come le parole non siano abbastanza per guadagnarsi l'espiazione,perch�e rendono lo scrittore troppo potente, perch�e gli permettono di costruireun nuovo mondo che deve essere condiviso e accettato prima di diventare laversione reale. La redenzione �e quindi qualcosa che non ci si pu�o creareda soli, neppure con le parole, neppure con la migliore delle intenzioni. Loscrivere fa dello scrittore un Dio, permettendogli cos�� di costruire un'in�nitacatena di \seconde possibilit�a ", ma niente pi�u di questo. Il terribile poteredelle parole ha un altrettanto terribile prezzo: le parole possono rimanereniente altro che \parole ".

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5 Filoso�a:

Intuizionismo, Costruttivismo e Formalismo

5.1 Introduzione storica

Il problema della genesi del pensiero matematico, come dell'intuizione ge-ometrica della quale la geometria proiettiva �e un'eccellente rappresentazione,�e stato spesso a�rontato dalla �loso�a. Nell'ambito della �loso�a della mate-matica si sono alternate, nel corso degli anni a partire principalmente dal18mo secolo16, senza mai avere il sopravvento l'una sull'altra, diverse linee dipensiero riguardo l'origine degli enti matematici, lo sviluppo e il signi�catostesso della matematica all'interno della sfera umana. Queste correnti sonol'Intuizionismo, a cui fa seguito il Costruttivismo e al quale si contrapponeil Formalismo. Le prime due correnti si sono susseguite rapidamente, com-penetrandosi, a partire dagli articoli dei loro principali esponenti: LeopoldKronecker (Legnica, 7 dicembre 1823 Berlino, 29 dicembre 1891) e LuitzenBrouwer (Overschie, 27 febbraio 1881 Blaricum, 2 dicembre 1966). In rispo-sta a questi, quasi contemporaneamente17, furono pubblicati gli articoli quasidiametralmente opposti di Cantor e Hilbert. Questa disputa, inizialmenteprotratta a livello personale, si estese poi all'intera comunit�a matematica,

16Non so�ermandosi sulle questioni relative al V postulato di Euclide e/o agli spazipluridimensionali �e di grande interesse, dal punto di vista �loso�co, il riconoscimento diuna possibilit geometrica che si accordi con la nostra intuizione dello spazio. Ci�o determinalapice della s�ducia nel razionalismo meta�sico del 700, arrivando a negare le forme di idea-lismo, anche quello platonico nel quale la matematica (geometrica in particolare) godevadi una posizione d'onore. Da qui, la realt�a non pu�o essere determinata a priori, in quantola scelta tra le geometrie possibili si riduce ad una veri�ca sperimentale, o all'accetazionearbitraria dei postulati

17Tempi tecnici di comunicazione del periodo permettendo

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non mancando di generare, come spesso succede in questi casi, interessantiscoperte collaterali.

5.2 Intuizionismo e Costruttivismo

\Dio fece i numeri naturali; tutto il resto �e opera dell'uomo "L.Kronecker

Da questo aforisma possiamo cominciare a intuire cosa ci fosse alla basedella posizione intuizionistica: i numeri naturali. I matematici e i �loso�che aderirono a questa corrente, non riuscendo a trovare una costruzioneappropriata per i numeri interi li assunsero come entit�a a priori18, cercan-do di costruire con essi tutto l'edi�cio matematico, in un numero �nito dipassi. Per questo, una delle principali entit�a matematiche ad essere ri�utatadagli intuizionisti fu l'in�nito attuale19, a favore di un in�nito potenziale, pi�uvicino anche alla concezione dell'aritmetica come intuizione temporale, con-trapposta all'intuizione spaziale della geometria. La corrente costruttivista,che si diram�o da quella intuizionista, ha molte caratteristiche in comunecon la prima, ma se ne distacca prendendo una diversa posizione riguardo lasoggettivit�a della matematica. Infatti, per un intuizionista �e possibile pensareche le intuizioni siano soggettive, e che possano quindi variare da soggetto asoggetto, mentre per un costruttivista, l'intuizione base dei numeri naturali�e oggettiva, come anche tutti i passi che portano alla successiva costruzionedegli altri oggetti. Ci�o che accomuna le due correnti �e quindi principalmenteil ri�utare gli enti matematici che non siano frutto di una costruzione �ni-ta basata sui numeri naturali. Pi�u avanti, Enriques (Livorno, 5 Gennaio1871 - Roma, 14 Giugno 1946) dir�a, in una sintesi costruttiva, che gli entimatema-tici hanno una genesi psicologico/�siologica (che quindi, dipedendodalla �siologia umana, uguale in tutti gli individui, sar�a univoca)20

\della quale il geometra non deve porsi il problema, giacch�e non�e strettamente matematico, ma riguarda il concetto di spazio gi�aformato nella mente della persona [. . . ] e la scelta degli ele-menti a priori non �e a priori determinata, se non dall'intuizionepsicologica21 "

18I naturali erano per gli intuizionisti strutture analoghe alle categorie kantiane19cfr. Matematica: lo stesso tipo di in�nito dei punti impropri.20La concezione della geometria cos�� legata alla psicologia e alla �siologia umana �e

originale di Enriques, che porta a domandarsi se \esisterebbe una geometria in un mondodi ciechi e di monchi "

21Non si �e ancora tuttavia trovato che l'evidenza intuitiva sia la stessa per tutti i geo-metri. �E opportuno citare la Geometria senza punti(intesi come elementi primitivi) diWhithead, oggi ripresa da Gerla.

20

infatti lui stesso precisa che la sua produzione �e stata scritta

\cercando di contemplare le esigenze dello spirito logico coi van-taggi e colle attrattive che l'intuizione conferisce agli studi geo-metrici. "

Ci�o �e rispecchiato anche dalla sua de�nizione dei processi \creativi "delgeometra:

\Lo studio delle propriet�a geometriche come relazione tra gli entisi fa dal matematico in due modi: esercitando l'intuizione sopra iconcetti spaziali o deducendo col ragionamento e dimostrando."

Enriques riprende quindi il modello costruttivista, ammettendo per�o chegli enti matematici a priori, soprattutto uscendo dall'aritmetica e entrandonella geometria (Russell de�nisce la geometria proiettiva come interamentea priori, quindi soggettiva), possono non essere univocamente accettati macon i quali �e possibile costruire matematiche di pari dignit�a.

\[. . . ] Un grande ammaestramento �e confortato a ogni passo dellastoria della Matematica: i vari rami della Matematica pura edapplicata si annodano e si collegano fra loro per vie inaspettate; ele idee, che traggono origine da elementari problemi della pratica,sembra debbano elaborarsi per lunga elaborazione del pensiero,nelle regioni pi�u alte della teoria, prima che possano discenderefeconde nel campo delle attivit�a della vita "

5.3 Formalismo

Per i formalisti come Hilbert, invece, non esistono concetti matematici aldi fuori della deduzione. Per questi �loso�

\L'intuizione �e la ragione che ha fretta. "Holbrook Jackson

Essi sostengono infatti che il processo intuitivo non �e altro che quellodeduttivo/dimostrativo che viene poi compiuto coscientemente dal matema-tico, quindi privo di caratteristiche originali. I formalisti aborriscono la con-cezione della matematica come derivante dall'esperienza psicologica del tem-po, dalla percezione ancestrale delle quantit�a. L'unica forma di intuizione

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che essi ammettono �e la giusti�cazione della scelta degli assiomi come ogget-ti pi�u intuitivamente evidenti22, anche se ancora considerati arbitrari. Infatti,per Hilbert in particolare, non sarebbe necessario assegnare alcun signi�ca-to esplicito ai concetti inde�niti. Questi elementi (punto, retta, piano, . . . )potrebbero essere sostituiti da tavoli, sedie, boccali, . . .Per i formalisti continua inoltre ad essere valida e indispensabile la logica adue valori, cos�� come il principio del terzo escluso. Questi strumenti eranostati ri�utati dai costruttivisti perch�e impossibili da legittimare mediante ladiretta esperienza o un numero �nito di passi.La posizione, seppure parodiata, di un formalista, pu�o essere riassunta inquesti versi:

\Il Signore �e il mio relatore di tesi; io non errer�o.Egli provvede a far pubblicare i miei articoli sulleriviste importanti; egli mi insegnaa usare le dimostrazioni per assurdo.Egli garantisce la mia legittimit�a; egli mi guida secondola logica classica, per amore della verit�a. S��, bench�e io

percorra la valle delle dimostrazionidi esistenza, non avr�o timore di alcuna contraddizione;perch�e Egli rivede il mio lavoro.L'assioma di scelta e il Lemma di Zorn sono il mio

conforto.Egli organizza un seminario sull'analisi classica,con la mia partecipazione, in assenza dei costruttivisti;spesso mi cita con approvazionesulle \Riviste matematiche ":la mia reputazione internazionale cresce.Di certo onori e fondi non mi mancherannoper ogni giorno della mia carriera,E io assurger�o nel Dipartimentoal rango di Emerito.Amen".

J.Hays, The Battle of the Frog and the Mouse, 1984

22C'�e una di�erenza semantica tra i postulati, intesi come verit�a evidenti eindimostrabili, e gli assiomi, che hanno un signi�cato modernamente \ipotetico."

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6 Scienze:

Descrizione delle Orbite

La geometria proiettiva viene usata anche nell'ambito delle scienze astro-nomiche, come modello matematico di approssimazione delle orbite di corpicelesti, ad esempio le comete. Infatti, quasi tutte le orbite di questi corpi par-ticolari sono descrivibili mediante equazioni di secondo grado23: le coniche.In geometria proiettiva il trattamento delle coniche �e tantopi�u immediato, inquanto sono tutte riconducibli ad ellissi e possono essere classi�cate in base alnumero di intersezioni con la retta impropria. Proprio questo aspetto vienesfruttato nel calcolo del periodo del cammino delle comete e nella successivapredizione di eventuali riapparizioni.Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, la forza attrattiva tradue corpi si misura come

F = GM1m2

d2

dove G �e la costante di gravitazione universale, M1 e m2 sono rispettiva-mente la massa del corpo maggiore e la massa del corpo minore (in questocaso la cometa), d2 �e la misura della distanza tra i due corpi al quadrato.Da qui, mediante sistemi di equazioni di�erenziali24 si ricava l'espressionedell'energia meccanica del sistema preso in considerazione (in questo casoSole-cometa), che ha il ruolo di discriminante (�) della conica. Per ricavarela sua espressione consideriamo l'equazione generale di una conica nel pianocartesiano:

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 (1)

che, portata in coordinate omogenee diventa:

a(x1)2 + bx1x2 + c(x2)

2 + dx1x3 + ex2x3 + f(x3)2 = 0 (2)

Mettendo a sistema la (3) con l'equazione della retta impropria x3 = 0, siannullano gli ultimi 3 termini e si ha quindi

23Le soluzioni delle equazioni di Newton sono sempre curve di secondo grado, quindil'orbita �e una conica.

24Si fa riferimento al problema dei due corpi. Date per certe particolari circostanze che siveri�cano in natura, il problema dei due corpi studia propriamente il moto relativo di unodei due corpi rispetto all'altro sotto l'azione dell'attrazione universale. Esso rappresentaun caso particolare del problema degli n corpi ed insieme la prima approssimazione deimoti planetari.

23

a(x1)2 + bx1x2 + c(x2)

2 = 0 (3)

che pu�o essere facilmente risolta come un'equazione di secondo grado com-pleta ponendo t = x1

x2

. Ci�o �e lecito perch�e sappiamo che la terna risolutiva(0; 0; 0) non �e de�nita e quindi, non essendo mai x1 = x2 = 0 possiamoarbitrariamente porre x2 6= 0 ed e�ettuare la sostituzione in t:

at2 + bt+ c = 0 (4)

Da qui si ricava �nalmente l'espressione del discriminante

� = b2 � 4ac (5)

il cui segno determina il numero di intersezioni con la retta impropria e quindiil tipo di conica dell'orbita (6):

� � > 0, due soluzioni, due intersezioni: orbita a ramo d'iperbole

� � = 0, due soluzioni coincidenti, una intersezione: orbita parabolica

� � < 0, nessuna soluzione, nessuna intersezione: orbita ellittica

Un volta conosciuto il tipo di orbita, si pu�o procedere anche al calcolo dellaperiodicit�a nel caso di orbite ellittiche.

Figura 6: Tipi di orbite descritti da coniche

24

Conclusione

\La matematica �e un'attivit�a mentale, essenzialmente priva dilinguaggio, avente la propria origine nella percezione di un movi-mento nel tempo. Questa percezione pu�o essere descritta comelo scindersi di un momento di vita in due cose distinte, una dellequali d�a luogo all'altra, ma viene ritenuta dalla memoria. Se laduit�a cos�� generata viene spogliata di ogni qualit�a, si convertenella forma vuota del substrato comune a tutte le duit�a. Ed �equesto substrato comune, questa forma vuote, a costituire l'intui-zione base della matematica. "L.Brower, Intuitionism and Formalism, 1913

�E forse proprio l'origine della matematica, che Brower vede nella primapercezione che l'uomo ha del mondo, ad accomunarla a tante altre discipline,a far s�� che non rimanga isolata ma possa invece trovare collegamenti anchenegli ambiti del pensiero non calcolante, come la letteratura, o la �loso�a.Il suo essere \essenzialmente priva di linguaggio"e \forma vuota"le permet-tono di cercare altrove i suoi signi�cati: le �gure della geometria, le rapp-resentazioni dei teoremi che a prima vista potrebbero sembrare �ni solo as�e stesse ispirano sempre ri essioni, analogie che vanno al di l�a del loro si-gni�cato formale, �no ad essere utilizzate come simboli e metafore in campiapparentemente lontani dalla matematica. Cos�� la geometria proiettiva �eapprezzata dai matematici per la sua eleganza, dai �sici per i suoi possibiliutilizzi, ma pu�o anche essere vista come gli altri rami del pensiero umano,come uno sforzo di esprimere e comunicare concetti astratti e sfuggenti, comele intuizioni.

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Riferimenti bibliogra�ci

[1] B. Russel, I Principi della Matematica, cap.XLV, Bollati Boringhieri

[2] F. Enriques, Lezioni di Geometria Proiettiva, seconda edizione

aumentata, Zanichelli

[3] R. Courant, H. Robbins, Che Cos'�e la Matematica?, cap.IV, BollatiBoringhieri

[4] J.D. Barrow, La Luna nel Pozzo Cosmico, cap.V, Adelphi

[5] I. McEwan, Atonement, Vintage

[6] I. McEwan, The Child in Time, Vintage

[7] J.L. Borges, Finzioni, Einaudi

[8] H. Curtis, Literary Hyperlinks, Black Cat

[9] adm.ing.unibo.it/Files/RIMINI.doc

[10] Le Scienze

[11] www.elemania.altervista.org

[12] www.liquidarea.com

[13] www.di.unisa.it

[14] http://www.wikipedia.org

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