Some Theorems and Results on Solution of Kind of Volterra ...€¦ · ةيلمات ا ريتوف...

Journal of Education and Science Vol. 29, No.2, 2020, pp.9-25 ISSN 1812-125X http://edusj.mosuljournals.com

9

Some Theorems and Results on Solution of Kind of Volterra Integral

Equations Muayyad Mahmood Khalil

Tikrit University, College of Education for Pure Sciences, Department of

Mathematics

[email protected]

10.33899/edusj.2020.165298 DOI:

Accepted Received

10 / 04 / 2019 22/ 11 / 2018

ABSTRACT

We studied in this work a class of nonlinear Volterra integral equations with delay

and present a sufficient condition for the bounded solution also we give an illustrative

example which support the main result of this paper.

Keywords: Volterra, Time Delay, Integral Equation, Bounded Solution.

http://edusj.mosuljournals.com/

mailto:[email protected]

معادالت فولتيرا التكامليةبعض المبرهنات والنتائج حول حل صنف من

10

بعض المبرهنات والنتائج حول حل صنف من معادالت فولتيرا التكاملية

خليلمؤيد محمود

جامعة تكريت، كلية التربية للعلوم الصرفة، قسم الرياضيات

[email protected]

10.33899/edusj.2020.165298 DOI:

القبول االستالم

22 /11 /2018 10 /04 /2019

الخالصة

وقدمنا من النوع المتباطئ لقد درسنا في هذا البحث صنف معين من معادالت فولتيرا التكاملية غير الخطية .النتيجة الرئيسة للبحثليكون الحل مقيدًا واعطينا كذلك مثال توضيحي يدعم كافيالشرط ال

فولتيرا، التأخير الزمني، معادلة تكاملية، حل مقيد.كلمات مفتاحية:

مقدمة .1نواعًا كثيرة من األنظمة الديناميكية وكمثال على ذلك المعادالت أن معادالت فولتيرا التكاملية تضم إ

التفاضلية المتباطئة مع تباطؤ منته أو غير مقيد. لذلك فالعديد من النماذج التي ظهرت في الهندسة من المعادالت وقد اهتممنا في بحثنا والتطبيقات العلمية األخرى تكون مناسبة تمامًا لهذه الفئة العامة

هذا بالصفات النوعية األساسية لمعادالت فولتيرا التكاملية المتباطئة غير الخطية ومن هذه الصفات تقييد الحلول ويعتبر تقييد الحلول سؤااًل مهمًا من كال الناحيتين النظرية والتطبيقية بجانب حقيقة التقييد

لتطبيقات الحصول على قيد أعلى جيد للحل. لقد درس الباحثون لذا فمن المهم ايضًا في تلك اكنماذج رياضية في المتكررالتأخير الزمني و ذات أالمتباطئة المعادالت التفاضلية والتكامليةوالمؤلفون

وتقييد لوصف انتشار وظواهر النقل تلك النماذج العلوم الطبيعية واالقتصاد والهندسة، وتم استخدام .[18][17][16][12][11][10][9][7][6][5][4][3][2]واستقرارية الحلول للمعادالت التكاملية معادالت فولتيرا التكاملية من النوع Vecchio [1] فقد درسإضافة الى تلك الدراسات والمؤلفات

𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑡) + ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)𝑡

0

𝑦(𝑠)𝑑𝑠, 𝑡 ∈ [0, 𝑇]

mailto:[email protected]


11

,𝑦حيث 𝑔 ∈ 𝑅𝑑, 𝑘(𝑡, 𝑠) ∈ 𝑅𝑑×𝑑 وبرهن بعض النتائج حول تقييد الخطأ للطرق العددية وجماعته Appleby درس لمعادالت فولتيرا التكاملية الخطية معتبرًا أن أنويتها من النوع غير الملتف. و

ا التكاملية من الصيغةالتغير التام في انحالل الحل لمعادلة فولتير [8]

𝑅(𝑡) = 𝐹(𝑡) + ∫ 𝐻(𝑡 − 𝑠)𝑡

0

𝑅(𝑠)𝑑𝑠

تمت دراسة تقييد [14]حيث أعطى تقديرات لنسبة انحالل الحل في الفضاءات القابلة للتكامل. وفي الحلول للنظام

𝑥′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑥(𝑡) … … … (∗) :𝑓حيث [0, ∞) × 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 دالة مستمرة اذ فرض أنه اذا كانت هناك دوال مستمرة مثل

𝑉: [0, ∞) × 𝑅𝑛 → [0, ∞), 𝑎: [0, ∞) → [0, ∞) , 𝑏: [0, ∞) → [0, ∞) ن أ و 𝑥تحقق شرط لبشتز محليًا في 𝑉ن ا و

𝑎(|𝑥|) ≤ 𝑉(𝑡, 𝑥) ≤ 𝑏(|𝑥|) 𝑎(𝑟)حيث → 𝑟عندما ∞ → 𝑈وجد إذا. ∞ > (∗)𝑉بحيث 0

′ (𝑡, 𝑥) ≤ |𝑥|لقيم 0 ≥ 𝑈 فأنذاتكون مقيدة بصورة منتظمة (∗)حلول النظام (∗)𝑉كانت وا

′ (𝑡, 𝑥) ≤ −𝛾 < |𝑥|لقيم 0 ≥ 𝑈 فقد تمت دراسة [13]تكون مقيدة بصورة منتظمة ألقصى درجة. أما في (∗)فأن حلول النظام

المعادلة التكاملية من الصيغة

𝑢𝑝(𝑡) = 𝐿(𝑡) + ∫ 𝑃(𝑡 − 𝑠)𝑡

𝑜

𝑢(𝑠)𝑑𝑠, 𝑡 ≥ 0, 𝑝 ≥ 1

𝑃حيث ∈ 𝐶(𝑅+, 𝑅+), 𝐿 ∈ 𝐶(𝑅+, (0, ∞)), 𝑃 ≢ اذ تم إيجاد الشروط الكافية والضرورية 0 لتقييد الحلول غير السالبة كما تم بيان شروط تقارب الحل بصورة محاذية لتحديد قيد الحل.

لصنف من معادالت فولتيرا التكاملية غير الخطية من ةوسنركز في دراستنا هذه على الحلول المقيدالشروط الضرورية للحصول على الحلول المقيدة في الحاالت استنتاجحيث سنحاول النوع المتباطئ

دالة 𝑓والتي تنص على: )لتكن Burton [15] التي ال يمكن أن تنطبق عليها القضية التي تناولها,0]متجهة مستمرة على الفترة |𝑓(𝑡)| وان (∞ ≤ 𝑀 افرض أن ،𝐷(𝑡, 𝑠) مصفوفة مستمرة من

𝑛السعة × 𝑛 0لقيم ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 < 𝑚وجد إذا، ∞ < ∫مع 1 |𝐷(𝑡, 𝑠)|𝑡

0𝑑𝑠 ≤ 𝑚 0لقيم ≤

𝑡 < فأن كل الحلول من النوع ∞

𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡) + ∫ 𝐷(𝑡, 𝑠)𝑡

0

𝑥(𝑠)𝑑𝑠

تكون مقيدة(.

تعاريف أساسية .2

بالصيغة المتباطئمن النوع غير الخطية لتكن لدينا معادلة فولتيرا التكاملية


12

𝑦(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑦(. ))

𝑡

𝑜

𝑑𝑠 + ℎ(𝑡) (2.1)

مع الشرط االبتدائي

𝑦(𝑡) = 𝜑(𝑡), 𝑡 ∈ [−𝑡0, 0] (2.2)

𝑡0 إذ ≥ نقطة ثابتة وان الشروط االتية متحققة: 0

:𝑓الدالة (أ 𝑅+ × 𝑅+ × 𝐶([−𝑡0, ∞), 𝑅𝑑) → 𝑅𝑑 فولتيرا بمعنى ان هي دالة𝑓 مستمرة وان𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑦(. )) = 𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑧(. 0لكل (( ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 و𝑦, 𝑧 ∈ 𝐶([−𝑡0, ∞), 𝑅𝑑) كانت إذا𝑦(𝛼) = 𝑧(𝛼), −𝑡0 ≤ 𝛼 ≤ 𝑠. حيث𝑅+ هي مجموعة االعداد الحقيقية غير السالبة و𝑅𝑑 هو

.(real column vectors) للمتجهات الحقيقية 𝑑الفضاء من البعد

0 ألي (ب ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 و𝑦 ∈ 𝐶([−𝑡0, ∞), 𝑅𝑑) فأن

|𝑓𝑖(𝑡, 𝑠, 𝑦(. ))| ≤ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)∅ ( max−𝑡0≤𝜗≤𝑠

‖𝑦(𝜗)‖) , 𝑖 = 1, … , 𝑑

𝑓متحقق عندما = (𝑓1, … , 𝑓𝑑)𝑇 وتكون𝑘𝑖: {(𝑡, 𝑠): 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡} → 𝑅+, 𝑖 = 1, … , 𝑑 مستمرة وان∅: 𝑅+ → 𝑅+ تطبيق رتيب غير متناقص بحيث ان∅(ρ) > 𝜌ألجل 0 > (0)∅و 0 = 0.

:ℎالتطبيق (ت 𝑅+ → 𝑅𝑑 مستمر وانℎ(𝑡) = (ℎ1(𝑡), … , ℎ𝑑(𝑡))𝑇, 𝑡 ≥ 0.

𝜓 (ث ∈ 𝐶([−𝑡0, ∞), 𝑅𝑑).

,𝑓(𝑡ان 𝑠, 𝑦(. من الممكن ان ترمز الى حدود اعتيادية غير متأخرة زمنيا مثل ((

𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑦(. )) = 𝑔(𝑡, 𝑠, 𝑦(𝑠), 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡

.)𝑦من القيم التابعة للدالة 𝑓قيمًا معتمدة على او ربما تحوي . ويمكن وصف هذا بحد متأخر زمنيًا ذو نقطة ( واحدة او على الشكل

𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑦(. )) = 𝑔(𝑡, 𝑠, 𝑦(𝑠 − 𝜎(𝑠)), 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡

او بعدة نقاط متأخرة زمنيًا

𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑦(. )) = 𝑔 (𝑡, 𝑠, 𝑦(𝑠), 𝑦(𝑠 − 𝜏1(𝑠)), … , 𝑦(𝑠 − 𝜏𝑛(𝑠))) , 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡

,𝑓(𝑡ن التعبير إكذلك ف 𝑠, 𝑦(. يمكن وصفه كتأخير زمني توزيعي بالصيغة: ((

𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑦(. )) = 𝑔(𝑡, 𝑠, ∫ 𝑏(𝑠, 𝑢)𝑥(𝑢)𝑑𝑢

𝑠

𝑠−𝜏

, 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡


13

.)𝑦على قيم سابقة من 𝑓أو ان اعتماد بصورة اكثر عمومية. (

[ 3] معرفة من الشرط 𝑖و ∅الدوال لتكن (1-2تعريف )

0ألي ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 و𝑦 ∈ 𝐶([−𝑡0, ∞), 𝑅𝑑) فأن

|𝑓𝑖(𝑡, 𝑠, 𝑦(. ))| ≤ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)∅ ( max−𝑡0≤𝜗≤𝑠

‖𝑦(𝜗)‖) , 𝑖 = 1, … , 𝑑

𝑓متحقق عندما = (𝑓1, … , 𝑓𝑑)𝑇 وتكون𝑘𝑖: {(𝑡, 𝑠): 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡} → 𝑅+, 𝑖 = 1, … , 𝑑 مستمرة وان∅: 𝑅+ → 𝑅+ تطبيق رتيب غير متناقص بحيث ان∅(ρ) > 𝜌ألجل 0 > (0)∅و 0 = 0.

𝑇عند 𝑃𝑇له الخاصية μنقول بأن الثابت غير السالب ≥ 𝑤اذا وجد 0 ≥ 𝜇 بحيث أن العالقة

∅(μ) ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑇

0

+ ∅(𝑤) ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

+ |ℎ𝑖(𝑡)| < 𝑤, 𝑡 ≥ 𝑇, 𝑖 = 1, . . , 𝑑 (2.3)

متحققة.

𝜓الدالة االبتدائية إننقول (2-2تعريف ) ∈ 𝐶([−𝑡0, ∞), 𝑅𝑑) تنتمي الى المجموعة𝑆 اذا وجد𝑇 ≥ 0 [3] بحيث أن

𝜇𝑇 = max−𝑡0≤𝑡≤𝑇

‖𝑥‖

:𝑥عندما 𝑃𝑇له الخاصية [−𝑡0, ∞) → 𝑅𝑑 (2.1)هي حل للمعادلتين − (2.2).

𝑇وجد إذا مالحظة ≥ 𝜇𝑇وثابتين موجبين مثل 0 , 𝑤 متحققة عندئذ: (2.1)بحيث ان

𝐼𝑇 = max1≤𝑖≤𝑑

sup𝑡≥𝑇

∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)

𝑇

0

𝑑𝑠 < ∞ (2.4)

𝐽𝑇 = max1≤𝑖≤𝑑

sup𝑡≥𝑇


𝑡

𝑇

𝑑𝑠 < ∞ (2.5)

𝐻𝑇 = max1≤𝑖≤𝑑

sup𝑡≥𝑇

|ℎ𝑖(𝑡)| < ∞ (2.6)

,(2.4)ان كال الشرطين مكافئين للعالقة (2.5)

𝐽0 = max1≤𝑖≤𝑑

sup𝑡≥𝑇


𝑡

𝑇

𝑑𝑠 < ∞ (2.7)

𝑇واذا كانت = يصبح (2.6)فأن الشرط 0


14

𝐻0 = max1≤𝑖≤𝑑

sup𝑡≥0

|ℎ𝑖(𝑡)| < ∞ (2.8)

يجة الرئيسة النت .3

(2.1)في هذا البند سنعطي الشروط الالزمة لوجود الحل المقيد للنظام

. عندئذ 𝑆منتمية الى المجموعة 𝜓)ث( متحققة ولتكن الدالة االبتدائية -لتكن الشروط )أ( ( 1-3مبرهنة )(2.1)لكاًل من 𝑦يكون الحل − مقيدًا. (2.2)

𝑇( يوجد 2-2، من التعريف ) 𝑆تنتمي الى المجموعة 𝜓بما ان الدالة االبتدائية البرهان: ≥ بحيث 0𝜇𝑇أن = max

−𝑡0≤𝑡≤𝑇‖𝑥‖ له الخاصية𝑃𝑇 وعندما يكون𝑦 (2.1)لــــحاًل − (2.2)

نجد أن (2.1)فمن المعادلة

𝑦(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑦(. ))

𝑇

𝑜

𝑑𝑠 + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑠, 𝑦(. )

𝑡

𝑇

𝑑𝑠 + ℎ(𝑡), 𝑡 ≥ 𝑇

𝑖بالتالي فالشرط )ب( وعندما = 1, … , 𝑑 يقودنا الى

|𝑦𝑖(𝑡)| ≤ ∫|𝑓𝑖(𝑡, 𝑠, 𝑦(. ))|

𝑇

𝑜

𝑑𝑠 + ∫|𝑓𝑖(𝑡, 𝑠, 𝑦(. ))|

𝑡

𝑇

𝑑𝑠 + |ℎ𝑖(𝑡)|

≤ ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)

𝑇

𝑜

∅ ( max−𝑡0≤𝜗≤𝑠

‖𝑦(𝜗)‖) 𝑑𝑠 + ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇


‖𝑦(𝜗)‖) 𝑑𝑠 + |ℎ𝑖(𝑡)|

≤ ∅(𝜇𝑇) ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)

𝑇

𝑜

𝑑𝑠 + + ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇


‖𝑦(𝜗)‖) 𝑑𝑠 + |ℎ𝑖(𝑡)|, 𝑡

≥ 𝑇 (3.1)

𝑤ليكن ≥ 𝜇𝑇 عند (2.3)تتحقق العالقة إذ𝜇 = 𝜇𝑇 ن إعندئذ وبصورة خاصة ف

∅(𝜇𝑇) ∫ 𝑘𝑖(𝑇, 𝑠)𝑑𝑠

𝑇

0

+ |ℎ𝑖(𝑡)| < 𝑤, 𝑖 = 1, … , 𝑑

𝑡عند (3.1)ن العالقة إكذلك ف = 𝑇 تضمن ان|𝑦𝑖(𝑇)| < 𝑤 لكل𝑖 = 1, … , 𝑑 وبالتالي يكون‖𝑦(𝑇)‖ < 𝑤.

𝑡مقيد لكل قيم ‖𝑦(𝑇)‖سنبين االن بأن > 𝑇 ن أ. من اجل التناقض نفرض‖𝑦(𝑇)‖ وبما مقيدة،دالة‖𝑦(𝑇)‖ن ا نها مستمرة و أ < 𝑤 يوجد𝑡1 > 𝑇 ن أبحيث‖𝑦1(𝑇)‖ > 𝑤.


15

�̂�لتكن = inf{𝑡 > 𝑇: ‖𝑦(𝑇)‖ > 𝑤} ن استمرارية كاًل من إف𝑦 و𝜇𝑇 ≤ 𝑤 قيتضمن تحق

max−𝑡0≤𝛼≤�̂�

‖𝑦(𝛼)‖ = ‖𝑦(�̂�)‖ = 𝑤

|𝑦𝑖(�̂�)| إذ أن 𝑖لهذا السبب يوجد = 𝑤 عند (3.1). ومن المعادلة𝑡 = �̂� واالستفادة ∅ن رتابة التطبيق إف نحصل على 𝑃𝑇للخاصية 𝜇𝑇من امتالك

𝑤 = |𝑦𝑖(�̂�)| ≤ ∅(𝜇𝑇) ∫ 𝑘𝑖(�̂�, 𝑠)

𝑇

𝑜

𝑑𝑠 + ∫ 𝑘𝑖(�̂�, 𝑠)

�̂�

𝑇

∅ ( max−𝑡0≤𝛼≤𝑠

‖𝑦(𝛼)‖) 𝑑𝑠 + |ℎ𝑖(�̂�)|

≤ ∅(𝜇𝑇) ∫ 𝑘𝑖(�̂�, 𝑠)

𝑇

𝑜

𝑑𝑠 + ∅(𝑤) ∫ 𝑘𝑖(�̂�, 𝑠)

�̂�

𝑇

𝑑𝑠 + |ℎ𝑖(�̂�)|

< 𝑤

.𝑤يكون مقيدًا بــــ (2.1)ن الحل للمعادلة إوهذا تناقض. لذا ف

( 1-3الخاصة بالمبرهنة ) حاالتبعض ال .4

المبرهنة الرئيسة في بحثنا هذا وذلك من خالل فرض ان حاالت التي تخصفي هذا البند سنعطي بعض ال(𝑡)∅يمكن تقديرها بدالة مثل (2.1)مكونات الدالة غير الخطية في المعادلة = 𝑡𝑝 إذ 𝑡 > وعند 0

𝑝 > في الشرط )ب(. 0

وهي: 𝑝قيمة هناك ثالث حاالت ل

1) 0 < 𝑝 < 1.

2) 𝑝 = 1.

3) 𝑝 > 1.

أعاله 𝑝قيمة من قيم المبرهنات التالية توضح الشروط الكافية ليكون الحل مقيدا لكل

(𝑡)∅لتكن الشروط من )أ( الى )ث( متحققة و ان (1-4مبرهنة ) = 𝑡𝑝 بنقطة ثابتة𝑝 ∈ إذا. (0,1),(2.7)كانت كل من مقيدة. (2.1)ن كل حلول المعادلة إمتحققة ف (2.8)

,(2.7)من العالقتين البرهان: 𝐽0يتبع ان (2.8) < 𝐻0و ∞ < 𝜓. لتكن ∞ ∈ 𝐶([−𝑡0, ∞), 𝑅𝑑) ,(2.1)هو الحل المطابق لـــ 𝑦و 𝜇0. ألي (2.2) = max

−𝑡0≤𝑡≤0‖𝜓(𝑡)‖ يوجد𝑤 ≥ 𝜇0 إذ كبير كفاية

أن

𝑤𝑝−1𝐽0 +1

𝑤𝐻0 < 1 (4.1)


16

لذا

𝑤𝑝𝐽0 + 𝐻0 < 𝑤

,𝐽0من تعريف 𝐻0 ينتج

𝑤𝑝 ∫ 𝑘𝑖

𝑡

0

(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠 + |ℎ𝑖(𝑡)| ≤ 𝑤𝑝𝐽0 + 𝐻0 < 𝑤, 𝑡 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑑

𝑇عند 𝑃𝑇لها الخاصية 𝜇0نجد ان ( 1-2) بالتالي بواسطة التعريف = )ث( -وبما ان الشروط )أ( 0 انتهى البرهان ( يكون الحل مقيد.1-3عندئذ وبوساطة المبرهنة ) 𝑃𝑇لها الخاصية 𝜇0متحققة وان

لنتوصل الى المبرهنة الثانية نفرض ان لدينا معادلة فولتيرا من الصيغة:

𝑦(𝑡) = ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑜

𝑦𝑝(𝑠 − (𝜏(𝑠))𝑑𝑠 + ℎ(𝑡), 𝑡 ≥ 0 (4.2)

مع الشرط

𝑦(𝑡) = 𝜓, 𝑡 ∈ [−𝑡0, 0] (4.3)

:𝑘) ) إذ {(𝑡, 𝑠): 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡} → 𝑅+ وℎ: 𝑅+ → 𝑅+ 0وان مستمرة،دوال < 𝑝 < 𝜏و 1 ∈

𝐶(𝑅+, 𝑅+) ،𝑡0 = − 𝑖𝑛𝑓𝑡≥0

{𝑡 − 𝜏(𝑡)} > 𝜓منته وان 0 ∈ 𝐶([−𝑡0, 0], [0, (( )ج( ([∞

,(4.2)الحلول لكل من تكون )ج( يضمن بأن الشرط أعاله ان موجبة. (4.3)

الجزء مقيدة. (4.2)والكافي لتكون الحلول الموجبة للمعادلة ضروري التالية تبين الشرط ال نتيجة المبرهنةوالتي تم برهانها من اجل Lipovan [13] الضروري من المبرهنة القادمة مشابه للنتيجة التي توصل اليها

. الملتف دلة تكاملية من النوعامع

نه لدينا الشرط )ج( وان أافرض (2-4مبرهنة )

lim𝑡→∞

inf (∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑜

+ ℎ(𝑡)) > 0 (4.4)

و

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑜

+ ℎ(𝑡) > 0, 𝑡 ≥ 0 (4.5)


17

,(4.2)عندها يكون الحل للمعادلتين 𝜓مقيدًا لكل (4.3) ∈ 𝐶([−𝑡0, 0], [0, اذا وفقط اذا كانت ([∞(2.7), متحققة. (2.8)

,(2.7)افرض ان البرهان: فالحل لكل من (1-4) نه ومن مبرهنةأمتحققة ، من الواضح (2.8)(4.2), 𝜓مقيد لكل قيم (4.3) ∈ 𝐶([−𝑡0, 0], [0, ∞]) .

𝑦. في البداية سنثبت ان +𝑅مقيدًا على 𝑦بصورة عكسية ، ليكن الحل > 0.

𝑦(𝑡)ن ألنفرض من اجل التناقض ≤ 𝛾عندها يوجد 𝑡لبعض قيم 0 > 𝑦(𝑡)بحيث ان 0 > 0 ،𝑡 ∈

[0, 𝛾) وان𝑦(𝛾) = 𝜀يظهر وجود (4.5). من 0 > إذ 0

∫ 𝑘(𝛾, 𝑠)

𝛾−𝜀

0

𝑑𝑠 + ℎ(𝛾) > 0

𝑡عند (4.2)من = 𝛾 لدينا

0 = 𝑦(𝛾)

= ∫ 𝑘(𝛾, 𝑠)

𝛾

0

𝑦𝑝(𝑠 − 𝜏(𝑠))𝑑𝑠 + ℎ(𝛾)

≥ ∫ 𝑘(𝛾, 𝑠)

𝛾−𝜀

0

𝑦𝑝(𝑠 − 𝜏(𝑠))𝑑𝑠 + ℎ(𝛾)

≥ min−𝑡0≤𝜇≤𝛾−𝜀

𝑦𝑝(𝜇) ∫ 𝑘(𝛾, 𝑠)

𝛾−𝜀

0

𝑑𝑠 + ℎ(𝛾)

≥ (∫ 𝑘(𝛾, 𝑠)

𝛾−𝜀

0

𝑑𝑠 + ℎ(𝛾)) ( min−𝑡0≤𝜇≤𝛾−𝜀

𝑦𝑝(𝜇) , 1)

> 0

وهذا تناقض.

الموجبة تقودنا الى 𝑦ن قيمة إبصورة واضحة ف

𝑦(𝑡) ≥ ℎ(𝑡), ∀𝑡 ≥ 0

متحقق. (2.8)بالتالي فالشرط

𝑡، ألي (2.7)االن سنثبت ≥ 𝑇∗ > نحصل على 0


18

𝑦(𝑡) ≥ ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑇∗

0

𝑦𝑝(𝑠 − 𝜏(𝑠))𝑑𝑠 ≥ min−𝑡0≤𝜇≤𝑇∗

𝑦𝑝(𝜇) ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑇∗

0

𝑑𝑠 + ℎ(𝛾)

ن إ لذا ف

sup𝑡≥0

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑇∗

0

𝑑𝑠 < ∞ (4.6)

نعرف االن

𝑚 = lim𝑡→∞

inf 𝑦(𝑡)

𝑚وهو قيمة منتهية. لنثبت أن > 𝑚ن أ نفرض من اجل التناقض 0 = . في هذه الحالة نستطيع إيجاد 0 ن أبحيث 𝑛≥1(𝑡𝑛)متتابعة متزايدة

𝑦(𝑡𝑛) = inf−𝑡0≤𝑡≤𝑡𝑛

𝑦(𝑡) > 0

من الالنهاية. 𝑛يقترب من الصفر عندما تقترب 𝑦(𝑡𝑛)ن ا و

𝑡عند قيمة (4.2)من = 𝑡𝑛 نجد

𝑦(𝑡𝑛) = ∫ 𝑘(𝑡𝑛, 𝑠)

𝑡𝑛

0

𝑦𝑝(𝑠 − 𝜏(𝑠))𝑑𝑠 + ℎ(𝑡𝑛)

≥ ∫ 𝑘(𝑡𝑛, 𝑠)

𝑡𝑛

0

inf−𝑡0≤𝜇≤𝑡𝑛

𝑦𝑝(𝜇)𝑑𝑠 + ℎ(𝑡𝑛)

= 𝑦𝑝(𝑡𝑛) ∫ 𝑘(𝑡𝑛, 𝑠)

𝑡𝑛

0

𝑑𝑠 + ℎ(𝑡𝑛)

𝑦(𝑡𝑛)بما أن > ، لدينا 0

𝑦1−𝑝(𝑡𝑛) ≥ ∫ 𝑘(𝑡𝑛, 𝑠)

𝑡𝑛

0

𝑑𝑠 +ℎ(𝑡𝑛)

𝑦𝑝(𝑡𝑛)

0ن إذ أ 𝑛ومن اجل قيمة كبيرة كفاية لـــ < 𝑦𝑝(𝑡𝑛) ≤ ينتج لدينا 1

𝑦1−𝑝(𝑡𝑛) ≥ ∫ 𝑘(𝑡𝑛, 𝑠)

𝑡𝑛

0

𝑑𝑠 + ℎ(𝑡𝑛)


19

بأخذ الغاية للمتباينة أعاله

lim𝑛→∞

∫ 𝑘(𝑡𝑛, 𝑠)

𝑡𝑛

0

𝑑𝑠 + ℎ(𝑡𝑛) = 0

𝑚ن إ. لذا ف (4.4)والتي تناقض > ∗𝑇لذلك 0 ≥ بحيث أن 0

𝑦(𝑡) ≥1

2𝑚 > 0, 𝑡 ≥ 𝑇∗

بالنتيجة

𝑦(𝑡) = ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑜

𝑦𝑝(𝑠 − 𝜏(𝑠))𝑑𝑠 + ℎ(𝑡)

≥ ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇∗

𝑦𝑝(𝑠 − 𝜏(𝑠))𝑑𝑠

≥1

2𝑝𝑚𝑝 ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇∗

𝑑𝑠, 𝑡 ≥ 𝑇∗

مقيد نحصل على 𝑦باالستفادة من كون الحل

sup𝑡≥𝑇∗

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇∗

𝑑𝑠 < ∞

.(2.7)ق الشرط يتضمن تحق (4.6)والمتباينة أعاله والمعادلة

(t)∅)ب( متحققة وان -ن الشروط )أ(أ افرض (3-4مبرهنة ) = t, t ≥ عندئذ جميع الحلول للمعادلة 0ذامقيدة (2.1) 𝑇كان لبعض قيم وا ≥ الشرطين التاليين: أحدفعندها يتحقق 0

,(2.6)كل من أ(1) ن أمتحققة و (2.4)


sup𝑡≥𝑇

∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

< 1, 𝑖 = 1, … , 𝑑. (4.7)

𝑡لكل قيم ب(2) ≥ 𝑇 و𝑖 = 1, … , 𝑑 ن إف


sup𝑡≥𝑇


𝑡

𝑇

= 1, ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

< 1


20

sup𝑡≥𝑇

(1 − ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

)

−1


𝑇

0

< ∞ (4.8)

و

sup𝑡≥𝑇

(1 − ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

)

−1

|ℎ𝑖(𝑡)| < ∞ (4.9)

𝜓لتكن البرهان: ∈ 𝐶([−𝑡0, 0], 𝑅𝑑) ن ا و𝑦 (2.1)هو حل للمعادلتين, إذامقيد 𝑦ن أسنبين (2.2) ب(. ليكن 2أ( و ) 1تحقق كل من )

𝜇𝑇 = max−𝑡0≤𝑡≤𝑇

‖𝑦(𝑡)‖

,(2.4)أ(. بواسطة المعادلة 1تحت الشرط ) 𝑃𝑇له الخاصية 𝜇𝑇ن أفي البداية سنبرهن يكون لدينا (2.6)𝐼𝑇 < 𝐻𝑇و ∞ < 𝑤لهذا يوجد ∞ ≥ 𝜇𝑇 أن بحيث

(1 − 𝐽𝑇)−1(𝜇𝑇𝐼𝑇 + 𝐻𝑇) < 𝑤

وكذلك

𝜇𝑇𝐼𝑇 + 𝐻𝑇 < (1 − 𝐽𝑇)𝑤

𝑡بالتالي ولكل قيم ≥ 𝑇, 𝑖 = 1, … , 𝑑 نحصل على

𝜇𝑇 ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑇

0

+ |ℎ𝑖(𝑡)| ≤ 𝜇𝑇𝐼𝑇 + 𝐻𝑇 < (1 − 𝐽𝑇)𝑤 ≤ (1 − ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

) w

لهذا السبب


𝑇

0

+ 𝑤 ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

+ |ℎ𝑖(𝑡)| < 𝑤, 𝑡 ≥ 𝑇, 𝑖 = 1, … , 𝑑

مقيد. (2.1)فان الحل للمعادلة (1-3) ولهذا وبواسطة المبرهنة 𝑃𝑇له الخاصية 𝜇𝑇عندئذ

ب( متحقق. 2اذا كان الشرط ) 𝑃𝑇له الخاصية 𝜇𝑇سنثبت الحقا ان

𝑡لكل قيم ≥ 𝑇 لدينا

(1 − ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

)

−1

> 0, 𝑖 = 1, … , 𝑑


21

,( 4.8)ن إف تضمن لنا بأن (4.9)

sup𝑡≥𝑇

(1 − ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

)

−1

{𝜇𝑇 ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑇

0

+ |ℎ𝑖(𝑡)|} < ∞

𝑤عندئذ يوجد ≥ 𝜇𝑇 أن إذكبير كفاية

(1 − ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

)

−1

{𝜇𝑇 ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑇

0

+ |ℎ𝑖(𝑡)|} < 𝑤, 𝑡 ≥ 𝑇

والذي يؤدي الى


𝑇

0

+ w ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

+ |ℎ𝑖(𝑡)| < 𝑤, 𝑡 ≥ 𝑇, 𝑖 = 1, … , 𝑑

يكون مقيدًا. (2.1)للمعادلة 𝑦ن الحل إ ف (1-3) وبالتالي وحسب المبرهنة 𝑃𝑇له الخاصية 𝜇𝑇ن إ عند ذلك ف

(t)∅)ب( متحققة وان -افرض ان الشروط )أ( (4-4مبرهنة ) = 𝑡𝑝 , 𝑡 > 𝑝عندما 0 > ، العالقتين 1(2.7), (2.8) ،𝐽0 > 𝜓‖𝑡0‖ولتكن 0

= max−𝑡0≤𝑡≤0

‖𝜓‖ عندها فان الحل𝑦 (2.1)للمعادلتين, (2.2)

مقيد اذا تحققت احدى الشروط التالية:

(1) ‖𝜓‖𝑡0= (

1

𝑝𝐽0)

1

𝑝−1 و𝐻0 <𝑝−1

𝑝(

1

𝑝𝐽0)

1

𝑝−1. (2) 𝐻0 < ‖𝜓‖𝑡0

− 𝐽0(‖𝜓‖𝑡0)

𝑝.

,(2.7)افرض ان :البرهان متحققة (2.8)

𝜓‖𝑡0‖بما أن (1)= (

1

𝑝𝐽0)

1

𝑝−1 و𝐻0 <𝑝−1

𝑝(

1

𝑝𝐽0)

1

𝑝−1= (

1

𝑝𝐽0)

1

𝑝−1− 𝐽0 (

1

𝑝𝐽0)

𝑝

𝑝−1 فأن

𝑤 = (1

𝑝𝐽0)

1

𝑝−1 يحقق المتباينة

𝐻0 < 𝑤 − 𝐽0𝑤𝑝 … … … (4.10)

𝐻0بما أن (2) < ‖𝜓‖𝑡0− 𝐽0(‖𝜓‖𝑡0

)𝑝 وان𝑤 = ‖𝜓‖𝑡0

. (4.10)تحقق المتباينة

𝑇يتحقق عند (2.3)الشرط فان بالتالي ففي كلتا الحالتين = 𝜇0لذلك 0 = ‖𝜓‖𝑡0لذا فأن 𝑃0له الخاصية

مقيد. (2.1)ن الحل للمعادلة إ متحققة وعليه ف ( 1-3) شروط المبرهنة


22

مثال تطبيقي .5

𝑡لكل قيم )في حالة متى ما كان الشرط (3-4) لنوضح المبرهنة ≥ 𝑇 و𝑖 = 1, … , 𝑑 ن إف


sup𝑡≥𝑇


𝑡

𝑇

= 1, ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

< 1

sup𝑡≥𝑇

(1 − ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

)

−1


𝑇

0

< ∞ (5.1)

و

sup𝑡≥𝑇

(1 − ∫ 𝑘𝑖(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑇

)

−1

|ℎ𝑖(𝑡)| < ∞ (5.2)

.𝑇متحققًا لقيمة كبيرة كفاية لـــ

لتكن لدينا المعادلة التالية

𝑦(𝑡) = ∫2

1 −12 𝑒−2|𝑡−ln 2|

𝑡

0

𝑒−2(𝑡−𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠 + 𝑐𝑒−2𝑡, 𝑡 ≥ 0

ℎ(𝑡)لدينا هنا = 𝑐𝑒−2𝑡 و𝑐 ∈ 𝑅 وان𝑘(𝑡, 𝑠) =2

1−1

2𝑒−2|𝑡−ln 2|

, 𝑡0 = 0

من الواضح أن

sup𝑡≥0

|ℎ(𝑡)| = |𝑐| < ∞

وان

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

0

𝑑𝑠 = ∫2

1 −12 𝑒−2|𝑡−ln 2|

𝑡

0

𝑒−2(𝑡−𝑠)𝑑𝑠

=1

1 −12 𝑒−2|𝑡−ln 2|

(1 − 𝑒−2𝑡)

لهذا

lim𝑡→∞

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

0

𝑑𝑠 = 1


23

𝑇1لنضع = ln ن إف 2

∫ 𝑘(𝑇1, 𝑠)

𝑇1

0

𝑑𝑠 =1

(1 −12)

(1 − 𝑒−2 ln 2) =3

2> 1

وهذا يعني ان

sup𝑡≥0

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

0

𝑑𝑠 = 𝑀 > 1

𝑇ال تتحقق عندما ( 3-4) ن شروط المبرهنةإ ف لذا = 0 .

𝑇خذنا أ إذا = ln فسنحصل على 5

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇

𝑑𝑠 =1 − 25𝑒−2𝑡

1 − 2𝑒−2𝑡< 1, 𝑡 ≥ 𝑇

ن أو

sup𝑡≥0

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇

𝑑𝑠 = 1

وبناًء على هذا يكون لدينا

(1 − ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇

𝑑𝑠)

−1

∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑇

0

𝑑𝑠 =24𝑒−2𝑡(1 − 2𝑒−2𝑡)

23𝑒−2𝑡(1 − 2𝑒−2𝑡)=

24

23, 𝑡 ≥ 𝑇

و

(1 − ∫ 𝑘(𝑡, 𝑠)

𝑡

𝑇

𝑑𝑠)

−1

|ℎ(𝑡)| =(1 − 2𝑒−2𝑡)

23𝑒−2𝑡|𝑐|𝑒−2𝑡, 𝑡 ≥ 𝑇

مقيد. 𝑦، لذلك فالحل 𝑇يتحقق بهذه القيمة لــ (3-4) الشرط الثاني للمبرهنةن إ لذا ف

الكافية التي حصلنا عليها الشروطال يمكن تطبيقها لهذا المثال لكن [15]في (1.4.2)ن القضية أنالحظ هنا .استعمالها خالل البحث يمكن


24

االستنتاجات .6

(( قد أعطت الشروط الكافية لضمان تقييد الحلول لفئة 1-3يجة الرئيسة لهذا البحث )مبرهنة )إن النتكبيرة من معادالت فولتيرا التكاملية ذات التأخير الزمني والتي اعتمدت على متباينة خاصة وتقنية المقارنة

ة في حالة كونها شبه خطية ( ضمان وجود الحل المقيد لمعادالت فولتيرا التكاملي1-4كما أعطت المبرهنة )( الشروط الضرورية والكافية للحلول المقيدة في حالة المعادالت شبه الخطية والملتفة 2-4وبينت المبرهنة )

والتي توضح ان الشروط المعطاة ليست كافية وحسب وانما ضرورية كذلك (scalar convolution)عدديًا تم إيضاح تقييد الحلول لمعادالت فولتيرا التكاملية الخطية والتي ليكون الحل مقيدًا باإلضافة الى ما سبق فقد

( 4-4( واخيرًا وليس اخرًا بينت المبرهنة ) 3-4يمكن تطبيقها في الحالة الحرجة من خالل المبرهنة ) الشروط الكافية للحلول المقيدة لمعادالت فولتيرا التكاملية فوق الخطية وفي النهاية تم إعطاء مثال توضيحي

التي اعتمدها حالة ان الطريقة المعروفة النتائج التي توصلنا اليها في انه يمكن تطبيق من خالله اثبتنا Burton [15] .ال يمكن تطبيقها

المصادر[1] A. Vecchio, J. Int. Eqs. Appl. 12 no. 4, 449-465 (2000),.

[2] C. Corduneanu, ''Integral Equations and Stability of Feedback Systems'', 1st Ed.

Academic Press, New York and London (1973).

[3] C. Corduneanu, ''Integral Equations and Applications'', Reissue edition.

Cambridge University Press (2008).

[4] C. Cuevas and M. Pinto, Journal of Computational and Applied Mathematics,

Volume 113, Issues 1–2, Pages 217-225, 1 January (2000).

[5] E.N. Chukwu, ''Stability and Time-Optimal Control of Hereditary Systems'',

Volume 188,1st Ed. Academic Press (1992).

[6] H. Brunner, Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional

Differential Equations, 1st Ed. Cambridge University Press, New York (2004).

[7] J.A.D. Appleby, I. Gyori, and D. Reynolds, Journal of Difference Equations and

Applications Volume 12, 1257-1275 (2006).

[8] J.A.D. Appleby, István Gyori, David W. Reynolds, J. Math. Anal. Appl. 320 56-

77 (2006).

[9] J. Chiasson and J.J. Loiseau, ''Applications of Time Delay Systems'', 1st Ed.

Springer, Berlin, Heidelberg (2007).

[10] K. Gopalsamy, ''Stability and Oscillation in Delay Differential Equations of

Population Dynamics'', 1st Ed. Springer (1992).

[11] M. Rahman, ''Integral Equations and their Applications'', 1st Ed. WIT Press,

USA, Canada and Mexico (2007).

[12] N. MacDonald, ''Time-lags in Biological Models, Lecture notes in

Biomathematics'', 1st Ed. Springer, Berlin (1978).

http://b-ok.xyz/g/C.%20Corduneanu


25

[13] O. Lipovan, On the asymptotic behavior of solutions to some nonlinear integral

equations of convolution type. Dynamics of Continuous, Discrete & Impulsive

Systems. Series A: Mathematical Analysis, 16 (2), 147-154 (2009).

[14] T.A. Burton, Boundedness in functional differential equations, Funkcialaj

Ekvacioj 25, 51-77 (1982).

[15] T.A. Burton, ''Volterra Integral and Differential Equations'', 2nd Ed. Elsevier

(2005).

[16] T. Erneux, ''Applied Delay Differential Equations'', 1st Ed. Springer (2009).

[17] T. Insperger and G. Stepan, ''Semi-discretization for Time-delay Systems'',

Stability and Engineering Applications, 1st Ed. Springer (2011).

[18] Y. Kuang, ''Delay Differential Equations with Applications in Population

Dynamics'', 1st Ed. Academic Press, Boston (1993).

Some Theorems and Results on Solution of Kind of Volterra ...€¦ · ةيلمات ا ريتوف...

Documents

Transcript of Some Theorems and Results on Solution of Kind of Volterra ...€¦ · ةيلمات ا ريتوف...