Solucionario 5to secundaria
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Quinto Año de Secundaria
- 1 -
Solucionario
quinto año de educación secundaria
- 2 -
CAPÍTULO 2
ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36)
NIVEL I
Factorial de un número
Resolución 2
7! 2 5! 7·6·5! 2·5! 7·6· 5M
6! 10 4! 6·5! 2·5·4!− × −= = =
− × −! 2· 5− !
6· 5 ! 2· 5− !
2 2M
6 24 −=
−
∴ M = 10 Rpta.: E
Resolución 1
E = (n + 2)! – 2(n+1)!
E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2]
∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D
Resolución 31 1 1 1
E4! 3! 4· 3! 3! 3!(4 1) 3!· 5
= = = =+ + +
4 4E
3!· 4 · 5 5!= = Rpta.: E
Resolución 41 1 (n 1) 1
En! (n 1)! n!(n 1) (n 1)!
+= − = −+ + +
+ + −= − =+ + +
n 1 1 n 1 1E
(n 1)! (n 1)! (n 1)!
∴ n
E(n 1)!
=+ Rpta.: D
Resolución 5
( )( )
( )( )
[ ]( )
+ −+ − + −= = =
− − −n! n 1 1n 1 ! n! n 1 n! n!
Rn 1 ! n 1 ! n 1 !
( ) ( )2n!n n!· n · n n!n
Rn 1 ! n n 1 ! n!
= = =− −
∴ R = n2 Rpta.: B
Resolución 9
( ) ( )− +=
x 1 ! x 2 5x! 3
3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)!3x + 6 = 5x
∴ x = 3 Rpta.: B
Resolución 6
( )n 2 !6
n!+
= à ( )( )n 2 n 1 n!
6n!
+ +=
(n + 1)(n + 2) = 6
Resolviendo:
∴ n = 1 Rpta.: A
Resolución 7
( )( )n 3 !1
· 103 n 1 !
+=
+
(n + 3)! = 30(n + 1)!
(n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)!
(n + 3)(n + 2) = 30
∴ n = 3 Rpta.: B
Resolución 8
(x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880
(x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880
(x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880
(x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880
(x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72
x – 1 = 5
∴ x = 6 Rpta.: B
Resolución 10
( )( )
( )( )
m! n 1 ! m! n 1 n!E
m 1 !n! m 1 m!n!+ +
= =+ +
∴ n 1
Em 1
+=+ Rpta.: B
Resolución 11
11! 10! 9! 11·10· 9· 8! 10· 9· 8! 9· 8!R121· 8! 121· 8!+ + + +
= =
11·10· 9 10· 9 9
R121+ +=
∴ R = 9 Rpta.: B
Quinto Año de Secundaria
- 3 -
Resolución 14
(n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2
(n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2
(n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2
[(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n[(n–1)!]2[n] = 36n(n–1)! = 6(n–1)! = 3!(n – 1) = 3
∴ n = 4 Rpta.: C
Resolución 12
( ) ( )( )
n 1 ! n 3 !2 6
n! n 2 !
+ +− = +
( ) ( )( )( )
2· n 1 n! n 3 n 2 !6
n! n 2 !+ + +
− =+
2n + 2 – n – 3 = 6
∴ n = 7 Rpta.: C
Resolución 13
( )( )
( )x 6 ! x 2 !44
x 4 ! x!+ +
− =+
( )( )( )( )
( )( )+ + + + +− =
+x 6 x 5 x 4 ! x 2 x 1 x!
44x 4 ! x!
(x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 448x + 28 = 44
∴ x = 2 Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
( )2n!
R nn 2 !
= −−
( )( )( )
2 2 2n n 1 n 2 !R n n n n
n 2 !− −
= − = − −−
∴ R = –n Rpta.: D
Resolución 2
( )( )
( )( )
( )( )
+ − + − + − = = =− − −
n n 1 ! n! n n 1 n! n! n· n! n 1 1M
n 1 ! n 1 ! n 1 !
( )( )
( )n· n· n n 1 !n· n· n!
Mn 1 ! n 1 !
−= =
− −
∴ M = n3 Rpta.: C
Resolución 3
( ) ( ) ( )( )
n 2 ! n 2 !P n n 3
n! n 3 !+ −
= − + +−
( )( ) ( ) ( )( )( )
n 2 n 1 n! n 2 n 3 !P n n 3
n! n 3 !+ + − −
= − + +−
2P n= n+ 2n+ 2+ 2n− 3n− n 2+ −
∴ P = n Rpta.: C
Resolución 4
( )( )
( )( )
x 5 ! 2 x 4 !x 3 ! x 2 !
− −=
− −
( )−x 5 !
( )−x 3 ( ) ( )− −x 4 x 5 !
( )−=
2 x 4 !
( ) ( )− −x 2 x 3 ( )−x 4 !
1 2x 4 x 2
=− − x–2 = 2x – 8
∴ x = 6 Rpta.: D
Resolución 5
( ) ( )x 2 ! x 1 !720
x− + −
=
(x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x(x–2)!(1+x–1) = 720 x(x–2)! = 6! x–2= 6
∴ x = 8 Rpta.: B
Resolución 6
( )( )
( )( )
n 4 ! n 3 !25
n 2 ! n 2 !+ +
− =+ +
( )( )( )( )
( )( )( )
n 4 n 3 n 2 ! n 3 n 2 !25
n 2 n 2 !+ + + + +
− =+ +
n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25n2 + 6n + 9 = 25
∴ n = 2 Rpta.: C
Resolución 7
( )( ) ( )
( )( )
n 1 ! n! 2n 3 !A
2n 1 ! 2n 2 ! n 2 !
+ + += + + + +
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )( )
n 1 n! n! 2n 3 2n 2 2n 1 !A ·
2n 1 ! 2n 2 2n 1 ! n 2 n 1·n!
+ + + + += + + + + + +
n!=
n 2+
( )2n 1 !
+ 2n 3+
2n 3·
+
( )( ) ( )2n 2 2n 1 !+ +
n 2+( )( )n 1 n!+
( )2 n 1n 1
+=
+
∴ A = 2 Rpta.: B
- 4 -
Resolución 8
( ) ( )( ) ( )
+ ⋅ +=
+ + +n 7 ! n 5 !
10!n 6 ! n 5 !
( ) ( )( ) ( ) ( )
n 7 ! n 5 !10!
n 6 · n 5 ! n 5 !+ +
=+ + + +
( ) ( )( ) [ ]
n 7 ! n 5 !10!
n 5 ! n 6 1+ +
=+ + +
( )( )( )
n 7 n 6 !10!
n 7+ +
=+
(n + 6)! = 10!
n + 6 = 10 ∴ n = 4 Rpta.: E
Resolución 11
( )( ) ( ) ( )
−++ +
2
2 213! 13!
10! 11!12! 2 12!11! 11!
( )( )
2
213! 13!
10! 11!12! 11!−
++
( )( )
2
213·12·11! 13·12·11·10!
10! 11·10!12·11! 11!−
++
Resolución 9
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
a!! 2 ! 2 a!! 1 ! a!! 2 a!! 1 ! 2 a!! 1 !R
a!! 1 ! a!! 1 !+ − + + + − +
= =+ +
( ) ( )( )
a!! 1 ! a!! 2 2R
a!! 1 !+ + −
=+
∴ R = a!! Rpta.: B
Resolución 10E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!!E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!!E = (n!!–1)! n!! – n!!!E = n!!! – n!!!
∴ E = 0 Rpta.: C
Resolución 14
( ) ( )( )
n 2 ! n 12 !5
n! 11 n !+ +
= ++
( )( ) ( )( )( )
n 2 n 1 n! n 12 n 11 !5
n! n 11 !+ + + +
= ++
(n+2)(n+1) = 5+n+12n2 + 3n+2 = 5+n+ 12n2 + 2n = 15
∴ n = 3
∴ Suma valores = 3 Rpta.: C
Resolución 12(119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!)24
(119! 5!)x!! = (5!!)23!· 24
(119! 120)x!! =(5!!)24!
(120!)x!! = (5!!)24!
(5!!)x!! = (5!!)24!
x!! = 24! x!! = 4!! ∴ x = 4 Rpta.: B
Resolución 13
( )5 5 5
5! 4! 3! 5· 4· 3! 4· 3! 3! 3! 20 4 1= =
+ + + + + +
5 1 4 43!· 25 3· 2·1· 5 5· 4· 3· 2·1 5!
= = = Rpta.: D
( ) ( )2 213·12 11!
( ) ( )+ 2 212 1 11!− 13·12·11· 10!
10! ( )+1 11
( )( )
2
213·12 13·12·11
1213−
(12)2 – 13· 11
∴ 1 Rpta.: A
ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46)
NIVEL I
N° maneras = 6 × 4
∴ N° maneras = 24 Rpta.: D
Resolución 1 Resolución 2
5 pantalones 3 blusas
N° maneras = 5 × 3
∴ N° maneras = 15 Rpta.: C
Quinto Año de Secundaria
- 5 -
Resolución 53 : anillos:4 : dedosN° maneras = 4· 3· 2
∴ N° maneras = 24 Rpta.: C
Resolución 3
m2V 20=
( )m!
20m 2 !
=−
( ) ( )m m 1 m 2 !− −
( )m 2 !−20=
m(m–1) = 4 × 5
∴ m = 5 Rpta.: C
Resolución 4
A B C D ← asientos
N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3
∴ N° maneras = 360 Rpta.: B
55
Resolución 9
...................← Personas--------------- ← asientos
N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1
∴ N° maneras = 120 Rpta.: C
Resolución 6
10 : amigas6 : invitadas
N° maneras = 106
10· 9· 8· 7C
1· 2· 3· 4=
∴ N° maneras = 210 Rpta.: B
Resolución 7
n15
4
=
( )( )( )n n 1 n 2 n 315
1· 2· 3· 4− − −
=
n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3
∴ n = 6 Rpta.: B
Resolución 8x x5 6C C 28+ =
x x x 15 6 6C C C 28++ = =
( ) ( )( )( )( )+ − − − −=
x 1 x x 1 x 2 x 3 x 428
1· 2· 3· 4· 5· 6
(x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3
∴ x = 7 Rpta.: C
Resolución 14
n 1 n:
n n 1+
− ... (1)
Entonces:
n 1 n 1 n 1n 1
n n 1 n 1+ + +
= = = + + −
n n nn
n 1 n (n 1) 1
= = = − − − En (1):
∴ n 1
n+
Rpta.: D
Resolución 10
Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta-mos.N° maneras = 4!
∴ N° maneras = 24 Rpta.: B
Resolución 11
N a b c d 6000= > 6 5 2 3
N° maneras = 1· 3· 2· 1
∴ N° maneras = 6 Rpta.: D
Resolución 12
84
8· 7· 6· 5C
1· 2· 3· 4=
∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: B
Resolución 13
N abc=números: {1; 2; 3; 4; 5}N° maneras = 5· 4· 3
∴ N° maneras = 60 Rpta.: D
- 6 -
Resolución 15x5C 21=
( )( )( )( )x x 1 x 2 x 3 x 421
1· 2·3· 4· 5− − − −
=
x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3
∴ x = 7 Rpta.: E
De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminosDe venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminosN° maneras = 9· 9 = 81Quitamos los 9 caminos de ida.N° maneras = 81 – 9
∴ N° maneras = 72 Rpta.: B
Resolución 1
Resolución 2N° maneras = 7· 6 · 5
∴ N° maneras = 210 Rpta.: D
Resolución 3
Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
N a bc d e
9 8 7 6 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓
=
N° formas = 9· 8·7· 6· 5
∴ N° formas = 15120 Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 4L I B R O → 5 letrasN° palabras = 5!
∴ N° palabras = 120 Rpta.: B
Resolución 5
252
25· 24C
1· 2=
∴ N° partidos = 300 Rpta.: D
Resolución 6
N° diagonales = 82C N lados− °
N° diagonales = 8 ·7
81· 2
−
∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B
Resolución 7
( )( )
( )+ ++ = = + −
p q ! p q !p qp p! q!p! p q p !
Además:
+ + + = = + −
p q p q p qq (p q) q p
∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B
Resolución 8
4 : biólogos → se escogen 2
3 : químicos → se escogen 2
5 : matemáticos → se escogen 3
N° maneras = 4 3 52 2 3C · C · C
N° maneras = 4 · 3 3 · 2 5 · 4 · 3
· ·1· 2 1· 2 1· 2 · 3
∴ N° maneras = 180 Rpta.: C
Resolución 9
x0
10
=
..... (1)
Se sabe que:
m0
n
=
⇔ m < n ∧ m > 0
En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9
∴ Producto: 9! Rpta.: D
Resolución 10
n 1 n n n 1Q
2 1 n 1 n 1+ −
= + + + − −
Se sabe que:
m mn m n
= −
+ + = −
n 1 m 1n 1 2 y
n nn 1 1
= −
Luego:
( )n 1 nn 1 nQ 2 2 n
2 1 1· 2
++ = + = +
∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B
n
+
Quinto Año de Secundaria
- 7 -
Resolución 11n n 1
99n 1 n 2
− + = + −
Se sabe que:
m0
k
=
⇔ m < k
n0
n 1
= +
Luego:
n 10 99
n 2−
+ = −
n 199
(n 1) (n 2)−
= − − −
n 199
1−
=
n – 1 = 99
∴ n = 100 Rpta.: D
Resolución 12
N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1∴ N° maneras = 120 Rpta.: E
Resolución 133 : entradas → se toma 13 : de fondo → se toma 15 : postres → se toma 1
N° maneras = 3 3 51 1 1C · C · C
N° maneras = 3· 3· 5
∴ N° maneras = 45 Rpta.: A
Resolución 1
A) (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5
= x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5
B) (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 +
7(1)(3a)6 + (3a)7
=1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7
C) (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b 4 – 462(1)6b5 +
462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11
= 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9
+ 11b10 – b11
D)61
xx
− = x6 – 6(x)5·(x-1) + 15(x)4(x-1)2–20(x)3(x-1)3 + 15(x)2(x-1)4 – 6(x)(x-1)5 + (x-1)6
= x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6
E)4
221
zz
+
= (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4
=z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8
F) 63
43 x
4x
−
= (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 +
15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6
= 24 17 10 3 4 11 18729 1215 135 135 9 1729x x x x x x x
2 16 16 256 512 4096− − − −− + − + − +
NIVEL I
BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53)
- 8 -
Resolución 3
A) (2x – y)4
coef(t2) = coef(t1+1) = ( )1342 1
1
−
∴ coef(t2) = – 32
B) (3a + b)6
coef(t3) = ( ) ( ) =
4 26
3 4 194402
C)102 2x y
y x
−
coef(t9) = coef(t8+1)= ( ) ( )10 8 881 1 45
10−
− =
D) (–a + 12)5
coef(t5) = coef(t4+1) = ( ) ( )5 4 4 451 12 5·12
4−
− = −
E) (p2v2–1)14
coef(t8) = coef(t7+1) = 147
(1)14-7(–1)7 = –3432
F) (2x2y + xy3)8
coef(t5) =
84 (2)8-4 (1)4 = 1120
Resolución 2
A) (x – y)11 ; t7 = t6+1 = 11 6 611x y
6−
∴ t7 = 462x5y6
B) (a + b)21 ; t5 = t4+1 = 21 4 421a b
4−
∴ t5 = 5985 a17 b4
C)101 1
a b −
; t10 = t9+1 = 10 9 910 1 1
9 a b
− −
∴ t10 = – 10a-1 b-9
D)7
22
2x y
xy
−
; t8 = t7+1 = ( )7
7 722
7 2x y
7 xy
− −
∴ t8 = –128x-7y-14
E) (2a – b)10 ; t11 = t10+1 = ( ) ( )10 10 10102a b
10−
−
∴ t11 = b10
F)4
11
xyz
−
; t2 = t1+1 = ( ) − −
14 14 1
11 xyz
∴ t2 = –4x-1y-1z-1
108
Resolución 4
( )5 52 2 11
3x 3x xx
− − = −
52 1
3xx
− = (3x2)5 – 5(3x2)4(x-1) + 10(3x2)3(x-1)2 – 10(3x2)2(x-1)3 + 5(3x2)(x-1)4 – (x-1)5
52 1
3xx
− = 243x10 – 405x7 + 270x4 – 90x + 15x-2 – x-5
A) coef(t4) = –90B) t3C) No existe el término independiente de x:
Resolución 5
( )12
123 2 1 322
3xy 2x y 3xyx y
− − − = −
A) tk+1 = ( )12 k
k32
12 23xy
k x y
− −
tk+1 = 12k
(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
Nos piden:(x)3k-24 = x-3 3k – 24 = –3 k = 7
Luego:tk+1 = t7+1 = t8
B) tk+1 = 12k
(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
(y)4k-12 = y12 4k – 12 = 12 k = 6
∴ tk+1 = t6+1 = t7
Quinto Año de Secundaria
- 9 -
C) tk+1 = 12k
(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
(x)3k-24 = x0 3k – 24 = 0 k = 8
∴ tk+1 = t8+1 = t9
D) tk+1 = 12k
(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12
y4k-12 = y0 4k – 12 = 0 k = 3
∴ tk+1 = t3+1 = t4
= ( ) ( ) ( )3 k k 15 6k33 1 q
k− −
−
(q)15-6k = q9 15 – 6k = 9 k = 1
t1+1 = ( ) ( ) ( )3 1 1 15 6·133 1 q
1− −
−
∴ t2 = –27q9
Resolución 6
A) (2p + q)11
tk+1 = 11k
(2p)11-k(q)k
qk = q9 k = 9
tk+1 = t9+1 = t10 = 119
(2p)11-9(q)9
∴ t10 = 220 p2q9
B)10
1q
pq −
tk+1 = k
10 k10 1q
k pq− −
( ) ( ) ( )k k 10 2k101 p q
k− −
= −
(q)10-2k = q9 10 – 2k = 9
= 1k
2
Como k ∈
∴ No existe el término
C) (p2 – q3)7
tk+1 = ( ) ( )7 k k2 37p q
k
− −
( ) ( ) ( )k 14 2k 3k71 p q
k−
= −
(q)3k = q9 3k = 9 k = 3
Luego:
t3+1 = ( ) ( ) ( )3 14 2·3 3·371 p q
3−
−
∴ t4 = –35p8 q9
D)3
5 13q
q −
tk+1 = ( ) − −
k3 k53 13q
k q
Resolución 7
( )102 x 3+
( ) ( ) ( ) ( )10 10 9102 x 3 2x 2 x 3
1
+ = +
( ) ( )8 2102 x 3
2
+
∴ ( )10 10 9 82 x 3 32x 160 6 x 2160x ...+ = + + +
Resolución 8
(1 + 3x2)6
tk+1 = ( ) ( ) ( ) ( )k6 k k 2k26 6
1 3x 3 xk k
− =
t0+1 = ( ) ( )0 2·063 x
0
t1 = 1
t6+1 = ( ) ( )6 2·663 x
6
t7 = 729x12
Luego:t1 · t7 = 1· 729x12
∴ Producto de los coeficientes = 729
NIVEL II
Resolución 1
(x – 3y)5
t6 = t5+1 = ( ) ( )5 5 55x 3y
5−
−
∴ t6 = – 243y5 Rpta.: D
Resolución 2
(2 – x)11
t8 = t7+1 = ( ) ( )11 7 7112 x
7−
−
t8 = –5280x7
∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D
- 10 -
Resolución 3
(2a + b)5
t2 = t1+1 = ( ) ( )− =
5 1 1 45
2a b 80 a b1
∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C
Resolución 8n2 x
x 2 +
tk+1 = ( ) ( )n k K
n 2k 2k nn n2 x2 x
k kx 2
−− − =
Para el término independiente:(x)2k-n = x0 2k – n = 0 n = 2kPero: k + 1 = 4 k = 3Entonces: n = 2· 3 n = 6Luego: tk+2 = t3+2 = t5
t5 = ( ) ( )6 8 8 6 26 152 x x
4 4− −
=
∴ coef(t5) = 154 Rpta.: C
Resolución 9
133 2
5x 12 x
+
( )( ) ( )−−−
+ =k13 k2 1
13 1 3 5k 1 kt 2 x x
tk+1 = ( ) ( )−−
26 13kk 13
3 15132 x
k
El término indenpendiente:
( )26 13k
03 15x x−
= 26 13k
03 15
− = k = 10
tk+1 = t10+1 = t11
Nos piden el t10 k = 9
t10 = ( ) ( )26 13·99 133 1513
2 x9
− −
∴ t10 =
1315715
x16
Rpta.: A
Resolución 47y
3x2
−
La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos
∴ No hay término central Rpta.: E
Resolución 5
(2x – y)6
t4 = t3+1 = ( ) ( )6 3 362x y
3−
−
∴ t4 = –160x3 y3 Rpta.: D
Resolución 64
21
xx
−
tk+1 = ( ) ( ) ( )k
4 k k 4 3k2
4 41x 1 x
k kx− − − = −
Del dato:
x4-3k = x0 4 – 3k = 0 4
k3
=
Como k ∈
∴ No hay término independiente
Rpta.: E
Resolución 7
(2x – 1)5
tk+1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − − = −
5 k k 5 k k 5 k5 5
2x 1 2 1 xk k
t3 = t2+1 = ( ) ( ) ( )5 2 2 5 2 352 1 x 80x
2− −
− =
t5 = t4 + 1 = ( ) ( ) ( )5 4 4 5 4 x52 1 x 10
4− −
− =
Luego: 3
5
t72
t=
380x72
10x=
∴ = ±x 3 Rpta.: C
Resolución 101201
xx
+
tk+1 = ( )k
120 k 120 2k120 1201x x
k kx− − =
Como es de grado 100120 – 2k = 100 k = 10
∴ tk+1 = t10+1 = t11 Rpta.: E
Quinto Año de Secundaria
- 11 -
Resolución 119
2 0,50,4x
x +
tk+1= ( )k9 k29 0,5
0,4xk x
−
( ) ( ) ( )9 2k k 9 18 3k92 5 x
k− − −
=
Término independiente:
(x)18-3k = x0 18 – 3k = 0 k = 6
Luego: t6+1 = ( ) ( ) ( )9 2·6 6 9 18 3·692 5 x
6− − −
t7 = 0,084 Rpta.: C
Resolución 12
(1 + x)3n
tk+1 = ( ) ( )3n k k k3n 3n1 x x
k k−
=
tk+2 = k 13n
xk 1
+ +
t2k-3 = 2k 43n
x2k 4
− −
Como los coeficientes son iguales se tiene:
3n 3nk 1 2k 4
= + −
(k + 1) + (2k – 4) = 3n
3k – 3 = 3n
∴ k = n+1 Rpta.: A
BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO
Pág. 58
Resolución 5
( )−151 2x
( ) ( )1 445
1 15 4 1 2x5 1 45
4 4
t T16x
− =+ − =
=
4
1 1 1 11 2 35 5 5 5 ·16x
1· 2· 3· 4
− − −
421
16x625− =
∴ t5 = 4336
x625
−
Resolución 7
3
E33−
=
( )( )( )( ) ( )3 3 1 3 2 3 3 ..... 3 32
E1· 2· 3· 4· 5· ..... ·33
− − − − − − − − −=
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )− − − − − − − −
= =313 4 5 6 · ..... · 35 1 34 35
E1· 2· 3· 4· 5 · ..... · 33 1· 2
∴ E = –595
Resolución 8
15 15 15E
3 4 5− − −
= + +
15 1 15E
4 5− + − = +
14 15E
4 5− −
= +
( )( )( )( )− − − −=
14 15 16 17E
1· 2· 3· 4
Resolución 6
11 231
x4
+
t4 = t3+1 =
313 1
23
1 11
2 2x 32x43 3
− =
− − = = ⋅
4
1 1 11 2
12 2 2t 32x 32x1· 2· 3 16
∴ t4 = 2x
- 12 -
Resolución 10
2931
x x2
−−− −
( ) ( ) ( )k
3k2 k 9 6k 21 3 2k 1 22 2t 2 x2 x x kk
− − −+−− −+
− − = = Término indenpendiente:
3k6 0
2− = k = 4
Entonces:
t4+1 = t5 = ( ) ( )−+−
3·464 2 22
2 x4
t5 = ( )( )( )( ) ( )62 3 4 5
21· 2· 3· 4
− − − −
∴ t5 = 320
Resolución 9
( )1
2 2x 3−
t3 = t2+1 = ( ) ( ) ( )− −
− =
1 2 322 2
1 12 2 x 9x 32 2
t3 = ( )33
1 11
92 2 9x1· 2 8x
−
− − =
Si: x = 3 t3 = 39
8· 3
−
∴ t3 = (–24)-1
( )( )( )( )( )15 16 17 18 19
1· 2· 3· 4· 5
− − − − −+
∴ E = – 9248
CAPÍTULO 3LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96)
NIVEL I
Resolución 1
log a = xlog 10a = log10 + loga = 1 + loga
∴ log10a = 1 + x Rpta.: E
Resolución 2
log p = x
3 1log p logp
3=
∴ 3 xlog p
3= Rpta.: D
Resolución 3
loga = m ; logb = n
( )a 1 a 1log log loga logb
b 2 b 2 = = −
∴ a m n
logb 2
−= Rpta.: B
Resolución 4
log 103 = 3log10 = 3· 1
∴ log 103 = 3 Rpta.: D
Resolución 5
5 2log x 0,4=25 2
log x5
= 2 2
logx5 5
=
∴ logx = 1 Rpta.: B
Resolución 6
log p = qp
log log p log rr
= −
∴ p
log q log rr
= − Rpta.: B
Resolución 7
logx + log 2
1
x= logx + logx-2 = logx – 2logx
∴ logx + log 2
1
x= –logx Rpta.: C
Resolución 8
= = =2
3 35 5 5
2 2log 25 log 5 log 5 ·1
3 3
∴ 35
2log 25
3= Rpta.: D
Quinto Año de Secundaria
- 13 -
Resolución 10
log2 a = xx + 1 = log2 a + log2 2
∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D
Resolución 9
logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103
= logx–log1000
∴ logx–3 = x
log1000
Rpta.: E
Resolución 18
log0,01+0,3
log 0,0081= log10-2 + 40.3
log (0,3)
= –2log10 + 4 (0,3)
log (0,3)
= – 2 + 4 = 2 Rpta.: C
Resolución 19
2 2 2log 0,25 log 0,125 log 0,0625+ −
( )( ) ( )( )2 2
0,25 0,125 0,03125log log
0,0625 0,0625=
12 2 2
log (0,5) log 2 1log 2−= = −
= – 1 Rpta.: E
Resolución 20
2 3 5
1 1 1log log log
16 81 125 − +
4 4 32 3 5
log 2 log 3 log 5− − −− +
2 3 54log 2 4log 3 3log 5− + −
– 4 + 4 – 3
∴ –3 Rpta.: D
Resolución 21
log3 = 0,47 , log5 = 0,70
log75 – log125 + log45 =
375 · 45log log27 log3 3log3
125= = =
= 3(0,47)
=1,41 Rpta.: B
Resolución 11
log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2)
log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2)
Rpta.: D
Resolución 12
log(x2–x) = logx(x–1)
∴ log(x2–x) = logx + log(x–1)
Rpta.: A
Resolución 13
= =5
113 2 3 61236 36
56
11 12log 216 6 log 6 : log 63 5
5536
= Rpta.: C
Resolución 14
0,4log 0,064 x= 3
0,4log (0,4) x=
0,43log 0,4 x=
∴ x = 3 Rpta.: D
Resolución 15
23
log x 2= − 22
x3
− = 9
x4
=
Rpta.: E
Resolución 16
− −− + = −
22 2(a b) (a b)
log (a 2ab b ) log (a b)
(a b)2 log (a b) 2
−= − = Rpta.: E
Resolución 17
log 100 + 2 5
log 128 log 625−
log 102 + 7 4
2 5log 2 log 5−
2log 10 + 2 5
7log 2 4log 5−
2 + 7 – 4 5 Rpta.: B
Resolución 22
log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70
log35 – log14 = 35log
14
5log log5 log2
2= = −
log 35 – log14 = 0,70 – 0,30
∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B
- 14 -
Resolución 25
22log (5x 3) log x 1− − =
− =2 2
(5x 3)log log 2
x
5x 32
x− = 5x – 3 = 2x
∴ x = 1 Rpta.: B
Resolución 26
33log (2x 21) log x 2+ − =
+ = 2
3 3
2x 21log log 3
x 22x 21
3x+ =
2x + 21 = 9x
∴ x = 3 Rpta.: A
Resolución 27
log a + logb = log(a + b)
log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b
∴ ba
b 1=
−Rpta.: D
Resolución 23
36 362 3
1 1log (2) log (3)
log 36 log 36+ = +
3636log (2· 3) log 6= =
12
36 36
1log (36) log 36
2= =
12
= Rpta.: C
Resolución 24
2log 3 x=
624 24 24
log 64 log 2 6log 2= =
2 2
1 16 6
log 24 log (8· 3)
= =
2 2 2
1 16 6
log 8 log 3 3log 2 x
= = + +
6
3 x=
+ Rpta.: B
Resolución 28
( )log 2log 2 33 5243 3=
5log 2log 2 5·log 23 33 5243 (3) (3) 2= = =
∴ log 2
3243 32= Rpta.: E
Resolución 29
logx + log(x–3) = 1
logx (x–3) = log10
x(x–3) = 10
∴ x = 5 Rpta.: C
Resolución 30
logx log310 10 2x 5− = −
x – 3 = 2x – 5
∴ x = 2 Rpta.: B
NIVEL II
Resolución 1
2 2
1log x
16 =
( )=x1
2 216
3x4 22 2
−=
34 x
2− =
∴ 8
x3
= − Rpta.: A
Resolución 2
(I) 2log 32 5= 32 = 25 ... (V)
(II) 2000log 1 0= 1=(2000)0 .... (V)
(III)2
1log 4
16 = −
41
216
−= ... (V)
∴ VVV Rpta.: D
Resolución 3
12log 27 a=
42 2
62 2 2 2
log 2 4log 2log 16
log 2 log 3 log 2 log 3= =
+ +
62
4log 16
1 log 3=
+ ........................... (1)
Quinto Año de Secundaria
- 15 -
Resolución 4
2 3 10234 5log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 1024
log3 log4·
log2 log3
log5·
log4
log6·
log5log1024
.....log1023
10log1024 log210
log2 log2= = Rpta.: B
Resolución 5
log2 = a ∧ log3 = b
( )3 2 22 2log 75 log75 log 5 · 3
3 3= =
[ ]22 2log5 log3 2log5 log3
3 3 = + = +
2 10
2log log33 2
= +
( )22 log10 log2 log3
3 = − +
( )22 1 a b
3 = − +
∴ [ ]3 2 2log 75 b 2a 2
3= − + Rpta.: D
Resolución 62 4 6
logx7 5 11 7 11 5
= + −+ + +
( )( )( )0
7 5 11 7 11 5=
+ + +
logx = 0 x = 100
∴ x = 1 Rpta.: B
Pero: 12
log 27 a= 2
2 2
3log 3a
2log 2 log 3=
+
2
2
3log 3a
2 log 3=
+ 2
2alog 3
3 a=
−
Reemplazando en (1)
6
4log 16
2a1
3 a
=+
−
∴ 6
12 4alog 16
3 a−=+
Rpta.: E
Resolución 10
5log 2 a= ∧ 5
log 3 2b=
( )25 5 5
1 1log 300 log 300 log 10 ·3
2 2 = =
[ ]255 5 5
1 1log 10 log 3 2log 10 log 3
2 2 = + = +
( )5 5 5
12 log 5 log 2 log 3
2 = + +
( )12 1 a 2b
2 = + +
∴ 5
log 300 a b 1= + + Rpta.: E
Resolución 7
log2 = x 2 = 10x
2 2 2
2,5log 2,5 log (0,4) log
0,4 − =
2
22 2
5 5log 2log
22 = =
[ ]2 22 2
102 log 2 log 10 2log 2
2
= = −
x10
12 log 10 2 2 2
x = − = −
2 4xx
−= Rpta.: D
Resolución 8
( )log y
55
log x y=
( )log y5
5log log x logy =
( )55
log y log log x logy =
( ) =5
log log x log5 5log x 5=
x = 55 = 3125
∴ cifras 11∑ = Rpta.: C
Resolución 9
( )1 2 22 122 2
5 41 13 3 33
log 4 log 4log 2 log 2
Elog 243 log 81 log 3 log 3
−
−
++
= =+ +
2 2E
5 4−=−
∴ E = 0 Rpta.: E
Resolución 11
log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10
- 16 -
( )( )2 x 3 xlog log10
2− −
=
( )( )2 x 3 x10
2− −
=
Resolviendo: x1 = 7 ∧ x2 = –2
∴ CS = {7; –2} Rpta.:
Resolución 12
2 2xlog x 8log 2 3− =
logx 8log23
log2 2logx− =
2(logx)2 – 6· logx· log2 – 8(log2)2 = 02logx 2 log2logx – 4log2(1) : 2logx + 2log2 = 0 logx = –log2
(2) : logx – 4log2 = 0 logx = log24
x = 16
Luego: x 16=
∴ x 4= Rpta.: D
Resolución 131
log x 21 1 logx2
− = −
12
log x 21 log10 logx− = −
10
log x 21 logx
− =
10x 21
x− = x(x–21) = 100 = 4· 25
∴ x = 25 Rpta.: A
Resolución 14
x + log(1+2x) = xlog5 + log72log10x + log(1+2x) = log5x + log72log[10x·(1+2x)] = log[5x· 72]10x(1+2x) = 5x· 72
2x x5 (1+2x) = x5 ·23· 32
2x(1+2x) = 23· 32 2x(1+2x)=23(1+23)
∴ x = 3 Rpta.: C
Resolución 1522 2log x log x2 x 1024+ =
( )2 2
log x2log x log x 102 x 2+ =
log x log x 102 2x x 2+ = log x 1022· x 2=
log x2 9x 2= ( )log x2 92 2log x log 2 =
2 2 2log x · log x 9log 2= ( )2
2log x 9=
2log x 3= ±
3
3
2 x x 81
2 x x8
−
= ⇒ =
= ⇒ =
Suma = 1
88
+
∴ Suma = 658
Rpta.: D
Resolución 162
2 3x xlog a log a k+ =
x x
1 2log a log a
2 3+ = k
x
6klog a
7=
a
1 6klog x 7
=
∴ a
7log x
6k= Rpta.: C
Resolución 17
23 x
logx log16 log2
− =
logx3 – log24 = logx2 – log2logx3 – logx2 = 4log2 – log2
33
2x
log log2x
=
x = 23
∴ x = 8 Rpta.: E
Resolución 18
= =
6logx
610
x 0x
[ ] =
6logx
610
log x logx
6logx · logx 6 log10 log x = −
(logx)2 = 6 – logx
(logx)2 + logx – 6 = 0
Resolviendo:
x1 = 102 ∧ x2 = 10-3
Luego: x1 · x2 = 102· 10-3
∴ x1 · x2 = 10-1 Rpta.: B
Quinto Año de Secundaria
- 17 -
Resolución 19
( ) ( )− + − =logn
n 10log 2x 1 log x 1 n
log(2x–1)n + log(x–1)n = n
n log(2x–1) + nlog(x–1) = n
log(2x–1) + log(x–1) = log10log(2x–1)(x–1) = log10(2x–1)(x–1) = 10∴ x = 3 Rpta.: B
Resolución 23
antilogx· antilogx x = 16
antilogxxx = 16
xxx 16=
x 2x 2x 2= x = 2
Resolución 20
x ab x ab ab+ − − =
x ab x ab logy+ + − =
(x + ab)–(x – ab) = ab logy2ab = ab logy 2 = logy log102 = logy
∴ y = 100 Rpta.: E
Resolución 21
2 x
x
log x log 2 52 log 2 3
+ =−
22
2
1log x
5log x1 32
log x
+=
−
( ) ( )22 2
3 log x 3 10 log x 5+ = −
( )22 23 log x 10· log x 8 0− + =
Resolviendo: 1x 4= ∧ 32x 2 2=
Luego: x1· x2 = 34 ·2 2
∴ x1· x2 = 38 2 Rpta.: B
Resolución 22
log2 = 0,3 ∧ log3 = 0,472x = 24 2x = 23· 3log2x = log(23· 3)xlog2 = 3log2 + log3x(0,3) = 3(0,3) + 0,47
∴ x = 4,5 Rpta.: B
Luego: x3 = 23
∴ x3 = 8 Rpta.: E
Resolución 24
4 2 36antilog x antilog · colog 3 log 3=
12
324 6 3
antilog x antilog · colog · log 3=
24 6antilog x antilog · colog 6=
( ) ( )22 24 66
antilog x antilog · log 6 antilog · log 6= − = −
( )24
antilog x antilog 2= −
4x = 2-2 22x = 2-2
∴ x = –1 Rpta.: D
Resolución 25
2 216 8log x log x 4+ = −
Sea: log2x = a
16 8a a 4+ = − 16 +8a = a2 – 8a + 16
a = 16 log2x = 16 logx = ± 4logx = log104
∴ x = 104 Rpta.: B
Rsolución 26
( )( )( )Ln Ln Ln Lnx 0=
( )( )( )Ln Ln Ln Lnx Ln1=
( )( )Ln Ln Lnx 1= [ ] 1Ln Lnx e=
Lnx = ee
∴ x= eee Rpta.: D
Resolución 27
Lnx 13Lnx 42 Lnx+ =
Lnx · Lnx + 42 = 13· Lnx
(Lnx)2 + 42 = 13· Lnx
(Lnx)2 – 13 · Lnx + 42 = 0
Resolviendo la ecuación de 2do grado:
Lnx1 = 7 ∧ Lnx2 = 6
Lnx1 = 7 x1 = e7
Lnx2 = 6 x2 = e6
x1· x2 = e7· e6
∴ x1· x2 = e13 Rpta.: E
(x)
- 18 -
Resolución 29
x2 – y2 = 11
logx – logy = 1 x
log log10y
=
x
10y
= x = 10y
Resolución 28
35 5
R colog 0,04 antilog 2= +
2
55 5 5
1 100colog 0,04 log log log 5 2
0,04 4= = = =
25
antilog 2 5 25= =
Entonces:
3R 2 25= +
∴ R = 3 Rpta.: C
Resolución 30
1+ 2logx – log(x+2) = 0
log10 + logx2 = log(x+2)
log10·x2 = log(x+2) 10x2 = x+2
10x2 – x – 2 = 0
Resolviendo: 11
x2
= ∧ 22
x5
= − (no)
∴ C.S =
12 Rpta.: C
Entonces:
(10y)2 – y2 = 11 1
y3
= ∧ 10
x3
=
Por lo tanto:
+ = +10 1x y
3 3
∴11
x y3
+ = Rpta.: D
CAPÍTULO 5
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO (Pág. 157, 158)
Resolución 1Cambiamos el sentido de giro del ángulo negativo, enton-ces:
(17x – 19)° + (13x – 11)° = 180° 30x – 30 = 180 x = 7 Rpta.: C
Resolución 2Cambiando el sentido de giro de los ángulos negativostenemos:
• Se observa que:
(–θ)+ x = 180°
x – θ = 180° .... (1)
• Además:
(–α) + 90° + β = 180°
–α + β = 90°
–2α + 2β = 180° .... (2)
• Igualando 1 y 2 :
x – θ = –2α + 2β
x = θ + 2β – 2α Rpta.: D
Resolución 3
En la figura se observa que:
Quinto Año de Secundaria
- 19 -
• Entonces se cumple:(ax2+bx+c+120)° + (–mx2–nx–p+150)° = 270°ax2+bx+c–mx2–nx–p+270 = 270(a–m)x2 + (b–n)x + (c–p) = 0
• Aplicando la definición de polinomios identicamente nulo se tiene:
− = → = − = → = − = → =
a m 0 a mb n 0 b nc p 0 c p
• Finalmente:
a b c1 1 1
m n p+ + = + +
a b c3
m n p+ + = Rpta.: E
Resolución 4
Analizando la figura se tiene que:
θ+(–α)+ β = 2 vueltasθ – α + β = 2(360°)θ – α + β = 720° Rpta.: A
Resolución 5
Analizando el gráfico observamos que:
θ + x = –720°– α + x = –360°θ –(–α) = –360°
θ = –360° – α Rpta.: C
Resolución 6Dividendo cada uno de los ángulos dados entre 360° seobtiene:
3106 360134 9
− ° °° −
854 360134 2
° °°
5186 360146 14
° °°
Observando los residuos de estas divisiones se concluyeque:
α y β son coterminales Rpta.: A
Resolución 7
De acuerdo al gráfico se debe cumplir que:(11x + 50°) –(–560°) = 720°11x + 610° = 720° x = 10° Rpta.: B
Resolución 8Sean los ángulos coterminales α, β y θ tal que : α < β < θ.
• Luego de acuerdo al enunciado:i) 0° < a < 90°
ii) 1 7 13α β θ= = 7
13
α = αβ = αθ = α
• Además: θ – β = 360°n13α – 7α = 360° n
α = 60° nn = 0 → α = 0° ¡No!n = 1 → α = 60° ¡Si !n = 2 → α = 120° ¡No !∴ θ = 13(60°)
θ = 780° Rpta.: A
Resolución 9Sean los ángulos coterminales α y β tal que α > β, enton-ces:
193
α =β →
193
α = β ... (1)
α – β = 360°n ... (2)
• Reemplazando (1) en (2):
19360 n
3β − β = °
16360 n
3β = ° → β = 67,5°n
• Pero “β” toma su menor valor positivo, entonces:n = 1 → β = 67,5°
• Luego en (1) tenemos:
( )1967,5
3α = ° → α = 427,5°
∴ α = 427 30'° Rpta.: A
Resolución 10
Siendo α y β ángulos coterminales, se cumple que:
α – β = 360°n
(7x2 + 1)° – (1 – 3x2)° = 360°n
10x2 = 360n
x = 6 n
- 20 -
� Para que a tome su mínimo valor, x ∈ + tambien debetomar su mínimo valor, entonces:
n = 1 → x = 6� Finalmente:
α = (7·62 + 1)°α = 253° Rpta.: D
Resolución 11Sean α y β ángulos coterminales tal que: α > β , entonces:
α + β = 600° ... (1) α – β = 360°n ... (2)
• De 1 y 2 :α = 300° + 180° npero: 400° < α < 600°n = 0 → α = 300° ¡No!n = 1 → α = 480° ¡Si!n = 2 → α = 660° ¡No!
� En 1: 480° + β = 600° β = 120° Rpta.: C
Resolución 12
En la figura se cumple que:x + α° + (–β)° = 180°
x = 180° – ( )Suplem.(x)
α° − β°
∴ Suplemento (x) = α° – β° Rpta.: B
Resolución 13 Del enunciado:
3θ + 2x = 18° ... (1)• En la figura se observa que:
2θ − 3x = 90° ... (2)• Resolviendo 1 y 2 :
Resolución 14
Siendo α y β ángulos coterminales tal que:
β – α = 360° n ... (1)
15
α =β → β = 5α ... (2)
• Reemplazando 2 en 1:5α – α = 360°nα = 90°n
pero: 100° < α < 200°n = 2 → α = 180°
• En 2 :β = 5(180°)
β = 900° Rpta.: E
Resolución 15Revisemos los residuos que se obtienen al dividir cadaángulo entre 360°:
1370 360290 3
° °°
2450 360290 6
° °° °
3310 360
290 10
− ° °
° −
• Observamos que los residuos son iguales, luego:
α, β y θ son coterminales Rpta.: D
3θ + 2x = 18° (x3)→ 9θ + 6x = 54°
2θ – 3x = 90° (x2)→ 4θ – 6x = 180°
13θ = 234° θ = 18°
• Reemplazando en 1:3(18°) + 2x = 18°
x = –18°• Finalmente:
E = 18° + (–18°) E = 0° Rpta.: B
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES (Pág. 174, 175, 176)
CAPÍTULO 6
NIVEL I
Resolución 1
• De 1:
36° < > Ag Ag = 36° × g
g1040
9=
°
A = 40
• De 2 :
B° <> 60g B° = gg
960
10°× = 54°
B = 54
• Nos piden:
M = 3(54) –4(40) = 162 – 160
M = 2 Rpta.: B
Resolución 2Realizando las conversiones al sistema sexagesimales:
30g ⇔ 30g × g
927
10° = °
rad9π
< > 180
209
° = °
Quinto Año de Secundaria
- 21 -
• Reemplazando en la expresión pedida:
45 27 72E
20 20° + ° °= =
° °
E = 3,6 Rpta.: C
Resolución 4 Tenemos que:
S Cn
9 10= = →
S 9nC 10n
= =
• Reemplazando en la condición dada:
( ) ( )2 9n 9 10n 43 2
− +=
6n – 3 = 5n + 2 → n = 5
• Nos piden “S” , entonces:
S = 9(5) → S = 45° Rpta.: C
Resolución 5
• Sabemos que:
180RS
200RC
= π = π
• Reemplazando en la condición dada:
200R 180R3− =
π π
20R3=
π
3R
20π= rad Rpta.: E
Resolución 3 Recordemos que:
S C Rk
180 200= = =
π → S 180kC 200kR k
= = = π
Reemplazando en la expresión pedida:
( )( )( )
2
2
2 200k 180k 2 200k 180kP
400 k
π × + × −=
π
( )( )2
2 2
580k 220k 580 220P
400 k 400π ×= =
π
P = 319 Rpta.: A
Resolución 9
• Teniendo en cuenta que:S = 180K ; C = 200K , R = πK
• Reemplazando en la condición dada:
180K 200K14
6 5+ =
70K = 14 → 1
K5
=
∴ 1
R5
= π
R5π= rad Rpta.: A
Resolución 10
• Calculando la suma tenemos:
( )360 360 164980
2
° +α = = °
Resolución 6
• Se tiene que:
180rad 3,75 3 45'
48 48π °< > = ° = °
∴ A°B’ = 3°45’ → A 3B 45
= =
• Nos piden:
33A3 3
B 45 27 35 5
= × = =
A3
B 35
= Rpta.: C
Resolución 7 Sabemos que:
S C9 10
= → 10S = 9C → 10S – 9C = 0
• Reemplazando en la expresión a reducir tenemos:
[ ]0E 2R 1= + π =
E = 1 Rpta.: B
Resolución 8
• De la condición tenemos:S = 2n + 2 (x3)→ 3S = 6n + 6
C = 3n – 4 (x2)→ 2C = 6n – 8
3S – 2C = 14 ... (I)
• En I se tiene que:
180R 200R3 2 14 − = π π
540R 400R14− =
π π
140R = 14 π
R10π= rad Rpta.: D
- 22 -
• Expresamos “α” en radianes:
rad64980 361 rad
180π α = °× = π °
∴ α = 361 πrad Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 1
• Realizando la conversión al sistema sexagesimal te-nemos:
13g90m<> 13,9g <> 13,9g × g
910
°
13g90m <> 12,51° = 12°30’36’’
A°B’C’’ = 12°30’36’’ → A 12B 30C 36
= = =
• Reemplazando en lo pedido:
A C 12 361,6
B 30+ += = Rpta.: C
Resolución 2
• Sabemos que: S = 180KC = 200KR = πK
• Reemplazando en la expresión a reducir:
( )( )
2 2 2
2 2
40000K 32400kU
76 K
− π=
π
2 2
2 2
7600KU 100
76 Kπ= =
π Rpta.: D
Resolución 3
• En la condición tenemos:
C S 19SC 72+ =
200K 180K 19180K·200K 72
+ =
2
380K 1936000K 72
= → 1
K25
=
∴ 1R
25 25π = π =
rad Rpta.: A
Resolución 4 Del enunciado:
Resolución 5
• Expresando la medida de los ángulos del cuadrilateroen el sistema sexagesimal tenemos:
m( A ) = (13x + 10)°
m ( B ) = 25(x + 1)g · g
9 45(x 1)
10 2° = + °
m( C ) = 90°
m( D ) = x 180
rad· 12x15 rad
π ° = ° π
• Aplicando la propiedad de los cuadriláteros tenemos:
m( A )+ m( B )+ m( C ) + m( D ) = 360°
(13x + 10)° +452 (x+1)° + 90° + 12x° = 360°
13x + 10+452 x +
452 +12x = 270
95 475x
2 2= → x = 5 Rpta.: C
Resolución 6
• Trabajando en la condición:
180R 200R4 3 10R 12 − + = + π π π
120R10R 12+ = + π
π
120R + 10Rπ = (12+π)π
10R(12+π) = (12+π)π
∴ R10π= rad Rpta.: E
Observación:
El problema también lo podemos resolver aplicando
el siguiente método:
4S – 3C + 10R = 12 + π
Igualamos los términos que presentan la constantes “π”
10R = π → R10π= rad
ˆˆ ˆA B C 180+ + = °α – 12° + α + α + 12° = 180° ∴ α = 60°
• Se observa que el menor ángulo es A, entonces:
A = 60° – 12° = 48° <> 48°×rad
180π
°
4A rad
15π= Rpta.: D
Quinto Año de Secundaria
- 23 -
∆APQ (ángulo exterior)
x = 20° + y
x – y = 20° ·rad
180π
°
x – y = rad9π
Rpta.: D
Resolución 10
• Elevando al cuadrado la condición tenemos:
[ ]2
2R2 3 5
R
π+ = π
π π+ + = π π
4R R 92 2 3 25
R R
Resolución 7
• De la propiedad de las proporciones notamos que:
2C S 5 9R2C S 5 9R
+ π +=− π − →
2C 5S 9R
π=
10 52
9 9Rπ =
→ R4π= rad Rpta.: B
Resolución 8
• A partir de la condición hallamos el valor de “x”:
S C9 10
= → 2x 1 9x 29 10− −=
10x2 – 81x + 8 = 0
(10x – 1)(x – 8) = 0 → 1
x10
x 8
= =
pero: x ∈ → x = 8
• Reemplazando tenemos:
S = (8)2 – 1 = 63
R = 63 180π
→
7R
20π= rad Rpta.: B
4R 912 25
Rπ+ + =
π
4R2 – 13Rπ + 9π2 = 0
(R – π)(4R – 9π) = 0
i) R = π → S = 180°
ii) 9R
4π= → = = °9(180)
S 4054
• Nos piden el mayor valor, entonces
S = 405° Rpta.: C
Resolución 9
• Analizando la figura tenemos:
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Resolución 1
• Resolviendo la ecuación dada tenemos:418 S 3 S− =
4S 3 S 18 0+ − =
( )( )4 4S 6 S 3 0+ − =
i) 4 S 6= − ¡Absurdo!
ii) 4 S 3= → S = 81°
∴ 9R 81
180 20π π = =
rad Rpta.: A
Resolución 2
• Reemplazando los datos en la igualdad:
S C9 10
= → 2 23x x 8 2x 5x 5
9 10+ − + +=
12x2 – 35X – 125 =0
(12X +25)(X – 5) = 0 →
25x ¡No!
12x 5
− = =
• Reemplazando el valor de “x” se obtiene:
S = 3(5)2 + (5) –8 = 72
∴ 2R 72
180 5π π = =
rad Rpta.: C
Resolución 3
• A partir de los datos tenemos:
- 24 -
m( A ) = m(B ) → (5x – 3)° < > (7x – 25)g
5x 3 7x 259 10− −= → x = 15
• Luego:
m( A ) = (5×15–3)° = 72°
m( B ) = 72°
m( C ) = 180° – 72° – 72° = 36°
∴ m( C ) = 36° ×rad
rad180 5π π=
°
Rpta.: B
Resolución 4
• De acuerdo al enunciado se tiene que: (α < β < θ)
α = (a – r)° α + β + θ = 14 (180°)
β = a° (a – r)° +a° + (a + r)° = 45°
θ = (a + r)° ∴ a = 15
• Además:a + r = (a –r)2
15 + r = (15 – r)2
r2 – 31r + 210 = 0
(r – 21)(r – 10) = 0 → r 21 ¡No!r 10
= =
∴ α = (15 – 10)° = 5°
α = 5°× rad
rad180 36π π = °
Rpta.: A
Resolución 5
• En la figura se cumple que:
xm <> – yll → g 0
x y100 3600
< > −
S C9 10
= → y x
3600 1009 10
−=
y x162 5− = → x 5
y 162= − ... (I)
• Reemplazando (I) en la expresión pedida tenemos:
33375x 75 5 1254y 4 162 216
= − = −
∴ 375x 54y 6
= − Rpta.: E
Resolución 6
• Recordemos la siguiente propiedad algebraica:
ab = 1 → I. b 0 a 0II. a 1 b
= ∧ ≠ = ∧ ∈
• Analizando para el caso I :
C – S – 1 = 0
C – S = 1
200R 180R1− =
π π
R20π= →
S 9C 10
= =
Pero si reemplazamos en la condición del problemase observa que:
× − − =
02 9 10
1 19 10
00 = 1 ¡Absurdo!
• Analizando para el caso II :
2S C1 1
9 10− − =
20S – 9C = 180
180R 200R20 9 180 − = π π
R10π= →
S 18C 20
= =
Comprobando en la condición del problema tenemos:
[ ](20 18 1)1 1
− − =
11 = 1 ¿Correcto!
∴ R10π= rad Rpta.: C
Resolución 7
• De acuerdo al enunciado se cumple que:
aI<>bg → 0a
60
<> bg
ab60
9 10= → a = 54b
• Reemplazando en la expresión pedida:
54b 5bE 49 7
b−= = = Rpta.: D
Resolución 8
• Analizando la expresión dada tenemos:
Quinto Año de Secundaria
- 25 -
α = 14 – (x2 – 4x)α = 18 – (x2 – 4x + 4)
α = 18 – (x – 2)2
máximo mínimo = 0α máx. = 18°
α máx = rad10π
Rpta.: C
máx( )+
Resolución 10
• Aplicando el método explicado en el problema 06tenemos:
5 5 5S C 5R36 40
+ +π = 2S4 + 2C4 + 2R4
Términos que presentan la constante “π”
∴ 5
45R2R=
π → 5R = 2π
2R
5π= rad Rpta.: B
Resolución 9
• Del gráfico se cumple que:
a b120 180
b a ° − + φ = °
a b60
b a + φ = − °
φ = − ° +
máx(-)
60� bb �
Nota:
a b2
b a+ ≥
a b2
b a+ ≤ −
6030
2− °φ = = °−
rad6πφ = Rpta.: C
LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DELSECTOR CIRCULAR (Pág. 189, 190, 191)
CAPÍTULO 7
NIVEL I
L = α · r
→ 20 rad
9r 9m
πα = ° < > =
L · 99π=
L = πm Rpta.: A
Resolución 2• En la figura se cumple que:
L = α r →
L (3x 4)m2rad
r (2x 1)m
= +α = = +
3x + 4 = 2(2x + 1)3x + 4 = 4x + 2∴ x = 2 Rpta.: B
Resolución 3
• En el sector circular COD:
CDL COD OC= ×
2 4r4ππ = × 45 rad
4π° < >
r = 2m
• En el sector circular AOB:
ABL AOB OA= ×
L 24π= × OA = r = 2m
L m2π= Rpta.: D
Resolución 1
• Del enunciado tenemos:
Resolución 4
• Analizando la figura:
- 26 -
2
1·r
S2
α=
22
22 ·(2r)
S 4 r2
α= = α
• Nos piden:2
12
2
·rS 12S 4 r 8
α
= =α
Rpta.: E
Resolución 5
• En el gráfico se cumple que:
S AOB = ( ) ( )2
m AOB · OA2
2·(2x)2x3
2
π
π = → x2 – 3x = 0
x(x – 3) = 0 → x 0¡No!x 3
= =
∴ x = 3 Rpta.: C
Resolución 6
• En la figura se cumple que:
i) ( )ABL m AOB ·OA=
ABL ·12 3 m
4π= = π
ii) CDL m( COD)·OC=
CDL ·16 4 m
4π= = π
• Luego: nos piden:
AB CDL L
S ·BD2
+ =
3 4S ·4 14
2π + π = = π
222S 14 44m
7 = =
Rpta.: D
i) ( )1L m CAD ·AC=
1L ·12 4 m3π= = π
ii) ( )2L m AOB ·OA=
2L ·24 4 m6π= = π
� Nos piden:L1 + L2 = 4π + 4π = 8πm Rpta.: E
Resolución 7
• Analizamos la figura:
S2 = 2
2(5) 9 16m
2 2 2− =
θ θ θ
• Nos piden:
2
1
16S 16 42
9S 9 32
θ= = =
θ Rpta.: A
Resolución 9
• Segun la figura se cumple:
i) ABL · OA= θ
2 = θ · OA
ii) CDL · OC= θ
4 = θ ·(OA + 2)
4 = θ ·OA + 2θ
4 = 2 + 2θ
∴ θ = 1 Rpta.: A
Resolución 10
• En el gráfico se verifica que:
S ABDC = AB CD
L L·AC
2
+
( ) ( )x 1 x 19 ·x
2 − + +
=
9 = x2 → x = {–3; 3}
∴ x = 3 Rpta.: D
Resolución 8
• Del gráfico se obtiene:
i) S1 = 2 2
2ABL (3) 9m
2 2 2= =
θ θ θ
ii) S2 = S COD – S1 = 2
CDL 92 2
−θ θ
Quinto Año de Secundaria
- 27 -
i) Sector COD: 3L = α · 2r ... (1)
ii) Sector AOB: 2L = ·r2π − α
... (2)
� Dividendo m · a· m (1) : (2)
3L ·2r2L r
2
α=π − α
→ 3 22
2
α= π − α
33 4
2π − α = α →
314
πα = B
OBC: R2 = r2 + 2
5
R2 – r2 = 5• Además:
S ABDC = S COD – S AOB
S ABCD = 2 22 2
·R ·r5 5
2 2
π π
−
S ABCD = ( )2 2R r (5)5 5π π− =
S ABCD = πm2 Rpta.: A
Resolución 3
• En el sector circular AOB:
( )ABL m AOB ·OA=
4 = θ · r ........... (1)• En el sector circular EOF:
EFL m( EOF)·OE=
14 = θ · (r + 5)
Resolución 5
• Analizando la gráfica:
ABD : Isósceles (AB = BD = 2 2 m)
∴ m A m D 45= = °
Asom = A ABD – ASector BAC
Asomb. = ( )2· 2 22 2·2 2 4
2 2
π
−
Asomb. =(4 – π)m2 Rpta.: C
• Aplicando la propiedad de ángulos en la circunferen-cia:
m BOC 2m BAC= → m BOC 2= α°
• En el sector BOC:
radL 2 · ·R
180π = α° °
Resolución 1
• Analizando la gráfica:
NIVEL II
Resolución 2
• Analizando la figura:
Resolución 4• Trasladando los datos al gráfico tenemos:
14 = θr + 5θ14 = 4 + 5θ θ = 2rad
• Reemplazando en (1):4 = 2· r → r = 2m
• En el sector circular COD:
CDL m( COD)·OC=
CDL = θ·(r + 3)
CDL =2(2 + 3)
CDL = 10m
• Nos piden: L 10m
5r 2m
= = Rpta.: B
2α
- 28 -
• Del enunciado:
S AOB 1S COD 4
= →S COD = 4·S AOB
Reemplazando:2 22 1L L
4·2 2
=θ θ → 2 2
2 1L 4L=
L2 = 2L1 → 2
1
L2
L= Rpta.: C
Resolución 6
• Sea: m AOB rad= θ ; entonces:
L R90απ=
90LR =
πα Rpta.: B
Resolución 7
• Sea: m AOB rad= θ ; luego:
ABL ·1 m= θ = θ
CDL · 3 3 m= θ = θ
EFL · 6 6 m= θ = θ
• Además:
21
3S ·2 4 m
2θ + θ = = θ
22
3 6 27S ·3 m
2 2θ + θ = = θ
• Nos piden:
1 333
2
S 4 8 227S 27 32
θ= = =θ Rpta.:A
LR
θ = → 8 10r r 2
θ = =+
∴ 8r + 16 = 10r → r = 8m
• Luego:
Asomb. = 2ABL · r 8 · 8
32m2 2
= = Rpta.:E
Resolución 8
• En la figura:
Resolución 9
• Sea : = θ = θm CoD rad rad; luego :
( ) ( )θ +=2
1a 1
S ..... 12
( ) ( )2
2 1
2aS S ..... 2
2θ= −
Dato: S1 = S2
( )2
1 12aS S2
θ= −
2S1= θ ⋅ 2a2 ..... Reemplazando (1)
2 θ ( )+ 2a 12
= θ ⋅ 22a
a2 + 2a + 1 = 2a2
0 = a2 – 2a – 1
( )2 4 4 1a2
± − −=
2 8a2
±=
2 2 2a2
±=
⇒ a=1+ 2 o a = 1– 2 (absurdo)a = 1 + 1,41
∴ a = 2,41 Rpta. E
Resolución 10
• De acuerdo al gráfico:
i) S1 = 2x
2α
ii) S2 = S DOE – S BOC
Quinto Año de Secundaria
- 29 -
S2 = 2 2y x
2 2α α−
• De la condición:
S1 = S22 2 2x y x
2 2 2α α α= −
x2 = y2 – x2 → 2x2 = y2
2
2
x 1y 2
= → x 2y 2
=
∴ x0,71
y= Rpta.: C
• Además:
Asomb. = A AOB – A OBC
Asomb. = ( ) ( )22
2 32 332
2 2
ππ
−
Asomb. = 3π – 2π = πm2 Rpta.:D
Asomb. = ( )2 2R r
1802
απ −
Asomb. = 2·a360απ
• Aplicando la fórmula anterior tenemos:
Asomb. = 2 21· 2· 8·1 ·2
360 360 360 360π π π π+ = +
Asomb. = 2m40π
Rpta.: D
i) El ∆AOC es equilátero:OA = OC = AC = 12m
m AOC m OAC m ACO 60= = = °
Además:
AC = AD → AD = 12m
ii) En el sector circular AOC:
ACL ·12 4 m
3π= = π
iii) En el sector circular CAD:
CDL ·12 m
12π= = π
• Sea 2p el perímetro de la región sombreada, enton-ces:
2p = AD + ACL + CD
L = 12 + 4π + π
2p = 5π + 12 Rpta.: D
∆BOC: equilátero
m OBC 60= °
Resolución 1
• Analizamos la gráfica:
NIVEL PRE-UNIVERSITARIO
Resolución 2
• Revisando la figura tenemos:
Resolución 4
• Analizamos el siguiente caso general:
Resolución 3
• En la figura se cumple que:
S ABDC = 5
CD2 L
·2 52
+ =
CDL 3m=
• Además:
S ABDC = S COD – S AOB2 2CD AB
L L5
2 2= −
θ θ
10θ = 32 – 22 → 10θ = 5
θ = 0,5 Rpta.: E
Resolución 5
• Del gráfico se obtiene que:
i) 1BCL 2L=
ii) S1 = 21L
2θ
iii) S2 = S DOE – S BOC
S2 = ( )( )
( )
2212 2LL
2 2 2 2−
θ θ
- 30 -
Resolución 7
• Según el enunciado tenemos:
2p = 8
a + b + 2x = 8
a + b = 8 – 2x
• Además:
a bA x
2+ =
→ 8 2x
A x2
− =
A = 4x – x2 → A = 4 – (x – 2)2
Máx Mín = 0
∴ Amáx = 4m2 Rpta.:D
i) R + r = 4 ; R·r = 2
(R + r)2 = (4)2
R2 + 2Rr + r2 = 16
R2 + 2(2) + r2 = 16
R2 + r2 = 12
ii) S ABC = 4 2·4 2
162
=
iii) S1 = 2R
2; S3 =
2r4
π
S2 = 2R
4π
; S4 = 2r2
• De gráfico se observa que:
Asomb. = S ABC –(S1 + S2 + S3 + S4)
Asomb. = 16 – 2 2 2 2R R r r
2 4 4 2 π π+ + +
Asomb. = 16 – 2 2R r
1 12 2 2 2
π π + + +
Asomb. =16 – 2 2R r
12 2
π + +
Asomb. = 16 – 12
12 2π +
Asomb. = 10 – 3π Rpta.: A
S2 =2 22 1L L
4−
θ θ
• De la condición se tiene:
S1 = S2 → 2 2 21 2 1L L L
2 4= −
θ θ θ2 21 23L L
2 4= → 2 2
1 26L L=
1 26 L L= → 1
2
L 6L 6
= Rpta.: D
Resolución 6
• En la figura se observa que:
( )m AOB rad2π = − θ
� De la condición se tiene que:
S1 = 2S2 → ( ) ( )
22· 2 2
· 12 22 2
π − θ θ =
42π − θ = θ
→ 2π – 4θ = θ
∴ 25πθ = Rpta.:D
Resolución 8
• Analizando la figura:
2p = 2
L + 2r = 2
2 Lr
2−=
Resolución 9
• De acuerdo a los datos:
Quinto Año de Secundaria
- 31 -
Resolución 10
• Analizando la figura tenemos:
• Además:
L rS
2×= →
2 LL
2S
2
−× =
22 L LS
4−= →
21 2
L2 2
S4
− − =
Por condición: S → máximo
Entonces: 2
2L
2
−
→ mínimo
∴2
L 02
− = → 2
L2
= Rpta.: E
i) 1ab
S2
=
ii) ( ) 2
2
a a b ab aS
2 2 2+
= − =
• Nos piden:2
2
1
aS a2
abS b2
= =
• Además:
ABL · a= α →
ba
α =
( )CD
aL a b
a b= α + → α =
+
b aa a b
=+ → ab + b2 = a2
a2 – ab – b2 = 0
( ) ( ) ( )( )( )
2 2b b 4 1 ba
2 1
− − ± − − −=
b 5 ba
2±= →
1 5a b
2
±=
a 1 5b 2
±= → 2
1
1 5a 2b 1 5 S
¡No! 02 S
+=
− >
∴ 2
1
S 5 1S 2
+= Rpta.:B
NÚMERO DE VUELTAS EN UN SISTEMA DE RUEDAS (Pág. 202, 203, 204)
Nivel I
Resolución 1
• Del enunciado se tiene: Longitud del tramo AB = 18π m = 1 800π cm Radio de la rueda = 20 cm Número de vueltas = n• Por teoría se sabe que:
=π ⋅
longitud del tramo ABn
2 radio
1800 cm
n2 20 cm
π=
π ⋅ n = 45 Rpta. C
Resolución 2
• Del enunciado obtenemosel siguiente gráfico con susrespectivos valores.
• Debemos calcular el número de vueltas que da la mo-neda móvil al recorrer completamente a la otra moneda.
( )α +=
πR r
n2 r
; donde:
α = π = =
2 radR 4rr r
Luego:
( )π +=
π2 rad 4r r
n2 rad r n = 5 Rpta. D
Resolución 3
Del enunciado se tiene:
Ambas ruedas recorren la misma distancia (L), luego:
* Número de vueltas de B = π ⋅
L2 radio
r
- 32 -
( )=πL
82 3r
L = 48π r
* Número de vueltas de A = π ⋅
L2 radio
( )π=
π48 r
2 2r = 12
Luego:
ángulo que barrela rueda menor = 12(360°) = 4 320° Rpta. A
Resolución 4
Del gráfico se obtiene:• n1 · r1 = n3 · r3 n1 · 10 cm = 3 · 40 cm n1 = 12• n1 = n2 , además
=π2
2
Ln
2 r
( )=π
L12
2 35 cm L = 2 640 cm
• La longitud que asciende el bloque es L
∴ El bloque ascenderá 26,40 m Rpta. C
Resolución 5
Además:
• 11
Ln
2 R=
π • 2
2L
n2 r
=π
( )1L
12 9 cm
=π ( )
2L3
2 4 cm=
π
L1 = 18π cm L2 = 24π cm
Luego: x = 18π cm + 12 cm + 24π cm
x = 144 cm Rpta. E
Resolución 6
Calculamos el número de vueltas en el tramo AB
( ) ( )( )AB
R r 9 cm 1cmn
2 r 9 1cm
α − π −= =
π π
nAB = 4
Resolución 7
En la figura se observa que en cada vértice del triánguloequilátero se forma, debido al giro de la rueda, un tercio decircunferencia. Entonces la longitud total recorrida por larueda será:
( ) ( )T2 1cm
L 44 cm 3 44 2 cm3
π= + = + π
Ahora calculamos el número de vueltas
TL
n2 r
=π
( )44 2 cmn
2 cm
+ π=
π n = 8 Rpta. E
Resolución 8
De la figura se obtiene lo siguiente:
• Las ruedas de radio r y 2r tienen la siguiente relación:
n2r · 2r = nr · r
n2r · 2r = 50 · r n2r = 25
• El número de vueltas de las ruedas de radio 2r y 3r soniguales, entonces: n2r = n3r = 25
• Además la rueda de radio 3r es la mayor
∴ El ángulo que barre la rueda mayor es 25 · 2π = 50π
Rpta. E
Resolución 9
• Sea n el número de vueltas que da la rueda de 7 cm,entonces:
( )AhL
n2 7 cm 14 cm
= =π π
Calculamos el número de vueltas en el tramo BC
( ) ( )
( )BC
7 cm 1cmR r 2n2 r 2 1cm
π +α += =
π π nBC = 2
Además; el número de vueltas durante el tramo AC es iguala la suma de los números de vueltas de los tramos AB y BC.
∴ Número de vueltas en el tramo AC = 6Rpta. A
donde N es el número de vueltasde la rueda de 8 cm de radio
Ah
2 N 814
⋅ = ⋅π
AhN
56=
π . . . (1)
• La rueda de radio 7 cm y la rueda de 2 cm dan el mismonúmero de vueltas (n)
• Las ruedas de 2 y 8 centímetros tienen la siguiente relación:
n · 2 = N · 8 ,
Quinto Año de Secundaria
- 33 -
• El número de vueltas de las ruedas de 8 y 3 centímetrosson iguales, entonces:
( )Bh
N2 3 cm
=π
BhN
6=
π . . . (2)
• Igualando (1) y (2) se obtiene:
=π π
A Bh h56 6
A
B
h 28h 3
= Rpta. A
Resolución 10
Datos de la 1a rueda:
radio = a n° de vueltas de = n
long. de recorrido = bπ
Datos de la 2a rueda:
n° de vueltas = N
radio = b
long. de recorrido = aπ
Pero ab
es equivalente a 1
2n
= = 1 1 1
N2 2n 4n
∴ La segunda rueda debe dar 1
4n vueltas
Rpta. D
π= =π
=
b bn
2 a 2 a
a 12nb
a aN
2 b 2 bπ= =
π
Resolución 11
Calculamos la longitud del borde de la moneda de 2r deradio (L2r)
L2r = 2π(2r) L2r = 4πr
Calculamos el número de vueltas que da la moneda de radio r.L
n2 r
=π ⋅ , pero L = L2r = 4πr
4 rn
2 rπ=π = 2
∴ La moneda de radio r da 2 vueltas Rpta. B
Nivel II
Resolución 12
Graficando tenemos:
Ahora calculamos el número de vueltas
( )R rn
2 R
α +=
π
( )( )
π
=π
375r
90n2 4r
37
n144
= Rpta. B
Resolución 13
Graficando tenemos:
• 540° equivalente a una vuelta y media, 3
n2
=
• Calculamos la longitud recorrida
L = 2π r n L = 3π
• Del gráfico se obtiene:
2d 9 4 cm= π + Rpta. E
Resolución 14
Sea r el radio del cilindro, entonces 5r será el radio deltubo. Ahora calculamos el número de vueltas que da elcilindro.
( )R rn
2 rα −
=π
( )2 5r rn
2 rπ −
=π n = 4 Rpta. B
Resolución 15
Se sabe que:
bL
n2 radio
=π
L1
2 b=
π ⋅ L = 2π b
Además en la pista circular se tiene:
donde: 12
L a5π= ⋅a a
72° < >25�
L1
- 34 -
Resolución 16
Tenemos: 1a rueda: 2a rueda: 3a rueda: radio = a n° de vueltas = n longitud =
Luego:
2 a 2 b 2 x− =
π π π
1 1 1a b x
− = ab
xb a
=− Rpta. C
radio = bn° de vueltas = Nlongitud =
radio = xn° de vueltas = n – Nlongitud =
n2 a
=π
N2 b
=π
n N2 x
− =π
Resolución 17
• Sea L el espacio recorrido por la bicicleta
• Calculamos el número de vueltas de la rueda menor
( )L
n2 50 cm
=π
L
n100 cm
=π
• Calculamos el número de vueltas de la rueda mayor
( )L
N2 70 cm
=π
L
N140 cm
=π
• Del enunciado se tiene:
L L20
100 cm 140 cm− =
π π
L(40π cm) = 20 · 100π cm · 140π cm
L = 7 000π cm
L = 702 27
m L = 220 m Rpta. D
Graficando tenemos:
Resolución 18
• Calculamos la distancia recorrida
distancia = θ · 1 = θ
• En el PMO se tiene:
PM = sen(θ – 90°) PM = –cosθ
MO = cos(θ – 90°) MO = senθ
• Sea (x; y) las coordenadas del punto P, entonces
x = θ – cos(θ – 90°) x = θ – secθ
y = 1 + cos(θ – 90°) y = 1 – secθ
∴ Las coordenadas de P son (θ – senθ; 1 – cosθ)
Rpta. C
Del enunciado se tiene:
Resolución 19
Además:
R + r = R + ( )2 1− R = 2 R
Luego, el número de vueltas que da la rueda menor es:
( )( )
32 RR r 2n 2 2
2 r 2 2 1 R
π ⋅ α += = π π −
3 2n
2 2 2=
− n se aproxima a 5 Rpta. D
Pero: L = L1 2πb = 25π
a
a
5b
= Rpta. E
Donde r = ( )2 1 R−
M
Quinto Año de Secundaria
- 35 -
Resolución 2
• Del dato se tiene:
Cotg A = 5 C . A
C. O12→→
3 5E
4 4= +
E = 2 Rpta.: A
CAPÍTULO 8
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I. (Pág. 225, 226, 227)
NIVEL I
• Nos piden:
12 5M
13 13= − →
7M
13= Rpta.: C
Resolución 20
Sean:
x = número de pisos del edificio.
y = distancia entre cada piso.
Luego: x · y = 48 m
Calculamos la distancia que sube el material
Ln
2 radio=
π
( )L
212 20 cm
=π L = 840π cm
Además para que el material llegue al piso 12, el materialdebe recorrer 11y, luego
840π cm = 11y
240 cm = y
Luego: x · y = 48 m
x · 2,4 m = 48 m
x = 20
∴ El edificio tiene 20 pisos Rpta. C
Resolución 1
• Aplicando el teorema de Pitágoras:
(a + 1)2 = (a – 1)2 + (4)2
a2 + 2a + 1 = a2 – 2a + 1 + 16
4a = 16 → a = 4
• En la figura:
Resolución 3
• Nos piden:
56E5
12
= → E = 2 Rpta.: A
• En la figura se cumple que:
i) AB2 = 132 – 52
AB = 12
ii) AM = MB = 6
- 36 -
Resolución 4
• En la figura se tiene:
i) AC2 = 152 + 82
AC = 17
ii) NC2 = 62 + 82
NC = 10
• Nos piden:
19117 8csc tg 88 15P
15 10ctg sec8 8
−β − β= = =β − α −
.1558
19175
=
P = 2,5 Rpta.: D
Resolución 5
• Del gráfico se obtiene:
i) CD2 = 252 – 152
CD = 20
ii) BC2 = 252 – 242
BC = 7
• Nos piden:
33
7 2027 325 25Q
5 125 5
+= = =
Q = 0,6 Rpta.: E
Resolución 6
• De acuerdo a las R.T. de ángulos complementariosse cumple que:
(4x + 12°) + (3x + 8°) = 90°
7x = 70° → x = 10° Rpta.: C
Resolución 7
• De acuerdo a las R.T. recíprocas se cumple que:2x + 17° = x + 34°
x = 17° Rpta.: D
• Nos piden:
x 40y 10
°=°
→ x
4y
= Rpta.: D
Resolución 9
• A partir del gráfico se tiene:
i) ABC: AB
ctga
α = → AB = a· ctgα
ii) AHB: x
cosAB
α = → x
cosa·ctg
α =α
∴ x = acosα ctgα Rpta.: D
Resolución 10
• Del gráfico se obtiene:
i) ABC: AB
ctga
θ = → AB = a·ctgθ
ii) DBC: BDtg
aθ = → BD = a·tgθ
iii) x = AB – BD = actgθ – atgθ
∴ x = a(ctgθ − tgθ) Rpta.: E
Resolución 8
• De 1 : x + y + 40° = 90°x + y = 50° ... 3
• De 2 : x – y = 30° .... 4
• Resolviendo 3 y 4 :
x + y = 50° x = 40°x – y = 30° y = 10°
NIVEL II
Resolución 1
• Del dato tenemos:
senA · SenB = 49
a b 4·
c c 9=
24a · b c
9=
• Nos piden:
b aE
a b= + →
2 2b aE
ab+=
2
2
cE
4c
9
= →
9 3E
4 2= =
∴ E = 1,5 Rpta.: D
Resolución 2
• En la figura:
Quinto Año de Secundaria
- 37 -
(2a)2 + 22 = 2
13
4a2 = 9
3a
2=
• Nos piden: 2
tg32
α = → 4
tg3
α = Rpta.: D
Resolución 3
• Revisando la figura:
Resolución 6
• En el numerador aplicamos las propiedades de lasR.T. de ángulos complementarios:
cos65 ctg55 csc66K
cos65 ctg55 csc66° + ° + °=° + ° + °
x = 1 Rpta.: D
CM: mediana
AM = BM = CM
∴ ∆BMC : Isósceles
• En el ACB : 1
ctg2
θ = Rpta.: C
AC2 = (3a)2 – (a)2
AC = 2 2 a
• Además “θ” es el mayor ángulo agudo, entonces:
2 2 atg
aθ = → tg 2 2θ =
Rpta.: B
• Además: 2p = 905a + 12a + 13a = 90 → a = 3
• Nos piden: AC = 13a = 13(3)
AC = 39 Rpta.: C
Resolución 4
• De acuerdo a los datos tenemos:
Resolución 5
• Aplicando las propiedades respectivas tenemos:
W = sen20° · tg40° · tg50° · sec70°
W= sen20° · tg40° · ctg40° · csc20°
1 1
W = 1 Rpta.: B
Resolución 7
• De acuerdo a los datos:
→ 12a
cos13a
θ =
→ AB2 = (13a)2 – (12a)2
AB = 5a
Resolución 8
• Del dato se cumple que:cos(2x – θ)·csc(x + 3θ) = 1
sen[90° – (2x – θ)] · csc(x + 3θ) = 1
→ 90° – 2x + θ = x + 3θ 3x + 2θ = 90°∴ sen 3x = cos 2θ
sen 3x – cos 2θ = 0
• Reemplazando en lo pedido:
− θ= =+ θ + θ
sen3x cos2 0P
tg(x ) tg(x )
P = 0 Rpta.: A
Resolución 9
• Analizando la figura:
i) ABC: BCctg
aα = → BC = a· ctgα
ii) ABM: BMtg
aθ = → BM = a · tgθ
- 38 -
i) BAF: AB
ctg1
θ = → AB = ctgθ
ii) AB = CD → CD = ctgθ
iii) CDF: 3
tg2ctg
θ =θ
→ tg2θ · ctgθ = 3
∴ W = 3 Rpta.: D
Resolución 10
• Revisando la figura:
• Además: BC = BM + MC a · ctgα = a · tgθ + a ctgα = tgθ + 1ctgα – tgθ = 1
M = 1 Rpta.: C
Resolución 2
• De la condición tenemos:121 secsec sec 222 sec
22 2 22 2
θθ θθ= → ⋅ =
Resolución 1
• De los datos se tiene:
→
c3a a
bbc
−=
a c 3a c·
b b a− =
a2 = 3ac – c2
a2 + c2 = 3ac
• Nos piden:
a cU
c a= + →
2 2a cU
ac+=
3acU
ac= → U = 3 Rpta.: B
NIVEL PREUNIVERSITARIO
θ=
3sec 222 2 →
3sec 2
2θ =
4
Sec3
θ =
• Nos piden:2
7 4E 9 7 7 4
3 7
= − = −
E = 3 Rpta.: C
Resolución 3
• De acuerdo a los datos tenemos:
i)5
cos13
θ = → CD 552 13
=
∴ CD = 20
ii) AC2 = 522 – 202
AC = 48
• En el BCD:
48tg
2 52 20θ =
+ → 2
tg2 3θ = ... 1
20tg
2 48 xθ =
− ... 2
• Igualamos 1 y 2 :
2 203 48 x
=− → 48 – x = 30
x = 18 Rpta.: E
Resolución 4
• De acuerdo a los datos:
i) c2 = a2 + b2 ... 1
ii) 2c 13
ab 6=
2 13c ab
6= ... 2
• Igualamos 1 y 2 :
a2 + b2 = 13
ab6
Quinto Año de Secundaria
- 39 -
3 3atg
7 7aθ = = → BH 3a
CH 7a=
=
• En el BHC:
(3a)2 + (7a)2 = ( )210 58
58a2 = 100 · 58 a = 10
• En el AHB:AH = 86 – 7(10) = 16BH = 3(10) = 30
AB = 2 216 30 34+ =
• Nos piden:
16 34 50M
30 30 30= + =
5M
3= Rpta.: E
6a2 – 13ab + 6b2 = 0(2a – 3b)(3a – 2b) = 0
2a – 3b = 0 → a 3b 2
=
3a – 2b = 0 → a 2b 3
=
• Sea A el menor ángulo, entonces
a < b → a
1b
<
Además: tgA = ab
∴ tgA = 23 Rpta.: C
Resolución 5
• Del gráfico tenemos:
Resolución 6
De la figura se tiene:
OBA: OBcos
1θ = → OB = cosθ
OCB: OC
coscos
θ =θ
→ OC = cos2θ
En el EPF :
32ctg72
α =
3
ctg7
α = Rpta.: E
ODC: 2
ODcos
cosθ =
θ → OD = cos3θ
• Nos piden:S = 1 + cosθ + cos2 θ + cos3θ + ...S = 1 + cosθ [1 + cosθ + cos2θ + ... ]
SS = 1 + cosθ · S → S[1 – cosθ] = 1
1S
1 cos=
− θ Rpta.: B
Resolución 7
• En el gráfico se tiene:
CBD : BDtg
1θ = → BD = tgθ
ABC: θ =+1
tg4 BD
→ θ =+ θ1
tg4 tg
tg2θ + 4tgθ = 1 tg2θ + 4tgθ + 4 = 1 + 4 (tgθ + 2)2 = 5
E 5= Rpta.: C
Resolución 8
• Analizando la figura:
Resolución 9
• Analizamos la figura:
- 40 -
i) OB = OC → R = r 2 r+ → R – r = r 2
ii) O1NB: 1
BN r 2ctg
O N rθ = =
ctg 2θ = Rpta.: A
Luego trazamos BH OC, entonces se cumple que:
i) OHB: BH
sen12
α = → BH = 12senα
OHcos
12α = → OH = 12 cosα
ii) BHC: HCctg
BHβ = → HC
ctg12sen
β =α
HC = 12senα · ctgβ
Además: OH + HC = OC, reemplazando:12cosα + 12senα ctgβ = 13
Dividendo entre “senα”
12cos 12sen ·ctg 13sen sen sen
α α β+ =α α α
12ctgα + 12ctgβ = 13cscα13csc 12ctg
12ctgα − β=
α
∴ P = 12 Rpta.: CEn el OAC : OC2 = 122 + 52
OC = 13
Resolución 10
• Trabajando la figura:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II (Pág. 242; 243; 244)
NIVEL I
Resolución 1
• Reemplazando los valores notables:
( )21A 4 1 3
2 = + =
B 2 2·2 2= =
∴ A + B = 5 Rpta.: C
Resolución 2
� De la condición:
. [ ] [ ]1ctg2tg 2
αα = → tgα = 2
5 5E 2
1 2
=
E = 5 Rpta.: E
Resolución 3
• Del dato se cumple que:
(5x + 8°) + (2x – 2°) = 90°7x = 84° → x = 12°
MBC : 3k
ctg2k
α = → 3
ctg2
α = Rpta.: C
Resolución 4
• Analizando la figura tenemos:
• Reemplazando en lo pedido:M = tg15° + tg60°
( ) ( )M 2 3 3= − +
M = 2 Rpta.: B
Resolución 5
• A partir del gráfico tenemos:
CDA: sen 45° = CDb →
2CD
2= b ... 1
CDB: sen 37° = CDa
→ 3
CD5
= a ... 2
• Igualamos 1 y 2 :
2 3b a
2 5= →
b 3 2·
a 5 2=
Quinto Año de Secundaria
- 41 -
PHC: sen37° = PH10 → PH = 10
36
5 =
PHA: csc30° = PA6 → PA = 6(2) = 12
∴ PA = 12 Rpta.: A
Resolución 9
• Analizando la figura:
i) ∆ABC: equilátero
ii) Trazamos PH AC
• PHC: Notable (30° y 60°)
PC = 2 ; PH = 3 ; HC = 1
• AHP: 3
tg5
θ = Rpta.: D
B
b 3 2a 5
= Rpta.: C
Resolución 6
• Sean BP = BQ = x ; luego:
ABC: tg74° = 38 x4 x
++ →
24 38 x7 4 x
+=+
96 + 24x = 266 + 7x → x = 10
PBQ: sec 45° = PQx → PQ = 10 2
Rpta.: E
Resolución 7
• Recordemos que: tg75° = 2 + 3
ctg75° = 2– 3
P = 2 + 3 + 2– 3 → P = 4
Rpta.: B
Resolución 8
• Analizamos la figura:
Resolución 10
• Del gráfico se tiene:
i) ABC: sec37° = AC12 → AC = 12
515
4 =
ii) ACD: sec45° = ADAC
→ AD = 15 ( )2 15 2=
iii) ADE : sec30° = AEAD
→ AE = 2 3
15 23
AE = 10 6 Rpta.: A
AHB: cos60° = BH8 → BH = 8
14
2 =
AHC: cos37° = HC10 → HC = 10
48
5 =
∆ ABC: BC = BH + HC → BC = 4 + 8
BC = 12 Rpta.: A
Resolución 2
• De los datos tenemos:i) tg3α · ctg(90° – 2β) = 1
3α = 90° – 2β3α + 2β = 90° ... 1
ii)cos2α · sec(3β – 5°) = 12α = 3β – 5°2α – 3β = –5 ... 2
• Resolviendo 1 y 2 :
3α + 2β = 90° ( 3)×→ 9α + 6β = 270°
2α – 3β = –5 ( 2)×→ 4α – 6β = –10°
13α = 260° α = 20°
En 1 : 3(20°) + 2β = 90°β = 15°
Resolución 1
• Analizamos el gráfico:
NIVEL II
- 42 -
Resolución 3
• Reemplazando los valores notables tenemos:
1x 1
521 4x 12
+ = −
→ x 2 5x 2 4
+ =−
4x + 8 = 5x – 10 → x = 18 Rpta.: D
Sea: CD = 5a, entonces:
i) CED notable(37°; 53°) CD = 5a ; DE = 3a ; CE = 4a
ii) DEB Notable (45°; 45°) DE = 3a; EB = 3a
i) Trazamos: OT AC
ii)El OTA es notable (45° y 45°)
Entonces OT = 1 → OA = 2
iii) AB = OA + OB
AB = 2 + 1
iv) BC = AB
BC = 2 + 1 Rpta.: B
• Reemplazamos en lo pedido:
N = sen230° + tg245° = 1
14
+
N = 1,25 Rpta.: E
Resolución 4
• Analizando la figura:
Resolución 5
• Analizamos la figura:
iii) 4a + 3a = 28 → a = 4
∴ CD = 5(4) → CD = 20 Rpta.: A
• PBQ notable (37° y 53°):
PB = 3K ; BQ = 4K; PQ = 5K
• En el DAQ:
° = → =+ +a 3 a
tg37a 4K 4 a 4K
3a + 12K= 4a → a = 12K
• En el ABP:
α = = =3K 3K 1tg
a 12K 4
tgα = 0,25 Rpta.: E
i) BHP: PHsen
xθ = → PH = x·senθ
BHcos
xθ = → BH = x·cosθ
ii) PHA: AH = PH → AH = x·senθ
iii) Luego: AH + BH = AB
xsenθ + xcosθ = a
a
xsen cos
=θ + θ Rpta.. B
Resolución 6
• Analizamos la gráfica
4K
3K
Resolución 7
• Analizamos la figura:
Quinto Año de Secundaria
- 43 -
• Trazamos MP AC , entonces:
HP = PC = 8
• En el APM: 6ctg
17θ = Rpta.: A
Resolución 9• En la figura elegimos convenientemente AM = MC =
5 2
BRM: α = 4 2sen
BM
BQM: BMcsc
5β =
• Reemplazando en lo pedido:
4 2 BMP 5 · ·
BM 5=
P 4 2= Rpta.: D
Resolución 8
• En la figura se observa el ABC notable (37° y 53°),entonces asignamos valores convenientes a sus la-dos:
• En el AQP:
3 1ctg
3+θ = →
3 3ctg
3+θ =
Rpta.: D
i) En la semicircunferencia trazamos HT , entonces
HT BT (propiedad)
ii) Trazamos TP AH , entonces:
TPH es notable (37°; 53°) sea:
PH = 3 ; PT = 4; TH = 5
• Además se cumple:
BTH: sec37° = BH5 → BH = 5
5 254 4
=
BHC: tg37° = HC254
→ 25 3 75
HC4 4 16
= =
TPC: ctgα =
753
164
+ →
123ctg
64α = Rpta.: A
Resolución 10
• En la figura se observa que el PQC es notable (30° y60°) , entonces tenemos:
Resolución 1
• Analizando la figura:
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Resolución 2
• En la figura el DAE es notable (37°; 53°), enton-ces elegimos sus lados convenientemente: AD = 16; AE = 12; DE = 20
- 44 -
• En el DCF:
32tg
1θ = → tgθ = 32 Rpta.: D
i) ABC: sen53° = AB3a → AB = 3a
4 12a
5 5 =
ii) AHD: sen37° = HDa →
3HD a
5=
AH
cos37a
° = → 4
AH a5
=
iii) HB = AB – AH → 12 4 8
HB a a a5 5 5
= − =
iv) BHD: HD
tgHB
α = →
3a
5tg8
a5
α =
3
tg8
α = Rpta.: C
Resolución 5
• Se observa que: sen62° = cos28°
Además: cos45° = 2
2, luego:
( )
( )
tg 3x 20 ·cos281
22 · cos28 · · ctg 5x 30
2
− ° °=
° + °
Simplificando: ( )( )
tg 3x 201
ctg 5x 30− °
=+ °
tg(3x – 20°) = ctg(5x + 30°)(3x – 20°) + (5x + 30°) = 90°8x + 10° = 90° → x = 10°
• Reemplazando en lo pedido:E = sen40° – cos50°E = cos50° – cos50°E = 0 Rpta.: D
i) BQP Notable (37°; 53°)
BQ = 4a ; PQ = 3a ; BP = 5a
ii) PQC Notable(45°; 45°)
PQ = QC = 3a
iii) BQ + QC = BC → 4a + 3a = 7 a = 1
∴ BP = 5a = 5(1) → BP = 5Rpta.: B
i) ACB: a
ctgb
α =
ii) PQB: BQctg
xα = →
aBQ · x
b=
iii) BQ + QC = BC → a
x x ab
+ =
a bx a
b+ =
→ ab
xa b
=+
∴ 2ab
PCa b
=+
Rpta.: B
Resolución 3
• Analizando la figura:
Resolución 4• Analizamos la figura:
Resolución 6
• En la figura se tiene:
Resolución 7
• Analizando la figura:
AB = 15 + 20
AB = 35
Rpta.: A
Quinto Año de Secundaria
- 45 -
Resolución 9
• En el gráfico se tiene:
Resolución 8
• Analizando la figura:
i) En el ACD notable (37°; 53°) elegimos conve-nientemente los lados:
AC = 4 2 ; CD = 3 2 ; AD = 5 2
ii)En el ABC (45°; 45°):
AC = 4 2 → AB = BC = 4
iii) En el CED(45°; 45°)
CD = 3 2 → CE = ED = 3
iv) En el BED:
4 3ctg
3+θ = →
7ctg
3θ =
Rpta.: C
• OP = OA = OB
OP = 2a
• NP2 = (2a)2 – (a2)
NP = a 3
• En el MHP:
PH = a 3 – a = a ( )3 1−
MH = a
∴ ( )a 3 1PH
ctgMH a
−θ = =
ctg 3 1θ = − Rpta.: A
i) ABC : AM = MC = BM = 2aii) ∆ ABM: Equilátero
iii) MPC: Notable(30° y 60°)
MC = 2a → MP = a ; PC = a 3
• En el NPC:
i) NC2 = ( ) ( )222a a 3+ → NC 7a=
ii) NPcos
NCα = → 2a
cos7a
α =
∴ 7 cos 2α = Rpta.: B
Resolución 10
• En la figura se observa:
ÁNGULOS VECTICALES (250, 251, 252)
Resolución 1
De los datos mencionados:
Nivel I
Se nota que: AE = CE = H ( 45° y 4°)
por paralelas BD = AE = H
Ahora: BCD: ( Resolución)
CD = Htgθ
finalmente: x = H – Htgθ
∴ x = H(1–tgθ) Rpta. D
H
- 46 -
Resolución 2
de la figura: AE = H – 3
PEA(30° y 60°): PE = (H – 3 )3
3
(30° y 60°)REA: tg30° =
( )−
+ −
H 3
38 H 3
3
( )−=
+ −
3 H 33 3
8 H 33
H = 5 3 m Rpta. B
Resolución 3
Graficando:
ADC: DC = Hcotg37°BDA: BD = Hcotg45°
luego: DC = BD + 80Reemplazando:
Hcotg37° = Hcotg45° + 80
H
43 = H(1) + 80
43 H – H = 80
H3 = 80
∴ H = 240 m Rpta. D
Resolución 4
ABC AB = 6Hcotgα . . . (1)
ABD AB = 7Htgα . . . (2)
Igualamos: (1) y (2)7Htgα = 6Hcotα
7tgα = 6 α
1tg tgα =
67
∴ cotgα = 76
Rpta. D
Resolución 5
En 12h < > 180° 1h < > 15° de 4 a 6 pm θ = 30°
HOJ (Notable de 30° y 60°)
Lsombra = ( )3 3 ∴ Lsombra = 3 m Rpta. C
Resolución 6
Piden cotgα = ?
BCD: (Not de 45° y 45°) CD = 10
ACD: cotgα = 5 0 +2 10
10
∴ cotgα = 5 2 +1 Rpta. E
Resolución 7
�
C
D
90°-��
�
B6Hcotg�A
6H7H
Quinto Año de Secundaria
- 47 -
de la figura aplicando resolución de triángulos rectángulos:
Ahora en AHC:
Resolución 8
Del enunciado:
Triángulos rectángulos notables de 30° y 60°
x = 17 cos60°
12 ∴ x =
174
m Rpta. C
ABD: AB = H
ECD (Not. de 30° y 60°): H – 9 = H 3
3 H 3 – 9 3 = H
∴ H = ( )93 1
2+ Rpta. E
Resolución 9
BDC: DC = dcotgθBDE: ED = dtgθ
piden: EC = ED + DC
∴ EC = d(tgθ + cotgθ) Rpta. C
Resolución 10
ABC: tgθ = xH x = Htgθ ...(1)
ABD = tgθ = H
x H+ tgθ(x + H) = H ...(2)
Reemplazando (1) en (2)
tgθ(Htgθ + H) = H
tgθ2 + tgθ – 1 = 0
Resolviendo mediante la fórmula general tenemos:
1 1 4
tg2
− + +θ =
∴ 5 1
tg2−θ = Rpta. E
Resolución 1
Nivel II
BFD: BF = 1,5cotg27°BFC: CF = 1,5cotg27°tg53°
CF = 32
(1,95)
43 CF = 3,9 m
Longitud del poste = CF + FD
∴ Longitud del poste = 5,4 m Rpta. C
Resolución 2
Dato: cotgθ = 125
entonces:
de 45° y 45° 50 + 260cosθ + 3K = 4K + 260senθ
50 + 260 1213 + 3K = 4K + 260
513
50 + 240 + 3K = 4K + 100 K = 190 . . . (1)
B
H
A
�
C
�
�90 - �
Dx H
- 48 -
Resolución 3
de la figura se nota que: α = β
Resolución 4
Resolución 5
Del enunciado del problema graficamos:
Se nota
OPQ: cscθ = +R hR
h = R(cscθ – 1) . . . (1)
OPT: secθ = xR
x = Rsecθ . . . (2)
En el triángulo pintado tenemos:
tgα = a ( )− θ2 1 tg
a ∴ tgα = ( )−2 1 tgθ Rpta. C
De (1) R = θ −h
csc 1reemplazando en (2)
θ=θ −
hsecx
csc 1 Rpta. C
Resolución 6
De las condiciones tenemos:
* AHB (Not. de 45° ): AH = 24
* BHC: HC = 32 (Not. de 37° y 53° ) x = AH + HC
∴ x = 56 m Rpta. A
Resolución 7
Hallamos AD
AD = AB – DB; aplicando resolución
AD = 24cotβ – 24cotα
reemplazando
AD = 24 (4) – 24(3)
AD = 24 m
pero ADe = V · t
24 = V x 0,8 V = 30 m/s
piden en Km/h: = 3 0V
ms
1Kmx
1 0 0 0 m3 6 0
x0 s
1h
∴ V = Km
108h
Rpta. A
cotα = 3cotβ = 4
Del enunciado:
t
piden: H = 4K + 260senθ
Reemplazando:
H = 4(190) + 260
513 ∴ H = 860 m Rpta. B
Ahora del dato: α + β =α
tg tg ntg
tgα = n2
piden longitud de AB =π2
(H – h)cotα
∴ π2
(H – h)2n
= − π
H hn Rpta. A
B
A
h
� �
H-h
h(H-h)cotg�
(H-h)cotg�
45°
a
a
�
atg�
�
a 2
a 2tg�
� �a 2 1 tg� �
�
Quinto Año de Secundaria
- 49 -
Resolución 8
ABC(Not de 45°): AB = BC = 28
pero RC = AB (por paralelas)
Ahora PRC:
PR = 21 m
luego: x = PR + RA x = 21 + 28
∴ x = 49 m Rpta. B
Resolución 9
(Not. 45° y 45°) AOC: OA = 10
(Not. 30° y 60°) COB: OB = 10 3
Finalmente:
AOB: Teorema de Pitágoras
x2 = 102 + ( )210 3
∴ x = 20 m Rpta. B
Resolución 10
De la figura: AB = AC
ÁNGULOS HORIZONTALES (Pág. 258)
Resolución 1
Del enunciado:
Del gráfico: ∆ PQR: equilátero PQ = PR = QR = 150 km
∴ Distancia de Q a R = 150 km Rpta. A
Resolución 2
Del enunciado:
PQR: Teorema de Pitágoras
d2 = 962 + 282
∴ d = 100 m Rpta. B
( ∆ ABC: isósceles)
Además: ∆ ACD: isósceles
AC = CD = d
Finalmente: PCD: PC = dtgθ Rpta. C
10W E
C
10
O
A
x45°
30°
10 3
N
S
B
- 50 -
Resolución 3
PMJ:
Teorema de Pitágoras:
x2 = 1002 + 2402
∴ x = 260 m Rpta. C
Resolución 4
ADB: (Not. de 30° y 60°)
BD = H 3
ADE: (Not. de 45° y 45°) DE = H
Finalmente: Teorema de Pitágoras en BDE
( ) ( )+ + =2 2 2H 3 H 24
4H2 = 242 H = 12 m Rpta. D
∆NHP: isósceles NH = HP = dLuego: NP = 2dcos20° = 74cos20° d = 37 kmAhora:
d = 37 km = V · t = 185 km
h·t t =
15 h =
60 min5
∴ t = 12 min Rpta. C
Resolución 5
AHB: Teorema de Pitágoras:
602 = + +
22d 3d 7d
8 8 d = 40
Luego la altura de la torre es: H = 40 3 m Rpta. B
Resolución 6
RSM: Teorema de Pitágoras:
d2 = 402 + 402 ∴ d = 40 2 km Rpta. B
Resolución 7
De la figura:
De la figura
tgα = 3 7
20°58°
12°
20°
Q38°
P
58°
12°d
N
1
8
�
3 7
30 km
50km
R
M
d
E
S
O
N
10 km 40 km
40 km
40 km
S
E
N
O
S 37°
Juanapunto dellegada
Punto dePartida(Roberto)
S
10 km
( )
Quinto Año de Secundaria
- 51 -
∆RBB’: Isósceles
BB’ = RB = 200 m
RFB: (Notable de 30° y 60°)
d = 100 m Rpta. A
Resolución 8
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL (Pág. 275; 276; 277; 278)
CAPÍTULO 9
Resolución 1
• En la figura se tiene:
x = –2
y = 1
( ) ( )= − + =2 2r 2 1 5
NIVEL I
Resolución 2
• Del gráfico se obtiene:x = –3y = –1
( ) ( )= − + − =2 2r 3 1 10
• Nos piden:
1 2M 5 ·
5 5−= → M = –2
Rpta.: D
• Nos piden:
θ =−10
csc1
→ θ = −csc 10
Rpta.: A
Resolución 3
• En la figura se observa:
i) Para“α”
x = –4
y = 3
( ) ( )= − + =2 2r 4 3 5
ii) Para “β”
x = –7
y = –24
( ) ( )= − + − =2 2r 7 24 25
• Nos piden:
3 25 4 25E 8 7
5 24 5 7− = + − −
E = –5 + 20 → E = 15 Rpta.: D
Resolución 4
• Del gráfico se tiene:
(-5)2 + (y)2 = (13)2 ; y > 0
y = 12
∴ α = ytg
x → −α = 12
tg5 Rpta.: B
- 52 -
Resolución 10
• Recordemos que:
∴ Tienen signos diferentes en el: Q2 y Q4
Rpta.: E
Resolución 1
• Del dato tenemos:
NIVEL II
( ) ( )2 2
x 2
r 13
y 13 2 3
= − = = − − − = −
Resolución 5
• Según los datos tenemos:
• Nos piden:
23 13
N 4 9 6 132 3
− = + = + − −
N = 19 Rpta.: C
Resolución 6
• Del dato tenemos:
±α = 9cos
25 → α = 3
cos5 ; 4Qα ∈
160° ∈ Q2 → sen160° : (+)
230° ∈ Q3 → cos230° : (–)
350° ∈ Q4 → tg350° : (–)
80° ∈ Q1 → ctg80° : (+)
200° ∈ Q3 → sec200° : (–)
300° ∈ Q4 → csc300° : (–)
• Reemplazando tenemos:
( )( )( )( )( )( )
( )( )
+ − − += =
+ − − +B → B = (+)
Rpta.: A
Resolución 9
• De acuerdo al dato:
θ ∈ Q3 →
Resolución 7
• De acuerdo a los datos:
α +α ∈ → α −
2sen : ( )
Qcos : ( )
β +β∈ → β +
3tg : ( )
Qctg : ( )
• Reemplazando en lo pedido:
( ) ( )( ) ( )
( )( )E
·+ + + +
= =− + − → E = (–) Rpta.: B
= =
= − − = −2 2
x 3r 5
y 5 3 4
Resolución 8
• Analizando los términos de la expresión dada tene-mos:
Cosθ = (–)
tgθ = (+)
• Reemplazando en lo pedido:
E = (–) – (+) = (–) Rpta.: C
• Nos piden:
= − =− −3 5 2
A4 4 4 → A = 0,5 Rpta.: E
Quinto Año de Secundaria
- 53 -
( ) ( )
= − = − = − + − =
22
x 1
y 2
r 1 2 3
• Nos piden:
M = 2secθ · cscθ + θ3 3 sen
−= + − −
3 3 2M 2 3 3
1 2 3
( ) ( )
= −
= − = − + − =
2 2
x 1y 8
r 1 8 65
θ =−65
sec1
→ θ = −sec 65 Rpta.: D
Resolución 2
• Del dato tenemos:
32
tg 2 ; Q1
−θ = = θ∈−
Resolución 3
• A partir del gráfico se tiene:
i) Para “α”: x = 7 y = 24
= + =2 2r 7 24 25
ii) Para “β”: x = –12 y = –5
( ) ( )= − + − =2 2r 12 5 13
• Nos piden:
= + − 25 13
R 224 12 → R = 1
Rpta.: A
= −M 3 2 3 2 → M = 0 Rpta.: C
Resolución 4
• De la condición:
[ ] + θ + =
2 21 tg 1 2 → + θ + =1 tg 1 4
[ ] θ + = 2 2tg 1 3 → tgθ + 1 = 9
tgθ = 8 ; θ ∈ Q3
• Finalmente:
Resolución 5
• Factorizando la expresión dada:
(5senα + 4)(5senα – 3) = 0
α + = → α = − α − = → α =
45sen 4 0 sen
53
5sen 3 0 sen5
( ) ( )
=
= − = + − =
2 2
x 60y 11
r 60 11 61
• Nos piden:
−= +11 61K
60 60 → 5
K6
= Rpta.: E
Pero: α ∈ Q2 → α = 3sen
5
• Nos piden:
= − − + − 3 4 3
M5 5 4
= 13M
20 → M = 0,65 Rpta.: B
- 54 -
• Nos piden:
− =
15 1A 16
4 4
A 15= − Rpta.: D
Resolución 1
• De los datos tenemos:
tgθ < 0 → tgθ : (–) θ∈Q4
secθ = 4 → secθ : (+)
• Nos piden:
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Resolución 10
• Analizando la figura:
Resolución 8
• De acuerdo al dato:
θ ∈Q3
• Nos piden:
− − =
2 1P 10
5 5 → P = 4 Rpta.: B
Resolución 6
• A partir del dato tenemos:
[ ] [ ]θθ =
12ctgtg 2 →
θ = θ =
tg 21
ctg2
Resolución 7
• De los datos tenemos:
senα < 0 → senα : (–) → α ∈ Q3 ; Q4
secα > 0 → secα : (+) → α ∈ Q1 ; Q4
∴ α∈Q4
• Nos piden:
( ) ( )( ) ( )
( )( )
+ − − += =
− − +E
· → E = (+) Rpta.: A
Resolución 9
• Del dato tenemos:
R.T.(α) = R.T.(β) = R.T(θ)
• Además:
α =tg 2 → α∈Q1 , Q3
β = −sec 3 → β∈Q2 , Q3
∴ α ; β y θ ∈ Q3
secθ = (–)
tgθ = (+)
• Reemplazando en lo pedido
(–) – (+) = (–) Rpta.: C
−α = = −2 6sen
33
β = − 6sen
3
θ = − 6sen
3• Nos piden:
= − + − + −
6 6 6G 2 3
3 3 3 → = −G 2 6
Rpta.: B
− − = −
21 3
E10 10
→α = 4E
10
E = 0,4 Rpta.: D
Quinto Año de Secundaria
- 55 -
α + =ctg 13
2 → ctgα = 5 ; α∈Q3
• Nos piden:
α =−26
csc1
α = −csc 26 Rpta.: B
+
+
Resolución 2
• De la condición:
[ ] [ ] [ ]ctg 1
ctg 1 31 3 22 2 2 2
2
α+α+ = → =
Resolución 3
• Del dato tenemos:
secθ : (–) θ∈Q3
tgθ : (+)
• Además:
–1 < cosθ < 0 –1 < senθ < 0
1 < 2+cosθ < 2 0 < –senθ < 1
2< 2–senθ < 3
• Luego:
Resolución 4
• En la figura se cumple:
(2a –1)2+ (a + 4)2 = ( )25 2
5a2 + 4a + 17 = 50
5a2 + 4a – 33 = 0(5a – 11)(a + 3) = 0
Resolución 7
• Analizamos la figura para calcular las coordenadas
de los puntos M y N:
Resolución 5
• Analizando la expresión tenemos:
− α ≥1 cos 0 → senφ < 0
∴ φ ∈ Q3 y Q4 Rpta.: B
Resolución 6
• De acuerdo a los datos:
x = a + 1
y = a – 1
( ) ( )= + + − = +2 2 2r a 1 a 1 2a 2
• Por condición r es minímo:
r = ( )+22 a 1 → rmin = 2
∴ a = 0 → =
= −
x 1y 1
• Nos piden:
= −
2 2E
1 1 → E = –2 Rpta.: C
mín
• Nos piden: 5 2 5 2csc
a 4 3 4α = =
+ − +
α =csc 5 2 Rpta.: E
( ) ( )( )
( )( )
+ − −= =
+ +·
R → R = (–) Rpta.: B
→ − = → = + = → = −
115a 11 0 a
5a 3 0 a 3
Pero: 2a – 1< 0 → < 1a
2∴ a = –3
• Nos piden: − = − − 3 5
k ·3 1
k = –5 Rpta.: B
- 56 -
Resolución 8
• Tg4θ – 7tg2θ + 1 = 0
2 7 49 4tg
2± −θ =
2 14 2 45tg
4±θ =
14 2 9 5tg
4± ⋅θ =
tgθ = – ( )19 5
2±
tgθ = – ( )13 5
2±
• Nos piden:
( )1 2E 3 5
2 3 5= ± −
±
• Solución 1
13 5 2 5 3 5
E2 3 5 3 5
+ += − =+ +
15 3 5 3 5
E3 5 3 5
+ −= + − = 5
• Solución 2
23 5 2 5 3 5
E2 3 5 3 5
− −= − = −− −
( ) − += − = − − − + 2
5 3 5 3 5E 5
3 5 3 5
2E 5= Rpta.: C
Resolución 9
• 2Sen θ + Senθ = 0
Sen Sen 0θ + θ =
I) senθ > 0 ⇒ senθ + senθ = θ senθ = 0 (NO)
II) senθ < 0 ⇒ senθ + senθ = 0 θ toma cualquier valor
• Hacemos tg 7θ =θ∈ IIIC
1cos
8θ = −
• Luego:
7 tg tg 7 tg 2− θ + θ − = β +
7 7 7 7 tg 2− + − = β +tgβ = –2
1
5
�
-21
cos5
β =
• Nos piden: cosθ · cosβ
1 1 1 10cos cos
208 5 40−θ ⋅ β = − ⋅ = − = Rpta.: C
Resolución 10
• P y Q puntos simétricos:• Nos piden:
1 1 53 7ctg
22 2tg2 53 7
φ −= = =φ
−
4 2tg
2 2 53 14 53 7φ = =
− − Rpta.: C
Resolución 11
• ∆ABC equilátero: a = 4
P(–2a;4a – 1) = (–8;15)
• Nos piden:
E = senθ · cosθ
E = 15 817 17
−⋅ = 120
289−
Rpta.: C
-14 (6;0)
4
Q(-14;4)
2 53
1
78
�
3
120°
17
42o 6
4C
-8
60°
4
A(2;3)
a=4
B(6;7)7
x’
P(-8;15)
15
y’