Solitaire Clobber 2…

et les multipartis complets

E. Duchêne, S. Gravier

ERTé « Maths à modeler », Grenoble, FRANCE

Solitaire Clobber 2004: Demaine E., Demaine M., Fleischer

« Solitaire Clobber », Theor. Comput. Sci. 313

2005: D., Gravier, Faria

« Solitaire Clobber played on graphs», submitted in Theor. Comput. Sci.

Des pierres noires et blanches sur les sommets d’un graphe (une par sommet)Un seul joueur

Coup: choisir une pierre et « manger » une pierre adjacente de couleur différente

Objectif: minimiser le nombre de pierres restantes.

2

Valeur de réductibilité (d’une configuration) : nombre min. de pierres restantes.C est k-réductible : il existe une suite de coups qui laisse au plus k pierres.

Complexité du problème

INSTANCE: Un graphe G avec une pierre (noire ou blanche) sur chaque sommet. Un entier positif k.

QUESTION: Cette configuration est-elle k-réductible ?

Réduction à Hamiltonian path pour k=1

NP-complet en général

Preuve:

Hamiltonian path ? 1-reducible ?

Une famille plus « facile »:

les bipartis

PATHS TREES HYPERCUBES GRIDS

La Clé (sur les bipartis uniquement)

Un invariant défini par Demaine et al.

Noir Blanc

δ = nombre de pierres +

nombre de pierres « en opposition ».

8

4 (3+1)

δ (mod 3) est un invariant du jeu.

Condition nécessaire pour qu’une configuration soit 1-réductible: δ mod 3 ≠ 0.

Preuve: δ= 1 ou 2 à la fin.

7

5

6

3

Sur les grilles…

Une autre utilisation de la clé :

SUR LES

BIPARTIS COMPLETS

Cas 1: Km,m « bien coloré »

m

m

δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3.

pas 1-réductible si m est un multiple de 3.

m ≡ 1 (mod 3)

m ≡ 1 (mod 3) : 1-réductible

Cas 1: Km,m « bien coloré »

m

m

δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3.

pas 1-réductible si m est un multiple de 3.

m ≡ 2 (mod 3)

m ≡ 1 (mod 3) : 1-réductible

m ≡ 2 (mod 3) : 1-réductible

Cas 1: Km,m « bien coloré »

m

m

m ≡ 0 (mod 3)

m ≡ 2 (mod 3) : 1-réductible

m ≡ 0 (mod 3) : 2-réductible

δ = 2m ≡ 0 (mod 3) ssi m est un multiple de 3.

pas 1-réductible si m est un multiple de 3.

m ≡ 1 (mod 3) : 1-réductible

Cas 2: Km,m

m

m

δ = 2L1+3L2+4L3 ≡ 0 (mod 3) ssi L1 mod 3 = L3 mod 3

L1 L2 L3

si L1 mod 3 ≠ L3 mod 3, alors C est 1-réductible.

si L1 mod 3 = L3 mod 3, alors C est 2-réductible.

Cas 3: Kn,m (n>m)

n

m

1 Ordonner le stable 1 avec des paires « blanc-noir »

2 Egaliser les tailles des stables (si possible) en jouant des paires « blanc-noir »

1 ou 2-réductible selon δ

n

m

3) Et s’il n’y a pas assez de paires « blanc-noir » ?

L1 L2 m

mb

4) Si L2<mb, alors 1 ou 2-réductible selon δ

5) Si L2 > mb-1…

5) Si L2 > mb-1…

n

m

L1 L2 m

mb

Valeur de réductibilité = L2-mb+2

La clé :

f(C)= L2-mb ne décroit jamais au cours du jeu

Des bipartis…

aux p-partis complets

Sur les p-partis complets (p>2)

L’invariant δ n’est plus disponible…

M1

M2

M3

M1, M2, M3…sont les stables de taille maximum.

Sur les p-partis complets (p>2)

Théorème: s’il y a plusieurs stables de taille maximum, alors toute configuration de jeu est 1-réductible.

Sinon…

L1

m pierres

q

M1

et on raisonne comme sur les bipartis complets entre M1 et G\M1.

Conclusion

Sur les bipartis, on a des résultats (cycles, arbres, hypercubes…)

Sur les non bipartis, les résultats sont rares…

Invariant général ?