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2. Sean X; Y los extremos de un dimetro de una circunferencia y N el puntomedio de uno de los arcos XY de . Sean A y B dos puntos en el segmento XY.Las rectas NA y NB cortan nuevamente a en los puntos C y D,respectivamente. Las tangentes a en C y D se cortan en P. Sea M el puntode interseccin del segmento XY con el segmento NP. Demostrar que M es el

punto medio del segmento AB.

Solucin de Ricardo Barroso Campos.Jubilado de la Universidad de Sevilla.Director de la revistahttp://personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/

Tomemos coordenadas cartesianas.

Sin prdida de generalidad podemos suponer centrada en el origen O(0,0) ysiendo X(-1,0) e Y (1,0). Ser pues N(0,1).Sean A(a,0) y B(b,0) los puntos dados.

La recta NA es .La ecuaci2n de es .As es

Adems, la recta OC es De ello deducimos que la recta tangente a por C es

Por similitud de los clculos la tangente por D a es

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El punto de corte de ambas es

La recta NP tiene de ecuacin:

Tal recta corta al eje horizontal en

Cqd, es el punto medio de AB.