Software matemático Maple en la clase de Matemáticasemitiel/CALCULO1-1-2014/Manual de... · Por...

Software matemático Maple en la clase

de Matemática

Mgr. Patricia A. Có

Prof. Erica Panella

Mgr. Patricia Có - Prof. Erica Panella 1

Indice

Capítulo 1: Cómo empezar a trabajar con Maple…………………………………………………………………………1

Capítulo 2: Gráficos con Maple…………………………………………………………………………………………………….11

Capítulo 3: Cálculo diferencial con Maple…………………………………………………………………………………24

Capítulo 4: Calculo integral con Maple……………………………………………………………………………………….36

Capítulo 5: Álgebra Lineal con Maple……………………………………………………………………………………….. 46


1

Cómo empezar a trabajar con Maple

1.1- Introducción

Maple fue desarrollado originalmente en 1981 por el Grupo de Cálculo Simbólico de la Universidad de

Waterloo en Waterloo, Canadá. Su nombre proviene de MAthematic PLEasure. Desde 1988 ha sido mejorado y

vendido comercialmente por Waterloo Maple Inc. (también conocida como Maplesoft).

Maple es un programa matemático de propósito general capaz de realizar cálculos simbólicos, algebraicos y de

álgebra computacional. Este software puede usarse como una calculadora numérica y simbólica. Esto significa,

por un lado, que produce resultados exactos (hay que hacer operaciones con números extraordinariamente

grandes para que rebase su capacidad de procesamiento numérico). Por otro lado, una calculadora simbólica

puede operar con símbolos, por ejemplo calcular derivadas, integrales, polinomios de Taylor, etc. Esta

herramienta informática también permite manipular figuras geométricas.

Maple presenta al usuario una interfaz con ventanas que se pueden operar al igual que cualquier ventana de

Windows. Los documentos se abren o archivan con los recursos operativos del entorno. Es posible cortar o

copiar trozos de un archivo (por ejemplo en Word) e incluir en otros lo cortado o copiado anteriormente e,

inversamente, exportar a ellos trozos de un archivo de Maple. También se pueden hacer hojas de animación de

gráficos, esto es, gráficos que se muevan, a la manera de los dibujos animados.

1.2- Aspectos a tener en cuenta para comenzar a trabajar

Se puede acceder al motor computacional de Maple a través de una variedad de interfaces. En esta guía sólo se

describe cómo usar la interfaz estándar siendo ésta una interfaz gráfica que ofrece todas las funciones para

crear documentos electrónicos que permiten mostrar los cálculos con cualquier margen de error en los

resultados y también posibilita ocultarlos para permitir al usuario centrarse en el problema o los resultados

finales. Esta interfaz ofrece dos modos de trabajo: modo Documento y modo Hoja de Trabajo (worksheet). Por

defecto, según la configuración (Herramientas → Opciones → Interfaz), cuando se inicia una sesión de Maple

aparece una pantalla en blanco que se muestra en alguno de estos dos modos. Es posible abrir un nuevo

documento desde el menú Archivo -> nuevo, seleccionando la opción de modo deseada. Usando cualquiera de

las dos opciones se pueden crear documentos matemáticos interactivos de gran calidad. Cada uno de ellos

brinda las mismas características y funcionalidades, con algunas diferencias en cuanto a la entrada de

expresiones y su visualización.

En cualquiera de los dos casos, para cambiar el tipo de entrada de expresiones de matemáticas a texto o

viceversa, se debe pulsar la tecla [F5] o bien seleccionar alguna de estas dos opciones: Texto o Matemáticas

que se muestran en los botones que figuran en la barra de contexto (Figura 1).

En la parte superior de la pantalla se encuentran, además de la barra de menú (común en la mayoría de los

programas), las denominadas barra de herramientas y la recién nombrada barra de contexto. Existe una zona

central en la que se ingresan sentencias y comandos (input) y el programa devuelve las respuestas (output) que

se muestran en color azul.


Figura 1

En la parte inferior de la pantalla está la barra de estado, que indica en qué estado se encuentra la ejecución de

una orden.

A la izquierda de la pantalla se puede ver un menú vertical de botones que se despliegan abriendo un cuadro de

diálogo, constituyen distintas paletas que Maple ofrece para simplificar el trabajo de introducir expresiones.

Estas paletas pueden organizarse y mostrarse según las preferencias de cada usuario a través del menú Ver →

Paletas.

Por ejemplo, para editar una matriz hacemos clic sobre el botón desplegándose un cuadro de

diálogo que permite seleccionar el número de filas y de columnas de la matriz:

A continuación presionamos el botón inferior Insertar Matriz. En el área de trabajo se visualiza la matriz

seleccionada en la que podemos ingresar sus elementos pasando de uno a otro con la tecla TAB o

posicionándonos con el cursor. La matriz queda definida accionando la tecla ENTER o INTRO.

Una paleta es un conjunto de botones que representan diversos ítems como símbolos predefinidos, expresiones,

operadores, matrices y vectores. Clickeando los botones que se encuentran en las paletas, se puede ingresar o

editar expresiones matemáticas sin necesidad de recordar la sintaxis de Maple para realizar esa acción. Maple

proporciona más de 20 paletas.

Siguiendo con los ejemplos, la paleta Manuscrito nos permite dibujar “a mano”, con el mouse, un símbolo

(“ ” por ejemplo), pedirle a Maple que lo coteje con los símbolos existentes en el sistema, reconocerlo e

insertarlo en el área de trabajo (en la Figura 2 se puede apreciar el reconocimiento e inserción de ).

Barra de contexto

Paletas

Zona central

Barras de menú,

de herramientas y

de contexto


Figura 2

A través de la paleta Nube (Maple Cloud) es posible compartir hojas de trabajo de y con otros usuarios. Para

ver como funciona vamos a inspeccionar algún tema de los que allí figuran, por ejemplo: distancia de un punto

a una recta (seguramente el que hemos elegimos no se encuentra ahora disponible). Hay que tener en cuenta

que para activar la aplicación, como indica la instrucción, hay que clikear el botón con el símbolo !!! de la

barra de herramientas.

Figura 3

Las paletas de Maple se dividen en: alfabéticas, de expresiones y matemáticas. Cada tipo se identifica con un

color en el “triángulo” que permite desplegar el menú correspondiente a la paleta: verde, rojo y azul

respectivamente.

Dentro de la paleta de expresiones se encuentran, entre otras, la denominada Expresión que se utiliza para

ingresar, por ejemplo, integrales y derivadas; las paletas Matriz y Manuscrito (ya mencionadas);

Componentes permite incluir componentes simples, como por ejemplo un botón en la hoja de cálculo;

Unidades (SI) sirve para insertar una unidad del sistema SI o cualquier otra unidad general de medida.

Dentro de las paletas matemáticas se hallan la de Símbolos Comunes, Relacionales y Operadores que ofrecen,

como sus nombres indican, símbolos, relaciones y operadores que se utilizan para construir expresiones

(Figuras 4 y 5), Grandes Operadores muestra operadores como sumatoria, productoria, unión, intersección,


integrales dobles, triples y de línea, etc. (Figura 6). Dentro de este tipo, están también las paletas Negación,

Flechas, Puntuación y Misceláneo.

Figura 4 Figura 5 Figura 6

Algunas consideraciones

Las expresiones matemáticas como x2 se introducen naturalmente, utilizando la paleta

correspondiente, como con lápiz y papel, y se conocen en Maple como notación matemática 2-D.

Si se quiere realizar comentarios en la línea de entrada de comandos, éstos se escriben a continuación

del símbolo # y aparecen en color negro.

Hay que tener especial cuidado en copiar correctamente los comandos. Maple distingue mayúsculas de

minúsculas por lo que se debe prestar atención al utilizarlas. Si al terminar una orden escribimos el signo

“:” (dos puntos), la misma se ejecuta pero no aparece respuesta en pantalla, en cambio si sólo pulsamos

ENTER, Maple muestra la respuesta en color azul.

Para utilizar la ayuda de Maple se puede escribir “?” en la línea de escritura, accionarlo en la barra de

herramientas o recurrir a la tecla de ayuda (F1).

1.2.1- Asignación de nombres

Para agilizar y hacer más operativa la tarea es conveniente nombrar significativamente a las variables definidas.

Los nombres se asignan de la forma nombre := expresión a asignar. Es posible guardar el resultado de una

operación en una variable y luego recuperarla escribiendo su nombre.

Por ejemplo, si queremos ingresar una función y luego utilizarla en otro momento de la sesión de trabajo,

podemos proceder de la siguiente forma:

>

>


1.2.2- Definición de funciones

Las funciones matemáticas en Maple se representan mediante operadores. Existen distintas formas de

introducir una función, veamos cómo utilizarlas tomando como ejemplo la función 1)( 2 xxf :

Atención: Resulta conveniente que al terminar de definir una función, en este caso f , escribir por

ejemplo )2(f y presionar Enter para comprobar su correcta introducción.

A partir de una plantilla en la paleta Expresión:

Seleccionamos la plantilla . La está resaltada automáticamente.

Escribimos f en su lugar (el nombre de la función) y movemos luego el cursor

al siguiente marcador de posición utilizando la tecla Tab .

Se seleccionará automáticamente la . Escribimos x (variable independiente)

y luego nos movemos hasta la (variable dependiente), escribimos 2x . Después de introducir el exponente,

presionamos la tecla para volver el cursor a la línea de base de escritura y terminamos de

introducir la resta.

Finalmente presionar Enter .

A partir de los operadores de Maple:

Introducirnos la siguiente expresión en la línea de escritura .

Recordemos que el operador “:= ” asigna el contenido que está a la derecha del signo “=” al nombre de variable

que se escribe a su izquierda. Presionamos luego Enter para ejecutar la sentencia.

Convirtiendo una expresión existente en un operador:

Escribimos la expresión 12 x (estando en el Modo Documento de Maple), y luego nos posicionamos sobre

cualquier parte de la misma y hacemos clic con el botón derecho del mouse. Esto desplegará un menú

contextual. Seleccionamos del mismo: Conversions → Operator →

Aparecerá en pantalla:

.

Nos posicionamos sobre cualquier parte de la salida (en color azul) y

nuevamente desplegamos un menú contextual. Elegimos Assign to a Name y luego escribimos el nombre de la

función ( f en este caso) en el cuadro de diálogo que aparece. Presionamos el botón OK.

En pantalla podrá verse:


En todos los casos, si queremos recuperar la ley de f debemos ingresar f(x) seguido de Enter.

En la Tabla 1 se presenta un ejemplo de los comandos a utilizar para definir, para evaluar y para graficar una

función dependiendo de la forma en que la misma haya sido definida:

Operaciones

Función ingresada a partir de

una expresión

Función ingresada a partir de un

operador

Definición f := x^2 + y^2; g := (x,y) -> x^2+y^2;

Evaluación de f en P(1,2) eval(f, [x=1,y=2])

5

g(1,2)

5

Gráfico 3-D en el dominio

[0,1] x [0,1] plot3d(f,x=0..1,y=0..1) plot3d(g(x,y),x=0..1,y=0..1)

Tabla 1

1.2.3- Utilización de paquetes

Maple tiene diversos paquetes de comandos y funciones específicas, que deben ser cargados en el momento en

que se los necesite. Por ejemplo, el paquete utilizado en Álgebra Lineal es Linear Algebra, el especializado en

la visualización de representaciones gráficas es Plots, etc. Todos ellos reposan sobre estructuras de datos que no

desarrollaremos específicamente en el presente texto.

La forma de cargar estos paquetes es mediante la orden with (nombre del paquete):

En las versiones más recientes de Maple es posible cargar y descargar paquetes directamente dando la orden

desde la opción herramientas de la barra de menú, tal como se ve en la figura siguiente:

Figura 7

1.2.4- Creación de un documento dividido en secciones

Puede resultar conveniente y más organizado, sobre todo a la hora de diseñar material didáctico,

dividir un documento en secciones. A continuación se detalla la forma de realizarlo:

Ir al menú Insertar de la barra de menú y seleccionar la opción Sección. Se visualizará en pantalla un

triángulo seguido de una línea que indica el comienzo y fin de la sección. Posicionarse al lado del triángulo


para agregar un título a la sección (Figura 8). A continuación del título dar un Enter y comenzar a escribir los

comandos de Maple a utilizar.

Dentro de cada sección se pueden crear subsecciones. Para definir una subsección ir al menú Insertar y

seleccionar Subsección. En la Figura 8 se muestra un ejemplo con tres subsecciones definidas para la Sección 1.

Observar que los títulos de secciones y subsecciones corresponden al tipo texto y no a entradas ejecutables de

Maple.

Figura 8

Es posible cambiar el estilo de la fuente utilizada en títulos de secciones y subsecciones (por defecto son

Heading 1 y Heading 2 respectivamente y figuran en la barra de contexto) a través del menú Formato o

directamente utilizando los botones que indican tipo de letra, tamaño, color, etc. de la barra de contexto. En las

Figuras 9 y 10 se muestran algunos pasos sucesivos para cambiar el tamaño y el color del título de sección

utilizando cualquiera de los dos recursos mencionados. Es conveniente que el lector “juegue” a combinar

colores y estilos para familiarizarse con las diferentes apariencias que puede adoptar un documento.


Figura 9

Figura 10

Finalmente, es posible definir secciones y subsecciones, así como eliminarlas, a través de los dos íconos que

figuran en la barra de herramientas del programa:


1.3- Operaciones matemáticas

En la siguiente tabla se muestran algunas de las operaciones matemáticas más frecuentes:

Manipulaciones comunes (simplificar,

factorizar, expandir, extraer factor común,

completar cuadrado, etc.).

Hacer click con el botón derecho sobre la expresión

algebraica previamente ingresada y seleccionar en el menú

contextual la opción deseada.

Resolución de ecuaciones. Menú contextual: Solve.

Integración, derivación. Menú contextual: Integrate or Differentiate

Valor numérico de una expresión. Menú contextual: Evaluate at a Point.

Inversión, trasposición, determinante, traza de

una matriz.

Habiendo ingresado previamente una matriz, Hacer click

con el botón derecho y seleccionar: Standard Operations,

luego elegir alguna de estas opciones: Inverse, Transpose,

Determinant, Trace.

Evaluación aproximada de una expresión

numérica.

Menú contextual: Approximate y luego seleccionar el

número de dígitos.

Operaciones y tareas diversas. Ir al menú Herramientas → Tareas→ Examinar.

Tabla 2

En la mayoría de los casos existe la posibilidad de, además de poder utilizar el botón derecho del mouse y el

menú contextual como se describe en la tabla anterior, ingresar el comando seguido de la expresión algebraica

sobre la que debe actuar. En ambos casos se produce el mismo resultado. Veamos, por ejemplo el comando

expand(expr) que permite desarrollar una expresión algebraica, aplicando reglas de productos y potencias,

propiedades de funciones trigonométricas, simplificar resultados, etc.; y el comando simplify(expr), que

posibilita simplificar expresiones algebraicas:

Figura 11


2

Gráficos con Maple

2.1 - Introducción

Maple posibilita la representación de cualquier función matemática, incluso si está definida a trozos o tiene

saltos al infinito. También permite graficar curvas definidas en formas implícitas, explícitas, en coordenadas

paramétricas o polares, tanto en el plano como en el espacio. Es factible la realización de gráficos estadísticos,

como ser: de barras, de líneas, histogramas, así como polígonos, poliedros y otras figuras geométricas.

La mayoría de las gráficas que muestra Maple, como ocurre con otros sistemas algebraicos computacionales,

no reproducen en forma exacta la imagen de una curva, sino que dan una idea bastante aproximada de su

comportamiento. Es posible mejorar la calidad de dichas representaciones utilizando las opciones que brindan

los comandos gráficos como color, escala, ubicación de los ejes, etc. Algunas de ellas se verán en los ejemplos

propuestos.

2.2. Consideraciones generales sobre gráficos

No es nuestra intención mostrar todos los recursos gráficos que posee Maple, sólo veremos algunos a través de

ejemplos sencillos a partir de los cuales el lector puede ir descubriendo otras aplicaciones.

Para obtener la gráfica de la función y=x2, escribimos la orden plot(x^2) en la línea de escritura

La pantalla se ve como en la figura siguiente y se llama gráfico en línea.

Figura 12

Si cliqueamos sobre la gráfica aparece un recuadro y una barra de herramientas llamada barra Gráfica, como la

siguiente:

Si observamos la parte superior derecha de la pantalla vemos que aparece una tecla de la forma . Si la


accionamos nos permitirá visualizar en la pantalla una barra de Dibujo tal como se muestra a continuación:

En ambos casos se ofrecen diferentes opciones de graficación y resulta conveniente ir probando cada una de

ellas.

Existe otra opción para mostrar gráficos que produce una ventana independiente y se consigue desplegando el

botón Herramientas de la barra, siguiendo por Opciones, luego Ver(D), continuado con Mostrar Gráficos, y

por último seleccionado Ventana.

Figura 13

Una vez conseguida la ventana correspondiente a la gráfica pedida, es posible realizar cambios en su diseño

como en la opción en línea.

Figura 14


Opciones rápidas para cambiar la apariencia de un gráfico

Veamos algunas opciones rápidas e interesantes que brinda el programa utilizando directamente el botón

derecho del Mouse, como se muestran a continuación:

o Nombrar a los ejes coordenados:

>

Figura 15

o Agregar título y leyenda a una gráfica:

>

Podemos nombrar a cada una de las gráficas recién ingresadas posicionando el mouse sobre la imagen que

devuelve el programa, accionado luego el botón derecho sobre una gráfica en particular (que aparecerá

engrosada), luego eligiendo Legend y a continuación Añadir Leyenda. Al repetir el mismo procedimiento, el

lugar de Añadir Leyenda, podemos Editar Leyenda y escribir el nombre que queremos. Esta acción se debe

repetir para cada una de las gráficas.

Figura 16


o Escribir títulos, referencias sobre la gráfica, cambiar color y grosor

>

Figura 17

Como podemos ver existen múltiples opciones que se pueden agregar a una gráfica, sólo es cuestión de probar

cada una de ellas.

2.3. Gráficos en el plano: Coordenadas Cartesianas

2.3.1. Curvas definidas explícitamente

El comando plot(f(x), x=a..b,opciones) permite obtener representaciones gráficas de funciones reales de variable real definidas explícitamente mediante una expresión del tipo y = f(x). Donde: f es una función real de variable real x.

x=a..b especifica el dominio de la variable independiente, esto es: x toma los valores entre a y b.

Las opciones de graficación son alternativas, por ejemplo se puede indicar que se muestre sólo un

intervalo de la imagen que resulte conveniente, esto es escribir: y=c..d, eligir color, escalas, puntos de

vista, etc.

Veamos algunos ejemplos con distintas opciones:

1. > plot(x^2+3*x-1,x=-2..5,color=green); plot(x^2+3*x-1,x=-5..5,y=-4..10);

2. Es posible visualizar dos o más gráficas simultáneamente ingresando las expresiones que las definen, como

así también las opciones, entre corchetes o llaves dentro del comando plot:

> plot({sin(x),cos(x)},x=-2*Pi..2*Pi,color=[green, blue]);

> plot({x^2,x^2-4,(x-4)^2},x=-4..8,y=-4..4);

3. Queremos definir y obtener la representación gráfica de una función definida a trozos, por ejemplo:

12

14

10

01

)(12

xsix

xsi

xsix

xsi

xf

Ingresamos la sentencia que define a la función, por medio del comando picewise, con el nombre de f1 (luego

podremos llamarla con este nombre a lo largo de toda la sesión de trabajo)


> f1:=x->piecewise(x<=0,-1,x<1,x^2,x=1,4,2*x);

Obtenemos como respuesta:

:= f1 x ( )piecewise , , , , , ,x 0 -1 x 1 x2 x 1 4 2 x

Si queremos ver como quedó definida escribimos:

> f1(x);

-1 x 0

x2 x 1

4 x 1

2 x otherwise

Por último, su representación gráfica se obtiene mediante la orden:

> plot(f1(x),x=-2..3);

Podemos observar que Maple no interpreta que la función es discontinua. Para que realice la gráfica en forma

correcta, es decir que se visualicen la o las discontinuidades de la función ingresada, es necesario agregar la

opción: discont=true, como se expresa a continuación:

> plot(f1(x),-2..3,discont=true);

Si queremos obtener valores particulares de la función, podemos hacerlo directamente pidiendo el cálculo de f1

en el valor indicado, por ejemplo:

> f1(1);

4

¿Son correctos los valores que Maple le asigna a la función en los puntos de discontinuidad?

2.3.2.Curvas definidas implícitamente

El comando implicitplot(f(x,y),x=a..b,y=c..d,opciones) permite obtener representaciones gráficas de curvas

definidas en forma implícita, cargando previamente el paquete plots..

Donde: f es una función definida implícitamente en las variables x e y.

x:=a..b, y=c..d determinan los extremos de los intervalos de variación de las variables x e y

respectivamente.

Las opciones son análogas a las del comando plot.

Veamos algunos ejemplos:

1. Obtener la representación gráfica de una ecuación de segundo grado en las variable x e y.

> with(plots): implicitplot(x^2+y^2=4,x=-2..2,y=-2..2);

Puede ser que en la pantalla no se vea una circunferencia. Para mejorar esta situación podemos hacer click

sobre el icono de la barra de menú que aparece al posicionarnos sobre el gráfico obtenido.

2. Analizar la ecuación de segundo grado 0864 22 yyxx .

Si pedimos su representación gráfica en un dominio cualquiera, puede ocurrir que la gráfica aparezca "vacía",


como se ve si aplicamos la siguiente sentencia:

> implicitplot(x^2-4*x+y^2+6*y+8=0,x=0..10,y=0..10);

No podemos afirmar aún que se trate del conjunto vacío, veamos qué pasa en otros intervalos:

> implicitplot(x^2-4*x+y^2+6*y+8=0,x=-10..10,y=-10..10);

Como la gráfica no es muy buena, para mejorarla podemos ajustar los intervalos de definición de las variables,

como por ejemplo:

> implicitplot(x^2-4*x+y^2+6*y+8=0,x=-1..5,y=-6..1);

Si nos interesa, podemos completar cuadrados utilizando el comando completesquare, habiendo cargado

previamente el paquete student.

> with(student):completesquare(x^2-4*x+y^2+6*y+8=0,x);

( )x 2 2 4 y2 6 y 0

> completesquare(%,y);

( )y 3 2 5 ( )x 2 2 0

Finalmente vemos que se trata de una circunferencia de centro (-3,2) y radio 5 .

Maple posee el comando llamado conic dentro del paquete geometry que permite definir una cónica según los

datos ingresados, por ejemplo: puntos, directriz, foco, excentricidad, etc. Dentro del mismo paquete se

encuentran otras dos órdenes: form y detail que, respectivamente clasifican y dan a conocer detalles de la

ecuación de segundo grado ingresada (como ser foco, vértices, directriz, excentricidad, etc.), aún si se trata de

un caso de cónica degenerada. Veamos un ejemplo:

Figura 17


2.4. Animación de curvas en el plano

Una animación en Maple es una secuencia de gráficos mostrados rápidamente que producen la sensación visual

de movimiento. El comando que permite dar animación a un gráfico es animate(f(x,t),x=a..b,t=c..d, options)

que se encuentra en el paquete plots. El mismo realiza una animación bidimensional de la curva y = f(x) con

x variando en el rango dado, presentándola (por defecto) 16 veces según valores de la variable t, que varía en el

rango especificado a intervalos igualmente espaciados.

Dentro de las opciones podemos elegir:

frames=n (si se omite por defecto es 16), establece el número de veces que se presentará la gráfica durante

la animación.

numpoints=n especifica el mínimo números de puntos que generarán la gráfica (por defecto es 50).

Cuando utilizamos el comando animate y clickeamos con el mouse sobre la gráfica, se despliega una ventana

de animación, en la que aparecen una serie de teclas de acción directa que permiten diferentes opciones en el

movimiento. Recomendamos probar que función cumple cada una de ellas en los siguientes ejemplos:

> with(plots): animate(t*x^2,x=-5..5,t=-1..1,frames=100);

Figura 18

2.5. Representaciones de regiones planas

Sólo por mostrar algunas opciones más que brinda el programa, vamos a ver a través de unos pocos ejemplos,

como se pueden realizar gráficos animados, de regiones planas determinadas por un sistema de inecuaciones

lineales.

1. Obtener la representar gráfica de la región del plano delimitada por las siguientes desigualdades:

8

523

62

3

xy

yx

xy

yx

>with(plots):

>inequal({x+y>3,2*y-x<6,3*x+2*y>5,-y+x<=8},x=-10..30,y=-10..15,color=red);

2. Por medio de una animación gráfica visualizar el punto que perteneciendo al conjunto A maximiza la función


G(x, y)= x + 2 y. Siendo A = { x+ y 10; x-y+5>=0; x 0; y 0 }.

Para ello ingresamos las siguientes sentencias:

> with(plots):

>inequal({x+y<=10,x-y+5>=0,x>=0,y>=0},x=-10..15,y=-10..15,color=blue,

optionsexcluded=(color=pink,thickness=2));

>display({inequal({x+y<=10,x-y+5>=0,x>=0,y>=0},x=-10..15,y=-10..15,

color=blue,optionsexcluded=(color=pink,thickness=2));

>animate((-x+t)/2,x=-10..15,t=0..17.5,frames=100,color=red)}) ;

2.6. Gráficos en el espacio: Coordenadas Cartesianas

Los comandos que se utilizan para realizar gráficos en tres dimensiones son similares a los que acabamos de

ver para gráficos bidimensionales, pueden cambiar algunas opciones que veremos en los ejemplos planteados.

Vamos a construir y analizar gráficas de funciones de 2 variables definidas o no implícitamente, esto es

funciones de la forma z = f (x,y) o f (x,y,z) = 0.

Para obtener las gráficas de funciones dadas en forma explícitas podemos usar uno de los dos comandos que

siguen:

>plot3d (f(x,y),x=a..b,y=c..d); permite obtener la gráfica de la superficie z= f(x,y) para los

rangos de x e y dados.

>plot3d (f(x,y),x=a..b,y=c..d,z=e..f); cumple la misma función que el comando anterior,

pero además permite definir la variación de la variable z.

Si queremos obtener gráficas de funciones definidas implícitamente, usaremos el comando implcitplot3d,

habiendo cargado previamente el paquete plots.

>implicitplot3d(f(x,y,z)=0, x=a..b,y=c..d,z=e..f, opciones); permite obtener la

gráfica de una superficie definida implícitamente, para los rangos de las variables x, y ,z dados.

En los ejemplos que se muestran a continuación veremos algunas opciones que brinda el programa:

1- Cilindro circular de eje paralelo al eje z

Introduciendo los siguientes comandos:

> with(plots): c:=x^2+y^2=16: implicitplot3d(c,x=-4..4,y=-4..4,z=-3..3);

Aparecerá una pantalla semejante a:


Figura 19

Si accionamos el mouse sobre la gráfica, en la última línea de la barra de menú aparecen dos ángulos: y , y

algunos comandos representados por íconos, que como sabemos, provocan que Maple cambie el “estilo” de la

gráfica seleccionada. Por defecto, cada uno de los ángulos tiene un valor de 45º. Los valores que toman estos

ángulos indicarían la posición del “ojo del observador”. Podemos modificar los valores de estos ángulos si

queremos observar la gráfica desde otro punto de vista. El mismo efecto de rotación se produce cuando

mantenemos presionado el mouse sobre la gráfica y lo arrastramos en la dirección deseada.

Resulta interesante determinar los valores que asumen los ángulos y , cuando se pretende visualizar la

proyección de la superficie sobre cada uno de los planos coordenados.

Otras opciones rápidas de ejecutar sobre la gráfica, tal como vimos para gráfico en dos dimensiones, resultan de

presionar el botón derecho del mouse sobre la misma. Al realizar esta acción es posible modificar

significativamente la apariencia del gráfico, como por ejemplo: elegir textura, color, luminosidad, nombrar a los

ejes coordenados, cambiarles el color o la escala, etc.

Siguiendo con el mismo ejemplo, vamos a buscar gráfica y analíticamente las intersecciones del cilindro con

los planos coordenados, para ello necesitaremos cargar el paquete student.

Intersección con el plano XY:

> with(student): p1:=z=0;

El comando que nos da la intersección del cilindro c con el plano p1 es:

> intercept(c,p1,{x,y,z});

{ }, ,x ( )RootOf _Z2 16 y2 y y z 0

Para explicitar los valores que muestra la pantalla, utilizamos el comando:

> allvalues(%);

,{ }, ,y y x 16 y2 z 0 { }, ,y y x 16 y2 z 0

Podemos observar que se trata de una circunferencia contenida en el plano XY.


Si queremos visualizar las dos superficies juntas, esto es el plano p1 y el cilindro c, podemos lograrlo mediante

la orden:

> implicitplot3d({c,p1},x=-5..5,y=-4..4,z=-3..3);

Si rotamos la figura de modo conveniente y usamos algunas opciones gráficas, podemos observar la

circunferencia resultante de la intersección planteada.

Intersección con el plano XZ:

> p2:=y=0; > intercept(c,p2,{x,y,z});

,{ }, ,x -4 z z y 0 { }, ,x 4 z z y 0

La respuesta muestra a las ecuaciones de dos rectas paralelas al eje Z.

Es posible obtener las gráficas de estas rectas mediante los siguientes comandos:

> with(geom3d): plot3d({[4,0,z],[-4,0,z]},x=-5..5,z=-5..5);

2. Esfera y paraboloide

Es posible obtener gráficas de dos o más superficies simultáneamente, para lograrlo debemos escribir las

ecuaciones entre corchetes:

>implicitplot3d([x2+y2 +z2=16,x2+y2=z],x=-5..5,y=-5..5,z=-4..8,

numpoints=5000,labels=[x,y,z])

La opción numpoints hace que se grafique un número determinado de puntos (más que por defecto) para

obtener una mejor visualización.

Figura 20

En esta ocasión utilizamos la opción transparencia para ver el interior de una de las superficies.


2.7. Gráficas de curvas dadas por sus ecuaciones paramétricas

Desarrollaremos este tema basándonos en un material de clase correspondiente a la asignatura Análisis

Matemático II, disponible en la plataforma virtual de la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

(FCEIA): http://c-virtual.fceia.unr.edu.ar/ o en la sección Archivos correspondiente a la Clase 4.

La intención es, además de tratar los temas mencionados, mostrar las posibilidades que ofrece Maple para crear

archivos de trabajo de fácil y rápida utilización, utilizando alguno de los comandos ya descriptos. Esta forma de

trabajo resulta particularmente útil cuando se prioriza la utilización del software con un objetivo didáctico

claramente definido por el docente, en lugar de aprender una serie de instrucciones o de utilizarlo como una

simple calculadora-graficadora.

A continuación mostramos la pantalla que Maple ofrece al abrir el archivo seleccionado (la ruta a seguir es:

http://c-virtual.fceia.unr.edu.ar/, usuario: lbasica, contraseña: rosario, Laboratorio de Matemática, Archivos,

Análisis Matemático II, Curvas en el espacio 2012.mw1).

Figura 21

Si desplegamos, haciendo clic en el triángulo gris, la subsección titulada “Gráfica de curvas dadas por

ecuaciones paramétricas” accederemos a un breve contenido teórico y a los comandos de Maple necesarios

para trabajar en este tema, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 22

Se pueden desplegar todas las secciones del archivo para acceder al material completo.

1 Colaboración: Mgtr. Patricia Có.

http://c-virtual.fceia.unr.edu.ar/

http://c-virtual.fceia.unr.edu.ar/


En el menú Herramientas->Tutoriales, existen dos tutoriales Cálculo en una variable y Cálculo vectorial que

permiten, dentro de algunas de las opciones que ofrecen, obtener varios de los resultados que obtuvimos en el

archivo anterior, de manera más rápida y sencilla.

2.8. Gráficas de curvas dadas en coordenadas polares

Seguiremos trabajando con otro material de la misma asignatura, en este caso para obtener gráficas en

coordenadas polares. El nombre del archivo que contiene esta actividad es: AMII - Coordenadas Polares.mw2.

A continuación se muestra una pantalla con alguna sección desplegada:

Figura 23

2.9. Otros ejemplos de diseños didácticos colaborativos con apoyo en las TICs

Mostramos a continuación ejemplos de materiales de enseñanza diseñados para ser usados en un

entorno de aprendizaje colaborativo. Estas propuestas, referidas a ecuaciones de segundo grado3,

superficies y curvas en el espacio4 y representaciones geométricas

4, pueden consultarse el la sección

archivos de la Clase 4.

A modo de ejemplo parte de una pantalla correspondiente al archivo Representaciones:

2 Colaboración: Prof. Ana Sadagorsky, Prof. Erica Panella. 3 Colaboración: Prof. Mónica del Sastre, Prof. Erica Panella y Mgtr. Patricia Có. 4 Colaboración: Mgtr. Raúl Katz, Mgtr. Patricia Có.


Figura 24


3

Cálculo Diferencial con Maple

3.1 Diferenciación en una o varias variables Maple permite calcular derivadas y derivadas parciales de funciones de una o varias variables a través del

operador diferencial D o por medio del comando diff utilizándolos de la siguiente forma:

D(función) Representa el operador diferencial de la función o expresión funcional dada.

D(función)(num) Halla la derivada de la función en el punto num.

diff(exp,var) Da la derivada de la expresión dada respecto de la variable especificada.

diff(exp,var$n) Da la derivada de orden n de la expresión dada respecto de la variable especificada.

(D@@n)(función) Da la derivada enésima de la función

Si optamos por usar el comando diff, lo aplicamos directamente sobre la expresión de la función que que-

remos derivar, indicando después de la “,” la variable de derivación:

>diff(log(sin(2*x)),x)

Si preferimos usar el operador D, debemos definir primero la función y luego aplicarle el mismo:

>L:=x->log(sin(2*x))

>D(L)(x)

También se puede utilizar la paleta Expresión, ubicada a la izquierda de la pantalla, de modo que resulte

más sencilla la escritura del comando:

Figura 25

Para fines didácticos, en ciertos casos resulta conveniente observar los pasos de derivación. Esto se logra

cargando el paquete Student[Calculus1] seguido de la orden DiffTutor. Esta acción permite ver, en una ventana

secundaria, los pasos de derivación de uno a la vez, o todos juntos hasta obtener el resultado final. También se

pude indicar qué forma de derivación utilizar, de no hacerlo el programa derivará por defecto. Veamos cómo

funciona con un ejemplo:

>with(Student[Calculus1]):

>DiffTutor(ln(x)*cos(x))


Figura 26

3.2 Algunas Aplicaciones

1- Recta Secante y recta Tangente a la gráfica de una función en un punto dado.

Maple contiene dentro del paquete Student[Precalculus] dos funciones de particular interés:

FunctionSlopeTutor y FunctionSlopePlot, por medio de las cuales es posible observar en forma animada

sobre la gráfica de una función dada, el desplazamiento de las rectas secantes hacia la recta tangente en un

punto de la gráfica.

FunctionSlopeTutor además de dibujar y animar las rectas secantes aproximándose a la recta tangente, estima

las pendientes de todas ellas y muestra la ecuación de la recta tangente, como se ve en la siguiente pantalla:

Figura 27

FuncionSlopePlot grafica en forma animada las sucesivas rectas secantes que se aproximan a la recta tangente en el punto indicado. Por defecto aparece una leyenda que da algunas especificaciones, por ejemplo:


Figura 28

¿Qué ocurre si pedimos que aplique FunctionSlopeTutor a la función valor absoluto en x=0?

2. Polinomios de Taylor

Maple cuenta con diferentes opciones que permiten obtener aproximaciones polinómicas de funciones en un

entorno de un punto en el que dicha función sea diferenciable.

Una de ellas es a través de la orden: convert(taylor(expresión,x=a,n+1),polynom).

Donde: expresión indica una expresión algebraica en la variable x.

x=a constante real.

n+1entero no negativo, indica un orden más del polinomio que queremos obtener

Otra opción es por medio del comando: TaylorApproximation(f(x), c,view= [a..b,c..d], opts) (se encuentra

dentro del paquete Student[Calculus1]).

Donde: f(x) indica una expresión algebraica en la variable x.

c constante real alrededor de la quiere obtener el desarrollo.

a..b especifica el rango de graficación.

opts opciones: orden de desarrollo, titulo, punto de vista, salida gráfica o animada, etc.

Veamos un ejemplo en el que se muestran los dos procedimientos:

Encontrar todos los polinomio que coincidan con f(x) = ex y sus derivadas hasta el orden 5 en x =0. Obtener en

una misma pantalla las representaciones gráficas de la función y los polinomios.

o Con la orden: convert(taylor(expresión,x=a,n+1),polynom)


Figura 29

o Con la orden: TaylorApproximation(f(x), c,view= [a..b,c..d], opts)

Figura 30

Si en la orden anterior escribimos output=animation en lugar de plot, veremos una pantalla animada.

También podemos visualizar aproximaciones polinómicas por medio de un Tutorial desarrollado para este

fin. Para acceder al mismo desplegamos el botón Herramientas(T) (ubicado en la barra superior de la pan-

talla), y luego seleccionamos: Cálculo en una variable -> Aproximación de Taylor


Figura 31

Se abrirá una pantalla en la que se puede elegir la función, grado, etc. Cada pantalla muestra un polinomio y es

posible ver la aproximación en forma animada, seleccionado el botón Animate:

Figura 32

3. Estudio de funciones

Veamos cómo aplicar algunos de los comandos ya vistos en el estudio de una función, por ejemplo:

xxxr

3

1)(

Para ello, proponemos hallar:

a) dominio, paridad, asíntotas

b) máximos y mínimos

c) intervalos de crecimiento y decrecimiento


d) puntos de inflexión

e) intervalos de concavidad y convexidad

f) gráfica

Para ello:

a) Ingresamos la función a estudiar:

>r:=x->1/(x^3-x)

Para hallar el dominio y las asíntotas verticales buscamos los ceros del denominador

>solve(x^3-x,x)

Para analizar la paridad ingresamos la siguiente sentencia que tiene forma de pregunta:

>is(r(x)=-r(-x))

La respuesta si la afirmación es verdadera o falsa.

Si queremos determinar las asíntotas verticales, tomamos los límites laterales correspondiente, por ejem-

plo:

>limit(r(x),x=-1,left);limit(r(x),x=-1,right)

Para determinar si existen asíntotas horizontales calculamos los límites infinitos:

>limit(r(x),x=infinity);limit(r(x),x=-infinity)

b) Para hallar máximos y mínimos, buscamos los puntos críticos y analizamos el signo de la derivada segunda

en los mismos:

>diff(r(x),x)

>solve(%)

Los valores que aparecen en la pantalla son las abscisas de los puntos candidatos a ser máximos o mínimos y

para clasificarlos calculamos el signo de la derivada segunda en cada uno de ellos:

>eval(diff(diff(r(x),x),x),(x=-sqrt(3)/3))

>eval(diff(diff(r(x),x),x),(x=sqrt(3)/3))

c) Para encontrar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento analizamos el signo de la derivada primera:

>solve(diff(r(x),x)>0,x)

>solve(diff(r(x),x)<0,x)

Esta información permite verificar los resultados obtenidos en b).

d) Para hallar los posibles puntos de inflexión buscamos los ceros de la derivada segunda y los puntos donde

ésta no existe:

>diff(diff(r(x),x),x)

>simplify(%)

>solve(%)

e) Encontramos los intervalos de convexidad analizando el signo de la derivada segunda:

>solve(diff(diff(r(x),x),x)>0,x); >solve(diff(diff(r(x),x),x)<0,x)


f) Puede resultar interesante visualizar la porción de la gráfica en donde la función sólo es creciente o sólo es

decreciente, para ello ingresamos:

Para ver sólo donde es creciente:

>r11:=piecewise((x>=-1/3*sqrt(3) and x<=0or x>0 and x<=1/3*sqrt(3)),r(x),0)

> plot(r11(x),x=-2..2,y=-10..10,discont=true)

Para ver sólo donde es decreciente:

>r12:=piecewise((x>-infinity and x<=-1 or x>-1 and x<=-1/3*sqrt(3))or

(x>1/3*sqrt(3) and x<1) or (x>=1 and x<infinity),r(x),0)

>plot(r12(x),x=-2..2,y=-5..5,discont=true,color=blue)

Por último vamos a realizar la gráfica completa de la función, dibujando en distintos colores de acuerdo al

crecimiento o decrecimiento de la misma.

>plot([r11,r12],x=-2..2,y=-5..5,color=[red,blue],discont=true)

4. Análisis de diferenciabilidad

Un ejemplo interesante para estudiar diferenciabilidad 3:

Dada la función

312

32)(

23

)(

2 xx

xxg

xx

x

xf , determinar la función g tal que f no presente puntos angulosos en

su dominio. Obtener las representaciones gráficas de f y de f ´.

Como f es derivable y su derivada es continua en 3,y 2, debemos encontrar una función g que cumpla

las siguientes condiciones:

* sea derivable con derivada continua en el intervalo (2,3)

* g(2) = f(2) y g(3) = f(3)

* g´(2) = f´(2) y g´(3) = f´(3)

Para ello proponemos un polinomio de tercer grado de modo que g(x) = A x3 + B x

2 + C x + D.

Veamos cómo quedan las ecuaciones utilizando Maple:

Probamos si están bien ingresadas estas funciones:

3 Colaboración Dr. Daniel Severin


Expresamos las igualdades antes propuestas:

Para resolver el sistema dado por las 4 ecuaciones recién escritas utilizamos el comando solve:

Redefinimos la función g para los valores recién obtenidos:

Por último graficamos ambas funciones:


Figura 33

A través de la orden isdifferentiable(expresión,var,n,nombre) se puede analizar los puntos de no

diferenciabilidad de una función. La expresión puede contener funciones definidas a trozos (piecewise), n

indica si expresión es de clase Cn y la variable nombre (opcional) almacena la secuencia de puntos de no

diferenciabilidad junto con su orden.

Utilicemos este comando para analizar la diferenciabilidad de la función recién obtenida.

Figura 34

5. Máximos y mínimos para funciones de varias variables

Para encontrar máximos y mínimos de una función de varias variables es necesario resolver el sistema de

ecuaciones que resulta de igualar a cero todas las derivadas parciales (además de ver dónde no existe cada una

de ellas). Existe un comando, llamado hessian(función,[x1,x2,...,xn])), que permite calcular la matriz hessiana

para luego evaluarla en cada punto crítico y así poder clasificarlo.

Con Maple también es posible calcular el gradiente de una función de varias variable a través de la orden:

grad(función,[x1,x2,..xn]).

Tanto hessian como grad se encuentran en el paquete linalg.

Veamos a través de algunos ejemplos cómo encontrar y clasificar los puntos extremos de la función:

2543 30518301206

yxxxxx

> f:=(x,y)->-120*x^3-30*x^4+18*x^5+5*x^6+30*x*y^2

Resolvemos el sistema homogéneo cuyas ecuaciones son las derivadas parciales de f:

> solve({diff(f(x,y),x)=0,diff(f(x,y),y)=0},{x,y})


, , , ,{ },y 0 x 0 { },y 0 x 0 { },y 0 x -2 { },y 0 x 2 { },y 0 x -3

Según la respuesta, los posibles extremos son: (0,0), (-2,0), (2,0), y (-3,0)

Podemos llegar al mismo resultado igualando el gradiente al vector nulo:

> with(linalg):

> grad(f(x,y),[x,y])

[ ], 360 x2 120 x3 90 x4 30 x5 30 y2 60 x y

> solve({-360*x^2-120*x^3+90*x^4+30*x^5+30*y^2=0, 60*x*y=0},{x,y})

, , , ,{ },y 0 x 0 { },y 0 x 0 { },y 0 x -2 { },y 0 x 2 { },y 0 x -3

Para clasificar los extremos utilizamos la función hessian, evaluamos la matriz en cada punto crítico y

calculamos el determinante correspondiente:

> H:=(x,y)->hessian(f(x,y),[x,y])

:= H ( ),x y ( )hessian ,( )f ,x y [ ],x y

> H:=(x,y)

> H1:=subs(x=-2,y=0,H(x,y)); det(H1)(es posible aplicar la función det con el botón derecho del mouse)

:= H1

-480 0

0 -120

57600

Como en el punto (-2,0) el determinante es no nulo y el elemento (1,1) es negativo, resulta que f (-2,0) es un

máximo relativo.

Repitiendo el procedimiento para los restantes puntos críticos, llegamos a que f (2,0) es un mínimo y (-3,0) es

de ensilladura. Como en el punto (0,0) el determinante es nulo no podemos llegar a ninguna conclusión.

Existen otros comandos que permiten la optimización de funciones, como ser:

maximize(expresión) o minimize(expresión), que permiten hallar el máximo o mínimo valor de la expre-

sión dada respecto de todas sus variables.

maximize(expresión,{var1,var2,...varn}) o minimize(expresión,{var1,var2,...varn}), que permiten encon-

trar el máximo o mínimo valor de la expresión dada respecto de la variable especificada.

6. Máximos y mínimos condicionados. El método de los multiplicadores de Lagrange

Para calcular los valores máximos y mínimos de una función, por ejemplo f(x,y,z) sujeta a una restricción de la

forma g(x,y,z)=k, es necesario realizar los siguientes pasos:

a) determinar los valores x, y, z, , tales que

kzyxg

zyxgzyxf

),,(

),,(),,(

b) evaluar f es todos los puntos (x, y, z) que surjan del paso a) y clasificarlos.


Maple cuenta una función llamada extrema que puede ser usada para encontrar tanto los valores extremos de

una función de varias variables, como las coordenadas de los puntos en los que se producen, utilizando el

método de los Multiplicadores de Lagrange.

Para utilizarlo se puede elegir entre las siguientes opciones:

>extrema(expr,constraints)

>extrema(expr,constraints,vars)

>extrema(expr,constraints,vars, 's')

Donde: expr función a optimizar

constraints restricción o restricciones

var variable o conjunto de variables

s variable que devuelve las coordenadas de los puntos.

Veamos ejemplos con una y dos restricciones:

Hallar y clasificar los puntos extremos de la función: zx)z,y,x(f tal que 1zyx 222

>

>

>

>

Para saber si son máximos o mínimos, evaluamos f en estos puntos:

>

Figura 35

Determinar el valor máximo de la función h(x, y, z)= x + 2 y + 3 z en la curva de intersección del plano de

ecuación x – y +z=1 con el cilindro x2 +y

2=1.

>

>

>

>

>


> ;

Por lo tanto, el valor máximo de f en la curva dada es

Figura 36

8. Derivadas direccionales y plano tangente

Utilizamos una hoja de trabajo disponible en el link: http://c-virtual.fceia.unr.edu.ar/index.cgi?id_curso=140,

(seleccionar luego Archivos -> Análisis Matemático II -> Derivadas Parciales y Plano Tangente), en la que se

muestra cómo calcular derivadas direccionales, graficar planos tangentes a superficies y obtener gráficas que

promuevan la comprensión de los conceptos.

Figura 37

Proponemos analizar, por ejemplo, el ítem Derivadas parciales con respecto a una dirección dada.

http://c-virtual.fceia.unr.edu.ar/index.cgi?id_curso=140


4

Cálculo Integral con Maple

4.1 Integración en una o varias variables

Maple permite calcular integrales simple, dobles y triples, indefinidas o definidas, de las combinaciones de la

funciones más diversas (logarítmicas, exponenciales, racionales, trigonométricas, trigonométricas inversas, etc),

empleando diversas métodos.

Los comandos más utilizados son:

int(f(x),x) Calcula la integral indefinida dxxf )(

int(f(x),x=a..b) Calcula la integral definida b

adxxf )(

int(int(f(x,y),x),y) Calcula la integral indefinida dydxyxf ),(

int(int(f(x,y),x=a..b),y=c..d) Calcula la integral definida b

a

d

cdydxyxf ),(

Si optamos por usar el comando int (ya sea para integrales indefinidas o definidas), lo aplicamos directa-

mente sobre la expresión de la función que queremos integrar, indicando después de la “,” la variable o los

extremos de integración, respectivamente:

> *observar que Maple no escribe la constante de integración*

>

También se puede utilizar, de la paleta Expresion, el símbolo xdf reemplazando f por la ley de la fun-

ción a integrar.

>

>

Maple calcula integrales en forma simbólica, por ejemplo :

>

Maple tiene una rutina muy poderosa para calcular integrales indefinidas o definidas a través del comando int.

Tal como hicimos para derivar una función, es posible observar todos los pasos de integración a través del tutorial Métodos de Integración disponible en Herramientas -> Tutoriales ->Cálculo-En Una Variable. Por

ejemplo:


Figura 38

Es aconsejable introducir otros ejemplos para conocer cómo muestra este tutorial las distintas técnicas y leyes de integración que ofrece.

4.2 Algunas Aplicaciones

Resulta interesante analizar algunos comandos que Maple posee dentro del paquete Student.

1- Integral definida

Veamos un ejemplo sobre la interpretación gráfica del cálculo del área de un "trapezoide curvilíneo" limita-

do por el segmento [a,b] del eje horizontal, las rectas verticales x = a y x = b, y la curva y = f(x):

Supongamos que f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b] y consideremos una partición del

mismo, es decir un conjunto de puntos nttt ,..., 10 tales que btttta n ...210 .

A partir de esa partición definimos las sumas de Riemann

n

i

iii ttxf1

1)( donde ix es un punto del

intervalo ii tt ,1 . Claramente, cada sumando es el área del rectángulo de base 1 ii tt y de altura )( ixf .

Finalmente si existe el límite de esas sumas cuando n tiende a infinito (independientemente de los

puntos ix elegidos en cada intervalo) se dice que f es integrable, al valor del límite lo simbolizamos b

adxxf )( ,

y por definición decimos que el área buscada es esa integral.

Maple tiene tres comandos dentro del paquete student: leftbox, middlebox y rightbox que calculan las sumas

de Riemann tomando como punto ix el extremo izquierdo, el punto medio o el extremo derecho de cada

subintervalo respectivamente.

Para ejemplificar, consideramos )sin()( xxxf y el intervalo ,0 .

> with(student):

> leftbox(x*sin(x),x=0..Pi,20)

En la sintaxis se indica en forma ordenada, la expresión de la función, el intervalo de integración y el número

de subintervalos.


> middlebox(x*sin(x),x=0..Pi,20)

> rightbox(x*sin(x),x=0..Pi,20)

Podemos visualizar la expresión de la suma hasta el orden pedido, con los comandos leftsum, middlesum o

rightsum, por ejemplo:

> rightsum(x*sin(x),x=0..Pi,20)

Para evaluarla (en forma exacta) usamos el comando value:

> value(%)

Para obtener un valor aproximado:

> evalf(%)

3.135130356

Resulta interesante tomar el límite cuando n (nº de rectángulos) tiende a infinito, obteniendo así el valor exacto

de la integral:

> rightsum(x*sin(x),x=0..Pi,n)

> limit(%,n=infinity)

Comprobemos que obtenemos la misma respuesta por cálculo directo:

>

El Tutorial disponible en Herramientas -> Tutoriales ->Cálculo-En Una Variable-> Sumas de Riemann

nos brinda la posibilidad, como se ve en la siguiente figura, de elegir función, extremos, puntos, métodos de

aproximación, etc. Además muestra el valor aproximado y exacto del área buscada.

Figura 39


2. Área comprendida entre curvas

Vamos a calcular el área encerrada entre dos curvas, por ejemplo: y = sen x e y = cos x, cuando x varía entre 0

y 2 .

Visualizamos las gráficas de ambas curvas en un mismo sistema para estimar los puntos de corte:

> plot([sin(x),cos(x)],x=0..2*Pi,color=[red,blue])

Necesitamos conocer las abscisas de los puntos de intersección de las dos curvas. Observamos que uno de los

puntos tiene abscisa cercana a 1 y el otro a 4. Podemos hacer una estimación gráfica de puntos utilizando la

opción Probe Info que aparece cuando apretamos sobre el gráfico el botón derecho del mouse, eligiendo luego

el modo en que deseamos realizar esa aproximación.

Figura 40

Para encontrar los valores exactos aplicamos el comando fsolve al sistema de ecuaciones determinado por las

expresiones de las funciones dadas, especificando los intervalos en los que queremos hallar la(s) solución(es),

ya estimadas gráficamente, en este caso: (0.5,1.5) y (3.5,4.5).

> r1:=fsolve(sin(x)=cos(x),x=0.5..1.5)

> r2:=fsolve(sin(x)=cos(x),x=3.5..4.5)

Ahora calculamos el área entre las dos curvas como sigue:

> S1:=evalf(int(cos(x)-sin(x),x=0...r1))

> S2:=evalf(int(sin(x)-cos(x),x=r1..r2))

> S3:=evalf(int(cos(x)-sin(x),x=r2..2*Pi))

> L:=S1+S2+S3

L:=5.656854249

El área buscada es 5.267829283 unidades cuadradas.


3. Longitud de arco de curva

Como sabemos, si una curva plana está dada por su ecuación y = f(x), la longitud del arco de curva

comprendido entre dos puntos de abscisas x = a y x = b, puede calcularse mediante: b

adxxf

2)´(1

(siempre que se cumplan las hipótesis necesarias para que esta integral exista).

Cuando la curva está definida en forma paramétrica: x = x(t); y = y(t), la longitud del arco de curva cuando el

parámetro t toma los valores comprendidos entre to y t1,puede calcularse por: b

adttytx

22)´()´( .

Veamos un ejemplo: Un cable eléctrico cuelga entre dos torres que están separadas 400 metros. El cable adopta

la posición de una catenaria cuya ecuación es: 100

cosh100x

. Calcular la longitud del arco de cable entre las

dos torres.

Transcribimos a Maple la fórmula para obtener el cálculo pedido y su valor exacto:

> int(sqrt(1+diff(100*cosh(x/100),x)^2),x=-200..200)

> evalf(%)

Como en otras oportunidades podemos utilizar un Tutorial que permite calcular la longitud de una curva. El

mismo está disponible en Herramientas -> Tutoriales ->Cálculo-En Una Variable -> Longitud de Arco.

Aplicándolo en la función que nos interesa nos devuelve el mismo resultado numérico, pero agrega opciones

interactivas:

Figura 41


4. Cálculo de volúmenes por integrales dobles

Veamos algunos ejemplos:

Calcular el volumen en el primer octante comprendido entre el plano OXY, el plano y el cilindro de

ecuaciones z = x + y + 2 ; 16yx 22 , respectivamente.

Comenzaremos haciendo una representación gráfica del plano y del cilindro para tratar de visualizar el recinto

comprendido entre estas superficies y el plano OXY.

with(plots):

implicitplot3d([x+y+2,x^2+y^2=16],x=-5..5,y=-5..5,z=-10..10,color=

[red,green],style=surface,axes=box,transparency=[0.5,0],orientation=[15,45])

Figura 42

Para calcular el volumen pedido utilizamos integrales dobles, escribiendo el comando o utilizando la paleta:

>

>

Calcular el volumen de la región contenida en el primer octante determinada por el cilindro de ecuación

y el plano y = x.

Graficamos la región comprendida entre las gráficas de las ecuaciones dadas:

>implicitplot3d([x^2+z^2=1,y=x],x=0..1,y=0..1,z=0..1,color=

[red,blue],style=surface,axes=box,transparency=[0.5,0],orientation=[-45,75])


Figura 43

Queremos calculamos el volumen de la región que queda por delante del plano. Veamos cuál es la curva que

resulta de la intersección de ambas superficies:

> intersectplot(x^2+z^2=1,y=x,x=0..1,y=0..1,z=0..1,axes=box, orientation=

[-45,75]) # podemos cambiar el grosor de la curva con el botón derecho del mouse

Figura 44

Es interesante conocer las ecuaciones de las proyecciones de esta curva sobre los planos xz e yz. Si observamos

la curva que se visualiza cuando rotamos la figura anterior, podemos suponer que se trata de parte de una

circunferencia.

Haciendo los cálculos correspondiente obtenemos que las proyecciones sobre los planos xz e yz resultan ser

arcos de las circunferencias x2 + y

2= 1 y y

2 + z

2 =1.

Existen 6 formas distintas de calcular el volumen pedido, ellas son:


5. Cálculo de volumen de sólido de revolución

Con fines didácticos resulta muy interesante visualizar la superficie de revolución que se genera cuando una

curva plana gira alrededor de un eje contenido en el mismo plano, para luego calcular del volumen del sólido

engendrado. Vemos nuevamente un ejemplo:

Obtener la gráfica de la superficie de revolución que genera la curva contenida en el plano xz de ecuación

xz , cuando la misma gira alrededor del eje x, variando x entre 0 y 4. Calcular el volumen del sólido en-

gendrado.

El comando que nos permite ver en forma animada cómo se genera la superficie cuando la curva gira alrededor

del eje es:

>animate3d([x, 2*x*sin(a*u), 2*sqrt(x)*cos(a*u)],x =0..4,a=0..2*Pi,u=0..1,

axes=normal);

Figura 45

Si accionamos la animación, obtendremos una imagen como la de la siguiente figura:


Figura 46

Para calcular el volumen del sólido generado podemos utilizar la integral definida que corresponda, pero

nuevamente resulta interesante el Tutorial disponible en Herramientas -> Tutoriales ->Cálculo-En Una

Variable-> Volumen de Revolución que permite visualizar cómo se calcula el volumen del sólido propuesto por

diferentes métodos y como así también cambiar los ejes de revolución. Volviendo a nuestro ejemplo:

Figura 47

Permite elegir el eje de giro Produce animación en la gráfica

Se puede elegir entre método de discos o cascarones Calcula el volumen en forma aproximada


Si cambiamos el eje de giro, por ejemplo a y=2, obtenemos la siguiente figura:

Figura 48


5

Algebra Lineal con Maple

5.1. Introducción

En esta sección desarrollaremos algunos contenidos del Algebra Lineal y, en entre otras cuestiones, nos

enfocaremos en mostrar cómo puede utilizarse Maple para agilizar cálculos engorrosos que aparecen cuando

queremos, por ejemplo: resolver sistemas de ecuaciones, operar con matrices, buscar autovalores y autovectores,

conseguir bases ortonormales o diagonalizar matrices.

5. 2. Vectores

Podemos definir vectores (columnas o filas) de diferentes formas, veamos algunas:

En el caso de un vector columna ingresamos las componentes encerradas entre los signos < > (menor y

mayor) separadas por comas:

>

En el caso de un vector fila ingresamos las componentes entre los mismos signos < > pero separadas por barras

verticales (se encuentran en la paleta operadores ubicada a la izquierda de la pantalla).

>

Utilizando la orden Vector o Vector [row] que se encuentran dentro del paquete LinearAlgebra según de-

seemos ingresar vectores columnas o filas respectivamente, por ejemplo:

>

>

5.2.1. Operaciones con vectores

Suma, resta y multiplicación por un escalar

La suma, resta y producto de un escalar por un vector se efectúan con los símbolos convencionales, por ejemplo:

>


Para poder observar gráficamente, por ejemplo, la suma de dos vectores, recurrimos a la orden VectorSumPLot

que se encuentra dentro del paquete StudentLinearAlgebra. Para cargarlo vamos a Herramientas -> Cargar

Paquete -> Student Linear Algebra:

Cargando Student:-LinearAlgebra

>

Figura 49

Producto escalar y vectorial

Ambas operaciones se definen respectivamente mediante las órdenes: DotProduct(v,w) y CrossProduct(u,v),

contenidas en el paquete Linear Algebra.

Cargando LinearAlgebra

>

Si queremos representar gráficamente el producto vectorial:

>

Figura 50


5.3 Matrices

Como en el caso de vectores, una matriz se puede ingresar de diferentes formas, veamos algunas:

utilizando la paleta Matriz (como ya se dijo al comienzo de esta guía), siguiendo los siguientes pasos: selec-

cionar el nº de filas y columnas, insertar la matriz, nombrarla (por ejemplo M:=), y por último ingresar los valo-

res de cada uno de sus elementos, tal como se ve en la siguiente figura:

Figura 51

También es posible definir una matriz a través de comando Matrix ingresando sus elementos por filas ence-

rradas entre corchetes y separados con comas, y a su vez cada corchete separado por coma, como se muestra a

continuación:

>

Una tercera opción la encontramos al cargar el Tutorial -Algebra Lineal -Construcción de Matriz, que per-

mite ingresar cada elemento en su respectivo lugar. En este caso, en el lado derecho de la pantalla aparece el

sistema asociado a la matriz, por lo que puede resultar conveniente utilizar esta opción cuando resolvemos sis-

temas de ecuaciones.

Figura 52


Por último, tal como se vio en vectores y habiendo cargado previamente el paquete StudentLinearAlgebra,

podemos definir una matriz utilizando los signos < > para indicar los elementos de cada fila separados por co-

mas, y a su vez encerrar todas las filas entre los mismos signos, separándolas por barras verticales, como se

muestra a continuación:

>

5.3.1 Operaciones Matriciales

Suma, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices

Estas operaciones (siempre que sea posible realizarlas) se indican mediante los símbolos matemáticos que

utilizamos habitualmente: “+, - , .” . En el caso de que no sea posible realizar la operación pedida por

incompatibilidad de tamaños, el programa devuelve un mensaje de error indicando cuál es el problema.

> : ;

> ;

>

Error, (in LinearAlgebra:-Multiply) first matrix column dimension (2) <>

second matrix row dimension (4)

Determinante y Transpuesta

Si queremos obtener rápidamente el determinante y la transpuesta de una matriz podemos utilizar el botón

derecho del mouse posicionándonos sobre la misma y seleccionando el penúltimo ítem: Standard Operations.

Luego elegimos la operación a realizar, como vemos en la siguiente figura.


Figura 53

También es posible utilizar los comandos Determinant y Transpose (con mayúsculas) que se encuentran

disponibles en el paquete Linear Algebra, como vemos a continuación:

> ;

;

Matriz Inversa y Matriz Adjunta

Existen varias maneras de calcular la Inversa de una matriz cuadrada:

o accionando sobre la matriz con el botón derecho del mouse y eligiendo la opción Standard Operations

->Inverse.

o utilizando el comando MatrixInverse

o aplicando el operador ^(-1)

(3)

(En este caso accionamos el mouse sobre la matriz de

salida (3))


Verificamos:

>

>

Para calcular la matriz Adjunta:

>

>

Verificamos que la matriz adjunta de Z dividida por su determiante es su inversa:

>

Más adelante veremos cómo podemos utilizar Maple para calcular la inversa de una matriz utilizando

reducción.

En el menú Herramientas, Maple posee una opción llamada Tareas que, sin ser un Tutorial, es de gran ayuda

cuando no recordamos las sentencias y sintaxis a utilizar, podríamos decir que funciona como una biblioteca de

comandos y de ejemplos. Sería muy tedioso enumerar las funciones allí descriptas, así es que recomendamos

dar un paseo por algunos ítems de este listado, por ejemplo, como se muestra en la figura siguiente,

examinamos cómo buscar el rango de una matriz:


Figura 54

Submatriz y Matriz aumentada

Dada una matriz de cualquier tamaño es posible extraer de ella una columna, una fila o una submatriz, darle un

nombre y volver a operar con estos elementos. Veamos un ejemplo con la matriz M ingresada anteriormente:

> ;

>

Si queremos aumentar una matriz a través de otras, podemos hacerlo con la orden augment, dentro del paquete

linalg

>


>

>

5.4 Sistemas de ecuaciones

Maple permite resolver sistemas de ecuaciones por distintos métodos, utilizando comandos específicos para

cada caso. Veamos algunos de ellos:

Comando solve:

>solve({eq1,eq2,eq3,...,eqm},{x1,x2,x3,...xn});

Donde: eq1,eq2,eq3,...,eqm y x1,x2,x3,...xn son m las ecuaciones y las n incógnitas respectivamente.

Veamos cómo utilizarlo para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas con única solución:

>

Si el sistema tiene un número infinito de soluciones, Maple las expresa en función de una de las variables, por

ejemplo:

>

La ausencia de respuesta se interpreta como que el sistema es inconsistente:

>

Comando GaussianElimination. Se encuentra dentro del paquete LinearAlgebra y permite obtener la for-

ma escalón de la matriz asociada al sistema de ecuaciones. Veamos cómo se aplica en el siguiente ejemplo:

4yx3

1y5x2

2z3y2x

> ;


Maple cuenta con un Tutorial llamado Eliminación Gaussiana que permite visualizar los pasos que se

desarrollan al utilizar este método. Podemos ver la guía de cómo seguir este proceso en las siguientes figuras:

Figura 55

Maple muestra una matriz por defecto, para cambiarla seleccionamos Edit Matrix e ingresamos las entradas de

una en una, mediante la tecla tab. Una vez definida la matriz con la que vamos a operar, presionamos Close,

retornando a la pantalla anterior. En esta etapa podemos optar por visualizar cada paso en la reducción

presionando Next Step o la reducción completa optando por All Steps. Observemos que en la parte superior

derecha de la pantalla se van indicando las operaciones que se realizan en cada paso.

Figura 56


El comando ReducedRowEchelonForm o rref, que se encuentra dentro del paquete LinearAlgebra, permite

obtener la forma escalón reducida de la matriz asociada al sistema de ecuaciones. Veamos cómo funciona con

el mismo ejemplo:

>

Maple posee otro tutorial para observar cada paso en este tipo de reducción. La forma de utilizarlo es similar a

la anterior, pero en vez de elegir Eliminación Gaussiana, seleccionamos Eliminación de Gauss Jordan.

5.4.1 Algunas Aplicaciones.

1. Determinar si el conjunto S={v1,v2,v3,v4,v5,v6} de vectores de R3 es una base de R

3. Siendo: v1=(1,2,3);

v2=(2,3,4); v3=(3,4,5); v4=(4,5,6); v5=(5,6,7); v6=(6,7,8):

>

>

Observamos que la matriz reducida tiene sólo 2 columnas pivotes y por lo tanto los vectores de S no determinan

una base de R3.

2. Analizar si los vectores u1=(1,-2,3,4,6,4); u2=(2,4,6,8,0,-2); u3=(1,3,5,7,-4,-5); u4= (1,5,9,13,-1,0);

u5=(1,5,9,13,-1,0); u6=(-1,4,8,13,-5,2) determinan una base de R6.

>


Como se observan 6 columnas pivotes, confírmanos que los vectores dados determinan una base de R6

3. Determinar las coordenadas de los vectores h1=(1,2,3,4); h2=(2,4,6,8) en la base B formada dada por los

siguientes vectores: c1=(1,0,0,0); c2=(0,1,0,0); c3=(1,3,5,7); c4=(1,4,7,10).

Para ello ingresamos los vectores c1, c2, c3 y c4, h1 y h2, consideramos las matrices ampliadas formadas por

los primeros 4 vectores junto con h1 y h2 (puede hacerse por separado) y luego aplicamos Gauss Jordan (esta

vez utilizaremos el comando rref )

>

>

>

Las últimas columnas expresas las coordenadas de h1 y h2 en la base B.

4. Utilizando la matriz M=

876543

765432

654321

, hallar una base para cada uno de los siguientes espacios: de

columnas de M (Col(M)), de renglones de M (Ren(M)) y del nulo (nul(M)). Verificar que se cumple el teorema

del rango.

Dentro del paquete LinearAlgebra se encuentran los comandos ColumnSpace, RowSpace y NullSpace que

permiten determinar una base para cada uno de estos espacios:

>


>

>

Vemos que una base para el espacio de las columnas tiene 2 elementos, por lo tanto el rango es 2, y una base

del espacio nulo está dada por 4 vectores, entonces la nulidad es 4. Esto demuestra que se cumple el teorema

del rango, ya que 2 + 4 = 6, lo cual coincide con el número de columnas de la matriz M.

5. Obtener las columnas pivotes de la matriz G, demostrar que forman un conjunto linealmente independiente y

que la cuarta columna es una combinación lineal de las columnas pivotes precedentes. Siendo G la matriz

formada por los vectores u1=(1,2,3,4); u2=(2,4,6,8); u3=(1,3,5,7); u4=(1,4,7,10); u5=(1,5,9,13).

>

>

Vemos que las columnas 1 y 3 son columnas pivotes.

>

>


Este resultado muestra que las columnas pivotes son independientes.

>

Vemos que la cuarta columna es una combinación lineal de la primera y de la tercera, siendo -1 y 2 los

coeficientes de dicha combinación.

Verifiquemos:

>

Son los elementos de la cuarta columna.

6. Ampliar el conjunto de vectores linealmente independiente {u1= (1,2,-3,4), u2= (3,-3,6,-8)} a una base

ortonormal de R4

Reducimos la matriz formada por u1, u2 y los cuatro vectores e1,e2, e3 y e4 de la base canónica de R4.

Cargando Student:-LinearAlgebra

Cargando LinearAlgebra

>

>

Podemos observar que el conjunto formado por los vectores u1, u2, e1 y e2 es una base de R4.

Por último para ortonormalizar esta base recurrimos al comando GramSchmidt que se encuentra en el paquete

StudentLinearAlgebra:

> (ingresar previamente los vectores)


5.5 Valores y Vectores propios

Los comandos Eigenvalues, CharacteristicPolynomial, que se encuentran dentro del paquete LinearAlgebra,

permiten calcular los valores propios y el polinomio característico de una matriz y el comando Eigenvectors

muestra los valores y vectores propios, por ejemplo:

>

>

>

>

>

En el paquete StudentLinearAlgebra se encuentran dos Tutoriales que muestran los procesos de cálculo de

autovalores y autovectores y resultan de gran utilidad a la hora de resolver problemas sobre el tema. Como

siempre, es posible acceder a los mismos desde el menú Herramientas->Tutoriales-> Algebra Lineal-> Valores

Propios o Herramientas->Tutoriales-> Algebra Lineal-> Vectores Propios (respectivamente).

Vemos en la Figura 57 una síntesis de las sucesivas pantallas que corresponden a la búsqueda de valores

propios de una matriz:


Figura 57

El tutorial que muestra el proceso de cálculo de los autovectores contiene al de los autovalores, de modo que

podemos hacer los dos juntos y la primera parte se desarrolla tal como lo descripto en el punto anterior. Al

cargar el Tutorial de autovectores, Maple ofrece la opción de ver el proceso de cálculo de autovalores, a través

de la pregunta:

Si seleccionamos No el tutor va directamente a la búsqueda de autovectores.

Encontrar los autovectores requiere tres pasos, en siguiente figura se muestra la síntesis de pantallas:

Figura 58

Por ejemplo, como se muestra en la figura anterior, para buscar el autovector correspondiente al autovalor t=5,


primero calcula la matriz A=M- t I, luego resuelve la ecuación A X=0, y por último explicita el autovector

correspondiente.

Cabe aclarar que existen más comandos y funciones relacionados con el tema pero su tratamiento requiere

tiempo que excede a nuestro objetivo.

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